用代数式表示

探究一：用代数式表示变化规律用代数式把一列变化着的式或图形的规律表示出来，是探究性题目中很重要的一类，现在我们来研究解决这类题目所用到的主要数学思想和思考方法： 它们是：Ⅰ、以归纳概括为指导的思考方法；Ⅱ、以函数思想为指导的方法；Ⅲ、以直接计算为指导的方法。

一、借助以归纳为指导的思想方法，得到表示变化规律的代数式这种思想方法的核心是通过分析与研究提供的“变化片断”—— 一些连续的特殊情况，归纳概括出整个变化过程所体现的规律，并用代数式将其表示出来，在实际运用中，又根据题目的实际情况，可分为三种形式：“一般归纳型”； “分类归纳型”；“递推归纳型 ”。

1、一般归纳型思考特点是：第一，系统考察所提供的一系列特殊，从每个特殊与其位次的对应关系上找共同的规律，第二，特别注意研究相邻两项之间的相关性。

例1 如图，下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），则第n 个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有 。

①② ③【观察与思考】我们把上面各图中满足“只有两个面涂色的立方体”用涂色法表示出来：……① ②③0014⨯+⨯ 1424⨯+⨯ 2434⨯+⨯ ……第n 个: )1(44-+n n解:应选48-n.例2 如图,是用火柴棒摆出的一系列三角形图案,按这种方式摆下去,当每边上摆10根火柴棒时, 共需要摆 根火柴棒. ………下面一层…上面一层...下面两层…上面一层…上面一层…下面三层…下面n 层…上面一层10根10根10根【观察与思考】本题可以归结为在相应图形中求有多少个涂色的小三角形(所用火柴棒数就等于这样的三角形数再乘以3).为了找到规律,可以将每边4根火柴棒的情况也画出:…(1) (2 (3) (4) (10)涂色三角形 1 321=+6321=++104321=+++…归纳概括: 5510...321=+++的个数:165355=⨯解:应填165 .【说明】例1和例2，都是统一系列变化的“图形”，首先是要分离出符合要求的部分，使问题简化与明晰化，然后依次观察、对比，找出共同的规律来。

1.2 代数式【考纲说明】1、理解字母表示数的意义及用代数式表示规律。

2、用代数式表示实际问题中的数量关系，求代数式的值。

【知识梳理】1、代数式：指含有字母的数学表达式。

2、一个代数式由数、表示数的字母、运算符号组成。

单个字母或数字也是代数式。

3、代数式的值：一般地，用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值。

4、用字母表示数的规范格式：（1）、数和表示数的字母相乘，或字母和字母相乘时，乘号可以省略不写，或用".”来代替。

（2）、当数和字母相乘，省略乘号时，要把数字写到前面，字母写后面。

如：100a或100•a，na或n•a。

（3）、后面接单位的相加式子要用括号括起来。

如：（ 5s ）时（4）、除法运算写成分数形式。

（5）、带分数与字母相乘时，带分数要写成假分数的形式。

5、列代数式时要注意：（1）语言叙述中关键词的意义，如"大”"小”"增加”"减少”。

"倍”"几分之几”等词语与代数式中的运算符号之间的关系。

（2）要理清运算顺序和正确使用括号，以防出现颠倒等错误，例如"积的和”与"和的积”"平方差”"差的平方”等等。

（3）在同一问题中，不同的数量必须用不同的字母表示。

【经典例题】【例1】（2012重庆，9，4分）下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成。

其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中的五角星的个数为（ ）【解析】仔细观察图形的特点，它们都是轴对称图形，每一行的个数都是偶数，分别是2，4，6，…，6,4,2，故第⑥个图形中五角星的个数为2+4+6+8+10+12+10+8+6+4+2=72。

答案：D【例2】（2011甘肃兰州，20，4分）如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积为1，则第n 个矩形的面积为 . 【解析】由中点四边形的性质可知，每次所得新中点四边形的面积是前一个图形的12，故后一个矩形的面积是前一个矩形的14，所以第n 个矩形的面积是第一个矩形面积的1221142n n --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，已知第一个矩形面积为1，则第n 个矩形的面积为2212n -⎛⎫ ⎪⎝⎭。

代数式运算1.代数式像a 、a －7、a+7等这样的式子都是代数式。

单独的一个数或者一个字母也是代数式。

注意：数字与字母、字母与字母相乘，“×”可以用“•”表示或省略不写，并且把数字写在字母前面；除法运算通常写成分数的形式。

2.（1）像代数式1.5a 、2a 2、1.5%m ×15、a 等都是数与字母的积，像这样的代数式叫做单项式。

单独的一个数或者一个字母也是单项式。

（2）单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数。

（3）像代数式0.9a+0.8b 、πR 2－πr 2等，几个单项式的和（或差）叫做多项式，其中的每个单项式叫做多项式的项，多项式里含有几项就把这个多项式叫做极限式，其中次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数，不含字母的项叫做常数项。

（4）单项式和多项式统称为整式。

3.代数式的值根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，计算所得的结果叫做代数式的值。

一般地，代数式的值随着代数式中字母取值的变化而变化。

4.（1）同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

（2）合并同类项：根据乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项。

（3）合并同类项法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。

（4）求代数式的值时，如果代数式中含有同类项，通常先合并同类项，再进行计算。

5.去括号法则：括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项的符号都不改变； 括号前面是“—”号，把括号和它前面的“—”号去掉，括号里各项的符号都要改变。

6.整式的加减运算：进行整式的加减运算时，有括号的要先去括号，再合并同类项。

【例1】一个代数式减去22x y -等于222x y +，则这个代数式是（ ）。

A ．23y -B ．222x y +C ．2232y x -D ．23y【例2】若代数式2231y y +=，那么代数式2469y y +-的值是（ ）。

代数式的概念代数式是数学中的一个重要概念，它是由数字、字母、运算符号和括号组成的符号表达式。

在数学中，代数式用来表示数学关系和运算过程。

本文将介绍代数式的定义、基本要素和常见运算规则。

一、代数式的定义和基本要素代数式是由数字、字母、运算符号和括号组成的符号表达式，可以包含加法、减法、乘法、除法等运算符号。

其中，字母通常用来表示未知数或变量。

代数式可以是一个数、一个字母、一个字母与一个数的乘积，或者多个代数式之间的运算组合。

在代数式中，数字和字母是基本要素。

数字表示具体的数值，而字母则表示未知数或变量，代表一类数。

字母可以是任何一个字母，如x、y、a、b等。

代数式中的运算符号有加法、减法、乘法、除法等，它们用来表示不同的数学运算操作。

括号在代数式中用来改变运算顺序或表示分组。

二、代数式的常见运算规则1. 加法和减法规则：代数式中的加法和减法运算遵循交换律和结合律。

交换律指加法和减法运算可以按任意顺序进行，结果不变；结合律指多个代数式相加（或相减）时，可以先将其中几个代数式相加（或相减），然后再与剩余的代数式相加（或相减）。

例如，a + b + c = c + b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。

2. 乘法和除法规则：代数式中的乘法和除法运算遵循分配律、交换律和结合律。

分配律指乘法对加法的分配关系，即a × (b + c) = a × b + a × c；交换律指乘法和除法运算可以按任意顺序进行，结果不变；结合律指多个代数式相乘（或相除）时，可以先将其中几个代数式相乘（或相除），然后再与剩余的代数式相乘（或相除）。

例如，a × (b × c) = (a × b) × c，a ÷ (b ÷ c) = (a ÷ b) ÷ c。

3. 括号运算规则：代数式中的括号可以用来改变运算顺序或表示分组。

第三章代数式3.1列代数式表示数量关系3.1列代数式表示数量关系（3）——列代数式表示反比例关系(教案新教材)【教学目标】1．理解反比例关系，能够用代数式表示反比例关系；2.经历抽象反比例关系和用代数式表示反比例关系的过程，能进行反比例关系的实际问题中数量关系与代数式之间的转换，建立反比例关系模型观念.【教学重点】理解反比例关系，能够用代数式表示反比例关系.【教学难点】理解反比例关系.【教学过程】一、情境导入我们一同来回忆本章引言中的问题（1）.机器人s能识别的范围是5m²，也就是说，机器人能识别的范围与所用时间的比值总是一定的（等于5）.因此机器人能识别的范围与所用时间是成正比例的量，它们成正比例关系.一般地，对于工程问题，当工作效率保持不变，工作量与工作时间是成正比例的量，它们成正比例关系，下面我们来讨论，如果工作量保持不变，工作时间与工作效率之间的关系.先看一个实际问题问题1.北京是全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市在冬季奥运会前，某赛场计划造雪2600003m.解答下列问题（1）根据每天造雪量，计算所需的造雪天数，填写下表每天造雪量/3m5000 5200 6500 ……造雪天数（2）每天造雪量和造雪天数这两个量是怎样变化的？它们之间有什么关系？学生活动：探讨问题包含几个量，它们之间有什么关系.问题包含三个量：造雪总量、每天造雪量和造雪天数，根据它们之间的关系造雪总量造雪天数每天造雪量计算每天造雪量为50003m、52003m、65003m时，造雪天数，通过计算表中依次填52，50，40.教师活动：参与学生讨论，引导学生观察每天造雪量和造雪天数这两个量的变化规律.可以发现，造雪天数随着每天造雪量的变大而变小，而且造雪天数与每天造雪量的乘积一定，总是260000.例如，5000×52=5200×50=6500×40=260000.像这样，两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系. 本节课学习3.1列代数式表示数量关系（3）——列代数式表示反比例关系（板书课题）二、合作探究活动一：认识反比例关系问题2.什么样的两个量之间的关系叫反比例关系？如何用字母表示问题1中的两个之间的关系？学生活动：观察、猜想，用自己的语言表达？如何用字母表示问题1中两个相关联的量之间的关系？教师活动：参与学生讨论，并适时点拨引导.问题1中每天造雪量和造雪天数两个量分别用字母x、y表示，它们关系表示为：260000 yx =.问题3. 如何将两个成反比例关系的量用字母表示？学生活动：学生从问题2得到启发，进行推广，考虑如何将两个成反比例关系的量用字母表示，并用自己语言表达.教师活动：引导学生类比问题2，评价学生的讨论，并规范表达.如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的积（k是一个确定的值，且k≠0），反比例关系可以用xy k=或kyx=来表示，其中k叫作比例系数.活动二：列代数式表示反比例关系例1如图3.1-1，四个圆柱形容器内部的底面积分别为10cm²，20cm²，30cm²，60cm².分别往这四个容器中注人3003cm的水. （1）四个容器中水的高度分别是多少厘米？（2）分别用x（单位：cm²）和y（单位：cm）表示容器内部的底面积与水的高度，用式子表示y图3.1-1与x的关系，y 与x成什么比例关系？教师活动：和学生共同分析：题中涉及圆柱的体积、底面积及高三个量，它们之间具有关系：圆柱体积的体积=底面积×高，=圆柱的体积高底面积.学生活动：学生尝试解答. 教师活动：示范写出解题过程.问题4.思考：生活中，成反比例关系的例子是很常见的，例如，在购买某种物品时，总价一定，购物的数量与商品的单价成反比例关系，你还能举出一些例子吗？学生活动：列举生活中成反比例关系的例子.教师活动：对学生列举的例子加以点评，并注意和正比例关系进行类比. 再来看一个实例：例2由科学知识知道，在力F 的作用下，物体会在力F 的方向上发生位移s ，力所做的功W Fs =．当F ＝1时，s ＝7.5，试用列式表示F 与s 之间的关系．学生活动：小组讨论，先要求出功7.517.5W Fs ==⨯=，7.5Fs =，7.5F s=. 教师活动：教师对学生的活动过程加以评价，规范写出解答： ∵7.517.5W Fs ==⨯=， ∴7.5Fs =， ∴7.5F s=， ∴F 、s 之间的关系为7.5F s=； 类比正比例关系的式子.三、强化巩固 1.练习1、2、3.抽学生板演，其余学生独立完成，教师评价订正.2.拓展训练：某打印店要完成一批电脑打字任务，如果每天完成100页，需8天完成任务． (1)则每天完成的页数y 与所需天数x 之间的关系列式表示出来? (2)要求4天完成，每天应完成几页?师生共同活动：（1）运用每天完成的页数⨯所需天数=总页数进行求解； （2）将4y =代入（1）所得关系式进行求解． 【答案】（1）解：由题意得，1008xy =⨯，所以，得800yx =，每天完成的页数y与所需天数x之间关系式是800yx =；（2）由（1）题所得，800yx =，由题意得8004x=，解得200x=，∴每天应完成200页．四、总结拓展学生小组合作对知识总结：1.什么样的两个量是反比例关系；2.怎样列代数式表示两个量之间的反比例关系.学生小组合作对思想方法总结：经历抽象反比例关系和用代数式表示反比例关系的过程，能进行反比例关系的实际问题中数量关系与代数式之间的转换，建立反比例关系模型观念.五、作业布置必做作业：课本习题3.1第4、5、9题选做作业：习题3.1第11题，阅读与思考附：板书设计课题：3.1列代数式表示数量关系（3）——列代数式表示反比例关系活动一：认识反比例关系活动二：列代数式表示反比例关系例1.例2.例3.学生练习板演（拓展训练）。