2018年考研数学二真题

2018 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1~8 小题，每小题 4 分，共32 分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1（ 1）若lim( e x ax2bx) x21,则（）x 0(A) a 1， b1(B) a1,b1(C) a11, b 1 (D) a,b 1 2222（ 2）下列函数中，在x 0 处不可导的是（）(A) f x x sin x(B)f x x sin x (C)f x cos x(D)f x cos x1,x02ax, x1（ 3）设函数f (x)x,1x 0 ,若f ( x)g(x)在上连续，则（）1,x0, g ( x)Rx b, x0(A) a 3,b1(B)a3,b2 (C)a3, b1(D)a3,b2（ 4）设函数f (x)在[0,1]上二阶可导，且10,则（）f ( x)dx(A) 当f( x)0时 , f (10(B)当 f(x)0时 , f (10 ))22(C)当 f( x)0时 , f(10(D)当 f(x)0时 , f (10 ))221x21xxdx, K（ 5）设M22dx, N2 2 1cos x dx, 则（）21x2e2(A) M N K(B) M K N(C) K M N(D) K N M02x2xy)dy12x2xy)dy（ 6）dx(10dx(1（）1x x5(B)5(C)77(A)363(D)6110（ 7）下列矩阵中与矩阵01 1 相似的为（）001111101(A)011(B)0110010011 11 1 0 1(C) 01 0(D) 01 00 0 1 0 0 1（ 8）设 A, B 为n 阶矩阵，记 rX 为矩阵 X 的秩， X ,Y 表示分块矩阵，）则（(A) r A, AB r A(B)r A, BAr A(C)r A, Bmax r A ,r B(D) rA, Br A T B T二、填空题： 9~14 题，每小题 4 分，共 24 分 .（ 9） lim x 2 [arctan(x1) arctanx]x（ 10） 曲线 y x 2 2ln x 在其拐点处的切线方程是 （ 11）1dx25x 4x3（ 12） 曲线xcos 3 t ，在t 对应点处的曲率为y sin 3 t4（ 13） 设函数 zx, y 由方程 ln z e z 1xy 确定 ,则zx (2, 1 )2（ 14） 设 A 为3阶矩阵 ,1,2 , 3是线性无关的向量组 , 若 A 1 2 12则 A 的实特征值为.三、解答题： 15~23 小题，共 94 分。

18年考研数学二真题18年考研数学二真题近年来，考研已经成为了许多大学毕业生的选择之一。

其中，数学二科目一直以来都是备考生们的重点和难点。

而2018年的考研数学二真题，更是备考生们的焦点和热议话题。

本文将从题目难度、解题思路和备考建议三个方面，对这些真题进行分析和讨论。

首先，我们来看一下18年考研数学二真题的难度。

相较于往年，18年的数学二真题整体难度较高。

其中，涉及到的知识点较为广泛，考查的深度也更深。

特别是在概率论和数理统计部分，题目的难度较大，需要考生们有扎实的数学基础和解题能力。

此外，18年的数学二真题还增加了一些新的题型，如大题中的应用题和证明题，对考生们的综合能力提出了更高的要求。

接下来，我们来分析一下18年考研数学二真题的解题思路。

在面对这些难题时，考生们可以采取一些有效的解题思路。

首先，要善于总结和归纳题目中的规律和特点。

通过观察题目的形式和要求，可以找到解题的突破口。

其次，要灵活运用所学的数学知识。

考生们要将数学知识应用到具体的问题中，进行分析和推理。

同时，还要善于运用数学方法和技巧，提高解题的效率和准确性。

最后，要注重实际问题的解决能力。

数学不仅仅是一门学科，更是一种思维方式和解决问题的工具。

考生们要将数学与实际问题相结合，培养自己的分析和判断能力。

最后，我们给考生们一些建议，帮助他们更好地备考数学二科目。

首先，要合理安排备考时间。

考研备考是一个长期的过程，要有耐心和恒心。

考生们可以根据自己的实际情况，制定出科学合理的备考计划。

其次，要注重基础知识的复习和巩固。

数学二科目的题目往往需要运用到基础知识，所以要将基础知识掌握牢固。

此外，要多做真题和模拟题，提高解题的能力和熟练度。

最后，要注重综合能力的培养。

数学二科目不仅仅是计算和推理，还需要考生们具备一定的综合能力。

考生们可以通过参加数学竞赛和解决实际问题来提高自己的综合能力。

综上所述，18年考研数学二真题的难度较高，需要考生们具备扎实的数学基础和解题能力。

数学二线性代数（22）（本题满分11分）（2018）2221231232313(,,)(,)()(),.f x x x x x x x x x ax a =-+++++设实二次型其中是参数 (I) 123(,,)0f x x x =求的解；(II) 123(,,)f x x x 求的规范形.（23）（本题满分11分） （2018）1212=130=011.27111a a a A B a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭已知是常数，且矩阵可经初等列变换化为矩阵(I) ;a 求(II) .AP B P =求满足的可逆矩阵（22）（本题满分11分）（2017）三阶行列式123(,,)A ααα=有3个不同的特征值，且3122ααα=+（1）证明()2r A =（2）如果123βααα=++求方程组Ax b = 的通解（23）（本题满分11分）（2017）设二次型132221232121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准型为221122y y λλ+ 求a 的值及一个正交矩阵Q .（22）（本题满分11分）（2016）设矩阵11110111a A a a a -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪++⎝⎭，0122a β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，且方程组Ax β=无解。

（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求方程组T TA Ax A β=的通解。

（23）（本题满分11分）（2016） 已知矩阵011230000A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭（Ⅰ）求99A（Ⅱ）设3阶矩阵123(,,)B ααα=满足2B BA =。

记100123(,,)B βββ=，将123,,βββ分别表示为123,,ααα的线性组合。

22、（本题满分11分）（2015）设矩阵111100a A a a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,且O A =3.（1）求a 的值；（2）若矩阵X 满足E E AXA AX XA X ,22=+--为3阶单位矩阵，求X 。

2018年考研数学二真题2018年考研数学二真题是考研数学考试中的一套真题，包含一系列的数学问题，主要涵盖代数、几何、概率与统计等数学领域。

接下来，我们将逐一讨论这些问题，帮助大家更好地理解和应对这些数学难题。

第一部分：代数（共7题）第一题：已知二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象关于原点对称，且有两个相异的实根x1和x2。

（1）若a+b+c=4，则a=_______。

（2）若x1=2，则a+b+c=_______。

解析：此题考查二次函数对称轴与实根之间的关系。

根据题意，已知二次函数关于原点对称，故对称轴必过原点，因此，二次函数的对称轴方程为x=0。

又根据题意，已知二次函数有两个相异的实根x1和x2，则其解必为x=0的根，即x1=-x2。

根据二次函数求解根的公式可得：x1=-b/2a=-x2。

则有b=0。

将b=0代入a+b+c=4，可得a+c=4。

根据题意，若x1=2时，则二次函数的另一个实根为x2=-2。

代入y=ax^2+bx+c中，可得4a-2c=4。

联立求解方程组，解得a=1，c=3。

所以，答案为：（1）a=1；（2）a+b+c=4+0+3=7。

第二题：设a，b为正实数，且满足a<b，则下列不等式成立的是（）。

（A）loga(b+1)>1（B）log(b+1)/loga<b（C）logb(a+1)>1（D）log(a+1)/logb<b解析：此题考查对数函数的性质。

对数函数的性质有：loga(m*n)=loga(m)+loga(n)、loga(m/n)=loga(m)-loga(n)等。

对于选项（A），我们可以进行如下推导：loga(b+1)>1等价于 a^1 < b+1即 a < b+1由a < b，得出 a < b+1，故选项（A）成立。

对于选项（B），我们可以进行如下推导：log(b+1)/loga < b等价于 log(b+1) < b*loga即 log(b+1) < loga^b由于已知a<b，那么 a^b < b^b，进而 loga^b < logb^b，所以 loga^b 还是小于log(b+1)的。

2018考研数学二真题答案解析：二重积分来源：文都教育在2018考研数学（二）的真题中，二重积分的题型十分新颖（第17题），难度大，文都教育的数学老师给出该题的解析：17.（本题满分10分）设平面区域D 由曲线sin ,2π1cos x t t t y t =-⎧≤≤⎨=-⎩（0）与x 轴围成，计算二重积分(2)d d Dx y x y +⎰⎰。

解：（利用形心坐标）d d d d d d d d D D D D x x y x x x y x x y x y=⇒=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰， 而πx =，于是()()2π0d d πd d π1cos d sin D D x x y x y t t t ==--⎰⎰⎰⎰⎰()()2π2π2200π1cos d π12cos cos d t t t t t =-=-+⎰⎰22001cos 2π22sin 2t t dt πππ+⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎰ 2π201sin 22π2π03π2t t ⎡⎤+⎢⎥=++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦2π()2π2()00002d d d 2d d y x y x D y x y x y y y x ==⎰⎰⎰⎰⎰ 2π2π2200()d (1cos ).(sin )y x x t d t t ==--⎰⎰()2π2π32300(1cos )d 13cos 3cos cos d t t t t t t =-=-++⎰⎰[]()2π2π2π20001cos 23sin 3d 1sin dsin 2t t t t t t +=-+++⎰⎰ 2π+3π05π.=+=于是：()22d d 3π5π.Dx y r y +=+⎰⎰该题积分区域的上部边界曲线采用了参数方程形式，故使得这个二重积分的题型十分新颖，上述解答的思路是先不管具体的参数方程，直接化为累次积分，计算出内层积分，然后在计算外层积分时把上部曲线的参数方程代入，转化为关于t 的定积分。

目录2017年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题 (1)2018年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题 (8)2019年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题 (15)2017年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项的字母填在答题纸指定的括号内。

）1.若函数10,(), 0x f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩0x =在处连续，则（ ） A.12ab =B.12ab =-C.0ab =D.2ab =2.设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1,0,f f f f x ''=-==->且（）则（ ）. A.1-1()0f x dx >⎰B.1-1()0f x dx <⎰C.11()()f x dx f x dx ->⎰⎰ D.110()()f x dx f x dx -<⎰⎰3.设数列{}n x 收敛，则（ ）.A.n n limsin 0lim 0n n x x →∞→∞==当时，B.(lim 0lim 0n n n n x x →∞→∞==当时，C.()2lim 0lim 0n n n n n x x x →∞→∞+==当时，D.()lim sin 0lim 0n n n n n x x x →∞→∞+==当时， 4.微分方程()24+81cos2xy y y e x '''-=+的特解可设为*y =（）.A.()22cos2sin 2xx Ae e B x C x ++ B.()22cos2sin 2xx Axee B x C x ++ C.()22cos2sin 2xx Aexe B x C x ++D.()22cos2sin 2xx Axexe B x C x ++5.设(),f x y 具有一阶偏导数，且任意的(),x y 都有()(),,0,0,f x y f x y x y∂∂><∂∂则（ ）.A.()()0,01,1f f >B.()()0,01,1f f <C.()()0,11,0f f >D.()()0,11,0f f <6.甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位:m)，图中，实践表示甲的速度曲线()1v v t =（单位m/s ）,虚线表示乙的速度曲线 ()2,v v t = 三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追甲的时刻为0t (单位:s),则（ ）.A.010t =B.01520t <<C.025t =D.025t >7.设A 为3阶矩阵, ()123,,P ααα= 为可逆矩阵，使得1000010,002P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则()123A ααα++=（ ）.A.12+ααB.13+2ααC.23+ααD.13+2αα8.已知矩阵200210100021020020001001002A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，则（ ）.A. A C B C 与相似，与相似B. A C B C 与相似，与不相似C. A C B C 与不相似，与相似D. A C B C 与不相似，与不相似二、填空题（9～14小题，每小题4分，共24分。

数学二线性代数（22）（本题满分11分）（2018）2221231232313(,,)(,)()(),.f x x x x x x x x x ax a =-+++++设实二次型其中是参数 (I) 123(,,)0f x x x =求的解；(II) 123(,,)f x x x 求的规范形.（23）（本题满分11分） （2018）1212=130=011.27111a a a A B a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭已知是常数，且矩阵可经初等列变换化为矩阵(I) ;a 求(II) .AP B P =求满足的可逆矩阵（22）（本题满分11分）（2017）三阶行列式123(,,)A ααα=有3个不同的特征值，且3122ααα=+（1）证明()2r A =（2）如果123βααα=++求方程组Ax b = 的通解（23）（本题满分11分）（2017）设二次型132221232121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准型为221122y y λλ+ 求a 的值及一个正交矩阵Q .（22）（本题满分11分）（2016）设矩阵11110111a A a a a -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪++⎝⎭，0122a β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，且方程组Ax β=无解。

（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求方程组T TA Ax A β=的通解。

（23）（本题满分11分）（2016） 已知矩阵011230000A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭（Ⅰ）求99A（Ⅱ）设3阶矩阵123(,,)B ααα=满足2B BA =。

记100123(,,)B βββ=，将123,,βββ分别表示为123,,ααα的线性组合。

22、（本题满分11分）（2015）设矩阵111100a A a a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,且O A =3.（1）求a 的值；（2）若矩阵X 满足E E AXA AX XA X ,22=+--为3阶单位矩阵，求X 。

考研18数二真题答案解析考研数学二，作为考研数学中的一大难关，一直以来都是让考生们头疼的存在。

然而，只要我们掌握了一定的解题技巧和方法，相信很多看似难以突破的问题都能迎刃而解。

下面就让我们来一起解析考研数学二的真题，看看考点在哪里，有哪些值得我们关注和掌握的知识点。

首先，我们来看一下2018年考研数学二真题中的第一道选择题。

这道题是关于概率与统计的，考察了考生对于样本均值和样本方差的计算能力。

题目中给出了一组数据，然后要求我们计算样本均值和样本方差。

这两个概念在概率与统计中非常常见，它们是统计学中重要的度量指标，用来描述随机变量的分布特征。

样本均值就是一组数据的平均值，而样本方差则是一组数据与其均值之差的平方的平均值。

通过计算样本均值和样本方差，我们可以了解到一组数据的集中趋势和离散程度。

因此，对于概率与统计这一章节的学习，我们一定要牢固掌握样本均值和样本方差的计算方法。

接下来，让我们来看一下2018年数学二真题的第二道选择题。

这道题目是微积分中的极限相关的问题，考察了考生对于函数极限的理解和计算能力。

题目中给出了一个函数及其导数的表达式，然后要求我们计算函数在某一点的左右极限。

函数极限是微积分中非常重要的概念，它描述了函数在某一点趋近于无穷大或者无穷小的情况下的行为。

计算函数的极限可以帮助我们了解函数的特性和性质，并作为后续求导、积分等操作的基础。

因此，对于函数极限的计算，我们一定要有自己熟练的方法和技巧。

接下来，我们来看一下2018年数学二真题的第三道计算题。

这道题目是矩阵与线性代数相关的问题，考察了考生对于矩阵乘法的计算和分析的能力。

题目中给出了两个矩阵的表达式，然后要求我们计算这两个矩阵的乘积。

矩阵乘法是线性代数中非常重要的运算，它描述了两个矩阵之间的线性关系。

通过矩阵乘法，我们可以实现矩阵的变换和运算，解决很多实际问题。

因此，在学习线性代数的过程中，我们一定要掌握矩阵乘法的计算规则和性质。

2018全国研究生入学考试考研数学二试题本试卷满分150，考试时间180分钟一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.若1)(lim 212=++→x bx ax e xx ，则（）（A ）1,21-==b a （B ）1,21--==b a （C ）1,21==b a （D ）1,21-==b a 2.下列函数中，在0=x 处不可导的是（A ）x x x f sin )(=（B ）x x x f sin )(=（C ）xx f cos )(=（D ）xx f cos)(=3.设函数⎩⎨⎧≥-=010,1)(x x x f ，＜，⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤-=0,01,1-,2)(x b x x x x ax x g ＜＜，若)()(x g x f +在R 上连续，则（A ）1,3==b a （B ）2,3==b a （C ）1,3-==b a （D ）2,3-==b a 4.设函数)(x f 在[]1,0上二阶可导，且⎰=10)(dx x f ，则（A ）0)(＜x f '时，0)21(＜f （B ）0)(＜x f ''时，0)21(＜f （C ）0)(＞x f '时，0)21(＜f （D ）0)(＞x f ''时，0)21(＜f 5.设dx x x M ⎰-++=22221)1(ππ，dx e xN x ⎰-+=221ππ，dx x K ⎰-+=22)cos 1(ππ，则 （A ）KN M ＞＞（B ）N K M ＞＞（C ）NM K ＞＞（D ）MN K ＞＞6.=-+-⎰⎰⎰⎰----dy xy dx dy xy dx x xx x1201222)1()1(（A ）35（B ）65（C ）37（D ）677.下列矩阵中，与矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100110011相似的为（A ）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1001101-11（B ）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1001101-01（C ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000101-11（D ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000101-018.设A ，B 为n 阶矩阵，记)(x r 为矩阵X 的秩，）（Y X 表示分块矩阵，则（A ）)() (A r AB A r =（B ）)() (A r BA A r =（C ）{})(),(max ) (B r A r B A r =（D ）)() (TTB A r B A r =二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分. 9.]arctan )1[arctan(lim 2x x x x -++∞→=。

数学二高数（2018）（15）（本题满分10分）（一元函数积分学的计算）2.x e ⎰求不定积分（2018）（16）（本题满分10分）20()()()x xf x f t dt tf x t dt ax +-=⎰⎰已知连续函数满足（I ）()f x 求；（II ）()[0,1]1,.f x a 若在区间上的平均值为求的值（2018）（17）（本题满分10分）（二重积分）sin ,(02),(2).1cos Dx t t D t x x y d y t πσ=-⎧≤≤+⎨=-⎩⎰⎰设平面区域由曲线与轴围成计算二重积分（2018）（18）（本题满分10分）（一元函数微分学的应用，微分不等式）已知常数ln 2 1.k ≥-证明：2(1)(ln 2ln 1)0.x x x k x --+-≥ （2018）（19）（本题满分10分）（多元函数微分学，条件极值）2m 将长为的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形.三个图形的面积之和是否存在最.若存在，求出最小值（2018）（20）（本题满分11分）（一元函数微分学的应用）已知曲线()()24:(0),0,0,0,1.9L y x x O A P L S OA AP L =≥点点设是上的动点，是直线与直线及曲线()3,4.P x S t 所围成图形的面积，若运动到点时沿轴正向的速度是4，求此时关于时间的变化率（2018）（21）（本题满分11分）（数列存在性与计算）{}{}110,1(1,2,),lim .n n x x n n n n n x x x e e n x x +→∞>=-=L 设数列满足：证明收敛，并求求+→0lim xt x dt（16）（本题满分10分）设函数(),f u v 具有2阶连续偏导数，()y ,xf e cosx =,求dyd x x=,220d y d x x =（17）（本题满分10分）求21limln 1nn k k k n n →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑（18）（本题满分10分）已知函数)(x y 由方程023333=-+-+y x y x 确定，求)(x y 的极值 （19）（本题满分10分）设函数()f x 在[]0,1上具有2阶导数，0()(1)0,lim 0x f x f x+→><，证明 （1）方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根；（2）方程2)]([)()(x f x f x f '+'' 在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根.（20）（本题满分11分）已知平面区域(){}22,2D x y xy y =+≤，计算二重积分()21Dx dxdy +⎰⎰（2017）（21）（本题满分11分）设()y x 是区间3(0,)2内的可导函数，且(1)0y =，点P 是曲线:()L y y x =上的任意一点，L 在点P 处的切线与y 轴相交于点(0,)P Y ，法线与x 轴相交于点(,0)P X ，若p P X Y =，求L 上点的坐标(,)x y 满足的方程。