人教版高中数学必修3能力提升 3-3-2 均匀随机数的产生

解析：
序号 判断
① ×
②
③ ④ 答案：④
×
× √
原因分析 计算器可以产生[0,1]上的均匀随机数和[a， b]上的整数值随机数等 计算器不可以产生[a，b]上的均匀随机数， 只能通过线性变换得到 计算器也可以产生整数值随机数 显然正确
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 用随机模拟方法估计长度型几何概型 取一根长度为5 m的绳子,拉直后在任意位置剪断，
法二：(1)做一个带有指针的转盘，把圆周五等分，标上刻 度[0,5](这里 5 和 0 重合)； (2) 固定指针转动转盘或固定转盘旋转指针，记下指针在 [2,3]内(表示剪断绳子位置在[2,3]范围内)的次数 m 及试验 总次数 n； m (3)则概率 P(A)的近似值为 . n
【名师点评】
用均匀随机数模拟的关键是把实际问题中事
【名师点评】
解决此类问题的关键是利用随机模拟法和几
何概型的概率公式分别求出几何概率，然后通过解方程求得 相应部分面积的近似值．
跟踪训练 3．利用随机模拟法近似计算图中曲线 y＝2x与直线x＝±1及x 轴围成的图形(阴影部分)的面积．
题型三 例3
用随机模拟法近似计算不规则图形的面积 利用随机模拟法近似计算图中阴影部分 (曲线 y＝9 －
x2与x轴和y＝x围成的图形)的面积．
【解】
设事件 A 为“随机向矩形内投点，所投的点落在阴
影部分”．
(1)利用计算器或计算机产生两组 0 到 1 之间的均匀随机数， x1 ＝RAND，y1＝RAND； (2)经过伸缩平移变换，x＝6(x1－0.5)，y＝9y1； (3)统计出试验总次数 N 和满足条件 y＜9－x2 及 y＞x 的点(x， y)的个数 N1； N1 (4)计算频率 fn(A)＝ ，即为概率 P(A)的近似值． N 设阴影部分的面积为 S，矩形的面积为 9×6＝54.由几何概型 S 的概率公式得 P(A)＝ . 54 54N1 所以，阴影部分面积的近似值为：S≈ . N

§3.3.2 几何概型的应用与均匀随机数的产生1.理解并掌握几何概型的概率公式和其应用解题的关键；2.掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法；3.会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题．重点: 1.应用几何概型概率公式解决几何概型问题；2.掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法难点: 利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中．学法指导通过例题和练习在应用中巩固几何概型概率公式解题的关键(即时刻明确构成事件A 的基本要素是“点”，而试验的全部结果是一个几何图形)；通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法。

几何概型的定义，以及相关的古典概型中的随机模拟方法.例2在区间(01)，上随机取两个数m n，，求关于x的一元二次方程20x m+=有实根的概率．分析：题目中有两个随机变量，这时一般构造二维几何模型（即利用直角坐标系），将问题转化为面积型的几何概率问题求解．注：要注意对“等可能”的理解．【探究新知】我们可以利用计算器或计算机产生整数值随机数，还可以通过随机模拟方法求古典概型的概率近似值，对于几何概型，我们也可以进行上述工作.一个人到单位的时间可能是8：00～9：00之间的任何一个时刻，若设定他到单位的时间为8点过X分种，则X可以是0～60之间的任何一刻，并且是等可能的.我们称X服从[0，60]上的均匀分布，X为[0，60]上的均匀随机数.思考1：一般地，X为[a，b]上的均匀随机数的含义如何？X的取值是离散的，还是连续的？我们常用的是[0，1]上的均匀随机数，可以利用计算器产生（见教材P137）.思考2：如何利用计算机产生0～1之间的均匀随机数？计算机只能产生[0，1]上的均匀随机数，如果试验的结果是区间[a，b]上等可能出现的任何一个值，那么就需要产生[a，b]上的均匀随机数.思考3：请问你有什么好办法利用计算机来产生[2，6]上的均匀随机数？[a，b]上的均匀随机数又如何产生呢？（行胜于言，试一试吧！）【理论迁移】认真阅读思考教材137~138P例2的解析，尤其是方法二.例3在正方形中随机撒一把豆子，如何用随机模拟的方法估计圆周率的值.提示：每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，那么落在每个。

P
11515
2
9
.
2020 32
答案：9
32
2.设事件A表示“该特种兵跳伞的成绩为良好”. (1)利用计算器或计算机产生两组[0，1]上的均匀随机数，a1=RAND， b1=RAND. (2)经过伸缩和平移变换，a=16a1-8，b=14b1-7，得到[-8，8]与 [-7，7]上的均匀随机数. (3)统计满足-8<a<8，-7<b<7的点(a，b)的个数N.满足1<a2+b2<4的点 (a，b)的个数N1. (4)计算频率fn(A)= N 1 即为所求概率的近似值.
【解题指南】1.典例1中，用随机模拟方法估计面积型几何概型与长 度型几何概型有何区别? 提示：用随机模拟方法估计长度型几何概型只需产生一组均匀随机数， 而面积型几何概型需产生两组均匀随机数.
2.典例2中，利用随机模拟方法对面积型几何概型进行概率估计的关 键是什么?对于本题应如何理解? 提示：(1)关键是利用两组均匀随机数，分别表示横坐标、纵坐标， 确定点的位置. (2)本题为面积型几何概型，所求的概率为面积之比，若用随机模拟 的方法求其概率则要转化为求点数之比，要表示平面图形内的点必须 有两个坐标，故需产生两组随机数来表示点的坐标以确定点的位置.
【解析】(1)如图，设送报人到达的时间为x，小王离家去工作的时间 为y.(x，y)可以看成平面中的点，
3.3.2 均匀随机数的产生
【知识提炼】 1.均匀随机数的定义 如果试验的结果是区间[a，b]内的任何一个实数，而且出现任何一个 实数是_等__可__能__的__，则称这些实数为均匀随机数. 2.均匀随机数的特征 (1)随机数是在_一__定__范__围__内产生的. (2)在这个范围内的每一个数被取到的可能性_相__等__.

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快乐预习感知
核心知识概览
互动课堂理解
轻松尝试应用
解:(1)设甲船和乙船到达时间分别为 x, y, 则 0≤x≤24,0≤y≤24, |y-x|≥4, 分别作出区域 D1 , D2, 其中 0 ≤ ������ ≤ 24, 0 ≤ ������ < 24, D1 : 0 ≤ ������ < 24, D2 : 0 ≤ ������ ≤ 24, |������-������| ≥ 4, D1 为正方形区域(x≠24, y≠24), D2 为图(1)中的阴影部分, 设“两船 不需要等待码头空出”为事件 A, 则 P(A)=
在平面直角坐标系内,(x, y)的所有可能结果是边长为 60 的正方 形, 而事件 A“两人能够见面”的可能结果仅是阴影部分所示的区域. 由几何概型计算公式, 得 P(A )=
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用随机模拟的方法解决长度型几何概型,关键在于将对应的区 域长度转化为随机数的范围[a, b], 进而在[a, b]上产生随机数.
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二、利用坐标平面求与面积有关的几何概型的概率
活动与探究 2 甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头, 它们在 一昼夜内任何时刻到达是等可能的. (1)如果甲船和乙船的停泊时间都是 4h, 求它们中任何一条船不 需要等待码头空出的概率; (2)如果甲船的停泊时间为 4h, 乙船的停泊时间为 2h, 求它们中 任何一条船不需要等待码头空出的概率. 思路分析:设甲、乙两船到达时间分别为 x, y. 根据条件列出不等 式(组), 并在平面直角坐标系内画出不等式组表示的区域, 利用区域 的面积求解.

只不过要产生随机整数,要对计算器的有效位数进行调整, 使它小数位为0,也就是说只产生整数运算.操作：正常模 式下按MODE MODE MODE 1 0 连续按MODE键三下,在出现的选项中选择“Fix”,按键 “1”就可,在出现的选项“Fix0～9”中,按“0”键表示 只取整数位. (1)若要产生[0,1]内的随机整数,操作如下： MODE MODE MODE 1 0 SHIFT ran# = 不停地按 = 键就会产生大量的0～1之间的随机整数.
S 250 4 1 000
一、均匀随机数的产生 探究1：在古典概型中我们可以利用(整数值)随机数来模 拟古典概型的问题,那么在几何概型中我们能不能通过随 机数来模拟试验呢?如果能,如何产生区间[a,b]上的均匀随 机数? 提示：能.(1)利用计算器或计算机产生0～1之间的均匀 随机数x1=RAND. (2)利用伸缩和平移变换：x=x1(b-a)+a,得到区间[a,b]上 的均匀随机数.
类型一 均匀随机数的产生 1.设x是[0,1]内的一个均匀随机数,经过变换y=2x+3,则x= 对应变换成的均匀随机数是( ) 1 A.0 B.2 C.4 D.5
2
2.在利用随机模拟法计算如图阴影部分(曲线 y= 与x轴,x=±1围成的部分)的面积时, 需要经过伸缩变换得到两个区间 和 1 x 上的均匀随机数. ( ) 2 【解题指南】 1.利用伸缩变换公式x=x1(b-a)+a求解. 2.观察区域内点的横、纵坐标的取值范围.
(2)若要产生[M,N]内的随机整数,操作如下： MODE MODE MODE 1 0 SHIFT ran# × ( N - M ) + M = 不停地按 = 键就会产生大量的M～N之间的随机整数.
(3)若要产生[M,N]之间的实数(均匀随机数) 首先恢复正常模式,即取消刚才的“整数”运算模式,操 作如下： SHIFT CLR 3 (恢复正常模式) SHIFT ran# ( N-M ) + M = 不停地按 = 键就会产生大量的M～N之间的均匀随机数.

y＝2x与x轴、x＝±1围成的部分)的面积.
反思与感
解析答案
跟踪训练2
利用随机模拟的方法近似计算边长为 2的正方形
ห้องสมุดไป่ตู้
内切圆的面积，如图，并估计圆周率π的近似值.
解析答案
题型三 几何概型的应用问题 例3 甲、乙两人约定在 6时到7时之间在某处会 面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即 可离去.求两人能会面的概率.
等可能取值，不同点是均匀随机数可以取区间内的任意一个 实数，整数值随机数只取区间内的整数. 2.利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求 概率、面积、参数值等一系列问题，体现了数学知识的应用 价值.
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本课结束
解析答案
1 2 3 4 5
5.利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a－1＜
1 0”的概率为________. 3
解析 已知0≤a≤1，事件“3a－1＜0”发生时，1 0＜a＜ ，
3
1 . 由几何概型得其概率为 3
解析答案
课堂小 结 1.在区间[a，b]上的均匀随机数与整数值随机数的共同点都是
”.
答案
3.用模拟的方法近似计算某事件概率的方法 (1)试验模拟的方法：制作两个转盘模型，进行模拟试验，并统计 试验结果.
(2) 计算机模拟的方法：用 Excel软件产生 [0,1] 区间上均匀随机数
进行模拟. (注意操作步骤). 4.[a，b]上均匀随机数的产生 利用计算器或计算机产生 [0,1] 上的均匀随机数 x ＝ RAND ，然后 x1*(b-a)+a 利用伸缩和平移交换， x＝ 实数都是等可能出现的.
把[0,1]内的均匀随机数转化为[－2,6]内的均匀随 )

3.3.2均匀随机数的产生一、学习目标：1、知识与技能：（1）了解均匀随机数的概念；（2）掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法； （3）会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题．2、过程与方法：（1）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。

3、情感态度与价值观：本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯。

二、重点与难点：利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中． 三、学法：通过对本节知识的探究与学习，感知用图形解决概率问题的方法，掌握数学思想与逻辑推理的数学方法． 四、学习设想： 1、课前回顾：（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型； （2）几何概型的概率公式： P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ；（3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等． 2、例题分析： 课本例题略例1 取一根长度为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m 的概率有多大？分析：在任意位置剪断绳子，则剪断位置到一端点的距离取遍[0，3]内的任意数，并且每一个实数被取到都是等可能的。

因此在任意位置剪断绳子的所有结果（基本事件）对应[0，3]上的均匀随机数，其中取得的[1，2]内的随机数就表示剪断位置与端点距离在[1，2]内，也就是剪得两段长都不小于1m 。

这样取得的[1，2]内的随机数个数与[0，3]内个数之比就是事件A 发生的概率。

解法1：（1）利用计算器或计算机产生一组0到1区间的均匀随机数a 1=RAND ． （2）经过伸缩变换，a=a 1*3．（3）统计出[1，2]内随机数的个数N 1和[0，3] 内随机数的个数N ． （4）计算频率f n (A)=NN 1即为概率P （A ）的近似值． 解法2：做一个带有指针的圆盘，把圆周三等分，标上刻度[0，3]（这里3和0重合）．转动圆盘记下指针在[1，2]（表示剪断绳子位置在[1，2]范围内）的次数N 1及试验总次数N ，则f n (A)=NN 1即为概率P （A ）的近似值． 小结：用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A 及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围。

解析 随机模拟法求其概率，只是对概率的估计.
解析答案
1 2345
5.设x是[0,1]内的一个均匀随机数，经过变换y＝2x＋3，则x＝12对应变换 成的均匀随机数是( C )
A.0
B.2
C.4
D.5
答案
规律与方法
1.在区间[a，b]上的均匀随机数与整数值随机数的共同点都是等可能取值， 不同点是均匀随机数可以取区间内的任意一个实数，整数值随机数只取 区间内的整数. 2.利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、面积、 参数值等一系列问题，体现了数学知识的应用价值.
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【学习力-学习方法】
优秀同龄人的陪伴 让你的青春少走弯路
小案例—哪个是你
忙忙叨叨，起早贪黑， 上课认真，笔记认真， 小A 就是成绩不咋地……
好像天天在玩， 上课没事儿还调皮气老师， 笔记有时让人看不懂， 但一考试就挺好…… 小B
目 录/contents
1. 什么是学习力 2. 高效学习模型 3. 超级记忆法 4. 费曼学习法
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆规律
记忆后
选择巩固记忆的时间 艾宾浩斯遗忘曲线
超级记忆法-记忆规律
TIP1：我们可以选择巩固记忆的时间！ TIP2：人的记忆周期分为短期记忆和长期记忆两种。 第一个记忆周期是 5分钟 第二个记忆周期是30分钟 第三个记忆周期是12小时 这三个记忆周期属于短期记忆的范畴。
为啥总是听懂了， 但不会做，做不好？
高效学习模型-内外脑模型
2
内脑-思考内化
思 维 导 图 &超 级 记 忆 法 &费 曼 学 习 法
1
外脑-体系优化
知 识 体 系 &笔 记 体 系

第三章
概率
3．3 几何概型
3.3.2 均匀随机数的产生
[目标] 1.会求几何概型的概率；2.知道均匀随机数产生的方 法及在几何概型中的应用；3.能利用几何概型估计不规则图形的 面积．
[重点] 几何概型的概率的求解及几何概型的应用． [难点] 均匀随机数的产生及应用．
要点整合夯基础 课堂达标练经典
5．取一根长为 3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，利用 随机模拟法求剪得两段的长都不小于 1 m 的概率有多大？
解：方法 1：(1)利用计算器或计算机产生一组[0,1]上的均匀 随机数，a1＝RAND.
(2)经过伸缩变换，a＝a1]N1,N)即为概率 P(A)的近似值． 方法 2：做一个带有指针的圆盘，把圆周三等分，标上刻度 [0,3](这里 3 和 0 重合)．转动圆盘记下指针在[1,2](表示剪断绳子 位置在[1,2]范围内)的次数 N1 及试验总次数 N，则 fn(A)＝NN1即为 概率 P(A)的近似值．
1．几何概型中的试验结果是( A )
A．无限多个
B．有限个
C．非等可能的 D．不能确定
解析：几何概型中的试验结果有无限多个，故选 A.
2．几何概型的随机模拟试验中，得到阴影内的样本点数为
N1，试验次数为 N，则下列说法正确的是( B )
A．N1 与 N 的大小无关 B.NN1是试验中的频率
C.NN1是试验中的概率
[变式训练 3] 利用随机模拟的方法近似计算图中阴影部分 (y＝log2x 与 y 轴及 y＝±1 围成的图形)的面积．
解：(1)利用计算器或计算机产生两组[ 0,1] 上的均匀随机数 a1，b1.
(2)经过伸缩变换，a＝a1]N1,N)就是点落在阴影部分的概率 的近似值．

-3-
在所求面积区域内的样本点数为 65,已知最后两次试验的随机数 a1=0.3,b1=0.8 及 a1=0.4,b1=0.3,
那么本次模拟得出的面积的近似值为
.
解析由 a1=0.3,b1=0.8,得 a=-0.8,b=3.2,(-0.8,3.2)落在 y=x2 与 y=4 围成的区域内;由 a1=0.4,b1=0.3,
得 a=-0.4,b=1.2,(-0.4,1.2)落在 y=x2 与 y=4 围成的区域内,所以本次模拟得出的面积的近似值为
16×16070=10.72.
答案 10.72 3.
设函数 y=f(x)在区间[0,1]上的图象是连续不断的一条曲线,且恒有 0≤f(x)≤1,可以用随机模拟
方法近似计算由曲线 y=f(x)及直线 x=0,x=1,y=0 所围成部分的面积 S.先产生两组(每组 N 个)0~1
利用随机模拟方法计算下图中阴影部分(y=1 和 y=x2 所围成的部分)的面积. 解(1)利用计算机产生两组[0,1]区间的均匀随机数,a1=RAND,b=RAND;
(2)进行平移和伸缩变换,a=2(a1-0.5); (3)数出落在阴影内(即满足 0<b<1 且 b-a2>0)的样本点数 N1,用几何概型公式计算阴影部分 的面积.
A.a=7a1
B.a=7a1+3
C.a=7a1-3
D.a=4a1
解析根据伸缩平移变换,a=a1·[4-(-3)]+(-3)=7a1-3,故选 C.
答案 C
2.利用随机模拟方法计算 y=x2 与 y=4 围成的面积时,利用计算器产生两组 0~1 之间的均匀随机
数 a1=RAND,b1=RAND,然后进行平移与伸缩变换,a=4a1-2,b=4b1,试验进行 100 次,前 98 次中落

（2）选定D1格，键入“=A1-B1”，按Enter键. 再选定Dl格，拖动至D100，则在D1～D10000
的数为X-Y的值；
（3）选定E1格，键入“=FREQUENCY（D1：D100，0.5）”，统计D列中小于0.5的数的频数；
用模拟法估计面积型几何概率
例3、 在下图的正方形中随机撒一把豆子，如何用随机模拟的方法估计圆周率的值.
用Excel演示.
（1）选定Al格，键人“＝RAND（）”，按Enter键，则在此格中的数是随机产生的[0，1]上的
均匀随机数；
（2）选定Al格，点击复制，然后选定要产生随机数的格，比如A2～A100，点击粘贴，则在
A1～A100的数都是[0，1]上的均匀随机数.这样我们就很快就得到了100个0～1之间的均匀随
随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何
一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个
区 域 的 面 积 近 似 成 正 比 ， 即
圆的面积
落在圆中的豆子数
≈
.
正方形的面积 在正方形中的豆子数
设正方形的边长为2，则圆半径为1，
圆的面积
落在圆中的豆子数
π
π
则
＝
＝ ， 所以 π≈
×4.
正方形的面积 2×2 4
1
1
1
1
7



2
2
2
8
用模拟法估计面积型几何概率
（2）随机模拟的方法；
（一）、做两个带有分针的圆盘,标上时间,分别旋转两个圆盘,记下父亲在离家前能得到报纸的次
父亲在离家前能得到报纸的次数
.
试验的总次数
数,则P(A)＝
用模拟法估计面积型几何概率

高考数学课题：3.3.2 均匀随机数的产生教学目标：1.通过模拟试验,感知应用数字解决问题的方法,了解均匀随机数的概念；掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法；自觉养成动手、动脑的良好习惯.2.会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题,理解随机模拟的基本思想是用频率估计概率.学习时养成勤学严谨的学习习惯,培养逻辑思维能力和探索创新能力.教学重点：掌握［0,1］上均匀随机数的产生及［a,b］上均匀随机数的产生.学会采用适当的随机模拟法去估算几何概率.教学难点：利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中.教学方法：讲授法课时安排1课时教学过程：一、导入新课1、复习提问：（1）什么是几何概型？（2）几何概型的概率公式是怎样的？（3）几何概型的特点是什么？2、在古典概型中我们可以利用（整数值）随机数来模拟古典概型的问题,那么在几何概型中我们能不能通过随机数来模拟试验呢？如果能够我们如何产生随机数？又如何利用随机数来模拟几何概型的试验呢？引出本节课题：均匀随机数的产生.二、新课讲授：提出问题(1)请说出古典概型的概念、特点和概率的计算公式？(2)请说出几何概型的概念、特点和概率的计算公式？(3)给出一个古典概型的问题,我们除了用概率的计算公式计算概率外,还可用什么方法得到概率？对于几何概型我们是否也能有同样的处理方法呢？(4)请你根据整数值随机数的产生,用计算器模拟产生［0,1］上的均匀随机数.(5)请你根据整数值随机数的产生,用计算机模拟产生［0,1］上的均匀随机数.(6)［a,b］上均匀随机数的产生.活动：学生回顾所学知识,相互交流,在教师的指导下,类比前面的试验,一一作出回答,教师及时提示引导.讨论结果：(1)在一个试验中如果a.试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）b.每个基本事件出现的可能性相等.（等可能性）我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型（classical models of probability）,简称古典概型.古典概型计算任何事件的概率计算公式为：P（A）=基本事件的总数数所包含的基本事件的个A.(2)对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一个点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.几何概型的基本特点：a.试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；b.每个基本事件出现的可能性相等.几何概型的概率公式：P （A ）=)()(面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成面积或体积的区域长度构成事件A . (3)我们可以用计算机或计算器模拟试验产生整数值随机数来近似地得到所求事件的概率,对于几何概型应当也可.(4)我们常用的是［0,1］上的均匀随机数.可以利用计算器来产生0—1之间的均匀随机数(实数),方法如下：试验的结果是区间［0,1］内的任何一个实数,而且出现任何一个实数是等可能的,因此,就可以用上面的方法产生的0—1之间的均匀随机数进行随机模拟.(5)a.选定A1格,键入“=RAND（）”,按Enter 键,则在此格中的数是随机产生的［0,1］之间的均匀随机数.b.选定A1格,按Ctrl+C 快捷键,选定A2—A50,B1—B50,按Ctrl+V 快捷键,则在A2—A50, B1—B50的数均为［0,1］之间的均匀随机数.(6)［a,b ］上均匀随机数的产生：利用计算器或计算机产生［0,1］上的均匀随机数X=RAND,然后利用伸缩和平移变换,X=X*(b-a)+a 就可以得到［a,b ］上的均匀随机数,试验结果是［a,b ］内任何一实数,并且是等可能的.这样我们就可以通过计算机或计算器产生的均匀随机数,用随机模拟的方法估计事件的概率.三、例题讲解：例1 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6：30—7：30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7：00—8：00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A ）的概率是多少？活动：用计算机产生随机数模拟试验,我们可以利用计算机产生0—1之间的均匀随机数,利用计算机产生B 是0—1的均匀随机数,则送报人送报到家的时间为B+6.5,利用计算机产生A 是0—1的均匀随机数,则父亲离家的时间为A+7,如果A+7＞B+6.5,即A ＞B-0.5时,事件E={父亲离家前能得到报纸}发生.也可用几何概率的计算公式计算.解法一：1.选定A1格,键入“=RAND （）”,按Enter 键,则在此格中的数是随机产生的［0,1］之间的均匀随机数.2.选定A 1格,按Ctrl+C 快捷键,选定A2—A50,B1—B50,按Ctrl+V 快捷键,则在A2—A50,B1—B50的数均为［0,1］之间的均匀随机数.用A 列的数加7表示父亲离开家的时间,B 列的数加6.5表示报纸到达的时间.这样我们相当于做了50次随机试验.3.如果A+7>B+6.5,即A-B>-0.5,则表示父亲在离开家前能得到报纸.4.选定D1格,键入“=A1-B1”；再选定D1,按Ctrl+C,选定D2—D50,按Ctrl+V.5.选定E1格,键入频数函数“=FREQUENCY（D1：D50,-0.5）”,按Enter键,此数是统计D 列中,比-0.5小的数的个数,即父亲在离开家前不能得到报纸的频数.6.选定F1格,键入“=1-E1/50”,按Enter键,此数是表示统计50次试验中,父亲在离开家前能得到报纸的频率.解法二：（见教材138页）例2 在如下图的正方形中随机撒一把豆子,用计算机随机模拟的方法估算圆周率的值.解法1：（见教材139页）解法2：（1）用计算机产生两组［0,1］内均匀随机数a1=RAND（）,b1=RAND（）. （2）经过平移和伸缩变换,a=(a1-0.5)*2,b=(b1-0.5)*2.（3）数出落在圆x2+y2=1内的点（a,b）的个数N1,计算π=NN14（N代表落在正方形中的点（a,b）的个数）.点评：可以发现,随着试验次数的增加,得到圆周率的近似值的精确度会越来越高,利用几何概型并通过随机模拟的方法可以近似计算不规则图形的面积.例3 利用随机模拟方法计算下图中阴影部分（y=1和y=x2所围成的部分）的面积.解：（略）四、课堂练习：教材140页练习：1、2五、课堂小结：均匀随机数在日常生活中有着广泛的应用,我们可以利用计算器或计算机来产生均匀随机数,从而来模拟随机试验,其具体方法是：建立一个概率模型,它与某些我们感兴趣的量（如概率值、常数）有关,然后设计适当的试验,并通过这个试验的结果来确定这些量.六、课后作业：1、课本习题3.3B组题.2、复习本章板书设计教学反思：3.3.2 均匀随机数的产生1、利用计算器来产生0—1之间的均匀随机数2、例题讲解。

用随机模拟方法估计面积型几何概型的概率
学法指导 用随机模拟方法估计长度型与面积型几何概型的概率的 区别与联系： (1)联系：二者模拟试验的方法和步骤基本相同，都需 产生随机数；
(2)区别：长度型几何概型只要产生一组均匀随机数即 可，所求事件的概率为表示事件的长度之比，对面积型几何 概型问题，一般需要确定点的位置，而一组随机数是不能在 平面上确定点的位置的，故需要利用两组均匀随机数分别表 示点的两个坐标，从而确定点的位置，所求事件的概率为点 的个数比．
(2)进行平移和伸缩变换，a＝2(a1－0.5)，b＝2b1，得到 一组[－1,1]内的均匀随机数和一组[0,2]内的均匀随机数．
(3)统计试验总数N和落在阴影内的点数N1[满足条件b<2a 的点(a，b)的个数]．
(4)计算频率NN1，即为点落在阴影部分的概率的近似值． (5)用几何概率公式求得点落在阴影部分的概率为P＝ S4 ， 则NN1＝S4. 故S＝4NN1，即阴影部分面积的近似值为4NN1.
数和[a，b]上的整数值随机数等
计算器不可以产生[a，b]上的均匀 ②×
随机数，只能通过线性变换得到
③ × 计算器可以产生整数值随机数
④ √ 显然正确
规纳总结：随机数的产生还可以通过人工操作．例 如：抽签、摸球、转盘等方面，但这样做费时费力，用计算 机可产生大量的随机数，又可以自动统计试验结果，同时可 以在短时间内多次重复试验，方便快捷．因此，我们现在主 要是通过计算器或计算机来产生随机数．
[分析] 本题为面积型几何概型，所求的概率为面积之 比，若用随机模拟的方法求其概率则要转化为求点数之比， 要表示平面图形内的点必须有两个坐标，故需产生两组随机 数来表示点的坐标以确定点的位置．
[解析] 设事件A表示“该特种兵跳伞的成绩为良好”． (1)利用计算器或计算杌产生两组[0,1]上的均匀随机数， a1＝RAND, b1＝RAND. (2)经过伸缩和平移变换，a＝16a1－8,6＝14b1－7，得到 [－8,8]与[－7,7]上的均匀随机数． (3)统计满足－8<a<8，－7<b<7的点(a，b)的个数N.满足 1<a2＋b2<4的点(a，b)的个数N1. (4)计算频率fn(A)＝NN1即为所求概率的近似值．

2019-2020年人教版高中数学必修三教案：3-3-2 均匀随机数的产生
试验的结果是区间［0,1］内的任何一个实数,而且出现任何一个实数是因此,就可以用上面的方法产生的0—1之间的均匀随机数进行
A+7>B+6.5,即A-B>-0.5,则表示父亲在离开家前能得到报纸格,键入“=A1-B1”；再选定D1,按Ctrl+C,选定
键入频数函数“=FREQUENCY（D1：D50,-0.5）”,按
此数是统计D列中,比-0.5小的数的个数,即父亲在离开家前不能得到键入“=1-E1/50”,按Enter键,此数是表示统计
以横坐标X 表示报纸送到时间,以纵坐标Y 表示父亲离家时间建立平面直角坐标系,父亲在离开家前能得到报纸的事件构成区域是下
由于随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的根据题意,只要点落到阴影部分,就表示父亲在离开家前能
72121211=⨯⨯-每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的
在坐标系中画出矩形（
利用模拟的方法根据落在阴影部分的“豆子”数和落在矩形等于阴影面积与矩形面积的比值
答：硬币完全落入圆内的概率为
9
4. 为钝角三角形的概率；
为锐角三角形的概率.。

第三章
概率
3.3.2
均匀随机数的产生
第三章
概率
1.能够利用随机模拟试验估计事件的概率 . 2.了解把未知量的估计问题转化为随机模拟问题 . 3.会根据题目条件合理设计简单的随机模拟试验 .
第三章
概率
均匀随机数
任意实数 ，并且出现每一个实 定义：如果试验的结果是在区间[a，b]上的__________ 等可能 的，则称这些实数为均匀随机数. 数都是________
第三章
概率
解析：
记事件 A＝{投中小圆内}，
事件 B＝{投中小圆与中圆形成的圆环 }.按如下步骤进行： (1)用计算机产生两组 [0， 1]上的均匀随机数， a1＝RAND，b1＝RAND； (2)经过伸缩和平移变换，a＝a1· 32－16，b＝ b1·32－ 16，得到两组 [－ 16， 16]上的均匀随机数； (3)统计投在小圆内的次数 N1(即满足 a2＋ b2＜ 9 的点 (a， b)的个数 )，投中小 圆与中圆形成的圆环的次数 N2(即满足 9＜a2＋ b2＜ 36 的点(a， b)的个数)，投中 木板的总次数 N(即满足－ 16＜ a＜16，－ 16＜ b＜ 16 的点 (a， b)的个数 )； N1 N2 (4)计算频率 fn(A)＝ ，fn(B)＝ ，即分别为概率 P(A)， P(B)的近似值 . N N
第三章
概率
[归纳升华] 利用随机模拟计算概率的步骤 (1)确定概率模型； (2)进行随机模拟试验，即利用计算器等以及伸缩和平移变换得到[a，b]上的 均匀随机数； (3)统计计算； (4)得出结论，近似求得概率.
第三章
概率
1.已知米粒等可能地落入如图所示的四边形 ABCD 内， 如果通过大量的实验 4 发现米粒落入△BCD 内的频率稳定在 附近， 那么点 A 和点 C 到直线 BD 的距离 9 之比约为 .

【成才之路】2014高中数学 3-3-2 均匀随机数的产生能力强化提升 新人教A 版必修3一、选择题1．用均匀随机数进行随机模拟，可以解决( ) A ．只能求几何概型的概率，不能解决其他问题 B ．不仅能求几何概型的概率，还能计算图形的面积 C ．不但能估计几何概型的概率，还能估计图形的面积 D ．最适合估计古典概型的概率 [答案] C[解析] 很明显用均匀随机数进行随机模拟，不但能估计几何概型的概率，还能估计图形的面积，但得到的是近似值，不是精确值，用均匀随机数进行随机模拟，不适合估计古典概型的概率．2．给出下列关系随机数的说法： ①计算器只能产生(0,1)之间的随机数；②我们通过RAND*(b －a )＋a 可以得到(a ，b )之间的随机数； ③计算器能产生指定两个整数值之间的取整数值的随机数． 其中说法正确的是( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个[答案] C3．用随机模拟方法求得某几何概型的概率为m ，其实际概率的大小为n ，则( ) A ．m >n B ．m <nC ．m ＝nD ．m 是n 的近似值 [答案] D4．在线段AB 上任取三个点x 1，x 2，x 3，则x 2位于x 1与x 3之间的概率是( ) A.12 B.13 C.14 D ．1 [答案] B[解析] 因为x 1，x 2，x 3是线段AB 上任意的三个点，任何一个数在中间的概率相等且都是13.5．设x 是[0,1]内的一个均匀随机数，经过变换y ＝2x ＋3，则x ＝12对应变换成的均匀随机数是( )A ．0B ．2C ．4D ．5[答案] C[解析] 当x ＝12时，y ＝2×12＋3＝4.6．把[0,1]内的均匀随机数分别转化为[0,4]和[－4,1]内的均匀随机数，需实施的变换分别为( )A ．y ＝－4x ，y ＝5－4B ．y ＝4x －4，y ＝4x ＋3C ．y ＝4x ，y ＝5x －4D ．y ＝4x ，y ＝4x ＋3 [答案] C7．一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30 s ，黄灯亮的时间为5 s ，绿灯亮的时间为40 s ，当你到达路口时，事件A 为“看见绿灯”、事件B 为“看见黄灯”、事件C 为“看见不是绿灯”的概率大小关系为( )A ．P (A )>P (B )>P (C ) B ．P (A )>P (C )>P (B ) C ．P (C )>P (B )>P (A )D ．P (C )>P (A )>P (B ) [答案] B8．如图所示，在墙上挂着一块边长为16 cm 的正方形木块，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2 cm,4 cm,6 cm ，某人站在3 m 之外向此板投镖，设镖击中线上或没有投中木板时不算，可重投，记事件A ＝{投中大圆内}，事件B ＝{投中小圆与中圆形成的圆环内}， 事件C ＝{投中大圆之外}．(1)用计算机产生两组[0,1]内的均匀随机数，a 1＝RAND ，b 1＝RNAD.(2)经过伸缩和平移变换，a ＝16a 1－8，b ＝16b 1－8，得到两组[－8,8]内的均匀随机数．(3)统计投在大圆内的次数N 1(即满足a 2＋b 2<36的点(a ，b )的个数)，投中小圆与中圆形成的圆环次数N 2(即满足4<a 2＋b 2<16的点(a ，b )的个数)，投中木板的总次数N (即满足上述－8<a <8，－8<b <8的点(a ，b )的个数)．则概率P (A )、P (B )、P (C )的近似值分别是( ) A.N 1N ，N 2N ，N －N 1NB.N 2N ，N 1N ，N －N 2NC.N 1N ，N 2－N 1N ，N 2ND.N 2N ，N 1N ，N 1－N 2N[答案] A[解析] P (A )的近似值为N 1N ，P (B )的近似值为N 2N ，P (C )的近似值为N －N 1N. 二、填空题9．设函数y ＝f (x )在区间[0,1]上的图像是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f (x )≤1，可以用随机模拟方法近似计算由曲线y ＝f (x )及直线x ＝0，x ＝1，y ＝0所围成部分的面积S .先产生两组(每组N 个)区间[0,1]上的均匀随机数x 1，x 2，…，x N 和y 1，y 2，…，y N ，由此得到N 个点(x i ，y i )(i ＝1,2，…N )．再数出其中满足y i ≤f (x i )(i ＝1,2，…，N )的点数N 1，那么由随机模拟方法可得到S 的近似值为________．[答案]N 1N[解析] 这种随机模拟的方法，是在[0,1]内生成了N 个点，而满足几条曲线围成的区域内的点是N 1个，所以根据比例关系SS 矩形＝N 1N，而矩形的面积为1，所以随机模拟方法得到的面积为N 1N.10．(2012～2013·福建四地六校联考高二检测)设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能任取一点与A 连接，则弦长超过半径2倍的概率为________．[答案] 12[解析] 如图所示，在圆周上过定点A 作弦AB ＝AC ＝2r ，则BC 是圆的一条直径．当取的点在BC 上方时满足了弦长大于半径的2倍，所以P ＝12.11．在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，则AM >AC 的概率是________． [答案] 1－22[解析] 设CA ＝CB ＝m (m >0)，则AB ＝2m . 设事件M ：AM >AC ，即P (M )＝AB －AC AB ＝2m －m 2m＝1－22. 12．某人从甲地去乙地共走了500 m ，途中要过一条宽为x m 的河流，他不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能被找到的概率为45，则河宽为________m.[答案] 100[解析] 已知河宽为x m ，由题意得1－x 500＝45，则x ＝100.三、解答题13．在长为14 cm 的线段AB 上任取一点M ，以A 为圆心，以线段AM 为半径作圆．用随机模拟法估算该圆的面积介于9π cm 2到16π cm 2之间的概率．[分析] 圆的面积只与半径有关，故此题为与长度有关的几何概型．解答本题时只需产生一组均匀随机数．[解析] 设事件A 表示“圆的面积介于9π cm 2到16π cm 2之间”． (1)利用计算器或计算机产生一组[0,1]上的均匀随机数a 1＝RAND ； (2)经过伸缩变换a ＝14a 1得到一组[0,14]上的均匀随机数；(3)统计出试验总次数N 和[3,4]内的随机数个数N 1(即满足3≤a ≤4的个数)； (4)计算频率f n (A )＝N 1N，即为概率P (A )的近似值．14．设有一个正方形网格，其中每个最小正方形的边长都等于6 cm ，现用直径等于2 cm 的硬币投掷到网格上，用随机模拟方法求硬币落下后与格线有公共点的概率．[解析] 记事件A ＝{硬币与格线有公共点}， 设硬币中心为B (x ，y )．步骤：(1)利用计算机或计算器产生两组0到1之间的均匀随机数，x 1＝RAND ，y 1＝RAND. (2)经过平移，伸缩变换，则x ＝(x 1－0.5)*6，y ＝(y 1－0.5)*6，得到两组[－3,3]内的均匀随机数．(3)统计试验总次数N 及硬币与格线有公共点的次数N 1(满足条件|x |≥2或|y |≥2的点(x ，y )的个数)．(4)计算频率N 1N，即为硬币落下后与格线有公共点的概率．15．用随机模拟方法求函数y ＝x 与x 轴和直线x ＝1围成的图形的面积．[分析] 将问题转化为求在由直线x ＝1，y ＝1和x 轴，y 轴围成的正方形中任取一点，该点落在已知图形内的概率．用随机模拟方法来估计概率即可．[解析] 如图所示，阴影部分是函数y ＝x 的图象与x 轴和直线x ＝1围成的图形，设阴影部分的面积为S .随机模拟的步骤：(1)利用计算机产生两组[0,1]内的均匀随机数，x 1＝RAND ，y 1＝RAND ；(2)统计试验总次数N 和落在阴影内的点数N 1(满足条件y <x 的点(x ，y )的个数)； (3)计算频率N 1N，即为点落在阴影部分的概率的近似值；(4)直线x ＝1，y ＝1和x ，y 轴围成的正方形面积是1，由几何概型公式得点落在阴影部分的概率为S1＝S .则S ＝N 1N ，即阴影部分面积的近似值为N 1N.16．现向如图所示正方形内随机地投掷飞镖，用随机模拟的方法计算飞镖落在阴影部分的概率，阴影部分由直线6x －3y －4＝0和x ＝1，y ＝－1围成．[分析] 要确定飞镖落点位置，需要确定两个坐标x 、y ，可用两组均匀随机数来表示点的坐标．[解析] 记事件A ＝{飞镖落在阴影部分}．(1)用计算机或计算器产生两组[0,1]上的均匀随机数，x 1＝RAND ，y 1＝RAND.(2)经过平移和伸缩变换，x ＝2(x 1－0.5)，y ＝2(y 1－0.5)得到两组[－1,1]上的均匀随机数．(3)统计试验总次数N 及落在阴影部分的点数N 1(满足6x －3y －4>0的点(x ，y )的个数)． (4)计算频率f n (A )＝N 1N即为飞镖落在阴影部分的概率的近似值．。