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§3.3.2 几何概型的应用与均匀随机数的产生1.理解并掌握几何概型的概率公式和其应用解题的关键；2.掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法；3.会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题．重点: 1.应用几何概型概率公式解决几何概型问题；2.掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法难点: 利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中．学法指导通过例题和练习在应用中巩固几何概型概率公式解题的关键(即时刻明确构成事件A 的基本要素是“点”，而试验的全部结果是一个几何图形)；通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法。
几何概型的定义，以及相关的古典概型中的随机模拟方法.例2在区间(01)，上随机取两个数m n，，求关于x的一元二次方程20x m+=有实根的概率．分析：题目中有两个随机变量，这时一般构造二维几何模型（即利用直角坐标系），将问题转化为面积型的几何概率问题求解．注：要注意对“等可能”的理解．【探究新知】我们可以利用计算器或计算机产生整数值随机数，还可以通过随机模拟方法求古典概型的概率近似值，对于几何概型，我们也可以进行上述工作.一个人到单位的时间可能是8：00～9：00之间的任何一个时刻，若设定他到单位的时间为8点过X分种，则X可以是0～60之间的任何一刻，并且是等可能的.我们称X服从[0，60]上的均匀分布，X为[0，60]上的均匀随机数.思考1：一般地，X为[a，b]上的均匀随机数的含义如何？X的取值是离散的，还是连续的？我们常用的是[0，1]上的均匀随机数，可以利用计算器产生（见教材P137）.思考2：如何利用计算机产生0～1之间的均匀随机数？计算机只能产生[0，1]上的均匀随机数，如果试验的结果是区间[a，b]上等可能出现的任何一个值，那么就需要产生[a，b]上的均匀随机数.思考3：请问你有什么好办法利用计算机来产生[2，6]上的均匀随机数？[a，b]上的均匀随机数又如何产生呢？（行胜于言，试一试吧！）【理论迁移】认真阅读思考教材137~138P例2的解析，尤其是方法二.例3在正方形中随机撒一把豆子，如何用随机模拟的方法估计圆周率的值.提示：每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，那么落在每个。
3.3.2均匀随机数的产生一、学习目标：1、知识与技能：（1）了解均匀随机数的概念；（2）掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法； （3）会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题．2、过程与方法：（1）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。
3、情感态度与价值观：本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯。
二、重点与难点：利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中． 三、学法：通过对本节知识的探究与学习，感知用图形解决概率问题的方法，掌握数学思想与逻辑推理的数学方法． 四、学习设想： 1、课前回顾：（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型； （2）几何概型的概率公式： P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ；（3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等． 2、例题分析： 课本例题略例1 取一根长度为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m 的概率有多大？分析：在任意位置剪断绳子，则剪断位置到一端点的距离取遍[0，3]内的任意数，并且每一个实数被取到都是等可能的。
因此在任意位置剪断绳子的所有结果（基本事件）对应[0，3]上的均匀随机数，其中取得的[1，2]内的随机数就表示剪断位置与端点距离在[1，2]内，也就是剪得两段长都不小于1m 。
这样取得的[1，2]内的随机数个数与[0，3]内个数之比就是事件A 发生的概率。
解法1：（1）利用计算器或计算机产生一组0到1区间的均匀随机数a 1=RAND ． （2）经过伸缩变换，a=a 1*3．（3）统计出[1，2]内随机数的个数N 1和[0，3] 内随机数的个数N ． （4）计算频率f n (A)=NN 1即为概率P （A ）的近似值． 解法2：做一个带有指针的圆盘，把圆周三等分，标上刻度[0，3]（这里3和0重合）．转动圆盘记下指针在[1，2]（表示剪断绳子位置在[1，2]范围内）的次数N 1及试验总次数N ，则f n (A)=NN 1即为概率P （A ）的近似值． 小结：用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A 及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围。
一、选择题
1．用均匀随机数进行随机模拟，可以解决()
A．只能求几何概型的概率，不能解决其他问题
B．不仅能求几何概型的概率，还能计算图形的面积
C．不但能估计几何概型的概率，还能估计图形的面积
D．最适合估计古典概型的概率
[答案] C
[解析]很明显用均匀随机数进行随机模拟，不但能估计几何概型的概率，还能估计图形的面积，但得到的是近似值，不是精确值，用均匀随机数进行随机模拟，不适合估计古典概型的概率．2．给出下列关系随机数的说法：
①计算器只能产生(0,1)之间的随机数；
②我们通过RAND*(b－a)＋a可以得到(a，b)之间的随机数；
③计算器能产生指定两个整数值之间的取整数值的随机数．
其中说法正确的是()
A．0个B．1个
C．2个D．3个
[答案] C
3．用随机模拟方法求得某几何概型的概率为m，其实际概率的大小为n，则()
A．m>n B．m<n
C．m＝n D．m是n的近似值
[答案] D
4．在线段AB 上任取三个点x 1，x 2，x 3，则x 2位于x 1与x 3之间的概率是( )
A.12
B.13
C.14
D ．1 [答案] B
[解析] 因为x 1，x 2，x 3是线段AB 上任意的三个点，任何一个
数在中间的概率相等且都是13
. 5．设x 是[0,1]内的一个均匀随机数，经过变换y ＝2x ＋3，则x ＝12
对应变换成的均匀随机数是( ) A ．0
B ．2
C ．4
D ．5 [答案] C
[解析] 当x ＝12时，y ＝2×12
＋3＝4. 6．把[0,1]内的均匀随机数分别转化为[0,4]和[－4,1]内的均匀随机数，需实施的变换分别为( )
A ．y ＝－4x ，y ＝5－4
B ．y ＝4x －4，y ＝4x ＋3
C ．y ＝4x ，y ＝5x －4
D ．y ＝4x ，y ＝4x ＋3 [答案] C
7．一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30 s ，黄灯亮的时间为5 s ，绿灯亮的时间为40 s ，当你到达路口时，事件A 为“看见绿灯”、事件B 为“看见黄灯”、事件C 为“看见不是绿灯”的概率大小关系为( )
A ．P (A )>P (
B )>P (
C )
B ．P (A )>P (
C )>P (B )
C ．P (C )>P (B )>P (A )
D ．P (C )>P (A )>P (B )
[答案] B 8．如图所示，在墙上挂着一块边长为16 cm 的正方形木块，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2 cm,4 cm,6 cm ，某人站在3 m 之外向此板投镖，设镖击中线上或没有投中木板时不算，可重投，
记事件A ＝{投中大圆内}，
事件B ＝{投中小圆与中圆形成的圆环内}，
事件C ＝{投中大圆之外}．
(1)用计算机产生两组[0,1]内的均匀随机数，a 1＝RAND ，b 1＝RNAD.
(2)经过伸缩和平移变换，a ＝16a 1－8，b ＝16b 1－8，得到两组[－8,8]内的均匀随机数．
(3)统计投在大圆内的次数N 1(即满足a 2＋b 2<36的点(a ，b )的个数)，投中小圆与中圆形成的圆环次数N 2(即满足4<a 2＋b 2<16的点(a ，b )的个数)，投中木板的总次数N (即满足上述－8<a <8，－8<b <8的点(a ，b )的个数)．
则概率P (A )、P (B )、P (C )的近似值分别是( )
A.N 1N ，N 2N ，N －N 1N
B.N 2N ，N 1N ，N －N 2N
C.N 1N ，N 2－N 1N ，N 2N
D.N 2N ，N 1N ，N 1－N 2N
[答案] A [解析] P (A )的近似值为N 1N ，P (B )的近似值为N 2N ，P (C )的近似值
为N －N 1N .
二、填空题
9．设函数y ＝f (x )在区间[0,1]上的图像是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f (x )≤1，可以用随机模拟方法近似计算由曲线y ＝f (x )及直线x ＝0，x ＝1，y ＝0所围成部分的面积S .先产生两组(每组N 个)区间[0,1]上的均匀随机数x 1，x 2，…，x N 和y 1，y 2，…，y N ，由此得到N 个点(x i ，y i )(i ＝1,2，…N )．再数出其中满足y i ≤f (x i )(i ＝1,2，…，N )的点数N 1，那么由随机模拟方法可得到S 的近似值为________．
[答案] N 1N
[解析] 这种随机模拟的方法，是在[0,1]内生成了N 个点，而满
足几条曲线围成的区域内的点是N 1个，所以根据比例关系S S 矩形＝N 1N
，而矩形的面积为1，所以随机模拟方法得到的面积为N 1N .
10．(2012～2013·福建四地六校联考高二检测)设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能任取一点与A 连接，则弦长超过半径2倍的概率为________．
[答案] 12
[解析] 如图所示，在圆周上过定点A 作弦AB ＝AC ＝2r ，则BC 是圆的一条直径．
当取的点在BC 上方时满足了弦长大于半径的2倍，所以P ＝12
. 11．在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，则AM >AC 的概率是________．
[答案] 1－22
[解析] 设CA ＝CB ＝m (m >0)，则AB ＝2m .
设事件M ：AM >AC ，即P (M )＝AB －AC AB ＝2m －m 2m
＝1－22. 12．某人从甲地去乙地共走了500 m ，途中要过一条宽为x m 的河流，他不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若
物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能被找到的概率为45
，则河宽为________m.
[答案] 100
[解析] 已知河宽为x m ，由题意得1－x 500＝45
，则x ＝100. 三、解答题
13．在长为14 cm 的线段AB 上任取一点M ，以A 为圆心，以线段AM 为半径作圆．用随机模拟法估算该圆的面积介于9π cm 2到
16π cm2之间的概率．
[分析]圆的面积只与半径有关，故此题为与长度有关的几何概型．解答本题时只需产生一组均匀随机数．
[解析]设事件A表示“圆的面积介于9π cm2到16π cm2之间”．
(1)利用计算器或计算机产生一组[0,1]上的均匀随机数a1＝RAND；
(2)经过伸缩变换a＝14a1得到一组[0,14]上的均匀随机数；
(3)统计出试验总次数N和[3,4]内的随机数个数N1(即满足3≤a≤4的个数)；
(4)计算频率f n(A)＝N1
N，即为概率P(A)的近似值．
14．设有一个正方形网格，其中每个最小正方形的边长都等于6 cm，现用直径等于2 cm的硬币投掷到网格上，用随机模拟方法求硬币落下后与格线有公共点的概率．
[解析]记事件A＝{硬币与格线有公共点}，
设硬币中心为B(x，y)．
步骤：(1)利用计算机或计算器产生两组0到1之间的均匀随机数，x1＝RAND，y1＝RAND.
(2)经过平移，伸缩变换，则x＝(x1－0.5)*6，y＝(y1－0.5)*6，得到两组[－3,3]内的均匀随机数．
(3)统计试验总次数N及硬币与格线有公共点的次数N1(满足条件|x|≥2或|y|≥2的点(x，y)的个数)．
(4)计算频率N1
N，即为硬币落下后与格线有公共点的概率．
15．用随机模拟方法求函数y＝x与x轴和直线x＝1围成的图
形的面积．
[分析]将问题转化为求在由直线x＝1，y＝1和x轴，y轴围成的正方形中任取一点，该点落在已知图形内的概率．用随机模拟方法来估计概率即可．
[解析]如图所示，阴影部分是函数y＝x的图象与x轴和直线x＝1围成的图形，设阴影部分的面积为S.
随机模拟的步骤：
(1)利用计算机产生两组[0,1]内的均匀随机数，x1＝RAND，y1＝RAND；
(2)统计试验总次数N和落在阴影内的点数N1(满足条件y<x的点(x，y)的个数)；
(3)计算频率N1
N，即为点落在阴影部分的概率的近似值；
(4)直线x＝1，y＝1和x，y轴围成的正方形面积是1，由几何概
型公式得点落在阴影部分的概率为S
1＝S.
则S＝N1
N，即阴影部分面积的近似值为
N1
N.
16．现向如图所示正方形内随机地投掷飞镖，用随机模拟的方法计算飞镖落在阴影部分的概率，阴影部分由直线6x－3y－4＝0和x ＝1，y＝－1围成．
[分析]要确定飞镖落点位置，需要确定两个坐标x、y，可用两组均匀随机数来表示点的坐标．
[解析]记事件A＝{飞镖落在阴影部分}．
(1)用计算机或计算器产生两组[0,1]上的均匀随机数，x1＝RAND，y1＝RAND.
(2)经过平移和伸缩变换，x＝2(x1－0.5)，y＝2(y1－0.5)得到两组[－1,1]上的均匀随机数．
(3)统计试验总次数N及落在阴影部分的点数N1(满足6x－3y－
4>0的点(x，y)的个数)．
(4)计算频率f n(A)＝N1
N即为飞镖落在阴影部分的概率的近似值．。
