第一章 有理数复习资料

⎧⎨⎩⎧⎪⎨⎪⎩第一章《有理数》一、基本概念 1、正数与负数 ①表示大小②在实际中表示意义相反的量 ③带“-”号的数并不都是负数2、数轴(规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴)原点 ①三要素 正方向 单位长度 ②如何画数轴 ③数轴上的点与有理数④在数轴上可以根据正方向比较大小 3、相反数①只有符号不同的两个数，叫做互为相反数。

数轴上表示相反数的两点关于原点对称。

②a 的相反数-a ；0的相反数是0。

③a 与b 互为相反数：a+b=0④多重符号化简：结果是由“-”决定的。

“-”个数是奇数个，则结果为“-”， “-”个数是偶数个，则结果为“+”。

4、绝对值①一般地，数轴上表示数a 的点与原点距离，表示成｜a ｜。

②离原点越远，绝对值越大，离原点越近，绝对值越小。

③一个正数的绝对值是它的本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.a （a ≥0）｜a ｜=-a （a ≤0）④正数大于0，0大于负数，正数大于负数。

两个负数，绝对值大的反而小。

5、倒数①乘积是1的两个数叫作互为倒数。

（求一个数的倒数时，正负不变） ②a 的倒数是1a（a ≠0） ③a 与b 互为倒数：ab=16③平方等于它本身的数是0，1 ④立方等于它本身的数是±1，0 ⑤相反数是它本身的数是0 ⑥绝对值最小的数是0. 7、乘方①求几个相同因数的积的运算叫做乘方。

（表示乘方时，底数是负数或分数时，需要加上括号）a ·a ·…·a=a n⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩②8、科学记数法①把一个绝对值大于10的数表示成a×n10（其中1≤｜a｜＜10，n为正整数）。

a 的整数位必须只有一位数。

负数表示成科学记数法，不能忘了“-”。

②指数n与原数的整数位数之间的关系：n-19、近似数与有效数字①准确数、近似数、精确度（3种求近似值的形式）精确到万位精确度精确到0.001保留三个有效数字②近似数的最后一位是什么位，这个数就精确到哪位。

第一章有理数全章复习考点一：用正负数表示相反意义的量K 七年级一班某次数学测验的平均成绩为80分，数学老师以平均成绩为基准，记作 0 ,把小龙、小聪、 小梅、小莉、小刚这五位同学的成绩简记为+W , - 15 , 0 , +20 , - 2.问这五位同学的实际成绩分别是多少分2、如果规定收入为正，支出为负.收入500元记作500元，那么支出237元应记作（）A. -500元3.有4包真空小包装火腿，每包以标准克数（450克）为基准，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数，以下数据是记录结果，其中表示实际克数最接近标准克数的（）4.某商店出售三种不同品牌的大米，米袋上分别标有质量如下表：现从中任意拿出两袋不同品牌的大米，这两袋大米的质量最多相差（）打B. -237 兀C. 237 兀D. 500 兀A. +2B. —3C. +3D. +4A . 0, 8kgB . 0. 6kg考点二：有理数的分类1、 _____ 、 _______ 和 _________成为整数,统称为分数。

练习巩固:21 \ 在- 2, +3.5 , 0,3B 、2个 -0.7 , 11中.负分数有62 '不超过（启）的最大整数是 A 、一4B-33 -在数 8.3、一4、0、一（一 5）、4、下列说法中正确的个数有+6中,正数有个；①一个有理数不是整数就是分数 ②一个有理数不是正数就是负数 ③ 一个整数不是正的'就是负的④一个分数不是正的，就是负的5、在数+ 8.3，— 4，一 0.8，fflO * -24是正数，D. 0,5kgC . 0,6、比3 ；大而比2；小的所有整数的和为考点三：数轴1、规定了 _ 的直线叫数轴。

练习巩固:1、在数轴上，点A所表示的数为2 ,那么到点A的距离等于3个单位长度的点所表示的数是2、把下面的直线补充成一条数轴，然后在数轴上标出下列各数:1-3, +l , 2 , -1.5 , 6.23. 2的相反数是（） A. 2 B. - 2 C. 0. 5 D . — 0.54. 如图，数轴上A 点表示的数减去B 点表示的数，结果是（）A. 8 B ・-8 C. 2D ・-25. 数是；6. 写出一个满足下列条件之一的有理数：（1 ）它在数轴上表示的点在原点的左边；（2 -2的偶数；答：;7、 已知点A 、B 是数轴上的点，完成下列各题：（1 ）如果点A 表示数一3,将点A 向右移动7个单位长度，那么终点B 表示的数是 点间的距离是；（2 ）如果点A 表示数是3,将点A 向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度， 的数是 ，A 、B 两点间的距离是；（3 ） 一般地，如果点A 表示数为a,将点A 向右移动b 个单位长度，再向左移动C 个单位长度，那么请 你猜想终点B 表示的数是，A 、B 两点间的距离是.8、 a 、b 是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如下图所示：数轴上的一点由+3出发，向左移动4个单位，又向右移动了 5个单位，两次移动后,这一点所表示的）它是一个小于那么终点B 表示把a 、一 a 、b 、-b 按照从小到大的顺序排列正确的是A —b <— a < a < b a < — b< a < b C — b<a< — a<b—b<b< —a< a3 ,那么A 、B 两点间的距离是（） C 、I —6+ （ —3） I D 、I — 3 10.数轴上表示数，和表示“的两点之间的距离是 ________________________9.数轴上的两点A 、B 分别表示一6和一A 、— 6+ （ —3） B\ —6— （— 3）考点四：相反数1、 只有不同的两个数叫做互为相反数；0的相反数是的相反数为 __________ .2、 相反数的相关性质：（1）X 相反数的几何意义：表示互为相反数的两个点（除0外）分别在原点0的2、互为相反数的两个数，和 _________________ .O 一般地：若a 为任一有理数，则a,并且到原点的距练习巩固：1. 一个数是2的相反数，另一个数比一2大一3 ,则这两个数的和是2・在等式3 2 15的两个方格内分别填入一个数，使这两个数是互为相反数且等式成立，则第一个方格内的数是 _______________________ •3.两个非零有理数的和为0,则它们的商是（考点四：绝对值K 一般地，数轴上表示数a 的点与原点的叫做数a 的绝对值，记作I a负数的绝对值是它的；0的绝对值是.任一个有理数a 的绝对值用式子表示就是:（1） 当a 是正数（即a>0 ）时， （2） 当a 是负数（即a<0 ）时，I （3） 当 a=0 时， 练习巩固: 1v 比较下列各对数的大小. （1）4 —542、 绝对值小于2.5的所有负整数的积是； 3. 如果 I a| =5 , I b|二3，贝I] a+b=考点五：科学计数法、近似数考点五：有理数的运算K 有理数的加法法则 （1） ______________ （2）___________（3） _________2、加法交换律: 、加法结合律:、有理数减法法则： 、有理数的乘法法则:A. 0B. C. + 1 D.不能确定；一个正数的绝对值是；一个K 把一个大于10的数记成的形式（其中a），叫做科学记数法- 练习巩固：长城总长约为6700010米，用科学计数法表示为（保留两位有效数字）（）6. 7 XW'米 B. 6.7X106 米 C. 6. 7 X W?米 D. 6.7X10* 米0. 20356精确到0.001可写为 104000精确到万可写为 — 3.21 XW 6精确到2、 A. 3. 5、6、倒数的性质：互为倒数的两个数乘积是7、几个不是0的数相乘，负因数的个数是时'积是正数；负因数的个数是负数。

《第一章有理数》复习提纲1.1正数和负数正数：像+1.8，+420、+30、+10%等带有理数“+”号的数叫做正数。

为了强调正数，前面加上“+”号，也可以省略不写。

负数：像－3、－4754、－50、－0.6、－15%等带有“－”号的数叫做负数，在正数前面加上负号“－”的数叫做负数。

而负数前面的“－”号不能省略。

数０既不是正数也不是负数，０是正数与负数的分界。

在同一个问题中，分别用正数和负数表示的量具有相反的意义。

1.2.1有理数正整数、 0 、负整数统称整数，正分数和负分数统称分数。

整数和分数统称有理数。

∏、无限不循环小数不是有理数（练习）在－，1，0，8.9，－6，，－3.2，＋108，－0.05，28，－9中，（1）正整数是__________________；（2）负整数是____________________（3）正分数是_________________；（4）负分数是_____________________1.2.2数轴规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。

注意事项：⑴数轴的原点、正方向、单位长度三要素，缺一不可。

⑵同一根数轴，单位长度要相等。

一般地，设a是一个正数，则数轴上表示a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数－a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。

（练习）用数轴上的点表示下列各数：－1，0，4，－5，1，－2.5.1.2.3相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

（2和－2互为相反数）数轴上表示相反数的两个点关于原点对称。

求相反数的方法：在任意一个数前面添上“－”号，新的数就表示原数的相反数。

（练习）1、＋的相反数是＿＿；－的相反数是＿＿；0的相反数是＿＿；a的相反数是＿＿。

2、化简下列各数：同号得“+”，异号得“－”－（＋8）＝＿＿; －（－6）＝＿＿ ; －0＝＿＿；－（－a）＝＿＿＿。

1.2.4绝对值（绝对值：∣a∣≥0，绝对值不可能是负数。

第一章：有理数一、有理数的基础知识 1、三个重要的定义（1）正数：像1、2.5、这样大于0的数叫做正数；（2）负数：在正数前面加上“－”号，表示比0小的数叫做负数；（3）0即不是正数也不是负数，0是一个具有特殊意义的数字，0是正数和负数的分界，不是表示不存在或无实际意义。

概念剖析：①判断一个数是否是正数或负数，不能用数的前面加不加“+”“－”去判断，要严格按照“大于0的数叫做正数；小于0的数叫做负数”去识别。

②正数和负数的应用：正数和负数通常表示具有相反意义的量。

③所有正整数组成正整数集合；所有负整数组成负整数集合；正整数、0、负整数统称为整数， 正整数、0、负整数组成整数集合；④常常有温差、时差、高度差(海拔差)等等差之说，其算法为高温减低温等等；例1 下列说法正确的是( )A 、一个数前面有“－”号，这个数就是负数；B 、非负数就是正数；C 、一个数前面没有“－”号，这个数就是正数；D 、0既不是正数也不是负数； 例2 把下列各数填在相应的大括号中 8，，0.125，0，，，， 正整数集合整数集合负整数集合正分数集合例3 如果向南走米记为是米，那么向北走米记为是 ____________, 0米的意义是______________。

例4 对某种盒装牛奶进行质量检测，一盒装牛奶超出标准质量2克，记作+2克，那么克表示_________________________知识窗口：正数和负数通常表示具有相反意义的量，一个记为正数，另一个就记为负数，我们习惯上把向东、向北、上升、盈利、运进、增加、收入、高于海平面等等规定为正，把相反意义的量规定为负。

例5 若 ，则是 ；若，则是 ；若，则是 ；若，则是 ；（填正数、负数或0）2、有理数的概念及分类整数和分数统称为有理数。

有理数的分类如下：（1）按定义分类： （2）按性质符号分类：4331-6-25.0-{}{}{}{}5050-7825-0>aa 0<a ab a <ba -b a >b a -⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0概念剖析：①整数和分数统称为有理数，也就是说如果一个数是有理数，则它就一定可以化成整数或分数； ②正有理数和0又称为非负有理数，负有理数和0又称为非正有理数③整数和分数都可以化成小数部分为0或小数部分不为0的小数，但并不是所有小数都是有理数，只有有限小数和无限循环小数是有理数；例6 若为无限不循环小数且，是的小数部分，则是（ ）A 、无理数B 、整数C 、有理数D 、不能确定 例7 若为有理数，则不可能是（ ） A 、整数 B 、整数和分数 C 、 D 、 3、数轴标有原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。

第一章有理数全章系统复习资料1.1 正数与负数一、必记概念：1. 像-3、-2、-0.5这样的数（即在以前学过的数前面加”-“号负号的数）叫做。

2. 像3、2、0.5这样的数（即以前学过的的数）叫做，有时在前面也加上，如+3、+2。

3. 一个数前面的叫做它的符号。

4. 0既，也。

5. 在实际生活中，常常用正数和负数表示具有意义的量。

如果上升10米记作+10米，那么下降5米记作。

二、练习：（一）判断题:1. 在小学学过的数前面添上“-”号，就是负数。

（）2. 一个物体可以左右移动，设向左移动为正，那么向右移动3米记作3米。

（）（二）选择题：3. 下列结论中错误的是（）A. 零是整数B. 零不是正数C. 零是偶数D. 零不是自然数4. 下列说法中正确的是（）A. 正数都带“+”号B. 不带“+”号的数都是负数C. 小学数学中学过的数都可以看作正数D. 小学数学中学过的数中除零以外，都可以看作是正数（三）填空题：5. 如果顺时针旋转30°记作-30°，那么逆时针旋转45°记作。

6. 某人向东走5米，又回头向西走5米，此人实际距原地米。

7. 如果中午以后的2小时记作+2小时，那么+2小时前3小时应记作。

8. 观察下面依次排列的一列数，你能发现它们排列的规律是什么吗？后面空格内的三个数是什么，试把它写出来。

（1） 2、-3、4、-5、6、、、、…（2） 1、2、3、5、8、、、、…（四）解答题：9. “一个数前面加‘-’,它一定是负数”对吗？1.2 有理数1.2.1 有理数一、必记概念：1. 正整数、零和负整数统称为；正分数和负分数统称为；和统称为有理数。

2. 把一些数放在一起，就组成一个数的，简称数集。

3. 零和正数统称为，零和负数统称为。

4. 正整数和零统称为，又统称为；零和负整数统称为。

二、练习：（一）把下列各数填在相应的集合中：8、-1、-0.4、35、0、13-、6、9、317-、114、-19正数集合：﹛…﹜负数集合：﹛…﹜整数集合：﹛…﹜分数集合：﹛…﹜非正数集合：﹛…﹜非负数集合：﹛…﹜非正整数集合：﹛…﹜非负整数集合：﹛…﹜（二）判断题：1. 一个有理数不是正数就是分数。

第一章有理数全章复习（第1课时）（1）带“﹣”号的数是负数；（2）如果a为正数，则﹣a一定是负数；（3）不存在既不是正数又不是负数的数；（4）0℃表示没有温度．A.0B.1C.2D.32、一辆汽车从甲站出发向东行驶50千米，然后再向西行驶20千米，此时汽车的位置是()A．甲站的东边70千米处B．甲站的西边20千米处C．甲站的东边30千米处D．甲站的西边30千米处3、一种大米的质量标识为“（50±0.5）千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（）A．50.0千克B．50.3千克C．49.7千克D．49.1千克4、体育课上，对初三（1）的学生进行了仰卧起坐的测试，以能做24个为标准，超过次数用正数来表示，不足的次数用负数来表示，其中10名女学生成绩如下：5-2-1301007-5-1（1）这10名女生的达标率为多少？（2）她们共做了多少个仰卧起坐？1、下面说法中正确的是()．A．非负数一定是正数．B．有最小的正整数，有最小的正有理数．C．-a一定是负数．D．正整数和正分数统称正有理数．2、下列说法中，正确的是：（）A．整数一定是正数B．有这样的有理数，它既不是正数，也不是负数C.有这样的有理数，它既是正数，也是负数D．0是最小的正数3、在有理数12、﹣5、3.14中，属于分数的个数共有个。

1．图1中所画的数轴，正确的是（）-1 -2A 1B C D2.与原点距离是2．5个单位长度的点所表示的有理数是（）A．2．5B．-2．5C．±2．5D．这个数无法确定3.一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位长度，再向右移动6个单位长度，这个点最终所对应的数是（）A．+6B．-3C．+3D．-94.大于-3.5小于4.7的整数有_______个．1、若a的相反数是b，则下列结论错误的是（）A．a=-b B．a+b=0；C．a和b都是正数D．无法确定a，b的值2、的倒数是（）A．﹣2 B.2C．D．3、下列说法正确的是（）A．带“＋号”和带“－”号的数互为相反数B．数轴上原点两侧的两个点表示的数是相反数C．和一个点距离相等的两个点所表示的数一定互为相反数D．一个数前面添上“－”号即为原数的相反数4、若4x-5与3x-9互为相反数，则x=________．要点六、绝对值1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的叫做数a的绝对值，记作|a|.（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是；一个负数的绝对值是它的；0的绝对值是．即对于任何有理数a都有：（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越；离原点的距离越近，绝对值越．（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．2.性质：绝对值具有性，即任何一个数的绝对值总是或．1、如图(一)，数O是原点，A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c.根据图中各点的位置，下列各数的绝对值的比较正确的是（）A．|b|＜|c|B．|b|＞|c|C．|a|＜|b|D．|a|＞|c|2、若|x﹣5|=5﹣x，下列不等式成立的是（）A.x﹣5＞0B.x﹣5＜0C.x﹣5≥0D.x﹣5≤03、设a是最小的正整数，b是最大的负整数的相反数，c是绝对值最小的有理数，则a、b、c的大小关系是()．A．a＜b＜c B．a＝b＞c C．a＝b＝c D．a＞b＞c4、式子|2x-1|+2取最小值时，x 等于.要点七、有理数的大小比较1.数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小.如：a 与b 在数轴上的位置如图所示，则a b ．2.法则比较法：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小．3.作差法：设a 、b 为任意数，若a -b ＞0，则a b ；若a -b ＝0，则a b ；若a -b ＜0，a b ；反之成立．4.求商法：设a 、b 为任意正数，若1a b >，则a b >；若1a b =，则a b =；若1a b <，则a b <；反之也成立．若a 、b 为任意负数，则与上述结论相反．5.倒数比较法：如果两个数都大于0，那么倒数大的反而.1、a 、b 为有理数，且a ＞0、b ＜0，|b|＞a ，则a 、b 、-a 、-b 的大小顺序是()．A ．b ＜-a ＜a ＜-b B ．-a ＜b ＜a ＜-b C ．-b ＜a ＜-a ＜b D ．-a ＜a ＜-b ＜b2、比较下列每组数的大小：（1）-(-5)-|-5|；（2）－π___－3.14（3） 1.38- ______－1.384（4）0.331。

第一章《有理数》复习总结有理数是整数和分数的统称，包括正数、负数和零。

有理数可以表示为p/q的形式，其中p和q都是整数，且q不等于0。

p称为分子，q称为分母。

1.有理数的大小比较：(1)对于同号的有理数，绝对值越大，数值越大；(2)对于异号的有理数，正数大于负数，绝对值越小，数值越大。

2.有理数的加减乘除：(1)加法：拆分有理数，按照整数部分和小数部分相加；(2)减法：将减数变为相反数，再进行加法运算；(3)乘法：分别计算分子和分母的乘积，然后化简；(4)除法：将除数变为倒数，再进行乘法运算。

3.有理数的约分和化简：(1)约分：将分子和分母同时除以最大公因数，使得分数不可再约分；(2)化简：将带有分数线的有理数化为最简形式。

4.有理数的绝对值：(1)正数的绝对值是其本身；(2)负数的绝对值是其相反数；(3)零的绝对值是零。

5.有理数的相反数：(1)正数的相反数是负数；(2)负数的相反数是正数；(3)零的相反数是零。

6.计算混合数的值：(1)将整数部分和小数部分分开，分别计算；(2)将结果相加或相减，得到最终的结果。

7.有理数的乘方：(1)有理数的整数次方，将底数连乘或连除相应次数；(2)底数是分数，将底数化为整数的形式进行计算。

8.有理数的乘法逆元：(1)有理数的乘法逆元是其倒数；(2)除零外，任意非零有理数的乘法逆元存在。

9.有理数的混合运算：(1)先进行括号内的运算，再进行乘除法运算，最后进行加减法运算；(2)若有多个加法或减法运算，按照从左到右的顺序进行。

10.有理数在坐标轴上的表示：(1)正数表示点在原点的右侧；(2)负数表示点在原点的左侧；(3)零表示点在原点。

有理数在数学中有着广泛的应用，比如在数轴上定位、计算中的加减乘除、分数和小数的运算等。

学好有理数不仅需要掌握各种运算规则和性质，还需要大量的练习和实践。

通过不断的练习和思考，可以提高解决实际问题的能力，培养思维和逻辑思维能力。

总之，有理数作为数学的一个重要概念，是我们平日生活中接触最多的数的形式。

第一章有理数复习资料复习资料*1.1正数和负数*知识清单：1.大于0的数字称为正数。

小于0的数字称为负数。

0既不是正的，也不是负的。

2.如果一个问题中出现相反意义的量，我们可以用正数和负数分别表示他们。

习题：1.以下正确判断的数量（）①加正号的数是正数，加负号的数是负数；②任意一个正数，前面加上“”号，就是一个负数；③0是最小的正数；④大于零的数是正数；⑤ 字母A既是正数又是负数。

a、 0b。

1c。

2d。

三2.下列各组量中，具有相反意义的有（）① “身高增加2厘米”和“体重减少1公斤”；② 水库水位上升1.6m，下降1.8m；③ 利润50万元，亏损160万元；④ - 5和3a组1 B.2 C.3 D.43.向东走3m，接着又向东走-3m，结果是（）a、往东走6MB往西走3mc往西走6md回到你现在的位置034.某图纸上注明：一种零件的直径是30-?00..02mm，下列尺寸合格的一是（）a、 30.05毫巴。

29.08mmc。

2997万桶。

30.01毫米*1.2.1有理数*知识列表：1有理数的两种分类① 以有理数的正负为标准：有理数包括正有理数、0和负有理数。

正有理数包括正整数和正分数；负有理数包括负整数和负分数。

②以有理数的定义为标准：有理数包括整数和分数。

整数包括正整数、0和负整数；分数包括正面分数和负面分数。

2.自然数又称非负整数，即0和正整数。

0是最小的自然数。

3.无限不循环小数不是有理数，比如π。

4.无限循环小数是有理数，比如10。

35. 小数可以转换成分数。

我们可以把小数看作分数，所以小数是有理数。

练习：1.给出一个有理数-107.987及以下判断：（1）这个数不是分数，但是有理数（2）这个数是负数，也是分数二（3）这个数与π一样，不是有理数（4）这个数是一个负小数，也是负分数其中正确的判断有（）个。

a.1b.2c.3d.42.所有正整数和负整数组合成（）a.整数集合b.有理数集合c.自然数集合d.以上说法都不对3.在有理数中，是整数而不是正数的是________,即不是负数也不是分数的是________.4.在数字0,2，-3，-1.2中，负整数是（）a.0b 2c。