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余数的性质知识结构三大余数定理：（1）余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2（2）余数的减法定理a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2.当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4（3）余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么n a与n b除以m的余数也相同．例题精讲【例1】在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组．这样的数组共有______组．【巩固】号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?【例2】有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______．【巩固】用自然数n去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=________．【例3】六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱，一起到新华书店购买《成语大词典》．一看定价才发现有5个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本．这种《成语大词典》的定价是________元．【巩固】商店里有六箱货物，分别重15，16，18，19，20，31千克，两个顾客买走了其中的五箱．已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重量是________千克．【例4】求478296351⨯⨯除以17的余数．【巩固】求4373091993⨯⨯被7除的余数．【例5】求12÷的余数644319【巩固】 求89143除以7的余数．【例 6】 20102009200920092009⨯⨯⨯L 14444244443个的个位数字是________．【巩固】 2007×2007×…×2007（2008个2007）的个位数字是 。
第15讲余数定理知识与方法余数在计算时有三个主要性质，也被称为三个定理，余数问题中非常重要的同余问题以及中国剩余定理，其实就是根据这三个性质来解决问题的，所以这三个性质非常重要。
余数主要有以下三个性质：（1）可加性：a与b的和除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之和。
（2）可减性：a与b的差除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之差。
（3）可乘性：a与b的乘积除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。
初级挑战1（1）23÷5＝4……（）（2）108÷4＝2716÷5＝3……（） 214÷4＝53……（）39÷5＝7……（） 322÷4＝80……（）（3）155÷3＝51……（）230÷3＝76……（）385÷3＝128……（）观察以上每组算式中的被除数和余数，你发现了什么？思维点拨：余数定理一：a与b的和除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之（）。
如果余数之和大于除数，那么可以继续除以这个除数得到余数。
答案：（1）3、1、4；（2）2、2；（3）2、2、1发现：三个数除以一个相同的数，如果一个数是其它两个数的和，那么所得的余数也是其它两个数除得的余数的和。
能力探索11、快速计算：（234＋123＋732）÷3的余数。
2、甲数除以9，商12余3；乙数除以9，商28余6；丙数除以9，商31余5。
（甲数＋乙数＋丙数）÷9的余数是多少？答案：1、0 2、（3＋6＋5）÷9＝1……5，所以余数是5。
初级挑战2（1）129÷7＝18……3 （2）237÷5＝47……（）71÷7＝10……1 200÷5＝4058÷7＝8……2 37÷5＝7……（）（3）93÷4＝23……（）30÷4＝7……（）63÷4＝15……（）观察以上每组算式中的被除数和余数，你发现了什么？思维点拨：余数定理二：a与b的差除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之（）。
年级六年级学科奥数版本通用版课程标题数论综合（三）余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛、小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲知识对于同学们来说非常重要。
余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理、乘法余数定理、同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b＝q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b，我们就称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商（1）当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商（2）当0二、同余的概念和性质同余定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b（mod m）。
（*）上式可读作：a同余于b，模m。
同余式（*）意味着（我们假设a≥b）：a－b＝mk，k 是整数，即m｜（a－b）例如：①15≡365（mod 7），因为365－15＝350＝7×50。
②56≡20（mod 9），因为56－20＝36＝9×4。
③90≡0（mod 10），因为90－0＝90＝10×9。
由例③我们得到启发，a可被m整除，可用同余式表示为：a≡0（mod m）。
例如，表示a是一个偶数，可以写a≡0（mod 2）；表示b是一个奇数，可以写b≡1（mod 2）。
同余的性质：性质1：a≡a（mod m）（反身性），这个性质很显然，因为a－a＝0＝m·0。
性质2：若a≡b（mod m），那么b≡a（mod m）（对称性）。
性质3：若a≡b（mod m），b≡c（mod m），那么a≡c（mod m）（传递性）。
性质4：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡b±d（mod m）（可加减性）。
1. 系统学习中国剩余定理和新中国剩余定理2. 掌握中国剩余定理的核心思想，并灵活运用 一、中国剩余定理——中国古代趣题（1）趣题一 中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。
”此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。
韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。
刘邦茫然而不知其数。
我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。
孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。
中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem ）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。
（2）趣题二我国明朝有位大数学家叫程大位，他在解答“物不知其数”问题（即：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？）时用四句诗概括出这类问题的优秀解法：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知．”这首诗就是解答此类问题的金钥匙，它被世界各国称为“中国剩余定理”（Chinese Remainder Theorem ），是我国古代数学的一项辉煌成果．诗中的每一句话都表示一个步骤：三人同行七十稀，是说除以3所得的余数用70乘．五树梅花廿一枝，是说除以5所得的余数用21乘．七子团圆正月半，是说除以7所得的余数用15乘．除百零五便得知，是说把上面乘得的3个积加起来，减去105的倍数，减得差就是所求的数．此题的中国剩余定理的解法是：用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，把这3个结果加起来，如果它大于105，则减去105，所得的差如果仍比105大，则继续减去105，最后所得的整数就是所求．也就是270321215233⨯+⨯+⨯=，233105128-=，12810523-=为什么70，21，15，105有此神奇效用？70，21，15，105是从何而来？先看70，21，15，105的性质：70被3除余1，被5，7整除，所以70a 是一个被3除余a 而被5与7整除的数；21是5除余1，被3与7整除的数，因此21b 是被5除余b ，被3与7整除的数；同理15c 是被7除余c ，被3、5整除的数，105是3，5，7的最小公倍数．也就是说，702115a b c ++是被3除余a ，被5除余b ，被7除余c 的数，这个数可能是解答，但不一定是最小的，因此还要减去它们的公倍数．了解了“剩余定理”的秘密后，对类似于上面的题目，我们都可以用中国剩余定理来解答．二、核心思想和方法知识点拨教学目标5-5-4.中国剩余定理及余数性质拓展对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以《孙子算经》中的问题为例，分析此方法:今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？题目中我们可以知道，一个自然数分别除以3，5，7后，得到三个余数分别为2，3，2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3余1，并且还是5和7的公倍数。
高斯小学奥数五年级上册含答案_余数的性质与计算第二十一讲余数的性质与计算37』桂除的余数足多少？我知沽玳，余数昂7!^1这一讲我们来学习余数问题.在整数的除法中，只有能整除和不能整除两种情况. 当不能整除时，就会产生余数.一般地，如果a是整数，b是整数（b丰0）,若有a+ b=q r （也就是a b q r ）, 0当r 0 时，我们称a 能被b 整除；当r 0 时，我们称a 不能被b 整除，r 为a 除以b 的余数，q 为a 除以b 的商余数问题和整除问题是有密切关系的，因为只要我们去掉余数，就能和整除问题联系在一起了．余数有如下一些重要性质．基本性质：被除数=除数X商（当余数大于0时也可称为不完全商）+余数除数=（被除数-余数）*商；商=（被除数-余数）十除数.余数小于除数．理解这条性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．例题1．用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16，被除数、除数的和是877，求被除数和除数各是多少？「分析」如果设除数为a,被除数可以表示为什么？练习1．甲、乙两数的和是2014,甲数除以乙数商99余14,求甲、乙两数．我们之前学过一些特殊数（如2、3、4、5、7、8、9、11、13、25、99、125）的整除1）一个数除以2或5的余数,等于这个数的个位数字除以2或5的余数；一个数除以4或25的余数,等于这个数的末两位数除以4或25的余数；一个数除以8或125的余数,等于这个数的末三位数除以8或125 的余数；2）一个数除以3或9的余数,等于这个数的各位数字和除以3或9的余数；特性．这些数的整除特性稍加改造,即可成为求解余数的一类简便算法：一个数除以99（包括11、33）的余数,等于将它两位截断再求和之后的余数；此外,求3和9的余数还可应用乱切的方法．（3）一个数除以11 的余数，等于它的奇位数字和减去偶位数字和除以11的余数，如果奇位数字和比偶位数字和小，则先加上若干个11 再减即可．（4）一个数除以7、11和13的余数，等于将它三位截断之后，奇数段之和减去偶数段之和除以7、11 和13 的余数，如果奇数段之和比偶数段之和小，则加上若干个7、11 或13再减即可．这种利用整除特性来计算余数的方法叫做特性求余法．例题2．1）20132013 除以4和8 的余数分别是多少？2）20142014 除以3和9 的余数分别是多少？分析」根据4、8、3、9 的特性，可以很快计算出结果．练习2．（1）20121221 除以5和25 的余数分别是多少？（2）20130209 除以3和9 的余数分别是多少？例题3．（1）123456789 除以7和11的余数分别是多少？87654321 呢？（2）360360360 除以99 的余数是多少？「分析」根据7、1、99 的特性，可以计算出结果．在截断的时候要特别小心．练习3．201420132012 除以13和99 的余数分别是多少？为了更好地了解余数的其它一些重要性质，我们再来做几个练习：1）211除以9的余数是_______ ；（2）137除以9的余数是_________(3) 211 137的和除以9的余数是___________ ; ( 4) 211 137的差除以9的余数是(5)211 137的积除以9的余数是__________ ; (6) 1372除以9的余数是________比较上面的结果，我们发现余数还有一些很好的性质：和的余数等于余数的和；差的余数等于余数的差；积的余数等于余数的积?这三条性质分别称为余数的可加性、可减性和可乘性?在计算一个算式的结果除以某个数的余数时，可以利用上述性每个数都用它除以7的质进行简算.例如计算33 37 15 80的结果除以7的余数就可以像右侧这样计算?这一简算方法又称替换求余法?需要提醒大家的是，虽然上述三条计算余数的口诀朗朗上口，但并不严格，在使用时还需要注意：(1)如果替换之后余数的计算结果大于除数，还需要再次计算结果的余数.例如：在计算423 317除以6的余数时，利用“和的余数等于余数的和”，结果就变成了3 5 8, 8 6，所以还需要再次计算8除以6的余数是2,才是423 317除以6最后的余数?再比如：在计算423 317除以6的余数时，也会遇到3 5 15 6的情况，同样的还需要计算15除以6的余数是3，才是最终的结果.(2)在计算减法时，会出现余数不够减的情况，这时只要再加上除数或除数的倍数即可?例如：在计算423 317除以6的余数时，会发现结果变成了3 5不够减.此时，只要再加上6,用6 3 5 4来计算即可.例题4.一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个?年终将这些零件按6个一包的规格打包，最后一包不够6个.请问：最后一包有多少个零件？「分析」最后一包的零件数实际上就是零件总数除以19的余数.练习4．(1)123 456 789除以111 的余数是多少？(2)224468 6678的结果除以22 余数是多少？如果我们将“特性求余法”和“替换求余法”相结合,便可大大简化余数的计算．例题5．(1)87784 49235 81368除以4、9 的余数分别是多少？(2)365366+367368 369370除以7、11、13 的余数分别是多少？「分析」要把结果算出来,再求余数,计算量很大．看看如何利用“替换求余”以及“特性求余”的方法来进行求解．例题6．( 1) 2100的个位数字是多少？32014除以10 的余数是多少？(2) 32014除以7 的余数是多少？「分析」一个数的个位数字就是它除以10 的余数,大家来找一下个位数字的变化规律．小熊分粽子今天是端午节, 猴爸爸一大早就领着猴儿们去观看龙舟比赛。
一、带余除法的定义及性质一般地，如果a 是整数，b 是整数(b ≠0)，若有a ÷b ＝q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r 。
0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：⑴当r ＝0时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商。
⑵当r ≠0时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商。
二、余数定理：1．余数一定要比除数小。
2．余数的加法定理例如：23÷5＝4 (3)16÷5＝3 (1)所以23＋16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3＋1。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。
例如：23÷5＝4 (3)19÷5＝3 (4)所以：23＋19＝4242÷5的余数等于3＋4＝7除以5的余数，即2。
和的余数＝余数的和(的余数)。
3．余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a ，b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。
例如：23÷5＝4 (3)16÷5＝3 (1)所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。
例如：23÷5＝4 (3)19÷5＝3 (4)所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2。
积的余数＝余数的积(的余数)。
有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是_________。
22003与20032的和除以7的余数是________。
12＋22＋32＋…＋20012＋20022除以7的余数是多少？在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组。
数论问题之余数问题教学目标余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
三大余数定理：1、余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2、余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a同余于b，模m。
由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)三、弃九法原理而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。
三大余数定理：（1） 余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数，等于a,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2（2） 余数的减法定理a 与b 的差除以c 的余数，等于a,b 分别除以c 的余数之差。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2.当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4（3） 余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a,b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.乘方：如果a 与b 除以m 的余数相同，那么与除以m 的余数也相同．【巩固】 在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组．这样的数组共有______组．n a n b 例题精讲知识框架余数的性质【巩固】 号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?【巩固】 有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______．【巩固】 用自然数n 去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n =________．【巩固】 六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱，一起到新华书店购买《成语大词典》．一看定价才发现有5个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本．这种《成语大词典》的定价是________元．【巩固】 商店里有六箱货物，分别重15，16，18，19，20，31千克，两个顾客买走了其中的五箱．已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重量是________千克．【巩固】 求除以17的余数．【巩固】 求被7除的余数．【巩固】 求的余数478296351⨯⨯4373091993⨯⨯12644319÷【巩固】 求除以7的余数．【巩固】 的个位数字是________．【巩固】 2007×2007×…×2007（2008个2007）的个位数字是_________。
余数问题（二）本讲主线【课前小练习】(★)1. 余数的三大性质2. 三性的实际应用⑴21除以5的余数是____; 32除以5的余数是____;⑵21＋32除以5的余数是_____;⑶32－21除以5的余数是_____;⑷32×21除以5的余数是.知识要点屋版块一：余数的三大性质1. 余数的三大性质：【例1】(★★)⑴和的余数等于余数的和⑵差的余数等于余数的差⑶积的余数等于余数的积⑴123＋456＋789除以11的余数是多少？⑵123×456×789的结果除以23的余数是多少？知识要点屋1. 特征求余法：⑴尾数系，(2、5) ，(4、25) ，(8、125)⑵和系，3，9⑶11：奇数位数字之和－偶数位数字之和的差.⑷7、11、13：截断法. 【例3】(★★☆)一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个. 年终将这些零件按19个一包的规格打包，最后一包不够19个. 请问：最后一包有多少个零件？【例2】(★★★)188＋288＋388＋…＋2088除以9、11的余数各是多少？【拓展】(★★★)自然数3100 1的个位数字是多少？1版块二：三大性质的实际应用【例4】(★★★★)(全国小学数学奥林匹克试题) 【例6】(★★★)六张卡片上分别标上2357、2367、4143、1419、2485、8465六个数，甲取4张，乙取1张，丙取1张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另一个人的8倍，则丙手中卡片上的数是_____.有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是_______.【例5】(★★★)(南京市少年数学智力冬令营试题)在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组. 这样的数组共有组. 【例7】(★★★★)从1～20中最多可以选取多少个数，使得取出的数中任意三个数的和能被3整除？知识大总结【今日讲题】1. 余数的三大性质⑴和的余数等于余数的和⑵差的余数等于余数的差⑶积的余数等于余数的积2. 替换求余法3. 整除判定法则—特征求余法例2，例3，例4，例6【讲题心得】___________________.【家长评价】__________________________________________________________________.2。
奥数数：余数要点及解技巧一、基本概念：任意自然数a、b、 q、 r，如果使得 a÷b=q⋯⋯ r，且 0 余数， q 叫做 a 除以 b 的不完全商。
二、余数的性：①余数小于除数。
②若 a、 b 除以 c 的余数相同，③ a 与 b 的和除以 c 的余数等于c|a-b 或 c|b-a。
a 除以 c 的余数加上 b除以 c 的余数的和除以 c 的余数。
除以④ a 与 b 的除以 c 的余数等于c 的余数的除以 c 的余数。
a 除以 c 的余数与 b三、同余的定：①若两个整数a、b 除以 m 的余数相同，称a、b于模 m 同余。
②已知三个整数 a、 b、m，如果 m|a-b，就称 a、 b 于模 m 同余，作 a≡ b(modm) ，作 a 同余于 b 模 m。
四、同余的性：①自身性： a≡ a(modm)；② 称性：若a≡ b(modm) ， b≡ a(modm) ；③ 性：若a≡ b(modm) ，b≡ c(modm)， a≡c(modm) ；④和差性：若a≡ b(modm) ，c≡ d(modm) ， a+c≡b+d(modm) ，a-c≡b-d(modm) ；⑤相乘性：若a≡ b(modm) ，c≡d(modm) ，则 a×c≡ b ×d(modm) ；⑥乘方性：若a≡ b(modm) ，则 an≡ bn(modm) ；⑦同倍性 :若 a≡ b(modm) ，整数 c，则 a× c≡ b×c(modm× c)；五、被 3、 9、 11 除后的余数特征：①一个自然数M ， n 表示 M 的各个数位上数字的和，则M ≡ n(mod9) 或（ mod3）；②一个自然数M ， X 表示 M 的各个奇数位上数字的和，Y 表示 M 的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M ≡11-（ X-Y ） (mod11) ；六、费尔马小定理：如果 p 是质数（素数），a 是自然数，且 a 不能被 p 整除，则 ap-1≡ 1(modp) 。
1. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a 同余于b ，模m 。
2、重要性质及推论：（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711 （）能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b )3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；知识点拨教学目标5-5-3.同余问题⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）；⑹整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．例题精讲模块一、两个数的同余问题【例 1】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【考点】两个数的同余问题【难度】1星【题型】解答【解析】(法1) 39336-=，51-3=48，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，14739108-=，(12,108)12=，所以这个数是4,6,12．【答案】4,6,12【例 2】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______. 【考点】两个数的同余问题【难度】2星【题型】填空【关键词】人大附中，分班考试【解析】“加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。
五年级数奥－－余数问题(详细分析讲解）各种与余数有关的整数问题,其中包括求方幂的末位数字,计算具有规律的多位数除以小整数的余数，以及用逐步试算法找出满足多个余数条件的最小数等．1.分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?【分析与解】因为两个数和的余数同余与余数的和．有101,126,173,193除以3的余数依次为2,0,2,1．则101号运动员与126,173,193号运动员依次进行了2,1,0盘比赛,共3盘比赛；126号运动员与101,173,193号运动员依次进行了2,2,l盘比赛,共5盘比赛；173号运动员与101,126,193号运动员依次进行了1,2,0盘比赛,共3盘比赛；193号运动员与101,126,173号运动员依次进行了0,1,0盘比赛,共1盘比赛．所以,打球盘数最多的运动是126号,打了5盘．评注:两个数和的余数,同余与余数的和；两个数差的余数,同余与余数的差；两个数积的余数,同余与余数的积.2.自然数的个位数字是多少?【分析与解】我们先计算的个数数字,再减去1即为所求.(特别的如果是O,那么减去1后的个位数字因为借位为9)将一个数除以10,所得的余数即是这个数的个位数字.而积的余数,同余余数的积．有2除以10的余数为2,2×2除以10的余数为4,2×2×2除以10的余数为8,2×2×2×2除以i0的余数为6；2×2×2×2×2除以i0的余数为除以10的余数为4, 除以10的余数为8, 除以10的余数为6；…………也就是说,n个2相乘所得的积除以10的余数每4个数一循环．因为67÷4=16……3，所以除以10的余数同余与2×2×2,即余数为8,所以除以10的余数为7．即的个位数字为7．评注：n个相同的任意整数相乘所得积除以10的余数每4个数一循环．3.算式7+7×7+…+ 计算结果的末两位数字是多少?【分析与解】我们只用算出7+7×7+…+7 的和除以100的余数,即为其末两位数字．7除以100的余数为7,7×7除以100的余数为49,7×7×7除以100的余数为43,7 ×7 ×7×7除以100的余数等于43×7除以100的余数为1；而除以100的余数等于的余数,即为7,……这样我们就得到一个规律除以100所得的余数,4个数一循环,依次为7,49,43,1．1990÷4=497……2,所以7+7×7+…+7×7×…的和除以100的余数同余．497×(7+49+43+1)+7+49=49756,除以100余56．所以算式7+7×7+…+ 计算结果的末两位数字是56．4.1990…1990除以9的余数是多少?【分析与解】能被9整除的数的特征是其数字和能被9整除,如果这个数的数字和除以9余a,那么再减去a而得到的新数一定能被9整除,因而这个新数加上a后再除以9,所得的余数一定为a,即一个数除以9的余数等于其数字和除以9的余数．的数字和为20×(1+9+9+0)＝380，380的数字和又是3+8=11,11除以9的余数为2,所以除以9的余数是2．5.将1,2,3，…,30从左往右依次排列成一个51位数,这个数被11除的余数是多少?【分析与解】1,2,3,...,30这30个数从左往右依次排列成一个51位数为：123456...910 (15)...19202l...25 (2930)记个位为第l位,十位为第2位,那么：它的奇数位数字和为:0+9+8+7+6+…+l+9+8+7+6+…+1+9+7+5+3+l=115：它的偶数位数字和为:3+ + +8+6+4+2=53；它的奇数位数字和与偶数位数字和的差为115—53：62．而62除以1l的余数为7．所以将原来的那个51位数增大4所得到的数123456…910…15…192021…25…2934就是1l倍数,则将123456…910…15…192021…25…2934减去4所得到数除以11的余数为7．即这个51位数除以11的余数是7．评注:如果记个位为第1位,十位为第2位,那么一个数除以11的余数为其奇数位数字和A减去偶数位数字和B的差A-B=C,再用C除以1l所得的余数即是原来那个数的余数.(如果减不开可将偶数位数字和B减去奇数位数字和A,求得B-A=C,再求出C除以1l的余数D,然后将11-D即为原来那个数除以11的余数)．如:123456的奇数位数字和为6+4+2=12,偶数位数字和为5+3+1=9,奇数位数字和与偶数位数字和的差为12-9=3,所以123456除以11的余数为3．又如:654321的奇数位数字和为1+3+5=9,偶数位数字和为2+4+6=12,奇数位数字和减不开偶数位数字和,那么先将12-9=3,显然3除以11的余数为3,然后再用11-3=8,这个8即为654321除以11的余数．6.一个1994位的整数,各个数位上的数字都是3.它除以13,商的第200位（从左往右数)数字是多少?商的个位数字是多少?余数是多少?【分析与解】这个数即为，而整除13的数的特征是将其后三位与前面的数隔开而得到两个新数，将这两个新数做差，这个差为13的倍数．显然有能够被13整除,而1994÷6=332……2，即而是13的倍数，所以除以13的余数即为33除以13的余数为7．有,而,所以除以13所得的商每6个数一循环,从左往右依次为2、5、6、4、1、0．200÷6=33……2,所以除以所得商的第200位为5．除以13的个位即为33除以13的个位，为2．即商的第200位(从左往右数)数字是5,商的个位数字是2,余数是7．7.己知：a= .问:a除以13的余数是几?【分析与解】因为1能被13整除,而1991÷3=663……2．有a= =1×1 +1×1 +1×+1×1 +…+1×1 +19911991所以a除以13的余数等于19911991除以13的余数8．8.有一个数,除以3余数是2,除以4余数是1.问这个数除以12余数是几?【分析与解】我们将这个数加上7,则这个数能被3整除,同时也能被4整除,显然能被12整除,所以原来这个数除以12的余数为12-7=5．9.某个自然数被247除余63,被248除也余63.那么这个自然数被26除余数是多少?【分析与解】我们将这个数减去63,则得到的新数能被247整除,也能被248整除,而相邻的两个整数互质,所以得到的新数能被247×248整除,显然能被26整除．于是将新数加上63除以26的余数等于63除以26的余数为11．所以这个自然数被26除余数是11．10.一个自然数除以19余9,除以23余7.那么这个自然数最小是多少?【分析与解】这个自然数可以表达为19m+9,也可以表达为23n+7,则有19m+9=23n+7，即23n-19m=2，将未知数系数与常数对19取模,有4n≡2(mod 19)．n最小取10时,才有4n≡2(mod 19).所以原来的那个自然数最小为23×lO+7=237．评注：有时往往需要利用不定方程来清晰的表示余数关系,反过来不定方程往往需要利用余数的性质来求解．11.如图15-l,在一个圆圈上有几十个孔(少于100个).小明像玩跳棋那样从A 孔出发沿着逆时针方向，每隔几个孔跳一步,希望一圈以后能跳回到A孔.他先试着每隔2孔跳一步,结果只能跳到B孔.他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔.最后他每隔6孔跳一步,正好回到4孔.问这个圆圈上共有多少个孔?【分析与解】设这个圆圈有n个孔,那么有n除以3余1,n除以5余1.n 能被7整除．则将n-1是3、5的倍数,即是15的倍数,所以n=15t+1,又因为凡是7的倍数,即15t+1=7A,将系数与常数对7取模,有t+1≡0(mod7),所以t取6或6与7的倍数和.对应孔数为15×6+l=91或91与105的倍数和，满足题意的孔数只有91．即这个圆圈上共有91个孔．12.某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1,2,3，…,12.他们的依次是12个连续的六位自然数,并且每家的都能被这家的门牌整除.已知这些的首位数字都小于6,并且门牌是9的这一家的也能被13整除,问这一家的是什么数?【分析与解】设这12个连续的自然数为n+1,n+2,n+3,…,n+12,那么有它们依次能被1,2,3,…,12整除,显然有凡能同时被1,2,3,…,12整除.即n为1,2,3,…,12的公倍数．[1,2,3,…,12]=23×32×5×7×11=27720,所以n是27720的倍数,设为27720k.则有第9家的门牌为27720k+9为13的倍数,即27720k+9=13A.将系数与常数对13取模有:4k+9≡0(mod 13),所以后可以取l或1与13的倍的和.有要求n+1,n+2,n+3,…,n+12,为六位数,且首位数字都小于6,所以k只能取14,有7n=27720×14=388080．那么门牌是9的这一家的是388080+9=388089．13.有5000多根牙签,可按6种规格分成小包.如果10根一包,那么最后还剩9根.如果9根一包,那么最后还剩8根.第三、四、五、六种的规格是,分别以8,7,6,5根为一包,那么最后也分别剩7,6,5,4根.原来一共有牙签多少根?【分析与解】设这包牙签有n根,那么加上1根后为n+1根此时有n+1根牙签即可以分成10根一包，又可以分成9根一包,还可以分成8、7、6、5根一包.所以,n+1是10、9、8、7、6、5的倍数,即它们的公倍数．[10,9,8,7,6,51=23×32×5×7=2520,即n+1是2520的倍数,在满足题下只能是2520×2=5040,所以n=5039．即原来一共有牙签5039根．14.有一个自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,3个余数的和是25.这3个余数中最大的一个是多少?【分析与解】设这个除数为M,设它除63,90,130所得的余数依次为a,b,c,商依次为A,B,C．63÷M=A……a90÷M=B……b130÷M=C……ca+b+c=25,则(63+90+130)-(a+b+c)=(A+B+C)×M,即283-25=258=(A+B+C)×M．所以M是258的约数.258=2×3×43,显然当除数M为2、3、6时,3个余数的和最大为3×(2-1)=3，3×(3-1)=6,3×(6-1)=15,所以均不满足．而当除数M为43×2,43×3,43×2×3时,它除63的余数均是63,所以也不满足．那么除数M只能是43,它除63,90,130的余数依次为20,4,1,余数的和为25,满足．显然这3个余数中最大的为20．15.一个数去除551,745,1133,1327这4个数,余数都相同.问这个数最大可能是多少?【分析与解】这个数A除55l,745,1133,1327,所得的余数相同,所以有551,745,1133,1327两两做差而得到的数一定是除数A的倍数．1327-1133=194,1133-745=388,745-551=194,1327-745=582,1327-551=77 6,1133-551=582．这些数都是A的倍数,所以A是它们的公约数,而它们的最大公约数(194，388，194，582，776，582)=194．所以,这个数最大可能为194．。
小学五年级奥数余数定理余数问题（二）本讲主线【课前小练习】(★)1. 余数的三大性质2. 三性的实际应用⑴21除以5的余数是____; 32除以5的余数是____;⑵21＋32除以5的余数是_____;⑶32－21除以5的余数是_____;⑷32×21除以5的余数是.知识要点屋版块一：余数的三大性质1. 余数的三大性质：【例1】(★★)⑴和的余数等于余数的和⑵差的余数等于余数的差⑶积的余数等于余数的积⑴123＋456＋789除以11的余数是多少？⑵123×456×789的结果除以23的余数是多少？知识要点屋1. 特征求余法：⑴尾数系，(2、5) ，(4、25) ，(8、125)⑵和系，3，9⑶11：奇数位数字之和－偶数位数字之和的差.⑷7、11、13：截断法. 【例3】(★★☆)一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个. 年终将这些零件按19个一包的规格打包，最后一包不够19个. 请问：最后一包有多少个零件？【例2】(★★★)188＋288＋388＋…＋2088除以9、11的余数各是多少？【拓展】(★★★)自然数3100 1的个位数字是多少？1版块二：三大性质的实际应用【例4】(★★★★)(全国小学数学奥林匹克试题) 【例6】(★★★)六张卡片上分别标上2357、2367、4143、1419、2485、8465六个数，甲取4张，乙取1张，丙取1张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另一个人的8倍，则丙手中卡片上的数是_____.有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是_______.【例5】(★★★)(南京市少年数学智力冬令营试题)在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组. 这样的数组共有组. 【例7】(★★★★)从1～20中最多可以选取多少个数，使得取出的数中任意三个数的和能被3整除？知识大总结【今日讲题】1. 余数的三大性质⑴和的余数等于余数的和⑵差的余数等于余数的差⑶积的余数等于余数的积2. 替换求余法3. 整除判定法则—特征求余法例2，例3，例4，例6【讲题心得】___________________.【家长评价】________________________________________________________________ __.2。
数论问题之余数问题教学目标余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理(加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理)，及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
三大余数定理：1、余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1,所以23+16=39除以5的余数等于4,即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23, 19除以5的余数分别是3和4,所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2、余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1,所以23X16除以5的余数等于3X仁3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23, 19除以5的余数分别是3和4,所以23X 19除以5的余数等于3X 4除以5的余数，即2.3、同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a =b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a同余于b,模m由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a, b 除以同一个数m得到的余数相同，则a, b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有a= b ( mod m )，那么一定有a-b= mk,k是整数，即m|(a —b)三、弃九法原理而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。
数论-余数问题-余数的性质-4星题课程目标知识提要余数的性质•余数的基本性质被除数=除数×商+余数除数=（被除数−余数）÷商商=（被除数−余数）÷除数余数小于除数。
•余数的三大性质（1）余数的加法性质：和的余数等于余数的和，或这个和除以除数的余数。
（2）余数的减法性质：差的余数等于余数的差，不够减加除数再减。
（3）余数的乘法性质：积的余数等于余数的积，或者余数的积除以除数的余数。
精选例题余数的性质1. 有三所学校，高中A校比B校多10人，B校比C校多10人．三校共有高中生2196人．有一所学校初中人数是高中人数的2倍；有一所学校初中人数是高中人数的1.5倍；还有一所学校高中、初中人数相等．三所学校总人数是5480人，那么A校总人数是人．【答案】1484【分析】三所学校的高中生分别是：A校742人，B校732人，C校722人．如果A校或C校初中人数是高中人数的1.5倍，该校总人数是奇数，而按照给出条件得出其他两校总人数都是偶数，与三校总人数5480是偶数矛盾，因此只能是B校的初中人数是高中人数的1.5倍．三校初中的总人数是5480−2196=3284，被3除余2；732被3整除，722被3除余2，742被3除余1．从余数来看2×2+1=5，1×2+2=4，就断定初中人数是高中人数的2倍，只能是C校．所以，A校总人数是742+742=1484(人)．2. 在自然数1∼2011中，最多可以取出个数，使得这些数中任意四个数的和都不能被11整除．【答案】550【分析】2011÷11=182⋯9,可以全选余数是3、4、5的，因为3×4=12,5×4=20,在20和22之间还可以有一个21，所以还可以选一个余数是6的．所以是183×3+1=550,这种选法能选到550，选余数是6、7、8和一个余数是5的，还是可以选出550个．3. 如果两个自然数的积被13除余1，那么我们称这两个自然数互为“模13的倒数”，比如，2×7=14，被13除余1，则2和7互为“模13的倒数”；1×1=1，则1的“模的倒数”是它自身，显然，一个自然数如果存在“模13的倒数”，则它的倒数并不是唯一的，比如，14就是1的另一个“模13的倒数”，判断1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12是否有“模13的倒数”，并利用所得结论计算1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11×12（记为12!，读作12的阶乘）被13除所得的余数．【答案】12【分析】模13的倒数：(1,1)，(2,7)，(3,9)，(4,10)，(5,8)，(6,11)1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11×12=(2×7)×(3×9)×(4×10)×(5×8)×(6×11)×12,所以被13除所得的余数为12．4. （1）(123456789+23456879)÷3的余数是；（2）(12345687×24568×365878)÷9的余数是．【答案】（1）2；（2）0．【分析】根据余数定理可得．5. M、N为非零自然数，且2007M+2008N被7整除．M+N的最小值为．【答案】5【分析】2007除以7的余数是5，2008除以7的余数是6，所以5M+6N能被7整除试算，M+N最小值为3+2=5．6. 在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组．这样的数组共有组．【答案】4．【分析】1995，1998，2000，2001，2003除以9的余数依次是6，0，2，3，5．因为2+5=2+5+0=7，2+5+3+6=0+2+5+3+6=7+9，所以这样的数组共有下面4个：(2000,2003)，(1998,2000,2003)，(2000,2003,2001,1995)，(1998,2000,2003,2001,1995)．7. 三位数abc除以它的各位数字和的余数是1，三位数cba除以它的各位数字和的余数也是1．如果不同的字母代表不同的数字，且a>c，那么abc = ．【答案】452【分析】abc−cba=99(a−c)，故(a+b+c)∣[99(a−c)]，但(a+b+c)必定不是3的倍数，否则abc是3的倍数，abc÷(a+b+c)的余数必为3的倍数．故(a+b+c)∣[11(a−c)]，11是质数，且a+b+c>a−c，故(a+b+c)必为11的倍数．若a+b+c=11,则a+c−b=1，b=5，又a、b、c互不相同，a>c，故a=4,c=2,abc=452；若a+b+c=22，则a+c−b=12，b=5，又a、b、c互不相同，a>c，故a=9,c=8，但此解并未满足(a+b+c)∣[11(a−c)]的要求，故知此种情况无解．综上，本题有唯一答案452．8. 如果自然数 a 、b 、c 除以 14 都余 5，则 a +b +c 除以 14，得到的余数是 ．【答案】 1【分析】 已知 a ÷14⋯5，b ÷14⋯5，c ÷14⋯5，由余数的可加性得知：(a +b +c)÷14⋯19. 商店里有六箱货物，分别重 15，16，18，19，20，31 千克，两个顾客买走了其中的五箱．已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的 2 倍，那么商店剩下的一箱货物重量是 千克．【答案】 20【分析】 两个顾客买的货物重量是 3 的倍数．(15+16+18+19+20+31)÷(1+2)=119÷3=39⋯⋯2,剩下的一箱货物重量除以 3 应当余 2，只能是 20 千克．10. 由 1、4、7、10、13 组成甲组数，由 2、5、8、11、14 组成乙组数，由 3、6、9、12、15 组成丙组数．现在从三组数中各取一个数相加，共可以得到 个不同的和．【答案】 13【分析】 所得的和数一定是 3 的倍数，最小是 6，最大是 42，中间的 3 的倍数也都能得到，所以一共有 (42−6)÷3+1=13(个) 不同的和．11. 有一个整数，用它去除 70，110，160 所得到的 3 个余数之和是 50，那么这个整数是 ．【答案】 29【分析】 (70+110+160)−50=290，50÷3=16......2，除数应当是 290 的大于 17 小于 70 的约数，只可能是 29 和 58，110÷58=1......52，52>50，所以除数不是 58．70÷29=2......12，110÷29=3......23，160÷29=5......15，12+23+15=50，所以除数是 29．12. 四个最简真分数 12、a 3、b 5、c 67，满足：12−a 3+b 5+c 67=20092010．则 a +b +c = ．【答案】 32【分析】由题可得1005−670a+402b+30c=2009,整理得402b+30c−670a=1004,考虑除以5的余数，且b<5，推断出b=2，把b=2代入上式，可得3c−67a=20,所以c=29，a=1，a+b+c=32．13. 定义：1!=1，2!=1×2，3!=1×2×3，n!=1×2×3×⋯×n，则2011!+10除以2012的余数为．【答案】10【分析】2011!中包含2与1006，所以2011!是2012的倍数．那么余数为10．14. 将1至8填入方格中，使得数列□□,9,□□,□□,□□从第三个项开始，每一项都等于前面两项的和，那么这个数列的所有项之和是．【答案】198【分析】第三个数比第一个数多9，第四个数比第三个数多9；若第一个数除以9余a，则第三个数和第四个数也余a，第五个数则余2a，五个数总和除以9余4a；而由于1+2+3++9=45是9的倍数，易知a=0，即这五个数都是9的倍数；若设第一个数为18，则这五个数分别为18，9，27，36，63；6出现两次不符合要求；若设第一个数为27，则这五个数分别为27，9，36，45，81；符合要求．所有项之和为27+9+36+45+81=19815. 将1∼2015这2015个自然数依次写出，得到一个多位数123456789⋯20142015，这个多位数除以9，余数是．【答案】0【分析】乱切法，求多位数123456789⋯20142015除以9的余数，即要求1+2+3+4+5+⋯+2015=(1+2015)×20152=1008×2015除以9的余数，1008×2015≡0×8 (mod 9),则余数为0．16. 有8只盒子，每只盒内放有同一种笔．8只盒子所装笔的支数分别为17支、23支、33支、36支、38支、42支、49支、51支．在这些笔中，圆珠笔的支数是钢笔支数的2倍，铅笔支数是钢笔支数的3倍，只有一只盒里放的是水彩笔．这盒水彩笔共有支．【答案】49【分析】铅笔数是钢笔数的3倍，圆珠笔数是钢笔数的2倍，因此这三种笔支数的和是钢笔数的3+2+1=6(倍)．17+23+33+36+38+42+49+51=289，除以6余1，所以水彩笔的支数除以6余1，在上述8盒的支数中，只有49除以6余1，因此水彩笔共有49支．17. 22003与20032的和除以7的余数是．【答案】5．【分析】找规律．用7除2，22，23，24，25，26，…的余数分别是2，4，1，2，4，1，2，4，1，…，2的个数是3的倍数时，用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2；2的个数是3的倍数多2时，用7除的余数为4．因为22003=23×667+2，所以22003除以7余4．又两个数的积除以7的余数，与两个数分别除以7所得余数的积相同．而2003除以7余1，所以20032除以7余1．故22003与20032的和除以7的余数是4+1=5．18. 从1到999这999个自然数中有个数的各位数字之和能被4整除．【答案】248【分析】由于在一个数的前面写上几个0不影响这个数的各位数字之和，所以可以将1到999中的一位数和两位数的前面补上两个或一个0，使之成为一个三位数．现在相当于要求001到999中各位数字之和能被4整除的数的个数．一个数除以4的余数可能为0，1，2，3，0～9中除以4余0的数有3个，除以4余1的也有3个，除以4余2和3的各有2个．三个数的和要能被4整除，必须要求它们除以4的余数的和能被4整除，余数的情况有如下5种：0+0+0；0+1+3；0+2+2；1+1+2；2+3+3．（1）如果是0+0+0，即3个数除以4的余数都是0，则每位上都有3种选择，共有3×3×3=27种可能，但是注意到其中也包含了000这个数，应予排除，所以此时共有27−1=26(个);（2）如果是0+1+3，即3个数除以4的余数分别为0，1，3，而在3个位置上的排列有3!=6(种)，所以此时有3×3×2×6=108(个);（3）如果是0+2+2，即3个数除以4的余数分别为0，2，2，在3个位置上的排列有3种，所以此时有3×2×2×3=36(个);（4）如果是1+1+2，即3个数除以4的余数分别为1，1，2，在3个位置上的排列有3种，所以此时有3×3×2×3=54(个);（5）如果是2+3+3，即3个数除以4的余数分别为2，3，3，在3个位置上的排列有3种，此时有2×2×2×3=24(个).根据加法原理，共有26+108+36+54+24=248(个).19. 下列算式中，“迎”、“春”、“杯”、“数”、“学”、“花”、“园”、“探”、“秘”代表1~9 中的不同非零数字，那么，“迎春杯”所代表三位数的最大值是．1984−迎春杯=2015−数学−花园−探秘【答案】214【分析】（1）将等式整理得：迎春杯+31=数学+花园+探秘,等式两边除以9的余数相同，所以迎春杯除以9的余数只能为7，等式右侧除以9的余数为2；（2）要想迎春杯最大，则数学，花园，探秘应尽量的大，这3个数和最大为96+85+74=255,所以迎春杯最大不大于255−31=224，由于不同汉字代表不同非零数字，所以“迎”最大为2，“春”最大为1；（3）由于迎春杯除以9的余数为7，若“迎”取2，“春”取1，则“杯”为4，经尝试可得：214+31=97+85+67,所以迎春杯最大值为21420. 18＋28＋38＋…＋98除以3的余数是多少？【答案】0．【分析】根据等差数列求和列式：18＋28＋38＋…＋98=(18+98)×9÷2，整理可得58×9，因为58÷3⋯⋯1，9÷3⋯⋯0，根据余数定理，58×9除以3的余数等于1乘0除以3的余数，即1×0÷3⋯⋯0，所以18＋28＋38＋…＋98除以3的余数是0．21. 从1，2，3，4，⋯，2007中取N个不同的数，取出的数中任意三个的和能被15整除．N最大为多少？【答案】134【分析】取出的N个不同的数中，任意三个的和能被15整除，则其中任意两个数除以15的余数相同，且这个余数的3倍能被15整除，所以这个余数只能是0，5或者10．在1∼2007中，除以15的余数为0的有15×1,15×2,⋯,15×133,共有133个；除以15的余数为5的有15×0+5,15×1+5,⋯,15×133+5,共有134个；除以15的余数为10的有15×0+10,15×1+10,⋯,15×133+10,共有134个．所以N最大为134．22. 验算46876×9573=447156412这个算式是否正确？【答案】不正确．【分析】根据余数乘积性质，以及弃九法可知这个算式左边(46876×9573)÷9的余数为6，而右边447156412除以9的余数为7，所以这个算式不成立．23. 有如下图所示的十二张扑克牌．2点、6点、10点各四张，你能从中选出七张牌，使上面点数之和恰等于52吗？说明理由．【答案】不能【分析】因为每张牌除以4的余数均为2，7张牌除以4的余数仍为2，而52是4的倍数，矛盾，所以不能选出这样的7张牌．24. 若a为自然数，证明10∣∣(a2005−a1949)．【答案】见解析．【分析】10=2×5，由于a2005与a1949的奇偶性相同，所以2∣∣(a2005−a1949)．a2005−a1949=a1949(a56−1)，如果a能被5整除，那么5∣a1949(a56−1)；如果a不能被5整除，那么a被5除的余数为1、2、3或者4，a4被5除的余数为14、24、34、44被5除的余数，即为1、16、81、256被5除的余数，而这四个数除以5均余1，所以不管a为多少，a4被5除的余数为1，而a56=(a4)14，即14个a4相乘，所以a56除以5均余1，则a56−1能被5整除，有5∣a1949(a56−1)．所以5∣(a2005−a1949)．由于2与5互质，所以10∣(a2005−a1949)．25. 求644312÷19的余数．【答案】11【分析】本题为余数乘法定理的拓展模式，即数字的乘方与一个数相除的余数情况．由6443÷19余2，求原式的余数只要求212÷19的余数即可．但是如果用2÷19发现会进入一个死循环，因为这时被除数比除数小了，所以可以进行适当的调整，212=26×26=64×64，64÷19余数为7，那么求212÷19的余数就转化为求64×64÷19的余数，即49÷19的余数．49÷19余数为11，所以644312÷19的余数为11．26. 从1，2，3，4，⋯，200中取N个不同的数，取出的数中任意三个的和都不能被7整除．N最大为多少？【答案】60【分析】除以7的余数有：0、1、2、3、4、5、6，从余数看，能整除7的组合有：余数和为7：(0,0,0)、(0,1,6)、(0,2,5)、(0,3,4)、(1,1,5)、(1,2,4)、(1,3,3)、(2,2,3);余数和为14：(2,6,6)、(3,5,6)、(4,4,6)、(4,5,5).取1，则不能取6、5、3；取2，则不能取6、5、3；取1和2，则不能取4.1和2，与6、5、4、3选择，要选择取1和2．200÷7＝28⋯⋯4,取29个1，取29个2，2个0，共计：29+29+2＝60(个).27. 用自然数n去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=．【答案】43．【分析】n能整除63+91+129−25=258．因为25÷3=8...1，所以n是258大于8的约数．显然，n不能大于63．符合条件的只有43．28. 已知:a÷5=⋯⋯3，b÷5=⋯⋯2且a>b那么：（1）(a+b)÷5⋯⋯；（2）(a−b)÷5⋯⋯；（3）(a×b)÷5⋯⋯．【答案】（1）0；（2）1；（3）1．【分析】（1）(3+2)÷5⋯⋯0；（2）(3−2)÷5⋯⋯1；（3）(3×2)÷5⋯⋯1．29. 1＋2＋3＋…＋2000除以19的余数是多少？【答案】15．【分析】根据等差数列求和列式：1＋2＋3＋…＋2000=(1+2000)×2000÷2，整理可得2001×1000，因为2001÷19⋯6，1000÷19⋯12，根据余数定理，2001×1000除以19的余数等于6×12除以19的余数，即6×12÷19⋯15，所以1＋2＋3＋…＋2000除以19的余数是15．30. 如果a+b+c是5的倍数，2a+3b+4c也是5的倍数，求证a−c是5的倍数．（a、b、c都是自然数）【答案】见解析【分析】a−c=3(a+b+c)−(2a+3b+4c)，所以a−c能被5整除．31. 有一串数：1，1，2，3，5，8，……，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前2014个数中，有几个是5的倍数？【答案】402【分析】先观察规律可知这组数从第三个开始，每个数都等于与它相邻的前面两个数的和，所以根据余数的加法性质得出如下表格：数112358⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯除以5的余数112303314044320从上表可知这组自然数除以5的余数是每5个就有一个余数为0，所以2014÷5=402⋯⋯4所以，在这串数的前2014个数中，有402个是5的倍数．32. 六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱，一起到新华书店购买《数学的发现》．一看定价才发现有5个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本．这本《数学的发现》的定价是多少元？【答案】32【分析】六名小学生共带钱133元．133除以3余1，因为甲、乙、丙、丁、戊的钱恰好能买3本，所以他们五人带的钱数是3的倍数，另一人带的钱除以3余1．易知，这个钱数只能是37元，所以每本《数学的发现》的定价是(14+17+18+21+26)÷3=32元．33. 六位数20▫▫08能被49整除，▫▫中的数是多少？【答案】05或54．【分析】设六位数为20ab08，则20ab08=200008+ab00=200008+ab×100．因为200008÷49=4081⋯⋯39，所以(ab×100)÷49的余数为49−39=10．又因为100÷49=2⋯⋯2，所以ab÷49的余数为5．则ab可以是05或54．34. 在所有由1、3、5、7、9中的3个不同数字组成的三位数中，有多少个是3的倍数？【答案】24【分析】除以3余0的数有3,9，除以3余1的数有1,7，除以3余2的数有5，三个数字之和为3的倍数，本题只能从除以3余0,1,2的数中各取一个，每个三位数交换位置又可以变换出6个，因此共有2×2×1×6=24(个)．35. （1）123+456+789的结果除以111的余数是多少？（2）224468−6678的结果除以22的余数是多少？【答案】（1）36；（2）12【分析】简答：利用替换求余法计算．36. 已知98个互不相同的质数p1，p2，⋯，p98，记N=p12+p22+⋯+p982，问：N被3除的余数是多少？【答案】1或2．【分析】（1）这些质数中不含质数3，所以该数平方后被3除的余数就是1，所以N被3除的余数就是98被3除的余数，是2；（2）如果有3，那么剩下97个除以3余1．3的平方除以3余数是０，那么N除以3的余数1．37. 已知n!+4等于两个相邻自然数的乘积，试确定自然数n的值．（n!=1×2×3×⋯×n）【答案】2【分析】注意到两个相邻自然数的乘积除以3只能余0或余2．因为当n⩾3时，n!+4除以3余1，所以n<3，尝试n取0、1、2后得n为2．38. 从1，2，3，⋯⋯49，50这50个数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除，则最多能取出多少个数？【答案】23【分析】将1至50这50个数，按除以7的余数分为7类：[0]，[1]，[2]，[3]，[4]，[5]，[6]，所含的数的个数分别为7，8，7，7，7，7，7．被7除余1与余6的两个数之和是7的倍数，所以取出的数只能是这两种之一；同样的，被7除余2与余5的两个数之和是7的倍数，所以取出的数只能是这两种之一；被7除余3与余4的两个数之和是7的倍数，所以取出的数只能是这两种之一；两个数都是7的倍数，它们的和也是7的倍数，所以7的倍数中只能取1个．所以最多可以取出8+7+7+1=23个39. （1）21100的个位数字是多少？32014除以10的余数是多少？（2）32014除以7的余数是多少？【答案】（1）6；9（2）4【分析】详解：（1）2n的个位数字依次是2、4、8、6、⋯每四个数为一个周期．100除以4的余数是0，那么2100的个位数字是周期中的第四个数6．3n的个位数字依次是3、9、7、1、⋯每四个数为一个周期．2014除以4的余数是2，那么32014的个位数字是周期中的第二个数9．（2）3n除以7的余数依次是3、2、6、4、5、1、⋯每六个数为一个周期．2014除以6的余数是4．所以32014除以7的余数是周期中的第四个数4．40. 甲、乙两个天平上都放着一定重量的物体，问：哪—个是平衡的？【答案】天平乙是平衡的．【分析】考虑除以3，所得的余数．因为478除以3余1，9763除以3也余1（只要看4+7+8，9+7+6+3除以3的余数），所以478×9763除以3余1×1=1，而4666514除以3余2（即4+6+6+6+5+1+4除以3余2），因此478×9763≠4666514，从而天平甲不平衡．天平乙是平衡的．41. 有6个密封的盒子，分别装有红球、白球和黑球，每个盒子里只有一种颜色的球，且球的个数分别是15，16，18，19，20，31，已知黑球的个数是红球个数的两倍，装白球的盒子只有1个，问：（1）装有15个球的盒子里装的是什么颜色的球？（2）有多少个盒子里装的是黑球？【答案】（1）红球；（2）3【分析】（1）所有球的个数：15+16+18+19+20+31=119(个).黑球的个数是红球的2倍，黑球加红球的个数是红球的2+1=3倍119÷3=39⋯⋯2根据余数的可加可减性，白球的个数除以3也是余2，白球的个数只能是20．黑球和红球共：119−20=99(个).红球：99÷3=33(个)只能是15+18=33(个).答：装有15个球的盒子里装的是红球．（2）还剩下16，19，31的盒子里装的是黑球，即有3个盒子．答：有3个盒子里装的是黑球．42. 如果(3a+b)是7的倍数，求证(2b−a)也是7的倍数．（a、b都是自然数）．【答案】见解析【分析】方法一：因为(3a+b)是7的倍数，所以(6a+2b)也是7的倍数，所以(6a+2b−7a)即(2b−a)，也是7的倍数．方法二：设3a+b=7k，那么a=7k−b3，所以2b−a=7b−7k3也是7的倍数．43. 11+22+33+44+⋯+20052005除以10所得的余数为多少？【答案】3【分析】求结果除以10的余数即求其个位数字．从1到2005这2005个数的个位数字是10个一循环的，而对一个数的幂方的个位数，我们知道它总是4个一循环的，因此把所有加数的个位数按每20个（20是4和10的最小公倍数）一组，则不同组中对应的个位数字应该是一样的．首先计算11+22+33+44+⋯+2020的个位数字，为1+4+7+6+5+6+3+6+9+0+1+6+3+6+5+6+7+4+9+0=94的个位数字，为4，由于2005个加数共可分成100组另5个数，100组的个位数字和是4×100=400的个位数即0，另外5个数为20012001、20022002、20032003、20042004、20052005，它们和的个位数字是1+4+7+6+5=23的个位数3，所以原式的个位数字是3，即除以10的余数是3．44. 今天是星期四，101000天之后将是星期几？【答案】星期一【分析】先求较小的n，使10n除以7的余数为1．10除以7余3，102除以7余2，103=10×102除以7余3×2=6，104=102×102除以7余2×2=4，106=103×103除以7的余数等于6×6=36除以7的余数等于1，所以，101000除以7的余数等于104×106×166除以7的余数等于4×1=4故101000天后为星期一．45. 在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个？（余数可以为0）【答案】99【分析】我们知道18，33的最小公倍数为[18,33]=198，所以每198个数一次．1～198之间只有1，2，3，⋯，17，198（余0）这18个数除以18及33所得的余数相同，而999÷198=5⋯⋯9，所以共有5×18+9=99个这样的数．46. 如果六位数1992▫▫能被105整除，那么它的最后两位数是多少？【答案】90【分析】方法一：利用整除特征．因为105=3×7×5，所以这个六位数同时满足能被3、7、5整除的数的特征即可．末位只能为0或5．①如果末位填入0，那么数字和为1+9+9+2+▫+0=21+▫，要求数字和是3的倍数，所以▫可以为0，3，6，9，验证200−199=1，230−199=31，260−199=61，290−199=91，有91是7的倍数，即199290是7的倍数，所以题中数字的末两位为90．②如果末位填入5，同上解法，验证没有数同时满足能被3、7、5整除的特征．所以，题中数的末两位只能是90．方法二：采用试除法用199200试除，199200÷105=1897⋯⋯15，余15可以看成不足，105−15=90．所以补上90，即在末两位的方格内填入90即可．47. 22008+20082除以7的余数是多少？【答案】3【分析】23=8除以7的余数为1，2008=3×669+1，所以22008=23×669＋1=(23)669×2，其除以7的余数为：1669×2=2；2008除以7的余数为6，则20082除以7的余数等于62除以7的余数，为1；所以22008+20082除以7的余数为：2+1=3．48. 甲、乙、丙三数分别为603，939，393．某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍．求A等于多少？【答案】17【分析】设这个数为M，则603÷M=A1⋯⋯r1，939÷M=A2⋯⋯r2，393÷M=A3⋯⋯r3，r1=2×r2，r2=2×r3，要消去余数r1,r2,r3，我们只能先把把余数处理成相同的，再两数相减．这样我们先把第二个式子乘以2，这样被除数和余数都扩大2倍，同理，第三个式子乘以4．这样我们可以得到下面的式子：603÷M=A1…r1，(939×2)÷M=2A2…(r2×2)，(393×4)÷M=4A3⋯⋯(r3×4)这样余数就处理成相同的．最后两两相减消去余数，意味着能被M整除．939×2−603=1275，393×4−603=969，1275−969= 306，(1275,306)=51=3×17．603,939,393这三个数有公约数3．51÷3=17．则A等于17．49. 如果(a+2b)被5除余数为2，(3a−b)被5除所得的余数为3，求证：(a−b)能被5整除．（a、b都是自然数）．【答案】证明见解析【分析】方法一：设a+2b=5k+2，3a−b=5l+3，解方程组 $\left\{ \begin{gathered}a + 2b = 5k +2 \hfill \\3a - b = 5l +3 \hfill \\\end{gathered} \right.$ 得到 $\left\{ \begin{gathered}a = \dfrac{{10l+ 5k + 8}}{7} \hfill \\b = \dfrac{{3 +15k - 5l}}{7} \hfill \\\end{gathered} \right.$，所以a−b=15l−10k+57能被5整除．方法二：由题目条件2(3a−b)−3(a+2b)能被5整除，即3a−8b能被5整除，继而得到3a−3b能被5整除，所以a−b能被5整除．50. 在六位数11▫▫11中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19整除，那么方框中的两位数是多少？【答案】53【分析】采用试除法．设六位数为11ab11，则11ab11=11×10000+ab00+11=110011+ab00如果一个数能同时被17和19整除，那么一定能被323整除．110011÷323=340⋯⋯191,余191也可以看成不足323−191=132．所以当ab00=132+323n时，即ab00是100的倍数时，六位数才是323的倍数．所以有323n的末位只能是10−2=8，所以n只能是6，16，26，⋯验证有n=16时，132+ 323×16=5300，所以原题的方框中填入5，3得到的115311满足题意．−1的个位数字是多少？51. 自然数2×2×2×...×2⏟67个2【答案】7．的个数数字，再减去1即为所求（特别的如果是0，【分析】我们先计算2×2×2×...×2⏟67个2那么减去1后的个位数字因为借位为9）．将一个数除以10，所得的余数即是这个数的个位数字．而积的余数，等于同余余数的积．2除以10的余数为2，2×2除以10的余数为4，2×2×2除以10的余数为8，2×2×2×2除以10的余数为6；2×2×2×2×2除以10的余数为2，2×2×...×2除以10的余数为4，⏟6个22×2×...×2除以10的余数为8，⏟7个22×2×...×2除以10的余数为6；⋯⋯⏟8个2也就是说，n个2相乘所得的积除以10的余数每4个数一循环．除以10的余数同余与2×2×2，即余数为8，因为67÷4=16⋯⋯3，所以2×2×2...×2⏟67个2−1除以10的余数为7．所以2×2×2...×2⏟67个2−1的个位数字为7．即2×2×2...×2⏟67个2评注：n个相同的任意整数相乘所得积除以10的余数每4个数一循环．52. 11+22+33+44+⋯⋯+20132013+20142014除以10所得的余数为多少？【答案】3【分析】求结果除以10的余数即求其个位数字．从1到2014这2014个数的个位数字是10个一循环的，而对一个数的幂方的个位数，我们知道它总是4个一循环的，因此把所有加数的个位数按每20个（20是4和10的最小公倍数）一组，则不同组中对应的个位数字应该是一样的．首先计算11+22+33+44+⋯⋯+2020的个位数字，为1+4+7+6+5+6+3+6+9+0+1+6+3+6+5+6+7+4+9+0=94结果的个位数字为4，由于2014个加数共可分成100组另14个数，100组的个位数字和是4×100=400的个位数即0，另外5个数为20012001、20022002、20032003、20042004、20052005、…… 20142014，它们和的个位数字是1+4+7+6+5+6+3+6+9+0+1+6+3+6=63，63的个位数3，所以原式的个位数字是3，即除以10的余数是3．53. 求证：可以找到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数．【答案】见解析．【分析】1996÷4=499，下面证明可以找到1个各位数字都是1的自然数，它是499的倍数．取500个数：1，11，111，⋯⋯，111⋯⋯1（500个1）．用499去除这500个数，得到500个余数a1，a2，a3，⋯，a500．由于余数只能取0，1，2，⋯，498这499个值，所以根据抽屉原则，必有2个余数是相同的，这2个数的差就是499的倍数，差的前若干位是1，后若干位是0：11⋯100⋯0．又499和10是互质的，所以它的前若干位由1组成的自然数是499的倍数，将它乘以4，就得到一个各位数字都是4的自然数，这是1996的倍数．54. 已知n!+3是一个完全平方数，试确定自然数n的值．（n!=1×2×3×⋯×n）【答案】0、1或3【分析】枚举验证n为0、1、2、3、4、…，得到n为0、1或3时满足．因为当n⩾4时，n!+3除以4余3，根据完全平方数除以4只能余0或余1，可知当n⩾4时，n!+1不可能是完全平方数．55. 算式188+288+388+⋯+1988+2088的结果除以9、13的余数分别是多少？【答案】8；10【分析】188+288+388+⋯+1988+2008=(188+2088)×10然后利用替换求余法计算．56. （1）87784+49235×81368除以4、9的余数分別是多少？（2）365366+367368×369370除以7、11、13的余数分别是多少？【答案】（1）0；2（2）2；2；2【分析】 详解：提示，特性求余法和替换法结合使用．57. 用 0 至 9 这十个数字各 1 次，组成四位数、三位数、两位数和一位数各 1 个，并使这四个数两两互质．已知组成的四位数是 1860，那么其他的三个数是多少？【答案】 7；43；529【分析】 1860=22×3×5×31，一位数只能是 7，另外两个数的末位只能是 3 和 9．剩下的数字之和除以 3 余 2，只能拆成两个数除以 3 余 1 的组合，所以 4 和 2、5 是分成两组，49 是 7 的倍数，所以两位数只能是 43，259 是 7 的倍数，所以三位数只能是 529．58. 在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被 3 整除？【答案】 是．【分析】 因为任何整数除以 3，其余数只可能是 0，1，2 三种情形．我们将余数的这三种情形看成是三个“抽屉”．一个整数除以 3 的余数属于哪种情形，就将此整数放在那个“抽屉”里．将四个自然数放入三个抽屉，至少有一个抽屉里放了不止一个数，也就是说至少有两个数除以 3 的余数相同，所以这两个数的差必能被 3 整除．59. 一个大于 1 的数去除 290，235，200 时，得余数分别为 a ，a +2，a +5，则这个自然数是多少？【答案】 19【分析】 设这个数为 x ，则有{290÷x =m ⋯⋯a235÷x =n ⋯⋯a +2200÷x =p ⋯⋯a +5可以转化为：{290÷x =m ⋯⋯a233÷x =n ⋯⋯a 195÷x =p ⋯⋯a即有 290≡233(modx)≡195(modx)，根据同余性质，可知 x 为它们两两差的约数，又290−233=57，290−195=95，233−195=38，(38,57,95)=19，所以这个自然数为 19．60. 算式 2009×2009+2010×2010+2011×2011 除以 31 的余数是多少？【答案】 15【分析】 简答：利用替换求余法计算．61. 已知60，154，200被某自然数除所得的余数分别是a−1，a2，a3−1，求该自然数的值．【答案】29【分析】根据题意可知，自然数61，154，201被该数除所得余数分别是a，a2，a3．由于a2=a×a，所以自然数612=3721与154同余；由于a3=a×a2，所以61×154=9394与201同余，所以除数是3721−154=3567和9394−201=9193的公约数，运用辗转相除法可得到(3567,9193)=29，该除数为29．经检验成立．62. 一个自然数除429、480所得的余数相等，求这个自然数的值．【答案】3，17或51．【分析】这两个数除以该自然数的余数相同，也就是同余，那么这两个数的差除以该自然数就除得开，也就是(480−429)能够除得开，即51．51=3×17，这个数可以是3，17或51．63. 请问至少出现一个数码3，并且是3的倍数的五位数共有多少个？【答案】12504【分析】五位数共有90000个，其中3的倍数有30000个．可以采用排除法，首先考虑有多少个五位数是3的倍数但不含有数码3．首位数码有8种选择，第二、三、四位数码都有9种选择．当前四位的数码确定后，如果它们的和除以余数为0，则第五位数码可以为0、6、9；如果余数为1，则第五位数码可以为2、5、8；如果余数为2，则第五位数码可以为1、4、7．可见只要前四位数码确定了，第五位数码都有3种选择，所以五位数中是3的倍数但不含有数码3的数共有8×9×9×9×3=17496(个).所以满足条件的五位数共有30000−17496=12504(个).64. (3130+3031)被13除所得的余数是多少？【答案】3【分析】31被13除所得的余数为5，当n取1，2，3，⋯，时5n被13除所得余数分别是5，12，8，1，5，12，8，1，⋯，以4为周期循环出现，所以530被13除的余数与52被13除的余数相同，余12，则3130除以13的余数为12；30被13除所得的余数是4，当n取1，2，3，⋯，时，4n被13除所得的余数分别是4，3，12，9，10，1，4，3，12，9，10，⋯，以6为周期循环出现，所以431被13除所得的余数等于41被13除所得的余数，即4，故3031除以13的余数为4；所以(3130+3031)被13除所得的余数是12+4−13=3．65. 求1∼2013的自然数中最多可以取出多少个数，使得任意两数之和不能被两数之差整除？。
同余知识框架一、余数的性质⑴被除数=除数⨯商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数；⑵余数小于除数．余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2.当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝43.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。
当余例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么n a与n b除以m的余数也相同．二、同余定理1、定义整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余，即a≡b（modm）2、同余的重要性质及举例。
〈1〉a≡a（modm）（a为任意自然）；〈2〉若a≡b（modm），则b≡a（modm）〈3〉若a≡b（modm），b≡c（modm）则a≡c（modm）；〈4〉若a≡b（modm），则ac≡bc（modm）〈5〉若a≡b（modm），c≡d（modm），则ac=bd（modm）；〈6〉若a≡b（modm）则an≡bm（modm）其中性质〈3〉常被称为"同余的可传递性"，性质〈4〉、〈5〉常被称为"同余的可乘性，"性质〈6〉常被称为"同余的可开方性"注意：一般地同余没有"可除性"，但是：如果：ac=bc（modm）且（c，m）=1则a≡b （modm）3、整数分类：〈1〉用2来将整数分类，分为两类：1，3，5，7，9，……（奇数）；0，2，4，6，8，……（偶数）〈2〉用3来将整数分类，分为三类：0，3，6，9，12，……（被3除余数是0）1，4，7，10，13，……（被3除余数是1）2，5，8，11，14，……（被3除余数是2）〈3〉在模6的情况下，可将整数分成六类，分别是：0（mod6）：0，6，12，18，24，……1（mod6）：1，7，13，19，25，……2（mod6）：2，8，14，20，26，……3（mod6）：3，9，15，21，27，……4（mod6）：4，10，16，22，29，……5（mod6）：5，11，17，23，29，……例题精讲一、同余的性质【例1】有一个整数，除100、195所得的余数都是5，求这个数的可能值。
余数一、余数的性质与计算1.余数：40÷16=2……8（余数）[余数小于除数]A÷B=Q……R A=B×Q＋R（方法1）2.余数的性质：①和的余数等于余数的和[给例子让小孩算，让小孩总结]②差的余数等于余数的差③积的余数等于余数的积[理论上除法也是可以的，但是小孩算容易算错，直接告诉他们不可以]替换求余法（针对算式）（方法2）[算完之后还要根据余数小于除数，多次使用替换求余，验证结果]3.余数的计算：①直接计算②替换求余法③特性求余法：（1）一个数除以2或5的余数，等于这个数的各位数字除以2或5的余数；（方法3）一个数除以4或25的余数，等于这个数的末两位数字除以4或25的余数；一个数处于8或125的余数，等于这个数的末三位除以8或125的余数；（2）一个数除以3或9的余数，等于这个数的各位数字和除以3或9的余数（3）一个数除以11的余数，等于它的奇位数字和减去偶位数字和的差除以11的余数，如果奇位数字和比偶位数字和小，则加上若干个11再减即可。
（4）一个数除以7、11、13的余数，等于将它三位截断之后，奇数段之和减去偶数段之和除以7、11和13的余数，如果奇数段之和比偶数段之和小，则加上若干个7、11或13再减即可。
④周期求余法：（针对a b）（方法4）[例：2100÷3余几，找出2122232425……的规律][例：100100÷7余几，则先把底数100替换成2，指数不变，找规律]⑤分解求余法：A÷B余C，A÷D余E，求A÷（B×D）余几（1）C=D，则A÷（B×D）余C/D（2）C D，用物不知数来做。
先反求出最小的被除数，再用被除数÷（B×D）二、物不知数（知除数和余数，求被除数）1.有规律的①余数相同：A÷B余K，A÷D余K被除数最小为K（当K不等于0时），第二小是K＋[B,C]，每次加[B,C]A—K=[B,C]×n②缺数相同（除数和余数的差相同）：A÷B余M，A÷C余N，B—M=C—N被除数最小为[B,C]—差，每次加[B,C]A=[B,C]×n—（B—M）③和数相同（除数和余数的和相同）：A÷B余M，A÷C余N，B＋M=C＋N被除数最小为[B,C]＋差，每次加[B,C]A=[B,C]×n＋（B＋M）2.无规律（逐步满足）一般先从除数大的开始找，找到第一个满足条件的被除数之后，以后每个加除数的最小公倍数。
1.学习余数的三大定理及综合运用2. 理解弃9法，并运用其解题一、三大余数定理：1.余数的加法定理 a 与b 的和除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理a 与b 的差除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝43.余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a 与b 除以m 的余数相同，那么n a 与n b 除以m 的余数也相同．二、弃九法原理在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234189818922678967178902889923++++=1234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4知识点拨教学目标5-5-4.余数性质（二）678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。
余数问题在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。
当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。
余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：（1）余数小于除数。
（2）被除数=除数×商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数。
（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。
例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。
（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。
例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。
注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。
例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。
（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。
例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。
注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。
例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。
性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。
例1 5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。
分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。
5122-66=5056，5056应是除数的整数倍。
将5056分解质因数，得到5056=26×79。
由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。
例2 被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。
小学奥数公式推导—余数的性质目的：通过自己推导公式，更好的理解小学奥数的公式和解题方法，熟悉代数方法。
今天介绍一下余数的性质，余数的概念和性质是非常重要的，是数论的基础。
我们都知道：①和的余数=余数的和②积的余数=余数的积例如：633÷7=90 余3702÷7=100 余2那么633+702的和除以7的余数就是3+2=5那么633×702的积除以7的余数是3×2=6(如果和或乘积大于7，那么再对7取余数)这两个知识很容易背下来，用几遍就熟练了，可是却很少有孩子去考虑为什么有这个规律。
下面我们抽象一下，试着用字母来代替数把这两个数写成7m+a与7n+b（孩子们可以多练习用字母来表示数，比如偶数可以表示成2n，奇数可以表示成2n-1，3的倍数表示成3n等等。
）①和的余数=余数的和(7m+a)+(7n+b)=7m+7n+a+b前两项都是7的倍数，所以余数就取决于a+b②积的余数=余数的积(7m+a)(7n+b)接下来把括号打开，只需要明白乘法分配律即可（如果刚开始接触，括号打不开，可以把其中一个括号当作一个整体，进行2次去括号。
）7m7n+7mb+7na+ab我们发现前三项都是7的倍数，所以不影响整个和除以7的余数。
（或者利用性质①四项和的余数就是0+0+0+ab）所以就是ab除以7的余数。
如果理解了积的余数，可以利用它研究一下乘方，例如求703的703次方除以7的余数。
根据②，这个余数可以简化成3的703次方(幂同余定理，就不描述术语了，孩子不容易理解)：3的1次方除以7余33的2次方除以7余23的3次方除以7余6（利用3X2）3的4次方除以7余4（利用6X3）3的5次方除以7余5（利用4X3）3的6次方除以7余1（利用5X3）3的7次方除以7余3（开始循环）利用周期就可以求出答案。
（肯定会出现循环，因为除以7的余数只有0-6，7次以内肯定会循环）以后看见这种题应该能做出来了吧。
