高中数学排列组合全排列技巧

高中数学排列组合问题的常见解题方法和策略

江西省永丰中学陈保进

排列组合问题是高中数学的一个难点，它和实际问题联系紧密，题型多样，解题思路灵活多变，

学生不容易掌握。下面介绍一些常见的排列组合问题的解题方法和策略。

1.相邻问题捆绑法：将相邻的几个元素捆绑成一组，当作一个大元素参与排列

例1：A,B,C,D,E五人站成一排，如果A,B必须相邻，则不同的排法种数为_____

解析：把A,B捆绑，视为一个整体，整体内部排序，有2

2A种情况,再将整体和另外三人排序，有

4

4A种情况，所以答案为2

2A×4

4A=48

注意：小集团问题也可以用捆绑法

变式1：7人排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人，则不同的排法有_____种

解析：把甲、乙及中间3人看作一个整体，答案为7203

33

52

2AAA

2.不相邻问题插空法:不相邻问题，可先把其他元素全排列，再把需要不相邻的元素插入到其他元

素的空位或两端

例2：七人并排站成一行，如果甲乙丙两两不相邻，那么不同的排法种数是_____

解析：

先将其它4人全排列，共4

4A种情况，再将甲乙丙插入到其他4人的空位或两端，共3

5A种

情况，所以答案为4

4A×3

5A=1440

3.定序问题用除法:若要求某几个元素必须保持一定的顺序，可用除法

例3：A,B,C,D,E五人站成一列，如果A必须在B前面，则不同的排法种数有_____

解析：先将5人全排列，共5

5A种情况，考虑A,B的顺序有2

2A种，符合题意的只有一种，所以答案为602255AA

4.特殊元素优先考虑

例4：8名男生排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边，有种排法

解析：①甲在最右边时，其他的可全排，有7

7A种不同排法

②甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有1

6A种，再排乙，有1

6A种排法，其

余人全排列，共有7

7A＋1

6A×1

6A×6

6A＝30960种不同排法

5.特殊位置优先考虑

例5：从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有种

排列组合问题的常用解题技巧与方法

纵观近年全国高考数学试题,每年都有1-2个排列组合题,考察排列组合的基础知识与思维能力,试题的难度与课本中的试题难度相当,但也有个别试题的难度较大,重点考察学生理解、分析和解决问题的能力,有些试题以应用题的形式出现,考察学生解决实际生活问题的能力。有关排列组合的问题是高中学生学习中棘手的一个问题,很多学生在高考中失分较多。解决排列组合的有关问题,首先,必须认真审题,明确问题是否是排列、组合问题。其次,抓住问题的本质特征,灵活运用基本原理和公式进行分析解答。实践证明,备考的有效方法是题型和解法归类,识别模式,熟练运用。下面,谈谈笔者在多年教学研究中的一些解题思路与方法:

一、相邻问题“捆绑法”(大元素法、整体法或并组法)

对于某几个元素要求相邻的排列问题,可先将相邻的元素“捆绑”起来,看作一个大元素(整体)与其他元素排列,然后再对大元素内部进行排列。

例1:书架上有4本不同的数学书,5本不同的语文书,3本不同的化学书,全部竖起排成一排,如果不使同类书分开,一共有多少种排法?

分析:由于同类书不分开,即把4本数学书,5本语文书,3本化学书,分别捆成一捆,看作3个大元素进行排列有 ,每捆内部分别有 种、 种、 种不同的排列,再由分步计数原理,共有排法: =103680种。

二、不相邻问题“插空法”

对于某几个元素要求不相邻的问题,可以先将其他无要求的全排列,再把规定不相邻的几个元素插入上述几个元素之间及两端的空位之中。

例2:七个人并排站成一排,如果甲、乙两人必须不相邻,那么,不同排法的种数是多少?

分析:先把5个人全排列有 不同排法,再把甲乙两人插入6个空位有 种插法。

∴共有 =3600种不同排法。

三、特殊元素“优先安排法”

对含有特殊元素的排列组合问题,一般应优先考虑特殊元素的排法,再考虑其他元素的排列。

高中数学排列与组合

（一）典型分类讲解

一.特殊元素和特殊位置优先策略

例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.

解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.

先排末位共有13C

然后排首位共有14C

最后排其它位置共有34A

由分步计数原理得113434288CCA

练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法

二.相邻元素捆绑策略

例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.

解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522522480AAA种不同的排法

乙甲丁丙

练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20

三.不相邻问题插空策略 C14A34C13

要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种

解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456AA 种

练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30

四.定序问题倍缩空位插入策略

例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法

解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7373/AA

排列组合问题的几种巧解方法

排列组合应用问题是历年高考必考题目，因其内容比较抽象、题型繁多、灵活多变、解题方法独特，与学生原有解题经验甚不相同，而成为高中数学教学的一个难点。但只要我们认真审题，明确题目属于排列还是组合问题，或是排组混合问题，抓住问题本质特征，把握基本思想，灵活应用基本原理，注意讲究一些基本策略和方法技巧，善于分类讨论，适当转化，就能开拓思路，化难为易，使问题迎刃而解。求解排列组合问题除了掌握两个基本原理(加法原理和乘法原理)外，没有现成的方法可套，只能根据具体问题灵活采用各种技巧。本文就此通过一些实例介绍一下解决此类问题的一些常见的技巧。

一、对等法。在有些问题中，某种限制条件的肯定与否定是对等的，各占全体的二分之一，在求解中只要求出全体，就可以得到所求。例如：期中安排考试科目9门，语文要在数学之前考，有多少种不同的安排顺序？

分析：对于任何一个排列问题，就其中的两个元素来讲的话，他们的排列顺序只有两种情况，并且在整个排列中，他们出现的机会是均等的，因此要求其中的某一种情况，能够得到全体，那么问题就可以解决了。并且也避免了问题的复杂性。

解：不加任何限制条件，整个排法有种，“语文安排在数学之前考”，与“数学安排在语文之前考”的排法是相等的，所以语文安排在数学之前考的排法共有

种。

二、插入法。对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题，可以用插入法，即先排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素后的空档之中即可。例如：学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。8个学生，4个老师，要求老师在学生中间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法?

分析：此题涉及到的是不相邻问题，并且是对老师有特殊的要求，因此老师是特殊元素，在解决时就要特殊对待。所涉及问题是排列问题。

解：先排学生共有种排法，然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插，选其中的4个空档，共有 种选法。根据乘法原理，共有的不同坐法为 种。