高考数学一轮复习第10章概率第2节古典概型教学案文含解析北师大版

第二节古典概型对应学生用书P149古典概型(1)特点：①试验中所有可能出现的结果个数只有有限个，即有限性． ②每个结果发生的可能性相等，即等可能性． (2)概率公式：P (A )＝事件A 包含的可能结果数试验的所有可能结果数＝m n.1．在计算古典概型中试验的所有可能结果数和事件发生结果数时，易忽视他们是否是等可能的．2．概率的一般加法公式P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )中，易忽视只有当A ∩B ＝∅，即A ，B 互斥时，P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )，此时P (A ∩B )＝0.[试一试]1．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任选两台，其中两种品牌的彩电齐全的概率是( ) A.45 B.35 C.25D.15解析：选B P ＝3×210＝35.2．从1,2,3,4,5,6六个数中任取3个数，则取出的3个数是连续自然数的概率是( ) A.35 B.25 C.13D.15 解析：选D 取出的三个数是连续自然数有4种情况，则取出的三个数是连续自然数的概率P ＝420＝15.古典概型中试验发生结果个数的探求方法(1)枚举法：适合给定的试验结果个数较少且易一一列举出的．(2)树状图法：适合于较为复杂的问题的试验结果数的探求，注意在确定结果数时(x ，y )可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同．有时也可以看成是无序的，如(1,2)(2,1)相同．[练一练]从集合A ＝{2,3，－4}中随机选取一个数记为k ，从集合B ＝{－2，－3,4}中随机选取一个数记为b ，则直线y ＝kx ＋b 不经过第二象限的概率为( )A.29B.13C.49D.59解析：选C 依题意k 和b 的所有可能的取法一共有3×3＝9种，其中当直线y ＝kx ＋b 不经过第二象限时应有k ＞0，b ＜0，一共有2×2＝4种，所以所求概率为49.对应学生用书P149考点一古典概型1．一袋中装有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为( )A.132B.164C.332D.364解析：选D 试验所有结果为(1,1)，(1,2)，…，(1,8)，(2,1)，(2,2)，…，(8,8)，共64种．两球编号之和不小于15的情况有三种，分别为(7,8)，(8,7)，(8,8)，∴所求概率为364.2．(2013·温州调研)一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是( )A.15B.310C.25D.12 解析：选C 共有(黑1，黑2)、(黑1，黑3)、(黑1，红1)、(黑1，红2)、(黑2，黑3)、(黑2，红1)、(黑2，红2)、(黑3，红1)、(黑3，红2)、(红1，红2)10个结果，同色球为(黑1，黑2)、(黑1，黑3)、(黑2，黑3)、(红1，红2)共4个结果，∴P＝410＝2 5.3．(2013·深圳第一次调研)一个袋中有4个大小相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从袋中有放回地取球，每次随机取一个．(1)求连续取两次都是白球的概率；(2)假设取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0分，若连续取三次，则分数之和为4分的概率是多少？解：(1)连续取两次的结果有：(红，红)，(红，白1)，(红，白2)，(红，黑)；(白1，红)，(白1，白1)，(白1，白2)，(白1，黑)；(白2，红)，(白2，白1)，(白2，白2)，(白2，黑)；(黑，红)，(黑，白1)，(黑，白2)，(黑，黑)，共16个．连续取两次都是白球的结果有：(白1，白1)，(白1，白2)，(白2，白1)，(白2，白2)，共4个，故所求概率为416＝1 4.(2)连续取三次的结果有：(红，红，红)，(红，红，白1)，(红，红，白2)，(红，红，黑)；(红，白1，红)，(红，白1，白1)，(红，白1，白2)，(红，白1，黑)，…，共64个．因为取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0分，若连续取三次，则分数之和为4分的结果如下：(红，白1，白1)，(红，白1，白2)，(红，白2，白1)，(红，白2，白2)，(白1，红，白1)，(白1，红，白2)，(白2，红，白1)，(白2，红，白2)，(白1，白1，红)，(白1，白2，红)，(白2，白1，红)，(白2，白2，红)，(红，红，黑)，(红，黑，红)，(黑，红，红)，共15个．故所求概率为1564.[类题通法]计算古典概型事件的概率三步法第一步：算出试验可能结果的总个数n；第二步：求出事件A所包含的结果个数m；第三步：代入公式求出概率P.考点二古典概型的交汇命题问题古典概型在高考中常与平面向量、集合、函数、解析几何、统计等知识交汇命题，命题的角度新颖，考查知识面全，能力要求较高，归纳起来常见的交汇命题角度有：(1)古典概型与平面向量相结合； (2)古典概型与直线、圆相结合； (3)古典概型与函数相结合.角度一 古典概型与平面向量相结合1．(2013·济南模拟)设连续掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，令平面向量a ＝(m ，n )，b ＝(1，－3)．(1)求使得事件“a ⊥b ”发生的概率； (2)求使得事件“|a |≤|b |”发生的概率．解：(1)由题意知，m ∈{1,2,3,4,5,6}，n ∈{1,2,3,4,5,6}，故(m ，n )所有可能的取法共36种． 使得a ⊥b ，即m －3n ＝0，即m ＝3n ，共有2种：(3,1)、(6,2)，所以事件a ⊥b 的概率为236＝118. (2)|a |≤|b |，即m 2＋n 2≤10，共有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(3,1)6种使得|a |≤|b |，其概率为636＝16.角度二 古典概型与直线、圆相结合2．连掷骰子两次得到的点数分别记为a 和b ，则使直线3x －4y ＝0与圆(x －a )2－(y －b )2＝4相切的概率为( )A.16B.118C.19D.13解析：选B 连掷骰子两次总的试验结果有36种，要使直线3x －4y ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝4相切，则|3a －4b |5＝2，即满足|3a －4b |＝10，符合题意的(a ，b )有(6,2)，(2,4)，共2种，由古典概型的概率计算公式可得所求概率为P ＝118.角度三 古典概型与函数相结合3．(2014·安徽省级示范高中一模)设a ∈{2,4}，b ∈{1,3}，函数f (x )＝12ax 2＋bx ＋1.(1)求f (x )在区间(－∞，－1]上是减函数的概率；(2)从f (x )中随机抽取两个，求它们在(1，f (1))处的切线互相平行的概率．解：(1)f ′(x )＝ax ＋b ，由题意f ′(－1)≤0，即b ≤a ，而(a ，b )共有(2,1)，(2,3)(4,1)，(4,3)四种，满足b ≤a 的有3种，故概率为34.(2)由(1)可知，函数f (x )共有4种可能，从中随机抽取两个，有6种抽法． ∵函数f (x )在(1，f (1))处的切线的斜率为f ′(1)＝a ＋b ，∴这两个函数中的a 与b 之和应该相等，而只有(2,3)，(4,1)这1组满足， ∴概率为16.[类题通法]解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为试验结果个数，求出m 、n 的值．然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．对应学生用书P150[课堂练通考点]1．(2013·江南十校联考)第16届亚运会于2010年11月12日在中国广州举行，运动会期间从来自A 大学的2名志愿者和来自B 大学的4名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，至少有一名A 大学志愿者的概率是( )A.115 B.25 C.35D.1415解析：选C 记2名来自A 大学的志愿者为A 1，A 2,4名来自B 大学的志愿者为B 1，B 2，B 3，B 4.从这6名志愿者中选出2名的结果有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1， B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，B 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，B 4)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，B 4)，(B 2，B 3)，(B 2，B 4)，(B 3，B 4)，共15种．其中至少有一名A 大学志愿者的事件有9种．故所求概率P ＝915＝35.故选C.2．(2014·亳州高三质检)已知集合M ＝{1,2,3,4}，N ＝{(a ，b )|a ∈M ，b ∈M }，A 是集合N 中任意一点，O 为坐标原点，则直线OA 与y ＝x 2＋1有交点的概率是( )A.12B.13C.14D.18解析：选C 易知过点(0,0)与y ＝x 2＋1相切的直线为y ＝2x (斜率小于0的无需考虑)，集合N 中共有16个元素，其中使OA 斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，由古典概型知概率为416＝14.3．我们把日均收看体育节目的时间超过50分钟的观众称为“超级体育迷”．已知5名“超级体育迷”中有2名女性，若从中任选2名，则至少有1名女性的概率为( )A.710B.15C.14D.12解析：选A 用a i 表示男性，其中i ＝1,2,3，b j 表示女性，其中j ＝1,2.记“选出的2名全都是男性”为事件A ，“选出的2名有1名男性1名女性”为事件B ，“选出的2名全都是女性”为事件C ，则事件A 包含(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 2，a 3)，共3个结果，事件B 包含(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，共6个结果，事件C 包含(b 1，b 2)，共1个结果．事件A ，B ，C 彼此互斥，事件至少有1名女性包含事件B 和C ，所以所求事件的概率为6＋13＋6＋1＝710.4．(2013·南京模拟)在集合A ＝{2,3}中随机取一个元素m ，在集合B ＝{1,2,3}中随机取一个元素n ，得到点P (m ，n )，则点P 在圆x 2＋y 2＝9内部的概率为________．解析：点P (m ，n )共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，6种情况，只有(2,1)，(2,2)这2个点在圆x 2＋y 2＝9的内部，所求概率为26＝13.答案：135．(2013·江西高考)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X ，若X >0就去打球，若X ＝0就去唱歌，若X <0就去下棋．(1)写出数量积X 的所有可能取值；(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．解：(1)X 的所有可能取值为－2，－1,0,1.(2)数量积为－2的有2OA u u u u r ·5OA u u u r，共1种； 数量积为－1的有1OA u u u r ·5OA u u u r ，1OA u u u r ·6OA u u u r ，2OA u u u u r ·4OA u u u r ，2OA u u u u r ·6OA u u u r ，3OA u u u u r ·4OA u u u r，3OA u u u u r ·5OA u u u r ，共6种；数量积为0的有1OA u u u r ·3OA u u u u r ，1OA u u u r ·4OA u u u r ，3OA u u u u r ·6OA u u u r ，4OA u u u r ·6OA u u u r，共4种； 数量积为1的有1OA u u u r ·2OA u u u u r ，2OA u u u u r ·3OA u u u u r ，4OA u u u r ·5OA u u u r ，5OA u u u r ·6OA u u u r，共4种． 故所有可能的情况共有15种． 所以小波去下棋的概率为P 1＝715；因为去唱歌的概率为P 2＝415，所以小波不去唱歌的概率P ＝1－P 2＝1－415＝1115.[课下提升考能]第Ⅰ卷：夯基保分卷1．(2013·惠州模拟)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b >a 的概率是( )A.45 B.35 C.25D.15解析：选D 从{1,2,3,4,5}中选取一个数a 有5种取法，从{1,2,3}中选取一个数b 有3种取法．所以选取两个数a ，b 共有5×3＝15种取法．满足b >a 的取法共有3个．因此b >a 的概率P ＝315＝15.2．高三(4)班有4个学习小组，从中抽出2个小组进行作业检查．在这个试验中，所有可能结果个数为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选C 设这4个学习小组为A ，B ，C ，D ，“从中任抽取两个小组”的所有可能结果有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，共6个．3．文科班某同学参加省学业水平测试，物理、化学、生物获得等级A 和获得等级不是A 的机会相等，物理、化学、生物获得等级A 的事件分别记为W 1，W 2，W 3，物理、化学、生物获得等级不是A 的事件分别记为W 1，W 2，W 3.则该同学参加这次学业水平测试获得两个A 的概率为( )A.38B.18C.35D.45解析：选A 该同学这次学业水平测试中物理、化学、生物成绩所有可能的结果有8种，分别为(W 1，W 2，W 3)，(W 1，W 2，W 3)，(W 1，W 2，W 3)，(W 1，W 2，W 3)，(W 1，W 2，W 3)，(W 1，W 2，W 3)，(W 1，W 2，W 3)，(W 1，W 2，W 3)．有两个A 的情况为(W 1，W 2，W 3)，(W 1，W 2，W 3)，(W 1，W 2，W 3)，共3种，从而其概率为P ＝38.4．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1 000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个正方体其三面涂有油漆的概率是( )A.112B.110C.325D.1125解析：选D 小正方体三面涂有油漆的有8种情况，故所求其概率为81 000＝1125. 5．(2014·浙江联考)一个袋子中装有六个大小形状完全相同的小球，其中一个编号为1，两个编号为2，三个编号为3.现从中任取一球，记下编号后放回，再任取一球，则两次取出的球的编号之和等于4的概率是________．解析：列举可知，共有36种情况，和为4的情况有10种，所以所求概率P ＝1036＝518.答案：5186．(2014·宣武模拟)曲线C 的方程为x 2m 2＋y 2n 2＝1，其中m ，n 是将一枚骰子先后投掷两次所得点数，事件A ＝“方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆”，那么P (A )＝________.解析：试验中所有可能结果个数为36；若想表示椭圆，则先后两次的骰子点数不能相同，则去掉6种可能，既然椭圆焦点在x 轴上，则m ＞n ，又只剩下一半情况，即有15种，因此P (A )＝1536＝512.答案：5127．某种零件按质量标准分为1,2,3,4,5五个等级．现从一批该零件中随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下：(1)在抽取的20(2)在(1)的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率．解：(1)由频率分布表得0.05＋m ＋0.15＋0.35＋n ＝1， 即m ＋n ＝0.45.由抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个， 得n ＝220＝0.1，所以m ＝0.45－0.1＝0.35.(2)由(1)得，等级为3的零件有3个，记作x 1，x 2，x 3；等级为5的零件有2个，记作y 1，y 2.从x 1，x 2，x 3，y 1，y 2中任意抽取2个零件，所有可能的结果为(x 1，x 2)，(x 1，x 3)，(x 1，y 1)，(x 1，y 2)，(x 2，x 3)，(x 2，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 1)，(x 3，y 2)，(y 1，y 2)，共10种．记事件A 为“从零件x 1，x 2，x 3，y 1，y 2中任取2件，其等级相等”． 则A 包含的可能结果有(x 1，x 2)，(x 1，x 3)，(x 2，x 3)，(y 1，y 2)，共4种． 故所求概率为P (A )＝410＝0.4.8．将一个质地均匀的正方体(六个面上分别标有数字0,1,2,3,4,5)和一个正四面体(四个面分别标有数字1,2,3,4)同时抛掷1次，规定“正方体向上的面上的数字为a ，正四面体的三个侧面上的数字之和为b ”．设复数为z ＝a ＋b i.(1)若集合A ＝{z |z 为纯虚数}，用列举法表示集合A ；(2)求事件“复数在复平面内对应的点(a ，b )满足a 2＋(b －6)2≤9”的概率． 解：(1)A ＝{6i,7i,8i,9i}．(2)满足条件的所有可能结果的个数为24.设满足“复数在复平面内对应的点(a，b)满足a2＋(b－6)2≤9”的事件为B.当a＝0时，b＝6,7,8,9满足a2＋(b－6)2≤9；当a＝1时，b＝6,7,8满足a2＋(b－6)2≤9；当a＝2时，b＝6,7,8满足a2＋(b－6)2≤9；当a＝3时，b＝6满足a2＋(b－6)2≤9.即B为(0,6)，(0,7)，(0,8)，(0,9)，(1,6)，(1,7)，(1,8)，(2,6)，(2,7)，(2,8)，(3,6)共计11个结果．所以所求概率P＝1124.第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2013·陕西高考)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次．根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表：(2) 在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．解：(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽到的人数如下表：(2)记从A组抽到的3个评委为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B组抽到的6个评委为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手．从{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的所有结果为：由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a 1b 1，a 1b 2，a 2b 1，a 2b 2共4种，故所求概率p ＝418＝29. 2．已知集合P ＝{x |x (x 2＋10x ＋24)＝0}，Q ＝{y |y ＝2n －1，1≤n ≤2，n ∈N ＋}，M ＝P ∪Q .在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(x ′，y ′)，且x ′∈M ，y ′∈M ，试计算：(1)点A 正好在第三象限的概率；(2)点A 不在y 轴上的概率；(3)点A 正好落在区域x 2＋y 2≤10上的概率．解：由集合P ＝{x |x (x 2＋10x ＋24)＝0}可得P ＝{－6，－4,0}，由Q ＝{y |y ＝2n －1,1≤n ≤2，n ∈N ＋}可得Q ＝{1,3}，则M ＝P ∪Q ＝{－6，－4,0,1,3}，因为点A 的坐标为(x ′，y ′)，且x ′∈M ，y ′∈M ，所以满足条件的点A 的所有情况为(－6，－6)，(－6，－4)，(－6,0)，(－6,1)，(－6,3)，…，(3,3)，共25种．(1)点A 正好在第三象限的可能情况为(－6，－6)，(－4，－6)，(－6，－4)，(－4，－4)，共4种，故点A 正好在第三象限的概率P 1＝425. (2)点A 在y 轴上的可能情况为(0，－6)，(0，－4)，(0,0)，(0,1)，(0,3)，共5种，故点A不在y 轴上的概率P 2＝1－525＝45. (3)点A 正好落在区域x 2＋y 2≤10上的可能情况为(0,0)，(1,0)，(0,1)，(3,1)，(1,3)，(3,0)，(0,3)，(1,1)．共8种，故点A 落在区域x 2＋y 2≤10上的概率P 3＝825. 3．(2014·莱芜模拟)中国共产党第十八次全国代表大会期间，某报刊媒体要选择两名记者去进行专题采访，现有记者编号分别为1,2,3,4,5的五名男记者和编号分别为6,7,8,9的四名女记者．要从这九名记者中一次随机选出两名，每名记者被选到的概率是相等的，用符号(x ，y )表示事件“抽到的两名记者的编号分别为x ，y ，且x ＜y ”．(1)共有多少个可能结果？并列举出来；(2)求所抽取的两名记者的编号之和小于17但不小于11或都是男记者的概率．解：(1)共有36个结果，列举如下：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(1,8)，(1,9)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(2,7)，(2,8)，(2,9)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(3,8)，(3,9)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8)，(4,9)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(7,8)，(7,9)，(8,9)，共36个．(2)记事件“所抽取的记者的编号之和小于17但不小于11”为事件A ，即事件A 为“x ，y ∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，且11≤x ＋y ＜17，其中x ＜y ”，由(1)可知事件A 共含有15个结果，列举如下：(2,9)，(3,8)，(3,9)，(4,7)，(4,8)，(4,9)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(7,8)，(7,9)，共15个．“都是男记者”记作事件B ，则事件B 为“x ＜y ≤5”，包含：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个．故P (A )＋P (B )＝1536＋1036＝2536.。

课时59 几何概型班级： 姓名：一、高考考纲要求1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；2.了解几何概型的意义. 二、高考考点回顾1.定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．2.特点：①无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； ②等可能性：每个结果的发生具有等可能性．3.求解公式：P (A )＝构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.思考：已知区间[5,5]M =-.事件A ：在M 内任取一个整数x ，使得21x <；事件B ：在M 内任取一个实数x ，使得21x <.请问，事件A 与事件B 有何区别？4.几何概型的类型：（1）与长度、角度相关； （2）与面积相关； （3）与体积相关.三、课前检测1. 在区间[20,80]内随机取一实数a ，则实数a 属于区间[50,75]的概率是( )．A.14 B.34 C.512 D.7122.一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当某人到达路口时看见的是红灯的概率是( )．A.15 B.25 C. 35 D. 453.在1 L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10 mL ，则含有麦锈病种子的概率是 ( )A ．1B ．0.1C ．0.01D ．0.0014.如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点．若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自ABE ∆内部的概率等于 ( )． A.14B.13C.12 D.23课时 59 几何概型 (课内探究案)班级： 姓名：考点一：与长度、角度等相关的几何概型【典例1】(1)已知一只蚂蚁在边长分别为5,12,13的三角形的边上随机爬行，则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为________． (2)如图，四边形ABCD 为矩形，3,1AB BC ==，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在DAB ∠内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________．【变式1】（1）有一根长为1米的细绳子，随机从中间将细绳剪断，则使两截的长度都大于18米的概率为________． （2）如图，在ABC ∆中，60B ∠=o ，45C ∠=o，高3AD =，在BAC ∠内作射线AM 交BC 于点M ，则1BM <的概率是________．考点二：与面积、体积相关的几何概型【典例2】（1）花园小区内有一块三边长分别是5m 、5m 、6m 的三角形绿化地，有一只小花猫在其内部玩耍，若不考虑猫的大小，则在任意指定的某时刻，小花猫与三角形三个顶点的距离均超过2m 的概率是________． (2)在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体1111ABCD A B C D -内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．【变式2】 （1）如图，在半径为R 的圆内随机撒一粒黄豆，它落在圆的内接正三角形(阴影部分)内的概率是 ( )． A.3B.33C. 3D.33（2）一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为________．考点三：几何概型的综合应用【典例3】（1）在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(2)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为( ) A.12B.13C.3 D.3 （2）如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为________．【变式3】（1）如图的矩形长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，由此我们可以估计出阴影部分的面积约为( ) A.165B.215C.235D.195（2）在不等式组2403000x y x y x y +-≤⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩所表示的平面区域内，点(,)x y 落在[1,2]x ∈区域内的概率是________．【当堂检测】班级： 姓名：1. 将一根长10 cm 的铁丝用剪刀剪成两段，然后再将每一段剪成等长的两段，并用这四段铁丝围成一个矩形，则围成的矩形面积大于6 cm 2的概率等于( )A.15 B. 25 C. 35 D. 452. 分别以正方形ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为( )． A.42π- B.22π-C.44π-D.24π-3. 在区间(0,1)上任取两个数，则两个数之和小于65的概率是( ) A.1225 B. 1825 C. 1625 D. 17254. 利用计算机产生1~0之间的均匀随机数a ,则事件“013<-a ”发生的概率为_______ 5．在区间[2,4]-上随机地取一个数x ，若x 满足||x m ≤的概率为56，则m =__________.课后巩固案班级： 姓名： 完成时间：30分钟1．设不等式组0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )． A.4π B.22π- C.6π D.44π-2.已知集合{}2|230A x x x =--<，1|13x B x y g x -⎧⎫==⎨⎬+⎩⎭，在区间()3,3-上任取一实数x ，则“x A B ∈I ”的概率为( )A.41 B.81 C.31 D.121 3.在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ,现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于232cm 的概率为( )．A.16B.13C.23D.454.在区间[,]22ππ-上随机取一个数x ，则cos x 的值介于0至12之间的概率为________． 5.小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．1.设事件A 表示“关于x 的方程2220x ax b ++=有实数根”． （1）若a ，{1,2,3}b ∈，求事件A 发生的概率()P A ； （2）若a ，[1,3]b ∈，求事件A 发生的概率()P A ．2.已知关于x 的一元二次方程222(2)160.x a x b ---+=（1）若,a b 是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率； （2）若[2,6],[0,4]a b ∈∈，求方程没有实根的概率.参考答案 课前检测 1.C 2.B 3.C 4.C【典例1】（1）45；（2）13.【变式1】（1）34；（2）25.【典例2】（1）16π-；（2）112π-.【变式2】（1）D ；（2）127.【典例3】（1）C ；（2）83【变式3】（1）C ；（2）27.【当堂检测】 1.A 2.B 3.D 4.135.31.D2.C3.C4.1 35.13161.(1)23；（2）12.2.（1）19；（2）4.。

[考纲传真] １．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别.２．了解两个互斥事件的概率加法公式.３．理解古典概型及其概率计算公式.４．会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.５．了解随机数的意义，能运用随机模拟的方法估计概率.6．了解几何概型的意义．１．频率与概率在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性．这时，我们把这个常数叫作随机事件A的概率，记作P（A）．２．事件的关系与运算互斥事件：在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件．事件A＋B：事件A＋B发生是指事件A和事件B至少有一个发生．对立事件：不会同时发生，并且一定有一个发生的事件是相互对立事件．３．概率的几个基本性质（１）概率的取值范围：0≤P（A）≤１.（２）必然事件的概率P（E）＝１.（３）不可能事件的概率P（F）＝0.（４）互斥事件概率的加法公式１如果事件A与事件B互斥，则P（A＋B）＝P（A）＋P（B）．２若事件A与事件错误!互为对立事件，则P（A）＝１—P（错误!）．４．古典概型与几何概型名称古典概型几何概型相同点基本事件发生的可能性相等不同点基本事件有有限个基本事件有无限个计算公式P（A）＝P（A）＝.如果事件A１，A２，…，A n两两互斥，则称这n个事件互斥，其概率有如下公式：P（A１∪A２∪…∪A n）＝P（A１）＋P（A２）＋…＋P（A n）．[基础自测]１．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．（）（２）在大量的重复实验中，概率是频率的稳定值．（）（３）对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．（）（４）概率为0的事件一定为不可能事件．（）[答案] （１）√（２）√（３）√（４）×２．某射手在同一条件下进行射击，结果如下：射击次数１0２0５0１00２00５00击中靶心次数8１9４４9２１78４５５Ａ．0．80 Ｂ．0．8５Ｃ．0．90 Ｄ．0．99C[由题意，该射手击中靶心的频率大约在0．9附近上下波动，故其概率约为0．90．故选Ｃ．]３．（教材改编）投掷两枚均匀的硬币，则两枚硬币均正面朝上的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!A[P＝错误!×错误!＝错误!，故选Ａ．]４．（教材改编）有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是（）A[P（A）＝错误!，P（B）＝错误!，P（C）＝错误!，P（D）＝错误!，∴P（A）>P（C）＝P（D）>P（B）．]５．对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互斥的事件是________，互为对立事件的是________．A与B，A与C，B与C，B与D B与D[设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为A∩B ＝∅，A∩C＝∅，B∩C＝∅，B∩D＝∅，故A与B，A与C，B与C，B与D为互斥事件．而B∩D＝∅，B∪D ＝I，故B与D互为对立事件．]随机事件的频率与概率【例１】（２0１7·全国卷Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶４元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶２元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于２５，需求量为５00瓶；如果最高气温位于区间[２0,２５），需求量为３00瓶；如果最高气温低于２0，需求量为２00瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[１0,１５）[１５,２0）[２0,２５）[２５,３0）[３0,３５）[３５,４0）天数２１6３6２５7４（１）估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过３00瓶的概率；（２）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量为４５0瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．[解] （１）这种酸奶一天的需求量不超过３00瓶，当且仅当最高气温低于２５，由表格数据知，最高气温低于２５的频率为错误!＝0．6，所以这种酸奶一天的需求量不超过３00瓶的概率的估计值为0．6．（２）当这种酸奶一天的进货量为４５0瓶时，若最高气温不低于２５，则Y＝6×４５0—４×４５0＝900；若最高气温位于区间[２0,２５），则Y＝6×３00＋２×（４５0—３00）—４×４５0＝３00；若最高气温低于２0，则Y＝6×２00＋２×（４５0—２00）—４×４５0＝—１00．所以，Y的所有可能值为900,３00，—１00．Y大于零当且仅当最高气温不低于２0，由表格数据知，最高气温不低于２0的频率为错误!＝0．8，因此Y大于零的概率的估计值为0．8．[规律方法] （１）概率与频率的关系概率是常数，是频率的稳定值，频率是变量，是概率的近似值．有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．（２）随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．易错警示：概率的定义是求一个事件概率的基本方法．利润５0元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件退回商品亏损１0元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获得利润３0元．（１）若商店一天购进该商品１0件，求当天的利润y（单位：元）关于当天的需求量n（单位：件，n∈N*）的函数解析式；（２）商店记录了５0天该商品的日需求量n（单位：件），整理得下表：日需求量n/件89１0１１１２频数9１１１５１0５（ⅱ）若商店一天购进１0件该商品，以５0天记录的各日需求量的频率作为各日需求量的概率，求当天的利润大于５00元的概率．[解] （１）当日需求量n≥１0时，利润y＝５0×１0＋（n—１0）×３0＝３0n＋２00；当日需求量n＜１0时，利润y＝５0×n—（１0—n）×１0＝60n—１00．所以日利润y关于日需求量n的函数解析式为y＝错误!（２）（ⅰ）由（１）及表格可知，这５0天中有9天的日利润为３80元，有１１天的日利润为４４0元，有１５天的日利润为５00元，有１0天的日利润为５３0元，有５天的日利润为５60元，所以这５0天的日利润的平均数为错误!×（３80×9＋４４0×１１＋５00×１５＋５３0×１0＋５60×５）＝４77．２（元）．（ⅱ）若当天的利润大于５00元，则日需求量大于１0件，则当天的利润大于５00元的概率P＝错误!＝错误!.古典概型【例２】（１）（２0１8·全国卷Ⅱ）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于２的偶数可以表示为两个素数的和”，如３0＝7＋２３．在不超过３0的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于３0的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!（２）（２0１7·全国卷Ⅱ）从分别写有１,２,３,４,５的５张卡片中随机抽取１张，放回后再随机抽取１张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!（１）C（２）D[（１）不超过３0的素数有２,３,５,7,１１,１３,１7,１9,２３,２9，共１0个，从中随机选取两个不同的数有C错误!种不同的取法，这１0个数中两个不同的数的和等于３0的有３对，所以所求概率P＝错误!＝错误!，故选Ｃ．（２）从５张卡片中随机抽取１张，放回后再随机抽取１张的情况如图：基本事件总数为２５，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为１0，∴所求概率P＝错误!＝错误!.故选Ｄ．][规律方法] １．计算古典概型事件的概率可分三步：（１）计算基本事件总个数n；（２）计算事件A所包含的基本事件的个数m；（３）代入公式求出概率P.２．（１）用列举法写出所有基本事件时，可借助“树状图”列举，以便做到不重、不漏．（２）利用排列、组合计算基本事件时，一定要分清是否有序，并重视两个计数原理的灵活应用．每个小盒中至少有１个小球，那么甲盒中恰好有３个小球的概率为（）Ｃ．错误!Ｄ．错误!（２）（２0１8·石家庄一模）用１,２,３,４,５组成无重复数字的五位数，若用a１，a２，a３，a４，a分别表示五位数的万位、千位、百位、十位、个位，则出现a１＜a２＜a３＞a４＞a５特征的五位数的概率５为________．（１）C（２）错误![（１）将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁４个不同的小盒中，每个小盒中至少有１个小球有C错误!种放法，甲盒中恰好有３个小球有C错误!种放法，结合古典概型的概率计算公式得所求概率为错误!＝错误!.故选Ｃ．（２）１,２,３,４,５可组成A错误!＝１２0个不同的五位数，其中满足题目条件的五位数中，最大的５必须排在中间，左、右各两个数字只要选出，则排列位置就随之而定，满足条件的五位数有C错误!C 错误!＝6个，故出现a１＜a２＜a３＞a４＞a５特征的五位数的概率为错误!＝错误!.]几何概型【例３】（１）（２0１6·全国卷Ⅰ）某公司的班车在7：３0,8：00,8：３0发车，小明在7：５0至8：３0之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过１0分钟的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!（２）（２0１8·合肥二模）小李从网上购买了一件商品，快递员计划在下午５：00到6：00之间送货上门，已知小李下班到家的时间在下午５：３0到6：00之间．快递员到小李家时，如果小李未到家，则快递员会电话联系小李．若小李能在１0分钟之内到家，则快递员等小李回来；否则，就将商品存放在快递柜中．则小李需要去快递柜领取商品的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!（３）已知在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA＝AB＝２，现在该四棱锥内部或表面任取一点O，则四棱锥O­ABCD的体积不小于错误!的概率为________．（１）B（２）D（３）错误![（１）这是几何概型问题，总的基本事件空间如图所示，共４0分钟，等车时间不超过１0分钟的时间段为：7：５0至8：00和8：２0至8：３0，共２0分钟，故他等车时间不超过１0分钟的概率为错误!＝错误!，故选Ｂ．（２）如图，设快递员和小李分别在下午５点后过了x分钟和y分钟到小李家，则所有结果构成的区域为{（x，y）|0≤x≤60,３0≤y≤60}，这是一个矩形区域，y—x＞１0表示小李比快递员晚到超过１0分钟，事件M表示小李需要去快递柜领取商品，其所构成的区域是如图所示的直角梯形ABCD的内部区域及边界（不包含AB），由错误!可得错误!即A（５0,60），由错误!可得错误!即B（２0,３0），所以由几何概型的概率计算公式可知P（M）＝错误!＝错误!，故选Ｄ．（３）当四棱锥O­ABCD的体积为错误!时，设O到平面ABCD的距离为h，则错误!×２２×h＝错误!，解得h＝错误!.如图所示，在四棱锥P­ABCD内作平面EFGH平行于底面ABCD，且平面EFGH与底面ABCD的距离为错误!.因为PA⊥底面ABCD，且PA＝２，所以错误!＝错误!，所以四棱锥O­ABCD的体积不小于错误!的概率P＝错误!＝错误!３＝错误!３＝错误!.][规律方法] 解答几何概型试题要善于根据题目特点寻找基本事件所在线、面、体，寻找随机事件所在的线、面、体，把几何概型的计算转化为相应的长度、面积和体积的比值的计算．（１）在线段上取点，则点在线段上等可能出现；在角内作射线，则射线在角内的分布等可能．（２）两个变量在某个范围内取值，对应的“区域”是面积．（１）随机地取两个实数x和y，使得x∈[—１,１]，y∈[0,１]，则满足y≥x２的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!（２）如图所示，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM，与AB交于点M，则AM＜AC的概率为________．（１）B（２）错误![（１）满足x∈[—１,１]，y∈[0,１]的区域为矩形区域（包括边界）（图略），面积为２，满足y≥x２的区域的面积S＝错误!—１（１—x２）dx＝错误!|错误!＝错误!，故所求概率P＝错误!＝错误!.故选Ｂ．（２）在AB上取AC′＝AC（图略），则∠ACC′＝错误!＝67．５°，记A＝{在∠ACB内部任作一射线CM与线段AB交于点M，AM＜AC}，则所有可能结果的区域为∠ACB，事件A构成的区域为∠ACC′.又∠ACB＝90°，∠ACC′＝67．５°，∴P（A）＝错误!＝错误!.]１．（２0１8·全国卷Ⅰ）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AＣ．△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p１，p２，p３，则（）Ａ．p１＝p２Ｂ．p１＝p３Ｃ．p２＝p３Ｄ．p１＝p２＋p３A[设直角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则区域Ⅰ的面积即△ABC的面积，为S １＝错误!bc ，区域Ⅱ的面积S ２＝错误!π×错误!２＋错误!π×错误!２—错误!＝错误!π（c ２＋b ２—a ２）＋错误!bc ＝错误!bc ，所以S １＝S ２，由几何概型的知识知p １＝p ２，故选Ａ．]２．（２0１7·全国卷Ⅰ）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）Ａ．错误!Ｂ．错误! Ｃ．错误! Ｄ．错误!B [不妨设正方形ABCD 的边长为２，则正方形内切圆的半径为１，可得S 正方形＝４．由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝错误!S 圆＝错误!，所以由几何概型知所求概率P ＝错误!＝错误!＝错误!.故选Ｂ．]３．（２0１6·全国卷Ⅱ）从区间[0,１]随机抽取２n 个数x １，x ２，…，x n ，y １，y ２，…，y n ，构成n 个数对（x １，y １），（x ２，y ２），…，（x n ，y n ），其中两数的平方和小于１的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（ ）Ａ．错误!Ｂ．错误! Ｃ．错误! Ｄ．错误!C [因为x １，x ２，…，x n ，y １，y ２，…，y n 都在区间[0,１]内随机抽取，所以构成的n 个数对（x １，y １），（x ２，y ２），…，（x n ，y n ）都在正方形OABC 内（包括边界），如图所示．若两数的平方和小于１，则对应的数对在扇形OAC 内（不包括扇形圆弧上的点所对应的数对），故在扇形OAC 内的数对有m 个．用随机模拟的方法可得错误!＝错误!，即错误!＝错误!，所以π＝错误!.]４．（２0１４·全国卷Ⅰ）４位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（ ）Ａ．错误!Ｂ．错误! Ｃ．错误! Ｄ．错误!D [４名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况有２４＝１6（种），其中仅在周六（周日）参加的各有１种，∴所求概率为１—错误!＝错误!.]。

§10.5　事件的相互独立性与条件概率、全概率公式第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布2024年高考数学一轮复习课件（新高考版）考试要求1.了解两个事件相互独立的含义.2.理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率.内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练第一部分1.相互独立事件(1)概念：对任意两个事件A 与B ，如果P (AB )＝__________成立，则称事件A 与事件B 相互独立，简称为独立.P (A )·P (B)B2.条件概率(1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝______为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.(2)两个公式①利用古典概型：P(B|A)＝_______；P(A)P(B|A)②概率的乘法公式：P(AB)＝___________.3.全概率公式一般地，设A1，A2，…，A n是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪A n＝Ω，且P(A i)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝______________.常用结论1.如果事件A1，A2，…，A n相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…A n)＝P(A1)P(A2)…P(A n).2.贝叶斯公式：设A1，A2，…，A n是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪A n＝Ω，且P(A i)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于任意两个事件，公式P (AB )＝P (A )P (B )都成立.( )(2)若事件A ，B 相互独立，则P (B |A )＝P (B ).( )(3)抛掷2枚质地均匀的硬币，设“第一枚正面朝上”为事件A ，“第2枚正面朝上”为事件B ，则A ，B 相互独立.( )(4)若事件A 1与A 2是对立事件，则对任意的事件B ⊆Ω，都有P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2).( )√×√√1.甲、乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为则谜题没被破解出的概率为√设“甲独立地破解出谜题”为事件A，“乙独立地破解出谜题”为事件B，2.在8件同一型号的产品中，有3件次品，5件合格品，现不放回地从中依次抽取2件，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是√当第一次抽到次品后，还剩余2件次品，5件合格品，由题意得，居民甲第二天去A 食堂用餐的概率P ＝0.5×0.6＋0.5×0.5＝0.55.3.智能化的社区食堂悄然出现，某社区有智能食堂A ，人工食堂B，居民甲第一天随机地选择一食堂用餐，如果第一天去A 食堂，那么第二天去A 食堂的概率为0.6；如果第一天去B 食堂，那么第二天去A 食堂的概率为0.5，则居民甲第二天去A 食堂用餐的概率为_____.0.55第二部分例1　(1)(2021·新高考全国Ⅰ)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则√A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立事件甲与事件丙同时发生的概率为0，P(甲丙)≠P(甲)P(丙)，故A错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误.(2)(2023·临沂模拟)“11分制”乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后，若甲先发球，两人又打了2个球后该局比赛结束的概率为______；若乙先发球，两人又打了4个球后该局比赛结束，则甲获胜的概率为 _____.0.50.1记两人又打了X个球后结束比赛，设双方10∶10平后的第k个球甲获胜为事件A k(k＝1,2,3…)，＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.思维升华求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积.(2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算.跟踪训练1　小王某天乘火车从重庆到上海，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求：(1)这三列火车恰好有两列火车正点到达的概率；由题意得A，B，C之间相互独立，所以恰好有两列火车正点到达的概率为＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.(2)这三列火车恰好有一列火车正点到达的概率；恰好有一列火车正点到达的概率为＝0.8×0.3×0.1＋0.2×0.7×0.1＋0.2×0.3×0.9＝0.092.(3)这三列火车至少有一列火车正点到达的概率.三列火车至少有一列火车正点到达的概率为＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.例2　(1)(2022·哈尔滨模拟)七巧板是中国民间流传的智力玩具.据清代陆以湉《冷庐杂识》记载，七巧板是由宋代黄伯思设计的宴几图演变而来的，原为文人的一种室内游戏，后在民间逐步演变为拼图版玩具.到明代，七巧板已基本定型为由如图所示的七块板组成：五块等腰直角三角形(其中两块小型三角形、一块中型三角形和两块大型三角形)、一块正方形和一块平行四边形，可以拼成人物、动物、植物、房亭、楼阁等1 600种以上图案.现从七巧板中取出两块，已知取出的是三角形，则两块板恰好是全等三角形的概率为√设事件A为“从七巧板中取出两块，取出的是三角形”，事件B为“两块板恰好是全等三角形”，(2)逢年过节走亲访友，成年人喝酒是经常的事，但是饮酒过度会影响健康，某调查机构进行了针对性的调查研究.据统计，一次性饮酒4.8两，诱发某种疾病的频率为0.04，一次性饮酒7.2两，诱发这种疾病的频率为0.16.将频率视为概率，已知某人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，则他还能继续饮酒2.4两，不诱发这种疾病的概率为√记事件A：这人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，事件B：这人一次性饮酒7.2两未诱发这种疾病，则事件B|A：这人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，继续饮酒2.4两不诱发这种疾病，则B⊆A，AB＝A∩B＝B，P(A)＝1－0.04＝0.96，P(B)＝1－0.16＝0.84，思维升华求条件概率的常用方法(3)缩样法：去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解.跟踪训练2　(1)(2023·六盘山模拟)已知5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回.在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为√设事件A＝“第1次抽到代数题”，事件B＝“第2次抽到几何题”，由题意知，第一次击中与否对第二次没有影响，②在仅击中一次的条件下，第二次击中的概率是_____.例3　(1)一份新高考数学试卷中有8道单选题，小胡对其中5道题有思路，3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率是0.9，没有思路的题只能猜一个答案，猜对答案的概率为0.25，则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为√设事件A表示“小胡答对”，事件B表示“小胡选到有思路的题”.则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率(2)在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知当发送信号0时，被接收为0和1的概率分别为0.93和0.07；当发送信号1时，被接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的，则接收的信号为1的概率为√A.0.48B.0.49C.0.52D.0.51设事件A＝“发送的信号为0”，事件B＝“接收的信号为1”，思维升华利用全概率公式解题的思路(1)按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件A i(i＝1,2，…，n).(2)求P(A i)和所求事件B在各个互斥事件A i发生条件下的概率P(A i)P(B|A i).(3)代入全概率公式计算.跟踪训练3　(1)设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为0.4,0.6，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.7,0.9，则甲正点到达目的地的概率为√A.0.78B.0.8C.0.82D.0.84设事件A表示“甲正点到达目的地”，事件B表示“甲乘动车到达目的地”，事件C表示“甲乘汽车到达目的地”，由题意知P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(A|B)＝0.9，P(A|C)＝0.7.由全概率公式得P(A)＝P(B)P(A|B)＋P(C)P(A|C)＝0.6×0.9＋0.4×0.7＝0.54＋0.28＝0.82.(2)(2022·郑州模拟)第24届冬奥会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，中国邮政陆续发行了多款纪念邮票，其图案包括“冬梦”“冰墩墩”和“雪容融”等.小王有3张“冬梦”、2张“冰墩墩”和2张“雪容融”邮票；小李有“冬梦”“冰墩墩”和“雪容融”邮票各1张.小王现随机取出一张邮票送给小李，分别以A1，A2，A3表示小王取出的是“冬梦”“冰墩墩”和“雪容融”的事件；小李再随机取出一张邮票，以B表示他取出的邮票是“冰墩墩”的事件，则P(B|A2)＝_____，P(B)＝_____.第三部分A.事件A与B互斥B.事件A与B对立√C.事件A与B相互独立D.事件A与B既互斥又相互独立∴P(AB)＝P(A)P(B)≠0，∴事件A与B相互独立，事件A与B不互斥也不对立.4个都不能正常照明的概率为(1－0.8)4＝0.001 6，只有1个能正常照明的概率为4×0.8×(1－0.8)3＝0.025 6，所以至少有两个能正常照明的概率是1－0.001 6－0.025 6＝0.972 8.2.(2023·开封模拟)某盏吊灯上并联着4个灯泡，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是0.8，那么在这段时间内该吊灯上的灯泡至少有两个能正常照明的概率是A.0.819 2B.0.972 8C.0.974 4D.0.998 4√3.根据历年的气象数据可知，某市5月份发生中度雾霾的概率为0.25，刮四级以上大风的概率为0.4，既发生中度雾霾又刮四级以上大风的概率为0.2.则在发生中度雾霾的情况下，刮四级以上大风的概率为√A.0.8B.0.625C.0.5D.0.1设“发生中度雾霾”为事件A，“刮四级以上大风”为事件B，所以P(A)＝0.25，P(B)＝0.4，P(AB)＝0.2，4.(2022·青岛模拟)甲、乙两名选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，若采用三局二胜制，则甲最终获胜的概率为√A.0.36B.0.352C.0.288D.0.648由题意可得甲最终获胜有两种情况：一是前两局甲获胜，概率为0.6×0.6＝0.36，二是前两局甲一胜一负，第三局甲胜，概率为×0.6×0.4×0.6＝0.288，这两种情况互斥，∴甲最终获胜的概率P＝0.36＋0.288＝0.648.记事件A 为“该考生答对题目”，事件B 1为“该考生知道正确答案”，事件B 2为“该考生不知道正确答案”，则P (A )＝P (A |B 1)·P (B 1)＋P (A |B 2)·P (B 2)＝1×0.5＋0.25×0.5＝0.625.5.某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为100%，而不知道正确答案时猜对的概率为25%，那么他答对题目的概率为A.0.625B.0.75C.0.5D.0.25√6.将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A表示事件“医生甲派往①村庄”； B表示事件“医生乙派往①村庄”； C表示事件“医生乙派往②村庄”，则A.事件A与B相互独立B.事件A与C相互独立√。

第三节 模拟方法—概率的应用[考纲传真] 1.了解随机数的意义，能运用随机模拟方法估计概率.2.了解几何概型的意义．1．模拟方法对于某些无法确切知道的概率问题，常借助模拟方法来估计某些随机事件发生的概率．用模拟方法可以在短时间内完成大量的重复试验．2．几何概型(1)向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点M ，若点M 落在子区域G 1G 的概率与G 1的面积成正比，而与G 的形状、位置无关，即P (点M 落在G 1)＝G 1的面积G 的面积，则称这种模型为几何概型．(2)几何概型中的G 也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比．[常用结论] 几种常见的几何概型(1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；(3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率． ( ) (2)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关． ( ) (3)在一个正方形区域内任取一点的概率为0． ( ) (4)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是110．( )[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( ) A ．12B ．134B [坐标小于1的区间为[0,1)，长度为1，[0,3]的区间长度为3，故所求概率为13.]3．(教材改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )A B C DA [∵P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝13，∴P (A )＞P (C )＝P (D )＞P (B )．]4．已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，则使四棱锥M ­ABCD 的体积小于16的概率为________．12 [在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，设M ­ABCD 的高为h ，则13×S 四边形ABCD×h ＝16.又S四边形ABCD＝1，所以h ＝12.若体积小于16，则h ＜12.即点M 在正方体的下半部分，所以P ＝12.]5．如图所示，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．0.18 [由题意知，S 阴S 正＝1801 000＝0.18，∵S 正＝1，∴S 阴＝0.18.]与长度(角度)有关的几何概型1．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形的面积大于20 cm 2的概率为 ( )63C ．23D ．45C [设|AC |＝x ，则|BC |＝12－x ，所以x (12－x )＞20，解得2＜x ＜10，故所求概率P ＝10－212＝23.] 2．(2017·某某高考)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D ．在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．59[由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，∴D ＝[－2,3]．如图，区间[－4,5]的长度为9，定义域D 的长度为5，∴P ＝59.]3．如图所示，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任作一条射线CM ，与AB 交于点M ，则AM ＜AC 的概率为________．34[过点C 作交AB 于点N ，使AN ＝AC ，如图所示．显然当射线CM 处在∠A 内时，AM ＜AC ．又∠A ＝45°，所以∠A ＝67.5°，故所求概率为P ＝67.5°90°＝34.] [规律方法] 求解与长度、角度有关的几何概型的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．与面积有关的几何概型►考法1 与平面图形面积有关的问题【例1】 (2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A ．14 B ．π8C ．12D ．π4B [不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S 正方形＝4. 由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝12S 圆＝π2，所以由几何概型知所求概率P ＝S 黑S 正方形＝π24＝π8.故选B.]►考法2 与线性规划知识交汇命题的问题【例2】 在平面区域{(x ，y )|0≤x ≤1,1≤y ≤2}内随机投入一点P ，则点P 的坐标(x ，y )满足y ≤2x 的概率为( )A ．14B ．12C ．23D ．34A [依题意作出图像如图，则P (y ≤2x )＝S 阴影S 正方形＝12×12×112＝14.][规律方法] 1.与平面几何、解析几何等知识交汇问题的解题思路利用平面几何、解析几何等相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率．2．与线性规划交汇问题的解题思路先根据约束条件作出可行域，再确定形状，求面积大小，进而代入公式求概率．(1)已知实数m ∈[0,1]，n ∈[0,2]，则关于x 的一元二次方程4x 2＋4mx －n2＋2n ＝0有实数根的概率是( )A ．1－π4B ．π4C ．π－32D ．π2－1(2)在满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，y ≥0的平面内随机取一点M (x 0，y 0)，设事件A ＝“y 0－2x 0”，那么事件A 发生的概率是( )A ．14 B ．34 C ．13D ．23(1)A (2)B [(1)方程有实数根，即Δ＝16m 2－16(－n 2＋2n )≥0，m 2＋n 2－2n ≥0，m 2＋(n －1)2≥1，画出图形如图所示，长方形面积为2，半圆的面积为π2，故概率为2－π22＝1－π4.(2)作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，y ≥0的平面区域即△ABC ，其面积为4，且事件A ＝“y 0＜2x 0”表示的区域为△AOC ，其面积为3，所以事件A 发生的概率是34.]与体积有关的几何概型1．已知正三棱锥S ­ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P ­ABC＜12V S ­ABC 的概率是( ) A ．78 B ．34 C ．12D ．14A [当P 在三棱锥的三条侧棱的中点所在的平面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何概型知，P ＝1－18＝78.]2．一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M 是AB 的中点，一只蝴蝶在几何体ADF ­BCE 内自由飞翔，则它飞入几何体F ­AMCD 内的概率为( )A ．34B ．23 C ．13D ．12D [由题图可知V F ­AMCD ＝13×S四边形AMCD×DF ＝14a 3，V ADF ­BCE ＝12a 3，所以它飞入几何体F ­AMCD内的概率为14a 312a 3＝12.][规律方法] 求解与体积有关的几何概型的注意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求.1．(2016·全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A ．13B ．12C ．23D ．34B [如图，7：50至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P ＝2040＝12.故选B.]2．(2016·全国卷Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )A ．710B ．58C ．38D ．310B [如图，若该行人在时间段AB 的某一时刻来到该路口，则该行人至少等待15秒才出现绿灯．AB 长度为40－15＝25，由几何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40－1540＝58，故选B.]3．(2016·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A ．4n mB ．2n mC ．4m nD ．2m nC [因为x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n 都在区间[0,1]内随机抽取，所以构成的n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )都在正方形OABC 内(包括边界)，如图所示．若两数的平方和小于1，则对应的数对在扇形OAC 内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对)，故在扇形OAC内的数对有m个．用随机模拟的方法可得S扇形S正方形＝mn，即π4＝mn，所以π＝4mn.]六概率与统计中的高考热点问题[命题解读] 1. 统计与概率是高考中相对独立的一块内容，处理问题的方式、方法体现了较高的思维含量，该类问题以应用题为载体，注重考查学生的数学建模及阅读理解能力、分类讨论与化归转化能力．2．概率问题的核心是概率计算，其中事件的互斥、对立是概率计算的核心. 统计问题的核心是样本数据的获得及分析方法，重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的数字特征，统计与概率内容相互渗透，背景新颖．统计与统计案例以统计图表或文字叙述的实际问题为载体，通过对相关数据的分析、抽象概括，作出估计、判断. 常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇考查，考查学生的数据处理能力与运算能力及应用意识．【例1】已知某班n名同学的数学测试成绩(单位：分，满分100分)的频率分布直方图如图所示，其中a，b，c成等差数列，且成绩在[90,100]内的有6人．(1)求n的值；(2)规定60分以下为不及格，若不及格的人中女生有4人，而及格的人中，男生比女生少4人，借助独立性检验分析能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“本次测试的及格情况与性别有关”？附：P(χ2≥x0)0.100.050.0100.005 x0 2.706 3.841 6.6357.879χ2＝n ad－bc2a＋b c＋d a＋c b＋d.[解](1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧10×0.035＋0.025＋c ＋2b ＋a ＝1，2b ＝a ＋c ，解得b ＝0.01.因为成绩在[90,100]内的有6人， 所以n ＝60.01×10＝60.(2)由于2b ＝a ＋c ，而b ＝0.01，可得a ＋c ＝0.02，则不及格的人数为0.02×10×60＝12，及格的人数为60－12＝48，设及格的人中，女生有x 人，则男生有x －4人，于是x ＋x －4＝48，解得x ＝26，故及格的人中，女生有26人，男生有22人．于是本次测试的及格情况与性别的2×2列联表如下：及格 不及格 总计 男 22 8 30 女 26 4 30 总计481260所以χ2＝60×22×4－8×26230×30×48×12＝1.667＜2.706，故不能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“本次测试的及格情况与性别有关”．[规律方法] 独立性检验的方法 (1)构造2×2列联表； (2)计算χ2；(3)查表确定有多大的把握判定两个变量有关联．易错提示：查表时不是查最大允许值，而是先根据题目要求的百分比找到第一行对应的数值，再将该数值对应的临界值与求得的χ2相比较．另外，表中第一行数据表示两个变量没有关联的可能性p ，所以其有关联的可能性为1－p .近几年出现各种食品问题，食品添加剂会引起血脂增高、血压增高、血糖增高等疾病．为了解三高疾病是否与性别有关，医院随机对入院的60人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：(1)请将如图的列联表补充完整．若用分层抽样的方法在患三高疾病的人群中抽9人，其中女生抽多少人？(2)为了研究患三高疾病是否与性别有关，请计算出统计量χ2，并说明是否可以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为患三高疾病与性别有关．患三高疾病 不患三高疾病总计 男630女 总计36下面的临界值表供参考：P (χ2≥x 0)0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 x 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(参考公式χ2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d )[解] (1)完善补充列联表如下：患三高疾病不患三高疾病总计 男 24 6 30 女 12 18 30 总计362460在患三高疾病人群中抽9人，则抽取比例为936＝14，所以女性应该抽取12×14＝3(人)．(2)根据2×2列联表，则 χ2＝60×24×18－6×12230×30×36×24＝10＞7.879.所以可以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为患三高疾病与性别有关．常见概率模型的概率概率. 解决简单的古典概型试题可用直接法(定义法)，对于较为复杂的事件的概率，可以利用所求事件的性质将其转化为互斥事件或对立事件的概率求解．【例2】 (2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天数216362574(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率．(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率．[解] (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为2＋16＋3690＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y ＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间[20,25)，则Y ＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300； 若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100， 所以，Y 的所有可能值为900,300，－100.Y 大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为36＋25＋7＋490＝0.8，因此Y 大于零的概率的估计值为0.8.[规律方法] 统计以考查抽样方法、样本的频率分布、样本特征数的计算为主，概率以考查概率计算为主，往往和实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起来，只有这样才能有效地解决问题．某商场在元旦举行购物抽奖促销活动，规定顾客从装有编号为0,1,2,3,4的五个相同小球的抽奖箱中一次任意摸出两个小球，若取出的两个小球的编号之和等于7，则中一等奖，等于6或5，则中二等奖，等于4，则中三等奖，其余结果为不中奖．(1)求中二等奖的概率； (2)求不中奖的概率．[解] (1)记“中二等奖”为事件A ．从五个小球中一次任意摸出两个小球，不同的结果有{0,1}，{0,2}，{0,3}，{0,4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共10个基本事件．记两个小球的编号之和为x ，由题意可知，事件A 包括两个互斥事件：x ＝5，x ＝6. 事件x ＝5的取法有2种，即{1,4}，{2,3}，故P (x ＝5)＝210＝15；事件x ＝6的取法有1种，即{2,4}，故P (x ＝6)＝110.所以P (A )＝P (x ＝5)＋P (x ＝6)＝15＋110＝310.(2)记“不中奖”为事件B ，则“中奖”为事件B ，由题意可知，事件B 包括三个互斥事件：中一等奖(x ＝7)，中二等奖(事件A )，中三等奖(x ＝4)．事件x ＝7的取法有1种，即{3,4}，故P (x ＝7)＝110；事件x ＝4的取法有{0,4}，{1,3}，共2种，故P (x ＝4)＝210＝15.由(1)可知，P (A )＝310.所以P (B )＝P (x ＝7)＋P (x ＝4)＋P (A )＝110＋15＋310＝35.所以不中奖的概率为P (B )＝1－P (B )＝1－35＝25.统计与概率的综合应用统计和概率知识相结合命题统计概率解答题已经是一个新的命题趋向，概率和统计知识初步综合解答题的主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键，在此基础上掌握好样本数字特征及各类概率的计算．【例3】 (本小题满分12分)(2018·全国卷Ⅰ)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位：m 3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用 水量 [0，0.1) [0.1，0.2) [0.2，0.3) [0.3，0.4) [0.4，0.5) [0.5，0.6) [0.6，0.7) 频数13249265日用 水量 [0，0.1) [0.1，0.2) [0.2，0.3) [0.3，0.4) [0.4，0.5) [0.5，0.6)频数151310165(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m 3的概率；(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．)[信息提取]看到作频率分布直方图，想到作频率分布直方图的作图规则； 看到求概率，想到利用频率分布直方图求概率的方法； 看到估计节水量，想到求使用节水龙头前后的用水量． [规X 解答] (1)如图所示．4分(2)根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35 m 3的频率为0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48，6分因此该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m 3的概率的估计值为0.48.7分 (3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为x －1＝150(0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48.9分该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为x －2＝150(0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35.11分估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48－0.35)×365＝47.45(m 3).12分 [易错与防X] 作频率分布直方图时注意纵轴单位是“f iΔx i”，计算平均数时运算要准确，避免“会而不对”的失误．[通性通法] 概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点．它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．长时间用手机上网严重影响着学生的身体健康，某校为了解A ，B 两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，将他们平均每周手机上网的时长作为样本绘制成茎叶图如图所示(图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字)．(1)你能否估计哪个班级平均每周上网时间较长？(2)从A 班的样本数据中随机抽取一个不超过19的数据记为a ，从B 班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为b ，求a >b 的概率．[解] (1)A 班样本数据的平均值为15(9＋11＋14＋20＋31)＝17，由此估计A 班学生每周平均上网时间为17小时；B 班样本数据的平均值为15(11＋12＋21＋25＋26)＝19，由此估计B 班学生每周平均上网时间为19小时． 所以B 班学生上网时间较长．(2)A 班的样本数据中不超过19的数据a 有3个，分别为9,11,14，B 班的样本数据中不超过21的数据b 也有3个，分别为11,12,21.从A 班和B 班的样本数据中各随机抽取一个共有9种不同的情况，分别为(9,11)，(9,12)，(9,21)，(11,11)，(11,12)，(11,21)，(14,11)，(14,12)，(14,21)，其中a >b 的情况有(14,11)，(14,12)，2种，故a >b 的概率P ＝29.[大题增分专训]1．某校高三期中考试后，数学教师对本次全部数学成绩按1∶20进行分层抽样，随机抽取了20名学生的成绩为样本，成绩用茎叶图记录如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下表所示的频率分布表：分数 段(分) [50,70) [70,90) [90,110) [110,130) [130,150] 总计 频数b 频率 a0.25(1)求表中a ，b 的值及成绩在[90,110)X 围内的样本数，并估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率(成绩在[90,150]内为及格)；(2)若从茎叶图中成绩在[100,130)X 围内的样本中一次性抽取两个，求取出两个样本数字之差的绝对值小于或等于10的概率．[解] (1)由茎叶图知成绩在[50,70)X 围内的有2人，在[110,130)X 围内的有3人，∴a ＝0.1，b ＝3.∵成绩在[90,110)X 围内的频率为1－0.1－0.25－0.25＝0.4， ∴成绩在[90,110)X 围内的样本数为20×0.4＝8. 估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率为P ＝1－0.1－0.25＝0.65.(2)所有可能的结果为(100,102)，(100,106)，(100,106)，(100,116)，(100,118)，(100,128)，(102,106)，(102,106)，(102,116)，(102,118)，(102,128)，(106,106)，(106,116)，(106,118)，(106,128)，(106,116)，(106,118)，(106,128)，(116,118)，(116,128)，(118,128)，共21个，取出的两个样本中数字之差小于或等于10的结果为(100,102)，(100,106)，(100,106)，(102,106)，(102,106)，(106,106)，(106,116)，(106,116)，(116,118)，(118,128)，共10个，∴P (A )＝1021.2．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：日期 12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日温差x (℃)101113128程，再对被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率；(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求y 关于x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？(附：对于一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归直线y ＝bx ＋a 的斜率和截距的最小二乘估计分别为b ＝∑ni ＝1x i y i －n x y∑ni ＝1x 2i －n x2，a ＝y －b x .)[解] (1)设抽到不相邻两组数据为事件A ，因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况共有4种，所以P (A )＝1－410＝35，故选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率为35. (2)由数据，求得x ＝13×(11＋13＋12)＝12，y ＝13×(25＋30＋26)＝27，∑3i ＝1x i y i ＝11×25＋13×30＋12×26＝977，∑3i ＝1x 2i ＝112＋132＋122＝434，所以b ＝∑3i ＝1x i y i －3x y∑3i ＝1x 2i －3x2＝977－3×12×27434－3×122＝52，a ＝27－52×12＝－3. 所以回归直线方程为y ＝52x －3.(3)当x ＝10时，y ＝22，|22－23|＜2，同理当x ＝8时，y ＝17，|17－16|<2. 所以该研究得到的线性回归方程是可靠的．。

§２古典概型２．１古典概型的特征和概率计算公式学习目标核心素养１．能记住古典概型的概念、两个基本特征及计算公式．（重点）２．掌握求基本事件总数的常用方法：列举法、树状图法、列表法等．（重点）３．会选择恰当的方法求古典概率模型的概率．（难点）１．通过古典概型的概念、两个基本特征及计算公式的学习，提升数学抽象素养．２．通过选择恰当的方法求古典概率模型的概率，培养数学运算素养.１．古典概率模型的特征（１）１试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果；２每一个试验结果出现的可能性相同．我们把具有这样两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型．（２）试验的每一个可能结果称为基本事件．２．古典概型的概率公式对于古典概型，通常试验中的某一事件A是由几个基本事件组成的．如果试验的所有可能结果（基本事件）数为n，随机事件A包含的基本事件数为m，那么事件A的概率规定为P（A）＝错误!＝错误!.思考：若一次试验的结果所包含的基本事件的个数是有限个，则该试验是古典概型吗？[提示] 不一定是，还要看每个事件发生的可能性是否相同，若相同才是，否则不是．１．下列关于古典概型的说法中正确的是（）１试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；２每个事件出现的可能性相等；３每个基本事件出现的可能性相等；４基本事件的总数为n，随机事件A若包含k个基本事件，则P（A）＝错误!.A．２４B．１３４C．１４D．３４B [根据古典概型的特征与公式进行判断，１３４正确，２不正确，故选Ｂ．]２．某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的２个，则基本事件共有（）A．１个B．２个C．３个D．４个C [基本事件共有{计算机，数学}、{计算机，航空模型}、{数学，航空模型}三个．]３．在国庆阅兵中，某兵种A，B，C三个方阵按一定次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则B先于A，C通过的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!B [用（A，B，C）表示A，B，C通过主席台的次序，则所有可能的次序有：（A，B，C），（A，C，B），（B，A，C），（B，C，A），（C，A，B），（C，B，A），共6种，其中B先于A，C通过的有：（B，C，A）和（B，A，C），共２种，故所求概率P＝错误!＝错误!.]４．下列试验是古典概型的为________（填序号）．１从6名同学中选出４人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小；２同时掷两枚骰子，点数和为7的概率；３近三天中有一天降雨的概率；４１0人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．１２４[１２４是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点．３不是古典概型，因为不符合等可能性，三天中是否降雨受多方面因素影响．]基本事件的计数问题（１）从字母a，b，c中任意取出两个字母的试验；（２）从装有形状、大小完全一样且分别标有１,２,３,４,５号的５个球的袋中任意取出两个球的试验．[解] （１）从三个字母中任取两个字母的所有等可能结果即基本事件．分别是A＝{a，b}，B＝{a，c}，C＝{b，c}，共３个．（２）从袋中取两个球的等可能结果为球１和球２，球１和球３，球１和球４，球１和球５，球２和球３，球２和球４，球２和球５，球３和球４，球３和球５，球４和球５．故共有１0个基本事件．确定基本事件空间的方法随机事件的结果是相对于条件而言的，要确定基本事件空间必须明确事件发生的条件，根据题意，按一定的次序列出问题的答案.求基本事件时，一定要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏.错误!１．（１）４张卡片上分别写有数字１,２,３,４，从这４张卡片中随机抽取２张，则取出的２张卡片上的数字之和为奇数的所有基本事件数为________．（２）袋中有２个标号分别为１,２的白球和２个标号分别为３,４的黑球．这４个球除颜色、标号外完全相同，４个人按顺序依次从中摸出１个球，求基本事件的个数．（１）４[用列举法列举出“数字之和为奇数”的可能结果为：（１,２），（１,４），（２,３），（３,４），共４种结果．故填４．]（２）４个人按顺序依次从袋中摸出１个球的所有可能结果用树状图表示如图所示：共２４个基本事件．古典概型的判定（１）从区间[１,１0]内任意取出一个实数，求取到实数２的概率；（２）向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；（３）从１,２,３，…，１00这１00个整数中任意取出一个整数，求取得偶数的概率．[思路探究] 根据直观印象判断两个试验的基本事件数是否有限，每个基本事件是否等可能发生即可．[解] （１）不是古典概型，因为区间[１,１0]中有无限多个实数，取出的那个实数有无限多种结果，与古典概型定义中“所有可能结果只有有限个”矛盾．（２）不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面向上”与“反面向上”的概率不相等，与古典概型定义中“每一个试验结果出现的可能性相同”矛盾．（３）是古典概型，因为在试验中所有可能出现的结果是有限的，而且每个整数被抽到的可能性相等．判断一个事件是否是古典概型，关键看该事件是否具备古典概型的两大特征１．有限性：在一次试验中，所有可能出现的基本事件只有有限个．２．等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．错误!２．（１）在数轴上0～３之间任取一点，求此点的坐标小于１的概率．此试验是否为古典概型？为什么？（２）从１,２,３,４四个数中任意取出两个数，求所取两数之一是２的概率，此试验是古典概型吗？试说明理由．[解] （１）在数轴上0～３之间任取一点，此点可以在0～３之间的任一位置，且在每个位置上的可能性是相同的，具备等可能性．但试验结果有无限多个，不满足古典概型试验结果的有限性．因此不属于古典概型．（２）此试验是古典概型，因为此试验的所有基本事件共有6个：（１,２），（１,３），（１,４），（２,３），（２,４），（３,４），且每个事件的出现是等可能的，因此属于古典概型．古典概型概率的求法[探究问题]１．掷一枚骰子共有多少种不同的结果？提示：共有6种不同的结果．２．掷一枚骰子，落地时向上的点数为偶数，包含几种结果？提示：２,４,6共三种结果．３．掷一枚均匀的骰子，落地时向上的点数为偶数的概率怎样求？提示：记事件A为落地时向上的点数为偶数，则P（A）＝错误!.【例３】现有6道题，其中４道甲类题，２道乙类题，张同学从中任取２道题解答．试求：（１）所取的２道题都是甲类题的概率；（２）所取的２道题不是同一类题的概率．[思路探究] 用列举法列出试验的所有可能结果以及事件所包含的可能结果，然后利用公式求解．[解] （１）将４道甲类题依次编号为１,２,３,４；２道乙类题依次编号为５,6，任取２道题，基本事件为{１,２}，{１,３}，{１,４}，{１,５}，{１,6}，{２,３}，{２,４}，{２,５}，{２,6}，{３,４}，{３,５}，{３,6}，{４,５}，{４,6}，{５,6}，共１５个，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有{１,２}，{１,３}，{１,４}，{２,３}，{２,４}，{３,４}，共6个，所以P（A）＝错误!＝错误!.（２）基本事件同（１）．用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有{１,５}，{１,6}，{２,５}，{２,6}，{３,５}，{３,6}，{４,５}，{４,6}，共8个，所以P（B）＝错误!.古典概型问题的解题方法与步骤１．判断所求概率的问题是否属于古典概型；２．利用列举法、列表法或树状图法列举出所有可能出现的基本事件，计算其总数n；３．从所列出的基本事件中查出所求概率的事件A包含的基本事件数m；４．利用公式P（A）＝错误!求解．错误!３．（１）一个不透明的盒子里有质地、大小完全相同的５个球，编号分别为１,２,３,４,５，甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．那么甲赢的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!D．以上均不对（２）用红、黄、蓝三种不同颜色给图中３个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色．求：１３个矩形颜色都相同的概率；２３个矩形颜色都不同的概率．（１）A [选Ａ．甲先摸出一个球，放回后乙再摸一个球，结果共有２５种：（１,１），（１,２），（１,３），（１,４），（１,５），（２,１），（２,２），（２,３），（２,４），（２,５），（３,１），（３,２），（３,３），（３,４），（３,５），（４,１），（４,２），（４,３），（４,４），（４,５），（５,１），（５,２），（５,３），（５,４），（５,５）．其中和为偶数的有１３种，所以甲赢的概率是错误!.]（２）解：由题意知，所有可能的基本事件共有２7个，如图所示：１记“３个矩形都涂同一颜色”为事件A，由图知，事件A所包含的基本事件有３个，故P（A）＝错误!＝错误!.２记“３个矩形颜色都不同”为事件B，由图知，事件B所包含的基本事件有6个，故P（B）＝错误!＝错误!.１．古典概型是一种最基本的概型．解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．在应用公式P（A）＝错误!时，关键是正确理解基本事件与事件A的关系，从而求出m，n.２．求某个随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数，常用的方法是列举法（画树状图和列表），注意做到不重不漏．３．对于用直接方法难以解决的问题，可以先求其对立事件的概率，再求所求概率.１．思考辨析（１）从[0,１0]上任取一个不大于５的实数的试验为古典概型．（）（２）在古典概型中，试验中的基本事件都是有限的，且事件的发生都是等可能的．[解析] （１）×，可能结果有无限个．（２）√，根据古典概型的特征知正确．[答案] （１）×（２）√２．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率为____．错误![基本事件为甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6个，其中甲站在中间的为乙甲丙、丙甲乙，共２个，所以甲站在中间的概率为错误!＝错误!.]３．广州亚运会要在某高校的8名懂外文的志愿者中选１名，其中有３人懂日文，则选到懂日文的志愿者的概率为________．错误![8名懂外文的志愿者中随机选１名有8个基本事件，“选到懂日文的志愿者”包含３个基本事件，因此所求概率为错误!.]４．从１,２,３,４,５中任意取出两个不同的数，其和为５的概率是多少？[解] 总的事件数为（１,２），（１,３），（１,４），（１,５），（２,３），（２,４），（２,５），（３,４），（３,５），（４,５）共１0种，其中和为５的一共有（１,４），（２,３），所以P＝错误!＝0．２．。

一、知识梳理１．概率与频率（１）在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数n A为事件A出现的频数，称事件A出现的比例f n（A）＝错误!为事件A出现的频率．（２）对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率f n（A）随着试验次数的增加稳定于概率P（A），因此可以用频率f n（A）来估计概率P（A）．２．事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B）B⊇A（或A⊆B）相等关系若B⊇A且A⊇B，那么称事件A与事件B相等A＝B并事件（和事件）若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件（或和事件）A∪B（或A＋B）交事件（积事件）若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件）A∩B（或AB）互斥事件若A∩B为不可能事件，那么A∩B＝∅（１）概率的取值范围：0≤P（A）≤１．（２）必然事件的概率：P（A）＝１．（３）不可能事件的概率：P（A）＝0．（４）概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P（A∪B）＝P（A）＋P（B）．（５）对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P（A∪B）＝１，P（A）＝１—P（B）．４．古典概型（１）基本事件的特点１任何两个基本事件是互斥的；２任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和．（２）特点１试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性．２每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性．（３）概率公式P（A）＝错误!．５．对古典概型的理解（１）一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型．正确判断试验的类型是解决概率问题的关键．（２）古典概型是一种特殊的概率模型，但并不是所有的试验都是古典概型．常用结论关注三个易错点１．频率随着试验次数的改变而改变，概率是一个常数．２．对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．３．概率的一般加法公式P（A∪B）＝P（A）＋P（B）—P（A∩B）中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P（A∪B）＝P（A）＋P（B），此时P（A∩B）＝0．二、教材衍化１．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是（）Ａ．至多有一次中靶Ｂ．两次都中靶Ｃ．只有一次中靶Ｄ．两次都不中靶解析：选Ｄ．“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”．２．一个盒子里装有标号为１，２，３，４的４张卡片，随机地抽取２张，则取出的２张卡片上的数字之和为奇数的概率是________．解析：抽取两张卡片的基本事件有：（１，２），（１，３），（１，４），（２，３），（２，４），（３，４），共6种，和为奇数的事件有：（１，２），（１，４），（２，３），（３，４），共４种．所以所求概率为错误!＝错误!.答案：错误!３．袋中装有6个白球，５个黄球，４个红球．从中任取一球，则取到白球的概率为________．解析：从袋中任取一球，有１５种取法，其中取到白球的取法有6种，则所求概率为P＝错误!＝错误!.答案：错误!４．已知５件产品中有２件次品，其余为合格品．现从这５件产品中任取２件，恰有一件次品的概率为________．解析：从５件产品中任取２件共有C错误!＝１0（种）取法，恰有一件次品的取法有C错误!C错误!＝6（种），所以恰有一件次品的概率为错误!＝0．6．答案：0．6一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）事件发生的频率与概率是相同的．（）（２）随机事件和随机试验是一回事．（）（３）在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．（）（４）两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生．（）（５）若A，B为互斥事件，则P（A）＋P（B）＝１．（）（6）在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的．（）答案：（１）×（２）×（３）√（４）√（５）×（6）×二、易错纠偏错误!错误!（１）确定互斥事件、对立事件出错；（２）基本事件计数错误．１．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是错误!，甲获胜的概率是错误!，则甲不输的概率为________．解析：由题意得，甲不输的概率为错误!＋错误!＝错误!.答案：错误!２．掷一个骰子的试验，事件A表示“小于５的偶数点出现”，事件B表示“小于５的点数出现”，则一次试验中，事件A＋B发生的概率为________．解析：掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P（A）＝错误!＝错误!，P（B）＝错误!＝错误!，所以P（错误!）＝１—P（B）＝１—错误!＝错误!，显然A与错误!互斥，从而P（A＋错误!）＝P（A）＋P（错误!）＝错误!＋错误!＝错误!.答案：错误!３．已知函数f（x）＝２x２—４ax＋２b２，若a∈{４，6，8}，b∈{３，５，7}，则该函数有两个零点的概率为________．解析：要使函数f（x）＝２x２—４ax＋２b２有两个零点，即方程x２—２ax＋b２＝0有两个实根，则Δ＝４a２—４b２>0，又a∈{４，6，8}，b∈{３，５，7}，即a>b，而a，b的取法共有３×３＝9（种），其中满足a>b的取法有（４，３），（6，３），（6，５），（8，３），（8，５），（8，7），共6种，所以所求的概率为错误!＝错误!.答案：错误!随机事件的频率与概率（师生共研）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶４元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶２元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于２５，需求量为５00瓶；如果最高气温位于区间[２0，２５），需求量为３00瓶；如果最高气温低于２0，需求量为２00瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高[１0，１５）[１５，２0）[２0，２５）[２５，３0）[３0，３５）[３５，４0）气温天数２１6３6２５7４（１）估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过３00瓶的概率；（２）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为４５0瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．【解】（１）这种酸奶一天的需求量不超过３00瓶，当且仅当最高气温低于２５，由表格数据知，最高气温低于２５的频率为错误!＝0．6，所以这种酸奶一天的需求量不超过３00瓶的概率的估计值为0．6．（２）当这种酸奶一天的进货量为４５0瓶时，若最高气温不低于２５，则Y＝6×４５0—４×４５0＝900；若最高气温位于区间[２0，２５），则Y＝6×３00＋２（４５0—３00）—４×４５0＝３00；若最高气温低于２0，则Y＝6×２00＋２（４５0—２00）—４×４５0＝—１00．所以，Y的所有可能值为900，３00，—１00．Y大于零当且仅当最高气温不低于２0，由表格数据知，最高气温不低于２0的频率为错误!＝0．8，因此Y大于零的概率的估计值为0．8．错误!（１）概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值．（２）随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．１．某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y（单位：万千瓦时）与该河上游在六月份的降雨量X（单位：毫米）有关．据统计，当X＝70时，Y＝４60；X每增加１0，Y增加５．已知近２0年X的值为１４0，１１0，１60，70，２00，１60，１４0，１60，２２0，２00，１１0，１60，１60，２00，１４0，１１0，１60，２２0，１４0，１60．（１）完成如下的频率分布表：近２0年六月份降雨量频率分布表降雨量70１１１４0１60２00２２0频率错误!错误!错误!年六月份该水力发电站的发电量低于４90（万千瓦时）或超过５３0（万千瓦时）的概率．解：（１）在所给数据中，降雨量为１１0毫米的有３个，为１60毫米的有7个，为２00毫米的有３个．故近２0年六月份降雨量频率分布表为：降雨量70１１0１４0１60２00２２0故P（“发电量低于４90万千瓦时或超过５３0万千瓦时”）＝P（Y<４90或Y>５３0）＝P（X<１３0或X>２１0）＝P（X＝70）＋P（X＝１１0）＋P（X＝２２0）＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!.故今年六月份该水力发电站的发电量低于４90（万千瓦时）或超过５３0（万千瓦时）的概率为错误!.２．某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该保险的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：（１）记A（２）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的１60%”．求P（B）的估计值；（３）求续保人本年度平均保费的估计值．解：（１）事件A发生当且仅当一年内出险次数小于２．由所给数据知，一年内出险次数小于２的频率为错误!＝0．５５．故P（A）的估计值为0．５５．（２）事件B发生当且仅当一年内出险次数大于１且小于４．由所给数据知，一年内出险次数大于１且小于４的频率为错误!＝0．３，故P（B）的估计值为0．３．（３）由所给数据得保费0．8５aa１．２５a１．５a１．7５a２a频率0．３00．２５0．１５0．１５0．１00．0５调查的２00１５＋１．５a×0．１５＋１．7５a×0．１0＋２a×0．0５＝１．１9２５a.因此，续保人本年度平均保费的估计值为１．１9２５a.互斥事件、对立事件的概率（师生共研）某商场有奖销售中，购满１00元商品得１张奖券，多购多得，１000张奖券为一个开奖单位，设特等奖１个，一等奖１0个，二等奖５0个．记１张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：（１）１张奖券的中奖概率；（２）１张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．【解】（１）设“１张奖券中奖”为事件M，则M＝A∪B∪C，依题意，P（A）＝错误!，P（B）＝错误!，P（C）＝错误!，因为A，B，C两两互斥，所以P（M）＝P（A∪B∪C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＝错误!＝错误!，故１张奖券的中奖概率为错误!.（２）设“１张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“１张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，所以P（N）＝１—P（A∪B）＝１—错误!＝错误!.故１张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为错误!.错误![提醒] 间接法体现了“正难则反”的思想方法．１．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的值的范围是３．１４１５9２6<π<３．１４１５9２7．为纪念祖冲之在圆周率上的成就，把３．１４１５9２6称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们从小数点后的7位数字１，４，１，５，9，２，6中随机选取２位数字，整数部分３不变，那么得到的数大于３．１４的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ａ．选择数字的总的方法有５×6＋１＝３１（种），其中得到的数不大于３．１４的数为３．１１，３．１２，３.１４，所以得到的数大于３．１４的概率为P＝１—错误!＝错误!.故选Ａ．２．经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如下：排队人数0１２３４５人及５人以上概率0．１0．１60．３0．３0．１0．0４求：（２）至少３人排队等候的概率．解：记“无人排队等候”为事件A，“１人排队等候”为事件B，“２人排队等候”为事件C，“３人排队等候”为事件D，“４人排队等候”为事件E，“５人及５人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥．（１）记“至多２人排队等候”为事件G，则G＝A＋B＋C，所以P（G）＝P（A＋B＋C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＝0．１＋0．１6＋0．３＝0．５6．（２）法一：记“至少３人排队等候”为事件H，则H＝D＋E＋F，所以P（H）＝P（D＋E＋F）＝P（D）＋P（E）＋P（F）＝0．３＋0．１＋0．0４＝0．４４．法二：记“至少３人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P（H）＝１—P（G）＝0．４４．古典概型的概率（多维探究）角度一简单的古典概型的概率（１）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于２的偶数可以表示为两个素数的和”，如３0＝7＋２３．在不超过３0的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于３0的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!（２）将３名教师和３名学生共6人平均分成３个小组，分别安排到三个社区参加社会实践活动，则每个小组恰好有１名教师和１名学生的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!【解析】（１）不超过３0的素数有２，３，５，7，１１，１３，１7，１9，２３，２9，共１0个，从中随机选取两个不同的数有C错误!种不同的取法，这１0个数中两个不同的数的和等于３0的有３对，所以所求概率P＝错误!＝错误!，故选Ｃ．（２）将３名教师和３名学生共6人平均分成３个小组，分别安排到三个社区参加社会实践活动，基本事件总数n＝C错误!C错误!C错误!＝90，每个小组恰好有１名教师和１名学生包含的基本事件个数m ＝C错误!C错误!C错误!C错误!C错误!C错误!＝３6，所以每个小组恰好有１名教师和１名学生的概率为P＝错误!＝错误!＝错误!.故选Ｂ．【答案】（１）C （２）B角度二古典概型与其他知识的综合问题（１）从集合{２，３，４，５}中随机抽取一个数a，从集合{１，３，５}中随机抽取一个数b，则向量m＝（a，b）与向量n＝（１，—１）垂直的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!（２）已知a∈{—２，0，１，２，３}，b∈{３，５}，则函数f（x）＝（a２—２）e x＋b为减函数的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!（３）将一个骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次使两条不重合直线l１：ax＋by＝２，l２：x＋２y＝２平行的概率为P１，相交的概率为P２，若点（P１，P）在圆（x—m）２＋y２＝错误!的内部，则实数m的取值范围是（）２Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!【解析】（１）由题意可知m＝（a，b）有：（２，１），（２，３），（２，５），（３，１），（３，３），（３，５），（４，１），（４，３），（４，５），（５，１），（５，３），（５，５），共１２种情况．因为m⊥n，即m·n＝0，所以a×１＋b×（—１）＝0，即a＝b，满足条件的有（３，３），（５，５）共２个，故所求的概率为错误!.故选Ａ．（２）函数f（x）＝（a２—２）e x＋b为减函数，则a２—２<0，又a∈{—２，0，１，２，３}，故只有a＝0，a＝１满足题意，又b∈{３，５}，所以函数f（x）＝（a２—２）e x＋b为减函数的概率是错误!＝错误!.故选Ｃ．（３）对于a与b各有6种情形，故总数为３6种．两条直线l１：ax＋by＝２，l２：x＋２y＝２平行的情形有a＝２，b＝４或a＝３，b＝6，故概率为P１＝错误!＝错误!，两条直线l１：ax＋by＝２，l２：x＋２y＝２相交的情形除平行与重合（a＝１，b＝２）即可，所以P２＝错误!＝错误!，因为点（P１，P２）在圆（x—m）２＋y２＝错误!的内部，所以错误!错误!＋错误!错误!＜错误!，解得—错误!＜m＜错误!，故选Ｄ．【答案】（１）A （２）C （３）D错误!（１）求古典概型的概率的步骤第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；第二步，分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；第三步，利用公式P（A）＝错误!，求出事件A的概率．（２）求解古典概型与其他知识交汇问题的思路解决古典概型与其他知识交汇问题，其关键是将平面向量、直线与圆、函数的单调性及方程的根情况转化为概率模型，再按照求古典概型的步骤求解．１．（２0１9·高考全国卷Ⅰ）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有３个阳爻的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ａ．由6个爻组成的重卦种数为２6＝6４，在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有３个阳爻的种数为C错误!＝错误!＝２0．根据古典概型的概率计算公式得，所求概率P＝错误!＝错误!.故选Ａ．２．２0２１年广东新高考将实行３＋１＋２模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有１２种选课模式．今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则他们选课相同的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｄ．由题意，从政治、地理、化学、生物中四选二，共有C错误!＝6（种）方法，所以他们选课相同的概率为错误!，故选Ｄ．３．２0１9年１月１日，济南轨道交通１号线试运行，济南轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验，征求意见”的活动．市民可以通过济南地铁APP抢票，小陈抢到了三张体验票，准备从四位朋友小王、小张、小刘、小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小王和小李至多一人被选中的概率为________．解析：法一：若小王和小李都没被选中，则有C错误!种方法，若小王和小李有一人被选中，则有C错误! C错误!种方法，故所求概率P＝错误!＝错误!.法二：若小王和小李都被选中，则有１种方法，故所求概率P＝１—错误!＝错误!.答案：错误![基础题组练]１．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0．４５，既用现金支付也用非现金支付的概率为0．１５，则不用现金支付的概率为（）Ａ．0．３Ｂ．0．４Ｃ．0．6 Ｄ．0．7解析：选Ｂ．设“只用现金支付”为事件A，“既用现金支付也用非现金支付”为事件B，“不用现金支付”为事件C，则P（C）＝１—P（A）—P（B）＝１—0．４５—0．１５＝0．４，故选B.２．（２0１9·高考全国卷Ⅲ）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了１00位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）Ａ．0．５Ｂ．0．6Ｃ．0．7 Ｄ．0．8解析：选Ｃ．根据题意阅读过《红楼梦》《西游记》的人数用韦恩图表示如下：所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为错误!＝0．7．３．现有５人参加抽奖活动，每人依次从装有５张奖票（其中３张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到３张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第４人抽完结束的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｃ．将５张奖票不放回地依次取出共有A错误!＝１２0种不同的取法，若活动恰好在第四次抽奖结束，则前三次共抽到２张中奖票，第四次抽到最后一张中奖票，共有３A错误!A错误!A错误!＝３6种取法，所以P＝错误!＝错误!.故选Ｃ．４．据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为男、子、伯、侯、公共五级．现有每个级别的诸侯各一人，共五人要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多分m个（m为正整数），若按这种方法分橘子，“公”恰好分得３0个橘子的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｂ．由题意可知等级从低到高的５个诸侯所分的橘子个数组成公差为m的等差数列，设“男”分得的橘子个数为a１，其前n项和为S n，则S５＝５a１＋错误!m＝80，即a１＋２m＝１6，且a１，m 均为正整数，若a１＝２，则m＝7，此时a５＝３0，若a１＝４，m＝6，此时a５＝２8，若a１＝6，m＝５，此时a５＝２6，若a１＝8，m＝４，此时a５＝２４，若a１＝１0，m＝３，此时a５＝２２，若a１＝１２，m＝２，此时a５＝２0，若a１＝１４，m＝１，此时a５＝１8，所以“公”恰好分得３0个橘子的概率为错误!.故选Ｂ．５．（２0２0·陕西榆林模拟）大学生小明与另外３名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙３个村小学进行支教，若每个村小学至少分配１名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｃ．依题意，小明与另外３名大学生分配到某乡镇甲、乙、丙３个村小学的分配方法是１个学校２人，另外２个学校各１人，共有C错误!A错误!＝３6（种）分配方法，若小明必分配到甲村小学，有C错误!A错误!＋C错误!A错误!＝１２（种）分配方法，根据古典概型的概率计算公式得所求的概率为错误!＝错误!，故选C.6．（２0１9·高考全国卷Ⅱ）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有１0个车次的正点率为0．97，有２0个车次的正点率为0．98，有１0个车次的正点率为0．99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．解析：经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为错误!＝0．98．答案：0．987．（２0２0·四川绵阳诊断改编）某展会安排了分别标有序号为“１号”“２号”“３号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“３号”车的概率分别为P１，P２，则P１＝________，P２＝________．解析：三辆车的出车顺序可能为：１２３，１３２，２１３，２３１，３１２，３２１，共6种．方案一坐３号车可能为：１３２，２１３，２３１，共３种，所以P１＝错误!＝错误!；方案二坐３号车可能为：３１２，３２１，共２种．所以P２＝错误!＝错误!.答案：错误!错误!8．已知|p|≤３，|q|≤３，当p，q∈Z，则方程x２＋２px—q２＋１＝0有两个相异实数根的概率是________．解析：由方程x２＋２px—q２＋１＝0有两个相异实数根，可得Δ＝（２p）２—４（—q２＋１）>0，即p２＋q２>１．当p，q∈Z时，设点M（p，q），如图，直线p＝—３，—２，—１，0，１，２，３和直线q＝—３，—２，—１，0，１，２，３的交点，即为点M，共有４9个，其中在圆上和圆内的点共有５个（图中黑点）．当点M（p，q）落在圆p２＋q２＝１外时，方程x２＋２px—q２＋１＝0有两个相异实数根，所以方程x２＋２px—q２＋１＝0有两个相异实数根的概率P＝错误!＝错误!.答案：错误!9．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额（元）0１000２000３000４000（２）在样本车辆中，车主是新司机的占１0%，在赔付金额为４000元的样本车辆中，车主是新司机的占２0%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为４000元的概率．解：（１）设A表示事件“赔付金额为３000元”，B表示事件“赔付金额为４000元”，以频率估计概率得P（A）＝错误!＝0．１５，P（B）＝错误!＝0．１２．由于投保金额为２800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为３000元和４000元，所以其概率为P（A）＋P（B）＝0．１５＋0．１２＝0．２7．（２）设C表示事件“投保车辆中新司机获赔４000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0．１×１000＝１00（辆），而赔付金额为４000元的车辆中，车主为新司机的有0．２×１２0＝２４（辆），所以样本车辆中新司机车主获赔金额为４000元的频率为错误!＝0．２４，由频率估计概率得P （C）＝0．２４．１0．在某大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．（１）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；（２）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（３）求五名志愿者中仅有一人参加A岗位服务的概率．解：（１）记“甲、乙两人同时参加A岗位服务”为事件E A，那么P（E A）＝错误!＝错误!，即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是错误!.（２）记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件E，那么P（E）＝错误!＝错误!，所以甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P（错误!）＝１—P（E）＝错误!.（３）有两人同时参加A岗位服务的概率P２＝错误!＝错误!，所以仅有一人参加A岗位服务的概率P１＝１—P２＝错误!.[综合题组练]１．已知甲、乙、丙各有一张自己的身份证，现把三张身份证收起来后，再随机分给甲、乙、丙每人一张，则恰有一人取到自己身份证的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ａ．甲、乙、丙各有一张自己的身份证，现把三张身份证收起来后，再随机分给甲、乙、丙每人一张，基本事件总数n＝A错误!＝6，恰有一人取到自己身份证包含的基本事件个数m＝C错误!C错误!C错误!＝３，所以恰有一人取到自己身份证的概率为p＝错误!＝错误!＝错误!.故选Ａ．２．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个２×２×３的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｂ．根据题意，最近路线就是不能走回头路，不能走重复的路，所以一共要走３次向上，２次向右，２次向前，共7次，所以最近的行走路线共有A错误!＝５0４0（种）．因为不能连续向上，所以先把不向上的次数排列起来，也就是２次向右和２次向前全排列为A错误!.接下来，就是把３次向上插到４次不向上之间的空隙中，５个位置排３个元素，也就是A错误!，则最近的行走路线中不连续向上攀登的路线共有A错误!A错误!＝１４４0（种），所以其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率P＝错误!＝错误!.故选Ｂ．３．连续抛掷同一颗均匀的骰子，记第i次得到的向上一面的点数为a i，若存在正整数k，使a１＋a＋…＋a k＝6，则称k为幸运数字，则幸运数字为３的概率是________．２解析：连续抛掷同一颗均匀的骰子３次，所含基本事件总数n＝6×6×6，要使a１＋a２＋a３＝6，则a，a２，a３可取１，２，３或１，１，４或２，２，２三种情况，其所含的基本事件个数m＝A错误!＋１C错误!＋１＝１0．故幸运数字为３的概率为P＝错误!＝错误!.答案：错误!４．如下的三行三列的方阵中有九个数a ij（i＝１，２，３；j＝１，２，３），从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率为________．错误!解析：从九个数中任取三个数的不同取法共有C错误!＝错误!＝8４种，取出的三个数分别位于不同的行与列的取法共有C错误!·C错误!·C错误!＝6种，所以至少有两个数位于同行或同列的概率为１—错误!＝错误!.答案：错误!５．某电子商务公司随机抽取１000名网络购物者进行调查．这１000名购物者网上购物金额（单位：万元）均在区间[0．３，0．9]内，样本分组为：[0．３，0．４），[0．４，0．５），[0．５，0．6），[0．6，0．7），[0．7，0．8），[0．8，0．9]，购物金额的频率分布直方图如下：电子商务公司决定给购物者发放优惠券，其金额（单位：元）与购物金额关系如下：购物金额分组[0．３，0．５）[0．５，0．6）[0．6，0．8）[0．8，0．9]发放金额５0１00１５0２00（２）以这１000名购物者购物金额落在相应区间的频率作为概率，求一个购物者获得优惠券金额不少于１５0元的概率．解：（１）购物者的购物金额x与获得优惠券金额y的频率分布如下表：错误!（５0×４00＋１00×３00＋１５0×２80＋２00×２0）＝96．（２）由获得优惠券金额y与购物金额x的对应关系及（１）知，P（y＝１５0）＝P（0．6≤x<0．8）＝0．２8，P（y＝２00）＝P（0．8≤x≤0．9）＝0．0２，从而，获得优惠券金额不少于１５0元的概率为P（y≥１５0）＝P（y＝１５0）＋P（y＝２00）＝0．２8＋0．0２＝0．３．6．（２0２0·延安一模）某快递公司收取快递费用的标准如下：质量不超过１kg的包裹收费１0元；质量超过１kg的包裹，除１kg收费１0元之外，超过１kg的部分，每１kg（不足１kg，按１kg 计算）需再收５元．该公司对近60天，每天揽件数量统计如下表：求该人支付的快递费不超过３0元的概率；（２）该公司从收取的每件快递的费用中抽取５元作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费用．前台工作人员每人每天揽件不超过１５0件，工资１00元，目前前台有工作人员３人，那么公司将前台工作人员裁员１人对提高公司利润是否更有利？解：（１）由题意，寄出方式有以下三种可能：。

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课时分层训练(五十三）古典概型A组基础达标（建议用时：30分钟)一、选择题1．(2014·全国卷Ⅰ改编）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为（)【导学号：66482464】A。

错误!B．错误!C.错误!D．错误!C[设两本不同的数学书为a1，a2,1本语文书为b。

则在书架上的摆放方法有a1a2b，a1ba2，a 2a1b,a2ba1，ba1a2，ba2a1，共6种，其中数学书相邻的有4种．因此2本数学书相邻的概率P＝错误!＝错误!.］2．(2016·北京高考)从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为( ）A。

错误!B．错误!C．错误!D．错误!B[设另外三名学生分别为丙、丁、戊．从5名学生中随机选出2人，有(甲，乙），（甲，丙),(甲,丁），（甲，戊)，(乙，丙），（乙，丁）,(乙，戊），（丙，丁），(丙，戊），（丁,戊)，共10种情形，其中甲被选中的有（甲，乙）,(甲，丙），(甲,丁）,（甲，戊)，共4种情形，故甲被选中的概率P＝410＝错误!.]3．在集合A＝｛2，3｝中随机取一个元素m，在集合B＝{1，2,3｝中随机取一个元素n，得到点P（m，n)，则点P在圆x2＋y2＝9内部的概率为( ）A.12B．错误!C。