2015年江苏高考南通密卷数学一

南通市2015届高三第一次调研测试数学Ⅰ参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1． 已知集合A ={2-，1-}，B ={1-，2，3}，则AB = ▲ ．【答案】{1-}2． 已知复数z 满足(34i)1z +=（i 为虚数单位），则z 的模为 ▲ ．【答案】153． 某中学共有学生2800人，其中高一年级970人，高二年级930人，高三年级900人．现采用分层抽样的方法，抽取280人进行体育达标检测，则抽取的高二年级学生人数为 ▲ ． 【答案】934． 函数2()lg(23)f x x x =-++的定义域为 ▲ ． 【答案】(13)-，5． 右图是一个算法流程图，则输出的x 的值是 ▲．【答案】596． 同时抛掷两枚质地均匀的骰子（一种各面上分别标有2，3，4，5，6个点的正方体玩具）则两个点数之积不小于4的概率为 ▲ ． 【答案】31367． 底面边长为2，高为1的正四棱锥的侧面积为 ▲ ． 【答案】8． 在平面直角坐标系xOy 中，以直线2y x =±为渐近线，且经过抛物线24y x =焦点的双曲线的方程为 ▲ ．（第5题）【答案】2214y x -= 9． 在平面直角坐标系xOy 中，记曲线2(2m y x m m x=-∈≠-R ，）在1x =处的切线为直线l ．若直线l 在两坐标轴上的截距之和为12，则m 的值为 ▲ ． 【答案】3-或4-10．已知函数()π()sin 26f x x =+．若π()(0)2y f x ϕϕ=-<<是偶函数，则ϕ= ▲ ．【答案】π311．在等差数列{}n a 中，已知首项10a >，公差0d >．若1260a a +≤，23100a a +≤，则155a a +的最大值为 ▲ ． 【答案】20012．已知函数x y a b =+(0)b >的图象经过点(13)P ，，如下图所示，则411a b +-的最小值为 ▲ ．【答案】9213．如上图，圆O 内接△ABC 中，M 是BC 的中点，AC =3．若4AO AM ⋅=，则AB = ▲ ．14．已知()f x 是定义在[)1+∞，上的函数，且1|23|12()11()222x x f x f x x --<⎧⎪=⎨⎪⎩，，，，≤≥ 则函数2()3y xf x =-在区间()12015，上零点的个数为 ▲ ． 【答案】11二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答． 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（第13题）（第12题）A 1A 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos cos 2cos b C c B a A +=． （1）求A 的大小；（2）若=3AB AC ⋅，求△ABC 的面积．【解】（1）解法一：在△ABC 中，由正弦定理，及cos cos 2cos b C c B a A +=，得sin cos sin cos 2sin cos B C C B A A +=， (3)分即sin 2sin cos A A A =，因为(0π)A ，，所以sin 0A ≠，所以1cos 2A =，…………………………6分所以π3A =. ……………………………………………………………………8分解法二：在△ABC 中，由余弦定理，及cos cos 2cos b C c B a A +=，得2222222222222a b c a c b b c a b c a ab ac bc+-+-+-+=， (3)分所以222a b c bc =+-，所以2221cos 22b c a A bc +-==， ………………………………………………6分因为(0π)A ，，所以π3A = (8)分（2）由=cos AB AC cb A⋅bc =11分所以△ABC的面积为113=sin 60222S bc A =⨯=. (14)分16．(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，CC 1= 4，M 是棱CC 1上的一点．（1）求证：BC ⊥AM ；（2）若N 是AB 的中点，且CN ∥平面1AB M ，求CM 的长． 【解】（1）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1CC ⊥平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，所以1CC BC ⊥． …………………………………2分 因为AC BC ⊥，1CC AC C =，1CC AC ⊂，平面11ACC A ，所以BC ⊥平面11ACC A ． ………………………………………………… 4分 因为AM ⊂平面11ACC A ，所以BC AM ⊥． …………………………… 6分（2）证法一：如图1，取1AB 的中点P ，连结NP ，PM ．因为N 是AB 的中点，所以1//NP BB ，… 8分 因为1//CM BB ，所以//NP CM ，所以NP 与CM 共面． …………………10分 因为CN ∥平面1AB M ，平面CNPM 平面1AB M MP =，所以//CN MP ． (12)分所以四边形CNPM 为平行四边形，所以1122CM NP CC ===． (14)分证法二：如图2，设NC 与1CC 确定的平面交1AB 于点P ，连结NP ，PM ． 因为CN ∥平面1AB M ，CN ⊂平面CNPM ，平面1AB M平面CNPM PM =，所以//CN MP ． (8)分因为1//BB CM ，1BB ⊄平面CNPM ，CM ⊂平面CNPM ，PB1BA NM1C C图11AP B1BANM1C C 图21A所以1//BB 平面CNPM ． (10)分又1BB ⊂平面1ABB ，平面1ABB 平面CNPM NP =，所以1//BB NP ，所以//CM NP ，所以四边形CNPM 为平行四边形． (12)分因为N 是AB 的中点，所以1111222CM NP BB CC ====．……… 14分证法三：如图3，取1BB 的中点Q ，连结NQ ，CQ ．因为N 是AB 的中点，所以1//NQ AB ，因为NQ ⊄平面1AB M ，1AB ⊂平面1AB M ，所以//NQ 平面1AB M ． (8)分因为CN ∥平面1AB M ，NQNC N =，NQ NC ⊂，平面NQC ，所以平面//NQC 平面1AB M ．…… 10分 因为平面11BCC B 平面NQC QC =，平面11BCC B 平面11AB M MB =，所以1//CQ MB ． (12)分因为11//BB CC ，所以四边形1CQB M 是平行四边形，所以11122CM B Q CC ===． (14)分证法四：如图4，分别延长1BC B M ，，设交点为S ，连结AC ．因为CN ∥平面1AB M ，CN ⊂平面ABS ， 平面ABS平面1AB M AS =，所以CN ∥AS ．………………………… 10分QB1B A NM1C 1AC图3B1B A NM1C 1AC图4S由于AN=NB ，所以BC=CS ．又因为CM ∥1BB ，同理可得，1SM MB =，所以1111222CM BB CC ===． (14)分17．(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为（0，b ），且△BF 1F 2是边长为2（1）求椭圆的方程；（2）过右焦点F 2的直线l 与椭圆相交于A ，C 两点，记△ABF 2，△BCF 2的面积分别为S 1，S 2． 若S 1＝2S 2，求直线l 的斜率．【解】（1）由题意，得a =2c =2，b 2=a 2－c 2=3，所求椭圆的方程为22143yx +=． ……………… 4分（2）设B 到直线AC 的距离为h ，由于S 1＝2S 2，所以，2211222AF h F C h ⋅=⨯⋅，即222AF F C =， …………………………6分所以，222AF F C =．解法一：设1122,A x y C x y （，）（，），又210F （，）， 则11221,21,x y x y --=-（）（）,即1212322.x x y y =-⎧⎨=-⎩， (8)分由22222222143322143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨--⎪+=⎪⎩，（）（）解得，2274x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ………………………12分所以，直线l 的斜率为8714k ==- …………………………………14分（第17题）解法二：由（1）知，1232x x =-． (8)分设点A 11x y （，）到椭圆22143y x +=右准线4x =的距离为d ， 则212AF d =，所以21122AF x =-，同理22122CF x =-，由222AF F C =得，12112=2222x x --（），即211=2+2x x ． …………………10分所以，274x =（以下同解法一）． (12)分解法三：椭圆的右准线为直线4x =，分别过A C ，作准线的垂线，垂足分别为A C ''，， 过C 作CH ⊥AA '，垂足为H ．由于2212CF AF CC AA ==''，……………10又222AF FC =，在RT △CAH 中，2232AC F C AH F C ==，，所以CH =所以tan CAH ∠=根据椭圆的对称性知，所求直线斜率为． (14)分18．(本小题满分16分)在长为20 m ，宽为16 m 米的长方形展厅正中央有一圆盘形展台（圆心为点C ），展厅入口位于长方形的长边的中间．在展厅一角B 点处安装监控摄像头，使点B 与圆C 在同一水平面上，且展台与入口都在摄像头水平监控范围内(如图阴影所示)． （1）若圆盘半径为m ，求监控摄像头最小水平摄像视角的正切值； （2）若监控摄像头最大水平摄像视角为60°，求圆盘半径的最大值．（注：水平摄像视角指镜头中心点水平观察物体边缘的视线的夹角．） 【解】（1）解法一：如图，过B 作圆C 的切线BE ，切点为E ，设圆C 所在平面上入口中点为A连结CA ，CE ，CB ，则CE BE ⊥，CA AB ⊥， 则摄像水平视角为∠ABE 时， 水平摄像视角最小．在Rt △ABC 中，10AB =，8AC =，4tan 5ABC ∠=，…………………………………………2分在Rt △BCE中，CE =12BE ==，tan CBE ∠=， (4)分所以45tan tan()1ABE ABC CBE +∠=∠+∠==+，所以最小摄像视角的正切值为1+ (8)分解法二：过B 作圆C 的切线BE ，切点为E ， 设圆C 所在平面上入口中点为A ，连结CA ，CE ，CB ，则CE BE ⊥，CA AB ⊥， 则摄像视角为∠ABE 时，摄像视角最小． 在平面ABC 内，以B 为原点，BA 为x 轴建立直角坐标系，则108C（，）， 设直线BE 的方程为y kx =， 由圆C 与直线BE 相切得，， ………………………4分解得，1k =1k =．答：所以最小摄像视角的正切值为1+ (8)分（2）解法一：当ABE ∠=60︒时，若直线BE 与圆C 相切，则圆C 的半径最大．.在平面ABC 内，以B 为坐标原点，BA 为x 轴建立平面直角坐标系， 所以直线BE方程为：y =， (12)（第18题）分所以4CE ==，则圆C的最大半径为4 m ． (16)分解法二：设圆盘的最大半径为r ，当ABE ∠=60︒时，若直线BE 与圆C 相切，则圆C 的半径最大．在Rt △ABC 中，10AB =，8AC =，4tan 5ABC ∠=， 在Rt △BCE 中，CE r =，BE ，tan CBE ∠， (10)分由tan tan()ABE ABC CBE ∠=∠+∠415=-， (12)分即54)r r =，所以(5r =+，即22914)r =-=所以，4r =． (15)分答：圆C的最大半径为4 m ． (16)分19．(本小题满分16分)若函数()y f x =在x ＝x 0处取得极大值或极小值，则称x 0为函数()y f x =的极值点． 已知函数3()3ln ()f x ax x x a a =+-∈R ． （1）当0a =时，求()f x 的极值；（2）若()f x 在区间()1e e ，上有且只有一个极值点，求实数a 的取值范围．（注：e 是自然对数的底数．）【解】（1）当0a =时，()3ln f x x x =，所以()3(ln 1)f x x '=+． ……………………2分令()0f x '=，得1ex =，当1(0)e x ∈，时，()0f x '<；当1()ex ∈+∞，时，()0f x '>， 所以()f x 在1(0)e ，上单调递减，在1()e+∞，上单调递减增．………………4分所以，当1e x =时，()f x 有极小值13()e e f =-． …………………………6分（2）解法一：设2()()3(1ln )g x f x ax x '==++，()1e e D =，．由题意，()g x 在D 上且只有一个零点0x ，且0x 两侧()g x 异号．① 当0a ≥时，()g x 在D 上单调递增，且1()()0eg x g >≥，所以()g x 在D 上无零点； (8)分② 当0a <时，在(0,)+∞上考察()g x ：()g x '=，令()0g x '=，得1x = ()g x 在1(0x ，）上单调递增，在1(+x ∞，）上单调递减． ……………10分（i ）当1(e)()0e g g ⋅<，即22(e 2)0e a a +⋅<，即220e a -<<时， ()g x 在D 上有且只有一个零点0x ，且在0x 两侧异号． (13)分（ii ）令1()0e g =，得230e a =，不可能．（iii ）令(e)0g =，得22e a =-e 2D =∈，e 1e 1e ()3(1ln )3(ln )022222g g ==-++=+>，又因为213()0e e ag =<，所以()g x 在D 上有且只有一个零点0x ，且0x 两侧()g x 异号．综上所述，实数a 的取值范围是)220e ⎡-⎣，． ………………………………16分解法二：令2()3(1ln )0f x ax x '=++=，得21ln x a x+-=． ………………8分设21ln ()x h x x +=，由312ln ()x h x x +'=-，令()0h x '=，得()1201e ,e e x -=∈， 当0(e)x x ∈，，()0h x '<，所以()h x 在0(e)x ，上为减函数； 当01()e x x ∈，，()0h x '>，所以()h x 在01()ex ，上为增函数，所以0x 为()h x 的极大值点． …………………………………………………11分又1()0e h =，22(e)eh =，01()e 2h x =， 所以220e a <-≤或1e 2a -=，即220ea -<≤或1e 2a =-． ………………13分当1e 2a =-时，21()3(1ln )2f x ex x '=-++．设21()1ln 2m x ex x =-++，则21e 1()e x m x x x x -+'=-+=，令()0m x '=，得12e x -=． 当121(e)ex -∈，，()0m x '>，所以()m x 在121(e)e-，上为增函数；当12(e e)x -∈，，()0m x '<，所以()m x 在12(e e)-，上为减函数．所以12()(e )0m x m -=≤，即()0f x '≤在()1e e，恒成立，所以()f x 在()1e e，上单调递减．所以当1e 2a =-时，()f x 在()1e e ，上不存在极值点．所以实数a 的取值范围是)220e ⎡-⎣，． ………………………………………16分20．(本小题满分16分)设数列{a n }的前n 项和为S n ．若112()2n n an a +∈*N ≤≤，则称{a n }是“紧密数列”．（1）若数列{a n }的前n 项和21(3)()4n S n n n =+∈*N ，证明：{a n }是“紧密数列”；（2）设数列{a n }是公比为q 的等比数列．若数列{a n }与{S n }都是“紧密数列”， 求q 的取值范围．【解】（1）由数列{a n }的前n 项和2*1(3)()4n S n n n =+∈N ，得a n ＝⎩⎨⎧S 1， n ＝1，S n －S n -1，n ≥2＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝1，12n +12，n ≥2＝12n +12(*n ∈N )．……………2分所以，a n +1a n ＝12(n +1)+12 12n +12＝n +2n +1＝1+1n +1， ……………………………………4分因为对任意n ∈N*，0＜1n +1≤ 12，即1＜1+1n +1≤32，所以，1＜a n +1a n ＝1+1n +1≤32，所以，12≤a n +1a n≤2，即{a n }是“紧密数列”． ……………………………6分（2）解法一：由数列{a n }是公比为q 的等比数列，得q ＝a n +1a n，因为{a n }是“紧密数列”，所以12≤q ≤2． ………………………………8分① 当q ＝1时，S n =na 1，S n +1S n =n +1n =1+1n ，所以，12≤1<S n +1S n =n +1n =1+1n≤2，故q ＝1时，数列{S n }为“紧密数列”，故q ＝1满足题意． …………10分② 当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ，则S n +1S n =1－q n +11－q n ．因为数列{S n }为“紧密数列”，所以，12≤S n+1S n =1－q n +11－qn ≤2对于任意*n ∈N 恒成立． （i ）当12≤q ＜1时，12(1－q n )≤1－q n +1≤2(1－q n)即⎩⎨⎧q n (2q －1)≤1，q n (q －2)≥－1对于任意*n ∈N 恒成立．因为0＜q n ≤q ＜1，0≤2q －1＜1，－32≤q －2＜－1，所以 q n (2q －1)＜q ＜1， q n (q －2)≥q (q －2)≥12×(－32)＝－34＞－1，所以，当12≤q ＜1时，⎩⎨⎧q n (2q －1)≤1，q n (q －2)≥－1对于任意*n ∈N 恒成立．13分（ii ）当1＜q ≤2时，12(q n －1)≤q n +1－1≤2(q n－1)，即⎩⎨⎧q n (2q －1)≥1，q n (q －2)≤－1对于任意*n ∈N 恒成立．因为q n ≥q ＞1，2q －1＞1，－1＜q －2≤0．所以⎩⎨⎧q (2q －1)≥1，q (q －2)≤－1，解得q =1，又1＜q ≤2，此时q 不存在．综上所述， q 的取值范围是112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． (16)分解法二：因为{a n }是“紧密数列”，所以12≤q ≤2． (8)分① 当q ＝1时，S n =na 1，S n +1S n =n +1n =1+1n ，所以，12≤1<S n +1S n =n +1n =1+1n≤2，故q ＝1时，数列{S n }为“紧密数列”，故q ＝1满足题意． …………10分② 当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ，则S n +1S n =1－q n +11－q n ．因为数列{S n }为“紧密数列”，所以，12≤S n+1S n =1－q n +11－qn ≤2对于任意*n ∈N 恒成立． （i ）当12≤q ＜1时，12(1－q n )≤1－q n +1≤2(1－q n )，即⎩⎨⎧q n (2q －1)≤1，q n (2－q )≤1对于任意*n ∈N 恒成立． 所以⎩⎨⎧q (2q －1)≤1，q (2－q )≤1.解得12≤q ＜1． (13)分（第21-A 题）AB MO NDC·（ii ）当12≤q ＜1时，同理可得⎩⎨⎧q (2q －1)≥1，q (2－q )≥1.无解．综上所述， q 的取值范围是112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． (16)分数学Ⅱ（附加题）参考答案及评分建议21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内．．．．．．．．．．．．．．．．．作答．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，分别 延长AB ，CD 相交于点M ，N 为⊙O 上一点，AN =AC ，证明：∠MDN =2∠OCA ．【解】连结ON ，因为AN=AC ，ON =OC ，OA 是公共边，所以△ANO ≌△ACO ，故∠OAC =∠OAN ．………3分 又∠OAC =∠OCA ，所以∠NAC =∠OAC +∠OAN=∠OCA +∠OAC=2∠OCA ． 因为A ，C ，D ，N 四点共圆，所以∠MDN =∠NAC ， 所以，∠MDN =2∠OCA ． ………………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵273m⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的逆矩阵127n m --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M ，求实数m ，n ． 【解】由 1221401073772114301mn mn m n m ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦MM ， …………5分 所以14172101431mn n m -=⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩，解得53m n =⎧⎨=⎩． ……………………………………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）（第21-A 题）A B MO NDC·在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为21214x t y t ⎧=⎪⎨⎪=⎩，（t 为参数），曲线与直 线l ：12y x =相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【解】解法一：将曲线C 的参数方程21214x t y t ⎧=⎪⎨⎪=⎩，化为普通方程为28x y =，………3分 方程组282x y x y ⎧=⎨=⎩， 解得00x y =⎧⎨=⎩或1214x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩． ……………………………………6分所以(00)A ，，11()24B ，，所以AB ==10分 解法二：将曲线C 的参数方程为21214x t y t ⎧=⎪⎨⎪=⎩，代入直线l ，得21144t t =， 解得10t =，21t =． ……………………………………………………………3分 可得(00)A ，，11()24B ，， ………………………………………………………6分所以AB ==10分D ．选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）已知a ，b ，c 均为正数．求证：111a b c bc ca ab a b c++++≥． 【解】因为a ，b ，c 都是为正数，所以12()a b a b bc ca c b a c++=≥．…………………………………………………3分同理可得2b c ca ab a +≥，2c a ab bc b+≥． 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2， 得111a b c bc ca ab a b c++++≥． …………………………………………………10分 【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．CBADE第22题图22． 如图，在四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为平行四边形，平面ABE ⊥平面BCDE ，AB AE =，DB DE =，=BAE BDE ∠=∠90°．（1）求异面直线AB 与DE 所成角的大小； （2）求二面角B AE C --的余弦值． 【解】设BE 的中点为O ，连结AO ，DO ， 由于AB =AE ，BO=OE ， 所以AO ⊥BE ，同理DO BE ⊥．又因为平面ABE ⊥平面BCDE ，平面ABE平面BCDE=BE ，所以AO ⊥平面BCDE ，由题意，22222BE AB DB ==，所以AB BD DE AE ===． 解法一：（1）不妨设OA a =，以O 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系O-xyz ，则(00)A a ，， ，(00)B a -，，，(20)C a a -，，，(00)D a ，，，(00)E a ，，．所以(0)AB a a =--，，，(0)DE a a =-，，因为2cos 2AB DE AB DE AB DE⋅-〈〉===，所以AB 与DE 的夹角为120°，所以异面直线AB 与DE 所成角为60°．………………………………………5分 （2）设平面ACE 的法向量为1()n x y z =，，， 因为(0)AE a a =-，，，(30)EC a a =-，，， 所以10n AE ⋅=，10n EC ⋅=，所以，y z =且3x y =，取1y z ==，得3x =， 所以，1(311)n =，，，又平面ABE 的法向量为2(100)n =，，， 设二面角B AE C --的平面角为θ，由12123cos 11n n n n θ⋅===，因此，二面角B AE C --． ……………………………10分第22题图。

2015届江苏高考南通市高考模拟密卷（三）(南通市数学学科基地命题)南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分） 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． 1．已知集合{}2|20M x x x =-≥,{}|1N x x =≤，则R M N （ ）ð= .2．如果1a bi -+与-b i +互为共轭复数（,a b ∈R ，i 为虚数单位）， 则||a bi += ．3．如右图，该程序运行后输出的结果为 .4．在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点，1AC =．若sin B ＝13，则AM ＝________.5．某单位有,,A B C 三部门，其人数比例为3∶4∶5，现欲用分层抽样方法抽调n 名志愿者支援西部大开发 ．若在A 部门恰好选出了6名志愿者，那么n ＝________． 6．函数()2sin()(0,f x x ωϕω=+>且||)2πϕ<的部分图像如图所示,则(0)f 的值为 .7．连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是a ，b ，则函数2()f x ax bx =-在1x =处取得最值的概率是 .8．在等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，已知12128,2,1,2a a b b =-=-==，那么满足n n a b =的n 的所有取值构成的集合是 .9．已知如图所示的多面体EF ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，四边形BDEF 是矩形，ED ⊥平面ABCD ，∠BAD ＝3π.若BF ＝BD＝2，则多面体的体积 ．10．如果关于x 的方程23ax x +=有两个实数解，那么实数a 的值是 ． 11．设()()2,0,1,0.x a x f x x a x x⎧-⎪=⎨++>⎪⎩… 若()0f 是()f x 的最小值，则实数a 的取值范围为 .12．已知椭圆2221(3x y a a +=>的中心、右焦点、右顶点依次为,,,O F G直线2x =x 轴 交于H 点，则FG OH取得最大值时a 的值为 .FEDCBA13．在四边形ABCD 中，2AB =，AD BC =，BA BC BABC+3BD BD，则四边形ABCD 的面积是 ．14．()f x 是定义在R 上的奇函数，若当0x ≥时，[)[)12log (1),0,1()13,1,x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩ ，则关于x 的函数()()(10)F x f x a a =+-<<的所有零点之和为 （用a 表示） 二、解答题：本大题共6小题，共90分.15．（本小题满分14分）如图，在xoy 平面上，点(1,0)A ，点B 在单位圆上，AOB θ∠=（0θπ<<）（1）若点34(,)55B -，求tan()4πθ+的值；（2）若OA OB OC +=，1813OB OC ⋅=，求cos()3πθ-.16．（本小题满分14分）在四棱锥P ABC D -中,PAC ⊥平面平面ABC D ,ABC ∆是边长为4的正三角形,AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点,又120ADC ∠=,点N 在线段PB 上,且13PN NB =. (1)求证：PA BD ⊥； (2)求证：//MN 平面PDC .17.（本小题满分14分）2014年8月以“分享青春，共筑未来”为口号的青奥会在江苏南京举行， 为此某商店经销一种青奥会纪念徽章，每枚徽章的成本为30元，并且每卖出一枚徽章需向相关部门上缴a 元（a 为常数，25a ≤≤），设每枚徽章的售价为x 元（3541x ≤≤）.根据市场调查，日销售量与x e （e 为自然对数的底数）成反比例.已知当每枚徽章的售价为40元时，日销售量为10枚. （1）求该商店的日利润()L x 与每枚徽章的售价x 的函数关系式；（2）当每枚徽章的售价为多少元时，该商店的日利润()L x 最大？并求出()L x 的最大值.CBP18．(本小题满分16分) 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点)． （1）若A 是椭圆E 的上顶点，12,F F 分别是左右焦点，直线12,AF AF 分别交椭圆于,B C ，直线BO 交AC于D ，求证:3:5ABD ABC S S ∆∆=；（2）若12,A A 分别是椭圆E 的左右顶点，动点M 满足212MA A A ⊥，且1MA 交椭圆E 于点P ．求证：OP OM ⋅为定值.19.（本小题满分16分）已知函数21()ln 2f x ax x =+，()g x bx =-，设()()()h x f x g x =-.（1）若()f x 在x =处取得极值，且(1)(1)2f g '=--，求函数h (x )的单调区间； （2）若0a =时函数h (x )有两个不同的零点x 1,x 2.①求b 的取值范围；②求证：1221x x e >.20.（本小题满分16分）若数列{}n C1n c +，②存在常数(M M 与n 无关），使n c M ≤.则称数列{}n c 是“和谐数列”.（1）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，且442,30a S ==，求证：数列{}n S 是“和谐数列”； （2）设{}n a 是各项为正数，公比为q 的等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，求证：数列{}n S 是“和谐数列”的充要条件为01q <<.第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． A ．（选修４－１：几何证明选讲）如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C ．若AB = 2 BC ， 求证：A C ∠=∠．B ．（选修４－２：矩阵与变换）已知矩阵21a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中,a b 均为实数，若点(3,1)A -在矩阵M 的变换作用下得到点(3,5)B ，求矩阵M 的特征值.C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线1325: 45x t C y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）和曲线22:sin 2cos C ρθθ=相交于A B 、两点，求AB 中点的直角坐标．D ．（选修４－５：不等式选讲）已知实数a ，b ，c ，d 满足3a b c d +++=，22222365a b c d +++=，求a 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.22．（本小题满分10分）甲、乙、丙三位同学商量高考后外出旅游，甲提议去古都西安，乙提议去海上花园厦门，丙表示随意．最终，三人商定以抛硬币的方式决定结果．规则是：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上，则甲得一分、乙得零分；若反面朝上，则乙得一分、甲得零分，先得4分者获胜．三人均执行胜者的提议．若记所需抛掷硬币的次数为X ． （1）求6X =的概率；（2）求X 的分布列和数学期望．23．（本小题满分10分）在数学上，常用符号来表示算式，如记0ni i a =∑=0123n a a a a a +++++，其中i N ∈，n N +∈.（1）若0a ，1a ，2a ，…，n a 成等差数列，且00a =，求证：()0nii n i a C ==∑12n n a -⋅；（2）若22201221(1)nknn k x a a x a x a x =+=+++∑，20n n i i b a ==∑，记11[(1)]niin i n i d b C ==+-∑，且不等式(1)n nt d b ⋅-≤恒成立，求实数t 的取值范围.2015年高考模拟试卷(3)参考答案南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1．(]0,1； 2； 3．1027； 由流程图，b 和a 的值依次为1,1;3,2;10,3;1027,4，结束循环. 45．24；6．7112； 8．{}3,5 ；【解析】 由已知得，1614,2n n n a n b -=-=，令n n a b =，可得16142n n --=，解得3n =或5，所以满足n n a b =的n 的所有取值构成的集合是{}3,5. 9【解析】如图，连接AC ，AC ∩BD ＝O .因为四边形ABCD 是菱形，所以，AC ⊥BD ，又因为ED ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以，ED ⊥AC .因为，ED ，BD ⊂平面BDEF ，且ED ∩BD ＝D ，所以，AC ⊥平面BDEF ，所以，AO 为四棱锥A -BDEF 的高．又因为，四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝3π，所以，△ABD 为等边三角形．又因为，BF ＝BD ＝2，所以，AD ＝2，AOS四边形BDEF ＝4，所以，V 四棱锥A -BDEF＝10．2± ； 11．[]0,2； 12．2； 13．；【解析】 设BA a BA=，BC b BC=，BD c BD=，则|a |=|b |=|c |=1，a +b ，所以，得cos<a ,b >=12,又由AD BC =，所以，可得图形为有一个3π角的菱形，所以，其面积22S =⨯=. 14．112a⎛⎫- ⎪⎝⎭；【解析】 根据对称性，作出R 上的函数图象，由()()F x f x a =+，所以，零点就是()f x 与()0,1y a =-∈交点的横坐标，共有5个交点，根据对称性，函数()f x 的图象与()0,1y a =-∈的交点在()2,4之间的交点关于3x =对称，所以，126x x +=，在()()5,43,2----之间的两个交点关于3x =-对称，所以，346x x +=-，设(]1,0x ∈-，则[)0,1x -∈，所以，12()log (1)()f x x f x -=-+=-，即12()log (1)f x x =--+，由()0f x a +=，所以，12log (1)0x a --++=，即5112a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以，12345112ax x x x x ⎛⎫++++=- ⎪⎝⎭.二、解答题OFEDCBA15. （1）由于34(,)55B -，AOB θ∠=，所以3cos 5θ=-，4sin 5θ= ，所以4tan 3θ=-， 所以1tan 1tan()41tan 7πθθθ++==-- ；（2）由于(1,0)OA =,(cos ,sin )OB θθ=,所以(1cos ,sin )OC OA OB θθ=+=+,22218cos (1cos )sin cos cos sin 13OC OB θθθθθθ⋅=⨯++=++=. 所以5cos 13θ=，所以12sin 13θ=，所以cos()coscos sinsin 333πππθθθ-=+=16．（1）因为ABC ∆是正三角形,M 是AC 中点, 所以BM AC ⊥,即BD AC ⊥, 又PAC ABCD ⊥平面平面,,PACABCD AC =平面平面BD ⊂平面ABCD ,,BD AC ⊥所以BD ⊥平面PAC .又PA ⊂平面PAC ,所以.PA BD ⊥.(2)在正三角形ABC 中,BM =在ACD 中，因为M 为AC 中点, DM AC ⊥，所以AD CD =, 因为120ADC ∠=,所以60ADM ∠=. 所以, DM =,所以:3:1BM MD =, 所以::BN NP BM MD =,所以//MN PD . 又MN ⊄平面PDC ,PD ⊂平面PDC ,所 以//MN 平面PDC . 17. （1）设日销售量为x k e ，则4010k e =， 所以4010k e =，则日销售量为4010x e e 枚.每枚徽章的售价为x 元时，每枚徽章的利润为(30)x a --元，则日利润40401030()(30)10(3541)x xe x aL x x a e x e e --=--=≤≤.（2）4031()10(3541)x a xL x e x e +-'=≤≤.①当24a ≤≤时，333135a ≤+≤，而3541x ≤≤， 所以()0,()L x L x '≤在[]35,41上单调递减，CBP则当35x =时，()L x 取得最大值为510(5)a e -. ②当45a <≤时，353136a <+≤，令()0L x '=，得31x a =+， 当[]35,31x a ∈+时，()0,()L x L x '>在[]35,31a +上单调递增； 当(]31,41x a ∈+时，()0,()L x L x '<在(]31,41a +上单调递减. 所以当31x a =+时，()L x 取得最大值为910a e -.综上，当24a ≤≤时，每枚徽章的售价为35元时，该商店的日利润()L x 最大,5max ()10(5)L x a e =-; 当45a <≤时，每枚徽章的售价为（31a +）元时，该商店的日利润()L x 最大，9max ()10a L x e -= . 18. （1）易得22211,a b c a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩且222c a b =-，解得224 2 a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，所以,椭圆E 的方程为22142x y +=；所以，12(A F F ，所以，直线:AB y x =:AC y x =- 将y x =230x +=，所以(B，同理可得C ， 所以直线BO 为14y x =，联立12y xy x ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，得交点D ，所以，88,53AD AC ==，即:3:5AD AC =所以，:3:5ABDABCSS=；（2）设0(2 )M y ，，11( )P x y ，， 易得直线1MA 的方程为0042y yy x =+， 代入椭圆22142x y +=,得()2222000140822y y y x x +++-=，由()201204828y x y --=+得，()20120288y x y --=+，从而012088y y y =+， 所以()()2220000022220000284888 (2 )48888y y y y OP OM y y y y y ----⎛⎫⋅=⋅=+= ⎪++++⎝⎭，，. 19. (1)因为1()f x ax x'=+，所以(1)1f a '=+, 由(1)(1)2f g '=--可得a =b-3. 又因为()f x在x =处取得极值，所以0f '=， 所以a = -2,b =1 . 所以2()ln h x x x x =-++，其定义域为（0，+∞）2121(21)(1)()21=x x x x h x x x x x-++-+-'=-++=令()0h x '=得121,12x x =-=，当x ∈（0,1）时，()>0h x '，当x ∈（1,+∞）()<0h x '，所以函数h (x )在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+∞）上单调减. （2）当0a =时，()ln h x x bx =+，其定义域为（0，+∞）. ①由()0h x =得ln -x b x =，记ln ()x x x ϕ=-，则2ln 1()x x x ϕ-'=, 所以ln ()xx xϕ=-在(0,)e 单调减，在(,)e +∞单调增， 所以当x e =时ln ()x x x ϕ=-取得最小值1e-. 又(1)0ϕ=，所以(0,1)x ∈时()0x ϕ>，而(1,)x ∈+∞时()0x ϕ<,所以b 的取值范围是（1e -，0）.②由题意得1122ln 0,ln 0x bx x bx +=+=,所以12122121ln ()0,ln ln ()0x x b x x x x b x x ++=-+-=, 所以12122121ln ln ln x x x x x x x x +=--，不妨设x 1<x 2,要证212x x e > , 只需要证12122121ln (ln ln )2x x x x x x x x +=->-.即证2121212()ln ln x x x x x x -->+，设21(1)xt t x =>,则2(1)4()ln ln 211t F t t t t t -=-=+-++, 所以22214(1)()0(1)(1)t F t t t t t -'=-=>++, 所以函数()F t 在（1，+∞）上单调增，而(1)0F =， 所以()0F t >即2(1)ln 1t t t ->+, 所以212x x e > .20. （1）设公比为q ，则3411414161(1)21a a q a a q q s q ⎧==⎧⎪⎪⇒⎨⎨-==⎪⎪⎩-⎩, 所以51322n n s -=-.(32s =532(22n n --+4223222n -≤+214411)322n n S +--=-=.且513232.2n n S -=-<即存在常数32,所以，数列{}n S 是“和谐数列” . （2）充分性设等比数列{}n a 的公比q ，且0 1.q << 则1111(1)1111n n n a q a a q aS q q q q-==-<----. 令11a M q=-，则.n S M < 因为222222112()(1)(1)()(1)11n n n n n n n a aS S q q q q q q q ++++=--=--+--21222122111()(12)()(1)11n n n n a aq q q S q q++++<-+=-=-- 所以{}n S 是“和谐数列” 必要性等比数列{}n a 各项为正，且n S 是“和谐数列”.C因为0.n a > 所以，0.q >下面用反证法证明，1q <（1）当1,q =则1,n S na =因为10,a >所以，不存在M ，使1na M <对1n N -∈恒成立;当1q >，则111(1)111n n n a q a a S q q q q -==---- 所以，对于给定的正数M ，若11,11n a a q M q q ->-- 因为，1q >，所以，11log (1).q q n M a ->+ 即当11log (1)q q n M a ->+时，有n S M >. 所以，不存在常数M ，使.n S M ≤ 所以，0 1.q <<综上,数列{}n S 是“和谐数列”的充要条件为其公比为01q <<.第Ⅱ卷（附加题，共40分）21. A. 连结OD ，BD ，因为AB 是圆O 的直径，所以902ADB AB OB ∠==o ，．由AB = 2 BC ，所以，AB OC =，因为DC 是圆O 的切线，所以90CDO ∠=o ．于是△ADB ≅△CDO ，所以，AD DC =所以，A C ∠=∠.B ．由条件可知233115a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以233,315a b ⨯-=⎧⎨-=⎩， 则3,2a b ==．矩阵的特征多项式为223()(2)(1)(2)(3)3421f λλλλλλλ--==-----=---- 令()0f λ=,得两个特征值分别为121,4λλ=-=．C. 将1C 化为直角坐标方程为4380x y --=将2C 化为直角坐标方程为22y x =将直线方程代入22y x =可得22380y y --=解之可得1232y y +=，124y y =-，所以，2212124128y y x x ++== 所以，中点坐标为341,416⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 由柯西不等式，得()2222111(236)()236b c d b c d ++++++≥， 即()2222236b c d b c d ++++≥．由条件，得()2253a a --≥，解得12a ≤≤== 时等号成立， 代入111,,36b c d ===时，max 2a =；211,,33b c d ===时，min 1a =， 所以a 的取值范围是[1,2]．22. （1）抛掷硬币正面向上、反面向上的概率都为12， ()323511156222216P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）X 的分布列为:所以，1155934567.84161616EX =⨯+⨯+⨯+⨯= 23. （1）设等差数列的通项公式为0n a a nd =+，其中d 为公差则()0n i i n i a C ==∑12012n n n n n a a C a C a C ++++01120()(2)n n n n n n n n a C C C d C C nC =++++++因为11k k n n kC nC --=所以122n nn n C C nC ++011111()n n n n n C C C ----=+++ 所以()0n i i n i a C ==∑1022n n a nd -⋅+⋅=12n n a -⋅.注：第（1）问也可以用倒序相加法证明.（2）令1x =，则223202(14)22222421n n n n i i a =-=++++==⋅--∑ 令1x =-，则20[(1)]0ni i i a =-=∑，所以20n n i i b a ==∑1(242)412n n =⋅-=- 根据已知条件可知，012233(41)(41)(41)(1)(41)n n n n n n n n nd C C C C C =--+---++-- 01223301234[(4)(4)(4)(4)][(1)]1n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C =+-+-+-++---+-+++-+(14)(11)1(3)n n n =---+=-+，所以(3)1n n d =-+将41n n b =-、(3)1n n d =-+代入不等式(1)n n t d b ⋅-≤得，(3)41n n t ⋅-≤-当n 为偶数时，41()()33n n t ≤-，所以22415()()333t ≤-=； 当n 为奇数，41[()()]33n n t ≥--，所以1141[()()]133t ≥--=-； 综上所述，所以实数t 的取值范围是5[1,]3-.。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学第Ⅰ卷（共160分）参考公式：圆柱的体积公式：V Sh =柱圆，其中S 是圆柱的底面积，h 为高． 圆锥的体积公式：13V Sh =圆锥，其中S 是圆锥的底面积，h 为高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1．已知集合{}1,2,3A =，{}2,4,5B =，则集合AB 中元素的个数为 ．2． 已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为 ．3． 设复数z 满足234i z =+（i 是虚数单位），则z 的模为 ． 4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ．5．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 ． 6．已知向量()2,1=a ，()1,2=-b ，若m n +a b ()9,8=-(),m n ∈R ，则m n-的值为 ． 7．不等式224x x-<的解集为 ．8．已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为 ． 9．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 ．10．在平面直角坐标系xOy 中，以点()1,0为圆心且与直线210mx y m ---=()m ∈R 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ．11．设数列{}n a 满足11a =，且11n n a a n +-=+()*n ∈N ，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前10项的和为 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点．若点P 到直线10x y -+=的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为 ．13．已知函数()ln f x x =，()20,0142,1x g x x x <⎧⎪=⎨-->⎪⎩…，则方程()()1f x g x +=实根的个数为 ．14．设向量cos ,sin cos 666k k k k πππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭a ()0,1,2,,12k =…，则()11+10k k k =⋅∑a a 的值为 ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（本小题满分14分）在ABC △中，已知2AB =，3AC =，60A =︒．（1）求BC 的长； （2）求sin 2C 的值．16．（本小题满分14分）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知AC BC ⊥，1BC CC =．设1AB 的中点为D ，11B C BC E =I ．求证：（1）DE ∥平面11AAC C ；（2）11BC AB ⊥．17．（本小题满分14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，ED A 1B 1C 1BA计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为12,l l ，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到12,l l 的距离分别为5千米和40千米，点N 到12,l l 的距离分别为20千米和2.5千米，以12,l l 所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数2ay x b=+（其中a ，b 为常数）模型． （1）求a ，b 的值；（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t ． ①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域；②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度．18．（本小题满分16分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b +=()0a b >>的F 到左准线l 的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点,P C ，若2PC AB =，求直线AB 的方程．19．（本小题满分16分）已知函数()32f x x ax b =++(),a b ∈R ．（1）试讨论()f x 的单调性；（2）若b c a =-（实数c 是与a 无关的常数），当函数()f x 有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是()33,31,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求c 的值．20．（本小题满分16分）设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为d()0d ≠的等差数列．（1）证明：31242,2,2,2aaaa依次成等比数列；（2）是否存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次构成等比数列？并说明理由； （3）是否存在1,a d 及正整数,n k ，使得351234,,,n n k n k n k a a a a +++依次成等比数列，并说明理由．第II 卷（共40分）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，在ABC △中，AB AC =，ABC △的外接圆O 的弦AE 交BC 于点D ．求证：ABD AEB △△∽．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知,x y ∈R ，向量11⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦α是矩阵10x y ⎡⎤=⎢⎥⎦⎣A 的属于特征值2-的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）已知圆C的极坐标方程为2sin 404ρθπ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，求圆C 的半径．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）解不等式232x x ++…．【必做题】第22题、第23题, 每题10分, 共计20分． 请在相应区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图所示，在四棱锥P ABCD ﹣中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD为直角梯形，2ABC BAD π∠=∠=，2PA AD ==，1AB BC ==． （1）求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；（2）点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成的角最小时，求线段BQ 的长．23．（本小题满分10分）已知集合{}1,2,3X =，{}1,2,3,,n Y n =…()*n ∈N ，设(){,n S a b a =整除b 或b 整除a ，},n a X b Y ∈∈，令()f n 表示集合n S 所含元素的个数．（1）写出()6f 的值；（2）当6n …时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明．QBA P。

2015年高考模拟试卷(5）南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（共160分）一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。

1.函数y ＝2sin （3x ＋错误!)的最小正周期为 ． 【答案】错误! 【解析】试题分析:根据函数()sin()f x A x ωϕ=+的最小正周期是2T πω=可得。

考点：三角函数的周期.2。

设复数z 满足z （1+2i ）=2－i ，则|z ｜＝ ． 【答案】1 【解析】试题分析：由已知得(12)2z i i +=-，122z i i ⋅+=-，55z =1z =.考点:复数的运算.3.集合{x ｜－1≤log 错误!10〈－错误!，x ∈N *｝的真子集的个数是 ． 【答案】290-1 【解析】试题分析：111log 102x -≤≤-11log 102x ⇒-≤-≤-1log 1012x ⇒≤≤121010x x ≥⎧⎪⇒⎨⎪≤⎩10100x ⇒≤≤，因此集合11{|1log10,*}2xx x N -≤≤-∈{|10100,*}x x x N =≤≤∈有90个元素，真子集有9021-个。

考点：解对数不等式，子集.4.从｛1，2,3，…,18｝中任取两个不同的数，则其中一个数恰好是另一个数的3倍的概率为．【答案】错误!【解析】试题分析：从题中18个数里任取两个数方法数为218153C=,“其中一个数恰好是另一个数的3倍”只有(1,3),(2,6),(3,9),(4,12),(5,15),(6,18)共6种取法，因此概率为6215351=。

考点:古典概型。

5.运行如图的算法,则输出的结果是．【答案】36【解析】试题分析：第一次循环后x的值为4,第二次循环后x值为36，这里循环结束，输出为36.考点：循环结构与算法.6。

某校从参加高三年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段后得到如图的频率分布直方图，第5题请你根据频率分布直方图中的信息，估计出本次考试数学成绩的平均分为 ．【答案】71 【解析】试题分析：(450.01550.015650.015750.03850.025950.005)1071⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=. 考点：频率分布直方图，用样本估计总体.7.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1,E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点,则三棱锥D 1－EDF 的体积为 ．【答案】错误! 【解析】 试题分析:111111113326D EDFF D ED D DE VV S AB --∆==⋅=⋅⋅=。

2015年全国高等学校统一招生考试（江苏卷）数学（Ⅰ）一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分） 1．已知集合{}123A =，，，{}245B =，，，则集合AB 中元素的个数为_____．2．已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为______．3．设复数z 满足234i z =+（i 是虚数单位），则z 的模为______．4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________． 5．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．6．已知向量，(21)=，a ，(12)=-，b ，若(98)m n +=-，a b ()m n ∈R ，，则m n -的值为______． 7．不等式224x x-<的解集为________．8．已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______． 9．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 ．10．在平面直角坐标系xOy 中，以点(10)，为圆心且与直线210()mx y m m ---=∈R 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ．11．数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*n ∈N ），则数列}1{na 的前10项和为 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点．若点P 到直线01=+-y x 的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为 ．1S ←1I ←Whiie 8I <2S S +← 3I I +← End Whiie Print S13．已知函数|ln |)(x x f =，2001()|4|21x g x x x <⎧=⎨-->⎩，≤，，，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为 ．14．设向量(cos sin cos )(01212)666k k k k πππ=+=，，，，，k a ，则11()k =∑1k k+a a 的值为 ．二、解答题，本题共6个小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．在ABC V 中，已知2160AB AC A ===，，o． (1 ) 求BC 的长；（2）求sin 2C 的值．16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知1AC BC BC CC ⊥=，．设1AB 的中点为D ，11B C BC E =I ．求证：（1）//DE 平面11AAC C ； (2 ) 11BC AB ⊥．ACBDEA 1B 1C 1（第16题）17．（本小题满分14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为12l l ，，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到12l l ，的距离分别为5千米和40千米，点N 到12l l ，的距离分别为20千米和2．5千米，以12l l ，所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数2ay x b=+（其中a ，b 为常数）模型． （1）求a ，b 的值；（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t ． ①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度． 18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为22，且右焦 点F 到左准线l 的距离为3． （1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若2P C A B =，求直线AB 的方程．ONMxyPlCl 1l 2（第17题）OBAPC yx（第18题）l19．（本小题满分16分）已知函数32()()f x x ax b a b =++∈R ，． （1）试讨论)(x f 的单调性；（2）若a c b -=（实数c 是与a 无关的常数），当函数)(x f 有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是33(3)(1)()22-∞-+∞，，，，求c 的值．20．设1234a a a a ，，，是各项为正数且公差为d (0)d ≠的等差数列． （1）证明：31242222a a a a，，，依次成等比数列；（2）是否存在1a d ，，使得2341234a a a a ，，，依次成等比数列，并说明理由； （3）是否存在1a d ，及正整数n k ，，使得231234n n k n k n k a a a a +++，，，依次成等比数列，并说明理由．2015年全国高等学校统一招生考试（江苏卷）数学（Ⅱ）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，在ABC ∆中，AC AB =，ABC ∆的外接圆圆O 的弦AE 交BC 于点D ．求证：ABD ∆∽AEB ∆．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知x y ∈R ，，向量11⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦α是矩阵⎢⎣⎡⎥⎦⎤=01y x A 的属性特征值2-的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）已知圆C 的极坐标方程为222sin()404ρρθπ+--=，求圆C 的半径．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）解不等式|23|2x x ++≥．OBAD CE（第21-A 题）【必做题】 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，2ABC BAD π∠=∠=，21PA AD AB BC ====，． (1) 求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值； （2）点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成角最小时，求线段BQ 的长．23．（本小题满分10分）已知集合*{123}{123}()n X Y n n ==∈N ，，，，，，，，设{()|n S a b a =，整除b或b 整除a ，}n a X b Y ∈∈，，令()f n 表示集合n S 所含元素个数．（1）写出(6)f 的值；（2）当6n ≥时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明．Q B A DC P（第22题）。

一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分. 1.设,a b R ∈，231a bii i+=+-，其中i 是虚数单位，则a b += ． 【答案】6 【解析】 试题分析：23(23)(1)55,161a bii a bi i i a bi i a b a b i+=+⇒+=+-⇒+=+⇒==⇒+=- 考点：复数相等2.已知集合{}P x x a =≤，{}sin ,Q y y R θθ==∈．若P Q ⊇，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】[1,)+∞ 【解析】试题分析：sin P Q a θ⊇⇒≤恒成立，因此max (sin )1a θ≥= 考点：集合包含关系，不等式恒成立3.为了了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm )，所得数据如图．则在这100株树木中，底部周长不小于100cm 的有 株．【答案】70 【解析】试题分析：底部周长不小于100cm 的概率为1(0.010.02)100.7-+⨯=，所以底部周长不小于100cm 的有0.710070⨯=株考点：频率分布直方图4.设向量(1,)a m =r ，(1,2)b m =-r ，且a b ≠r r ，若()a b a -⊥r r r，则实数m = ．【答案】1 【解析】第3题图试题分析：2()(2,2)(1,)032021a b a m m m m m m m -⊥⇒--⋅=⇒-+=⇒==或r r r ，又a b ≠r r，所以2, 1.m m ≠=考点：向量垂直，向量数量积5.如图所示的流程图的运行结果是 ．【答案】20 【解析】试题分析：第一次循环：5,4S a ==，第二次循环：20,34S a ==<，结束循环，输出20.S = 考点：循环结构流程图6.将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD a =，则三棱锥D ABC -的体积为 ．3 【解析】试题分析：取AC 中点M，则DM BM ==，222+DM BM BD =，即DM BM ⊥,因为,DM AC ⊥,所以DM ABC ⊥面,三棱锥D ABC -的体积为23111.332ABC DM S a ∆⋅=⨯= 考点：三棱锥体积7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若19a =，462a a +=． 当n S 取最大值时，n = ． 【答案】5 【解析】试题分析：设公差为,d 则465219412a a a d d +=⇒=⇒+=⇒=-，因此第5题图219(1)(2)102n S n n n n n =+⨯-⨯-=-+，所以当5n =时，n S 取最大值考点：等差数列前n 项和公式，二次函数最值 8.已知44ππθ-≤≤，且1cos45θ=，则44cos sin θθ-= ．【解析】试题分析：因为442222cos sin (cos sin )(cos sin )cos2θθθθθθθ-=-+=，而2213cos42cos 21cos 255θθθ==-⇒=，又2cos 24422ππππθθθ-≤≤⇒-≤≤⇒=44cos sin θθ-=考点：二倍角公式9.若在区间(1,1)-内任取实数a ，在区间(0,1)内任取实数b ，则直线0ax by -=与圆 22(1)(2)1x y -+-=相交的概率为 ．【答案】516【解析】试题分析：由直线0ax by -=与圆22(1)(2)1x y -+-=1(34)0b b a <⇒-<，又0b >，所以340b a -<，其区域为梯形OABC,其中3(00),(10),(11),(1)4O A B C ，，，，,而在区间(1,1)-内任取实数a ，在区间(0,1)内任取实数b 构成一个矩形ABDE ,其中(11),(10),D E --，，因此所求概率为梯形OABC 面积与矩形ABDE 面积的比值，即11(1)1524.216⨯+⨯=考点：几何概型概率10.设函数()sin(2),[,]66f x x x a ππ=+∈-的值域是1[,1]2-，则实数a 的取值范围为 ．【答案】[,]62ππ【解析】试题分析：因为[,]2[,2],6666x a x a ππππ∈-⇒+∈-+1()sin(2)[,1]62f x x π=+∈-，所以72[,][,]62662a a πππππ+∈∈, 考点：三角函数性质11.已知函数()f x 满足：当[]1,3x ∈时，()ln f x x =，当1[,1)3x ∈时，1()2()f x f x =．若在区间1[,3]3内，函数()()(0)g x f x ax a =->恰有一个零点，则实数a 的取值范围是 ．【答案】1(,6ln3]e【解析】考点：函数零点12.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>和圆222:O x y b +=，若椭圆C 上存在点P ，使得过点P 引圆O 的两条切线，切点分别为A 、B ，满足60APB ∠= ，则椭圆C 的离心率的取值范围是 ．【答案】 【解析】试题分析：在四边形OAPB 中，60APB ∠= ，90OAP OBP ∠=∠= ，OA OB b ==，2OP b ∴=，由题意得，2b a ≤，即a，化解得c a ≥，又在椭圆中1e <，1e ≤<． 考点：圆的切线，椭圆离心率13.设数列{}n a 的通项公式为13()2n n a -=，则满足不等式113n ni i i i a a ==>∑∑的正整数n 的集合为 ．【答案】{1，2，3} 【解析】试题分析：由于数列{}n a 的通项公式为13()2n n a -=，所以数列{}n a 为等比数列，首项为132a =，公比132q =；数列1{}n a 也是等比数列，首项为23，公比223q =．不等式113n ni i i i a a ==>∑∑等价于1113nni i i i a a ==>∑∑，即231()1()3231132n n --⋅>--，解之得22()193n <<，n N *∈ ，n ∴只能取1,2,3．考点：等比数列求和14.设函数()332x x f x x -=--，则满足12(2)(log )0x f x -<的x 的取值范围是 ．【答案】(0,1)(2,)+∞ 【解析】试题分析：()3ln33ln32(33)ln322ln320x x x x f x --'=+-=+-≥-> ，∴函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，且(0)0f =，112220(2)(log )0log 0x x f x x ->⎧⎪∴-<⇔⎨<⎪⎩或1220log 0x x -<⎧⎪⎨>⎪⎩，解得2x >或01x <<．考点：利用导数解不等式二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分14分）在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且tan (2)tan b A c b B =-． （1）求角A 的大小；（2）设AD BC ⊥，D 为垂足，若2b =，3c =，求AD AC ⋅u u u r u u u r的值．【答案】（1）3A π=（2）277【解析】试题分析：（1）由正弦定理，将边角关系统一化为角：sin sin sin (2sin sin )cos cos A BB C B A B⋅=-⋅，再利用两角差正弦公式及诱导公式进行化简：sin cos 2sin cos cos sin A B C A A B =-⇒sin()2sin cos A B C A +=⇒1cos 2A =解得3A π=（2）先利用AD BC ⊥化简AD AC ⋅uuu r uu u r得：2AD AC AD AD DC AD ⋅=⋅+= （）,因此关键求AD ，这可利用余弦定理解出a =再根据面积公式求出高AD ：11sin 22BC AD AB AC A ⋅=⋅⋅⇒AD =试题解析：（1）tan (2)tan b A c b B =- ， ∴由正弦定理，得sin sin sin (2sin sin )cos cos A BB C B A B⋅=-⋅, 又 在ABC ∆中，sin 0B ≠， sin cos 2sin cos cos sin A B C A A B ∴=-， 即sin()2sin cos A B C A +=， 又 sin()sin 0A B C +=≠， 1cos 2A ∴=， 又 0A π<<，3A π∴=；（2） 由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-， 2b =，3c =，3A π=，a ∴11sin 22BC AD AB AC A ⋅=⋅⋅32AD =⋅，AD ∴= 227cos 7AD AC AD AC C AD AD ⋅∠∴⋅=== .考点：正余弦定理，向量数量积 16.（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD BC ⊥，G 为PA 上一点． （1）求证：平面PCD ⊥平面ABCD ；（2）若PC ∥平面BDG ，求证：G 为PA 的中点．【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】试题分析：（1）证面面垂直，关键证线面垂直，由于PD BC ⊥，又底面ABCD 为矩形BC CD ⇒⊥，因此BC ⊥平面PCD ，进而平面ABCD ⊥平面PCD ；（2）先根据线面平行性质定理，将转化为线线平行：连接AC ，交BD 于O ，连接GO ， //PC 平面BDG //PC GO ∴，再根据中位线性质得G 为PA 的中点.PBC DG试题解析：（1） 底面ABCD 为矩形，BC CD ∴⊥，又PD BC ⊥ ，,CD PD PCD ⊂平面，PD CD D = ， BC ∴⊥平面PCD ，又BC ABCD ⊂ 平面， ∴平面ABCD ⊥平面PCD ； （2）连接AC ，交BD 于O ，连接GO ， //PC 平面BDG ，平面PCA 平面BDG GO =， //PC GO ∴，PG COGA OA∴=， 底面ABCD 为矩形， ∴O 是AC 的中点，即CO OA =， PG GA ∴=， ∴G 为PA 的中点.考点：面面垂直判定定理，线面平行性质定理 17.（本小题满分14分）如图，某城市有一条公路从正西方AO 通过市中心O 后转向东偏北α角方向的OB ．位于该市的某大学M 与市中心O的距离OM =，且AOM β∠=．现要修筑一条铁路L ，L 在OA 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在AB 部分为直线段，且经过大学M ．其中 tan 2α=，cos β=15AO km =．（1）求大学M 与站A 的距离AM ； （2）求铁路AB 段的长AB ．【答案】（1）（2） 【解析】试题分析：（1）在AOM ∆中，已知两边一角，利用余弦定理求第三边：2222cos AM OA OM OA OM AOM =+-⋅⋅∠AM ⇒=2）在AOM ∆中，可利用正弦定理求出角4MAO π∠=，这样在AOB ∆中，已知两角及一边，可利用正弦定理求其余两边：sin sin AB AOAOB ABO=∠∠AB ⇒=试题解析：（1）在AOM ∆中，15AO =，AOM β∠=且cos β=OM =由余弦定理得，2222cos AM OA OM OA OM AOM =+-⋅⋅∠2215215=+-⨯13915152315372.=⨯+⨯-⨯⨯⨯=AM ∴=M 与站A 的距离AM为； （2）cos β=，且β为锐角，sin β∴=在AOM ∆中，由正弦定理得，sin sin AM OMMAOβ=∠,，sin MAO ∴∠=，4MAO π∴∠=， 4ABO πα∴∠=-， tan 2α=，sin α∴=，cos α=，sin sin()4ABO πα∴∠=-=AOB πα∠=-，sin sin()AOB πα∴∠=-=，在AOB ∆中，15AO =， 由正弦定理得，sin sin AB AOAOB ABO=∠∠，即15AB =，AB ∴=AB 段的长AB为． 考点：三角函数应用，正余弦定理 18.（本小题满分16分）设椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为e =，直线y x =椭圆C的短半轴长为半径的圆O 相切． （1）求椭圆C 的方程； （2）设直线12x =与椭圆C 交于不同的两点,M N ，以线段MN 为直径作圆D ．若圆D 与y 轴相交于不同的两点,A B ，求ABD ∆的面积；（3）如图，1A 、2A 、1B 、2B 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意点，直线2B P交x 轴于点F ，直线12A B 交2A P 于点E ．设2A P 的斜率为k ，EF 的斜率为m ，求证：2m k -为定值．【答案】（1）2214x y +=（2（3）详见解析【解析】试题分析：（1）两个独立条件可求出椭圆标准方程，一个根据直线与圆相切得1b =，再利用e =解得2a =（2）本题实质求圆中弦长，先求出11((,22M N ，确定圆心及半径，再根据垂径定理得AB ==，从而可得面积（3）本题实质研究2A P 的斜率与EF 的斜率的关系：解题思路可为利用2A P 的斜率k 表示EF 的斜率，先用2A P 的斜率k 分别表示出222824(,)1414k kP k k --++，2(21)(,0)21k F k -+及424(,)2121k k E k k +--，再表示EF 的斜率421212(21)4242121kk k m k k k k -+-==-+-+-，这里有一定运算量试题解析：（1）圆O 的方程为222x y b +=，直线y x =O 相切，b =，即1b =，又e =，， 2a ∴=， ∴椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）由题意，可得11((,22M N ， ∴圆D的半径r =AB ∴==，∴ABD ∆的面积为1122S ==； （3）由题意可知1212(2,0),(2,0),(0,1),(0,1)A A B B --，2A P 的斜率为k ，∴直线2A P 的方程为(2)y k x =-， 由2214(2)x y y k x =+=-⎧⎪⎨⎪⎩，得2222(14)161640k x k x k +-+-=， 其中2A x =，228214P k x k -∴=+，222824(,)1414k kP k k --∴++，则直线2B P 的方程为211221)k y x k +=-+-（， 令0y =，则2(21)21k x k -=+， 即2(21)(,0)21k F k -+， 直线12A B 的方程为220x y -+=，由220(2)x y y k x -+=⎧⎨=-⎩，解得4221421k x k k y k +⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，424(,)2121k k E k k +∴--， ∴EF 的斜率421212(21)4242121kk k m k k k k -+-==-+-+- ，∴2112242k m k k +-=⋅-=（定值）． 考点：直线与圆位置关系，直线与椭圆位置关系 19.（本小题满分16分）已知函数()ln f x x =，2()()g x f x ax bx =++，其中函数()y g x =的图象在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴． （1）确定a 与b 的关系；（2）若0a ≥，试讨论函数()g x 的单调性；（3）设斜率为k 的直线与函数()y f x =的图象交于两点1122(,),(,)A x y B x y 12()x x <，求证：2111k x x <<． 【答案】（1）21b a =--（2）①当0a =时，在(1,)+∞单调减函数，在(0,1)单调增；②当102a <<时，在(11,)2a 上单调减；在(12,)a +∞和(0,1)单调增；③当12a =时，在(0,)+∞单调增；④当12a >时．()g x 在(1,)+∞和(0,12)a 单调增；在(1,1)2a单调减（3）详见解析 【解析】试题分析：（1）利用导数几何意义，确定a 与b 的关系：(1)120g a b '=++=⇒21b a =--（2）根据导函数零点分布情况依次讨论：由(21)(1)()(0)ax x g x x x --'=>知需分0a =，102a <<，12a =，12a >四种情况讨论（3）先分析所证不等式结构，设210x x >>，（3）由题设210x x >>， 21212211ln ln 1111x x k x x x x x x -∴<<⇔<<-21212121ln ln x x x x x x x x --⇔<-<22211111ln 1x x x x x x ⇔-<<- ① 令()ln 1(1)h x x x x =-+>，则11()1(1)x h x x x x-'=-=>， 1x ∴>时，()0h x '<， ∴函数()h x 在(1,)+∞是减函数，而(1)0h =，1x ∴>时，()(1)0h x h <= 210x x >> ，211x x ∴>， 222111()ln 10x x x h x x x ∴=-+<，即2211ln 1x xx x <-， ② 令1()ln 1(1)H x x x x =+->，则22111()(1)x H x x x x x-'=-=>， 1x ∴>时，()0H x '>， ∴()H x 在(1,)+∞是增函数， 1x ∴>时，()(1)0H x H >=，2221111()ln 10x x H x x x x ∴=+->，即221111ln x x x x -< ③由①②③得2111k x x <<．考点：导数几何意义，利用导数求函数单调性，利用导数证不等式 20.（本小题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2n n a S An Bn C +=++*(0,)A n N ≠∈． （1）当1C =时，①设n n b a n =-，若132a =，294a =．求实数,A B 的值，并判定数列{}nb 是否为等比数列；②若数列{}n a 是等差数列，求1B A-的值； （2）当0C =时，若数列{}n a 是等差数列，11a =，且*n N ∀∈，131ni n λ=-≤+ 求实数λ的取值范围．【答案】（1）①13,22A B ==，数列{}n b 是等比数列；②3；（2）3λ≤【解析】试题分析：（1）①由132a =，294a =列出关于,A B 两个独立条件，解出13,22A B ==，利用1(2)n n n a S S n -=-≥解出递推关系式121n n a a n --=+，再根据n n b a n =-，构造11[(1)]2n n a n a n --=--，从而得证数列{}n b 是等比数列；②从数列{}n a 是等差数列出发，将条件转化为关于n 恒等式：2211()122d d n a n a d An Bn +++-=++，消去1a ，d 得出,A B 关系，即可求出1B A -的值；（2）本题实质求和1ni =(1)1111(1)1n n n n n n ++==+-++，以下就简单了，一是裂项相消求和，二是恒成立转化为最值求解试题解析：（1）1C = ，21n n a S An Bn ∴+=++， ①令1n =，可得121a A B =++，即2A B +=， 令2n =，可得122421a a A B +=++，即425A B +=，13,22A B ∴==,213122n n a S n n ∴+=++， ①当2n ≥时，21113(1)(1)122n n a S n n --∴+=-+-+， ②①-②，得121n n a a n --=+(2)n ≥，11[(1)]2n n a n a n -∴-=--，即112n n b b -=，又111102b a =-=≠，0n b ≠， 112n n b b -=∴， ∴数列{}n b 是等比数列； ② 数列{}n a 是等差数列，∴设11(1)(1),2n n n n a a n d S na d -=+-=+， 21n n a S An Bn +=++ ，1221()221d dn a n a An B d n ∴++++=+-，*n N ∈11221d A d B a a d ⎧=⎪⎪⎪∴=+⎨⎪-=⎪⎪⎩，111122122223d d d a a d d d Ad B +--=++-∴===； （2）当0C =时，2n n a S An Bn +=+数列{}n a 是等差数列，11a =，∴(1)1(1),2n n n n a n d S n d -=+-=+， 22(1)122d dn n An Bn d ∴++=++-， 1d ∴=，n a n ∴=，(1)1111(1)1n n n n n n ++=+-++，1111ni n n =+-∴+，13311111n i n n n n λλ=∴-≤-≤+-+++，即211n n λ≤+++， *n N ∴∀∈，211n n λ≤+++， 令2()f x x x =+， 22222()1x f x x x -'=-= ，当2x ≥时，()0f x '>， ()f x ∴在[2,)+∞上是增函数，而12n +≥，min 2(1)31n n ∴++=+， 3λ∴≤．考点：等比数列定义，裂项相消求和，数列最值附加题21.A （选修４－１：几何证明选讲）如图，设AB 、CD 是圆O 的两条弦，直线AB 是线段CD 的垂直平分线．已知6,AB CD ==AC 的长度．DCBA【答案】AC 【解析】试题分析：因为AB 是线段CD 的垂直平分线，所以AB 是圆的直径，在直角三角形ABC 中由射影定理得AC 的长度．试题解析：连接BC ，,AB CD 相交于点E ．因为AB 是线段CD 的垂直平分线， 所以AB 是圆的直径，∠ACB＝90°．设AE x =，则6EB x =-，由射影定理得2CE ＝AE ·EB，又CE (6)5x x -=，解得1x =（舍）或5x =所以，2AC ＝AE ·AB ＝5×6＝30，AC = 考点：射影定理21.B （选修４－２：矩阵与变换）若点(2,1)A 在矩阵11a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 对应变换的作用下得到点(4,5)B ，求矩阵M 的逆矩阵． 【答案】 【解析】试题分析：先由矩阵对应关系求出2,3.a b =⎧⎨=⎩，再根据逆矩阵公式求逆矩阵 试题解析：2415⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M ，即24215a b +⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦， ∴24,21 5.a b +=⎧⎨-=⎩ 解得2,3.a b =⎧⎨=⎩，∴1231M ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦， 解法一：12det()731M ∴==--， 11212777731317777M ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦. 解法二:设1c d M e f -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由1M M -=1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得32103201c d c d e fe f +-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦∴31,30,20,2 1.c d e f c d e f+=⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪-=⎩ 解得1,72,73,71.7c d e f ⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=-⎩112773177M -⎡⎤⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． 考点：逆矩阵21.C （选修４－４：坐标系与参数方程）在极坐标系中，设圆C经过点P ，圆心是直线sin()3πρθ-=求圆C 的极坐标方程． 【答案】2cos ρθ= 【解析】试题分析：先求出圆心坐标(1,0)，再利用余弦定理求半径1r ，最后写出圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=．试题解析：因为圆心为直线2sin()sin 33ππρθ-=与极轴的交点，所以令0θ=，得1ρ=，即圆心是(1,0)，又圆C 经过点6P π，）， ∴圆的半径1r =，∴圆过原点，∴圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=．（说明：化为普通方程去完成给相应的分数） 考点：圆极坐标方程21.D （选修４－５：不等式选讲） 设,,a b c 均为正数，1abc =．求证：111a b c++≥ 【答案】详见解析 【解析】试题分析：根据均值不等式，得11a b +≥=，11b c +≥=，11a c +≥=三式相加即得试题解析：由,,a b c 为正数，根据平均值不等式，得11a b +≥，11b c +≥，11a c +≥．将此三式相加，得1112()a b c ++≥111a b c ++≥．由1abc =1=．所以，111a b c ++≥+= 考点：均值不等式【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分. 22.22．（本小题满分10分） 已知数列{}n a 满足11a =-，*1(33)46,n n n a n a n N n++++=∈．（1）求证：数列2n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）设1*3,2n n n b n N a -=∈+，求证：当2n ≥，*n N ∈时，12241521n n n b b b n +++++<-+ ． 【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】试题分析：（1）由等比数列定义知即证1221n n a a n n++++与比值为非零常数，代入化简即可1(33)4622(33)(2)2311(1)n n n nn a n a n a a n n n n n n +++++++++===+++（2）由（1）得123n n a n -+=，132n n a n -∴=⋅-，1312n n n b a n -∴==+，即证11141122521n n n n +++<-+++ ，这可利用数学归纳法进行论证 试题解析：（1）令2n n a c n+=， 则11(33)4622(33)(2)23311(1)n n n n n n n a n a n a a n c n n n c n n ++++++++++====+++=， 11210c a =+=≠ ，0n c ∴≠，13n nc c +∴=， ∴数列{}n c ，即2n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）由（1）得123n n a n-+=，132n n a n -∴=⋅-，1312n n n b a n -∴==+， 下面用数学归纳法证明当2n ≥，*n N ∈时，12241521n n n b b b n +++++<-+ ． ①当2n =时，不等式的左边341173412b b =+=+=，右边413555=-=，而73125<，∴2n =时，不等式成立；②假设当(2)n k k =≥时，不等式成立，即12241521k k k b b b k +++++<-+ ； 当1n k =+时，11122(1)12221221()()k k k k k k k k k b b b b b b b b b +++++++++++++=+++++- 4111152121221k k k k <-++-++++ 41152214152(1)4152(1)1k k k k =+-++=-+<-++∴当1n k =+时，不等式也成立．由①②可得，当2n ≥，*n N ∈时，12241521n n n b b b n +++++≤-+ ． 考点：等比数列定义，数学归纳法 23.（本小题满分10分）如图，已知点(0,)F p ，直线:(0)l y p p p =->其中为常数且，M 为平面内的动点，过M 作l 的垂线，垂足为N ，且NM NF FM FN ⋅=⋅u u u u r u u u r u u u r u u u r．（1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）设Q 是l 上的任意一点，过Q 作轨迹C 的切线，切点为A 、B ． ①求证：A 、Q 、B 三点的横坐标成等差数列；②若(4,)Q p --，20AB =，求p 的值．【答案】（1）24x py =（2）①详见解析②1p =或4p =. 【解析】试题分析：（1）直接法求轨迹：设点(,)M x y 坐标，将条件NM NF FM FN ⋅=⋅u u u u r u u u r u u u r u u u r用坐标表示并化简即可得24x py =（2）①用0(,)Q x p -点横坐标分别表示A 、B 横坐标，22101240x x x p --=及22202240x x x p --=，所以12,x x 是方程220240x x x p --=的两根，得出关系1202x x x +=是解题目标②20AB =⇔2020⇔=20⇔=，再由1221284x x x x p +=-⎧⎨⋅=-⎩1p ⇒=或4p =. 试题解析：（1）设(,)M x y ，则(,)N x p -，(0,)NM y p ∴=+， (,2)NF x p =- ，(,)FM x y p =- ，(,2)FN x p =- ，NM NF FM FN ⋅=⋅，22()2()p y p x p y p ∴+=--，24x py ∴=，即动点M 的轨迹C 的方程为24x py =；另解：设(,)M x y ，则(,)N x p -，NM NF FM FN ⋅=⋅，()0NF MN MF ∴⋅+= ，∴以,MN MF 为邻边的平行四边形是菱形，MF MN ∴=，y p =+ ，24x py ∴=，即动点M 的轨迹C 的方程为24x py =； （2）①设0(,)Q x p -，211(,)4x A x p ，222(,)4x B x p ，则切线QA 的方程2111(,)42x xy x x p p-=-， 21101()42x xp x x p p∴--=-，22101240x x x p ∴--=， ①同理22202240x x x p ∴--=， ② 方法1:①②得12120()(2)0x x x x x -+-=，12120,20x x x x x ≠∴+-= ，1202x x x ∴+=，即A 、Q 、B 三点的横坐标成等差数列. 方法2：由①②得12,x x 是方程220240x x x p --=的两根， 1202x x x ∴+=，即A 、Q 、B 三点的横坐标成等差数列.②由①②得12,x x 是方程220240x x x p --=的两根，12021224x x x x x p +=⎧∴⎨⋅=-⎩， (4,)Q p -- ，1221284x x x x p +=-⎧∴⎨⋅=-⎩， 20AB =，20，20=，20=， 4217160p p ∴-+=，1p ∴=或4p =.考点：直接法求曲线轨迹，直线与抛物线位置关系。

2015年江苏高考南通密卷一南通市数学学科基地命题一、填空题1.已知集合{}9,5,3,1=U ，{}9,3,1=A ，{}9,1=B ，则=)(B A C U .2.已知复数z 满足)(1)2(为虚数单位i i i z +=-，则复数z 的模是 .3.已知函数xax f =)(在1=x 处的导数为2-，则实数a 的值是 .4.右图是某算法的流程图，则输出的T 的值为 .5.有红心3,2,1和黑桃5,4这5张扑克牌，现从中随机抽取一张，则抽到的牌为红心的概率是 .6.某单位在岗职工624人，为了调查工人用于上班途中的时间，决定采用系统抽样的方法抽取%10的工人进行调查。

首先在总体中随机剔除4人，将剩下的620名职工编号（分别为,000,001，⋯⋯,002619），若样本中的最小编号是,007则样本中的最大编号是 .7.等差数列{}n a 中，若20-37=a a ，则3070-a a 的值为 . 8.函数x y 2sin =的图像可由函数)32sin(π+=x y 的图像向右至少．．．．平移 个单位得到.9.已知,0,0>>y x 且,2052=+y x 则y x lg lg +的最大值为 .10.已知)(x f y =是R 上的奇函数，且0>x 时，0)(>x f ，则不等式0)(2<-x x f 的解集为 .11.在平面直角坐标系中，已知向量)25sin ,25(cos ︒︒=a ，)20cos ,20(sin ︒︒=b ，若t 是实数，且b t a u +=的最小值为 . 12.在锐角三角形ABC 中，31)tan(,53sin -=-=B A A ，则C tan 的值为 . 13.某同学的作业不小心被墨水玷污，经仔细辨认，整理出以下两条有效信息：①题目：“在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆1222=+y x 的左顶点为A ，过点A 作两条斜率之积为2的射线与椭圆交于B ，C ，……”②解：设AB 的斜率为k ，……点)212,2121(222k k k k B ++-，)0,35(-D ，…… 据此，请你写出直线CD 的斜率为 .（用k 表示）14.若二次函数)(x f y =满足对任意的正整数n ，当 5n 555个⋅⋅⋅=x 时，52n 555y 个⋅⋅⋅=，则)(x f 的零点之和为 . 二．解答题15.已知向量)sin ,(cos x x m -=，)cos 32sin ,(cos x x x n -=，R x ∈.设n m x f ⋅=)(. （1）求函数)(x f 的最小正周期； （2）若1324)(=x f ，且26ππ≤≤x ，求x 2sin 的值.16.如图，在四棱锥ABCD P -中，BC AD //，且BC AD 2=，CD AD ⊥，PD PA =，点M 为棱AD 的中点.（1）求证：PBM //平面CD ； （2）求证：PBM PAD 平面平面⊥.17.在平面直角坐标系xoy 中，设B A ,是双曲线1222=-y x 上的两点，)2,1(M 是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于D C ,两点. （1）求直线AB 与CD 的方程；（2）判断,,B A D C ,四点是否共圆？如共圆，求出圆的方程，若不共圆，说明理由.18.某生物探测器在水中逆流行进时，所消耗的能量为T cv E n=，其中v 为行进时相对于水的速度，T 为行进时的时间（单位：h ），c 为常数，n 为能量次级数.如果水的速度为h km /4，该生物探测器在水中逆流行进km 200. （1）求T 关于v 的函数关系式； （2）（i ）当能量次级数为2时，求该探测器消耗的最少能量；（ii ）当能量次级数为3时，试确定v 的大小，使该探测器消耗的能量最少.19.已知函数)(x f 的导函数)('x f 是二次函数，0)('=x f 的两根为1±，且)(x f 的极大值与极小值之和为0，2)2(=-f . （1）求函数)(x f 的解析式；（2）若函数)(x f 在开区间)9,9(m m --上存在最大值与最小值，求实数m 的取值范围； （3）设函数)()(x g x x f ⋅=，正实数c b a ,,满足0)()()(>⋅=⋅=⋅a g c c g b b g a ，证明：c b a ==.20.设数列{}n a 是公差为d 的等差数列，且65=a .（1）若*N d ∈，且数列{}n a 中的任意连续两项的和仍为数列{}n a 中的项，求d 的值；（2）若13>a ，且自然数）（*21N t ,,,,∈⋯⋯t n n n 满足⋯<<⋯<<<t n n n 215，使得⋯⋯,,,,,,2153n nn a a a a a t成等比数列，求3a 的所有可能值.附加题21.选做题（本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按前两题评分）A ．选修4-1：几何证明选讲（10分）如图，D C ,是直径为AB 的半圆上的两个不同的点，AC 与BD 交于点E ，点F 在弦BD 上，且BCF ACD ∆∆∽，证明：DFCABC ∆∆∽B ．选修4-2：矩阵与变换（10分） 设x 为实数，若矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=x M 251为不可逆矩阵，求2M .C ．选修4-4：坐标系与参数方程（10分）已知极坐标系中的曲线θθρsin cos 2=与曲线2)4sin(=+πθρ交于B A ,两点，求线段AB 的长.D ．选修4-5：不等式选讲（10分）设321,,a a a 均为正数，且,1321=++a a a 求证：9111321≥++a a a .必做题（第22、23题，每题10分，共20分）22.（10分）如图，在正方体1111D C B A ABCD -)10(,111<<==λλC A P A . （1）若21=λ，求直线PB 与PD 所成角的正弦值； （2）若直线PBD 1平面⊥C A ，求实数λ的值.23.（10分）设i 为虚数单位，n 为正整数. （1）证明：nx i nx x i x nsin cos )sin (cos +=+；（2）结合等式“nnx i x x i x ]sin )cos 1[()]sin (cos 1[++=++”证明：2cos2cos 2cos 2cos cos 121nx x nx C x C x C n n nn n n =+⋯+++。

2015届江苏高考南通市高考模拟密卷（二）(南通市数学学科基地命题)南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．1．已知集合{1,1}A k =-，{2,3}B =，且{2}A B =，则实数k 的值为 ． 2．设2(12)(,R)i a bi a b +=+∈，其中i 是虚数单位，则ab = ． 3．已知函数()y f x =是奇函数，当0x <时，2()(R)f x x ax a =+∈，且(2)6f =，则a = ．4．右图是某算法流程图，则程序运行后输出的结果是 ．5．设点P ，A ，B ，C 是球O 表面上的四个点，PA ，PB ，PC 两两互相垂 直，且1PA PB PC cm ===，则球的表面积为 2cm ．6．已知{(,)|6,0,0}x y x y x y Ω=+<>>，{(,)|4,0,20}A x y x y x y =<>->，若向区域Ω上随机投掷一点P ，则点P 落入区域A 的概率为 ． 7．将参加夏令营的500名学生编号为：001,002,,500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名学生分住在三个营区，从001到200在第一营区，从201到355在第二营区，从356到500在第三营区，则第三个营区被抽中的人数为 ．8．ABC ∆中，“角,,A B C 成等差数列”是“sin (3cos sin )cos C A A B =+”成立的的 条件． (填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一)9．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，以右顶点为圆心，实半轴长为半径的圆被双曲线的一条渐近线分为弧长为1:2的两部分，则双曲线的离心率为 ．10．已知442cos sin ,(0,)32πααα-=∈，则2cos(2)3πα+= ．11．已知正数1234,,,a a a a 依次成等比数列，且公比1q ≠．将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则公比q 的取值集合是 ．12． 如图，梯形ABCD 中，//AB CD ，6AB =，2AD DC ==， 若12AC BD ⋅=-uu u r uu u r ，则AD BC ⋅=u u u r u u u r．13．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边,,a b c 成等比数列，则sin sin BA 的取值范围是 ．14．设函数()f x 满足()(3)f x f x =，且当[1,3)x ∈时，()ln f x x =．若在区间[1,9)内，存在3个不同的实数123,,x x x ，使得312123()()()f x f x f x t x x x ===，则实数t 的取值范围为 ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题．．纸指定区域．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.D A BC 第12题图 0,1s n ←←第4题图在ABC ∆中，2C A π-=，3sin 3A =． （1）求sin C 的值；（2）若6BC =，求ABC ∆的面积． 16．（本小题满分14分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11A ACC 是边长为2的菱形，160A AC ∠=．在面ABC 中，23AB =，4BC =，M 为BC 的中点，过11,,A B M 三点的平面交AC 于点N ．（1）求证：N 为AC 中点；（2）求证：平面11A B MN ⊥平面11A ACC ．BCA 1B 1C 1MN A第16题图某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为10cm 的圆形包装纸包装．要求如下：正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，包装纸不能裁剪，沿底边向上翻折，其边缘恰好达到三棱锥的顶点，如图所示．设正三棱锥的底面边长为cm x ，体积为3cm V ． （1）求V 关于x 的函数关系式；（2）在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中，V 的最大值是多少？并求此时x 的值．18．（本小题满分16分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为22，并且椭圆经过点(1,1)，过原点O 的直线l与椭圆C 交于A B 、两点，椭圆上一点M 满足MA MB =． （1）求椭圆C 的方程；（2）证明：222112OA OB OM ++为定值； （3）是否存在定圆，使得直线l 绕原点O 转动时，AM 恒与该定圆相切，若存在，求出该定圆的方程，若不存在，说明理由．(第17题图)图第18题图 x O y A B已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且满足1239a a a ++=，12327b b b =． （1）若43a b =，43b b m -=．①当18m =时，求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；②若数列{}n b 是唯一的，求m 的值；（2）若11a b +，22a b +，33a b +均为正整数，且成等比数列，求数列{}n a 的公差d 的最大值． 20．（本小题满分16分）设函数2()()x f x ax e a =+∈R 有且仅有两个极值点1212,()x x x x <． （1）求实数a 的取值范围； （2）是否存在实数a 满足2311()f x e x =？如存在，求()f x 的极大值；如不存在，请说明理由．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的．．．．．．．．．．．．．答题区域．．．． 内作答．．．． A ．（选修４－１：几何证明选讲）如图，AD 是∠BAC 的平分线，圆O 过点A 且与边BC 相切于点D ，与边AB 、AC 分别交于点E 、F ，求证：EF ∥BC ． B ．（选修４－２：矩阵与变换）已知1 0 4 31 2 4 1-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦B ，求矩阵B ．C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）在极坐标系中，圆C 是以点(2,)6C π-为圆心，2为半径的圆．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）求圆C 被直线5:12l πθ=-所截得的弦长．D ．（选修４－５：不等式选讲） 设正数,,a b c 满足1a b c ++=，求111323232a b c +++++的最小值．ABDCEF O·【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分. 22．（本小题满分10分）直三棱柱111ABC A B C -中，已知AB AC ⊥，2AB =，4AC =，13AA =. D 是BC 的中点. （1）求直线1DB 与平面11AC D 所成角的正弦值； （2）求二面角111B A D C --的大小的余弦值.23.（本小题满分10分）设*n N ∈且4n ≥，集合{}1,2,3,,M n =的所有3个元素的子集记为312,,,nC A A A ．（1）求集合312,,,nC A A A 中所有元素之和S ；（2）记i m 为i A 3(1,2,,)ni C =中最小元素与最大元素之和，求32015132015C ii mC=∑的值．1A 1B 1C DACB2015年高考模拟试卷(2) 参考答案南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1．3； 2．12-； 3．5； 4．27； 5．3π； 6．29； 7．14； 8．充分不必要；【解析】条件“角,,A B C 成等差数列”⇔3B π=；结论 “sin (3cos sin )cos C A A B =+”⇔sin()3cos cos sin cos A B A B A B+=+⇔cos sin 3cos cos A B A B =⇔cos 0A =或sin 3cos B B =⇔2A π=或3B π=．所以条件是结论的充分不必要条件．9．233； 10．1526+-； 11．1515,22⎧⎫-++⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭；【解析】若删去2a ，则134,,a a a 成等差数列，3142a a a ∴=+， 即231112a q a a q =+，1q ∴=（舍去）或152q +=或152q -=（舍去）；若删去3a ，则124,,a a a 成等差数列，2142a a a ∴=+，即31112a q a a q =+，1q ∴=（舍去）或152q -+=或152q --=（舍去）∴152q +=或152-+．12．0；【解析】0AD DC CB BA +++=，∴AD BC AB CD -=+，22()()()()AD DC BC CD AD BC CD AD BC CD AD BC CD AB CD CD ∴+⋅+=⋅+⋅--=⋅+⋅+-，12AC BD ⋅=-，//AB CD ，6AB =，2AD DC ==，0AD BC ∴⋅=．13．5151(,)22-+；【解析】由条件得2b ac =，不妨设a b c ≤≤，则2b c a b a=<+，即2210b b a a--<；同理得当a b c ≥≥时，5112b a -<≤．而sin sin B b A a =，∴sin sin BA 的取值范围是5151(,)22-+． 14．ln31(,)93e ．【解析】()(3)f x f x =，()()3x f x f ∴=，当[3,9)x ∈时，[1,3)3x ∈，()ln 3xf x ∴=，在直角坐标系内作出函数()f x 的图象，而()f x x表示的是该图象上的点与原点的连线的斜率．图象上的点(9,ln 3)与与原点的连线的斜率为l n 39；当过原点的直线与曲线()l n ,[3,9)3x f x x =∈相切时，斜率为13e（利用导数解决）．∴由图可知，满足题意得实数t 的取值范围为ln31(,)93e．二、解答题15．（1）因为在ABC ∆中，2C A π-=，所以A 为锐角，且2236cos 1sin 1()33A A =-=-=． 所以6sin sin()cos 23C A A π=+==； （2）由正弦定理得sin sin BC ABA C=，所以66sin 323sin 33BC C AB A ⨯===．因为在ABC ∆中，2C A π-=，所以C 为钝角，且2263cos 1sin 1()33C C =--=--=-． 因为在ABC ∆中，()B A C π=-+，所以33661sin sin()sin cos cos sin ()33333B AC A C A C =+=+=⨯-+⨯=． 所以ABC ∆的面积为111sin 2362223ABC S AB BC B ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯=．16． (1)由题意，平面//ABC 平面111A B C ，平面11A B M 与平面ABC 交于直线MN ，与平面111A B C 交于直线11A B ，所以11//MN A B ．因为11//AB A B ，所以//MN AB ，所以CN CMAN BM=． 因为M 为AB 的中点，所以1CNAN=，所以N 为AC 中点．(2)因为四边形11A ACC 是边长为2的菱形，160A AC ∠=． 在三角形1A AN 中，1AN =，12A A =，由余弦定理得13A N =， 故22211A A AN A N =+，从而可得190A NA ∠=，即1A N AC ⊥． 在三角形ABC 中，23AB =，2AC =，4BC =，则222BC AB AC =+，从而可得90BAC ∠=，即AB AC ⊥． 又//MN AB ，则AC MN ⊥．因为1MN A N N =，MN ⊂面11A B MN ，1A N ⊂面11A B MN ， 所以AC ⊥平面11A B MN ． 又AC ⊂平面11A ACC ，所以平面11A B MN ⊥平面11A ACC ． 17．正三棱锥展开如图所示．当按照底边包装时体积最大． 设正三棱锥侧面的高为0h ，高为h ．由题意得03106x h +=，解得03106h x =-． 则222203103(10)100126123x x h h x x =-=--=-， D''D'OCABD(0,103)x ∈．所以，正三棱锥体积2211310331031001003343123V Sh x x x x ==⨯⨯-=-．设445210310010(100)48348483x x x y V x ==-=-，求导得341005012483x x y '=-，令0y '=，得83x =， 当(0,83)x ∈时，0y '>，∴函数y 在(0,83)上单调递增， 当(83,103)x ∈时，0y '<，∴函数y 在(83,103)上单调递减， 所以，当83cm x =时，y 取得极大值也是最大值． 此时15360y =，所以3max 3215cm V =．答：当底面边长为83cm 时，正三棱锥的最大体积为33215cm ．18．（1）由题设：222221,2111,b a a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得2233,2a b ==，∴椭圆C 的方程为2221;33x y += （2）①直线l 的斜率不存在或为0时，222221122224233OA OB OM a b ++=+=+=； ②直线l 的斜率存在且不为0时，设直线l 的方程为(0)y kx k =≠，则MA MB =，∴直线OM 的方程为1y x k=-，由2223y kx x y =⎧⎨+=⎩得22(12)3k x +=，222312A B x x k ∴==+， 同理22232M k x k ∴=+，222112O A O B O M ∴++= 22222221123313(1)(1)(1)12122k k k k k k k +++⋅+⋅+⋅+++ 22222(12)2(2)3(1)3(1)k k k k ++=+++2=，2221122OA OB OM ∴++=为定值； （3）由（2）得：①直线l 的斜率不存在或为0时，2222111112133OA OM a b +=+=+=；②直线l 的斜率存在且不为0时， 22222222222111112213133(1)3(1)(1)(1)122k k k OA OM k k k k k k +++=+=+=+++⋅+⋅++∴原点O 到直线AM 的距离22221111OA OM d OA OM OA OM ⋅===++，∴直线AM 与圆221x y +=相切，即存在定圆221x y +=，使得直线l 绕原点O 转动时，AM 恒与该定圆相切． 19．（1）①由数列{}n a 是等差数列及1239a a a ++=，得23a =，由数列{}n b 是等比数列及12327b b b =，得23b =． 设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ，若18m =，则有2323,3318d q q q +=⎧⎨-=⎩，解得3,3d q =⎧⎨=⎩ 或9,22d q ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩． 所以，{}n a 和{}n b 的通项公式为133,3n n na nb -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或2912,23(2)nn na nb -⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩ ② 由题设43b b m -=，得233q q m -=，即2330q q m --=（*）．因为数列{}n b 是唯一的，所以若0q =，则0m =，检验知，当0m =时，1q =或0（舍去），满足题意；若0q ≠，则2(3)120m -+=，解得34m =-，代入（*）式，解得12q =，又23b =，所以{}n b 是唯一的等比数列，符合题意．所以，0m =或34-．（2）依题意，113336()()a b a b =++，设{}n b 公比为q ，则有336(3)(33)d d q q=-+++， （**）记33m d q=-+，33n d q =++，则36mn =． 将（**）中的q 消去，整理得2()3()360d m n d m n +-++-=， d 的大根为22()12()144(6)3622n m m n m n n m m n -+--++-++--=而,m n N *∈，所以 (,)m n 的可能取值为：(1,36),(2,18),(3,12),(4,9),(6,6),(9,4)12,3),(18,2),(36,1)．所以，当1,36m n ==时，d 的最大值为355372+ ． 20．(1)()2x f x ax e '=+．显然0a ≠，12,x x 是直线12y a =-与曲线()x xy g x e==两交点的横坐标．由1()0xxg x e -'==，得1x =．列表： x(,1)-∞1(1,)+∞ ()g x ' +-()g x↗max 1()g x e=↘此外注意到：当0x <时，()0g x <；当[0,1]x ∈及(1,)x ∈+∞时，()g x 的取值范围分别为1[0,]e 和1(0,)e ．于是题设等价于1102a e <-<<⇒2e a <-，故实数a 的取值范围为(,)2e-∞-． (2)存在实数a 满足题设．证明如下：由(1)知，1201x x <<<，111()20x f x ax e '=+=，故1112213111()+2x x x x f x =ax e e e e x =-=，故11231102x x e e e x --=． 记231()(01)2x x e R x e e x x =--<<，则2(1)1()02x x e x R x e x -'=-<， 于是，()R x 在(0,1)上单调递减．又2()03R =，故()R x 有唯一的零点23x =．从而，满足2311()f x e x =的123x =．所以，1231324x e a e x =-=-． 此时2233()4x f x e x e =-+，233()2x f x e x e '=-+，又(0)0f '>，(1)0f '<，(2)0f '>，而12(0,1)3x =∈，故当2334a e =-时,2312()()3f x f x e ==极大.第Ⅱ卷（附加题，共40分）21.A . 如图，连结DF ．因为BC 与圆相切，所以CDF DAF ∠=∠． 因为EFD ∠与EAD ∠为弧DE 所对的圆周角， 所以EFD EAD ∠=∠．又因为AD 是BAC ∠的平分线，所以EAD DAF ∠=∠． 从而CDF EFD ∠=∠．于是//EF BC ． B ．设 , a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B 则1 01 22 2a b a c b d ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦B ， 故4,4,3,3,4 3.24,4, 4 221, 2.a ab b ac c bd d =-=-⎧⎧⎪⎪==-⎡⎤⎪⎪=⎨⎨⎢⎥+==-⎣⎦⎪⎪⎪⎪+=-=-⎩⎩解得故B ABDCEF O·C ．（1）圆C 是将圆4cos ρθ=绕极点按顺时针方向旋转6π而得到的圆，所以圆C 的极坐标方程是4cos()6πρθ=+．（2）将512πθ=-代入圆C 的极坐标方程4cos()6πρθ=+，得22ρ=， 所以，圆C 被直线5:12l πθ=-所截得的弦长为22． D. 因为,,a b c 均为正数，且1a b c ++=，所以(32)(32)(32)9a b c +++++=．于是由均值不等式可知()[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ++++++++++33133(32)(32)(32)9(32)(32)(32)a b c a b c ≥⋅+++=+++，当且仅当13a b c ===时，上式等号成立．从而1111323232a b c ++≥+++． 故111323232a b c +++++的最小值为1．此时13a b c ===． 22．在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，∴分别以AB 、AC 、1AA 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则111(0,0,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,3),(2,0,3),(0,4,3)A B C A B C ,D 是BC 的中点，∴(1,2,0)D ，（1）111(0,4,0),(1,2,3)AC A D ==-， 设平面11A C D 的法向量1111(,,)n x y z =，则1111100n AC n A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111140230y x y z =⎧⎨+-=⎩，取111301x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴平面11A C D 的法向量1(3,0,1)n =，而1(1,2,3)DB =-，111111335cos ,35n DB n DB n DB ⋅∴<>==⋅， ∴直线1DB 与平面11A C D 所成角的正弦值为33535； （2）11(2,0,0)A B =，1(1,2,3)DB =-设平面11B A D 的法向量2222(,,)n x y z =，则211210n A B n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222220230x x y z =⎧⎨-+=⎩，取22232x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴平面11B A D 的法向量2(0,3,2)n =， 121212130cos ,65n n n n n n ⋅∴<>==⋅， ∴二面角111B A D C --的大小的余弦值13065． 23．（1）因为含元素1的子集有21n C -个，同理含2,3,4,,n 的子集也各有21n C -个，于是所求元素之和为22211(123)(2)(1)4n n C n n n -++++⨯=--； （2）集合{}1,2,3,,M n =的所有3个元素的子集中：以1为最小元素的子集有21n C -个，以n 为最大元素的子集有21n C -个；以2为最小元素的子集有22n C -个，以1n -为最大元素的子集有22n C -个；以2n -为最小元素的子集有22C 个，以3为最大元素的子集有22C 个．31nC i i m =∴∑312nC m m m =+++222122(1)()n n n C C C --=++++ 22231233(1)()n n n C C C C --=+++++ 22231244(1)()n n n C C C C --=+++++ 3(1)n n C ==+，3131nC ii nmn C =∴=+∑． 32015132015201512016C ii mC=∴=+=∑．。