八年级第二讲：平方与平方根讲义

第二节 平方根 讲义 一、対算术平方根的理解一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即2x =a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为a ，读作“根号a ”，a 叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.也就是，在等式2x =a (x ≥0)中，规定x =a .例如：422=，2就叫做4的算术平方根，根据定义，4的算术平方根也可表示为4，读作根号4，所以2=4。

再例如：23=9，3就叫做9的算术平方根，根据定义,9的算术平方根也可表示为9，读作根号,9，所以3=9。

再例如：如果 52=x ，x 就叫做5的算术平方根，根据定义, 5的算术平方根就可以表示为5，所以x=5.2、 试一试：你能根据等式：212=144说出144的算术平方根是多少吗？并用等式表示出来．例1 求下列各数的算术平方根： （1）100；(2)1；(3)6449；(4)0.0001 解：(1)因为302=900，所以900的算术平方根是30，因为900的算术平方根也可表示为900，所以900=30；(2)因为12=1，所以1的算术平方根是1，即1=1；(3)因为,6449)87(2=所以6449的算术平方根是87，即876449=； (4)14的算术平方根是14.通过上面的例题，大家思考一下，我们在求算术平方根时是借助于哪一种运算来求的？ ［生］ 是通过平方来求的.［师］对.由此我们可以看出一个正数的平方和求算术平方根是互为逆运算.而且我们在例题中的步骤采取语言叙述和符号表示互相补充的做法，目的是让大家明白算术平方根的概念，以及从计算中进一步体会一个正数的平方和求算术平方根是互为逆运算.在以后的步骤中可以简化.［师］下面大家再观察一下刚才咱们求出的算术平方根有什么特点. ［生甲］算术平方根是整数或分数，即为有理数.［生乙］不对，那14是不是有理数？若是则是，分数还是整数？［生丙］因为没有任何一个整数或分数的平方等于14，所以14不是有理数，而是无理数.结论:非平方数的算术平方根只能用根号表示.［师］大家的分析都有道理，我提示一下从符号方面考虑. ［生甲］噢，算术平方根是正数，如14,5,3,2，2.［生乙］不对，还有零呢.正数的算术平方根是正数，零的算术平方根为零.［师］非常正确，那负数的算术平方根是否为负数呢？若(－2)2=4.则4=－2对吗？或者4-=－2对吗？［生甲］不对.因为算术平方根的定义是一个正数的x 的平方等于a ，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，所以算术平方根不可能是负数.［师］由此看来，定义中的a 和x 都为正数，即算术平方根是非负数，负数没有算术平方根.用式子表示为a (a ≥0)为非负数，这是算术平方根的性质. (二)补充练习. 一、填空题1.若一个数的算术平方根是5，则这个数是_________.2.94的算术平方根是_________. 3.正数_________的平方为971,25144的算术平方根为_________. 4.(－1.44)2的算术平方根为_________.5.81的算术平方根为_________，04.0=_________ 二、求下列各数的算术平方根，并用符号表示出来：(1)(7.4)2；(2)(－3.9)2；(3)2.25；(4)241. 思考题：因为2是4的算术平方根，所以422=。

平方根与算数平方根（复习讲义）01【知识点讲解】 知识点一：算术平方根1、定义：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根，规定0的算术平方根是0。

2、表示方法：非负数a 的算术平方根记作“a ”，读作“根号a ”，其中a 叫做被开方数。

3、性质：正数a 的算术平方根为a ； 0的算术平方根是0，即00=； 负数没有算术平方根。

举例：2552=，那么5叫做25的算术平方根（或者说25的算术平方根是5）。

算术平方根a 具有双重非负性： 被开方数a 是非负数，即a ≥0；非负数a 的算术平方根a 是非负数，即a ≥0。

4、规律方法：求一个非负数的算术平方根与求一个非负数的平方恰好是互逆的过程。

算术平方根等于本身的数只有0和1。

被开方数越大，对应的算术平方根也越大，这个结论对所有正数都成立。

例1：求下列个数的算术平方根 ①：0.090.3②：2516 54 ③：()24-4④：0 0 ⑤：1010知识点二：估算算术平方根1、方法：求一个正数（非完全平方数）的算术平方根的近似值，一般采用夹逼法。

“夹”就是从两边确定取值范围；“逼”就是一点一点加强限制，使取值范围越来越小，从而达到理想的精确度。

2、依据：被开方数越大，对应的算术平方根也越大。

3、举例：估算10的大小，可以取与10最近的两个完全平方数9和16。

因为16109<<，所以16109<<，即4103<<4、估算一个正数（非完全平方数）的算术平方根是用有理数进行估计，利用与被开方数比较接近的完全平方数的算术平方根来估计这个被开方数的算术平方根的大小。

例2：估算7的近似值（精确到0.01）解：372974<<⇒<<76.66.22=、29.77.22=7.276.2<<⇒9696.664.22=、0225.765.22=65.2764.2<<⇒得：65.27≈知识点三：平方根的概念及性质 1、平方根：（1）定义：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 叫做a 的平方根或二次方根。

第二讲 平方根及算数平方根【考纲要求】掌握平方根及算数平方根的概念及运算 【教学重难点】1.平方根、算术平方根的概念，体会到平方根和算术平方根这两个概念的联系和区别，掌握它的表示方法；2.平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根. 【重难点命题方向】（一）什么是平方根？【例1】问题1 要剪出一块面积为25 cm 2的正方形纸片，纸片的边长应是多少？问题2 已知圆的面积是16πcm 2，求圆的半径长．★ 反思与小结：以上两个具体例子，从数学意义上都是要解决这样一个共同的问题： 已知某数的平方，要求这个数．用式子来表示就是如果x 2＝a ，求x 的值．概括 如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根（也叫a 的二次方根）， 【举一反三】： 的平方=49,所以49的平方根是 的平方=1.21,所以1.21的平方根是 的平方=2536,所以2536的平方根是建议:同学们把1—20的平方数记熟，以便求它们的平方根.211= , 212= ,213= ,214= ,215= ,216= , 217= ,218= ,219= ,220= ,（二）平方根有什么性质呢?【例2】下列各数有平方根吗？如果有，求出它们的平方根：①100；②0.64；③0；④-1归纳平方根的性质：一个正数有 个平方根，它们 ；0有 个平方根，它是 ；负数 平方根． 【举一反三】下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由．(1)－64；(2)0；(3)(－4)2．★反思与小结：学习平方根，必须考虑两个问题：一个数有没有平方根？有几个？同学们常在这两个问题上犯错误，其一错在：求一个正数的平方根时，只计算出了正的平方根；其二错在：误认为负数有平方根且是一个负数。

（三）一个非负数a 的平方根的表示法．一个非负数a 的平方根的表示法．记作“2a ±”．这里，符号“2”，读作“二次根号”，“2a ”读作“二次根号a ”．当根指数是2时，通常将这个2省略不写，如2a 记作a ，读作“根号a ”；2a ±记作a ±，读作“正负根号a ”．一般地，如果x 2＝a (a ≥0)，那么a 的平方根可以表示为x =a ±．例如，9的平方根记作9±，读作正负根号9．（四）求一个数的平方根——开平方运算求一个数a (a ≥0)的平方根的运算，叫做开平方．平方与开平方互为逆运算，因此我们可以通过平方运算来求一个数的平方根，也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根． 【例3】列式求下列各数的平方根：0.0001； 179； （–16）2，， 144121， 15， 0.64， 410-， 0)65(．解答：★反思与小结：求一个数的平方根时，根号前的“±”号一定要写，它是区别平方根和算术平方根的主要特征．另外，需注意（1）求带分数的平方根时，要将带分数先化成假分数．（2）注意区分(–a )2与–a 2（a ≠0），(–a )2的平方根是±a ，而–a 2是一个负数，它没有平方根．【例4】针对训练：（1）4的平方根是（ ）A ． 2B ．16C ．2±D ．±16（2）若3＋a 是25的平方根，則a 是（ ）的平方根．(A) 4 (B) 8 (C) 4或64 (D) 8或64反思与小结：因为过去学到的运算其结果都是惟一的，所以刚开始接触平方根时，大家对于一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果，不大习惯．而本例的解决过程中连续两次用到平方根的意义，稍不注意便会出错，多数会错在仅得到a 的一个值，致使误选成A ．（五）什么是算术平方根？正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根．记作a ，读作“a 的算术平方根”．那么0的算术平方根是 ；负数的算术平方根【例5】下列说法正确的是（ ）．（A ）91-的算术平方根是31 （B ）91-的平方根是31-（C ）91的算术平方根是31- （D ）91的平方根是31±★反思与小结：对于平方根和算术平方根的理解误区有两个，其一是认为任何数都有平方根；其二是将平方根和算术平方根混淆，实际上平方根与算术平方根是既有区别又有联系的两个概念，区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有1个；联系在于正数的负平方根是它算术平方根的相反数．【举一反三】求下列各数的算术平方根：(1) 36 ； (2) 2.89 ； (3) 971．（4）81 (六)针对练习:【例6】(1)求下列各式的值，并说明它们各表示的意义：(2)一个自然数算术平方根为a ，则和这个自然数相邻的下一个自然数是（ ）A ．1a +B ．21a +C ．21a +D ．1a +（3）化简：16＝ ． （4）（2017黔西南州）的平方根是 ．★反思与小结：弄清上面各式的意义： a （a >0）表示a 的算术平方根，而–a （a >0）表示a 的负的平方根，±a 则为正数a 的两个平方根。

9.6平方根基础知识点1.平方根和算术平方根的概念2.正确理解√a，-√a，±√a3.无限不循环小数利用平方根与算术平方根的概念1.一个正数x的两个平方根分别是a+1和a-3，则a, x2.√16的平方根是利用平方根的定义解简单方程1.若x的平方根/算术平方根是它本身，则x2.√1-x = 2 的解为利用算术平方根的双重非负性解题1.√(a-2) + (b+5)²= 02.√(2a+6) + |b-√2|= 0 ，解关于x的方程(a+2)x+ b²= a-1利用平方法估计算术平方根的范围1.估计20的算术平方根大小2.已知x为整数，且满足-√2≦x≦√3，则x练习：1.一个自然数的算术平方根为a，则这个自然数相邻的下一个自然数为2.√(-3)²3.√a²= 34.若m (m大于等于0) ,n满足3√m + 5|n|= 7, x=2√m -3|n|, 试求x的取值范围5.√(5x+2y-9) 与|2x-6y-7|互为相反数，则x+1/y =6.3√(a-b) + 4√c=16且x=4√(a-b) -3√c, 试求x的取值范围7.√(2-x)+√(x-2)-y=6, 试求y的x次方的平方根立方根基础知识点1.立方根概念2.平方根与立方根的比较先变形被开方式再直接运算解三次方程估值法比较数的大小实数基础知识点1.无理数的概念及其常见类型（Π类，开方开不尽的数、有规律但又无限不循环的数）2.正确区分无理数和有理数3.实数及其数轴上点的对应关系4.实数的运算法则和运算性质。

无理数概念与平方根知识点1 算术平方根概念及性质22=x ,32=y ,42=z ,52=w ,已知幂和指数,怎么求求底数呢？我们知道：19614,16913,14412,121112222==== 那么请按照要求填写下表 1．已知边长求面积正方形边长 正方形面积 2.已知面积求边长正方形边长 正方形面积 11 121 13 169 0.3 0.09 12一般地,如果一个正数x 的平方等于a ,即a x =2,那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根,记为“a ”,读作“根号a ”．特别地,我们规定0的算术平方根是0,即00=．由算术平方根的定义我们可知：a 的算术平方根a 是一个非负数;我们知道0²=0,正数x =a ＞0,所以a ≥0.即算术平方根定义中：a 中的a 是一个非负数,a 的算术平方根a 也是一个非负数,负数没有算术平方根．这也是算术平方根的性质——双重非负性．例1.求下列各数的算术平方根：(1) 900; (2) 1; (3) 6449; (4) 14．例2.自由下落物体的高度h (米)与下落时间t (秒)的关系为29.4t h =．有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落,到达地面需要多长时间？例3. 01)22=++++y x y （则xy =知识点2 平方根的概念及性质平方根的概念我们知道1²=（-1）²=1, 2²=（-2）²=4, 3²=（-3）²=9,……,a ²=（-a ）²=a ², 如果一个数x 的平方等于a ,即x ²=a .那么x 就叫做a 的平方根.正数a 的两个平方根可以用“a ±”表示,其中a 表示a 的正的平方根（又叫算术平方根）,读作“根号a ”; －a 表示a 的负的平方根,读作“负根号a ”. ①一个正数a 的平方根有两个,记为a ± ,它们互为相反数.②0的平方根是0. ③负数没有平方根.知识点3 开平方求一个数a 的平方根的运算叫做开平方,a 叫做被开方数.（开平方与平方互为逆运算）平方和开平方是互逆运算：2()a a (0)a ≥；2(0)(0)a a a aa a例1.如果x ²=a ,那么下列说法错误是（ ）A ．若x 确定,则a 的值是唯一的B ．若a 确定,则x 的值是唯一的C ．a 是x 的平方D ．x 是a 的平方根例2. a ±的意义是（ ）A ．a 的平方根B ．a 的算术平方根C ．当a ≥0时,a ±是a 的平方根 D ．以上都不正确例3.若1-x +（y +2）²=0,则2018)(y x +等于（ ）A ．﹣1B ．1C ．20183D ．20183-例4.一个正数的平方根是2a ﹣3与a ﹣12,则这个正数为（ ） A ．3 B ．5 C ．7 D ．49例5.已知2-x 的平方根是2±,72++y x 的平方根是±3,求22y x +的平方根例6.已知2m +3和4m +9是一个正数的两个不同的平方根,求m 的值和这个正数的平方根.练习题：1.16的平方根是（ ）A ．±4B ．4C ．±2D ．22．4的平方根是 ;3的平方根是 16的平方根是 , 25）（-的平方根是________．3.下列运算正确的是（ ）A ．﹣213）（- =13 B ．26）（- =﹣6 C ．﹣25 =﹣5 D ．9 =±34.若正方形的边长为a ,面积为s ,则（ ）A ．s 的平方根是aB ．a 是s 的算术平方根C ．a =±D .s =5.如果将一个长方形ABCD 折叠，得到一个面积为144cm2的正方形ABFE ，已知正方形ABFE 的面积等于长方形CDEF 面积的2倍，求长方形ABCD 的长和宽．6.若（a －1）²＋|b －9|＝0,则a b 的平方根是 ．7..求下列各式的值：（1）44.1; （2）649; （3）25241 ． 8．在，3.1415926535，三个实数中，无理数的个数有（ ）A ．3B ．2C ．1D ．09．下列各数中，无理数是（ ） A ．2 B ．﹣C ．20%D ．π10．下列各数，3.14159265，，﹣8，，，中，无理数有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个11．下列各数：﹣1，，0，，3.14，4.121121112……，其中无理数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．下列一组数：﹣8，2.6，﹣|﹣3|，﹣π，，0.1010010001…，（每两个1之间依次多一个0）中，无理数有（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个13．在，中，无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个14．在实数﹣，0.21，，，，0.20202中，无理数的个数为（）A．1B．2C．3D．415．下列各数，，π，0.2020020002…，，，中，无理数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个16．下列各数中一定有平方根的是（）A．m2﹣1B．﹣m C．m+1D．m2+117．一个正数的两个平方根分别是2a﹣5和﹣a+1，则这个正数为（）A．4B．16C．3D．918．一个正数a的平方根是2x﹣3与5﹣x，则这个正数a的值是（）A．25B．49C．64D．8119．16的平方根是（）A．16B．﹣4C．±4D．没有平方根20．若a，b（a≠b）是64的平方根，则+的值为（）A．8B．﹣8C．4D．021．若一个数的平方等于81，则这个数是（）A．9B．﹣9C．±9D．±8122．下列计算不正确的是（）A．B．2ab+3ba＝5abC．3x﹣2x＝1D．|﹣3|＝323．一个正数的两个平方根分别为a+3和4﹣2a，则这个正数为（）A．7B．10C．﹣10D．10024．有理数a2＝（﹣5）2，则a等于（）A．﹣5B．5C．25D．±525．求下列各式中的x：（）（1）9x2﹣25＝0；（2）4（2x﹣1）2＝36．A．x＝和x＝2B．x＝﹣和x＝2或x＝﹣1 C．x＝±和x＝﹣1D．x＝±和x＝2或x＝﹣1 26．平方根等于它自己的数是（）A．0B．1C．﹣1D．4 27．36的平方根是（）A．18B．6C．±6D．±18 28．下列说法正确的是（）A．0的平方根是0B．1的平方根是1C．1的平方根是﹣1D．﹣1的平方根是﹣129．如果自然数a的平方根是±m，那么a+1的平方根用m表示为（）A．±（m+1）B．（m2+1）C．D．30．2a﹣1和a﹣5是某个正数的两个不等的平方根，则实数a的值为（）A．B．﹣C．2D．﹣2 31．一个正数的平方根是2m+3和m+1，则这个数为（）A．﹣B．C．D．1或32．一个正数m的两个平方根分别是2a﹣2和a﹣4，则m的值是（）A．2B．2或﹣2C．4D．4或36 33．（﹣10）2的平方根是（）A．﹣10B．10C．±10D．100 34．已知（x+1）2＝4，则x值为（）A．1B．±1C．1或﹣3D．3或﹣1 35．一个正数x的两个平方根分别是a﹣7和2a+1，则这个正数x＝（）A．2B．5C．16D．2536．下列说法：①0的平方根是0；②﹣1的平方根是﹣1；③（﹣4）2的平方根是﹣4；④0.01是0.1的平方根；正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个37．已知一个正数的两个平方根分别为x+2和2x﹣5，则这个正数是（）A．1B．7C．9D．8138．若2m﹣4与3m﹣1是同一个正数的平方根，则m为（）A．﹣3B．1C．﹣1D．﹣3或139．下列叙述中，不正确的是（）A．0的平方根是0B．﹣22的平方根是±2C．正数的平方根是互为相反数D．是一个无理数40．下面说法中错误的是（）A．6是36的平方根B．﹣6是36的平方根C．36的平方根是±6D．36的平方根是641．在（﹣）2，0.9，﹣23（﹣a2+2），0，17六个数中，一定有平方根的个数是（）A．2B．4C．3D．542．2.89的正的平方根是（）A．1.7B．﹣1.7C．±1.7D．±1743．a是有理数，在a2+2，3|a|+5，|a|﹣4，5a2+2a2中一定有平方根的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个44．下列各数中，没有平方根的数是（）A．﹣（﹣2）3B．﹣（﹣47）C．1﹣（﹣2）D．﹣|﹣3|45．下列说法正确的是（）A．9是3的算术平方根B．5是25的算术平方根C．0.1的平方根是0.01D．是的算术平方根46．﹣可以表示（）A．0.2的平方根B．﹣0.2的算术平方根C．0.2的负的平方根D．﹣0.2的平方根47．81的平方根是（）A．B．﹣9C．9D．±948．下列说法正确的是（）A．﹣7是49的算术平方根B．7是（﹣7）2的算术平方根C．±7是49的平方根，即＝±7D．7是49的平方根，即±＝749．根据以下程序，当输入时，输出结果为（）A．B．2C．6D．50．下列计算正确的是（）A．＝±3B．|﹣3|＝﹣3C．＝2D．﹣32＝9 51．实数9的算术平方根是（）A．3B．±3C．﹣3D．±952．下列说法错误的是（）A．4是16的算术平方根B．2是4的一个平方根C．0的平方根与算术平方根都是0D．（﹣3）2的平方根是﹣353．下列计算正确的是（）A．B．C．D．54．下列运算正确的是（）A．﹣2×（﹣3）＝﹣6B．（﹣4）2＝8C．﹣10﹣8＝﹣18D．＝±255．下列各式中，正确的个数是（）①＝4 ②＝③﹣32的平方根是﹣3 ④的算术平方根是﹣5 ⑤是的平方根A．1个B．2个C．3个D．4个56．＝（）A．﹣3B．3C．D．57．已知≈4.858，≈1.536，则﹣≈（）A．﹣485.8B．﹣48.58C．﹣153.6D．﹣1536 58．下列叙述中正确的是（）A．﹣2是4的平方根B．4的平方根是﹣2C．﹣2是（﹣2）2的算术平方根D．±2是（﹣2）2的算术平方根59．的平方根是（）A．9B．9或﹣9C．3D．3或﹣3 60．的平方根是（）A．16B．±16C．4D．±461．在1，，0，﹣四个实数中，最小数的是（）A．1B．C．0D．﹣62．有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为16时，输出的y是（）A．B．C．4D．863．＝3，则a的值为（）A．±9B．9C．3D．。

八年级数学 第2讲实数(一)知识点一：无理数 1、无理数的概念无限不循环小数叫做无理数．学习无理数应把握住无理数的三个特征：①无理数是小数；②无理数是无限小数；③无理数是不循环小数．判断一个数是否是无理数对照这三个特征一个也不能少．2、有理数与无理数的区别事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数来表示；反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数．如3可看做3.0这样的有限小数，也可以化为31这样的分数形式；无限循环小数都可以化为分数，如：3.14可化为3750.例 把下列小数化成分数：(1)0.6；(2)7.0 ；(3)43.0 ． 有理数与无理数的主要区别：①无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数；②任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数不能．【例1】 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？3．141 592 6，－43，2.5·8·，6.751 755 175 551 7…(相邻7,1之间5的个数逐次加1),0，227，－5.23·，－π2.3、无理数近似值的估算方法 无理数的估算用的是“夹逼法”，要注意掌握其应用特征.要估算无理数的近似值，第一步应确定被估算无理数的整数取值范围；第二步以较小整数逐步开始加0.1(或以较大整数逐步开始减0.1)，并求其平方，确定被估算数的十分位；…；如此继续下去，可以求出无理数的近似值．【例2】 面积为7的正方形的边长为x ，请你回答下列问题． (1)x 的整数部分是多少？(2)把x 的值精确到十分位是多少？精确到百分位呢？ (3)x 是有理数吗？请简要说明理由．4、无理数的常见类型判断一个数是不是无理数，关键就是看它能不能写成无限不循环的小数，无理数常见的形式主要有三种：(1)一般的无限不循环小数，如1.414 213 56…是无理数．看似循环而实质不循环的小数，如0.101 001 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次增加1)是无理数．(2)圆周率π以及含π的数，如π，2π，π＋5，都是无理数．(3)开方开不尽的数，如2、3…是无理数．【例3】 下列各数，哪些是有理数？哪些是无理数？0，π2，－4,0.12··，－117，1.112 111 211…(相邻两个2之间1的个数逐次加1)，3.141 592 ，7，5，85、无理数的应用【例4】 如图所示，要从离地面5 m 的电线杆上的B 处向地面C 处拉一条钢丝绳来固定电线杆，要固定点C 到A 处的距离为3 m ，求钢丝绳BC 的长度(精确到十分位)．知识点二：平方根1、平方根的概念：如果一个数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根(也叫做二次方根).32＝9，所以3是9的平方根．(－3)2＝9，所以－3也是9的平方根，所以9的平方根是3和－3.2、平方根的表示方法：正数a 的平方根可记作“±a ”，读作“正、负根号a ”．“ ”读作“根号”，“a ”是被开方数．例如：2的平方根可表示为± 2.3、平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．【例5】 求下列各数的平方根：(1)81；(2)(－7)2；(3)11549.【例6】 下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；若没有，请说明理由． (1)94；(2)0；(3)－9；(4)|－0.81|；(5)－22.知识点三：算术平方根1、算术平方根的概念：如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根．2、算术平方根的表示方法：正数a 的算术平方根记作“a ”，读作“根号a ”．3、算术平方根的性质：正数有一个正的算术平方根；0的算术平方根是0；负数没有平方根，当然也没有算术平方根．【例7】 求下列各数的算术平方根：(1)0.09；(2)121169.知识点四：开平方求一个数a (a ≥0)的平方根的运算，叫做开平方，其中a 叫做被开方数．开平方运算是已知指数和幂求底数．(1)因为平方和开平方互逆，故可通过平方来寻找一个数的平方根，也可以利用平方验算所求平方根是否正确．(2)开平方与平方互为逆运算，正数、负数、0可以进行“平方”运算，且“平方”的结果只有一个；但“开平方”只有正数和0才可以，负数不能开平方，且正数开平方时有两个结果．(3)对于生活和生产中的已知面积求长度的问题，一般可用开平方加以解决．【例8】 小明家计划用80块正方形的地板砖铺设面积是20 m 2的客厅，试问小明家需要购买边长是多少的地板砖？知识点五：a 2与(a )2的关系a 表示a 的算术平方根，依据算术平方根的定义，(a )2＝a (a ≥0).a 2表示a 2的算术平方根，依据算术平方根的定义，若a ≥0，则a 2的算术平方根为a ；若a ＜0，则a 2的算术平方根为－a ，即a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.(1)区别：①意义不同：(a )2表示非负数a 的算术平方根的平方；a 2表示实数a 的平方的算术平方根．②取值范围不同：(a )2中的a 为非负数，即a ≥0；a 2中的a 为任意数．③运算顺序不同：(a )2是先求a 的算术平方根，再求它的算术平方根的平方；a 2是先求a 的平方，再求平方后的算术平方根．④写法不同．在(a )2中，幂指数2在根号的外面；而在a 2中，幂指数2在根号的里面．⑤运算结果不同：(a )2＝a ；a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.(2)联系：①在运算时，都有平方和开平方的运算．②两式运算的结果都是非负数，即(a )2≥0，a 2≥0.③仅当a ≥0时，有(a )2＝a 2.【例9】 化简：(6)2＝__________；(－7)2＝__________.【例10】 (1)求(－3)2的平方根；(2)计算144；(3)求(π－3.142)2的算术平方根；(4)求16的平方根．【例11】 求下列各式的值：(1)±81； (2)－16； (3)925； (4)(－4)2. 知识点六：非负数的性质1、非负数：|a| 、a 、a 2；2、若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0.3、几个非负数的和为非负数【例12】 若－x 2＋y ＝6，则x ＝__________，y ＝__________. 【例13】 若|m －1|＋n －5＝0，则m ＝__________，n ＝__________【例14】 如果y ＝x 2－4＋4－x 2x ＋2＋2 013成立，求x 2＋y －3的值课内练习：1、填空:0.351， 4.96∙∙-，32-， 3.14159， 6， －5.2323332…，3π，1234567891011…(由相继的正整数组成)， 3．141 592 6，－43，2.5·8·，6.751 755 175 5517…(相邻7,1之间5的个数逐次加1),0，227，－5.23·，－π2.2(1)有限小数是有理数; （ ） (2)无限小数都是无理数; （ ） (3)无理数都是无限小数; （ ） (4)有理数是有限数. （ ） 3、以下各正方形的边长是无理数的是（ ） (A ）面积为25的正方形； (B ） 面积为254的正方形； (C ） 面积为8的正方形；(D ） 面积为1.44的正方形.4、一个直角三角形两条直角边的长分别是3和5，则斜边a 是有理数吗?5、解方程：4(x+1)2=85、求下列各数的平方根和算术平方根：（1）121； （2）（－3）2； （3）3161；无理数集合 (5)。

平 方 根【知识要点】1．平方根的概念如果一个数x 的平方等于a ，即2x a =，那么这个数x 叫做a 的平方根，也叫二次方根。

即若()20x a a =≥，则x 就称为a 的平方根。

2．平方根的性质①一个正数有两个平方根，它们互为相反数； ②零有一个平方根，它是零本身； ③负数没有平方根。

3．平方根的表示方法：一个正数a a 叫做被开方数，2叫做根指数；正数a的负平方根用符号“表示，根指数是2时，通常略去不写，所以这两个平方根记作4．算术平方根：正数a 的正的平方根，也叫做a 0a >），0的平方根叫做0的算术平方根。

因此，0的算术平方根为00=。

5．平方根的求法：①利用定义；②利用计算器；③利用估算法。

6．开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方，开平方与平方互为逆运算。

7．开平方的小数点移动规律：如果被开方数的小数点，向右或向左每移动两位，它的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位。

【课前热身】求下列各数的平方根和算术平方根【典型例题】例1 ∵()20.30.09= ∴（ ）A ．0.090.3是的平方根；B ．0.090.3是的3倍；C ．0.30.09是的一个平方根；D ．0.09的平方根是0.3。

例2 求下列各数的平方根：196169，()25-，24125，0.0256。

例3 （1）81的平方根是 ，算术平方根是 ； （2）2)4(-的平方根是 ，算术平方根是 ； （3）（-2．345）2的平方根是 ，算术平方根是 。

例4 （1）122++x x 的平方根为（ ）A ．没有平方根B ．(1)x ±+C ．0D ．1（2）1412-+-x x 的平方根为（ ） A ．)2(21-±x B ．没有平方根 C ．0或没有平方根 D ．0（3）一个自然数的一个平方根是m -，那么紧跟它后面的一个自然数的平方根是（ ） A ．1+m B ．12+m C ．1+±m D ．12+±m 例5 已知536.136.2=，858.46.23= ① 求236和00236.0的值； ② 若x =0．4858，求x 的值； ③ 若1536106=⨯a ，求a 的值。

小巨人学科教师辅导讲义学生：赵常巨教师: 赵常巨日期: 2015/9/12 家长签名：课题平方根与算术平方根·立方根教学目标1. 认识2014佛山中考2. 平方根与算术平方根重点、难点1. 审题与题意理解2. 平方根的应用教学内容【认识中考】（2014佛山中考）1．|﹣2|等于（ ）2．一个几何体的展开图如图，这个几何体是（ ）　A．三棱柱B．三棱锥C．四棱柱D．四棱锥3．下列调查中，适合用普查方式的是（ ）　A．调查佛山市市民的吸烟情况　B．调查佛山市电视台某节目的收视率　C．调查佛山市市民家庭日常生活支出情况　D．调查佛山市某校某班学生对“文明佛山”的知晓率5．若一个60°的角绕顶点旋转15°，则重叠部分的角的大小是（ ）　A．15°B．30°C．45°D．75°7．据佛山日报2014年4月4日报道，佛山市今年拟投入70亿元人民币建设人民满意政府，其中民生项目资金占99%，用科学记数法表示民生项目资金是（ ）-3⑵表示方法不同：正数的平方根表示为；正数的算术平方根为⑶平方根等于本身的数是0；算术平方根等于本身的数是0或12、平方根与算术平方根之间的联系⑴二者有着包含关系：平方根中包含算术平方根，算术平方根是平方根中的非负的那一个⑵存在条件相同，非负数才有平方根和算术平方根⑶0的平方根和0的算术平方根都是0例1 说出下列各数的平方根⑴0.04 ⑵ ⑶ ⑷例2 说出下列各数的平方根各是什么？⑴64 ⑵0 ⑶ ⑷⑸ ⑹点评：要从根本之处理解一个数的平方根的运算，从平方根的概念入手，同时要知道，只有非负数才有平方根例3 计算⑴ ⑵ ⑶ ⑷已知，求：的平方根【巩固训练】:1、判断下列说法是否正确⑴5是25的算术平方根 （ ）⑵是的一个平方根（ ）⑶的平方根是－4 （ ）⑷ 0的平方根与算术平方根都是0 （ ）2、⑴⑵⑶⑷3、若，则，的平方根是4、的平方根是（） A. B. C. D.5、给出下列各数：，其中有平方根的数共有（）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个6、若一个数的平方根等于它本身，数的算术平方根也等于它本身，试求根。

2.2平方根（解析）知识点定义如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根．表示若2x a=，则x就叫做a的平方根，例：25=25±（），25的平方根就是5±．一个非负数a的平方根可用符号表示为“a±”.特征1．正数有两个平方根，且互为相反数，和为0；2．0的平方根只有一个，是它本身；3．负数没有平方根．概念如果一个非负数x的平方等于a，即2x a=，那么非负数x是a的算术平方根．表示a的算术平方根用a表示．a叫做被开方数（0a≥）．例：9=3，9叫做被开方数，3是9的算术平方根.性质双重非负性，在x a=中有0x≥，0a≥．概念求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．意义开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根．性质1．当被开方数扩大(或缩小)2n倍，它的算术平方根相应地扩大（或缩小）n 倍（0n≥）．例：1扩大100倍为100，它的平方根相应的变为10. 2．平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：若0a≥，则2()a a=；不管a为何值，总有2(0)||(0)a aa aa a≥⎧==⎨-<⎩注意二者之间的区别及联系．四．易错点：1．只有非负数才有平方根，负数没有平方根；2．正数的平方根有两个，且互为相反数；3．0的平方根和算术平方根都是0；4．计算.例如，求164，应该是2；5．求一个带分数的平方根时，必须把带分数化为假分数.重点、难点一．考点：算术平方根、平方根．二．重难点：算术平方根的双重非负性，常见平方数．三．易错点：只有非负数才有平方根；正数的平方根有两个，且互为相反数；0的平方根和算术平方根都是0．平方根例题1、16________．【答案】±2【解析】16±2．例题2、若|x|＝2，y2＝9，且xy＜0，则x－y等于（）A.1或－1B.5或－5C.1或5D.－1或－5【答案】B【解析】因为|x|＝2，y2＝9，所以x＝±2，y＝±3，因为xy＜0，所以x＝2，y＝－3，所以x－y＝2＋3＝5；所以x＝－2，y＝3，所以x－y＝－2－3＝－5．例题3、一个正数的两个平方根分别是2a－1与－a＋2，则a的值为（）A.1B.－1C.2D.－2【答案】B【解析】由题意得：2a－1－a＋2＝0，解得：a＝－1．随练1、5x-与（y＋4）2互为相反数，则x＋y的平方根为________．【答案】±1【解析】5x-与（y＋4）2互为相反数，25(4)0x y-+=，∴x－5＝0，y＋4＝0，解得x＝5，y＝－4，∴x＋y＝5＋（－4）＝1，∴x＋y的平方根为±1．随练2、()28-的平方根为（）A.8-B.8C.8±D.8±【答案】D【解析】该题考查的是平方根的概念和根式的性质．一个正数有两个平方根．()288-=，8的平方根有两个，8．所以本题的答案是D．算术平方根例题1、4的算术平方根是（）A.2B.±22 D.2【答案】C【解析】4，而2242，例题2、一个自然数的平方根为a，则它的相邻的下一个自然数的算术平方根是（）1a+ B.a+1 C.a2+121a+【答案】D【解析】设这个自然数为x，∵x 平方根为a ，∴x=a 2，∴与之相邻的下一个自然数为a 2+121a +例题3、 下列各组数，互为相反数的是（ ）A.－238-B.|2-2C.－2与2(2)D.22(2)-【答案】 C【解析】 －2与2(2)-互为相反数．例题4、 下列各式计算正确的是（ ） A.282-- B.2(2)4-= 2(3)3-- 164= 【答案】 D【解析】 A 、28-B 、2(2)2=，故此选项不合题意；C 2(3)3-=，故此选项不合题意；D 164=，正确，符合题意．随练1、 我们可以利用计算器求一个正数a 的算术平方根，其操作方法是按顺序进行按键输入：．小明按键输入显示结果为4，则他按键输入显示结果应为________． 【答案】 40【解析】 164， 16001610040⨯=．随练2、 8 ）A.8 826= 822± D.8最接近的整数是3 【答案】 D【解析】 A 8B 826≠，故选项错误；C 822=D 8最接近的整数是3，故选项正确．开平方例题1、 4x =，则x ＝________．【答案】 16【解析】 两边平方，得：x ＝16．例题2、 7【答案】 2和3之间【解析】 479，即273<<例题3、 1.718721 1.311，17.197609 4.147，那么0.0001718721-， 1719760900．【答案】 0.01311-，41470【解析】 被开方数扩大(或缩小)2n 倍，它的算术平方根相应地扩大（或缩小）n 倍（0n ≥）．随练1、 16________．【答案】 ±2【解析】 16±2．随练2、 已知x 10y 101(10)x y -的平方根为________．【答案】 ±3【解析】 由题意可得：3910=∴x ＝3，103y =， 则12(10)39x y --==，而9的平方根为±3．课后习题1、 下列说法正确的是（ ）A.1的立方根是±1 4C.0.09的平方根是±0.3D.0没有平方根【答案】 C【解析】 A ．1的立方根是1，故A 错误；B 4=2，故B 错误，C ．0.09的平方根是±0.3，故C 正确．D ．0的平方根是0，故D 错误．2、 54.037.35=，则0.005403的算术平方根是（ ）A. 0.735B. 0.0735C. 0.000735D. 0.0000735【答案】 B【解析】 0.0735．3、 已知21a -的平方根是3±，4是31a b +-的算术平方根，求2a b +的值.【答案】 9【解析】 该题考查的是平方根的定义及代数式求值．∵21a -的平方根是3±，∴2213a -=，∴5a =，∵4是31a b +-的算术平方根，∴2314a b +-=，将5a =代入等式中，得，23514b ⨯+-=，∴2b =，∴25229a b +=+⨯=．4、 10 ）A.2B.3C.4D.5【答案】 B【解析】 10 3.16， 103．5、 已知a ，b 21(1)0a b +-=，求a 2015－b 2016＝________．【答案】 －2【解析】 21(1)0a b +-=，∴1＋a ＝0、1－b ＝0，解得：a ＝－1、b ＝1，则原式＝（－1）2015－12016＝－1－1＝－2．6、 2的平方根是________25的绝对值是________．【答案】 252【解析】 2的平方根是：2±25的绝对值是：52-．7、在下列各式中正确的是（）A.2= B.3=2=8=±【答案】A【解析】A2，正确；B、3=±，故本选项错误；C4=，故本选项错误；D2=，故本选项错误．。

平方根 知识点总结【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a =,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；aa 的算术平方根”，a 叫做被开方数.要点诠释：a0，a ≥0.2.平方根的定义如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. a (a ≥0)的平方根的符号表达为0)a ≥，是a 的算术平方根.要点二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.要点三、平方根的性质(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()20a a =≥要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.250=25=2.5=0.25=.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、若2m －4与3m －1是同一个正数的两个平方根，求m 的值．【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2m －4＝－（3m －1），解方程即可求解．【答案与解析】解：依题意得 2m －4＝－（3m －1），解得m ＝1；∴m 的值为1．【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 举一反三：【变式】已知2a －1与－a ＋2是m 的平方根，求m 的值.【答案】2a －1与－a ＋2是m 的平方根，所以2a －1与－a ＋2相等或互为相反数. 解：①当2a －1＝－a ＋2时，a ＝1，所以m ＝()()22212111a -=⨯-=②当2a －1＋（－a ＋2）＝0时，a ＝－1，所以m ＝()()22221[2(1)1]39a -=⨯--=-= 2、x 为何值时，下列各式有意义？2x 4x -11x x +-1x - 【答案与解析】解：(1)因为20x ≥，所以当x 2x (2)由题意可知：40x -≥，所以4x ≥4x - (3)由题意可知：1010x x +≥⎧⎨-≥⎩解得：11x -≤≤．所以11x -≤≤11x x +-义．(4)由题意可知：1030x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得1x ≥且3x ≠．所以当1x ≥且3x ≠1x - 【总结升华】(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义．(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义．举一反三：【变式】已知4322232b a a =-+-+，求11a b +的算术平方根． 【答案】解：根据题意，得320,230.a a -≥⎧⎨-≥⎩则23a =，所以b ＝2，∴1131222a b +=+=， ∴11a b+的算术平方根为112a b +=． 类型二、平方根的运算3、求下列各式的值．(1)2222252434-+；(2)111200.36900435--． 【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.【答案与解析】解：(1)2222252434-+49257535==⨯=； (2)1118111200.369000.630435435--=-⨯-⨯90.26 1.72=--=-． 【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据2(0)a a a =>来解．类型三、利用平方根解方程4、求下列各式中的x .（1）23610;x -= （2）()21289x +=； （3）()2932640x +-=【答案与解析】解：（1）∵23610x -=∴2361x =∴36119x ==±（2）∵()21289x +=∴1289x +=∴x ＋1＝±17x ＝16或x ＝－18.（3）∵()2932640x +-= ∴()264329x += ∴8323x +=± ∴21499x x ==-或 【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）（3）小题中运用了整体思想分散了难度.举一反三：【变式】求下列等式中的x ：（1）若2 1.21x =，则x ＝______； （2）2169x =，则x ＝______； （3）若29,4x =则x ＝______； （4）若()222x =-，则x ＝______． 【答案】（1）±1.1；（2）±13；（3）32±；（4）±2. 类型四、平方根的综合应用5、已知a 、b 是实数，26|20a b ++=，解关于x 的方程2(2)1a x b a ++=-． 【答案与解析】解：∵a 、b 26|20a b +-=260a +≥，|20b -≥，∴260a +=，20b -=．∴a =－3，2b =把a =－3，2b =2(2)1a x b a ++=-，得－x ＋2＝－4，∴x ＝6．【总结升华】本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题，应先求出a 、b 的值，再解方程．此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性，只需令每项分别等于零即可．举一反三：2110x y -+=，求20112012x y +的值． 【答案】2110x y -+=，得210x -=，10y +=，即1x =±，1y =-．①当x ＝1，y ＝－1时，20112012201120121(1)2x y +=+-=．②当x ＝－1，y ＝－1时，2011201220112012(1)(1)0x y +=-+-=．6、小丽想用一块面积为4002cm 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为3002cm的长方形纸片，使它长宽之比为2:3，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【答案与解析】解：设长方形纸片的长为3x (x ＞0) cm ，则宽为2x cm ，依题意得32300x x ⋅=.26300x =.250x =.∵ x ＞0，∴ 50x = ∴ 长方形纸片的长为350cm .∵ 50＞49,507>.∴ 35021>, 即长方形纸片的长大于20cm .由正方形纸片的面积为400 2cm , 可知其边长为20cm ,∴ 长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长为20cm 的正方形纸片裁出长方形纸片.。