20XX年河北高考数学理试题及答案.doc

河北省高考数学试卷（理科）（参考答案与试题解析）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）（2019?上海）计算：= ．考点：数列的极限．1483908专题：计算题．分析：由数列极限的意义即可求解．解答：解：==，故答案为：．点评：本题考查数列极限的求法，属基础题．2．（4分）（2019?上海）设m∈R， m2+m﹣2+（m2﹣1）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m= ﹣2 ．考点：复数的基本概念．1483908专题：计算题．分析：根据纯虚数的定义可得m2﹣1=0，m2﹣1≠0，由此解得实数m的值．解答：解：∵复数z=（m2+m﹣2）+（m﹣1）i为纯虚数，∴m2+m﹣2=0，m2﹣1≠0，解得m=﹣2，故答案为：﹣2．点评：本题主要考查复数的基本概念，得到m2+m﹣2=0，m2﹣1≠0，是解题的关键，属于基础题．3．（4分）（2019?上海）若=， x+y= 0 ．考点：二阶行列式的定义．专题：常规题型．分析：利用行列式的定义，可得等式，配方即可得到结论．解答：解：，﹣（）故答案为点评：本题考查二阶行列式的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．4．（4分）（2019?上海）已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若3a2+2ab+3b2﹣3c2=0，则角C的大小是．考点：余弦定理．1483908专题：解三角形．分析：把式子3a2+2ab+3b2﹣3c2=0变形为，再利用余弦定理即可得出．解答：解：∵3a2+2ab+3b2﹣3c2=0，∴，∴==．∴C=．故答案为．点评：熟练掌握余弦定理及反三角函数是解题的关键．5．（4分）（2019?上海）设常数a∈R，若的二项展开式中x7项的系数为﹣10，则a= ﹣2 ．考点：二项式系数的性质．1483908专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第r+1项，令x的指数为7求得x7的系数，列出方程求解即可．解答：解：的展开式的通项为T r+1=C5r x10﹣2r（）r=C5r x10﹣3r a r令10﹣3r=7得r=1，∴x7的系数是aC51∵x7的系数是﹣10，∴aC51=﹣10，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题主要考查了二项式系数的性质．二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．6．（4分）（2019?上海）方程+=3x﹣1的实数解为log34 ．考点：函数的零点．1483908专题：函数的性质及应用．分析：化简方程+=3x﹣1为=3x﹣1，即（3x﹣4）（3x+2）=0，解得3x=4，可得x的值．解答：解：方程+=3x﹣1，即=3x﹣1，即8+3x=3x﹣1（3x+1﹣3），化简可得32x﹣2?3x﹣8=0，即（3x﹣4）（3x+2）=0．解得3x=4，或3x=﹣2（舍去），∴x=log34，故答案为log34．点评：本题主要考查指数方程的解法，指数函数的值域，一元二次方程的解法，属于基础题．7．（4分）（2019?上海）在极坐标系中，曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；两点间的距离公式．1483908专题：计算题．分析：联立ρ=cosθ+1与ρcosθ=1消掉θ即可求得ρ，即为答案．解答：解：由ρ=cosθ+1得，cosθ=ρ﹣1，代入ρcosθ=1得ρ（ρ﹣1）=1，解得ρ=或ρ=（舍），所以曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为，故答案为：．点评：本题考查两点间距离公式、极坐标与直角坐标的互化，属基础题．8．（4分）（2019?上海）盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）．考点：古典概型及其概率计算公式．1483908专题：概率与统计．分析：利用组合知识求出从1，2，3，4，5，6，7，8，9九个球中，任意取出两个球的取法种数，再求出从5个奇数中任意取出2个奇数的取法种数，求出取出的两个球的编号之积为奇数的概率，利用对立事件的概率求出取出两个球的编号之积为偶数的概率．解答：解：从1，2，3，4，5，6，7，8，9九个球中，任意取出两个球的取法种数为种．取出的两个球的编号之积为奇数的方法种数为种．则取出的两个球的编号之积为奇数的概率为．所以取出两个球的编号之积为偶数的概率是．故答案为点评：本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了简单的排列组合知识，考查了对立事件的概率，解答的关键是明确取到的两数均为奇数时其乘积为奇数，是基础题．9．（4分）（2019?上海）设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA=，若AB=4，BC=，则Γ的两个焦点之间的距离为．考点：椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．1483908专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意画出图形，设椭圆的标准方程为，由条件结合等腰直角三角形的边角关系解出C的坐标，再根据点C在椭圆上求得b值，最后利用椭圆的几何性质计算可得答案．解答：解：如图，设椭圆的标准方程为，由题意知，2a=4，a=2．∵∠CBA=，BC=，∴点C的坐标为C（﹣1，1），因点C在椭圆上，∴，∴b2=，∴c2=a2﹣b2=4﹣=，c=，则Γ的两个焦点之间的距离为．故答案为：．点评：本题考查椭圆的定义、解三角形，以及椭圆的简单性质的应用．10．（4分）（2019?上海）设非零常数d是等差数列x1，x2，…，x19的公差，随机变量ξ等可能地取值x1，x2，…，x19，则方差Dξ= 30d2．考点：极差、方差与标准差．1483908专题：概率与统计．分析：利用等差数列的前n项和公式可得x1+x2+…+x19=和数学期望的计算公式即可得出Eξ，再利用方差的计算公式即可得出Dξ=即可得出．解答：解：由题意可得Eξ===x1+9d．∴x n﹣Eξ=x1+（n﹣1）d﹣（x1+9d）=（n﹣10）d，∴Dξ=+…+（﹣d）2+0+d2+（2d）2+…+（9d）2]===30d2．故答案为30d2．点评：熟练掌握等差数列的前n项和公式、数学期望和方差的计算公式是解题的关键．11．（4分）（2019?上海）若cosxcosy+sinxsiny=，sin2x+sin2y=，则sin（x+y）= ．考点：三角函数的和差化积公式；两角和与差的余弦函数．1483908专题：三角函数的求值．分析：利用两角差的余弦公式及cosxcosy+sinxsiny=，可得cos（x﹣y）=，再利用和差化积公式sin2x+sin2y=，得到2sin（x+y）cos（x﹣y）=，即可得出sin （x+y）．解答：解：∵cosxcosy+sinxsiny=，∴cos（x﹣y）=．∵sin2x+sin2y=，∴2sin（x+y）cos（x﹣y）=，∴，∴sin（x+y）=．故答案为．点评：熟练掌握两角和差的正弦余弦公式及和差化积公式是解题的关键．12．（4分）（2019?上海）设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=9x++7．若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为．．考点：函数奇偶性的性质；基本不等式．1483908专题：函数的性质及应用．分析：先利用y=f（x）是定义在R上的奇函数求出x≥0时函数的解析式，将f（x）≥a+1对一切x≥0成立转化为函数的最小值≥a+1，利用基本不等式求出f（x）的最小值，解不等式求出a的范围．解答：解：因为y=f（x）是定义在R上的奇函数，所以当x=0时，f（x）=0；当x＞0时，则﹣x＜0，所以f（﹣x）=﹣9x﹣+7因为y=f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（x）=9x+﹣7；因为f（x）≥a+1对一切x≥0成立，所以当x=0时，0≥a+1成立，所以a≤﹣1；当x＞0时，9x+﹣7≥a+1成立，只需要9x+﹣7的最小值≥a+1，因为9x+﹣7≥2=6|a|﹣7，所以6|a|﹣7≥a+1，解得，所以．故答案为．．点评：本题考查函数解析式的求法；考查解决不等式恒成立转化成求函数的最值；利用基本不等式求函数的最值．13．（4分）（2019?上海）在xOy平面上，将两个半圆弧（x﹣1）2+y2=1（x≥1）和（x﹣3）2+y2=1（x≥3），两条直线y=1和y=﹣1围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分，记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω．过（0，y）（|y|≤1）作Ω的水平截面，所得截面积为4π+8π．试利用祖恒原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为2π2+16π．考点：进行简单的合情推理．1483908专题：计算题；阅读型．分析：由题目给出的Ω的水平截面的面积，可猜想水平放置的圆柱和长方体的量，然后直接求出圆柱的体积与长方体的体积作和即可．解答：解：因为几何体为Ω的水平截面的截面积为4+8π，该截面的截面积由两部分组成，一部分为定值8π，看作是截一个底面积为8π，高为2的长方体得到的，对于4，看作是把一个半径为1，高为2π的圆柱平放得到的，如图所示，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖恒原理，每个平行水平面的截面积相等，故它们的体积相等，即Ω的体积为π？12?2π+2?8π=2π2+16π．故答案为2π2+16π．点评：本题考查了简单的合情推理，解答的关键是由几何体Ω的水平截面面积想到水平放置的圆柱和长方体的有关量，是中档题．14．（4分）（2019?上海）对区间I上有定义的函数g（x），记g（I）={y|y=g（x），x∈I}．已知定义域为[0，3]的函数y=f（x）有反函数y=f﹣1（x），且f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（（2，4]）=[0，1）．若方程f（x）﹣x=0有解x0，则x0= 2 ．考点：反函数；函数的零点．1483908专题：函数的性质及应用．分析：根据互为反函数的两函数定义域、值域互换可判断：当x∈[0，1）时，x∈[1，2）时f（x）的值域，进而可判断此时f（x）=x无解；由f（x）在定义域[0，3]上存在反函数可知：x∈[2，3]时，f（x）的取值集合，再根据方程f（x）=x 有解即可得到x0的值．解答：解：因为g（I）={y|y=g（x），x∈I}，f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（2，4]）=[0，1），所以对于函数f（x），当x∈[0，1）时，f（x）∈（2，4]，所以方程f（x）﹣x=0即f（x）=x无解；当x∈[1，2）时，f（x）∈[0，1），所以方程f（x）﹣x=0即f（x）=x无解；所以当x∈[0，2）时方程f（x）﹣x=0即f（x）=x无解，又因为方程f（x）﹣x=0有解x0，且定义域为[0，3]，故当x∈[2，3]时，f（x）的取值应属于集合（﹣∞，0）∪[1，2]∪（4，+∞），故若f（x0）=x0，只有x0=2，故答案为：2．点评：本题考查函数的零点及反函数，考查学生分析解决问题的能力，属中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）（2019?上海）设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（）A ．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．（2，+∞）D．[2，+∞）考点：并集及其运算；一元二次不等式的解法．1483908专题：不等式的解法及应用．分析：当a＞1时，代入解集中的不等式中，确定出A，求出满足两集合的并集为R 时的a的范围；当a=1时，易得A=R，符合题意；当a＜1时，同样求出集合A，列出关于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范围．综上，得到满足题意的a范围．解答：解：当a＞1时，A=（﹣∞，1]∪[a，+∞），B=[a﹣1，+∞），若A∪B=R，则a﹣1≤1，∴1＜a≤2；当a=1时，易得A=R，此时A∪B=R；当a＜1时，A=（﹣∞，a]∪[1，+∞），B=[a﹣1，+∞），若A∪B=R，则a﹣1≤a，显然成立∴a＜1；综上，a的取值范围是（﹣∞，2]．故选B．点评：此题考查了并集及其运算，二次不等式，以及不等式恒成立的条件，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．16．（5分）（2019?上海）钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）A ．充分条件B．必要条件C充分必要条件D既非充分又非必要条件．．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．1483908分析：因为“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．再据命题的真假与条件的关系判定出“不便宜”是“好货”的必要条件．解答：解：“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．所以“好货”?“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件，故选B点评：本题考查互为逆否命题的真假一致；考查据命题的真假判定条件关系，属于基础题．17．（5分）（2019?上海）在数列（a n）中，a n=2n﹣1，若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素c ij=a i?a j+a i+a j（i=1，2，…，7；j=1，2，…，12），则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（）A．18 B．28 C．48 D．63考点：数列的函数特性．1483908分析：由于该矩阵的第i行第j列的元素c ij=a i?a j+a i+a j=（2i﹣1）（2j﹣1）+2i﹣1+2j﹣1=2i+j ﹣1（i=1，2，…，7；j=1，2，…，12），要使a ij=a mn（i，m=1，2，…，7；j，n=1，2，…，12）．则满足2i+j﹣1=2m+n﹣1，得到i+j=m+n，由指数函数的单调性可得：当i+j≠m+n 时，a ij≠a mn，因此该矩阵元素能取到的不同数值为i+j的所有不同和，即可得出．解答：解：该矩阵的第i行第j列的元素c ij=a i?a j+a i+a j=（2i﹣1）（2j﹣1）+2i﹣1+2j﹣1=2i+j ﹣1（i=1，2，…，7；j=1，2，…，12），当且仅当：i+j=m+n时，a ij=a mn（i，m=1，2，…，7；j，n=1，2，…，12），因此该矩阵元素能取到的不同数值为i+j的所有不同和，其和为2，3， (19)共18个不同数值．故选A．点评：由题意得出：当且仅当i+j=m+n时，a ij=a mn（i，m=1，2，…，7；j，n=1，2，…，12）是解题的关键．18．（5分）（2019?上海）在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、．若m、M分别为（++）?（++）的最小值、最大值，其中{i，j，k}?{1，2，3，4，5}，{r，s，t}?{1，2，3，4，5}，则m、M满足（）A．m=0，M＞0 B．m＜0，M＞0 C．m＜0，M=0 D．m＜0，M＜0考点：平面向量数量积的运算；进行简单的合情推理．1483908专题：平面向量及应用．分析：利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，从而可结论．解答：解：由题意，以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、，∴利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，∵m、M分别为（++）?（++）的最小值、最大值，∴m＜0，M＜0故选D．点评：本题考查向量的数量积运算，考查学生分析解决问题的能力，分析出向量数量积的正负是关键．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）（2019?上海）如图，在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=2，AD=1，AA′=1．证明直线BC′平行于平面D′AC，并求直线BC′到平面D′AC的距离．考点：点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．1483908专题：空间位置关系与距离．分析：建立空间直角坐标系，求出平面D′AC的一个法向量为=（2，1，﹣2），再根据=﹣0，可得⊥，可得直线BC′平行于平面D′AC．求出点B到平面D′AC的距离d=的值，即为直线BC′到平面D′AC的距离．解答：解：以D′A′所在的直线为x轴，以D′C′所在的直线为y轴，以D′D所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系．则由题意可得，点A（1，0，0 ）、B（1，2，1）、C（0，2，1）、C′（0，2，0）、D′（0，0，0）．设平面D′AC的一个法向量为=（u，v，w），则由⊥，⊥，可得，．∵=（1，0，1），=（0，2，1），∴，解得．令v=1，可得u=2，w=﹣2，可得=（2，1，﹣2）．由于=（﹣1，0，﹣1），∴=﹣0，故有⊥．再由BC′不在平面D′AC内，可得直线BC′平行于平面D′AC．由于=（1，0，0），可得点B到平面D′AC的距离d===，故直线BC′到平面D′AC的距离为．点评：本题主要考查利用向量法证明直线和平面平行，求直线到平面的距离的方法，体现了转化的数学思想，属于中档题．20．（14分）（2019?上海）甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元．（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．考点：函数模型的选择与应用．1483908专题：应用题．分析：（1）求出生产该产品2小时获得的利润，建立不等式，即可求x的取值范围；（2）确定生产900千克该产品获得的利润函数，利用配方法，可求最大利润．解答：解：（1）生产该产品2小时获得的利润为100（5x+1﹣）×2=200（5x+1﹣）根据题意，200（5x+1﹣）≥3000，即5x2﹣14x﹣4≥0∴x≥3或x≤﹣∵1≤x≤10，∴3≤x≤10；（2）设利润为y元，则生产900千克该产品获得的利润为y=100（5x+1﹣）×=90000（）=9×104[+]∵1≤x≤10，∴x=6时，取得最大利润为=457500元故甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457500元．点评：本题考查函数模型的建立，考查解不等式，考查函数的最值，确定函数的模型是关键．21．（14分）（2019?上海）已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0（1）若y=f（x）在[﹣，]上单调递增，求ω的取值范围；（2）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，在向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，区间[a，b]（a，b∈R，且a＜b）满足：y=g（x）在[a，b]上至少含有30个零点．在所有满足上述条件的[a，b]中，求b﹣a的最小值．考点：正弦函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．1483908专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）已知函数y=f（x）在上单调递增，且ω＞0，利用正弦函数的单调性可得，且，解出即可；（2）利用变换法则“左加右减，上加下减”即可得到g（x）=2．令g（x）=0，即可解出零点的坐标，可得相邻两个零点之间的距离．若b﹣a最小，则a和b都是零点，此时在区间[a，mπ+a]（m∈N*）恰有2m+1个零点，所以在区间[a，14π+a]是恰有29个零点，从而在区间（14π+a，b]至少有一个零点，即可得到a，b满足的条件．进一步即可得出b﹣a的最小值．解答：解：（1）∵函数y=f（x）在上单调递增，且ω＞0，∴，且，解得．（2）f（x）=2sin2x，∴把y=f（x）的图象向左平移个单位，在向上平移1个单位，得到，∴函数y=g（x）=，令g（x）=0，得，或x=（k∈Z）．∴相邻两个零点之间的距离为或．若b﹣a最小，则a和b都是零点，此时在区间[a，π+a]，[a，2π+a]，…，[a，mπ+a]（m∈N*）分别恰有3，5，…，2m+1个零点，所以在区间[a，14π+a]是恰有29个零点，从而在区间（14π+a，b]至少有一个零点，∴．另一方面，在区间恰有30个零点，因此b﹣a的最小值为．点评：本题综合考查了三角函数的单调性、周期性、函数的零点等基础知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力．22．（16分）（2019?上海）如图，已知双曲线C1：，曲线C2：|y|=|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直线与C1，C2都有公共点，则称P为“C1﹣C2型点“（1）在正确证明C1的左焦点是“C1﹣C2型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线y=kx与C2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C1﹣C2型点”；（3）求证：圆x2+y2=内的点都不是“C1﹣C2型点”考点：直线与圆锥曲线的关系；点到直线的距离公式；双曲线的简单性质．1483908 专题：新定义；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由双曲线方程可知，双曲线的左焦点为（），当过左焦点的直线的斜率不存在时满足左焦点是“C1﹣C2型点”，当斜率存在时，要保证斜率的绝对值大于等于该焦点与（0，1）连线的斜率；（2）由直线y=kx与C2有公共点联立方程组有实数解得到|k|＞1，分过原点的直线斜率不存在和斜率存在两种情况说明过远点的直线不可能同时与C1和C2有公共点；（3）由给出的圆的方程得到圆的图形夹在直线y=x±1与y=﹣x±1之间，进而说明当|k|≤1时过圆内的点且斜率为k的直线与C2无公共点，当|k|＞1时，过圆内的点且斜率为k的直线与C2有公共点，再由圆心到直线的距离小于半径列式得出k的范围，结果与|k|＞1矛盾．从而证明了结论．解答：（1）解：C1的左焦点为（），写出的直线方程可以是以下形式：或，其中．（2）证明：因为直线y=kx与C2有公共点，所以方程组有实数解，因此|kx|=|x|+1，得．若原点是“C1﹣C2型点”，则存在过原点的直线与C1、C2都有公共点．考虑过原点与C2有公共点的直线x=0或y=kx（|k|＞1）．显然直线x=0与C1无公共点．如果直线为y=kx（|k|＞1），则由方程组，得，矛盾．所以直线y=kx（|k|＞1）与C1也无公共点．因此原点不是“C1﹣C2型点”．（3）证明：记圆O：，取圆O内的一点Q，设有经过Q的直线l与C1，C2都有公共点，显然l不与x轴垂直，故可设l：y=kx+b．若|k|≤1，由于圆O夹在两组平行线y=x±1与y=﹣x±1之间，因此圆O也夹在直线y=kx±1与y=﹣kx±1之间，从而过Q且以k为斜率的直线l与C2无公共点，矛盾，所以|k|＞1．因为l与C1由公共点，所以方程组有实数解，得（1﹣2k2）x2﹣4kbx﹣2b2﹣2=0．因为|k|＞1，所以1﹣2k2≠0，因此△=（4kb）2﹣4（1﹣2k2）（﹣2b2﹣2）=8（b2+1﹣2k2）≥0，即b2≥2k2﹣1．因为圆O的圆心（0，0）到直线l的距离，所以，从而，得k2＜1，与|k|＞1矛盾．因此，圆内的点不是“C1﹣C2型点”．点评：本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了点到直线的距离公式，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．23．（18分）（2019?上海）给定常数c＞0，定义函数f（x）=2|x+c+4|﹣|x+c|．数列a1，a2，a3，…满足a n+1=f（a n），n∈N*．（1）若a1=﹣c﹣2，求a2及a3；（2）求证：对任意n∈N*，a n+1﹣a n≥c；（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，a n，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由．考点：数列的函数特性；等差关系的确定；数列与函数的综合．1483908专题：等差数列与等比数列．分析：（1）对于分别取n=1，2，a n+1=f（a n），n∈N*．去掉绝对值符合即可得出；（2）由已知可得f（x）=，分三种情况讨论即可证明；（3）由（2）及c＞0，得a n+1≥a n，即{a n}为无穷递增数列．分以下三种情况讨论：当a1＜﹣c﹣4时，当﹣c﹣4≤a1＜﹣c时，当a1≥﹣c时．即可得出a1的取值范围．解答：解：（1）a2=f（a1）=f（﹣c﹣2）=2|﹣c﹣2+c+4|﹣|﹣c﹣2+c|=4﹣2=2，a3=f（a2）=f（2）=2|2+c+4|﹣|2+c|=2（6+c）﹣（c+2）=c+10．（2）由已知可得f（x）=当a n≥﹣c时，a n+1﹣a n=c+8＞c；当﹣c﹣4≤a n＜﹣c时，a n+1﹣a n=2a n+3c+8≥2（﹣c﹣4）+3c+8=c；当a n＜﹣c﹣4时，a n+1﹣a n=2a n﹣c＞﹣2（﹣c﹣4）﹣c﹣8=c．∴对任意n∈N*，a n+1﹣a n≥c；（3）由（2）及c＞0，得a n+1≥a n，即{a n}为无穷递增数列．又{a n}为等差数列，所以存在正数M，当n＞M时，a n≥﹣c，从而a n+1=f（a n）=a n+c+8，由于{a n}为等差数列，因此公差d=c+8．①当a1＜﹣c﹣4时，则a2=f（a1）=﹣a1﹣c﹣8，又a2=a1+d=a1+c+8，故﹣a1﹣c﹣8=a1+c+8，即a1=﹣c﹣8，从而a2=0，当n≥2时，由于{a n}为递增数列，故a n≥a2=0＞﹣c，∴a n+1=f（a n）=a n+c+8，而a2=a1+c+8，故当a1=﹣c﹣8时，{a n}为无穷等差数列，符合要求；②若﹣c﹣4≤a1＜﹣c，则a2=f（a1）=3a1+3c+8，又a2=a1+d=a1+c+8，∴3a1+3c+8=a1+c+8，得a1=﹣c，应舍去；③若a1≥﹣c，则由a n≥a1得到a n+1=f（a n）=a n+c+8，从而{a n}为无穷等差数列，符合要求．综上可知：a1的取值范围为{﹣c﹣8}∪[﹣c，+∞）．点评：本题综合考查了分类讨论的思方法、如何绝对值符号、递增数列、等差数列等基础知识与方法，考查了推理能力和计算能力．。

河北省石家庄市（新版）2024高考数学部编版考试(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则该正八面体结构的内切球表面积为（）A．B．C．D．第(2)题在的展开式中，的系数为（）A．30B．60C．40D．-60第(3)题已知分别为双曲线的左、右焦点，过向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为点，且（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．第(4)题已知复数在复平面内对应点的坐标为，则（）A．B．C．D．第(5)题函数是定义在上的奇函数，且在区间上单调递增，若关于实数的不等式恒成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．第(6)题已知函数（其中为自然对数的底数），则下列结论正确的是（）A．，使函数恰有1个零点B．，使函数恰有3个零点C．，函数都有零点D．若函数有2个零点，则实数的取值范围为第(7)题已知向量，，若，则（）A．B．C．D．第(8)题已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知是棱长均为的三棱锥，则（）A．直线与所成的角B．直线与平面所成的角为C．点到平面的距离为D．能容纳三棱锥的最小的球的半径为第(2)题已知函数的最小正周期为，且图象关于直线对称，则（）A．函数在区间上单调递增B．函数在区间内恰有一个极值点C ．函数的图象关于点对称D ．直线与函数的图象有唯一公共点第(3)题狄利克雷函数是由著名德国数学家狄利克雷创造的，它是定义在实数上、值域不连续的函数，它在数学的发展过程中有很重大的研究意义，例如对研究微积分就有很重要的作用，其函数表达式为（其中为有理数集，为无理数集），则关于狄利克雷函数说法正确的是（）A．B．它是偶函数C．它是周期函数，但不存在最小正周期D．它的值域为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知为虚数单位，若复数，为的共轭复数，则等于___________．第(2)题函数的图象在处的切线方程为________．第(3)题已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数，其中是自然对数的底数.若，求函数的极值；若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．第(2)题已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，圆与轴正半轴交于点，圆在点处的切线被椭圆截得的弦长为.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆上两点满足直线与在轴上的截距之比为，试判断直线是否过定点，并说明理由.第(3)题已知，.求：(1)，有交点的概率；(2)交点个数的数学期望.第(4)题已知正项数列的前项和为，且，，数列满足，且（I）求数列，的通项公式；（II）令，求数列的前项和．第(5)题已知函数，.(1)若是函数的极小值点，讨论在区间上的零点个数.(2)英国数学家泰勒发现了如下公式：这个公式被编入计算工具，计算足够多的项时就可以确保显示值的精确性.现已知，利用上述知识，试求的值.。

专题十五 复数1.【20xx 高考新课标2，理2】若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】由已知得24(4)4a a i i +-=-，所以240,44a a =-=-，解得0a =，故选B ．【考点定位】复数的运算．【名师点睛】本题考查复数的运算，要利用复数相等列方程求解，属于基础题．2.【20xx 高考四川，理2】设i 是虚数单位，则复数32i i-( ) （A ）-i （B ）-3i （C ）i. （D ）3i【答案】C【解析】32222i i i i i i i i-=--=-+=，选C. 【考点定位】复数的基本运算.【名师点睛】复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可.3.【20xx 高考广东，理2】若复数()32z i i =- ( i 是虚数单位 )，则z =（ ）A ．32i -B ．32i +C ．23i +D ．23i -【答案】D ．【解析】因为()3223z i i i =-=+，所以z =23i -，故选D ．【考点定位】复数的基本运算，共轭复数的概念．【名师点睛】本题主要考查复数的乘法运算，共轭复数的概念和运算求解能力，属于容易题；复数的乘法运算应该是简单易解，但学生容易忘记和混淆共轭复数的概念，z a bi =+的共轭复数为z a bi =-．4.【20xx 高考新课标1，理1】设复数z 满足11z z+-=i ，则|z|=( )（A ）1 （B （C （D ）2【答案】A【解析】由11z i z +=-得，11i z i -+=+=(1)(1)(1)(1)i i i i -+-+-=i ，故|z|=1，故选A. 【考点定位】本题主要考查复数的运算和复数的模等.【名师点睛】本题将方程思想与复数的运算和复数的模结合起来考查，试题设计思路新颖，本题解题思路为利用方程思想和复数的运算法则求出复数z ，再利用复数的模公式求出|z|,本题属于基础题，注意运算的准确性.5.【20xx 高考北京，理1】复数()i 2i -=（ ）A ．12i +B ．12i -C ．12i -+D ．12i --【答案】A考点定位：本题考查复数运算，运用复数的乘法运算方法进行计算，注意21i =-.【名师点睛】本题考查复数的乘法运算，本题属于基础题，数的概念的扩充部分主要知识点有：复数的概念、分类，复数的几何意义、复数的运算，特别是复数的乘法与除法运算，运算时注意21i =-，注意运算的准确性,近几年高考主要考查复数的乘法、除法，求复数的模、复数的虚部、复数在复平面内对应的点的位置等.6.【20xx 高考湖北，理1】 i 为虚数单位，607i 的共轭复数．．．．为（ ） A ．i B ．i - C ．1 D ．1-【答案】A【解析】i i i i -=⋅=⨯31514607,所以607i 的共轭复数．．．．为i ，选A . 【考点定位】共轭复数.【名师点睛】复数中，i 是虚数单位,24142434111()n n n n i i i i i i i n +++=-==-=-=∈Z ；，，，7.【20xx 高考山东，理2】若复数z 满足1z i i=-，其中i 为虚数为单位，则z =（ ） （A ）1i - （B ）1i + （C ）1i -- （D ）1i -+【答案】A 【解析】因为1z i i=-，所以，()11z i i i =-=+ ，所以，1z i =- 故选：A. 【考点定位】复数的概念与运算.【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，采用复数的乘法和共轭复数的概念进行化简求解. 本题属于基础题，注意运算的准确性.8.【20xx 高考安徽，理1】设i 是虚数单位，则复数21i i-在复平面内所对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限【答案】B 【解析】由题意22(1)2211(1)(1)2i i i i i i i i +-+===-+--+，其对应的点坐标为(1,1)-，位于第二象限，故选B.【考点定位】1.复数的运算；2.复数的几何意义.【名师点睛】复数的四则运算问题主要是要熟记各种运算法则，尤其是除法运算，要将复数分母实数化（分母乘以自己的共轭复数），这也历年考查的重点；另外，复数z a bi =+在复平面内一一对应的点为(,)Z a b .9.【20xx 高考重庆，理11】设复数a +bi （a ，b ∈R ），则（a +bi ）（a -bi ）=________.【答案】3【解析】由a +得=，即223a b +=，所以22()()3a bi a bi a b +-=+=.【考点定位】复数的运算.【名师点晴】复数的考查核心是代数形式的四则运算，即使是概念的考查也需要相应的运算支持．本题首先根据复数模的定义得a +，复数相乘可根据平方差公式求得()()a bi a bi +-22()a bi =-22a b =+，也可根据共轭复数的性质得()()a bi a bi +-22a b =+．10.【20xx 高考天津，理9】i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+ 是纯虚数，则实数a 的值为 .【答案】2-【解析】()()()12212i a i a a i -+=++-是纯虚数，所以20a +=，即2a =-.【考点定位】复数相关概念与复数的运算.【名师点睛】本题主要考查复数相关概念与复数的运算.先进行复数的乘法运算，再利用纯虚数的概念可求结果，是容易题.11.【20xx 江苏高考，3】设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______.【解析】22|||34|5||5||z i z z =+=⇒=⇒=【考点定位】复数的模【名师点晴】在处理复数相等的问题时，一般将问题中涉及的两个复数均化成一般形式，利用复数相等的充要条件“实部相等，虚部相等”进行求解.本题涉及复数的模，利用复数模的性质求解就比较简便：2211121222||||||||||||.||z z z z z z z z z z ==⋅=，， 12.【20xx 高考湖南，理1】已知()211i i z -=+（i 为虚数单位），则复数z =（ ） A.1i + B.1i - C.1i -+ D.1i --【答案】D.【考点定位】复数的计算.【名师点睛】本题主要考查了复数的概念与基本运算，属于容易题，意在考查学生对复数代数形式四则运算的掌握情况，基本思路就是复数的除法运算按“分母实数化”原则，结合复数的乘法进行计算，而复数的乘法则是按多项式的乘法法则进行处理.13.【20xx 高考上海，理2】若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z = ．【答案】1142i +【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，则113()1412142a bi a bi i a b z i ++-=+⇒==⇒=+且 【考点定位】复数相等，共轭复数【名师点睛】研究复数问题一般将其设为(,)z a bi a b R =+∈形式，利用复数相等充要条件：实部与实部，虚部与虚部分别对应相等，将复数相等问题转化为实数问题：解对应方程组问题.复数问题实数化转化过程中，需明确概念，如(,)z a bi a b R =+∈的共轭复数为(,)z a bi a b R =-∈，复数加法为实部与实部，虚部与虚部分别对应相加.【20xx 高考上海，理15】设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【答案】B【解析】若1z 、2z 皆是实数，则12z z -一定不是虚数，因此当12z z -是虚数时，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”成立，即必要性成立；当1z 、2z 中至少有一个数是虚数，12z z -不一定是虚数，如12z z i ==，即充分性不成立，选B.【考点定位】复数概念，充要关系【名师点睛】形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．判断概念必须从其定义出发，不可想当然.。

河北高三高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.在古希腊毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28，……这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形(如下图所示)则第n 个三角形数为( )A ．nB ．n(n ＋1)C ．n 2－1D ．n(n －1)2.凸n 边形有f(n)条对角线，则凸n ＋1边形有f(n ＋1)条对角线数为( )A ．f(n)＋n －1B ．f(n)＋nC ．f(n)＋n ＋1D ．f(n)＋n －23.设f 0(x)＝cos x ，f 1(x)＝f 0′(x)，f 2(x)＝f 1′(x)，…，f n ＋1(x)＝f n ′(x)，n ∈N *，则f 2011(x)＝( )A ．－sin xB ．－cos xC ．sin xD ．cos x4.给出下面类比推理命题(其中R 为实数集，C 为复数集)：①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＝0⇒a ＝b”； ②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋bi ＝c ＋di ⇒a ＝c ，b ＝d”类比推出“若a ，b ，c ，d ∈C ，则复数a ＋bi ＝c ＋di ⇒a ＝c ，b ＝d”；③“若a ，b ∈R ，则a －b>0⇒a>b”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b>0⇒a>b”； ④“若a ，b ∈R ，则a·b ＝0⇒a ＝0或b ＝0”．类比推出“若a ，b ∈C ，则a·b ＝0⇒a ＝0或b ＝0”．其中类比结论正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．35.如下图所示，面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为a i ，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为h i ，若＝＝＝＝k ，则＝.类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i ，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为H i ，若＝＝＝＝k ，则＝( )A ．B ．C ．D ．6.已知函数f(x)＝lg ，若，则f(－a)＝( )A ．bB ．－bC ．D ．－7.设f(x)＝ 则不等式f(x)>2的解集为( )A ．(1,2)∪(3，＋∞)B ．(，＋∞)C ．(1,2)∪ (，＋∞)D ．(1,2)8.已知f(x)＝是奇函数，那么实数a 的值等于( )A ．1B ．－1C ．0D ．±19.在等比数列中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列也是等比数列，则S n ＝( )A ．2n ＋1－2B ．3nC ．2nD ．3n －110.已知直线l 、m ，平面α、β，且l ⊥m ，m ∈β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若l ⊥m ，则a ∥β； ③若α⊥β，则l ⊥m ；④若l ∥m ，则α⊥β.其中正确命题的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题1.函数y ＝log a (x ＋3)－1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为_______2.定义a*b 是向量a 和b 的“向量积”，它的长度|a*b|＝|a|·|b|·sin θ，其中θ为向量a 和b 的夹角，若u ＝(2,0)，u －v ＝(1，－)，则|u*(u ＋v)|＝_______3.对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式：22＝1＋3 32＝1＋3＋5 42＝1＋3＋5＋723＝3＋5 33＝7＋9＋11 43＝13＋15＋17＋19根据上述分解规律，则52＝__________________；若m 3(m ∈N *)的分解中最小的数是21，则m 的值为______4.有穷数列{a n }，S n 为其前n 项和，定义T n ＝为数列{a n }的“凯森和”，如果有99项的数列a 1、a 2、a 3、…a 99的“凯森和”为1000，则有100项的数列1、a 1、a 2、a 3、a 4、…a 99的“凯森和”T 100＝_______5.在等比数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n<19，n ∈N *)成立．类比上述性质，相应地，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则等式______________成立6.设P 是△ABC 内一点，△ABC 三边上的高分别为h A 、h B 、h C ，P 到三边的距离依次为l a 、l b 、l c ，则有＋＋＝______；类比到空间，设P 是四面体ABCD 内一点，四顶点到对面的距离分别是h A 、h B 、h C 、h D ，P 到这四个面的距离依次是l a 、l b 、l c 、l d ，则有________三、解答题1.由下列各式：1>，1＋＋>1,1＋＋＋＋＋＋>，1＋＋＋……＋>2，你能得出怎样的结论，并进行证明2.将正△ABC 分割成n 2(n≥2，n ∈N)个全等的小正三角形(图乙，图丙分别给出了n ＝2,3的情形)，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于△ABC 的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时)都分别成等差数列，若顶点A ，B ，C 处的三个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)＝2，求f(3)和f(n)．3.用反证法证明：如果a>b>0，那么>.4.在数列中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N *.(1)证明数列是等比数列；(2)求数列的前n 项和S n ；(3)证明不等式S n ＋1≤4S n ，对任意n ∈N *皆成立河北高三高中数学专题试卷答案及解析一、选择题1.在古希腊毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28，……这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形(如下图所示)则第n 个三角形数为( )A ．nB ．n(n ＋1)C ．n 2－1D ．n(n －1)【答案】B【解析】略2.凸n 边形有f(n)条对角线，则凸n ＋1边形有f(n ＋1)条对角线数为( )A ．f(n)＋n －1B ．f(n)＋nC ．f(n)＋n ＋1D ．f(n)＋n －2【答案】A【解析】凸n 边形变成凸n+1边形首先是增加一条边和一个顶点，原先的一条边就成了对角线了，则增加上的顶点连接n-2条对角线，则n-2+1=n-1即为增加的对角线，所以凸n+1边形有对角线条数f （n+1）为凸n 边形的对角线加上增加的即f （n+1）=f （n ）+n-1．解：由n 边形到n+1边形，增加的对角线是增加的一个顶点与原n-2个顶点连成的n-2条对角线，及原先的一条边成了对角线．故答案为A ．3.设f 0(x)＝cos x ，f 1(x)＝f 0′(x)，f 2(x)＝f 1′(x)，…，f n ＋1(x)＝f n ′(x)，n ∈N *，则f 2011(x)＝( )A ．－sin xB ．－cos xC ．sin xD ．cos x【答案】C【解析】由已知，f 0（x ）=cosx ，f 1（x ）=f 0′（x ）=-sinx ，f 2（x ）=f 1′（x ）=-cosx ，f 3（x ）=f 2′（x ）=sinx ，f 4（x ）=f 3′（x ）=cosx ，发现f n （x ）以4为周期，结果循环出现，利用此规律将n=2011转化为n=3的情况求解．解：∵f 0（x ）=cosx ，∴f 1（x ）=f 0′（x ）=-sinx ，f 2（x ）=f 1′（x ）=-cosx ，f 3（x ）=f 2′（x ）=sinx ，f 4（x ）=f 3′（x ）=cosx…从第五项开始，f n （x ）的解析式重复出现，每4次一循环．∴f 2011（x ）=f 4×502+3（x ）=f 3（x ）=sinx ，故答案为C4.给出下面类比推理命题(其中R 为实数集，C 为复数集)：①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＝0⇒a ＝b”； ②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋bi ＝c ＋di ⇒a ＝c ，b ＝d”类比推出“若a ，b ，c ，d ∈C ，则复数a ＋bi ＝c ＋di ⇒a ＝c ，b ＝d”；③“若a ，b ∈R ，则a －b>0⇒a>b”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b>0⇒a>b”； ④“若a ，b ∈R ，则a·b ＝0⇒a ＝0或b ＝0”．类比推出“若a ，b ∈C ，则a·b ＝0⇒a ＝0或b ＝0”．其中类比结论正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】略5.如下图所示，面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为a i ，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为h i ，若＝＝＝＝k ，则＝.类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i ，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为H i ，若＝＝＝＝k ，则＝( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】略6.已知函数f(x)＝lg ，若，则f(－a)＝( )A ．bB ．－bC ．D ．－【答案】B【解析】略7.设f(x)＝ 则不等式f(x)>2的解集为( )A ．(1,2)∪(3，＋∞)B ．(，＋∞)C ．(1,2)∪ (，＋∞)D ．(1,2)【答案】C【解析】略8.已知f(x)＝是奇函数，那么实数a 的值等于( )A ．1B ．－1C ．0D ．±1【答案】A【解析】略9.在等比数列中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列也是等比数列，则S n ＝( )A ．2n ＋1－2B ．3nC ．2nD ．3n －1【答案】C【解析】略10.已知直线l 、m ，平面α、β，且l ⊥m ，m ∈β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若l ⊥m ，则a ∥β； ③若α⊥β，则l ⊥m ；④若l ∥m ，则α⊥β.其中正确命题的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】略二、填空题1.函数y ＝log a (x ＋3)－1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为_______【答案】8【解析】略2.定义a*b 是向量a 和b 的“向量积”，它的长度|a*b|＝|a|·|b|·sin θ，其中θ为向量a 和b 的夹角，若u ＝(2,0)，u －v ＝(1，－)，则|u*(u ＋v)|＝_______【答案】2【解析】略3.对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式：22＝1＋3 32＝1＋3＋5 42＝1＋3＋5＋723＝3＋5 33＝7＋9＋11 43＝13＋15＋17＋19根据上述分解规律，则52＝__________________；若m 3(m ∈N *)的分解中最小的数是21，则m 的值为______【答案】1＋3＋5＋7＋9 5【解析】略4.有穷数列{a n }，S n 为其前n 项和，定义T n ＝为数列{a n }的“凯森和”，如果有99项的数列a 1、a 2、a 3、…a 99的“凯森和”为1000，则有100项的数列1、a 1、a 2、a 3、a 4、…a 99的“凯森和”T 100＝_______【答案】991【解析】略5.在等比数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n<19，n ∈N *)成立．类比上述性质，相应地，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则等式______________成立【答案】b 1b 2·…·b n ＝b 1b 2·…·b 17－n (n<17，n ∈N ＋)【解析】略6.设P 是△ABC 内一点，△ABC 三边上的高分别为h A 、h B 、h C ，P 到三边的距离依次为l a 、l b 、l c ，则有＋＋＝______；类比到空间，设P 是四面体ABCD 内一点，四顶点到对面的距离分别是h A 、h B 、h C 、h D ，P 到这四个面的距离依次是l a 、l b 、l c 、l d ，则有________【答案】1 ＋＋＋＝1【解析】略三、解答题1.由下列各式：1>，1＋＋>1,1＋＋＋＋＋＋>，1＋＋＋……＋>2，你能得出怎样的结论，并进行证明【答案】提示：可得到如下结论1＋＋＋…＋>，证明略【解析】略2.将正△ABC 分割成n 2(n≥2，n ∈N)个全等的小正三角形(图乙，图丙分别给出了n ＝2,3的情形)，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于△ABC 的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时)都分别成等差数列，若顶点A ，B ，C 处的三个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)＝2，求f(3)和f(n)．【答案】解析：当n ＝3时，如题图所示分别设各顶点的数用小写字母表示，即由条件知a ＋b ＋c ＝1，x 1＋x 2＝a ＋b ，y 1＋y 2＝b ＋c ，z 1＋z 2＝c ＋a.x 1＋x 2＋y 1＋y 2＋z 1＋z 2＝2(a ＋b ＋c)＝2，2g ＝x 1＋y 2＝x 2＋z 1＝y 1＋z 2.6g ＝x 1＋x 2＋y 1＋y 2＋z 1＋z 2＝2(a ＋b ＋c)＝2.即g ＝而f(3)＝a ＋b ＋c ＋x 1＋x 2＋y 1＋y 2＋z 1＋z 2＋g ＝1＋2＋＝.进一步可求得f(4)＝5.由上知f(1)中有三个数，f(2)中有6个数，f(3)中共有10个数相加，f(4)中有15个数相加…，若f(n －1)中有a n －1(n ＞1)个数相加，可得f(n)中有(a n －1＋n ＋1)个数相加，且由f(1)＝1＝，f(2)＝＝＝f(1)＋，f(3)＝＝f(2)＋，f(4)＝5＝f(3)＋，…可得f(n)＝f(n －1)＋，所以f(n)＝f(n －1)＋＝f(n －2)＋＋＝…＝＋＋＋＋f(1)＝＋＋＋＋＋＝(n ＋1)(n ＋2)．【解析】略3.用反证法证明：如果a>b>0，那么>.【答案】证明：(1)假设不大于，则或者<，或者＝.∵a>0，b>0，∴<⇒·<·，·<·⇒a<，<b ⇒a<b ；＝⇒a ＝b.这些都同已知条件a>b>0矛盾，即＞【解析】略4.在数列中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N *.(1)证明数列是等比数列；(2)求数列的前n 项和S n ；(3)证明不等式S n ＋1≤4S n ，对任意n ∈N *皆成立【答案】(1)证明：由题设a n ＋1＝4a n －3n ＋1，得a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n)，n ∈N ＋.又a 1－1＝1，所以数列是首项为1，且公比为4的等比数列．(2)由(1)可知a n －n ＝4n －1，于是数列的通项公式为 a n ＝4n －1＋n.所以数列的前n 项和S n ＝＋.(3)证明：对任意的n ∈N ＋， S n ＋1－4S n＝＋－4＝－(3n 2＋n －4)≤0. 所以不等式S n ＋1≤4S n ，对任意n ∈N ＋皆成立【解析】略。

河北省高考数学模拟试卷（理科）（解析版）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，I为全集，M、P、S是I的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A．（M∩P）∩S B．（M∩P）∪S C．（M∩P）∩C I S D．（M∩P）∪C I S【分析】先根据图中的阴影部分是M∩P的子集，但不属于集合S，属于集合S的补集，然后用关系式表示出来即可．【解答】解：图中的阴影部分是：M∩P的子集，不属于集合S，属于集合S的补集即是C I S的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P）∩∁I S故选：C．【点评】本题主要考查了Venn图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．2．设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】先化简复数，再得出点的坐标，即可得出结论．【解答】解：=i（1+i）=﹣1+i，对应复平面上的点为（﹣1，1），在第二象限，故选：B．【点评】本题考查复数的运算，考查复数的几何意义，考查学生的计算能力，比较基础．3．已知函数f（x）的定义域为（3﹣2a，a+1），且f（x+1）为偶函数，则实数a的值可以是（）A．B．2 C．4 D．6【分析】函数f（x+1）为偶函数，说明其定义域关于“0”对称，函数f（x）的图象是把函数f（x+1）的图象向右平移1个单位得到的，说明f（x）的定义域（3﹣2a，a+1）关于“1”对称，由中点坐标公式列式可求a的值．【解答】解：因为函数f（x+1）为偶函数，则其图象关于y轴对称，而函数f（x）的图象是把函数f（x+1）的图象向右平移1个单位得到的，所以函数f（x）的图象关于直线x=1对称．又函数f（x）的定义域为（3﹣2a，a+1），所以（3﹣2a）+（a+1）=2，解得：a=2．故选B．【点评】本题考查了函数图象的平移，考查了函数奇偶性的性质，函数的图象关于y轴轴对称是函数为偶函数的充要条件，此题是基础题．4．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．πa2B．C． D．5πa2【分析】由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，则其外接球的半径为，球的表面积为，故选B．【点评】本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力．5．如图是某几何体的三视图，正视图是等腰梯形，俯视图中的曲线是两个同心的半圆组成的半圆环，侧视图是直角梯形，则该几何体的体积等于（）A．12πB．16πC．20πD．24π【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个半圆台挖去一个半圆柱的组合体，分别求出半圆台和半圆柱的体积，相减可得答案．【解答】解：根据几何体的三视图，得该几何体是一个半圆台挖去一个半圆柱的组合体，半圆台的下底面为半径等于4，上底面为半径等于1，高为4，半圆柱的底面为半径等于1，高为4，=××π（12+1×4+42）×4﹣×π×12×4=12π．∴该几何体的体积为V几何体故选：A．【点评】本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中根据已知中的视图分析出几何体的形状及棱长是解答的关键．6．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为2，则输入的正整数a的可能取值的集合是（）A．{1，2，3，4，5} B．{1，2，3，4，5，6} C．{2，3，4，5} D．{2，3，4，5，6}【分析】模拟程序的运行过程，结合退出循环的条件，构造关于a的不等式组，解不等式组可得正整数a的可能取值的集合．【解答】解：输入a值，此时i=0，执行循环体后，a=2a+3，i=1，不应该退出；再次执行循环体后，a=2（2a+3）+3=4a+9，i=2，应该退出；故，解得：1＜a≤5，故输入的正整数a的可能取值的集合是{2，3，4，5}，故选：C【点评】本题考查的知识点是程序框图，其中根据已知框图，采用模拟循环的方法，构造关于a 的不等式组，是解答的关键．7．已知点P是抛物线x2=4y上的一个动点，则点P到点M（2，0）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A． B．C．2D．【分析】利用抛物线的定义，将抛物线x2=4y上的点P到该抛物线准线的距离转化为点P到其焦点F的距离，当F、P、M共线时即可满足题意，从而可求得距离之和的最小值．【解答】解：∵抛物线x2=4y的焦点F的坐标为F（0，1），作图如下，∵抛物线x2=4y的准线方程为y=﹣1，设点P到该抛物线准线y=﹣1的距离为d，由抛物线的定义可知，d=|PF|，∴|PM|+d=|PM|+|PF|≥|FM|（当且仅当F、P、M三点共线时（P在F，M中间）时取等号），∴点P到点M（2，0）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为|FM|，∵F（0，1），M（2，0），△FOM为直角三角形，∴|FM|=，故选B．【点评】本题考查抛物线的简单性质，着重考查抛物线的定义的应用，突出转化思想的运用，属于中档题．8．已知数列{a n}，{b n}，满足a1=b1=3，a n+1﹣a n==3，n∈N*，若数列{c n}满足c n=b，则c2013=（）A．92012B．272012 C．92013D．272013【分析】本题可先等差数列{a n}和等比数列{b n}的通项，再利用数列{c n}的通项公式得到所求结论．【解答】解：∵数列{a n}，满足a1=3，a n+1﹣a n=3，n∈N*，=a1+（n﹣1）d=3+3（n﹣1）=3n．∴an}，满足b1=3，=3，n∈N*，∵数列{bn∴．}满足c n=b，∵数列{cn=36039=272013．∴=b6039故选D．【点评】本题先利用等差数列和等比数列的通项公式求出数列的通项，再用通项公式求出新数列中的项，本题思维量不大，属于基础题．9．点（x，y）是如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界）的任意一点，若目标函数z=x+ay取得最小值的最优解有无数个，则的最大值是（）A．B．C．D．【分析】由题设条件，目标函数z=x+ay，取得最小值的最优解有无数个值取得最优解必在边界上而不是在顶点上，故目标函数中系数必为负，最小值应在左上方边界AC上取到，即x+ay=0应与直线AC平行，进而计算可得a值，最后结合目标函数的几何意义求出答案即可【解答】解：由题意，最优解应在线段AC上取到，故x+ay=0应与直线AC平行=，∵kAC∴﹣=1，∴a=﹣1，则=表示点P（﹣1，0）与可行域内的点Q（x，y）连线的斜率，由图得，当Q（x，y）=C（4，2）时，其取得最大值，最大值是=故选：B．【点评】本题考查线性规划最优解的判定，属于该知识的逆用题型，利用最优解的特征，判断出最优解的位置求参数，属于中档题．10．已知⊙O：x2+y2=1，若直线y=x+2上总存在点P，使得过点P的⊙O的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围为（）A．k≥1 B．k＞1 C．k≥2 D．k＞2【分析】由切线的对称性和圆的知识将问题转化为O（0，0）到直线y=x+2的距离小于或等于，再由点到直线的距离公式得到关于k的不等式求解．【解答】解：⊙O：x2+y2=1的圆心为：（0，0），半径为1，∵y=x+2上存在一点P，使得过P的圆O的两条切线互相垂直，∴在直线上存在一点P，使得P到O（0，0）的距离等于，∴只需O（0，0）到直线y=x+2的距离小于或等于，故，解得k≥1，故选：A．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，由题意得到圆心到直线的距离小于或等于是解决问题的关键，属中档题．11．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2 C．D．【分析】设M在双曲线﹣=1的左支上，由题意可得M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得a=b，再由离心率公式即可得到所求值．【解答】解：设M在双曲线﹣=1的左支上，且MA=AB=2a，∠MAB=120°，则M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得，﹣=1，可得a=b，c==a，即有e==．故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用任意角的三角函数的定义求得M的坐标是解题的关键．12．若f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2且f（x1）=x1，则关于x的方程3[（f（x）]2+2af （x）+b=0的不同实根个数为（）A．2 B．3 C．4 D．不确定【分析】由函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，可得f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，必有△=4a2﹣12b＞0．而方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的△1=△＞0，可知此方程有两解且f（x）=x1或x2．再分别讨论利用平移变换即可解出方程f（x）=x1或f（x）=x2解得个数．【解答】解：∵函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，不妨设x1＜x2，∴f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，∴△=4a2﹣12b＞0．解得x=．＜x2，∵x1=，x2=．∴x1而方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的△1=△＞0，或x2．∴此方程有两解且f（x）=x1不妨取0＜x1＜x2，f（x1）＞0．个单位即可得到y=f（x）﹣x1的图象，①把y=f（x）向下平移x1）=x1，可知方程f（x）=x1有两解．∵f（x1个单位即可得到y=f（x）﹣x2的图象，②把y=f（x）向下平移x2）=x1，∴f（x1）﹣x2＜0，可知方程f（x）=x2只有一解．∵f（x1综上①②可知：方程f（x）=x1或f（x）=x2．只有3个实数解．即关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的只有3不同实根．故选：B．【点评】本题综合考查了利用导数研究函数得单调性、极值及方程解得个数、平移变换等基础知识，考查了数形结合的思想方法、推理能力、分类讨论的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案写在答题卡上．）13．若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为56 ．【分析】根据第2项与第7项的系数相等建立等式，求出n的值，根据通项可求满足条件的系数【解答】解：由题意可得，∴n=8展开式的通项=令8﹣2r=﹣2可得r=5此时系数为=56故答案为：56【点评】本题主要考查了二项式系数的性质，以及系数的求解，解题的关键是根据二项式定理写出通项公式，同时考查了计算能力．14．已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π≤φ＜π）的图象如图所示，则φ= ．【分析】根据函数的图象，求出周期，利用周期公式求出ω，当x=π时，y有最小值﹣1，以及﹣π≤φ＜π，求出φ即可．【解答】解：由图象知函数y=sin（ωx+φ）的周期为2（2π﹣）=，∴=，∴ω=．∵当x=π时，y有最小值﹣1，因此×+φ=2kπ﹣（k∈Z）．∵﹣π≤φ＜π，∴φ=．故答案为：【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的应用，考查学生的视图用图能力，注意﹣π≤φ＜π的应用，考查计算能力．15．等差数列{a n}前n项和为S n．已知a m﹣1+a m+1﹣a m2=0，S2m﹣1=38，则m= 10 ．【分析】利用等差数列的性质a n﹣1+a n+1=2a n，我们易求出a m的值，再根据a m为等差数列{a n}的前2m﹣1项的中间项（平均项），我们可以构造一个关于m的方程，解方程即可得到m的值．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，∴a n﹣1+a n+1=2a n，+a m+1﹣a m2=0，∴2a m﹣a m2=0∵am﹣1解得：a m=2，又∵S2m﹣1=（2m﹣1）a m=38，解得m=10故答案为10．【点评】本题考查差数列的性质，关键利用等差数列项的性质：当m+n=p+q时，a m+a n=a p+a q，同时利用了等差数列的前n和公式．16．如图，已知圆M：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4，四边形ABCD为圆M的内接正方形，E、F分别为AB、AD的中点，当正方形ABCD绕圆心M转动时，的最大值是 6 ．【分析】由题意可得=+．由ME⊥MF，可得=0，从而=．求得=6cos＜，＞，从而求得的最大值．【解答】解：由题意可得=，∴==+．∵ME⊥MF，∴=0，∴=．由题意可得，圆M的半径为2，故正方形ABCD的边长为2，故ME=，再由OM=3，可得=3cos＜，＞=6cos＜，＞，即=6cos＜，＞，故的最大值是大为6，故答案为6．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，余弦函数的值域，属于中档题．三、解答题：（本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）17．凸四边形PABQ中，其中A、B为定点，AB=，P、Q为动点，满足AP=PQ=QB=1．（1）写出cosA与cosQ的关系式；（2）设△APB和△PQB的面积分别为S和T，求s2+T2的最大值，以及此时凸四边形PABQ的面积．【分析】（1）在三角形PAB中，利用余弦定理列出关系式表示出PB2，在三角形PQB中，利用余弦定理列出关系式表示出PB2，两者相等变形即可得到结果；（2）利用三角形面积公式分别表示出S与T，代入S2+T2中，利用同角三角函数间的基本关系化简，将第一问确定的关系式代入，利用余弦函数的性质及二次函数的性质求出最大值，以及此时凸四边形PABQ的面积即可．【解答】解：（1）在△PAB中，由余弦定理得：PB2=PA2+AB2﹣2PAABcosA=1+3﹣2cosA=4﹣2cosA，在△PQB中，由余弦定理得：PB2=PQ2+QB2﹣2PQQBcosQ=2﹣2cosQ，∴4﹣2cosA=2﹣2cosQ，即cosQ=cosA﹣1；（2）根据题意得：S=PAABsinA=sinA，T=PQQBsinQ=sinQ，∴S2+T2=sin2A+sin2Q=（1﹣cos2A）+（1﹣cos2Q）=﹣+cosA+=﹣（cosA ﹣）2+，当cosA=时，S2+T2有最大值，此时S四边形PABQ=S+T=．【点评】此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，由已知可证OA1⊥AB，AB⊥平面OA1C，进而可得AB⊥A1C；（Ⅱ）易证OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立坐标系，可得，，的坐标，设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，可解得=（，1，﹣1），可求|cos＜，＞|，即为所求正弦值．【解答】解：（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，因为CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°，所以△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB，又因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C，又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C；（Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立如图所示的坐标系，可得A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），则=（1，0，），=（﹣1，，0），=（0，﹣，），设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，即，可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos＜，＞==，又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为：．【点评】本题考查直线与平面所成的角，涉及直线与平面垂直的性质和平面与平面垂直的判定，属难题．19．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．石景山古城地区2013年2月6日至15日每天的PM2.5监测数据如茎叶图所示．（Ⅰ）小陈在此期间的某天曾经来此地旅游，求当天PM2.5日均监测数据未超标的概率；（Ⅱ）小王在此期间也有两天经过此地，这两天此地PM2.5监测数据均未超标．请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率；（Ⅲ）从所给10天的数据中任意抽取三天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列及期望．【分析】（I）由茎叶图可知：有2+4天PM2.5日均值在75微克/立方米以下，据此利用古典概型的概率计算公式即可得出；（II）由茎叶图可知：空气质量为一级的有2天，空气质量为二级的有4天，只有这6天空气质量不超标．据此可得得出其概率；（III）由茎叶图可知：空气质量为一级的有2天，空气质量为二级的有4天，只有这6天空气质量不超标，而其余4天都超标，利用“超几何分布”即可得出．【解答】解：（Ⅰ）记“当天PM2.5日均监测数据未超标”为事件A，因为有2+4天PM2.5日均值在75微克/立方米以下，故P（A）==．（Ⅱ）记“这两天此地PM2.5监测数据均未超标且空气质量恰好有一天为一级”为事件B，P（B）==．（Ⅲ）ξ的可能值为0，1，2，3．由茎叶图可知：空气质量为一级的有2天，空气质量为二级的有4天，只有这6天空气质量不超标，而其余4天都超标．P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=．ξ的分布列如下表：ξ0 1 2 3P∴Eξ=．【点评】正确理解茎叶图和“空气质量超标”的含义、古典概型的概率计算公式、超几何分布、排列与组合的意义与计算公式是解题的关键．20．已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．【分析】（1）联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论．（2）四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即x P=2x M，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：（1）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），将y=kx+b代入9x2+y2=m2（m＞0），得（k2+9）x2+2kbx+b2﹣m2=0，则判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，则x1+x2=，则x M==，y M=kx M+b=，于是直线OM的斜率k OM==，即k OM k=﹣9，∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．（2）四边形OAPB能为平行四边形．∵直线l过点（，m），∴由判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，即k2m2＞9b2﹣9m2，∵b=m﹣m，∴k2m2＞9（m﹣m）2﹣9m2，即k2＞k2﹣6k，则k＞0，∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k＞0，k≠3，由（1）知OM的方程为y=x，设P的横坐标为x P，由得，即x P=，将点（，m）的坐标代入l的方程得b=，即l的方程为y=kx+，将y=x，代入y=kx+，得kx+=x解得x M=，四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即x P=2x M，于是=2×，解得k1=4﹣或k2=4+，＞0，k i≠3，i=1，2，∵ki∴当l的斜率为4﹣或4+时，四边形OAPB能为平行四边形．【点评】本题主要考查直线和圆锥曲线的相交问题，联立方程组转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．21．设函数f（x）=e x﹣1﹣x﹣ax2．（1）若a=0，求f（x）的单调区间；（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．【分析】（1）先对函数f（x）求导，导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减．（2）根据e x≥1+x可得不等式f′（x）≥x﹣2ax=（1﹣2a）x，从而可知当1﹣2a≥0，即时，f′（x）≥0判断出函数f（x）的单调性，得到答案．【解答】解：（1）a=0时，f（x）=e x﹣1﹣x，f′（x）=e x﹣1．当x ∈（﹣∞，0）时，f'（x ）＜0；当x ∈（0，+∞）时，f'（x ）＞0． 故f （x ）在（﹣∞，0）单调减少，在（0，+∞）单调增加（II ）f ′（x ）=e x﹣1﹣2ax由（I ）知e x≥1+x ，当且仅当x=0时等号成立．故f ′（x ）≥x ﹣2ax=（1﹣2a ）x ，从而当1﹣2a ≥0，即时，f ′（x ）≥0（x ≥0），而f （0）=0，于是当x ≥0时，f （x ）≥0．由e x＞1+x （x ≠0）可得e ﹣x＞1﹣x （x ≠0）． 从而当时，f ′（x ）＜e x﹣1+2a （e ﹣x﹣1）=e ﹣x（e x﹣1）（e x﹣2a ），故当x ∈（0，ln2a ）时，f'（x ）＜0，而f （0）=0，于是当x ∈（0，ln2a ）时，f （x ）＜0． 综合得a 的取值范围为．【点评】本题主要考查利用导数研究函数性质、不等式恒成立问题以及参数取值范围问题，考查分类讨论、转化与划归解题思想及其相应的运算能力．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与△ABC 的底边BC 交于M ，N 两点，与底边上的高AD 交于点G ，且与AB ，AC 分别相切于E ，F 两点． （1）证明：EF ∥BC ；（2）若AG 等于⊙O 的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF 的面积．【分析】（1）通过AD 是∠CAB 的角平分线及圆O 分别与AB 、AC 相切于点E 、F ，利用相似的性质即得结论；（2）通过（1）知AD 是EF 的垂直平分线，连结OE 、OM ，则OE ⊥AE ，利用S △ABC ﹣S △AEF 计算即可．【解答】（1）证明：∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，∴AD是∠CAB的角平分线，又∵圆O分别与AB、AC相切于点E、F，∴AE=AF，∴AD⊥EF，∴EF∥BC；（2）解：由（1）知AE=AF，AD⊥EF，∴AD是EF的垂直平分线，又∵EF为圆O的弦，∴O在AD上，连结OE、OM，则OE⊥AE，由AG等于圆O的半径可得AO=2OE，∴∠OAE=30°，∴△ABC与△AEF都是等边三角形，∵AE=2，∴AO=4，OE=2，∵OM=OE=2，DM=MN=，∴OD=1，∴AD=5，AB=，∴四边形EBCF的面积为×﹣××=．【点评】本题考查空间中线与线之间的位置关系，考查四边形面积的计算，注意解题方法的积累，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016张家口模拟）在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），以Ο为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线C1上的点M（2，）对应的参数φ=．θ=与曲线C2交于点D（，）．（1）求曲线C1，C2的直角坐标方程；（2）A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）是曲线C1上的两点，求+的值．【分析】（1）将曲线C1上的点M（2，）对应的参数φ=．代入曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），即可解得：a，b．即可得出普通方程．设圆C2的半径R，则圆C2的方程为：ρ=2Rcosθ，将点D（，）解得R可得圆C2的方程为：ρ=2cosθ，即可化为直角坐标方程．（2）将A（ρ1，θ），Β（ρ2，θ+）代入C1得：，代入+即可得出．【解答】解：（1）将曲线C1上的点M（2，）对应的参数φ=．代入曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），得：解得：，的方程为：（φ为参数），即：．∴曲线C1设圆C2的半径R，则圆C2的方程为：ρ=2Rcosθ，将点D（，）代入得：=2R×，∴R=1的方程为：ρ=2cosθ即：（x﹣1）2+y2=1．∴圆C2（2）将A（ρ1，θ），Β（ρ2，θ+）代入C1得：，∴+=（）+（）=．【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标、参数方程化为普通方程、圆的标准方程、椭圆的方程及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；（2）求a2+b2+c2的最小值．【分析】（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值；（2）运用柯西不等式，注意等号成立的条件，即可得到最小值．【解答】解：（1）因为f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c≥|（x+a）﹣（x﹣b）|+c=|a+b|+c，当且仅当﹣a≤x≤b时，等号成立，又a＞0，b＞0，所以|a+b|=a+b，所以f（x）的最小值为a+b+c，所以a+b+c=4；（2）由（1）知a+b+c=4，由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（4+9+1）≥（2+3+c1）2=（a+b+c）2=16，即a2+b2+c2≥当且仅当==，即a=，b=，c=时，等号成立．所以a2+b2+c2的最小值为．【点评】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算能力，属于中档题．。

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若z=1+i，则|z2–2z|=A．0B．1C D．22．设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=A．–4B．–2C．2D．43．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A．514-B．512C．514+D．512+4．已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p= A．2B．3C．6D．95．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i ix y i= 得到下面的散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A ．y a bx=+B ．2y a bx =+C ．e x y a b =+D ．ln y a b x=+6．函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为A ．21y x =--B ．21y x =-+C ．23y x =-D ．21y x =+7．设函数()cos π()6f x x ω=+在[]π,π-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π28．25()()x x y xy ++的展开式中x 3y 3的系数为A ．5B ．10C ．15D ．209．已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=A．3B ．23C ．13D ．5910．已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC △的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π11．已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=12．若242log 42log a b a b +=+，则A ．2a b >B ．2a b <C ．2a b >D ．2a b <二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

XX河北高考数学试题真题及答案XX河北高考数学试卷xx河北高考数学，主要考了哪些题型呢?下面是的xx河北高考数学试题真题及答案，欢送大家参考!522原那么”就是收到卷子以后，先整体阅一遍卷子，看看选择题的前5个，填空题的前2个到3个，解答题的前2个，这些题一般都是送分题。

挑会做的题目先做，再做有一定思考时间的题目，如果感觉题目特别困难，就先不要去管，不要为一两道题消耗太多时间，每道题平均时间控制到在1到1分半钟左右最正确。

1.带个量角器进考场，遇见解析几何马上可以知道是多少度，小题求角根本马上解了，要是求别的也可以代换。

2.圆锥曲线中最后题往往联立起来很复杂导致k算不出，这时你可以取特殊值法强行算出k过程就是先联立，后算代尔塔，用下伟达定理，列出题目要求解的表达式。

3.空间几何证明过程中有一步实在想不出把没用过的条件直接写上然后得出想不出的那个结论即可。

如果第一题真心不会做直接写结论成立那么第二题可以直接用。

4.立体几何中，求二面角B-OA-C的新方法。

利用三面角余弦定理。

设二面角B-OA-C是∠OA，∠AOB是α，∠BOC是β，∠AOC是γ，这个定理就是：cos∠OA=(cosβ-cosαcosγ)/sinαsinγ。

知道这个定理，如果考试中遇到立体几何求二面角的题，套一下公式就出来了。

5.数学(理)线性规划题，不用画图直接解方程更快。

6.数学最后一大题第三问往往用第一问的结论。

7.数学(理)选择填空图形题，按比例画图有尺子量，零根底直接秒。

8.数学选择不会时去除最大值与最小值再二选一。

9.超越函数的导数选择题，可以用满足条件常函数代替，不行用一次函数。

1.特值检验法：对于具有一般性的数学问题，我们在解题过程中，可以将问题特殊化，利用问题在某一特殊情况下不真，那么它在一般情况下不真这一原理，到达去伪存真的目的。

例：△ABC的三个顶点在椭圆4x2+5y2=6上，其中A、B两点关于原点O对称，设直线AC的斜率k1，直线BC的斜率k2，那么k1k2的值为A.-5/4B.-4/5C.4/5D.2√5/5解析：因为要求k1k2的值，由题干暗示可知道k1k2的值为定值。

河北高考数学题
河北高考数学题指的是在河北省高考中出现的数学试题。

这些试题旨在测试考生在高中阶段对数学知识的掌握程度和应用能力。

以下是河北高考数学题的示例：
1.选择题：已知函数 f(x) = x^2 + 2x，则 f(-1) 的值为 ( )
A.1
B.2
C.3
D. 4
2.填空题：若直线 y = kx + b 与直线 y = (1/2)x 平行且过点 (1, -1)，则直线
的方程为 ___．
总结：河北高考数学题是用于测试考生数学知识和能力的试题，旨在选拔具有数学潜力和能力的学生进入更高层次的教育机构。

这些试题具有严谨的逻辑和较高的难度，要求考生具备扎实的数学基础和灵活的应用能力。

河北省邢台市高考数学经典解答题解答题含答案有解析1．在锐角ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足32sin 0a b A -=． （1）求角B 的大小； （2）若5a c +=，7b =，求ABC ∆的面积．2．已知：ABC 的顶点()2,4A ，()0,2B -，()2,3C -． （1）求AB 边上的中线CD 所在直线的方程； （2）求ABC 的面积．3．底面半径为3，高为62的圆锥有一个内接的正四棱柱（底面是正方形，侧棱与底面垂直的四棱柱）．（1）设正四棱柱的底面边长为x ，试将棱柱的高h 表示成x 的函数； （2）当x 取何值时，此正四棱柱的表面积最大，并求出最大值．4．某市食品药品监督管理局开展2019年春季校园餐饮安全检查，对本市的8所中学食堂进行了原料采购加工标准和卫生标准的检查和评分，其评分情况如下表所示： 中学编号12345678原料采购加工标准评分x10095938382757066卫生标准评分y87 84 83 82 81 79 77 75（1）已知x 与y 之间具有线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程；（精确到0.1）（2）现从8个被检查的中学食堂中任意抽取两个组成一组，若两个中学食堂的原料采购加工标准和卫生标准的评分均超过80分，则组成“对比标兵食堂”，求该组被评为“对比标兵食堂”的概率.参考公式：1221ˆni i i nii x y nx y bx nx==-⋅=-∑∑，ˆˆa y bx=-； 参考数据：8154112i ii x y==∑，82156168i i x ==∑.5．已知函数2()2sin 32,4f x x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ．（I ）求()f x 的最小正周期； （II ）求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值． 6．已知函数()()2=log 21,0x f x x +> （1）求函数()f x 的反函数()1fx -；（2）解方程：()()123f x f x --=.7．某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在[)100,150，[)150,200，[)200,250，[)250,300，[)300,350，[]350,400（单位：克）中，经统计的频率分布直方图如图所示．（1）估计这组数据的平均数（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）；（2）现按分层抽样从质量为[200，250)，[250，300)的芒果中随机抽取5个，再从这5个中随机抽取2个，求这2个芒果都来自同一个质量区间的概率；（3）某经销商来收购芒果，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，用样本估计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商提出以下两种收购方案： 方案①：所有芒果以9元/千克收购；方案②：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，对质量高于或等于250克的芒果以3元/个收购． 通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多．参考数据：712515175202253027525325337525500⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 8．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos cos cos cos 2ca B Cb A C +=. （1）求角C ； （2）若7,5c a b =+=，求ABC ∆的面积.9．已知非零数列{}n a 满足11a =，112N n n n n a a a a n *++=-∈（）. （1）求证：数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）若关于n 的不等式222121113111log (1)log (1)log (1)nm n n n a a a ++⋅⋅⋅+<-++++++有解，求整数m的最小值； （3）在数列11(1)n n a ⎧⎫+--⎨⎬⎩⎭中，是否存在首项、第r 项、第s 项(16r s <<≤)，使得这三项依次构成等差数列？若存在，求出所有的,r s ；若不存在，请说明理由.10．在平面直角坐标系xOy 中，点O 是坐标原点，已知点()531,0,,,22A B P ⎛⎫⎪⎝⎭为线段AB 上靠近A 点的三等分点．()1求点P 的坐标：()2若点Q 在y 轴上，且直线AB 与直线PQ 垂直，求点Q 的坐标．11．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且(23)cos 2cos 0b c A a B -+=. （1）求cos A 的值；（2）若3,5a b c =+=，求ABC ∆的面积. 12．已知tan 2α=，求 （1）4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+（2）22sin sin cos cos αααα++13．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且222sin sin sin sin sin .B C A B C +=-． （1）求角A 的大小；（2）若4a b c =+=，求ABC ∆的面积. 14．化简： （1）1tan 211tan 21-+；（2）sin347cos148sin 77cos58+. 15．已知ABC 中23ACB π∠=，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ． （1）若,,a b c 依次成等差数列，且公差为2，求c 的值； （2）若ABC 的外接圆面积为π，求ABC 周长的最大值．16．随着高校自主招生活动的持续开展，我市高中生掀起了参与数学兴趣小组的热潮.为调查我市高中生对数学学习的喜好程度，从甲、乙两所高中各自随机抽取了40名学生，记录他们在一周内平均每天学习数学的时间，并将其分成了6个区间：(0,10]、(10,20]、(20,30]、(30,40]、(40,50]、(50,60]，整理得到如下频率分布直方图：（1）试估计甲高中学生一周内平均每天学习数学的时间的中位数m 甲（精确到0.01）；（2）判断从甲、乙两所高中各自随机抽取的40名学生一周内平均每天学习数学的时间的平均值X 甲与X乙及方差2S 甲与2S 乙的大小关系（只需写出结论），并计算其中的X 甲、2S 甲（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.17．在ABC 中，sin 62b c a B π+⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且BC 边上的中线长为13，3AB =(1)求角A 的大小； (2)求ABC 的面积.18．已知函数233()cos cos()3sin 6f x x x x π=-+-，x ∈R . （1）将()f x 化为sin()A x B ωϕ++的形式（0A >，0>ω，||2ϕπ<）并求()f x 的最小正周期T ； （2）设()()g x af x b =+，若()g x 在[,]44ππ-上的值域为[0,3]，求实数a 、b 的值； （3）若()1(1)0n f x m ++-⋅>对任意的[,]44x ππ∈-和*n ∈N 恒成立，求实数m 取值范围. 19．（6分）如图，求阴影部分绕AB 旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．20．（6分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，AB CD ∥，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点.（1）证明:BE CD ⊥；（2）求三棱锥P BDE -的体积．21．（6分）如图所示，经过村庄A 有两条夹角为60的公路,AB AC ，根据规划要在两条公路之间的区域内修建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库,M N （异于村庄A ），要求2PM PN MN ===（单位：千米），记AMN θ∠=.（1）将,AN AM 用含θ的关系式表示出来；（2）如何设计（即,AN AM 为多长时），使得工厂产生的噪声对居民影响最小（即工厂与村庄的距离AP 最大）？22．（8分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，平面PAD ⊥底面 ABCD ，侧棱PA=PD ＝2，底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AD=2AB=2BC=2,O 为AD 中点．（Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）线段AD 上是否存在点，使得它到平面PCD 3AQQD值；若不存在，请说明理由．23．（8分）已知点(3,5)M ，圆()()22124x y -+-=． （1）求过点M 的圆的切线方程；（2）若直线40ax y -+=与圆相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，求a 的值．24．（10分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且222sin sin 3sin sin sin A C A C B +-=. （1）求角B 的大小；（2）若2b =，求a c +的最大值.25．（10分）锐角ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若23cos cos sin 3b Cc B a A +=. （1）求A ；（2）若53ABC S ∆=，21a =，求ABC 的周长.26．（12分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,)A ωϕπ>><，它的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式； （2）当5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域. 27．（12分）已知数列{}n a 满足：14n n a a n ++=． （1）若{}n a 为等差数列，求{}n a 的通项公式； （2）若{}n a 单调递增，求1a 的取值范围； 28．已知直线:330l x y -=（1）若直线1l 过点(0,1)，且1//l l .求直线1l 的方程.（2）若直线2l 过点A(2,0)，且2l l ⊥，求直线2l 的方程及直线2l ,l ,x 轴围成的三角形的面积. 29．已知a 、b 、c 是同一平面内的三个向量， 其中a =（1，2），b =（﹣2，3），c =（﹣2，m ） （1）若a ⊥（b +c ），求|c |；（2）若k a +b 与2a ﹣b 共线，求k 的值．30．某生产厂家生产一种产品的固定成本为4万元，并且每生产1百台产品需增加投入0.8万元.已知销售收入()R x （万元）满足20.610.4(010)(),44(10)x x x R x x ⎧-+≤≤=⎨>⎩（其中x 是该产品的月产量，单位：百台），假定生产的产品都能卖掉，请完成下列问题： （1）将利润表示为月产量x 的函数()y f x =；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？参考答案解答题含答案有解析1． (1)3π；（2）2. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简已知的等式，根据sinA 不为0，可得出sinB 的值，由B 为锐角，利用特殊角的三角函数值，即可求出B 的度数；（2）由b 及cosB 的值，利用余弦定理列出关于a 与c 的关系式，利用完全平方公式变形后，将a+c 的值代入，求出ac 的值，将a+c=5与ac=6联立，并根据a 大于c ，求出a 与c 的值，再由a ，b 及c 的值，利用余弦定理求出cosA 的值，将b ，c 及cosA 的值代入即可求出值． 【详解】 (1)32sin a b A =,2sin sin A B A =，所以sin B =， 因为三角形ABC 为锐角三角形，所以3B π∠=.（2）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得227a c ac +-=，5a c +=，所以6ac =所以1sin 2ABCSac B ==2．（1）2350x y +-=；（2）11. 【解析】 【分析】（1）直接利用已知条件求出AB 边上的中点，即可求直线的方程．（2）利用所求出的直线方程利用分割法求出三角形的面积，或者求出||AB 及直线AB 的方程，可得点C 到直线AB 的距离，求出三角形的面积. 【详解】（1）∵线段AB 的中点D 的坐标为()1,1， 所以，由两点式方程可得， AB 边上的中线CD 所在直线的方程为113121y x --=---， 即2350x y +-=．（2）法1：因为22||(21)(31)13CD =--+-= 点A 到直线CD 的距离是221332d ==+， 所以ABC 的面积是112||213112213S CD d =⨯⋅=⨯=． 法2：因为22||(02)(24)210AB =-+--=， 由两点式得直线AB 的方程为：320x y --=， 点C 到直线AB 的距离是221031d ==+， 所以ABC 的面积是1||112S AB d =⋅=． 【点睛】本题考查直线方程求法与点到直线距离公式应用，属于基础题.3． (1) 622(032)h x x =<，;(2) 正四棱柱的底面边长为2248. 【解析】试题分析：（1）根据比例关系式求出h 关于x 的解析式即可；（2）设该正四棱柱的表面积为y ，得到关系式224y x xh =+，根据二次函数的性质求出y 的最大值即可.试题解析：（1）根据相似性可得：6=，解得：(20h x x =<<； （2）设该正四棱柱的表面积为y ．则有关系式()(2222242426648y x xh x x x x x =+=+=-+=--+，因为0x <<x =48max y =，故当正四棱柱的底面边长为48.点睛：本题考查了数形结合思想，考查二次函数的性质以及求函数的最值问题，是一道中档题；该题中的难点在于必须注意圆锥轴截面图时，三角形内的矩形的宽为正四棱柱的底面对角线的长度，除了二次函数求最值以外还有基本不等式法、转化法：如求53x x -+-的最小值，那么可以看成是数轴上的点到5x =和3x =的距离之和，易知最小值为2、求导法等. 4．（1）0.356.1y x =+；（2）514【解析】 【分析】（1）由题意计算x 、y ，求出回归系数，写出线性回归方程； （2）用列举法写出基本事件数，计算所求的概率值． 【详解】（1）由题意得：83x =，81y =，8182221854112883810.3561688838ˆi i i i i x y xy b x x ==--⨯⨯==≈-⨯-∑∑， 81ˆˆ0.38356.1ay bx =-=-⨯=. 故所求的线性回归方程为：0.3561ˆ.yx =+. （2）从8个中学食堂中任选两个，共有共28种结果：()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()1,6，()1,7，()1,8，()2,3，()2,4，()2,5，()2,6，()2,7，()2,8，()3,4，()3,5，()3,6，()3,7，()3,8，()4,5，()4,6，()4,7，()4,8，()5,6，()5,7，()5,8，()6,7，()6,8，()7,8.其中原料采购加工标准的评分和卫生标准的评分均超过80分的有10种结果：()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()2,3，()2,4，()2,5，()3,4，()3,5，()4,5，所以该组被评为“对比标兵食堂”的概率为1052814=. 【点睛】本题考查了线性回归方程的求解，考查了利用列举法求古典概型的概率问题，是基础题．5．（I ）π；（II ）3，1【解析】 【分析】（I ）利用降次公式和辅助角公式化简()f x 解析式，由此求得()f x 的最小正周期.（II ）根据函数()f x 的解析式，以及x 的取值范围，结合三角函数值域的求法，求得()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值. 【详解】（I ）2()2sin 21cos 2242f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin2212sin 213x x x π⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭()f x 的最小正周期T π=．（Ⅱ）20,,2,,sin 223333x x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫∈∴-∈-∴-∈⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦()max 3f x =，min ()1f x =【点睛】本小题主要考查降次公式和辅助角公式，考查三角函数在闭区间上的最值的求法，属于中档题. 6．（1）()()()12=log 211x f x x -->；（2）2{log 3}【解析】 【分析】（1）反解x ，然后交换,x y 的位置，写出原函数的值域即可得到结果； （2）代入原函数与反函数的解析式，解方程即可得到答案. 【详解】（1）由2log (21)(0)x y x =+>得212x y +=，得2log (21)yx =-，因为0x >，所以1y >，所以12()log (21)(1)xf x x -=->.（2）由()()123f x f x --=得222log (21)log (21)3x x +--=(1)x >，所以23(21)221x x+=-，即2(2)6290x x -⨯+=，解得23x =，所以2log 3x = 1>，所以原方程的解集为2{log 3}. 【点睛】本题考查了求反函数的解析式，考查了指数式与对数式的互化，属于中档题. 7．（1）255；（2）25；（3）选择方案②获利多 【解析】 【分析】1）由频率分布直方图能求出这组数据的平均数．（2）利用分层抽样从这两个范围内抽取5个芒果，则质量在[200，250）内的芒果有2个，记为a 1，a 2，质量在[250，300）内的芒果有3个，记为b 1，b 2，b 3，从抽取的5个芒果中抽取2个，利用列举法能求出这2个芒果都来自同一个质量区间的概率．（3）方案①收入11000091000xy =⨯⨯=22950元，方案②：低于250克的芒果的收入为8400元，不低于250克的芒果的收入为17400元，由此能求出选择方案②获利多． 【详解】（1）由频率分布直方图知，各区间频率为0.07，0.15，0.20，0.30，0.25，0.03 这组数据的平均数007125015175020225030275025325003375255x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．．（2）利用分层抽样从这两个范围内抽取5个芒果，则质量在[200，250)内的芒果有2个，记为1a ，2a ，质量在[250，300)内的芒果有3个，记为1b ，2b ，3b ；从抽取的5个芒果中抽取2个共有10种不同情况：()12,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()13,a b ，()21,a b ，()22,a b ，()23,a b ，()12,b b ，()13,b b ，()23,b b ．记事件A 为“这2个芒果都来自同一个质量区间”，则A 有4种不同组合：()12,a a ，()12,b b ，()13,b b ，()23,b b从而()42105P A ==，故这2个芒果都来自同一个质量区间的概率为25. （3）方案①收入：12551000091000092295010001000x y =⨯⨯=⨯⨯=（元）； 方案②：低于250克的芒果收入为()0.070.150.21000028400++⨯⨯=（元）； 不低于250克的芒果收入为()0.250.30.0310000317400++⨯⨯=（元）； 故方案②的收入为284001740025800y =+=（元）． 由于2295025800<，所以选择方案②获利多． 【点睛】本题考查平均数、概率的求法，考查频率分布直方图、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 8． (1)3C π= ；(2)【解析】 【分析】（1）首先利用正弦定理的边角互化，可将等式化简为()1sin cos sin 2A B C C +=，再利用A B C π++=，可知()sin sin A B C +=，最后化简求值； （2）利用余弦定理可求得ab ，代入求面积. 【详解】（1）由已知以及余弦定理得：1sin cos cos sin cos cos sin 2A B C B A C C += 所以1sin()cos sin 2A B C C +=sin()sin 0A B C +=≠,1cos 2C ∴=(0,),3C C ππ∈∴=（2）由题知2275a b ab a b ⎧+-=⎨+=⎩，6ab ∴=1sin 22ABC S ab C ∆∴==【点睛】本题第一问考查了正弦定理，第二问考查了余弦定理和面积公式，当一个式子有边也有角时，一般可通过正弦定理边角互化转化为三角函数恒等变形问题，而对于余弦定理与三角形面积的关系时，需重视()2222a b a b ab +=++的变形使用.9．（1）证明见解析；（2）4；（3）存在，4,3s r ==或6,5s r ==.【解析】 【分析】 （1）由条件可得1121n n a a +=+，即111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再由等比数列的定义即可得证； （2）由等比数列的通项公式求得，112n na +=，再由数列的单调性的判断，可得最小值，解不等式即可得到所求最小值；（3）假设存在首项、第r 项、第s 项(16r s <<≤)，使得这三项依次构成等差数列，由等差数列的中项的性质和恒等式的性质，可得s ，r 的方程，解方程可得所求值. 【详解】解：（1）证明：由112n n n n a a a a ++=-，得1121n n a a +=+，即111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为2，公比为2的等比数列； （2）由（1）可得，112n na +=，则221log 1log 2nn n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭=+ 故111312m n n n n++⋯+<-+++， 设111()12f n n n n n=++⋯++++， 则1111111(1)()23212212f n f n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫+-=++⋯++-++⋯+ ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭11111021*******n n n n n =+-=->+++++， 所以()f n 单调递增，则min 1()(1)2f n f ==，于是132m <-，即 72m >， 故整数m 的最小值为4； （3）由上面得，121n n a =-， 设11(1)2(1)n n n n nb a =+--=--， 要使得1,,r s b b b 成等差数列，即12s r b b b +=， 即132(1)22(1)ssr r ++--=--，得122(1)2()31sr s r +=-----，1,230(1)(1)s r s r ≥+∴----≥， 1(1)1(1)1s r s r =+⎧⎪∴-=⎨⎪-=-⎩， 故s 为偶数，r 为奇数，36,4,3s s r ≤<∴==或6,5s r ==.【点睛】本题考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用函数的单调性求得最值，考查存在性问题的解法，注意运用恒等式的性质，是一道难度较大的题目. 10．（1）31.22P ⎛⎫⎪⎝⎭（2）()0,2Q 【解析】 【分析】（1）由题意利用线段的定比分点坐标公式，两个向量坐标形式的运算法则，求出点P 的坐标． （2）由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算法则，求出点Q 的坐标． 【详解】()1设(),P a b ，因为()531,0,,22A B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()1,AP a b =-，53,22PB a b ⎛⎫=--⎪⎝⎭ 又12AP PB =，所以()5212322a a b b⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得31,22a b ==，从而31.22P ⎛⎫⎪⎝⎭．()2设()0,Q c ，所以3331,,,2222AB PQ c ⎛⎫⎛⎫==-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由已知直线AB 与直线PQ 垂直，所以AB PQ ⊥则333102222c ⎛⎫⎛⎫⨯-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2c =，所以()0,2Q ． 【点睛】本题主要考查了线段的定比分点坐标公式，两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题，着重考查了推理与运算能力． 11．（1）23；（2. 【解析】 【分析】（1）首先利用正弦定理边化角，再利用sin()sin 0A B C +=≠即可得到答案； （2）利用余弦定理和面积公式即可得到答案. 【详解】（1）(23)cos 2cos 0b c A a B -+=，所以2sin cos 3sin cos 2sin cos 0B A C A A B -+=， 所以2(sin cos sin cos )3sin cos A B B A C A +=，即2sin()3sin cos A B C A += 因为A B C π++=，所以sin()sin 0A B C +=≠，所以3cos 2A =，即2cos 3A =.（2）因为2cos 3A =，所以sin A =. 由余弦定理可得2222102cos ()3a b c bc A b c bc =+-=+-， 因为3,5a b c =+=，所以2210353bc =-，解得245bc =.故ABC ∆的面积为1124sin 225bc A =⨯=【点睛】本题主要考查解三角形的综合应用，意在考查学生的基础知识，转化能力及计算能力，难度不大. 12．（1）611（2）75【解析】 【分析】利用同角三角函数基本关系式化弦为切，即可求解（1）（2）的值，得到答案． 【详解】（1）由题意，知tan 2α=，则4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+4tan 2422653tan 53211αα-⨯-===++⨯；（2）由22sin sin cos cos αααα++2222sin sin cos cos sin cos αααααα++=+ ＝22tan tan 1tan 1ααα+++＝75． 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值，以及同角三角函数基本关系式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．13．（1）A=23π；（2【解析】 【分析】（1）由正弦定理将角关系转化为变关系，再利用余弦定理得到答案. （2）利用余弦定理得到4bc =，代入面积公式得到答案. 【详解】解：（1）因为222sin sin sin sin sin .B C A B C +=-所以由正弦定理可得222.b c a bc +=-整理可得222.b c a bc +-=-左右同除以2bc 得到1cos 2A =-,即A=23π(2) 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 得()22212b c bc b c bc =++=+-，故4bc =，所以三角形的面积1sin 2S bc A ==【点睛】本题考查了是正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力.14．（1）tan 24︒（2）2【解析】 【分析】（1）中可将“1”转化成tan 45，即可求解； （2）结合诱导公式化简，再结合和角公式化简 【详解】 （1）()1tan 21tan 45tan 21tan 4521tan 241tan 211tan 45tan 21--==-︒=︒++（2）()()sin347cos148sin 77cos58sin 347360cos 18032cos13sin32+=--+()()sin 13cos3213323213sin 45cos13sin32sin cos sin cos =-︒-︒+︒︒︒︒=︒=︒=︒+ 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，合理运用公式化简，熟悉基本的和差角公式和诱导公式是解题关键，属于中档题15．（1）7c =；（2）2. 【解析】 【分析】（1）由,,a b c 成等差数列，且公差为2，可得2b a c b -=-=，利用余弦定理可构造关于c 的方程，解方程求得结果；（2）设B θ=，利用外接圆面积为π，求得外接圆的半径R ．根据正弦定理，利用θ表示出三边，将周长表示为关于θ的函数()f θ，利用三角函数的值域求解方法求得最大值.【详解】（1）,,a b c 依次成等差数列，且公差为2 2b a c b ∴-=-=2b c ∴=-，4a c =- 23ACB π∠=，由余弦定理得： ()()()()2222224221cos 322242c c c a b c ab c c π-+--+-===---整理得：29140c c -+=，解得：7c =或2c = 又40a c =->，则4c >7c ∴=（2）设B θ=，外接圆的半径为R ，则2R ππ=，解得：1R = 由正弦定理可得：22sin sin sin a b cR A B C==== 22sin sinsin 33ba cππθθ∴===⎛⎫- ⎪⎝⎭可得：2sin b θ=，2sin 3a θπ⎛⎫=-⎪⎝⎭，c =ABC ∆∴的周长()2sin 2sin 3f a b c πθθθ⎛⎫=++=+-+ ⎪⎝⎭2sin 2sincos 2cossin sin 2sin 333πππθθθθθθ⎛⎫=+-+=++=++ ⎪⎝⎭又πθ0,3 2333πππθ∴<+< ∴当32ππθ+=，即：6πθ=时，()fθ取得最大值2+【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形、三角形周长最值的求解.求解周长的最值的关键是能够将周长构造为关于角的函数，从而利用三角函数的知识来进行求解.考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 16．（1）26.67；（2）X 甲X <乙，2S 甲2S >乙，X 甲=27.5，2S 甲=178.75【解析】 【分析】（1）根据每组小矩形的面积确定中位数所在区间，即可求解； （2）根据直方图特征即可判定X 甲X <乙，2S 甲2S >乙，根据平均数和方差的公式分别计算求值.【详解】（1）由甲高中频率分布直方图可得：第一组频率0.1，第二组频率0.2，第三组频率0.3，所以中位数在第三组，m 甲0.50.10.2201026.670.3--=+⨯≈；（2）根据两个频率分布直方图可得：X 甲X <乙，2S 甲2S >乙X 甲=50.1150.2250.3350.2450.15550.0527.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=2S 甲=()()()()()()()2222221527.541527.582527.5123527.584527.565527.52178.7540⨯-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=【点睛】此题考查频率分布直方图，根据两组直方图特征判断中位数和方差的大小关系，求中位数，平均数和方差，关键在于熟练掌握相关数据的求法，准确计算得解.17．（Ⅰ）3A π=；（Ⅱ. 【解析】 【分析】(1)本题可根据三角函数相关公式将sin 62b c a B π+⎛⎫+= ⎪⎝⎭化简为1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，然后根据()0,A π∈即可求出角A 的大小；(2)本题首先可设BC 的中点为D ，然后根据向量的平行四边形法则得到()224AB AC AD +=，再然后通过化简计算即可求得1b =，最后通过三角形面积公式即可得出结果． 【详解】(1)由正弦定理边角互换可得sin sin sin sin 62B C A B π+⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以1sin sin sin cos 22B C A B B ⎫++=⎪⎪⎝⎭. 因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以31sin sin cos cos sin sin sin cos 22B A B A BAB B ，sin sin cos sin sin cos cos sin A B A B B A B A B ，sin sin cos sin A B B A B ，整理得)sin cos 10B A A --=.因为()0,B π∈，所以sin 0B ≠，cos 10A A ，cos 2sin 16A A A π⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，所以1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭.因为()0,A π∈，所以66A ππ-=，即3A π=．(2)设BC 的中点为D ，根据向量的平行四边形法则可知2AB AC AD += 所以()224AB ACAD +=，即2222cos 4AB AC AB AC A AD ++=，因为3AB c ==，3A π=，所以223313b b ++=，解得1b =（负值舍去）.所以1sin 2ABCSbc A ==【点睛】本题考查三角恒等变换公式及解三角形相关公式的应用，考查了向量的平行四边形法则以及向量的运算，考查了化归与转化思想，体现了综合性，是难题． 18．（1）1()sin(2)23f x x π=-，T π=；（2）4a =，2b =，或4a =-，1b =；（3）11(,)22-.【解析】 【分析】(1)由三角函数的恒等变换公式和正弦函数的周期的公式，即可求解；(2)由正弦函数的图象与性质，讨论a 的范围，得到,a b 的方程组，即可求得,a b 的值； （3）对n 讨论奇数和偶数，由参数分离和函数的最值，即可求得m 的范围. 【详解】(1)由题意，函数2()cos cos()64f x x x x π=-+-1cos sin )cos 2)2x x x x =+-11sin 2)cos 2sin(2)4423x x x π=-=- 所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==. （2）由（1）知()1sin(2)23f x x π=-， 当[,]44x ππ∈-时，则52[,]366x πππ-∈-，所以111sin(2)2234x π-≤-≤， 即()1124f x -≤≤，令()t f x =，则11[,]24t ∈-，函数()()g x af x b =+，即()g x at b =+，11[,]24t ∈-，当0a >时，()g x 在11[,]24t ∈-为单调递增函数，可得1()02g -=且1()34g =，即102134a b a b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得4,2a b ==；当0a >时，()g x 在11[,]24t ∈-为单调递减函数，可得1()32g -=且1()04g =，即132104a b a b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得4,1a b =-=；综上可得4a =，2b =或4a =-，1b =； （3）由（2）可知，当[,]44x ππ∈-时，()1124f x -≤≤， 当n 为奇数时，()1(1)0n f x m ++-⋅>，即为()10f x m +->，即()1m f x <+恒成立，又由min 11[()1]122f x +=-+=，即12m <；当n 为偶数时，()1(1)0n f x m ++-⋅>，即为()10f x m ++>，即()1m f x >--恒成立，又由max 11[()1]122f x --=-=-，即12m >-；综上可得，实数m 满足1122m -<<，即实数m 取值范围11(,)22-.【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解中熟练化简函数的解析式，合理应用三角函数的图象与性质，以及利用分类讨论和分离参数求解是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，分离参数，以及推理与运算能力，属于中档试题. 19．68S π=表，1403V π= 【解析】 【分析】由图形知旋转后的几何体是一个圆台,从上面挖去一个半球后剩余部分,根据图形中的数据可求出其表面积和体积. 【详解】由题意知,所求旋转体的表面积由三部分组成:圆台下底面、侧面和一个半球面， 而半球面的表面积1S 214282ππ=⨯⨯= ， 圆台的底面积22525S ππ=⨯=，圆台的侧面积()325535S ππ=+⨯=，所以所求几何体的表面积1238253568S S S S ππππ=++=++=；圆台的体积()()22221122554523V πππππ⎡⎤=⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=⎢⎥⎣⎦，半球的体积3241162323V ππ=⨯⨯=， 所以,旋转体的体积为12161405233V V V πππ=-=-=， 故得解. 【点睛】本题考查组合体的表面积、体积,还考查了空间想象能力,能想象出旋转后的旋转体的构成是本题的关键，属于中档题.20．（1）见解析；（2）23【解析】 【分析】（1）以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出BE ，DC 的方向向量，根据BE •DC ＝0，可得BE ⊥DC ；（2）由点E 为棱PC 的中点，且PA ⊥底面ABCD ，利用等体积法得P BDE V -． 【详解】（1）∵PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， ∵2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点．∴B （1，0，0），C （2，2，0），D （0，2，0），P （0，0，2），E （1，1，1） ∴BE ＝（0，1，1），DC ＝（2，0，0）,∵BE •DC ＝0，可得BE ⊥DC ；（2）由点E 为棱PC 的中点，且PA ⊥底面ABCD ，利用等体积法得11122263P BDE B PDE B PDC P BDC BDC V V V V S PA ----∆====⋅=.【点睛】本题考查了空间线面垂直的判定，利用了向量法，也考查了等体积法求体积，属于中档题．21．（1）43sin θ=AN ，()43sin 120θ︒=-AM ；（2）2==AN AM . 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，得到()sin 60sin sin 120θθ︒︒==-MN AN AM ，进而可求出结果；（2）由余弦定理，得到2222cos =+-⋅⋅∠AP AM MP AM MP AMP ，结合题中数据，得到()22016sin 215033θ︒=-+AP ， 2AP 取最大值时，噪声对居民影响最小，即可得出结果. 【详解】（1）因为AMN θ∠=，在AMN ∆中，由正弦定理可得：()sin 60sin sin 120θθ︒︒==-MN AN AM，所以43sin θ=AN ，()43sin 120θ︒=-AM ； （2）由题意60θ︒∠=+AMP ，由余弦定理可得： ()()()2222161632cos sin 1204sin 120cos 603θθθ︒︒=+-⋅⋅∠=-+--+AP AM MP AM MP AMP ()()()()()216163883sin 604sin 60cos 601cos 21204sin 212033θθθθθ︒︒︒︒⎡⎤=++-++=-++-+⎣⎦()()()82020163sin 2120cos 2120sin 21503333θθθ︒︒︒⎡⎤=-++++=-+⎣⎦， 又由（1）可得0120θ︒︒<<，所以()2150150,390θ︒︒︒+∈，当且仅当2150270θ︒︒+=，即60θ︒=时，2AP 取得最大值，工厂产生的噪声对居民影响最小，此时2==AN AM .【点睛】本题主要考查正弦定理与余弦定理的应用，熟记正弦定理与余弦定理即可，属于常考题型. 22．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）13． 【解析】试题分析：（Ⅰ）只需证明PO AD ⊥，又由面面垂直的性质定理知PO ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）连接AC 、BO ，假设存在点Q ，使得它到平面PCD 的距离为，设QD x =，由P DQC Q PCD V V --=，求得x 的值即可．试题解析：（Ⅰ）证明：在PAD ∆中PA PD =，O 为AD 中点，所以PO AD ⊥． 又侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ， 所以PO ⊥平面ABCD ． （Ⅱ）连接AC 、BO假设存在点Q ，使得它到平面PCD 的距离为．设QD x =，则12DQC S x ∆=因为//BC AD ，O 为AD 的中点，2AD BC = 所以//BC OD ，且BC OD = 所以CD OB =因为AB AD ⊥，且1AB AO == 所以222CD OB AB AO ==+在Rt POC ∆中，2PC =所以2PC CD DP ===所以233(2)42PCD S ∆=⨯=由P DQC Q PCD V V --=，即111331323x ⋅⋅= 解得32x =所以存在点Q 满足题意，此时13AQ QD =． 考点：1．平面与平面垂直的性质；2．几何体的体积． 23．（1）3x =或512450x y -+=．（2）34a =- 【解析】 【分析】(1)分切线的斜率不存在与存在两种情况分析.当斜率存在时设方程为5(3)y k x -=-,再根据圆心到直线的距离等于半径求解k 即可.(2)利用垂径定理根据圆心到直线的距离列出等式求解即可. 【详解】解：（1）由题意知圆心的坐标为()1,2,半径2r,当过点M 的直线的斜率不存在时,方程为3x =．由圆心()1,2到直线3x =的距离312r -==知,此时,直线与圆相切． 当过点M 的直线的斜率存在时,设方程为5(3)y k x -=-, 即530kx y k -+-=2=,解得512k =,∴方程为512450x y -+=． 故过点M 的圆的切线方程为3x =或512450x y -+=．（2）∵圆心到直线40axy +﹣＝=∴224+=,解得34a =-．【点睛】本题主要考查了直线与圆相切与相交时的求解.注意直线过定点时分析斜率不存在与存在两种情况.直线与圆相切用圆心到直线的距离等于半径列式,直线与圆相交用垂径定理列式.属于中档题. 24． (1) 30B =︒．(2) 【解析】 【分析】（1）先利用正弦定理角化边，然后根据余弦定理求角；（2）利用余弦定理以及基本不等式求解最值，注意取等号的条件. 【详解】解：（1）由正弦定理得222a c b +=， 由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，∴cos 2B =．又∵0180B ︒<<︒，∴30B =︒． （2）由余弦定理得222cos 2a c b B ac +-=，即()22422a c ac ac+--=，化简得())242a c ac +-=，())()22424a c a c ++-≤⨯，即()(2162a c +≤+， 当且仅当a c =时，取等号．∴()max a c += 【点睛】在三角形中，已知一角及其对边，求解周长或者面积的最值的方法：未给定三角形形状时，直接利用余弦定理和基本不等式求解最值；给定三角形形状时，先求解角的范围，然后根据正弦定理进行转化求解.25．（1）3A π=；（2）9+【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边角互化思想，结合两角和的正弦公式可计算出sin A 的值，结合A 为锐角，可得出角A 的值；（2）利用三角形的面积公式可求出20bc =，利用余弦定理得出9b c +=，由此可得出ABC ∆的周长. 【详解】（1）依据题设条件的特点，由正弦定理，得2sin cos cos sin B C B C A +=，有()2sin B C A +=，从而()2sin sin B C A A +==，解得sin 2A =，A 为锐角，因此，3A π=；（2）1sin 2ABCSbc A ==，故20bc =， 由余弦定理2222cos 21a b c bc A =+-=，即()222212b c bc b c bc bc =+-=+--，()22132132081b c bc ∴+=+=+⨯=，9b c ∴+=，故ABC ∆的周长为9a b c ++= 【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查余弦定理和三角形面积公式解三角形，要熟悉正弦定理和余弦定理解三角形所适用的基本类型，同时在解题时充分利用边角互化思想，可以简化计算，考查运算求解能力，属于中等题.26． (1) ()2sin(2)6f x x π=-;(2) 2⎡⎤⎣⎦. 【解析】 试题分析：（1）依题意，2,,A T π==则2ω=，将点,23π⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入函数的解析式可得()26k k Z πϕπ=-∈，故=6πϕ-，函数解析式为()226f x sin x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.（2）由题意可得22363x πππ-≤-≤， 结合三角函数的性质可得函数()f x 的值域为2⎡⎤⎣⎦. 试题解析：（1）依题意，22,4,2312A T ππππωω⎛⎫==-=== ⎪⎝⎭， 故()()22f x sin x ϕ=+.将点,23π⎛⎫ ⎪⎝⎭的坐标代入函数的解析式可得213sin πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭， 则()26k k Z πϕπ=-∈，πϕ<又，故=6πϕ-，故函数解析式为()226f x sin x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. （2）当5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22363x πππ-≤-≤ ，则216sin x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，2226sin x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的值域为2⎡⎤⎣⎦.点睛：求函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)在区间[a ，b]上值域的一般步骤：第一步：三角函数式的化简，一般化成形如y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k 的形式或y ＝Acos(ωx ＋φ)＋k 的形式． 第二步：由x 的取值范围确定ωx ＋φ的取值范围，再确定sin(ωx ＋φ)(或cos(ωx ＋φ))的取值范围． 第三步：求出所求函数的值域(或最值)． 27．（1）21n a n =- （2）()10,2a ∈【解析】 【分析】（1）设出{}n a 的通项公式，根据14n n a a n ++=计算出对应的首项和公差，即可求解出通项公式； （2）根据条件得到24n na a +-=，得到{}n a 的奇数项成等差数列，{}n a 的偶数项也成等差数列，根据{}n a 单调递增列出关于1a 的不等式，求解出范围即可. 【详解】（1）设()11n a a n d +-=，所以()112214n n a a a n d n ++=+-=，所以12024a d d -=⎧⎨=⎩，所以112a d =⎧⎨=⎩，所以21n a n =-；（2）因为14n n a a n ++=，所以2144n n a a n +++=+，所以24n n a a +-=，又因为124a a +=，所以214a a =-，当n 为奇数时，11114222n n a a n a +⎛⎫=+-⋅=-+⎪⎝⎭， 当n 为偶数时，221142422n n a a n a n a ⎛⎫=+-⋅=-+=-⎪⎝⎭， 因为{}n a 单调递增，所以21221k k k a a a -+<<，所以1114a a a -<-<，所以()10,2a ∈.【点睛】本题考查等差数列的基本量求解以及根据数列的单调性求解参数范围，难度一般.(1)已知数列的类型和数列的递推公式求解数列通项公式时，可采用设出数列通项公式的形式，然后根据递推关系求解出数列通项公式中的基本量；(2)数列的单调性可通过1n a +与n a 的大小关系来判断.28． (1) 330y -+=； (2) +0y =；2【解析】 【分析】（1）根据已知求得1l 的斜率，由点斜式求出直线1l 的方程.（2）根据已知求得2l 的斜率，由点斜式写出直线2l 的方程，联立12,l l 的方程，求得两条直线交点的坐标，再由三角形面积公式求得三角形面积. 【详解】解：（1）∵1l ∥l ，∴直线1l 又直线1l 过点()0,1，∴直线1l 的方程为13y x =+330y -+=（2）∵2l l ⊥，∴直线2l 的斜率是又直线2l 过点(2,0)A ，∴直线2l 的方程为)2y x =-+0y =。

河北省保定市定州第二中学2019-2020学年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 集合P={3，4，5}，Q={6，7}，定义，则的子集个数为A．7 B．12 C．32 D．64参考答案：D略2. 将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，则所得的图象的解析式为（）A．B．C．D．参考答案：B略3. 已知，则（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】由题意利用两角差的正余弦公式展开求得tanα的值，再利用二倍角公式求得的值．【详解】由题，则故故选：A【点睛】本题主要两角差的正余弦公式，二倍角公式的应用，同角三角函数的基本关系，属于基础题．4. 函数的单调区间为（）....参考答案：B略5. 设，则等于（）（A）（B）（C）（D）参考答案：C6. 已知集合，，则（）A．B．C．D．参考答案：A故选A.7. 函数的零点所在的大致区间是A．(0，1 ) B．(1 ，2) C．(2，e) D．(3，4)参考答案：B8. 已知向量，且，若变量满足约束条件，则的最大值为A.1B.2C.3D.4参考答案：C因为，所以，即，得，即，做出可行域，作直线，平移直线，由图象可知当直线经过点F时，直线的截距最大，此时最大。

由得，即,代入得，所以的最大值为3，选C.9. 是“实系数一元二次方程有虚根”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：A10. 把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）A．y=sin(2x﹣)，x∈R B．y=sin(+)，x∈RC．y=sin(2x+)，x∈R D．y=sin(2x+)，x∈R参考答案：C【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】先根据左加右减的原则进行平移，再根据横坐标缩短到原来的倍时w变为原来的2倍进行变换，即可得到答案．【解答】解：由y=sinx的图象向左平行移动个单位得到y=sin（x+），再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍得到y=sin（2x+）的图象．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知一个三棱锥的三视图如右下图所示，其中俯视图是顶角为的等腰三角形，则该三棱锥的体积为．略12. 若曲线y=ax2在曲线y= （x＞1）的上方，则a的取值范围为．参考答案：[1，+∞）【分析】由曲线y=ax2在曲线y=（x＞1）的上方得到a＞，构造函数f （x）=，x＞1，利用导数求出函数最大值即可．【解答】解：∵曲线y=ax2在曲线y=（x＞1）的上方∴ax2﹣＞0，在（1，+∞）恒成立，∴a＞，设f（x）=，x＞1，∴f′（x）=＜0在（1，+∞）恒成立，∴f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴f（x）＜f（1）=1，∴a≥1故答案为：[1，+∞）【点评】本题考查了函数恒成立的问题，以及导数的应用，考查了学生的计算能力和转化能力，属于中档题13. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣a+2）2=1，点A（0，2），若圆C上存在点M，满足MA2+MO2=10，则实数a的取值范围是．0≤a≤3考点：点与圆的位置关系；两点间的距离公式．专题：计算题；直线与圆．分析：设M（x，y），利用MA2+MO2=10，可得M的轨迹方程，利用圆C上存在点M，满足MA2+MO2=10，可得两圆相交或相切，建立不等式，即可求出实数a的取值范围．解答：解：设M（x，y），∵MA2+MO2=10，∴x2+（y﹣2）2+x2+y2=10，∴x2+（y﹣1）2=4，∵圆C上存在点M，满足MA2+MO2=10，∴两圆相交或相切，∴1≤≤3，∴0≤a≤3．故答案为：0≤a≤3．点评：本题考查轨迹方程，考查圆与圆的位置关系，确定M的轨迹方程是关键．14. 某圆锥底面半径为4，高为3，则此圆锥的侧面积为．参考答案：20π【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】首先根据底面半径和高利用勾股定理求得母线长，然后直接利用圆锥的侧面积公式代入求出即可．【解答】解：∵圆锥的底面半径为4，高为3，∴母线长为5，∴圆锥的侧面积为：πrl=π×4×5=20π，故答案为：20π．15. 已知向量,,且,则m =________.参考答案：【分析】由向量平行的坐标表示，计算即得解.【详解】由于向量,,且,由向量平行的坐标表示，故答案为：【点睛】本题考查了向量平行的坐标表示，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.16. 已知是互相垂直的两个单位向量，若向量与向量的夹角是钝角，则实数的取值范围是参考答案：∵向量与向量的夹角是钝角，∴，且由，且，得令，则，于是故，，且17. （08年全国卷2理）已知F为抛物线C：的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A、B两点.设.则与的比值等于 .参考答案：【解析】：设AB所在直线方程为，；三、解答题：本大题共5小题，共72分。