函数模型及应用

函数模型及应用教案函数模型是基于数学函数的一种建模方法，通过将现实问题抽象为数学函数的形式来描述、分析和解决问题。

函数模型的应用非常广泛，涉及到许多领域，包括物理、经济、生物等。

一、函数模型的基本概念1. 函数的定义：函数是一个映射关系，将输入映射到唯一的输出，通常用f(x)表示。

2. 自变量和因变量：函数的自变量是输入值，通常用x表示；函数的因变量是输出值，通常用y表示。

3. 函数图像：函数图像是函数在坐标系中的几何表示，可以通过计算和绘制得到。

4. 函数的性质：函数可以有多个性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。

二、函数模型的应用1. 物理学中的应用：物理学中许多自然现象都可以用函数模型来描述，如运动学中的位移函数、速度函数和加速度函数，力学中的万有引力函数等。

2. 经济学中的应用：经济学中常常用函数模型来描述供求关系、成本函数、效用函数等，以便分析经济现象和制定经济政策。

3. 生物学中的应用：生物学中常常用函数模型来描述生物体的生长、代谢和进化过程，以便研究和预测生物现象。

4. 工程学中的应用：工程学中常常用函数模型来描述电路、信号处理、控制系统等，以便分析和设计工程系统。

5. 数据分析中的应用：数据分析中常常用函数模型来描述数据的分布和趋势，以便预测和优化数据。

三、函数模型的教学内容1. 函数的基本概念和性质：教学内容包括函数的定义、自变量和因变量的概念、函数图像的绘制和函数的性质分析等。

2. 函数的分类和常见函数模型：教学内容包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等的定义、图像和性质分析等。

3. 函数的应用实例分析：教学内容包括物理、经济、生物、工程等领域的函数模型实例分析，以及数据分析中的函数模型应用实例。

4. 函数模型的建立和求解：教学内容包括根据实际问题建立函数模型、利用函数模型求解问题等。

四、函数模型的教学方法1. 理论讲解：通过讲解基本概念、定理和性质，帮助学生理解函数模型的基本原理和方法。

专题3.4函数的应用1．一次函数模型的应用一次函数模型：f (x )=kx +b (k ,b 为常数，k ≠0).一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过.2．二次函数模型的应用二次函数模型：f (x )=+bx +c (a ,b ,c 为常数,a ≠0).二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值问题常用到二次函数模型.3．幂函数模型的应用幂函数模型应用的求解策略(1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式.(2)根据题意，直接列出相应的函数关系式.4．分段函数模型的应用由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题中具有广泛的应用.5．“对勾”函数模型的应用对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：y =ax +(a >0,b >0)，当x >0时，在(0,]上递减，在(,+)上递增.另外，还要注意换元法的运一、单选题1．已知函数()22x f x =-，则函数()y f x =的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B ()22,12222,1x xxx f x x ⎧-≥=-=⎨-<⎩易知函数()y f x =的图象的分段点是1x =，且过点()1,0，()0,1，又()0f x ≥，故选：B ．2．设函数()2,01,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（）A ．(],1-∞B ．()1,+∞C ．[)1,+∞D ．(),1-∞【答案】D 因为()2,01,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，当0x ≤时，()2xf x -=显然单调递减；当0x >时，()2f x x =-也是单调递减；且()002101f ==-=，即函数图像连续不断，所以()f x 在其定义域上单调递减，由()()12f x f x +<可得12x x +>，解得1x <.故选：D.3．根据表格中的数据，可以断定方程(2)0( 2.72)x e x e -+=≈的一个根所在的区间是（）x －10123ex 0.371 2.727.4020.12x ＋212345A ．(－1，0)B ．(0，1)C ．(1，2)D ．(2，3)【答案】C【解析】设函数()(2)0x f x e x =-+=，(1)0.3710,(0)120,(1) 2.7230f f f -=-<=-<=-<，(2)7.4040f =->，∴(1)(2)0f f <，又()(2)x f x e x =-+在区间(1，2)连续，∴函数()f x 在区间(1，2)存在零点，∴方程根所在的区间为(1，2)，故选：C.4．已知函数221,0()2,0x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩,若实数(0,1)m ∈,则函数()()g x f x m =-的零点个数为()A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】令()()0g x f x m =-=，得()f x m =，根据分段函数()f x 的解析式，做出函数()f x 的图象，如下图所示，因为(0,1)m ∈，由图象可得出函数()()g x f x m =-的零点个数为3个，故选：D.5．某地一天内的气温()Q t （单位：℃）与时刻t （单位：h ）之间的关系如图所示，令()C t 表示时间段[]0,t 内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差），则()C t 与t 之间的函数图像大致是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由题图看出，0=t 时，()0C t =，排除B ；在[]0,4上，()C t 不断增大，在[]4,8上，()C t 先是一个定值，然后增大，在[]812，上，()C t 不断增大，在[]1220，上，()C t 是个定值，在[]20,24上，()C t 不断增大，故选D.6．甲、乙两人同时从A 地赶往B 地，甲先骑自行车到中点改为跑步，而乙则是先跑步，到中点后改为骑自行车，最后两人同时到达B地．已知甲骑自行车比乙骑自行车快．若每人离开甲地的距离S与所用时间t的函数用图象表示，则甲、乙对应的图象分别是A．甲是(1)，乙是(2)B．甲是(1)，乙是(4)C．甲是(3)，乙是(2)D．甲是(3)，乙是(4)【答案】B【解析】由甲先骑自行车后跑步，故图象斜率先大后小，则甲图象为(1)或(3)，由乙先跑步后骑自行车，故图象斜率先小后大，则乙图象为(2)或(4)，又甲骑车比乙骑车快，即甲前一半路程图象的中y随x的变化比乙后一半路程y随x的变化要快，所以甲为(1)，乙为(4)．故选：B．7．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：(1)如果不超过200元，则不给予优惠；(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；(3)如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．某人单独购买A，B商品分别付款168元和423元，假设他一次性购买A，B两件商品，则应付款是A．413.7元B．513.7元C．546.6元D．548.7元【答案】C【解析】依题意可得，因为168200<，所以购买A商品没有优惠，则A商品的价格为168元．当购买价值500元的物品时实际付款为5000.9450423⨯=>，所以购买B商品享受了9折优惠，则B商品的原价为4234700.9=元．若一次性购买两件商品则付款总额为168+470=638元，则应付款(638500)0.75000.9546.6-⨯+⨯=元，故选C8．给下图的容器甲注水，下面图象中哪一个图象可以大致刻画容器中水的高度与时间的函数关系：（）．A ．B ．B ．C ．D ．【答案】B 试题分析：容器下端较窄，上端较宽，当均匀的注入水时，刚开始的一段时间高度变化较大，随时时间的推移，高度的变化速度开始减小，即高度变化不太明显，四个图像中只有B 项符合特点二、解答题9．2022年第24届北京冬季奥林匹克运动会，于2022年2月4日星期五开幕，将于2月20日星期日闭幕．该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，与冰雪运动有关的商品销量持续增长．对某店铺某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行调查发现：该款冰雪运动装备的日销售单价()P x （元/套）与时间x （被调查的一个月内的第x 天）的函数关系近似满足()1kP x x=+（k 为正常数）．该商品的日销售量()Q x （个）与时间x （天）部分数据如下表所示：x 10202530()Q x 110120125120已知第10天该商品的日销售收入为121元．(1)求k 的值；(2)给出两种函数模型：①()Q x ax b =+，②()|25|Q x a x b =-+，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量()Q x 与时间x 的关系，并求出该函数的解析式；(3)求该商品的日销售收入()f x （130x ≤≤，*N x ∈）（元）的最小值．【答案】(1)1k =(2)选择②，()125|25|Q x x =--，（130x ≤≤，*N x ∈）(3)121元【解析】(1)因为第10天该商品的日销售收入为121元，所以(10)(10)111012110k P Q ⎛⎫⋅=+⋅= ⎪⎝⎭，解得1k =；(2)由表中数据可得，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减，并不单调，故只能选②:()|25|Q x a x b=-+代入数据可得：11010251202025a b a b ⎧=-+⎪⎨=-+⎪⎩，解得1a =-，125b =，所以()125|25|Q x x =--，（130x ≤≤，*N x ∈）(3)由（2）可得，()**100,125,N 12525150,2530,N x x x Q x x x x x ⎧+≤<∈=--=⎨-≤≤∈⎩，所以，()()()**10010125,N 150149,2530,N x x x xf x P x Q x x x x x ⎧++≤<∈⎪⎪=⋅=⎨⎪+-≤≤∈⎪⎩，所以当125x ≤<，*N x ∈时，100()101f x x x=++在区间[1,10]上单调递减，在区间[10,25)上单调递增，所以当10x =时，()f x 有最小值，且为121；当2530x ≤≤，*N x ∈时，150()149f x x x=+-为单调递减函数，所以当30x =时，()f x 有最小值，且为124，综上，当10x =时，()f x 有最小值，且为121元，所以该商品的日销售收入最小值为121元．10．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当20200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时)()()f x xv x =可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)﹒【答案】(1)()60,020,()1200,202003x v x x x ≤≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩；(2)当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.【解析】当020x ≤≤时，()60v x =；当20200x ≤≤时，设()v x ax b =+，由已知得2000,2060,a b a b +=⎧⎨+=⎩解得132003a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故函数()v x 的表达式为()60,020,()1200,202003x v x x x ≤≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩；(2)依题意并由(1)可得()260,020,()1200,202003x x f x x x x ≤≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩，当020x ≤≤时，()f x 为增函数，故当20x =时，其最大值为60×20＝1200；当20200x <≤时，()21()100100003f x x ⎡⎤=---⎣⎦，∴当100x =时，()f x 在区间(20，200]上取得最大值1000033333≈，∵3333＞1200，∴当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．11．某地空气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理，据测算，每喷洒1个单位的去污剂，空气中释放的浓度y (单位：毫克/立方米)随着时间x (单位：天)变化的函数关系式近似为y =161,04815,4102x xx x ⎧-≤≤⎪⎪-⎨⎪-<≤⎪⎩，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的㳖度之和，由实验知，当空气中去污剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到去污作用.(1)若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？(2)若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒(14)a a ≤≤个单位的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求a 的最小值.(精确到0.11.4)【答案】(1)8天(2)1.6【解析】(1)解：∵一次喷洒4个单位的净化剂，∴浓度()644,0448202,410x f x y x x x ⎧-≤≤⎪==-⎨⎪-≤⎩＜，则当04x ≤≤时，由64448x-≥-，解得0x ≥，∴此时04x ≤≤．当410x <≤时，由2024x -≥，解得8x ≤，∴此时48x <≤．综合得08x ≤≤，若一次投放4个单位的制剂，则有效净化时间可达8天．(2)解：设从第一次喷洒起，经()610x x ≤≤天，浓度()()()1161625114428614a g x x a x a x x =-+-⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪=-+-----⎝⎭⎣⎦，∵[]1448x -∈，，而14a ≤≤，∴8[]4,，故当且仅当14x -=时，y有最小值为4a -．令44a -≥，解得244a -≤，∴y a的最小值为24 1.6-．12．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益()f x 与投资额x 成正比，其关系如图1；投资股票等风险型产品的年收益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，其关系如图2.(1)分别写出两种产品的年收益()f x 和()g x 的函数关系式；(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？【答案】(1)()()108f x x x =≥，())0g x x =≥(2)投资债券类产品16万元，股票类投资为4万元，收益最大为3万元【解析】(1)依题意：可设()()10f x k x x =≥，())0g x k x =≥，∵()1118f k ==，()2112g k ==，∴()()108f x x x =≥，())0g x x =≥.(2)设投资债券类产品x 万元，则股票类投资为()20x -万元，年收益为y 万元，依题意得：()()20y f x g x =+-，即)0208x y x =+≤≤，令t =则220x t =-，0,t ⎡∈⎣，则22082t t y -=+，0,t ⎡∈⎣()21238t =--+，所以当2t =，即16x =万元时，收益最大，max 3y =万元.13．新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A 公司扩大生产提供x （[]0,10x ∈）（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服，A 公司在收到政府x （万元）补贴后，防护服产量将增加到1264t k x ⎛⎫=⋅- ⎪+⎝⎭（万件），其中k 为工厂工人的复工率（[]0.5,1k ∈），A 公司生产t 万件防护服还需投入成本20950x t ++（万元）．(1)将A 公司生产防护服的利润y （万元）表示为补贴x （万元）的函数（政府补贴x 万元计入公司收入）；(2)当复工率0.8k =时，政府补贴多少万元才能使A 公司的防护服利润达到最大？并求出最大值．【答案】(1)3601808204ky k x x =---+，[]0,10x ∈，[]0.5,1k ∈(2)当复工率0.8k =时，政府补贴2万元才能使A 公司的防护服利润达到最大值60万元【解析】(1)由题意得()802095030820y x t x t t x =+-+-=--1236030682018082044k k x k x x x ⎛⎫=---=--- ⎪++⎝⎭，即3601808204ky k x x =---+，[]0,10x ∈，[]0.5,1k ∈.(2)由0.8k =，得288288144820812444y x x x x =---=--+++，因()28828888432248326444x x x x +=++-≥⨯-=++，当且仅当2x =时取等号，所以6412460y ≤-+=.故当复工率0.8k =时，政府补贴2万元才能使A 公司的防护服利润达到最大值60万元.14．已知函数()()21322m f x m m x -=-+是幂函数.(1)求函数()f x 的解析式;(2)判断函数()f x 的奇偶性,并证明你的结论;(3)判断函数()f x 在()0,∞+上的单调性,并证明你的结论.【答案】(1)()2f x x -=;(2)函数()f x 为偶函数;(3)()f x 在()0,∞+上单调递减,证明见解析.（1）因为函数()()21322m f x m m x -=-+是幂函数，则2221m m -+=，解得1m =，故()2f x x -=．（2）函数()2f x x -=为偶函数．证明如下：由（1）知()2f x x -=，其定义域为{}0x x ≠关于原点对称，因为对于定义域内的任意x ，都有()()()()222211f x x x f x xx ---=-====-，故函数()2f x x -=为偶函数．（3）()f x 在()0,∞+上单调递减．证明如下：在()0,∞+上任取1x ，2x ，不妨设120x x <<，则()()221212221211f x f x x xx x ---=-=-()()2221212122221212x x x x x x x x x x -+-===，()12,0,x x ∈+∞且12x x <，222121120,0,0x x x x x x ∴-<+>>，()()12f x f x >()f x ∴在()0,∞+上单调递减.。

高考中常用函数模型．．．．归纳及应用 一． 常数函数y=a判断函数奇偶性最常用的模型，a=0时，既是奇函数，又是偶函数，a ≠0时只是偶函数。

关于方程解的个数问题时常用。

例1．已知x ∈(0, π],关于方程2sin(x+3π)=a 有两个不同的实数解，则实数a 的取植范围是（ ）A ．[-2，2] B.[3,2] C.( 3,2] D.( 3,2)解析；令y=2sin(x+3π), y=a 画出函数y=2sin(x+3π)，y=a 图象如图所示，若方程有两个不同的解，则两个函数图象有两个不同的交点，由图象知( 3,2)，选D二． 一次函数y=kx+b (k ≠0)函数图象是一条直线，易画易分析性质变化。

常用于数形结合解决问题，及利用“变元”或“换元”化归为一次函数问题。

有定义域限制时，要考虑区间的端点值。

例2．不等式2x 2+1≤m(x-1)对一切│m │≤2恒成立，则x 的范围是（ ）A ．-2≤x ≤2 B.431- ≤x ≤0 C.0≤x ≤471+ D.471-≤x ≤413- 解析：不等式可化为m(x-1)- 2x 2+1≥0 设f(m)= m(x-1)- 2x 2+1若x=1, f(m)=-3＜0 (舍) 则x ≠1则f(m)是关于m 的一次函数，要使不等式在│m │≤2条件下恒成立，只需⎩⎨⎧≥-≥0)2(0)2(f f ，解之可得答案D三． 二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)二次函数是应用最广泛的的函数，是连接一元二次不等式和一元二次方程的纽带。

很多问题都可以化归和转化成二次函数问题。

比如有关三次函数的最值问题，因其导数是二次函数，最后的落脚点仍是二次函数问题。

例3．（1）.若关于x 的方程x 2+ax+a 2-1=0有一个正根和一个负根，则a 的取值范围是（ ） 解析：令f(x)= x 2+ax+a 2-1由题意得f(0)= a 2-1 ＜0,即-1＜a ＜1即可。

第9节函数模型及其应用
函数模型是数学中的一个重要概念，它是一种关系，将一个集合的元
素映射到另一个集合的元素。

在数学中，函数模型被广泛应用于各种领域，如物理学、经济学、工程学等。

在物理学中，函数模型可以描述物理现象中的关系。

例如，牛顿第二
定律F=ma中的加速度a可以看作是力F和质量m之间的函数关系。

通过
函数模型，我们可以推导出物体在受到力作用下的运动轨迹和速度变化。

在经济学中，函数模型可以描述供求关系、价格弹性和成本效益等。

例如，需求曲线和供应曲线的交点可以表示市场均衡状态，价格弹性可以
用来衡量消费者对价格变化的敏感度，成本效益模型可以帮助企业决策时
做出合理的成本分析。

在工程学中，函数模型经常用于设计和优化过程。

例如，一个工程师
可以使用函数模型来描述一个机械系统的运动，分析其动力学和静力学特性，从而进行设计和改进。

另外，函数模型还可以用来优化一些参数，使
系统在给定约束条件下达到最佳性能。

除了以上领域之外，函数模型还广泛应用于计算机科学、统计学和生
物学等领域。

在计算机科学中，函数模型用于数据处理、算法设计和模拟
等方面。

在统计学中，函数模型用于描述变量之间的关系和概率分布。

在
生物学中，函数模型用于描述生物体的生理过程和遗传机制。

总之，函数模型是描述现实世界中各种关系的数学工具。

它不仅提供
了定量分析的方法，还可以帮助我们理解和预测复杂的现象。

通过函数模
型的应用，我们可以深入研究问题，做出合理的决策，并推动各个领域的
发展。

第13讲 函数模型及其应用【考点解读】1. 了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型的意义；2. 能建立简单的数学模型，利用这些知识解决应用问题.【知识扫描】1、函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述.那么，面临一个实际问题，应当如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？事实上，要顺利地建立函数模型，首先要深刻理解基本函数的图象和性质,熟练掌握基本函数和常用函数的特点,并对一些重要的函数模型必须要有清晰的认识.一般而言，有以下8种函数模型： ①一次函数模型:f(x)=kx b +(k 、b 为常数,k ≠0);②反比例函数模型：f(x)=xk +b(k 、b 为常数,k ≠0); ③二次函数模型：f(x)=2ax bx c ++(a 、b 、c 为常数，a ≠0)，二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型，在高考的应用题考查中最为常见的;④指数型函数模型：f(x)=xka b +(k 、a 、b 为常数，k ≠0,a>0且a ≠1); ⑤对数型函数模型：f(x)=log a m x n +(m 、n 、a 为常数,m ≠0,a>0且a ≠1); ⑥幂函数型模型：f(x)=nax b +(a 、b 、n 为常数,a ≠0,n ≠0); ⑦“勾”函数模型：f(x)=x+kx(k 为常数,k>0)，这种函数模型应用十分广泛,因其图象是一个“勾号”,故我们把它称之为“勾”函数模型,⑧分段函数模型：这个模型实则是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛.2、求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解. 这些步骤用框图表示是：【考计点拨】牛刀小试1．建造一个容积为8m 3，深为2m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为___________。

函数模型及其应用一、基础知识1．常见的8种函数模型(1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；(2)反比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；(3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；(4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；(5)指数函数模型：f(x)＝ab x＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；(6)对数函数模型：f(x)＝m log a x＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)；(7)幂函数模型：f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)；(8)“对勾”函数模型：y＝x＋ax(a>0)．(1)形如f(x)＝x＋ax(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型，“对勾”函数的性质：①该函数在(－∞，－a]和[a，＋∞)上单调递增，在[－a，0)和(0，a]上单调递减．②当x>0时，x＝a时取最小值2a，当x<0时，x＝－a时取最大值－2a.(2)函数f(x)＝xa＋bx(a>0，b>0，x>0)在区间(0，ab]内单调递减，在区间[ab，＋∞)内单调递增．2．三种函数模型的性质函数性质y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大，逐渐表现为与y轴平行随x的增大，逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有log a x<x n<a x幂函数模型y＝x n(n>0)可以描述增长幅度不同的变化，当n,值较小(n≤1)时，增长较慢；当n值较大(n>1)时，增长较快.考点一二次函数、分段函数模型[典例]国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？[解](1)设每团人数为x，由题意得0<x≤75(x∈N*)，飞机票价格为y元，则y ，0<x≤30，－10(x－30)，30<x≤75，即y，0<x≤30，200－10x，30<x≤75.(2)设旅行社获利S元，则Sx－15000，0<x≤30，200x－10x2－15000，30<x≤75，即Sx－15000，0<x≤30，10(x－60)2＋21000，30<x≤75.因为S＝900x－15000在区间(0,30]上为增函数，故当x＝30时，S取最大值12000.又S＝－10(x－60)2＋21000，x∈(30,75]，所以当x＝60时，S取得最大值21000.故当x＝60时，旅行社可获得最大利润．[解题技法]二次函数、分段函数模型解决实际问题的策略(1)在建立二次函数模型解决实际问题中的最值问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解．(2)对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小．(3)在利用基本不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件，也可以利用函数单调性求解最值．[题组训练]1．某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)，0<x≤A，＋B(x－A)，x>A.已知某家庭2018年前三个月的煤气费如表：月份用气量煤气费一月份4m34元二月份25m314元三月份35m 319元若四月份该家庭使用了20m 3的煤气，则其煤气费为()A ．11.5元B ．11元C ．10.5元D ．10元解析：选A根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )，0<x ≤5，＋12(x －5)，x >5，所以f (20)＝4＋12×(20－5)＝11.5.2．A ，B 两城相距100km ，在两城之间距A 城x (km)处建一核电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A 城供电量为每月20亿度，B 城供电量为每月10亿度．(1)求x 的取值范围；(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；(3)核电站建在距A 城多远，才能使月供电总费用y 最少？解：(1)由题意知x 的取值范围为[10,90]．(2)y ＝5x 2＋52(100－x )2(10≤x ≤90)．(3)因为y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25000＋500003，所以当x ＝1003y min ＝500003.故核电站建在距A 城1003km 处，能使月供电总费用y 最少．考点二指数函数、对数函数模型[典例]某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．[解](1)由题图，设y 0≤t ≤1，a，t >1，当t ＝1时，由y ＝4，得k ＝4，由－a ＝4，得a ＝3.所以y 0≤t ≤1，－3，t >1.(2)由y ≥0.25≤t ≤1，t ≥0.253≥0.25，解得116≤t ≤5.故服药一次后治疗疾病有效的时间是5－116＝7916(小时)．[解题技法]1．掌握2种函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在三类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．2．建立函数模型解应用问题的4步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型．(3)求模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中．[题组训练]1．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A．略有盈利B．略有亏损C．没有盈利也没有亏损D．无法判断盈亏情况解析：选B设该股民购进这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n元，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a<a，故该股民这支股票略有亏损．2．声强级Y(单位：分贝)由公式Y＝10lg I为声强(单位：W/m2)．(1)平常人交谈时的声强约为10－6W/m2，求其声强级．(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？解：(1)当声强为10－6W/m2时，由公式Y＝得Y＝10lg106＝60(分贝)．(2)当Y＝0时，由公式Y＝得0.∴I10－12＝1，即I＝10－12W/m2，则最低声强为10－12W/m2.[课时跟踪检测]1．(2018·福州期末)某商场销售A型商品．已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如下表所示：销售单价/元45678910日均销售量/件400360320280240200160请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元/件)应为()A．4B．5.5C．8.5D．10解析：选C由数据分析可知，当单价为4元时销售量为400件，单价每增加1元，销售量就减少40件．设定价为x 元/件时，日均销售利润为y 元，则y ＝(x －3)·[400－(x －4)·40]＝－＋1210，故当x ＝172＝8.5时，该商品的日均销售利润最大，故选C.2．(2019·绵阳诊断)某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月的水费为55元，则该职工这个月实际用水为()A ．13立方米B ．14立方米C ．15立方米D ．16立方米解析：选C 设该职工某月的实际用水为x 立方米时，水费为y 元，由题意得y ＝x ，0≤x ≤10，＋5(x －10)，x >10，即y x ，0≤x ≤10，x －20，x >10.易知该职工这个月的实际用水量超过10立方米，所以5x －20＝55，解得x ＝15.3．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的关系可近似地表示为y ＝x 210－30x ＋4000，则每吨的成本最低时的年产量为()A ．240吨B ．200吨C ．180吨D ．160吨解析：选B 依题意，得每吨的成本为y x ＝x 10＋4000x －30，则yx≥2x 10·4000x－30＝10，当且仅当x 10＝4000x，即x ＝200时取等号，因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨．4．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P (单位：毫克/升)与过滤时间t (单位：时)之间的函数关系为P ＝P 0e －kt (k ，P 0均为正常数)．如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是()A.12小时 B.59小时C ．5小时D ．10小时解析：选C 由题意，前5个小时消除了90%的污染物．∵P ＝P 0e －kt ，∴(1－90%)P 0＝P 0e －5k，∴0.1＝e－5k，即－5k ＝ln 0.1，∴k ＝－15ln 0.1.由1%P 0＝P 0e －kt ，即0.01＝e －kt ，得－kt ＝ln 0.01，＝ln 0.01，∴t ＝10.∴排放前至少还需要过滤的时间为t －5＝5(时)．5．(2019·蚌埠模拟)某种动物的繁殖数量y (单位：只)与时间x (单位：年)的关系式为y ＝a log 2(x ＋1)，若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到________只．解析：由题意，得100＝a log 2(1＋1)，解得a ＝100，所以y ＝100log 2(x ＋1)，当x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝300，故到第7年它们发展到300只．答案：3006.某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．解析：前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b ，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析＝k ＋b ，＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝1909.答案：19097．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s ，求其耗氧量至少要多少个单位？解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0.当耗氧量为90个单位时，速度为1m/s ，故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.＋b ＝0，＋2b ＝1，＝－1，＝1.(2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2m/s ，则有v ≥2，所以－1＋log 3Q10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．8.据气象中心观察和预测：发生于沿海M 地的台风一直向正南方向移动，其移动速度v (单位：km/h)与时间t (单位：h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T (t,0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积为时间t 内台风所经过的路程s (单位：km)．(1)当t ＝4时，求s 的值；(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650km ，试判断这场台风是否会侵袭到N 城，如果会，在台风发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．解：(1)由图象可知，直线OA 的方程是v ＝3t (0≤t ≤10)，直线BC 的方程是v ＝－2t ＋70(20<t ≤35)．当t ＝4时，v ＝12，所以s ＝12×4×12＝24.(2)当0≤t ≤10时，s ＝12×t ×3t ＝32t 2；当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋(t －10)×30＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝150＋300＋12×(t －20)×(－2t ＋70＋30)＝－t 2＋70t －550.综上可知，s 随t 变化的规律是s2，t ∈[0，10]，t －150，t ∈(10，20]，t 2＋70t －550，t ∈(20，35].(3)当t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650，当t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650，当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650，解得t ＝30或t ＝40(舍去)，即在台风发生30小时后将侵袭到N 城．。

2．9函数模型及其应用1．函数的实际应用(1)基本函数模型：函数模型函数解析式一次函数模型二次函数模型指数型函数模型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0)对数型函数模型f(x)＝b log a x＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0)幂型函数模型f(x)＝ax n＋b(a，b为常数，a ≠0)(2)函数性质y＝a x(a＞1)y＝log a x(a＞1)y＝x n(n＞0)在(0，＋∞)上的单调性单调____函数单调____函数单调____函数增长速度越来越____越来越____相对平稳图象的变化随x值增大，图象与____轴接近平行随x值增大，图象与____轴接近平行随n值变化而不同2.函数建模(1)函数模型应用的两个方面：①利用已知函数模型解决问题；②建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测．(2)应用函数模型解决问题的基本过程：_______、_______、_______、_______.自查自纠：1．(1)f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)(2)增增增快慢yx2．审题建模解模还原(教材改编题)下列函数中，随x(x＞0)的增大，y的增长速度越来越快，并会超过其他三个的是() A．y＝e x B．y＝100ln xC ．y ＝x 100D ．y ＝2x 解：“指数爆炸”，又e ＞2.故选A.(2016·湖北天门模拟)某部门为实现当地菜价稳定，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T 内完成预测的运输任务Q 0，各种方案的运输总量Q 与时间t 的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是 ()解：运输效率(单位时间的运输量)逐步提高，即对应曲线上的点的切线斜率逐渐增大，只有B 项符合要求．故选B.(2015·北京)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.加油时间加油量/升 加油时的累计里程/千米2015年5月1日12 35 0002015年5月15日48 35 600注：“累计里程”指汽车从出开始累计行驶的路程． 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为() A ．6升 B ．8升 C ．10升 D ．12升解：因为第一次(即5月1日)把油加满，而第二次把油加满加了48升，即汽车行驶35 600－35 000＝600千米耗油48升，所以每100千米的耗油量为8升．故选B.要制作一个容积为16 m 3，高为1m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元． 解：设长方体底面矩形的长、宽分别为x ，y ，则y ＝16x，所以容器的总造价为z ＝2(x ＋y )×1×10＋20xy ＝20⎝⎛⎭⎫x ＋16x ＋20×16，由基本不等式得，z ＝20⎝⎛⎭⎫x ＋16x ＋20×16≥40x ·16x＋320＝480，当且仅当x ＝y ＝4，即底面是边长为4的正方形时，总造价最低．故填480.某汽车运输购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N )满足如图所示的二次函数关系，则每辆客车营运________年，其营运的年平均利润yx最大．解：由图象知，营运总利润y ＝－(x －6)2＋11.所以营运的年平均利润y x ＝－x －25x ＋12.当且仅当x ＝5时，yx 取最大值．故填5.类型一幂型函数模型为了保护环境，发展低碳经济，某单位在当地科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为：y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为400元．则该单位每月能否获利？ 解：设该单位每月获利为S 元， 则S ＝400x －y＝400x －⎝⎛⎭⎫12x 2－200x ＋80 000 ＝－12x 2＋600x －80 000＝－12(x －600)2＋100 000，因为400≤x ≤600，所以当x ＝400时，S 有最小值80 000. 故该单位每月能获利． 点 拨：①列函数关系式时，注意自变量的取值范围；②求最值这里运用了配方法，要特别注意取等条件，通常换元法、导数法、均值不等式法也是解这类题比较常用的方法．某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0＜x ＜240，x ∈N *)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是() A ．100台 B ．120台 C ．150台 D ．180台 解：设利润为f (x )万元，则 f (x )＝25x －(3 000＋20x －0.1x 2)＝0.1x 2＋5x －3 000(0＜x ＜240，x ∈N *)． 令f (x )≥0，得x ≥150，所以生产者不亏本时的最低产量是150台．故选C.类型二指数型函数模型一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到原面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到2017年为止，森林剩余面积为原来的22. (1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到2017年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)从2017年起，还能砍伐多少年？解：(1)设每年降低的百分比为x (0＜x ＜1)， 则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12，解得x ＝1－⎝⎛⎭⎫12110.(2)设经过m 年剩余面积为原来的22， 则a (1－x )m＝22a ，即⎝⎛⎭⎫12m 10＝⎝⎛⎭⎫1212，即m 10＝12，解得m ＝5.故到2017年为止，该森林已砍伐了5年． (3)设从2017年起还能砍伐n 年， 则n 年后剩余面积为22a (1－x )n . 令2a 2(1－x )n ≥14a ，即(1－x )n ≥24， 所以⎝⎛⎭⎫12n10≥⎝⎛⎭⎫1232，解得n ≤15.故从2017年起还能砍伐15年． 点 拨：此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数型函数模型y ＝N (1＋p )x (其中N 是基础数，p 为增长率，x 为时间)和幂型函数模型y ＝a (1＋x )n (其中a 为基础数，x 为增长率，n 为时间)的形式表示．解题时，往往用到对数运算．已知某生产某种产品的月产量y (单位：万件)与月份x 之间满足关系y ＝a ·0.5x ＋b ，现已知该产品1月、2月的产量分别为1万件、1.5万件，则该产品3月份的产量为________万件．解：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧0.5a ＋b ＝1，（0.5）2a ＋b ＝1.5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2， 故当x ＝3时，y ＝－2×0.53＋2＝1.75.故填1.75. 类型三对数型函数模型有一片树林现在的木材储蓄量为7 100 m 3，要力争使木材储蓄量20年后翻两番，即达到28 400 m 3，则平均每年木材储蓄量的增长率是________．(参考数据：lg2≈0.301 0，lg3≈0.477 1，lg5≈0.699 0，100.03≈1.072)解：设增长率为x ，由题意得28 400＝7 100(1＋x )20，所以(1＋x )20＝4，即20lg(1＋x )＝2lg2，lg(1＋x )≈0.030 10，所以1＋x ≈1.072，得x ≈0.072＝7.2%.故填7.2%.点 拨：(1)善于利用已知条件，根据问题的实际意义列出方程(组)、不等式(组)等来解决问题．(2)解题过程中注意合理地使用对数式的运算法则进行运算．(2017·广州模拟)在某个物理实验中，测得变量x 和变量y 的几组数据，如下表：x 0.50 0.99 2.01 3.98 y －0.99 0.01 0.98 2.00则对x ，y 最适合的拟合函数是() A ．y ＝2x B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝ln x D ．y ＝log 2x解：根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入各选项计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入各选项计算，可以排除B ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意．故选D.类型四分段函数模型某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系可用图①中的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系可用图②中的抛物线段表示．(1)写出图①表示的市场售价与上市时间的函数关系P ＝f (t )，写出图②表示的种植成本与上市时间的函数关系式Q ＝g (t )；(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？ (注：市场售价和种植成本的单位：元/公斤，时间单位：天)解：(1)由题图①可得市场售价与时间的函数关系为f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧300－t ，0≤t ≤200，2t －300，200＜t ≤300.由题图②可得种植成本与上市时间的函数关系为g (t )＝1200(t －150)2＋100，0≤t ≤300. (2)设上市时间为t 的西红柿纯收益为h (t )，则由题意得h (t )＝f (t )－g (t )，即h (t )＝⎩⎨⎧－t 2200＋12t ＋1752，0≤t ≤200，－t 2200＋72t －1 0252，200＜t ≤300，当0≤t ≤200时， 配方整理得h (t )＝－1200(t －50)2＋100， 所以，当t ＝50时，h (t )取得区间[0，200]上的最大值100； 当200<t ≤300时， 配方整理得h (t )＝－1200(t －350)2＋100， 所以，当t ＝300时，h (t )取得区间(200，300]上的最大值87.5.由100>87.5可知，h (t )在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t ＝50，即从2月1日开始的第50天上市的西红柿纯收益最大． 点 拨：(1)实际问题的情况是复杂的，许多实际问题要使用分段函数模型求解．(2)解分段函数模型要注意定义域区间的分界点．(3)含有参数的实际应用题要注意分类讨论．(2017·河南省实验中学期中)国庆节期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空包机费15 000元． (1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？解：(1)设旅游团人数为x 人，由题得0＜x ≤75，飞机票价格为y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0＜x ≤30，900－10（x －3030＜x ≤75，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0＜x ≤30，1 200－10x ，30＜x ≤75.(2)设旅行社获利S 元，则S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0＜x ≤30，x （1 200－10x ）－15 000，30＜x ≤75，即S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0＜x ≤30，－10（x －60）2＋21 000，30＜x ≤75.因为S ＝900x －15 000在区间(0，30]上为单调增函数， 故当x ＝30时，S 取最大值12 000元，又S ＝－10(x －60)2＋21 000在区间(30，75]上，当x ＝60时，取得最大值21 000. 故每团人数为60人时，旅行社可获得最大利润．1．解函数应用问题的步骤(1)审题：数学应用问题的文字叙述长，数量关系分散且难以把握，因此，要认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，收集整理数据信息，这是解答数学问题的基础．(2)建模：在明确了问题的实际背景和收集整理数据信息的基础上进行科学的抽象概括，将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，合理引入自变量，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式(也叫目标函数)，将实际问题转化为数学问题，即实际问题数学化，建立数学模型． (3)解模：利用数学的方法将得到的常规数学问题(即数学模型或目标函数)予以解答，求得结果． (4)还原：将求解数学模型所得的结果还原为实际问题的意义，回答数学应用题提出的问题． 以上过程可以用示意图表示为：模拟函数的过程可以用下面框图表示：2．函数模型的选择解题过程中选用哪种函数模型，要根据题目具体要求进行抽象和概括，灵活地选取和建立数学模型．一般来说：如果实际问题的增长特点为直线上升，则选择直线模型；若增长的特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(指数爆炸)，则选择指数型函数模型；若增长的特点是随着自变量的增大，函数值的增大速度越来越慢，则选择对数型函数模型；如果实际问题中变量间的关系，不能用同一个关系式表示，则选择分段函数模型等．另外，常见的出租车计费问题、税收问题、商品销售等问题，通常用分段函数模型；面积问题、利润问题、产量问题常选择幂型函数模型，特别是二次函数模型；而对于利率、细胞分裂、物质衰变，则常选择指数型函数模型．1．(2015·湖北模拟)在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，经过x (x ∈R ，x ≥0)年可增长到原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的图象大致为 ()解：由题意可得y ＝(1＋10.4%)x .故选D.2．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶，甲、乙两车的速度曲线分别为v 甲和v 乙，如图所示，那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是 () A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面 B ．t 1时刻后，甲车在乙车后面 C ．在t 0时刻，两车的位置相同 D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面解：由图象可知，曲线v 甲比v 乙在0～t 0，0～t 1与t 轴所围成的图形面积大，则在t 0，t 1时刻，甲车均在乙车前面．故选A .3．(2017·德阳一诊)将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝ae nt .假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min 甲桶中的水只有a4 L ，则m 的值为 ()A ．5B ．8C ．9D ．10解：因为5 min 后甲桶和乙桶的水量相等， 所以函数y ＝f (t )＝ae nt 满足f (5)＝ae 5n ＝12a ，可得n ＝15ln 12，所以f (t )＝a ·⎝⎛⎭⎫12t 5， 因此，当k min 后甲桶中的水只有a4L 时，f (k )＝a ·⎝⎛⎭⎫12k 5＝14a ，即⎝⎛⎭⎫12k5＝14， 所以k ＝10，由题可知m ＝k －5＝5.故选A .4．利民某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的关系可近似地表示为y ＝x 210－30x ＋4 000，则每吨的成本最低时的年产量(吨)为 ()A ．240B ．200C ．180D ．160解：依题意，得每吨的成本为y x ＝x 10＋4 000x －30，则yx≥2x 10·4 000x－30＝10， 当且仅当x 10＝4 000x，即x ＝200时取等号，因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨．故选B .5．(2015·北京)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是 ()A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油解：对于A 选项，从图中可以看出当乙的行驶速度不小于40 km /h 时燃油效率大于5 km /L ，A 错误．对于B 选项，由图可知甲车消耗汽油最少，B 错．对于C 选项，甲车以80 km /h 的速度行驶时的燃油效率为10 km /L ，故行驶1小时的路程为80千米，消耗8 L 汽油，C 错．对于D 选项，当最高限速为80 km /h 且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，D 正确．故选D .6．某地兴修水利要挖一条渠道，渠道的横截面为等腰梯形，如图所示，腰与水平线的夹角为60°，要求横截面的周长(实线部分)为定值m ，则流量(横截面的面积)最大时，渠深h ＝ ()A.14mB.13mC.34mD.36m 解：由题知，等腰梯形的腰为233h ，周长为m ，下底为m －433h ，上底为m －433h ＋233h ＝m －233h ，得等腰梯形的面积S ＝12⎝⎛⎭⎫2m －633h h ＝－3h 2＋mh ＝－3⎝⎛⎭⎫h －3m 62＋312m 2⎝⎛⎭⎫0＜h ＜34m ，当h ＝36m 时，S max ＝312m 2，此时流量最大．故选D . 7．A 、B 两只船分别从在东西方向上相距145 km 的甲乙两地开出．A 从甲地自东向西行驶．B 从乙地自北向南行驶，A 的速度是40 km /h ，B 的速度是16 km /h ，经过________小时，AB 间的距离最短．解：设经过x h ，A 、B 相距为y km ，则y ＝（145－40x ）2＋（16x ）2⎝⎛⎭⎫0≤x ≤298， 求得函数取最小值时x 的值为258.故填258.8．(2016·北京朝阳区二模)一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝ae －bt (cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，再经过________ min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一． 解：依题意有a ·e－b ×8＝12a ，所以b ＝ln28， 所以y ＝a ·t e ⋅-82ln .若容器中只有开始时的八分之一，则有a ·t e ⋅-82ln ＝18a . 解得t ＝24，所以经过的时间为24－8＝16 min.故填16.9．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热屋，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值． 解：(1)由已知条件得C (0)＝8，则k ＝40，因此f (x )＝6x ＋20C (x )＝6x ＋8003x ＋5(0≤x ≤10)．(2)f (x )＝6x ＋10＋8003x ＋5－10≥2（6x ＋10）·8003x ＋5－10＝70(万元)，当且仅当6x ＋10＝8003x ＋5，即x ＝5时等号成立．所以当隔热层厚度为5 cm 时，总费用f (x )达到最小值，最小值为70万元．10．(2017·实验中学月考)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元、0.5万元．(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系；(2)若该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？解：(1)设两类产品的收益与投资的函数分别为f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x . 由已知得f (1)＝18＝k 1，g (1)＝12＝k 2，所以f (x )＝18x (x ≥0)，g (x )＝12x (x ≥0)．(2)设投资债券类产品为20－x 万元，则投资股票类产品为x 万元． 依题意得y ＝f (20－x )＋g (x )＝20－x 8＋12x ＝－x ＋4x ＋208(0≤x ≤20)． 所以x ＝2，即x ＝4时，收益最大，y max ＝3万元．故投资债券类产品16万元，投资股票类产品4万元时获得最大收益，为3万元．11．(2017·实验中学月考)候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为v ＝a ＋b log 3Q10(其中a 、b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s. (1)求出a 、b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m /s ，则其耗氧量至少要多少个单位？解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m /s ，故有a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1， 得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.(2)由(1)知，v ＝－1＋log 3Q 10.所以要使飞行速度不低于2 m /s ，则有v ≥2，即－1＋log 3Q 10≥2，即log 3Q10≥3，解得Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．(2016·郑州模拟)已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t (单位：分钟)的变化规律：θ＝m ·2t ＋21－t(t ≥0，并且m ＞0)．(1)如果m ＝2，求经过多少分钟，物体的温度为5摄氏度； (2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m 的取值范围． 解：(1)若m ＝2，则θ＝2·2t ＋21－t ＝2⎝⎛⎭⎫2t ＋12t ， 当θ＝5时，2t ＋12t ＝52，令2t ＝x ≥1，则x ＋1x ＝52，即2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12(舍去)，此时t ＝1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度． (2)物体的温度总不低于2摄氏度，即θ≥2恒成立， 亦即m ·2t ＋22t ≥2⇔m ≥2⎝⎛⎭⎫12t －1t 恒成立． 令12t ＝x ，则0＜x ≤1，不等式化为m ≥2(x －x 2)， 由于x －x 2≤14⎝⎛⎭⎫当x ＝12，即t ＝1时取等号，所以m ≥12. 因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 另解：由m ·2t ＋22t ≥22m ≥2求解．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数f (x )＝2x －1log 3x的定义域为 () A ．(0，＋∞) B.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ C.⎣⎡⎭⎫12，1D.⎣⎡⎭⎫12，1∪(1，＋∞)解：由⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x ＞0，log 3x ≠0，得x ≥12且x ≠1.故选D .2．下列函数中，在(0，＋∞)上是增函数的是 () A ．y ＝2 019xB ．y ＝sin xC ．y ＝tan xD ．y ＝ln x 解：只有y ＝ln x 合要求．故选D.3．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，14，则α－k ＝ () A.12B ．1 C.32D ．2 解：k ＝1，⎝⎛⎭⎫12α＝14α＝2，所以α－k ＝1.故选B .4．函数y ＝－x 2＋x ＋2的值域是 () A ．[0，＋∞) B.⎝⎛⎦⎤－∞，32 C ．[0，2]D.⎣⎡⎦⎤0，32 解：由－x 2＋x ＋2≥0⇒x ∈[－1，2]，而 －12×（－1）＝12∈[－1，2]．当x ＝12时，y ＝94.所以y ∈⎣⎡⎦⎤0，32.故选D.5．(2016·西安模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝()A.12 B.45C ．2D ．9解：f (0)＝20＋1＝2，f (f (0))＝f (2)＝4＋2a ＝4a ，解得a ＝2.故选C.6．(2015·西安模拟)已知a ＝313，b ＝log 1312， c ＝log 123，则 ()A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >b >aD ．b >a >c解：因为a ＝313>1，b ＝log 1312＝log 32∈(0，1)，c ＝log 123<0，所以a >b >c .故选A.7．若函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝－f (x ＋1)的图象大致为 ()解：先将y ＝f (x )的图象关于x 轴对称得到y ＝－f (x )的图象，然后再向左平移一个单位得到y ＝ －f (x ＋1)的图象，根据上述步骤可知C 正确．故选C.8．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则 ()A ．f (x )在(0，2)单调递增B ．f (x )在(0，2)单调递减C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D ．y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称解：由题意知，f (2－x )＝ln(2－x )＋ln x ＝f (x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，C 正确，A ，B ，D 错误．故选C.9．(2015·湖南模拟)若函数y ＝f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x，则满足不等式f (x )≥12的x 的取值范围为()A ．(－1，1)B ．[－1，1]C ．(－∞，1]D ．[－1，＋∞)解：因为函数y ＝f (x )为偶函数，所以当x ＜0时，f (x )＝f (－x )＝⎝⎛⎭⎫12－x＝2x .由f (x )≥12得⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x≥12，x ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧2x ≥12，x ＜0，解得－1≤x ≤1.故选B.10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －3）x ＋5，x ≤1，2a x ，x >1是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a 的取值范围是()A ．(0，3)B ．(0，3]C ．(0，2)D ．(0，2]解：因为f (x )为(－∞，＋∞)上的减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3<0，2a >0，（a －3）×1＋5≥2a1，解得0<a ≤2.故选D.11．(2017·郑州模拟)已知函数f (x )是定义在R 上以2为周期的奇函数，当x ∈(0，1)时，有f (x )＝ln11－x，则函数f (x )在x ∈(3，4)时是一个 ()A ．增函数且f (x )＜0B ．增函数且f (x )＞0C ．减函数且f (x )＜0D ．减函数且f (x )＞0解：当x ∈(0，1)时，f (x )＝ln 11－x 是增函数且f (x )＞0，又f (x )是奇函数，则当x ∈(－1，0)时，f (x )是增函数且f (x )＜0，因为f (x )的周期为2，所以当x ∈(3，4)时，f (x )是增函数且f (x )＜0.故选A . 12．已知函数f (x )满足： ①定义域为R ；②对任意x ∈R ，有f (x ＋2)＝2f (x )； ③当x ∈[－1，1]时，f (x )＝1－x 2.若函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x （x ≤0ln x （x >0则函数y ＝f (x )－g (x )在区间[－5，5]上零点的个数是 ()A ．7B ．8C ．9D ．10解：由条件可作出函数y ＝f (x )及y ＝g (x )的图象如图，当x ≤0时，y ＝f (x )与y ＝e x 的图象有6个交点；当x >0时，y ＝f (x )与y ＝ln x 的图象有4个交点，共10个交点．故选D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，9－x ＋1，x ≤0， 则f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎫log 312的值是________． 解：f (1)＝log 21＝0，所以f (f (1))＝f (0)＝2.因为log 312<0，所以f ⎝⎛⎭⎫log 312＝21log 39-＋1＝4＋1＝5，所以f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎫log 312＝2＋5＝7.故填7. 14．(教材改编题)已知函数f (x )＝x 2－kx －8在[1，4]上具有单调性，则实数k 的取值范围是________． 解：k 2≤1或k2≥4，得k ≤2或k ≥8.故填(－∞，2]∪[8，＋∞)．15．若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.解：函数g (x )在[0，＋∞)上为增函数，则1－4m >0，即m <14.若a >1，则函数f (x )在[－1，2]上的最小值为1a ＝m ，最大值为a 2＝4，解得a ＝2，12＝m ，与m <14矛盾；当0<a <1时，函数f (x )在[－1，2]上的最小值为a 2＝m ，最大值为a －1＝4，解得a ＝14，m ＝116<14.所以a ＝14.故填 14.16．(2017·湖北荆州一模)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a x ，x ＞2，－x 2＋2x －2，x ≤2 (a ＞0，且a ≠1)的值域是(－∞，－1]，则实数a的取值范围是________．解：x ≤2时，f (x )＝－x 2＋2x －2＝－(x －1)2－1，f (x )在(－∞，1)上递增，在(1，2]上递减，所以f (x )在(－∞，2]上的最大值是－1，又f (x )的值域是(－∞，－1]，所以当x ＞2时，log a x ≤－1，故0＜a ＜1，且log a 2≤－1， 所以12≤a ＜1.故填⎣⎡⎭⎫12，1.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)作出下列函数的图象： (1)y ＝sin|x |； (2)y ＝x ＋2x ＋3.解：(1)当x ≥0时，y ＝sin|x |与y ＝sin x 的图象完全相同，又y ＝sin|x |为偶函数，其图象关于y 轴对称，故作出其图象如图所示．(2)y ＝x ＋2x ＋3＝1－1x ＋3，该函数图象可由函数 y ＝－1x 向左平移3个单位再向上平移1个单位得到，故作出其图象如图所示．18．(12分)已知y ＝f (x )是二次函数，且f ⎝⎛⎭⎫－32＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫－32－x 对x ∈R 恒成立，f ⎝⎛⎭⎫－32＝49，方程f (x )＝0的两实根之差的绝对值等于7.求此二次函数的解析式．解：由x ∈R ，f ⎝⎛⎭⎫－32＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫－32－x 知，f (x )的对称轴为x ＝－32.又f ⎝⎛⎭⎫－32＝49，则二次函数f (x )的顶点坐标为⎝⎛⎭⎫－32，49，故设f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋322＋49(a ≠0)． 解法一：设方程f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋322＋49＝0的两根为x 1，x 2， x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝94＋49a ，则|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝－49×4a＝7， 解得a ＝－4，所以f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x ＋322＋49， 即f (x )＝－4x 2－12x ＋40.解法二：设f (x )＝0的两根为x 1，x 2，且x 1＜x 2，由两实根之差的绝对值为7得x 1＝－32－72＝－5， x 2＝－32＋72＝2，将x 1或x 2代入f (x )＝0得a ＝－4.从而得到f (x )＝－4x 2－12x ＋40. 19．(12分) 设函数f (x )＝log 3(9x )·log 3(3x )，19≤x ≤9.(1)若m ＝log 3x ，求m 的取值范围；(2)求f (x )的最值，并给出取最值时对应的x 的值． 解：(1)因为19≤x ≤9，m ＝log 3x 为增函数，所以－2≤log 3x ≤2，即m 的取值范围是[－2，2]． (2)由m ＝log 3x 得：f (x )＝log 3(9x )·log 3(3x ) ＝(2＋log 3x )·(1＋log 3x ) ＝(2＋m )·(1＋m )＝⎝⎛⎭⎫m ＋322－14， 又因为－2≤m ≤2，所以当m ＝log 3x ＝－32，即x ＝39时f (x )取得最小值－14， 当m ＝log 3x ＝2，即x ＝9时f (x )取得最大值12.20．(12分)已知a 是正实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a .如果函数y ＝f (x )在区间[－1，1]上有零点，求a 的取值范围．解：f (x )＝2ax 2＋2x －3－a 的对称轴为x ＝－12a .①当－12a ≤－1，即0＜a ≤12时，须使⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≤0，f （1）≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5，a ≥1，所以a 的解集为．②当－1<－12a <0，即a >12时，须使⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫－12a ≤0，f （1）≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧－12a －3－a ≤0，a ≥1，解得a ≥1，所以a 的取值范围是[1，＋∞)．21．(12分) 已知函数f (x )＝a －1|x |.(1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)若f (x )<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)证明：当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1x ，设0<x 1<x 2，则x 1x 2>0，x 2－x 1>0， f (x 2)－f (x 1)＝⎝⎛⎭⎫a －1x 2－⎝⎛⎭⎫a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2＞0， 所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)由题意a －1x <2x 在(1，＋∞)上恒成立，设h (x )＝2x ＋1x ，则a <h (x )在(1，＋∞)上恒成立．任取x 1，x 2∈(1，＋∞)且x 1<x 2， h (x 1)－h (x 2)＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫2－1x 1x 2. 因为1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，x 1x 2>1， 所以2－1x 1x 2>0，所以h (x 1)<h (x 2)，所以h (x )在(1，＋∞)上单调递增．故a ≤h (1)即a ≤3，所以实数a 的取值范围是(－∞，3]．．(12分)(2015·安徽模拟)设函数f (x )＝ka x －a －x (a >0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数． (1)若f (1)>0，试求不等式f (x 2＋2x )＋f (x －4)>0的解集；(2)若f (1)＝32，且函数g (x )＝a 2x ＋a －2x －4f (x )，求函数g (x )在[1，＋∞)上的最小值．解：因为f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，所以k －1＝0，所以k ＝1，f (x )＝a x －a －x . (1)因为f (1)>0，所以a －1a>0.又a >0且a ≠1，所以a >1.当a >1时，y ＝a x 和y ＝－a －x 在R 上均为增函数，所以f (x )在R 上为增函数．原不等式可化为f (x 2＋2x )>f (4－x )，故x 2＋2x >4－x ，即x 2＋3x －4>0，解得x >1或x <－4.所以不等式f (x 2＋2x )＋f (x －4)＞0的解集为{x |x >1或x <－4}．(2)因为f (1)＝32，所以a －1a ＝32，即2a 2－3a －2＝0，解得a ＝2或a ＝－12(舍去)．所以g (x )＝x ＋2－2x －4(2x －2－x)＝(2x －2－x )2－4(2x －2－x )＋2.令t ＝h (x )＝2x －2－x (x ≥1)，则g (t )＝t 2－4t ＋2.因为h (x )在[1，＋∞)上为增函数(由(1)可知)，所以h (x )≥h (1)＝32，即t ≥32.因为g (t )＝t 2－4t ＋2＝(t －2)2－2，t ∈⎣⎡⎭⎫32，＋∞，所以当t ＝2时，g (t )取得最小值－2，即g (x )取得最小值－2，此时x ＝log 2(1＋2)．故当x ＝log 2(1＋2)时，函数g (x )在[1，＋∞)上有最小值－2.。