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数学发展历程
数学的发展历程可以大致分为四个时期：
1. 数学形成时期：这是人类建立最基本的数学概念的时期。
人类从数数开始逐渐建立了自然数的概念，简单的计算法，并认识了最基本、最简单的几何形式，算术与几何还没有分开。
2. 初等数学时期、常量数学时期：这个时期的基本的、最简单的成果构成中学数学的主要内容。
大约持续了两千年，逐渐形成了初等数学的主要分支：算数、几何、代数。
3. 变量数学时期：变量数学产生于17世纪，经历了两个决定性的重大步骤：第一步是解析几何的产生；第二步是微积分（Calculus）的创立。
4. 现代数学时期：数学发展的现代阶段的开端，以其所有的基础--------代数、几何、分析中的深刻变化为特征。
根号2（迷人的√2）根号2（迷人的√2）每一个新的进步都必然表现为对神圣事物的亵渎。
——马克思（一）√2的诞生，沾满鲜血，令人扼腕叹息古希腊著名的毕达哥拉斯学派(Pythagoreanism)认为"万物皆数"，世间万物(包括宇宙星辰)的性质都是由自然数之间的比值决定的。
所以这个学派的一个基本信条是：自然数和分数是万事万物的本质。
但是，据说毕达哥拉斯学派内部的一个成员希巴斯(Hippasus)却动摇了这个信条，希巴斯他勤奋好学，善于观察分析和思考。
一天，他研究了这样的问题："边长为1的正方形，其对角线的长是多少呢？" 他根据毕达哥拉斯定理，计算是根号2 ，并发现根号2 即不是整数，也不是整数的比。
他既高兴又感到迷惑，根据老师的观点，根号2 是不应该存在的，但对角线有客观地存在，他无法解释，他把自己的研究结果告诉了老师，并请求给予解释。
"什么？"毕达哥拉斯大吃一惊，"竟然有不是整数又不是整数之比的东西？""是的！"希巴斯说，"我已经证明了这一点！"希巴斯证明√2不是两个整数的比的过程采用的是反证法。
希巴斯的论证极富逻辑性，无懈可击。
毕达哥拉斯看过希巴斯的证明后，闷声不响，双手颤抖，额面上冒出汉珠。
希巴斯连忙问："怎么了老师，我做错了吗？""你没有错！你……你给我出去！"毕达哥拉斯神态异常，挥手让希巴斯出去。
希巴斯不解地看着老师，迈步出门。
刚要关上门，毕达哥拉斯又突然喊到："回来！" 希巴斯又走回来。
毕达哥拉斯口气十分严肃地说："你给我证！这事不许外传，除了你除了我，不许让第三个人知道！""为什么？""不为什么！这是我的规矩，懂吗？"希巴斯狐疑地点点头，告辞走了。
出现一个小小的√2，毕达哥拉斯为什么令他惊恐不安呢？我们知道，是无理数，是不能表示为分数的数，尽管当时毕达哥拉斯大名鼎鼎，但对无理数也一无所知。
30．简述莱布尼茨生活在哪个世纪、所在国家及在数学上的主要成就。
答：莱布尼茨于 1646 年出生在德国的莱比锡，其主要数学成就有：从数列的阶差入手发明了微积分；论述了积分与微分的互逆关系；引入积分符号；首次引进“函数”一词；发明了二进位制，开始构造符号语言，在历史上最早提出了数理逻辑的思想。
31．写出数学基础探讨过程中所出现的“三大学派”的名称、代表人物、主要观点。
答：一，逻辑主义学派，代表人物是罗素和怀特黑德，主要观点是：数学仅仅是逻辑的一部分，全部数学可以由逻辑推导出来。
二，形式主义学派，代表人物是希尔伯特，主要观点是：将数学看成是形式系统的科学，它处理的对象不必赋予具体意义的符号。
三，直觉主义学派，代表人物是布劳维尔，主要观点是：数学不同于数学语言，数学是一种思维中的非语言的活动，在这种活动中更重要的是内省式构造，而不是公理和命题。
32．简述刘徽所生活的朝代、代表着作以及在数学上的主要成就。
答：刘徽生活在三国时代；代表着作有《九章算术注》；主要成就：算术上给出了系统的分数算法、各种比例算法、求最大公约数的方法，代数上有方程术、正负数加减法则的建立和开平方或开立方方法；在几何上有割圆术及徽率。
33．花拉子米(什么时代、什么地方的数学家、代表着作和重要贡献)。
答：花拉子米是九世纪阿拉伯数学家，代表着作有：《代数学》和《印度的计算术》；主要贡献有：提出“还原”与“对消”的解方程的基本变形法则；给出了一次和二次方程的一般解法，用几何方法给出证明；给出了四则运算的定义和法则。
34．《周髀算经》(作者，成书年代，主要成就)答：该书出版于东汉末年和三国时代，但从史上考证应成书于公元前240 年至公元前156 年之间，可能是北汉平侯张苍修订和补写而成；书中记载的数学知识主要有：分数运算、等差数列公式及一次内插公式和勾股定理在中国早期发展的情况。
35．罗巴切夫斯基的非欧几何。
答：罗巴切夫斯基于 1825 年完成专着《平行线理论和几何原理概论及证明》标志着非欧几何的诞生，该理论是对几何原理中第五公设的研究提出命题“过直线外一点与已知直线平行的直线至少有两条”，并进行严格逻辑推理，得出的几何理论。
《数学史概论》课程标准课程名称：数学史概论课程类型：A类课程编码：0702033280适用专业及层次：数学计算机系教育专业、专科层次课程总学时：32学时，其中理论28学时，其他4学时。
课程总学分：2一、课程的性质、目的与任务1.本课程的性质：专业选修课2.课程目的与任务：本课程是研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展，及其与社会政治、经济和一般文化的联系。
数学史不是单纯的数学成就的编年记录，而是数学家在自然科学领域内克服困难、战胜危机和发现真理的斗争记录。
因此，它是培养学生素质以及了解数学发展历史的重要途径，本课程对提升学生的数学文化素养有着重要的意义。
通过教学使学生了解本课程的性质、地位和意义，知道这门课程的研究对象、范围，以及它与所学数学知识的联系，了解数学史在自然科学技术史中的地位和作用，全面提升专业素养；理解数学史的理论、思想和方法。
培养学生综合运用数学理论和方法分析问题、解决问题的能力，提高学生的整体素质；通过数学史的学习，使学生认识到要解决实际问题，自己所学知识远远不够，学而后知不足，激发学生强烈的学习愿望和求知欲。
3.课程与其它课程的联系：《数学史概论》是数学教育专业的选修课程。
数学史是人类文明史的重要组成部分，本课程不仅与数学专业的基础课程及自然科学有直接联系，也与人文历史等学科领域密切相关，所以也可作为其他专业的拓展课程，借以提高学生的整体素养。
二、教学内容、教学要求及教学重难点本课程由六个专题组成，内容应反映出数学发展的不同时代的特点，要讲史实，更重要的是通过史实介绍数学的思想方法。
教学内容可参考标准给出的可供选择的专题，并在此基础上可根据学生的知识结构及相关课程设置可相应增减专题的内容，如三次数学危机、数学的严格性与三个数学学派、从透视学到射影几何、计算机技术与对数、两项影响最大的国际数学奖励——菲尔兹奖和沃尔夫奖等，体现课程内容一定的弹性和开放性。
本课程的知识与技能要求分为知道、理解、掌握、学会四个层次，这四个层次的一般涵义表述如下：知道——是指对这门学科和教学现象的认知。
这学期，我阅读了《图灵的大教堂》，了解了更多计算机的发展历史，也认识了更多计算机科学界的伟人，懂得了更多计算机的工作机制。
全书分为序言、前言、引言、十七个章节和尾声几部分，向我们有层次、有条理地介绍了计算机的发展史和一些主要人物。
值得一提的是，这本书名字叫做《图灵的大教堂》，但实际上写得最多的人物并不是图灵，而是另一个计算机界大佬：现代计算机之父——约翰·冯·诺依曼。
序言部分是关于智能时代的简介，用莱布尼茨的名言“数字计算对于宇宙的存在是必不可少的，他不仅仅是那些售卖石油或者沙丁鱼的商人获利的工具”，引出计算机的重要性。
用从0到1的数字计算，为冯诺依曼以及他的架构和原则的出场埋下伏笔。
也揭示了我们目前正在进入一个过渡区——从由人类所主导的时代转变为由越来越自治的机器所主导的时代。
这本详细地记录了创造这些机器的一些人的故事。
前言部分紧接着序言未讲完的关于数字问题，主要讲述了数字宇宙的诞生。
同样这次以冯诺依曼的名言：“我正在考虑远比炸弹重要得多的东西，我再考虑计算机。
”来开始。
从而顺理成章地介绍存储程序计算机（又称冯诺依曼计算机）。
由此才第一次提及图灵。
他只是提出设想，而冯诺依曼想在物理上实现这个设想。
随后我了解到Mean的数字和do的数字的区别被打破。
对于人类宇宙中的观察家而言，数字宇宙似乎正在加快步伐，而对于数字宇宙中的观察者来说，人类宇宙似乎正在放缓脚步。
引言部分介绍了一种我们正在学习的计算机语言——C 语言。
我清楚的记得在ENIAC维修手册上写着：序列：1个字（40bd）是两个序列，每个序列=C(A)=命令（1-10，21-30）*地址（11-20，31-40）Bd（binarydigit）就是后来的bit。
虽然不是很懂但是这些似乎包含了C语言的一些主要元素。
这里作者要感谢图灵、冯诺依曼、毕罗阁、还有一切相关人员。
这些人物都是大佬，十分优秀。
随后正文部分终于来了。
正文共分为了两个部分。
第7讲新数学的诞生在此前的几讲里，我们通过向大家介绍古代的希腊科学和中国科学，并重点通过科学革命，其中包括哥白尼革命、牛顿革命等事例，对科学的内涵、意义、作用、模式、及其传统进行了部分阐释。
从中我们可以看到，对各种基本问题的关注，往往是促成重大科学发现、推动科学进步的一个重要前提。
另外，从古希腊毕达哥拉斯学派提出的“万物皆数”观念，遍历哥白尼、开普勒、伽利略、牛顿探索并构建的宇宙数学模型，直到上一讲我们提及的“笛卡尔之梦”，都从一个侧面说明了作为“科学皇后”的数学，对于整个科学的重要作用。
伽利略的话，即宇宙“这本书是用数学的语言写成的”，已为我们所熟知。
其实，在此之前，文艺复兴运动的代表人物达·芬奇也曾说过：“一个人若怀疑数学的极端可靠性，他就会陷入混乱之中，……人类的一切探讨活动如果缺少数学上的说明和论证，那就不能称之为科学。
”正是在这种数学化思想认识的指导下，挣脱了中世纪宗教樊篱的科学活动，开始突现出蓬勃发展的趋势，并为数学的复苏提出了新要求，提供了新动力。
1.代数学的新生近代代数学的进展人们习惯上将阿拉伯数学家花拉子米视为代数学的始祖。
“代数学”这一术语即来源于他的传世名著《代数学》（al-Kitab al-mukhta sar fi hisab al-jabr wa’l-muqabala。
约820年）。
该书所讨论的数学问题大都比丢番图和印度人所讨论的数学问题简单，但它在数学思想上有一处明显的进步：它探讨算术问题的一般性解法。
而丢番图《算术》中所记载的数学问题，基本上是一题一法，而且多数需要依赖于高度的运算技巧才可获解。
有人曾抱怨说，“研究了丢番图的一百道问题之后，人们还是不知道怎样去解第一百零一个问题”。
尽管花拉子米在其《代数学》一书中，运用代数方式处理了线性方程组与二次方程，第一次引进了移项、同类项合并等代数运算，并给出了一元二次方程的一般解法及几何论证，还指出了二次方程有无（实）根的条件等。
但他在当时，还无法看到这种一般性方法对于数学意味着什么。
实际上，他所研究的根本对象仍然是数。
按照我们今天的观点，他的研究领域实质上仍然局限于算术。
完全意义上的代数学，需要符号系统的引入，才可获得真正的新生。
只有等到符号化体系之后，代数才成为一门独立的科学。
近现代数学最为明显的标志之一，就是普遍地使用了数学符号，它体现了数学学科的高度抽象与简练。
数学符号的系统化首先归功于法国数学家韦达，其符号体系的引入导致了代数性质上的重大变革。
韦达以辅音字母表示已知量，元音字母表示未知量。
他把符号性代数称作“类的算术”，并规定了算术与代数的分界，认为代数运算施行于事物的类或形式，算术运算仅施行于具体的数，使代数成为研究一般类型的形式和方程的学问，因其抽象而应用更为广泛。
韦达的这种做法受到后人的赞赏，并被吉拉德和奥特雷德所继承。
特别是通过后者的著作《实用分析术》，在数学研究中使用符号逐渐成为一种风尚。
当然，韦达的符号代数并非没有缺陷，比如，他的符号代数保留了一种齐性原则，即体积与体积相加，面积与面积相加。
这一障碍直到笛卡尔解析几何的诞生才得到消除。
笛卡尔在其《几何学》中以任意选取的单位线段为基础，定义了线段的加、减、乘、除、乘方、开方等运算。
他以独特的字母符号来表示线段，由于他可用线段表示积、幂等，这样就突破了“齐次性”的束缚，而在几何中自由运用算术或代数术语，从而将几何问题化为代数问题。
笛卡尔还改进了韦达的代数符号系统，他首先用拉丁字母的前几个表示已知量，后几个表示未知量，成为今天的习惯。
继花拉子米一般性地解决了线性方程和二次方程的求解问题之后，三次方程和四次方程的求解问题开始成为数学中一个倍受人们普遍关注的基本问题。
然而，截止15世纪末，各种探索皆以失败而告终，这使得有些人开始怀疑三、四次方程与化圆为方问题一样难以解决。
直到1515年，波伦亚大学的数学教授费罗（S. Ferro, 1465-1526）终于在此方向上获得了第一个突破。
他发现了形如x3 + px = q(p, q > 0)的三次方程的代数解法。
1535年，意大利的另一位数学家塔塔利亚宣称自己还可以解形如x3 + px2 = q (p, q > 0)的三次方程。
然而，按照当时的风气，学者们多不愿公开自己的研究成果，因此，这些方程的解法仍是一种秘密。
1545年，一位米兰学者卡尔丹诺（G. Cardano, 1501-1576）突然出版了一本专著《大法》（Ars Magna），向世人公开了上述方程的解法。
现在我们都习惯于将其称为卡尔丹诺公式。
卡尔丹诺还在《大法》中收录了其弟子费拉里（L. Ferrari, 1522-1565）对四次方程的根式解法。
因此，《大法》一书包含了三次和四次方程的解法。
其中包含的四次方程皆通过一定的代换，转化为可解的三次方程获得根式求解。
在对三次方程的求解过程中，会出现一种所谓的“不可约”情形，这实质上是与复数的不期而遇。
卡尔丹诺已认识到三次方程的复数根是成对出现的，并且三次方程有三个根，四次方程有四个根。
1572年，意大利数学家邦贝利（R. Bornbelli）在其所著教科书《代数》中引进了虚数，用以解决三次方程的不可约情况，并以dimRq11来表示11。
在此基础上，荷兰人吉拉德（A. Girard）在其《代数新发现》（1629）一书中对代数方程的解作出了进一步推断：对于n次多项式方程，如果把不可能的（复数根）考虑在内，并包括重根，则应有n个根，这就是著名的“代数基本定理”。
不过吉拉德没有给出证明。
卡尔丹还发现了三次方程的三根之和等于二次项系数的相反数，每两根乘积之和等于一次项的系数等。
这种根与系数的关系问题后来先后由韦达（F. Vieta, 1540-1603）、格列高里（J. Gregory,1638-1675）和牛顿（Isaac Newton, 1642-1727）等人作出了系统阐述。
由此可见，对于代数基本问题，实际上也是当时整个数学的一个基本问题之一的关注，虽然在最初只产生了一些零星的结果，但正是这些有限的进展，却成就了后来的数学发展，成为高次代数方程理论一系列漫长而影响深远的探索的起点。
代数方程的可解性代数学的下一次重大进展，发生在19世纪初，对于整个代数学史而言，该进展可谓是代数学的一次革命性变化，具有划时代的意义。
那就是群的发现。
它是一代代数学家关注于代数方程可解性的基本问题而获得的最伟大的收获。
在此之前，数学经历了连续两个世纪的开拓与发展，到18世纪后半叶时，数学内部悄悄积累的矛盾已经开始酝酿着新的变革。
当时数学家们面临一系列数学发展里程中自身提出的、长期悬而未决的问题，其中最突出的是：高于四次的代数方程的根式求解问题、欧几里得几何中平行公理的证明问题以及牛顿、莱布尼兹微积分算法的逻辑基础问题。
在19世纪初，这些问题已变得越发尖锐而不可回避。
它们引起数学家们集中的关注和热烈的探讨，并导致了数学发展的新突破。
与上世纪末部分数学家们的悲观预料完全相反，数学在19世纪跨入了一个前所未有的、突飞猛进的历史时期。
中世纪的阿拉伯数学家把代数学看成是解代数方程的学问，他们系统地解决了二次方程的求根问题。
文艺复兴时期的欧洲数学家们继承了这一传统，但又有所突破。
他们成功地解决了三次和四次代数方程的求根问题，并将符号与数字的运算统一起来，创立了类的算术。
接下来，数学家们自然希望能尽快找到一般的五次或更高次的代数方程的根式解。
即在n>5时，对于形如x n + a1x n–1+ …+ a n–1x + a n= 0的代数方程，它的解能否通过只对方程的系数作加、减、乘、除和求正整数次方根等运算的公式得到。
所以，代数学在当时面临的基本问题变为：五次或更高次的代数方程是否存在根式解。
在解出三次和四次代数方程后的近两个半世纪内，很少有人对此产生过怀疑。
然而事实却是，所有寻求这种解法的努力都以失败而告终。
于是，数学家们开始从另一方面来思考这一问题。
1770年，拉格朗日发表了他的《关于代数方程解的思考》一文，讨论了在他之前人们所熟知的解二次、三次、四次方程的一切解法，并且指出这些成功解法所根据的情况对于五次以及更高次方程是不可能发生的。
拉格朗日发现三次方程有一个二次辅助方程，其解为原三次方程根的函数并且在根的置换下仅取两个值；四次方程则有一个三次辅助方程，其解在原方程根的置换下仅取三个不同值。
他称这些辅助方程的解为原方程根的“预解函数”，并试图进一步将上述方法推广到五次和五次以上的方程。
他继续寻找五次方程的预解函数并希望它是低于五次的方程的解，但没有成功，因而猜测高次方程一般不能根式求解并试图对这种不可能性作出证明，经过努力，他不得不坦言这个问题“好象是在向人类的智慧挑战”。
拉格朗日最有启发性的思想是研究根的对称函数并考虑一个有理函数当其变量发生置换时取值的个数，这蕴含了置换群的概念。
到了18世纪的最后一年，意大利的鲁菲尼（P. Ruffini,1765-1822）用拉格朗日的方法证明了不存在一个预解函数能满足一个次数不低于五次的方程，并明确提出要证明高于四次的一般方程不可能用代数方法求解。
在这一问题上，18世纪的数学家可以说已经走到了成功的边缘，他们虽然未能达到目标，却为下一世纪的最终冲刺指明了方向。
拉格朗日的文章发表过后半个世纪，一位在新世纪诞生于挪威的年青人以其才气宣告了人类智慧的胜利。
1824年，年仅22岁的数学家阿贝尔自费出版了一本小册子《论代数方程：证明一般五次方程的不可解性》，在其中严格证明了以下事实：如果方程的次数大于等于五，那么任何以其系数符号组成的根式都不可能表示方程的一般解。
这样，五次和高于五次的一般方程的求解问题就由阿贝尔彻底解决了。
他还考虑了一些特殊的能用根式求解的方程，其中的一类现在被称为“阿贝尔方程”。
在这一工作中，他实际上引进了“域”这一重要的近世代数概念，虽然他没有这样来称呼。
五次及更高次方程代数解的存在性问题似乎就这样解决了，然而，数学家们却并未就此停步。
以下，我们就来说说代数学在19世纪所发生的那场革命性变革，即群的发现和一位天才数学家伽罗瓦的故事。
群的发现阿贝尔关于代数方程的工作只是证明对于一般的五次和五次以上方程根式解是不可能的，但并不妨碍人们去求一些特殊的代数方程，比如阿贝尔方程的根式解。
在阿贝尔的工作之后，数学家所面临的基本问题变为：什么样的特殊方程能够用根式来求解？解决这一问题的是一位与阿贝尔一样年青的法国数学家伽罗瓦（E. Galois, 1811-1832）。
伽罗瓦在1829-1831年间完成的几篇论文中，建立了判别方程根式可解的充分必要条件，从而宣告了方程根式可解性这一经历了三百年的难题的彻底解决。
伽罗瓦的思想是将一个高次方程的所有根作为一个整体来考察，并研究它们之间的排列或称“置换”。
