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P
y f x
P1
T P
y
y f x
P2
T
O
x
O
x
沿着曲线
y
1
y f x
y
2
y f x
P3
T
T
P4 P
O
x
O
x
3
4
图1.1 2
我们发现,当点Pn 趋近于点P时, 割线 PPn 趋近于确 定的位置, 这个确定位置的直线PT 称为过点P的 切线 tan gent line .值得关注的问题是 , 割线PPn的 斜率与切线PT的斜率k有什么关系呢? 此处切线定义与以前学 过的切线定义有什么不 同?
曲线 f t 在此点处的切线的斜率 .
如图1.1 4,画出曲线上某点处的切 线, 利用网格 估计这条切线的斜率 , 可以得到此刻药物浓度 瞬 时变化率的近似值 . 作t 0.8处的切线 ,它的斜率约为 1.4, 所以
f ' 0.8 1.4.
下表给出了药物浓度瞬 时变化率的估计值 , 验证 一下, 这些值是否正确 .
动画演示割线变化趋势 . k n xn x0
当点 Pn无限趋近于点 P时, k n无限趋近于切线 PT 的斜率.因此, 函数 f x 在x x0处的导数就是切 线PT的斜率 k .即 f x0 x f x0 k lim f ' x0 . x 0 x
数学上常用简单的对象 刻画复杂的对象.例 如 , 用有理数3.1416 近似代替无理数 . 这里, 我们用曲线上某点处的 切线 近似代替 这 点 附近的曲线, 这是微积分中重要的思 想方法 以直代曲 .
例 2 如图1.1 3, 它表 示跳水运动中高度随 时间变化的函数 h t 4.9 t 6.5 t 10 的 图象 . 根 据图象, 请描 述、比较曲线 ht 在t0 , t1 , t2附近的变化情况 .
《1.1.3 导数的几何意义》课件2
么, 导数 f ' x0 的几何意义是什么呢 ?
我们知道, 导数 f ' x0 表示函数 f x 在 x x0 处的瞬时变化率, 反映了函 数 f x 在 x x0 附近的变化情况 .那
y
观 察 如图 1 .1 2 ,当点 Pn xn , f xn n 1, 2, 3, 4 f x 趋近于点 P x0 , f x0 时, 割线PPn的 变 化 趋势 是 什么?
cm g/ m l
1 .1 1 .0 0 .9 0 .8 0 .7 0 .6 0 .5 0 .4 0 .3 0 .2 0 .1
0 0
0 .1
0 .2
0 .3
0 .4
0 .5
0 .6
0 .7 0 .8
0 .9
1 .0
1 .1
t m in
图1.1 4
解 血管中某一时刻药物浓 度的瞬时变化率 , 就是 药物浓度 f t 在此时刻的导数 .从图象上看 ,它表示
药物浓度的瞬时变化率 f t 0.4 0 0.7 1.4
'
t
0.2 0.4
0.6
0.8
从求函数 f x 在 x x0 处导数的过程可以
看到, 当 x x0 时, f ' x0 是一个确定的数.这
样, 当 x 变化时, f ' x 便是 x 的一个函数, 我 们称它为f x 的导函数(derivative function) (简称导数 ). y f x 的导函数有时也记作 f x x f x ' ' ' y , 即 f x y lim . x 0 x
O
2
t0
t1
t2
t
单调递减 . 从图1.1 3可见, 直线l1的倾斜程度小于直线 l2的倾斜 程度, 这说明曲线 ht 在t1附近比在 t2附近下降得缓慢 .
例 3 如图 1.1 4, 它 表示人体血管中药 物浓度 c f t (单 位 : mg / ml ) 随时间 t 单位 : min 变化的 函数图象.根据图象, 估计 t 0.2,0.4,0.6. 0.8 min 时, 血管中药 物浓度的瞬时变化 率 精确到0.1 .
h
l0
l1
l 2当t t1时,曲线ht 在t1 图1.1 3 处的切线 l1的斜率 h`t1 0.所以, 在t t1附近曲线下 降, 即函数 ht 在t t1附近单调递减 . 3当t t2时,曲线 ht 在t2处的切线 l2的斜率 h`t2 0. 所以, 在t t2附近曲线下降 , 即函数 ht 在t t1附近也
2
h
l0
l1
O
t0
t1
t2
t
l2
图1.1 3
解 我们用曲线 h x 在t0 , t1 , t2 处的切线 , 刻画曲 线ht 在上述三个时刻附近的 变化情况 .
利用曲线在动点的切线 , 刻画曲线在动点附近 的变化情况 .
1当t t0时,曲线 ht 在
t0处的切线 l0平行于 x 轴. 所以, 在t t0附近曲线比 较平坦 , 几乎没有升降 .
继续观察图 1.1 2或动画演示, 可以发现, 在点 P附近, PP2比PP 1更贴近曲线 f x , PP 3 比 PP2 更贴近曲线 f x 过点P的切线 PT 最贴近点P附近的曲线 f x .因此 , 在点 P 附近, 曲线 f x 就可以用过点P的切线 PT近似代替.
