2.3.1 导数两种必会题型(课时练习)-2016届高三数学二轮复习(原卷版)

word 版高二数学导数大题及练习题一、解答题1．求下列函数的导数： (1)221()(31)y x x =-+； (2)2321xy x -=+； (3)e cos x y x =2．已知()2,13,1x x x f x x x ⎧-≥-=⎨+<-⎩，()()ln g x x a =+．(1)存在0x 满足：()()00f x g x =，()()00f x g x ''=，求a 的值； (2)当4a ≤时，讨论()()()h x f x g x =-的零点个数．3．已知a R ∈，函数()22e 2xax f x =+． (1)求曲线()y f x =在0x =处的切线方程 (2)若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且1201x x ，（ⅰ）求a 的取值范围；（ⅱ）当9a <-时，证明：21x x <-<． （注： 2.71828e =…是自然对数的底数）4．函数()3e xf x ax =-，0a >.(1)讨论函数()f x 的极值点个数；(2)已知函数()g x 的定义域为[)0,∞+，且[)0,x ∞∀∈+满足()()()g x xg x xg x '+>.若[)00,x ∃∈+∞，满足不等式()()()22e 22e x x g x xg x --≤，且0x 是函数()f x 的极值点，求a 的取值范围.5．已知函数()ln f x x =，()21g x x x =-+．(1)求函数()()()h x f x g x =-的单调区间；(2)若直线l 与函数()f x ，()g x 的图象都相切，求直线l 的条数．6．已知函数()2()2e =+-xf x x a ．(1)讨论函数的单调性；(2)若(0,),()x f x a ∈+∞≥-恒成立，求整数a 的最大值．7．已知函数()ln (1af x x a x =+-为常数)，且函数()f x 的图象在2x =处的切线斜率小于1.2-(1)求实数a 的取值范围;(2)试判断(1)ln e a -与(e 1)ln a -的大小，并说明理由. 8．已知函数()323f x x ax x =-+.(1)若3x =是()f x 的极值点，求()f x 在[]1,a 上的最大值和最小值； (2)若()f x 在[)1,+∞上是单调递增的，求实数a 的取值范围.9．已知函数()e 2x f x ax =-，()22sin 1g x a x x =-+，其中e 是自然对数的底数，a ∈R .(1)试判断函数()f x 的单调性与极值点个数；(2)若关于x 的方程()()0af x g x +=在[]0,π上有两个不等实根，求实数a 的最小值. 10．已知函数()321623f x x ax x =+-+在2x =处取得极值． (1)求()f x 的单调区间；(2)求()f x 在[]4,3-上的最小值和最大值．【参考答案】一、解答题1．(1)21843x x +-；(2)222262(1)x x x --+；(3)e (cos sin )x x x -. 【解析】 【分析】（1）（2）（3）由基本初等函数的导数公式，结合求导的乘除法则求各函数的导函数. (1)2222(21)(31)(21)(31)4(31)3(21)1843y x x x x x x x x x '''=-++-+=++-=+-.(2)2222222222(32)(1)(32)(1)2(1)2(32)262(1)(1)(1)x x x x x x x x x y x x x ''-+--+-+----'===+++.(3)(e )cos e (cos )e (cos sin )x x x y x x x x '''=+=-.2．(1)0a =或4； (2)答案见解析.【解析】 【分析】（1）在1x ≥-有()2000ln 21x x x -=--，构造中间函数并利用导数研究单调性和零点情况，求参数a ，在1x <-上根据已知列方程组求参数a ，即可得结果. （2）讨论a 的范围，利用导数研究()h x 的单调性，结合零点存在性定理判断各情况下零点的个数. (1)1x ≥-时()2f x x x =-，原条件等价于200000ln()1210x x x a x x a ⎧-=+⎪⎨-=>⎪+⎩，∴()2000ln 21x x x -=--，令()()2ln 21x x x x ϕ=-+-，则()221021x x x ϕ'=-+>-， ∴()ϕx 为增函数，由()10ϕ=，则()0x ϕ=有唯一解01x =，所以0a =，1x <-时，()000311x ln x a x a ⎧+=+⎪⎨=⎪+⎩，解得：4a =． 综上，0a =或4． (2)ⅰ.0a <时0x a +>，则0x a >->，()()()22ln ln h x x x x a x x x x ϕ=--+>--=，而()121x x x ϕ'=--，()2120x xϕ''=+>，即()x ϕ'为增函数，又()01ϕ'=， 当()0,1∈x 时()0ϕ'<x ；当()1,x ∈+∞时()0ϕ'>x ，故()()10x ϕϕ≥=， ∴()0h x >恒成立，故0a <时零点个数为0；ⅱ.0a =时，()2ln h x x x x =--，由①知：仅当1x =时()0h x =，此时零点个数为1．ⅲ.01a <≤时，()()()2ln h x x x x a x a =--+>-，则()121h x x x a'=--+，()()2120h x x a ''=+>+，∴()h x '为增函数，2102a h a a⎛⎫'-=---< ⎪⎝⎭，()11101h a'=->+， ∴()0h x '=仅有一解，设为0(,1)2ax ∈-，则在()0,a x -上()0h x '<，在()0,x +∞上()0h x '>，所以()h x 最小值为()0h x ，故()()010h x h ≤<．又2ln 02422a aa a h ⎛⎫-=+-> ⎪⎝⎭，()()22ln 20h a =-+>，故0,2a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭、()0,2x 上()h x 各有一零点，即()h x 有2个零点．ⅳ.14a <<时，(),1a --上()()()()3ln 3ln 4h x x x a x x p x =+-+>+-+=，()()()1103304p x x p x p x '=-=⇒=-⇒≥-=+， ∴()h x 无零点，则[)1,-+∞上()()2ln h x x x x a =--+，()121h x x x a'=--+，()()2120h x x a ''=+>+，∴()h x '为增函数，()11301h a '-=--<-+，()11101h a'=->+， ∴()0h x '=有唯一解，设为x '，则()()10h x h '≤<，又()()12ln 10h a -=--+>，()()22ln 20h a =-+>，故()1,x '-、(),2x '上，()h x 各有一个零点，即()h x 有2个零点．ⅴ.4a =时，由（1）知：(]4,1--上()h x 有唯一零点：3x =-；在()1,-+∞上()()2ln 4h x x x x =--+，则()1214h x x x '=--+，()2120(4)h x x ''=+>+， 所以()h x '为增函数，()11301h a '-=--<-+，()4105h '=>，故1(1,1)x ∃∈-使1()0h x '=，则1(1,)x -上()0h x '<，()h x 递减；1(,)x +∞上()0h x '>，()h x 递增； 故1()()h x h x ≥，而1()(1)ln 50h x h <=-<，又(1)2ln30h -=->，(2)2ln 60h =->，故在1(1,)x -、1(),2x 上()h x 各有一个零点， 所以()h x 共有3个零点．综上：0a <时()h x 零点个数为0；0a =时()h x 零点个数为1；04a <<时()h x 零点个数为2；4a =时()h x 零点个数为3． 【点睛】 关键点点睛：（1）根据分段函数的定义域讨论x ，结合函数、方程思想求参数.（2）讨论参数a ，利用二阶导数研究()h x '的单调性，进而判断其符号研究()h x 单调性，并结合零点存在性定理判断区间零点的个数.3．(1)(21y x =-+(2)（ⅰ）22e ,-；（ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（1）由导数的几何意义即可求解； （2）（ⅰ）原问题等价于12,x xa =-的两根，且1201x x ，从而构造函数())0g x x =>，将问题转化为直线y a =-与函数()g x 的图象有两个交点，且交点的横坐标大于0小于1即可求解；（ⅱ）由1e x x +≤，利用放缩法可得()()1112210x ax f x '++-=，即1x 2114x <<，从而可证21x x -<()21e 011x xx x +<<<-，然后利用放缩法可得()()1201,21i i i ix ax f x i x +'⋅+->==-，即(()22201,2i i ax a x i -++++-=，最后构造二次函数()(222m x ax a x =-++++21x x ->而得证原不等式. (1)解：因为()22e x f x ax '=+所以()02f '=()01f =，所以曲线()y f x =在0x =处的切线方程为(21y x =-+； (2)解：（ⅰ）因为函数()f x 有两个极值点12,x x ，所以12,x x 是关于x 的方程()22e 0x f x ax =+'的两根，也是关于x的方程a =-的两正根， 设())0g x x =>，则()g x '=， 令())224e 2e 0x x h x x x =->，则()28e xh x x '=，当0x >时，()0h x '>，所以()h x 在()0,∞+上单调递增，又104h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，当104x <<时，()0h x <，()0g x '<；当14x >时，()0h x >，()0g x '>， 所以函数()g x 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，又因为1201x x ，所以()114g a g ⎛⎫<-<⎪⎝⎭，即22e a <-<-所以a的取值范围是22e ,-；22e 9a <<-， 因为1e x x +≤，所以()()1112210x ax f x '++-=，所以()142a x +-，所以1x 2114x <<，所以211x x -<= 下面先证明不等式()21e 011x xx x+<<<-， 设()()2101e 1xx r x x x -=⋅<<+，则()()2222e 1x x r x x '=-+， 所以，当01x <<时，()0r x '<，()r x '在()0,1上单调递减， 所以，()()01r x r <=，所以不等式()21e 011x xx x+<<<-成立， 因为12,x x ，()1201x x <<<是()22e 0x f x ax '=+=的两个根，所以()()01,2i f x i '==，又()21e 011x xx x+<<<-，所以()()1201,21ii i ixax f x i x +'⋅+->==-，即(()22201,2i i ax a x i -++++-=，设函数()(222m x ax a x =-++++x t ==因为((()2224261620a a a ∆=+++-=+-+->，且()00m >，()10m >，102t <<， 所以函数()m x 有两个不同的零点，记为α，()βαβ<，且01t αβ<<<<，因为()22616212e 201ta tf t at at t+++'=+-⋅+-=<-，且()00f '>，()10f '>，所以1201x x ，因为()m x 在()0,t 上单调递减，且()()10m x m α>=，所以10x t α<<<； 因为()m x 在(),1t 上单调递增，且()()20m x m β>=，所以21t x β<<<； 所以1201x x αβ<<<<<，所以21x x βα->-，因为βα-=又()109a -<<<-，所以βα->所以21x x ->综上，21x x <-< 【点睛】关键点点睛：本题（2）问（ii ）小题证明的关键是，利用1e x x +≤，进行放缩可得1x21x x -<；再利用()21e 011x x x x +<<<-，进行放缩可得()()1201,21ii i ix ax f x i x +'⋅+->==-，从而构造二次函数()(222m x ax a x =-++++21x x ->4．(1)答案见解析(2)2e e ,123⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】（1）求出()'f x ，由()0f x '=知0x ≠，分离参数得2e3xa x =，引入函数2e ()3x G x x=，由()G x 的导数确定单调性与极值，可作出函数的大致图象，结合图象分类讨论得出零点个数，根据极值定义得极值点个数； （2）令()()exxg x h x =，求导后得()h x 是增函数，不等式()()()22e 22e x x g x xg x --≤，整理得()()()222eexxx g x xg x ---≤，即()()2h x h x -≤，由单调性得x 的范围，从而得出0x 的范围，结合极值点的要求得0[1,2)x ∈，然后由（1）的函数()G x 的性质得a 的范围． (1)()3e x f x ax =-，则()23e x f x ax '=-，函数的极值点为导函数的变号零点，显然0x =不是()0f x '=的解，当0x ≠时，令()2e 3xG x x=，则()2431e 2e e 233x x x x x x G x x x⋅-⋅-'=⋅=⋅，故()G x 的单调性如表格所示：x(),0∞-()0,22()2,+∞()G x '0>0<0=0>()G x单调递增 单调递减 极小值 单调递增则极小值为()2e 212G =，可得函数()G x 的大致图象如图，故当2e 0,12a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，2e 3x a x =有两个解12,x x (120x x <<)，在1x 两侧()'f x 的符号相等，在2x 两侧，()'f x 不变号，()f x 有1个极值点；当2e ,12a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，2e 3xa x =有三个解123,,x x x ，在这三个解两侧()'f x 均变号，()f x 有3个极值点. (2) 令()()e x xg xh x =，则()()()()1e xx g x xg x h x '-+'=，因为[)0,x ∞∀∈+满足()()()g x xg x xg x '+>，故()()()10x g x xg x '-+>， 则()0h x '>，故函数()h x 是一个在定义域上单调递增的函数；又[)00,x ∃∈+∞，满足不等式()()()22e 22e x x g x xg x --≤，整理得()()()222e e x xx g x xg x ---≤，即()()2h x h x -≤，结合定义域有0,20,2,x x x x ≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩故0x 的取值范围是[]1,2，又0x 是函数()f x 的极值点，即函数()f x 的变号零点，∴02x ≠，由（1）知，函数()G x 在区间[)1,2上单调递减，故2e e ,123a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查用导数确定函数的极值点，研究不等式恒成立问题，解题关系是问题的转化，极值点的个数问题转化为方程的根的个数，再转化为函数图象交点个数．不等式问题通过引入函数，利用函数单调性化简得出参数范围，本题属于困难题，对学生的逻辑思维能力，运算求解能力要求较高． 5．(1)在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减 (2)两条 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；（2）设直线l 分别与函数()f x ，()g x 的图象相切于点()11,ln A x x ，()2222,1B x x x -+，依题意可得()()12AB f x g x k '='=，即可得到方程组，整理得()211211ln 204x x x ++-=，令()()221ln 24x F x x x +=+-，利用导数说明函数的单调性，利用零点存在性定理判断零点的个数，即可得解； (1)解：由题设，()()()2ln 1h x f x g x x x x =-=-+-，定义域为()0,∞+，则()()()221112121x x x x h x x x x x+---'=-+=-=- 当01x <<时，()0h x '>；当1x >时，()0h x '<，所以()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减.(2)解：因为()ln f x x =，()21g x x x =-+，所以()1f x x'=，()21g x x '=-，设直线l 分别与函数()f x ，()g x 的图象相切于点()11,ln A x x ，()2222,1B x x x -+ 则()()12AB f x g x k '='=，即21222112ln 1121x x x x x x x -+-=-=- 由2122112ln 11x x x x x x -+-=-，得2121221ln 1x x x x x x -=-+- 即2212211ln 1x x x x x -=-+-，即221221ln 20xx x x x -++-=由21121x x =-，得12112x x x +=，代入上式，得211112111111ln 20222x x x x x x x ⎛⎫+++-++-= ⎪⎝⎭即()211211ln 204x x x ++-=，则()()2221117ln 2ln 4244x F x x x x x x +=+-=++- 设()()()()223332111112102222x x x x F x x x x x x x +---='=--=> 当01x <<时，()0F x '<；当1x >时，()0F x '>，所以()F x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增.因为()()min 110F x F ==-<，()()()222222441e 1e e ln e 204e4eF ++=+-=>，则()F x 在()1,+∞上仅有一个零点.因为()24242e e 7e 4e 7e 2024424F ---=-++-=+>，则()F x 在()0,1上仅有一个零点. 所以()F x 在()0,∞+上有两个零点，故与函数()f x ，()g x 的图象都相切的直线l 有两条.6．(1)答案见解析 (2)4 【解析】 【分析】（1）求得()'f x ，对a 进行分类讨论，由此求得()f x 的单调区间.（2）由(0,),()x f x a ∈+∞≥-恒成立分离常数a ，通过构造函数，结合导数求得a 的取值范围，从而求得整数a 的最大值. (1)()'2(22)e x f x x x a =++-①当1a ≤时，()0f x '≥恒成立，故()f x 在R 上恒增； ②当1a >时，当(,1x ∈-∞-时()0f x '>，()f x 单调递增，(11x ∈--时()0f x '<，()f x 单调递减，(1)x ∈-+∞时()0f x '>，()f x 单调递增，综上所述：当1a ≤时，()f x 在R 上恒增； 当1a >时，()f x在(,1-∞-和(1)-++∞上单调递增，在(11--上单调递减.(2)2e (2)(e 1)x x x a +≥-，由于,()0x ∈+∞，2e (2)e 1x x x a +≤-， 2e (2)()e 1x x x g x +=-，22e (2e 22)()(e 1)x x x x x x g x ---'=-，令2()2e 22x h x x x x =---，()(e 1)(22)x h x x '=-+，由于,()0x ∈+∞，则()(e 1)(22)0x h x x '=-+>，故2()2e 22x h x x x x =---单调递增，3334443393338()e 2e 4(e )042162223h =---<-=-<，(1)2e 50h =->， 所以存在03(,1)4x ∈使得0()0h x =，即020002e 22xx x x =++，当00(0,)x x ∈时()0h x <，()g x 单调递减，当00(,)x x ∈+∞时()0h x >，()g x 单调递增； 那么()()00202000e 222e 1x x x a g x xx +≤==++-，03(,1)4x ∈，故034()()(1)54g g x g <<<=，由于a 为整数，则a 的最大值为4. 【点睛】求解含参数不等式恒成立问题，可考虑分离常数法，然后通过构造函数，结合导数来求得参数的取值范围. 7．(1)(1,)+∞ (2)答案见解析 【解析】 【分析】（1）求导后根据题意解不等式（2）化为相同形式，构造函数根据单调性判断 (1)由22(2)1()(1)x a x f x x x '-++=-，且函数()f x 在2x =处的切线斜率小于12-，知2222(2)11(2)2(21)2a f -++'=<--，解得 1.a > 故a 的取值范围为(1,)+∞ (2)由(1)可知(1)ln e a -与(e 1)ln a -均为正数.要比较(1)ln e a -与(e 1)ln a -的大小，可转化为比较ln ee 1-与ln 1a a -的大小. 构造函数ln ()(1)1x x x x ϕ=>-，则211ln ()(1)xx x x ϕ--'=-，再设1()1ln m x x x =--，则21()x m x x -'=， 从而()m x 在(1,)+∞上单调递减，此时()()10m x m <=， 故()0x ϕ'<在(1,)+∞上恒成立，则ln ()1xx x ϕ=-在(1,)+∞上单调递减.综上可得，当(1,e)a ∈时，(1)lne (e 1)ln a a -<- 当e a =时，(1)lne (e 1)ln a a -=- 当(e,)a ∈+∞时，(1)lne (e 1)ln a a ->- 8．(1)最大值为15，最小值为9- (2)3a ≤ 【解析】 【分析】（1）由()30f '=可求得实数a 的值，再利用函数的最值与导数的关系可求得函数()f x 在[]1,a 上的最大值和最小值；（2）分析可知()23230f x x ax '=-+≥对任意的1≥x 恒成立，利用参变量分离法结合基本不等式可求得实数a 的取值范围. (1)解：因为()323f x x ax x =-+，则()2323f x x ax =-+'，则()33060f a '=-=，解得5a =，所以，()3253f x x x x =-+，则()()()23103313f x x x x x '=-+=--，列表如下：所以，min 39f x f ==-，因为11f =-，515f =，则max 515f x f ==. (2)解：由题意可得()23230f x x ax '=-+≥对任意的1≥x 恒成立，即312a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，由基本不等式可得313322x x ⎛⎫+≥⨯ ⎪⎝⎭，当且仅当1x =时，等号成立，故3a ≤.9．(1)答案见解析 (2)e π-- 【解析】 【分析】（1）求出()f x '，分类讨论，分0a ≤和0a >讨论()f x 的单调性与极值； （2）利用分离参数法得到sin 1e x x a -=，令()()sin 10e xx h x x π-=≤≤，利用导数判断 ()h x 的单调性与最值，根据直线y a =与函数()h x 的图像有两个交点，求出实数a 的最小值. (1)()e 2x f x ax =-，则()e 2x f x a '=-.①当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 在R 上单调递增，此时函数()f x 的极值点个数为0；②当0a >时，令()20e x f x a '=-=，得()ln 2x a =，当()ln 2x a >时，()0f x '>，则()f x 在()()ln 2,a +∞上单调递增， 当()ln 2x a <时，()0f x '<，则()f x 在()(),ln 2a -∞上单调递减， 此时函数()f x 的极值点个数为1.综上所述，当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增，极值点个数为0； 当0a >时，()f x 在()()ln 2,a +∞上单调递增，在()(),ln 2a -∞ 上单调递减，极值点个数为1. (2)由()()0af x g x +=，得sin 1xx a e -=. 令()()sin 10xx h x x e π-=≤≤， 因为关于x 的方程()()0af x g x +=在[]0,π上有两个不等实根， 所以直线y a =与函数()sin 1xx h x e -=的图像在[]0,π上有两个交点. ()1cos sin 14x xx x x h x e e π⎛⎫-+ ⎪-+⎝⎭'==， 令()0h x '=，则sin 4x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭[]0,x π∈，所以2x π=或x π=，所以当02x π<<时，()0h x '>；当2x ππ<<时，()0h x '<，所以()h x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()max 02h x h π⎛⎫== ⎪⎝⎭.又()01h =-，()e h ππ-=-， e 1π-->-所以当)e ,0xa -⎡∈-⎣时，直线y a =与函数()h x 的图像有两个交点，所以实数a 的最小值为e π--. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题； (4)利用导数研究零点问题，考查数形结合思想的应用． 10．(1)增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2- (2)()max 312f x =，()min 163f x =- 【解析】 【分析】（1）根据题意得()20f '=，进而得12a =，再根据导数与单调性的关系求解即可；（2）由（1）知[]4,3x ∈-时，()f x 的增区间为[)4,3--，(]2,3，减区间为()3,2-，进而求解()4f -，()3f -，()2f ，()3f 的值即可得答案. (1)解：（1）()226f x x ax '=+-，因为()f x 在2x =处取得极值，所以()24460f a '=+-=，解得12a =． 检验得12a =时，()f x 在2x =处取得极小值，满足条件.所以()26f x x x '=+-，令()0f x '>，解得3x <-或2x >，令()0f x '<，解得32x -<<， 所以()f x 的增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2-； (2)解：令()260f x x x '=+-=，解得3x =-或2x =，由（1）知()f x 的增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2-； 当[]4,3x ∈-时，()f x 的增区间为[)4,3--，(]2,3，减区间为()3,2- 又()()()()321138444642323f -=⨯-+⨯--⨯-+=， ()()()()321131333632322f -=⨯-+⨯--⨯-+=，()321116222622323f =⨯+⨯-⨯+=-，()32115333632322f =⨯+⨯-⨯+=-，所以()max 312f x =，()min 163f x =-．。

§3 计算导数 课时目标 1.会计算函数在一个点处的导数.2.理解导函数的概念.3.了解导数公式表．1．计算函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数的步骤：(1)计算函数的增量：Δy ＝f (Δx ＋x 0)－f (x 0)；(2)确定平均变化率：Δy Δx ＝f x 0＋Δx －f x 0Δx； (3)当Δx 趋于0时，得到导数：f ′(x 0)＝lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx. 2．导函数一般地，如果一个函数f (x )在区间(a ，b )上的每一点x 处都有导数，导数值记为f ′(x )： f ′(x )＝________________，则f ′(x )为f (x )的__________，简称导数． 3．导数公式表函数 导函数 函数 导函数 y ＝c (c 是常数)y ′＝0 y ＝sin x y ′＝cos x y ＝x α (α为实数)y ′＝αx α－1 y ＝cos x y ′＝－sin x y ＝a x (a >0，a ≠1) y ′＝a x ln a 特别地(e x )′＝e xy ＝tan x y ′＝1cos 2x y ＝log a x (a >0，a ≠1) y ′＝1x ln a 特别地 (ln x )′＝1xy ＝cot x y ′＝－1sin 2x一、选择题1．已知函数f (x )＝13，则f ′(x )等于( ) A ．－33 B ．0 C.33D. 3 2．曲线y ＝－1x 在点⎝⎛⎭⎪⎫2，－12处的切线方程为( ) A ．x －4y －4＝0 B ．x －y －4＝0C ．x －4y ＝0D ．2x －4y －4＝03．函数y ＝3x 2＋2x ＋1在点x ＝1处的导数为( )A ．3B ．7C ．8D ．14．曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是( ) A ．(0,0) B ．(2,4)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，116D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，145．函数y ＝(x －1)2的导数是( )A ．(x －1)2B ．2(x －1)C ．2(1－x )D ．－26．y ＝cos x 在点x ＝π6处的导数为( ) A.32 B ．－32 C ．－12 D.12二、填空题7．函数y ＝5x ＋4的导数为________．8．函数f (x )＝x 2＋3x 导数为5的点是________．9．曲线y ＝ln x 在x ＝1处的切线斜率为________．三、解答题10．已知函数y ＝x 2＋4x ，求x ＝1,2处的导数值．11.已知f (x )＝2log x ，利用导数公式求f ′(2)．能力提升12．给出下列结论：①(cos x )′＝sin x ；②⎝⎛⎭⎪⎫sin π3′＝cos π3； ③若y ＝1x 2，则y ′＝－1x ；④⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝12x x. 其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．313．已知f ′(x )是一次函数，x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1，求f (x )的解析式．1．“函数f (x )在点x 0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f ′(x 0)是其导数y ＝f ′(x )在x ＝x 0处的一个函数值，求函数在一点处的导数，一般先求出函数的导数，再计算这一点处的导数值．2．可以利用导数公式计算函数在某点处的导数．答 案知识梳理2.lim Δx →0 f x ＋Δx －f x Δx导函数 作业设计1．B2．A [∵f ′(2)＝14，∴所求切线方程为y ＋12＝14(x －2)，即x －4y －4＝0.] 3．C4．D [设切点坐标为(x 0，x 20)，则tan π4＝1＝2x 0. ∴x 0＝12，所求点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.] 5．B [∵y ＝x 2－2x ＋1，∴y ′＝2x －2＝2(x －1)．]6．C [由导数公式，y ′＝－sin x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－sin π6＝－12.] 7．58．(1,4)9．1解析 y ′＝1x，∴f ′(1)＝1. 10．解 f ′(1)＝lim Δx →0f ＋Δx －f Δx ＝lim Δx →0 ＋Δx 2＋＋Δx －1－4Δx ＝lim Δx →0 Δx 2＋Δx Δx＝6. f ′(2)＝lim Δx →0 f ＋Δx －f Δx＝lim Δx →0 ＋Δx 2＋＋Δx －22－4×2Δx＝8.11．解 ∵f ′(x )＝(log 2x )′＝1x ln 2＝2x ln 2， ∴f ′(2)＝1ln 2. 12．B [因为(cos x )′＝－sin x ，所以①错误；sin π3＝32，而⎝ ⎛⎭⎪⎫32′＝0，所以②错误； ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝(x －2)′＝－2x －3，所以③错误； ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝(－x －12)′＝12x －32＝12x x， 所以④正确，故选B.]13．解 由f ′(x )为一次函数可知f (x )为二次函数．设f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.把f(x)，f′(x)代入方程x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1中得：x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1，即(a－b)x2＋(b－2c)x＋c－1＝0要使方程对任意x恒成立，则需有a＝b，b＝2c，c－1＝0，解得a＝2，b＝2，c＝1，所以f(x)＝2x2＋2x＋1.。

导数在研究函数中的应用专题[基础达标](30分钟50分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.已知函数f(x)=13x3-12x2+cx+d有极值，则实数c的取值范围为()A.-∞，14B.-∞，14C.14，+∞D.14，+∞A【解析】由题意可知f'(x)=x2-x+c=0有两个不等的实根，所以Δ=1-4c>0，即c<14.2f(x)=x+e x-a，g(x)=ln(x+2)-4e a-x，其中e为自然对数的底数，若存在实数x0使f(x0)-g(x0)=3成立，则实数a的值为() A.-ln 2-1 B.-1+ln 2C.-ln 2D.ln 2A【解析】由题意可得关于x的方程x+e x-a-ln(x+2)+4e a-x=3，x∈(-2，+∞)有解，则e x-a+4e x-a =3-x+ln(x+2)，x∈(-2，+∞)有解.又e x-a+4e x-a≥4，当且仅当x=ln 2+a时等号成立.令h(x)=3-x+ln(x+2)，x∈(-2，+∞)，则h'(x)=-1+1x+2=-x-1x+2，当x∈(-2，-1)时，h'(x)>0，h(x)单调递增；当x∈(-1，+∞)时，h'(x)<0，h(x)单调递减，则h(x)≤h(-1)=4，所以ln 2+a=-1，解得a=-ln 2-1.3f(x)=ln x-1x-ax-b，若函数f(x)在区间(0，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围为() A.(-∞，0) B.(-∞，0]C.-∞，-14D.-14，+∞B【解析】由f(x)=ln x-1x -ax-b，得f'(x)=1x+1x2-a，因为函数f(x)在区间(0，+∞)上单调递增，所以对∀x∈(0，+∞)，都有f'(x)=1x +1x2-a≥0恒成立，即对∀x>0，都有a≤1x +1x，因为1x+1x>0，所以a≤0，所以实数a的取值范围是(-∞，0].4f(x)=x e tx-e x+1，其中t∈R，e是自然对数的底数.若方程f(x)=1无实数根，则实数t的取值范围为()A.1-1e ，+∞B.-∞，1-1eC.-∞，1e D.1e，+∞B【解析】由f(x)=1得x e tx=e x，即x=e x(1-t)>0，∴f(x)=1无负实根，故有ln xx=1-t.令g(x)=ln xx ，则g'(x)=1-ln xx2，由g'(x)>0得0<x<e，由g'(x)<0得x>e，∴g(x)在(0，e)内单调递增，g(x)在(e，+∞)上单调递减，∴g(x)max=g(e)=1e，∴g(x)的值域为-∞，1e .要使得方程f(x)=1无实数根，则1-t>1e，即t<1-1e.5R上的函数f(x)的导函数为f'(x)，f(2-x)=f(x)e2-2x(e 为自然对数的底数)，且当x≠1时，(x-1)[f'(x)-f(x)]>0，则() A.f(1)<f(0) B.f(2)>e f(0)C.f(3)>e3f(0)D.f(4)<e4f(0)C【解析】由f(2-x)=f(x)e2-2x，得f(2-x)e2-x =f(x)e x，令g(x)=f(x)e x，则g(x)关于直线x=1对称，g'(x)=f'(x)-f(x)e，又(x-1)[f'(x)-f(x)]>0，所以(x-1)g'(x)>0，则当x>1时，g'(x)>0，g(x)单调递增；当x<1时，g'(x)<0，g(x)单调递减，所以g(1)<g(2)=g(0)<g(3)<g(4)，即f(1)e <f(2)e2=f(0)e0<f(3)e3<f(4)e4，观察各选项，只有C正确.二、填空题(每小题5分，共15分)6.若函数f(x)=x 2+ax+1在x=1处取极值，则a=.3【解析】f'(x)=x 2+2x-a(x+1)2，由f(x)在x=1处取得极值知f'(1)=0，解得a=3.7.已知函数f(x)=x2-(a+2)x+a ln x，则函数f(x)在a>2时的单调递增区间为.(0，1)，a2，+∞【解析】由f(x)=x2-(a+2)x+a ln x可知，函数的定义域为{x|x>0}，且f'(x)=2x-(a+2)+ax =2x2-(a+2)x+ax=(2x-a)(x-1)x，因为a>2，所以当0<x<1或a2<x时，有f'(x)>0，故f(x)的单调递增区间为(0，1)，a2，+∞.8f(x)=|ln x|(0<x≤e3)，-x+e3+3(x>e3)，存在x1<x2<x3，f(x1)=f(x2)=f(x3)，则f(x3)x2的最大值为.1e【解析】画出函数f(x)的大致图象，如图，若存在x1<x2<x3，f(x1)=f(x2)=f(x3)，则x2∈(1，e3)，所以f(x3)x2=f(x2)x2=ln x2x2，令g(x)=ln xx，x∈(1，e3)，则g'(x)=1-ln xx，由g'(x)=0得x=e，所以当x∈(1，e)时，g'(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(e，e3)时，g'(x)<0，g(x)单调递减，则g(x)max=g(e)=1e.三、解答题(共10分)9.(10分f(x)=ln x-12ax2-2x.(1)若函数f(x)在x=2处取得极值，求实数a的值；(2)若函数f(x)在定义域内单调递增，求实数a的取值范围；(3)当a=-12时，关于x的方程f(x)=-12x+b在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围.【解析】(1)f'(x)=-ax 2+2x-1x(x>0)，∵x=2时，f(x)取得极值，∴f'(2)=0，解得a=-34，经检验符合题意.(2)函数f(x)的定义域为(0，+∞)，依题意f'(x)≥0在x>0时恒成立，即ax2+2x-1≤0在x>0时恒成立，则a≤1-2xx2=1x-12-1在x>0时恒成立，即a≤-1.∴a的取值范围是(-∞，-1].(3)a=-12，f(x)=-12x+b，即14x2-32x+ln x-b=0.设g(x)=14x2-32x+ln x-b(x>0)，则g'(x)=(x-2)(x-1)2x.列表：∵方程g(x)=0在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，则g(1)≥0，g(2)<0，g(4)≥0，解得ln 2-2<b≤-54.∴b的取值范围为ln2-2，-54.[高考冲关](20分钟40分)1.(5分f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(-1)=0，当x>0时，xf'(x)-f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()A.(-∞，-1)∪(0，1)B.(-1，0)∪(1，+∞)C.(-∞，-1)∪(-1，0)D.(0，1)∪(1，+∞)A【解析】当x>0时，f(x)x '=xf'(x)-f(x)x2<0，故函数g(x)=f(x)x在区间(0，+∞)上单调递减，又函数f(x)为奇函数，故函数g(x)为偶函数，所以g(x)在区间(-∞，0)上单调递增，因为f(-1)=0，所以f(1)=0，g(1)=g(-1)=0，故f(x)>0等价于g(x)>0(x>0)，g(x)<0(x<0)，故其解集为(-∞，-1)∪(0，1).2.(5分f(x)=ln x2+12，g(x)=e x-2，若g(m)=f(n)成立，则n-m的最小值为() A.1-ln 2 B.ln 2C.2e-3D.e2-3B【解析】令f(n)=g(m)=k(k>0)，则由ln n2+12=k，解得n=ke，由e m-2=k，解得m=ln k+2，则n-m=ke-ln k-2，令h(k)=ke-ln k-2，则h'(k)=ke−1k，由h'(k)=0得k=12，当k∈0，12时，h'(k)<0，h(k)单调递减；当k∈12，+∞时，h'(k)>0，h(k)单调递增，则h(k)min=h12=ln 2，即n-m的最小值为ln 2.3.(5分f(x)在R上存在导数f'(x)，对于任意的实数x，有f(x)+f(-x)=2x2，当x∈(-∞，0]时，f'(x)+1<2x.若f(2+m)-f(-m)≤2m+2，则实数m 的取值范围是.[-1，+∞)【解析】令g(x)=f(x)+x-x2，由f(x)+f(-x)=2x2，得g(x)+g(-x)=f(x)+x-x2+f(-x)-x-x2=f(x)+f(-x)-2x2=0，所以g(x)为R上的奇函数.又f'(x)+1<2x，x∈(-∞，0]，则g'(x)=f'(x)+1-2x<0，x∈(-∞，0]，所以g(x)在(-∞，0]上单调递减，由于g(x)为R上的奇函数，故g(x)为R上的减函数.不等式f(2+m)-f(-m)≤2m+2，即为f(2+m)+(2+m)-(2+m)2≤f(-m)+(-m)-m2，则g(2+m)≤g(-m)，所以2+m≥-m，解得m≥-1.4.(12分)已知函数f(x)=12x2+a ln x.(1)若a=-1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；(2)若a=1，求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值，并求证在区间[1，+∞)上函数f(x)的图象恒在函数g(x)=23x3的图象的下方.【解析】(1)由题可知函数f(x)的定义域为(0，+∞)，当a=-1时，f'(x)=x-1x =(x+1)(x-1)x，令f'(x)=0，得x=1或x=-1(舍去).当x∈(0，1)时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(1，+∞)时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增，所以f(x)在x=1处取得极小值，极小值为f(1)=12.(2)当a=1时，易知函数f(x)在[1，e]上为增函数，所以f(x)min=f(1)=12，f(x)max=f(e)=12e2+1.设F(x)=f(x)-g(x)=12x2+ln x-23x3，则F'(x)=x+1x -2x2=(1-x)(1+x+2x2)x，当x>1时，F'(x)<0，故F(x)在区间(1，+∞)上是减函数.所以F(x)<F(1)=-16<0，所以在区间[1，+∞)上F(x)<0恒成立，即f(x)<g(x)恒成立.因此，当a=1时，在区间[1，+∞)上函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的下方.5.(13分f(x)=a e x-x+b，g(x)=x-ln(x+1)(a，b∈R，e为自然对数的底数).(1)若曲线y=f(x)与y=g(x)在坐标原点处的切线相同，问：①求f(x)的最小值；②若x≥0时，f(x)≥kg(x)恒成立，试求实数k的取值范围.(2)若f(x)有两个不同的零点x1，x2，对任意a∈(0，+∞)，b∈R，证明：f'x1+x22<0(f'(x)为f(x)的导函数).【解析】(1)①因为f'(x)=a e x-1，g'(x)=1-1x+1(x>-1)，依题意，f'(0)=g'(0)，且f(0)=0，解得a=1，b=-1，所以f'(x)=e x-1，当x<0时，f'(x)<0；当x>0时，f'(x)>0.故f(x)的单调递减区间为(-∞，0)，单调递增区间为(0，+∞).所以当x=0时，f(x)取得最小值0.②由①知，f(x)≥0，即e x≥x+1，从而x≥ln(x+1)，即g(x)≥0.设F(x)=f(x)-kg(x)=e x+k ln(x+1)-(k+1)x-1，则F'(x)=e x+kx+1-(k+1)≥x+1+kx+1-(k+1)，(ⅰ)当k=1时，因为x ≥0，所以F'(x )≥x+1+1x +1-2≥0(当且仅当x=0时等号成立)， 此时F (x )在[0，+∞)上单调递增，从而F (x )≥F (0)=0，即f (x )≥kg (x ). (ⅱ)当k<1时，由于g (x )≥0，所以g (x )≥kg (x )， 又由(ⅰ)知f (x )-g (x )≥0，所以f (x )≥g (x )≥kg (x )， 即f (x )≥kg (x ).(ⅲ)当k>1时，令h (x )=e x +kx +1-(k+1)，则h'(x )=e x -k(x +1)2， 显然h'(x )在[0，+∞)上单调递增， 又h'(0)=1-k<0，h'( k -1)=e k -1-1>0， 所以h'(x )在(0， -1)上存在唯一零点x 0，当x ∈(0，x 0)时，h'(x )<0，所以h (x )在[0，x 0)上单调递减， 从而h (x )<h (0)=0，即F'(x )<0，所以F (x )在[0，x 0)上单调递减， 从而当x ∈(0，x 0)时，F (x )<F (0)=0，即f (x )<kg (x )，不合题意. 综上，实数k 的取值范围为(-∞，1].(2)依题意，不妨设x 2>x 1，有a e x 2+b=x 2，a e x 1+b=x 1，两式相减，得a (e x 2−e x 1)=x 2-x 1，e x 2−e x 1>0， 则x 2-x 1e x 2-e x 1=a ，于是f'x 1+x 22=a ex 2+x 1-1=x 2-x 1e x 2-e x 1·ex 2+x 1-1=x 2-x 1e x 2-x 12-e -x 2-x12-1，令t=x 2-x 1>0，则设G (t )=e t−e -t -t ， 则G'(t )=12e t2+12e -t 2-1>12·2· e t 2·e -t2-1=0， 所以G (t )在(0，+∞)上单调递增，则G (t )=e t 2−e -t 2-t>G (0)=0，于是有e t 2−e -t 2>t ， 即x 2-x 1e x 2-x 12-e-x 2-x 12<1，所以f' x 1+x 22<0.。

高二数学导数专题训练一、选择题1. 一个物体的运动方程为S=1+t+2t 其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）A 7米/秒B 6米/秒C 5米/秒D 8米/秒 2. 已知函数f (x )=ax 2＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为（ ）A.1B.2C.－1D. 03 ()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,则()f x 与()g x 满足（ ）A ()f x =2()g xB ()f x -()g x 为常数函数C ()f x =()0g x =D ()f x +()g x 为常数函数 4. 函数3y x x =+的递增区间是（ ）A )1,(-∞B )1,1(-C ),(+∞-∞D ),1(+∞5.若函数f(x)在区间（a ，b ）内函数的导数为正，且f(b)≤0，则函数f(x)在（a ， b ）内有（ ）A. f(x) 〉0B.f(x)〈 0C.f(x) = 0D.无法确定 6.0'()f x =0是可导函数y =f(x)在点x =x 0处有极值的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件7．曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ）A (1,0)B (2,8)C (1,0)和(1,4)--D (2,8)和(1,4)-- 8．函数313y x x =+- 有 （ ）A.极小值-1，极大值1B. 极小值-2，极大值3C.极小值-1，极大值3D. 极小值-2，极大值29. 对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ）A (0)(2)2(1)f f f +<B (0)(2)2(1)f f f +≤ C(0)(2)2(1)f f f +≥ D (0)(2)2(1)f f f +>10.若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+--的值为（ ）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x - D ．0二、填空题11．函数32y x x x =--的单调区间为___________________________________. 12．已知函数3()f x x ax =+在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是 . 13.曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________.14.对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和的公式是 . 三、解答题：15．求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线3235y x x =+-相切的直线方程16．如图，一矩形铁皮的长为8cm ，宽为5cm ，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长 为多少时，盒子容积最大？17．已知c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是2y x =-，请解答下列问题：（1）求)(x f y =的解析式； （2）求)(x f y =的单调递增区间。

1、函数f(*)=(2*2―k*＋k)·e -*(Ⅰ)当k 为何值时，)(x f 无极值；(Ⅱ)试确定实数k 的值，使)(x f 的极小值为0 2、函数()ln f x ax x =+()a ∈R .(Ⅰ)假设2a =，求曲线()y f x =在1x =处切线的斜率；(Ⅱ)求()f x 的单调区间；〔Ⅲ〕设2()22g x x x =-+，假设对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]20,1x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值围. 3、设函数()1x f x x ae -=-。

〔I 〕求函数()f x 单调区间； 〔II 〕假设()0R f x x ≤∈对恒成立，求a 的取值围；〔III 〕对任意n 的个正整数1212,,nn a a a a a a A n++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=记〔1〕求证：()11,2,i a iAa e i n A-≤=⋅⋅⋅〔2〕求证：A ≥4、函数b x x a x a x f +++-=23213)(，其中,a b ∈R ． 〔Ⅰ〕假设曲线)(x f y =在点))2(,2(f P 处的切线方程为45-=x y ，求函数)(x f 的解析式； 〔Ⅱ〕当0>a 时，讨论函数)(x f 的单调性． 5、函数2()(21)(R x f x ax x e a -=-+⋅∈，e 为自然对数的底数).(I)当时，求函数()f x 的极值；(Ⅱ)假设函数()f x 在[-1，1]上单调递减，求a 的取值围． 6、函数2()(33)x f x x x e =-+⋅，设2t >-,(2),()f m f t n -==.〔Ⅰ〕试确定t 的取值围,使得函数()f x 在[]2,t -上为单调函数；〔Ⅱ〕试判断,m n 的大小并说明理由；〔Ⅲ〕求证：对于任意的2t >-,总存在0(2,)x t ∈-，满足0'20()2(1)3x f x t e =-,并确定这样的0x 的个数.7、函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-．〔Ⅰ〕假设()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；〔Ⅱ〕求函数()y f x =在2[,]a a 上的最大值． 8、函数221()()ln 2f x ax x x ax x =--+.()a ∈R . 〔I 〕当0a =时，求曲线()y f x =在(e,(e))f 处的切线方程〔e 2.718...=〕； 〔II 〕求函数()f x 的单调区间.9、函数()(1)e (0)xa f x x x=->，其中e 为自然对数的底数.〔Ⅰ〕当2a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与坐标轴围成的面积；〔Ⅱ〕假设函数()f x 存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为5e ，求a 的值.10、函数36)2(23)(23-++-=x x a ax x f . 〔1〕当1=a 时，求函数)(x f 的极小值；〔2〕试讨论曲线)(x f y =与x 轴的公共点的个数。

§2导数的概念及其几何意义2.1 导数的概念课时目标1.了解导数的概念及实际背景.2.会求函数在某一点的导数，并理解其实际意义．设函数y ＝f (x )，当自变量x 从x 0变到x 1时，函数值从f (x 0)变到f (x 1)，函数值y 关于x 的平均变化率为Δy Δx ＝f x 1－f x 0x 1－x 0＝f x 0＋Δx －f x 0Δx.当x 1趋于x 0，即Δx 趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y ＝f (x )在x 0点的导数，通常用符号f ′(x 0)表示，记作f ′(x 0)＝10lim x x f x 1－f x 0x 1－x 0＝lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx.一、选择题1．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是( )A ．3B ．－3C ．2D ．－2 2．下列各式正确的是( )A ．f ′(x 0)＝lim Δx →0f x 0－Δx －f x 0xB ．f ′(x 0)＝lim Δx →0 f x 0－Δx ＋f x 0ΔxC ．f ′(x 0)＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0ΔxD ．f ′(x 0)＝lim Δx →0 f x 0＋Δx ＋f x 0Δx3．设f (x )在x ＝x 0处可导，则li m Δx →0 f x 0－Δx －f x 0Δx 等于( ) A ．－f ′(x 0) B ．f ′(－x 0) C ．f ′(x 0) D ．2f ′(x 0)4．函数y ＝x 2－1在x ＝1处的导数是( )A ．0B ．1C ．2D ．以上都不对5．曲线y ＝－1x在点(1，－1)处的导数值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．－16．设函数f (x )＝ax 3＋2，若f ′(－1)＝3，则a 等于( )A ．－1 B.12 C.13D ．1二、填空题7．某汽车启动阶段的路程函数为s (t )＝2t 3－5t 2，则t ＝2秒时，汽车的瞬时速度是__________．8．已知函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数为11，则lim Δx →0 f x 0－Δx －f x 0Δx ＝________. 9．设函数f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝______. 三、解答题10．用导数的定义，求函数y ＝f (x )＝1x在x ＝1处的导数．11.心理学家研究发现，学生的接受能力G 和教师提出概念所用的时间x (时间单位：分钟)有如下关系：G (x )＝0.1x 2＋2.6x ＋43，计算G ′(10)．能力提升12．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意实数x，有f(x)≥0，则f1f′0的最小值为________．13．设一物体在t秒内所经过的路程为s米，并且s＝4t2＋2t－3，试求物体在运动开始及第5秒末时的速度．1．由导数的定义可得求导数的一般步骤(三步法)： (1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；(2)求平均变化率ΔyΔx；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx. 2．导数就是瞬时变化率，可以反映函数在某一点处变化的快慢． 答案 作业设计1．B [∵Δy Δx ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋Δx －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32Δx ＝－Δx －3，∴li m Δx →0 ΔyΔx＝－3.] 2．C [直接对照并理解导数定义．]3．A [li m Δx →0 f x 0－Δx －f x 0Δx＝li m Δx →0－f x 0－f x 0－ΔxΔx＝－li m Δx →0 f x 0－f x 0－ΔxΔx ＝－f ′(x 0)．] 4．C5．A [f ′(1)＝lim Δx →0 －11＋Δx ＋1Δx＝lim Δx →0 11＋Δx ＝1.] 6．D [f ′(－1)＝lim Δx →0 f －1＋Δx －f －1Δx ＝3a . ∴a ＝1.] 7．4 m/s解析 s ′(2)＝lim Δt →0 22＋Δt3－52＋Δt2－2×23－5×22Δt ＝4.8．－11 解析 lim Δx →0f x 0－Δx －f x 0Δx ＝－lim Δx →0f x 0－Δx －f x 0－Δx＝－f ′(x 0)＝－11.9．2解析 ∵f ′(1)＝lim Δx →0 a 1＋Δx －aΔx＝a ＝2.∴a ＝2.10．解 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx－11＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝－Δx1＋Δx ·1＋1＋Δx ，∴Δy Δx ＝－11＋Δx ·1＋1＋Δx， ∴li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 －11＋Δx ·1＋1＋Δx ＝－11＋0·1＋1＋0＝－12， ∴y ′|x ＝1＝f ′(1)＝－12.11．解 G ′(10)＝lim Δx →0 G 10＋Δx －G 10Δx＝lim Δx →0 0.110＋Δx 2＋2.610＋Δx －0.1×102－2.6×10Δx ＝4.6. 12．2解析 由导数的定义，得f ′(0)＝lim Δx →0 f Δx －f 0Δx＝lim Δx →0 a Δx 2＋b Δx ＋c －c Δx ＝lim Δx →0[a ·(Δx )＋b ]＝b . 又⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac ≤0a >0，∴ac ≥b 24，∴c >0.∴f 1f ′0＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2bb ＝2.13．解 s ′(0)＝lim Δt →0 40＋Δt 2＋2Δt －3－4×02＋2×0－3Δt＝2； s ′(5)＝lim Δt →0 45＋Δt 2＋25＋Δt －3－4×52＋2×5－3Δt＝42， 故物体在运动开始的速度为2 m/s ，第5秒末时的速度为42 m/s.。

高中导数知识点及练习题(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中导数知识点及练习题(word 版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中导数知识点及练习题(word版可编辑修改)的全部内容。

导数一、导数的概率设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义,当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数)(x f Y =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比xy∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数,记作0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/注:1.函数应在点0x 的附近有定义,否则导数不存在。

2.在定义导数的极限式中,x ∆趋近于0可正、可负、但不为0，而y ∆可能为0. 3。

xy∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ∆+∆+）的割线斜率.4。

导数xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000/是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率,它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度,它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。

因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x )处的切线方程为))(()(00/0x x x f x f y -=-.5。

§2导数的概念及其几何意义2.1导数的概念双基达标(限时20分钟)1．函数f(x)在x0处可导，则li mh→0f(x0＋h)－f(x0)h()．A．与x0、h都有关B．仅与x0有关，而与h无关C．仅与h有关，而与x0无关D．与x0、h均无关答案 B2．设函数f(x)在点x0处附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则()．A．f′(x)＝a B．f′(x)＝bC．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b解析∵ΔyΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝a＋bΔx.∴f′(x0)＝li mΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝a.答案 C3．当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数()．A．在区间[x0，x1]上的平均变化率B．在x0处的变化率C．在x1处的导数D．在区间[x0，x1]上的导数解析根据平均变化率的定义可知，当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比就是函数在区间[x0，x1]上的平均变化率．答案 A4．设f (x )在点x ＝x 0处可导，且f ′(x 0)＝－2，则li m Δx →0 f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx等于 ________．解析 li m Δx →0 f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx＝li m Δx →0 f [x 0＋(－Δx )]－f (x 0)－Δx＝f ′(x 0)＝－2. 答案 －25．如果某物体做运动方程为s ＝2(1－t 2)的直线运动(s 的单位为m ，t 的单位为s)，那么其在1.2 s 末的瞬时速度为________．解析 物体运动在1.2 s 末的瞬时速度即为s 在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得．答案 －4.8 m/s6．利用导数的定义，求函数y ＝1x 2＋2在点x ＝1处的导数．解 ∵Δy ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1(x ＋Δx )2＋2－⎝⎛⎭⎪⎫1x 2＋2 ＝－2x Δx －(Δx )2(x ＋Δx )2·x 2， ∴Δy Δx ＝－2x －Δx (x ＋Δx )2·x 2， ∴y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 －2x －Δx (x ＋Δx )2·x 2＝－2x 3， ∴y ′|x ＝1＝－2.综合提高 (限时25分钟)7．设函数f (x )＝ax ＋3，则f ′(1)＝3，则a 等于( )． A ．2B ．－2C ．3D ．－3 解析 ∵f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0a (x ＋Δx )＋3－(ax ＋3)Δx ＝a ， ∴f ′(1)＝a ＝3.答案 C8．函数f(x)在x＝a处有导数，则limh→a f(h)－f(a)h－a为()．A．f(a) B．f′(a) C．f′(h) D．f(h) 解析令h－a＝Δh，则有h＝a＋Δh.h→a等价于Δh→0，原式可化为limΔh→0f(a＋Δh)－f(a)Δh，由导数的定义易得B.答案 B9．设函数f(x)＝ax3＋2，若f′(－1)＝3，则a＝________.解析f′(－1)＝limΔx→0f(－1＋Δx)－f(－1)Δx＝limΔx→0a(－1＋Δx)3－a(－1)3Δx＝limΔx→0[a(Δx)2－3aΔx＋3a]＝3a＝3.∴a＝1.答案 110．曲线f(x)＝x在点(4,2)处的瞬时变化率是________．解析ΔfΔx＝f(4＋Δx)－f(4)Δx＝4＋Δx－2Δx＝14＋Δx＋2，∴limΔx→0ΔfΔx＝14.答案1 411．如果一个质点从固定点A开始运动，时间t的位移函数为y＝f(t)＝t3＋3，求t＝4时，limΔt→0ΔyΔt的值．解∵Δy＝(Δt＋4)3＋3－(43＋3) ＝(Δt)3＋12(Δt)2＋48Δt，∴ΔyΔt＝(Δt)3＋12(Δt)2＋48ΔtΔt＝(Δt)2＋12Δt＋48.∴limΔt→0ΔyΔt＝limΔt→0[(Δt)2＋12Δt＋48]＝48.12．(创新拓展)服药后，人体血液中药物的质量浓度y(单位：μg/mL)是时间。

导数计算一、选择题1. 函数x y 1=在点4=x 处的导数是 ( )A ．81 B ．81- C ．161 D ．161- 2. 设)(x f 为可导函数，且满足12)1()1(lim 0-=--→x x f f x ，则过曲线)(x f y =上点（1，)1(f ）处的切线斜率为 （ ）A ．2B ．-1C ．1D ．-2 3. 已知函数⎩⎨⎧>+<+=)0()0(1)(x a x x a x f x ，若)(lim 0x f x →存在，则=-)2('f A.2ln 4 B.45 C.2- D.2ln 41 4. 已知数列中，则A ．B ．C ．D ．5. f(x)是定义在（0，±∞）上的非负可导函数，且满足xf(x)+f(x)≤0,对任意正数a 、b,若a ＜b ，则必有A.af(b) ≤bf(a)B.bf(a) ≤af(b)C.af(a) ≤f(b)D.bf(b) ≤f(a)6. 已知曲线，则切点的横坐标为 （ ）A ．3B ．2C ．1D ．7. 已知点在曲线：上，且曲线在点处的切线与直线垂直，则点的坐标为A ．（1，1）B ．（-1，0）C ．（-1，0）或（1，0）D ．（1,0）或（1，1）8.若曲线y=x 4的一条切线L 与直线垂直，则L 的方程是（ ）A.4x-y-3=0B.x+4y-5=0C.4x-y+3=0D.x+4y+3=09. 已知二次函数的图象如图1所示，则其导函数的图象大致形状是（ ）二、填空题10. 函数)2009()3)(2)(1()(----=x x x x x x f 在0=x 处的导数值为__________．11. 已知函数)(x f 的导函数为)(x f '，且满足)5(23)(2f x x x f '+=则)5(f '= .12. 设56)1()1()(x x x f -+=，则函数)('x f 中3x 的系数是______________。

第1讲 函数的图象与性质1．(2015·天津改编)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x－m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝(log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为________．2．(2014·福建改编)若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则所给函数图象中可能正确的是______________．3．(2015·课标全国Ⅱ改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2(2－x )，x ＜1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝________________________________________________________________________. 4．(2014·课标全国Ⅱ)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________________________________________________________．1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下.2.对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题.3.对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数.常以填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大.热点一 函数的性质及应用1．单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则． 2．奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y 轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．3．周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f (a ＋x )＝f (x )(a 不等于0)，则其一个周期T ＝|a |.例1 (1)设奇函数y ＝f (x ) (x ∈R )，满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32的值等于________． (2)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是________．思维升华 (1)可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值．(2)利用函数的单调性解不等式的关键是化成f (x 1)<f (x 2)的形式．跟踪演练1 (1)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且对于任意x ∈R ，恒有f (x －1)＝f (x ＋1)成立，当x ∈[－1,0]时，f (x )＝2x －1，则f (2 017)＝________.(2)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f (13)的x 的取值范围是________．热点二函数图象及应用1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．例2(1)函数y＝x2－2sin x的图象可能是下列中的________．(2)(2015·北京改编)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是________．思维升华(1)根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是解决函数图象判断类试题的基本方法．(2)研究函数时，注意结合图象，在解方程和不等式等问题时，借助图象能起到十分快捷的作用．跟踪演练2(1)(2015·安徽改编)函数f(x)＝ax＋b(x＋c)2的图象如图所示，则abc________0(填“>”或“<”)．(2)已知函数y＝f(x)是奇函数，且函数f(x＋1)在[－1，＋∞)上是增函数，不等式f(a2＋2a)≤f(a＋2)，则实数a的取值范围是________．热点三基本初等函数的图象和性质1．指数函数y＝a x(a>0，a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，a≠1)的图象和性质，分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质．2．幂函数y ＝x α的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，12，－1五种情况．例3 (1)(2015·山东改编)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是________． (2)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是________．思维升华 (1)指数函数、对数函数、幂函数是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力．(2)比较数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性．跟踪演练3 (1)(2014·浙江改编)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是下列中的________．(2)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的函数，其图象关于坐标原点对称，且当x ∈(－∞，0)时，不等式f (x )＋xf ′(x )<0恒成立，若a ＝20.2f (20.2)，b ＝ln 2f (ln 2)，c ＝－2f (－2)，则a ，b ，c 的大小关系是________.1．已知函数f (x )＝e |ln x |－⎪⎪⎪⎪x －1x ，则函数y ＝f (x ＋1)的大致图象为下列________(填序号)．2．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋4)．当－2≤x <0时，f (x )＝log 2(－x )；当0≤x <2时，f (x )＝2x －1，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 016)的值为________．3．已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )的最小值为________．4．已知函数h (x )(x ≠0)为偶函数，且当x >0时，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 24，0<x ≤4，4－2x ，x >4，若h (t )>h (2)，则实数t 的取值范围为________．提醒：完成作业 专题二 第1讲二轮专题强化练 专题二 函数与导数 第1讲 函数的图象与性质A 组 专题通关1．函数y ＝ln(1＋1x)＋1－x 2的定义域为________．2．如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________．3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x ，x ≥2，2x ，x <1的值域为____________________．4．(2014·课标全国Ⅱ改编)偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________.5．已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝(12)x ；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝________________________________________________________________________. 6．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________________．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧13e x (x ≥2)，f (x ＋1)(x <2)，则f (ln 3)＝______.8．(2015·福建)若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实数m 的最小值等于________．9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－3a )x ＋10a ， x ≤7，a x －7， x >7是定义域上的递减函数，则实数a 的取值范围是________． 10．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a >0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0.若f (－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立．(1)求F(x)的表达式；(2)当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求k的取值范围．11．某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．(1)设一次订购x件，服装的实际出厂单价为p元，写出函数p＝f(x)的表达式；(2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？B 组 能力提高12．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则f (－25)，f (11)，f (80)的大小关系为________________________________________________． 13．已知函数f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，则m ＋3n 的取值范围是________．14．已知函数f (x )＝x |x －a |，若对任意的x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0恒成立，则实数a 的取值范围为________．15．能够把圆O ：x 2＋y 2＝16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“和谐函数”，下列函数是圆O 的“和谐函数”的是________． ①f (x )＝e x ＋e －x ；②f (x )＝ln 5－x 5＋x ；③f (x )＝tan x2；④f (x )＝4x 3＋x .学生用书答案精析专题二 函数与导数第1讲 函数的图象与性质高考真题体验 1．c ＜a ＜b解析 由f (x )＝2|x －m |－1是偶函数可知m ＝0，所以f (x )＝2|x |－1. 所以a ＝f (log 0.53)＝2|log 0.53|－1 ＝2log 23－1＝2，b ＝f (log 25)＝2|log 25|－1＝2log 25－1＝4，c ＝f (0)＝2|0|－1＝0，所以c <a <b . 2．②解析 由题意得y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过(3,1)点，可解得a ＝3.①中，y ＝3－x ＝(13)x ，显然图象错误；②中，y ＝x 3，由幂函数图象可知正确；③中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；④中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称，显然不符．故图象②可能正确． 3．9解析 因为－2＜1，log 212＞log 28＝3＞1，所以f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝1＋log 24＝3，f (log 212)＝2log 212－1＝2log 212×2－1＝12×12＝6，故f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.4．(－1,3)解析 ∵f (x )是偶函数， ∴图象关于y 轴对称．又f (2)＝0，且f (x )在[0，＋∞)单调递减，则f (x )的大致图象如图所示， 由f (x －1)>0， 得－2<x －1<2， 即－1<x <3. 热点分类突破例1 (1)－14 (2)[12，2]解析 (1)根据对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )可得 f (－t )＝f (1＋t )，即f (t ＋1)＝－f (t )，进而得到 f (t ＋2)＝－f (t ＋1)＝－[－f (t )]＝f (t )， 得函数y ＝f (x )的一个周期为2， 故f (3)＝f (1)＝f (0＋1)＝－f (0)＝0， f ⎝⎛⎭⎫－32＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－14. 所以f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32＝0＋⎝⎛⎭⎫－14＝－14. (2)由题意知a >0，又log 12a ＝log 2a －1＝－log 2a .∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (log 2a )＝f (－log 2a )＝f (log 12a )．∵f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，∴2f (log 2a )≤2f (1)，即f (log 2a )≤f (1)． 又∵f (x )在[0，＋∞)上递增． ∴|log 2a |≤1，－1≤log 2a ≤1， ∴a ∈⎣⎡⎦⎤12，2.跟踪演练1 (1)12 (2)(13，23)解析 (1)f (x －1)＝f (x ＋1)， 则f (x )的周期为2，f (2 017)＝f (1)＝－f (－1)＝－(2－1－1)＝12.(2)偶函数满足f (x )＝f (|x |)，根据这个结论，有f (2x －1)<f (13)⇔f (|2x －1|)<f (13)，进而转化为不等式|2x －1|<13，解这个不等式即得x 的取值范围是(13，23)．例2 (1)③ (2){x |－1＜x ≤1} 解析 (1)由f (－x )＝－f (x )，知函数 f (x )为奇函数，所以排除①； 又f ′(x )＝12－2cos x ，当x ＝2π时，f ′(2π)＝12－2cos 2π＝－32<0，所以x ＝2π应在函数的减区间上． 所以③可能是y ＝x2－2sin x 的图象．(2)令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)，作出函数g (x )图象如图.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，y ＝log 2(x ＋1)， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}． 跟踪演练2 (1)> (2)[－2,1]解析 (1)函数定义域为{x |x ≠－c }，结合图象知－c >0，∴c <0. 令x ＝0，得f(0)＝b，又由图象知f(0)>0，∴b>0.c2令f(x)＝0，得x＝－b，a结合图象知－ba>0，∴a<0.故abc>0.(2)因为函数f(x＋1)在[－1，＋∞)上是增函数，所以函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数．因为函数y＝f(x)是奇函数，奇函数的图象关于原点对称，所以函数f(x)在(－∞，0)上是增函数，即函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，如图所示．因为f(a2＋2a)≤f(a＋2)，所以a2＋2a≤a＋2，即a2＋a－2≤0，解得－2≤a≤1，所以实数a的取值范围是[－2,1]．例3(1)b<a<c(2)(－1,0)∪(1，＋∞)解析(1)根据指数函数y＝0.6x在R上单调递减可得0.61.5＜0.60.6＜0.60＝1，根据指数函数y ＝1.5x在R上单调递增可得1.50.6＞1.50＝1，∴b＜a＜c.(2)方法一由题意作出y＝f(x)的图象如图．显然当a>1或－1<a<0时，满足f(a)>f(－a)．方法二 对a 分类讨论：当a >0时，∵log 2a >log 12a ，∴a >1.当a <0时，∵log 12(－a )>log 2(－a )，∴0<－a <1， ∴－1<a <0.跟踪演练3 (1)④ (2)c >a >b解析 (1)方法一 分a >1,0<a <1两种情形讨论．当a >1时，y ＝x a 与y ＝log a x 均为增函数，但y ＝x a 递增较快，③不对；当0<a <1时，y ＝x a 为增函数，y ＝log a x 为减函数，①不对．由于y ＝x a 递增较慢，正确的图象为④.方法二 幂函数f (x )＝x a 的图象不过(0,1)点，排除①；②中由对数函数f (x )＝log a x 的图象知0<a <1，而此时幂函数f (x )＝x a 的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故②错，④正确；③中由对数函数f (x )＝log a x 的图象知a >1，而此时幂函数f (x )＝x a 的图象应是增长越来越快的变化趋势，故③错．(2)构造函数g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，当x ∈(－∞，0)时，g ′(x )<0，所以函数y ＝g (x )在(－∞，0)上单调递减．因为函数y ＝f (x )的图象关于坐标原点对称，所以y ＝f (x )是奇函数，由此可知函数y ＝g (x )是偶函数．根据偶函数的性质，可知函数y ＝g (x )在(0，＋∞)上单调递增．又a ＝g (20.2)，b ＝g (ln 2)，c ＝g (－2)＝g (2)，由于ln 2<20.2<2，所以c >a >b . 高考押题精练 1．①解析 据已知关系式可得f (x )＝⎩⎨⎧e －ln x ＋⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x (0<x ≤1)，eln x －⎝⎛⎭⎫x －1x ＝1x(x >1)，作出其图象然后将其向左平移1个单位即得函数y ＝f (x ＋1)的图象． 2．1 260解析 因为f (x )＝f (x ＋4)，所以函数f (x )的周期为4. 当－2≤x <0时，f (x )＝log 2(－x )； 当0≤x <2时，f (x )＝2x －1. 所以f (1)＝20＝1， f (2)＝f (－2)＝log 22＝1， f (3)＝f (－1)＝log 21＝0， f (4)＝f (0)＝2－1＝12.所以在一个周期内有f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝1＋1＋0＋12＝52，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝504×52＝1 260.3．－1解析 由题意得，利用平移变化的知识画出函数|f (x )|，g (x )的图象如图，而h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|f (x )|，|f (x )|≥g (x )，－g (x )，|f (x )|<g (x )，故h (x )有最小值－1，无最大值．4．(－2,0)∪(0,2) 解析 因为x >0时，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 24，0<x ≤4，4－2x ，x >4.易知函数h (x )在(0，＋∞)上单调递减， 因为函数h (x )(x ≠0)为偶函数， 且h (t )>h (2)， 所以h (|t |)>h (2)， 所以0<|t |<2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ t ≠0，|t |<2，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≠0，－2<t <2，解得－2<t <0或0<t <2.综上，所求实数t 的取值范围为(－2,0)∪(0,2)．二轮专题强化练答案精析专题二 函数与导数第1讲 函数的图象与性质1．(0,1]解析 要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x >0，1－x 2≥0，即⎩⎨⎧x ＋1x >0，x 2≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，－1≤x ≤1，解得0<x ≤1，所以定义域为(0,1]． 2．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤014(x －2)2－1，x >0 解析 当－1≤x ≤0时，设解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧ －k ＋b ＝0，b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1.∴y ＝x ＋1. 当x >0时，设解析式为y ＝a (x －2)2－1， ∵图象过点(4,0)，∴0＝a (4－2)2－1， 得a ＝14，∴y ＝14(x －2)2－1.3．(0,2)∪[52，＋∞)解析 当x ≥2时，f (x )＝x ＋1x ，所以f ′(x )＝1－1x 2≥1－14＝34>0，所以函数f (x )＝x ＋1x 在[2，＋∞)上单调递增，所以f (x )≥f (2)＝52；当x <1时，f (x )＝2x ，所以0<2x <2，所以函数f (x )的值域为(0,2)∪[52，＋∞)．4．3解析 因为f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以f (x )＝f (4－x )，f (－x )＝f (4＋x )，又f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝f (4＋x )，则f (－1)＝f (4－1)＝f (3)＝3. 5.124解析 由于1<log 23<2，则f (2＋log 23)＝f (2＋log 23＋1)＝f (3＋log 23)＝(12)23log 3＋＝(12)3×(12)2log 3＝18×22log 3－＝18×221log 3＝18×13＝124. 6．{x |－7<x <3}解析 令x <0，则－x >0，∵x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，∴f (－x )＝(－x )2－4(－x )＝x 2＋4x ，又f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴x <0时，f (x )＝x 2＋4x ，故有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ≥0，x 2＋4x ，x ＜0.再求f (x )<5的解集，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x 2－4x <5，得0≤x ＜5；由⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x 2＋4x <5，得－5<x <0，即f (x )<5的解集为(－5,5)．由于f (x )向左平移两个单位即得f (x ＋2)，故f (x ＋2)<5的解集为{x |－7<x <3}． 7．e解析 f (ln 3)＝f (ln 3＋1)＝13e ln 3＋1＝e.8．1解析 ∵f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (x )的对称轴x ＝1， ∴a ＝1，f (x )＝2|x －1|，∴f (x )的增区间为[1，＋∞)， ∵[m ，＋∞)⊆[1，＋∞)，∴m ≥1.∴m 的最小值为1. 9．(13，611]解析 ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－3a )x ＋10a ， x ≤7，a x －7， x >7是定义域上的递减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－3a <0，0<a <1，(1－3a )×7＋10a ≥a 0，即⎩⎪⎨⎪⎧1－3a <0，0<a <1，7－11a ≥1，解得13<a ≤611.10．解 (1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋1＝0， ∴b ＝a ＋1，∴f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x ＋1. ∵f (x )≥0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝(a ＋1)2－4a ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，(a －1)2≤0.∴a ＝1，从而b ＝2， ∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x >0，－x 2－2x －1，x <0.(2)由(1)知，g (x )＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1. ∵g (x )在[－2,2]上是单调函数， ∴k －22≤－2或k －22≥2，解得k ≤－2或k ≥6.∴k 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)． 11．解 (1)当0<x ≤100时，p ＝60； 当100<x ≤600时，p ＝60－(x －100)×0.02＝62－0.02x .∴p ＝⎩⎪⎨⎪⎧60， 0<x ≤100，62－0.02x ， 100<x ≤600.(2)设利润为y 元，则当0<x ≤100时，y ＝60x －40x ＝20x ；当100<x ≤600时，y ＝(62－0.02x )x －40x ＝22x －0.02x 2.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧20x ， 0<x ≤100，22x －0.02x 2， 100<x ≤600.当0<x ≤100时，y ＝20x 是单调增函数，当x ＝100时，y 最大， 此时y ＝20×100＝2 000； 当100<x ≤600时，y ＝22x －0.02x 2＝－0.02(x －550)2＋6 050， ∴当x ＝550时，y 最大，此时y ＝6 050. 显然6 050>2 000.∴当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6 050元． 12．f (－25)<f (80)<f (11)解析 因为f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，即函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4) ＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，且f (x )在R 上是奇函数，所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数，则f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11)． 13．(4，＋∞)解析 ∵f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，∴log 12m ＝－log 12n ，∴mn ＝1，∴0<m <1，n >1，∴m ＋3n ＝m ＋3m 在m ∈(0,1)上单调递减，当m ＝1时，m ＋3n ＝4，∴m ＋3n >4. 14．{a |a ≤2}解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －a )，x ≥a ，－x (x －a )，x <a ，由(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0知，函数y ＝f (x )在[2，＋∞)单调递增，当a ≤0时，满足题意，当a >0时，只需a ≤2，即0<a ≤2，综上所述，实数a 的取值范围为a ≤2. 15．②③④解析 由“和谐函数”的定义知，若函数为“和谐函数”，则该函数为过原点的奇函数，①中，f (0)＝e 0＋e －0＝2，所以f (x )＝e x ＋e －x 的图象不过原点，故f (x )＝e x ＋e －x 不是“和谐函数”；②中，f (0)＝ln 5－05＋0＝ln 1＝0，且f (－x )＝ln 5＋x 5－x ＝－ln 5－x5＋x ＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，所以f (x )＝ln 5－x 5＋x 为“和谐函数”；③中，f (0)＝tan 0＝0，且f (－x )＝tan －x 2＝－tan x2＝－f (x )，f (x )为奇函数，故f (x )＝tan x2为“和谐函数”；④中，f (0)＝0，且f (x )为奇函数，故f (x )＝4x 3＋x为“和谐函数”，所以，②③④中的函数都是“和谐函数”．。