线性代数练习册答案_简明版_

线性代数练习题 第一章 行 列 式系 专业 班 姓名 学号第一节 行列式的定义一．选择题1．若行列式x52231521- = 0，则=x [ C ] （A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3- 2．线性方程组⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ，则方程组的解),(21x x = [ C ]（A ）（13，5） （B ）（13-，5） （C ）（13，5-） （D ）（5,13--）3．方程093142112=x x根的个数是 [ C ] （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）34．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 [ A D ] （A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a （D ）266544133251a a a a a a 5．若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项，则l k ,的值及该项的符号为[ B ]（A ）3,2==l k ，符号为正； （B ）3,2==l k ，符号为负； （C ）2,3==l k ，符号为正； （D ）2,3==l k ，符号为负6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 [ B ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个 二、填空题 1．行列式1221--k k 0≠的充分必要条件是 3,1k k ≠≠-2．排列36715284的逆序数是 133．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = 2,8,5 s = 5,2,8 ，t = 8,5,2 4．在六阶行列式ij a 中，623551461423a a a a a a 应取的符号为 负 。

第一章 行列式习题答案二、三阶行列式及n 阶行列式的定义部分习题答案1.计算下列二阶行列式 （1）23112=； （2）cos sin 1sin cos θθθθ-=；（3）1111121221212222a b a b a b a b ++++1122112211221122a a a b b a b b1221122112211221a a a b b a b b （4）1112111221222122a ab b a a b b +1122112212211221a a b b a a b b2.计算下列三阶行列式（1）10312126231-=--；(2)11121322233233a a a a a a a 112233112332a a a a a a 1122332332a a a a a（3）a c bba cc b a3333a b c abc3.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）3214； （2）614235.123t 112217t（3）()()()12322524212n n n n ---当n 为偶数时，2nk ，排列为143425212221223412k k k k k kk k --+++-1122(1)(1)t k k k (1)(2)21k k 22(1)1313142n kkkkk kn其中11(1)(1)k k 为1434252122k k k k --+的逆序数；k 为21k与它前面数构成的逆序数；(1)(2)21k k为23,25,,2(21)k k kk 与它们前面数构成的逆序数的和；113131k k k k 为2k ，22,24,,2k k与它们前面数构成的逆序数的和. 当n 为奇数时，21nk ，排列为142345212223225412k k k k k kk k ++++++1122t k k(1)21k k 2213323432n kkkkk kn其中1122k k 为1423452122k k k k +++的逆序数；(1)21k k 为23,25,,2(21)k kkk 与它们前面数构成的逆序数的和；3323k k k k 为2,22,,2k k与它们前面数构成的逆序数的和.4.确定,i j ，使6元排列2316i j 为奇排列. 解：4,5ij，()()23162431655t i j t ==为奇排列.5.写出4阶行列式中含有1321a a 的项. 解：13213244a a a a ；13213442a a a a -6.按定义计算下列行列式：（1）0001002003004000(4321)(1)2424（2）00000000000a c db (1342)(1)abcd abcd7. 求1230312()123122x x f x x xx-=的展开式中4x 和3x 的系数.4x 的系数为6；含3x 的项只有(4231)(1)(3)3t x x x ，所以3x 的系数为(4231)(1)3(3)119t行列式的性质与展开部分习题答案 1.计算下列行列式：（1）200819861964200919871965201019881966；解：32212008198619641110111r r r r D(2)123123123111a a a a a a a a a +++；解：2312323231(1)1111a a D a a a a a a a 各列加到第一列后提取公因式21312312331(1)0101r r r r a a a a a a 123(1)a a a（3）41232013201116011601110111031023500r r D213314116116(1)111027350818r r r 20（4）21120111011161126111211221110100c c D3141101100(1)26126116221223c c .（5）00100101D αβαβαβαβαβαβαβ++=++.()401100101D αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+=++-+++ 32212D D D D D 4322342.证明：（1）011=++++=cb adb a dcd a c b d c b aD １１；证明：将D 的各列都加到最后一列再提出公因式有1111(1)01111a b c d a b b c a d b c Dabcd c d a b c d dabcda １１１１（2）33()ax by ay bzaz bx x y z ay bzaz bx ax by a b yz x az bx ax by ay bzzxy ++++++=++++. 证明：左式12axayazbybzbxay bzaz bx ax by ay bzaz bx ax by D D az bx ax by ay bz az bx ax by ay bz=+++++++=+++++++311r br xy zx y z D a ay bzaz bx ax by a ay bz az bx ax byaz bx ax by ay bzazaxay-=+++=++++++23223r br x y z x y z x y z a ay bz az bx ax by a ay az ax a yz x zxyzxyzxy-=+++== 类似有1323322(1)r r r r yz x x y z D b zx y yz x xyzzxy ←−→←−→==-,所以33()ax by ay bzaz bxx y z ay bzaz bx ax by a b yz x az bx ax by ay bzzxy++++++=++++ 3.计算n 阶行列式（1）n D =ab b b b a b bbb a bb b b a ...........................； 各行加到第一行后提取公因式有：111...1...(1).....................nba b bD an b b b a bb b b a211111 (10)0 0(1)00...0 000...n r br r br a b an b ab a b1(1)n a n b ab（2）12121212n na n a n D n a ++=+12(0)n a a a ≠.211212111212121211210012000nn nr r n r r r nr r a a nna na a a n a a aa a a a a a a -----+++++--==--1112221211n n n n i i a na ia a a a a a a a =⎛⎫⎛⎫=++++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑ 4.利用范德猛行列式计算：1111123414916182764D =.2222333311111234(21)(31)(41)(32)(42)(43)1212341234==------=克拉默法则部分习题答案1.用克拉默法则解线性方程组（1）122313223(0)0bx ax abcx bx bc abc cx ax ；解：002350ba D cb abc ca，212023500ab a D bc c ba bc a22200350b ab D bc b ab c c a ，220250ba ab Dc bc abc c123,,x a x b x c（2）123412341234123432125323348246642x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+-+=⎪⎨-++-=⎪⎪--+=⎩.解：132125321734826164D --==----,1132135323444822164D --==----211212332034826264D --==---,3131125321734426124D ==---,13212533853*******D --==---12342,0,1,5x x x x =-===2.当λ为何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=++0 00433221321x x x x x x x λλλ(1) 仅有零解；(2) 有非零解． 解：3410(1)(3)01D，（1）1且3时0D ，该齐次线性方程组只有零解。

习 题 4.11．求下列矩阵的特征值和特征向量.（1）563101121-⎛⎫ ⎪- ⎪⎝⎭;解: 方阵A 的特征多项式为563||11121λλλλ---=----I A 26301221λλλλ--=----26301044λλλ--=--3(2)λ=-, 方阵A 的特征值为1232λλλ===.解方程组(2)-=0I A x .由3631212121000121000r---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-−−→ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭I A ,得基础解系1210-⎛⎫ ⎪= ⎪⎝⎭p ，2101⎛⎫ ⎪= ⎪⎝⎭p .因此,方阵A 对应于1232λλλ===的全部特征向量为1122k k +p p (12,k k 不同时为零).（2）123213336⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.解: 方阵A 的特征多项式为123||213336λλλλ----=------I A 323313636λλλλ---=------231336λλλλλ--=-----23010059λλλ--=+--(1)(9)λλλ=+-,方阵A 的特征值为11λ=-,20λ=,39λ=.当11λ=-时,解方程组()--=0I A x .由223110223001334000r---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--=---−−→ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭I A ,得基础解系1110-⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭p .因此,方阵A 对应于11λ=-的全部特征向量为11k p (1k 不为零).当20λ=时,解方程组()-=0A x .由123101213011336000r---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=---−−→ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭A ,得基础解系2111-⎛⎫⎪=- ⎪⎝⎭p .因此,方阵A 对应于20λ=的全部特征向量为22k p (2k 不为零).当39λ=时,解方程组(9)-=0I A x .由8231109283021333000r---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=--−−→- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭I A ,得基础解系3112⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭p .因此,方阵A 对应于39λ=的全部特征向量为33k p (3k 不为零).2．设10()nn f x a x a x a =+++,λ为A 的特征值.证明()f λ为10()n n f a a a =+++A A A I的特征值.证明: 存在非零向量p ,使λ=Ap p .于是22()()λλλ===A p A p Ap p , 3223()()λλλ===A p A p Ap p ,…………,11()()n n n n λλλ--===A p A p Ap p , 10()()n n f a a a =+++A p A A I p10n n a a a =+++A p Ap p 10n n a a a λλ=+++p p p10()()n n a a a f λλλ=+++=p p .因此,()f λ为()f A 的特征值.3．已知3阶矩阵A 的特征值为1,2,3,求32|57|-+A A A . 解: 记32()57f x x x x =-+,则()f A 的特征值为(1)3f =,(2)2f =,(3)3f =.于是32|57||()|(1)(2)(3)18f f f f -+===A A A A .4．设λ为n 阶可逆矩阵A 的一个特征值,证明 （1）1λ-为1-A 的特征值; （2）1||λ-A 为*A 的特征值.证明: (1) 存在非零向量p ,使λ=Ap p .于是11()λλ--==p A p A p ,11λ--=A p p因此,1λ-为1-A 的特征值.(2) 因*1||-=A A A ,而1λ-为1-A 的特征值,所以[由题2知]1||λ-A 为*A 的特征值.5．已知3阶矩阵A 的特征值为1,2,3-,求*|32|++A A I . 解: 因矩阵A 的特征值为1,2,3-,所以||6=-A ,*11||6--==-A A A A .记6()32f x x x=-++,则()f A 的特征值为 (1)1f =-,(2)5f =,(3)5f =-.于是*|32|++A A I 1|632|-=-++A A I |()|(1)(2)(3)25f f f f ===A .6．设有四阶方阵A 满足条件|3|0I A +=,T2=AA I ,||0<A ,求方阵A 的伴随矩阵*A 的一个特征值.解: 因|3|0I A +=,故|3|0--=I A ,可知A 的一个特征值为3λ=-.由T 2=AA I ,得2T ||||||16=⋅=A A A .因||0<A ,所以||4=-A .于是*A 的一个特征值为14||3λ-=A .7．已知向量11k ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭a 是矩阵211121112⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 的逆矩阵1-A 的特征向量.试求常数k .解: 存在1-A 的特征值λ,使得1λ-=A a a .故有λ=Aa a ,即得312231k k k k λ+⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭. 解此方程,求得1k =或2k =-.8．设0011100x y ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 有三个线性无关的特征向量,求x 和y 应满足的条件.解: 方阵A 的特征多项式为01||11x y λλλλ--=----I A 2(1)(1)λλ=-+,方阵A 的特征值为121λλ==,31λ=-.因A 有三个线性无关的特征向量,所以11λ=的几何重数等于代数重数,也即13()2R λ--=I A .因此1()1R λ-=I A .而1101101000101000x y y x λ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭I A .当且仅当0x y +=时,1()1R λ-=I A ,A 有三个线性无关的特征向量.9．设矩阵20131405x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 可相似对角化,求x .解: 方阵A 的特征多项式为2201||31(1)(6)45x λλλλλλ---=---=----I A ,方阵A 的特征值为121λλ==,36λ=.因A 可相似对角化,所以11λ=的几何重数等于代数重数,即13()2R λ--=I A ,1()1R λ-=I A .而110110130003404000x x λ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭I A .当且仅当3x =时,1()1R λ-=I A ,A 可相似对角化.10．设三阶方阵A 的特征值为1231,2,3λλλ===,对应的特征向量依次为1010⎛⎫ ⎪= ⎪⎝⎭p ,2100⎛⎫ ⎪= ⎪⎝⎭p ,3001⎛⎫ ⎪= ⎪⎝⎭p ,求nA .解: 记123(,,)=P p p p ,则有1:diag(1,2,3)-==P AP Λ.因此1-=A P ΛP ,1n n -=A P ΛP .注意P 是初等矩阵(1,2)E ,知1-=P P .于是1123n n nn -⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭A P ΛP P P02103nn ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P 2013n n ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.11．已知矩阵20000101x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 与20000001y ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭B 相似.（1）求x 和y ;（2）求一个满足1-=P AP B 的可逆矩阵P .解: (1) 因矩阵A 与对角矩阵B 相似,故知矩阵A 的特征值为2,,1y -.由特征值的性质,我们有||2y =-A ,tr()1y =+A .于是得方程组2221yx y -=-⎧⎨+=+⎩. 求得0,1x y ==.(2) 当12λ=时,解方程组(2)-=0I A x .由0000102021001012000r⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-−−→ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭I A ,得基础解系T1(1,0,0)=p .当21λ=时,解方程组()-=0I A x .由100100011011011000r⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-−−→- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭I A ,得基础解系T2(0,1,1)=p .当31λ=-时,解方程组()--=0I A x .由100100011011011000r-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--=--−−→ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭I A ,得基础解系T2(0,1,1)=-p .所以,满足1-=P AP B 的一个可逆矩阵P 为123100(,,)011011⎛⎫⎪==- ⎪⎝⎭P p p p .12．设,A B 都是n 阶方阵,且||0A ≠,证明AB 与BA 相似. 证明: 因||0A ≠,故A 可逆.因为1()-=A AB A BA ,所以AB 与BA相似.。

习 题 3.41．证明:对欧氏空间中的向量a ,b ,成立)||||||(||2||||||||2222b a b a b a +=-++.证明: 根据内积的性质直接计算,有[,][,][,]++=+++a b a b a a b b a b [,][,][,][,]=+++a a a b b a b b [,]2[,][,]=++a a a b b b .因此有公式222||||||||2[,]||||+=++a b a a b b . (1)以-b 替换b ,得222||||||||2[,]||||-=-+a b a a b b . (2)由(1),(2)两式即得)||||||(||2||||||||2222b a b a b a +=-++.2．求向量a 与b 的夹角.（1）(2,1,3,2)=a ,(1,2,2,1)=-b ; 解: 因[,]0=a b ,所以向量a 与b 的夹角为2π.（2）(1,2,2,3)=a ,(3,1,5,1)=b . 解: [,]18=a b,||||=a ||||6=b ,向量a 与b 的夹角为[,]arccos||||||||⋅a b ab arccos24π==.3．在4R 中求一个单位向量与1(1,1,1,1)=-a ,2(1,1,1,1)=--a ,3(2,1,1,3)=a 同时正交.解: 设非零向量T1234(,,,)x x x x =x 与123,,a a a 同时正交,则有123⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭0a a x a . 现在解此方程组.123111111112113-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a a a 111102000131r-⎛⎫ ⎪−−→- ⎪-⎝⎭10110100031r -⎛⎫ ⎪−−→ ⎪⎝⎭30040100031r⎛⎫⎪−−→ ⎪⎝⎭. 由此求得T (4,0,1,3)k =-x (0k ≠).所以,所求向量为T10,1,3)±-.4．设1,,r e e 为欧氏空间V 的一个规范正交基,V 中向量a 在1,,re e 下的坐标为),,(1r a a .证明2212||||r a a ++= a .证明: 由规范正交基的性质知[,],(1,2,,)i i a i r == a e .于是21||||[,][,]ri i i a ===∑a a a a e 1[,]riii a ==∑a e 21rii a==∑.5．试用Schmidt 法把下列向量组规范正交化: （1）123111011(,,)101110-⎛⎫ ⎪-=⎪- ⎪ ⎪⎝⎭a a a ; 解: 11=b a,0T110,1,1)==-e b ,T222111[,](1,3,2,1)3=-=-b a a e e,T2213,2,1)==-e b ,T333113221[,][,](1,3,3,4)5=--=-b a a e e a e e ,33==eb T1,3,3,4)=-,123,,e e e 即为所求.（2）123413531331(,,,)11341112⎛⎫ ⎪-=⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭a a a a .解: 11=b a ,0T111(1,1,1,1)2==e b ,T22211[,](1,1,1,1)=-=--b a a e e ,T221(1,1,1,1)2==--e b ,T33311322[,][,](1,1,1,1)=--=--b a a e e a e e ,33=e b T1(1,1,1,1)2=--,T444114224331[,][,][,](1,1,1,1)2=---=--b a a e e a e e a e e ,44=e b T1(1,1,1,1)2=--,1234,,,e e e e 即为所求.6．设,A B 为n 阶正交矩阵,证明A B 也为正交矩阵. 证明: 由,A B 为正交矩阵知T =A A I ,T =B B I .于是TTTT()===AB AB B A AB B A I ,所以A B 也为正交矩阵.7．设A 与B 都是正交矩阵,证明⎛⎫⎪⎝⎭A O OB 也是正交矩阵. 证明: 设A 与B 的阶数分别为,m n .由,A B 为正交矩阵知Tm =A A I ,Tn =B B I .于是TTT ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭AO AO AO AO O B OB OB OB T Tmm n n +⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭I O A AO I OI OB B 所以⎛⎫⎪⎝⎭AO O B 也为正交矩阵.8．设A 为正交矩阵,证明 （1）||1A =±;（2）||1A =-时,||0I A +=.证明: (1) 因A 为正交矩阵,故T =A A I .于是TT21||||||||||===⋅=I A A A A A ,所以||1A =±.(2) 由T =A A I 得TT||||||||+=+=+⋅I A A A A A I A T|()|||=+⋅I A A ||||=+⋅I A A .当||1A =-时,||||||||+=+⋅=-+I A I A A I A ,所以||0I A +=.9．设e 为单位列向量,称T 2=-H I ee 为镜象矩阵,也称为豪斯霍尔德(Householder)矩阵.试证:（1）H 是对称的正交矩阵; （2）=-H e e ;（3）对任意与e 正交的向量y ,有=Hy y . 证明: (1) T T T T T T (2)2()2=-=-=-=H I ee I ee I ee H , 所以H 是对称矩阵.T2T 2(2)==-H H HI ee T T 244()=-+I ee eeTTT44()=-+I ee e e e e T T44=-+=I ee ee I ,所以H 是正交矩阵.(2) T T (2)2()2=-=-=-=-H e I ee e e e e e e e e . (3) 若向量y 与e 正交,则T 0=e y .于是TT(2)2()=-=-=H y I ee y y e e y y .10．设e 为3维单位列向量,镜象矩阵T2=-H I ee .试根据题9中(2)和(3)的性质,解释正交变换=y Hx 的几何意义.解: 固定向量的起点在坐标原点O ,且不妨设=k e .我们知道,对任意向量123a a a =++a i j k ,向量12a a +i j 与=k e 正交.根据题9中(2)和(3)的性质,我们有123123()()a a a a a a =++=++H a H i j k H i j H k 123a a a =+-i j k .而123:a a a '=+-a i j k 与123a a a =++a i j k 是关于xOy 面对称的.因此,正交变换=y Hx 将向量a 变换为它关于xOy 面的“镜象”.。

. .. . ..第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25.=0001100000100100( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 26．在函数1323211112)(x x xxx f ----=中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题. .. . ..1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是.4．若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式=100111010100111.6．行列式=-000100002000010n n .7．行列式=--001)1(2211)1(111n n n n a a a a a a .8．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211，则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.10．行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .11．n 阶行列式=+++λλλ111111111.12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.13．设行列式5678123487654321=D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式，则=+++44434241234A A A A .14．已知db c a cc a b b a b c a cb a D =， D 中第四列元的代数余子式的和为.15．设行列式62211765144334321-==D ，j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式，则=+4241A A ，=+4443A A .. .. . ..16．已知行列式nn D001030102112531-=，D 中第一行元的代数余子式的和为.17．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.18．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题1.cb a d b a dc ad c b dcbad c b a d c b a++++++++33332222; 2．yxyx x y x y y x y x +++；3．解方程0011011101110=x x xx ； 4．111111321321221221221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a xa a a a x；5. na a a a 111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠)； 6. bn b b ----)1(1111211111311117. n a b b b a a b b a a a b 321222111111111； 8．xa a a a x a a a a x a a a a x n nn321212121;9.2212221212121111nn n nnx x x x x x x x x x x x x x x +++; 10. 21000120000021001210001211．aa a aa a a a aD ---------=1101100011000110001.. .. . ..四、证明题1．设1=abcd ，证明：011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a .2．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a xb a -=++++++.3．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b a d c b a +++------=.4．∏∑≤<≤=----=nj i i jni innn nn nn n nna aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5．设c b a ,,两两不等，证明0111333=c b a c ba 的充要条件是0=++cb a .参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B 二．填空题1.n ;2.”“-;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n --;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n λλ; 12.2-;13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)11(!1∑=-nk k n ; 17.3,2-≠k ; 18.7=k三．计算题1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-； 2. )(233y x +-； 3. 1,0,2-=x ; 4.∏-=-11)(n k kax5.)111()1(00∑∏==-+-nk k nk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ;7. ∏=--nk k kna b1)()1(; 8. ∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(;9. ∑=+nk k x 11; 10. 1+n ;11. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略). .. . ..第二章 矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。

线性代数练习册答案第五章 相似矩阵及二次型51ξ- 内积52ξ- 方阵的特征值与特征向量一．填空题：1.A 是正交矩阵，则A1A =± . 2.已知n 阶方阵A 的特征值为12,,,n λλλ⋅⋅⋅， 则E A λ-= ()()()12n λλλλλλ--⋅⋅⋅- .3.已知3阶方阵A 的特征值为1,1,2-，则232B A A =-的特征值为 1,5,8 ；A = 2- ；A 的对角元之和为 2 .4.若0是A 的特征值，则A 不可逆 （可逆，不可逆）.5.A 是n 阶方阵，A d =，则AA *的特征值是 ,,,d d d ⋅⋅⋅（共n 个） . 二．用施密特法把下列向量组规范正交化123111(,,)124139ααα⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭解：()111,1,1Tβα==[]()()()2122121,61,2,31,1,11,0,13TT Tαββαββ=-=-=- [][]313233122212,,αβαββαββββ=--()()()1481211,4,91,1,11,0,1,,32333TTTT⎛⎫=---=- ⎪⎝⎭故)1111,1,1T b ββ==，)2221,0,1T b ββ==-，)3331,2,1Tb ββ==-.三．求下列矩阵的特征值和特征向量1. 1221A ⎛⎫= ⎪⎝⎭2. 100020012B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭解：1. A 的特征多项式为12(3)(1)21A E λλλλλ--==-+-故A 的特征值为123,1λλ==-.当13λ=时，解方程()30A E x -=.由221132200rA E --⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭:得基础解系111P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故1(0)kPk ≠是对应于13λ=的全部特征向量. 当21λ=-时，解方程()0A E x +=.由22112200r A E ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭:得基础解系211P -⎛⎫= ⎪⎝⎭，故2(0)kP k ≠是对应于21λ=-的全部特征向量.2. B 的特征多项式为2100020(1)(2)012B E λλλλλλ--=-=--- 故B 的特征值为1231,2λλλ===.当11λ=时，解方程()0B E x -=.由000011010010011000r B E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭:得基础解系1100P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，故1(0)kP k ≠是对应于11λ=的全部特征向量. 当232λλ==时，解方程()20B E x -=.由1001002000000010010r B E -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭:得基础解系2001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，故2(0)kP k ≠是对应于232λλ==的全部特征向量.四．证明下列各题1. x 为n 维列向量，且1T x x =，求证：2T H E xx =-是对称的正交阵.2. 设A 、B 为同阶正交阵，证明：AB 也是正交阵. 证明：1. ()()222TTTTT TT T H E xx H E xxE xx H =-⇒=-=-=故H 为对称阵.又()()()224444T T T T T T T T H H E xx E xx E xx x x x x E xx xx E =--=-+=-+=故H 为正交阵.2. 因,A B 为同阶正交阵，故,T T A A E B B E ==. 又()()TT T T T AB AB B A AB B EB B B E ====，故AB 为正交阵.五．A 是n 阶方阵，命题P 为：A 的特征值均不为0.请尽量多的列举与P 等价的命题.（如A 可逆.至少列举3个） 解：等价命题：1P ：A 的列（行）向量组线性无关 2P ：0A ≠3P ：齐次线性方程组0Ax =只有0解 4P ：A 的秩为n53ξ- 相似矩阵54ξ- 实对称矩阵的相似矩阵一．填空题：1.若ξ是A 的特征向量，则 1P ξ- 是1P AP -的特征向量.2.若A 与B 相似，则A.3.20000101A x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与20000001B y ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭相似，则x = 0 ，y = 1 .4.若λ是A 的k 重特征根，则必有k 个相应于λ的线性无关的特征向量， 不对 （对，不对），若A 是实对称的呢？ 对 （对，不对）.二．多项选择题（选出全部正确的选项，可能不只一个）1.n 阶方阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 有n 个（ C ） （A ）互不相同的特征值； （B ）互不相同的特征向量； （C ）线性无关的特征向量； （D ）两两正交的特征向量；2.方阵A 与B 相似，则必有（ BD ）（A ）E A E B λλ-=-； （B ）A 与B 有相同的特征值； （C ）A 与B 有相同的特征向量； （D ）A 与B 有相同的秩； 3.A 为n 阶实对称矩阵，则（ ACD ）（A ）属于不同特征值的特征向量必定正交； （B ）0A >；（C ）A 必定有n 个两两正交的特征向量； （D ）A 的特征值均为实数；三．100021012A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，试求一个可逆矩阵P 使得1P AP -为对角阵，并求m A .解：先求A 的特征值和特征向量.2100021(1)(3)012E A λλλλλλ--=-=--- 故A 的所有特征值为1233,1λλλ===.当13λ=时，解方程()30A E x -=.2001003011011011000rA E -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭:令1011P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1P 即为对应于13λ=的特征向量. 当231λλ==时，解方程()0A E x -=.000000011011011000r A E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭:令23100,101P P ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则23,P P 即为对应于231λλ==的特征向量.显然，123,,P P P 线性无关.令()123010,,101101P P P P ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭，则11110031313102211313022mm m m mm P AP A P P A P P ---⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪+-+ ⎪⎪Λ==⇒=Λ⇒=Λ= ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭-++ ⎪⎪⎝⎭四．三阶实对称矩阵A 的特征值为0,2,2，又相应于特征值0的特征向量为1111P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求出相应于2的全部特征向量.解：因为A 为三阶实对称矩阵，故A 有三个线性无关的特征向量，且对应于不同特征值的 特征向量两两正交.已知对应于10λ=的特征向量为1P ，设对应于232λλ==的特征向量为23,P P ，则12130,0T T P P P P ==.即23,P P 为齐次线性方程组10T P x =的两个线性无关的解.由10T P x =得1230x x x ++=.令2310,01x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则11,1x =--.取23111,001P P --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则23,P P 即为对应于232λλ==的特征向量.令2233k P k P ξ=+（23,k k 不全为零），则ξ为对应于232λλ==的全部特征向量. 五．设3阶方阵A 的特征值为1231,0,1λλλ===-，对应的特征向量分别依次为1231222,2,1212P P P -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求A .解：因为123λλλ≠≠，故A 可对角化，且123,,λλλ所对应的特征向量123,,P P P 线性无关.显然()()112312323,,,,A P P P P P P λλλ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，令()123,,P PP P =， 故1112311021001231220A P P P P λλλ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.55ξ- 二次型及其标准形56ξ- 用配方法化二次型为标准形57ξ- 正定二次型一．填空题：1. 22(,)22f x y x xy y x =+++是不是二次型？答： 不是 .2. 123121323(,,)422f x x x x x x x x x =-++的秩是 3 ；秩表示标准形中 平方项 的个数．3．21101000A k k ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,A 为正定矩阵,则k 满足 大于1 .二．A 为实对称矩阵，选出全部的A 为正定矩阵的充分必要条件（ 12346 ） 1.对任意的列向量0x ≠，0x Ax '> 2.存在可逆方阵C ，使得A C C '= 3.A 的顺序主子式全部大于零 4.A 的主子式全部大于零 5.A 的行列式大于零 6.A 的特征值全部大于零三．212312331001(,,)(,,)300430x f x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1.求二次型123(,,)f x x x 所对应的矩阵A ；2.求正交变换x Py =，将二次型化为标准形.解：1. 2112312331232123001(,,)(,,)300(,,)343043x x f x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭22212233343x x x x x =+++ 故二次型123(,,)f x x x 所对应的矩阵100032023A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.2. 问题可转化为求正交矩阵P ，将A 化为对角形.21032(1)(5)023A E λλλλλλ--=-=--- 故A 的特征值为1231,5λλλ===.当121λλ==时，解方程()0A E x -=.000011022000022000r A E ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭:.令1310,01x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得20,1x =-.取12100,101ξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12,ξξ即为对应于121λλ==的特征向量.显然，12,ξξ正交.将12,ξξ单位化得121212010,0P P ξξξξ⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎪==== ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭当35λ=时，解方程()50A E x -=.4001005022011022000rA E -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭:.令31x =，得1201x x =⎧⎨=⎩.取3011ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则3ξ即为对应于35λ=的特征向量.将3ξ单位化得3330P ξξ⎛⎫⎪ ⎪==. 令()123P P P P =，则1115P AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.故123(,,)f x x x 的标准形为2221235y y y ++.四．已知A 和B 都为n 阶正定矩阵，求证A B +的特征值全部大于零. 证明：因为,A B 都为n 阶正定矩阵，则对任意n 维列向量0x ≠， 有()0,00T T T x Ax x Bx x A B x >>⇒+>.即A B +是正定矩阵. 故A B +的特征值全部大于零. 五．已知A 为n 阶正定矩阵，求证1A E +>.证明：因为A 为n 阶正定矩阵，则A 的n 个特征值12,,,n λλλ⋅⋅⋅全大于零且存在正交矩阵P ，使得112211n n P AP A P P λλλλλλ--⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪=⇒= ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由1122111n n A E P P PP P E P λλλλλλ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭121111n P P λλλ-+⎛⎫⎪+⎪= ⎪⋅⋅⋅ ⎪+⎝⎭，得()()()121121111111n n A E PP λλλλλλ-+++==++⋅⋅⋅+>⋅⋅⋅+六.求22:1L x xy y ++=围成的面积.解：设二次型()22112(,),112x f x y x xy y x y y ⎛⎫ ⎪⎛⎫=++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭. 令112112A ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则A 是对称矩阵且正定.设12,λλ为A 的特征值，可知存在正交矩阵P ，使得11200T P AP P AP λλ-⎛⎫== ⎪⎝⎭.由0E A λ-=，得1213,22λλ==. 因为正交变换不改变向量的长度，故可用正交变换12z x P z y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得1221122T T T T X AX Z P APZ Z P APZ z z λλ-===+，其中12,z x X Z z y ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 综上可知，经过正交变换后，221213(,)22f x y z z =+.故L 的面积即为椭圆： 221213122z z +=的面积.面积S =.第五章 复习题三、计算题1、设3阶对称阵A 的特征值为6，3，3，与特征值6对应的特征向量为()11,1,1Tp =，求A解：因为对称矩阵对应于不同特征值的特征向量是两两正交的，所以求对应于3的特征向量即为求与()1,1,1T正交的特征向量。

第一章行列式1、 求下列排列的逆序数，并确定它们的奇偶性。

(1) 1347265； (2) 〃(〃 —1)・・・321。

【解(1) r(1347265)=0 + 0 + 0 + 0 + 3 + l + 2 = 6,偶排列；(2) "〃(〃_1)...321] = 0 + ] + 2 + ... + (〃_1) = 〃(；1)。

当〃=4奴4女+ 1时，〃(〃；1)=2机4*—1),2机4* + 1)为偶数，即为偶排列；当〃 = 412,413时，丝* = (2*+1)(4*+ 1),(2*+1)(4*+ 3)为奇数,即为奇 排列。

■2、 用行列式定义计算2x x 1 21x1-1 f (X )=-- [3 2x1111%中『和r 的系数，并说明理由。

【解】由行列式定义可知：含b 有的项只能是主对角线元素乘积，故的系数为2； 含有尸的项只能是(1, 2), (2, 1), (3, 3), (4, 4)的元素乘积项，而7(2134) = 0 + 1 + 0 + 0 = 1,故/的系数为一1. ■2-512 --37-14 3、 求 =o45 -9 2 7 4-612【解】三角化法：2-5121-522 1-522 尸2+八1-12 0 6C[0 2-160 113D 4 =- _八3-211 1 0 3 0 113 0 2-16 r 4+r 211 0 60 1160 1161 -52 2 r3~2r 2 0 11 3r4~r 2 00 -3 00 0 31111 rk~r l0 10 0=120= 120o )l=2,3,40 0 100 0 0 1【解】箭形行列式（爪形行列式）：利用对角线上元素将第一行（或列）中元素1化为零。

1 x 2q+C2 +•••+&n D"=(，-就1 x 2-mi=l1x21 0 0C k -X L C I 凡 q (»i) k=2,3,---,n1 —m ••- 01 0…-m【解】观察特点: 行和相等。

线性代数习题册答案第一章 行列式 练习 一班级 学号 姓名1．按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）τ(3421)= 5 ; （2）τ(135642)= 6 ;（3）τ(13…(2n-1)(2n)…42) = 2+4+6+…+（2 n-2）= n （n-1）.2．由数字1到9组成的排列1274i56j9为偶排列，则i= 8 、j= 3 .3．在四阶行列式中，项12233441a a a a 的符号为 负 .4．00342215= －24 .5．计算下列行列式：（1）122212221-----= －1＋（－8）＋（－8）－（－4）－（－4）―（－4）= －5 或（2）111111λλλ---= －3λ＋1＋1－（－λ）－（－λ）―（－λ） = －3λ＋3λ+2=2(2)(1)λλ-+练习 二班级 学号 姓名 1．已知3阶行列式det()ij a =1，则行列式det()ij a -= －1 . 3(1)11-⋅=-2． 1112344916= 2 .3．已知D=1012110311101254--,则41424344A A A A +++= —1 .用1，1，1，1替换第4行4． 计算下列行列式：(1)111ab c a b c abc +++ = 13233110110011,0110111111r r r r c c a b c b ca b ca b c-----+-==++++++(2)xy x y y x y x x yxy+++(3)130602121476----(4)1214012110130131-5．计算下列n 阶行列式：(1)n x a aa x a D a a x=（每行都加到第一行，并提公因式。

）(2)131111n +(3)123123123n n n a ba a a a ab a a a a a a b+++练习 三班级 学号 姓名1．设线性方程组123123123111x x x x x x x x x λλλ--=⎧⎪++=⎨⎪-++=⎩有惟一解，则λ满足的条件是什么？1,0,1λλλ≠-≠≠2. 求解线性方程组12341234123412345242235232110x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-+=-⎪⎨---=-⎪⎪+++=⎩3.已知齐次线性方程组123123123000x x x x x x x x x λλλ--=⎧⎪-++=⎨⎪--+=⎩有非零解，求λ的值。