2016--2017学年(下)嘉惠中学高二年期中考试(理科)(数学)-考试详情

广东省惠州市惠城区2016-2017学年高二数学下学期期中试题 文参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =（S 是锥体的底面积，h 是锥体的高） 一．选择题（每小题5分，共60分）1．设集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则A ∩Z 中元素的个数是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 32．若复数z 满足z(1+i )=2i ，则在复平面内z 对应的点的坐标是（ ） A.(1, 1) B.(1, -1) C.(-1, 1) D.(-1, -1) 3．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( )A.1y x=B.2y x =C.3y x = D.sin y x = 4. 设命题2np :n N,n 2∃∈>，则p ⌝为( )A.2,2∀∈>nn N n B.2,2nn N n ∃∈≤ C.2,2nn N n ∀∈≤ D.2,=2nn N n ∃∈5．已知两个单位向量12,e e 的夹角为45︒,且满足()121λ⊥-e e e ,则实数λ的值是( ) A ．1 BC．3D ．2 6．已知,x y 满足约束条件10100x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩,则2z x y =+的最大值为( )A ．2-B ．1-C ．1D ．27. 在同一坐标系中，将曲线x y 3sin 2=变为曲线x y '='sin 的伸缩变换是( )A.⎪⎩⎪⎨⎧'='=y y x x 213B.⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 213 C. ⎩⎨⎧'='=y y x x 23 D. ⎩⎨⎧='='y y x x 23 8．设椭圆2222x y 1(m 0,n 0)m n +=>>的右焦点与抛物线2y 8x =的焦点相同，离心率为12，则椭圆的方程为（ ）A ．22x y 11216+= B ．22x y 11612+= C ．22x y 14864+= D ．22x y 16448+=9．在如图所示的算法流程图中，输出S 的值为 （ ）A ．51B ．52C ．53D ．54 10．下面有段演绎推理：“直线平行于平面，则该直线平行于平面内所有直线； 已知直线b ⊄平面α，直线⊂a 平面α，直线b ∥平面α， 则直线b ∥直线a ”，则该推理中 （ ） A ．大前提错误 B ．小前提错误 C ．推理形式错误 D ．该推理是正确的11.如图，1F 、2F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于点A 、B ．若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A．4 12．已知函数f （x ）=sin （2x﹣）（x ∈R ）下列结论错误．．的是（ ） A ．函数f （x ）的最小正周期为π B ．函数f （x ）是偶函数 C ．函数f （x ）在区间[0，]上是增函数D ．函数f （x ）的图象关于直线x=对称二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分． 13.不等式|x-1|+|x-3|>4的解集是 。

2015-2016学年广东省惠州一中高二（下）期中数学试卷（理科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）定积分（2x+e x）dx的值为（）A．e+2B．e+1C．e D．e﹣12．（5分）设i是虚数单位，复数z满足，则＝（）A．1B．C．D．23．（5分）若m＝﹣，n＝﹣（a≥3），则（）A．m＞n B．m＝nC．m＜n D．m与的n大小关系不确定4．（5分）设a，b，c∈（0，+∞），则三个数a+，b+，c+的值（）A．都大于2B．都小于2C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于25．（5分）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A．192种B．216种C．240种D．288种6．（5分）从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为（）A．160 cm3B．144cm3C．72cm3D．12 cm37．（5分）设（2﹣x）5＝a0+a1x+a2x2+…+a5x5，那么的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣18．（5分）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（）A．232B．252C．472D．4849．（5分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx﹣a2﹣7a在x＝1处取得极大值10，则的值为（）A．B．﹣2C．﹣2或D．不存在10．（5分）面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长为a i（i＝1，2，3，4），此四边形内任一点P到第i条边的距离为h i（i＝1，2，3，4），若，则．根据以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为S i（i＝1，2，3，4），此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为H i（i＝1，2，3，4），若，则H1+2H2+3H3+4H4＝（）A．B．C．D．11．（5分）某大学的信息中心A与大学各部门，各院系B、C、D、E、F、G、H、I之间拟建立信息联网工程，实际测算的费用如图所示（单位：万元），请观察图形，可以不建部分网线而使得信息中心与各部门、各院系都能联通（直接或中转），则最少的建网费用是（）A．12万元B．13万元C．14万元D．16万元12．（5分）已知f（x）是定义在R上的减函数，其导函数f′（x）满足+x＜1，则下列结论正确的是（）A．对于任意x∈R，f（x）＜0B．对于任意x∈R，f（x）＞0C．当且仅当x∈（﹣∞，1），f（x）＜0D．当且仅当x∈（1，+∞），f（x）＞0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）（﹣x）dx＝．14．（5分）已知z是复数，z+2i、均为实数（i为虚数单位），且复数（z+a•i）2在复平面内对应的点在第一象限，则实数a的取值范围为．15．（5分）使得的展开式中含有常数项的最小的n 为．16．（5分）一般地，给定平面上有n个点，每两点之间有一个距离，最大距离与最小距离的比记为λn，已知λ4的最小值是，λ5的最小值是，λ6的最小值是．试猜想λn（n≥4）的最小值是．（这就是著名的Heilbron 猜想，已经被我国的数学家攻克）三.解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知顶点在单位圆上的△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2a cos A＝c cos B+b cos C．（1）cos A的值；（2）若b2+c2＝4，求△ABC的面积．18．（10分）由下列不等式：，，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．19．（12分）如图，直棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝AB．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的余弦值．20．（12分）已知函数f（x）＝ax2+1，（a＞0），g（x）＝x3+bx．（1）若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a，b的值；（2）当a2＝4b时，求函数y＝f（x）+g（x）在（﹣∞，0]上的最大值．21．（12分）如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e ＝，直线l的方程为x＝4．（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记P A，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2＝λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．22．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣kx（k∈R），g（x）＝lnx．（1）若函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象有公共点，求实数k的取值范围；（2）设函数h（x）＝f（x）﹣g（x），∀a，b＞0（a≠b），若∃c＞0，使得h′（c）＝，求证：＜c＜．2015-2016学年广东省惠州一中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）定积分（2x+e x）dx的值为（）A．e+2B．e+1C．e D．e﹣1【解答】解：（2x+e x）dx＝（x2+e x）|＝（1+e）﹣（0+e0）＝e．故选：C．2．（5分）设i是虚数单位，复数z满足，则＝（）A．1B．C．D．2【解答】解：复数z满足，可得1+z＝（1﹣z）i，解得z＝＝＝﹣i．则＝|i|＝1．故选：A．3．（5分）若m＝﹣，n＝﹣（a≥3），则（）A．m＞n B．m＝nC．m＜n D．m与的n大小关系不确定【解答】解：∵m＝﹣＝，n＝﹣＝（a ≥3），又0＜＜，∴m＜n．故选：C．4．（5分）设a，b，c∈（0，+∞），则三个数a+，b+，c+的值（）A．都大于2B．都小于2C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于2【解答】解：假设3个数a+＜2，b+＜2，c+＜2，则a++b++c+＜6，利用基本不等式可得a++b++c+＝b++c++a+≥2+2+2＝6，这与假设所得结论矛盾，故假设不成立，所以，3个数a+，b+，c+中至少有一个不小于2．故选：D．5．（5分）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A．192种B．216种C．240种D．288种【解答】解：最左端排甲，共有＝120种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有＝96种，根据加法原理可得，共有120+96＝216种．故选：B．6．（5分）从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为（）A．160 cm3B．144cm3C．72cm3D．12 cm3【解答】解：设小正方形的变长为xcm（0＜x＜5），则盒子的容积V＝（10﹣2x）（16﹣2x）x＝4x3﹣52x2+160x（0＜x＜5），V'＝12x2﹣104x+160＝4（3x﹣20）（x﹣2），当0＜x＜2时，V'＞0，当2＜x＜5时，V'＜0，∴x＝2时V取得极大值，也为最大值，等于（10﹣4）（16﹣4）×2＝144（cm3），故选：B．7．（5分）设（2﹣x）5＝a0+a1x+a2x2+…+a5x5，那么的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣1【解答】解：令x＝1，可得a0+a1+a2+a3+a4+a5＝1，再令x＝﹣1可得a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5＝35．两式相加除以2求得a0+a2+a4＝122，两式相减除以2可得a1+a3+a5＝﹣121．结合a5＝﹣1，故＝＝﹣，故选：B．8．（5分）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（）A．232B．252C．472D．484【解答】解：由题意，不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有种取法，两种红色卡片，共有种取法，故所求的取法共有﹣﹣＝560﹣16﹣72＝472故选：C．9．（5分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx﹣a2﹣7a在x＝1处取得极大值10，则的值为（）A．B．﹣2C．﹣2或D．不存在【解答】解：∵f（x）＝x3+ax2+bx﹣a2﹣7a，∴f′（x）＝3x2+2ax+b，又f（x）＝x3+ax2+bx﹣a2﹣7a在x＝1处取得极大值10，∴f′（1）＝3+2a+b＝0，f（1）＝1+a+b﹣a2﹣7a＝10，∴a2+8a+12＝0，∴a＝﹣2，b＝1或a＝﹣6，b＝9．当a＝﹣2，b＝1时，f′（x）＝3x2﹣4x+1＝（3x﹣1）（x﹣1），当＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，∴f（x）在x＝1处取得极小值，与题意不符；当a＝﹣6，b＝9时，f′（x）＝3x2﹣12x+9＝3（x﹣1）（x﹣3）当x＜1时，f′（x）＞0，当1＜x＜3时，f′（x）＜0，∴f（x）在x＝1处取得极大值，符合题意；∴＝﹣＝﹣．故选：A．10．（5分）面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长为a i（i＝1，2，3，4），此四边形内任一点P到第i条边的距离为h i（i＝1，2，3，4），若，则．根据以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为S i（i＝1，2，3，4），此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为H i（i＝1，2，3，4），若，则H1+2H2+3H3+4H4＝（）A．B．C．D．【解答】解：根据三棱锥的体积公式得：，即S1H1+S2H2+S3H3+S4H4＝3V，∴，即．故选：B．11．（5分）某大学的信息中心A与大学各部门，各院系B、C、D、E、F、G、H、I之间拟建立信息联网工程，实际测算的费用如图所示（单位：万元），请观察图形，可以不建部分网线而使得信息中心与各部门、各院系都能联通（直接或中转），则最少的建网费用是（）A．12万元B．13万元C．14万元D．16万元【解答】解：可以不建部分网线而使得信息中心与各部门、各院系都能联通（直接或中转），可考虑实际测算的费用每段中最小的网路线最佳建网路线：A﹣H﹣G﹣F，A﹣E﹣D﹣C，A﹣B，A﹣I此时费用为：1+1+1+1+2+2+3+2＝13故选：B．12．（5分）已知f（x）是定义在R上的减函数，其导函数f′（x）满足+x＜1，则下列结论正确的是（）A．对于任意x∈R，f（x）＜0B．对于任意x∈R，f（x）＞0C．当且仅当x∈（﹣∞，1），f（x）＜0D．当且仅当x∈（1，+∞），f（x）＞0【解答】解：∵+x＜1，f（x）是定义在R上的减函数，f′（x）＜0，∴f（x）+f′（x）x＞f′（x），∴f（x）+f′（x）（x﹣1）＞0，∴[（x﹣1）f（x）]′＞0，∴函数y＝（x﹣1）f（x）在R上单调递增，而x＝1时，y＝0，则x＜1时，y＜0，当x∈（1，+∞）时，x﹣1＞0，故f（x）＞0，又f（x）是定义在R上的减函数，∴x≤1时，f（x）＞0也成立，∴f（x）＞0对任意x∈R成立，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）（﹣x）dx＝﹣．【解答】解：原式＝＝＝；故答案为：﹣．14．（5分）已知z是复数，z+2i、均为实数（i为虚数单位），且复数（z+a•i）2在复平面内对应的点在第一象限，则实数a的取值范围为{a|2＜a＜6}．【解答】解：（1）设z＝m+ni∵Z+2i＝m+ni+2i是实数，∴n＝﹣2，＝为实数，∴m＝4，∴z＝4﹣2i，∴（z+ai）2＝（4﹣2i+ai）2＝16+8（a﹣2）i+（a﹣2）2i2＝（12﹣a2+4a）+（8a ﹣16）i，∵复数（z+ai）2在复平面对应的点在第一象限，∴，解得：2＜a＜6，∴实数a的取值范围是{a|2＜a＜6}，故答案为：{a|2＜a＜6}．15．（5分）使得的展开式中含有常数项的最小的n为5．【解答】解：由于的展开式的通项公式为T r+1＝•（3x）n ﹣r •＝3n﹣r••，令n﹣r＝0，可得n＝r，其中r＝0，1，2，…n．故n的最小值为5，故答案为：5．16．（5分）一般地，给定平面上有n个点，每两点之间有一个距离，最大距离与最小距离的比记为λn，已知λ4的最小值是，λ5的最小值是，λ6的最小值是．试猜想λn（n≥4）的最小值是．（这就是著名的Heilbron猜想，已经被我国的数学家攻克）【解答】解：∵，，，…设数列{a n}（n≥4），＝，，，…于是可得．∴猜想λn（n≥4）的最小值是＝．故答案为．三.解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知顶点在单位圆上的△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2a cos A＝c cos B+b cos C．（1）cos A的值；（2）若b2+c2＝4，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵2a cos A＝c cos B+b cos C，由正弦定理得：2sin A•cos A＝sin C cos B+sin B cos C⇒2sin A•cos A＝sin（B+C）＝sin A，又∵0＜A＜π⇒sin A≠0，∴．…（6分）（2）由，由于顶点在单位圆上的△ABC中，2R＝2，利用正弦定理可得：．由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A⇒bc＝b2+c2﹣a2＝4﹣3＝1．…（10分）∴．…（12分）18．（10分）由下列不等式：，，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．【解答】解：根据给出的几个不等式可以猜想第n个不等式，即一般不等式为：．用数学归纳法证明如下：①当n＝1时，1，猜想正确．②假设n＝k时猜想成立，即，则n＝k+1时，＝＝，即当n＝k+1时，猜想也成立，所以对任意的n∈N+，不等式成立．19．（12分）如图，直棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝AB．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连结AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点，又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF，因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD．（Ⅱ）解：因为直棱柱ABC﹣A1B1C1，所以AA1⊥CD，由已知AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB，又AA1∩AB＝A，于是，CD⊥平面ABB1A1，设AB＝2，则AA1＝AC＝CB＝2，得∠ACB＝90°，CD＝，A1D＝，DE＝，A1E＝3故A1D2+DE2＝A1E2，即DE⊥A1D，所以DE⊥平面A1DC，又A1C＝2，过D作DF⊥A1C于F，∠DFE为二面角D﹣A1C﹣E的平面角，在△A1DC中，DF＝＝，EF＝＝，所以二面角D﹣A1C﹣E的余弦值cos∠DFE＝＝．20．（12分）已知函数f（x）＝ax2+1，（a＞0），g（x）＝x3+bx．（1）若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a，b的值；（2）当a2＝4b时，求函数y＝f（x）+g（x）在（﹣∞，0]上的最大值．【解答】解：（1）f（x）＝ax2+1（a＞0），则f'（x）＝2ax，k1＝2a，g（x）＝x3+bx，则g′（x）＝3x2+b，k2＝3+b，由（1，c）为公共切点，可得：2a＝3+b①又f（1）＝a+1，g（1）＝1+b，∴a+1＝1+b，即a＝b，代入①式可得：a ＝b ＝3；（2）由题设a 2＝4b ，设h （x ）＝f （x ）+g （x ）＝x 3+ax 2+a 2x +1， 则h ′（x ）＝3x 2+2ax+a 2，令h '（x ）＝0，解得：x 1＝﹣，x 2＝﹣； ∵a ＞0， ∴﹣＜﹣，﹣∴原函数在（﹣∞，﹣）单调递增，在（﹣，﹣）单调递减，在（﹣，0]上单调递增，而h （﹣）＝1，h （0）＝1，∴函数的最大值为h （﹣）＝h （0）＝1． 21．（12分）如图，椭圆C ：经过点P （1，），离心率e＝，直线l 的方程为x ＝4． （1）求椭圆C 的方程；（2）AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ），设直线AB 与直线l 相交于点M ，记P A ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3．问：是否存在常数λ，使得k 1+k 2＝λk 3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）椭圆C ：经过点P （1，），可得①由离心率e＝得＝，即a＝2c，则b2＝3c2②，代入①解得c＝1，a＝2，b ＝故椭圆的方程为（2）方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y＝k（x﹣1）③代入椭圆方程并整理得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2＝，④在方程③中，令x＝4得，M的坐标为（4，3k），从而，，＝k﹣注意到A，F，B共线，则有k＝k AF＝k BF，即有＝＝k所以k1+k2＝+＝+﹣（+）＝2k﹣×⑤④代入⑤得k1+k2＝2k﹣×＝2k﹣1又k3＝k﹣，所以k1+k2＝2k3故存在常数λ＝2符合题意方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），则直线FB的方程为令x＝4，求得M（4，）从而直线PM的斜率为k3＝，联立，得A（，），则直线P A的斜率k1＝，直线PB的斜率为k2＝所以k1+k2＝+＝2×＝2k3，故存在常数λ＝2符合题意22．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣kx（k∈R），g（x）＝lnx．（1）若函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象有公共点，求实数k的取值范围；（2）设函数h（x）＝f（x）﹣g（x），∀a，b＞0（a≠b），若∃c＞0，使得h′（c）＝，求证：＜c＜．【解答】解：（1）由题意，存在x＞0，使得x2﹣kx＝lnx，即k＝x﹣，令u（x）＝x﹣，则u′（x）＝，令m（x）＝x2﹣1+lnx，m（x）在（0，+∞）上单调递增，当x∈（0，1）时，m（x）＜m（1）＝0，u′（x）＜0，u（x）单调递减．当x∈（1，+∞）时，m（x）＞m（1）＝0，u′（x）＞0，u（x）单调递增．∴u（x）≥u（1）＝1，∴实数k的取值范围：[1，+∞）．（2）h（x）＝x2﹣kx﹣lnx，h′（x）＝2x﹣﹣k在（0，+∞）上单调增，不妨设a＞b＞0，则⇒h′（）＝h′（c）＝＜h′（），⇒⇔⇔，令，则构造函数G（t）＝lnt﹣2，∵恒成立，只需证明⇔，令r＝，构造函数n（r）＝2lnr﹣（r﹣）（r＞1），函数n′（r）＝﹣（）2＜0恒成立，函数n（r）在（1，+∞）上单调递减，∴n（r）＜n（1）＝0，只需证明成立，故结论：＜c＜成立．。

福建省泉州市2016-2017学年高二数学下学期期中试卷理（含解析）一、选择题1.在复平面内，复数i（2﹣i）对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．在二项式的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A+B=72，则展开式中常数项的值为（）A．6 B．9 C．12 D．183．我们知道：“心有灵犀”一般是对人的心理活动非常融洽的一种描述，它也可以用数学来定义：甲、乙两人都在{1，2，3，4，5，6}中说一个数，甲说的数记为a，乙说的数记为b，若|a﹣b|≤1，则称甲、乙两人“心有灵犀”，由此可以得到甲、乙两人“心有灵犀”的概率是（）A．B．C．D．4．收集一只棉铃虫的产卵数y与温度X的几组数据后发现两个变量有相关关系，并按不同的曲线来拟合y与X之间的回归方程，算出对应相关指数R2如下表：则这组数据模型的回归方程的最好选择应是（）=19.8x﹣463.7 =e0.27x﹣3.84=0.367x2﹣202 =A． =19.8x﹣463.7 B． =e0.27x﹣3.84C． =0.367x2﹣202 D． =5．已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2）．若P（0＜ξ≤1）=0.4，则P（ξ≥2）=（）A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.16．n（其中n∈N且n≥6）的展开式中x5与x6的系数相等，则n=（）A．6 B．7 C．8 D．97．设随机变量X的概率分布列如表，则P（|X﹣3|=1）（）A．B．C．D．8．考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点种任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（）A．B．C．D．9．反证法证明三角形的内角中至少有一个不小于60°，反设正确的是（）A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都小于60°C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角至多有两个小于60°10．某单位拟安排6位员工在今年5月28日至30日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值28日，乙不值30日，则不同的安排方法共有（）A．30种B．36种C．42种D．48种11．将数字“123367”重新排列后得到不同的偶数个数为（）A．72 B．120 C．192 D．24012．在一次反恐演习中，我方三架武装直升机分别从不同方位对同一目标发动攻击（各发射一枚导弹），由于天气原因，三枚导弹命中目标的概率分别为0.9，0.9，0.8，若至少有两枚导弹命中目标方可将其摧毁，则目标被摧毁的概率为（）A．0.998 B．0.046 C．0.002 D．0.954二、填空题复数（a∈R，i为虚数单位）为纯虚数，则复数z=a+i的模为．14．在（2x+1）（x﹣1）5的展开式中含x3项的系数是（用数字作答）．15．如图所示，在边长为1的正方形OABC内任取一点P，用A表示事件“点P恰好取自由曲线与直线x=1及x轴所围成的曲边梯形内”，B表示事件“点P恰好取自阴影部分内”，则P（B|A）= ．16．有6名选手参加学校唱歌比赛，学生甲猜测：4号或5号选手得第一名；学生乙猜测：3号选手不可能得第一名；学生丙猜测：1，2，6号选手中的一位获得第一名；学生丁猜测：4，5，6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁四人中只有1人猜对，则获得第一名的选手号数是．三、解答题（6大题，共70分．解答时应按要求写出证明过程或演算步骤）17．（10分）已知盒子中有4个红球，2个白球，从中一次抓三个球，（1）求没有抓到白球的概率；（2）记抓到球中的红球数为X，求X的分布列和数学期望．18．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．（1）证明：PA∥平面BDE；（2）求二面角B﹣DE﹣C的余弦值．19．（12分）某单位共有10名员工，他们某年的收入如表：（1）求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；（2）从该单位中任取2人，此2人中年薪收入高于7万的人数记为ξ，求ξ的分布列和期望；（3）已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为4万元，5.5万元，6万元，8.5万元，预测该员工第五年的年薪为多少？附：线性回归方程中系数计算公式分别为：，，其中为样本均值．20．（12分）2016世界特色魅力城市200强新鲜出炉，包括黄山市在内的28个中国城市入选．美丽的黄山风景和人文景观迎来众多宾客．现在很多人喜欢自助游，某调查机构为了了解“自助游”是否与性别有关，在黄山旅游节期间，随机抽取了100人，得如下所示的列联表：（1）若在100这人中，按性别分层抽取一个容量为20的样本，女性应抽11人，请将上面的列联表补充完整（在答题卡上直接填写结果，不需要写求解过程），并据此资料能否在犯错误的概率不超过0.05前提下，认为赞成“自助游”是与性别有关系？（2）若以抽取样本的频率为概率，从旅游节游客中随机抽取3人赠送精美纪念品，记这3人中赞成“自助游”人数为X ，求X 的分布列和数学期望．21．（12分）已知函数f （x ）=．（Ⅰ）若a=2，求f （x ）在（1，f （1））处的切线方程； （Ⅱ）求f （x ）在区间上的最小值；（Ⅲ）若f （x ）在区间（1，e ）上恰有两个零点，求a 的取值范围．22．（12分）已知椭圆M： +=1（a＞b＞0）的长轴长为4，且与椭圆+=1有相同的离心率．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与M有两个交点A、B，且⊥？若存在，写出该圆的方程，并求||的取值范围，若不存在，说明理由．2016-2017学年福建省泉州市泉港一中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1.在复平面内，复数i（2﹣i）对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】首先进行复数的乘法运算，得到复数的代数形式的标准形式，根据复数的实部和虚部写出对应的点的坐标，看出所在的象限．【解答】解：∵复数z=i（2﹣i）=﹣i2+2i=1+2i∴复数对应的点的坐标是（1，2）这个点在第一象限，故选A．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，本题解题的关键是写成标准形式，才能看出实部和虚部的值．2．在二项式的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A+B=72，则展开式中常数项的值为（）A．6 B．9 C．12 D．18【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】通过给x 赋值1得各项系数和，据二项式系数和公式求出B，列出方程求出n，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项．【解答】解：在二项式的展开式中，令x=1得各项系数之和为4n∴A=4n据二项展开式的二项式系数和为2n∴B=2n∴4n+2n=72解得n=3∴=的展开式的通项为=令得r=1故展开式的常数项为T2=3C31=9故选项为B【点评】本题考查求展开式各项系数和的方法是赋值法；考查二项式系数的性质；考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．3．我们知道：“心有灵犀”一般是对人的心理活动非常融洽的一种描述，它也可以用数学来定义：甲、乙两人都在{1，2，3，4，5，6}中说一个数，甲说的数记为a，乙说的数记为b，若|a﹣b|≤1，则称甲、乙两人“心有灵犀”，由此可以得到甲、乙两人“心有灵犀”的概率是（）A．B．C．D．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从6个数字中各自想一个数字，可以重复，可以列举出共有36种结果，满足条件的事件可以通过列举得到结果，根据等可能事件的概率公式得到结果．【解答】解：（I）由题意知，本题是一个等可能事件的概率列举出所有基本事件为：（1，1），（2，2），（2，3），（4，4），（5，5），（6，6）（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），（1，4），（4，1），（1，5），（5，1），（1，6），（6，1）（1，3），（3，1），（2，4），（4，2），（3，5），（5，3），（4，6），（6，4），（1，4），（4，1），（2，5），（5，2），（3，6），（6，3），（1，5），（5，1），（2，6），（6，2），（1，6），（6，1），共计36个．记“两人想的数字相同或相差1”为事件B，事件B包含的基本事件为：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6） （1，2），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，3）， （4，5），（5，4），（5，6），（6，5），共计16个． ∴P==，∴“甲乙心有灵犀”的概率为．故选D ．【点评】本题考查古典概型及其概率公式．考查利用分类计数原理表示事件数，考查理解能力和运算能力，注意列举出的事件数做到不重不漏．4．收集一只棉铃虫的产卵数y 与温度X 的几组数据后发现两个变量有相关关系，并按不同的曲线来拟合y 与X 之间的回归方程，算出对应相关指数R 2如下表： 则这组数据模型的回归方程的最好选择应是（ ）=19.8x ﹣=e0.27x ﹣=0.367x 2﹣=A ． =19.8x ﹣463.7B ． =e 0.27x ﹣3.84C ．=0.367x 2﹣202 D ．=【考点】BK ：线性回归方程．【分析】两个变量y 与x 的回归模型中，它们的相关指数R 2，越接近于1，这个模型的拟合效果越好，在所给的四个选项中0.98是相关指数最大的值，得到结果．【解答】解：两个变量y 与x 的回归模型中，它们的相关指数R 2，越接近于1， 这个模型的拟合效果越好，在所给的四个选项中0.996是相关指数最大的值， ∴拟合效果最好的模型是指数曲线：=e 0.27x ﹣3.84．故选：B．【点评】本题考查相关指数，这里不用求相关指数，而是根据所给的相关指数判断模型的拟合效果，这种题目解题的关键是理解相关指数越大拟合效果越好．5．已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2）．若P（0＜ξ≤1）=0.4，则P（ξ≥2）=（）A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】利用正态分布的对称性得出答案．【解答】解：∵ξ～N（1，σ2），∴P（ξ≥2）=P（ξ≤0）=P（ξ≤1）﹣P（0＜ξ≤1）=0.5﹣0.4=0.1．故选：D．【点评】本题考查了正态分布的特点，属于基础题．6．（1+3x）n（其中n∈N且n≥6）的展开式中x5与x6的系数相等，则n=（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的通项，求出展开式中x5与x6的系数，列出方程求出n．【解答】解：二项式展开式的通项为T r+1=3r C n r x r∴展开式中x5与x6的系数分别是35C n5，36C n6∴35C n5=36C n6解得n=7故选B【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．7．设随机变量X的概率分布列如表，则P（|X﹣3|=1）（）A．B．C．D．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】根据随机变量X的概率分布列，求出m的值，再利用和概率公式计算P（|X﹣3|=1）的值．【解答】解：根据随机变量X的概率分布列知，+m++=1，解得m=；又|X﹣3|=1，∴X=2或X=4，则P（|X﹣3|=1）=P（X=2）+P（X=4）=+=．故选：B．【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列计算问题，是基础题．8．考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点种任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】先用组合数公式求出甲乙从这6个点中任意选两个点连成直线的条数共有C62，再用分步计数原理求出甲乙从中任选一条共有225种，利用正八面体找出相互平行但不重合共有共12对，代入古典概型的概率公式求解．【解答】解：甲从这6个点中任意选两个点连成直线，共有C62=15条，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，共有C62=15条，甲乙从中任选一条共有15×15=225种不同取法，因正方体6个面的中心构成一个正八面体，有六对相互平行但不重合的直线，则甲乙两人所得直线相互平行但不重合共有12对，这是一个古典概型，所以所求概率为=，故选D．【点评】本题的考点是古典概型，利用组合数公式和分步计数原理求出所有基本事件的总数，再通过正方体6个面的中心构成一个正八面体求出相互平行但不重合的对数，代入公式求解．9．反证法证明三角形的内角中至少有一个不小于60°，反设正确的是（）A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都小于60°C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角至多有两个小于60°【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】由于本题所给的命题是一个特称命题，故它的否定即为符合条件的反设，写出其否定，对照四个选项找出答案即可【解答】解：用反证法证明命题：“一个三角形中，至少有一个内角不小于60°”时，应由于此命题是特称命题，故应假设：“三角形中三个内角都小于60°”故选：B【点评】本题考查反证法的基础概念，解答的关键是理解反证法的规则及特称命题的否定是全称命题，本题是基础概念考查题，要注意记忆与领会．10．某单位拟安排6位员工在今年5月28日至30日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值28日，乙不值30日，则不同的安排方法共有（）A．30种B．36种C．42种D．48种【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，用间接法分析，首先计算计算6名职工在3天值班的所有情况数目，再排除其中甲在5月28日和乙在5月30日值班的情况数目，再加上甲在5月28日且乙在5月30日值班的数目，即可得答案．【解答】解：根据题意，先安排6人在3天值班，有C62×C42×C22种情况，其中甲在5月28日值班有C51×C42×C22种情况，乙在5月30日值班有C51×C42×C22种情况，甲在5月28日且乙在5月30日值班有C41×C31种情况，则不同的安排方法共有C62×C42×C22﹣2×C51×C42×C22+C41×C31=42种，故选：C．【点评】本题考查组合数公式的运用，注意组合与排列的不同，本题中要注意各种排法间的关系，做到不重不漏．11．将数字“123367”重新排列后得到不同的偶数个数为（）A．72 B．120 C．192 D．240【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2步进行分析：①．在2、6中任选1个安排在个位数字，②由倍分法分析前5个数位的排法数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、要求为偶数，则其个位数字为2或6，有2种情况，②、将其余5个数字全排列，安排在前5个数位，由于其中有2个“3”，则前5个数位有=60种情况，则可以得到2×60=120个不同的偶数；故选：B【点评】本题考查排列、组合的应用，注意数字中有两个“3”．12．在一次反恐演习中，我方三架武装直升机分别从不同方位对同一目标发动攻击（各发射一枚导弹），由于天气原因，三枚导弹命中目标的概率分别为0.9，0.9，0.8，若至少有两枚导弹命中目标方可将其摧毁，则目标被摧毁的概率为（）A．0.998 B．0.046 C．0.002 D．0.954【考点】CA：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】三架武装直升机各向目标射击一次，可以设A k表示“第k架武装直升机命中目标”．分两种情况：①恰有两架武装直升机命中目标，分为三种：甲乙射中丙不中或甲丙射中乙不中或乙丙射中甲不中；②三架直升机都命中．分别求出其概率，再用加法原理，相加即可得到目标被摧毁的概率．【解答】解：设A k表示“第k架武装直升机命中目标”．k=1，2，3．这里A1，A2，A3独立，且P（A1）=0.9，P（A2）=0.9，P（A3）=0.8．①恰有两人命中目标的概率为P（）=P（A1）P（A2）P（）+P（A1）P（）P（A3）+P（）P（A2）P（A3）=0.9×0.9×0.1+0.9×0.1×0.8+0.1×0.9×0.8=0.306②三架直升机都命中的概率为：0.9×0.9×0.8=0.648∴目标被摧毁的概率为：P=0.306+0.648=0.954．故选D．【点评】此题主要考查n次重复独立试验发生k次的概率问题，其中涉及到相互独立事件的概率乘法公式．这两个知识点在高考中都属于重点考点，希望同学们多加理解．二、填空题（2017春•泉港区校级期中）复数（a∈R，i为虚数单位）为纯虚数，则复数z=a+i的模为．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简，再结合已知条件列出方程组，求解可得a的值，然后由复数求模公式计算得答案．【解答】解：∵==为纯虚数，∴，解得a=2．∴z=2+i．则复数z=2+i的模为：．故答案为：．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念以及复数模的求法，是基础题．14．在（2x+1）（x﹣1）5的展开式中含x3项的系数是﹣10 （用数字作答）．【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】把（x﹣1）5 按照二项式定理展开，可得（2x+1 ）（x﹣1）5展开式中含x3项的系数．【解答】解：∵（2x+1）（ x ﹣1）5=（2x+1）（•x 5﹣•x 4+•x 3﹣•x 2+•x﹣）故含x 3项的系数是2（﹣ ）+=﹣10，故答案为：﹣10．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．15．如图所示，在边长为1的正方形OABC 内任取一点P ，用A 表示事件“点P 恰好取自由曲线与直线x=1及x 轴所围成的曲边梯形内”，B 表示事件“点P 恰好取自阴影部分内”，则P （B|A ）=．【考点】CM ：条件概率与独立事件．【分析】阴影部分由函数y=x 与围成，由定积分公式，计算可得阴影部分的面积，进而由几何概型公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，阴影部分由函数y=x 与围成，其面积为（﹣x ）dx=（）=，A 表示事件“点P 恰好取自曲线与直线x=1及x 轴所围成的曲边梯形内”，面积为+=，则P （B|A ）等于=．故答案为．【点评】本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积．16．有6名选手参加学校唱歌比赛，学生甲猜测：4号或5号选手得第一名；学生乙猜测：3号选手不可能得第一名；学生丙猜测：1，2，6号选手中的一位获得第一名；学生丁猜测：4，5，6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁四人中只有1人猜对，则获得第一名的选手号数是 3 ．【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】分别假设甲对、乙对、丙对，丁对，由已知条件进行推理，由此能求出结果．【解答】解：若甲猜对，则乙也猜对，与题意不符，故甲猜错；若乙猜对，则丙猜对，与题意不符，故乙猜错；若丙猜对，则乙猜对，与题意不符，故丙猜错；∵甲、乙、丙、丁四人中只有1人猜对，∴丁猜对．综上，获得第一名的选手号数是3．故答案为：3．【点评】本题考查推理能力，考查进行简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，考查命题的真假判断及应用，是中档题．三、解答题（6大题，共70分．解答时应按要求写出证明过程或演算步骤）17．（10分）（2017春•泉港区校级期中）已知盒子中有4个红球，2个白球，从中一次抓三个球，（1）求没有抓到白球的概率；（2）记抓到球中的红球数为X，求X的分布列和数学期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）使用组合数公式计算概率；（2）根据超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列，再计算数学期望．【解答】解：（1）没有抓到白球，即取到的全是红球，∴没有抓到白球的概率是．（2）X的所有可能取值为1，2，3，， =，，∴X的分布列为：∴E（X）=1×+2×+3×=2．【点评】本题考查了组合数公式，超几何分布，数学期望的计算，属于基础题．18．（12分）（2012•雁塔区校级模拟）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．（1）证明：PA∥平面BDE；（2）求二面角B﹣DE﹣C的余弦值．【考点】MR：用空间向量求平面间的夹角；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）法一：连接AC，设AC与BD交于O点，连接EO．由底面ABCD是正方形，知OE ∥PA由此能够证明PA∥平面BDE．法二：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PD=DC=2，则，设是平面BDE的一个法向量，由向量法能够证明PA∥平面BDE．（2）由（1）知是平面BDE的一个法向量，又是平面DEC的一个法向量．由向量法能够求出二面角B﹣DE﹣C的余弦值．【解答】（1）解法一：连接AC，设AC与BD交于O点，连接EO．∵底面ABCD是正方形，∴O为AC的中点，又E为PC的中点，∴OE∥PA，∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE．解法二：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PD=DC=2，则A（2，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），B（2，2，0）．∴，设是平面BDE的一个法向量，则由，得，∴．∵，∴，又PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE．（2）由（1）知是平面BDE的一个法向量，又是平面DEC的一个法向量．设二面角B﹣DE﹣C的平面角为θ，由题意可知．∴．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是高考的重点题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．19．（12分）（2017•湖北模拟）某单位共有10名员工，他们某年的收入如表：（1）求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；（2）从该单位中任取2人，此2人中年薪收入高于7万的人数记为ξ，求ξ的分布列和期望；（3）已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为4万元，5.5万元，6万元，8.5万元，预测该员工第五年的年薪为多少？附：线性回归方程中系数计算公式分别为：，，其中为样本均值．【考点】BK：线性回归方程．【分析】（1）根据表格数据计算该单位员工当年年薪的平均值和中位数；（2）ξ取值为0，1，2，求出相应的概率，即可求ξ的分布列和期望；（3）求出线性回归方程，根据回归方程预测．【解答】解：（1）平均值为11万元，中位数为=7万元．（2）年薪高于7万的有5人，低于或等于7万的有5人；ξ取值为0，1，2.，，，所以ξ的分布列为数学期望为．（3）设x i，y i（i=1，2，3，4）分别表示工作年限及相应年薪，则，，，得线性回归方程：y=1.4x+2.5．可预测该员工第5年的年薪收入为9.5万元．【点评】本题考查了古典概型的概率计算，求ξ的分布列和期望，线性回归方程的解法及应用，属于中档题．20．（12分）（2017•黄山二模）2016世界特色魅力城市200强新鲜出炉，包括黄山市在内的28个中国城市入选．美丽的黄山风景和人文景观迎来众多宾客．现在很多人喜欢自助游，某调查机构为了了解“自助游”是否与性别有关，在黄山旅游节期间，随机抽取了100人，得如下所示的列联表：（1）若在100这人中，按性别分层抽取一个容量为20的样本，女性应抽11人，请将上面的列联表补充完整（在答题卡上直接填写结果，不需要写求解过程），并据此资料能否在犯错误的概率不超过0.05前提下，认为赞成“自助游”是与性别有关系？（2）若以抽取样本的频率为概率，从旅游节游客中随机抽取3人赠送精美纪念品，记这3人中赞成“自助游”人数为X ，求X 的分布列和数学期望． 【考点】BO ：独立性检验的应用．【分析】（1）根所给数据得到列联表，利用公式求得K 2，与临界值比较，即可得到结论． （2）X 的所有可能取值为：0，1，2，3，求出相应的概率，即可得到X 的分布列、数学期望． 【解答】解：（1）将2×2列联表中的数据代入计算，得K2的观测值：，∵3.030＜3.841，∴在犯错误的概率不超过0.05前提下，不能认为赞成“自助游”与性别有关系．（2）X的所有可能取值为：0，1，2，3，依题意，X的分布列为：．【点评】本题考查独立性检验知识，考查分布列和数学期望，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（12分）（2014•河北区三模）已知函数f（x）=．（Ⅰ）若a=2，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最小值；（Ⅲ）若f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，求a的取值范围．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；51：函数的零点；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）把a=2代入可得f′（1）=﹣1，f（1）=，进而可得方程，化为一般式即可；（Ⅱ）可得x=为函数的临界点，分≤1，1＜＜e，，三种情形来讨论，可得最值；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知当0＜a≤1或a≥e2时，不合题意，当1＜a＜e2时，需，解之可得a的范围．【解答】解：（I）当a=2时，f（x）=，f′（x）=x﹣，∴f′（1）=﹣1，f（1）=，故f（x）在（1，f（1））处的切线方程为：y﹣=﹣（x﹣1）化为一般式可得2x+2y﹣3=0…..（Ⅱ）求导数可得f′（x）=x﹣=由a＞0及定义域为（0，+∞），令f′（x）=0，解得x=，①若≤1，即0＜a≤1，在（1，e）上，f′（x）＞0，f（x）在上单调递增，因此，f（x）在区间的最小值为f（1）=．②若1＜＜e，即1＜a＜e2，在（1，）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减；在（，e）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，因此f（x）在区间上的最小值为f（）=，③若，即a≥e2在（1，e上，f′（x）＜0，f（x）在上单调递减，因此，f（x）在区间上的最小值为f（e）=．综上，当0＜a≤1时，f min（x）=；当1＜a＜e2时，f min（x）=；当a≥e2时，f min（x）=．…．（9分）（Ⅲ）由（Ⅱ）可知当0＜a≤1或a≥e2时，f（x）在（1，e）上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点．当1＜a＜e2时，要使f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，则即，此时，e＜a＜．所以，a的取值范围为（e，）…..（13分）【点评】本题考查利用导数研究函数的切线，涉及函数的零点和闭区间的最值，属中档题．22．（12分）（2017春•泉港区校级期中）已知椭圆M： +=1（a＞b＞0）的长轴长为4，且与椭圆+=1有相同的离心率．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与M有两个交点A、B，且⊥？若存在，写出该圆的方程，并求||的取值范围，若不存在，说明理由．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）由已知条件得a=2，e=，由此能求出椭圆M的方程．（Ⅱ）不妨设存在圆C：x2+y2=r2，（r＞0），若l的斜率不存在，设l：x=r，得；若l的斜率存在，设l：y=kx+m，由l与C相切，将直线l方程代入椭圆M的方程，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，由此能求出||的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆M： +=1（a＞b＞0）的长轴长为4，∴a=2，∵椭圆M与椭圆+=1有相同的离心率，∴e=，解得c=2，∴b2=8﹣4=4，∴椭圆M的方程为．（Ⅱ）不妨设存在圆C：x2+y2=r2，（r＞0）（i）若l的斜率不存在，设l：x=r，则A（r，y0），B（r，﹣y0），由，得，又，两式联立消去y，得，∴．（ii）若l的斜率存在，设l：y=kx+m，∵l与C相切，∴，∴m2=r2（1+k2），①又将直线l方程代入椭圆M的方程，得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，（*）设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理，得，，由=0，得，化简，得3m2=8+8k2，②联立①②，得，综上所述，存在圆C：，由，得|AB|2=（1+k2）===（1+），k≠0．∈（，12]．当k=0时，|AB|2=，∴|AB|∈[]．又当k不存在时，|AB|=，∴||的取值范围是[]．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查线段的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．。

南康中学2016～2017学年度第二学期高二期中考试数学（理）试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、若复数z 满足(3－4i)z ＝5，则z 的虚部为( ) A.45B.－45C.4D.－42、已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题 p 1：|a ＋b |＞1⇔θ∈⎣⎡⎭⎫0，2π3p 2：|a ＋b |＞1⇔θ∈⎝⎛⎦⎤2π3，π p 3：|a －b |＞1⇔θ∈⎣⎡⎭⎫0，π3p 4：|a －b |＞1⇔θ∈⎝⎛⎦⎤π3，π其中的真命题是( ) A.p 1，p 4B.p 1，p 3C.p 2，p 3D.p 2，p 43、已知当x ＜0时，2x 2－mx ＋1＞0恒成立，则m 的取值范围为( ) A.[22，＋∞)B.(－∞，22]C.(－22，＋∞)D.(－∞，－22)4、已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x3－2，y ≤2x ＋4，2x ＋3y －12≤0，则57y z x -=-的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤15，7B.⎣⎡⎦⎤17，5C.⎝⎛⎦⎤－∞，15∩[7，＋∞)D.⎝⎛⎦⎤－∞，17∩[5，＋∞) 5、二项式⎝⎛⎭⎫ax －363的展开式中中的第二项的系数为－32，则⎠⎛－2a x 2d x 的值为( )A.3B.73C.3或73D.3或－1036、若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( ) A.(－∞，－2]B.(－∞，－1]C.[2，＋∞)D.[1，＋∞)7、将长和宽分别为8和6的矩形ABCD 沿对角线BD 折成120°的二面角，则此时三棱锥A —BCD 的外接球表面积为（ ） A ．10πB ．50πC ．100πD ．25π8、如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A.24B.18C.12D.99、函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0，1)内有最小值，则a 的取值范围是( ) A.[0，1)B.(－1，1)C.⎝⎛⎭⎫0，12D.(0，1)10、4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( ) A.18B.58C.38D.7811、已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m ＞1)与双曲线C 2：x 2n2－y 2＝1(n ＞0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( ) A.m ＞n 且e 1e 2＞1 B.m ＞n 且e 1e 2＜1 C.m ＜n 且e 1e 2＞1D.m ＜n 且e 1e 2＜112、函数()y f x =与()ln(1)g x x =-是一对反函数，若点P 、Q 分别是f (x )和g (x )图象上的点，则|PQ |的最小值为( ) A.22B. 2C.322D.2 2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13、53(sin )aaa x bx cx dx -++=⎰(0)a <.14、甲、乙两名大学生从4个公司中各选2个作为实习单位，则两人所选的实习单位中恰有1个相同的选法种数是________.(用数字作答)15、关于x 的方程x 3－3x 2－a ＝0有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是________. 16、过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝14a 2的切线，切点为E ，直线EF 交双曲线右支于点P ，若OE →＝12(OF →＋OP →)，则双曲线的离心率是________.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17、（本小题满分10分）三男三女站成一排， ⑴男生彼此相邻，女生也彼此相邻的站法有多少种？ ⑵男生彼此不相邻，女生也彼此不相邻的站法有多少种？18、（本小题满分12分）已知函已知函数f (x )＝4sin 3x cos x －2sin x cos x －12cos 4x .(1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值和最小值.19、（本小题满分12分）如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120°，E ，F 分别为AC ，DC 的中点. (1)求证：EF ⊥BC ；(2)求二面角E －BF －C 的正弦值.20、（本小题满分12分）已知函数f (x )＝x 2e x .(1)求f (x )的单调区间；(2)证明：121224,(,0],()()x x f x f x e ∀∈-∞-≤21、（本小题满分12分）已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c ，0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程.22、（本小题满分12分）已知函数f (x )＝ax ＋bx＋c (a ＞0)的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝x －1.(1)用a 表示出b ，c ；(2)若f (x )≥ln x 在[1，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围； (3)证明：1＋12＋13＋…＋1n ＞ln(n ＋1)＋n2（n ＋1）(n ≥1).南康中学2016～2017学年度第二学期高二期中考试数学（理）参考答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1—5：AACBC6—10：DCBDD11—12：AD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13、014、2415、 (－4，0)16、102三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17、解：⑴捆绑法：33233272A A A =种…………………………5分⑵插空法：先排男生33A 种，有4个空；女生只能插前3个空或后3个空，有332A 种3333272N A A ∴==种……………………………………10分18、解 f (x )＝2sin x cos x ()2sin 2x －1－12cos 4x＝－sin 2x cos 2x －12cos 4x ＝－12sin 4x －12cos 4x＝－22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4.…………………………………………3分 (1)函数f (x )的最小正周期T ＝2π4＝π2. 令2k π＋π2≤4x ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π2＋π16≤x ≤k π2＋5π16，k ∈Z. 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π2＋π16，k π2＋5π16，k ∈Z.……6分(2)因为0≤x ≤π4，所以π4≤4x ＋π4≤5π4.此时－22≤sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4≤1， 所以－22≤－22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4≤12，即－22≤f (x )≤12. 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值和最小值分别为12，－22.…………12分19、法一 (1)证明 由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 作垂直BC 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系.易得B (0，0，0)， A (0，－1，3)，D (3，－1，0)，C (0，2，0). 因而E (0，12，32)，F ⎝⎛⎭⎫32，12，0，所以EF →＝⎝⎛⎭⎫32，0，－32，BC →＝(0，2，0)，因此EF →·BC →＝0.从而EF →⊥BC →，所以EF ⊥BC .………………6分 (2)解 平面BFC 的一个法向量为n 1＝(0，0，1). 设平面BEF 的法向量n 2＝(x ，y ，z )， 又BF →＝⎝⎛⎭⎫32，12，0，BE →＝⎝⎛⎭⎫0，12，32.由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BF →＝0，n 2·BE →＝0，得其中一个n 2＝(1，－3，1).设二面角E －BF －C 大小为θ，且由题意知θ为锐角，则 cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝15，∴cos θ＝55，因此sin θ＝25＝255，即所求二面角的正弦值为255.………………12分20、(1)解 f ′(x )＝x (x ＋2)e x .令f ′(x )＝x (x ＋2)e x ＝0，则x 1＝－2，x 2＝0. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表所以函数f (x )的单调递减区间为(－2，0)，单调递增区间为(－∞，－2)，(0， ＋∞).………………………………………………………………………………6分 (2)证明 由(1)知f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)，单调递减区间为(－2，0)， 所以当x ∈(－∞，0]时，f (x )最大值＝f (－2)＝4e 2.因为当x ∈(－∞，－2]时，f (x )＞0，f (0)＝0，所以当x ∈(－∞，0]时，f (x )最小值＝f (0)＝0. 所以f (x )最大值－f (x )最小值＝4e2.所以对∀x 1，x 2∈(－∞，0]，都有f (x 1)－f (x 2)≤f (x )最大值－f (x )最小值＝4e 2.…………12分21、解 (1)过点(c ，0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0， 则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c2＝bca ， 由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2，解得离心率c a ＝32.……………………5分(2)法一 由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.① 依题意，圆心M (－2，1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10.易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得(1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1) x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k （2k ＋1）1＋4k 2，x 1x 2＝4（2k ＋1）2－4b 21＋4k 2，由x 1＋x 2＝－4，得－8k （2k ＋1）1＋4k 2＝－4，解得k ＝12， 从而x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝⎛⎭⎫122|x 1－x 2|＝52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10（b 2－2）， 由|AB |＝10，得10（b 2－2）＝10，解得b 2＝3，故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.…………………………………………12分法二 由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2，②依题意，点A ，B 关于圆心M (－2，1)对称，且|AB |＝10，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＋4y 21＝4b 2，x 22＋4y 22＝4b 2，两式相减并结合x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，得－4(x 1－x 2)＋8(y 1－y 2)＝0，易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2，所以AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12，因此直线AB 的方程为y ＝12(x ＋2)＋1，代入②得x 2＋4x ＋8－2b 2＝0， 所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2，于是|AB |＝ 1＋⎝⎛⎭⎫122|x 1－x 2|＝52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10（b 2－2）. 由|AB |＝10，得10（b 2－2）＝10，解得b 2＝3， 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.22、(1)解 f ′(x )＝a －bx 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝a ＋b ＋c ＝0，f ′（1）＝a －b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a －1，c ＝1－2a .………………3分(2)解 由(1)知，f (x )＝ax ＋a －1x＋1－2a .令g (x )＝f (x )－ln x ＝ax ＋a －1x＋1－2a －ln x ，x ∈[1，＋∞)，则g (1)＝0，g ′(x )＝a －a －1x 2－1x ＝ax 2－x －（a －1）x 2＝a （x －1）⎝⎛⎭⎫x －1－a a x2， (ⅰ)当0＜a ＜12时，1－a a＞1.若1＜x ＜1－aa ，则g ′(x )＜0，g (x )是减函数，所以g (x )＜g (1)＝0，即f (x )＜ln x .故f (x )≥ln x 在[1，＋∞)上不成立.(ⅱ)当a ≥12时，1－a a ≤1. 若x ＞1，则g ′(x )＞0，g (x )是增函数，所以g (x )＞g (1)＝0，即f (x )＞ln x ，故当x ≥1时，f (x )≥ln x .综上所述，所求a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，＋∞.……………………7分 (3)证明 法一 由(2)知：当a ≥12时，有f (x )≥ln x (x ≥1).令a ＝12，有f (x )＝12⎝⎛⎭⎫x －1x ≥ln x (x ≥1)， 且当x ＞1时，12⎝⎛⎭⎫x －1x ＞ln x . 令x ＝k ＋1k ，有ln k ＋1k ＜12⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k －k k ＋1＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1＋1k －⎝⎛⎭⎫1－1k ＋1， 即ln(k ＋1)－ln k ＜12⎝⎛⎭⎫1k ＋1k ＋1，k ＝1，2，3，…，n . 将上述n 个不等式依次相加得ln(n ＋1)＜12＋⎝⎛⎭⎫12＋13＋…＋1n ＋12（n ＋1）， 整理得1＋12＋13＋…＋1n ＞ln(n ＋1)＋n2（n ＋1）.…………………………12分法二 用数学归纳法证明.①当n ＝1时，左边＝1，右边＝ln 2＋14＜1，不等式成立.②假设n ＝k 时，不等式成立，即 1＋12＋13＋…＋1k ＞ln(k ＋1)＋k 2（k ＋1）. 那么1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1＞ln(k ＋1)＋k 2（k ＋1）＋1k ＋1＝ln(k ＋1)＋k ＋22（k ＋1）.由(2)知：当a ≥12时，有f (x )≥ln x (x ≥1).令a ＝12，有f (x )＝12⎝⎛⎭⎫x －1x ≥ln x (x ≥1). 令x ＝k ＋2k ＋1，得：12⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋2k ＋1－k ＋1k ＋2≥ln k ＋2k ＋1＝ln(k ＋2)－ln(k ＋1). ∴ln(k ＋1)＋k ＋22（k ＋1）≥ln(k ＋2)＋k ＋12（k ＋2）.∴1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1＞ln(k ＋2)＋k ＋12（k ＋2）.这就是说，当n ＝k ＋1时，不等式也成立.。

广东省惠州市高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）复数（）A .B .C .D .2. （2分）设等差数列的公差为d，若的方差为2，则d等于（）A . 1B . 2C . ±1D . ±23. （2分） (2016高二下·武汉期中) 函数f（x）=lnx﹣ x2的大致图象是（）A .B .C .D .4. （2分） (2016高二下·武汉期中) 袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球时为止，所需要的取球的次数为随机变量ξ，则ξ的可能值为（）A . 1，2，…，6B . 1，2，…，7C . 1，2，…，11D . 1，2，3…5. （2分） (2016高二下·赣州期末) 设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）A . 1﹣ln2B .C . 1+ln2D .6. （2分） (2016高二下·武汉期中) 若复数z= + ，则|z|的值为（）A .B .C .D . 27. （2分） (2016高二下·武汉期中) f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）+f （x）≤0，对任意正数a、b，若a＜b，则必有（）A . af（b）≤bf（a）B . bf（a）≤af（b）C . af（a）≤f（b）D . bf（b）≤f（a）8. （2分） (2016高二下·辽宁期中) 若z= + i，且（x﹣z）4=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4 ，则a2等于（）A . ﹣ + iB . ﹣3+3 iC . 6+3 iD . ﹣3﹣3 i9. （2分） (2016高二下·武汉期中) 已知随机变量ξ的概率分布如下，则P（ξ=10）=（）ξ12345678910P mA .B .C .D .10. （2分） (2016高二下·武汉期中) 设f （x）为可导函数，且满足 =﹣1，则曲线y=f （x）在点（1，f（1））处的切线的斜率是（）A . 2B . ﹣1C .D . ﹣211. （2分） (2016高二下·武汉期中) 甲、乙两名篮球运动员轮流投篮直至某人投中为止，计每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，而且不受其他投篮结果的影响．设甲投篮的次数为ξ，若甲先投，则P（ξ=k）等于（）A . 0.6k﹣1×0.4B . 0.24k﹣1×0.76C . 0.4k﹣1×0.6D . 0.6k﹣1×0.2412. （2分） (2016高二下·武汉期中) 已知f（x）= ，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f （c）=0，现给出如下结论：①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（2）＞0；④f（0）f（2）＜0．其中正确结论的序号为（）A . ①③B . ①④C . ②④D . ②③二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知f（x+1）=x2 ，则f（x）=________．14. （1分） (2016高二下·武汉期中) 已知复数z1=2+i，z2=a+3i（a∈R），z1•z2是实数，则|z1+z2|=________．15. （1分） (2016高二下·武汉期中) 已知f（x）=xex ， g（x）=﹣（x+1）2+a，若∃x1 ，x2∈R，使得f（x2）≤g（x1）成立，则实数a的取值范围是________．16. （1分） (2016高二下·武汉期中) 若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分）设函数f（x）=x（x﹣1）2 ， x＞0．（1）求f（x）的极值；（2）设0＜a≤1，记f（x）在（0，a]上的最大值为F（a），求函数的最小值；（3）设函数g（x）=lnx﹣2x2+4x+t（t为常数），若使g（x）≤x+m≤f（x）在（0，+∞）上恒成立的实数m 有且只有一个，求实数m和t的值．18. （10分） (2016高二下·晋江期中) 某城市随机抽取一年内100 天的空气质量指数（AQI）的监测数据，结果统计如表：API[0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，300]＞300空气质量优良轻度污染轻度污染中度污染重度污染天数61418272015（1）若本次抽取的样本数据有30 天是在供暖季，其中有8 天为严重污染．根据提供的统计数据，完成下面的2×2 列联表，并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”？非重度污染严重污染合计供暖季非供暖季合计100（2）已知某企业每天的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x 的关系式为y= 试估计该企业一个月（按30 天计算）的经济损失的数学期望．参考公式：K2=P（K2≥k）0.1000.0500.0250.0100.001k 2.706 3.841 5.024 6.63510.82819. （15分）(2016·新课标I卷文) 某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数．（1）若n=19，求y与x的函数解析式；（2）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；（3）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？20. （10分） (2019高二下·上海期末) 把编号为1、2、3、4、5的小球，放入编号为1、2、3、4、5的盒子中.（1）恰有两球与盒子号码相同；（2）球、盒号码都不相同，问各有多少种不同的方法21. （5分）某有机水果种植基地试验种植的某水果在售卖前要成箱包装，每箱80个，每一箱水果在交付顾客之前要按约定标准对水果作检测，如检测出不合格品，则更换为合格品．检测时，先从这一箱水果中任取10个作检测，再根据检测结果决定是否对余下的所有水果作检测．设每个水果为不合格品的概率都为，且各个水果是否为不合格品相互独立．(Ⅰ)记10个水果中恰有2个不合格品的概率为，求取最大值时p的值；(Ⅱ)现对一箱水果检验了10个，结果恰有2个不合格，以(Ⅰ)中确定的作为p的值．已知每个水果的检测费用为1.5元，若有不合格水果进入顾客手中，则种植基地要对每个不合格水果支付a元的赔偿费用．(ⅰ)若不对该箱余下的水果作检验，这一箱水果的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；(ⅱ)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，当种植基地要对每个不合格水果支付的赔偿费用至少为多少元时，将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检验？22. （5分） (2017高二下·黄山期末) 解答题（Ⅰ）某科考试中，从甲、乙两个班级各抽取10名同学的成绩进行统计分析，两班成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分为及格．设甲、乙两个班所抽取的10名同学成绩方差分别为、，比较、的大小（直接写结果，不必写过程）；（Ⅱ）设集合，B={x|m+x2≤1，m＜1}，命题p：x∈A；命题q：x∈B，若p是q的必要条件，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、22-1、。

广东省惠州市惠城区2016-2017学年高二数学下学期期中试题 理一、本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|x ＞﹣1}，则A ∩B=（ ）A ．{0，1}B ．{﹣1，0}C ．{﹣1，0，1}D ．{0，1，2}2．若p 是真命题，q 是假命题，则( )A ．p ∧q 是真命题B ．p ∨q 是假命题C ．⌝p 是真命题D ．⌝q 是真命题 3.复数()221i 1i+++的共轭复数是 （A ）1i + （B ）1i - （C ）1i -+ （D ）1i -- 4．等比数列{a n }前n 项和为S n ，若S 2=6，S 4=30，则S 6=（ ）A ．62B ．64C ．126D ．1285、函数m x x x f ++=2)(2的最小值为⎰-21)(,1dx x f 则等于（ ）A.2B.316 C.6D.76. 把函数)6sin(π+=x y 图象上各点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再将 图象向右平移3π个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( ).A 2π-=xB 4π-=xC 8π=xD 4π=x7、．已知函数x x f ln )(=的导函数为)('x f ，则函数)()()('x f x f x F -=零点的个数为（ ）(A) 0(B) 1 (C) 2 (D) 38．某企业有4个分厂，现有新培训的6名技术人员，将这6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少1人，则不同的分配方案种数为（ ） A ．1080 B ．480 C ．1560 D ．300 9、执行如图所示的程序框图，输出S 的值为3， 则判断框中应填入的条件是A ．6?k <B ．7?k <C ．8?k <D ．9?k <10．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为棱BB 1的中点，用过点A 、E 、C 1的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图（也称主视图）是（ ）A ．B ．C ．D ．11．若抛物线24y x =上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，则OFP ∆的面积为 （ ） （A ）12（B ）1 （C ）32（D ）212、已知函数)(x f 的定义域为R ，且满足)(,)()(,1)4(x f y x f x f f '='=的导函数为的图象如图所示，若两个正数12,1)2(,++<+a b b a f b a 则满足的取值范围是（ ） A.)6,32( B.]6,32[C.]25,41[D.）（25,41二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，13．若x 、y 满足约束条件，则z=x+y 的最大值为M= ．14. 若7)(a x +的二项展开式中，5x 的系数为7，则实数=a ．15、3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是16、在矩形ABCD 中，对角线AC 与相邻两边所成角分别为βα,，则有1cos cos 22=+βα，类比到空间中的一个正确命题是：在长方体1111ABCDA B C D 中，对角线1AC 与相邻三边所成角分别为γβα,,，则有=++γβα222cos cos cos ．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（本小题满分10分）在ABC ∆中，内角,,A B C 对边的边长分别是,,a b c ，已知2,3c C π==.（1）若ABC ∆3，求,a b ；（2）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC ∆的面积.18.（本小题满分12分）．已知等比数列{}n a 满足，11=a ，232a a =（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若等差数列{}n b 的前n 项和为n S ，满足21=b ，623+=b S ，求数列{}n n b a ⋅ 的前项和n T ．19．（12分）设函数593)(23+-+=x ax x x f ，若)(x f 在1=x 处有极值．（1）求实数a 的值； （2）求函数)(x f 的极值；（3）若对任意的∈x []4,4-，都有2)(c x f <，求实数c 的取值范围．20．（12分）如图，已知四棱锥P ﹣ABCD 的底面为矩形，PA=AD=1，AB=2，且PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别为AB ，PC 的中点． （Ⅰ）求证：EF ⊥平面PCD ； （Ⅱ）求二面角C ﹣PD ﹣E 的余弦值．21．（12分）设椭圆E ： +=1（a ＞b ＞0）的离心率为，E 上一点P 到右焦点距离的最小值为1．（1）求椭圆E 的方程；（2）过点（0，2）且倾斜角为60°的直线交椭圆E 于A ，B 两点，求△AOB 的面积．22. （12分）已知函数2()ln f x x ax =+，1()g x x b x =++，且直线12y =-是函数()f x 的一条切线．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）对任意的1[1e]x ∈，都存在2[1,4]x ∈，使得12()()f x g x =，求b 的取值范围；广东惠阳高级中学2016-2017学年度第二学期段中高二年级（理科）数学试题（答卷）题号一二17 18 19 20 21 22 总分得分一：选择题（每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二：填空题（每小题5分，共20分）13____________, 14___________。

广东惠阳高级中学高二年级第二学期中段考(理科)数学试题参考公式：锥体的体积公式：13V Sh= (S 是锥体的底面积，h 是锥体的高) 一：选择题(每小题5分，共60分)1．已知集合{}220M x x x =-≤， {}21N x x =-<<，则MN =( )A. (2,1)-B. [0,1)C. (1,2]D. (2,2]- 2．设,p q 是两个命题，若()p q ∧⌝是真命题，那么( )A ．p 是真命题且q 是假命题B ．p 是真命题且q 是真命题C ．p 是假命题且q 是真命题D ．p 是假命题且q 是假命题3．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( ) A.1y x=B.2y x =C.3y x =D.sin y x = 4．设F E D ,,分别为A B C ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+( )A. 12BEB. 12ADC.ED D. FE5．如右图所示的程序框图运行程序后，输出的结果是31， 则判断框中的整数H =( )A ．3B ．4C ．5D ．6 6．设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤10,10y x 表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到点(1,1)的距离大于1的概率是( ) A ．44π- B ．22π- C ．4π D ．6π7．已知函数2(0)()1(0)x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩，若()(1)0f a f +=，则实数a 的值等于( )A ．3-B ．1-C ．1D ．38．已知双曲线E 的中心在坐标原点，离心率为2，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦 点重合，A 、B 是C 的准线与E 的两个交点，则||AB =( )A ．3B ．6C ．9D ．12 9．要得到函数sin(43y x π=-的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象( )A ．向左平移3π个单位B ．向右平移3π个单位C ．向左平移12π个单位 D ．向右平移12π个单位10．已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于( )AC D11．25()x x y ++的展开式中，33x y的系数为( ) A ．10 B 。

2016~2017 学年第二学期期中试题高二数学（理）本试卷满分150 分考试时间120 分钟一、选择题：本大题共12 小题，每题5 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1.(1i )3=() (1i) 2. 1 i . 1 i . 1 i . 1 i2.函数 f ( x)1）处的切线方程为：（）在点（ 1,1xA. x y20B.x y20C. x y20D.x y203.1x2定积分1的值等于（）A. B. C.1D.124244.曲线 y x2 2 与直线y3x, x0, x 2 所围成平面图形的面积为（）A.1B.1C.2D.1 245.函数f (x)x( x c) 2在 x 2 处取到极小值，则（）A.2B.6C.2或 6D.不可以确立 .6.函数 f ( x)ln x3x 的单一递减区间是()A. (,0)B.1) C. (1) D.(1, ) (0,,,0)和(3337.若函数 y x3ax2 4 在（0,2）内单一递减，则实数的取值范围为（）A.a3B.a3C.a3D.a38.已知函数 f (x)x3ax2bx c ，以下结论中错误的选项是（）A.x0R ， f (x0 )0第 1页（共 6页）B.函数 y f ( x) 的图象是中心对称图形C.假如 f ( x) 的极小值点，则 f ( x) 在区间 (, x0 ) 单一递减D.假如 f ( x) 的极值点，则 f '(x0 ) 09.当 n1,2,3, 4,5,6,... 时，比较与的大小并猜想得（）A.n 1时，2n n2B.n 3 时，2n n2C.n 4 时，2n n2D.n 5 时，2n n210.已知函数 f (x) =ax33x2 1 ，若 f ( x) 存在独一的零点，且＞0，则的取值范围为A. （ 2，+∞）B.（-∞，-1）C.. （ 1，+∞）D..（-∞，-2）11.函数 f ( x) 的定义域为, f (1) 6 , f (x) 对x R, f ' ( x) 2, 则f (x)2x 4 的解集为（）A.(-1， 1)B.(1,)C.(1, )D.(0，1 )曲线 y 1 x2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（12.e2在点（ 4， e）A．9e2B． 4e2C． 2e2D．e2 2二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分。