江苏省盐城市2013届高二下学期期末试题(理数)

2013年下学期期终考试试卷高二数学参考答案(理科)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．ＤＣＡＤ ＣＡＡＤ二、填空题: 本大题共7小题，每小题5分，共35分．9. 50 10. 2,220x R x x ∀∈+-p 11．-1 12. 3 13. [2,1]- 14. 1 15．252，2 三、16. (本题满分12分)解:⑴由3()2f x x x =+-，得2()31f x x '=+ (2分) 设000(,)P x y由20314x += 得01x =- (01x =舍去) ，从而04y =- ∴切点P 0的坐标为(1,4)--(4分) ⑵Q 2()()1g x f x x ax -=-+ (6分) ∴对任意的x R ∈，()g x ＞()f x 恒成立21x ax ⇔-+＞０恒成立240a ⇔∆=-p (11分) 实数a 的取值范围是(2,2)-(12分)17. (本题满分12分)设底面长为x ｍ,宽为y ｍ,水池的总造价为z 元．(1分)依题意可得240000720()z x y =++(6分)由容积为34800m ，可得 34800xy = 即1600xy =∴240000720()z x y =++240000720≥+⨯ 即297600z ≥(10分)当且仅当40x y ==时，等号成立．(11分)所以，将水池的地面设计成边长为40m 的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元．(12分)18. (本题满分12分) 解：(１)由231545,18a a a a ⋅=+= 得111()(2)452418a d a d a d ++=⎧⎨+=⎩ (4分) 解得114a d =⎧⎨=⎩(5分) ∴43n a n =-(6分)(2)由(１)可得22n S n n =- （7分）12()2n n n n S b n c n c-==++ 因{}n b 为等差数列⇔存在常数,A B 使得n b An B =+易得存在如下两个常数c ，使得数列{}n b 也为等差数列：12c =-，2n b n =，数列{}n b 是公差为２，首项为２的等差数列；(10分) 0c =时，21n b n =-，数列{}n b 是公差为２，首项为１的等差数列.(12分)或求出123,,b b b 分别为1615,,123c c c+++ 由123,,b b b 成等差数列得66152123c c c ⨯=++++ 解得0c =和12c =- 再验证当0c =和12c =-时，{}n b 为等差数列． 19. (本题满分13分)解：如图建立空间直角坐标系，点Ｄ为坐标原点．（１分）(１) 证明：连接ＡＣ，ＡＣ与ＢＤ于点Ｇ，连ＥＧ．依题意得Ａ(２，０，０)，Ｐ(０，０，２)，Ｅ(０，１，１)因底面是正方形，所以点Ｇ的坐标为(１，１，０)，且(2,0,2),(1,0,1)PA EG =-=-u u u r u u u r所以2PA EG =u u u r u u u r ，即//PA EG而EG ⊂平面EBD ，且PA ⊄平面EBD因此，//PA 平面EBD ．(4分) (２)依题意得 Ｂ(２，２，０)，(2,2,2)PB =-u u u r ， 又(0,1,1)DE =u u u r 故 0220PB DE •=+-=u u u r u u u r 所以PB DE ⊥由已知EF PB ⊥，且EF DE E =I所以PB ⊥平面EFD (7分)(２) 已知EF PB ⊥，由(２)可知PB DF ⊥，故EFD ∠是二面角C PB D --的平面角．（9分）设点Ｆ的坐标为(,,)x y z ，则(,,2)PF x y z =-u u u r因为PF k PB =u u u r u u u r 所以(,,2)(2,2,2)x y z k k k -=-，即2,2,22x k y k z k ===-因为0PB DF •=u u u r u u u r 所以(2,2,2)(2,2,22)44440k k k k k k -•-=+-+=所以13k =，点Ｆ的坐标为224(,,)333 又点Ｅ的坐标为(０，１，１) 所以211(,,)333FE =--u u u r G因为211224(,,)(,,)1cos 2||||FE FD EFD FE FD --•---•∠===u u u r u u u r u u u r u u u r （12分） 所以60,EFD ∠=︒即二面角C PB D --的大小60︒．(13分)20. (本题满分13分)(１)由已知得4== (2分)解得5,3a b == (3分) 所以椭圆1C 的方程为221:1259x y C +=，双曲线2C 的渐近线方程为350x y -=和350x y +=．(5分) (２)设点Ｐ的坐标为00(,)x y ，因点Ｍ是线段AP 的中点，所以点005(,)22x y M - （6分） 由点Ｐ、点Ｍ分别在双线线2C 、椭圆1C 上得220022001259(5)142549x y x y ⎧-=⎪⎪⎨-⎪+=⎪⨯⨯⎩ （８分）解得0010x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ (注意到000,0x y f f )(9分)所以点Ｐ的坐标为，点Ｍ的坐标为5(2，由椭圆的对称性得点Ｎ的坐标为5(,22-(10分) 因为点Ｂ的坐标为(5,0)，所以直线ＰＢ的分斜率5PB k =，直线ＢＮ的斜率5BN k = 所以PB BN k k =（12分）所以P 、B 、N 三点共线(13分)21. (本题满分13分)解：(１) 当2a =时，2()(2)x f x x x e =-+，2()(2)xf x x e '∴=-+ (１分) 由()f x '＞０，解得x p p ．∴函数()f x的单调递增区间是(．(３分.)(2)若函数()f x 在Ｒ上单调递增，则2()[(2)]0x f x x a x a e '∴=-+-+≥对x R ∈都成立，因0x e f2(2)0x a x a ∴---≤对x R ∈都成立．而240a ∆=+f ，故函数函数()f x 在Ｒ上不可能单调递增．(５分)若函数()f x 在Ｒ上单调递减，则2()[(2)]0x f x x a x a e '∴=-+-+≤对x R ∈都成立，因0x e f 2(2)0x a x a ∴---≥对x R ∈都成立．240a ∴∆=+≤，这是不可能．即函数()f x 在Ｒ上不可能单调递减．(７分)综上所述，函数()f x 在Ｒ上不可能是单调函数．(８分)(3) Q 函数()f x 在(1,1)-上单调递增， 2()[(2)]0x f x x a x a e '∴=-+-+≥对(1,1)x ∀-恒成立．(９分) ∴2(2)0x a x a -+-+≥对(1,1)x ∀-恒成立 即221111x x a x x x +≥=+-++对(1,1)x ∀-恒成立．(１０分) 令11,1y x x =+-+，则2110(1)y x '=++f ，∴11,1y x x =+-+在(1,1)-上单调递增． ∴13(11)112y +-=+p 32a ∴≥ (１３分)。

江苏省盐城市2013年中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。

在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）（2013•盐城）﹣2、0、1、﹣3四个数中，最小的数是（）A．﹣2 B．0C．1D．﹣3考点：有理数大小比较分析：根据有理数的大小比较法则（正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数，其绝对值大的反而小）比较即可．解答：解：﹣2、0、1、﹣3四个数中，最小的数是﹣3；故选D．点评：本题考查了对有理数的大小比较法则的应用，用到的知识点是正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数，其绝对值大的反而小．2．（3分）（2013•盐城）如果收入50元，记作+50元，那么支出30元记作（）A．+30 B．﹣30 C．+80 D．﹣80考点：正数和负数分析：收入为“+”，则支出为“﹣”，由此可得出答案．解答：解：∵收入50元，记作+50元，∴支出30元记作﹣30元．故选B．点评：本题考查了正数和负数的知识，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．3．（3分）（2013•盐城）下面的几何体中，主视图不是矩形的是（）A．B．C．D．考点：简单几何体的三视图分析：找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．解答：解：A为圆柱体，它的主视图应该为矩形；B为长方体，它的主视图应该为矩形；C为圆台，它的主视图应该为梯形；D为三棱柱，它的主视图应该为矩形．故选C．点评：本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，考查了学生细心观察能力，属于基础题．4．（3分）（2013•盐城）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x＜3考点：二次根式有意义的条件分析：根据被开方数大于等于0列式进行计算即可得解．解答：解：根据题意得，x﹣3≥0，解得x≥3．故选A．点评：本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．5．（3分）（2013•盐城）下列运算中，正确的是（）A．2a2+3a2=a4B．5a2﹣2a2=3 C．a3×2a2=2a6D．3a6÷a2=3a4考点：整式的除法；合并同类项；单项式乘单项式分析：根据合并同类项、单项式乘单项式、单项式除以单项式的法则，对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解：A、2a2+3a2=5a2，故本选项错误；B、5a2﹣2a2=3a2，故本选项错误；C、a3×2a2=2a5，故本选项错误；D、3a6÷a2=3a4，故本选项正确．故选D．点评：本题考查合并同类项、单项式乘单项式、单项式除以单项式，记准法则是解题的关键．6．（3分）（2013•盐城）某公司10名职工月份工资统计如下，该公司10名职工5月份工资的众数和中位数分别是（）工资（元）2000 2200 2400 2600人数（人） 1 3 4 2A．2400元、2400元B．2400元、2300元C．2200元、2200元D．2200元、2300元考点：众数；中位数分析：根据中位数和众数的定义求解即可；中位数是将一组数据从小到大重新排列，找出最中间的两个数的平均数，众数是一组数据中出现次数最多的数．解答：解：∵2400出现了4次，出现的次数最多，∴众数是2400；∵共有10个数，∴中位数是第5、6个数的平均数，∴中位数是（2400+2400）÷2=2400；故选A．点评：此题考查了众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），众数是一组数据中出现次数最多的数．7．（3分）（2013•盐城）如图，直线a∥b，∠1=120°，∠2=40°，则∠3等于（）A．60°B．70°C．80°D．90°考点：平行线的性质专题：计算题．分析：由a∥b，根据平行线的性质得∠1=∠4=120°，再根据三角形外角性质得∠4=∠2+∠3，所以∠3=∠4﹣∠2=80°．解答：解：如图，∵a∥b，∴∠1=∠4=120°，∵∠4=∠2+∠3，而∠2=40°，∴120°=40°+∠3，∴∠3=80°．故选C．点评：本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等．也考查了三角形外角性质．8．（3分）（2013•盐城）如图①是3×3正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定绕正方形ABCD的中心旋转能重合的图案都视为同一种图案，例如图②中的四幅图就视为同一种图案，则得到的不同图案共有（）A．4种B．5种C．6种D．7种利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案考点：分根据轴对称的定义，及题意要求画出所有图案后即可得出答案．。

2012-2013学年江苏省盐城市高二（下）期末数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．（5分）命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是∃x∈R，sinx＞1．考点：命题的否定．专题：综合题．分析：直接把语句进行否定即可，注意否定时∀对应∃，≤对应＞．解答：解：根据题意我们直接对语句进行否定命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是：∃x∈R，sinx＞1．故答案为：∃x∈R，sinx＞1．点评：本题考查了命题的否定，注意一些否定符号和词语的对应．2．（5分）已知复数z满足z=i（2﹣i）（其中i为虚数单位），则|z|=．考点：复数代数形式的乘除运算；复数求模．专题：计算题．分析：先由复数的乘法运算对z进行化简，再代入公式求出复数的模．解答：解：由题意得z=i（2﹣i）=2i﹣i2=1+2i，则|z|==，故答案为：．点评：本题考查了复数的乘法运算，以及复数模的公式，属于基础题．3．（5分）某校对全校1000名男女学生进行课外阅读情况调查，采用分层抽样法抽取一个容量为200的样本，已知女生抽了80人，则该校的男生数为600．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：先求出样本中的男生数目，然后利用样本容量和全校学生的人数比确定该校的男生数．解答：解：在样本中，由于女生抽了80人，所以男生为120，所以男生在样本中的比例为，所以该校的男生数为人．故答案为：600．点评：本题的考点是分层抽样的应用．4．（5分）已知向量，，若，则λ=0或2．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：根据两个向量垂直的性质可得=2λ+0﹣λ2=0，与哦刺球的λ的值．解答：解：已知向量，，若，则=2λ+0﹣λ2=0，解得λ=0，或λ=2，故答案为0或2．点评：本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．5．（5分）有6件产品，其中有2件次品，从中任选2件，恰有1件次品的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：所有的选法有种，而从中任选2件，恰有1件次品的选法有•种，由此求得恰有1件次品的概率．解答：解：所有的选法有=15种，而从中任选2件，恰有1件次品的选法有•=8种，故从中任选2件，恰有1件次品的概率为，故答案为．点评：本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．6．（5分）甲、乙两种水稻试验品种连续4年的单位面积平均产量如下：品种第1年第2年第3年第4年甲9.8 9.9 10.2 10.1乙9.7 10 10 10.3其中产量比较稳定的水稻品种是甲．考点：极差、方差与标准差．专题：计算题．分析：首先做出两个品种的平均产量，结果平均数相同，再分别求出两个品种的产量的方差，得到甲的方差小于乙的方差，得到结论．解答：解：甲的平均数是=10乙的平均数是=10，两个品种的平均数相同，甲的方差是乙的方差是=0.045∴甲的方差小于乙的方差，即甲的产量比较稳定．故答案为：甲点评：本题考查方差和平均数，对于两组数据通常考查这两组数据的平均数和方差，以观察两组数据的性质特点．7．（5分）若双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于a，则该双曲线的离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由已知中双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，通过渐近线、离心率等几何元素，沟通a，b，c的关系，即可求出该双曲线的离心率．解答：解：∵焦点到渐近线的距离等于半实轴长，∴∴b=a，∴e=．故答案为：．点评：本题考查的知识点是双曲线的简单性质，双曲线的渐近线与离心率存在对应关系，通过a，b，c的比例关系可以求离心率，也可以求渐近线方程．8．（5分）（2013•黄埔区一模）执行如图的程序框图，若p=15，则输出的n=5．考点：程序框图．专题：计算题．分析：由已知可得循环变量n的初值为1，循环结束时S≥p，循环步长为1，由此模拟循环执行过程，即可得到答案．解答：解：当n=1时，S=2，n=2；当n=2时，S=6，n=3；当n=3时，S=14，n=4；当n=4时，S=30，n=5；故最后输出的n值为5故答案为：5点评：本题考查的知识点是程序框图，处理本类问题最常用的办法是模拟程序的运行，其中分析循环过程中各变量在循环中的值是关键．9．（5分）（2008•江苏二模）观察下列不等式：1＞，1++＞1，1+++…+＞，1+++…+＞2，1+++…+＞，…，由此猜测第n个不等式为1+++…+＞（n∈N*）．考点：归纳推理．专题：规律型；探究型．分析：根据所给的五个式子，看出不等式的左边是一系列数字的倒数的和，观察最后一项的特点，3=22﹣1，7=23﹣1，15=24﹣1，和右边数字的特点，得到第n格不等式的形式．解答：解：∵3=22﹣1，7=23﹣1，15=24﹣1，∴可猜测：1+++…+＞（n∈N*）．故答案为：1+++…+＞点评：本题考查归纳推理，是由某类事物的部分对象所具有的某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，它的特点是有个别到一般的推理，本题是一个不完全归纳．10．（5分）若，则a0+a2+a4+a6+a8的值为128．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：在所给的等式中，令x=1可得28=a0+a1+a2+a3+…+a8；再令x=﹣1可得0=a0﹣a1+a2﹣a3+…+a8．两式相加可得28=2（a0+a2+a4+a6+a8），从而求得a0+a2+a4+a6+a8 的值．解答：解：∵，令x=1可得28=a0+a1+a2+a3+…+a8．再令x=﹣1可得0=a0﹣a1+a2﹣a3+…+a8．两式相加可得28=2（a0+a2+a4+a6+a8），∴a0+a2+a4+a6+a8 =27=128，故答案为128．点评：本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．11．（5分）某停车场内有序号为1，2，3，4，5的五个车位顺次排成一排，现在A，B，C，D四辆车需要停放，若A，B两车停放的位置必须相邻，则停放方式种数为48．（用数字作答）考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：第一步：先把AB两车看成一个整体进行停放，方法共有2×4=8种．第二步：从剩余的3个车位中选出2个车位，停放C、D两个车，方法共有=6种．再根据分步计数原理求得所有的停放车的方法．解答：解：第一步：把AB两车看成一个整体，有2种方法，再选取序号为12、或23、或34、或45的停车位，放上、AB两车，方法共有2×4=8种．第二步：从剩余的3个车位中选出2个车位，停放C、D两个车，方法共有=6种．再根据分步计数原理，所有的停放车的方法共有8×6=48种，故答案为48．点评：本题主要考查排列与组合及两个基本原理的应用，相邻的问题用捆绑法，属于中档题．12．（5分）若函数f（x）=ln（ae x﹣x﹣3）的定义域为R，则实数a的取值范围是（e2，+∞）．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：f（x）=ln（ae x﹣x﹣3）的定义域为R等价于ae x﹣x﹣3＞0的解集是R，由此能求出实数a 的范围．解答：解：∵f（x）=ln（ae x﹣x﹣3）的定义域为R，∴ae x﹣x﹣3＞0的解集是R，即a＞恒成立．设g（x）=，则g'（x）=，当x＜﹣2时g'（x）＞0，当x＞﹣2时g'（x）＜0，故g（x）在（﹣∞，﹣2）是增函数，在（﹣2，+∞）上是减函数，故当x=﹣2时，g（x）取得最大值g（﹣2）=e2，∴a＞e2．故答案为：（e2，+∞）．点评：本题考查对数函数的定义域，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．13．（5分）已知Rt△ABC的三个顶点都在抛物线y2=2px（p＞0）上，且斜边AB∥y轴，则斜边上的高等于2p．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由斜边AB∥y轴及抛物线的对称性可知△ABC为等腰直角三角形，高CD为AB一半，求出点A坐标即可．解答：解：由题意，斜边平行y轴，即垂直对称轴x轴，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，所以斜边上的高CD是AB的一半，假设斜边是x=a，则有A（，），代入y2=2px得a=4p，所以CD==2p，故答案为：2p．点评：本题的考点是抛物线的应用，主要考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．14．（5分）已知曲线C：f（x）=x+（a＞0），直线l：y=x，在曲线C上有一个动点P，过点P分别作直线l和y轴的垂线，垂足分别为A，B．再过点P作曲线C的切线，分别与直线l和y轴相交于点M，N，O是坐标原点．则△OMN与△ABP的面积之比为8．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：由题意易得B的坐标，写出垂线的方程联立y=x可得A坐标，进而可得△ABP的面积，然后可写出切线的方程，进而可得M、N的坐标，可表示出△OMN的面积，从而求出△OMN与△ABP 的面积之比．解答：解：由题意设点P（x0，x0+），则B（0，x0+），又与直线l垂直的直线向斜率为﹣1，故方程为y﹣（x0+）=﹣（x﹣x0）和方程y=x联立可得x=y=x0+，故点A（x0+，x0+），故△ABP的面积S=|x0||x0+﹣（x0+）|=|x0|||=a，解得a=2，又因为f（x）=x+，所以f′（x）=1﹣，故切线率为k=1﹣，故切线的方程为y﹣（x0+）=（1﹣）（x﹣x0），令x=0，可得y=，故点N（0，），联立方程y=x可解得x=y=2x0，即点M（2x0，2x0），故△OMN的面积为•|||2x0|=2a，则△OMN与△ABP的面积之比为8．故答案为：8．点评：本题考查利用导数研究曲线的切线方程，涉及三角形的面积和方程组的求解，属中档题．二、解答题：本大题共8小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为A1B1，CD的中点．（1）求直线EC与AF所成角的余弦值；（2）求二面角E﹣AF﹣B的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面所成的角．专题：空间角．分析：（1）通过建立空间直角坐标系，得到与的坐标，利用它们的夹角公式即可得到异面直线EC与AF所成角的余弦值；（2）利用线面垂直的性质求出平面ABCD与平面AEF的一个法向量，利用法向量的夹角即可得到二面角的余弦值．解答：解：（1）建立空间直角坐标系．则A（2，0，0），F（0，1，0），C（0，2，0），E（2，1，2），∴，．∴，故直线EC与AF所成角的余弦值为．（2）平面ABCD的一个法向量为．设平面AEF的一个法向量为，∵，，∴，令x=1，则y=2，z=﹣1，∴．由图知二面角E﹣AF﹣B为锐二面角，其余弦值为．点评：熟练掌握通过建立空间直角坐标系、利用异面直线的方向向量的夹角公式即可得到异面直线EC与AF所成角的余弦值、利用两个平面的法向量的夹角得到二面角的余弦值的方法是解题的关键．16．（14分）由于生产条件的影响，生产某种产品正品的概率为，次品的概率分别为．已知生产1件正品获得的利润为6万元，而生产1件次品则亏损2万元．（1）求生产3件产品恰有2件正品的概率；（2）设2件产品的利润和（单位：万元）为ξ，求ξ的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（1）设X为生产3件产品中正品的个数，则X服从二项分布（3，），由此可求生产3件产品恰有2件正品的概率；（2）确定ξ的取值，求出相应的概率，即可求ξ的分布列和数学期望．解答：解：（1）设X为生产3件产品中正品的个数，则X服从二项分布（3，），所以P（X=2）==；…（6分）（2）ξ的取值有12、4、﹣4，则P（X=12）=，P（X=4）=，P（X=﹣4）=，ξ的分布列为ξ12 4 ﹣4PE（ξ）=12×+4×﹣4×=10（万元）．…（14分）点评：本题考查概率知识，考查离散型随机变量的分布列与期望，正确求概率是关键．17．（14分）已知，n∈N*．（1）若g（x）=f4（x）+2f5（x）+3f6（x），求g（x）中含x2项的系数；（2）若p n是f n（x）展开式中所有无理项的系数和，数列{a n}是各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明：p n（a1a2…a n+1）≥（1+a1）（1+a2）…（1+a n）．考点：数学归纳法；二项式定理的应用．专题：综合题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）确定函数g（x），利用二项式定理可得g（x）中含x2项的系数；（2）确定p n的表达式，根据数学归纳法的步骤，先证n=1时成立，再设n=k时成立，利用归纳假设证明n=k+时成立即可．解答：（1）解：g（x）=f4（x）+2f5（x）+3f6（x）=+2+3，∴g（x）中含x2项的系数为=1+10+45=56．（3分）（2）证明：由题意，p n=2n﹣1．（5分）①当n=1时，p1（a1+1）=a1+1，成立；②假设当n=k时，p k（a1a2…a k+1）≥（1+a1）（1+a2）…（1+a k）成立，当n=k+1时，（1+a1）（1+a2）…（1+a k）（1+a k+1）≤2k﹣1（a1a2…a k+1）（1+a k+1）=2k﹣1（a1a2…a k a k+1+a1a2…a k+a k+1+1）．（*）∵a k＞1，a1a2…a k（a k+1﹣1）≥a k+1﹣1，即a1a2…a k a k+1+1≥a1a2…a k+a k+1，代入（*）式得（1+a1）（1+a2）…（1+a k）（1+a k+1）≤2k（a1a2…a k a k+1+1）成立．综合①②可知，p n（a1a2…a n+1）≥（1+a1）（1+a2）…（1+a n）对任意n∈N*成立．（10分）点评：本题考查二项式定理，考查数学归纳法的运用，掌握数学归纳法的证题步骤是关键．18．（16分）为改善行人过马路难的问题，市政府决定在如图所示的矩形区域ABCD（AB=60米，AD=104米）内修建一座过街天桥，天桥的高GM与HN均为米，，AE，EG，HF，FC的造价均为每米1万元，GH的造价为每米2万元，设MN与AB所成的角为α（α∈[0，]），天桥的总造价（由AE，EG，GH，HF，FC五段构成，GM与HN忽略不计）为W万元．（1）试用α表示GH的长；（2）求W关于α的函数关系式；（3）求W的最小值及相应的角α．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数解析式的求解及常用方法．专题：导数的综合应用．分析：（1）先确定MP的值，再在Rt△NMT中，即可用α表示GH的长；（2）利用AE，EG，HF，FC的造价均为每米1万元，GH的造价为每米2万元，即可求出W关于α的函数关系式；（3）求导函数，确定函数的单调性，即可求出W的最小值及相应的角α．解答：解：（1）由题意可知∠MNP=α，故有MP=60tanα，所以在Rt△NMT中，…（6分）（2）==．…（11分）（3）设（其中，则．令f'（α）=0得1﹣2sinα=0，即，得．列表αf'（α）+ 0 ﹣f（α）单调递增极大值单调递减所以当时有，此时有．答：排管的最小费用为万元，相应的角．…（16分）点评：本题考查函数模型的构建，考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（16分）已知椭圆E：=1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点距离之和为，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，点P是右准线上任意一点，过F2作直线PF2的垂线F2Q交椭圆于Q点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；（3）点P的纵坐标为3，过P作动直线l与椭圆交于两个不同点M、N，在线段MN上取点H，满足，试证明点H恒在一定直线上．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意可得，解出即可；（2）由（1）可知：椭圆的右准线方程为，设P（3，y0），Q（x1，y1），由PF2⊥F2Q，可得，利用斜率计算公式可得k PQ•k OQ及代入化简得直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值．（3）设过P（3，3）的直线l与椭圆交于两个不同点M（x1，y1），N（x2，y2），点H（x，y），由点M，N在椭圆上可得，．设，则，可得（3﹣x1，3﹣y1）=﹣λ（x2﹣3，y2﹣3），（x﹣x1，y﹣y1）=λ（x2﹣x，y2﹣y），即可证明6x+9y为定值．解答：解：（1）由题意可得，解得，c=1，所以椭圆E：．（2）由（1）可知：椭圆的右准线方程为，设P（3，y0），Q（x1，y1），因为PF2⊥F2Q，所以，所以﹣y1y0=2（x1﹣1）又因为且代入化简得．即直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值．（3）设过P（3，3）的直线l与椭圆交于两个不同点M（x1，y1），N（x2，y2），点H（x，y），则，．设，则，∴（3﹣x1，3﹣y1）=﹣λ（x2﹣3，y2﹣3），（x﹣x1，y﹣y1）=λ（x2﹣x，y2﹣y）整理得，，∴从而，由于，，∴我们知道与的系数之比为2：3，与的系数之比为2：3．∴，所以点H恒在直线2x+3y﹣2=0上．点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量运算、斜率计算公式等基础知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力．20．已知椭圆E：=1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点距离之和为，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，点P是右准线上任意一点，过F2作直线PF2的垂线F2Q交椭圆于Q点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；（3）证明：直线PQ与椭圆E只有一个公共点．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意可得，解出即可；（2）由（1）可知：椭圆的右准线方程为，设P（3，y0），Q（x1，y1），由PF2⊥F2Q，可得，利用斜率计算公式可得k PQ•k OQ及代入化简得直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值．（3）由（2）知，直线PQ的方程为，即，与椭圆的方程联立，消去一个未知数得到关于x的一元二次方程，只要证明△=0即可．解答：解：：（1）由题意可得，解得，c=1，所以椭圆E：．（2）由（1）可知：椭圆的右准线方程为，设P（3，y0），Q（x1，y1），因为PF2⊥F2Q，所以，所以﹣y1y0=2（x1﹣1）又因为且代入化简得．即直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值．（3）由（2）知，，，∴．∴直线PQ的方程为，即，联立得，∵，．∴化简得：，又△=0，解得x=x1，所以直线PQ与椭圆C相切，只有一个交点．点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、斜率计算公式等基础知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力．21．（16分）设函数f（x）=alnx，．（1）记h（x）=f（x）﹣g（x），若a=4，求h（x）的单调递增区间；（2）记g'（x）为g（x）的导函数，若不等式f（x）+2g'（x）≤（a+3）x﹣g（x）在x∈[1，e]上有解，求实数a的取值范围；（3）若在[1，e]上存在一点x0，使得成立，求a的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；导数的综合应用．分析：（1）当a=4时，可得，利用导数公式算出，再解关于x的不等式并结合函数h（x）的定义域，即可得到函数h（x）的单调递增区间；（2）通过移项合并同类项，化简不等式f（x）+2g'（x）≤（a+3）x﹣g（x）得，再进行变量分离得，由此设并讨论其单调性得到，结合原不等式有解即可算出实数a的取值范围；（3）原不等式等价于，整理得，设右边对应的函数为m（x），求得它的导数m'（x）=，然后分a≤0、0＜a≤e﹣1和a＞e﹣1三种情况加以讨论，分别解关于a的不等式得到a的取值，最后综上所述可得实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．解答：解：（1）当a=4时，可得f（x）=4lnx，此时，由得﹣2＜x＜2，结合x＞0，可得0＜x＜2．所以h（x）的单调递增区间为（0，2）．…（4分）（2）不等式f（x）+2g′（x）≤（a+3）x﹣g（x），即为，化简得：，由x∈[1，e]知x﹣lnx＞0，因而，设，由=，∵当x∈（1，e）时x﹣1＞0，，∴y′＞0在x∈[1，e]时成立．由不等式有解，可得知，即实数a的取值范围是[﹣，+∞）…（10分）（3）不等式等价于，整理得，设，则由题意可知只需在[1，e]上存在一点x0，使得m（x0）＜0．对m（x）求导数，得，因为x＞0，所以x+1＞0，令x﹣1﹣a=0，得x=1+a．…（12分）①若1+a≤1，即a≤0时，令m（1）=2+a＜0，解得a＜﹣2．②若1＜1+a≤e，即0＜a≤e﹣1时，m（x）在1+a处取得最小值，令m（1+a）=1+a﹣aln（1+a）+1＜0，即1+a+1＜aln（1+a），可得考察式子，因为1＜t≤e，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立③当1+a＞e，即a＞e﹣1时，m（x）在[1，e]上单调递减，只需m（e）＜0，得，又因为，所以．综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．…（16分）点评：本题给出含有分式和对数符号的函数，求函数的单调区间并讨论关于x的不等式解集非空的问题，着重考查了导数的公式和运算法则、利用导数研究函数的单调性和导数在最大最小值问题中的应用等知识，属于中档题．22．设函数f（x）=alnx，g（x）=x2．（1）记h（x）=f（x）﹣g（x），若a=4，求h（x）的单调递增区间；（2）记g'（x）为g（x）的导函数，若不等式f（x）+2g'（x）≤（a+3）x﹣g（x）在x∈[1，e]上有解，求实数a的取值范围；（3）若a=1，对任意的x1＞x2＞0，不等式m[g（x1）﹣g（x2）]＞x1f（x1）﹣x2f（x2）恒成立．求m（m∈Z，m≤1）的值．考点：利用导数研究函数的单调性；函数的零点；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：计算题；导数的综合应用．分析：（1）当a=4时，可得，利用导数公式算出，再解关于x的不等式并结合函数h（x）的定义域，即可得到函数h（x）的单调递增区间；（2）通过移项合并同类项，化简不等式f（x）+2g'（x）≤（a+3）x﹣g（x）得，再进行变量分离得，由此设并讨论其单调性得到，结合原不等式有解即可算出实数a的取值范围；（3）当a=1时原不等式恒成立，即mg（x1）﹣x1f（x1）＞mg（x2）﹣x2f（x2）恒成立，因此设，结合题意当x∈（0，+∞）时t（x）为增函数，得t′（x）≥0恒成立，解出恒成立．再研究不等式右边对应函数h（x）的单调性得到h（x）max=1，从而得到m≥1，结合已知条件可得m=1．解答：解：（1）当a=4时，可得f（x）=4lnx，此时，由得﹣2＜x＜2，结合x＞0，可得0＜x＜2．所以h（x）的单调递增区间为（0，2）．…（4分）（2）不等式f（x）+2g′（x）≤（a+3）x﹣g（x），即为，化简得：，由x∈[1，e]知x﹣lnx＞0，因而，设，由=，∵当x∈（1，e）时x﹣1＞0，，∴y′＞0在x∈[1，e]时成立．由不等式有解，可得知，即实数a的取值范围是[﹣，+∞）…（10分）（3）当a=1，f（x）=lnx．由m[g（x1）﹣g（x2）]＞x1f（x1）﹣x2f（x2）恒成立，得mg（x1）﹣x1f（x1）＞mg（x2）﹣x2f（x2）恒成立，设．由题意知x1＞x2＞0，故当x∈（0，+∞）时函数t（x）单调递增，∴t′（x）=mx﹣lnx﹣1≥0恒成立，即恒成立，因此，记，得，∵函数在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴函数h（x）在x=1时取得极大值，并且这个极大值就是函数h（x）的最大值．由此可得h（x）max=h（1）=1，故m≥1，结合已知条件m∈Z，m≤1，可得m=1．…（16分）点评：本题给出含有分式和对数符号的函数，求函数的单调区间并讨论关于x的不等式解集非空的问题，着重考查了导数的公式和运算法则、利用导数研究函数的单调性和导数在最大最小值问题中的应用等知识，属于中档题．。

三星高中使用 2013/2014学年度第二学期高二年级期终考试 化 学 试 题 可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 选择题 单项选择题：本题包括10小题，每小题2 分，共计20 分。

每小题只有一个选项符合题意。

1．美国亚利桑那州大学(ASU)和阿贡国家实验室的科学家最近设计出生产氢气的人造树叶，原理为： 2H2O（g）2H2（g）O2（g）有关该反应的说法正确的是 A．△H ＜0 B．△S ＜0 C．化学能转变为电能D．氢能是理想的绿色能源 2．化学与社会、生产、生活切相关。

下列说法正确的是 A．聚氯乙烯塑料制品可用于食品包装 B．地沟油禁止食用，但可以用来制肥皂 C．煤经过气化和液化等物理变化可转化为清洁燃料 D．纤维素、油脂、蛋白质均是天然高分子化合物 3．25℃时，0.1mol·L－1溶液加水稀释，下列数值变大的是 A．c(OH－)B．pH C．c(NH4+)/c(NH3·H2O) D．c(H+)·c(OH－) 4．在101kPa 25℃时，1.0g乙烷气体完全燃烧放出热量52.0kJ则乙烷燃烧的热化学方程式为 ．C2H6(g) O2(g)＝2CO2(g) ＋3H2O(l) △H=－1560kJ·mol－1 B．2C2H6(g) 7O2(g)＝4CO2(g) ＋6H2O(g) △H=－1560kJ·mol－1 C．2C2H6(g) 7O2(g)＝4CO2(g) ＋6H2O(l) △H=＋3120 kJ·mol－1 ．C2H6(g) O2(g)＝2CO2(g) ＋3H2O(l) △H=－52.0kJ·mol－1 5．下列说法正确的是 A．蒸馏水中滴加浓H2SO4时，KW不变 B．常温下，0.005mol·L－1Ba(OH)2溶液pH为12 C．Na2CO3水解的离子方程式为：CO32－ 2H2OH2CO3 ＋ 2OH－ D．NaCl溶液和CH3COONH4溶液均显中性，两溶液中水的电离程度相同 6．下列表示对应化学反应的离子方程式正确的是 A. 碳酸钙溶于醋酸：CaCO3 2H+=Ca2+＋ CO2↑＋H2O B．苯酚钠溶液中通入少量的CO2： C．用铜做电极电解CuSO4溶液：2Cu2＋＋2H2O2Cu↓＋O2↑＋4H＋ D．用银氨溶液检验乙醛中的醛基：CH3CHO＋2Ag(NH3)2＋ ＋2OH－ CH3COO－＋NH4＋＋3NH3＋2Ag↓＋H2O 7．下列说法不正确的是 A．盛有KCl饱和溶液的琼脂的U型管，可用作原电池的盐桥 B．Al3+能水解为Al(OH)3胶体，明矾可用净水剂 C．甲醛能使蛋白质变性，可用作食品防腐剂 D．在海轮外壳上镶入锌块，可减缓船体的腐蚀速率 8．反应A(g)＋2B(g)===C(g)的反应过程中能量变化如下图所示。

江苏省盐城市2013年中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。

在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）（2013•盐城）﹣2、0、1、﹣3四个数中，最小的数是（）A．﹣2B．0C．1D．﹣3考点：有理数大小比较分析：根据有理数的大小比较法则（正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数，其绝对值大的反而小）比较即可．解答：解：﹣2、0、1、﹣3四个数中，最小的数是﹣3；故选D．点评：本题考查了对有理数的大小比较法则的应用，用到的知识点是正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数，其绝对值大的反而小．2．（3分）（2013•盐城）如果收入50元，记作+50元，那么支出30元记作（）A．+30B．﹣30C．+80D．﹣80考点：正数和负数分析：收入为“+”，则支出为“﹣”，由此可得出答案．解答：解：∵收入50元，记作+50元，∴支出30元记作﹣30元．故选B．点评：本题考查了正数和负数的知识，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．3．（3分）（2013•盐城）下面的几何体中，主视图不是矩形的是（）A．B．C．D．考点：简单几何体的三视图分析：找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．解答：解：A为圆柱体，它的主视图应该为矩形；B为长方体，它的主视图应该为矩形；C为圆台，它的主视图应该为梯形；D为三棱柱，它的主视图应该为矩形．故选C．点评：本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，考查了学生细心观察能力，属于基础题．4．（3分）（2013•盐城）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥3B．x≤3C．x＞3D．x＜3考点：二次根式有意义的条件分析： 根据被开方数大于等于0列式进行计算即可得解． 解答： 解：根据题意得，x ﹣3≥0，解得x ≥3． 故选A ．点评：本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．5．（3分）（2013•盐城）下列运算中，正确的是（ ） A ． 2a 2+3a 2=a 4 B ． 5a 2﹣2a 2=3 C ． a 3×2a 2=2a 6 D ． 3a 6÷a 2=3a 4考点： 整式的除法；合并同类项；单项式乘单项式 分析：根据合并同类项、单项式乘单项式、单项式除以单项式的法则，对各选项分析判断后利用排除法求解．解答： 解：A 、2a 2+3a 2=5a 2，故本选项错误；B 、5a 2﹣2a 2=3a 2，故本选项错误；C 、a 3×2a 2=2a 5，故本选项错误；D 、3a 6÷a 2=3a 4，故本选项正确． 故选D ．点评：本题考查合并同类项、单项式乘单项式、单项式除以单项式，记准法则是解题的关键．6．（3分）（2013•盐城）某公司10名职工月份工资统计如下，该公司10名职工5月份工资的众数和中位数分别是（ ） 工资（元） 2000 2200 2400 2600 人数（人） 1 3 4 2A ． 2400元、2400元B ． 2400元、2300元C ． 2200元、2200元D ． 2200元、2300元考点：众数；中位数 分析：根据中位数和众数的定义求解即可；中位数是将一组数据从小到大重新排列，找出最中间的两个数的平均数，众数是一组数据中出现次数最多的数．解答： 解：∵2400出现了4次，出现的次数最多，∴众数是2400； ∵共有10个数，∴中位数是第5、6个数的平均数，∴中位数是（2400+2400）÷2=2400； 故选A ．点评：此题考查了众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），众数是一组数据中出现次数最多的数．7．（3分）（2013•盐城）如图，直线a ∥b ，∠1=120°，∠2=40°，则∠3等于（ ）A．60°B．70°C．80°D．90°考点：平行线的性质专题：计算题．分析：由a∥b，根据平行线的性质得∠1=∠4=120°，再根据三角形外角性质得∠4=∠2+∠3，所以∠3=∠4﹣∠2=80°．解答：解：如图，∵a∥b，∴∠1=∠4=120°，∵∠4=∠2+∠3，而∠2=40°，∴120°=40°+∠3，∴∠3=80°．故选C．点评：本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等．也考查了三角形外角性质．8．（3分）（2013•盐城）如图①是3×3正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定绕正方形ABCD的中心旋转能重合的图案都视为同一种图案，例如图②中的四幅图就视为同一种图案，则得到的不同图案共有（）A．4种B．5种C．6种D．7种考点：利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案分析：根据轴对称的定义，及题意要求画出所有图案后即可得出答案．解答：解：得到的不同图案有：，共6种．故选C．点评：本题考查了学生实际操作能力，用到了图形的旋转及轴对称的知识，需要灵活掌握．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。

2012～2013学年苏州市高二期末调研测试数学（理科） 2013．6数学Ⅰ试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．） 1． 命题“,x ∀∈R sin 1x ≤”的否定是“ ▲ ”．2． 抛物线y 2 = 4x 的准线方程为 ▲ ．解：∵2p=4，∴p=2，开口向右，∴准线方程是x=-1．故答案为x=-1． 3． 设复数22i(1i)z +=+（i 为虚数单位），则z 的虚部是 ▲ ．4． “1x <”是 “2log 0x <”的 ▲ 条件．(在“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中选一个合适的填空)解：由log 2x ＜0，解得0＜x ＜1，所以“x ＜1”是“log 2x ＜0”的必要不充分条件．故答案为：必要不充分． 5． 61()2x x-的二项展开式中的常数项是 ▲ （用数字作答）．6． 若定义在R 上的函数()f x 的导函数为()24f x x '=-，则函数(1)f x -的单调递减区间是 ▲ ．7．口袋中有形状、大小都相同的2只白球和1只黑球，先摸出1只球，记下颜色后放回口袋，然后再摸出1只球，则“两次摸出的球颜色不相同”的概率是▲．8．已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的对角线AC1的长为6，且AC1与底面所成角的余弦值为33，则该正四棱柱的体积为▲．9．某医院有内科医生5名，外科医生6名，现要派4名医生参加赈灾医疗队，如果要求内科医生和外科医生中都有人参加，则有▲种选法（用数字作答）．10．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：①若α∥β，m⊂β，n⊂α，则m∥n；②若α∥β，m⊥β，n∥α，则m⊥n；③若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n；④若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m∥n．上面命题中，所有真命题．．．的序号为▲ ．11． 过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点作垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，若AB =2a，则双曲线22221x y a b-=的离心率为 ▲ ．12． 已知圆221:()(1)1C x a y a -+--=和圆2222:(1)2C x y a -+=有两个不同的公共点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．13． 定义函数(),(),(),()K f x f x K f x K f x K >⎧=⎨⎩≤（K 为给定常数），已知函数225()3ln 2f x x x x =-，若对于任意的(0,)x ∈+∞，恒有()K f x K =，则实数K 的取值范围为 ▲ ．14． 在下图中，从第2行起，除首末两个位置外，每个位置上的数都等于它肩上的两个数的和，最初几行是：则第 ▲ 行中有三个连续位置上的数之比是3︰4︰5．二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ∥AB ，△ACD 是正三角形，AD = DE = 2AB = 2，且F 是CD 的中点．第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 第5行 1 5 10 10 5 1 … …FEDCBA（1）求证：AF∥平面BCE；（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；（3）求四面体BCEF的体积．已知点M 到双曲线221169x y -=的左、右焦点的距离之比为2︰3． （1）求点M 的轨迹方程；（2）若点M 的轨迹上有且仅有三个点到直线y = x + m 的距离为4，求实数m 的值．17．（本小题满分14分）如图，在长方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，AB = 4，AD = 2，A 1A = 2，点F 是棱BC 的中点，点E 在棱C 1D 1上，且D 1E = λ EC 1（λ为实数）． （1）求二面角D 1 - AC - D 的余弦值；（2）当λ =13时，求直线EF 与平面D 1AC 所成角的正弦值的大小；（3）求证：直线EF 与直线EA 不可能垂直．18．（本小题满分16分）有两枚均匀的硬币和一枚不均匀的硬币，其中不均匀的硬币抛掷后出现正面的概率为23．小华先抛掷这三枚硬币，然后小红再抛掷这三枚硬币．（1）求小华抛得一个正面两个反面且小红抛得两个正面一个反面的概率； （2）若用ξ表示小华抛得正面的个数，求ξ的分布列和数学期望； （3）求小华和小红抛得正面个数相同（包括0个）的概率．1111FEDC BA D CB A（第17题）已知函数3211()(1)323a f x x a x x =-++-． （1）若函数()f x 的图象在点(2,(2))f 处的切线方程为90x y b -+=，求实数a ，b 的值； （2）若0a ≤，求()f x 的单调减区间；（3）对一切实数a ∈(0,1)，求f (x )的极小值的最大值．20．（本小题满分16分）如图，点A （- a ，0），B （23，43）是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上的两点，直线AB 与y 轴交于点C （0，1）．（1）求椭圆的方程；（2）过点C 任意作一条直线PQ 与椭圆相交于P ，Q ，求PQ 的取值范围．2012～2013学年苏州市高二期末调研测试数学Ⅰ（理科）参考答案 2013．6（第20题）yxO QP CB A一、填空题1．x ∃∈R ，sin 1x > 2．x = -1 3．-1 4．必要不充分 5． 52-6．（-∞，3） 7．498．2 9．310 10．②③11．52 12．24a <-或24a > 13．233[e ,)2+∞ 14．62二、解答题15．证明：（1）取EC 中点G ，连BG ，GF ．∵F 是CD 的中点，∴FG ∥DE ，且FG =12DE ．又∵AB ∥DE ，且AB =12DE ．∴四边形ABGF 为平行四边形．……… 3分∴AF ∥BG ．又BG ⊂平面BCE ，AF ⊄平面BCE ． （条件每少一个扣1分，最多扣2分）∴AF ∥平面BCE ． …………5分（2）∵AB ⊥ 平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥ AF ．∵AB ∥DE ，∴AF ⊥ DE ． ………… 6分又∵△ACD 为正三角形，∴AF ⊥ CD ． ………… 7分 ∵BG ∥AF ，∴BG ⊥ DE ，BG ⊥ CD ． ………… 8分 ∵CD ∩ DE = D ，∴BG ⊥平面CDE ． ………… 9分（直接用AF ∥BG ，AF ⊥平面CDE ，而得到BG ⊥平面CDE ．扣1分） ∵BG ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE ； ……………11分（3）四面体BCEF 的体积13CFE V S BG ∆=⋅1111312332323CF DE AF =⨯⋅⋅=⨯⨯⨯⋅=． ……………14分16．解：（1）双曲线221169x y -=的左、右焦点为1(5,0)F -，2(5,0)F ．………1分 设点(,)M x y ，则1223MF MF =， 即2222(5)23(5)x y x y++=-+． ……………3分 化简得点M 的轨迹方程为2226250x y x +++=． ……………7分 （2）点M 的轨迹方程即为22(13)144x y ++=，它表示以(13,0)-为圆心，12为半径的圆． ……………9分 因为圆上有且仅有三点到直线y = x + m 的距离为4， 所以圆心到直线y = x + m 的距离为8，即|13|811m -+=+． ……………12分解得 1382m =±． ……………14分G FEDC BA17．解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系D xyz -．则(2,0,0),(0,4,0),A C 1(0,0,2),D1(2,0,2)D A =-，1(0,4,2)D C =-． ………… 2分 设平面1D AC 的法向量为(,,)x y z =n ， 则110,0D A D C ⋅=⋅=n n ．即,2x z z y ==．令1y =，则2x z ==．∴平面1D AC 的一个法向量(2,1,2)=n ．…… 4分又平面DAC 的一个法向量为(0,0,1)=m ．故22cos ,||133⋅〈〉===⋅⨯m n m n m |n |， 即二面角1D AC D --的余弦值为23． ……… 6分（2）当λ =13时，E （0，1，2），F （1，4，0），(1,3,2)EF =-．所以114cos ,42||||143EF EF EF ⋅〈〉===⋅⨯n n n ． ……………9分 因为 cos ,0EF 〈〉>n ，所以,EF 〈〉n 为锐角， 从而直线EF 与平面1D AC 所成角的正弦值的大小为1442． ……………10分 （3）假设EF EA ⊥，则0EF EA ⋅=．∵4(0,,2),(1,4,0)1E F λλ+，∴4(2,,2)1EA λλ=--+，4(1,4,2)1EF λλ=--+． ……………12分∴442(4)4011λλλλ--+=++．化简得23230λλ-+=．该方程无解，所以假设不成立，即直线EF 不可能与直线EA 不可能垂直．……14分18．解：（1）设A 表示事件“小华抛得一个正面两个反面”，B 表示事件“小红抛得两个正面一个反面”，则P （A ）=1111121()22232233⨯⨯⨯+⨯⨯=， …………2分P （B ）=1121115()222322312⨯⨯⨯+⨯⨯=， …………4分则小华抛得一个正面两个反面且小红抛得两个正面一个反面的概率为P （AB ）= P （A ）P （B ）=15531236⨯=． …………6分（2）由题意ξ的取值为0，1，2，3，且1111(0)22312P ξ==⨯⨯=；1(1)3P ξ==；5(2)12P ξ==；1121(3)2236P ξ==⨯⨯=．x （第17题） A EB CDFA 1B 1C 1D 1yz所求随机变量ξ的分布列为ξ0 1 2 3P112 13 512 16…………10分数学期望11515()01231231263E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． …………12分 （3）设C 表示事件“小华和小红抛得正面个数相同”， 则所求概率为2222()(0)(1)(2)(3)P C P P P P ξξξξ==+=+=+=2222115123()()()()12312672=+++=．所以“小华和小红抛得正面个数相同”的概率为2372． ………… 16分19．解：（1）2()(1)1()f x ax a x a '=-++∈R ， ………… 1分由(2)9f '=，得a = 5． ………… 2分∴3251()333f x x x x =-+-．则(2)3f =．则（2，3）在直线90x y b -+=上．∴b = -15． ………… 4分（2）① 若0a =，221111()(1)2326f x x x x =-+-=--+，∴()f x 的单调减区间为（1，+∞）． ………… 6分 ② 若0a <，则21()(1)1()(1),,f x ax a x a x x x a'=-++=--∈R令()0f x '<，得1()(1)0x x a -->．∴1x a<，或x ˃ 1． ………… 9分∴()f x 的单调减区间为1(,)a -∞，（1，+∞）． ………… 10分（3）1()(1)()f x a x x a '=--，0 ˃ a ˃ 1，列表：x（-∞，1） 1（1，1a ） 1a（1a，+∞） ()f x '+ 0 - 0 +()f x ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗………… 12分∴f (x ) 的极小值为32111111()(1)323a f a a a a a=⋅-++-22111111131()6236224a a a =-⋅+⋅-=--+． ………… 14分当23a =时，函数f (x ) 的极小值f (1a )取得最大值为124． ………… 16分20．解：（1）由B （23，43），C （0，1），得直线BC 方程为112y x =+．………… 2分 令y = 0，得x = -2，∴a = 2． ………… 3分 将B （23，43）代入椭圆方程，得24169914b +=．∴b 2 = 2．椭圆方程为22142x y +=． ………… 5分 （2）① 当PQ 与x 轴垂直时，PQ = 22； ………… 6分② 当PQ 与x 轴不垂直时，不妨设直线PQ ：y = kx + 1（k ≥0），代入椭圆方程x 2 + 2y 2 - 4 = 0，得x 2 + 2(kx + 1)2 - 4 = 0．即 (2k 2 + 1) x 2 + 4kx - 2 = 0． ………… 8分 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则 21,2228221k k x k -±+=+．则 | x 1 - x 2 | = 2228221k k ++．PQ = 222282121k k k ++⋅+． ………… 10分 2242222242428(1)(41)45188(1)(21)441441k k k k k PQ k k k k k ++++==⋅=⋅++++++=2218(1)144k k ⋅+++． ………… 12分 ∵2222114244k k k k+⋅=≥，在k =22时取等号， ………… 14分 ∴PQ 2 = 2218(1)144k k⋅+++∈（8，9]．则PQ ∈(22,3]． ………… 15分 由①，②得PQ 的取值范围是[22,3]． ………… 16分数学Ⅱ（理科附加题）参考答案A 1 证明：如图，连结BP ，∵AB = AC ，AD 是BC 边的中线， ∴AD 是此等腰三角形的一条对称轴． ∴ABP ACP ∠=∠． ………… 2分 ∵BF ∥AC ，∠F = ∠ACP ．∴∠F = ∠ABP ． ………… 5分 又BPF EPB ∠=∠，∴BPF ∆∽EPB ∆． ………… 8分所以BP PF PE BP =，即2BP PE PF =⋅． ∵BP = CP ，∴CP 2 = PE ·PF ． ……… 10分A 2 证明：（1）连结ED ．∵AF 为切线，∴∠FAB = ∠ACB ．………… 2分 ∵BD AC ⊥，CE AB ⊥， ∴90AEF BDC ∠=∠=．∴F DBC ∠=∠． ………… 5分 （2）∵BD AC ⊥，CE AB ⊥，∴,,,D E B C 四点共圆．则DEC DBC ∠=∠． 又F DBC ∠=∠，∴DEC F ∠=∠．则DE ∥AF ． ……………8分 ∴AD FE DC EC =，即AD EC DC FE ⋅=⋅． ……… 10分DBCAFECD B APEFB 1 解：由题设得010*********MN -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦． ………… 2分 设直线210x y -+=上任意一点(,)x y 在矩阵MN 对应的变换作用下变为(,)x y ''， 则 1001x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'-⎣⎦⎣⎦⎣⎦． ………… 5分 即x x y y '⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥'-⎣⎦⎣⎦，∴,.x x y y '=⎧⎨'=-⎩………… 8分∵点(,)x y 在直线210x y -+=上，∴2()10x y ''--+=，即210x y ''++=．∴曲线F 的方程为210x y ++=． ………… 10分B 2 解：（1）由题意得1112011a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦． ………… 2分 即122a b +⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，∴12,2.a b +=⎧⎨=⎩则1,2a b ==． ………… 5分（2）由（1）得矩阵M 1102⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 矩阵M 的特征多项式为()()11()1202f λλλλλ--==---， 矩阵M 的另一个特征值是1．代入二元一次方程组()()10020x y x y λλ--=⎧⎪⎨⋅+-=⎪⎩，解得0y =，于是M 的属于特征值1的一个特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦． ………… 8分∴α =11210⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．∴M 10α = M10101011111026222110101024⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+⋅= ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭．………… 10分C 1解：圆C 的直角坐标方程为2220x y x +-=，即22(1)1x y -+=． ………… 2分 圆心(1,0)C ，直线l 的直角坐标方程为40x y --=． ………… 5分所以过点C 与直线l 垂直的直线的方程为10x y +-=． ………… 8分化为极坐标方程得cos sin 10ρθρθ+-=，即2cos()42πρθ-=．………… 10分C 2 解：（1）直线l 的普通方程0x y m --=，椭圆C 的普通方程为2213x y +=； …………………… 2分（2）设椭圆C 上一点P 的坐标为[)()(3cos ,sin )0,2αααπ∈，∵m ˃ 2，∴点P 到直线l 的距离2cos 3cos sin 622m m d πααα⎛⎫+- ⎪--⎝⎭==2cos 622m πα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭==． ∴2cos 226m πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． …………………… 5分∵椭圆C 上有且只有1个点到直线l 的距离为2，∴关于α的方程2cos 226m πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在[)0,2π上有且只有一个解．∴222m =+或222m =-+． …………………… 8分 若222m =+，满足2m >，此时116πα=，点P 的坐标是31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭； 若2222m =-+<，不合题意．综上，实数m 的值为222+，该点的坐标为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．……………10分D 1证明：（1）当2n =时，因为0x ≠，()2211212x x x x +=++>+，即n = 2时不等式成立； ……… 2分 （2）假设n = k （2,*k k ∈N ≥）时不等式成立，即有()11kx kx +>+，则当1n k =+时，()()()()()111111k kx x x x kx ++=++>++ ……… 5分()2111x kx kx k x =+++>++． ……… 8分即当1n k =+时，不等式也成立．综合（1）（2）可知，原不等式成立． ……… 10分D 2（1）证明：由柯西不等式得()()222222222222149123a b c a b c a b c a b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅++=++⋅++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦………… 2分212336a b c ab c ⎛⎫⋅+⋅+⋅= ⎪⎝⎭≥．∵2221a b c ++=，∴22214936a b c++≥． …………………… 5分（2）解：由（1）得236m m +-≤．当m ≥2时，m + m - 2≤36，∴m ≤19；当02m <<时，m + 2 - m ≤36，恒成立；当m ≤0时，- m + 2 - m ≤36，∴m ≥-17． …………………… 8分 综上，实数m 的取值范围是[-17，19]． …………………… 10分。

绝密★启用前 试卷类型：B2013年汕头市高二年级期末统考试题数学（理科）2013.7本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．参考公式：① 体积公式：13V S h V S h =⋅=⋅柱体锥体，，其中,,V S h 分别是体积、底面积和高；一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1.已知全集U =R ，集合{|021}xA x =<<，3{|log 0}B x x =>，则=BC A U （ ）A ．{|1}x x >B ．{|0}x x >C ．{|01}x x <<D ．{|0}x x < 2.已知i 是虚数单位，则复数23z i+2i 3i =+所对应的点落在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（ ）A ．B ．C ．D ．4. 已知变量,x y 满足约束条件1101x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则2x ye +的最大值是（ ）A.3eB.2eC. 1D. 4e -5.双曲线22221x y a b -=的渐近线与圆22(2)1x y +-=则双曲线离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．36.阅读下面程序框图,则输出结果s 的值为（ ）A ．21B ．23C ．3-D ．37.在下列命题中，①“2απ=”是“sin 1α=”的充要条件； ②341()2x x+的展开式中的常数项为2；③设随机变量ξ～(0,1)N ,若(1)P p ξ≥=，则1(10)2P p ξ-<<=-； ④已知命题p:(0,),32xxx ∀∈+∞>； 命题q:(,0),32x x x ∃∈-∞>,则命题 ()p q ∧⌝为 真命题；其中所有正确命题的序号是 （ ）A ．①②④B ．②③C ．②③④D ．①③④Q 为有理数集，Q b a ∈,，定义映射Q Q f b a →:,，b ax x +→，则d c b a f f ,, 定义为Q 到Q 的映射：))(())((,,,,x f f x f f d c b a d c b a = ，则=)(,,d c b a f f （ ） A ．bd ac f , B.d b c a f ++, C.b ad ac f +, D.cd ab f ,二、填空题：（本大共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在答题卡的相应位置．）(一)必做题(9～13题)2x y =的焦点坐标为.10. 函数322--=x x y 在点)3,2(-M 处的切线方程为. 11．若向量，，满足∥且⊥，则•（+2）=.12．我们知道，任何一个三角形的任意三条边与对应的三个内角满足余弦定理，比如：在ABC ∆中，三条边c b a ,,对应的内角分别为C B A 、、，那么用余弦定理表达边角关系的一种形式为：A bc c b a cos 2222-+=, 请你用规范合理的文字叙述余弦定理（注意，表述中不能出现任何字母）：13．不等式1212->-x x 解集为_______.(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题) 14．（坐标系与参数方程）在极坐标系中，以点)2,2(π为圆心，半径为2的圆的极坐标方程为.EOCA15．如图，⊙O 中的弦CD 与直径AB 相交于点E ，M 为AB 延长线 上一点，MD 为⊙O 的切线，D 为切点，若2AE =，4DE =，3CE =，4DM =，则=OB ________, MB =．三．解答题：（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.（本小题共12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，42=a ，355=S ．（Ⅰ）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （Ⅱ）若数列{}n b 满足na n pb =)0(≠p ，求数列{}n b 的前n 项的和n T ．17.（本小题满分12分）空气质量指数5.2PM (单位:3/g m μ)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这个值越高,就代表空气污染越严重:甲、乙两城市2013年2月份中的15天对空气质量指数5.2PM 进行监测,获得5.2PM 日均浓度指数数据如茎叶图所示:（Ⅰ）根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天 内哪个城市空气质量总体较好?（注：不需说明理由) （Ⅱ）在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率；(Ⅲ) 在乙城市15个监测数据中任取2个, 设X 为空气质 量类别为优或良的天数,求X 的分布列及数学期望. 18.（本小题满分14分）已知函数2()2sin sin()2sin 12f x x x x π=⋅+-+()x ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若0()23x f =，0ππ(, )44x ∈-，求0cos 2x 的值. (Ⅲ) 在锐角ABC ∆中，三条边c b a ,,对应的内角分别为C B A 、、，若2=b ，125π=C ， 且满足22)82(=-πA f ，求ABC ∆的面积。

江苏省盐城中学2013—2014学年度期末考试高二年级数学（理科）试题命题人：蔡广军 盛维清 审核人：徐瑢试卷说明：本场考试时间120分钟，总分150分．一、填空题：（本大题共14小题,每小题5分,计70分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．“若1x >，则2230x x -+>”的逆命题是 ▲ . 2．i 是虚数单位,复数(1)(1)i i -⋅+= ▲ .3．抛物线2x ay =的准线方程为1=y ，则焦点坐标是 ▲ . 4．如果执行右边的程序框图，那么输出的S = ▲ ． 5. 数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，...的第15项是 ▲． 6. 已知平面α的法向量为1(3,2,1)n =，平面β的法向量为2(2,0,1)n =-，若平面α与β所成二面角为θ，则cos θ= ▲ .7．曲线ln y x =上在点(1,0)P 处的切线方程为 ▲ .8．试通过圆与球的类比，由“半径为R 的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为22R ”，猜测关于球的相应命题是“半径为R 的球内接长方体中，以正方体的体积为最大，最大值 为 ▲ ”.9. 长方体1111ABCD A BC D -中，2AB =，1BC =，13DD =，则AC 与1BD 所成角的余弦值 为 ▲ .10. 复数z 满足341(z i i -+=是虚数单位)，则z 的最大值为 ▲ .11. 已知函数24362)(23-++=x ax x x f 在2x =处有极值，则该函数的极小值为 ▲ . 12. 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率是22，过椭圆上一点M 作直线,MA MB 交椭圆于,A B 两点，且斜率存在分别为12,k k ，若点,A B 关于原点对称,则12k k ⋅的值为 ▲ .13. 如图，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两顶点为1A 、2A ，虚轴两端点为1B 、2B ，两焦点为1F 、2F ，若以12A A 为直径的圆内切于 菱形1122F B F B ，切点分别为A 、B 、C 、D ，则双曲线的离心开始k =10S =0?k ≤1是2S S k =+1k k =+否输出S 结束率e ＝ ▲ .14. 已知1a >，若322()23(1)64f x x a x ax a =-++≥-在[0,2]x a ∈上恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：（本大题共6小题，计80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题12分）已知抛物线22y px =(0p >)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4、且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M . (1) 求抛物线方程；(2) 过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求直线MN 的方程．16．（本小题12分）如图，已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，点E 为棱AB 的中点． 求：（1）1D E 与平面1BC D 所成角的正弦值；（2）二面角1D BC C --的余弦值． 17．（本小题13分）已知数列{}n a 的前n 项和2n n S n a =-（*n N ∈）．（1）计算数列{}n a 的前4项； （2）猜想n a 并用数学归纳法证明之．18．（本小题13分）甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x （元）与年产量t （吨）满足函数关系2000x t =．若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s 元（以下称s 为赔付价格）．（1）将乙方的年利润w （元）表示为年产量t （吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量； （2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额20.002y t =（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s 是多少？19．（本小题15分）如图,椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点为1F ,右焦点为2F ,离心率12e =.过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，点A 在x 轴上方，且2ABF ∆的周长为8. （1）求椭圆E 的方程；（2）当1AF 、12F F 、2AF 成等比数列时，求直线AB 的方程；（3）设动直线:l y kx m =+与椭圆E 有且只有一个公共点P ,且与直线4x =相交于点Q .试探究:在坐标平面内是否存在定点M ,使得以PQ 为直径的圆恒过点M ?若存在,求出点M 的坐标；若不存在,说明理由.20．（本小题15分）已知函数()(01)x f x a a a =>≠且．（1）当e a =时，),0()(2R x m mx x g ∈>=， ①求)()()(x g x f x H =的单调增区间；②当[2,4]x ∈-时，讨论曲线)(x f y =与)(x g y =的交点个数．（2）若B A ,是曲线)(x f y =上不同的两点，点C 是弦AB 的中点，过点C 作x 轴的垂线交曲线)(x f y =于点D ，D k 是曲线)(x f y =在点D 处的切线的斜率，试比较D k 与AB k 的大小．盐城中学2013－2014高二年级期末考试数学(理科)答题纸2014、1一、填空题(14×5＝70分)1、若2230x x -+>，则1x >2、23、(0,1)-4、1105、56、70147、10x y --= 8、3839R9、0 10、611、3 12、12-13、512+14、(1,7](,1)-∞-二、解答题（共90分） 15、（12分） 解：（1）24y x =；（2）(1,0)F ，(4,4)A ，(0,4)B ，(0,2)M ，43AF k =，34MN k =-， 所以直线MN 的方程为32(0)4y x -=--， 即3480x y +-=．16、（12分）解：建立坐标系如图， 则(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，(0,2,0)C ，1(2,0,2)A ，1(2,2,2)B1(0,0,2)D (2,1,0)E ，1(222)AC =-- ，，，1(212)D E =- ，，，(020)AB = ，，，1(002)BB = ，，． （1） 不难证明1AC 为平面1BC D 的法向量，111113cos 9AC AB AC D E AC D E ==，， 1D E ∴与平面1BC D 所成的角的余弦值为789； （2）1AC AB ，分别为平面1BC D ，1BC C 的法向量， 1113cos 3AC AB AC AB AC AB ==，， ∴二面角1D BC C --的余弦值为33．17、（13分）解：由112a a =-，11a =，由12222a a a +=⨯-，得232a =， 由123323a a a a ++=⨯-，得374a =，由1234424a a a a a +++=⨯-，得4158a =． 猜想1212n n n a --=．下面用数学归纳法证明猜想正确：（1）1n =时，左边11a =，右边11112121122n n +---===，猜想成立．（2）假设当n k =时，猜想成立，就是1212k k k a --=，此时121222k k k k S k a k --=-=-．则当1n k =+时，由112(1)k k S k a ++=+-， 得1112(1)2k k k S a k a +++-=+-，11[2(1)]2k k a k S +∴=+-11(1)11212112222k k k k k k +-+-⎛⎫--=+--= ⎪⎝⎭．这就是说，当1n k =+时，等式也成立．由（1）（2）可知，1212n n n a --=对n *∈N 均成立．18、（13分）解：（1）因为赔付价格为s 元/吨，所以乙方的实际年利润为2000w t st =-． 由10001000s tw s t t-'=-=， 令0w '=，得201000t t s ⎛⎫== ⎪⎝⎭，当0t t <时，0w '>；当0t t >时，0w '<， 所以0t t =时，w 取得最大值．因此乙方取得最大年利润的年产量0t 为21000s ⎛⎫⎪⎝⎭（吨）； （2）设甲方净收入为v 元，则20.002v st t =-．将21000t s ⎛⎫= ⎪⎝⎭代入上式，得到甲方净收入v 与赔付价格s 之间的函数关系式69410210v s s =-⨯． 又63510(8000)s v s⨯-'=， 令0v '=，得20s =．当20s <时，0v '>；当20s >时，0v '<， 所以20s =时，v 取得最大值．因此甲方应向乙方要求赔付价格20s =（元/吨）时，获最大净收入．19、（15分）解：（1）因为22||||||8AB AF BF ++=, 即1122||||||||8AF F B AF BF +++=而1212||||||||2AF AF FB BF a +=+=,所以482a a =⇒=, 而222111322c e c a b a c a ==⇒==⇒=-= 所求椭圆方程为22143x y += （2） 1AF 、12F F 、2AF 成等比数列，∴124AF AF ⋅= 又124AF AF +=，∴122AF AF ==，12AF F ∆是等边三角形∴直线AB 的倾斜角为233ππ或， ∴直线AB 的方程为330330x y x y -+=++=或(3)由22222(43)84120143y kx mk x kmx m x y=+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩ 222222644(43)(412)0430k m k m k m ∆=-+-=⇒-+=002443,43km k x y k m m ==-=+,43(,)k P m m ∴-,由(4,4)4y kx mQ k m x =+⎧⎪⇒+⎨=⎪⎩设存在1(,0)M x ,则由0MP MQ ⋅= 可得211141612430kx k kx x m m m-+-+++= 2111(44)430kx x x m∴-+-+=,由于对任意,m k 恒成立,所以联立解得11x =. 故存在定点(1,0)M ,符合题意.20、（15分）解：（1）①2()()()x H x f x g x mx e ==，则()(2)0x H x m x e x '=+>得0x >或2x <-，所以)()()(x g x f x H =的单调增区间为(0,),(,2)+∞-∞-．② 当0m >时, 曲线)(x f y =与曲线)(x g y =的公共点个数即方程2x e mx =根的个数． 由2x e mx =得21x x m e =设2()x x h x e =，(2)()xx x h x e -'=， 所以在R 上不间断的函数2()x xh x e=在(,0)-∞上递减，在(0,2)上递境，在(2,)+∞上递减，又因为2244160,(0)0,(2),(4),(2)4m h h h h e e e>===-= 所以当1(2)(2)h h m <≤-时一公共点，解得22144e m e ≤< 当10(4)h m <<或1(2)h m =时两公共点，解得24e m =或416e m >当1(4)(2)h h m ≤<时三公共点，解得24416e e m <≤ （2）设112212(,()),(,())()A xf x B x f x x x <则211221()(),()2AB D f x f x x xk k f x x -+'==-，则1221221ln x x x x AB D a a k k a a x x +--=-⋅-2121122222121[()ln ]x x x x x x a a a x x a x x +--=---- 设2102x x t -=>，()2ln t t L x a a t a -=--，则()ln (2)t t L x a a a -'=+-①当1a >时，1ta >，ln 0a >，则()(ln )(2)0t t L t a a a -'=+->，所以()L t 在(0,)+∞递增，则()(0)0L t L >=，又因为122210x x a x x +>-，所以1221122222121[()ln ]0x x x x x x a a a x x a x x +--⋅--->-，，所以0AB D k k ->；②当01a <<时，01t a <<，ln 0a <则()ln (2)0t t L t a a a -'=+-<，所以()L t 在(0,)+∞递减，则()(0)0L t L <=又因为212210x x ax x +>-，所以2121122222121[()ln ]0x x x x x x aa a x x a x x +-----<-，所以0AB D k k -< 综上：当1a >时AB D k k >；当01a <<时AB D k k <．。

2014-2015学年江苏省盐城市高二（下）期末数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．（5分）（2014•昆山市校级模拟）已知复数z=1+2i（i为虚数单位），则||= ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数的有关概念即可得到结论．解答：解：∵z=1+2i，∴=1﹣2i，则||==，故答案为：点评：本题主要考查复数的有关概念，比较基础．2．（5分）（2015春•盐城期末）命题“∃x∈（﹣∞，0），使得3x＜4x”的否定是∀x∈（﹣∞，0），都有3x≥4x．考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．解答：解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x∈（﹣∞，0），使得3x＜4x”的否定是：∀x∈（﹣∞，0），都有3x≥4x故答案为：∀x∈（﹣∞，0），都有3x≥4x．点评：本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．3．（5分）（2015春•盐城期末）某学校高三有1800名学生，高二有1500名学生，高一有1200名学生，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则应在高一抽取40 人．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．解答：解：由分层抽样的定义得在高一抽取×=40人，故答案为：40点评：本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．4．（5分）（2015春•盐城期末）若在集合{1，2，3，4}和集合{5，6，7}中各随机取一个数相加，则和为奇数的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：求出所有基本事件，两数和为奇数，则两数中一个为奇数一个为偶数，求出满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可．解答：解：从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7}中各取一个数，基本事件共有4×3=12个，∵两数和为奇数，∴两数中一个为奇数一个为偶数，∴故基本事件共有2×1+2×2=6个，∴和为奇数的概率为=．故答案为：．点评：本题考查概率的计算，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键5．（5分）（2014•杜集区校级模拟）如图所示是一个算法的伪代码，输出结果是14 ．考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：根据算法语句的含义，依次计算S值，可得答案．解答：解：由程序语句得程序的流程为：a=2，S=0+2=2；a=2×2=4，S=2+4=6；a=2×4=8，S=8+6=14．故输出S=14．故答案为：14．点评：本题考查了算法语句，读懂语句的含义是关键．6．（5分）（2015春•盐城期末）函数f（x）=x﹣lnx的单调递增区间是（1，+∞）．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：先求函数的定义域，然后求函数f（x）的导数，令导函数大于0求出x的范围与定义域求交集即可．解答：解：∵y=x﹣lnx定义域是{x|x＞0}∵y'=1﹣=当＞0时，x＞1或x＜0（舍）故答案为：（1，+∞）．点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系．属基础题．7．（5分）（2015春•盐城期末）若变量x，y满足约束条件：，则2x+y的最大值为 4 ．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，目标函数的几何意义是直线的纵截距，利用数形结合即可求z的取值范围．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．设z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（1，2），代入目标函数z=2x+y得z=1×2+2=4．即目标函数z=2x+y的最大值为4．故答案为：4点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．8．（5分）（2015春•盐城期末）设双曲线C经过点（2，2），且与﹣x2=1具有相同渐进线，则双曲线C的方程为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线渐近线之间的关系，利用待定系数法即可得到结论．解答：解：与﹣x2=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为﹣x2=m，（m≠0），∵双曲线C经过点（2，2），∴m=﹣3，即双曲线方程为﹣x2=﹣3，即故答案为：．点评：本题主要考查双曲线的性质，利用渐近线之间的关系，利用待定系数法是解决本题的关键，比较基础．9．（5分）（2015春•盐城期末）在△ABC中，若D为BC 的中点，则有，将此结论类比到四面体中，在四面体 A﹣BCD中，若G为△BCD的重心，则可得一个类比结论：．考点：向量在几何中的应用．专题：综合题；推理和证明．分析：“在△ABC中，D为BC的中点，则有，平面可类比到空间就是“△ABC”类比“四面体A﹣BCD”，“中点”类比“重心”，可得结论．解答：解：由“△ABC”类比“四面体A﹣BCD”，“中点”类比“重心”有，由类比可得在四面体A﹣BCD中，G为△BCD的重心，则有．故答案为：．点评：本题考查了从平面类比到空间，属于基本类比推理．利用类比推理可以得到结论、证明类比结论时证明过程与其类比对象的证明过程类似或直接转化为类比对象的结论．10．（5分）（2015•佳木斯一模）已知m＞0，（1+mx）6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，若a1+a2+…+a6=63，则实数m= 1 ．考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：在所给的等式中，令x=0，可得a0=1；令x=1，可得1+a1+a2+…+a6=（1+m）6，即64=（1+m）6，由此求得 m的值．解答：解：∵m＞0，在（1+mx）6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6 中，令x=0，可得a0=1．在（1+mx）6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6 中，令x=1，可得1+a1+a2+…+a6=（1+m）6，∴64=（1+m）6，∴m=1，故答案为：1．点评：本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．12．（5分）（2015春•盐城期末）6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为24 ．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：排列组合．分析：利用“插空法“，先排三个空位，形成4个间隔，然后插入3个同学即可得到答案．解答：解：先排三个空位，形成4个间隔，然后插入3个同学，故有A43=24种故答案为：24．点评：本题考查排列知识的运用，考查乘法原理，先排空座位，再插入是关键．14．（5分）（2015春•盐城期末）若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是7+4．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析： log4（3a+4b）=log2，可得3a+4b=ab，a，b＞0.＞0，解得a＞4．于是a+b=a+=+7，再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵log4（3a+4b）=log2，∴=，∴，∴3a+4b=ab，a，b＞0．∴＞0，解得a＞4．a+b=a+=+7≥7+=，当且仅当a=4+2时取等号．∴a+b的最小值是7+4．故答案为：7+4．点评：本题考查了对数的运算性质、基本不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题．15．（5分）（2015春•盐城期末）中心在原点、焦点在x轴上的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为F1、F2，且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF2为底边的等腰三角形．若|PF2|=10，双曲线离心率的取值范围为（1，2），则椭圆离心率的取值范围是（，1）．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），其离心率为e1，双曲线的方程为﹣=1（m ＞0，n＞0，离心率为e2，|F1F2|=2c，由e1=，e2=∈（1，2），由△PF1F2是以PF2为底边的等腰三角形，结合椭圆与双曲线的定义可求得a=c+5，m=c﹣5，由不等式的解法，从而可求得答案．解答：解：设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），其离心率为e1，双曲线的方程为﹣=1（m＞0，n＞0），|F1F2|=2c，∵有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF2为底边的等腰三角形，|PF2|=10，∴在椭圆中，|PF1|+|PF2|=2a，而|PF1|=|F1F2|=2c，∴|PF2|=2a﹣2c；①同理，在该双曲线中，|PF2|=﹣2m+2c；②由①②可得m=c﹣5，a=c+5．∵e2=∈（1，2），即1＜＜2，∴c＞10，又e1===1﹣，0＜＜由c＞10，可得0＜＜，即有＜e1＜1．故答案为：（，1）．点评：本题考查椭圆与双曲线的简单性质：离心率的范围，考查等价转换的思想与运算能力，考查不等式的解法，属于中档题．16．（5分）（2015春•盐城期末）已知函数f（x）=lnx+ax2+（2﹣2a）x+（a＞0），若存在三个不相等的正实数x1，x2，x3，使得=3成立，则a的取值范围是（，）．考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：若存在三个不相等的正实数x1，x2，x3，使得=3成立，等价为方程f（x）=3x存在三个不相等的实根，构造函数，求函数的导数，研究函数的极值，利用极大值大于0，极小值小于0，即可得到结论．解答：解：若存在三个不相等的正实数x1，x2，x3，使得=3成立，即方程f（x）=3x存在三个不相等的实根，即lnx+ax2+（2﹣2a）x+=3x，lnx+ax2﹣（1+2a）x+=0有三个不相等的实根，设g（x）=lnx+ax2﹣（1+2a）x+，则函数的导数g′（x）=+2ax﹣（1+2a）==，由g′（x）=0得x=1，x=，则g（1）=a﹣1﹣2a+=﹣1﹣a+，g（）=ln+a（）2﹣（1+2a）+=﹣1﹣ln2a．若=1，即a=时，g′（x）=≥0，此时函数g（x）为增函数，不可能有3个根，若＞1，即0＜a＜时，由g′（x）＞0得x＞或0＜x＜1，此时函数递增，由g′（x）＜0得1＜x＜，此时函数递减，则当x=1时函数g（x）取得极大值g（1）=﹣1﹣a+，当x=时函数g（x）取得极小值g（）=﹣1﹣ln2a，此时满足g（1）=﹣1﹣a+＞0且g（）=﹣1﹣ln2a＜0，即，即，则，解得＜a＜．同理若＜1，即a＞时，由g′（x）＞0得x＞1或0＜x＜，此时函数递增，由g′（x）＜0得＜x＜1，此时函数递减，则当x=1时函数g（x）取得极小值g（1）=﹣1﹣a+，当x=时函数g（x）取得极大值g（）=﹣1﹣ln2a，此时满足g（1）=﹣1﹣a+＜0且g（）=﹣1﹣ln2a＞0，即，∵a＞，∴2a＞1，则ln2a＞0，则不等式ln2a＜﹣1不成立，即此时不等式组无解，综上＜a＜．故答案为：点评：本题主要考查导数的综合应用，根据条件转化为方程f（x）=3x存在三个不相等的实根，构造函数，利用导数研究函数的极值是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（14分）（2015春•盐城期末）如图，A，B两点之间有5条网线并联，它们能通过的信息量分别为2、3、3、4、4．现从中随机任取2条网线．（1）设选取的2条网线由A到B通过的信息总量为x，当x≥6时，则保证信息畅通．求线路信息畅通的概率；（2）求选取的2条网线可通过信息总量的数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（1）随机任取2条网线共有10种不同的情况，直接求解概率即可．（2）求出选取的2条网线的概率，利用数学期望求解即可．解答：（理科）解：（1）随机任取2条网线共有10种不同的情况．∵2+4=3+3=6，∴，…2'∵3+4=7，∴，…4'∵4+4=8，∴，…6'∴…8'（2）∵，…10'∴线路通过信息量的数学期望是…13'答：（1）线路信息畅通的概率是；（2）线路通过信息量的数学期望是6.4…14'点评：本题考查离散型随机变量的期望的求法，考查计算能力．19．（14分）（2015春•盐城期末）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，AD=4，M为侧棱PC的中点．（1）求异面直线AM与PD所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：（1）以A为原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz，求出，利用向量的数量积直接求解异面直线AM与PD所成角的余弦值．（2）求出平面BPC的法向量，平面MBD的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角B ﹣PC﹣D的余弦值．解答：（理科）解：（1）如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz，则A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，4，0），P（0，0，2），C（2，4，0），M（1，2，1），…2'∵，∴，∴异面直线AM与PD所成角的余弦值为…7'（2）设平面BPC的法向量为=（x，y，z），∵，并且，∴，令x=1得z=1，y=0，∴平面MBD的一个法向量为=（1，0，1）…9'设平面DPC的法向量为=（a，b，c），∵，并且，∴，令b=1得c=2，a=0，∴平面MBD的一个法向量为=（0，1，2）…11'∴，…13'∴二面角B﹣PC﹣D的余弦值为…14'点评：本题考查空间向量的数量积的应用，二面角以及异面直线所成角的求法，考查转化思想以及计算能力．21．（14分）（2015春•盐城期末）若n为正整数，试比较3•2n﹣1与n2+3的大小，分别取n=1，2，3，4，5加以试验，根据试验结果猜测一个一般性结论，并用数学归纳法证明．考点：数学归纳法．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：通过比较n=1，2，3，4，5时，两个代数式的大小，猜想结论，利用数学归纳法证明即可．解答：（理科）解：当n=1时，3•2n﹣1＜n2+3；当n=2时，3•2n﹣1＜n2+3；当n=3时，3•2n﹣1=n2+3；当n=4时，3•2n﹣1＞n2+3；当n=5时，3•2n﹣1＞n2+3；…5'猜想：当n≥4时，3•2n﹣1＞n2+3…7'证明：当n=4时，3•2n﹣1＞n2+3成立；假设当n=k（k≥4）时，3•2k﹣1＞k2+3成立，则n=k+1时，左式=3•2k=2•3•2k﹣1＞2（k2+3），右式=（k+1）2+3，因为2（k2+3）﹣[（k+1）2+3]=k2﹣2k+2=（k﹣1）2+1＞0，所以，左式＞右式，即当n=k+1时，不等式也成立．综上所述：当n≥4时，3•2n﹣1＞n2+3…14'点评：本题库存数学归纳法的应用，证明步骤的应用，归纳推理，考查计算能力．23．（16分）（2015春•盐城期末）某仓库为了保持内温度，四周墙上装有如图所示的通风设施，该设施的下部是等边三角形ABC，其中AB=2米，上部是半圆，点E为AB的中点，△EMN 是通风窗，（其余部分不通风）MN是可以沿设施的边框上下滑动且保持与AB平行的伸缩杆（MN 和AB不重合）．（1）设MN与C之间的距离为x米，试将△EMN的面积S表示成x的函数S=f（x）；（2）当MN与C之间的距离为多少时，△EMN面积最大？并求出最大值．考点：三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：（1）当M、N分别在AC、BC上时，先求出MN=2，可得△EMN的面积S=f（x）=MN•（x﹣）的解析式．当M、N都在半圆上时，先求得MN=2x•tan30°，可得f（x）=MN•（﹣x）的解析式．（2）对于S=f（x）=MN•（x﹣）=•（x﹣），利用基本不等式可得f（x）求得它的最大值；对于S=f（x）=MN•（﹣x）=x•（﹣x），利用二次函数的性质求得f（x）的最大值，综合可得结论．解答：解：（1）由题意可得半圆的半径等于1，等边三角形ABC的高为，当M、N分别在AC、BC上时，MN=2，＜x＜+1．△EMN的面积S=f（x）=MN•（x﹣）=•（x﹣）．当M、N都在半圆上时，MN=2x•tan30°=x，△EMN的面积S=f（x）=MN•（﹣x）=x•（﹣x）．（2）对于S=f（x）=M N•（x﹣）=•（x﹣），利用基本不等式可得f（x））≤=，当且仅当1﹣=，即x=+时取等号．对于S=f（x）=MN•（﹣x）=x•（﹣x）．利用二次函数的性质可得当x=时，f（x）取得最大值为．综上可得，当x=+时，△EMN的面积S=f（x）取得最大值为．点评：本题主要考查直角三角形中的边角关系，基本不等式、二次函数的性质应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．24．（16分）（2015春•盐城期末）已知点P（x0，y0）为椭圆上的任意一点（长轴的端点除外），F1、F2分别为左、右焦点，其中a，b为常数．（1）若点P在椭圆的短轴端点位置时，△PF1F2为直角三角形，求椭圆的离心率．（2）求证：直线为椭圆在点P处的切线方程；（3）过椭圆的右准线上任意一点R作椭圆的两条切线，切点分别为S、T．请判断直线ST是否经过定点？若经过定点，求出定点坐标，若不经过定点，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）当点P在椭圆的短轴端点位置时，△PF1F2为直角三角形，求出a，c关系式，得到离心率．（2）点P（x0，y0）推出．把（x0，y0）代入切线方程方程得，联列方程组，求解即可．（3）由题可设S（x1，y1）、T（x2，y2）、．得到切线SR的方程为，切线TR的方程为，把分别代入两个方程化简，推出点S（x1，y1）、T（x2，y2）、F2（c，0）三点共线，然后求解定点坐标．解答：解：记．（1）当点P在椭圆的短轴端点位置时，△PF1F2为直角三角形，则有，得．所以，此时椭圆的离心率为…4'（2）点P（x0，y0）在椭圆上，得．把（x0，y0）代入方程，得，所以点P（x0，y0）在直线上，…6'联列方程组，消去y可得，解得x=x0，即方程组只有唯一解．所以，直线为椭圆在点P处的切线方程…10'（3）由题可设S（x1，y1）、T（x2，y2）、．由（2）结论可知，切线SR的方程为①切线TR的方程为②…12'把分别代入方程①、②，可得③和④由③、④两式，消去y3，可得（x1﹣c）y2=（x2﹣c）y1，即有（x1﹣c）（y2﹣0）=（x2﹣c）（y1﹣0），所以，点S（x1，y1）、T（x2，y2）、F2（c，0）三点共线，所以，直线ST经过定点，定点坐标为…16'点评：本题考查椭圆的简单性质，椭圆的切线方程的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．25．（16分）（2015春•盐城期末）设函数（t＞0）．（1）若t=2，求函数f（x）的极大值；（2）若存在x0∈（0，2），使得f（x0）是f（x）在区间[0，2]上的最小值，求实数t的取值范围；（3）若f（x）≤xe x﹣m（e≈2.718）对任意的x∈[0，+∞）恒成立时m的最大值为﹣1，求实数t的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）由t=2，化简函数的解析式，求出函数的导数，利用导数为0，求出极值点，判断单调性如此极大值．（2）求出函数的导数，利用导数为0，求出极值点，通过①当t≥2时，②当1＜t＜2时，③当0＜t＜1时，④当t=1时，分别求解x0∈（0，2）使得f（x0）是f（x）在[0，2]上的最小值．推出t的取值范围．（3）由题意转化条件为对任意的x≥0恒成立，构造函数，通过函数的导数，求出新函数的最小值，然后求解t的取值范围．解答：解：（1）若t=2，则，所以，f′（x）=3x2﹣9x+6，令f′（x）=0，得x=1，2；令f′（x）＜0，得1＜x＜2，所以，f（x）在区间（1，2）内递减，在区间（﹣∞，1），（2，+∞）内递增，得f（x）的极大值为…4'（2）函数．得f′（x）=3x2﹣3（t+1）x+3t=3（x﹣1）（x﹣t），t＞0．令f′（x）=0，得x=1，t；…6'①当t≥2时，可以判定f（x）在区间（0，1）内递增，在区间（1，2）内递减，此时，不存在x0∈（0，2）使得f（x0）是f（x）在[0，2]上的最小值；②当1＜t＜2时，可以判定f（x）在区间（0，1）、（t，2）内递增，在区间（1，t）内递减，欲存在x0∈（0，2）使得f（x0）是f（x）在[0，2]上的最小值，则必须有f（t）≤f（0），即，解得t≥3，不合题意，舍去．③当0＜t＜1时，可以判定f（x）在区间（0，t）、（1，2）内递增，在区间（t，1）内递减，欲存在x0∈（0，2）使得f（x0）是f（x）在[0，2]上的最小值，则必须有f（1）≤f（0），即，解得，所以，．④当t=1时，可以判定f（x）在区间（0，2）内递增，不存在x0∈（0，2）使得f（x0）是f（x）在[0，2]上的最小值．综上所述，得t的取值范围为…10'（3）若f（x）≤xe x﹣m（e为自然对数的底数）对任意的x∈[0，+∞）恒成立，即对任意的x≥0恒成立，…11'令，由于m的最大值为﹣1，所以恒成立…12'由g（0）=1﹣3t≥0可得，当时，，再设，得h′（x）=e x﹣2=0，解得x=ln2．h（x）在区间（0，ln2）内递减，在区间（ln2，+∞）内递增，h（x）的最小值为，可以判定h（ln2）＞0，即g′（x）＞0，所以g（x）在区间[0，+∞）内递增，则有g（x）在区间[0，+∞）内的最小值g（0）=1﹣3t≥0，得．所以，t的取值范围是…16'点评：本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值以及函数的单调性，函数的最值的求法，考查转化思想，分类讨论思想的应用，考查计算能力．。