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2015年江西省 南城一中 南康中学 高安中学 高三联合考试彭泽一中 泰和中学 樟树中学数学试卷（理科）命题：高安中学、泰和中学、分宜中学注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间为120分钟.2、本试卷分试题卷和答题卷，第Ⅰ卷（选择题）的答案应填在答题卷卷首相应的空格内，做在第Ⅰ卷的无效.一．选择题（12×5分=60分）1. 已知集合A ＝{x ||x |≤2，x ∈Z}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪1x ＋1>0，x ∈R ，则A ∩B ＝( ) A ．(－1,2] B ．[0,2] C ．{－1,0,1,2} D ．{0,1,2} 2．若复数i z )54(sin )53(cos -+-=θθ是纯虚数，则tan 4πθ⎛⎫-⎪⎝⎭的值为（ ） A.-7B.17-C.7D.7-或17-3．下列四个命题111:(0,),23xxp x ⎛⎫⎛⎫∃∈+∞< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；21123:(0,1),log log p x x x ∃∈>3121:(0,),log 2xp x x ⎛⎫∀∈+∞> ⎪⎝⎭；41311:(0,),log 32xp x x ⎛⎫∀∈< ⎪⎝⎭其中的真命题是（ ） A.1p ，3p B.1p ,4pC.2p ,4pD.2p ,3p4.如右图，程序框图箭头a 指向①时，输出s= 箭头指向②时,输出s=A.7; 7!B.6; 6!C.7; 7D.6; 65．等比数列{}n a 中，12a =，8a =4，函数()128()()()f x x x a x a x a =---，则=')0(f （ ）A ．62 B ．92 C ．122 D ．1526．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.163 B.803C.643D.4337．将6名报名参加运动会的同学分别安排到跳绳、接力，投篮三项比赛中（假设这些比赛都不设人数上限），每人只参加一项，则共有x 种不同的方案，若每项比赛至少要安排一人时，则共有y 种不同的方案，其中x y +的值为（ ） A ．1269 B ．1206 C ．1719 D ．7568. 设x 、y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤--≥+-0004402y x y x y x ，若目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的最大值为8，）.A. 2B. 2C. 6D. 169、已知P 是ABC ∆所在平面内一点，4530PB PC PA ++=，现将一粒红豆随机撒在ABC ∆内，PBC ∆）ABC D10．S －ABC O 为球O 的直径，OA ⊥,SC OB ⊥，OAB ∆为等边三角形，三棱锥S －ABC O 的表面积为（ ） A. πB. 4πC. 12πD. 18π11．已知椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若BF AF ⊥，设α=∠ABF ，且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,6ππα，则该椭圆离心率e 的取值范围为（ ）A.]13,22[-B.)1,22[C.]23,22[D.]36,33[12.已知R 上的不间断函数()g x 满足：①当0x >时，0)(>'x g 恒成立；②对任意的x R ∈都有()()g x g x =-。
2015-2016学年江西省五市九校联考高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：每小题5分，共60分．1．（5分）复数i3（1+i）2=（）A．2B．﹣2C．2i D．﹣2i2．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x=2a，a∈A}，则集合∁U（A∪B）中元素的个数为（）A．1B．2C．3D．43．（5分）若函数y=f（x）的值域为[，3]，则函数F（x）=f（x﹣1）+的值域是（）A．[，3]B．[2，]C．[，]D．[3，] 4．（5分）某市高三数学抽样考试中，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布图如图2所示，已知130～140分数段的人数为90，90～100分数段的人数为a，则图1所示程序框图的运算结果为（注：n！=1×2×3×…×n，如5！=1×2×3×4×5）（）A．800!B．810!C．811!D．812!5．（5分）f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）在x=1处取最大值，则（）A．f（x﹣1）一定是奇函数B．f（x﹣1）一定是偶函数C．f（x+1）一定是奇函数D．f（x+1）一定是偶函数6．（5分）如图，网格纸上的小正方形边长都为4，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．64﹣πB．64﹣πC．64﹣πD．64﹣16π7．（5分）已知P为△ABC内一点，且满足，记△ABP，△BCP，△ACP的面积依次为S1，S2，S3，则S1：S2：S3等于（）A．1：2：3B．1：4：9C．2：3：1D．3：1：28．（5分）已知函数f（x）=，则“a≤﹣2”是“f（x）在R上单调函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．（5分）若关于x的方程有四个不同的实数解，则k的取值范围为（）A．（0，1）B．C．D．（1，+∞）10．（5分）已知数列{a n}满足a n=n•k n（n∈N*，0＜k＜1）下面说法正确的是（）①当k=时，数列{a n}为递减数列；②当＜k＜1时，数列{a n}不一定有最大项；③当0＜k＜时，数列{a n}为递减数列；④当为正整数时，数列{a n}必有两项相等的最大项．A．①②B．②④C．③④D．②③11．（5分）双曲线C：﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在右支上，且PF1与圆x2+y2=a2相切，切点为PF1的中点，F2到一条渐近线的距离为3，则△F1PF2的面积为（）A．9B．3C．D．112．（5分）定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=3f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=，若x∈[﹣4，﹣2）时，f（x）﹣+≥0恒成立，则实数t的取值范围是（）A．[﹣2，0）∪（0，1）B．[﹣2，0）∪[1，+∞）C．[﹣2，1]D．（﹣∞，﹣2]∪（0，1]二、填空题：每小题5分，共20分．13．（5分）二项式（2﹣）6展开式中含x2项的系数是．14．（5分）设{a n}是公比为q的等比数列，首项a1=，对于n∈N*，b n=loga n，当且仅当n=4时，数列{b n}的前n项和取得最大值，则q的取值范围为．15．（5分）记P（x，y）坐标满足不等式组，则|x+3y﹣5|的取值范围．16．（5分）已知f（x）=在x∈（0，1）上单调递增，则实数a的取值范围是．三、解答题：共70分．请写出必要的文字说明及演算步骤．17．（12分）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且acosB，ccosC，bcosA成等差数列．（1）求角C的值；（2）求2sin2A+cos（A﹣B）的范围．18．（12分）已知：多面体ABCDEF中，四边形ABCD为直角梯形，AB⊥BC，AB=BC=2AD=2，平面BCEF⊥平面ABCD，四边形BCEF为等腰梯形，EF=1，EC ⊥AF，EF∥BC．（1）求：E到平面ABCD的距离；（2）求：二面角A﹣ED﹣C的余弦值．19．（12分）“女大学生就业难”究竟有多难？其难在何处？女生在求职中是否收到了不公平对待？通过对某大学应届毕业生的调查与实证分析试对下列问题提出解答．为调查某地区大学应届毕业生的调查，用简单随机抽样方法从该地区抽取了500为大学生做问卷调查，结果如下：（1）估计该地区大学生中，求职中收到了公平对待的学生的概率；（2）能否有99%的把握认为该地区的大学生求职中受到了不公平对待与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的大学生中，求职中是否受到了不公平对待学生的比例？说明理由．附：K2=20．（12分）在直角三角形ABC中，∠CAB=，AB=2，AC=，DO垂直AB于点O[其中O为原点]，且D（0，2），OA=OB，曲线E过C点，一点P在C上运动，且满足|PA|+|PB|的值不变．（1）求曲线E的方程；（2）过点D的直线L与曲线E相交于不同的两点M，N，且M在NB之间，使=λ，试确定实数λ的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna，（a＞1）．（Ⅰ）求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，求t的值；（Ⅲ）对∀x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1恒成立，求a的取值范围．四、选做题：轻在22、23、24题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．选修：几何证明选讲22．（10分）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AB=10，O为BC上一点，以O 为圆心，OB为半径作半圆与BC边、AB边分别交于点D、E，连结DE．（Ⅰ）若BD=6，求线段DE的长；（Ⅱ）过点E作半圆O的切线，切线与AC相交于点F，证明：AF=EF．极坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0，直线l的参数方程为（t为参数）．直线l与曲线C交于M、N两点．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程．（2）求三角形OMN的面积．选做题24．设函数f（x）=|x+1|+|x﹣4|﹣a．（1）当a=1时，求函数f（x）的最小值；（2）若存在x∈N，使得f（x）≤a2﹣5a，求a的取值范围．2015-2016学年江西省五市九校联考高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，共60分．1．（5分）复数i3（1+i）2=（）A．2B．﹣2C．2i D．﹣2i【解答】解：i3（1+i）2=（﹣i）（2i）=2，故选：A．2．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x=2a，a∈A}，则集合∁U（A∪B）中元素的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：A={1，2}，B={2，4}，A∪B={1，2，4}，∴C U（A∪B）={3，5}，故选：B．3．（5分）若函数y=f（x）的值域为[，3]，则函数F（x）=f（x﹣1）+的值域是（）A．[，3]B．[2，]C．[，]D．[3，]【解答】解：∵y=f（x）的值域为[，3]，∴t=f（x﹣1）∈[，3]，g（t）=F（x）=f（x﹣1）+=在[，1]上为减函数，在[1，3]上为增函数，又g（）=+2=，g（1）=2，g（3）=3+=．∴函数F（x）=f（x﹣1）+的值域是[2，]．故选：B．4．（5分）某市高三数学抽样考试中，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布图如图2所示，已知130～140分数段的人数为90，90～100分数段的人数为a，则图1所示程序框图的运算结果为（注：n！=1×2×3×…×n，如5！=1×2×3×4×5）（）A．800!B．810!C．811!D．812!【解答】解：由频率分布直方图知：130～140分数段的频率=0.05，又频数为90，∴样本容量为=1800，90～100分数段的频率为0.45，∴90～100分数段的人数为a=1800×0.45=810，根据框图的流程知：算法的功能是求S=n！的值，∵跳出循环体的n值为811，∴输出S=810！．故选：B．5．（5分）f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）在x=1处取最大值，则（）A．f（x﹣1）一定是奇函数B．f（x﹣1）一定是偶函数C．f（x+1）一定是奇函数D．f（x+1）一定是偶函数【解答】解：f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）在x=1处取最大值图象左移一个单位，是偶函数，即f（x+1）是偶函数，所以判定A、B、C是错误的．故选：D．6．（5分）如图，网格纸上的小正方形边长都为4，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．64﹣πB．64﹣πC．64﹣πD．64﹣16π【解答】解：由已知得该几何体是一个边长为4的正方体去掉它的内切球的剩余部分，∴该几何体的体积：V==64﹣．故选：A．7．（5分）已知P为△ABC内一点，且满足，记△ABP，△BCP，△ACP的面积依次为S1，S2，S3，则S1：S2：S3等于（）A．1：2：3B．1：4：9C．2：3：1D．3：1：2【解答】解：如图：设D、E 分别为BC、AC的中点，∵=0，∴﹣=﹣3（+），∴=﹣3×2 =﹣6 ，同理由（+）=﹣2（+），即 2 =﹣2×，∴=﹣．∴P到BC的距离等于A到BC的距离的，设△ABC的面积为S，则S2 =S．P到AC的距离等于B到AC的距离的，∴S3 =S．∴S1 =S﹣S2﹣S3 =S．∴S1：S2：S3=S：S=S=3：1：2，故选：D．8．（5分）已知函数f（x）=，则“a≤﹣2”是“f（x）在R上单调函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当x＞1时，f（x）=﹣x﹣3，单调递减；当x≤1时，f（x）=x2+ax=﹣，当，即a≤﹣2时，函数f（x）单调递减．∵f（x）在R上单调函数”，∴﹣1﹣3≤1+a，解得a≥﹣4．∴“a≤﹣2”是“f（x）在R上单调函数”的必要而不充分条件．故选：B．9．（5分）若关于x的方程有四个不同的实数解，则k的取值范围为（）A．（0，1）B．C．D．（1，+∞）【解答】解：要使方程有四个不同的实数解，当x=0时，是方程的1个根，所以只要方程有3个不同的实数解，变形得=，设函数g（x）=，如图所以只要0＜＜4即可，所以k＞；故选：C．10．（5分）已知数列{a n}满足a n=n•k n（n∈N*，0＜k＜1）下面说法正确的是（）①当k=时，数列{a n}为递减数列；②当＜k＜1时，数列{a n}不一定有最大项；③当0＜k＜时，数列{a n}为递减数列；④当为正整数时，数列{a n}必有两项相等的最大项．A．①②B．②④C．③④D．②③【解答】解：①当时，，∵，∴a1=a2，即数列{a n}不是递减数列，∴①错误．②当时，==，∴，例如取k=时，第七项与第八项相等且为最大项，因此数列{a n}可有最大项，因此错误；③当时，==≤1，∴a n＜a n，故数列{a n}+1为递减数列；④==，当为正整数时，1＞．当k=时，a1=a2＞a3＞a4＞…．当时，令，解得k=，则，数列{a n}必有两项相等的最大项．故选：C．11．（5分）双曲线C：﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在右支上，且PF1与圆x2+y2=a2相切，切点为PF1的中点，F2到一条渐近线的距离为3，则△F1PF2的面积为（）A．9B．3C．D．1【解答】解：∵PF1与圆x2+y2=a2相切，切点为PF1的中点，∴∠F1PF2=90°，|PF2|=2a，∴|PF1|=4a，∴4c2=（4a）2+（2a）2，∴∵F2到一条渐近线的距离为3，∴=3，∴b=3，∴c2﹣a2=9，∴a=，∴|PF2|=3，|PF1|=6，∴△F1PF2的面积为|PF2||PF1|=9．故选：A．12．（5分）定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=3f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=，若x∈[﹣4，﹣2）时，f（x）﹣+≥0恒成立，则实数t的取值范围是（）A．[﹣2，0）∪（0，1）B．[﹣2，0）∪[1，+∞）C．[﹣2，1]D．（﹣∞，﹣2]∪（0，1]【解答】解：设x∈[﹣4，﹣2），则x+4∈[0，2），f（x+4）===3f（x+2）=9f（x），即f（x）=，∵f（x）﹣+≥0恒成立，∴当x∈[﹣4，﹣3）时，，即，也就是，解得：t≤﹣2或0＜t≤1；当x∈[﹣3，﹣2）时，，即，也就是，解得：t≤﹣2或0＜t≤1．综上，实数t的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪（0，1]．故选：D．二、填空题：每小题5分，共20分．13．（5分）二项式（2﹣）6展开式中含x2项的系数是﹣192．【解答】解：由题意可得：的展开式的通项为=（﹣1）r26﹣r C6r x3﹣r令3﹣r=2得r=1故展开式中x2项的系数是T2=﹣25C61=﹣192．故答案为：﹣192．14．（5分）设{a n}是公比为q的等比数列，首项a1=，对于n∈N*，b n=loga n，当且仅当n=4时，数列{b n}的前n项和取得最大值，则q的取值范围为（2，4）．【解答】解：因为等比数列的公比为q，首项a1=，﹣b n=log a n+1﹣log a n=log=log q，∴b n+1∴数列{b n}是以log q为公差，以log a1=6为首项的等差数列，∴b n=6+（n﹣1）log q．又当且仅当n=4时前n项和最大，∴log q＜0，且，∴，∴﹣2＜log q＜﹣，即2＜q＜4，故答案为：（2，4）．15．（5分）记P（x，y）坐标满足不等式组，则|x+3y﹣5|的取值范围[0，7] ．【解答】解：由约束条件作差可行域如图，令z=x+3y﹣5，化为，由图可知，当直线分别过A（﹣2，0），B（0，2）时，目标函数z=x+3y ﹣5取得最小值和最大值，分别为：﹣7，1．∴|x+3y﹣5|的取值范围是[0，7]．故答案为：[0，7]．16．（5分）已知f（x）=在x∈（0，1）上单调递增，则实数a的取值范围是[﹣1，] ．【解答】解：；∵f（x）在x∈（0，1）上单调递增；∴f′（x）≥0在x∈（0，1）上恒成立；∴在x∈（0，1）上恒成立；∴ax+1﹣a（x+1）ln（x+1）≥0，即1≥a[（x+1）ln（x+1）﹣x]在x∈（0，1）上恒成立；设g（x）=（x+1）ln（x+1）﹣x，g′（x）=ln（x+1）；∵x∈（0，1）；∴g′（x）＞0；∴g（x）在（0，1）上单调递增；∴g（x）＞g（0）=0；即（x+1）ln（x+1）﹣x＞0；∴在x∈（0，1）上恒成立；g（0）＜g（x）＜g（1）；即0＜（x+1）ln（x+1）﹣x＜2ln2﹣1；∴；∴；∵f（x）＞f（0）；即；∵x∈（0，1），ln（x+1）＞0；∴ax+1＞0在x∈（0，1）上恒成立；即在x∈（0，1）上恒成立；0＜x＜1；∴，；∴a≥﹣1；∴；∴实数a的取值范围为．故答案为：[]．三、解答题：共70分．请写出必要的文字说明及演算步骤．17．（12分）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且acosB，ccosC，bcosA成等差数列．（1）求角C的值；（2）求2sin2A+cos（A﹣B）的范围．【解答】解：（1）∵acosB，ccosC，bcosA成等差数列．∴acosB+bcosA=2ccosC，∴由题意得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，即sinC=2sinCcosC，∴cosC=，∴锐角C=…6分（2）∵C=，∴A+B=，∴2sin2A+cos（A﹣B）=1﹣cos2A+cos（2A﹣）=1﹣cos2A﹣cos2A+sin2A=1+sin（2A﹣），在锐角△ABC中，∵A+C＞，∴＜A＜，则0＜2A﹣＜，则有0＜sin（2A﹣）≤1，即有1＜1+sin（2A﹣）≤1+．则所求取值范围是（1，1+]…12分18．（12分）已知：多面体ABCDEF中，四边形ABCD为直角梯形，AB⊥BC，AB=BC=2AD=2，平面BCEF⊥平面ABCD，四边形BCEF为等腰梯形，EF=1，EC ⊥AF，EF∥BC．（1）求：E到平面ABCD的距离；（2）求：二面角A﹣ED﹣C的余弦值．【解答】解：（1）取EF、BC中点M，O，连结MO，设MO=a，∵ABCD是等腰梯形，∴OM⊥BC，∵平面BCEF⊥平面ABCD，平面ABCD∩平面BCEF=BC，OM⊂平面BCEF，∴OM⊥平面ABCD，分别以OD、OC、OM为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，A（2，﹣1，0），F（0，﹣，a），C（0，1，0），E（0，，a），=（﹣2，，a），=（0，﹣，a），∵EC⊥AF，∴=﹣=0，解得a=（a＞0），∴E到平面ABCD的距离为．（2）由（1）得A（2，﹣1，0），D（2，0，0），C（0，1，0），E（0，，），F（0，﹣，），=（﹣2，，），=（0，1，0），=（0，﹣，），=（2，﹣1，0），设平面ADEF的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，4），设平面CDE的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，2，2），cos＜＞===，∵二面角A﹣ED﹣C的平面角是钝角，∴二面角A﹣ED﹣C的余弦值为﹣．19．（12分）“女大学生就业难”究竟有多难？其难在何处？女生在求职中是否收到了不公平对待？通过对某大学应届毕业生的调查与实证分析试对下列问题提出解答．为调查某地区大学应届毕业生的调查，用简单随机抽样方法从该地区抽取了500为大学生做问卷调查，结果如下：（1）估计该地区大学生中，求职中收到了公平对待的学生的概率；（2）能否有99%的把握认为该地区的大学生求职中受到了不公平对待与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的大学生中，求职中是否受到了不公平对待学生的比例？说明理由． 附：K 2=【解答】解：（1）调查的500位大学生中有70位求职中受到公平对待，因此该地区大学生中，求职中受到公平对待的比例的估算值为=14%．（2）K 2==9.967，由于9.967＞6.635，所以有99%的把握认为该地区的大学生求职中受到了不公平对待与性别有关．（3）由（2）得结论知，该地区的大学生求职中受到了不公平对待与性别有关，并且从样本数据中能看出该地区男性大学生比女性大学生中受到了不公平对待与性别有关有明显差异，因此在调查时，先确定该地区大学生中男、女的比例，再把大学生分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样的方法更好．20．（12分）在直角三角形ABC 中，∠CAB=，AB=2，AC=，DO 垂直AB 于点O [其中O 为原点]，且D （0，2），OA=OB ，曲线E 过C 点，一点P 在C 上运动，且满足|PA |+|PB |的值不变． （1）求曲线E 的方程；（2）过点D的直线L与曲线E相交于不同的两点M，N，且M在NB之间，使=λ，试确定实数λ的取值范围．【解答】解：（1）建立如图所示的直角坐标系，|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=+=2，∴动点P的轨迹是椭圆．a=，b=c=1，∴椭圆E的方程为：=1．（2）直线L与y轴重合时，=．直线Ld的斜率存在时，设直线L的方程为：y=kx+2，代入椭圆的方程可得：（2k2+1）x2+8kx+6=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），△=64k2﹣24（2k2+1）＞0，解得k2．∴x1+x2=，x1x2=．λ==，∴=λ++2，又==，∵k2，∴∈．∴，又0＜λ＜1，∴．综上可得：λ∈．21．（12分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna，（a＞1）．（Ⅰ）求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，求t的值；（Ⅲ）对∀x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1恒成立，求a的取值范围．【解答】（I）证明：求导函数，可得f'（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna，由于a＞1，∴lna＞0，当x＞0时，a x﹣1＞0，∴f'（x）＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．（Ⅱ）解：令f'（x）=2x+（a x﹣1）lna=0，得到x=0，f（x），f'（x）的变化情况如下表：因为函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，所以f（x）=t±1共有三个根，即y=f （x）的图象与两条平行于x轴的直线y=t±1共有三个交点．y=f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，极小值f（0）=1也是最小值，当x→±∞时，f（x）→+∞．∵t﹣1＜t+1，∴f（x）=t+1有两个根，f（x）=t﹣1只有一个根．∴t﹣1=f min（x）=f（0）=1，∴t=2．（9分）（Ⅲ）解：问题等价于f（x）在[﹣1，1]的最大值与最小值之差≤e﹣1．由（Ⅱ）可知f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，∴f（x）的最小值为f（0）=1，最大值等于f（﹣1），f（1）中较大的一个，，f（1）=a+1﹣lna，，记，（x≥1），则（仅在x=1时取等号）∴是增函数，∴当a＞1时，，即f（1）﹣f（﹣1）＞0，∴f（1）＞f（﹣1），于是f（x）的最大值为f（1）=a+1﹣lna，故对∀x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤|f（1）﹣f（0）|=a﹣lna，∴a ﹣lna≤e﹣1，当x≥1时，，∴y=x﹣lnx在[1，+∞）单调递增，∴由a﹣lna≤e﹣1可得a的取值范围是1＜a≤e．四、选做题：轻在22、23、24题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．选修：几何证明选讲22．（10分）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AB=10，O为BC上一点，以O 为圆心，OB为半径作半圆与BC边、AB边分别交于点D、E，连结DE．（Ⅰ）若BD=6，求线段DE的长；（Ⅱ）过点E作半圆O的切线，切线与AC相交于点F，证明：AF=EF．【解答】（Ⅰ）解：∵BD是直径，∴∠DEB=90°，∴==，∵BD=6，∴BE=，在Rt△BDE中，DE==．（5分）（Ⅱ）证明：连结OE，∵EF为切线，∴∠OEF=90°，∴∠AEF+∠OEB=90°，又∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，又∵OE=OB，∴∠OEB=∠B，∴∠AEF=∠A，∴AE=EF．（10分）极坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0，直线l的参数方程为（t为参数）．直线l与曲线C交于M、N两点．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程．（2）求三角形OMN的面积．【解答】解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0，∴ρ2sin2θ=4ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x．∵直线l的参数方程为（t为参数），∴消去参数得直线l的普通方程为x﹣y﹣2=0．（2）联立，消去y，得x2﹣8x+4=0，∵直线l与曲线C交于M、N两点，∴设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=8，x1x2=4，∴|MN|==4，原点O到直线MN的距离d==，∴三角形OMN的面积S==4．选做题24．设函数f（x）=|x+1|+|x﹣4|﹣a．（1）当a=1时，求函数f（x）的最小值；（2）若存在x∈N，使得f（x）≤a2﹣5a，求a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=|x+1|+|x﹣4|﹣1≥|x+1﹣x+4|﹣1=4，故f（x）的最小值是4；（2）由题意得只需f（x）min≤a2﹣5a即可，而f（x）min=|x+1﹣x+4|﹣a=5﹣a，即5﹣a≤a2﹣5a即可，解不等式a2﹣4a﹣5≥0，得：a≤﹣1或a≥5．。
注意事项:1。
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题）两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2。
回答第Ⅰ卷时．选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动.用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效。
3。
回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
4。
考试结束后，将本试卷和答且卡一并交回．第I 卷一。
选择题：本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{|05}A x x =<<，2{|230}B x x x =-->，则AB =R（ ）A 。
(0,3)B. (3,5) C 。
(1,0)- D 。
(0,3]【答案】D考点：集合的运算2．复数1i (0)z a a a a=+∈≠R 且对应的点在复平面内位于（ ）A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限 【答案】B考点:复数的几何意义3．命题“2,x x x ∀∈≠R ”的否定是（）A ．2,x x x ∀∉≠R B ．2,x x x ∀∈=R C ． 2,x x x ∃∉≠R D ．2,x xx ∃∈=R【答案】D考点:命题的否定4．已知函数2()f x x -=，3()tan g x xx =+，那么（ )A. ()()f x g x ⋅是奇函数B. ()()f x g x ⋅是偶函数C.()()f x g x +是奇函数D 。
()()f x g x +是偶函数【答案】A考点：抽象函数的奇偶性5．已知等比数列{}na 中，2109a a=，则57a a +（ ）A. 有最小值6B. 有最大值6 C 。
有最小值6或最大值6- D 。
有最大值6- 【答案】C 【解析】试题分析：由等比数列的性质可得2109a a=957=⇒a a ，此式说明57,a a 是同号的，故625757=≥+aaaa ，故657≥+aa或657-≤+aa考点：等比数列的性质6．下列程序框图中，则输出的A值是( )A．128B．129C．131D．134【答案】C考点：程序框图7．已知函数()sin()f x xωϕ=+(0,2πωϕ><)的部分图像如图所示,则()y f x=的图象可由cos2y x=的图象（)A．向右平移3π个长度单位B．向左平移3π个长度单位C．向右平移6π个长度单位D．向左平移6π个长度单位【答案】A考点：三角函数的图象与性质是开始1,1A i==结束A输出1i i=+31AAA=+10i≤否8．已知抛物线:C 24yx =,那么过抛物线C 的焦点，长度为不超过2015的整数的弦条数是（ ） A ． 4024 B ． 4023 C ．2012D ．2015 【答案】B 【解析】试题分析:由已知可得抛物线的焦点为)0,1(,设过焦点的直线为1+=my x ，联立抛物线方程可得：考点：抛物线及其性质9．学校组织同学参加社会调查，某小组共有5名男同学,4名女同学.现从该小组中选出3位同学分别到,,A B C 三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同安排方法有（ ） A. 70种 B 。
2015 年 高 三 测 试 卷数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．214．13π 15．1316．2212x y -= 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：（Ⅰ）由点,C B 的坐标可以得到34AOC π∠=，23AOB π∠=，…………………2分 所以cos cos()COB AOC AOB ∠=∠+∠1()2222=-⨯--4=-；……6分 （Ⅱ）因为c =23AOB π∠=，所以3C π=，所以2sin sin a b A B ===，………8分所以22sin 2sin()3a b A A π+=+-2sin()6A π=+，2(0)3A π<<，……………………11分 所以当3A π=时，a b +最大，最大值是12分18．解：（Ⅰ）该校运动会开幕日共有13种选择，其中运动会期间至少两天空气质量优良的选择有：1日，2日，3日，5日，9日，10日，12日，所以运动会期间至少两天空气质量优良的概率是2713P =．…………………………………6分（Ⅱ）随机变量ξ所有可能取值有：0,1,2,3；………………………………………………7分(0)P ξ==113，(1)P ξ==613，(2)P ξ==613，(3)P ξ==113，……………………9分所以随机变量ξ的分布列是：随机变量ξ的数学期望是1661012313131313E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=2113．……………………12分 19．（Ⅰ）证明：在梯形ABCD 中，因为2AD DC CB ===，4AB =，4212cos 22CBA -∠==，所以60,ABC ∠=︒由余弦定理求得AC=90ACB ∠=︒即BC⊥又因为平面AEFC ⊥平面ABCD ，所以BC ⊥平面所以BC AG ⊥，………………………………………3分 在矩形AEFC 中，tan 1AE AGE EG ∠==，4AGE π∴∠=tan 1CF CGF GF ∠==，4CGF π∠=，所以2CGF AGE π∠+∠=，即AG CG ⊥，所以AG ⊥平面BCG ；……………………………………………………………………………6分（Ⅱ）FC AC ⊥，平面AEFC ⊥平面ABCD ，所以FC ⊥平面ABCD ， 以点C 为原点，,,CA CB CF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则)(0,0,0),(0,2,0),1,0)C A B D-,G ，…………………………8分平面BCG 的法向量(3,0,GA =，设平面GCD 的法向量(,,)n x y z =，则0n CG n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，从而00x z y +=⎧⎪-=，令1x =则(1,3,1)n =-，…………………………………………………………………………10分 所以cos ,n GA <>==，…………………………………………………11分 而二面角D —GCB 为钝角， 故所求二面角的余弦值为．………………………………………………………………12分 20．解：（Ⅰ）当l 垂直于OD 时||AB 最小，因为||OD =2r ==，…………………………………2分因为圆1C 222:(0)x y r r +=>的一条直径是椭圆2C 的长轴，所以2a =，又点D 在椭圆22222:1(0)x y C a b a b +=>>上，所以291414b b+=⇒=， 所以圆1C 的方程为224x y +=，椭圆2C 的方程为22143x y +=；………………………5分 （Ⅱ）椭圆2C 的右焦点F 的坐标是(1,0)，当直线m 垂直于x 轴时，||PQ = ||4MN =，四边形PMQN 的面积S =当直线m 垂直于y 轴时，||4PQ =，||3MN =，四边形PMQN 的面积6S =，…………6分……………………10分当直线m 不垂直于坐标轴时，设n 的方程为(1)y k x =-(0)k ≠，此时直线m 的方程为1(1)y x k=--， 圆心O 到直线m的距离为：d =，所以||PQ ==，…………8分 将直线n 的方程代入椭圆2C 的方程得到：()22224384120k x k x k +-+-=，||MN =所以：四边形PMQN 的面积1||||2S PQ MN =⋅===∈，综上：四边形PMQN的面积的取值范围是．…………………………………………12分21．解：（Ⅰ）21221'()22x ax f x x a x x-+=+-=(0)x >，记2()221g x x ax =-+………1分 （一）当0a ≤时，因为0x >，所以()10g x >>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；……2分（二）当0a <≤时，因为24(2)0a =-≤△，所以()0g x ≥，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；…………………………………………………………………………………………………3分（三）当a >0()0x g x >⎧⎨>，解得x∈，所以函数()f x 在区间上单调递减，在区间(0,),()2a a +∞上单调递增．…………………………5分（Ⅱ）由（1）知道当(1a ∈时，函数()f x 在区间(0,1]上单调递增， 所以(0,1]x ∈时，函数()f x的最大值是(1)22f a =-，对任意的a ∈，都存在0(0,1]x ∈使得不等式20()ln()f x a m a a +>-成立，等价于对任意的(1a ∈，不等式222ln ()a a m a a -+>-都成立，……………………………………6分即对任意的(1a ∈，不等式2ln (2)20a ma m a +-++>都成立， 记2()ln (2)2h a ama m a =+-++，则(1)0h =，1(21)(1)'()2(2)a ma h a ma m a a --=+-+=，因为(1a ∈，所以210a a->， 当1m ≥时，对任意(1a ∈，10ma ->，所以'()0h a >，即()h a 在区间上单调递增，()(1)0h a h >=成立；…………………………………………………………………………9分 当1m <时，存在0(1a ∈使得当0(1,)a a ∈时，10ma -<，'()0h a <，()h a 单调递减，从而()(1)0h a h <=，所以(1a ∈时，()0h a >不能恒成立．综上：实数m 的取值范围是[1,)+∞．……………………………………………………………12分 22．解：AF 是圆的切线，且18,15AF BC ==，∴由切割线定理得到2218(15)12AF FB FC FB FB FB =⋅⇒=⋅+⇒=，…………………3分 ,AB AD ABD ADB =∴∠=∠，则,//FAB ABD AF BD ∠=∠∴，…………………………………………………………………6分 又//AD FC ，∴四边形ADBF 为平行四边形．12,,18AD FB ACF ADB F ACAF ==∠=∠=∠∴==，//,18AE ADAD FC AE BC∴=-，解得8AE =。
江西省重点中学协作体2015届高三第二次联考数学（理）答案一、选择题：1-5: C D DAB 6-10：BACDC 11-12: DA 二、填空题：13．160- 14．2- 15. π5 16. 6 三、解答题：17.解：由题意可得1)62sin(2)(+-=πx x f（1）226222πππππ+≤-≤-k x k所以增区间为： ]3,6[ππππ+-k k Z k ∈.………………………………………6分（2）由511)122(=+πA f 得53sin =A ；………………………………………7分1323)32(=+πB f 得1312sin ,135cos ==B B ；………………………………………8分 由于，＜simB simA 131253==则54,=ℑ⇒∠A CO b a ……………………………10分所以6563)sin(sin =+=B A C .……………………………………………………12分 18.解：（1）取AC 中点O ，连结BO PO ,， PC PA =，BC AB =，∴AC OB AC OP ⊥⊥,，又 平面⊥APC 平面ABC ，∴ABC OP 面⊥………2分，OB OP ⊥，∴222PB OB OP =+，即1641622=-+-OC OC ，得2=OC ，则14,2,2===OP OB OA ，22=AC ，………4分∴22222121=⋅⋅=⋅⋅=∆OB AC S ABC . ∴31421423131=⋅⋅=⋅⋅=∆-OP S V ABC ABC P .……………………6分 （2）方法一 ：分别以OP OC OB 、、为z y x 、、得)14,0,0(),0,2,0(),0,0,2(),0,2,0(),0,0,0(P C B A O -，………8分∴)0,2,2(-=，)14,0,2(-=，设平面PBC 的法向量),,(z y x =.由0,0=⋅=⋅得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-0142022z x y x ，取1=z ，得)1,7,7(=.10分)0,2,2(=AB ，∴15210152142||||,cos ==⋅>=<n AB n AB . 故直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值为15210.……………………12分 方法二 ：设点A 到平面PBC 的距离为d ，作H BC BC PH 于点交⊥， 则15142222=-=-=HC PC PH ，151522121=⨯⨯=⋅=∆PH BC S PBC ∴151423142153131=⇒=⋅⋅=⋅⋅⇒=∆--d d d S V V PBC PBC A ABC P ∴直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值为15210152142==AB d . 19.解：(1)4086531811325==C C C P …………………………5分 (2)X 可能的取值为0、1、2、3408143)0(318313===C C X P 408195)1(31821315===C C C X P 40865)2(31811325===C C C X P 4085)3(31835===C C X P………10分65=EX ……………………………………………………12分20.解：(1)连接QF ，∵|QE |＋|QF |=|QE |＋|QP |=|PE |=4>|EF |=32， ∴动点Q 的轨迹是以)0,3(-E 、)0,3(F 为焦点，长轴长42=a 的椭圆，即动点Q 的轨迹方程为:1422=+y x ；…………………4分(2)依题结合图形知直线l 的斜率不为零，所以设直线l 的方程为n my x +=(R m ∈)． ∵直线l 即0=--n my x 与圆O :122=+y x 相切，∴11||2=+m n 得122+=m n ．(5分) 又∵点B A ,的坐标),(),,(2211y x y x 满足：⎩⎨⎧=-++=04422y x n my x ， 消去x 整理得042)4(222=-+++n mny y m ，由韦达定理得42221+-=+m mny y ，442221+-=m n y y ．…………………6分又 ||1||212y y m AB -⋅+=，点O 到直线l 的距离11||2=+=mn d ，∴||||21||121||2121212y y n y y m AB d S AOB -⋅=-⋅+⋅=⋅=∆ 222222)4(132)4(32++⋅=+⋅=m m m n………8分∵21212121))((y y n my n my y y x x OB OA +++=+=⋅=λ414445)()1(22222221212++=+--=++++=m m m m n n y y mn y y m ． ∵3221≤≤λ，令12+=m t ，则]6,3[]32,21[3∈⇒∈+=t t t λ ∴69326932)3(32)4(13222222++=++⋅=+⋅=++⋅=∆tt tt t t t m m S AOB，…………………10分 ∵]121,272[691]227,12[69]227,12[69]215,6[9∈++⇒∈++⇒∈++⇒∈+tt t t t t t t ∴]1,322[∈∆AOB S ，∴AOB S ∆的取值范围为：]1,322[.…………………12分21.解：(1)x ae x f -=1)('，由题意知01)0('=-=a f 1=∴a .…………3分(2)由题意知：11x ae x = ① 22x ae x = ② 不妨设21x x <①-②得 )(2121x x e ea x x -=- 2121x x ee x x a --=∴ ③ …………5分 又)(2121x x e ea x x +=+，欲证221>+x x 只需证2)(21>+x x e e a ④联立③④得2))((212121>--+x x x x e e x x e e…………7分 即21))(1(212121>--+--x x x x e x x e ，令21x x t -= （0<t ） 则上式等价于21)1(>-+tt e te ，即02)2(>++-t t e t ⑤…………9分 令2)2()(++-=t t e t tϕ （0<t ） 1)1()('+-=t e t t ϕ，0)(''<=t te t ϕ )('t ϕ∴在)0,(-∞上单调递减，从而0)0(')('=>ϕϕt )(t ϕ∴在)0,(-∞上单调递增，从而0)0()(=<ϕϕt即⑤式成立，221>+∴x x ……………………………………………………12分 22.解：(1)证明：连接OA ， OB OA =，∴OBA OAB ∠=∠. PA 与圆O 相切于点A ，∴ 90=∠OAP . ∴OAB PAC ∠-=∠ 90. OP OB ⊥， ∴OBA BCO ∠-=∠ 90. ∴PAC BCO ∠=∠.又PCABCO ∠=∠，∴PCA PAC ∠=∠.∴PC PA =.…………………5分(2)假设PO 与圆O 相交于点M ，延长PO 交圆O 于点N .PA 与圆O 相切于点A ，PMN 是圆O 的割线， ∴)()(2ON PO OM PO PN PM PA +⋅-=⋅=．5=PO ，3==ON OM ，∴16)35()35(2=+⨯-=PA . ∴4=PA .∴由(1)知4==PA PC . ∴1=OC .在OAP Rt ∆中，53cos ==∠OP OA AOP . NC ABPMO∴5325313219cos 2222=⨯⨯⨯-+=∠⋅⋅⋅-+=AOP OC OA OC OA AC . ∴5104532==AC .…………………10分 23.解：(1)由θρcos 10=得01022=-+x y x ，即25)5(22=+-y x .…………4分(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得25)226()223(22=++--t t . 即020292=++t t ，…………6分由于082204)29(2>=⨯-=∆，可设21,t t 是上述方程的两个实根.所以⎩⎨⎧=⋅-=+20292121t t t t ，又直线l 过点)6,2(P ，可得：29)()()(||||||||212121=+-=-+-=+=+t t t t t t PB PA .…………10分 24．解：(1)原不等式等价于即不等式的解集为}21|{≤≤-x x …………………5分 (2)4|)32()12(||32||12|=--+≥-++x x x x4|1|>-∴a 3a ∴<-或5a > …………………10分。
九江市2015年第三次高考模拟统一考试数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C D A C B B A B D B D6.解：命题错误！未找到引用源。
成立，则错误！未找到引用源。
，即错误！未找到引用源。
.错误！未找到引用源。
成立，则错误！未找到引用源。
.命题错误！未找到引用源。
成立，则错误！未找到引用源。
，即错误！未找到引用源。
，故选B.7.解：错误！未找到引用源。
，故选B.8.解：当错误！未找到引用源。
时，错误！未找到引用源。
，即错误！未找到引用源。
，解得错误！未找到引用源。
当错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
时，错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，两式相减得错误！未找到引用源。
故数列错误！未找到引用源。
从第二项起是首项为2，公差为2的等差数列， 错误！未找到引用源。
，故选 A. 9.解:建立如图直角坐标系，设错误！未找到引用源。
，依题意得错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
，故选B.10.解：不等式组错误！未找到引用源。
所表示的平面区域为错误！未找到引用源。
及其内部， 其中错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
,错误！未找到引用源。
，且点错误！未找到引用源。
,错误！未找到引用源。
,错误！未找到引用源。
均在圆错误！未找到引用源。
的内部，故要使得错误！未找到引用源。
最小，则错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
，故选D.11. 解：设错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
，解得错误！未找到引用源。
，故选B.12. 解：令错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，画出两函数的图像 当错误！未找到引用源。
江西省八所重点中学2015届高三联考数学（理科）试卷参考答案13 . 0 14. 13516 . 3142015-17.解：（1）Θ2)(=x f ∴22πππ+=k x 12+=k x Z k ∈ ……（3分）又Θ0>x ∴12-=n a n )(*∈N n ……（6分）（2）Θ211+=n n a b 2)12(1+=n )(*∈N n ……（7分） 2)12(1+=n b n 14412++=n n n n 4412+<)111(41+-=n n ……（10分）∴<+⋅⋅⋅+=n n b b T 13121211(41-+-=)111+-⋅⋅⋅+n n 41)1(4141<+-=n ∴41<n T得证 ……（12分） 18.解：（1）证明：因为AD ⊥侧面PAB ，PE ⊂平面PAB ，所以AD PE ⊥．…………2分又因为△PAB 是等边三角形，E 是线段AB 的中点，所以PE AB ⊥． 因为AD AB A =I ，所以PE ⊥平面ABCD ．……4分 而CD ⊂平面ABCD ，所以PE CD ⊥．………5分（2）以E 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -．则(0,0,0)E ，(1,1,0)C -，(2,1,0)D ，P ．(2,1,0)ED =u u u r ，EP =u u u r ，(1,1,PC =-u u u r．设(,,)x y z =n 为平面PDE 的法向量．由0,0.ED EP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rn n 即20,0.x y +=⎧⎪= 令1x =，可得(1,2,0)=-n ．……9分 设PC 与平面PDE 所成的角为θ．||3sin cos ,5||||PC PC PC θ⋅=<>==u u u ru u u r u u u r n n n ． 所以PC 与平面PDE 所成角的正弦值为35． ……12分 19.解：（1）944A =216 ……5分（2） p(ξ=1) =91, p(ξ=2) =97p(ξ=3) =91……9分因此，ξ的分布列如下：∴E ξ =2 ……12分20．解：（1）13422=+y x ………5分 (2)设PA,PB的斜率分别为21,k k ,),(00y x p ，则4321-=k k ………7分 则PA:)2(1+=x k y ，则)6,4(1k MPB: )2(2-=x k y ,则)2,4(2k N 又11236k k k EM -=-=，322k k EN -=1-=EN EM k k ………10分设圆过定点F(m,o),则1424621-=--mk m k ，则m=1或m=7(舍)故过点E 、M 、N 三点的圆是以MN 为直径的圆过点F （1,0）………12分解：21.解：（1）x a x x f 2cos22)(ππ++=' )1,0(∈x依题意0)(≥'x f 恒成立，a x x -≥+2cos22ππ令=)(x g x x 2cos22ππ+)1,0(∈xx x g 2sin42)(2ππ-=' Θ)(x g '在)1,0(∈x 单调递减，且0)0(>'g ，0)1(<'g ∴)(x g '在区间)1,0(∈x 上存在唯一零点0x ………3分∴)(x g 在),0(ξ上单调递增，在)1,(ξ上单调递减。
江西省景德镇市2015届高三第二次质检数学(理) 试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 设集合{}11A x x =-≤，{}211B x x =-≤，则A B =A ．[B ．[C ．D ．[2]2．设z 是复数，()a z 表示满足1nz =的最小正整数n ，则对虚数单位，()a i = A.2 B. 4 C.6 D.83．4名考生在三道选做题中任选一道进行做答，则这三道题都有人选做的概率为A ．49B ．827C ．29 D ． 4274．设n S 为公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，若983S a =，则1553S a = A. 15B. 17C. 19D. 215．已知tan()1αβ+=，1tan()33πα-=，则tan()3πβ+的值为( ) A ．23B ．12C ．34 D ．456．执行以下程序框图，所得的结果为（ ） A ．1067 B ．2100C ．2101D ． 41607．已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A ．8π3 B ．10π3C ．3πD ．6π8．已知实数,x y 满足010240y y x y x ≥⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，若z y ax =-(0)a ≠取得的最优解(,)x y 有无数个，则a 的值为( )A ．2B ．C ．或2D ．1-9．已知抛物线214y x =的焦点为F ，定点(1,2)M ，点A 为抛物线上的动点，则AF AM +的最小值为( )A ．32B ．52C ．3D ．510．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（ ）A.B.C.D. 11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>两个焦点为分别为12(1,0),(1,0)F F -，过点2F 的直线与该双曲线的右支交于,M N 两点，且1F MN ∆是以N 为直角顶点的等腰直角三角形，则2a 为( )ABCD12．已知函数()1()ln f x g x x -==，对于任意12m ≤，都存在(0,+)n ∈∞，使得()()f m g n =，则n m -的最小值为（ ）A ．12e -B ．C ．38- D ．34第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，第小题5分，共20分． 13．51(1)(2)x x x++的展开式中的常数项为 ．14．已知向量,a b 满足()()26+--a b a b =，且1,2==a b ，则a 与b 的夹角为 .15． 若△ABC 的内角，满足sin ,sin ,sin A C B 成等差数列，则cos C 的最小值是_ _____． 16．已知函数()(2)(-5)f x x x ax =++2的图象关于点(-2,0)中心对称，设关于x 的不等式()()f x m f x +<的解集为A ，若(5,2)A --⊆，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，且ABC∆的面积cos S B =． （1）求角B 的大小; （2）若2a =，且43A ππ≤≤，求边c 的取值范围．18．（本小题满分12分）某电视台有一档综艺节目，其中有一个抢答环节，有甲、乙两位选手进行抢答，规则如下：若选手抢到答题权，答对得20分，答错或不答则送给对手10分．已知甲每次抢到答题权的概率为23，且答对的概率为13，乙抢到答题权的概率为13，且答对的概率为23． （1）在一轮抢答中，甲得到0分的概率;（2）若比赛进行两轮，求甲得分的分布列及其期望．19．（本小题满分12分）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，12AA AD AB ===，160A AD DAB ∠=∠=︒,O 是AD 的中点．（1）证明：AD ⊥面1AOB ; （2）若1A B AB =，求直线1AC 与平面11BB D D 所成角的正弦值． 20．（本小题满分12分）已知椭圆C：2221(03x y b b+=<<，其通径(过焦点且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段)长433． （1）求椭圆C 的方程；（2）设过椭圆C 右焦点的直线（不与x 轴重合）与椭圆交于,A B 两点，问在x轴上是否1A存在一点(,0)M m ，使MA MB ⋅为常数？若存在，求点M 的坐标，若不存在，说明理由． 21．（本小题满分12分）已知函数2()(0,,1ax bf x a a b x +=>+为常数）的所有极值之和为零； （1）求b 及()f x 的极大值点；（2）若()f x 的极大值为,对任意0x >，22()2ln f x m x≤+恒成立，求实数m 的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 已知Rt ABC ∆(90A ∠=︒)的外接圆为圆O ，过A 的切线AM 交BC 于点M ，过M 作直线交,AB AC 于点,D E ，且AD AE =（1）求证：MD 平分角AMB ∠；（2）已知AB AM =，求MCMA的值．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线L 的参数方程为1212x ty t =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，设直线L 与曲线C 交于两点,A B （1）求AB ；（2）设P 为曲线C 上的一点，当ABP ∆的面积取最大值时，求点P 的坐标．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲（1）已知14,23m n ≤≤-<<，求,m n mn +的取值范围；（2）若对任意x R ∈，2212x x a x x ++->-+恒成立，求a 的取值范围．景德镇市2015届高三第二次质检试题数 学(理)答案一 选择题 DBAAB C CCCA DB 二 填空题 13 40 143π151216 33m m ≤-=或B17.解：（1）、31cos sin 2S ac B ac B== tan 3B B π∴=∴= （2）2,3a B π==22sin()2sin 3,11sin sin sin sin A a c Cc A C AA π-∴=∴===+=+,2143A c ππ≤≤∴≤≤18 . 解：（1）P=2212233333⨯+⨯=（2）设甲得分为X ，X 的可能取值为0，10，20，30，40P （X=0）=224339⨯= P （X=10）=1122412112999981C C ⋅⋅+⋅⋅= P （X=20）=11224222112599999981C C ⋅⋅+⋅⋅+⋅= P （X=30）=122149981C ⋅=P （X=40）=2249981⋅= 100()9E x =19 .（1）证明:由AD 的中点O ， 由11160AA ADAO AD A AD =⎫⇒⊥⎬∠=︒⎭同理BO AD ⊥ AO ⇒⊥平面1A BO ．（2）11A O A A AB ==,BO AB = 11A B ∴== 1A BO ∴∆为直角三角形，1AO BO ⊥ 以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，1OA 为z 轴，建立坐标系，不妨设12AB AA AD===，则(1,0,0)A，B ，1A ，(1,0,0)D -由11(DDAA D =⇒- (BC AD C=⇒-，1(AC ∴=- 设(,,)n x y z =为平面11BB D D 的法向量x1可求得(3,1,1)n =- 12sin cos 5AC n AC n θα∙==∙ 20 （1）22132x y +=（2）存在，4(,0)3M ，当直线与x 轴不垂直时，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线的方程为：(1)y k x =-代入22132x y +=得2222(23)6360k x k x k +-+-=22121222636,2323k k x x x x k k -+==++ 11221212(,)(,)()()MA MB x m y x m y x m x m y y =-⋅-=--+⋅ 2121222221212()()(1)(1)(1)()()x m x m k x x k x x m k x x m k=--+--=+-++++22222222366(1)()2323k k k m k m k k k -=+-+++++ 2222(361)2623m m k m k --+-=+ 当223612632m m m ---=时，即43m=，119MAMB =-⋅当直线与x 轴垂直时，(1,A B ，4(,0)3M1(3MA =-，1(,3MB =- 119MA MB =-⋅，21 （1）2222222()20440(1)ax bx af x ax bx a b a x --+'=--+=∆=+>+方程中1212122()0,,1bf x x x x x x x a'∴=+=-=-有两个解 12,x x 是()f x 的两个极值点21212121212121222221212()()[()2]2()()11(1)(1)ax b ax b ax x x x a x x b x x x x bf x f x x x x x +++++++-++=+=++++2222124(4)0(1)(1)b b a x x +==++ 0b ∴= 222(1)()(1)a x f x x -'=+ (,1)()0,(1,1)()0,(1,)()0x f x x f x x f x '''∈-∞-<∈->∈+∞<时时时 ()f x ∴的极大值点为1.（2）(1)1,2f a ==得 对任意0x >，22()2ln f x m x≤+恒成立即对任意0x >，22112ln x x m x ≤++恒成立 201xx >+ 22ln 0m x ∴+>对0x >恒成立 故0m ≥212ln 0x m x x+--≥任意0x >恒成立令21()2ln (0)g x x m x x x =+--> 212ln ()1m xg x x x'=--322(1ln )[()]mx x g x x--''= 令()22(1ln )(0)h x mx x x =--> ()2ln h x m x '=(0,1)()0,()x h x h x '∈<时递减，(1,)()0,()x h x h x '∈+∞>时递增()(1)2(1)h x h m ∴≥=-1()0[()]0()m h x g x g x '''≤≥>时,递增(0,1)()(1)0x g x g ''∈<=时，()g x 递减；(1,)()(1)0x g x g ''∈+∞>=时，()g x 递增()(1)0g x g ∴≥= 满足条件 1m >时，存在0(1,)x ∈+∞，使0()0h x =当0(1,)x x ∈时，0()()0,[()]0h x h x g x ''<=< ()g x '∴递减，()(1)0g x g ''<= ()g x ∴递减，()(1)0g x g <= 此时()0g x ≥不恒成立 故m 的取值范围是[0,1] 22 证明：(1)由AD AE = 得ADE AED ∠=∠，ADE ABM BMD ∠=∠+∠ AED EAM AME ∠=∠+∠AM 是切线，EAM ABM ∴∠=∠ BMD AMD ∠=∠ ∴MD 平分角AMB ∠(2)由AB AM =，得ABM AMC MAC ∠=∠=∠由90ABC ACB ∠+∠=︒ 即90ABC AMB MAC ∠+∠+∠=︒30ABC ∴∠=︒，由MC ACAMC BMA MA AB∆~∆⇒=得tan AC ABC AB ∠==B23 （1）由已知可得直线的方程为22x y += 曲线C 的方程为2214x y +=由222214x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩⇒(2,0)A ，(0,1)B（2）设(2cos ,sin )P θθd 当sin()14πθ+=-即34πθ=时d 最大，(P ∴24 答案：（1）17,812m n mn -<+<-<< （2）2a <。
江西省2015届高三上学期9月段考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合M={（x，y）|y=x2}，N={y|x2+y2=2}，则M∩N=（）A．{（1，1），（﹣1，1）} B．∅C． D．2．（5分）已知命题p：∀x∈R，2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q3．（5分）对数函数f（x）=ln|x﹣a|在区间上恒有意义，则a的取值范围是（）A．B．（﹣∞，﹣1]∪}，B={x|{x+m2≥1}若A⊆B，则实数m的取值范围是：．13．（5分）设a=log23，b=log46，c=log89，则a，b，c的大小关系是：．14．（5分）对于以下说法：（1）命题“已知x，y∈R”，若x≠2或y≠3，则“x+y≠5”是真命题；（2）设f（x）的导函数为f′（x），若f′（x0）=0，则x0是函数f（x）的极值点；（3）对于函数f（x），g（x），f（x）≥g（x）恒成立的一个充分不必要的条件是f（x）min≥g （x）max；（4）若定义域为R的函数y=f（x），满足f（x）+f（4﹣x）=2，则其图象关于点（2，1）对称．其中正确的说法序号是．15．（5分）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，有同学发现：若f（x）的导函数图象的对称轴是直线：x=x0，则函数f（x）图象的对称中心是点（x0，f（x0））．根据这一发现，对于函数g（x）=x3﹣3x2+3x+1+asin（x﹣1）（a∈R且a为常数），则g（﹣2012）+g（﹣2010）+g（﹣2008）+g（﹣2006）+…+g+g的值为．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤. 16．（12分）已知函数f（x）=22x﹣2x+1+1．（1）求f（log218+2log6）；（2）若x∈，求函数f（x）的值域．17．（12分）已知集合A={x∈R|0＜ax+1≤5}，B={x∈R|﹣＜x≤2}．（1）A，B能否相等？若能，求出实数a的值，若不能，试说明理由？（2）若命题p：x∈A，命题q：x∈B且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）=x2+ax，g（x）=bx3+x．（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点C（1，m）处具有公共切线，求实数m 的值；（2）当b=，a=﹣4时，求函数F（x）=f（x）+g（x）在区间上的最大值．19．（12分）已知函数f（x）=x2﹣ax﹣lnx（x∈R）．（1）若函数f（x）在区间使h（x1）＞g（x2）成立，求实数m的取值范围；（2）若f（x）在江西省2015届高三上学期9月段考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合M={（x，y）|y=x2}，N={y|x2+y2=2}，则M∩N=（）A．{（1，1），（﹣1，1）} B．∅C． D．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：集合M为点集，集合N为单元素集合，即可确定出两集合没有公共元素．解答：解：∵M={（x，y）|y=x2}，N={y|x2+y2=2}，∴M∩N=∅．故选：B．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）已知命题p：∀x∈R，2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q考点：复合命题的真假．专题：阅读型；简易逻辑．分析：举反例说明命题p为假命题，则￢p为真命题．引入辅助函数f（x）=x3+x2﹣1，由函数零点的存在性定理得到该函数有零点，从而得到命题q为真命题，由复合命题的真假得到答案．解答：解：因为x=﹣1时，2﹣1＞3﹣1，所以命题p：∀x∈R，2x＜3x为假命题，则￢p为真命题．令f（x）=x3+x2﹣1，因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0．所以函数f（x）=x3+x2﹣1在（0，1）上存在零点，即命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2为真命题．则￢p∧q为真命题．故选B．点评：本题考查了复合命题的真假，考查了指数函数的性质及函数零点的判断方法，解答的关键是熟记复合命题的真值表，是基础题．3．（5分）对数函数f（x）=ln|x﹣a|在区间上恒有意义，则a的取值范围是（）A．B．（﹣∞，﹣1]∪上，|x﹣a|＞0恒成立．即在上|x﹣a|≠0即可．故选C．解答：解：根据对数函数的性质，可知f（x）=ln|x﹣a|在区间上恒有意义，则在区间上，|x﹣a|＞0恒成立．即在上|x﹣a|≠0即可，所以a＞1或a＜﹣1．故选C．点评：本题主要考查对数函数的性质以及绝对数函数的意义，要求熟练掌握相关函数的性质．4．（5分）已知f（x）=，则f（3）=（）A．B．﹣C．﹣1 D．3考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：利用分段函数的性质求解．解答：解：∵f（x）=，∴f（3）=f（3﹣2）+1=f（1）+1=f（1﹣2）+1+1=f（﹣1）+2=﹣sin（﹣）+2=3．故选：D．点评：本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用．5．（5分）已知幂函数y=（m2﹣m﹣1）x在区间x∈（0，+∞）上为减函数，则m的值为（）A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．﹣2或1考点：幂函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由于幂函数y=（m2﹣m﹣1）x在区间x∈（0，+∞）上为减函数，可得m2﹣m﹣1=1，m2﹣2m﹣3＜0．解出即可．解答：解：∵幂函数y=（m2﹣m﹣1）x在区间x∈（0，+∞）上为减函数，∴m2﹣m﹣1=1，m2﹣2m﹣3＜0．∴m=2．故选：A．点评：本题考查了幂函数的定义及其单调性，属于基础题．6．（5分）已知函数f（x）在R上递增，若f（2﹣x）＞f（x2），则实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣1，2）D．（﹣2，1）考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得可得2﹣x＞x2 ，即x2+x﹣2＜0，由此求得实数x的取值范围．解答：解：由于函数f（x）在R上递增，f（2﹣x）＞f（x2），可得2﹣x＞x2 ，即x2+x﹣2＜0，求得﹣2＜x＜1，故选：D．点评：本题主要考查函数的单调性的定义，一元二次不等式的解法，属于基础题．7．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x＞0时，有＞0恒成立，则不等式f（x）＞0的解集是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（﹣2，0）∪（0，2） C．（﹣2，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）考点：利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：因为＞0恒成立，；然后利用导函数的正负性，可判断函数y═在（0，+∞）内单调递增；再由f（2）=0，易得f（x）在（0，+∞）内的正负性；最后结合奇函数的图象特征，可得f（x）在（﹣∞，0）内的正负性．则解集即可求得．解答：解：当x＞0时，有＞0，即有y=在区间（0．+∞）上单调递增，且=0，所以当0＜x＜2时，f（x）＜0，当x＞2时，f（x）＞0，根据函数f（x）是奇函数，得到x＜﹣2时，f（x）＜0，﹣2＜x＜0时，f（x）＞0．综上所述，当x＞2或者﹣2＜x＜0时，f（x）＞0，故选：C．点评：本题主要考查函数求导法则及函数单调性与导数的关系，同时考查了奇偶函数的图象特征，属于中档题．8．（5分）已知函数f（x）=，则“﹣≤a≤0”是“f（x）在R上单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：当a=0时，f（x）=，在R上单调递增．当a≠0时，f（x）在R上单调递增，利用二次函数与一次函数的单调性可得，解出即可．解答：解：当a=0时，f（x）=，在R上单调递增．当a≠0时，f（x）在R上单调递增，，解得．综上可得：“﹣≤a≤0”⇔“f（x）在R上单调递增”．故选：C．点评：本题考查了一次函数与二次函数的单调性、分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．9．（5分）已知函数f（x）=x2﹣6x+4lnx+a（x＞0），若方程f（x）=0有两个不同的实根，则实数a的值为（）A．a=5或a=8﹣4ln2 B．a=5或a=8+4ln2C．a=﹣5或a=8﹣4ln2 D．a=5或a=8﹣4ln3考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的概念及应用．分析：先看定义域，再求导数并令导数为零，研究其极值情况，大体结合图象求解．解答：解：，由得0＜x＜1或x＞2；由得1＜x＜2∴f（x）在（0，1）和（2，+∞）上单调递增，f（x）在（1，2）上递减知y极大=f（1）=a﹣5，y极小=f（2）=4ln2﹣8+a，f（x）=0有两个不同的实数根，则或解得a=5或a=8﹣4ln2故当a=5或a=8﹣4ln2时f（x）=0有两个不同的实数根．故选A．点评：此题不是单纯的二次函数的零点问题，因此可以考虑利用导数研究其单调性、极值情况结合大体图象确定端点函数值的符号，极值的符号确定本题的解．10．（5分）已知S（t）是由函数f（x）=﹣的图象，g（x）=|x﹣2|﹣2的图象与直线x=t围成的图形的面积，则函数S（t）的导函数y=S′（t）（0＜t＜4）的大致图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：针对x的不同取值先去掉函数表达式中的绝对值符号，在同一坐标系中画图，结合图象处理．解答：解：对于函数f（x）=﹣=，此函数中的两段都可看成反比例函数经过平移得到，且x≥2时不难验证图象过（2，）与（4，0）；而x≤2时不难验证图象过（2，）与（0，0）；对于函数g（x）=|x﹣2|﹣2=，此函数中的两段都可看成直线的一部分，x≥2时不难验证图象过（2，﹣2）与（4，0）；而x≤2时不难验证图象过（2，﹣2）与（0，0）；利用上述条件在同一个平面直角坐标系内画y=f（x）与y=g（x）图象：从图象可以看出，t从0开始增大时，直线x=t向右移动，∵S（t）是由函数f（x）=﹣的图象、g（x）=|x﹣2|﹣2的图象与直线x=t围成的图形的面积，∴S（t）是增函数，且增的速度变化是先慢中间快再慢，∴S′（t）的图象只有B符合．故选：B．点评：本题综合考查函数与函数图象，函数的单调性与导数的关系，属于选择题中的高档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应横线上. 11．（5分）曲线y=x3在P（1，1）处的切线方程为y=3x﹣2．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：先求出函数y=x3的导函数，然后求出在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，利用点斜式方程求出切线方程即可．解答：解：y'=3x2y'|x=1=3，切点为（1，1）∴曲线y=x3在点（1，1）切线方程为3x﹣y﹣2=0故答案为：3x﹣y﹣2=0点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．12．（5分）已知集合A={y|y=x2﹣x+1，x∈}，B={x|{x+m2≥1}若A⊆B，则实数m的取值范围是：m≤﹣．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：函数的性质及应用．分析：先把集合A与集合B化简，由A⊆B，根据区间端点值的关系列式求得m的范围．解答：解：由于A={}={y|≤y≤2}，此时B={x|x≥﹣m2+1}，由A⊆B，知解得．故答案为点评：本题考查了集合的包含关系的应用，解答的关键是根据集合的包含关系分析区间端点值的大小．13．（5分）设a=log23，b=log46，c=log89，则a，b，c的大小关系是：a＞b＞c．考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数的运算法则和对数的换底公式比较大小即可．解答：解：因为，，且，所以，即a＞b＞c．故答案为：a＞b＞c点评：本题主要考查对数的基本运算，利用对数函数的单调性是解决本题的关键．14．（5分）对于以下说法：（1）命题“已知x，y∈R”，若x≠2或y≠3，则“x+y≠5”是真命题；（2）设f（x）的导函数为f′（x），若f′（x0）=0，则x0是函数f（x）的极值点；（3）对于函数f（x），g（x），f（x）≥g（x）恒成立的一个充分不必要的条件是f（x）min≥g （x）max；（4）若定义域为R的函数y=f（x），满足f（x）+f（4﹣x）=2，则其图象关于点（2，1）对称．其中正确的说法序号是（3）（4）．考点：命题的真假判断与应用．专题：阅读型；函数的性质及应用；导数的综合应用；简易逻辑．分析：原命题与其逆否命题是等价命题，写出命题的逆否命题，即可判断（1）；极值点的导数为0，但导数为0的点不一定为极值点．比如y=x3，在x=0的点不是极值点，即可判断（2）；对于函数f（x），g（x）若满足f（x）min≥g（x）max恒成立，则f（x）≥g（x）恒成立，若f（x）≥g（x）恒成立，不一定有f（x）min≥g（x）max，比如f（x）=x+2，g（x）=x+1，即可判断（3）；若f（x）+f（2a﹣x）=2b，则函数y=f（x）的图象关于点（a，b）对称，即可判断（4）．解答：解：对于（1），原命题与其逆否命题是等价命题，若x≠2或y≠3，则x+y≠5的逆否命题是：若x+y=5，则x=2且y=3是假命题，故（1）错误；对于（2），极值点的导数为0，但导数为0的点不一定为极值点．比如y=x3，在x=0的点不是极值点，故（2）错；对于（3），对于函数f（x），g（x）若满足f（x）min≥g（x）max恒成立，则f（x）≥g（x）恒成立，若f（x）≥g（x）恒成立，不一定有f（x）min≥g（x）max，比如f（x）=x+2，g（x）=x+1，故（3）正确；对于（4），若f（x）+f（2a﹣x）=2b，则函数y=f（x）的图象关于点（a，b）对称，故（4）正确．故答案为：（3）（4）．点评：本题考查四种命题的真假及充分必要条件的判断，函数的导数与极值的关系，函数的最值和对称性，属于易错题，和中档题．15．（5分）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，有同学发现：若f（x）的导函数图象的对称轴是直线：x=x0，则函数f（x）图象的对称中心是点（x0，f（x0））．根据这一发现，对于函数g（x）=x3﹣3x2+3x+1+asin（x﹣1）（a∈R且a为常数），则g（﹣2012）+g（﹣2010）+g（﹣2008）+g（﹣2006）+…+g+g的值为4028．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：令f（x）=x3﹣3x2+3x+1，h（x）=asin（x﹣1），由f′（x）=3x2﹣6x+3，f′（x）的图象的对称轴是x=1，f（x）的对称中心是（1，2），从而f（﹣2012）+f=4，同理，得f （﹣2010）+f=f（﹣2008）+f=…=f（0）+f（2）=4，h（﹣2012）+h=0，由此能求出g（﹣2012）+g（﹣2010）+g（﹣2008）+g（﹣2006）+…+g+g的值．解答：解：令f（x）=x3﹣3x2+3x+1，h（x）=asin（x﹣1），由f′（x）=3x2﹣6x+3，f′（x）的图象的对称轴是x=1，∴f（x）的对称中心是（1，2），∴点（﹣2012，f（﹣2012））与点）关于点（1，2）对称，即=2，∴f（﹣2012）+f=4，同理，得f（﹣2010）+f=f（﹣2008）+f=…=f（0）+f（2）=4，∵h（x）=asin（x﹣1）=0图象关于点（1，0）对称，∴h（﹣2012）+h=0，h（﹣2010）+h=h（﹣2008）+h=…=h（0）+h（2）=0，∴g（﹣2012）+g（﹣2010）+g（﹣2008）+g（﹣2006）+…+g+g=4028．故答案为：4028．点评：本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤. 16．（12分）已知函数f（x）=22x﹣2x+1+1．（1）求f（log218+2log6）；（2）若x∈，求函数f（x）的值域．考点：指数函数综合题；对数的运算性质．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）f（log218+2log6）=f（﹣1），再代入解析式即可得到答案．（2）函数f（x）=22x﹣2x+1+1．令t=2x，换元转化为二次函数求解．解答：解：（1）∵log218+2log6=2log+1﹣2（log+1）=﹣1，函数f（x）=22x﹣2x+1+1．∴f（log218+2log6）=f（﹣1）═，（2）函数f（x）=22x﹣2x+1+1．令t=2x，则t，f（x）=t2﹣2t+1=（t﹣1）2当t=1时f（x）min=0，当t=4时，f（x）max=9，所以函数f（x）的值域点评：本题综合考察了二次函数，对数函数，指数函数的性质．17．（12分）已知集合A={x∈R|0＜ax+1≤5}，B={x∈R|﹣＜x≤2}．（1）A，B能否相等？若能，求出实数a的值，若不能，试说明理由？（2）若命题p：x∈A，命题q：x∈B且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．考点：集合的相等；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：（1）集合相等，转化为元素间的相等关系求解（2）p⇒q得A⊆B且A≠B，转化为集合的关系求解．解答：解：（1）若A=B显然a=0时不满足题意当a＞0时∴当a＜0时显然A≠B故A=B时，a=2（2）p⇒q得A⊆B且A≠B0＜ax+1≤5⇒﹣1＜ax≤4当a=0时，A=R不满足．当a＞0时，则解得a＞2当a＜0时，则综上p是q的充分不必要条件，实数a的取值范围是a＞2，或a＜﹣8点评：本题考查集合间的关系，一般化为元素间的关系求解．18．（12分）已知函数f（x）=x2+ax，g（x）=bx3+x．（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点C（1，m）处具有公共切线，求实数m 的值；（2）当b=，a=﹣4时，求函数F（x）=f（x）+g（x）在区间上的最大值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）根据曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a、b的值；（2）当b=，a=﹣4时时，则F（x）=f（x）+g（x）=x3+x2﹣3x，求导函数，确定函数极值，再求出区间上的端点值，比较大小即可．解答：解：（1）f（x）=x2+ax，则f'（x）=2x+a，k1=2+a，g（x）=bx3+x，则g'（x）=3bx2+1，k2=3b+1，由（1，c）为公共切点，可得：2+a=3b+1 ①又f（1）=a+1，g（1）=1+b，∴a+1=1+b，即a=b，代入①式可得：a=，b=．（2）当b=，a=﹣4时，F（x）=f（x）+g（x）=）=x3+x2﹣3x，则F′（x）=x2+2x﹣3=（x+3）（x﹣1），令F'（x）=0，解得：x1=﹣3，x2=1；当x∈（﹣∞，﹣3）⇒F'（x）＞0⇒函数F（x）单调递增，当x∈⇒F'（x）＞0⇒函数F（x）单调递增，∵F（﹣3）=9，F（4）=，∴函数F（x）=f（x）+g（x）在区间上的最大值为点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，解题的关键是正确求出导函数．19．（12分）已知函数f（x）=x2﹣ax﹣lnx（x∈R）．（1）若函数f（x）在区间．（2）f′（x）=x﹣a﹣=，x＞0，令t（x）=x2﹣ax﹣1，此抛物线开口向上且t（0）=﹣1＜0要使函数f（x）在区间（1，2）上存在极小值x0，则函数f（x）在（1，x0）递减，（x0，2）递增，所以⇒，实数a的取值范围为．点评：本题主要考查导数的应用，在研究导数的取值情况时，通常把导数的一部分看成我们常见的函数处理．属于中档题．20．（13分）已知函数f（x）=x3﹣ax4（x∈R，a＞0）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）记g（x）=f′（x），若对任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞）使得g（x1）•g（x2）=1，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（1）先求导数，然后解不等式，要注意数形结合，分类讨论；（2）实际上是两个函数y=g（x）与函数y=值域间的关系的判断，即y=g（x）的值域是y=值域的子集即可．解答：解：（1），∵⇒⇒f′（x）＜0．所以函数f（x）的增区间为（），减区间为（）；（2）由题意g（x）=，所以函数y=g（x）的减区间为（）和（﹣∞，0），增区间为（0，）．又∵且⇒g（x）＞0∴⇒g（x）＜0，设集合A={g（x）|x∈（2，+∞）}，集合B={x∈（1，+∞），g（x）≠0}，对任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞）使得g（x1）g（x2）=1⇔A⊆B，当即0时，若时，不存在x2使得g（x1）g（x2）=1，不符合题意，舍去．当时，即时，A=（﹣∞，g（2））⇒A⊆（﹣∞，0），因为g（1）≥0∴g（x）在区间（1，+∞）上的取值包含（﹣∞，0），则（﹣∞，0）⊆B，∴A⊆B满足题意，当，即时，g（1）＜0且g（x）在（1，+∞）上递减，B=（）A=（﹣∞，g（2）），∴A⊈B不满足题意，综上满足题意的实数a的取值范围是．点评：本题能够把问题转化为两个函数值域间的包含关系是解题的关键，类型为：对其中一个自变量的任意的函数值，另一个变量总能存在至少一个与之对应．要注意整理和记忆．21．（14分）已知函数f（x）=，其中a∈R．（1）若a=1时，记h（x）=mf（x），g（x）=（lnx）2+2ex﹣2，存在x1，x2∈（0，1]使h （x1）＞g（x2）成立，求实数m的取值范围；（2）若f（x）在使h（x1）＞g（x2）成立，等价于h（x）max＞g（x）min，利用导数、函数单调性可求得两函数的最值；（2）f′（x）=，按照a=0，a＞0，a＜0三种情况进行讨论，根据单调性可判断函数最值情况；解答：解：（1）g′（x）=+2e，g′（x）=0⇒x=e﹣1，x∈（0，e﹣1），g'（x）＜0，g（x）递减；x∈（e﹣1，1），g'（x）＞0，g（x）递增，∴g（x）min=g（e﹣1）=1，∴h（x）=，显然m＞0，则h（x）在（0，1]上是递增函数，h（x）max=m，∴m＞1，所以存在x1，x2∈（0，1]使h（x1）＞g（x2）成立时，实数m的取值范围是（1，+∞）；（2）解：f′（x）=，①当a=0时，f′（x）=．所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0）上单调递减，f（x）在．③当a＜0时，f（x）与f'（x）的情况如下：x （0，x1）x1（x1，+∞）f'（x）﹣0 +f（x）↘f（x1）↗所以f（x）的单调增区间是（﹣a，+∞）；单调减区间是（0，﹣a），f（x）在（0，﹣a）单调递减，在（﹣a，+∞）单调递增，所以f（x）在（0，+∞）上存在最小值f（﹣a）=﹣1．又因为f（x）==0，若f（x）在．综上，a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪（0，1]．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、最值等知识，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，综合性强，难度大，能力要求较高．。
