江苏省常州市九年级上学期期末数学试卷
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江苏省常州市九年级上数学期末试卷一、选择题1.抛物线223y x x =++与y 轴的交点为( )A .(0,2)B .(2,0)C .(0,3)D .(3,0)2.下列是一元二次方程的是( ) A .2x +1=0B .x 2+2x +3=0C .y 2+x =1D .1x=1 3.如图,在△ABC 中,点D 、E 分别在AB 、AC 边上,DE ∥BC ,若AD =1,BD =2,则DE BC的值为( )A .12B .13C .14D .194.方程(1)(2)0x x --=的解是( ) A .1x = B .2x =C .1x =或2x =D .1x =-或2x =-5.小广,小娇分别统计了自己近5次数学测试成绩,下列统计量中能用来比较两人成绩稳定性的是( ) A .方差B .平均数C .众数D .中位数6.分别写有数字﹣4,0,﹣1,6,9,2的六张卡片,除数字外其它均相同,从中任抽一张,则抽到偶数的概率是( ) A .16B .13C .12D .237.二次函数2(1)3y x =-+图象的顶点坐标是( ) A .(1,3) B .(1,3)- C .(1,3)- D .(1,3)-- 8.下列方程是一元二次方程的是( )A .2321x x =+B .3230x x --C .221x y -=D .20x y += 9.已知⊙O 的直径为4,点O 到直线l 的距离为2,则直线l 与⊙O 的位置关系是 A .相交 B .相切 C .相离 D .无法判断 10.若两个相似三角形的相似比是1:2,则它们的面积比等于( )A .12B .1:2C .1:3D .1:411.13名同学参加歌咏比赛,他们的预赛成绩各不相同,现取其中前6名参加决赛,小红同学在知道自己成绩的情况下,要判断自己能否进入决赛,还需要知道这13名同学成绩的( ) A .方差B .众数C .平均数D .中位数12.用配方法解方程2890x x ++=,变形后的结果正确的是( ) A .()249x +=-B .()247x +=-C .()2425x +=D .()247x +=13.下列方程中,是一元二次方程的是( )A .2x +y =1B .x 2+3xy =6C .x +1x=4 D .x 2=3x ﹣214.一组数据10,9,10,12,9的平均数是( )A .11B .12C .9D .1015.如图,AB 为O 的切线,切点为A ,连接AO BO 、,BO 与O 交于点C ,延长BO 与O 交于点D ,连接AD ,若36ABO ∠=,则ADC ∠的度数为( )A .54B .36C .32D .27二、填空题16.若方程2410x x -+=的两根12,x x ,则122(1)x x x 的值为__________. 17.已知一组数据为1,2,3,4,5,则这组数据的方差为_____.18.如图,在半径为3的⊙O 中,直径AB 与弦CD 相交于点E ,连接AC ,BD .若AC =2,则cosD =________.19.在比例尺为1∶500 000的地图上,量得A 、B 两地的距离为3 cm ,则A 、B 两地的实际距离为_____km .20.如图,一个可以自由转动的转盘,任意转动转盘一次,当转盘停止时,指针落在红色区域的概率为____.21.已知点P 是线段AB 的黄金分割点,PA >PB ,AB =4 cm ,则PA =____cm . 22.如图,已知D 是等边△ABC 边AB 上的一点,现将△ABC 折叠,使点C 与D 重合,折痕为EF ,点E 、F 分别在AC 和BC 上.如果AD :DB=1:2,则CE :CF 的值为____________.23.如图,在平面直角坐标系中,直线l :28y x =+与坐标轴分别交于A ,B 两点,点C 在x 正半轴上,且OC =O B .点P 为线段AB (不含端点)上一动点,将线段OP 绕点O 顺时针旋转90°得线段OQ ,连接CQ ,则线段CQ 的最小值为___________.24.已知⊙O 半径为4,点,A B 在⊙O 上,21390,sin BAC B ∠=∠=,则线段OC 的最大值为_____.25.△ABC 是等边三角形,点O 是三条高的交点.若△ABC 以点O 为旋转中心旋转后能与原来的图形重合,则△ABC 旋转的最小角度是____________.26.已知:二次函数y=ax 2+bx+c 图象上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如表格所示,那么它的图象与x 轴的另一个交点坐标是_____. x … ﹣1 0 1 2 … y…343…27.一个口袋中放有除颜色外,形状大小都相同的黑白两种球,黑球6个,白球10个.现在往袋中放入m 个白球和4个黑球,使得摸到白球的概率为35,则m =__. 28.已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图,对称轴为直线x =1,则不等式ax 2+bx +c >0的解集是_____.29.如图,将二次函数y=12(x-2)2+1的图像沿y轴向上平移得到一条新的二次函数图像,其中A(1,m),B(4,n)平移后对应点分别是A′、B′,若曲线AB所扫过的面积为12(图中阴影部分),则新的二次函数对应的函数表达是__________________.30.如图,在△ABC中,P是AB边上的点,请补充一个条件,使△ACP∽△ABC,这个条件可以是:___(写出一个即可),三、解答题31.已知函数y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)的图像经过点A(-1,0)、B(0,2).(1)b=(用含有a的代数式表示),c=;(2)点O是坐标原点,点C是该函数图像的顶点,若△AOC的面积为1,则a=;(3)若x>1时,y<5.结合图像,直接写出a的取值范围.32.在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+2 的图象与x 轴交于A(﹣3,0),B (1,0)两点,与y 轴交于点C.(1)求这个二次函数的关系解析式,x 满足什么值时y﹤0 ?(2)点p 是直线AC 上方的抛物线上一动点,是否存在点P,使△ACP 面积最大?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由(3)点 M 为抛物线上一动点,在 x 轴上是否存在点 Q ,使以 A 、C 、M 、Q 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点 Q 的坐标;若不存在,说明理由. 33.一只不透明的袋子中装有2个白球和1个红球,这些球除颜色外都相同. (1)搅匀后从袋子中任意摸出1个球,摸到红球的概率是多少?(2)搅匀后先从袋子中任意摸出1个球,记录颜色后不放回,再从袋子中任意摸出1个球,用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果,并求出两次都摸到白球的概率. 34.已知二次函数y =a 2x −4x +c 的图象过点(−1,0)和点(2,−9), (1)求该二次函数的解析式并写出其对称轴;(2)当x 满足什么条件时,函数值大于0?(不写求解过程),35.如图,点C 是线段AB 上的任意一点(C 点不与A B 、点重合),分别以AC BC 、为边在直线AB 的同侧作等边三角形ACD 和等边三角形BCE ,AE 与CD 相交于点M ,BD 与CE 相交于点N .(1)求证: DB AE =; (2)求证: //MN AB ;(3)若AB 的长为12cm ,当点C 在线段AB 上移动时,是否存在这样的一点C ,使线段MN 的长度最长?若存在,请确定C 点的位置并求出MN 的长;若不存在,请说明理由. 四、压轴题36.已知:在ABC 中,,90AC BC ACB ︒=∠=,点F 在射线CA 上,延长BC 至点D ,使CD CF =,点E 是射线BF 与射线DA 的交点.(1)如图1,若点F 在边CA 上; ①求证:BE AD ⊥;②小敏在探究过程中发现45BEC ︒∠=,于是她想:若点F 在CA 的延长线上,是否也存在同样的结论?请你在图2上画出符合条件的图形并通过测量猜想BEC ∠的度数. (2)选择图1或图2两种情况中的任一种,证明小敏或你的猜想.37.如图,⊙M与菱形ABCD在平面直角坐标系中,点M的坐标为(﹣3,1),点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(1,﹣3),点D在x轴上,且点D在点A的右侧.(1)求菱形ABCD的周长;(2)若⊙M沿x轴向右以每秒2个单位长度的速度平移,菱形ABCD沿x轴向左以每秒3个单位长度的速度平移,设菱形移动的时间为t(秒),当⊙M与AD相切,且切点为AD的中点时,连接AC,求t的值及∠MAC的度数;(3)在(2)的条件下,当点M与AC所在的直线的距离为1时,求t的值.38.已知抛物线y=﹣14x2+bx+c经过点A(4,3),顶点为B,对称轴是直线x=2.(1)求抛物线的函数表达式和顶点B的坐标;(2)如图1,抛物线与y轴交于点C,连接AC,过A作AD⊥x轴于点D,E是线段AC上的动点(点E不与A,C两点重合);(i)若直线BE将四边形ACOD分成面积比为1:3的两部分,求点E的坐标;(ii)如图2,连接DE,作矩形DEFG,在点E的运动过程中,是否存在点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上?若存在,求出此时AE的长;若不存在,请说明理由.39.如图,扇形OMN的半径为1,圆心角为90°,点B是上一动点,BA⊥OM于点A,BC⊥ON于点C,点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点,GF与CE相交于点P,DE与AG相交于点Q.(1)当点B移动到使AB:OA=:3时,求的长;(2)当点B移动到使四边形EPGQ为矩形时,求AM的长.(3)连接PQ,试说明3PQ2+OA2是定值.40.如图,正方形ABCD 中,点O 是线段AD 的中点,连接OC ,点P 是线段OC 上的动点,连接AP 并延长交CD 于点E ,连接DP 并延长交AB 或BC 于点F , (1)如图①,当点F 与点B 重合时,DEDC等于多少; (2)如图②,当点F 是线段AB 的中点时,求DEDC的值; (3)如图③,若DE CF ,求DEDC的值.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.C 解析:C 【解析】 【分析】令x=0,则y=3,抛物线与y 轴的交点为(0,3). 【详解】解:令x=0,则y=3,∴抛物线与y 轴的交点为(0,3), 故选:C . 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质;熟练掌握二次函数的图象及性质,会求函数与坐标轴的交点是解题的关键.2.B解析:B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义,即只含一个未知数,且未知数的最高次数为2的整式方程,对各选项分析判断后利用排除法求解. 【详解】解:A 、方程2x+1=0中未知数的最高次数不是2,是一元一次方程,故不是一元二次方程;B 、方程x 2+2x+3=0只含一个未知数,且未知数的最高次数为2的整式方程,故是一元二次方程;C 、方程y 2+x =1含有两个未知数,是二元二次方程,故不是一元二次方程;D 、方程1x=1不是整式方程,是分式方程,故不是一元二次方程. 故选:B. 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念,判断一个方程是否是一元二次方程,首先要看是否是整式方程,然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.是否符合定义的条件是作出判断的关键.3.B解析:B 【解析】试题分析:∵DE ∥BC ,∴AD DE AB BC =,∵13AD AB =,∴31DE BC =.故选B . 考点:平行线分线段成比例.4.C解析:C 【解析】 【分析】方程左边已经是两个一次因式之积,故可化为两个一次方程,解这两个一元一次方程即得答案. 【详解】解:∵(1)(2)0x x --=, ∴x -1=0或x -2=0, 解得:1x =或2x =. 故选:C. 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法,属于基本题型,熟练掌握分解因式解方程的方法是关键.5.A解析:A 【解析】 【分析】根据方差的意义:体现数据的稳定性,集中程度,波动性大小;方差越小,数据越稳定.要比较两位同学在五次数学测验中谁的成绩比较稳定,应选用的统计量是方差. 【详解】平均数,众数,中位数都是反映数字集中趋势的数量,方差是反映数据离散水平的数据,也就会说反映数据稳定程度的数据是方差 故选A 考点:方差6.D解析:D 【解析】 【分析】根据概率公式直接计算即可. 【详解】解:在这6张卡片中,偶数有4张, 所以抽到偶数的概率是46=23, 故选:D . 【点睛】本题主要考查了随机事件的概率,随机事件A 的概率P (A )=事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数,灵活利用概率公式是解题的关键.7.A解析:A 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标. 【详解】∵2(1)3y x =-+,∴二次函数图像顶点坐标为:(1,3). 故答案为A. 【点睛】本题主要考查二次函数的性质,掌握二次函数的顶点式是解题的关键,即在y=a (x-h )2+k 中,对称轴为x=h ,顶点坐标为(h ,k ).8.A解析:A【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐一判断即可. 【详解】解:A . 2321x x =+是一元二次方程,故本选项符合题意; B . 3230x x --是一元三次方程,故本选项不符合题意; C . 221x y -=是二元二次方程,故本选项不符合题意; D . 20x y +=是二元一次方程,故本选项不符合题意; 故选A . 【点睛】此题考查的是一元二次方程的判断,掌握一元二次方程的定义是解决此题的关键.9.B解析:B 【解析】 【分析】根据圆心距和两圆半径的之间关系可得出两圆之间的位置关系. 【详解】∵⊙O 的直径为4, ∴⊙O 的半径为2,∵圆心O 到直线l 的距离是2,∴根据圆心距与半径之间的数量关系可知直线l 与⊙O 的位置关系是相切. 故选:B . 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系的应用,理解直线和圆的位置关系的内容是解此题的关键,注意:已知圆的半径是r ,圆心到直线的距离是d ,当d =r 时,直线和圆相切,当d >r 时,直线和圆相离,当d <r 时,直线和圆相交.10.D解析:D 【解析】 【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可. 【详解】解:∵两个相似三角形的相似比是1:2, ∴这两个三角形们的面积比为1:4, 故选:D . 【点睛】此题考查相似三角形的性质,掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解决此题的关键.11.D解析:D【解析】【分析】由于有13名同学参加歌咏比赛,要取前6名参加决赛,故应考虑中位数的大小.【详解】共有13名学生参加比赛,取前6名,所以小红需要知道自己的成绩是否进入前六.我们把所有同学的成绩按大小顺序排列,第7名学生的成绩是这组数据的中位数,所以小红知道这组数据的中位数,才能知道自己是否进入决赛.故选D.【点睛】本题考查了用中位数的意义解决实际问题.将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数.如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.12.D解析:D【解析】【分析】先将常数项移到右侧,然后两边同时加上一次项系数一半的平方,配方后进行判断即可.【详解】2890++=,x x289+=-,x x222++=-+,8494x xx+=,所以()247故选D.【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程,熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键.13.D解析:D【解析】【分析】利用一元二次方程的定义判断即可.【详解】解:A、原方程为二元一次方程,不符合题意;B、原式方程为二元二次方程,不符合题意;C、原式为分式方程,不符合题意;D、原式为一元二次方程,符合题意,故选:D .【点睛】此题主要考查一元二次方程的识别,解题的关键是熟知一元二次方程的定义.14.D解析:D【解析】【分析】利用平均数的求法求解即可.【详解】这组数据10,9,10,12,9的平均数是1(10910129)105++++=故选:D .【点睛】本题主要考查平均数,掌握平均数的求法是解题的关键. 15.D解析:D【解析】【分析】由切线性质得到AOB ∠,再由等腰三角形性质得到OAD ODA ∠=∠,然后用三角形外角性质得出ADC ∠【详解】切线性质得到90BAO ∠=903654AOB ∴∠=-=OD OA =OAD ODA ∠=∠∴AOB OAD ODA ∠=∠+∠27ADC ADO ∴∠=∠=故选D【点睛】本题主要考查圆的切线性质、三角形的外角性质等,掌握基础定义是解题关键二、填空题16.5【解析】【分析】根据根与系数的关系求出,代入即可求解.【详解】∵是方程的两根∴=-=4,==1∴===4+1=5,故答案为:5.【点睛】此题主要考查根与系数的关系,解题的关键是解析:5【解析】【分析】根据根与系数的关系求出12x x +,12x x ⋅代入即可求解.【详解】∵12,x x 是方程2410x x -+=的两根∴12x x +=-b a =4,12x x ⋅=c a=1 ∴122(1)x x x =1122x x x x ++=1212x x x x ++=4+1=5,故答案为:5.【点睛】此题主要考查根与系数的关系,解题的关键是熟知12x x +=-b a ,12x x ⋅=c a的运用. 17.【解析】试题分析:先根据平均数的定义确定平均数,再根据方差公式进行计算即可求出答案.由平均数的公式得:(1+2+3+4+5)÷5=3,∴方差=[(1﹣3)2+(2﹣3)2+(3﹣3)2+(4解析:【解析】试题分析:先根据平均数的定义确定平均数,再根据方差公式进行计算即可求出答案. 由平均数的公式得:(1+2+3+4+5)÷5=3,∴方差=[(1﹣3)2+(2﹣3)2+(3﹣3)2+(4﹣3)2+(5﹣3)2]÷5=2.考点:方差.18.【解析】试题分析:连接BC ,∴∠D=∠A ,∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB=90°,∵AB=3×2=6,AC=2,∴cosD=cosA===.故答案为.考点:1.圆周角定理;2.解直角三角形 解析:13【解析】试题分析:连接BC,∴∠D=∠A,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∵AB=3×2=6,AC=2,∴cosD=cosA=ACAB=26=13.故答案为13.考点:1.圆周角定理;2.解直角三角形.19.15【解析】【分析】由在比例尺为1:50000的地图上,量得A、B两地的图上距离AB=3cm,根据比例尺的定义,可求得两地的实际距离.【详解】解:∵比例尺为1:500000,量得两地的距离解析:15【解析】【分析】由在比例尺为1:50000的地图上,量得A、B两地的图上距离AB=3cm,根据比例尺的定义,可求得两地的实际距离.【详解】解:∵比例尺为1:500000,量得两地的距离是3厘米,∴A、B两地的实际距离3×500000=1500000cm=15km,故答案为15.【点睛】此题考查了比例尺的性质.注意掌握比例尺的定义,注意单位要统一.20.【解析】【分析】用红色区域的圆心角度数除以圆的周角的度数可得到指针落在红色区域的概率.【详解】解:因为蓝色区域的圆心角的度数为120°,所以指针落在红色区域内的概率是=,故答案为.【解析:2 3【解析】【分析】用红色区域的圆心角度数除以圆的周角的度数可得到指针落在红色区域的概率.【详解】解:因为蓝色区域的圆心角的度数为120°,所以指针落在红色区域内的概率是360120360-=23,故答案为2 3 .【点睛】本题考查了几何概率:求概率时,已知和未知与几何有关的就是几何概率.计算方法是利用长度比,面积比,体积比等.21.2-2【解析】【分析】根据黄金分割点的定义,知AP是较长线段;则AP=AB,代入运算即可.【详解】解:由于P为线段AB=4的黄金分割点,且AP是较长线段;则AP=4×=cm,故答案为解析:2【解析】【分析】根据黄金分割点的定义,知AP是较长线段;则AB,代入运算即可.【详解】解:由于P为线段AB=4的黄金分割点,且AP是较长线段;则=)21cm,故答案为:(2)cm.【点睛】此题考查了黄金分割的定义,应该识记黄金分割的公式:较短的线段=原线段的12,难度一般.22.【解析】【分析】根据折叠的性质可得DE=CE,DF=CF,利用两角对应相等的两三角形相似得出△AED∽△BDF,进而得出对应边成比例得出比例式,将比例式变形即可得. 【详解】解:如图,连接D解析:4 5【解析】【分析】根据折叠的性质可得DE=CE,DF=CF,利用两角对应相等的两三角形相似得出△AED∽△BDF,进而得出对应边成比例得出比例式,将比例式变形即可得.【详解】解:如图,连接DE,DF,∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC=AC, ∠A=∠B=∠ACB=60°,由折叠可得,∠EDF=∠ACB=60°,DE=CE,DF=CF∵∠BDE=∠BDF+∠FDE=∠A+∠AED,∴∠BDF+60°=∠AED+60°,∴∠BDF=∠AED,∵∠A=∠B,∴△AED∽△BDF,∴AD AE DE BF BD DF,设AD=x,∵AD:DB=1:2,则BD=2x,∴AC=BC=3x,∵AD AE DE BF BD DF,∴AD AE DE DE BF BD DF DF∴323x x DE x x DF∴45 DEDF,∴45CECF .故答案为:45. 【点睛】 本题考查了折叠的性质,利用三角形相似对应边成比例及比例的性质解决问题,能发现相似三角形的模型,即“一线三等角”是解答此题的重要突破口.23.【解析】【分析】在OA 上取使,得,则,根据点到直线的距离垂线段最短可知当⊥AB 时,CP 最小,由相似求出的最小值即可.【详解】解:如图,在OA 上取使,∵,∴, 在△和△QOC 中,,455【解析】【分析】在OA 上取'C 使'OC OC =,得'OPC OQC ≅,则CQ=C'P ,根据点到直线的距离垂线段最短可知当'PC ⊥AB 时,CP 最小,由相似求出C'P 的最小值即可.【详解】解:如图,在OA 上取'C 使'OC OC =,∵90AOC POQ ∠=∠=︒,∴'POC QOC ∠=∠,在△'POC 和△QOC 中,''OP OQ POC QOC OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△'POC ≌△QOC (SAS ),∴'PC QC =∴当'PC 最小时,QC 最小,过'C 点作''C P ⊥AB ,∵直线l :28y x =+与坐标轴分别交于A ,B 两点,∴A 坐标为:(0,8);B 点(-4,0),∵'4OC OC OB ===, ∴22228445AB OA OB ++=''4AC OA OC =-=. ∵'''OB C P sin BAO AB AC ∠==, ''445C P =, ∴4''55C P = ∴线段CQ 455 455【点睛】 本题主要考查了一次函数图像与坐标轴的交点及三角形全等的判定和性质、垂线段最短等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,学会利用垂线段最短解决最值问题,属于中考压轴题.24.【解析】【分析】过点A 作AE⊥AO,并使∠AEO=∠ABC,先证明,由三角函数可得出,进而求得,再通过证明,可得出,根据三角形三边关系可得:,由勾股定理可得,求出BE 的最大值,则答案即可求出.解析:413833+ 【解析】【分析】过点A 作AE ⊥AO,并使∠AEO =∠ABC,先证明ABC AEO ∆∆,由三角函数可得出23AO AE =,进而求得6AE =,再通过证明AEB AOC ∆∆,可得出23OC BE =,根据三角形三边关系可得:BE OE OB ≤+,由勾股定理可得213OE =,求出BE 的最大值,则答案即可求出.【详解】解:过点A 作AE ⊥AO,并使∠AEO =∠ABC,∵OAE BAC AEO ABC∠=∠⎧⎨∠=∠⎩ , ∴ABCAEO ∆∆, ∴tan AC AO B AB AE ∠==, ∵213sin B ∠=, ∴2213313cos 113B ⎛⎫∠=-= ⎪ ⎪⎝⎭∴13sin 213tan cos 331313B B n B ∠∠===∠, ∴23AO AE =, 又∵4AO =,∴6AE =,∵90,90EAB BAO OAC BAO ∠+∠=︒∠+∠=︒,∴ =EAB OAC ∠∠, 又∵AC AO AB AE=, ∴AEB AOC ∆∆, ∴23OC AC BE AB ==, ∴23OC BE =, 在△OEB 中,根据三角形三边关系可得:BE OE OB ≤+,∵OE ===,∴4OE OB +=,∴BE 的最大值为:4,∴OC 的最大值为:()28433=. 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质、三角函数、勾股定理及三角形三边关系,解题的关键是构造直角三角形. 25.120°.【解析】试题分析:若△ABC 以O 为旋转中心,旋转后能与原来的图形重合,根据旋转变化的性质,可得△ABC 旋转的最小角度为180°﹣60°=120°.故答案为120°. 考点:旋转对称图形解析:120°.【解析】试题分析:若△ABC 以O 为旋转中心,旋转后能与原来的图形重合,根据旋转变化的性质,可得△ABC 旋转的最小角度为180°﹣60°=120°.故答案为120°.考点:旋转对称图形.26.(3,0).【解析】分析:根据(0,3)、(2,3)两点求得对称轴,再利用对称性解答即可. 详解:∵抛物线y=ax2+bx+c 经过(0,3)、(2,3)两点,∴对称轴x==1;点(﹣1,0)解析:(3,0).【解析】分析:根据(0,3)、(2,3)两点求得对称轴,再利用对称性解答即可.详解:∵抛物线y=ax 2+bx+c 经过(0,3)、(2,3)两点,∴对称轴x=0+22=1; 点(﹣1,0)关于对称轴对称点为(3,0),因此它的图象与x 轴的另一个交点坐标是(3,0).故答案为(3,0).点睛:本题考查了抛物线与x 轴的交点,关键是熟练掌握二次函数的对称性.27.5【解析】【分析】根据概率公式列出方程,即可求出答案.【详解】解:由题意得,解得m =5,经检验m =5是原分式方程的根,故答案为5.【点睛】本题主要考查了概率公式,根据概率公解析:5【解析】【分析】根据概率公式列出方程,即可求出答案.【详解】解:由题意得,10m 3610m 45+=+++ 解得m =5,经检验m =5是原分式方程的根,故答案为5.【点睛】本题主要考查了概率公式,根据概率公式列出方程是解题的关键.28.﹣1<x <3【解析】【分析】先求出函数与x 轴的另一个交点,再根据图像即可求解.【详解】解:∵抛物线的对称轴为直线x=1,而抛物线与x轴的一个交点坐标为(3,0),∴抛物线与x轴的另一个解析:﹣1<x<3【解析】【分析】先求出函数与x轴的另一个交点,再根据图像即可求解.【详解】解:∵抛物线的对称轴为直线x=1,而抛物线与x轴的一个交点坐标为(3,0),∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(﹣1,0),∵当﹣1<x<3时,y>0,∴不等式ax2+bx+c>0的解集为﹣1<x<3.故答案为﹣1<x<3.【点睛】此题主要考查二次函数的图像,解题的关键是求出函数与x轴的另一个交点.29.y=0.5(x-2)+5【解析】解:∵函数y=(x﹣2)2+1的图象过点A(1,m),B(4,n),∴m=(1﹣2)2+1=1,n=(4﹣2)2+1=3,∴A(1,1),B(4,3),过A作AC解析:y=0.5(x-2)2+5【解析】解:∵函数y=12(x﹣2)2+1的图象过点A(1,m),B(4,n),∴m=12(1﹣2)2+1=112,n=12(4﹣2)2+1=3,∴A(1,112),B(4,3),过A作AC∥x轴,交B′B的延长线于点C,则C(4,112),∴AC=4﹣1=3.∵曲线段AB扫过的面积为12(图中的阴影部分),∴AC•AA′=3AA′=12,∴AA′=4,即将函数y=12(x﹣2)2+1的图象沿y轴向上平移4个单位长度得到一条新函数的图象,∴新图象的函数表达式是y=12(x﹣2)2+5.故答案为y=0.5(x﹣2)2+5.点睛:本题主要考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法等知识,根据已知得出AA′是解题的关键.30.∠ACP=∠B(或).【解析】【分析】由于△ACP与△ABC有一个公共角,所以可利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似或有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件.【详解】解析:∠ACP=∠B(或AP ACAC AB=).【解析】【分析】由于△ACP与△ABC有一个公共角,所以可利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似或有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件.【详解】解:∵∠PAC=∠CAB,∴当∠ACP=∠B时,△ACP∽△ABC;当AP ACAC AB=时,△ACP∽△ABC.故答案为:∠ACP=∠B(或AP ACAC AB=).【点睛】本题考查了相似三角形的判定:两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似:有两组角对应相等的两个三角形相似.三、解答题31.(1)a+2;2;(2)-2或642±3)8215a≤--【解析】【分析】(1)将点B的坐标代入解析式,求得c的值;将点A代入解析式,从而求得b;;(2)由题意可得AO=1,设C点坐标为(x,y),然后利用三角形的面积求出点C的纵坐标,然后代入顶点坐标公式求得a 的值;(3)结合图像,若x >1时,y <5,则顶点纵坐标大于等于5,根据顶点纵坐标公式列不等式求解即可.【详解】解:(1)将B (0,2)代入解析式得:c=2将A (-1,0)代入解析式得: a ×(-1)2+b ×(-1)+c=0∴a-b+2=0∴b=a+2故答案为:a+2;2(2)由题意可知:AO=1设C 点坐标为(x,y ) 则1112y ⨯⨯= 解得:2y =± 当y=2时,2424ac b a-= 由(1)可知,b=a+2;c=2 ∴242(2)24a a a⨯-+= 解得:a=-2当y=-2时,2424ac b a-=- 由(1)可知,b=a+2;c=2 ∴242(2)24a a a⨯-+=-解得:6a =±∴a 的值为-2或6±(3)若x >1时,y <5,又因为图像过点A (-1,0)、B (0,2)∴图像开口向下,即a <0则该图像顶点纵坐标大于等于5 ∴2454ac b a-≥ 即242(2)54a a a⨯-+≥解得:8a ≤--或8a ≥-+∴a 的取值范围为8a ≤--【点睛】本题考查二次函数的性质,掌握顶点坐标公式及数形结合思想解题是本题的解题关键.32.(1)24233y x x=--+,13x<-或21>x;(2)P35,22⎛⎫-⎪⎝⎭;(3)1234(5,0),(1,0),(27,0),(27,0)--+-Q Q Q Q【解析】【分析】(1)将点A(﹣3,0),B(1,0)带入y=ax2+bx+2得到二元一次方程组,解得即可得出函数解析式;又从图像可以看出x 满足什么值时y﹤0;(2)设出P点坐标224233m m m⎛⎫--+⎪⎝⎭,,利用割补法将△ACP 面积转化为PAC PAO PCO ACOS S S S=+-,带入各个三角形面积算法可得出PACS与m之间的函数关系,分析即可得出面积的最大值;(3)分两种情况讨论,一种是CM平行于x轴,另一种是CM不平行于x轴,画出点Q大概位置,利用平行四边形性质即可得出关于点Q坐标的方程,解出即可得到Q点坐标.【详解】解:(1)将A(﹣3,0),B(1,0)两点带入y=ax2+bx+2可得:093202a ba b=-+⎧⎨=++⎩解得:2343ab⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴二次函数解析式为24233y x x=--+.由图像可知,当x3<-或x1>时y﹤0;综上:二次函数解析式为24233y x x=--+,当x3<-或x1>时y﹤0;(2)设点P坐标为224233m m m⎛⎫--+⎪⎝⎭,,如图连接PO,作PM⊥x轴于M,PN⊥y轴于N.PM=224233m m --+,PN=m -,AO=3. 当x 0=时,24y 002233=-⨯-⨯+=,所以OC=2 111222PAC PAO PCO ACO SS S S AO PM CO PN AO CO =+-=+- ()221241132232323322m m m m m ⎛⎫=⨯--++⨯--⨯⨯=-- ⎪⎝⎭, ∵a 10=-<∴函数23PAC Sm m =--有最大值, 当()33m 212-=-=-⨯-时,PAC S 有最大值,此时35P ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭; 所以存在点35P ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭,使△ACP 面积最大. (3)存在,1234(5,0),(1,0),(27,0),(27,0)--+-Q Q Q Q假设存在点Q 使以 A 、C 、M 、Q 为顶点的四边形是平行四边形①若CM 平行于x 轴,如下图,有符合要求的两个点12Q Q 、,此时1Q A =2.Q A CM =∵CM ∥x 轴,∴点M 、点C (0,2)关于对称轴x 1=-对称,∴M (﹣2,2),∴CM=2.由1Q A =22Q A CM ==,得到12(5,0),(1,0)--Q Q ;②若CM 不平行于x 轴,如下图,过点M 作MG ⊥x 轴于点G ,易证△MGQ ≌△COA ,得QG=OA=3,MG=OC=2,即2M y =-.设M (x ,﹣2),则有242=233--+-x x ,解得:x 17=- 又QG=3,∴327Q G x x =+= ∴34(27,0),(27,0)Q Q综上所述,存在点P 使以 A 、C 、M 、Q 为顶点的四边形是平行四边形,Q 点坐标为:1234(5,0),(1,0),(27,0),(27,0)--Q Q Q Q .【点睛】本题考查二次函数与几何综合题目,涉及到用待定系数法求二次函数解析式,通过函数图像得出关于二次函数不等式的解集,平面直角坐标系中三角形面积的计算通常利用割补法,并且将所要求得点的坐标设出来,得出相关方程;在解答(3)的时候注意先画出大概图像再利用平行四边形性质进行计算和分析.33.(1)13;(2)13,见解析 【解析】【分析】(1)袋中一共有3个球,有3种等可能的抽取情况,抽取红球的情况只有1种,摸到红球的概率即可求出;(2)分别使用树状图法或列表法将抽取球的结果表示出来,第一次共有3种不同的抽取情况,第二次有2种不同的抽取情况,所有等可能出现的结果有6种,找出两次都是白球的的抽取结果,即可算出概率.【详解】解:(1)∵袋中一共有3个球,有3种等可能的抽取情况,抽取红球的情况只有1种, ∴1P =3(摸到红球); (2)画树状图,根据题意,画树状图结果如下:。
江苏省常州市九年级上学期期末数学试卷 (解析版)一、选择题1.在平面直角坐标系中,O 的直径为10,若圆心O 为坐标原点,则点()8,6P -与O的位置关系是( ) A .点P 在O 上B .点P 在O 外C .点P 在O 内D .无法确定 2.一组数据0、-1、3、2、1的极差是( )A .4B .3C .2D .13.已知52x y =,则x y y-的值是( ) A .12 B .2C .32D .234.分别写有数字﹣4,0,﹣1,6,9,2的六张卡片,除数字外其它均相同,从中任抽一张,则抽到偶数的概率是( ) A .16B .13C .12D .235.关于2,6,1,10,6这组数据,下列说法正确的是( ) A .这组数据的平均数是6 B .这组数据的中位数是1 C .这组数据的众数是6D .这组数据的方差是10.26.如图,ABC △内接于⊙O ,30BAC ∠=︒,8BC = ,则⊙O 半径为( )A .4B .6C .8D .127.二次函数2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,且0a ≠)中的x 与y 的部分对应值如下表:x2- 1-0 12y5 03- 4-3-以下结论:①二次函数2y ax bx c =++有最小值为4-; ②当1x <时,y 随x 的增大而增大;③二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴只有一个交点;④当13x 时,0y <.其中正确的结论有( )个A.1B.2C.3D.48.一组数据0、-1、3、2、1的极差是()A.4 B.3 C.2 D.19.如图,AC是⊙O的内接正四边形的一边,点B在弧AC上,且BC是⊙O的内接正六边形的一边.若AB是⊙O的内接正n边形的一边,则n的值为()A.6 B.8 C.10 D.1210.如图,如果从半径为6cm的圆形纸片剪去13圆周的一个扇形,将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠),那么这个圆锥的底面半径为( )A.2cm B.4cm C.6cm D.8cm11.如图,随意向水平放置的大⊙O内部区域抛一个小球,则小球落在小⊙O内部(阴影)区域的概率为()A.12B.14C.13D.1912.若二次函数y=x2﹣2x+c的图象与坐标轴只有两个公共点,则c应满足的条件是()A.c=0 B.c=1 C.c=0或c=1 D.c=0或c=﹣1 13.“一般的,如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.——苏科版《数学》九年级(下册)P21”参考上述教材中的话,判断方程x2﹣2x=1x﹣2实数根的情况是()A.有三个实数根B.有两个实数根C.有一个实数根D.无实数根14.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(﹣3,0),对称轴为直线x=﹣1,下列结论:①b2>4ac;②2a+b=0;③a+b+c>0;④若B(﹣5,y1)、C(﹣1,y2)为函数图象上的两点,则y1<y2.其中正确结论是()A .②④B .①③④C .①④D .②③ 15.抛物线y =(x ﹣2)2+3的顶点坐标是( )A .(2,3)B .(﹣2,3)C .(2,﹣3)D .(﹣2,﹣3)二、填空题16.如图是一个可以自由转动的转盘,转盘分成6个大小相同的扇形,颜色分为红、绿、黄三种颜色.指针的位置固定,转动的转盘停止后,其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置(指针指向两个扇形的交线时,当作指向右边的扇形).转动一次转盘后,指针指向_____颜色的可能性大.17.设x 1、x 2是关于x 的方程x 2+3x -5=0的两个根,则x 1+x 2-x 1•x 2=________. 18.设1x ,2x 是关于x 的一元二次方程240x x +-=的两根,则1212x x x x ++=______. 19.将二次函数y =2x 2的图像向上平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度,得到的图像所对应的函数表达式为____.20.如图是二次函数2y ax bx c =++的部分图象,由图象可知不等式20ax bx c ++>的解集是_______.21.已知二次函数y =ax 2+bx+c 中,函数y 与自变量x 的部分对应值如表, x 6.17 6.18 6.19 6.20 y﹣0.03﹣0.010.020.04则方程ax 2+bx+c =0的一个解的范围是_____.22.如图,∠C=∠E=90°,AC=3,BC=4,AE=2,则AD=_________ .23.二次函数2y ax bx c =++的图像开口方向向上,则a ______0.(用“=、>、<”填空)24.已知圆锥的底面半径是3cm ,母线长是5cm ,则圆锥的侧面积为_____cm 2.(结果保留π)25.一组数据:3,2,1,2,2,3,则这组数据的众数是_____. 26.如图,将二次函数y =12(x -2)2+1的图像沿y 轴向上平移得到一条新的二次函数图像,其中A (1,m ),B (4,n )平移后对应点分别是A′、B′,若曲线AB 所扫过的面积为12(图中阴影部分),则新的二次函数对应的函数表达是__________________.27.已知二次函数y =3x 2+2x ,当﹣1≤x ≤0时,函数值y 的取值范围是_____.28.甲、乙两个篮球队队员身高的平均数都为2.07米,方差分别是2S 甲、2S 乙,且22S S >甲乙,则队员身高比较整齐的球队是_____.29.已知234x y z x zy+===,则_______ 30.如图,一次函数y =x 与反比例函数y =kx(k >0)的图像在第一象限交于点A ,点C 在以B (7,0)为圆心,2为半径的⊙B 上,已知AC 长的最大值为7,则该反比例函数的函数表达式为__________________________.三、解答题31.如图,AB 为⊙O 的直径,AC 、DC 为弦,∠ACD=60°,P 为AB 延长线上的点,∠APD=30°.(1)求证:DP 是⊙O 的切线;(2)若⊙O 的半径为3cm ,求图中阴影部分的面积.32.如图,在矩形ABCD 中,AB=2,E 为BC 上一点,且BE=1,∠AED=90°,将AED 绕点E 顺时针旋转得到A ED ''△,A′E 交AD 于P , D′E 交CD 于Q ,连接PQ ,当点Q 与点C 重合时,AED 停止转动. (1)求线段AD 的长;(2)当点P 与点A 不重合时,试判断PQ 与A D ''的位置关系,并说明理由; (3)求出从开始到停止,线段PQ 的中点M 所经过的路径长.33.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y =x 2+bx +c 的图象与x 轴相交于点A 、B ,与y 轴相交于点C ,B 点的坐标为(6,0),点M 为抛物线上的一个动点.(1)若该二次函数图象的对称轴为直线x =4时: ①求二次函数的表达式;②当点M 位于x 轴下方抛物线图象上时,过点M 作x 轴的垂线,交BC 于点Q ,求线段MQ 的最大值;(2)过点M 作BC 的平行线,交抛物线于点N ,设点M 、N 的横坐标为m 、n .在点M 运动的过程中,试问m +n 的值是否会发生改变?若改变,请说明理由;若不变,请求出m +n 的值.34.如图,AB 是⊙O 的弦,AB =4,点P 在AmB 上运动(点P 不与点A 、B 重合),且∠APB =30°,设图中阴影部分的面积为y . (1)⊙O 的半径为 ;(2)若点P 到直线AB 的距离为x ,求y 关于x 的函数表达式,并直接写出自变量x 的取值范围.35.如图,点C 是线段AB 上的任意一点(C 点不与A B 、点重合),分别以AC BC 、为边在直线AB 的同侧作等边三角形ACD 和等边三角形BCE ,AE 与CD 相交于点M ,BD 与CE 相交于点N .(1)求证: DB AE ; (2)求证: //MN AB ;(3)若AB 的长为12cm ,当点C 在线段AB 上移动时,是否存在这样的一点C ,使线段MN 的长度最长?若存在,请确定C 点的位置并求出MN 的长;若不存在,请说明理由. 四、压轴题36.在平面直角坐标系xOy 中,对于任意三点A ,B ,C ,给出如下定义:若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行,且A ,B ,C 三点都在矩形的内部或边界上,则称该矩形为点A ,B ,C 的外延矩形.点A ,B ,C 的所有外延矩形中,面积最小的矩形称为点A ,B ,C 的最佳外延矩形.例如,图中的矩形,,都是点A ,B ,C 的外延矩形,矩形是点A ,B ,C 的最佳外延矩形.(1)如图1,已知A (-2,0),B (4,3),C (0,). ①若,则点A ,B ,C 的最佳外延矩形的面积为 ;②若点A,B,C的最佳外延矩形的面积为24,则的值为;(2)如图2,已知点M(6,0),N(0,8).P(,)是抛物线上一点,求点M,N,P的最佳外延矩形面积的最小值,以及此时点P的横坐标的取值范围;(3)如图3,已知点D(1,1).E(,)是函数的图象上一点,矩形OFEG是点O,D,E的一个面积最小的最佳外延矩形,⊙H是矩形OFEG的外接圆,请直接写出⊙H的半径r的取值范围.37.如图,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,tan B=34,OB=8.(1)求OA、AB的长;(2)点Q从点O出发,沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动,同时动点P从点A出发,沿着AB方向也以1个单位长度秒的速度匀速运动,设运动时间为t秒(0<t≤5)以P为圆心,PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D,连结CD,QC.①当t为何值时,点Q与点D重合?②若⊙P与线段QC只有一个公共点,求t的取值范围.38.【问题学习】小芸在小组学习时问小娟这样一个问题:已知α为锐角,且sinα=13,求sin2α的值.小娟是这样给小芸讲解的:构造如图1所示的图形,在⊙O中,AB是直径,点C在⊙O上,所以∠ACB=90°,作CD⊥AB 于D .设∠BAC=α,则sinα=13BC AB = ,可设BC=x ,则AB=3x ,…. 【问题解决】(1)请按照小娟的思路,利用图1求出sin2α的值;(写出完整的解答过程)(2)如图2,已知点M ,N ,P 为⊙O 上的三点,且∠P=β,sinβ=35 ,求sin2β的值.39.如图1(注:与图2完全相同)所示,抛物线212y x bx c =-++经过B 、D 两点,与x 轴的另一个交点为A ,与y 轴相交于点C . (1)求抛物线的解析式.(2)设抛物线的顶点为M ,求四边形ABMC 的面积(请在图1中探索)(3)设点Q 在y 轴上,点P 在抛物线上.要使以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形,求所有满足条件的点P 的坐标(请在图2中探索)40.如图,抛物线2y x bx c =-++与x 轴的两个交点分别为(1,0)A ,(30)B ,.抛物线的对称轴和x 轴交于点M .(1)求这条抛物线对应函数的表达式;(2)若P 点在该抛物线上,求当PAB △的面积为8时,求点P 的坐标.(3)点G 是抛物线上一个动点,点E 从点B 出发,沿x 轴的负半轴运动,速度为每秒1个单位,同时点F 由点M 出发,沿对称轴向下运动,速度为每秒2个单位,设运动的时间为t .①若点G 到AE 和MF 距离相等,直接写出点G 的坐标.②点C 是抛物线的对称轴上的一个动点,以FG 和FC 为边做矩形FGDC ,直接写出点E 恰好为矩形FGDC 的对角线交点时t 的值.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B 解析:B 【解析】 【分析】求出P 点到圆心的距离,即OP 长,与半径长度5作比较即可作出判断. 【详解】解:∵()8,6P -, ∴228610+= , ∵O 的直径为10,∴r=5, ∵OP>5, ∴点P 在O 外.故选:B. 【点睛】本题考查点和直线的位置关系,当d>r 时点在圆外,当d=r 时,点在圆上,当d<r 时,点在圆内,解题关键是根据点到圆心的距离和半径的关系判断.2.A解析:A【解析】【分析】根据极差的概念最大值减去最小值即可求解.【详解】解:这组数据:0、-1、3、2、1的极差是:3-(-1)=4.故选A.【点睛】本题考查了极差的知识,极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差.3.C解析:C【解析】【分析】设x=5k(k≠0),y=2k(k≠0),代入求值即可.【详解】解:∵52 xy=∴x=5k(k≠0),y=2k(k≠0)∴52322 x y k ky k--==故选:C.【点睛】本题考查分式的性质及化简求值,根据题意,正确计算是解题关键.4.D解析:D【解析】【分析】根据概率公式直接计算即可.【详解】解:在这6张卡片中,偶数有4张,所以抽到偶数的概率是46=23,故选:D.【点睛】本题主要考查了随机事件的概率,随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数,灵活利用概率公式是解题的关键.5.C解析:C【解析】先把数据从小到大排列,然后根据算术平均数,中位数,众数的定义得出这组数据的平均数、中位数、众数,再利用求方差的计算公式求出这组数据的方差,再逐项判定即可.【详解】解:数据从小到大排列为:1,2,6,6,10,中位数为:6;众数为:6;平均数为:()112661055⨯++++=; 方差为:()()()()()2222211525656510510.45⎡⎤⨯-+-+-+-+-=⎣⎦. 故选:C .【点睛】 本题考查的知识点是平均数,中位数,众数,方差的概念定义,熟记定义以及方差公式是解此题的关键.6.C解析:C【解析】【分析】连接OB ,OC ,根据圆周角定理求出∠BOC 的度数,再由OB =OC 判断出△OBC 是等边三角形,由此可得出结论.【详解】解:连接OB ,OC ,∵∠BAC =30°,∴∠BOC =60°.∵OB =OC ,BC =8,∴△OBC 是等边三角形,∴OB =BC =8.故选:C.【点睛】本题考查的是圆周角定理以及等边三角形的判定和性质,根据题意作出辅助线,构造出等边三角形是解答此题的关键.7.B解析:B【解析】根据表中数据,可获取相关信息:抛物线的顶点坐标为(1,-4),开口向上,与x 轴的两个交点坐标是(-1,0)和(3,0),据此即可得到答案.【详解】①由表格给出的数据可知(0,-3)和(2,-3)是一对对称点,所以抛物线的对称轴为202+=1,即顶点的横坐标为x=1,所以当x=1时,函数取得最小值-4,故此选项正确; ②由表格和①可知当x <1时,函数y 随x 的增大而减少;故此选项错误;③由表格和①可知顶点坐标为(1,-4),开口向上,∴二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴有两个交点,一个是(-1,0),另一个是(3,0);故此选项错误;④函数图象在x 轴下方y<0,由表格和③可知,二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴的两个交点坐标是(-1,0)和(3,0),∴当13x时,y<0;故此选项正确;综上:①④两项正确,故选:B .【点睛】本题综合性的考查了二次函数的性质,解题的关键是能根据二次函数的对称性判断:纵坐标相同两个点的是一对对称点. 8.A解析:A【解析】【分析】根据极差的概念最大值减去最小值即可求解.【详解】解:这组数据:0、-1、3、2、1的极差是:3-(-1)=4.故选A .【点睛】本题考查了极差的知识,极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差.9.D解析:D【解析】【分析】连接AO 、BO 、CO ,根据中心角度数=360°÷边数n ,分别计算出∠AOC 、∠BOC 的度数,根据角的和差则有∠AOB =30°,根据边数n =360°÷中心角度数即可求解.【详解】连接AO 、BO 、CO ,∵AC 是⊙O 内接正四边形的一边,∴∠AOC =360°÷4=90°,∵BC 是⊙O 内接正六边形的一边,∴∠BOC =360°÷6=60°,∴∠AOB =∠AOC ﹣∠BOC =90°﹣60°=30°,∴n =360°÷30°=12;故选:D .【点睛】本题考查正多边形和圆,解题的关键是根据正方形的性质、正六边形的性质求出中心角的度数.10.B解析:B【解析】 【分析】因为圆锥的高,底面半径,母线构成直角三角形,首先求得留下的扇形的弧长,利用勾股定理求圆锥的高即可.【详解】解:∵从半径为6cm 的圆形纸片剪去13圆周的一个扇形, ∴剩下的扇形的角度=360°×23=240°, ∴留下的扇形的弧长=24061880ππ⨯=, ∴圆锥的底面半径248r ππ==cm ; 故选:B.【点睛】此题主要考查了主要考查了圆锥的性质,要知道(1)圆锥的高,底面半径,母线构成直角三角形,(2)此扇形的弧长等于圆锥底面周长,扇形的半径等于圆锥的母线长. 11.B解析:B【解析】【分析】针扎到内切圆区域的概率就是内切圆的面积与外切圆面积的比.【详解】解:∵如图所示的正三角形,∴∠CAB =60°,∴∠OAB =30°,∠OBA =90°,设OB =a ,则OA =2a ,则小球落在小⊙O 内部(阴影)区域的概率为()22142a a ππ=. 故选:B .【点睛】本题考查了概率问题,掌握圆的面积公式是解题的关键.12.C解析:C【解析】【分析】根据二次函数y =x 2﹣2x +c 的图象与坐标轴只有两个公共点,可知二次函数y =x 2﹣2x +c 的图象与x 轴只有一个公共点或者与x 轴有两个公共点,其中一个为原点两种情况,然后分别计算出c 的值即可解答本题.【详解】解:∵二次函数y =x 2﹣2x +c 的图象与坐标轴只有两个公共点,∴二次函数y =x 2﹣2x +c 的图象与x 轴只有一个公共点或者与x 轴有两个公共点,其中一个为原点,当二次函数y =x 2﹣2x +c 的图象与x 轴只有一个公共点时,(﹣2)2﹣4×1×c =0,得c =1;当二次函数y =x 2﹣2x +c 的图象与轴有两个公共点,其中一个为原点时,则c =0,y =x 2﹣2x =x (x ﹣2),与x 轴两个交点,坐标分别为(0,0),(2,0);由上可得,c 的值是1或0,故选:C .【点睛】本题考查了二次函数与坐标的交点问题,掌握解二次函数的方法是解题的关键.13.C解析:C【解析】试题分析:由得,,即是判断函数与函数的图象的交点情况.因为函数与函数的图象只有一个交点 所以方程只有一个实数根故选C.考点:函数的图象点评:函数的图象问题是初中数学的重点和难点,是中考常见题,在压轴题中比较常见,要特别注意. 14.C解析:C【解析】【分析】根据抛物线与x 轴有两个交点可得△=b 2﹣4ac>0,可对①进行判断;由抛物线的对称轴可得﹣2b a=﹣1,可对②进行判断;根据对称轴方程及点A 坐标可求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标,可对③进行判断;根据对称轴及二次函数的增减性可对④进行判断;综上即可得答案.【详解】∵抛物线与x 轴有两个交点,∴b 2﹣4ac >0,即:b 2>4ac ,故①正确,∵二次函数y =ax 2+bx+c 的对称轴为直线x =﹣1,∴﹣2b a=﹣1, ∴2a =b ,即:2a ﹣b =0,故②错误.∵二次函数y =ax 2+bx+c 图象的一部分,图象过点A (﹣3,0),对称轴为直线x =﹣1, ∴二次函数与x 轴的另一个交点的坐标为(1,0),∴当x =1时,有a+b+c =0,故结论③错误;④∵抛物线的开口向下,对称轴x =﹣1,∴当x <﹣1时,函数值y 随着x 的增大而增大,∵﹣5<﹣1则y 1<y 2,则结论④正确故选:C .【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数的关系,对于二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0),二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小:当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左侧;当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右侧;常数项c决定抛物线与y轴交点位置:抛物线与y轴交于(0,c);抛物线与x轴交点个数由△=b2-4ac决定:△>0时,抛物线与x轴有2个交点;△= 0时,抛物线与x轴有1个交点;△<0时,抛物线与x轴没有交点.15.A解析:A【解析】【分析】根据抛物线的顶点式可直接得到顶点坐标.【详解】解:y=(x﹣2)2+3是抛物线的顶点式方程,根据顶点式的坐标特点可知,顶点坐标为(2,3).故选:A.【点睛】本题考查了二次函数的顶点式与顶点坐标,顶点式y=(x-h)2+k,顶点坐标为(h,k),对称轴为直线x=h,难度不大.二、填空题16.红【解析】【分析】哪一种颜色多,指针指向那种颜色的可能性就大.【详解】∵转盘分成6个大小相同的扇形,红色的有3块,∴转动一次转盘后,指针指向红颜色的可能性大.故答案为:红.【点睛】解析:红【解析】【分析】哪一种颜色多,指针指向那种颜色的可能性就大.【详解】∵转盘分成6个大小相同的扇形,红色的有3块,∴转动一次转盘后,指针指向红颜色的可能性大.故答案为:红.【点睛】本题考查了可能性大小的知识,解题的关键是看清那种颜色的最多,难度不大. 17.2【解析】【分析】先根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积,代入即可得出结论.【详解】解:∵x1,x2是关于 x 的方程x2+3x -5=0的两个根,根据根与系数的关系,得,x1+x2=解析:2【解析】【分析】先根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积,代入即可得出结论.【详解】解:∵x 1,x 2是关于 x 的方程x 2+3x -5=0的两个根,根据根与系数的关系,得,x 1+x 2=-3,x 1x 2=-5,则 x 1+x 2-x 1x 2=-3-(-5)=2,故答案为2.【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系,求出x 1+x 2=-3,x 1x 2=-5是解题的关键.18.-5.【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解.【详解】∵,是关于的一元二次方程的两根,∴,∴,故答案为:.【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系,如果,是方解析:-5.【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解.【详解】∵1x ,2x 是关于x 的一元二次方程240x x +-=的两根,∴121214x x x x +=-=-,, ∴()1212145x x x x ++=-+-=-,故答案为:5-.【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系,如果1x ,2x 是方程20x px q ++=的两根,那么12x x p +=﹣,12x x q =. 19.y =2(x -2)2+3【解析】【分析】根据平移的规律:左加右减,上加下减可得函数解析式.【详解】解:将抛物线y=2x2向上平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度后,得到的抛物线的表达式为解析:y =2(x -2)2+3【解析】【分析】根据平移的规律:左加右减,上加下减可得函数解析式.【详解】解:将抛物线y=2x 2向上平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度后,得到的抛物线的表达式为y=2(x-2)2+3,故答案为:y =2(x -2)2+3.【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换,关键是掌握平移的规律.20.【解析】【分析】求方程的解即是求函数图象与x 轴的交点坐标,因为图像具有对称性,知道一个坐标,就可求出另一个,分析x 轴上方的图象可得结果.【详解】由图像可知,二次函数的对称轴x=2,图像与x解析:15x -<<【解析】【分析】求方程的解即是求函数图象与x 轴的交点坐标,因为图像具有对称性,知道一个坐标,就可求出另一个,分析x 轴上方的图象可得结果.【详解】由图像可知,二次函数的对称轴x=2,图像与x 轴的一个交点为5,所以,另一交点为2-3=-1. ∴x 1=-1,x 2=5. ∴不等式20ax bx c ++>的解集是15x -<<.故答案为15x -<<【点睛】要了解二次函数性质与图像,由于图像的开口向下,所以,有两个交点,知一易求另一个,本题属于基础题.21.18<x <6.19【解析】【分析】根据表格中自变量、函数的值的变化情况,得出当y =0时,相应的自变量的取值范围即可.【详解】由表格数据可得,当x =6.18时,y =﹣0.01,当x =6.19解析:18<x <6.19【解析】【分析】根据表格中自变量、函数的值的变化情况,得出当y =0时,相应的自变量的取值范围即可.【详解】由表格数据可得,当x =6.18时,y =﹣0.01,当x =6.19时,y =0.02,∴当y =0时,相应的自变量x 的取值范围为6.18<x <6.19,故答案为:6.18<x <6.19.【点睛】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根,解题的关键是找到y 由正变为负时,自变量的取值即可.22..【解析】试题分析:由∠C=∠E=90°,∠BAC=∠DAE 可得△ABC∽△ADE,根据相似三角形的对应边的比相等就可求出AD 的长.试题解析:∵∠C=∠E=90°,∠BAC=∠DAE∴△AB 解析:103. 【解析】 试题分析:由∠C=∠E=90°,∠BAC=∠DAE 可得△ABC ∽△ADE ,根据相似三角形的对应边的比相等就可求出AD 的长.试题解析:∵∠C=∠E=90°,∠BAC=∠DAE∴△ABC ∽△ADE∴AC :AE=BC :DE∴DE=83∴103AD = 考点: 1.相似三角形的判定与性质;2.勾股定理.23.>【解析】【分析】根据题意直接利用二次函数的图象与a 的关系即可得出答案.【详解】解:因为二次函数的图像开口方向向上,所以有>0.故填>.【点睛】本题主要考查二次函数的性质,掌握二次解析:>【解析】【分析】根据题意直接利用二次函数的图象与a 的关系即可得出答案.【详解】解:因为二次函数2y ax bx c =++的图像开口方向向上,所以有a >0.故填>.【点睛】本题主要考查二次函数的性质,掌握二次项系数a 与抛物线的关系是解题的关键,图像开口方向向上,a >0;图像开口方向向下,a <0. 24.15π【解析】【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2.【详解】解:底面圆的半径为3cm ,则底面周长=6πcm,侧面面积=×6π×5=15πcm2.故答案为:15π.【点睛】本题考解析:15π【解析】【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2.【详解】解:底面圆的半径为3cm,则底面周长=6πcm,侧面面积=12×6π×5=15πcm2.故答案为:15π.【点睛】本题考查的知识点圆锥的侧面积公式,牢记公式是解此题的关键.25.【解析】【分析】根据众数的定义:一组数据中出现次数最多的数据解答即可.【详解】在数据:3,2,1,2,2,3中,2出现3次,出现的次数最多,∴这组数据的众数是2,故答案为:2.【点睛解析:【解析】【分析】根据众数的定义:一组数据中出现次数最多的数据解答即可.【详解】在数据:3,2,1,2,2,3中,2出现3次,出现的次数最多,∴这组数据的众数是2,故答案为:2.【点睛】此题考查的是求一组数据的众数,掌握众数的定义是解决此题的关键.26.y=0.5(x-2)+5【解析】解:∵函数y=(x﹣2)2+1的图象过点A(1,m),B(4,n),∴m=(1﹣2)2+1=1,n=(4﹣2)2+1=3,∴A(1,1),B(4,3),过A作AC解析:y=0.5(x-2)2+5【解析】解:∵函数y=12(x﹣2)2+1的图象过点A(1,m),B(4,n),∴m=12(1﹣2)2+1=112,n=12(4﹣2)2+1=3,∴A(1,112),B(4,3),过A作AC∥x轴,交B′B的延长线于点C,则C(4,112),∴AC=4﹣1=3.∵曲线段AB扫过的面积为12(图中的阴影部分),∴AC•AA′=3AA′=12,∴AA′=4,即将函数y=12(x﹣2)2+1的图象沿y轴向上平移4个单位长度得到一条新函数的图象,∴新图象的函数表达式是y=12(x﹣2)2+5.故答案为y=0.5(x﹣2)2+5.点睛:本题主要考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法等知识,根据已知得出AA′是解题的关键.27.﹣≤y≤1【解析】【分析】利用配方法转化二次函数求出对称轴,根据二次函数的性质即可求解.【详解】∵y=3x2+2x=3(x+)2﹣,∴函数的对称轴为x=﹣,∴当﹣1≤x≤0时,函数有最解析:﹣13≤y≤1【解析】【分析】利用配方法转化二次函数求出对称轴,根据二次函数的性质即可求解.【详解】∵y=3x2+2x=3(x+13)2﹣13,∴函数的对称轴为x=﹣13,∴当﹣1≤x≤0时,函数有最小值﹣13,当x=﹣1时,有最大值1,∴y的取值范围是﹣13≤y≤1,故答案为﹣13≤y ≤1. 【点睛】 本题考查二次函数的性质、一般式和顶点式之间的转化,解题的关键是熟练掌握二次函数的性质.28.乙【解析】【分析】根据方差的意义可作出判断.方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越小,表明这组数据分布比较集中,各数据偏离平均数越小,即波动越小,数据越稳定.【详解】解:∵,∴队员身解析:乙【解析】【分析】根据方差的意义可作出判断.方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越小,表明这组数据分布比较集中,各数据偏离平均数越小,即波动越小,数据越稳定.【详解】解:∵22S S 甲乙,∴队员身高比较整齐的球队是乙,故答案为:乙.【点睛】本题考查方差.解题关键在于知道方差是用来衡量一组数据波动大小的量29.2【解析】【分析】设,分别用k 表示x 、y 、z ,然后代入计算,即可得到答案.【详解】解:根据题意,设,∴,,,∴;故答案为:2.【点睛】本题考查了比例的性质,解题的关键是掌握比例的解析:2【解析】【分析】 设234x y z k ===,分别用k 表示x 、y 、z ,然后代入计算,即可得到答案. 【详解】 解:根据题意,设234x y z k ===, ∴2x k =,3y k =,4z k =, ∴2423x z k k y k++==; 故答案为:2.【点睛】本题考查了比例的性质,解题的关键是掌握比例的性质,正确用k 来表示x 、y 、z.30.或【解析】【分析】过A 作AD 垂直于x 轴,设A 点坐标为(m ,n ),则根据A 在y=x 上得m=n ,由AC 长的最大值为,可知AC 过圆心B 交⊙B 于C ,进而可知AB=5,在Rt △ADB 中,AD=m ,BD= 解析:9y x =或16y x= 【解析】【分析】过A 作AD 垂直于x 轴,设A 点坐标为(m ,n ),则根据A 在y=x 上得m=n ,由AC 长的最大值为7,可知AC 过圆心B 交⊙B 于C ,进而可知AB=5,在Rt △ADB 中,AD=m ,BD=7-m ,根据勾股定理列方程即可求出m 的值,进而可得A 点坐标,即可求出该反比例函数的表达式.【详解】过A 作AD 垂直于x 轴,设A 点坐标为(m ,n ),∵A 在直线y=x 上,∴m=n ,∵AC 长的最大值为7,∴AC 过圆心B 交⊙B 于C ,∴AB=7-2=5,在Rt △ADB 中,AD=m ,BD=7-m ,AB=5,∴m 2+(7-m)2=52,解得:m=3或m=4,∵A 点在反比例函数y =k x(k >0)的图像上, ∴当m=3时,k=9;当m=4时,k=16, ∴该反比例函数的表达式为:9y x = 或16y x= ,故答案为9y x =或16y x= 【点睛】 本题考查一次函数与反比例函数的性质,理解题意找出AC 的最长值是通过圆心的直线是解题关键.三、解答题31.(1)证明见解析;(2)2933()22cm . 【解析】【分析】(1)连接OD ,求出∠AOD ,求出∠DOB ,求出∠ODP ,根据切线判定推出即可. (2)求出OP 、DP 长,分别求出扇形DOB 和△ODP 面积,即可求出答案.【详解】解:(1)证明:连接OD ,∵∠ACD=60°,∴由圆周角定理得:∠AOD=2∠ACD=120°.∴∠DOP=180°﹣120°=60°.∵∠APD=30°,∴∠ODP=180°﹣30°﹣60°=90°.∴OD ⊥DP .∵OD 为半径,∴DP 是⊙O 切线.(2)∵∠ODP=90°,∠P=30°,OD=3cm ,∴OP=6cm ,由勾股定理得:cm .∴图中阴影部分的面积221603933333()236022ODP DOB S S S cm 扇形32.(1)5;(2)PQ ∥A D '',理由见解析;(3 【解析】【分析】(1)求出AE ABE ∽△DEA ,由AD AE AE BE=可求出AD 的长; (2)过点E 作EF ⊥AD 于点F ,证明△PEF ∽△QEC ,再证△EPQ ∽△A'ED',可得出∠EPQ =∠EA'D',则结论得证;(3)由(2)知PQ ∥A ′D ′,取A ′D ′的中点N ,可得出∠PEM 为定值,则点M 的运动路径为线段,即从AD 的中点到DE 的中点,由中位线定理可得出答案.【详解】解:(1)∵AB =2,BE =1,∠B =90°,∴AE∵∠AED =90°,∴∠EAD+∠ADE =90°,∵矩形ABCD 中,∠ABC =∠BAD =90°,∴∠BAE+∠EAD =90°,∴∠BAE =∠ADE ,∴△ABE ∽△DEA ,∴AD AE AE BE=,=, ∴AD =5;(2)PQ ∥A ′D ′,理由如下:∵5,AD AE ==AED =90°∴DE =∵AD =BC =5,∴EC =BC ﹣BE =5﹣1=4,过点E 作EF ⊥AD 于点F ,。
江苏省常州市第一学期九年级数学期末试卷(含解析)一、选择题1.如图,等边三角形ABC 的边长为5,D 、E 分别是边AB 、AC 上的点,将△ADE 沿DE 折叠,点A 恰好落在BC 边上的点F 处,若BF =2,则BD 的长是( )A .2B .3C .218D .2472.要得到函数y =2(x -1)2+3的图像,可以将函数y =2x 2的图像( ) A .向左平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度 B .向左平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度 C .向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度 D .向右平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度3.如图,等腰直角三角形ABC 的腰长为4cm ,动点P 、Q 同时从点A 出发,以1cm/s 的速度分别沿A →B 和A →C 的路径向点B 、C 运动,设运动时间为x (单位:s),四边形PBC Q 的面积为y(单位:cm 2),则y 与x(0≤x≤4)之间的函数关系可用图象表示为( )A .B .C .D .4.已知圆锥的底面半径为5cm ,母线长为13cm ,则这个圆锥的全面积是( ) A .265cm πB .290cm πC .2130cm πD .2155cm π5.为了比较甲乙两足球队的身高谁更整齐,分别量出每人身高,发现两队的平均身高一样,甲、乙两队的方差分别是1.7、2.4,则下列说法正确的是( ) A .甲、乙两队身高一样整齐 B .甲队身高更整齐C .乙队身高更整齐D .无法确定甲、乙两队身高谁更整齐6.如图1,S 是矩形ABCD 的AD 边上一点,点E 以每秒k cm 的速度沿折线BS -SD -DC 匀速运动,同时点F 从点C 出发点,以每秒1cm 的速度沿边CB 匀速运动.已知点F 运动到点B 时,点E 也恰好运动到点C ,此时动点E ,F 同时停止运动.设点E ,F 出发t 秒时,△EBF 的面积为2ycm .已知y 与t 的函数图像如图2所示.其中曲线OM ,NP 为两段抛物线,MN 为线段.则下列说法:①点E 运动到点S 时,用了2.5秒,运动到点D 时共用了4秒; ②矩形ABCD 的两邻边长为BC =6cm ,CD =4cm ;③sin ∠ABS =32; ④点E 的运动速度为每秒2cm .其中正确的是( )A .①②③B .①③④C .①②④D .②③④7.二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像如图所示,它的对称轴为直线1x =,与x 轴交点的横坐标分别为1x ,2x ,且110x -<<.下列结论中:①0abc <;②223x <<;③421a b c ++<-;④方程()2200ax bx c a ++-=≠有两个相等的实数根;⑤13a >.其中正确的有( )A .②③⑤B .②③C .②④D .①④⑤8.小华同学某体育项目7次测试成绩如下(单位:分):9,7,10,8,10,9,10.这组数据的中位数和众数分别为( ) A .8,10 B .10,9C .8,9D .9,109.如图,在△ABC 中,点D 、E 分别是AB 、AC 的中点,若△ADE 的面积为4,则△ABC 的面积为( )A .8B .12C .14D .1610.方程x 2﹣3x =0的根是( )A .x =0B .x =3C .10x =,23x =-D .10x =,23x = 11.若两个相似三角形的相似比是1:2,则它们的面积比等于( ) A .12B .1:2C .1:3D .1:412.O 的半径为5,圆心O 到直线l 的距离为3,则直线l 与O 的位置关系是( )A .相交B .相切C .相离D .无法确定13.如图,PA 是⊙O 的切线,切点为A ,PO 的延长线交⊙O 于点B ,连接AB ,若∠B =25°,则∠P 的度数为( )A .25°B .40°C .45°D .50°14.如图,AB ,AM ,BN 分别是⊙O 的切线,切点分别为 P ,M ,N .若 MN ∥AB ,∠A =60°,AB =6,则⊙O 的半径是( )A .32B .3C .323 D .315.如图,□ABCD 中,点E 是边AD 的中点,EC 交对角线BD 于点F ,则EF:FC 等于( )A .3:2B .3:1C .1:1D .1:2二、填空题16.已知矩形ABCD ,AB=3,AD=5,以点A 为圆心,4为半径作圆,则点C 与圆A 的位置关系为 __________.17.如图,已知正六边形内接于O ,若正六边形的边长为2,则图中涂色部分的面积为______.18.若扇形的半径长为3,圆心角为60°,则该扇形的弧长为___.19.如图,在平面直角坐标系中,直线l :28y x =+与坐标轴分别交于A ,B 两点,点C 在x 正半轴上,且OC =O B .点P 为线段AB (不含端点)上一动点,将线段OP 绕点O 顺时针旋转90°得线段OQ ,连接CQ ,则线段CQ 的最小值为___________.20.一个不透明的口袋中装有若干只除了颜色外其它都完全相同的小球,若袋中有红球6只,且摸出红球的概率为35,则袋中共有小球_____只. 21.如图,∠C=∠E=90°,AC=3,BC=4,AE=2,则AD=_________ .22.如图,四边形ABCD 内接于⊙O ,若∠BOD=140°,则∠BCD=_____.23.二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,若点()11,A y ,()23,B y 是图象上的两点,则1y ____2y (填“>”、“<”、“=”).24.如图示,在Rt ABC ∆中,90ACB ∠=︒,3AC =,3BC =,点P 在Rt ABC ∆内部,且PAB PBC ∠=∠,连接CP ,则CP 的最小值等于______.25.将抛物线 y=(x+2)2-5向右平移2个单位所得抛物线解析式为_____.26.如图,在由边长为1的小正方形组成的网格中.点 A,B,C,D 都在这些小正方形的格点上,AB、CD 相交于点E,则sin∠AEC的值为_____.27.已知3a=4b≠0,那么ab=_____.28.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+5a=0有两个正的相等的实数根,则这两个相等实数根的和为_____.29.甲、乙两个篮球队队员身高的平均数都为2.07米,方差分别是2S甲、2S乙,且22S S>甲乙,则队员身高比较整齐的球队是_____.30.如图,二次函数y=x(x﹣3)(0≤x≤3)的图象,记为C1,它与x轴交于点O,A1;将C1点A1旋转180°得C2,交x轴于点A2;将C2绕点A2旋转180°得C3,交x轴于点A3;……若P(2020,m)在这个图象连续旋转后的所得图象上,则m=_____.三、解答题31.已知二次函数y=2x2+bx﹣6的图象经过点(2,﹣6),若这个二次函数与x轴交于A.B 两点,与y轴交于点C,求出△ABC的面积.32.如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径的⊙O交BC于点D,交AB于点E,过点D 作DF⊥AB,垂足为F,连接DE.(1)求证:直线DF与⊙O相切;(2)求证:BF=EF;33.已知,如图,抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(1,9)M ,经过抛物线上的两点(3,7)A --和(3,)B m 的直线交抛物线的对称轴于点C .(1)求抛物线的解析式和直线AB 的解析式.(2)在抛物线上,A M 两点之间的部分(不包含,A M 两点),是否存在点D ,使得2DAC DCM S S ∆∆=?若存在,求出点D 的坐标;若不存在,请说明理由.(3)若点P 在抛物线上,点Q 在x 轴上,当以点,,,A M P Q 为顶点的四边形是平行四边形时,直接写出满足条件的点P 的坐标.34.某景区检票口有A 、B 、C 、D 共4个检票通道.甲、乙两人到该景区游玩,两人分别从4个检票通道中随机选择一个检票. (1)甲选择A 检票通道的概率是 ;(2)求甲乙两人选择的检票通道恰好相同的概率.35.一个四边形被一条对角线分割成两个三角形,如果被分割的两个三角形相似,我们被称为该对角线为相似对角线.(1)如图1,正方形ABCD 的边长为4,E 为AD 的中点,1AF =,连结CE .CP ,求证:EF 为四边形AECF 的相似对角线.(2)在四边形ABCD 中,120BAD ︒∠=,3AB =,6AC =,AC 平分BAD ∠,且AC 是四边形ABCD 的相似对角线,求BD 的长.(3)如图2,在矩形ABCD 中,6AB =,4BC =,点E 是线段AB (不取端点A .B )上的一个动点,点F 是射线AD 上的一个动点,若EF 是四边形AECF 的相似对角线,求BE 的长.(直接写出答案) 四、压轴题36.已知P 是⊙O 上一点,过点P 作不过圆心的弦PQ ,在劣弧PQ 和优弧PQ 上分别有动点A 、B(不与P ,Q 重合),连接AP 、BP . 若∠APQ=∠BPQ. (1)如图1,当∠APQ=45°,AP=1,BP=22时,求⊙O 的半径;(2)如图2,选接AB ,交PQ 于点M ,点N 在线段PM 上(不与P 、M 重合),连接ON 、OP ,若∠NOP+2∠OPN=90°,探究直线AB 与ON 的位置关系,并证明.37.如图①,O 经过等边ABC 的顶点A ,C (圆心O 在ABC 内),分别与AB ,CB 的延长线交于点D ,E ,连结DE ,BF EC ⊥交AE 于点F . (1)求证:BD BE =.(2)当:3:2AF EF =,6AC =,求AE 的长.(3)当:3:2AF EF =,AC a =时,如图②,连结OF ,OB ,求OFB △的面积(用含a 的代数式表示).38.如图,函数y=-x 2+bx +c 的图象经过点A (m ,0),B (0,n )两点,m ,n 分别是方程x 2-2x -3=0的两个实数根,且m <n .(1)求m ,n 的值以及函数的解析式;(2)设抛物线y=-x 2+bx +c 与x 轴的另一交点为点C ,顶点为点D ,连结BD 、BC 、CD ,求△BDC 面积;(3)对于(1)中所求的函数y=-x 2+bx +c , ①当0≤x ≤3时,求函数y 的最大值和最小值;②设函数y 在t ≤x ≤t +1内的最大值为p ,最小值为q ,若p-q =3,求t 的值.39.如图 1,抛物线21:4C y ax ax c =-+交x 轴正半轴于点()1,0,A B ,交y 轴正半轴于C ,且OB OC =.(1)求抛物线1C 的解析式;(2)在图2中,将抛物线1C 向右平移n 个单位后得到抛物线2C ,抛物线2C 与抛物线1C 在第一象限内交于一点P ,若CAP ∆的内心在CAB △内部,求n 的取值范围(3)在图3中,M 为抛物线1C 在第一象限内的一点,若MCB ∠为锐角,且3tan MCB ∠>,直接写出点M 横坐标M x 的取值范围___________40.如图1,ABC ∆是⊙O 的内接等腰三角形,点D 是弧AC 上异于,A C 的一个动点,射线AD 交底边BC 所在的直线于点E ,连结BD 交AC 于点F . (1)求证:ADB CDE ∠=∠;(2)若7BD =,3CD =,①求AD DE •的值;②如图2,若AC BD ⊥,求tan ACB ∠;(3)若5tan 2CDE ∠=,记AD x =,ABC ∆面积和DBC ∆面积的差为y ,直接写出y 关于x 的函数关系式.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.C 解析:C 【解析】 【分析】根据折叠得出∠DFE =∠A =60°,AD =DF ,AE =EF ,设BD =x ,AD =DF =5﹣x ,求出∠DFB =∠FEC ,证△DBF ∽△FCE ,进而利用相似三角形的性质解答即可. 【详解】解:∵△ABC 是等边三角形,∴∠A =∠B =∠C =60°,AB =BC =AC =5,∵沿DE折叠A落在BC边上的点F上,∴△ADE≌△FDE,∴∠DFE=∠A=60°,AD=DF,AE=EF,设BD=x,AD=DF=5﹣x,CE=y,AE=5﹣y,∵BF=2,BC=5,∴CF=3,∵∠C=60°,∠DFE=60°,∴∠EFC+∠FEC=120°,∠DFB+∠EFC=120°,∴∠DFB=∠FEC,∵∠C=∠B,∴△DBF∽△FCE,∴BD BF DFFC CE EF==,即2535x xy y-==-,解得:x=218,即BD=218,故选:C.【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质,解题的关键是熟知折叠的性质、相似三角形的判定定理.2.C解析:C【解析】【分析】找到两个抛物线的顶点,根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到.【详解】解:∵y=2(x-1)2+3的顶点坐标为(1,3),y=2x2的顶点坐标为(0,0),∴将抛物线y=2x2向右平移1个单位,再向上平移3个单位,可得到抛物线y=2(x-1)2+3故选:C.【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换,解答时注意抓住点的平移规律和求出关键点顶点坐标.3.C解析:C【解析】【分析】先计算出四边形PBCQ 的面积,得到y 与x 的函数关系式,再根据函数解析式确定图象即可.【详解】由题意得: 22111448222y x x =⨯⨯-=-+(0≤x≤4), 可知,抛物线开口向下,关于y 轴对称,顶点为(0,8),故选:C.【点睛】此题考查二次函数的性质,根据题意列出解析式是解题的关键.4.B解析:B【解析】【分析】先根据圆锥侧面积公式:S rl π=求出圆锥的侧面积,再加上底面积即得答案.【详解】解:圆锥的侧面积=251365cm ππ⨯⨯=,所以这个圆锥的全面积=2265590cm πππ+⨯=.故选:B.【点睛】本题考查了圆锥的有关计算,属于基础题型,熟练掌握圆锥侧面积的计算公式是解答的关键.5.B解析:B【解析】【分析】根据方差的意义可作出判断,方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越小,表明这组数据分布比较集中,各数据偏离平均数越小,即波动越小,数据越稳定.【详解】∵S 2甲=1.7,S 2乙=2.4,∴S 2甲<S 2乙,∴甲队成员身高更整齐;故选B.【点睛】此题考查方差,掌握波动越小,数据越稳定是解题关键6.C解析:C【解析】【分析】①根据函数图像的拐点是运动规律的变化点由图象即可判断.②设AB CD acm ==,BC AD bcm ==,由函数图像利用△EBF 面积列出方程组即可解决问题.③由 2.5BS k =,1.5SD k =,得53BS SD =,设3SD x =,5BS x =,在RT ABS ∆中,由222AB AS BS +=列出方程求出x ,即可判断.④求出BS 即可解决问题.【详解】解:函数图像的拐点时点运动的变化点根据由图象可知点E 运动到点S 时用了2.5秒,运动到点D 时共用了4秒.故①正确.设AB CD acm ==,BC AD bcm ==, 由题意,1··( 2.5)721·(4)42a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 解得46a b =⎧⎨=⎩, 所以4AB CD cm ==,6BC AD cm ==,故②正确,2.5BS k =, 1.5SD k =, ∴53BS SD =,设3SD x =,5BS x =, 在Rt ABS ∆中,222AB AS BS +=,2224(63)(5)x x ∴+-=,解得1x =或134-(舍), 5BS ∴=,3SD =,3AS =,3sin 5AS ABS BS ∴∠==故③错误, 5BS =,5 2.5k ∴=,2/k cm s ∴=,故④正确,故选:C .【点睛】本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、勾股定理、三角形面积、函数图象问题等知识,读懂图象信息是解决问题的关键,学会设未知数列方程组解决问题,把问题转化为方程去思考,是数形结合的好题目,属于中考选择题中的压轴题.7.A解析:A【解析】【分析】利用抛物线开口方向得到a <0,利用对称轴位置得到b >0,利用抛物线与y 轴的交点在x轴下方得c <0,则可对①进行判断;根据二次函数的对称性对②③进行判断;利用抛物线与直线y=2的交点个数对④进行判断,利用函数与坐标轴的交点列出不等式即可判断⑤.【详解】∵抛物线开口向下,∴a <0,∵对称轴为直线1x =∴b=-2a >0∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方,∴c <-1,∴abc >0,所以①错误;∵110x -<<,对称轴为直线1x =∴1212x x +=故223x <<,②正确; ∵对称轴x=1,∴当x=0,x=2时,y 值相等,故当x=0时,y=c <0,∴当x=2时,y=421a b c ++<-,③正确;如图,作y=2,与二次函数有两个交点,故方程()2200ax bx c a ++-=≠有两个不相等的实数根,故④错误; ∵当x=-1时,y=a-b+c=3a+c >0,当x=0时,y=c <-1∴3a >1,故13a >,⑤正确; 故选A.【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系:对于二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0),二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小.当a >0时,抛物线向上开口;当a <0时,抛物线向下开口;一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置. 当a 与b 同号时(即ab >0),对称轴在y 轴左; 当a 与b 异号时(即ab <0),对称轴在y 轴右;常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置:抛物线与y 轴交于(0,c ).也考查了二次函数的性质.8.D【解析】试题分析:把这组数据从小到大排列:7,8,9,9,10,10,10,最中间的数是9,则中位数是9;10出现了3次,出现的次数最多,则众数是10;故选D.考点:众数;中位数.9.D解析:D【解析】【分析】直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC,DE=12BC,再利用相似三角形的判定与性质得出答案.【详解】解:∵在△ABC中,点D、E分别是AB、AC的中点,∴DE∥BC,DE=12 BC,∴△ADE∽△ABC,∵DEBC=12,∴14ADEABCSS∆∆=,∵△ADE的面积为4,∴△ABC的面积为:16,故选D.【点睛】考查了三角形的中位线以及相似三角形的判定与性质,正确得出△ADE∽△ABC是解题关键.10.D解析:D【解析】【分析】先将方程左边提公因式x,解方程即可得答案.【详解】x2﹣3x=0,x(x﹣3)=0,x1=0,x2=3,故选:D.本题考查解一元二次方程,解一元二次方程的常用方法有:配方法、直接开平方法、公式法、因式分解法等,熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键.11.D解析:D【解析】【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可.【详解】解:∵两个相似三角形的相似比是1:2,∴这两个三角形们的面积比为1:4,故选:D.【点睛】此题考查相似三角形的性质,掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解决此题的关键.12.A解析:A【解析】【分析】根据直线和圆的位置关系可知,圆的半径大于直线到圆距离,则直线l与O的位置关系是相交.【详解】∵⊙O的半径为5,圆心O到直线的距离为3,∴直线l与⊙O的位置关系是相交.故选A.【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系,直接根据直线和圆的位置关系解答即可.13.B解析:B【解析】【分析】连接OA,由圆周角定理得,∠AOP=2∠B=50°,根据切线定理可得∠OAP=90°,继而推出∠P=90°﹣50°=40°.【详解】连接OA,由圆周角定理得,∠AOP=2∠B=50°,∵PA是⊙O的切线,∴∠OAP=90°,∴∠P=90°﹣50°=40°,故选:B.【点睛】本题考查圆周角定理、切线的性质、三角形内角和定理,解题的关键是求出∠AOP 的度数.14.D解析:D【解析】【分析】根据题意可判断四边形ABNM 为梯形,再由切线的性质可推出∠ABN=60°,从而判定△APO ≌△BPO ,可得AP=BP=3,在直角△APO 中,利用三角函数可解出半径的值.【详解】解:连接OP ,OM ,OA ,OB ,ON∵AB ,AM ,BN 分别和⊙O 相切,∴∠AMO=90°,∠APO=90°,∵MN ∥AB ,∠A =60°,∴∠AMN=120°,∠OAB=30°,∴∠OMN=∠ONM=30°,∵∠BNO=90°,∴∠ABN=60°,∴∠ABO=30°,在△APO 和△BPO 中,OAP OBP APO BPO OP OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,△APO ≌△BPO (AAS ), ∴AP=12AB=3, ∴tan ∠OAP=tan30°=OP AP 3 ∴33.故选D.【点睛】本题考查了切线的性质,切线长定理,解直角三角形,全等三角形的判定和性质,关键是说明点P 是AB 中点,难度不大.15.D解析:D【解析】【分析】根据题意得出△DEF ∽△BCF ,进而得出=DE EF BC FC ,利用点E 是边AD 的中点得出答案即可.【详解】解:∵▱ABCD ,故AD ∥BC ,∴△DEF ∽△BCF , ∴=DE EF BC FC, ∵点E 是边AD 的中点, ∴AE=DE=12AD , ∴12EF FC . 故选D .二、填空题16.点C 在圆外【解析】【分析】由r 和CA ,AB 、DA 的大小关系即可判断各点与⊙A 的位置关系.【详解】解:∵AB=3厘米,AD =5厘米,∴AC=厘米,∵半径为4厘米,∴点C在圆A外【点解析:点C在圆外【解析】【分析】由r和CA,AB、DA的大小关系即可判断各点与⊙A的位置关系.【详解】解:∵AB=3厘米,AD=5厘米,∴AC=223534+=厘米,∵半径为4厘米,∴点C在圆A外【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断.关键要记住若半径为r,点到圆心的距离为d,则有:当d>r时,点在圆外;当d=r时,点在圆上,当d<r时,点在圆内.17.【解析】【分析】根据圆的性质和正六边形的性质证明△CDA≌△BDO,得出涂色部分即为扇形AOB的面积,根据扇形面积公式求解.【详解】解:连接OA,OB,OC,AB,OA与BC交于D点∵正解析:2 3π【解析】【分析】根据圆的性质和正六边形的性质证明△CDA≌△BDO,得出涂色部分即为扇形AOB的面积,根据扇形面积公式求解.【详解】解:连接OA,OB,OC,AB,OA与BC交于D点∵正六边形内接于O,∴∠BOA=∠AOC=60°,OA=OB=OC=4,∴∠BOC=120°,OD⊥BC,BD=CD ∴∠OCB=∠OBC=30°,∴OD=1122OB OA DA ,∵∠CDA=∠BDO,∴△CDA≌△BDO,∴S△CDA=S△BDO,∴图中涂色部分的面积等于扇形AOB的面积为:26022 3603ππ⨯=.故答案为:23π.【点睛】本题考查圆的内接正多边形的性质,根据圆的性质结合正六边形的性质将涂色部分转化成扇形面积是解答此题的关键.18.【解析】【分析】根据弧长的公式列式计算即可.【详解】∵一个扇形的半径长为3,且圆心角为60°,∴此扇形的弧长为=π.故答案为:π.【点睛】此题考查弧长公式,熟记公式是解题关键.解析:π【解析】【分析】根据弧长的公式列式计算即可.【详解】∵一个扇形的半径长为3,且圆心角为60°,∴此扇形的弧长为603 180π⨯=π.故答案为:π.【点睛】此题考查弧长公式,熟记公式是解题关键.19.【解析】【分析】在OA上取使,得,则,根据点到直线的距离垂线段最短可知当⊥AB时,CP最小,由相似求出的最小值即可.【详解】解:如图,在OA上取使,∵,∴,在△和△QOC中,,解析:455【解析】【分析】在OA上取'C使'OC OC=,得'OPC OQC≅,则CQ=C'P,根据点到直线的距离垂线段最短可知当'PC⊥AB时,CP最小,由相似求出C'P的最小值即可.【详解】解:如图,在OA上取'C使'OC OC=,∵90AOC POQ∠=∠=︒,∴'POC QOC∠=∠,在△'POC和△QOC中,''OP OQPOC QOCOC OC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△'POC≌△QOC(SAS),∴'PC QC=∴当'PC 最小时,QC 最小,过'C 点作''C P ⊥AB ,∵直线l :28y x =+与坐标轴分别交于A ,B 两点,∴A 坐标为:(0,8);B 点(-4,0),∵'4OC OC OB ===,∴AB =''4AC OA OC =-=. ∵'''OB C P sin BAO AB AC ∠==, ''4C P =,∴''C P =∴线段CQ【点睛】 本题主要考查了一次函数图像与坐标轴的交点及三角形全等的判定和性质、垂线段最短等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,学会利用垂线段最短解决最值问题,属于中考压轴题.20.【解析】【分析】直接利用概率公式计算.【详解】解:设袋中共有小球只,根据题意得,解得x =10,经检验,x=10是原方程的解,所以袋中共有小球10只.故答案为10.【点睛】此题主解析:【解析】【分析】直接利用概率公式计算.【详解】解:设袋中共有小球只,根据题意得635x=,解得x=10,经检验,x=10是原方程的解,所以袋中共有小球10只.故答案为10.【点睛】此题主要考查概率公式,解题的关键是熟知概率公式的运用.21..【解析】试题分析:由∠C=∠E=90°,∠BAC=∠DAE可得△ABC∽△ADE,根据相似三角形的对应边的比相等就可求出AD的长.试题解析:∵∠C=∠E=90°,∠BAC=∠DAE∴△AB解析:10 3.【解析】试题分析:由∠C=∠E=90°,∠BAC=∠DAE可得△ABC∽△ADE,根据相似三角形的对应边的比相等就可求出AD的长.试题解析:∵∠C=∠E=90°,∠BAC=∠DAE∴△ABC∽△ADE∴AC:AE=BC:DE∴DE=83∴103AD=考点: 1.相似三角形的判定与性质;2.勾股定理.22.110°.【解析】【分析】由圆周角定理,同弧所对的圆心角是圆周角的2倍.可求∠A=∠BOD=70°,再根据圆内接四边形对角互补,可得∠C=180-∠A=110°【详解】∵∠BOD=140°解析:110°.【解析】【分析】由圆周角定理,同弧所对的圆心角是圆周角的2倍.可求∠A=12∠BOD=70°,再根据圆内接四边形对角互补,可得∠C=180-∠A=110°【详解】∵∠BOD=140°∴∠A=12∠BOD=70° ∴∠C=180°-∠A=110°,故答案为:110°.【点睛】此题考查圆周角定理,解题的关键在于利用圆内接四边形的性质求角度.23.>【解析】【分析】利用函数图象可判断点,都在对称轴右侧的抛物线上,然后根据二次函数的性质可判断与的大小.【详解】解:∵抛物线的对称轴在y 轴的左侧,且开口向下,∴点,都在对称轴右侧的抛物线解析:>【解析】【分析】利用函数图象可判断点()11,A y ,()23,B y 都在对称轴右侧的抛物线上,然后根据二次函数的性质可判断1y 与2y 的大小.【详解】解:∵抛物线的对称轴在y 轴的左侧,且开口向下,∴点()11,A y ,()23,B y 都在对称轴右侧的抛物线上,∴1y >2y .故答案为>.【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征,二次函数的性质.解决本题的关键是判断点A 和点B 都在对称轴的右侧.24.【解析】【分析】首先判定直角三角形∠CAB=30°,∠ABC=60°,,然后根据,得出∠ACB+∠PAC+∠PBC=∠APB=120°,定角定弦,点P 的轨迹是以AB 为弦,圆周角为120°的圆弧2【分析】 首先判定直角三角形∠CAB=30°,∠ABC=60°,()22223323AB AC BC =+=+=,然后根据PAB PBC ∠=∠,得出∠ACB+∠PAC+∠PBC=∠APB=120°,定角定弦,点P 的轨迹是以AB 为弦,圆周角为120°的圆弧上,如图所示,当点C 、O 、P 在同一直线上时,CP 最小,构建圆,利用勾股定理,即可得解.【详解】∵90ACB ∠=︒,3AC =,3BC =, ∴()22223323AB AC BC =+=+=∴∠CAB=30°,∠ABC=60°∵PAB PBC ∠=∠,∠PAB+∠PAC=30°∴∠ACB+∠PAC+∠PBC=∠APB=120°∴定角定弦,点P 的轨迹是以AB 为弦,圆周角为120°的圆弧上,如图所示,当点C 、O 、P 在同一直线上时,CP 最小∴CO ⊥AB ,∠COB=60°,∠ABO=30°∴OB=2,∠OBC=90°∴()2222237OC OB BC =+=+= ∴72CP OC OP =-=-故答案为72-.【点睛】此题主要考查直角三角形中的动点综合问题,解题关键是找到点P 的位置.25.y =x2−5【解析】根据平移规律“左加右减”解答.【详解】按照“左加右减,上加下减”的规律可知:y=(x+2)2−5向右平移2个单位,得:y=(x+2−2)2−5,即y=x2−5解析:y=x2−5【解析】【分析】根据平移规律“左加右减”解答.【详解】按照“左加右减,上加下减”的规律可知:y=(x+2)2−5向右平移2个单位,得:y=(x+2−2)2−5,即y=x2−5.故答案是:y=x2−5.【点睛】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律:左加右减,上加下减.26.【解析】【分析】通过作垂线构造直角三角形,由网格的特点可得Rt△ABD是等腰直角三角形,进而可得Rt△ACF是等腰直角三角形,求出CF,再根据△ACE∽△BDE的相似比为1:3,根据勾股定理求【解析】【分析】通过作垂线构造直角三角形,由网格的特点可得Rt△ABD是等腰直角三角形,进而可得Rt△ACF是等腰直角三角形,求出CF,再根据△ACE∽△BDE的相似比为1:3,根据勾股定理求出CD的长,从而求出CE,最后根据锐角三角函数的意义求出结果即可.【详解】过点C作CF⊥AE,垂足为F,在Rt△ACD中,CD=由网格可知,Rt△ABD是等腰直角三角形,因此Rt△ACF是等腰直角三角形,∴CF=AC•sin45°=2,由AC∥BD可得△ACE∽△BDE,∴13 CE ACDE BD==,∴CE=14CD=10,在Rt△ECF中,sin∠AEC=225210CFCE=⨯=,故答案为:25.【点睛】考查锐角三角函数的意义、直角三角形的边角关系,作垂线构造直角三角形是解决问题常用的方法,借助网格,利用网格中隐含的边角关系是解决问题的关键.27..【解析】【分析】根据等式的基本性质将等式两边都除以3b,即可求出结论.【详解】解:两边都除以3b,得=,故答案为:.【点睛】此题考查的是等式的基本性质,掌握等式的基本性质是解决此解析:43.【解析】【分析】根据等式的基本性质将等式两边都除以3b,即可求出结论.【详解】解:两边都除以3b,得a b =43,故答案为:43.【点睛】此题考查的是等式的基本性质,掌握等式的基本性质是解决此题的关键.【解析】【分析】根据根的判别式,令,可得,解方程求出b =﹣2a ,再把b 代入原方程,根据韦达定理:即可.【详解】当关于x 的一元二次方程ax2+bx+5a =0有两个正的相等的实数根时, ,即解析:【解析】【分析】根据根的判别式,令=0∆,可得2220=0b a -,解方程求出b =﹣,再把b 代入原方程,根据韦达定理:12b x x a+=-即可. 【详解】当关于x 的一元二次方程ax 2+bx +5a =0有两个正的相等的实数根时, =0∆,即2220=0b a -,解得b =﹣a 或b =(舍去),原方程可化为ax 2﹣+5a =0,则这两个相等实数根的和为故答案为:【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式和韦达定理,解题的关键是熟练掌握根的判别式和韦达定理。
常州市数学九年级上册期末数学试卷一、选择题1.若点()10,A y ,()21,B y 在抛物线()213y x =-++上,则下列结论正确的是( )A .213y y <<B .123y y <<C .213y y <<D .213y y << 2.两个相似三角形的面积比是9:16,则这两个三角形的相似比是( )A .9︰16B .3︰4C .9︰4D .3︰163.将一副学生常用的三角板如下图摆放在一起,组成一个四边形ABCD ,连接AC ,则tan ACD ∠的值为( )A .3B .31+C .31-D .234.如图,已知O 的内接正方形边长为2,则O 的半径是( )A .1B .2C .2D .225.如图,////AD BE CF ,直线12l l 、与这三条平行线分别交于点、、A B C 和点D E F 、、.已知AB =1,BC =3,DE =1.2,则DF 的长为( )A .3.6B .4.8C .5D .5.26.分别写有数字﹣4,0,﹣1,6,9,2的六张卡片,除数字外其它均相同,从中任抽一张,则抽到偶数的概率是( ) A .16B .13C .12D .237.如图,点A 、B 、C 是⊙O 上的三点,∠BAC = 40°,则∠OBC 的度数是( ) A .80° B .40°C .50°D .20°8.把二次函数y =2x 2的图象向右平移3个单位,再向上平移2个单位后的函数关系式是( )A .22(3)2y x =-+B .22(3)2y x =++C .22(3)?2y x =-D .22(3)?2y x =+ 9.若圆锥的底面半径为2,母线长为5,则圆锥的侧面积为( )A .5πB .10πC .20πD .40π10.生产季节性产品的企业,当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业,一年中获得利润y 与月份n 之间的函数关系式是y =-n 2+15n -36,那么该 企业一年中应停产的月份是( ) A .1月,2月 B .1月,2月,3月 C .3月,12月D .1月,2月,3月,12月11.不透明袋子中有2个红球和4个蓝球,这些球除颜色外无其他差别,从袋子中随机取出1个球是红球的概率是( ) A .13B .14C .15D .1612.二次函数y =()21x ++2的顶点是( ) A .(1,2) B .(1,−2) C .(−1,2) D .(−1,−2)13.在平面直角坐标系中,将二次函数y =32x 的图象向左平移2个单位,所得图象的解析式为( ) A .y =32x −2B .y =32x +2C .y =3()22x -D .y =3()22x +14.在△ABC 中,∠C =90°,tan A =13,那么sin A 的值是( ) A .12B .13C 10D 31015.如图,AB 为⊙O 的直径,PD 切⊙O 于点C ,交AB 的延长线于D ,且∠D =40°,则∠PCA 等于( )A .50°B .60°C .65°D .75°二、填空题16.将二次函数y=x 2﹣1的图象向上平移3个单位长度,得到的图象所对应的函数表达式是_____.17.如图,四边形ABCD 是半圆的内接四边形,AB 是直径,CD CB =.若100C ∠=︒,则ABC ∠的度数为______.18.在一块边长为30 cm 的正方形飞镖游戏板上,有一个半径为10 cm 的圆形阴影区域,则飞镖落在阴影区域内的概率为__________.19.在比例尺为1∶500 000的地图上,量得A 、B 两地的距离为3 cm ,则A 、B 两地的实际距离为_____km .20.二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图像如图所示,当y <3时,x 的取值范围是____.21.若扇形的半径长为3,圆心角为60°,则该扇形的弧长为___. 22.抛物线y =3(x+2)2+5的顶点坐标是_____.23.如图,在边长为1的小正方形网格中,点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上,AB 、CD 相交于点O ,则tan ∠AOD=________.24.抛物线21(5)33y x =--+的顶点坐标是_______.25.某一时刻,一棵树高15m ,影长为18m .此时,高为50m 的旗杆的影长为_____m .26.已知一个圆锥底面圆的半径为6cm ,高为8cm ,则圆锥的侧面积为_____cm 2.(结果保留π)27.两个相似三角形的面积比为9:16,其中较大的三角形的周长为64cm ,则较小的三角形的周长为__________cm .28.如图,在ABC 中,62BC =+,45C ∠=︒,2AB AC =,则AC 的长为________.29.抛物线228y x x m =++与x 轴只有一个公共点,则m 的值为________. 30.如图,正方形ABCD 的边长为5,E 、F 分别是BC 、CD 上的两个动点,AE ⊥EF .则AF 的最小值是_____.三、解答题31.下表是某地连续5天的天气情况(单位:C ︒): 日期 1月1日 1月2日 1月3日 1月4日 1月5日 最高气温 5 7 6 8 4 最低气温-2-213(1)1月1日当天的日温差为______C ︒(2)利用方差判断该地这5天的日最高气温波动大还是日最低气温波动大.32.某商店经销的某种商品,每件成本为30元.经市场调查,当售价为每件70元时,可销售20件.假设在一定范围内,售价每降低2元,销售量平均增加4件.如果降价后商店销售这批商品获利1200元,问这种商品每件售价是多少元? 33.已知二次函数218y x bx c =++(b 、c 为常数)的图像经过点()0,1-和点()4,1A . (1)求b 、c 的值;(2)如图1,点()10,C m 在抛物线上,点M 是y 轴上的一个动点,过点M 平行于x 轴的直线l 平分AMC ∠,求点M 的坐标;(3)如图2,在(2)的条件下,点P 是抛物线上的一动点,以P 为圆心、PM 为半径的圆与x 轴相交于E 、F 两点,若PEF ∆的面积为26,请直接写出点P 的坐标. 34.如图甲,直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ,经过B 、C 两点的抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴的另一个交点为A ,顶点为P . (1)求该抛物线的解析式;(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点M ,使以C ,P ,M 为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,请直接写出所符合条件的点M 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)当0<x <3时,在抛物线上求一点E ,使△CBE 的面积有最大值(图乙、丙供画图探究).35.一只不透明的袋子中装有1个红球和1个白球,这些球除颜色外都相同,搅匀后从中任意摸出1个球,记录颜色后放回、搅匀,这样连续共计摸3次. (1)用树状图列出所有可能出现的结果; (2)求3次摸到的球颜色相同的概率.四、压轴题36.如图,在四边形ABCD 中,9054ABC BCD AB BC cm CD cm ∠=∠=︒===,,点P 从点C 出发以1/cm s 的速度沿CB 向点B 匀速移动,点M 从点A 出发以15/cm s 的速度沿AB 向点B 匀速移动,点N 从点D 出发以/acm s 的速度沿DC 向点C 匀速移动.点P M N 、、同时出发,当其中一个点到达终点时,其他两个点也随之停止运动,设移动时间为ts . (1)如图①,①当a 为何值时,点P B M 、、为顶点的三角形与PCN △全等?并求出相应的t 的值; ②连接AP BD 、交于点E ,当AP BD ⊥时,求出t 的值; (2)如图②,连接AN MD 、交于点F .当3883a t ==,时,证明:ADF CDF S S ∆∆=.37.如图1,Rt △ABC 两直角边的边长为AC =3,BC =4.(1)如图2,⊙O 与Rt △ABC 的边AB 相切于点X ,与边BC 相切于点Y .请你在图2中作出并标明⊙O 的圆心(用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法和证明)(2)P 是这个Rt △ABC 上和其内部的动点,以P 为圆心的⊙P 与Rt △ABC 的两条边相切.设⊙P 的面积为S ,你认为能否确定S 的最大值?若能,请你求出S 的最大值;若不能,请你说明不能确定S 的最大值的理由.38.如图,点A 和动点P 在直线l 上,点P 关于点A 的对称点为Q .以AQ 为边作Rt ABQ △,使90BAQ ∠=︒,:3:4AQ AB =,作ABQ △的外接圆O .点C 在点P 右侧,4PC =,过点C 作直线m l ⊥,过点O 作OD m ⊥于点D ,交AB 右侧的圆弧于点E .在射线CD 上取点F ,使32DF CD =,以DE 、DF 等邻边作矩形DEGF ,设3AQ x =(1)用关于x 的代数式表示BQ 、DF .(2)当点P 在点A 右侧时,若矩形DEGF 的面积等于90,求AP 的长. (3)在点P 的整个运动过程中,当AP 为何值时,矩形DEGF 是正方形.39.如图,在ABC ∆中,90ACB ∠=︒,以点B 为圆心,BC 的长为半径画弧,交线段AB 于点D ,以点A 为圆心,AD 长为半径画弧,交线段AC 于点E ,连结CD .(1)若28A ∠=︒,求ACD ∠的度数; (2)设BC a =,AC b =;①线段AD 的长度是方程2220x ax b +-=的一个根吗?说明理由. ②若线段AD EC =,求ab的值. 40.翻转类的计算问题在全国各地的中考试卷中出现的频率很大,因此初三(5)班聪慧的小菲同学结合2011年苏州市数学中考卷的倒数第二题对这类问题进行了专门的研究。
江苏省常州市九年级(上)期末数学试卷(含答案)一、选择题1.下列关于x 的一元二次方程,有两个不相等的实数根的方程的是( ) A .x 2+1=0B .x 2+2x +1=0C .x 2+2x +3=0D .x 2+2x -3=02.如图,△ABC 的顶点在网格的格点上,则tanA 的值为( )A .12B .10 C .3 D .10 3.如图,ABC ∆与A B C '''∆是以坐标原点O 为位似中心的位似图形,若点A 是OA '的中点,ABC ∆的面积是6,则A B C '''∆的面积为( )A .9B .12C .18D .244.某大学生创业团队有研发、管理和操作三个小组,各组的日工资和人数如下表所示.现从管理组分别抽调1人到研发组和操作组,调整后与调整前相比,下列说法中不正确的是( )A .团队平均日工资不变B .团队日工资的方差不变C .团队日工资的中位数不变D .团队日工资的极差不变5.10件产品中有2件次品,从中任意抽取1件,恰好抽到次品的概率是( ) A .12B .13C .14D .156.已知⊙O 的半径为1,点P 到圆心的距离为d ,若关于x 的方程x 2-2x+d=0有实数根,则点P ( )A .在⊙O 的内部B .在⊙O 的外部C .在⊙O 上D .在⊙O 上或⊙O 内部7.某中学篮球队12名队员的年龄情况如下: 年龄(单位:岁)14 15 16 17 18 人数15321则这个队队员年龄的众数和中位数分别是( ) A .15,16 B .15,15C .15,15.5D .16,158.如图,AB 是O 的直径,AC 切O 于点A ,若70C ∠=︒,则AOD ∠的度数为( )A .40°B .45°C .60°D .70°9.sin60°的值是( ) A .B .C .D .10.抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标是( ) A .(﹣1,2)B .(﹣1,﹣2)C .(1,﹣2)D .(1,2)11.如图1,在菱形ABCD 中,∠A =120°,点E 是BC 边的中点,点P 是对角线BD 上一动点,设PD 的长度为x ,PE 与PC 的长度和为y ,图2是y 关于x 的函数图象,其中H 是图象上的最低点,则a +b 的值为( )A .3B .234C 1433D 223312.一元二次方程x 2﹣3x =0的两个根是( ) A .x 1=0,x 2=﹣3B .x 1=0,x 2=3C .x 1=1,x 2=3D .x 1=1,x 2=﹣313.如图,PA 是⊙O 的切线,切点为A ,PO 的延长线交⊙O 于点B ,连接AB ,若∠B =25°,则∠P 的度数为( )A .25°B .40°C .45°D .50°14.某同学在解关于x 的方程ax 2+bx +c =0时,只抄对了a =1,b =﹣8,解出其中一个根是x =﹣1.他核对时发现所抄的c 是原方程的c 的相反数,则原方程的根的情况是( )A .有两个不相等的实数根B .有两个相等的实数根C .有一个根是x =1D .不存在实数根15.二次函数y =()21x ++2的顶点是( ) A .(1,2)B .(1,−2)C .(−1,2)D .(−1,−2)二、填空题16.将二次函数y=x 2﹣1的图象向上平移3个单位长度,得到的图象所对应的函数表达式是_____.17.如图,点A 、B 分别在y 轴和x 轴正半轴上滑动,且保持线段AB =4,点D 坐标为(4,3),点A 关于点D 的对称点为点C ,连接BC ,则BC 的最小值为_____.18.正方形ABCD 的边长为4,圆C 半径为1,E 为圆C 上一点,连接DE ,将DE 绕D 顺时针旋转90°到DE’,F 在CD 上,且CF=3,连接FE’,当点E 在圆C 上运动,FE’长的最大值为____.19.如图,四边形ABCD 是半圆的内接四边形,AB 是直径,CD CB =.若100C ∠=︒,则ABC ∠的度数为______.20.如图,在□ABCD 中,AB =5,AD =6,AD 、AB 、BC 分别与⊙O 相切于E 、F 、G 三点,过点C 作⊙O 的切线交AD 于点N ,切点为M .当CN ⊥AD 时,⊙O 的半径为____.21.若扇形的半径长为3,圆心角为60°,则该扇形的弧长为___.22.如图,每个小正方形的边长都为1,点A 、B 、C 都在小正方形的顶点上,则∠ABC 的正切值为_____.23.二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,给出下列说法:①ab 0<;②方程2ax bx c 0++=的根为1x 1=-,2x 3=;③a b c 0++>;④当x 1>时,y 随x 值的增大而增大;⑤当y 0>时,1x 3-<<.其中,正确的说法有________(请写出所有正确说法的序号).24.已知圆锥的侧面积为20πcm 2,母线长为5cm ,则圆锥底面半径为______cm . 25.如图,圆锥的底面半径OB =6cm ,高OC =8cm ,则该圆锥的侧面积是_____cm 2.26.一组数据3,2,1,4,x 的极差为5,则x 为______. 27.如图,直线y=12x ﹣2与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ,点C 在直线AB 上,且点C 的纵坐标为﹣1,点D 在反比例函数y=k x 的图象上,CD 平行于y 轴,S △OCD =52,则k 的值为________.28.如图,△ABC 中,AB =AC =5,BC =6,AD ⊥BC ,E 、F 分别为AC 、AD 上两动点,连接CF 、EF ,则CF +EF 的最小值为_____.29.如图,⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆,则∠CAD =_____.30.已知234x y z x z y+===,则_______ 三、解答题31.如图,AB 是⊙O 的直径,AC 是⊙O 的弦,∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ,过点D 作DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E ,连接BD .(1)求证:DE 是⊙O 的切线; (2)若BD =3,AD =4,则DE = . 32.先化简,再求值:221a a -÷(1﹣11a +),其中a 是方程x 2+x ﹣2=0的解. 33.如图,AB 是⊙O 的直径,D 是弦AC 的延长线上一点,且CD =AC ,DB 的延长线交⊙O 于点E .(1)求证:CD =CE ;(2)连结AE ,若∠D =25°,求∠BAE 的度数.34.某商店销售一种商品,经市场调查发现:该商品的月销售量y(件)是售价x(元/件)的一次函数,其售价x、月销售量y、月销售利润w(元)的部分对应值如下表:售价x(元/件)4045月销售量y(件)300250月销售利润w(元)30003750注:月销售利润=月销售量×(售价-进价)(1)①求y关于x的函数表达式;②当该商品的售价是多少元时,月销售利润最大?并求出最大利润;(2)由于某种原因,该商品进价提高了m元/件(m>0),物价部门规定该商品售价不得超过40元/件,该商店在今后的销售中,月销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系.若月销售最大利润是2400元,则m的值为.35.如图,O的半径为23,AB是O的直径,F是O上一点,连接FO、FB.C为劣弧BF的中点,过点C作CD AB,垂足为D,CD交FB于点E,//CG FB,交AB的延长线于点G.(1)求证:CG是O的切线;(2)连接BC,若//BC OF,如图2.①求CE的长;②图中阴影部分的面积等于_________.四、压轴题36.如图,在平面直角坐标系中,直线l:y=﹣13x+2与x轴交于点B,与y轴交于点A,以AB为斜边作等腰直角△ABC,使点C落在第一象限,过点C作CD⊥AB于点D,作CE ⊥x 轴于点E ,连接ED 并延长交y 轴于点F .(1)如图(1),点P 为线段EF 上一点,点Q 为x 轴上一点,求AP +PQ 的最小值. (2)将直线l 进行平移,记平移后的直线为l 1,若直线l 1与直线AC 相交于点M ,与y 轴相交于点N ,是否存在这样的点M 、点N ,使得△CMN 为等腰直角三角形?若存在,请直接写出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.37.(2015秋•惠山区期末)如图,在平面直角坐标系中,半径为1的⊙A 的圆心与坐标原点O 重合,线段BC 的端点分别在x 轴与y 轴上,点B 的坐标为(6,0),且sin ∠OCB=.(1)若点Q 是线段BC 上一点,且点Q 的横坐标为m . ①求点Q 的纵坐标;(用含m 的代数式表示) ②若点P 是⊙A 上一动点,求PQ 的最小值;(2)若点A 从原点O 出发,以1个单位/秒的速度沿折线OBC 运动,到点C 运动停止,⊙A 随着点A 的运动而移动.①点A 从O→B 的运动的过程中,若⊙A 与直线BC 相切,求t 的值;②在⊙A 整个运动过程中,当⊙A 与线段BC 有两个公共点时,直接写出t 满足的条件.38.抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点为(),P h k ,作x 轴的平行线4y k =+与抛物线交于点A 、B ,无论h 、k 为何值,AB 的长度都为4. (1)请直接写出a 的值____________; (2)若抛物线当0x =和4x =时的函数值相等, ①求b 的值;②过点()0,2Q 作直线2y =平行x 轴,交抛物线于M 、N 两点,且4QM QN +=,求c 的取值范围;(3)若1c b =--,2727b -<<,设线段AB 与抛物线所夹的封闭区域为S ,将抛物线绕原点逆时针旋转α,且1tan 2α=,此时区域S 的边界与y 轴的交点为C 、D 两点,若点D 在点C 上方,请判断点D 在抛物线上还是在线段AB 上,并求CD 的最大值.39.如图,已知抛物线234y x bx c =++与坐标轴交于A 、B 、C 三点,A 点的坐标为(1,0)-,过点C 的直线334y x t=-与x 轴交于点Q ,点P 是线段BC 上的一个动点,过P 作PH OB ⊥于点H .若5PB t =,且01t <<.(1)点C 的坐标是________,b =________; (2)求线段QH 的长(用含t 的式子表示);(3)依点P 的变化,是否存在t 的值,使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与COQ 相似?若存在,直接写出所有t 的值;若不存在,说明理由.40.如图,在平面直角坐标系中,直线l 分别交x 轴、y 轴于点A ,B ,∠BAO = 30°.抛物线y = ax 2 + bx + 1(a < 0)经过点A ,B ,过抛物线上一点C (点C 在直线l 上方)作CD ∥BO 交直线l 于点D ,四边形OBCD 是菱形.动点M 在x 轴上从点E ( -3,0)向终点A 匀速运动,同时,动点N 在直线l 上从某一点G 向终点D 匀速运动,它们同时到达终点.(1)求点D 的坐标和抛物线的函数表达式. (2)当点M 运动到点O 时,点N 恰好与点B 重合.①过点E 作x 轴的垂线交直线l 于点F ,当点N 在线段FD 上时,设EM = m ,FN = n ,求n 关于m 的函数表达式.②求△NEM 面积S 关于m 的函数表达式以及S 的最大值.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.D解析:D【解析】【分析】要判断所给方程是有两个不相等的实数根,只要找出方程的判别式,根据判别式的正负情况即可作出判断.有两个不相等的实数根的方程,即判别式的值大于0的一元二次方程.【详解】A、△=0-4×1×1=-4<0,没有实数根;B、△=22-4×1×1=0,有两个相等的实数根;C、△=22-4×1×3=-8<0,没有实数根;D、△=22-4×1×(-3)=16>0,有两个不相等的实数根,故选D.【点睛】本题考查了根的判别式,注意掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2-4ac有如下关系:①当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根;②当△=0时,方程有两个相等的两个实数根;③当△<0时,方程无实数根.2.A解析:A【解析】【分析】根据勾股定理,可得BD、AD的长,根据正切为对边比邻边,可得答案.【详解】解:如图作CD⊥AB于D,CD=2,AD=22,tanA=21222CDAD==,故选A.【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用:在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边.3.D解析:D 【解析】 【分析】根据位似图形的性质,再结合点A 与点A '的坐标关系可得出两个三角形的相似比,再根据面积比等于相似比的平方即可得出答案. 【详解】解:∵△ABC 与△A B C '''是以坐标原点O 为位似中心的位似图形,且A 为O A '的中心, ∴△ABC 与△A B C '''的相似比为:1:2; ∵位似图形的面积比等于相似比的平方,∴△A B C '''的面积等于4倍的△ABC 的面积,即4624⨯=. 故答案为:D. 【点睛】本题考查的知识点是位似图形的性质,位似是特殊的相似,熟记位似图形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.4.B解析:B 【解析】 【分析】根据平均数、方差、中位数和众数的定义分别对每一项进行分析,即可得出答案. 【详解】解:调整前的平均数是:26042804300443⨯+⨯+⨯⨯=280;调整后的平均数是:260528023005525⨯+⨯+⨯++=280; 故A 正确;调整前的方差是:()()()222142602804280280430028012⎡⎤-+-+-⎣⎦=8003;调整后的方差是:()()()222152602802280280530028012⎡⎤-+-+-⎣⎦=10003;故B 错误;调整前:把这些数从小到大排列为:260,260,260,260,280,280,280,280,300,300,300,300;最中间两个数的平均数是:280,则中位数是280,调整后:把这些数从小到大排列为:260,260,260,260,260,280,280,300,300,300,300,300;最中间两个数的平均数是:280,则中位数是280,故C 正确;调整前的极差是40,调整后的极差也是40,则极差不变,故D 正确.故选B.【点睛】此题考查了平均数、方差、中位数和极差的概念,掌握各个数据的计算方法是关键.5.D解析:D【解析】【分析】由于10件产品中有2件次品,所以从10件产品中任意抽取1件,抽中次品的概率是21105=. 【详解】解:()21P 105==次品 . 故选:D .【点睛】本题考查的知识点是用概率公式求事件的概率,根据题目找出全部情况的总数以及符合条件的情况数目是解此题的关键. 6.D解析:D【解析】【分析】先根据条件x 2 -2x+d=0有实根得出判别式大于或等于0,求出d 的范围,进而得出d 与r 的数量关系,即可判断点P 和⊙O 的关系..【详解】解:∵关于x 的方程x 2 -2x+d=0有实根,∴根的判别式△=(-2) 2 -4×d ≥0,解得d ≤1,∵⊙O 的半径为r=1,∴d ≤r∴点P 在圆内或在圆上.故选:D.【点睛】本题考查了点和圆的位置关系,由点到圆心的距离和半径的数量关系对点和圆的位置关系作出判断是解答此题的重要途径,即当d>r 时,点在圆外,当d=r 时,点在圆上,当d<r 时,点在圆内.7.C【解析】【分析】由题意直接根据众数和中位数的定义求解可得.【详解】解:∵这组数据中15出现5次,次数最多,∴众数为15岁,中位数是第6、7个数据的平均数,+÷=15.5岁,∴中位数为(1516)2故选:C.【点睛】本题考查众数与中位数,中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(最中间两个数的平均数),叫做这组数据的中位数,如果中位数的概念掌握得不好,不把数据按要求重新排列,就会出错;众数是一组数据中出现次数最多的数.8.A解析:A【解析】【分析】先依据切线的性质求得∠CAB的度数,然后依据直角三角形两锐角互余的性质得到∠CBA 的度数,然后由圆周角定理可求得∠AOD的度数.【详解】解:∵AC是圆O的切线,AB是圆O的直径,∴AB⊥AC,∴∠CAB=90°,又∵∠C=70°,∴∠CBA=20°,∴∠AOD=40°.故选:A.【点睛】本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、直角三角形的性质,求得∠CBA=20°是解题的关键.9.C解析:C【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值解答即可.【详解】sin60°=,【点睛】本题考查特殊角的三角函数值,熟记几个特殊角的三角函数值是解题关键.10.D解析:D【解析】【分析】根据顶点式2()y a x h k =-+,顶点坐标是(h ,k ),即可求解.【详解】∵顶点式2()y a x h k =-+,顶点坐标是(h ,k ),∴抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标是(1,2).故选D .11.C解析:C【解析】【分析】由A 、C 关于BD 对称,推出PA =PC ,推出PC +PE =PA +PE ,推出当A 、P 、E 共线时,PE +PC 的值最小,观察图象可知,当点P 与B 重合时,PE +PC =6,推出BE =CE =2,AB =BC =4,分别求出PE +PC 的最小值,PD 的长即可解决问题.【详解】解:∵在菱形ABCD 中,∠A =120°,点E 是BC 边的中点,∴易证AE ⊥BC ,∵A 、C 关于BD 对称,∴PA =PC ,∴PC +PE =PA +PE ,∴当A 、P 、E 共线时,PE +PC 的值最小,即AE 的长.观察图象可知,当点P 与B 重合时,PE +PC =6,∴BE =CE =2,AB =BC =4,∴在Rt △AEB 中,BE =∴PC +PE 的最小值为∴点H 的纵坐标a =∵BC ∥AD , ∴AD PD BE PB= =2,∵BD =∴PD =233⨯=∴点H的横坐标b,∴a+b==;故选C.【点睛】本题考查动点问题的函数图象,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答.12.B解析:B【解析】【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可.【详解】x2﹣3x=0,x(x﹣3)=0,x=0或x﹣3=0,x1=0,x2=3.故选:B.【点睛】本题考查了解一元二次方程−因式分解法:就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式,那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解,这样也就把原方程进行了降次,把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).13.B解析:B【解析】【分析】连接OA,由圆周角定理得,∠AOP=2∠B=50°,根据切线定理可得∠OAP=90°,继而推出∠P=90°﹣50°=40°.【详解】连接OA,由圆周角定理得,∠AOP=2∠B=50°,∵PA是⊙O的切线,∴∠OAP=90°,∴∠P=90°﹣50°=40°,故选:B.【点睛】本题考查圆周角定理、切线的性质、三角形内角和定理,解题的关键是求出∠AOP 的度数.14.A解析:A【解析】【分析】直接把已知数据代入进而得出c 的值,再解方程根据根的判别式分析即可.【详解】∵x =﹣1为方程x 2﹣8x ﹣c =0的根,1+8﹣c =0,解得c =9,∴原方程为x 2-8x +9=0,∵24b ac ∆=-=(﹣8)2-4×9>0,∴方程有两个不相等的实数根.故选:A .【点睛】本题考查一元二次方程的解、一元二次方程根的判别式,解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式,对于一元二次方程()200++=≠ax bx c a ,根的情况由24b ac ∆=-来判别,当24b ac ->0时,方程有两个不相等的实数根,当24b ac -=0时,方程有两个相等的实数根,当24b ac -<0时,方程没有实数根.15.C解析:C【解析】【分析】因为顶点式y=a (x-h )2+k ,其顶点坐标是(h ,k ),即可求出y=()21x ++2的顶点坐标.【详解】解:∵二次函数y=()21x ++2是顶点式,∴顶点坐标为:(−1,2);故选:C.【点睛】此题主要考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标,此题型是中考中考查重点,同学们应熟练掌握. 二、填空题16.y=x2+2【解析】分析:先确定二次函数y=x2﹣1的顶点坐标为(0,﹣1),再根据点平移的规律得到点(0,﹣1)平移后所得对应点的坐标为(0,2),然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式.详解析:y=x2+2【解析】分析:先确定二次函数y=x2﹣1的顶点坐标为(0,﹣1),再根据点平移的规律得到点(0,﹣1)平移后所得对应点的坐标为(0,2),然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式.详解:二次函数y=x2﹣1的顶点坐标为(0,﹣1),把点(0,﹣1)向上平移3个单位长度所得对应点的坐标为(0,2),所以平移后的抛物线解析式为y=x2+2.故答案为y=x2+2.点睛:本题考查了二次函数图象与几何变换:由于抛物线平移后的形状不变,故a不变,所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法:一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标,利用待定系数法求出解析式;二是只考虑平移后的顶点坐标,即可求出解析式.17.6【解析】【分析】取AB的中点E,连接OE,DE,OD,依据三角形中位线定理即可得到BC=2DE,再根据O,E,D在同一直线上时,DE的最小值等于OD-OE=3,即可得到BC的最小值等于6.解析:6【解析】【分析】取AB的中点E,连接OE,DE,OD,依据三角形中位线定理即可得到BC=2DE,再根据O,E,D在同一直线上时,DE的最小值等于OD-OE=3,即可得到BC的最小值等于6.【详解】解:如图所示,取AB的中点E,连接OE,DE,OD,由题可得,D是AC的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴BC=2DE,∵点D坐标为(4,3),∴OD5,∵Rt△ABO中,OE=12AB=12×4=2,∴当O,E,D在同一直线上时,DE的最小值等于OD﹣OE=3,∴BC的最小值等于6,故答案为:6.【点睛】本题主要考查了勾股定理,三角形三条边的关系,直角三角形斜边上中线的性质以及三角形中位线定理的运用,解决问题的关键是掌握直角三角形斜边上中线的性质以及三角形中位线定理.18.【解析】【分析】先作出FE’最大时的图形,再利用勾股定理即可求解.【详解】解:如下图,过点F作FP⊥AB于P,延长DP到点E’,使PE’=1,此时FE’长最大,由题可知,PF=4,DF=1【解析】【分析】先作出FE’最大时的图形,再利用勾股定理即可求解.【详解】解:如下图,过点F作FP⊥AB于P,延长DP到点E’,使PE’=1,此时FE’长最大,由题可知,PF=4,DF=1,∴∴1,1【点睛】本题考查了图形的旋转,圆的基本性质,勾股定理的应用,中等难度,准确找到点P 的位置是解题关键.19.50【解析】【分析】连接AC ,根据圆内接四边形的性质求出,再利用圆周角定理求出,,计算即可.【详解】解:连接AC ,∵四边形ABCD 是半圆的内接四边形,∴∵DC=CB∴∵AB 是直解析:50【解析】【分析】连接AC ,根据圆内接四边形的性质求出DAB ∠,再利用圆周角定理求出ACB ∠,CAB ∠,计算即可.【详解】解:连接AC ,∵四边形ABCD 是半圆的内接四边形,∴DAB 180DCB 80∠∠=︒-=︒∵DC=CB ∴1CAB 402DAB ∠=∠=︒ ∵AB 是直径 ∴ACB 90∠=︒∴ABC 90CAB 50∠∠=︒-=︒故答案为:50.【点睛】本题考查的知识点有圆的内接四边形的性质以及圆周角定理,熟记知识点是解题的关键. 20.2或1.5【解析】【分析】根据切线的性质,切线长定理得出线段之间的关系,利用勾股定理列出方程解出圆的半径.【详解】解:设半径为r ,∵AD 、AB 、BC 分别与⊙O 相切于E 、F 、G 三点,AB =解析:2或1.5【解析】【分析】根据切线的性质,切线长定理得出线段之间的关系,利用勾股定理列出方程解出圆的半径.【详解】解:设半径为r ,∵AD 、AB 、BC 分别与⊙O 相切于E 、F 、G 三点,AB =5,AD =6∴GC=r ,BG=BF=6-r ,∴AF=5-(6-r )=r-1=AE∴ND=6-(r-1)-r=7-2r ,在Rt △NDC 中,NC 2+ND 2=CD 2,(7-r )2+(2r )2=52,解得r=2或1.5.故答案为:2或1.5.【点睛】本题考查了切线的性质,切线长定理,勾股定理,平行四边形的性质,正确得出线段关系,列出方程是解题关键.21.【解析】【分析】根据弧长的公式列式计算即可.【详解】∵一个扇形的半径长为3,且圆心角为60°,∴此扇形的弧长为=π.故答案为:π.【点睛】此题考查弧长公式,熟记公式是解题关键.解析:π【解析】【分析】根据弧长的公式列式计算即可.【详解】∵一个扇形的半径长为3,且圆心角为60°,∴此扇形的弧长为603 180π⨯=π.故答案为:π.【点睛】此题考查弧长公式,熟记公式是解题关键.22.1【解析】【分析】根据勾股定理求出△ABC的各个边的长度,根据勾股定理的逆定理求出∠ACB=90°,再解直角三角形求出即可.【详解】如图:长方形AEFM,连接AC,∵由勾股定理得:AB解析:1【解析】【分析】根据勾股定理求出△ABC的各个边的长度,根据勾股定理的逆定理求出∠ACB=90°,再解直角三角形求出即可.【详解】如图:长方形AEFM,连接AC,∵由勾股定理得:AB2=32+12=10,BC2=22+12=5,AC2=22+12=5∴AC 2+BC 2=AB 2,AC =BC ,即∠ACB =90°,∴∠ABC =45°∴tan ∠ABC=1【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理及逆定理等知识点,能求出∠ACB =90°是解此题的关键.23.①②④【解析】【分析】根据抛物线的对称轴判断①,根据抛物线与x 轴的交点坐标判断②,根据函数图象判断③④⑤.【详解】解:∵对称轴是x=-=1,∴ab <0,①正确;∵二次函数y=ax2+b解析:①②④【解析】【分析】根据抛物线的对称轴判断①,根据抛物线与x 轴的交点坐标判断②,根据函数图象判断③④⑤.【详解】解:∵对称轴是x=-2b a=1, ∴ab <0,①正确; ∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点坐标为(-1,0)、(3,0),∴方程x 2+bx+c=0的根为x 1=-1,x 2=3,②正确;∵当x=1时,y <0,∴a+b+c <0,③错误;由图象可知,当x >1时,y 随x 值的增大而增大,④正确;当y >0时,x <-1或x >3,⑤错误,故答案为①②④.【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数之间的关系,二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定.24.4【解析】【分析】由圆锥的母线长是5cm,侧面积是20πcm2,求圆锥侧面展开扇形的弧长,然后再根据锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求解.【详解】解:由圆锥的母线长是5cm,侧面积解析:4【解析】【分析】由圆锥的母线长是5cm,侧面积是20πcm2,求圆锥侧面展开扇形的弧长,然后再根据锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求解.【详解】解:由圆锥的母线长是5cm,侧面积是20πcm2,根据圆锥的侧面展开扇形的弧长为:2405Slrπ===8π,再根据锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长,可得822lrπππ===4cm.故答案为:4.【点睛】本题考查圆锥的计算,掌握公式正确计算是解题关键.25.60π【解析】【分析】先利用勾股定理求出BC的长度,然后利用扇形的面积公式求解即可.【详解】解:∵它的底面半径OB=6cm,高OC=8cm.∴BC==10(cm),∴圆锥的侧面积是:(解析:60π【解析】【分析】先利用勾股定理求出BC的长度,然后利用扇形的面积公式求解即可.【详解】解:∵它的底面半径OB=6cm,高OC=8cm.∴BC==10(cm),∴圆锥的侧面积是:12610602r l rlππππ⋅⋅==⋅⨯=(cm2).故答案为:60π.【点睛】本题主要考查勾股定理及扇形的面积公式,掌握勾股定理及扇形的面积公式是解题的关键.26.-1或6【解析】【分析】由题意根据极差的公式即极差=最大值-最小值.可能是最大值,也可能是最小值,分两种情况讨论.【详解】解:当x是最大值,则x-(1)=5,所以x=6;当x是最小值,解析:-1或6【解析】【分析】由题意根据极差的公式即极差=最大值-最小值.x可能是最大值,也可能是最小值,分两种情况讨论.【详解】解:当x是最大值,则x-(1)=5,所以x=6;当x是最小值,则4-x=5,所以x=-1;故答案为-1或6.【点睛】本题考查极差的定义,极差反映了一组数据变化范围的大小,求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值,同时注意分类的思想的运用.27.【解析】【分析】【详解】试题分析:把x=2代入y=x﹣2求出C的纵坐标,得出OM=2,CM=1,根据CD∥y 轴得出D的横坐标是2,根据三角形的面积求出CD的值,求出MD,得出D的纵坐标,把D解析:【解析】【分析】【详解】试题分析:把x=2代入y=12x﹣2求出C的纵坐标,得出OM=2,CM=1,根据CD∥y轴得出D的横坐标是2,根据三角形的面积求出CD的值,求出MD,得出D的纵坐标,把D的坐标代入反比例函数的解析式求出k即可.解:∵点C在直线AB上,即在直线y=12x﹣2上,C的横坐标是2,∴代入得:y=12×2﹣2=﹣1,即C(2,﹣1),∴OM=2,∵CD∥y轴,S△OCD=52,∴12CD×OM=52,∴CD=52,∴MD=52﹣1=32,即D的坐标是(2,32),∵D在双曲线y=kx上,∴代入得:k=2×32=3.故答案为3.考点:反比例函数与一次函数的交点问题.点评:本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数、反比例函数的图象上点的坐标特征、三角形的面积等知识点,通过做此题培养了学生的计算能力和理解能力,题目具有一定的代表性,是一道比较好的题目.28.【解析】【分析】作BM⊥AC于M,交AD于F,根据三线合一定理求出BD的长和AD⊥BC,根据三角形面积公式求出BM,根据对称性质求出BF=CF,根据垂线段最短得出CF+EF≥BM,即可得出答案解析:24 5【解析】【分析】作BM⊥AC于M,交AD于F,根据三线合一定理求出BD的长和AD⊥BC,根据三角形面积公式求出BM,根据对称性质求出BF=CF,根据垂线段最短得出CF+EF≥BM,即可得出答案.【详解】作BM⊥AC于M,交AD于F,∵AB=AC=5,BC=6,AD是BC边上的中线,∴BD=DC=3,AD⊥BC,AD平分∠BAC,∴B、C关于AD对称,∴BF=CF,根据垂线段最短得出:CF+EF=BF+EF≥BF+FM=BM,即CF+EF≥BM,∵S△ABC=12×BC×AD=12×AC×BM,∴BM=642455 BC ADAC,即CF+EF的最小值是245,故答案为:245.【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题,关键是画出符合条件的图形,题目具有一定的代表性,是一道比较好的题目.29.36°.【解析】【分析】由正五边形的性质得出∠BAE=(5﹣2)×180°=108°,BC=CD=DE,得出 ==,由圆周角定理即可得出答案.【详解】∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆,解析:36°.【解析】【分析】由正五边形的性质得出∠BAE =15(5﹣2)×180°=108°,BC =CD =DE ,得出 BC =CD =DE ,由圆周角定理即可得出答案.【详解】∵⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆,∴∠BAE =15(n ﹣2)×180°=15(5﹣2)×180°=108°,BC =CD =DE , ∴BC =CD =DE ,∴∠CAD =13×108°=36°; 故答案为:36°.【点睛】本题主要考查了正多边形和圆的关系,以及圆周角定理的应用;熟练掌握正五边形的性质和圆周角定理是解题的关键.30.2【解析】【分析】设,分别用k 表示x 、y 、z ,然后代入计算,即可得到答案.【详解】解:根据题意,设,∴,,,∴;故答案为:2.【点睛】本题考查了比例的性质,解题的关键是掌握比例的解析:2【解析】【分析】 设234x y z k ===,分别用k 表示x 、y 、z ,然后代入计算,即可得到答案. 【详解】 解:根据题意,设234x y z k ===, ∴2x k =,3y k =,4z k =,∴2423x z k ky k++==;故答案为:2.【点睛】本题考查了比例的性质,解题的关键是掌握比例的性质,正确用k来表示x、y、z.三、解答题31.(1)见解析;(2)12 5【解析】【分析】(1)连接OD,如图,先证明OD∥AE,再利用DE⊥AE得到OD⊥DE,然后根据切线的判定定理得到结论;(2)证明△ABD∽△ADE,通过线段比例关系求出DE的长.【详解】(1)证明:连接OD∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC∵OA=OD∴∠BAD=∠ODA∴∠ODA=∠DAC∴OD∥AE∴∠ODE+∠E=180°∵DE⊥AE∴∠E=90°∴∠ODE=180°-∠E=180°-90°=90°,即OD⊥DE∵点D在⊙O上∴DE是⊙O的切线.(2)∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAE,。
常州市数学九年级上册期末试卷(带解析)一、选择题1.一元二次方程x2=-3x的解是()A.x=0 B.x=3 C.x1=0,x2=3 D.x1=0,x2=-3 2.如图,已知一组平行线a∥b∥c,被直线m、n所截,交点分别为A、B、C和D、E、F,且AB=1.5,BC=2,DE=1.8,则EF=()A.4.4 B.4 C.3.4 D.2.43.函数y=mx2+2x+1的图像与x轴只有1个公共点,则常数m的值是()A.1 B.2 C.0,1 D.1,24.如图,⊙O的直径BA的延长线与弦DC的延长线交于点E,且CE=OB,已知∠DOB=72°,则∠E等于()A.18°B.24°C.30°D.26°5.如图,在△ABC中,点D、E分别在边BA、CA的延长线上,ABAD=2,那么下列条件中能判断DE∥BC的是()A.12AEEC=B.2ECAC=C.12DEBC=D.2ACAE=6.如图,小正方形边长均为1,则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是A .B .C .D .7.10件产品中有2件次品,从中任意抽取1件,恰好抽到次品的概率是( ) A .12B .13C .14D .158.已知a 是方程x 2+3x ﹣1=0的根,则代数式a 2+3a+2019的值是( ) A .2020 B .﹣2020 C .2021 D .﹣2021 9.下列方程是一元二次方程的是( )A .2321x x =+B .3230x x --C .221x y -=D .20x y +=10.如图在△ABC 中,点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上,不一定能使△ADE 与△ABC相似的条件是( )A .∠AED=∠B B .∠ADE=∠C C .AD DEAB BC= D .AD AEAC AB= 11.一个袋子中装有6个黑球3个白球,这些球除颜色外,形状、大小、质地等完全相同,在看不到球的条件下,随机地从这个袋子中摸出一个球,摸到白球的概率为( ) A .19B .13C .12D .2312.一组数据0、-1、3、2、1的极差是( ) A .4B .3C .2D .113.如图,BC 是A 的内接正十边形的一边,BD 平分ABC ∠交AC 于点D ,则下列结论正确的有( )①BC BD AD ==;②2BC DC AC =⋅;③2AB AD =;④512BC AC -=.A .1个B .2个C .3个D .4个 14.下列方程中,有两个不相等的实数根的是( ) A .x 2﹣x ﹣1=0 B .x 2+x +1=0 C .x 2+1=0 D .x 2+2x +1=0 15.一组数据10,9,10,12,9的平均数是( )A .11B .12C .9D .10二、填空题16.如图,点A 、B 分别在y 轴和x 轴正半轴上滑动,且保持线段AB =4,点D 坐标为(4,3),点A 关于点D 的对称点为点C ,连接BC ,则BC 的最小值为_____.17.已知tan (α+15°)=3,则锐角α的度数为______°. 18.一个不透明的袋中原装有2个白球和1个红球,搅匀后从中任意摸出一个球,要使摸出红球的概率为23,则袋中应再添加红球____个(以上球除颜色外其他都相同). 19.已知点11(,)A x y ,22(,)B x y 在二次函数2(1)1y x =-+的图象上,若121x x >>,则1y __________2y .(填“>”“<”“=”)20.若关于x 的一元二次方程12x 2﹣2kx+1-4k=0有两个相等的实数根,则代数式(k-2)2+2k(1-k)的值为______.21.如图,由边长为1的小正方形组成的网格中,点,,,A B C D 为格点(即小正方形的顶点),AB 与CD 相交于点O ,则AO 的长为_________.22.如图,在平面直角坐标系中,直线l :28y x =+与坐标轴分别交于A ,B 两点,点C 在x 正半轴上,且OC =O B .点P 为线段AB (不含端点)上一动点,将线段OP 绕点O 顺时针旋转90°得线段OQ ,连接CQ ,则线段CQ 的最小值为___________.23.如图,在边长为1的小正方形网格中,点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上,AB 、CD 相交于点O ,则tan ∠AOD=________.24.一元二次方程x 2﹣4=0的解是._________25.当21x -≤≤时,二次函数22()1y x m m =--++有最大值4,则实数m 的值为________.26.有一块三角板ABC ,C ∠为直角,30ABC ∠=︒,将它放置在O 中,如图,点A 、B 在圆上,边BC 经过圆心O ,劣弧AB 的度数等于_______︒27.已知点P (x 1,y 1)和Q (2,y 2)在二次函数y =(x +k )(x ﹣k ﹣2)的图象上,其中k ≠0,若y 1>y 2,则x 1的取值范围为_____.28.如图,⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆,则∠CAD =_____.29.设1x 、2x 是关于x 的方程2350x x +-=的两个根,则1212x x x x +-•=__________.30.如图,AE 、BE 是△ABC 的两个内角的平分线,过点A 作AD ⊥AE .交BE 的延长线于点D .若AD =AB ,BE :ED =1:2,则cos ∠ABC =_____.三、解答题31.画图并回答问题:(1)在网格图中,画出函数2y x x 2=--与1y x =+的图像; (2)直接写出不等式221x x x -->+的解集.32.如图,宾馆大厅的天花板上挂有一盏吊灯AB ,某人从C 点测得吊灯顶端A 的仰角为35︒,吊灯底端B 的仰角为30,从C 点沿水平方向前进6米到达点D ,测得吊灯底端B 的仰角为60︒.请根据以上数据求出吊灯AB 的长度.(结果精确到0.1米.参考数据:sin35°≈0.57,cos35°≈0.82,tan35°≈0.70,2≈1.41,3≈1.73)33.如图,在正方形ABCD 中,AB =4,动点P 从点A 出发,以每秒2个单位的速度,沿线段AB 方向匀速运动,到达点B 停止.连接DP 交AC 于点E ,以DP 为直径作⊙O 交AC 于点F ,连接DF 、PF .(1)求证:△DPF 为等腰直角三角形; (2)若点P 的运动时间t 秒.①当t 为何值时,点E 恰好为AC 的一个三等分点;②将△EFP 沿PF 翻折,得到△QFP ,当点Q 恰好落在BC 上时,求t 的值.34.如图甲,直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ,经过B 、C 两点的抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴的另一个交点为A ,顶点为P . (1)求该抛物线的解析式;(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点M ,使以C ,P ,M 为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,请直接写出所符合条件的点M 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)当0<x <3时,在抛物线上求一点E ,使△CBE 的面积有最大值(图乙、丙供画图探究).35.解方程:(1)3x 2-6x -2=0; (2)(x -2)2=(2x +1)2.四、压轴题36.已知:在ABC 中,,90AC BC ACB ︒=∠=,点F 在射线CA 上,延长BC 至点D ,使CD CF =,点E 是射线BF 与射线DA 的交点.(1)如图1,若点F 在边CA 上; ①求证:BE AD ⊥;②小敏在探究过程中发现45BEC ︒∠=,于是她想:若点F 在CA 的延长线上,是否也存在同样的结论?请你在图2上画出符合条件的图形并通过测量猜想BEC ∠的度数. (2)选择图1或图2两种情况中的任一种,证明小敏或你的猜想.37.已知,如图Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =6cm ,BC =8cm ,点P 为AC 的中点,Q 从点A 运动到B ,点Q 运动到点B 停止,连接PQ ,取PQ 的中点O ,连接OC ,OB . (1)若△ABC ∽△APQ ,求BQ 的长;(2)在整个运动过程中,点O 的运动路径长_____;(3)以O 为圆心,OQ 长为半径作⊙O ,当⊙O 与AB 相切时,求△COB 的面积.38.抛物线G :2y ax c =+与x 轴交于A 、B 两点,与y 交于C (0,-1),且AB =4OC .(1)直接写出抛物线G 的解析式: ;(2)如图1,点D (-1,m )在抛物线G 上,点P 是抛物线G 上一个动点,且在直线OD 的下方,过点P 作x 轴的平行线交直线OD 于点Q ,当线段PQ 取最大值时,求点P 的坐标;(3)如图2,点M 在y 轴左侧的抛物线G 上,将点M 先向右平移4个单位后再向下平移,使得到的对应点N 也落在y 轴左侧的抛物线G 上,若S △CMN =2,求点M 的坐标.39.如图,抛物线y =ax 2-4ax +b 交x 轴正半轴于A 、B 两点,交y 轴正半轴于C ,且OB =OC =3.(1) 求抛物线的解析式;(2) 如图1,D 为抛物线的顶点,P 为对称轴左侧抛物线上一点,连接OP 交直线BC 于G ,连GD .是否存在点P ,使2GDGO=P 的坐标;若不存在,请说明理由; (3) 如图2,将抛物线向上平移m 个单位,交BC 于点M 、N .若∠MON =45°,求m 的值.40.如图1(注:与图2完全相同)所示,抛物线212y x bx c =-++经过B 、D 两点,与x 轴的另一个交点为A ,与y 轴相交于点C . (1)求抛物线的解析式.(2)设抛物线的顶点为M ,求四边形ABMC 的面积(请在图1中探索)(3)设点Q 在y 轴上,点P 在抛物线上.要使以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形,求所有满足条件的点P 的坐标(请在图2中探索)【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.D 解析:D 【解析】 【分析】先移项,然后利用因式分解法求解. 【详解】 解:(1)x 2=-3x ,x2+3x=0,x(x+3)=0,解得:x1=0,x2=-3.故选:D.【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法,熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.2.D解析:D【解析】【分析】直接利用平行线分线段成比例定理对各选项进行判断即可.【详解】解:∵a∥b∥c,∴AB DE BC EF=,∵AB=1.5,BC=2,DE=1.8,∴1.5 1.82EF= , ∴EF=2.4故选:D.【点睛】本题考查了平行线分线段成比例,掌握三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例是关键.3.C解析:C【解析】【分析】分两种情况讨论,当m=0和m≠0,函数分别为一次函数和二次函数,由抛物线与x轴只有一个交点,得到根的判别式的值等于0,列式求解即可.【详解】解:①若m=0,则函数y=2x+1,是一次函数,与x轴只有一个交点;②若m≠0,则函数y=mx2+2x+1,是二次函数.根据题意得:b2-4ac=4-4m=0,解得:m=1.∴m=0或m=1故选:C.【点睛】本题考查了一次函数的性质与抛物线与x轴的交点,抛物线与x轴的交点个数由根的判别式的值来确定.本题中函数可能是二次函数,也可能是一次函数,需要分类讨论,这是本题的容易失分之处.4.B解析:B 【解析】 【分析】根据圆的半径相等可得等腰三角形,根据三角形的外角的性质和等腰三角形等边对等角可得关于∠E 的方程,解方程即可求得答案. 【详解】解:如图,连接CO,∵CE =OB =CO=OD ,∴∠E =∠1,∠2=∠D ∴∠D=∠2=∠E +∠1=2∠E . ∴∠3=∠E +∠D =∠E +2∠E =3∠E . 由∠3=72°,得3∠E =72°. 解得∠E =24°. 故选:B . 【点睛】本题考查了圆的认识,等腰三角形的性质,三角形的外角的性质.能利用圆的半径相等得出等腰三角形是解题关键.5.D解析:D 【解析】 【分析】 只要证明AC ABAE AD=,即可解决问题. 【详解】 解:A. 12AE EC = ,可得AE :AC=1:1,与已知2AB AD=不成比例,故不能判定 B.2ECAC =,可得AC :AE=1:1,与已知2AB AD=不成比例,故不能判定; C 选项与已知的2ABAD=,可得两组边对应成比例,但夹角不知是否相等,因此不一定能判定;12DE BC =D.2AC AB AE AD==,可得DE//BC , 故选D.【点睛】 本题考查平行线的判定,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.6.B解析:B【解析】【分析】根据网格的特点求出三角形的三边,再根据相似三角形的判定定理即可求解.【详解】已知给出的三角形的各边AB 、CB 、AC 、2只有选项B 的各边为1B .【点晴】此题主要考查相似三角形的判定,解题的关键是熟知相似三角形的判定定理.7.D解析:D【解析】【分析】由于10件产品中有2件次品,所以从10件产品中任意抽取1件,抽中次品的概率是21105=. 【详解】解:()21P 105==次品 . 故选:D .【点睛】本题考查的知识点是用概率公式求事件的概率,根据题目找出全部情况的总数以及符合条件的情况数目是解此题的关键. 8.A解析:A【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义,将a 代入已知方程,即可求得a 2+3a 的值,然后再代入求值即可.【详解】解:根据题意,得a 2+3a ﹣1=0,解得:a 2+3a =1,所以a 2+3a+2019=1+2019=2020.故选:A.【点睛】此题考查的是一元二次方程的解,掌握一元二次方程解的定义是解决此题的关键9.A解析:A【解析】【分析】根据一元二次方程的定义逐一判断即可.【详解】解:A . 2321x x =+是一元二次方程,故本选项符合题意;B . 3230x x --是一元三次方程,故本选项不符合题意;C . 221x y -=是二元二次方程,故本选项不符合题意;D . 20x y +=是二元一次方程,故本选项不符合题意;故选A .【点睛】此题考查的是一元二次方程的判断,掌握一元二次方程的定义是解决此题的关键.10.C解析:C【解析】【分析】由题意根据相似三角形的判定定理依次对各选项进行分析判断即可.【详解】解:A 、∠AED=∠B ,∠A=∠A ,则可判断△ADE ∽△ACB ,故A 选项错误;B 、∠ADE=∠C ,∠A=∠A ,则可判断△ADE ∽△ACB ,故B 选项错误;C 、AD DE AB BC =不能判定△ADE ∽△ACB ,故C 选项正确; D 、AD AE AC AB=,且夹角∠A=∠A ,能确定△ADE ∽△ACB ,故D 选项错误. 故选:C .【点睛】本题考查的是相似三角形的判定,熟练掌握相似三角形的判定定理是解答此题的关键.11.B解析:B【解析】【分析】让白球的个数除以球的总数即为摸到白球的概率.解:6个黑球3个白球一共有9个球,所以摸到白球的概率是31 93 =.故选:B.【点睛】本题考查了概率,熟练掌握概率公式是解题的关键.12.A解析:A【解析】【分析】根据极差的概念最大值减去最小值即可求解.【详解】解:这组数据:0、-1、3、2、1的极差是:3-(-1)=4.故选A.【点睛】本题考查了极差的知识,极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差.13.C解析:C【解析】【分析】①③,根据已知把∠ABD,∠CBD,∠A角度确定相等关系,得到等腰三角形证明腰相等即可;②通过证△ABC∽△BCD,从而确定②是否正确,根据AD=BD=BC,即BC AC BC AC BC-=解得AC,故④正确.【详解】①BC是⊙A的内接正十边形的一边,因为AB=AC,∠A=36°,所以∠ABC=∠C=72°,又因为BD平分∠ABC交AC于点D,∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=36°=∠A,∴AD=BD,∠BDC=∠ABD+∠A=72°=∠C,∴BC=BD,∴BC=BD=AD,正确;又∵△ABD中,AD+BD>AB∴2AD>AB,故③错误.②根据两角对应相等的两个三角形相似易证△ABC∽△BCD,∴BC CDAB BC=,又AB=AC,根据AD=BD=BC,即BC AC BC AC BC-=,解得AC,故④正确,故选C.【点睛】本题主要考查圆的几何综合,解决本题的关键是要熟练掌握圆的基本性质和几何图形的性质. 14.A解析:A【解析】【分析】逐项计算方程的判别式,根据根的判别式进行判断即可.【详解】解:在x2﹣x﹣1=0中,△=(﹣1)2﹣4×1×(﹣1)=1+4=5>0,故该方程有两个不相等的实数根,故A符合题意;在x2+x+1=0中,△=12﹣4×1×1=1﹣4=﹣3<0,故该方程无实数根,故B不符合题意;在x2+1=0中,△=0﹣4×1×1=0﹣4=﹣4<0,故该方程无实数根,故C不符合题意;在x2+2x+1=0中,△=22﹣4×1×1=0,故该方程有两个相等的实数根,故D不符合题意;故选:A.【点睛】本题考查根的判别式,解题的关键是记住判别式,△>0有两个不相等实数根,△=0有两个相等实数根,△<0没有实数根,属于中考常考题型.15.D解析:D【解析】【分析】利用平均数的求法求解即可.【详解】这组数据10,9,10,12,9的平均数是1(10910129)10 5++++=故选:D.【点睛】本题主要考查平均数,掌握平均数的求法是解题的关键.二、填空题16.6【分析】取AB的中点E,连接OE,DE,OD,依据三角形中位线定理即可得到BC=2DE,再根据O,E,D在同一直线上时,DE的最小值等于OD-OE=3,即可得到BC的最小值等于6.解析:6【解析】【分析】取AB的中点E,连接OE,DE,OD,依据三角形中位线定理即可得到BC=2DE,再根据O,E,D在同一直线上时,DE的最小值等于OD-OE=3,即可得到BC的最小值等于6.【详解】解:如图所示,取AB的中点E,连接OE,DE,OD,由题可得,D是AC的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴BC=2DE,∵点D坐标为(4,3),∴OD22345,∵Rt△ABO中,OE=12AB=12×4=2,∴当O,E,D在同一直线上时,DE的最小值等于OD﹣OE=3,∴BC的最小值等于6,故答案为:6.【点睛】本题主要考查了勾股定理,三角形三条边的关系,直角三角形斜边上中线的性质以及三角形中位线定理的运用,解决问题的关键是掌握直角三角形斜边上中线的性质以及三角形中位线定理.17.15【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值求出答案.【详解】解:tan(α+15°)=∴α+15°=30°,∴α=15°故答案是15【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值,解析:15【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值求出答案.【详解】解:tan(α+15°)=3∴α+15°=30°,∴α=15°故答案是15【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值,正确记忆相关特殊角的三角函数值是解题关键.18.3【解析】【分析】首先设应在该盒子中再添加红球x个,根据题意得:,解此分式方程即可求得答案.【详解】解:设应在该盒子中再添加红球x个,根据题意得:,解得:x=3,经检验,x=3是原分解析:3【解析】【分析】首先设应在该盒子中再添加红球x个,根据题意得:12123xx+=++,解此分式方程即可求得答案.【详解】解:设应在该盒子中再添加红球x个,根据题意得:12123x x +=++, 解得:x=3, 经检验,x=3是原分式方程的解.故答案为:3.【点睛】此题考查了概率公式的应用.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.19.【解析】抛物线的对称轴为:x=1,∴当x>1时,y 随x 的增大而增大.∴若x1>x2>1 时,y1>y2 .故答案为>解析:12y y >【解析】抛物线()2y x 11=-+的对称轴为:x=1,∴当x>1时,y 随x 的增大而增大.∴若x 1>x 2>1 时,y 1>y 2 .故答案为> 20.【解析】【分析】根据题意可得一元二次方程根的判别式为0,列出含k 的等式,再将所求代数进行变形后整体代入求值即可.【详解】解:∵一元二次方程x2﹣2kx+1-4k=0有两个相等的实数根,∴ 解析:72【解析】【分析】根据题意可得一元二次方程根的判别式为0,列出含k 的等式,再将所求代数进行变形后整体代入求值即可.【详解】 解:∵一元二次方程12x 2﹣2kx+1-4k=0有两个相等的实数根, ∴2214241402b ac k k ,整理得,22410k k ,∴21 +22k k2221k k k 224k k224k k当21 +22k k时,224k k142=-+72=故答案为:7 2 .【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式与根个数之间的关系,根据根的个数确定根的判别式的符号是解答此题的关键.21.【解析】【分析】如图所示,由网格的特点易得△CEF≌△DBF,从而可得BF的长,易证△BOF∽△AOD,从而可得AO与AB的关系,然后根据勾股定理可求出AB的长,进而可得答案.【详解】解:【解析】【分析】如图所示,由网格的特点易得△CEF≌△DBF,从而可得BF的长,易证△BOF∽△AOD,从而可得AO与AB的关系,然后根据勾股定理可求出AB的长,进而可得答案.【详解】解:如图所示,∵∠CEB=∠DBF=90°,∠CFE=∠DFB,CE=DB=1,∴△CEF≌△DBF,∴BF=EF=12BE=12,∵BF∥AD,∴△BOF∽△AOD,∴11248BO BF AO AD ===, ∴89AO AB =, ∵221417AB =+=,∴817AO =. 故答案为:8179【点睛】本题以网格为载体,考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理等知识,属于常考题型,熟练掌握上述基本知识是解答的关键.22.【解析】【分析】在OA 上取使,得,则,根据点到直线的距离垂线段最短可知当⊥AB 时,CP 最小,由相似求出的最小值即可.【详解】解:如图,在OA 上取使,∵,∴,在△和△QOC 中,,455【解析】【分析】在OA 上取'C 使'OC OC =,得'OPC OQC ≅,则CQ=C'P ,根据点到直线的距离垂线段最短可知当'PC ⊥AB 时,CP 最小,由相似求出C'P 的最小值即可.【详解】解:如图,在OA 上取'C 使'OC OC =,∵90AOC POQ ∠=∠=︒,∴'POC QOC ∠=∠,在△'POC 和△QOC 中,''OP OQ POC QOC OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△'POC ≌△QOC (SAS ),∴'PC QC =∴当'PC 最小时,QC 最小,过'C 点作''C P ⊥AB ,∵直线l :28y x =+与坐标轴分别交于A ,B 两点,∴A 坐标为:(0,8);B 点(-4,0),∵'4OC OC OB ===, ∴22228445AB OA OB ++=''4AC OA OC =-=. ∵'''OB C P sin BAO AB AC ∠==, ''445C P =, ∴4''55C P = ∴线段CQ 455 455【点睛】 本题主要考查了一次函数图像与坐标轴的交点及三角形全等的判定和性质、垂线段最短等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,学会利用垂线段最短解决最值问题,属于中考压轴题.23.2【解析】【分析】首先连接BE,由题意易得BF=CF,△ACO∽△BKO,然后由相似三角形的对应边成比例,易得KO:CO=1:3,即可得OF:CF=OF:BF=1:2,在Rt△OBF中,即可求解析:2【解析】【分析】首先连接BE,由题意易得BF=CF,△ACO∽△BKO,然后由相似三角形的对应边成比例,易得KO:CO=1:3,即可得OF:CF=OF:BF=1:2,在Rt△OBF中,即可求得tan∠BOF的值,继而求得答案.【详解】如图,连接BE,∵四边形BCEK是正方形,∴KF=CF=12CK,BF=12BE,CK=BE,BE⊥CK,∴BF=CF,根据题意得:AC∥BK,∴△ACO∽△BKO,∴KO:CO=BK:AC=1:3,∴KO:KF=1:2,∴KO=OF=12CF=12BF,在Rt△PBF中,tan∠BOF=BFOF=2,∵∠AOD=∠BOF,∴tan∠AOD=2.故答案为2【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质,三角函数的定义.此题难度适中,解题的关键是准确作出辅助线,注意转化思想与数形结合思想的应用.24.x=±2【解析】移项得x2=4,∴x=±2.故答案是:x=±2.解析:x=±2【解析】移项得x 2=4,∴x=±2.故答案是:x=±2.25.2或【解析】【分析】求出二次函数对称轴为直线x=m ,再分m <-2,-2≤m≤1,m >1三种情况,根据二次函数的增减性列方程求解即可.【详解】解:二次函数的对称轴为直线x=m ,且开口向下,解析:2或【解析】【分析】求出二次函数对称轴为直线x=m ,再分m <-2,-2≤m≤1,m >1三种情况,根据二次函数的增减性列方程求解即可.【详解】解:二次函数22()1y x m m =--++的对称轴为直线x=m ,且开口向下,①m <-2时,x=-2取得最大值,-(-2-m )2+m 2+1=4, 解得74m =-, 724->-, ∴不符合题意,②-2≤m≤1时,x=m 取得最大值,m 2+1=4,解得m =所以m =,③m >1时,x=1取得最大值,-(1-m )2+m 2+1=4,解得m=2,综上所述,m=2或时,二次函数有最大值.故答案为:2或【点睛】本题考查了二次函数的最值,熟悉二次函数的性质及图象能分类讨论是解题的关键. 26.120°【解析】【分析】因为半径相等,根据等边对等角结合三角形内角和定理即可求得,继而求得答案.【详解】如图,连接OA ,∵OA,OB 为半径,∴,∴,∴劣弧的度数等于,故答案为:1解析:120°【解析】【分析】因为半径相等,根据等边对等角结合三角形内角和定理即可求得AOB ∠,继而求得答案.【详解】如图,连接OA ,∵OA ,OB 为半径,∴30OAB ABO ∠=∠=︒,∴180120AOB OAB ABO ∠=︒-∠-∠=︒,∴劣弧AB 的度数等于120︒,故答案为:120.【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系以及圆周角定理,是基础知识要熟练掌握.27.x1>2或x1<0.【解析】【分析】将二次函数的解析式化为顶点式,然后将点P 、Q 的坐标代入解析式中,然后y1>y2,列出关于x1的不等式即可求出结论.【详解】解:y=(x+k)(x﹣k﹣2解析:x1>2或x1<0.【解析】【分析】将二次函数的解析式化为顶点式,然后将点P、Q的坐标代入解析式中,然后y1>y2,列出关于x1的不等式即可求出结论.【详解】解:y=(x+k)(x﹣k﹣2)=(x﹣1)2﹣1﹣2k﹣k2,∵点P(x1,y1)和Q(2,y2)在二次函数y=(x+k)(x﹣k﹣2)的图象上,∴y1=(x1﹣1)2﹣1﹣2k﹣k2,y2=﹣2k﹣k2,∵y1>y2,∴(x1﹣1)2﹣1﹣2k﹣k2>﹣2k﹣k2,∴(x1﹣1)2>1,∴x1>2或x1<0.故答案为:x1>2或x1<0.【点睛】此题考查的是比较二次函数上两点之间的坐标大小关系,掌握二次函数的顶点式和根据函数值的取值范围求自变量的取值范围是解决此题的关键.28.36°.【解析】【分析】由正五边形的性质得出∠BAE=(5﹣2)×180°=108°,BC=CD=DE,得出 ==,由圆周角定理即可得出答案.【详解】∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆,解析:36°.【解析】【分析】由正五边形的性质得出∠BAE=15(5﹣2)×180°=108°,BC=CD=DE,得出BC=CD=DE,由圆周角定理即可得出答案.【详解】∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆,∴∠BAE=15(n﹣2)×180°=15(5﹣2)×180°=108°,BC=CD=DE,∴BC=CD=DE,∴∠CAD =13×108°=36°; 故答案为:36°.【点睛】 本题主要考查了正多边形和圆的关系,以及圆周角定理的应用;熟练掌握正五边形的性质和圆周角定理是解题的关键.29.2【解析】【分析】根据根与系数的关系确定和,然后代入计算即可.【详解】解:∵∴=-3, =-5∴-3-(-5)=2故答案为2.【点睛】本题主要考查了根与系数的关系,牢记对于(a≠解析:2【解析】【分析】根据根与系数的关系确定12x x +和12x x •,然后代入计算即可.【详解】解:∵2350x x +-=∴12x x +=-3, 12x x •=-5∴1212x x x x +-•=-3-(-5)=2故答案为2.【点睛】本题主要考查了根与系数的关系,牢记对于20ax bx c ++=(a≠0),则有:12b x x a +=-,12c x x a•=是解答本题的关键. 30.【解析】【分析】取DE 的中点F ,连接AF ,根据直角三角形斜边中点的性质得出AF =EF ,然后证得△BAF≌△DAE,得出AE =AF ,从而证得△AEF 是等边三角形,进一步证得∠ABC=60°,即可解析:32【解析】【分析】取DE的中点F,连接AF,根据直角三角形斜边中点的性质得出AF=EF,然后证得△BAF≌△DAE,得出AE=AF,从而证得△AEF是等边三角形,进一步证得∠ABC=60°,即可求得结论.【详解】取DE的中点F,连接AF,∴EF=DF,∵BE:ED=1:2,∴BE=EF=DF,∴BF=DE,∵AB=AD,∴∠ABD=∠D,∵AD⊥AE,EF=DF,∴AF=EF,在△BAF和△DAE中AB ADABF DBF DE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAF≌△DAE(SAS),∴AE=AF,∴△AEF是等边三角形,∴∠AED=60°,∴∠D=30°,∵∠ABC=2∠ABD,∠ABD=∠D,∴∠ABC=60°,∴cos∠ABC=cos60°33【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,等边三角形的判定和性质,正确的作出辅助线是解题的关键.三、解答题31.(1)画图见解析;(2)x<-1或x>3【解析】【分析】(1)根据二次函数与一次函数图象的性质即可作图,(2)观察图像,找到抛物线在直线上方的图象即可解题.【详解】(1)画图(2)221x x x -->+在图象中代表着抛物线在直线上方的图象∴解集是x <-1或x >3【点睛】本题考查了二次函数与不等式:对于二次函数y =ax 2+bx +c (a 、b 、c 是常数,a ≠0)与不等式的关系,利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围,可作图利用交点直观求解,也可把两个函数解析式列成不等式求解.32.吊灯AB 的长度约为1.1米.【解析】【分析】延长CD交AB的延长线于点E,构建直角三角形,分别在两个直角三角形△BDE和△AEC 中利用正弦和正切函数求出AE长和BE长,即可求解.【详解】解:延长CD交AB的延长线于点E,则∠AEC=90°,∵∠BDE=60°,∠DCB=30°,∴∠CBD=60°﹣30°=30°,∴∠DCB=∠CBD,∴BD=CD=6(米)在Rt△BDE中,sin∠BDE=BE BD,∴BE=BD•sin∠BDE═6×sin60°=3≈5.19(米),DE=12BD=3(米),在Rt△AEC中,tan∠ACE=AE CE,∴AE=CE•tan∠ACE=(6+3)×tan35°≈9×0.70=6.30(米),∴AB=AE﹣BE≈6.30﹣5.19≈1.1(米),∴吊灯AB的长度约为1.1米.【点睛】本题考查解直角三角形的应用,解答此题的关键是构建直角三角形,利用锐角三角函数进行解答.33.(1)详见解析;(2)①1;51.【解析】【分析】(1)要证明三角形△DPF为等腰直角三角形,只要证明∠DFP=90°,∠DPF=∠PDF=45°即可,根据直径所对的圆周角是90°和同弧所对的圆周角相等,可以证明∠DFP=90°,∠DPF=∠PDF=45°,从而可以证明结论成立;(2)①根据题意,可知分两种情况,然后利用分类讨论的方法,分别计算出相应的t的值即可,注意点P从A出发到B停止,t≤4÷2=2;②根据题意,画出相应的图形,然后利用三角形相似,勾股定理,即可求得t的值.【详解】证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,AC是对角线,∴∠DAC=45°,∵在⊙O中,DF所对的圆周角是∠DAF和∠DPF,∴∠DAF=∠DPF,∴∠DPF=45°,又∵DP是⊙O的直径,∴∠DFP=90°,∴∠FDP=∠DPF=45°,∴△DFP是等腰直角三角形;(2)①当AE:EC=1:2时,∵AB∥CD,∴∠DCE=∠PAE,∠CDE=∠APE,∴△DCE∽△PAE,∴DC CE=,PA AE∴42=,t21解得,t=1;当AE:EC=2:1时,∵AB∥CD,∴∠DCE=∠PAE,∠CDE=∠APE,∴△DCE∽△PAE,∴DC CE=,PA AE∴41=,22t解得,t=4,∵点P从点A到B,t的最大值是4÷2=2,∴当t=4时不合题意,舍去;由上可得,当t为1时,点E恰好为AC的一个三等分点;②如右图所示,∵∠DPF=90°,∠DPF=∠OPF,∴∠OPF=90°,∴∠DPA+∠QPB=90°,∵∠DPA+∠PDA=90°,∴∠PDA=∠QPB,∵点Q落在BC上,∴∠DAP=∠B=90°,∴△DAP∽△PBQ,∴DA DP PB PQ =, ∵DA =AB =4,AP=2t ,∠DAP =90°,∴DP =224(2)t +=224t +,PB =4﹣2t ,设PQ =a ,则PE =a ,DE =DP ﹣a =222t +﹣a ,∵△AEP ∽△CED ,∴AP PE CD DE=, 即22424t t a=+-, 解得,a =2242t t t++, ∴PQ =2242t t t++, ∴224244224t t t t +=-+,解得,t 1=﹣5﹣1(舍去),t 2=5﹣1,即t 的值是5﹣1.【点睛】此题主要考查四边形综合,解题的关键是熟知正方形的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质.34.(1)y=x 2﹣4x+3;(2)(2,)或(2,7)或(2,﹣1+2)或(2,﹣1﹣2);(3)E 点坐标为(,)时,△CBE 的面积最大. 【解析】试题分析:(1)由直线解析式可求得B 、C 坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式; (2)由抛物线解析式可求得P 点坐标及对称轴,可设出M 点坐标,表示出MC 、MP 和PC 的长,分MC=MP 、MC=PC 和MP=PC 三种情况,可分别得到关于M 点坐标的方程,可求得M 点的坐标;(3)过E 作EF ⊥x 轴,交直线BC 于点F ,交x 轴于点D ,可设出E 点坐标,表示出F 点的坐标,表示出EF的长,进一步可表示出△CBE的面积,利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E点的坐标.试题解析:(1)∵直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C,∴B(3,0),C(0,3),把B、C坐标代入抛物线解析式可得,解得,∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3;(2)∵y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,∴抛物线对称轴为x=2,P(2,﹣1),设M(2,t),且C(0,3),∴MC=,MP=|t+1|,PC=,∵△CPM为等腰三角形,∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况,①当MC=MP时,则有=|t+1|,解得t=,此时M(2,);②当MC=PC时,则有=2,解得t=﹣1(与P点重合,舍去)或t=7,此时M(2,7);③当MP=PC时,则有|t+1|=2,解得t=﹣1+2或t=﹣1﹣2,此时M(2,﹣1+2)或(2,﹣1﹣2);综上可知存在满足条件的点M,其坐标为(2,)或(2,7)或(2,﹣1+2)或(2,﹣1﹣2);(3)如图,过E作EF⊥x轴,交BC于点F,交x轴于点D,设E(x,x2﹣4x+3),则F(x,﹣x+3),∵0<x<3,∴EF=﹣x+3﹣(x2﹣4x+3)=﹣x2+3x,∴S△CBE=S△EFC+S△EFB=EF•OD+EF•BD=EF•OB=×3(﹣x2+3x)=﹣(x﹣)2+,∴当x=时,△CBE的面积最大,此时E点坐标为(,),即当E 点坐标为(,)时,△CBE 的面积最大.考点:二次函数综合题. 35.(1)x 1=115x 2=1152)x 1=13,x 2=-3【解析】 【分析】(1)利用配方法解方程即可;(2)先移项,然后利用因式分解法解方程. 【详解】 (1)解:x 2-2x =23x 2-2x +1=23+1 (x -1)2=53x -1=±153∴x 1=1+153,x 2=1-153(2)解:[ (x -2)+(2x +1)] [ (x -2)-(2x +1)]=0 (3x -1) (-x -3)=0∴x 1=13,x 2=-3 【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用,能灵活运用各种方法解一元二次方程是解题的关键.四、压轴题36.(1)①详见解析;②图见解析,猜想∠BEC=45°;(2)详见解析 【解析】 【分析】(1)①证明△ACD ≌△BCF ,得到∠CAD=∠CBF 即可得到∠AEF=∠BCF=90°即可; ②根据已知条件画图即可;(2)取AB 的中点M ,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得到点A ,B ,C ,E 四点在同一个圆M 上,再利用圆周角定理即可证明. 【详解】解:(1)①∵,90AC BC ACB ︒=∠=,CD CF =∴在△ACD 与△BCF 中,。
江苏省常州市九年级(上)期末数学试卷一、选择题1.下列关于x 的一元二次方程,有两个不相等的实数根的方程的是( ) A .x 2+1=0B .x 2+2x +1=0C .x 2+2x +3=0D .x 2+2x -3=02.已知抛物线221y ax x =+-与x 轴没有交点,那么该抛物线的顶点所在的象限是( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限3.若25x y =,则x y y+的值为( ) A .25B .72C .57D .754.如图,以AB 为直径的⊙O 上有一点C ,且∠BOC =50°,则∠A 的度数为( )A .65°B .50°C .30°D .25°5.将抛物线23y x =向上平移3个单位,再向左平移2个单位,那么得到的抛物线的解析式为( )A .23(2)3y x =++B .23(2)3y x =-+C .23(2)3y x =+-D .23(2)3y x =-- 6.已知一元二次方程x 2+kx-3=0有一个根为1,则k 的值为( ) A .−2B .2C .−4D .47.二次函数2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,且0a ≠)中的x 与y 的部分对应值如下表:x2- 1-0 12y5 03- 4-3-以下结论:①二次函数2y ax bx c =++有最小值为4-; ②当1x <时,y 随x 的增大而增大;③二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴只有一个交点;④当13x 时,0y <.其中正确的结论有( )个A .1B .2C .3D .48.一个袋子中装有6个黑球3个白球,这些球除颜色外,形状、大小、质地等完全相同,在看不到球的条件下,随机地从这个袋子中摸出一个球,摸到白球的概率为( ) A .19B .13C .12D .239.一个不透明的袋子中装有20个红球,2个黑球,1个白球,它们除颜色外都相同,若从中任意摸出1个球,则( ) A .摸出黑球的可能性最小 B .不可能摸出白球 C .一定能摸出红球D .摸出红球的可能性最大10.如图1,在菱形ABCD 中,∠A =120°,点E 是BC 边的中点,点P 是对角线BD 上一动点,设PD 的长度为x ,PE 与PC 的长度和为y ,图2是y 关于x 的函数图象,其中H 是图象上的最低点,则a +b 的值为( )A .73B .234+C .1433D .223311.如图,O 的直径AB 垂直于弦CD ,垂足是点E ,22.5CAO ∠=,6OC =,则CD 的长为( )A .62B .32C .6D .1212.已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图像如图所示,则下列结论正确的个数有( ) ①c >0;②b 2-4ac <0;③ a -b +c >0;④当x >-1时,y 随x 的增大而减小.A .4个B .3个C .2个D .1个13.下表是二次函数y =ax 2+bx +c 的部分x ,y 的对应值:x … ﹣1 ﹣120 121322523 …y … 2 m﹣1﹣74 ﹣2 ﹣74﹣1 142 …可以推断m 的值为( ) A .﹣2B .0C .14D .214.如图,点A ,B ,C ,D 的坐标分别是(1,7),(1,1),(4,1),(6,1),以C ,D ,E 为顶点的三角形与△ABC 相似,则点E 的坐标不可能是A .(6,0)B .(6,3)C .(6,5)D .(4,2)15.二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)的图象如图,给出下列四个结论:①4ac ﹣b 2<0;②4a+c <2b ;③3b+2c <0;④m (am+b )+b <a (m≠﹣1),其中正确结论的个数是( )A .4个B .3个C .2个D .1个二、填空题16.如图,将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△EDC ,若点A 、D 、E 在同一条直线上,∠ACD =70°,则∠EDC 的度数是_____.17.二次函数23(1)2y x =-+图象的顶点坐标为________.18.若一三角形的三边长分别为5、12、13,则此三角形的内切圆半径为______.19.如图,用一张半径为10 cm 的扇形纸板做一个圆锥形帽子(接缝忽略不计),如果做成的圆锥形帽子的高为8 cm ,那么这张扇形纸板的弧长是________cm .20.已知,二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,当y <0时,x 的取值范围是________.21.如图,D 、E 分别是△ABC 的边AB ,AC 上的点,AD AB =AEAC,AE =2,EC =6,AB =12,则AD 的长为_____.22.将正整数按照图示方式排列,请写出“2020”在第_____行左起第_____个数.23.圆锥的母线长是5 cm,底面半径长是3 cm,它的侧面展开图的圆心角是____.24.某电视台招聘一名记者,甲应聘参加了采访写作、计算机操作和创意设计的三项素质测试得分分别为70、60、90,三项成绩依次按照5:2:3计算出最后成绩,那么甲的成绩为__.25.“上升数”是一个数中右边数字比左边数字大的自然数(如:34,568,2469等).任取一个两位数,是“上升数”的概率是_________ .26.如图,港口A 在观测站 O 的正东方向,OA =4km ,某船从港口A 出发,沿北偏东15°方向航行一段距离后到达 B 处,此时从观测站O 处测得该船位于北偏东60°的方向,则该船与观测站之间的距离(即OB 的长)为 _____km.27.一组数据:3,2,1,2,2,3,则这组数据的众数是_____.28.用配方法解一元二次方程2430x x +-=,配方后的方程为2(2)x n +=,则n 的值为______.29.若⊙O 的直径是4,圆心O 到直线l 的距离为3,则直线l 与⊙O 的位置关系是_________.30.如图,在四边形ABCD 中,∠BAD =∠BCD =90°,AB +AD =8cm .当BD 取得最小值时,AC 的最大值为_____cm .三、解答题31.已知二次函数218y x bx c =++(b 、c 为常数)的图像经过点()0,1-和点()4,1A . (1)求b 、c 的值;(2)如图1,点()10,C m 在抛物线上,点M 是y 轴上的一个动点,过点M 平行于x 轴的直线l 平分AMC ∠,求点M 的坐标;(3)如图2,在(2)的条件下,点P 是抛物线上的一动点,以P 为圆心、PM 为半径的圆与x 轴相交于E 、F 两点,若PEF ∆的面积为26P 的坐标. 32.新建马路需要在道路两旁安装路灯、种植树苗.如图,某道路一侧路灯AB 在两棵同样高度的树苗CE 和DF 之间,树苗高2 m ,两棵树苗之间的距离CD 为16 m ,在路灯的照射下,树苗CE 的影长CG 为1 m ,树苗DF 的影长DH 为3 m ,点G 、C 、B 、D 、H 在一条直线上.求路灯AB 的高度.33.为了落实国务院的指示精神,地方政府出台了一系列“三农”优惠政策,使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农产品,已知这种产品的成本价为每千克20元,市场调查发现,该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系:y 2x 80=-+. 设这种产品每天的销售利润为w 元. (1)求w 与x 之间的函数关系式;(2)该产品销售价定为每千克多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少元? 34.如图,在平面直角坐标系中,ABC ∆的顶点坐标分别为A (6,4),B (4,0),C (2,0).(1)在y 轴左侧,以O 为位似中心,画出111A B C ∆,使它与ABC ∆的相似比为1:2; (2)根据(1)的作图,111tan A B C ∠= .35.某景区检票口有A 、B 、C 、D 共4个检票通道.甲、乙两人到该景区游玩,两人分别从4个检票通道中随机选择一个检票. (1)甲选择A 检票通道的概率是 ;(2)求甲乙两人选择的检票通道恰好相同的概率.四、压轴题36.已知,如图1,⊙O 是四边形ABCD 的外接圆,连接OC 交对角线BD 于点F ,延长AO 交BD 于点E ,OE=OF.(1)求证:BE=FD;(2)如图2,若∠EOF=90°,BE=EF,⊙O的半径25AO=,求四边形ABCD的面积;(3)如图3,若AD=BC;①求证:22•AB CD BC BD+=;②若2•12AB CD AO==,直接写出CD的长. 37.如图1,Rt△ABC两直角边的边长为AC=3,BC=4.(1)如图2,⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点X,与边BC相切于点Y.请你在图2中作出并标明⊙O的圆心(用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法和证明)(2)P是这个Rt△ABC上和其内部的动点,以P为圆心的⊙P与Rt△ABC的两条边相切.设⊙P的面积为S,你认为能否确定S的最大值?若能,请你求出S的最大值;若不能,请你说明不能确定S的最大值的理由.38.【问题学习】小芸在小组学习时问小娟这样一个问题:已知α为锐角,且sinα=13,求sin2α的值.小娟是这样给小芸讲解的:构造如图1所示的图形,在⊙O中,AB是直径,点C在⊙O上,所以∠ACB=90°,作CD⊥AB于D.设∠BAC=α,则sinα=13BCAB=,可设BC=x,则AB=3x,….【问题解决】(1)请按照小娟的思路,利用图1求出sin2α的值;(写出完整的解答过程)(2)如图2,已知点M,N,P为⊙O上的三点,且∠P=β,sinβ=35,求sin2β的值.39.抛物线G :2y ax c =+与x 轴交于A 、B 两点,与y 交于C (0,-1),且AB =4OC . (1)直接写出抛物线G 的解析式: ;(2)如图1,点D (-1,m )在抛物线G 上,点P 是抛物线G 上一个动点,且在直线OD 的下方,过点P 作x 轴的平行线交直线OD 于点Q ,当线段PQ 取最大值时,求点P 的坐标;(3)如图2,点M 在y 轴左侧的抛物线G 上,将点M 先向右平移4个单位后再向下平移,使得到的对应点N 也落在y 轴左侧的抛物线G 上,若S △CMN =2,求点M 的坐标.40.如图,抛物线y =ax 2-4ax +b 交x 轴正半轴于A 、B 两点,交y 轴正半轴于C ,且OB =OC =3.(1) 求抛物线的解析式;(2) 如图1,D 为抛物线的顶点,P 为对称轴左侧抛物线上一点,连接OP 交直线BC 于G ,连GD .是否存在点P ,使2GDGO=?若存在,求点P 的坐标;若不存在,请说明理由; (3) 如图2,将抛物线向上平移m 个单位,交BC 于点M 、N .若∠MON =45°,求m 的值.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.D 解析:D 【解析】 【分析】要判断所给方程是有两个不相等的实数根,只要找出方程的判别式,根据判别式的正负情况即可作出判断.有两个不相等的实数根的方程,即判别式的值大于0的一元二次方程. 【详解】A 、△=0-4×1×1=-4<0,没有实数根;B 、△=22-4×1×1=0,有两个相等的实数根;C 、△=22-4×1×3=-8<0,没有实数根;D 、△=22-4×1×(-3)=16>0,有两个不相等的实数根, 故选D . 【点睛】本题考查了根的判别式,注意掌握一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b 2-4ac 有如下关系:①当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根;②当△=0时,方程有两个相等的两个实数根;③当△<0时,方程无实数根.2.D解析:D 【解析】 【分析】根据题目信息可知当y=0时,20a 21x x =+-,此时0<,可以求出a 的取值范围,从而可以确定抛物线顶点坐标的符号,继而可以确定顶点所在的象限. 【详解】解:∵抛物线2y a 21x x =+-与x 轴没有交点,∴2a 210x x +-=时无实数根; 即,24440b ac a =-=+<, 解得,a 1<-,又∵2y a 21x x =+-的顶点的横坐标为:2102a a-=->; 纵坐标为:()414104a a aa⨯----=<; 故抛物线的顶点在第四象限. 故答案为:D. 【点睛】本题考查的知识点是抛物线与坐标轴的交点问题,解题的关键是根据抛物线与x 轴无交点得出2a 210x x +-=时无实数根,再利用根的判别式求解a 的取值范围.3.D解析:D 【解析】 【分析】由已知可得x 与y 的关系,然后代入所求式子计算即可. 【详解】 解:∵25x y =, ∴25x y =, ∴2755y yx y y y ++==.故选:D. 【点睛】本题考查了比例的性质,属于基础题型,熟练掌握比例的性质是解题关键.4.D解析:D 【解析】 【分析】根据圆周角定理计算即可. 【详解】解:由圆周角定理得,1252A BOC ∠=∠=︒,故选:D . 【点睛】本题考查的是圆周角定理,在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.5.A解析:A 【解析】 【分析】直接根据“上加下减,左加右减”的原则进行解答即可. 【详解】将抛物线23y x =向上平移3个单位,再向左平移2个单位,根据抛物线的平移规律可得新抛物线的解析式为23(2)3y x =++,故答案选A .6.B解析:B【解析】分析:根据一元二次方程的解的定义,把x=1代入方程得关于k 的一次方程1-3+k=0,然后解一次方程即可.详解:把x=1代入方程得1+k-3=0,解得k=2.故选B .点睛:本题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.7.B解析:B【解析】【分析】根据表中数据,可获取相关信息:抛物线的顶点坐标为(1,-4),开口向上,与x 轴的两个交点坐标是(-1,0)和(3,0),据此即可得到答案.【详解】①由表格给出的数据可知(0,-3)和(2,-3)是一对对称点,所以抛物线的对称轴为202+=1,即顶点的横坐标为x=1,所以当x=1时,函数取得最小值-4,故此选项正确; ②由表格和①可知当x <1时,函数y 随x 的增大而减少;故此选项错误;③由表格和①可知顶点坐标为(1,-4),开口向上,∴二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴有两个交点,一个是(-1,0),另一个是(3,0);故此选项错误;④函数图象在x 轴下方y<0,由表格和③可知,二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴的两个交点坐标是(-1,0)和(3,0),∴当13x时,y<0;故此选项正确;综上:①④两项正确,故选:B .【点睛】本题综合性的考查了二次函数的性质,解题的关键是能根据二次函数的对称性判断:纵坐标相同两个点的是一对对称点. 8.B解析:B【解析】【分析】让白球的个数除以球的总数即为摸到白球的概率.【详解】解:6个黑球3个白球一共有9个球,所以摸到白球的概率是3193=.故选:B.【点睛】本题考查了概率,熟练掌握概率公式是解题的关键.9.D解析:D【解析】【分析】根据概率公式先分别求出摸出黑球、白球和红球的概率,再进行比较,即可得出答案.【详解】解:∵不透明的袋子中装有20个红球,2个黑球,1个白球,共有23个球,∴摸出黑球的概率是2 23,摸出白球的概率是1 23,摸出红球的概率是20 23,∵123<223<2023,∴从中任意摸出1个球,摸出红球的可能性最大;故选:D.【点睛】本题考查了可能性大小的比较:只要总情况数目相同,谁包含的情况数目多,谁的可能性就大;反之也成立;若包含的情况相当,那么它们的可能性就相等.10.C解析:C【解析】【分析】由A、C关于BD对称,推出PA=PC,推出PC+PE=PA+PE,推出当A、P、E共线时,PE+PC的值最小,观察图象可知,当点P与B重合时,PE+PC=6,推出BE=CE=2,AB=BC=4,分别求出PE+PC的最小值,PD的长即可解决问题.【详解】解:∵在菱形ABCD中,∠A=120°,点E是BC边的中点,∴易证AE⊥BC,∵A、C关于BD对称,∴PA=PC,∴PC+PE=PA+PE,∴当A、P、E共线时,PE+PC的值最小,即AE的长.观察图象可知,当点P与B重合时,PE+PC=6,∴BE=CE=2,AB=BC=4,∴在Rt △AEB 中,BE =∴PC +PE 的最小值为∴点H 的纵坐标a =∵BC ∥AD , ∴AD PD BE PB= =2,∵BD =∴PD =23⨯=∴点H 的横坐标b ,∴a +b =33=; 故选C .【点睛】 本题考查动点问题的函数图象,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答.11.A解析:A【解析】【分析】先根据垂径定理得到CE DE =,再根据圆周角定理得到245BOC A ∠=∠=,可得OCE ∆为等腰直角三角形,所以2CE ==CD 的长. 【详解】∵CD AB ⊥,AB 为直径,∴CE DE =, ∵∠BOC 和∠A 分别为BC 所对的圆心角和圆周角,∠A=22.5°,∴2222.545BOC A ∠=∠=⨯=,∴OCE ∆为等腰直角三角形,∵OC=6,∴6CE ===∴2CD CE ==故选A .【点睛】本题考查了垂径定理及圆周角定理,在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半;垂直于弦的直径,平分这条弦且平分这条弦所对的两条弧.12.C解析:C【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然后根据抛物线与x轴交点及x=-1时二次函数的值的情况进行推理,进而对所得结论进行判断.【详解】解:由图象可知,a<0,c>0,故①正确;抛物线与x轴有两个交点,则b²-4ac>0,故②错误;∵当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,故③正确;由图象可知,图象开口向下,对称轴x>-1,在对称轴右侧, y随x的增大而减小,而在对称轴左侧和-1之间,是y随x的增大而减小,故④错误.故选:C.【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系:二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a 共同决定对称轴的位置:当a与b同号时,对称轴在y轴左;当a与b异号时,对称轴在y轴右.常数项c决定抛物线与y轴交点:抛物线与y轴交于(0,c).抛物线与x轴交点个数由判别式确定:△=b2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.13.C解析:C【解析】【分析】首先根据表中的x、y的值确定抛物线的对称轴,然后根据对称性确定m的值即可.【详解】解:观察表格发现该二次函数的图象经过点(12,﹣74)和(32,﹣74),所以对称轴为x=13222+=1,∵511122⎛⎫-=--⎪⎝⎭,∴点(﹣12,m)和(52,14)关于对称轴对称,∴m=14,故选:C.【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质,解题的关键是通过表格信息确定抛物线的对称轴.14.B解析:B【解析】试题分析:△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,BC=3,AB:BC=2.A、当点E的坐标为(6,0)时,∠CDE=90°,CD=2,DE=1,则AB:BC=CD:DE,△CDE∽△ABC,故本选项不符合题意;B、当点E的坐标为(6,3)时,∠CDE=90°,CD=2,DE=2,则AB:BC≠CD:DE,△CDE与△ABC不相似,故本选项符合题意;C、当点E的坐标为(6,5)时,∠CDE=90°,CD=2,DE=4,则AB:BC=DE:CD,△EDC∽△ABC,故本选项不符合题意;D、当点E的坐标为(4,2)时,∠ECD=90°,CD=2,CE=1,则AB:BC=CD:CE,△DCE∽△ABC,故本选项不符合题意.故选B.15.B解析:B【解析】【分析】【详解】解:∵抛物线和x轴有两个交点,∴b2﹣4ac>0,∴4ac﹣b2<0,∴①正确;∵对称轴是直线x﹣1,和x轴的一个交点在点(0,0)和点(1,0)之间,∴抛物线和x轴的另一个交点在(﹣3,0)和(﹣2,0)之间,∴把(﹣2,0)代入抛物线得:y=4a﹣2b+c>0,∴4a+c>2b,∴②错误;∵把(1,0)代入抛物线得:y=a+b+c<0,∴2a+2b+2c<0,∵b=2a,∴3b,2c<0,∴③正确;∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1,∴y=a﹣b+c的值最大,即把(m,0)(m≠0)代入得:y=am2+bm+c<a﹣b+c,∴am2+bm+b<a,即m(am+b)+b<a,∴④正确;即正确的有3个,故选B.考点:二次函数图象与系数的关系二、填空题16.115°【解析】【分析】根据∠EDC=180°﹣∠E﹣∠DCE,想办法求出∠E,∠DCE即可.【详解】由题意可知:CA=CE,∠ACE=90°,∴∠E=∠CAE=45°,∵∠ACD=7解析:115°【解析】【分析】根据∠EDC=180°﹣∠E﹣∠DCE,想办法求出∠E,∠DCE即可.【详解】由题意可知:CA=CE,∠ACE=90°,∴∠E=∠CAE=45°,∵∠ACD=70°,∴∠DCE=20°,∴∠EDC=180°﹣∠E﹣∠DCE=180°﹣45°﹣20°=115°,故答案为115°.【点睛】本题考查了旋转的性质,等腰直角三角形的性质,三角形的内角和定理等知识,解题的关键是灵活运用所学知识,问题,属于中考常考题型.17.【解析】【分析】二次函数(a≠0)的顶点坐标是(h,k).【详解】解:根据二次函数的顶点式方程知,该函数的顶点坐标是:(1,2).故答案为:(1,2).【点睛】本题考查了二次函数的性解析:()1,2【解析】【分析】二次函数2()y a x h k =-+(a≠0)的顶点坐标是(h ,k ).【详解】解:根据二次函数的顶点式方程23(1)2y x =-+知,该函数的顶点坐标是:(1,2). 故答案为:(1,2).【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数的三种形式,解答该题时,需熟悉二次函数的顶点式方程2()y a x h k =-+中的h ,k 所表示的意义. 18.【解析】【详解】∵,由勾股定理逆定理可知此三角形为直角三角形,∴它的内切圆半径,解析:【解析】【详解】∵22251213+=,由勾股定理逆定理可知此三角形为直角三角形, ∴它的内切圆半径5121322r +-==, 19.【解析】【分析】首先求出圆锥的底面半径,然后可得底面周长,问题得解.【详解】解:∵扇形的半径为10cm ,做成的圆锥形帽子的高为8cm ,∴圆锥的底面半径为cm ,∴底面周长为2π×6=12解析:12π【解析】【分析】首先求出圆锥的底面半径,然后可得底面周长,问题得解.【详解】解:∵扇形的半径为10cm ,做成的圆锥形帽子的高为8cm ,=cm,6∴底面周长为2π×6=12πcm,即这张扇形纸板的弧长是12πcm,故答案为:12π.【点睛】本题考查圆锥的计算,用到的知识点为:圆锥的底面周长=侧面展开扇形的弧长.20.【解析】【分析】直接利用函数图象与x轴的交点再结合函数图象得出答案.【详解】解:如图所示,图象与x轴交于(-1,0),(3,0),故当y<0时,x的取值范围是:-1<x<3.故答案为:x解析:13【解析】【分析】直接利用函数图象与x轴的交点再结合函数图象得出答案.【详解】解:如图所示,图象与x轴交于(-1,0),(3,0),故当y<0时,x的取值范围是:-1<x<3.故答案为:-1<x<3.【点睛】此题主要考查了抛物线与x轴的交点,正确数形结合分析是解题关键.21.3【解析】【分析】把AE=2,EC=6,AB=12代入已知比例式,即可求出答案.【详解】解:∵=,AE=2,EC=6,AB=12,∴=,解得:AD=3,故答案为:3.【点睛】本题解析:3【解析】【分析】把AE =2,EC =6,AB =12代入已知比例式,即可求出答案.【详解】 解:∵AD AB =AE AC,AE =2,EC =6,AB =12, ∴12AD =226+, 解得:AD =3,故答案为:3.【点睛】 本题考查了成比例线段,灵活的将已知线段的长度代入比例式是解题的关键.22.4【解析】【分析】根据图形中的数字,可以写出前n 行的数字之和,然后即可计算出2020在多少行左起第几个数字,本题得以解决.【详解】解:由图可知,第一行1个数,第二行2个数,第解析:4【解析】【分析】根据图形中的数字,可以写出前n 行的数字之和,然后即可计算出2020在多少行左起第几个数字,本题得以解决.【详解】解:由图可知,第一行1个数,第二行2个数,第三行3个数,…,则第n 行n 个数,故前n 个数字的个数为:1+2+3+…+n =(1)2n n +, ∵当n =63时,前63行共有63642⨯=2016个数字,2020﹣2016=4, ∴2020在第64行左起第4个数,故答案为:64,4.【点睛】本题考查了数字类规律探究,从已有数字确定其变化规律是解题的关键. 23.216°.【解析】【分析】【详解】圆锥的底面周长为2π×3=6π(cm),设圆锥侧面展开图的圆心角是n°,则=6π,解得n=216.故答案为216°.【点睛】本题考查了圆锥的计算,解析:216°.【解析】【分析】【详解】圆锥的底面周长为2π×3=6π(cm),设圆锥侧面展开图的圆心角是n°,则π5 180n=6π,解得n=216.故答案为216°.【点睛】本题考查了圆锥的计算,正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键,理解圆锥的母线长是扇形的半径,圆锥的底面圆周长是扇形的弧长.24.74【解析】【分析】利用加权平均数公式计算.【详解】甲的成绩=,故答案为:74.【点睛】此题考查加权平均数,正确理解各数所占的权重是解题的关键.解析:74【解析】【分析】利用加权平均数公式计算.【详解】甲的成绩=70560290374523,故答案为:74.【点睛】此题考查加权平均数,正确理解各数所占的权重是解题的关键.25.4【解析】【分析】先列举出所有上升数,再根据概率公式解答即可.【详解】解:两位数一共有99-10+1=90个,上升数为:共8+7+6+5+4+3+2+1=36个.概率为36÷90=解析:4【解析】【分析】先列举出所有上升数,再根据概率公式解答即可.【详解】解:两位数一共有99-10+1=90个,上升数为:共8+7+6+5+4+3+2+1=36个.概率为36÷90=0.4.故答案为:0.4.26.2+2【解析】【分析】作AD⊥OB于点D,根据题目条件得出∠OAD=60°、∠DAB=45°、OA=4km,再分别求出AD、OD、BD的长,从而得出答案.【详解】如图所示,过点A作AD⊥O解析:23+2【解析】【分析】作AD⊥OB于点D,根据题目条件得出∠OAD=60°、∠DAB=45°、OA=4km,再分别求出AD、OD、BD的长,从而得出答案.【详解】如图所示,过点A作AD⊥OB于点D,由题意知,∠AOD=30°,OA=4km,则∠OAD=60°,∴∠DAB=45°,在Rt△OAD中,AD=OAsin∠AOD=4×sin30°=4×12=2(km),OD=OAcos∠AOD=4×cos30°=433km),在Rt△ABD中,BD=AD=2km,∴OB=OD+BD=32(km),故答案为:32.【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用−方向角问题,解题的关键是构建合适的直角三角形,并熟练运用三角函数进行求解.27.【解析】【分析】根据众数的定义:一组数据中出现次数最多的数据解答即可.【详解】在数据:3,2,1,2,2,3中,2出现3次,出现的次数最多,∴这组数据的众数是2,故答案为:2.【点睛解析:【解析】【分析】根据众数的定义:一组数据中出现次数最多的数据解答即可.【详解】在数据:3,2,1,2,2,3中,2出现3次,出现的次数最多,∴这组数据的众数是2,故答案为:2.【点睛】此题考查的是求一组数据的众数,掌握众数的定义是解决此题的关键.28.7【解析】【分析】根据配方法,先移项,然后两边同时加上4,即可求出n 的值.【详解】解:∵,∴,∴,∴,∴;故答案为:7.【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程,解题的关键是熟解析:7【解析】【分析】根据配方法,先移项,然后两边同时加上4,即可求出n 的值.【详解】解:∵2430x x +-=,∴243x x +=,∴2447x x ++=,∴2(2)7x +=,∴7n =;故答案为:7.【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程,解题的关键是熟练掌握配方法的步骤. 29.相离【解析】r=2,d=3, 则直线l 与⊙O 的位置关系是相离【解析】r=2,d=3, 则直线l 与⊙O 的位置关系是相离30.【解析】【分析】设AB =x ,则AD =8﹣x ,由勾股定理可得BD2=x2+(8﹣x)2,由二次函数的性质可求出AB =AD =4时,BD 的值最小,根据条件可知A ,B ,C ,D 四点在以BD 为直径的圆上.解析:42【解析】【分析】设AB =x ,则AD =8﹣x ,由勾股定理可得BD 2=x 2+(8﹣x )2,由二次函数的性质可求出AB =AD =4时,BD 的值最小,根据条件可知A ,B ,C ,D 四点在以BD 为直径的圆上.则AC 为直径时最长,则最大值为42.【详解】解:设AB =x ,则AD =8﹣x ,∵∠BAD =∠BCD =90°,∴BD 2=x 2+(8﹣x )2=2(x ﹣4)2+32.∴当x =4时,BD 取得最小值为42.∵A ,B ,C ,D 四点在以BD 为直径的圆上.如图,∴AC 为直径时取得最大值.AC 的最大值为2.故答案为:2.【点睛】本题考查了四边形的对角线问题,掌握勾股定理和圆内接四边形的性质是解题的关键.三、解答题31.(1)0b =,1c =-;(2)()0,4M ;(3)()4,1P 或()4,1-或()0,1-【解析】【分析】(1)直接把两点的坐标代入二次函数解析式,得出关于b ,c 的二元一次方程组求解即可(2) 过点C 作CD l ⊥,过点A 作AE l ⊥.证明△CMD 相似于△AME ,再根据对应线段成比(3)根据题意设点P的纵坐标为y,首先根据三角形面积得出EF与y的关系,再利用勾股定理得出EF与y的关系,从而得出y的值,再代入抛物线解析式求出x的值,得出点坐标.【详解】解:(1)把()4,1A和()0,1-代入218y x bx c=++得:1241b cc=++⎧⎨-=⎩解方程组得出:1bc=⎧⎨=-⎩所以,b=,1c=-(2)由已知条件得出C点坐标为2310,2C⎛⎫⎪⎝⎭,设()0,M n.过点C作CD l⊥,过点A作AE l⊥.两个直角三角形的三个角对应相等,∴CMD AME∆∆∽∴CD MDAE ME=∴2310214nn-=-∵解得:4n=∴()0,4M(3)设点P的纵坐标为y,由题意得出,1262EF y⨯⨯=46EFy=∵MP与PE都为圆的半径,∴MP=PE∴()2228y84()2EFy y++-=+整理得出,∴EF46=∵46EFy=∴当y=1时有,21118x =-,解得,x 4=±; ∴当y=-1时有,21118x -=-,此时,x=0 ∴综上所述得出P 的坐标为:()4,1P 或()4,1-或()0,1-【点睛】本题是一道关于二次函数的综合题目,考查的知识点有二元一次方程组的求解、相似三角形的性质等,巧妙利用数形结合是解题的关键.32.m【解析】【分析】设BC 的长度为x ,根据题意得出△GCE ∽△GBA ,△HDF ∽△HBA ,进而利用相似三角形的性质列出关于x 的方程.【详解】解:设BC 的长度为x m由题意可知CE ∥AB ∥DF∵CE ∥AB∴△GCE ∽△GBA ,△HDF ∽△HBA ∴GC CE GB AB =,即11x +=2AB HD HB =FD AB ,即()3316x +- =2AB∴11x +=()3316x +- ∴x =4∴AB =10答:路灯AB 的高度为10 m.【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用,得出△GCE ∽△GBA ,△HDF ∽△HBA 是解题关键.33.(1)2w 2x 120x 1600=-+-;(2)该产品销售价定为每千克30元时,每天销售利润最大,最大销售利润200元.【解析】试题分析:(1)根据销售额=销售量×销售价单x ,列出函数关系式;(2)用配方法将(2)的函数关系式变形,利用二次函数的性质求最大值.试题解析:(1)由题意得:()()()2w x 20y x 202x 802x 120x 1600=-⋅=--+=-+-, ∴w 与x 的函数关系式为:2w 2x 120x 1600=-+-.(2)()22w 2x 120x 16002x 30200=-+-=--+,∵﹣2<0,∴当x=30时,w 有最大值.w 最大值为200.答:该产品销售价定为每千克30元时,每天销售利润最大,最大销售利润200元. 考点:1.二次函数的应用;2.由实际问题列函数关系式;3.二次函数的最值.34.(1)见解析;(2)-2【解析】【分析】(1)连接AO 并延长至1A ,使1AO 2AO =,同理作出点B ,C 的对应点,再顺次连接即可;(2)先根据图象找出三点的坐标,再利用正切函数的定义求解即可.【详解】(1)如图;(2)根据题意可得出()13,2A --,()12,0B -,()11,0C -, 设11A B 与x 轴的夹角为α,∴()111tan tan 180αtan α2A BC ∠=-=-=-.【点睛】本题考查的知识点是在坐标系中画位似图形,掌握位似图形的关于概念是解此题的关键.35.(1)14;(2)14. 【解析】【分析】(1)直接利用概率公式求解;(2)通过列表展示所有9种等可能结果,再找出通道不同的结果数,然后根据概率公式求解.【详解】(1)解:一名游客经过此检票口时,选择A 通道通过的概率=14,故答案为:14;(2)解:列表如下:共有16种可能结果,并且它们的出现是等可能的,“甲、乙两人选择相同检票通道”记为事件E,它的发生有4种可能:(A,A)、(B,B)、(C,C)、(D,D)∴P(E)=416=14.【点睛】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率.四、压轴题36.(1)见详解;(2)3【解析】【分析】(1)如图1中,作OH⊥BD于H.根据等腰三角形的性质以及垂径定理即可;(2)如图2中,作OH⊥BD于H,连接OB,求出AC,BD,根据S四边形ABCD=12•BD•AM+1 2•BD•CM=12•BD•AC即可求解;(3)①如图3中,连接OB,作OH⊥BD于H.利用等腰直角三角形的性质,完全平方公式等知识即可;②如图3中,连接OB,设DM=CM=x,想办法求出BC,DB,在Rt△BCM中,利用勾股定理构建方程即可.【详解】(1)证明:如图1中,作OH⊥BD于H.。
江苏省常州市九年级上学期期末数学试卷 (解析版)一、选择题1.下列是一元二次方程的是( )A .2x +1=0B .x 2+2x +3=0C .y 2+x =1D .1x=1 2.如图,点I 是△ABC 的内心,∠BIC =130°,则∠BAC =( )A .60°B .65°C .70°D .80°3.在九年级体育中考中,某班参加仰卧起坐测试的一组女生(每组8人)测试成绩如下(单位:次/分):46,44,45,42,48,46,47,46.则这组数据的中位数为( )A .42B .45C .46D .484.如图,以AB 为直径的⊙O 上有一点C ,且∠BOC =50°,则∠A 的度数为( )A .65°B .50°C .30°D .25°5.如图,点P 为⊙O 外一点,PA 为⊙O 的切线,A 为切点,PO 交⊙O 于点B ,∠P=30°,OB=3,则线段BP 的长为( )A .3B .3C .6D .96.下列说法中,不正确的是( )A .圆既是轴对称图形又是中心对称图形B .圆有无数条对称轴C .圆的每一条直径都是它的对称轴D .圆的对称中心是它的圆心7.在同一坐标系内,一次函数y ax b =+与二次函数2y ax 8x b =++的图象可能是A.B.C.D.8.如图1,在菱形ABCD中,∠A=120°,点E是BC边的中点,点P是对角线BD上一动点,设PD的长度为x,PE与PC的长度和为y,图2是y关于x的函数图象,其中H是图象上的最低点,则a+b的值为()A.73B.234C.1433D.22339.将二次函数y=x2的图象沿y轴向上平移2个单位长度,再沿x轴向左平移3个单位长度,所得图象对应的函数表达式为()A.y=(x+3)2+2B.y=(x﹣3)2+2C.y=(x+2)2+3D.y=(x﹣2)2+3 10.在4张相同的小纸条上分别写上数字﹣2、0、1、2,做成4支签,放在一个盒子中,搅匀后从中任意抽出1支签(不放回),再从余下的3支签中任意抽出1支签,则2次抽出的签上的数字的和为正数的概率为()A.14B.13C.12D.2311.如图,如果从半径为6cm的圆形纸片剪去13圆周的一个扇形,将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠),那么这个圆锥的底面半径为( )A.2cm B.4cm C.6cm D.8cm 12.下列对于二次函数y=﹣x2+x图象的描述中,正确的是()A .开口向上B .对称轴是y 轴C .有最低点D .在对称轴右侧的部分从左往右是下降的 13.如图,A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四点,BD 为⊙O 的直径,若四边形ABCO 是平行四边形,则∠ADB 的大小为( )A .30°B .45°C .60°D .75°14.下列说法正确的是( )A .所有等边三角形都相似B .有一个角相等的两个等腰三角形相似C .所有直角三角形都相似D .所有矩形都相似 15.2的相反数是( )A .12-B .12C .2D .2-二、填空题16.150°的圆心角所对的弧长是5πcm ,则此弧所在圆的半径是______cm .17.如图,在平面直角坐标系中,将△ABO 绕点A 顺指针旋转到△AB 1C 1的位置,点B 、O 分别落在点B 1、C 1处,点B 1在x 轴上,再将△AB 1C 1绕点B 1顺时针旋转到△A 1B 1C 2的位置,点C 2在x 轴上,将△A 1B 1C 2绕点C 2顺时针旋转到△A 2B 2C 2的位置,点A 2在x 轴上,依次进行下去…,若点A (53,0)、B (0,4),则点B 2020的横坐标为_____.18.已知线段4AB =,点P 是线段AB 的黄金分割点(AP BP >),那么线段AP =______.(结果保留根号)19.如图,四边形的两条对角线AC 、BD 相交所成的锐角为60︒,当8AC BD +=时,四边形ABCD 的面积的最大值是______.20.将抛物线y =-5x 2先向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度后,得到新的抛物线的表达式是________.21.在一块边长为30 cm 的正方形飞镖游戏板上,有一个半径为10 cm 的圆形阴影区域,则飞镖落在阴影区域内的概率为__________.22.设1x ,2x 是关于x 的一元二次方程240x x +-=的两根,则1212x x x x ++=______.23.如图,已知O 的半径为2,ABC ∆内接于O ,135ACB ∠=,则AB =__________.24.如图,已知正方ABCD 内一动点E 到A 、B 、C 三点的距离之和的最小值为13+,则这个正方形的边长为_____________25.若点C 是线段AB 的黄金分割点且AC >BC ,则AC =_____AB (用含无理数式子表示).26.在平面直角坐标系中,抛物线2y x 的图象如图所示.已知A 点坐标为()1,1,过点A 作1AA x ∕∕轴交抛物线于点1A ,过点1A 作12A A OA ∕∕交抛物线于点2A ,过点2A 作23A A x ∕∕轴交抛物线于点3A ,过点3A 作34A A OA ∕∕交抛物线于点4A ……,依次进行下去,则点2019A 的坐标为_____.27.如图,点O 是△ABC 的内切圆的圆心,若∠A =100°,则∠BOC 为_____.28.已知正方形ABCD边长为4,点P为其所在平面内一点,PD=5,∠BPD=90°,则点A到BP的距离等于_____.29.如图,将二次函数y=12(x-2)2+1的图像沿y轴向上平移得到一条新的二次函数图像,其中A(1,m),B(4,n)平移后对应点分别是A′、B′,若曲线AB所扫过的面积为12(图中阴影部分),则新的二次函数对应的函数表达是__________________.30.如图,在□ABCD中,E、F分别是AD、CD的中点,EF与BD相交于点M,若△DEM的面积为1,则□ABCD的面积为________.三、解答题31.习总书记在2020新年贺词中讲到“垃圾分类引领新时尚”为积极响应号召,普及垃圾分类知识,某社区工作人员在一个小区随机抽取了若干名居民,开展垃圾分类知识有奖问答,并用得到的数据绘制了如图所示条形统计图.请根据图中信息,解答下列问题:(1)本次调查一共抽取了______名居民(2)求本次调查获取的样本数据的平均数______:中位数______;(3)杜区决定对该小区2000名居民开展这项有奖问答活动,得10分者设为一等奖.根据调查结果,估计社区工作人员需准备多少份一等奖奖品?32.我们定义:如果圆的两条弦互相垂直,那么这两条弦互为“十字弦”,也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”.如:如图,已知O的两条弦AB CD,则AB、CD互为“十字弦”,AB 是CD 的“十字弦”,CD 也是AB 的“十字弦”.(1)若O 的半径为5,一条弦8AB =,则弦AB 的“十字弦”CD 的最大值为______,最小值为______. (2)如图1,若O 的弦CD 恰好是O 的直径,弦AB 与CD 相交于H ,连接AC ,若12AC =,7DH =,9CH =,求证:AB 、CD 互为“十字弦”;(3)如图2,若O 的半径为5,一条弦8AB =,弦CD 是AB 的“十字弦”,连接AD ,若60ADC ∠=︒,求弦CD 的长.33.如图,OA l ⊥于点,A B 是OA 上一点,O 是以O 为圆心,OB 为半径的圆.C 是O 上的点,连结CB 并延长,交l 于点D ,且AC AD =. (1)求证:AC 是O 的切线(证明过程中如可用数字表示的角,建议在图中用数字标注后用数字表示); (2)若O 的半径为5,6BC =,求线段AC 的长.34.已知二次函数223y x x =--+的图象和x 轴交于点A 、B ,与y 轴交于点C ,点P 是直线AC 上方的抛物线上的动点.(1)求直线AC 的解析式.(2)当P 是抛物线顶点时,求APC ∆面积.(3)在P 点运动过程中,求APC ∆面积的最大值.35.数学概念若点P 在ABC ∆的内部,且APB ∠、BPC ∠和CPA ∠中有两个角相等,则称P 是ABC ∆的“等角点”,特别地,若这三个角都相等,则称P 是ABC ∆的“强等角点”. 理解概念(1)若点P 是ABC ∆的等角点,且100APB ∠=,则BPC ∠的度数是 .(2)已知点D 在ABC ∆的外部,且与点A 在BC 的异侧,并满足180BDC BAC ∠+∠<,作BCD ∆的外接圆O ,连接AD ,交圆O 于点P .当BCD ∆的边满足下面的条件时,求证:P 是ABC ∆的等角点.(要求:只选择其中一道题进行证明!)①如图①,DB DC =②如图②,BC BD =深入思考(3)如图③,在ABC ∆中,A ∠、B 、C ∠均小于120,用直尺和圆规作它的强等角点Q .(不写作法,保留作图痕迹)(4)下列关于“等角点”、“强等角点”的说法:①直角三角形的内心是它的等角点;②等腰三角形的内心和外心都是它的等角点;③正三角形的中心是它的强等角点;④若一个三角形存在强等角点,则该点到三角形三个顶点的距离相等;⑤若一个三角形存在强等角点,则该点是三角形内部到三个顶点距离之和最小的点,其中正确的有 .(填序号)四、压轴题36.问题提出(1)如图①,在ABC 中,2,6,135AB AC BAC ==∠=,求ABC 的面积.问题探究(2)如图②,半圆O 的直径10AB =,C 是半圆AB 的中点,点D 在BC 上,且2CD BD =,点P 是AB 上的动点,试求PC PD +的最小值.问题解决(3)如图③,扇形AOB 的半径为20,45AOB ∠=在AB 选点P ,在边OA 上选点E ,在边OB 上选点F ,求PE EF FP ++的长度的最小值.37.如图,在ABC ∆中,90ACB ∠=︒,以点B 为圆心,BC 的长为半径画弧,交线段AB 于点D ,以点A 为圆心,AD 长为半径画弧,交线段AC 于点E ,连结CD .(1)若28A ∠=︒,求ACD ∠的度数;(2)设BC a =,AC b =;①线段AD 的长度是方程2220x ax b +-=的一个根吗?说明理由.②若线段AD EC =,求a b的值. 38.如图,已知抛物线234y x bx c =++与坐标轴交于A 、B 、C 三点,A 点的坐标为(1,0)-,过点C 的直线334y x t=-与x 轴交于点Q ,点P 是线段BC 上的一个动点,过P 作PH OB ⊥于点H .若5PB t =,且01t <<.(1)点C 的坐标是________,b =________;(2)求线段QH 的长(用含t 的式子表示);(3)依点P 的变化,是否存在t 的值,使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与COQ 相似?若存在,直接写出所有t 的值;若不存在,说明理由.39.如图,抛物线2)12(0y ax x c a =-+≠交x 轴于,A B 两点,交y 轴于点C .直线122y x =-经过点,B C .(1)求抛物线的解析式;(2)点P是抛物线上一动点,过P作x轴的垂线,交直线BC于M.设点P的横坐标是t.①当PCM∆是直角三角形时,求点P的坐标;②当点P在点B右侧时,存在直线l,使点,,A C M到该直线的距离相等,求直线解析式y kx b=+(,k b可用含t的式子表示).40.如图,在边长为5的菱形OABC中,sin∠AOC=45,O为坐标原点,A点在x轴的正半轴上,B,C两点都在第一象限.点P以每秒1个单位的速度沿O→A→B→C→O运动一周,设运动时间为t(秒).请解答下列问题:(1)当CP⊥OA时,求t的值;(2)当t<10时,求点P的坐标(结果用含t的代数式表示);(3)以点P为圆心,以OP为半径画圆,当⊙P与菱形OABC的一边所在直线相切时,请直接写出t的值.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.B解析:B【解析】【分析】根据一元二次方程的定义,即只含一个未知数,且未知数的最高次数为2的整式方程,对各选项分析判断后利用排除法求解.【详解】解:A、方程2x+1=0中未知数的最高次数不是2,是一元一次方程,故不是一元二次方程;B、方程x2+2x+3=0只含一个未知数,且未知数的最高次数为2的整式方程,故是一元二次方程;C、方程y2+x=1含有两个未知数,是二元二次方程,故不是一元二次方程;D、方程1x=1不是整式方程,是分式方程,故不是一元二次方程.故选:B.【点睛】本题考查了一元二次方程的概念,判断一个方程是否是一元二次方程,首先要看是否是整式方程,然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.是否符合定义的条件是作出判断的关键.2.D解析:D【解析】【分析】根据三角形的内接圆得到∠ABC=2∠IBC,∠ACB=2∠ICB,根据三角形的内角和定理求出∠IBC+∠ICB,求出∠ACB+∠ABC的度数即可;【详解】解:∵点I是△ABC的内心,∴∠ABC=2∠IBC,∠ACB=2∠ICB,∵∠BIC=130°,∴∠IBC+∠ICB=180°﹣∠CIB=50°,∴∠ABC+∠ACB=2×50°=100°,∴∠BAC=180°﹣(∠ACB+∠ABC)=80°.故选D.【点睛】本题主要考查了三角形的内心,掌握三角形的内心的性质是解题的关键.3.C解析:C【解析】【分析】根据中位数的定义,把8个数据从小到大的顺序依次排列后,求第4,第5位两数的平均数即为本组数据的中位数.【详解】解:把数据由小到大排列为:42,44,45,46,46,46,47,48∴中位数为4646462+=.故答案为:46.【点睛】找中位数的时候一定要先排好大小顺序,再根据奇数个数和偶数个数来确定中位数.如果是奇数个,则正中间的数字即为中位数;如果是偶数个,则找中间两个数的平均数为中位数.先将数据按从小到大顺序排列是求中位数的关键.4.D解析:D【解析】【分析】根据圆周角定理计算即可.【详解】解:由圆周角定理得,1252A BOC∠=∠=︒,故选:D.【点睛】本题考查的是圆周角定理,在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.5.A解析:A【解析】【分析】直接利用切线的性质得出∠OAP=90°,进而利用直角三角形的性质得出OP的长.【详解】连接OA,∵PA为⊙O的切线,∴∠OAP=90°,∵∠P=30°,OB=3,∴AO=3,则OP=6,故BP=6-3=3.故选A.【点睛】此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理,正确作出辅助线是解题关键.6.C解析:C【解析】【分析】圆有无数条对称轴,但圆的对称轴是直线,故C圆的每一条直线都是它的对称轴的说法是错误的【详解】本题不正确的选C,理由:圆有无数条对称轴,其对称轴都是直线,故任何一条直径都是它的对称轴的说法是错误的,正确的说法应该是圆有无数条对称轴,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴故选C【点睛】此题主要考察对称轴图形和中心对称图形,难度不大7.C解析:C【解析】【分析】x=0,求出两个函数图象在y轴上相交于同一点,再根据抛物线开口方向向上确定出a>0,然后确定出一次函数图象经过第一三象限,从而得解.【详解】x=0时,两个函数的函数值y=b,所以,两个函数图象与y轴相交于同一点,故B、D选项错误;由A、C选项可知,抛物线开口方向向上,所以,a>0,所以,一次函数y=ax+b经过第一三象限,所以,A选项错误,C选项正确.故选C.8.C解析:C【解析】【分析】由A、C关于BD对称,推出PA=PC,推出PC+PE=PA+PE,推出当A、P、E共线时,PE+PC的值最小,观察图象可知,当点P与B重合时,PE+PC=6,推出BE=CE=2,AB=BC=4,分别求出PE+PC的最小值,PD的长即可解决问题.【详解】解:∵在菱形ABCD中,∠A=120°,点E是BC边的中点,∴易证AE⊥BC,∵A、C关于BD对称,∴PA=PC,∴PC+PE=PA+PE,∴当A 、P 、E 共线时,PE +PC 的值最小,即AE 的长.观察图象可知,当点P 与B 重合时,PE +PC =6,∴BE =CE =2,AB =BC =4,∴在Rt △AEB 中,BE =∴PC +PE 的最小值为∴点H 的纵坐标a =∵BC ∥AD , ∴AD PD BE PB= =2,∵BD =∴PD =233⨯=∴点H 的横坐标b ,∴a +b ==; 故选C .【点睛】 本题考查动点问题的函数图象,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答.9.A解析:A【解析】【分析】直接利用二次函数的平移规律,左加右减,上加下减,进而得出答案.【详解】解:将二次函数y =x 2的图象沿y 轴向上平移2个单位长度,得到:y =x 2+2,再沿x 轴向左平移3个单位长度得到:y =(x+3)2+2.故选:A .【点睛】解决本题的关键是得到平移函数解析式的一般规律:上下平移,直接在函数解析式的后面上加,下减平移的单位;左右平移,比例系数不变,在自变量后左加右减平移的单位.10.C解析:C【解析】【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数,再找出2次抽出的签上的数字和为正数的结果数,最后根据概率公式计算即可.【详解】根据题意画图如下:共有12种等情况数,其中2次抽出的签上的数字的和为正数的有6种,则2次抽出的签上的数字的和为正数的概率为612=12; 故选:C .【点睛】本题考查列表法与树状图法、概率计算题,解题的关键是画树状图展示出所有12种等可能的结果数及准确找出2次抽出的签上的数字和为正数的结果数, 11.B解析:B【解析】【分析】因为圆锥的高,底面半径,母线构成直角三角形,首先求得留下的扇形的弧长,利用勾股定理求圆锥的高即可.【详解】解:∵从半径为6cm 的圆形纸片剪去13圆周的一个扇形, ∴剩下的扇形的角度=360°×23=240°, ∴留下的扇形的弧长=24061880ππ⨯=, ∴圆锥的底面半径248r ππ==cm ; 故选:B.【点睛】此题主要考查了主要考查了圆锥的性质,要知道(1)圆锥的高,底面半径,母线构成直角三角形,(2)此扇形的弧长等于圆锥底面周长,扇形的半径等于圆锥的母线长. 12.D解析:D【解析】【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质,可以判断各个选项中的结论是否正确,从而可以解答本题.【详解】解:∵二次函数y=﹣x2+x=﹣(x12)2+14,∴a=﹣1,该函数的图象开口向下,故选项A错误;对称轴是直线x=12,故选项B错误;当x=12时取得最大值14,该函数有最高点,故选项C错误;在对称轴右侧的部分从左往右是下降的,故选项D正确;故选:D.【点睛】本题考查了二次函数的性质,掌握函数解析式和二次函数的性质是解题的关键.13.A解析:A【解析】【详解】解:∵四边形ABCO是平行四边形,且OA=OC,∴四边形ABCO是菱形,∴AB=OA=OB,∴△OAB是等边三角形,∴∠AOB=60°,∵BD是⊙O的直径,∴点B、D、O在同一直线上,∴∠ADB=12∠AOB=30°故选A.14.A解析:A【解析】【分析】根据等边三角形各内角为60°的性质、矩形边长的性质、直角三角形、等腰三角形的性质可以解题.【详解】解:A、等边三角形各内角为60°,各边长相等,所以所有的等边三角形均相似,故本选项正确;B、一对等腰三角形中,若底角和顶角相等且不等于60°,则该对三角形不相似,故本选项错误;C、直角三角形中的两个锐角的大小不确定,无法判定三角形相似,故本选项错误;D 、矩形的邻边的关系不确定,所以并不是所有矩形都相似,故本选项错误.故选:A .【点睛】本题考查了等边三角形各内角为60°,各边长相等的性质,考查了等腰三角形底角相等的性质,本题中熟练掌握等边三角形、等腰三角形、直角三角形、矩形的性质是解题的关键.15.D解析:D【解析】【分析】根据相反数的概念解答即可.【详解】2的相反数是-2,故选D .二、填空题16.6;【解析】解:设圆的半径为x ,由题意得:=5π,解得:x=6,故答案为6.点睛:此题主要考查了弧长计算,关键是掌握弧长公式l= (弧长为l ,圆心角度数为n ,圆的半径为R ).解析:6;【解析】解:设圆的半径为x ,由题意得:150180x π =5π,解得:x =6,故答案为6. 点睛:此题主要考查了弧长计算,关键是掌握弧长公式l =180n R π (弧长为l ,圆心角度数为n ,圆的半径为R ). 17.10100【解析】【分析】首先根据已知求出三角形三边长度,然后通过旋转发现,B 、B2、B4…每偶数之间的B 相差10个单位长度,根据这个规律可以求解.【详解】由图象可知点B2020在第一象限解析:10100【解析】【分析】首先根据已知求出三角形三边长度,然后通过旋转发现,B、B2、B4…每偶数之间的B相差10个单位长度,根据这个规律可以求解.【详解】由图象可知点B2020在第一象限,∵OA=53,OB=4,∠AOB=90°,∴AB133===,∴OA+AB1+B1C2=53+133+4=10,∴B2的横坐标为:10,同理:B4的横坐标为:2×10=20,B6的横坐标为:3×10=30,∴点B2020横坐标为:2020102⨯=10100.故答案为:10100.【点睛】本题考查了点的坐标规律变换,通过图形旋转,找到所有B点之间的关系是本题的关键.题目难易程度适中,可以考察学生观察、发现问题的能力.18.【解析】【分析】根据黄金比值为计算即可.【详解】解:∵点P是线段AB的黄金分割点(AP>BP)∴故答案为:.【点睛】本题考查的知识点是黄金分割,熟记黄金分割点的比值是解题的关键.解析:2【解析】【分析】计算即可.【详解】解:∵点P 是线段AB 的黄金分割点(AP>BP )∴AP 2AB ==故答案为:2.【点睛】本题考查的知识点是黄金分割,熟记黄金分割点的比值是解题的关键.19.【解析】【分析】设AC=x,根据四边形的面积公式,,再根据得出,再利用二次函数最值求出答案.【详解】解:∵AC 、BD 相交所成的锐角为∴根据四边形的面积公式得出,设AC=x ,则BD=8-解析:【解析】【分析】设AC=x,根据四边形的面积公式,1S sin 602AC BD =⨯⨯︒,再根据sin 60︒=()1 S 822x x =-⨯,再利用二次函数最值求出答案. 【详解】解:∵AC 、BD 相交所成的锐角为60︒ ∴根据四边形的面积公式得出,1S sin 602AC BD =⨯⨯︒ 设AC=x ,则BD=8-x所以,())21S 842x x x =-=-+∴当x=4时,四边形ABCD 的面积取最大值故答案为:【点睛】本题考查的知识点主要是四边形的面积公式,熟记公式是解题的关键.20.y =-5(x+2)2-3【解析】【分析】根据向左平移横坐标减,向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标,再利用顶点式解析式写出即可.【详解】解:∵抛物线y=-5x2先向左平移2个单位长度,再解析:y=-5(x+2)2-3【解析】【分析】根据向左平移横坐标减,向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标,再利用顶点式解析式写出即可.【详解】解:∵抛物线y=-5x2先向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,∴新抛物线顶点坐标为(-2,-3),∴所得到的新的抛物线的解析式为y=-5(x+2)2-3.故答案为:y=-5(x+2)2-3.【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换,掌握平移的规律:左加右减,上加下减是关键.21.【解析】【分析】分别计算半径为10cm的圆的面积和边长为30cm的正方形ABCD的面积,然后计算即可求出飞镖落在圆内的概率;【详解】解:(1)∵半径为10cm的圆的面积=π•102=100解析:9π【解析】【分析】分别计算半径为10cm的圆的面积和边长为30cm的正方形ABCD的面积,然后计算SS半圆正方形即可求出飞镖落在圆内的概率;【详解】解:(1)∵半径为10cm的圆的面积=π•102=100πcm2,边长为30cm的正方形ABCD的面积=302=900cm2,∴P(飞镖落在圆内)=100==9009SSππ半圆正方形,故答案为:9π.【点睛】本题考查了几何概率,掌握概率=相应的面积与总面积之比是解题的关键.22.-5.【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解.【详解】∵,是关于的一元二次方程的两根,∴,∴,故答案为:.【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系,如果,是方解析:-5.【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解.【详解】∵1x ,2x 是关于x 的一元二次方程240x x +-=的两根,∴121214x x x x +=-=-,, ∴()1212145x x x x ++=-+-=-,故答案为:5-.【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系,如果1x ,2x 是方程20x px q ++=的两根,那么12x x p +=﹣,12x x q =. 23.【解析】分析:根据圆内接四边形对边互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍,可以求得∠AOB 的度数,然后根据勾股定理即可求得AB 的长.详解:连接AD 、AE 、OA 、OB ,∵⊙O 的半径为2,△AB解析:【解析】分析:根据圆内接四边形对边互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍,可以求得∠AOB 的度数,然后根据勾股定理即可求得AB 的长.详解:连接AD 、AE 、OA 、OB ,∵⊙O的半径为2,△ABC内接于⊙O,∠ACB=135°,∴∠ADB=45°,∴∠AOB=90°,∵OA=OB=2,∴AB=22,故答案为:22.点睛:本题考查三角形的外接圆和外心,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答.24.【解析】【分析】将△ABE绕点A旋转60°至△AGF的位置,根据旋转的性质可证△AEF和△ABG 为等边三角形,即可证明EF=AE,GF=BE,所以根据两点之间线段最短EA+EB+EC=GF+E解析:2【解析】【分析】将△ABE绕点A旋转60°至△AGF的位置,根据旋转的性质可证△AEF和△ABG为等边三角形,即可证明EF=AE,GF=BE,所以根据两点之间线段最短EA+EB+EC=GF+EF+EC≥GC,表示Rt△GMC的三边,根据勾股定理即可求出正方形的边长.【详解】解:如图,将△ABE绕点A旋转60°至△AGF的位置,连接EF,GC,BG,过点G作BC 的垂线交CB的延长线于点M.设正方形的边长为2m,∵四边形ABCD为正方形,∴AB=BC=2m,∠ABC=∠ABM=90°,∵△ABE 绕点A 旋转60°至△AGF ,∴,,60,AG AB AF AE BAG EAF BE GF ==∠=∠=︒=,∴△AEF 和△ABG 为等边三角形,∴AE=EF,∠ABG=60°,∴EA+EB+EC=GF+EF+EC≥GC ,∴GC=1∵∠GBM=90°-∠ABG =30°,∴在Rt △BGM 中,GM=m ,,Rt △GMC 中,勾股可得222GC GM CM =+,即:2222)(1m m ++=+,解得:2m =,∴边长为2m =.【点睛】 本题考查正方形的性质,旋转的性质,等边三角形的性质和判定,含30°角的直角三角形,两点之间线段最短,勾股定理.能根据旋转作图,得出EA+EB+EC=GF+EF+EC≥GC 是解决此题的关键.25.【解析】【分析】直接利用黄金分割的定义求解.【详解】解:∵点C 是线段AB 的黄金分割点且AC >BC ,∴AC =AB .故答案为:.【点睛】本题考查了黄金分割的定义,点C 是线段AB 的黄金分【解析】【分析】直接利用黄金分割的定义求解.【详解】解:∵点C 是线段AB 的黄金分割点且AC >BC ,∴AC AB .故答案为:12. 【点睛】本题考查了黄金分割的定义,点C 是线段AB 的黄金分割点且AC >BC ,则12AC BC =,正确理解黄金分割的定义是解题的关键. 26.【解析】【分析】根据二次函数性质可得出点的坐标,求得直线为,联立方程求得的坐标,即可求得的坐标,同理求得的坐标,即可求得的坐标,根据坐标的变化找出变化规律,即可找出点的坐标.【详解】解:∵解析:2(1010,1010)-【解析】【分析】根据二次函数性质可得出点1A 的坐标,求得直线12A A 为2y x =+,联立方程求得2A 的坐标,即可求得3A 的坐标,同理求得4A 的坐标,即可求得5A 的坐标,根据坐标的变化找出变化规律,即可找出点2019A 的坐标.【详解】解:∵A 点坐标为()1,1,∴直线OA 为y x =,()11,1A -,∵12A A OA ∕∕,∴直线12A A 为2y x =+,解22y x y x =+⎧⎨=⎩得11x y =-⎧⎨=⎩或24x y =⎧⎨=⎩, ∴()22,4A ,∴()32,4A -,∵34A A OA ∕∕,∴直线34A A 为6y x =+,解26y x y x =+⎧⎨=⎩得24x y =-⎧⎨=⎩或39x y =⎧⎨=⎩, ∴()43,9A ,∴()53,9A -…,∴()220191010,1010A -,故答案为()21010,1010-. 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标,根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键.27.140°.【解析】【分析】根据内心的定义可知OB 、OC 为∠ABC 和∠ACB 的角平分线,根据三角形内角和定理可求出∠OBC+∠OCB 的度数,进而可求出∠BOC 的度数.【详解】∵点O 是△ABC解析:140°.【解析】【分析】根据内心的定义可知OB 、OC 为∠ABC 和∠ACB 的角平分线,根据三角形内角和定理可求出∠OBC+∠OCB 的度数,进而可求出∠BOC 的度数.【详解】∵点O 是△ABC 的内切圆的圆心,∴OB 、OC 为∠ABC 和∠ACB 的角平分线,∴∠OBC=12∠ABC ,∠OCB=12∠ACB , ∵∠A=100°,∴∠ABC+∠ACB=180°-100°=80°,∴∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠ACB )=40°, ∴∠BOC=180°-40°=140°.故答案为:140°【点睛】 本题考查了三角形内心的定义及三角形内角和定理,熟练掌握三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点是解题关键.28.或【解析】【分析】由题意可得点P 在以D 为圆心,为半径的圆上,同时点P 也在以BD 为直径的圆上,即点P是两圆的交点,分两种情况讨论,由勾股定理可求BP,AH的长,即可求点A到BP的距离.【详解】解析:3352+或3352-【解析】【分析】由题意可得点P在以D为圆心,5为半径的圆上,同时点P也在以BD为直径的圆上,即点P是两圆的交点,分两种情况讨论,由勾股定理可求BP,AH的长,即可求点A到BP 的距离.【详解】∵点P满足PD=5,∴点P在以D为圆心,5为半径的圆上,∵∠BPD=90°,∴点P在以BD为直径的圆上,∴如图,点P是两圆的交点,若点P在AD上方,连接AP,过点A作AH⊥BP,∵CD=4=BC,∠BCD=90°,∴BD=2∵∠BPD=90°,∴BP22BD PD-3,∵∠BPD=90°=∠BAD,∴点A,点B,点D,点P四点共圆,∴∠APB=∠ADB=45°,且AH⊥BP,∴∠HAP=∠APH=45°,∴AH=HP,在Rt△AHB中,AB2=AH2+BH2,∴16=AH2+(3AH)2,∴AH=335+(不合题意),或AH=335-,若点P在CD的右侧,同理可得AH=3352+,综上所述:AH=3352+或3352-.【点睛】本题是正方形与圆的综合题,正确确定点P是以D为圆心,5为半径的圆和以BD为直径的圆的交点是解决问题的关键.29.y=0.5(x-2)+5【解析】解:∵函数y=(x﹣2)2+1的图象过点A(1,m),B(4,n),∴m=(1﹣2)2+1=1,n=(4﹣2)2+1=3,∴A(1,1),B(4,3),过A作AC解析:y=0.5(x-2)2+5【解析】解:∵函数y=12(x﹣2)2+1的图象过点A(1,m),B(4,n),∴m=12(1﹣2)2+1=112,n=12(4﹣2)2+1=3,∴A(1,112),B(4,3),过A作AC∥x轴,交B′B的延长线于点C,则C(4,112),∴AC=4﹣1=3.∵曲线段AB扫过的面积为12(图中的阴影部分),∴AC•AA′=3AA′=12,∴AA′=4,即将函数y=12(x﹣2)2+1的图象沿y轴向上平移4个单位长度得到一条新函数的图象,∴新图象的函数表达式是y=12(x﹣2)2+5.故答案为y=0.5(x﹣2)2+5.点睛:本题主要考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法等知识,根据已知得出AA′是解题的关键.30.16。
常州市九年级上学期期末数学试题一、选择题1.已知二次函数y=ax2+bx+c(a<0<b)的图像与x轴只有一个交点,下列结论:①x <0时,y随x增大而增大;②a+b+c<0;③关于x的方程ax2+bx+c+2=0有两个不相等的实数根.其中所有正确结论的序号是()A.①②B.②③C.①③D.①②③2.下列是一元二次方程的是()A.2x+1=0 B.x2+2x+3=0 C.y2+x=1 D.1x=13.如图,在平面直角坐标系中,M、N、C三点的坐标分别为(14,1),(3,1),(3,0),点A为线段MN上的一个动点,连接AC,过点A作AB⊥AC交y轴于点B,当点A从M运动到N时,点B随之运动,设点B的坐标为(0,b),则b的取值范围是()A.14-≤b≤1 B.54-≤b≤1 C.94-≤b≤12D.94-≤b≤14.实施新课改以来,某班学生经常采用“小组合作学习”的方式进行学习,学习委员小兵每周对各小组合作学习的情况进行了综合评分.下表是其中一周的统计数据:组别1234567分值90959088909285这组数据的中位数和众数分别是A.88,90 B.90,90 C.88,95 D.90,955.如图,在△ABC中,点D、E分别在AB、AC边上,DE∥BC,若AD=1,BD=2,则DE BC的值为()A .12B .13C .14D .196.电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关的动人故事.一上映就获得全国人民的追捧,第一天票房约3亿元,以后每天票房按相同的增长率增长,三天后累计票房收入达10亿元,若把平均每天票房的增长率记作x ,则可以列方程为( ) A .3(1)10x += B .23(1)10x +=C .233(1)10x ++=D .233(1)3(1)10x x ++++=7.sin30°的值是( ) A .12B .22C .32D .18.函数y=(x+1)2-2的最小值是( ) A .1B .-1C .2D .-29.如图,△ABC 中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,点D 是BC 的中点,将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ,连CE ,则线段CE 的长等于( )A .2B .54C .53D .7510.数据3、4、6、7、x 的平均数是5,这组数据的中位数是( ) A .4B .4.5C .5D .611.在同一坐标系内,一次函数y ax b =+与二次函数2y ax 8x b =++的图象可能是A .B .C .D .12.设()12,A y -,()21,B y ,()32,C y 是抛物线2(1)y x k =-++上的三点,则1y ,2y ,3y 的大小关系为( )A .123y y y >>B .132y y y >>C .231y y y >>D .312y y y >>13.如图所示的网格是正方形网格,则sin A 的值为( )A .12B .22C .35D .4514.二次函数y=ax 2+bx+c 的y 与x 的部分对应值如下表: x…134 …y … 2 4 2 ﹣2…则下列判断中正确的是( ) A .抛物线开口向上 B .抛物线与y 轴交于负半轴C .当x=﹣1时y >0D .方程ax 2+bx+c=0的负根在0与﹣1之间15.如图,A ,B ,C ,D 四个点均在⊙O 上,∠AOB =40°,弦BC 的长等于半径,则∠ADC的度数等于( )A .50°B .49°C .48°D .47°二、填空题16.如图,为了测量某棵树的高度,小明用长为2m 的竹竿做测量工具,移动竹竿,使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时,竹竿与这一点距离相距6m ,与树相距15m ,则树的高度为_________m.17.已知矩形ABCD ,AB=3,AD=5,以点A 为圆心,4为半径作圆,则点C 与圆A 的位置关系为 __________.18.如图,若抛物线2y ax h =+与直线y kx b =+交于()3,A m ,()2,B n -两点,则不等式2ax b kx h -<-的解集是______.19.将抛物线y =-5x 2先向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度后,得到新的抛物线的表达式是________.20.若扇形的半径长为3,圆心角为60°,则该扇形的弧长为___.21.已知三点A (0,0),B (5,12),C (14,0),则△ABC 内心的坐标为____. 22.如图,AB 是半圆O 的直径,AB=10,过点A 的直线交半圆于点C ,且sin ∠CAB=45,连结BC ,点D 为BC 的中点.已知点E 在射线AC 上,△CDE 与△ACB 相似,则线段AE 的长为________;23.如图,AB 是⊙O 的直径,点C 是⊙O 上的一点,若BC=6,AB=10,OD ⊥BC 于点D ,则OD 的长为______.24.如图,在ABCD 中,13BE DF BC ==,若1BEG S ∆=,则ABF S ∆=__________.25.一个扇形的圆心角是120°.它的半径是3cm .则扇形的弧长为__________cm . 26.2,0,π,3.14,6这五个数中随机抽取一个数,抽到有理数的概率是____. 27.某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥,它的高AO =8米,母线AB =10米,则该圆锥的侧面积是_____平方米(结果保留π).28.如图,点G 为△ABC 的重心,GE ∥AC ,若DE =2,则DC =_____.29.若a b b -=23,则ab的值为________. 30.如图,正方形ABCD 的边长为5,E 、F 分别是BC 、CD 上的两个动点,AE ⊥EF .则AF 的最小值是_____.三、解答题31.如图,AB BC =,以BC 为直径作O ,AC 交O 于点E ,过点E 作EG AB ⊥于点F ,交CB 的延长线于点G .(1)求证:EG 是O 的切线;(2)若23GF =4GB =,求O 的半径.32.已知二次函数218y x bx c =++(b 、c 为常数)的图像经过点()0,1-和点()4,1A . (1)求b 、c 的值;(2)如图1,点()10,C m 在抛物线上,点M 是y 轴上的一个动点,过点M 平行于x 轴的直线l 平分AMC ∠,求点M 的坐标;(3)如图2,在(2)的条件下,点P 是抛物线上的一动点,以P 为圆心、PM 为半径的圆与x 轴相交于E 、F 两点,若PEF ∆的面积为26,请直接写出点P 的坐标. 33.如图,在ABC ∆中,AB AC =,AD 为BC 边上的中线,DE AB ⊥于点E.(1)求证:BDE CAD ∆∆∽;(2)若13AB =,10BC =,求线段DE 的长.34.如图,某农户计划用长12m 的篱笆围成一个“日”字形的生物园饲养两种不同的家禽,生物园的一面靠墙,且墙的可利用长度最长为7m .(1)若生物园的面积为9m 2,则这个生物园垂直于墙的一边长为多少? (2)若要使生物园的面积最大,该怎样围?35.甲、乙两所医院分别有一男一女共4名医护人员支援湖北武汉抗击疫情. (1)若从甲、乙两医院支援的医护人员中分别随机选1名,则所选的2名医护人员性别相同的概率是 ;(2)若从支援的4名医护人员中随机选2名,用列表或画树状图的方法求出这2名医护人员来自同一所医院的概率.四、压轴题36.如图,抛物线y =x 2+bx +c 交x 轴于A 、B 两点,其中点A 坐标为(1,0),与y 轴交于点C (0,﹣3).(1)求抛物线的函数表达式;(2)如图1,连接AC ,点Q 为x 轴下方抛物线上任意一点,点D 是抛物线对称轴与x 轴的交点,直线AQ 、BQ 分别交抛物线的对称轴于点M 、N .请问DM +DN 是否为定值?如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由.(3)如图2,点P 为抛物线上一动点,且满足∠PAB =2∠ACO .求点P 的坐标. 37.如图,在平面直角坐标系中,直线l 分别交x 轴、y 轴于点A ,B ,∠BAO = 30°.抛物线y = ax 2 + bx + 1(a < 0)经过点A ,B ,过抛物线上一点C (点C 在直线l 上方)作CD ∥BO 交直线l 于点D ,四边形OBCD 是菱形.动点M 在x 轴上从点E ( -3,0)向终点A 匀速运动,同时,动点N 在直线l 上从某一点G 向终点D 匀速运动,它们同时到达终点.(1)求点D 的坐标和抛物线的函数表达式. (2)当点M 运动到点O 时,点N 恰好与点B 重合.①过点E 作x 轴的垂线交直线l 于点F ,当点N 在线段FD 上时,设EM = m ,FN = n ,求n 关于m 的函数表达式.②求△NEM 面积S 关于m 的函数表达式以及S 的最大值.38.如图,抛物线2y x bx c =-++与x 轴的两个交点分别为(1,0)A ,(30)B ,.抛物线的对称轴和x 轴交于点M .(1)求这条抛物线对应函数的表达式;△的面积为8时,求点P的坐标.(2)若P点在该抛物线上,求当PAB(3)点G是抛物线上一个动点,点E从点B出发,沿x轴的负半轴运动,速度为每秒1个单位,同时点F由点M出发,沿对称轴向下运动,速度为每秒2个单位,设运动的时间为t.①若点G到AE和MF距离相等,直接写出点G的坐标.②点C是抛物线的对称轴上的一个动点,以FG和FC为边做矩形FGDC,直接写出点E 恰好为矩形FGDC的对角线交点时t的值.39.对于线段外一点和这条线段两个端点连线所构成的角叫做这个点关于这条线段的视角.如图1,对于线段AB及线段AB外一点C,我们称∠ACB为点C关于线段AB的视角.如图2,点Q在直线l上运动,当点Q关于线段AB的视角最大时,则称这个最大的“视角”为直线l关于线段AB的“视角”.(1)如图3,在平面直角坐标系中,A(0,4),B(2,2),点C坐标为(﹣2,2),点C关于线段AB的视角为度,x轴关于线段AB的视角为度;(2)如图4,点M是在x轴上,坐标为(2,0),过点M作线段EF⊥x轴,且EM=MF =1,当直线y=kx(k≠0)关于线段EF的视角为90°,求k的值;(3)如图5,在平面直角坐标系中,P(3,2),Q(3+1,1),直线y=ax+b(a>0)与x轴的夹角为60°,且关于线段PQ的视角为45°,求这条直线的解析式.40.矩形ABCD中,AB=2,AD=4,将矩形ABCD绕点C顺时针旋转至矩形EGCF(其中E、G、F分别与A、B、D对应).(1)如图1,当点G落在AD边上时,直接写出AG的长为;(2)如图2,当点G落在线段AE上时,AD与CG交于点H,求GH的长;(3)如图3,记O为矩形ABCD对角线的交点,S为△OGE的面积,求S的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.C 解析:C 【解析】 【分析】①根据对称轴及增减性进行判断; ②根据函数在x=1处的函数值判断;③利用抛物线与直线y=-2有两个交点进行判断. 【详解】解:∵a <0<b ,∴二次函数的对称轴为x=2ba->0,在y 轴右边,且开口向下, ∴x <0时,y 随x 增大而增大; 故①正确;根据二次函数的系数,可得图像大致如下, 由于对称轴x=2ba-的值未知, ∴当x=1时,y=a+b+c 的值无法判断, 故②不正确;由图像可知,y==ax 2+bx +c ≤0,∴二次函数与直线y=-2有两个不同的交点, ∴方程ax 2+bx +c =-2有两个不相等的实数根. 故③正确. 故选C. 【点睛】本题考查了二次函数的图像的性质,二次函数的图像与系数的关系,二次函数与方程的关系,借助图像解决问题是关键.2.B解析:B 【解析】【分析】根据一元二次方程的定义,即只含一个未知数,且未知数的最高次数为2的整式方程,对各选项分析判断后利用排除法求解. 【详解】解:A 、方程2x+1=0中未知数的最高次数不是2,是一元一次方程,故不是一元二次方程;B 、方程x 2+2x+3=0只含一个未知数,且未知数的最高次数为2的整式方程,故是一元二次方程;C 、方程y 2+x =1含有两个未知数,是二元二次方程,故不是一元二次方程;D 、方程1x=1不是整式方程,是分式方程,故不是一元二次方程. 故选:B. 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念,判断一个方程是否是一元二次方程,首先要看是否是整式方程,然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.是否符合定义的条件是作出判断的关键.3.B解析:B 【解析】 【分析】延长NM 交y 轴于P 点,则MN ⊥y 轴.连接CN .证明△PAB ∽△NCA ,得出PB PANA NC=,设PA =x ,则NA =PN ﹣PA =3﹣x ,设PB =y ,代入整理得到y =3x ﹣x 2=﹣(x ﹣32)2+94,根据二次函数的性质以及14≤x≤3,求出y 的最大与最小值,进而求出b 的取值范围. 【详解】解:如图,延长NM 交y 轴于P 点,则MN ⊥y 轴.连接CN . 在△PAB 与△NCA 中,9090APB CNA PAB NCA CAN∠∠︒⎧⎨∠∠︒-∠⎩==== , ∴△PAB ∽△NCA , ∴PB PANA NC =, 设PA =x ,则NA =PN ﹣PA =3﹣x ,设PB =y , ∴31y x x =-,∴y=3x﹣x2=﹣(x﹣32)2+94,∵﹣1<0,14≤x≤3,∴x=32时,y有最大值94,此时b=1﹣94=﹣54,x=3时,y有最小值0,此时b=1,∴b的取值范围是﹣54≤b≤1.故选:B.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质,二次函数的性质,得出y与x之间的函数解析式是解题的关键.4.B解析:B【解析】中位数是一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(最中间两个数的平均数).由此将这组数据重新排序为85,88,90,90,90,92,95,∴中位数是按从小到大排列后第4个数为:90.众数是在一组数据中,出现次数最多的数据,这组数据中90出现三次,出现的次数最多,故这组数据的众数为90.故选B.5.B解析:B【解析】试题分析:∵DE∥BC,∴AD DEAB BC=,∵13ADAB=,∴31DEBC=.故选B.考点:平行线分线段成比例.6.D解析:D【解析】【分析】根据题意分别用含x式子表示第二天,第三天的票房数,将三天的票房相加得到票房总收入,即可得出答案.【详解】解:设增长率为x ,由题意可得出,第二天的票房为3(1+x),第三天的票房为3(1+x)2, 根据题意可列方程为233(1)3(1)10x x ++++=.故选:D .【点睛】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程,解题的关键是读懂题意,找出等量关系式. 7.A解析:A【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可.【详解】解:sin30°=12. 故选:A .【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值,熟记特殊角的三角函数值是解题的关键. 8.D解析:D【解析】【分析】抛物线y=(x+1)2-2开口向上,有最小值,顶点坐标为(-1,-2),顶点的纵坐标-2即为函数的最小值.【详解】解:根据二次函数的性质,当x=-1时,二次函数y=(x+1)2-2的最小值是-2.故选D.【点睛】本题考查了二次函数的最值.9.D解析:D【解析】【分析】如图连接BE 交AD 于O ,作AH ⊥BC 于H .首先证明AD 垂直平分线段BE ,△BCE 是直角三角形,求出BC 、BE ,在Rt △BCE 中,利用勾股定理即可解决问题.【详解】如图连接BE 交AD 于O ,作AH ⊥BC 于H .在Rt △ABC 中,∵AC=4,AB=3,∴2234+,∵CD=DB , ∴AD=DC=DB=52, ∵12•BC•AH=12•AB•AC , ∴AH=125, ∵AE=AB ,DE=DB=DC ,∴AD 垂直平分线段BE ,△BCE 是直角三角形,∵12•AD•BO=12•BD•AH , ∴OB=125, ∴BE=2OB=245, 在Rt △BCE 中,2222247555BC BE ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭. 故选D .点睛:本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识,解题的关键是学会利用面积法求高,属于中考常考题型.10.C解析:C【解析】【分析】首先根据3、4、6、7、x 这组数据的平均数求得x 值,再根据中位数的定义找到中位数即可.【详解】由3、4、6、7、x 的平均数是5,即(3467)55++++÷=x得5x =这组数据按照从小到大排列为3、4、5、6、7,则中位数为5.故选C【点睛】此题考查了平均数计算及中位数的定义,熟练运算平均数及掌握中位数的定义是解题关键.11.C解析:C【解析】【分析】x=0,求出两个函数图象在y 轴上相交于同一点,再根据抛物线开口方向向上确定出a >0,然后确定出一次函数图象经过第一三象限,从而得解.【详解】x=0时,两个函数的函数值y=b ,所以,两个函数图象与y 轴相交于同一点,故B 、D 选项错误;由A 、C 选项可知,抛物线开口方向向上,所以,a >0,所以,一次函数y=ax+b 经过第一三象限,所以,A 选项错误,C 选项正确.故选C .12.A解析:A【解析】【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y =-(x +1)2+k (k 为常数)的开口向下,对称轴为直线x =﹣1,然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小.【详解】解:∵抛物线y =-(x +1)2+k (k 为常数)的开口向下,对称轴为直线x =﹣1,而A (2,y 1)离直线x =﹣1的距离最远,C (﹣2,y 3)点离直线x =1最近,∴123y y y >>. 故选A .【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征:二次函数图象上点的坐标满足其解析式.也考查了二次函数的性质.13.C解析:C【解析】【分析】设正方形网格中的小正方形的边长为1,连接格点BC ,AD ,过C 作CE ⊥AB 于E ,解直角三角形即可得到结论.【详解】解:设正方形网格中的小正方形的边长为1,连接格点BC ,AD ,过C 作CE ⊥AB 于E ,∵224225AC BC =+==,BC =22,AD =2232AC CD +=, ∵S △ABC =12AB •CE =12BC •AD , ∴CE =223265525BC AD AB ⨯==, ∴6535525CE A sin CAB C ∠===, 故选:C .【点睛】本题考查了解直角三角形的问题,掌握解直角三角形的方法以及锐角三角函数的定义是解题的关键.14.D解析:D【解析】【分析】根据表中的对应值,求出二次函数2y ax bx c =++的表达式即可求解.【详解】解:选取02(,),14(,),32(,)三点分别代入2y ax bx c =++得 24932c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得:132a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴二次函数表达式为232y x x =-++∵1a =-,抛物线开口向下;∴选项A 错误;∵2c =函数图象与y 的正半轴相交;∴选项B 错误;当x=-1时,2(1)3(1)220y =--+⨯-+=-<;∴选项C 错误;令0y =,得2320x x -++=,解得:13172x +=,23172x =∵317102--<<,方程20ax bx c ++=的负根在0与-1之间; 故选:D .【点睛】本题考查二次函数图象与性质,掌握性质,利用数形结合思想解题是关键.15.A 解析:A【解析】【分析】连接OC ,根据等边三角形的性质得到∠BOC =60°,得到∠AOC =100°,根据圆周角定理解答.【详解】连接OC ,由题意得,OB =OC =BC ,∴△OBC 是等边三角形,∴∠BOC =60°,∵∠AOB =40°,∴∠AOC =100°,由圆周角定理得,∠ADC =∠AOC =50°,故选:A .【点睛】本题考查的是圆周角定理,等边三角形的判定和性质,掌握在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键.二、填空题16.7【解析】设树的高度为m ,由相似可得,解得,所以树的高度为7m解析:7【解析】设树的高度为x m ,由相似可得6157262x +==,解得7x =,所以树的高度为7m 17.点C 在圆外【解析】【分析】由r 和CA ,AB 、DA 的大小关系即可判断各点与⊙A 的位置关系.【详解】解:∵AB =3厘米,AD =5厘米,∴AC =厘米,∵半径为4厘米,∴点C 在圆A 外【点解析:点C 在圆外【解析】【分析】由r 和CA ,AB 、DA 的大小关系即可判断各点与⊙A 的位置关系.【详解】解:∵AB =3厘米,AD =5厘米,∴AC =223534+=厘米,∵半径为4厘米,∴点C 在圆A 外【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断.关键要记住若半径为r ,点到圆心的距离为d ,则有:当d >r 时,点在圆外;当d =r 时,点在圆上,当d <r 时,点在圆内.18.【解析】【分析】观察图象当时,直线在抛物线上方,此时二次函数值小于一次函数值,当或时,直线在抛物线下方,二次函数值大于一次函数值,将不等式变形,观察图象确定x 的取值范围,即为不等式的解集.【解析:23x -<<【解析】【分析】观察图象当23x -<<时,直线在抛物线上方,此时二次函数值小于一次函数值,当2x <-或3x >时,直线在抛物线下方,二次函数值大于一次函数值,将不等式变形,观察图象确定x 的取值范围,即为不等式的解集.【详解】解:设21y ax h =+,2y kx b =+,∵2ax b kx h -<-∴2ax h kx b +<+,∴12y y <即二次函数值小于一次函数值,∵抛物线与直线交点为()3,A m ,()2,B n -,∴由图象可得,x 的取值范围是23x -<<.【点睛】本题考查不等式与函数的关系及函数图象交点问题,理解图象的点坐标特征和数形结合思想是解答此题的关键.19.y =-5(x+2)2-3【解析】【分析】根据向左平移横坐标减,向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标,再利用顶点式解析式写出即可.【详解】解:∵抛物线y=-5x2先向左平移2个单位长度,再解析:y =-5(x +2)2-3【解析】【分析】根据向左平移横坐标减,向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标,再利用顶点式解析式写出即可.【详解】解:∵抛物线y=-5x 2先向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,∴新抛物线顶点坐标为(-2,-3),∴所得到的新的抛物线的解析式为y=-5(x+2)2-3.故答案为:y=-5(x+2)2-3.【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换,掌握平移的规律:左加右减,上加下减是关键.20.【解析】【分析】根据弧长的公式列式计算即可.【详解】∵一个扇形的半径长为3,且圆心角为60°,∴此扇形的弧长为=π.故答案为:π.【点睛】此题考查弧长公式,熟记公式是解题关键.解析:π【解析】【分析】根据弧长的公式列式计算即可.【详解】∵一个扇形的半径长为3,且圆心角为60°,∴此扇形的弧长为603 180π⨯=π.故答案为:π.【点睛】此题考查弧长公式,熟记公式是解题关键.21.(6,4).【解析】【分析】作BQ⊥AC于点Q,由题意可得BQ=12,根据勾股定理分别求出BC、AB的长,继而利用三角形面积,可得△OAB内切圆半径,过点P作PD⊥AC于D,PF⊥AB于F,P解析:(6,4).【解析】【分析】作BQ⊥AC于点Q,由题意可得BQ=12,根据勾股定理分别求出BC、AB的长,继而利用三角形面积,可得△OAB内切圆半径,过点P作PD⊥AC于D,PF⊥AB于F,PE⊥BC于E,设AD=AF=x,则CD=CE=14-x,BF=13-x,BE=BC-CE=15-(14-x)=1+x,由BF=BE可得13-x=1+x,解之求出x的值,从而得出点P的坐标,即可得出答案.【详解】解:如图,过点B作BQ⊥AC于点Q,则AQ=5,BQ=12,∴13=,CQ=AC-AQ=9,∴15=设⊙P的半径为r,根据三角形的面积可得:r=14124 141315⨯=++过点P作PD⊥AC于D,PF⊥AB于F,PE⊥BC于E,设AD=AF=x,则CD=CE=14-x,BF=13-x,∴BE=BC-CE=15-(14-x)=1+x,由BF=BE可得13-x=1+x,解得:x=6,∴点P的坐标为(6,4),故答案为:(6,4).【点睛】本题主要考查勾股定理、三角形的内切圆半径公式及切线长定理,根据三角形的内切圆半径公式及切线长定理求出点P的坐标是解题的关键.22.3或9 或或【解析】【分析】先根据圆周角定理及正弦定理得到BC=8,再根据勾股定理求出AC=6,再分情况讨论,从而求出AE.【详解】∵AB是半圆O的直径,∴∠ACB=90,∵sin∠C解析:3或9 或23或343【解析】【分析】先根据圆周角定理及正弦定理得到BC=8,再根据勾股定理求出AC=6,再分情况讨论,从而求出AE.【详解】∵AB是半圆O的直径,∴∠ACB=90 ,∵sin∠CAB=45,∴45 BCAB=,∵AB=10,∴BC=8,∴22221086AC AB BC=-=-=,∵点D为BC的中点,∴CD=4.∵∠ACB=∠DCE=90︒,①当∠CDE1=∠ABC时,△ACB∽△E1CD,如图∴1AC BCCE CD=,即1684CE=,∴CE1=3,∵点E1在射线AC上,∴AE1=6+3=9,同理:AE2=6-3=3.②当∠CE3D=∠ABC时,△ABC∽△DE3C,如图∴3AC BCCD CE=,即3684CE=,∴CE3=163,∴AE3=6+163=343,同理:AE4=6-163=23.故答案为:3或9 或23或343.【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质,当三角形的相似关系不是用相似符号连接时,一定要分情况来确定两个三角形的对应关系,这是解此题容易错误的地方.23.4【解析】【分析】根据垂径定理求得BD ,然后根据勾股定理求得即可.【详解】解:∵OD ⊥BC ,∴BD=CD=BC=3,∵OB=AB=5,∴在Rt △OBD 中,OD==4.故答案为4.解析:4【解析】【分析】根据垂径定理求得BD ,然后根据勾股定理求得即可.【详解】解:∵OD ⊥BC ,∴BD=CD=12BC=3, ∵OB=12AB=5,∴在Rt △OBD 中,=4.故答案为4.【点睛】本题考查垂径定理及其勾股定理,熟记定理并灵活应用是本题的解题关键.24.6【解析】【分析】先根据平行四边形的性质证得△BEG∽△FAG,从而可得相似比,然后根据同高的两个三角形的面积等于底边之比可求得,根据相似三角形的性质可求得,进而可得答案.【详解】解:∵四解析:6【解析】【分析】先根据平行四边形的性质证得△BEG ∽△FAG ,从而可得相似比,然后根据同高的两个三角形的面积等于底边之比可求得ABG S ∆,根据相似三角形的性质可求得AFG S ∆,进而可得答案.【详解】解:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD=BC ,AD ∥BC ,∴△BEG ∽△FAG , ∵13BE DF BC ==, ∴12EG BE AG AF ==, ∴211,24BEG BEG ABG AFG S S EG BE S AG S AF ∆∆∆∆⎛⎫==== ⎪⎝⎭, ∵1BEG S ∆=,∴2ABG S ∆=,4AFG S ∆=,∴6ABF ABG AFG S S S ∆∆∆=+=.故答案为:6.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及三角形的面积等知识,属于常考题型,熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键. 25.2π【解析】分析:根据弧长公式可得结论.详解:根据题意,扇形的弧长为=2π,故答案为:2π点睛:本题主要考查弧长的计算,熟练掌握弧长公式是解题的关键.解析:2π【解析】分析:根据弧长公式可得结论. 详解:根据题意,扇形的弧长为1203180π⨯=2π, 故答案为:2π点睛:本题主要考查弧长的计算,熟练掌握弧长公式是解题的关键. 26.【解析】分析:由题意可知,从,0,π,3.14,6这五个数中随机抽取一个数,共有5种等可能结果,其中是有理数的有3种,由此即可得到所求概率了.详解:∵从,0,π,3.14,6这五个数中随机 解析:35分析:,0,π,3.14,6这五个数中随机抽取一个数,共有5种等可能结果,其中是有理数的有3种,由此即可得到所求概率了.详解:∵,0,π,3.14,6这五个数中随机抽取一个数,共有5种等可能结果,其中有理数有0,3.14,6共3个,∴抽到有理数的概率是:35.故答案为35.,0,π,3.14,6这五个数中随机抽取一个数,共有5种等可能结果”并能识别其中“0,3.14,6”是有理数是解答本题的关键.27.【解析】【分析】根据勾股定理求得OB,再求得圆锥的底面周长即圆锥的侧面弧长,根据扇形面积的计算方法S=lr,求得答案即可.【详解】解:∵AO=8米,AB=10米,∴OB=6米,∴圆锥的解析:60【解析】【分析】根据勾股定理求得OB,再求得圆锥的底面周长即圆锥的侧面弧长,根据扇形面积的计算方法S=12lr,求得答案即可.【详解】解:∵AO=8米,AB=10米,∴OB=6米,∴圆锥的底面周长=2×π×6=12π米,∴S扇形=12lr=12×12π×10=60π米2,故答案为60π.【点睛】本题考查圆锥的侧面积,掌握扇形面积的计算方法S=12lr是解题的关键.28.【解析】根据重心的性质可得AG:DG=2:1,然后根据平行线分线段成比例定理可得==2,从而求出CE,即可求出结论.【详解】∵点G为△ABC的重心,∴AG:DG=2:1,∵GE解析:【解析】【分析】根据重心的性质可得AG:DG=2:1,然后根据平行线分线段成比例定理可得CEDE=AGDG=2,从而求出CE,即可求出结论.【详解】∵点G为△ABC的重心,∴AG:DG=2:1,∵GE∥AC,∴CEDE=AGDG=2,∴CE=2DE=2×2=4,∴CD=DE+CE=2+4=6.故答案为:6.【点睛】此题考查的是重心的性质和平行线分线段成比例定理,掌握重心的性质和平行线分线段成比例定理是解决此题的关键.29.【解析】【分析】根据条件可知a与b的数量关系,然后代入原式即可求出答案.【详解】∵=,∴b=a,∴=,故答案为:.【点睛】本题考查了分式,解题的关键是熟练运用分式的运算法则.解析:5 3【解析】根据条件可知a与b的数量关系,然后代入原式即可求出答案.【详解】∵a bb-=23,∴b=35 a,∴ab=5335aa=,故答案为:5 3 .【点睛】本题考查了分式,解题的关键是熟练运用分式的运算法则.30.【解析】【分析】设BE=x,CF=y,则EC=5﹣x,构建二次函数了,利用二次函数的性质求出CF的最大值,求出DF的最小值即可解决问题.【详解】解:设BE=x,CF=y,则EC=5﹣x,解析:25 4【解析】【分析】设BE=x,CF=y,则EC=5﹣x,构建二次函数了,利用二次函数的性质求出CF的最大值,求出DF的最小值即可解决问题.【详解】解:设BE=x,CF=y,则EC=5﹣x,∵AE⊥EF,∴∠AEF=90°,∴∠AEB+∠FEC=90°,而∠AEB+∠BAE=90°,∴∠BAE=∠FEC,∴Rt△ABE∽Rt△ECF,∴ABEC=BECF,∴55x-=xy,∴y =﹣15x 2+x =﹣15(x ﹣52)2+54, ∵﹣15<0, ∴x =52时,y 有最大值54, ∴CF 的最大值为54, ∴DF 的最小值为5﹣54=154, ∴AF 的最小值=22AD DF +=221554⎛⎫+ ⎪⎝⎭=254, 故答案为254.【点睛】 本题考查了几何动点问题与二次函数、相似三角形的综合问题,综合性较强,解题的关键是找出相似三角形,列出比例关系,转化为二次函数,从而求出AF 的最小值.三、解答题31.(1)见解析;(2)O 的半径为4. 【解析】【分析】(1) 连接OE ,利用AB=BC 得出A C ∠=∠,根据OE=OC 得出,OEC C ∠=∠,从而求出OE AB ,再结合EG AB ⊥即可证明结论;(2)先利用勾股定理求出BF 的长,再利用相似三角形的性质对应线段比例相等求解即可.【详解】解:(1)证明:连接OE .∵AB BC =∴A C ∠=∠∵OE OC =∴OEC C ∠=∠∴A OEC ∠=∠∴OEAB ∵BA GE ⊥,∴OE EG ⊥,且OE 为半径 ∴EG 是O 的切线(2)∵BF GE ⊥∴90BFG ∠=︒ ∵23GF =4GB =∴222BF BG GF =-=∵BF OE ∥∴BGF OGE ∆∆∽ ∴BF BG OE OG =∴244OE OE=+ ∴4OE =即O 的半径为4. 【点睛】本题考查的知识点是切线的判定与相似三角形的性质,根据题目作出辅助线,数形结合是解题的关键.32.(1)0b =,1c =-;(2)()0,4M ;(3)()4,1P 或()4,1-或()0,1-【解析】【分析】(1)直接把两点的坐标代入二次函数解析式,得出关于b ,c 的二元一次方程组求解即可(2) 过点C 作CD l ⊥,过点A 作AE l ⊥.证明△CMD 相似于△AME ,再根据对应线段成比例求解即可(3)根据题意设点P 的纵坐标为y ,首先根据三角形面积得出EF 与y 的关系,再利用勾股定理得出EF 与y 的关系,从而得出y 的值,再代入抛物线解析式求出x 的值,得出点坐标.【详解】解:(1)把()4,1A 和()0,1-代入218y x bx c =++得:1241b c c =++⎧⎨-=⎩解方程组得出:01b c =⎧⎨=-⎩所以,0b =,1c =-(2)由已知条件得出C 点坐标为2310,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭,设()0,M n .过点C 作CD l ⊥,过点A 作AE l ⊥.。
江苏省常州市九年级上第一学期期末数学试卷一、选择题1.下列方程中,是关于x 的一元二次方程的为( ) A .2210x x+= B .220x x --=C .2320x xy -=D .240y -=2.已知一元二次方程2330p p --=,2330q q --=,则p q +的值为( ) A .3-B .3C .3-D .33.如图,⊙O 的直径BA 的延长线与弦DC 的延长线交于点E ,且CE =OB ,已知∠DOB =72°,则∠E 等于( )A .18°B .24°C .30°D .26°4.在平面直角坐标系中,点A(0,2)、B(a ,a +2)、C(b ,0)(a >0,b >0),若AB=42且∠ACB 最大时,b 的值为( ) A .226+B .226-+C .242+D .2425.△ABC 的外接圆圆心是该三角形( )的交点.A .三条边垂直平分线B .三条中线C .三条角平分线D .三条高6.如图,若二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)图象的对称轴为x=1,与y 轴交于点C ,与x 轴交于点A 、点B (﹣1,0),则 ①二次函数的最大值为a+b+c ; ②a ﹣b+c <0; ③b 2﹣4ac <0;④当y >0时,﹣1<x <3,其中正确的个数是( )A .1B .2C .3D .47.下列图形,是轴对称图形,但不是中心对称图形的是( )A.B.C.D.8.将函数的图象用下列方法平移后,所得的图象不经过点A(1,4)的方法是()A.向左平移1个单位B.向右平移3个单位C.向上平移3个单位D.向下平移1个单位9.一个扇形的半径为4,弧长为2 ,其圆心角度数是()A.45B.60C.90D.18010.在△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,则sin B的值是()A.45B.35C.43D.3411.若两个相似三角形的相似比是1:2,则它们的面积比等于()A.1:2B.1:2 C.1:3 D.1:412.如图,AC是⊙O的内接正四边形的一边,点B在弧AC上,且BC是⊙O的内接正六边形的一边.若AB是⊙O的内接正n边形的一边,则n的值为()A.6 B.8 C.10 D.1213.如图,AB,AM,BN 分别是⊙O 的切线,切点分别为 P,M,N.若 MN∥AB,∠A=60°,AB=6,则⊙O 的半径是()A.32B.3 C.323D314.如图,点A、B、C在⊙O上,∠ACB=130°,则∠AOB的度数为()A .50°B .80°C .100°D .110°15.将抛物线23y x =先向左平移一个单位,再向上平移两个单位,两次平移后得到的抛物线解析式为( )A .23(1)2y x =++B .23(1)2y x =+-C .23(1)2y x =-+D .23(1)2=--y x二、填空题16.如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,∠A =30°,BC =4,则⊙O 的直径为___.17.如图所示,在正方形ABCD 中,G 为CD 边中点,连接AG 并延长交BC 边的延长线于E 点,对角线BD 交AG 于F 点.已知FG =2,则线段AE 的长度为_____.18.如图,在半径为3的⊙O 中,直径AB 与弦CD 相交于点E ,连接AC ,BD .若AC =2,则cosD =________.19.圆锥的母线长为5cm ,高为4cm ,则该圆锥的全面积为_______cm 2. 20.若一三角形的三边长分别为5、12、13,则此三角形的内切圆半径为______.21.在一块边长为30 cm 的正方形飞镖游戏板上,有一个半径为10 cm 的圆形阴影区域,则飞镖落在阴影区域内的概率为__________. 22.如图,ABC ∆是O 的内接三角形,45BAC ∠=︒,BC 的长是54π,则O 的半径是__________.23.将正整数按照图示方式排列,请写出“2020”在第_____行左起第_____个数.24.一个不透明的布袋中装有3个白球和5个红球,它们除了颜色不同外,其余均相同,从中随机摸出一个球,摸到红球的概率是______. 25.数据8,8,10,6,7的众数是__________.26.二次函数2y ax bx c =++的图像开口方向向上,则a ______0.(用“=、>、<”填空)27.如图示,在Rt ABC ∆中,90ACB ∠=︒,3AC =,3BC =,点P 在Rt ABC ∆内部,且PAB PBC ∠=∠,连接CP ,则CP 的最小值等于______.28.如图,一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形构成,向游戏板随机投掷一枚飞镖(飞镖每次都落在游戏板上),击中黑色区域的概率是_____.29.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠,y 与x 的部分对应值如下表所示:x… -1 0 1 2 3 4 … y…61-2-3-2m…下面有四个论断:①抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(23)-,; ②240b ac -=;③关于x 的方程2=2ax bx c ++-的解为12=13x x =,; ④=3m -.其中,正确的有___________________.30.一次安全知识测验中,学生得分均为整数,满分10分,这次测验中甲、乙两组学生人数都为6人,成绩如下:甲:7,9,10,8,5,9;乙:9,6,8,10,7,8. (1)请补充完整下面的成绩统计分析表:平均分 方差 众数 中位数甲组 89乙组5388(2)甲组学生说他们的众数高于乙组,所以他们的成绩好于乙组,但乙组学生不同意甲组学生的说法,认为他们组的成绩要好于甲组,请你给出一条支持乙组学生观点的理由_____________________________.三、解答题31.某校七年级一班和二班各派出10名学生参加一分钟跳绳比赛,成绩如下表:(1)两个班级跳绳比赛成绩的众数、中位数、平均数、方差如下表:表中数据a = ,b = ,c = .(2)请用所学的统计知识,从两个角度比较两个班跳绳比赛的成绩.32.定义:如果一个四边形的一组对角互余,那么我们称这个四边形为“对角互余四边形”.(1)如图①,在对角互余四边形ABCD中,∠B=60°,且AC⊥BC,AC⊥AD,若BC=1,则四边形ABCD的面积为;(2)如图②,在对角互余四边形ABCD中,AB=BC,BD=13,∠ABC+∠ADC=90°,AD=8,CD=6,求四边形ABCD的面积;(3)如图③,在△ABC中,BC=2AB,∠ABC=60°,以AC为边在△ABC异侧作△ACD,且∠ADC=30°,若BD=10,CD=6,求△ACD的面积.33.小亮晚上在广场散步,图中线段AB表示站立在广场上的小亮,线段PO表示直立在广场上的灯杆,点P表示照明灯的位置.(1)请你在图中画出小亮站在AB处的影子BE;(2)小亮的身高为1.6m,当小亮离开灯杆的距离OB为2.4m时,影长为1.2m,若小亮离开灯杆的距离OD=6m时,则小亮(CD)的影长为多少米?34.(问题呈现)阿基米德折弦定理:如图1,AB和BC是⊙O的两条弦(即折线ABC是圆的一条折弦),BC>AB,点M是ABC的中点,则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点,即CD=DB+BA.下面是运用“截长法”证明CD=DB+BA的部分证明过程.证明:如图2,在CD上截取CG=AB,连接MA、MB、MC和MG.∵M是ABC的中点,∴MA=MC①又∵∠A=∠C②∴△MAB≌△MCG③∴MB =MG 又∵MD ⊥BC ∴BD =DG ∴AB +BD =CG +DG 即CD =DB +BA根据证明过程,分别写出下列步骤的理由: ① , ② , ③ ;(理解运用)如图1,AB 、BC 是⊙O 的两条弦,AB =4,BC =6,点M 是ABC 的中点,MD ⊥BC 于点D ,则BD = ;(变式探究)如图3,若点M 是AC 的中点,(问题呈现)中的其他条件不变,判断CD 、DB 、BA 之间存在怎样的数量关系?并加以证明.(实践应用)根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题:如图4,BC 是⊙O 的直径,点A 圆上一定点,点D 圆上一动点,且满足∠DAC =45°,若AB =6,⊙O 的半径为5,求AD 长. 35.数学概念若点P 在ABC ∆的内部,且APB ∠、BPC ∠和CPA ∠中有两个角相等,则称P 是ABC ∆的“等角点”,特别地,若这三个角都相等,则称P 是ABC ∆的“强等角点”. 理解概念(1)若点P 是ABC ∆的等角点,且100APB ∠=,则BPC ∠的度数是 . (2)已知点D 在ABC ∆的外部,且与点A 在BC 的异侧,并满足180BDC BAC ∠+∠<,作BCD ∆的外接圆O ,连接AD ,交圆O 于点P .当BCD ∆的边满足下面的条件时,求证:P 是ABC ∆的等角点.(要求:只选择其中一道题进行证明!)①如图①,DB DC = ②如图②,BC BD =深入思考(3)如图③,在ABC ∆中,A ∠、B 、C ∠均小于120,用直尺和圆规作它的强等角点Q .(不写作法,保留作图痕迹)(4)下列关于“等角点”、“强等角点”的说法: ①直角三角形的内心是它的等角点; ②等腰三角形的内心和外心都是它的等角点; ③正三角形的中心是它的强等角点;④若一个三角形存在强等角点,则该点到三角形三个顶点的距离相等;⑤若一个三角形存在强等角点,则该点是三角形内部到三个顶点距离之和最小的点,其中正确的有 .(填序号)四、压轴题36.如图,在平面直角坐标系中,直线1l :162y x =-+分别与x 轴、y 轴交于点B 、C ,且与直线2l :12y x =交于点A .(1)分别求出点A 、B 、C 的坐标;(2)若D 是线段OA 上的点,且COD △的面积为12,求直线CD 的函数表达式; (3)在(2)的条件下,设P 是射线CD 上的点,在平面内里否存在点Q ,使以O 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形?若存在,直接写出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.37.阅读理解:如图,在纸面上画出了直线l 与⊙O ,直线l 与⊙O 相离,P 为直线l 上一动点,过点P 作⊙O 的切线PM ,切点为M ,连接OM 、OP ,当△OPM 的面积最小时,称△OPM 为直线l 与⊙O 的“最美三角形”.解决问题:(1)如图1,⊙A 的半径为1,A(0,2) ,分别过x 轴上B 、O 、C 三点作⊙A 的切线BM 、OP 、CQ ,切点分别是M 、P 、Q ,下列三角形中,是x 轴与⊙A 的“最美三角形”的是 .(填序号)①ABM;②AOP;③ACQ(2)如图2,⊙A的半径为1,A(0,2),直线y=kx(k≠0)与⊙A的“最美三角形”的面积为12,求k的值.(3)点B在x轴上,以B为圆心,3为半径画⊙B,若直线y=3x+3与⊙B的“最美三角形”的面积小于3,请直接写出圆心B的横坐标Bx的取值范围.38.如图,B是O的半径OA上的一点(不与端点重合),过点B作OA的垂线交O于点C,D,连接OD,E是O上一点,CE CA,过点C作O的切线l,连接OE并延长交直线l于点F.(1)①依题意补全图形.②求证:∠OFC=∠ODC.(2)连接FB,若B是OA的中点,O的半径是4,求FB的长.39.如图,函数y=-x2+bx+c的图象经过点A(m,0),B(0,n)两点,m,n分别是方程x2-2x-3=0的两个实数根,且m<n.(1)求m,n的值以及函数的解析式;(2)设抛物线y=-x 2+bx +c 与x 轴的另一交点为点C ,顶点为点D ,连结BD 、BC 、CD ,求△BDC 面积;(3)对于(1)中所求的函数y=-x 2+bx +c , ①当0≤x ≤3时,求函数y 的最大值和最小值;②设函数y 在t ≤x ≤t +1内的最大值为p ,最小值为q ,若p-q =3,求t 的值.40.如图,在平面直角坐标系中,直线l 分别交x 轴、y 轴于点A ,B ,∠BAO = 30°.抛物线y = ax 2 + bx + 1(a < 0)经过点A ,B ,过抛物线上一点C (点C 在直线l 上方)作CD ∥BO 交直线l 于点D ,四边形OBCD 是菱形.动点M 在x 轴上从点E ( -3,0)向终点A 匀速运动,同时,动点N 在直线l 上从某一点G 向终点D 匀速运动,它们同时到达终点.(1)求点D 的坐标和抛物线的函数表达式. (2)当点M 运动到点O 时,点N 恰好与点B 重合.①过点E 作x 轴的垂线交直线l 于点F ,当点N 在线段FD 上时,设EM = m ,FN = n ,求n 关于m 的函数表达式.②求△NEM 面积S 关于m 的函数表达式以及S 的最大值.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B 解析:B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义,一元二次方程有三个特点:(1)只含有一个未知数;(2)未知数的最高次数是2;(3)是整式方程.要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,若是,再对它进行整理.如果能整理为ax 2+bx +c =0(a ≠0)的形式,则这个方程就为一元二次方程. 【详解】 解:A.2210x x +=,是分式方程, B.220x x --=,正确,C.2320x xy -=,是二元二次方程,D.240y -=,是关于y 的一元二次方程,故选B【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义,关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件:①整式方程,即等号两边都是整式;方程中如果有分母,那么分母中无未知数; ②只含有一个未知数; ③未知数的最高次数是2.2.B解析:B【解析】【分析】根据题干可以明确得到p,q 是方程2330x x --=的两根,再利用韦达定理即可求解.【详解】解:由题可知p,q 是方程2330x x --=的两根,∴p+q=3,故选B.【点睛】本题考查了一元二次方程的概念,韦达定理的应用,熟悉韦达定理的内容是解题关键. 3.B解析:B【解析】【分析】根据圆的半径相等可得等腰三角形,根据三角形的外角的性质和等腰三角形等边对等角可得关于∠E 的方程,解方程即可求得答案.【详解】解:如图,连接CO,∵CE =OB =CO=OD ,∴∠E =∠1,∠2=∠D∴∠D=∠2=∠E +∠1=2∠E .∴∠3=∠E +∠D =∠E +2∠E =3∠E .由∠3=72°,得3∠E =72°.解得∠E =24°.故选:B .【点睛】 本题考查了圆的认识,等腰三角形的性质,三角形的外角的性质.能利用圆的半径相等得出等腰三角形是解题关键.4.B解析:B【解析】【分析】根据圆周角大于对应的圆外角可得当ABC ∆的外接圆与x 轴相切时,ACB ∠有最大值,此时圆心F 的横坐标与C 点的横坐标相同,并且在经过AB 中点且与直线AB 垂直的直线上,根据FB=FC 列出关于b 的方程求解即可.【详解】解:∵AB=42,A(0,2)、B(a ,a +2)∴22(22)42a a ++-=,解得a =4或a =-4(因为a >0,舍去)∴B(4,6),设直线AB 的解析式为y=kx+2,将B(4,6)代入可得k =1,所以y=x+2,利用圆周角大于对应的圆外角得当ABC ∆的外接圆与x 轴相切时,ACB ∠有最大值. 如下图,G 为AB 中点,()2,4G ,设过点G 且垂直于AB 的直线:l y x m =-+,将()2,4G 代入可得6m =,所以6y x =-+.设圆心(),6F b b -+,由FC FB =,可知()()()2226466b b b -+=-+-+-,解得2b =(已舍去负值).故选:B.【点睛】本题考查圆的综合题,一次函数的应用和已知两点坐标,用勾股定理求两点距离.能结合圆的切线和圆周角定理构建图形找到C 点的位置是解决此题的关键.5.A解析:A【解析】【分析】根据三角形的外接圆的概念、三角形的外心的概念和性质直接填写即可.【详解】解:△ABC 的外接圆圆心是△ABC 三边垂直平分线的交点,故选:A .【点睛】本题考查了三角形的外心,三角形的外接圆圆心即为三角形的外心,是三条边垂直平分线的交点,正确理解三角形外心的概念是解题的关键.6.B解析:B【解析】分析:直接利用二次函数图象的开口方向以及图象与x 轴的交点,进而分别分析得出答案.详解:①∵二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)图象的对称轴为x=1,且开口向下,∴x=1时,y=a+b+c ,即二次函数的最大值为a+b+c ,故①正确;②当x=﹣1时,a ﹣b+c=0,故②错误;③图象与x 轴有2个交点,故b 2﹣4ac >0,故③错误;④∵图象的对称轴为x=1,与x 轴交于点A 、点B (﹣1,0),∴A (3,0),故当y >0时,﹣1<x <3,故④正确.故选B .点睛:此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数最值等知识,正确得出A 点坐标是解题关键.7.A解析:A【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.【详解】解:A.是轴对称图形,不是中心对称图形,符合题意;B.不是轴对称图形,是中心对称图形,不符合题意;C. 是轴对称图形,是中心对称图形,不符合题意;D. 是轴对称图形,是中心对称图形,不符合题意;故选:A.【点睛】本题考查的知识点是识别轴对称图形与中心对称图形,需要注意的是轴对称图形是关于对称轴成轴对称;中心对称图形是关于某个点成中心对称.8.D解析:D【解析】A.平移后,得y=(x+1)2,图象经过A点,故A不符合题意;B.平移后,得y=(x−3)2,图象经过A点,故B不符合题意;C.平移后,得y=x2+3,图象经过A点,故C不符合题意;D.平移后,得y=x2−1图象不经过A点,故D符合题意;故选D.9.C解析:C【解析】【分析】根据弧长公式即可求出圆心角的度数.【详解】解:∵扇形的半径为4,弧长为2π,∴4 2180nππ⨯=解得:90n=,即其圆心角度数是90︒故选C.【点睛】此题考查的是根据弧长和半径求圆心角的度数,掌握弧长公式是解决此题的关键.10.A解析:A【解析】【分析】先根据勾股定理计算出斜边AB的长,然后根据正弦的定义求解.【详解】如图,∵∠C=90°,AC=8,BC=6,∴AB222268BC AC+=+10,∴sin B=84105 ACAB==.故选:A.【点睛】本题考查了正弦的定义:在直角三角形中,一锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值.也考查了勾股定理.11.D解析:D【解析】【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可.【详解】解:∵两个相似三角形的相似比是1:2,∴这两个三角形们的面积比为1:4,故选:D.【点睛】此题考查相似三角形的性质,掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解决此题的关键.12.D解析:D【解析】【分析】连接AO、BO、CO,根据中心角度数=360°÷边数n,分别计算出∠AOC、∠BOC的度数,根据角的和差则有∠AOB=30°,根据边数n=360°÷中心角度数即可求解.【详解】连接AO、BO、CO,∵AC是⊙O内接正四边形的一边,∴∠AOC=360°÷4=90°,∵BC是⊙O内接正六边形的一边,∴∠BOC=360°÷6=60°,∴∠AOB=∠AOC﹣∠BOC=90°﹣60°=30°,∴n=360°÷30°=12;故选:D.【点睛】本题考查正多边形和圆,解题的关键是根据正方形的性质、正六边形的性质求出中心角的度数.13.D解析:D【解析】【分析】根据题意可判断四边形ABNM为梯形,再由切线的性质可推出∠ABN=60°,从而判定△APO≌△BPO,可得AP=BP=3,在直角△APO中,利用三角函数可解出半径的值.【详解】解:连接OP,OM,OA,OB,ON∵AB,AM,BN 分别和⊙O 相切,∴∠AMO=90°,∠APO=90°,∵MN∥AB,∠A=60°,∴∠AMN=120°,∠OAB=30°,∴∠OMN=∠ONM=30°,∵∠BNO=90°,∴∠ABN=60°,∴∠ABO=30°,在△APO和△BPO中,OAP OBPAPO BPOOP OP∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,△APO≌△BPO(AAS),∴AP=12AB=3,∴tan∠OAP=tan30°=OPAP3∴33.【点睛】本题考查了切线的性质,切线长定理,解直角三角形,全等三角形的判定和性质,关键是说明点P 是AB 中点,难度不大.14.C解析:C【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质和圆周角定理即可得到结论.【详解】在优弧AB 上任意找一点D ,连接AD ,BD .∵∠D =180°﹣∠ACB =50°,∴∠AOB =2∠D =100°,故选:C .【点睛】本题考查了圆周角定理,圆内接四边形的性质,正确的作出辅助线是解题的关键.15.A解析:A【解析】【分析】按照“左加右减,上加下减”的规律,进而得出平移后抛物线的解析式即可.【详解】抛物线23y x =先向左平移1个单位得到解析式:()231y x =+,再向上平移2个单位得到抛物线的解析式为:()2312y x =++.故选:A .此题考查了抛物线的平移变换以及抛物线解析式的变化规律:左加右减,上加下减.二、填空题16.8【解析】【分析】连接OB,OC,依据△BOC是等边三角形,即可得到BO=CO=BC=BC=4,进而得出⊙O的直径为8.【详解】解:如图,连接OB,OC,∵∠A=30°,∴∠BOC=解析:8【解析】【分析】连接OB,OC,依据△BOC是等边三角形,即可得到BO=CO=BC=BC=4,进而得出⊙O的直径为8.【详解】解:如图,连接OB,OC,∵∠A=30°,∴∠BOC=60°,∴△BOC是等边三角形,又∵BC=4,∴BO=CO=BC=BC=4,∴⊙O的直径为8,故答案为:8.【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆以及圆周角定理的运用,三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心.【解析】【分析】根据正方形的性质可得出AB∥CD,进而可得出△ABF∽△GDF,根据相似三角形的性质可得出2,结合FG=2可求出AF、AG的长度,由CG∥AB、AB=2CG可得出CG为△E解析:12【解析】【分析】根据正方形的性质可得出AB∥CD,进而可得出△ABF∽△GDF,根据相似三角形的性质可得出AF ABGF GD==2,结合FG=2可求出AF、AG的长度,由CG∥AB、AB=2CG可得出CG为△EAB的中位线,再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度,此题得解.【详解】∵四边形ABCD为正方形,∴AB=CD,AB∥CD,∴∠ABF=∠GDF,∠BAF=∠DGF,∴△ABF∽△GDF,∴AF ABGF GD==2,∴AF=2GF=4,∴AG=6.∵CG∥AB,AB=2CG,∴CG为△EAB的中位线,∴AE=2AG=12.故答案为:12.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线,利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键.18.【解析】试题分析:连接BC,∴∠D=∠A,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∵AB=3×2=6,AC=2,∴cosD=cosA===.故答案为.考点:1.圆周角定理;2.解直角三角形解析:1 3【解析】试题分析:连接BC,∴∠D=∠A,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∵AB=3×2=6,AC=2,∴cosD=cosA=ACAB=26=13.故答案为13.考点:1.圆周角定理;2.解直角三角形.19.24π【解析】【分析】利用圆锥的母线长和圆锥的高求得圆锥的底面半径,表面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+底面周长×母线长÷2.【详解】解:∵圆锥母线长为5cm,圆锥的高为4cm,∴底解析:24π【解析】【分析】利用圆锥的母线长和圆锥的高求得圆锥的底面半径,表面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+底面周长×母线长÷2.【详解】解:∵圆锥母线长为5cm,圆锥的高为4cm,∴底面圆的半径为3,则底面周长=6π,∴侧面面积=12×6π×5=15π;∴底面积为=9π,∴全面积为:15π+9π=24π.故答案为24π.【点睛】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解.20.【解析】【详解】∵,由勾股定理逆定理可知此三角形为直角三角形,∴它的内切圆半径,解析:【解析】【详解】∵22251213+=,由勾股定理逆定理可知此三角形为直角三角形, ∴它的内切圆半径5121322r +-==, 21.【解析】【分析】分别计算半径为10cm 的圆的面积和边长为30cm 的正方形ABCD 的面积,然后计算即可求出飞镖落在圆内的概率;【详解】解:(1)∵半径为10cm 的圆的面积=π•102=100 解析:9π 【解析】【分析】 分别计算半径为10cm 的圆的面积和边长为30cm 的正方形ABCD 的面积,然后计算S S 半圆正方形即可求出飞镖落在圆内的概率;【详解】解:(1)∵半径为10cm 的圆的面积=π•102=100πcm 2,边长为30cm 的正方形ABCD 的面积=302=900cm 2,∴P (飞镖落在圆内)=100==9009S S ππ半圆正方形,故答案为:9π. 【点睛】本题考查了几何概率,掌握概率=相应的面积与总面积之比是解题的关键.22.【解析】【分析】连接OB 、OC ,如图,由圆周角定理可得∠BOC 的度数,然后根据弧长公式即可求出半径.【详解】解:连接OB 、OC ,如图,∵,∴∠BOC=90°,∵的长是,∴,解得:解析:52 【解析】【分析】连接OB 、OC ,如图,由圆周角定理可得∠BOC 的度数,然后根据弧长公式即可求出半径.【详解】解:连接OB 、OC ,如图,∵45BAC ∠=︒,∴∠BOC =90°,∵BC 的长是54π, ∴9051804OB ππ⋅=, 解得:52OB =. 故答案为:52.【点睛】本题考查了圆周角定理和弧长公式,属于基本题型,熟练掌握上述基本知识是解答的关键. 23.4【解析】【分析】根据图形中的数字,可以写出前n 行的数字之和,然后即可计算出2020在多少行左起第几个数字,本题得以解决.【详解】解:由图可知,第一行1个数,第二行2个数,第解析:4【解析】【分析】根据图形中的数字,可以写出前n 行的数字之和,然后即可计算出2020在多少行左起第几个数字,本题得以解决.【详解】解:由图可知,第一行1个数,第二行2个数,第三行3个数,…,则第n行n个数,故前n个数字的个数为:1+2+3+…+n=(1)2n n+,∵当n=63时,前63行共有63642⨯=2016个数字,2020﹣2016=4,∴2020在第64行左起第4个数,故答案为:64,4.【点睛】本题考查了数字类规律探究,从已有数字确定其变化规律是解题的关键.24.【解析】【分析】根据概率的求法,找准两点:①全部情况的总数;②符合条件的情况数目;二者的比值就是其发生的概率.【详解】根据题意可得:一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的3个白球和5个红解析:5 8【解析】【分析】根据概率的求法,找准两点:①全部情况的总数;②符合条件的情况数目;二者的比值就是其发生的概率.【详解】根据题意可得:一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的3个白球和5个红球,共5个,从中随机摸出一个,则摸到红球的概率是55 538= +故答案为: 58.【点睛】本题考查概率的求法:如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=mn.25.8【解析】【分析】根据众数的概念即可得出答案.【详解】众数是指一组数据中出现次数最多的数,题中的8出现次数最多,所以众数是8故答案为:8.【点睛】本题主要考查众数,掌握众数的概念是解解析:8【解析】【分析】根据众数的概念即可得出答案.【详解】众数是指一组数据中出现次数最多的数,题中的8出现次数最多,所以众数是8故答案为:8.【点睛】本题主要考查众数,掌握众数的概念是解题的关键.26.>【解析】【分析】根据题意直接利用二次函数的图象与a的关系即可得出答案.【详解】解:因为二次函数的图像开口方向向上,所以有>0.故填>.【点睛】本题主要考查二次函数的性质,掌握二次解析:>【解析】【分析】根据题意直接利用二次函数的图象与a的关系即可得出答案.【详解】解:因为二次函数2y ax bx c =++的图像开口方向向上,所以有a >0.故填>.【点睛】本题主要考查二次函数的性质,掌握二次项系数a 与抛物线的关系是解题的关键,图像开口方向向上,a >0;图像开口方向向下,a <0.27.【解析】【分析】首先判定直角三角形∠CAB=30°,∠ABC=60°,,然后根据,得出∠ACB+∠PAC+∠PBC=∠APB=120°,定角定弦,点P 的轨迹是以AB 为弦,圆周角为120°的圆弧2【解析】【分析】首先判定直角三角形∠CAB=30°,∠ABC=60°,AB ===PAB PBC ∠=∠,得出∠ACB+∠PAC+∠PBC=∠APB=120°,定角定弦,点P 的轨迹是以AB 为弦,圆周角为120°的圆弧上,如图所示,当点C 、O 、P 在同一直线上时,CP 最小,构建圆,利用勾股定理,即可得解.【详解】∵90ACB ∠=︒,3AC =,BC =,∴AB ===∴∠CAB=30°,∠ABC=60°∵PAB PBC ∠=∠,∠PAB+∠PAC=30°∴∠ACB+∠PAC+∠PBC=∠APB=120°∴定角定弦,点P 的轨迹是以AB 为弦,圆周角为120°的圆弧上,如图所示,当点C 、O 、P 在同一直线上时,CP 最小∴CO ⊥AB ,∠COB=60°,∠ABO=30°∴OB=2,∠OBC=90°∴OC ===∴2CP OC OP =-=2.【点睛】此题主要考查直角三角形中的动点综合问题,解题关键是找到点P的位置.28.【解析】【分析】根据几何概率的求解公式即可求解.【详解】解:∵总面积为9个小正方形的面积,其中阴影部分面积为3个小正方形的面积∴飞镖落在阴影部分的概率是,故答案为.【点睛】此题主要解析:1 3【解析】【分析】根据几何概率的求解公式即可求解.【详解】解:∵总面积为9个小正方形的面积,其中阴影部分面积为3个小正方形的面积∴飞镖落在阴影部分的概率是31 93 ,故答案为13.【点睛】此题主要考查概率的求解,解题的关键是熟知几何概率的公式. 29.①③.【解析】【分析】根据图表求出函数对称轴,再根据图表信息和二次函数性质逐一判断即可. 【详解】由二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),y与x的部分对应值可知:该函数图象是开口向上的抛解析:①③.【解析】【分析】根据图表求出函数对称轴,再根据图表信息和二次函数性质逐一判断即可.【详解】由二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),y与x的部分对应值可知:该函数图象是开口向上的抛物线,对称轴是直线x=2,顶点坐标为(2,-3);与x轴有两个交点,一个在0与1之间,另一个在3与4之间;当y=-2时,x=1或x=3;由抛物线的对称性可知,m=1;∴①抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为(2,-3),结论正确;②b2﹣4ac=0,结论错误,应该是b2﹣4ac>0;③关于x的方程ax2+bx+c=﹣2的解为x1=1,x2=3,结论正确;④m=﹣3,结论错误,∴其中,正确的有. ①③故答案为:①③【点睛】本题考查了二次函数的图像,结合图表信息是解题的关键.30.(1),8.5,8;(2)两队的平均分相同,但乙组的方差小于甲组方差,所以乙组成绩更稳定.【解析】【分析】(1)根据方差、平均数的计算公式求出甲组方差和乙组平均数,根据中位数的定义,取出甲组中解析:(1)83,8.5,8;(2)两队的平均分相同,但乙组的方差小于甲组方差,所以乙组成绩更稳定.【解析】【分析】(1)根据方差、平均数的计算公式求出甲组方差和乙组平均数,根据中位数的定义,取出甲组中位数;(2)根据(1)中表格数据,分别从反应数据集中程度的中位数和平均分及反应数据波动程度的方差比较甲、乙两组,由此找出乙组优于甲组的一条理由.【详解】。
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2019-2020学年江苏省常州市九年级上学期期末数学试卷解析版
一、选择题(本大题共8小题,每小题2分,共16分)
1.(2分)已知x =2是关于x 的一元二次方程x 2+ax =0的一个根,则a 的值为( )
A .﹣2
B .2
C .12
D .−12 【解答】解:将x =2代入x 2+ax =0,
∴4+2a =0,
∴a =﹣2,
故选:A .
2.(2分)小明同学对数据26,36,46,5■,52进行统计分析,发现其中一个两位数的个
位数字被墨水涂污看不到了,则分析结果与被涂污数字无关的是( )
A .平均数
B .方差
C .中位数
D .众数
【解答】解:这组数据的平均数、方差和标准差都与被涂污数字有关,而这组数据的中位数为46,与被涂污数字无关.
故选:C .
3.(2分)河堤横断面如图所示,斜坡AB 的坡度=1:√3,AB =6m ,则BC 的长是( )
A .√3m
B .3m
C .3√3m
D .6m
【解答】解:Rt △ABC 中,tan ∠BAC =斜坡AB 的坡度=1:√3=√33,
∴∠BAC =30°,
∵BC ⊥AC ,
∴BC =12AB =3m ,
故选:B .
4.(2分)若两个相似三角形的周长比为1:3,则它们的面积比为( )
A .1:9
B .1:6
C .1:3
D .6:1 【解答】解:∵两个相似三角形的周长之比为l :3,
∴两个相似三角形的相似比为l :3,。