下载文档原格式
2018-2019第二学期《线性代数与空间解析几何》试卷A 答案一、选择题1. 用j A 表示3阶行列式A 的第j 列（j =1,2,3）,已知2A =-，则312123A A A A -=（ ）. B(A) -6 (B) 6 (C) -27 (D) 272. (1,,5)k β=能由向量组12(1,3,2),(2,1,1)αα=-=-线性表示，则k 为（ ）.A (A) 8k =- (B) 8k ≠- (C)2k ≠- (D) 2k =-3. 二次型222123123(,,)(1)(1)f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ ）时，是正定二次型. C(A) 1λ>- (B) 1λ≥- (C)1λ> (D) 1λ≥4. 设233012A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，213301B ⎛⎫= ⎪--⎝⎭，则BA =（ ）.C(A) 0 (B) 26 (C) -26 (D) 15. 要断言矩阵A 的秩为r ，只需条件（ ）满足即可. D (A) A 中有r 阶子式不为0 (B) A 中任何r+1阶子式为0(C) A 中不为0的子式的阶数小于等于r (D) A 中不为0的子式的最高阶数等于r6. 若A 为n 阶方阵，且齐次线性方程组Ax = 0有非零解，则它的系数行列式A （ ）. A(A) 必为0 (B) 必不为0 (C) 必为1 (D) 可取任何值 7. 对二次曲面，下列说法不正确的是（ ）. B (A) 方程032222=--z y x 表示锥面 (B) 方程2232y x z -=表示椭圆抛物面 (C) 方程x y =2表示抛物柱面(D) 方程19141222=-+z y x 表示单叶双曲面二、填空题8. 已知100011012A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，120011000AB ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则B = .120022011⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭9. 设2()54f x x x =-+，且2133A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则()f A = . (-5)1001⎛⎫⎪⎝⎭10. 设123,,λλλ为3阶矩阵512143236⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭的特征值，则123λλλ++= . 1511. 若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =7. 12. 设(){}123123123,,0,,,V x x x x x x x x x x R ==++=∈，则V 是 维向量空间. 213. 已知向量3α=，2β=，αβ-=αβ+=.二、计算题14. （本题7分）设421532321A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求()1*A -.解()1*1AA A-=， ............................（2分） 又1A =- .............................（4分）()1*421532321A A ----⎛⎫⎪=-=--- ⎪ ⎪---⎝⎭...............................（7分）15. （本题8分）向量组A ：11111α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21111α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，31111α⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，41111α-⎛⎫⎪- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，试求出A的秩及一个极大线性无关组.解 因111111118011111111---=≠----， .............................（4分）故1234,,,αααα线性无关，向量组本身是极大线性无关组，(6分) 其秩为4。
线性代数期末试卷一一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上）（5）设矩阵210120001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，矩阵B 满足*2=+ABA BA E ，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则||=B __________.解：||=B 19.显然||3=A ，在等式*2=+ABA BA E 两端右乘A 得36=+AB B A (36)-=A E B A 上式取行列式03030||3003=-B故 1||9=B . 方法二：因||3=A ，则*31||||9-==A A将**2=+ABA BA E 移项得 *(2)-=A E BA E 两端取行列式得1||91⋅⋅=B ，故1||9=B .二、选择题（本题8小题，每小题4分，满分32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.）（11）设A 是3阶方阵，将A 的第1列与第2列交换得B ，再把B 的第2列加到第3列得C ，则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为（A ）010100.101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）010101001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （C ）010100011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （D ）011100001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.解：（D ）正确. 由题意12=AE B ，其中12010100001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭E 为第一种类型初等矩阵，23(1)=BE C ，其中23100(1)011001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭E 为第三种类型初等矩阵.于是有 1223(1)==AE E C AQ则 1223010100011(1)100011100001001001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q E E与所给答案比较，选（D ）.（12）设,A B 为满足=AB 0的任意两个非零矩阵，则必有 （A ）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. （B ）A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. （C ）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. （D ）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. 解：（A ）正确.设A 为m n ⨯矩阵，B 为n p ⨯矩阵，因为 =AB 0故 ()()r r n +≤A B ，其中(),()r r A B 分别表示矩阵,A B 的秩.又因为,A B 皆是非零矩阵，故()0,()0r r >>A B ，所以()r n <A ，()r n <B .因此A 的列秩数，B 的行秩数小于n ，这说明A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关，故选（A ）.取101000⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，100110⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭B ，则0000⎛⎫= ⎪⎝⎭AB ， 由B 的列向量组线性无关知（B ）、（D ）错误.取101010-⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，100110⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭B ，则0000⎛⎫= ⎪⎝⎭AB ，由A 的行向量组线性无关知（C ）错误.三、解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （20）（本题满分9分） 设有齐次线性方程组121212(1)0,2(2)20,(2)()0,n nn a x x x x a x x n nx nx n a x ++++=⎧⎪++++=⎪≥⎨⎪⎪++++=⎩L L L L L试问a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.解法1 对方程组的系数矩阵A 作初等行变换，有11111111222220000aa a a a n n n n a na a ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+- ⎪ ⎪=→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭A B L L L L L L L L L L. 当0a =时，()1r n =<A ，故方程组有非零解，其同解方程组为120n x x x +++=L ， 由此得基础解系为T T T121(1,1,0,,0),(1,0,1,,0),,(1,0,0,,1)n -=-=-=-ηηηL L L L ，于是方程组的通解为1111n n x k k --=++ηηL ，其中11,,n k k -L 为任意常数. 当0a ≠时，对矩阵B 作初等行变换，有(1)1111000221002100.001001n n a a n n +⎛⎫++⎛⎫ ⎪⎪⎪-⎪-→→⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎪⎝⎭-⎝⎭B L L L L L L L L LL可知(1)2n n a +=-时，()1r n n =-<A ，故方程组也有非零解，其同解方程组为 1213120,30,0,n x x x x nx x -+=⎧⎪-+=⎪⎨⎪⎪-+=⎩M由此得基础解系为T(1,2,,)n =ηL ， 于是方程组的通解为x k =η，其中k 为任意常数. 解法2 方程组的系数行列式为111112222(1)||.2n aa n n a a nnn n a-+++⎛⎫==+ ⎪⎝⎭+A L L L LL当||0=A ，即0a =或(1)2n n a +=-时，方程组有非零解.当0a =时，对系数矩阵A 作初等行变换，有1111111122220000,0000n n n n ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A L L L L L L L L L L 故方程组的同解方程组为120,n x x x +++=L 由此得基础解系为T T T121(1,1,0,,0),(1,0,1,,0),,(1,0,0,,1)n -=-=-=-ηηηL L L L ，于是方程组的通解为1111n n x k k --=++ηηL ，其中11,,n k k -L 为任意常数.当(1)2n n a +=-时，对系数矩阵A 作初等行变换，有 11111111222220000aa a a an n n n a na a ++⎛⎫⎛⎫⎪⎪+-⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭A L L LLL L L L L L . 1111000021002100.00101a n n +⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭L L LL L L L L L L 故方程组的同解方程组为1213120,30,0,n x x x x nx x -+=⎧⎪-+=⎪⎨⎪⎪-+=⎩M由此得基础解系为T(1,2,,)n =ηL ， 于是方程组的通解为x k =η，其中k 为任意常数. （21）（本题满分9分）设矩阵12314315a -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭A 的特征方程有一个二重根，求a 的值，并讨论A 是否可相似对角化.解：A 的特征多项式为1232201431431515a aλλλλλλλ-----=-------11010(2)143(2)13315115aa λλλλλλ-=--=---------2(2)(8183)a λλλ=--++.若2λ=是特征方程的二重根，则有22161830a -++=，解得2a =-.当2a =-时，A 的特征值为2,2,6，矩阵1232123123-⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪--⎝⎭E A 的秩为1，故2λ=对应的线性无关的特征向量有两个，从而A 可相似对角化.若2λ=不是特征方程的二重根，则28183a λλ-++为完全平方，从而18316a +=，解得23 a=-.当23a=-时，A的特征值为2,4,4，矩阵32341032113⎛⎫⎪-⎪-= ⎪⎪--⎪⎝⎭E A的秩为2，故4λ=对应的线性我关的特征向量只有一个，从而A不可相似对角化.线性代数期末试卷二一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中的横线上.） （6）同数学（一）一、（5）.二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项目前的字母填在题后的括号内.） （13）同数学（一）二、（11）. （14）同数学（一）二、（12）.三、解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （22）（本题满分9分） 设有齐次线性方程组1234123412341234(1)0,2(2)220,33(3)30,444(4)0,a x x x x x a x x x x x a x x x x x a x ++++=⎧⎪++++=⎪⎨++++=⎪⎪++++=⎩试问a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.解法1 对方程组的系数矩阵A 作初等行变换，有111111112222200.33333004444400aa a a a a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+- ⎪ ⎪=→= ⎪ ⎪+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭A B 当0a =时，()14r =<A ，故方程组有非零解，其同解方程组为 12340x x x x +++=.由此得基础解系为T T T123(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)=-=-=-ηηη，于是所求方程组的通解为112233k k k =++x ηηη，其中123,,k k k 为任意常数. 当0a ≠时，11111000021002100,3010301040014001a a ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭B 可知10a =-时，()34r =<A ，故方程组也有非零解，其同解方程组为12131420,30,40,x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩由此得基础解系为 T(1,2,3,4)=η，于是所求方程组的通解为 k =x η，其中k 为任意常数. 解法2 方程组的系数行列式311112222||(10)33334444aa a a a a++==+++A .当||0=A ，即0a =或10a =-时，方程组有零解. 当0a =时，对系数矩阵A 作初等行变换，有11111111222200003333000044450000⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ， 故方程组的同解方程组为12340.x x x x +++= 其基础解系为T T T123(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)=-=-=-ηηη，于是所求方程组的通解为112233k k k =++x ηηη，其中123,,k k k 为任意常数. 当10a =-时，对A 作初等行变换，有911191112822201000337330010*******0010--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪=→⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A91110000210021003010301040014001-⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎪ ⎪→→⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 故方程组的同解方程组为2131412,3,4,x x x x x x =⎧⎪=⎨⎪=⎩其基础解系为T(1,2,3,4)=η，于是所求方程组的通解为x k =η，其中k 为任意常数. （23）（本题满分9分） 同数学（一）三、（21）.线性代数期末试卷三一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（4）二次型222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =++-++的秩为_________.解：秩为 2 .222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =++-++ 222123121323222222x x x x x x x x x =++++-于是二次型f 的表示矩阵为211121112⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A易求得()2r =A ，故二次型f 的秩为2.二、选择题（本题8小题，每小题4分，满分32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.） （12）设n 阶矩阵A 与B 等价，则必有 （A ）当||(0)a a =≠A 时，||a =B . （B ）当||(0)a a =≠A 时，||a =-B . （C ）当||0≠A 时，||0=B . （D ）当||0=A 时，||0=B . 解：（D ）正确.因为n 阶矩阵A 与B 等价，故存在n 阶可逆矩阵,P Q 使 =PAP B故 ||||||||=B P A Q当||0=A 时，自然有||0=B ，故（D ）正确.当||0≠A 时，由||,||P Q 皆不为零，故||0≠B ，所以（C ）错误.当||0a =≠A 时，||||||a =B P Q ，仅由A 与B 等价，无法推出||||1=±P Q ，故（A ）、（B ）不正确.当,A B 相似时，（A ）才正确.（13）设n 阶矩阵A 的伴随矩阵*≠A 0，若1234,,,ξξξξ是非齐次线性方程组=Ax b 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组=Ax 0的基础解系.（A ）不存在. （B ）仅含一个非零解向量. （C ）含有两个线性无关的解向量. （D ）含有三个线性无关的解向量. 解：（B ）正确.因*=A 0，故*A 中至少有一个非零元素. 由于*A 中元素恰为A 的1n -阶代数余子式所组成，故A 至少有一个1n -阶子式非零，这表明()1r n ≥-A .现断言()r n ≠A ，否则A 可逆，则线性方程组=Ax b 有惟一解，这与12,ξξ是非齐次线性方程组=Ax b 不同的解矛盾.由此必有()1r n =-A ，所以齐次线性方程组=Ax 0的解空间维数为(1)1n n --=，即=Ax 0的基础解仅含一个非零解向量. 可见（B ）正确，（A ）错误.尽管从1234,,,ξξξξ是非齐次线性方程组=Ax b 的互不相等的解，可以得出=Ax 0有三个不同的非零解，如121314,,,---ξξξξξξ但是它们是成比例的线性相关解，也就是说=Ax 0不会有两个，更不会有三个线性无关的解向量，即（C ）、（D ）不正确.三、解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （20）（本题分13分）设T T T 123(1,2,0),(1,2,3),(1,2,2)a a b a b ==+-=---+ααα，T(1,3,3)=-β. 试讨论当,a b为何值时，（I ）β不能由123,,ααα线性表示；（II ）β可由123,,ααα惟一地线性表示，并求出表示式；（III ）β可由123,,ααα线性表示，但表示式不惟一，并求出表示式. 解：设有数123,,k k k ，使得112233k k k ++=αααβ. （*） 记123(,,)=A ααα. 对矩阵()Aβ施以初等行变换，有1111()22230323a b a a b -⎛⎫ ⎪=+-- ⎪ ⎪-+-⎝⎭A β111101000a b a b -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪-⎝⎭.（I ）当0,a b =为任意常数时，有1111()0010001b -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A β.可知()()r r ≠A A β. 故方程组（*）无解，β不能由123,,ααα线性表示.（II ）当0a ≠，且a b ≠时()()3r r ==A A β，故方程组（*）有惟一解 123111,,0,k k k a a=-== 则β可由123,,ααα惟一地线性表示，其表示式为1211(1)a a=-+βαα.（III ）当0a b =≠时，对()A β施以初等行变换，有110011()011.0000a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A β. 可知()()2r r ==A A β，故方程组（*）有无穷多解，其全部解为123111,(),k k c k c a a=-=+=，其中c 为任意常数.β可由123,,ααα线性表示，但表示式不惟一，其表示式为12311(1)()c c a a=-+++βααα. （21）（本题满分13分）111b b bb b b ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A L L M M M L. （I ）求A 的特征值和特征向量；（II ）求可逆矩阵P ，使得1-P AP 为对角矩阵. 解：（I ）1º当0b ≠时，11||1b b b b bbλλλλ-------=---E A L LM M ML1[1(1)][(1)]n n b b λλ-=-----.故A 的特征值为121(1),1n n b b λλλ=+-===-L .对于11(1)/n b λ=+-，设A 的属于特征值1λ的一个特征向量为1ξ，则1111[1(1)]1b b b b n b b b ⎛⎫⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ξξL L M M M L ， 解得T1(1,1,,1)=ξL ，所以全部特征向量为T1(1,1,,1)k k =ξL （k 为任意非零常数）.对于21n b λλ===-L ，解齐次线性方程组[(1)]0b --=E A x ，由111000(1)000b b b b b b b b b b ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪ ⎪--=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭E A L L LL M M M M M M L L， 解得基础解系T2(1,1,0,,0)=-ξL ，T3(1,0,1,,0)=-ξL ，… …T(1,0,0,,1)n =-ξL .故全部特征向量为2233n n k k k +++ξξξL （2,,n k k L 是不全为零的常数）. 2º当0b =时，特征值11n λλ===L ，任意非零列向量均为特征向量. （II ）1º当0b ≠时，A 有n 个线性无关的特征向量，令12(,,,)n =P ξξξL ，则 1diag{1(1),1,,1}.n b b b -=+---P AP L 2º当0b =时，=A E ，对任意可逆矩阵P ，均有 1-=P AP E .注：T1(1,1,,1)=ξL 也可由求解齐次线性方程组1()λ-=E A x 0得出.线性代数期末试卷四一、填空题（本题共6小题，每小4分，满分24分. 把答案填在题中横线上.）（4）设1010100,001--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭A B P AP ，其中P 为三阶可逆矩阵，则200422-=B A _________. 解：300030001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭. 由010100001-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A 得2100010001-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A ，故4=A E ，其中E 是3阶单位阵，所以2004=A E .由1-=B P AP 得200412004-==B P A P E于是 20042210020030022010020030001002001-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭BA E A . （5）设33()ij a ⨯=A 是实正交矩阵，且T 111,(1,0,0)a b ==，则线性方程组=Ax b 的解是__________.解：T (1,0,0).在方程=Ax b 两端左乘TAT T =A Ax A b 则 2131T 122232121323331311100a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x A b将 12131a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x 代回=Ax b 有2131122232121323331311100a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由此得22121311a a ++=因A 为实矩阵，故12130a a ==，因此=Ax b 的解为100⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x .二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.）（12）同数学（三）二、（12）.三、解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（20）（本题满分13分）设线性方程组1234123412340,220,3(2)(4)41,x x x x x x x x x x x x λμλμ+++=⎧⎪+++=⎨⎪+++++=⎩已知T(1,1,1,1)--是该方程组的一个解. 试求（I ）方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解； （II ）该方程组满足23x x =的全部解.解：将T (1,11,1)--代入方程组，得λμ=. 对方程组的增广矩阵施以初等变换，得 1102112032441λλλλ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪++⎝⎭A 102101311.002(21)2121λλλλλλ---⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪---⎝⎭（I ）当12λ≠时，有 1001011010.221100122⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A 因()()34r r ==<A A ，故方程组有无穷多解，全部解为T T 11(0,,,0)(2,1,1,2)22k =-+--ξ， 其中k 为任意常数.当12λ=时，有 11101220131100000⎛⎫-- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A .因()()24r r ==<A A ，故方程组有无穷多解，全部解为T T T 121(,1,0,0)(1,3,1,0)(1,2,0,2)2k k =-+-+--ξ， 其中12,k k 为任意常数.（II ）当12λ≠时，由于23x x =，即 1122k k -+=-. 解得12k =，方程组的解为T T T 111(0,,,0)(2,1,1,2)(1,0,0,1)222=-+--=-ξ. 当12λ=时，由于23x x =，即 121132k k k --=. 解得121142k k =-，故全部解为 T T 2111311(,,,0)(,,,2)444222k =-+---ξ， 其中2k 为任意常数.[注]：在题（II ）中，12λ=时，解得21122k k =-时，全部解也可以表示为 T T 1(1,0,0,1)(3,1,1,4)k =-+-ξ，其中1k 为任意常数.（21）（本题满分13分）设三阶实对称矩阵A 的秩为122,6λλ==是A 的二重特征值. 若T T T 123(1,1,0),(2,1,1),(1,2,3)===--ααα都是A 的属于特征值6的特征向量. （I ）求A 的另一特征值和对应的特征向量；（II ）求矩阵A .解：（I ）因为126λλ==是A 的二重特征值，故A 的属于特征值6的线性无关的特征向量有2个. 由题设可得123,,ααα的一个极大无关组为12,αα，故12,αα为A 的属于特征值6的线性无关的特征向量.由()2r =A 可知，||0=A ，所以A 的另一特征值30λ=. 设30λ=所对应的特征向量为T 123(,,)x x x =α，则有T T120,0==αααα，即 121230,20.x x x x x +=⎧⎨++=⎩ 解得此方程组的基础解系为T (1,1,1)=-α，即A 的属于特征值30λ=的特征向量为T (1,1,1)c c =-α，（c 为不为零的任意常数）.（II ）令矩阵123(,,)=P ααα，则1600060000-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P AP ，所以 1600060000-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A P P .又1011112333111333-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭P ， 故422242.224⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A。
中国农业大学2018~2019学年春季学期线性代数（B）课程考试试题（A 卷）（2019.6.）题号一二三四五六七八总分得分注：本试卷共八页、八道大题一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分，请将合适的答案填在每题的空中）1.已知3阶矩阵1231223123,,,3,32,22A B ==----+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦αααααααααα，且||16B =，则||A =4.的所有元素的代数余子式之和是1.3.设A 为3阶方阵且行列式|||2||3|0E A E A E A -=-=-=，（其中E 为3阶单位阵）.4．若方程组123123123111ax x x x ax x x x ax ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩无解，则a 的值为_____-2_____．5．已知实二次型()222123123121323,,222f x x x x tx tx x x x x x x =++++-是正定的，则常数t 的取值范围是___3t >____．二、选择题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）1．设矩阵100220353A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,*A 为A 的伴随矩阵，则*1()-=A 【D 】．(A)A ；(B)1A -；(C)16A -；(D)16A -．考生诚信承诺1．本人清楚学校关于考试管理、考场规则、考试作弊处理的规定，并严格遵照执行．2．本人承诺在考试过程中没有作弊行为，所做试卷的内容真实可信．学院：班级：学号：姓名：2.设,A B 都为n 阶可逆矩阵，且2()A B E +=，则11()E BA --+=【C】(A)()A B B +；（B）1E AB -+；(C)()A A B +；（D）()A B A+3.设⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭a b b A b a b b b a ，若矩阵A 的伴随矩阵*A 的秩为1，则必有【D 】．(A)a b =或20a b +=；(B)a b =或20a b +≠；(C)a b ≠或20a b +≠；(D)a b ≠或20a b +=．4．设矩阵A 通过初等行变换变成矩阵B ，则下列结论正确的是【A】(A)A 的行向量组与B 的行向量组一定等价；(B)A 的行向量组与B 的行向量组一定不等价；(C)A 的列向量组与B 的列向量组一定等价；(D)A 的列向量组与B 的列向量组一定不等价；5.设向量组12,,,s ααα 线性相关，则下列结论正确的是【C】(A)12,,,s ααα 的部分组一定线性相关；(B)12,,,s ααα 的部分组一定线性无关；(C)12,,,s ααα 的缩短组一定线性相关；(D)12,,,s ααα 的延伸组一定线性相关.三、（10分）计算下面n 阶行列式的值01210100001n n n a a D a a λλλλ---=-+.解.第2行乘以λ,…,第n-1行乘以2n λ-,第n 行乘以1n λ-,然后全部加到第1行，得210121121000100001n n nn n n n n a a a a a D a a λλλλλλλ------+++++-=-+.再按第1行展开，得1111011011(1)(1)().n n n n n n n n a a a a a a λλλλλλ+-----=--+++=+++ 另解：按第1行展开可以建立递推关系式10n n D D a λ-=+(其中1n D -为n D 右下角的n-1阶行列式)然后用归纳法得出结果.按步骤相应给分.四、（14分）当,a b 为何值时，线性方程组1234123412341234230264132716x x x x x x x x x x ax x x x x x b+-+=⎧⎪+-+=-⎪⎨+++=-⎪⎪---=⎩无解，有惟一解，有无穷多解？并在有无穷多解的情况下，写出它的通解.解将原方程组的增广矩阵化为阶梯型：11230112302164101221327100800116100002a a b b --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪-+ ⎪ ⎪⎪ ⎪---+⎝⎭⎝⎭.（1）当2,b ≠-时原方程组无解；（2）由于系数矩阵的秩小于4，因此不论,a b 取何值，原方程组都没有唯一解；（3）当2,8b a =-=-时，原方程组有无穷多解.此时原方程组等价于：13423441221x x x x x x =--⎧⎨=--+⎩一般解为1212141122,,010001k k k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭取任何值；（4）当2,8b a =-≠-时原方程组也有无穷多解.此时原方程组等价于：142431,21,0.x x x x x =--⎧⎪=-+⎨⎪=⎩一般解为11210010k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k 取任何值。
2018考研线性代数真题解析2018年的考研线性代数一共是5道考题，两个选择题，一个填空题，两个解答题。
今年一共考了7道题，但今年数学一、二、三的选择题和解答题考得完全一样，区别仅在于填空题各不相同，下面对今年的线代考试做如下分析。
第一个选择题，即数一、三的第5题，数二的第7题，相似矩阵判定，2016，2017都以选择题考相似矩阵的判定，2014考证明矩阵相似，本题的难点在于题干所给矩阵不能对角化，所以做题时有两个思路，一个是排除法利用相似时的四相同排除掉不相似的，但这个题还要用到相似时，矩阵多项式也相似，即用到了四相似，所以有的同学可能想不到。
另一思路是利用相似的矩阵相同的特征值应该有相同个数的无关特征向量。
第二个选择题是考矩阵的秩，最简单的方法是利用向量组表示判定的三转化，考虑矩阵方程，利用矩阵方程有解马上得出系数矩阵的秩等于广义增广矩阵的秩。
填空题数一是利用向量的关系得出对应的特征值，然后求行列式；数二、数三是同一类题，利用向量组的线性表示建立相似的背景，然后求特征值。
两道大题数一、数二、数三完全一模一样，第一道大题的第一问和2000年数三的那道题极为类似，2005年数一也考过求类似方程的解，其本质是求解带参数的齐次方程组，第二问是根据参数讨论求规范形，有两种思路，配方法或者求特征值。
第二道大题的难点在于有的同学可能没懂题目说的是什么意思，其实题目就是告诉你这两个矩阵等价，即可化为已知秩求参数，第二问和2014年的一模一样，求解系数矩阵不可逆的矩阵方程。
综上所述，相对于前几年的线性代数题目来说，今年的线性代数题目难度相比去年有所提高，表现为以下特点：1.命题角度新颖。
同一个知识点从不同的角度来考，线代很大的特点之一就是知识点纵横交错，前后联系紧密，同一个点有很多不同的说法。
2.综合性提高。
实际上这次题很多都以前考过，或者干脆把以前的几个真题综合一下形成新的考题。
3.注重基础，考查全面。
基本上线代六章的内容全部都考到了，而且大部分都是考基本的计算，计算量也不算很大，但对同学们的计算能力要求较高。
2017~2018学年秋季学期《线性代数》课程考试试题解析一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分，请将合适的答案填在每题的空中）1.设100220345A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，*A 为A 的伴随矩阵，则1*1|()|4A A --=.解析：由于2211110,|10,,10A A A A A A A *-**=====则31*116(6)|()|441010A A A A A --**---=-==注释本题知识点：（1）1;n A A -*=（2）;AA A A A E **==（3）.n A A λλ=答案：3(6)10-2.设矩阵101112,011A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭321,,ααα为线性无关的三维列向量组，则向量组123,,A A A ααα的秩为.解析：矩阵101112011A ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭的秩为2,321,,ααα为线性无关的三维列向量组，因此，矩阵123(,,)ααα可逆，而123123(,,)(,,)A A A A αααααα=，则123,,A A A ααα的秩为2.注释本题知识点：(1)矩阵的秩的定义；(2)矩阵秩的性质:若=A PBQ ，其中,P Q 为可逆的矩阵，则=()()R A R B (3)向量组的秩与矩阵秩的关系:向量组321,,ααα的秩等于矩阵123(,,)ααα的秩．答案：2.3.设100020001A -⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，要使A kE +为正定矩阵，k 应满足.解析：100020001A -⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭特征值为1,2,1λ=-，则A kE +的特征值为1,2,1k k k λ=-+++，若A kE +为正定矩阵，则10,20,10k k k -+>+>+>，故1k >．注释本题知识点：（１）A 为正定矩阵的充要条件是A 的所有特征值大于零；答案：1k >4.设A 是三阶实对称矩阵，A 的秩()1,R A =若25A A O -=，则A 的非零特征值是.解析：由25A A O -=知矩阵A 的特征值为0λ=或5λ=，由A 的秩()1,R A =知A 的非零特征值是5.注释本题知识点：(1)特征值的定义；(2)正定矩阵的性质．答案：55.在四元非齐次线性方程组Ax b =中，A 的秩R (A )=3,且123,,ααα为它的三个解向量,已知()()1232,0,5,1,1,0,0,2,T Tααα=-+=则方程组Ax b =的通解可以写成.解析：由于A 的秩R (A )=3，则在四元齐次线性方程组0Ax =的基础解系中含有一个非零的解向量．又123,,ααα为Ax b =的三解向量,且()()1232,0,5,1,1,0,0,2,TTααα=-+=则231()2(1,0,0,2)2(2,0,5,1)(3,0,10,4),T T T ααα+-=--=--是齐次线性方程组0Ax =的一个基础解系，则非齐次线性方程组Ax b =的通解为-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+∈ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭2300,51014k k R ．注释本题知识点：（１）线性方程组通解的结构答案：-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪+∈ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭2300,51014k k R 二、选择题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）1.设矩阵123456789A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，001010100P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100001010Q ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则PAQ 为（）(A)123456789⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(B)132465798⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(C)798465132⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭.(D)321987.654⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭解析：001123100789100798010456001456001465100789010123010132PAQ ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭注释本题知识点：(1)初等矩阵在矩阵行列变换中的作用答案：C2.下列矩阵中,不能相似于对角阵的是（）(A)001010.100⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(B)111022.003⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭(C)121242.121-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭(D)211020.403-⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭解析：(A)中矩阵⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭001010100是实对称矩阵，能与对角阵相似；(B)中矩阵⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭111022003有三个不同的特征值1,2,3λ=，则能对角化；(C)中矩阵-⎛⎫⎪- ⎪⎪-⎝⎭121242121特征值为0,0,3λ=，0λ=为二重特征值，但对应两个线性无关的特征向量，因此能对角化．(D)中矩阵-⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎝⎭211020403特征值2λ=为二重特征值，但对应一个线性无关的特征向量，因此不能能对角化．注释：本题知识点：(1)n 阶方阵对角化的充分必要条件是：存在n 个线性无关的特征向量；(2)实对称矩阵一定能对角化．答案：D3.设)(ij a A =是三阶方阵,满足*T A A =，其中*A 为A 的伴随矩阵,A 为A 的行列式，则||A ＝()(A)0.(B)0或1.(C)-1.(D)1.解析：由*T A A =得,T A A A *==,由于2A A *=，得(1)0A A -=,故0A =或1.注释本题知识点：(1)行列式性质TA A =；(2)行列式性质1n A A-*=．答案：B4.设123,,ξξξ是方程组0Ax =的基础解系，则下列向量组中也是方程组0Ax =的基础解系的是（）(A)122331,,ξξξξξξ+++.(B)122331,,ξξξξξξ+-+.(C)122331,,ξξξξξξ---.(D)1231312,,2ξξξξξξξ+-++.解析：（A）中122331123101(,,)(,,)110011ξξξξξξξξξ⎛⎫ ⎪+++= ⎪ ⎪⎝⎭，而矩阵101110011⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭可逆，则122331,,ξξξξξξ+++线性无关，为方程组0Ax =的基础解系；（B）中122331123101(,,)(,,)110011ξξξξξξξξξ⎛⎫ ⎪+-+= ⎪ ⎪-⎝⎭，而矩阵101110011⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭不可逆，则122331,,ξξξξξξ+++线性相关，不为方程组0Ax =的基础解系；(C)中122331123101(,,)(,,)110011ξξξξξξξξξ-⎛⎫ ⎪---=- ⎪ ⎪-⎝⎭，而矩阵101110011-⎛⎫ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭不可逆，则122331,,ξξξξξξ---线性相关，不为方程组0Ax =的基础解系；（D）中1231312123112(,,2)(,,)101110ξξξξξξξξξξ⎛⎫ ⎪+-++= ⎪ ⎪-⎝⎭，而矩阵112101110⎛⎫⎪⎪⎪-⎝⎭不可逆，则1231312,,2ξξξξξξξ+-++线性相关，不为方程组0Ax =的基础解系；注释本题知识点：（１）线性方程组基础解系的定义；(2)向量组的秩与矩阵秩的关系；(3)矩阵秩的性质．答案：A5.设n 维列向量组1,,()m m n αα< 线性无关，则n 维列向量组1,,m ββ 线性无关的充分必要条件为（）(A)向量组1,,m αα 可由向量组1,,m ββ 线性表示.(B)向量组1,,m ββ 可由向量组1,,m αα 线性表示.(C)向量组1,,m αα 与向量组1,,m ββ 等价.(D)矩阵1(,,)m A αα= 的秩()R A 等于矩阵1(,,)m B ββ= 的秩()R B .解析：（A）中令12(1,0,0,0),(0,1,0,0)T T αα==;12(0,0,1,0),(0,0,0,1)T T ββ==,则（A）、(B)、(C)都不成立．在（D）中若矩阵1(,,)m A αα= 的秩()R A 等于矩阵1(,,)m B ββ= 的秩()R B ，则1,,m ββ 线性无关；反之1,,m ββ 线性无关，则矩阵1(,,)m A αα= 的秩()R A 等于矩阵1(,,)m B ββ= 的秩()R B ．注释本题知识点：（１）向量组的线性表示；（２）向量组的等价；（3）向量组秩的定义及性质．答案：D三、（本题满分14分）计算下列各题1.计算四阶行列式0052002112341326D =--.解析:()()00521234002113263254112340052132621D --===--=--2.设n 阶行列式=det()n ij D a ,其中||(1,)ij a i j i j n =-≤≤,求n D .解析：122301231111111012211111310131111132104111111234012340r r n r r n n n D n n n n n n n n n -----------==-------------213112100001200012200(1)(1)2.1222012324251c c n n c c n n n n n n +--+------==-----------注释本题知识点：（1）行列式性质；（2）行列式的计算方法．四、（本题满分16分）1.设三阶方阵A,B 满足16,A BA A BA -=+且131415A ⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，求B .解析：显然A 可逆，用1A -右乘方程两边，得--=+⇒-=116()6A B E B A E B E ，从而--=-116()B A E ．--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11324,354A A E --⎛⎫⎪⎪⎪-= ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭11121()314A E ．从而--⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭1136()232B A E 2.已知三阶方阵A 的三个特征值分别为1231,0,1,λλλ===-对应的特征向量依次为123(1,2,2),(2,2,1),(2,1,2),T T T p p p ==-=--求矩阵A .解析：由已知，A 可以对角化.令123122(,,)221212P p p p -⎛⎫⎪==-- ⎪⎪⎝⎭，则1101P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，从而1101A P P -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭．112212219212P -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，10210123220A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.注释本题知识点：（1）矩阵的运算；（2）特征值特征向量的定义与矩阵对角化的定义．五、（本题满分12分）设有向量组12341111101121,,,,,2324335185a a a a a b a β⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭问,a b 为何值时,1.β不能由1234,,,a a a a 线性表示.2.β能由1234,,,a a a a 线性表示，且表示式唯一.3.β能由1234,,,a a a a 线性表示，且表示式不唯一，并写出一般表示式.解析：设=++121233x a x a x a β，设1234(,,,)A a a a a =，对增广矩阵(,)A β实行初等行变换()11111111110112101121,2324300103518500010A r a b a b a a β⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪⎪= ⎪ ⎪+++ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭，由此可见（1）当1,0a b =-≠时，方程组无解，即β不能由1234,,,a a a a 线性表示；（2）当1a ≠-时，β能由1234,,,a a a a 线性表示，且表示式唯一；（3）当1,0a b =-=，方程组有无穷多解，并且112212123142202112112010001x k k x k k k k x k x k -+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即=-+++-++∈121122132412(2)(12),(,).k k a k k a k a k a k k R β．注释本题知识点：（1）向量的线性表示与线性方程组的关系；（2）线性方程组的求解过程与方法．六、（本题满分10分）设A 是n 阶方阵，,,123ααα是n 维列向量，且10α≠，11A αα=，212A ααα=+，323A ααα=+，证明：向量组,,123ααα线性无关.解析：设有三个数123,,k k k 使得1122330k k k ααα++=（1），（1）式两边同时左乘A,可得1122330k A k A k A ααα++=，即11212323()()0k k k ααααα++++=，整理得12123233()()0k k k k k ααα++++=．（2）（2）减（1）得21320k k αα+=，（3）（3）式两边左乘A,得2131320k k k ααα++=（4）（4）减（3）得310k α=，因为10α≠，可得30k =，代入（3）式，可得20k =，从而10k =，即123,,ααα线性无关．注释本题知识点：（1）向量组的线性无关性的定义；（2）证明向量组的线性相关性的方法．七、（本题满分12分）设二次型22212312313(,,)222(0)T f x x x x Ax ax x x bx x b ==+-+>中二次型的矩阵A 的特征值之和为1,特征值之积为-12.1.求,a b 的值.2.用正交变换将二次型f 化为标准形,并写出所用的正交变换及标准形.解析：(1)二次型f 的矩阵为002002a b A b ⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭，设A 的特征值为123,,λλλ，由已知条件知123221a λλλ++=+-=，21230020421202a ba b b λλλ==--=--，得1,2a b ==（2）由矩阵A 的特征多项式2102||020(2)(3)202E A λλλλλλ---=-=-+-+，得到A 的特征值为1232,2,3λλλ===-，对于特征值122λλ==，解齐次线性方程组(2)0E A x -=，得基础解系12(2,0,1),(0,1,0)T T ξξ==，对于33λ=-，解齐次线性方程组(3)0E A x --=，得基础解系3(1,0,2),T ξ=-由于123,,ξξξ已经是正交向量组，故只需将其单位化123,(0,1,0),T T T ηηη===-令010Q ⎫⎪⎪= ⎪ ⎪，则Q 为正交矩阵，在正交变换x Qy =下，二次型的标准行为222123223f y y y =+-．注释本题知识点：（1）矩阵特征值、特征向量的定义与性质；（2）二次型化标准形的方法．八、（本题满分6分）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，求n 阶矩阵T A E αα=-的全部特征值并证明其不可逆.解析：因为-=T E A αα为对称矩阵，由=()1T R αα,知-=()1R E A ，则-=()1R A E .所以A-E 的特征值有一个是非零的，其余n -1个都是0．设矩阵A 的所有特征值为12,,n λλλ ，则A-E 的特征值为121,1,,1n λλλ--- ．因此，121,1,,1n λλλ--- 中有n -1个都是0，即12,,n λλλ 有n -1个都是1，由121,1,,1n λλλ--- 中有一个非零知，12,,n λλλ 中有一个不等于1．又因为0T A E ααααα=-=，所以0是A 的特征值．所以矩阵A 的所有特征值为1，1， ，1，0．因为0是A 的特征值,所以A 不可逆.注释本题知识点：（１）矩阵秩的有关结论：()1,0T R ααα=≠；（２）矩阵特征值、特征向量的定义与性质．。
线数代数答案在线作业自动判卷题目类型分值正确答案你的答案批改单选题10.0 2 2 √单选题10.0 2 2 √单选题10.0 1 1 √单选题10.0 3 3 √单10.0 1 1 √选题单10.0 2 2 √选题单10.0 3 3 √选题单10.0 1 1 √选题单选题10.0 3 3 √若行列式主对角线上的元素全为0，则此行列式为0.( ) 判断题10.0错误错误√总分值:100.0 得分:100.0 正确的题数：10 题目总数：10 正确率:100.0%[复习建议][返回阶段列表]北京理工大学现代远程教育学院版权所有京ICP备05065315号Copyright©2000-2006 All right reser ved.单10.0 2 2 √选题单10.0 2 2 √选题单10.0 1 1 √选题单10.0 3 3 √选题单10.0 1 1 √选题单选题10.0 2 2 √单选题10.0 3 3 √单选题10.0 1 1 √单选题10.0 3 3 √若行列式主对角线上的元素全为0，则此行列式为0.( ) 判断题10.0错误错误√总分值:100.0 得分:100.0 正确的题数：10 题目总数：10 正确率:100.0%[复习建议][返回阶段列表]总分值:100.0 得分:100.0 正确的题数：10 题目总数：10 正确率:100.0%[复习建议][返回阶段列单10.0 2 2 √选题单10.0 2 2 √选题单10.0 1 1 √选题单10.0 3 3 √选题单10.0 1 1 √选题单选题10.0 2 2 √单选题10.0 3 3 √单选题10.0 1 1 √单选题10.0 3 3 √若行列式主对角线上的元素全为0，则此行列式为0.( ) 判断题10.0错误错误√100.0 得分:100.0 正确的题数：10 题目总数：10 正确率:100.0%单选题1[复习建议]单选题1单选题1[返回阶段列表]单选题1北京理工大学现代远程教育学院版权所有京ICP备05065315号Copyright©2000-2006 All right reser ved. 单选题1在线作业自动判卷题目类型分值正确答案你的答案批改单选题10.0 2 2 √单选题1单10.0 2 2 √选题单10.0 1 1 √选题单10.0 3 3 √选题单10.0 1 1 √选题单10.0 2 2 √选题单10.0 3 3 √选题单选题10.0 1 1 √单选题10.0 3 3 √若行列式主对角线上的元素全为0，则此行列式为0.( ) 判断题10.0错误错误√100.0 得分:100.0 正确的题数：10 题目总数：10 正确率:100.0%[返回阶段列表]判断题1:100.0 得分:100.0 正确的题数：10 题目总数：10 正确率:100.0%[复习建议][返回阶段列表]京单选题10.0 1 1 √单选题10.0 2 2 √下列矩阵中不是初等矩阵的矩阵是（）单选题10.0 4 4 √单选题10.0 1 1 √判断题10.0正确正确√判断题10.0错误错误√判断题10.0错误错误√填空题10.0 1 1 √填空题10.0 2 ×本次作业总分值:100.0 得分:90.0 正确的题数：9 题目总数：10 正确率:90.0%[复习建议][返回阶段列表]北京理工大学现代远程教育学院版权所有京ICP备05065315号Copyright©2000-2006 All right re ser ved.在线作业自动判卷题目类型分值正确答案你的答案批改单选题10.0 1 1 √单选题10.0 1 1 √单选题10.0 1 1 √单选题10.0 2 2 √判断题10.0错误错误√判断题10.0错误错误√判断题10.0错误错误√填空题10.0 3 3 √填空题10.0 -2 -2 √填空题10.0 2 2 √值:100.0 得分:100.0 正确的题数：10 题目总数：10 正确率:100.0%[复习建议][返回阶段列表]北京理工大学现代远程教育学院版权所有京ICP备05065315号Copyright©2000-2006 All right reser ved.在线作业自动判卷题目类型分值正确答案你的答案批改单选题10.0 3 3 √下面二次型中正定的是单选题10.0 2 2 √单选题10.0 3 3 √单选题10.0 2 2 √单选题10.0 1 1 √判断题10.0正确正确√特征多项式相同的矩阵相似. 判断题10.0错误错误√填空题10.0将A的第1列的1/a倍加到第2列将A的第1列的1/a倍加到第2列√填空题10.0C'ACC'AC√填空题10.0把A的第2列乘以3加到第3列上把A的第2列乘以3加到第3列上√值:100.0 得分:100.0 正确的题数：10 题目总数：10 正确率:100.0%北京理工大学现代远程教育学院版权所有京ICP备05065315号Copyright©2000-2006 All right reser ved.在线作业自动判卷题目下列各项中，（）为某4阶行列式中带正号的项本次作业总分值:100.0 得分:100.0 正确的题数：10 题目总数：10 正确率:100.0% 业总分值:100.0 得分:10.0 正确的题数：1 题目总数：10 正确率:10.0%题目类型分值正确答案单选题10.0 2单选题10.0 1单选题10.0 1按定义，5阶行列式有120项，其中带负号的有 _______项. 填空题10.0 60填空题10.0 5填空题10.0 0填空题10.0 9填空题10.0-abcd填空题10.0 -3.word格式.。
2017~2018学年（春）学期《线性代数》课程考试试题解析一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分，请将合适的答案填在每题的空中）1.已知321,,ααα为3维列向量，且三阶行列式,3,,321=ααα则三阶行列式.18,26,2131321=++++ααααααα解析：12313123131231123312312123 |++, 62,|=|, 62,|=|, 6,||, 2,|=|, 6,|=6|, ,|=18.αααααααααααααααααααααααααα+++++++注释本题知识点：此题主要考察行列式的如下性质：111111111(1) |, ,,,,,|=|, ,,,k ,,|;(2) |, ,,,|=|, ,,,|+|, ,,,|;(3) |, ,,,|=k|, ,,,|;(4) |, ,,,,,|=-|, ,,,,,|.i j n i i j n i j n i n j n i n i n i j n j i n k ααααααααααααααααααααααααααααααααα++ 2.设向量组()()()TTTa 1,,1,1,5,3,1,1,3,2,0,1321-===ααα线性相关，则.1=a 解析：若向量组123,,ααα线性相关，则齐次线性方程组1122330x x x ααα++=有非零解.因此，123(,,) 3.R ααα<123111011(,,)001000r a ααα⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ ，当1a =时，123(,,)2 3.R ααα=<注释：本题知识点：此题主要考察向量组的线性相关性的概念及齐次线性方程组存在非0解的条件.通常需借助线性方程组的理论来研究向量组的线性相关性，当齐次线性方程组系数矩阵的秩比未知量个数小时，齐次线性方程组有非0解，系数矩阵所对应的列向量组线性相关.3.若二次型()31212322213214456,,x x x x tx x x x x x f +-++=为正定二次型，那么t 的取值范围是1310>t .解析：二次型123(,,)f x x x 的矩阵为62225020t -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.若为正定二次型，则其矩阵为正定矩阵.故62225020t -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭的各阶顺序主子式均大于0.由6222552620025t t--=->得1013t >.注释本题知识点：矩阵为正定矩阵当且仅当其各阶顺序主子式均为正.4.设123,,ηηη是4元非齐次线性方程组=Ax b 的3个解向量，矩阵A 的秩为3，若T T )0,1,1,0(32,)4,3,2,1(321-=-=ηηη，则方程组=Ax b 的通解为ℜ∈+k k T )4,2,3,1(1η．解析：若()3R A =，则4元齐次方程0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的向量.由于123,,ηηη是b Ax =的解，123(23)0A ηηη+-=，故bAx =通解为1231(23)(1,32,23,44)T k k k k k ηηηη+-+=++++.注释本题知识点：此题主要考察非齐次线性方程组的结构，Ax b =通解为R ()1n A i ii x k ηη-*==+∑，其中，η*为Ax b=的特解，R(A)1n i ii k η-=∑为齐次方程Ax =的通解.5.设2阶矩阵A 有两个不同的特征值，21,αα是A 的线性无关的特征向量，且满足21212()+=+A αααα，则A 相似于对角阵.10011001⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-或解析：由21212()()0,0-+=+≠E A αααα知1是2A 的特征值.设12,λλ是A 两个不同的特征值，则2212,λλ均是2A 的特征值.假设2212λλ≠，则+αβ不可能是特征向量.故2212==1λλ，12,λλ为1，-1.A 相似于diag(1,-1).设21,αα对应的特征值为12,λλ，由21212()A αααα+=+得221122(1)(1)0.-+-=λαλα又12,αα线性无关，则221210,10.-=-=λλ由于12,λλ不同，则A 相似于对角阵.10011001⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-或注释本题知识点：（1）若λ为A 的特征值，则多项式()f λ为()f A 的特征值；（2）不同的特征值对应的特征值向量线性无关，不同特征值的特征向量相加不是特征向量；（3）同一特征值对应的特征值向量构成一个特征子空间；（4）若A 有n 个不同的特征值12,,,n λλλ ，则A 相似于12diag(,,,).n λλλ 二、选择题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）1.三阶行列式,0798031042=+-+--x x x 则x 的可能取值为【C】()()()().7,1,1D .2,7,1C .2,1,1B .2,7,1A -----解析：把行列式按最后一列进行展开得(x+7)(x+2)(x-1)=0，故x=-7,-2,1.注释：此题主要考察行列式的计算，如果行列式的某一行或某一列含有较多的0，我们通常把行列式按改行或该列展开进行计算.2.设A 为3阶方阵，交换A 的第1行与第2行得到矩阵B ，再把B 的第3列的2倍加到第1列得单位矩阵，记,1000010101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=P ,1020100012⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=P 则=A 【D 】()()()().D .C .B .A 121111121221----P P P P P P P P 解析：利用初等矩阵的性质得12P AP E =，故1112.A P P --=注释本题知识点：对一个矩阵做初等行变换相当于左乘一个相应的初等矩阵，做初等列变换相当于右乘一个相应的初等矩阵.3.若二次型32232132122),,(x x ax x x x x f ++=经正交变换Py x =可化成标准形232221y by y -+，则【B 】()()()().2,0D .2,1C .2,0B .2,1A -==-======b a b a b a b a 解析：二次型的矩阵为20000101A a ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，经正交变换后其标准型的矩阵为(1,,1)B diag b =-，则A相似于B.由,||||trA trB A B ==得2, 2.a b b +==故0, 2.a b ==注释本题知识点：此题主要考察相似矩阵的性质，若A 相似于B ，则,||||.trA trB A B ==4.线性方程组b Ax =的系数矩阵A 是43⨯的矩阵，且A 的行向量组线性无关，则下列命题错误的是【C】()0A =x A T 只有零解.()0B =Ax A T 必有无穷多解.()C 对任意b x A b T=,总有唯一解.()D 对任意b Ax b =,总有无穷多解.解析：由A 的行向量组线性无关知T ()()=3R A R A =，因TA 为43⨯矩阵，对于（A）()()3TR A R A ==，故0=x A T 只有零解;对于（B）因T AA 为44⨯矩阵，()()34T A A R A ==<，故0=Ax A T 必有无穷多解；对于（C）T A 为43⨯矩阵，当()3(,)4TT R A R A b =<=时，b x A T=无解；对于（D）对任意的b ，()(,)34R A R A b ==<，b Ax =总有无穷多解.注释本题知识点：（1）对于n 元齐次线性方程组0Ax =，当()R A n =时，有唯一解；当()R A n <时，有无穷多解.（2）对于n元非齐次线性方程组Ax b=，当()(,)R A R A b <时，无解；当()(,)R A R A b n ==时，有唯一解；当()(,)R A R A b n =<时，有无穷多解.（3）对任意的矩阵A ，()()T R A R A A =.5.设P 为三阶非零矩阵，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=96342321t Q ，且满足O PQ =，则关于矩阵P 的秩，下列说法正确的是【C 】(A)6=t 时，P 的秩必为1.(B)6=t 时，P 的秩必为2.(C)6≠t 时，P 的秩必为1.(D)6≠t 时，P 的秩必为2．解析：由P 为3阶非零矩阵，PQO =知()1,()()3R P R P R Q ≥+≤.当6t =时，()1,1()2R Q R P =≤≤；当6t ≠时，()2,() 1.R Q R P ==注释本题知识点：若A 为m n ⨯矩阵，B 为n s ⨯矩阵，则()()()R A R B n R AB +≤+.三、（本题满分14分）计算下列各题解析：1.计算1n +阶行列式∑=----=+++ni ii i nn r a b r r a b r r a b r nn n a c b a c a c a c a a b b b c a ca c a nnnn n n 10221102122110000000000000122211111解：.1021⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∑=ni i i i n a c b a a a a 2.设行列式,1253422266254233335554321--求.353433M M M ++353433353433A A A M M M +-=++解：1253422266111003335554321---=.01253400066111000005554321343223=-=--r r r r 注释本题知识点：计算行列式时通常需利用行列式的性质化上、下三角行列式进行计算或是把行列式按某一行、某一列进行展开.若()i j n n A a ⨯⨯=，则1||nij ijj A a A ==∑.改变行列式的某一行时并不会影响该行的代数余子式，故计算1nijijj b A =∑时，只需用12,,,i i in b bb 去替换||A 的第i 行即可.四、（本题满分12分）设,321011330⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A 且,2B A AB +=求.B 解析：()AB E A B A AB =-⇒+=22因为,021210113322≠=---=-E A 所以E A 2-可逆且(),2/12/12/12/32/12/12/32/32/121⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=--E A 故().0113213303210113302/12/12/12/32/12/12/32/32/121⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=-A E A B 注释本题知识点：若A 可逆，对分块矩阵(,)A E 做初等行变换化为1(,)E A -，即可得到A 的逆.五、（本题满分12分）讨论当q p ,满足什么条件时,线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=-++-=+--=+--.143,105,1263,0324321432143214321x px x x q x x x x x x x x x x x x 无解?有惟一解?有无穷多解?在有无穷多解时,求出通解.解析：设该线性方程组的增广矩阵为B ,,7312020021212102127001~1413110511263103211⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=q q p p q B r 当22≠=q p 且时，()(),43=<=B R A R 该线性方程组无解；当2≠p 时，()(),4==B R A R 该线性方程组有惟一解；当22==q p 且时，()(),43<==B R A R 该线性方程组有无穷多解.此时,,0000071100073021000001~⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛r B 得与原线性方程组同解的方程组为,,71732,04321⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+=x x x x 为自由未知数取3x ，令k x =3,得该线性方程组的通解为:.,71073001204321取任意常数其中k k x x x x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛注释本题知识点：讨论线性方程组解的存在情况时，通常要先对方程组的增广矩阵做初等行变换化行最简型矩阵，然后利用系数矩阵及增广矩阵的秩与未知量个数的关系进行判断，参看二（4）的注释.六、（本题满分12分）已知二次型()323121232232184234,,x x x x x ax x x x x x f +-+-=的一个特征值为1，1.求a 的值；2.求正交变换将此二次型化成标准形，并写出标准形.解析：1.该二次型的矩阵为.3424420⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=a a A 因该二次型的一个特征值为1，所以有().202444243212=⇒=-=----=-a a a a E A 2.该二次型的矩阵为.342442220⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=A ()()(),66134244222+---=------=-λλλλλλλE A A 的特征值为.6,6,1321-===λλλ当11=λ时,()0=-x E A 的基础解系为:,1021⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=ξ单位化;5/105/21⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=p 当62=λ时,()06=-x E A 的基础解系为:,2512⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ξ单位化得;30/230/530/12⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=p 当63-=λ时,()06=+x E A 的基础解系为:,2113⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ξ单位化得;6/26/16/13⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=p -令,6/230/25/16/130/506/130/15/2⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=P 则P 为正交矩阵,正交变换Py x =,将此二次型化为标准形.66232221y y y f -+=注释本题知识点：（1）实对称矩的特征值均为实数且不同的特征值对应的特征向量是正交的；（2）实对称矩阵可正交相似于对角矩阵，其特征向量可构成一组标准正交基.七、（本题满分8分）设γβα,,均为n 维向量，且向量组γαβγαβ---,2,3线性无关，证明：向量组γβα,,线性无关.解析：证法一设()1,0321=++γβαk k k 令,,2,3321γαβγαβ-=-=-=a a a 则解得()()(),351,2251,6351321321321a a a a a a a a a ++==++=++=γβα代入()1式得()()(),026332332123211321=++++++++a k k k a k k k a k k k 由于γαβγαβ-=-=-=321,2,3a a a 线性无关，所以有⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,026,033,02321321321k k k k k k k k k 解得,0321===k k k 故向量组γβα,,线性无关.证法二向量组γαβγαβ---,2,3与向量组γβα,,的关系可合写为()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=---120013101,,,2,3γβαγαβγαβ记作.AK B =,0512013101≠=---=K()().A RB R =∴而向量组γαβγαβ---,2,3线性无关，所以().3=B R 从而().3=A R 故向量组γβα,,线性无关.注释本题知识点：向量组12,,,n ααα 线性无关，当且仅当10niii k α==∑时，120n k k k ==== .此题也可用向量组秩的性质证明，因向量组γαβγαβ---,2,3线性无关，且可用γβα,,线性表示，故3(3,2,)(,,)3R R βαγβαγαβγ=---≤≤，则(,,)3R αβγ=，向量组,,αβγ线性无关.八（本题满分12分）设A 为n 阶实方阵，且满足O E A A =+-232，1.求A 的特征值；2.证明()()n E A R E A R =-+-2；3.问A 是否可以和对角阵相似？请说明理由.解析：1.设λ为A 的特征值，A 对应于特征值λ的特征向量为x ，即,0,≠=x x Ax λ又由于A 满足O E A A =+-232，所以有()(),0,0232322≠=+-=+-x x x E A A λλ从而.210232==⇒=+-λλλλ或故A 的特征值只可能为.21或2．一方面，()()O E A E A E A A =--=+-2232()(),2n E A R E A R ≤-+-∴另一方面，()()()()()(),222n E R A E E A R A E R E A R E A R E A R ==-+-≥-+-=-+-综上所述，有()().2n E A R E A R =-+-3．（1）当A 的特征值都是2时，E A -可逆，由O E A A =+-232得，E A 2=则A 可以和对角阵相似；----10分（2）当A 的特征值都是1时，E A 2-可逆，由O E A A =+-232得E A =，则A可以和对角阵相似；（3）当21和均为A 的特征值时，E A -不可逆且E A 2-不可逆，()0=-x E A 的基础解系所含向量个数为()E A R n l --=1，()02=-x E A 的基础解系所含向量个数为()E A R n l 22--=，由2知()()n E A R E A R =-+-2，从而有,221n n n l l =-=+故n 阶方阵A 有n 个线性无关的特征向量，从而A 可以和对角阵相似.注释本题知识点：(1)若λ为A 的特征值，则多项式()f λ为()f A 的特征值；(2)若,A B 为n 阶方阵，则()()()R A R B n R AB +≤+,()()()R A B R A R B +≤+.(3)若n 阶方阵有n 个线性无关的特征向量，则其可相似于对角矩阵.。
1.(单选题) 计算？A．;B．;C．;D．.答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A2.(单选题) 行列式？A．3;B．4;C．5;D．6.答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B3.(单选题) 计算行列式. A．12；B．18；C．24；D．26.答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：4.(单选题) 利用行列式定义计算n阶行列式：=?A．;B．;C．;D．.答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：5.(单选题) 计算行列式展开式中，的系数。
A．1, 4;B．1，-4;C．-1，4;D．-1，-4.答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：6.(单选题) 计算行列式=？A．-8;B．-7;C．-6;D．-5.答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：7.(单选题) 计算行列式=？A．130 ;B．140;A. B. D.参考答案：D8.(单选题) 四阶行列式的值等于多少？A．；B．；C．；D．.答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：9.(单选题) 行列式=？A．；B．；C．；D．.答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：10.(单选题) 已知，则？A．6m；B．-6m；C．12m；D．-12m.答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：11.(单选题) 设＝，则?A．15|A|;B．16|A|;C．17|A|;D．18|A|.答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：12.(单选题) 设矩阵，求=？A．-1;B．0;C．1;A. B. C. D.参考答案：B13.(单选题) 计算行列式=?A．-1500;B．0;C．-1800;D．-1200.答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：14.(单选题) 齐次线性方程组有非零解，则=？A．-1;B．0;C．1;D．2.答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：15.(单选题) 齐次线性方程组有非零解的条件是=？A．１或－３;A. C.参考答案：A16.(单选题) 如果非线性方程组系数行列式，那么，下列正确的结论是哪个？A．无解;B．唯一解;C．一个零解和一个非零解;D．无穷多个解.答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：17.(单选题) 如果齐次线性方程组的系数行列式，那么，下列正确的结论是哪个？A．只有零解;B．只有非零解;C．既有零解，也有非零解;D．有无穷多个解.答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：18.(单选题) 齐次线性方程组总有___解；当它所含方程的个数小于未知量的个数时，它一定有___解。
南京信息工程大学试卷答案及评分标准2018 －2019学年 第 2 学期 线性代数 课程试卷( B 卷)一、填空题 (每小题3分，共15分)1. 设A 是n 阶方阵，且0A =≠a ，*A 是A 的伴随矩阵，则*A = . 答案：1-n a .2. 20192018010123001100456010001789100⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.答案：456123789⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.3.设101112011A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，123αα,,α为线性无关的3维列向量组，则向量组123A αA αA ,,α的秩为 . 答案：2.4. 设矩阵10000101a A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与矩阵100010001Λ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭相似，则a = .答案：0.5. 设二次型1234()f x x x x ,,,的秩为3，负惯性指数为1，则1234()f x x x x ,,,的规范形为 . 答案：222123+-y y y .二、选择题 (每小题3分，共15分)1. 设A ,B 是四阶矩阵，且有4A =，1B =，234α,,,,βγγγ均为4维向量，()234A α=,,,γγγ，()234B =,,,βγγγ，则A B +=( C ).(A) 5； (B) 10； (C) 40； (D) 20. 2. 设A 是46⨯矩阵，则齐次线性方程组Ax =0( C ).(A) 无解； (B) 只有零解； (C) 有非零解； (D) 不一定有非零解.3. 设向量组123αα,,,αβ线性相关，向量组234αα,,,αβ线性无关，则( B ). (A) β能由向量组1234αα,,,αα线性表示； (B) 1α能由向量组123αα,,,αβ线性表示； (C) 向量组1234αα,,,αα线性相关； (D) 向量组1234αα,,,αα线性无关. 4. 设A 为3阶矩阵，()123P αα=,,α为可逆矩阵，使得1012P AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则()123A αα++=α( B ).(A) 12αα+; (B) 232α+α; (C) 23α+α; (D) 122αα+. 5. n 阶实对称矩阵A 正定的充要条件是( D ).(A) R()A =n ; (B) A 所有特征值非负; (C) A 的主对角线元素都大于零; (D) 1A -正定.三、计算题 (每小题6分，共18分)1. 设1235342111231211-=-D ，A ij 是D 中元素ij a 的代数余子式，求21222324A A A A +++.解：212223241235111111231211A A A A -+++=- ……………………3分11111111123503240112302121211100--=-=-=--. ………………6分2. 设120340121A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，231240B -⎛⎫= ⎪-⎝⎭,求(1)TAB ; (2)4A .解：(1)T 120228634034181012110310AB -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ……………………3分(2)12046464340128121A A ===--. ……………………6分3. 设3阶矩阵A 满足2A A E +=，求1A -和()13A E -+.解：矩阵A 满足2A A E +=可得()A A E E +=，故1A A E -=+.………2分矩阵A 满足2A A E +=可得265A A E E +-=-， ………4分分解因式可得：()()325A E A E E +-=-，即()235E A A E E -⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故()1235E AA E --+=. ……………………6分 四、求向量组12342111112146223697αααα--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，的秩及一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示. (本题满分10分)解：令()123421111121112121114622231136973697A αααα---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪ ⎪==→ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,,, 112111211121022201110111055300020001033400010000---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪---⎪ ⎪ ⎪→→→ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭1010011000010000-⎛⎫⎪- ⎪→ ⎪⎪⎝⎭， ……………………6分则向量组1234αααα,,,的秩为3，124ααα,,为该向量组的一个极大无关组， 且312ααα=--. ……………………10分五、设()T 1111,,,是线性方程组123412341234223240+-+=⎧⎪++-=⎨⎪-++=⎩x x x x x x x x x ax x x 的一个解向量，求该线性方程组的通解. (本题满分10分)解：将12341====x x x x 代入方程组可得3=a ， ……………………2分 对增广矩阵作初等行变换()111121111211112213240154001540131100420200981A b ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭51410010432994545010010999981810010019999⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-⎪⎪ ⎪⎪→-→-⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭⎝⎭……………………8分 故齐次线性方程组的基础解系为T5481999ξ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,,,，所以该线性方程组的通解为()TT 54811111999x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭k ,,,,,,.……………10分六、已知三阶实对称矩阵A 的三个特征值为12302λλλ===,，且对应于特征值0的特征向量为()T1101α=-,,，求矩阵A .(本题满分10分) 解：设对应于特征值2为的特征向量为()T123x =x x x ,,，因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量是正交的，故[]10x α=,.即130-=x x ，则其基础解系为()T 2101α=,,，()T3010α=,,. ………………4分 令()123110001110P ααα⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭,,，求得11102211022010P -⎛⎫-⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭，………………8分则1022P AP Λ-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭， 进而11102211001011100120020221102101010A P ΛP -⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭.………10分 七、已知二次型21232121323(,,)=3282-+-f x x x x x x x x x x ，(1) 用正交变换x Qy =将此二次型化成标准形，并求出正交矩阵Q ； (2) 说明123(,,)=1f x x x 在几何上表示什么图形. (本题满分12分)解：(1)该二次型的矩阵为014131410A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，则()()()14131425041A E λλλλλλλ---=---=-+--=--， 故特征值为123425λλλ=-==,,， ………………………4分当14λ=-时，有4141014171010414000A E -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，对应于14λ=-的一个特征向量为1101p -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.当22λ=时，有2141012111012412000A E ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，对应于22λ=的一个特征向量为2121p ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.当35λ=时，有2141015111011412000A E ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，对应于35λ=的一个特征向量为3111p ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭. ………………………7分由于123p p p ,,两两正交，故只需对它们单位化.令111101p e p -⎛⎫⎪==⎪⎪⎭，222121p e p ⎛⎫⎪==⎪⎪⎭，333111p e p ⎛⎫⎪==-⎪⎪⎭，则正交矩阵0Q ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 且在正交变换x Qy =下，二次型可化成标准形222123123(,,)=425-++f y y y y y y . ………………………10分(2) 222123=425=1-++f y y y 表示单叶双曲面. ………………………12分 八、设向量组123ααα,,线性无关，且1123βααα=--,2123βααα=+-,3123βααα=-+.试证明向量组123βββ,,线性无关.(本题满分10分) 解：假设存在数123,,k k k 使得1122330βββ++=k k k ，则有 ()()()1231123212330ααα+++-+-+--+=k k k k k k k k k , ……………4分 因为向量组123ααα,,线性无关，所以123123123 000++=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩k k k k k k k k k ，解得: 1230===k k k , ……………8分因此向量组123βββ,,线性无关. ……………10分 注：有的题目有多种解法，以上解答和评分仅供参考。
