2020-2021学年高三年级第一学期第一次五校联考五校联考数学试题

绝密★启用前浙江省五校联考联盟(杭州高中 杭州二中 学军中学 绍兴一中 效实中学) 2022届高三毕业班上学期第一次联考质量检测数学试题2021年10月考生须知：1.本卷满分150分,考试时间120分钟；2.答题前,在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；3.所有答案必须写在答题卷上,写在试卷上无效；4.考试结束后,只需上交答题卷。

参考公式：若事件A,B 互斥,则P(A ＋B)＝P(A)＋P(B)若事件A,B 相互独立,则P(AB)＝P(A)P(B)若事件A 在一次试验中发生的概率是p,则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率P n (k)＝C n k p k (1－p)n －k (k ＝0,1,2,…,n)台体的体积公式：V ＝13(S 1＋S 2)h 其中S 1、S 2分别表示台体的上、下底面积,h 表示台体的高柱体的体积公式：V ＝Sh其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高锥体的体积公式：V ＝13Sh 其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高球的表面积公式：S ＝4πR 2球的体积公式：V ＝43πR 3 共中R 表示球的半径第I 卷(选择题部分,共40分)一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ＝{x|0<x<2},B ＝{x|x 2＋4x －5>0},则AI(∁R B)等于A.{x|0<x ≤1}B.{x|1≤x<2}C.{x|0<x<2}D.{x|－1≤x<2}2.已知点(1,1)在直线x ＋2y ＋b ＝0的下方,则实数b 的取值范围为A.b>－3B.b<－3C.－3<b<0D.b>0或b<－33.若a>b>0,m<0。

则下列不等式成立的是A.am 2<bm 2B.m b a ->1C.a m a b m b -<-D.22a m b m a b --> 4.已知sin(4π＋α)＝13,则cos(2π－2α)＝ A.－79 B.79C.－429D.429 5.函数f(x)＝(1－x21e +)cosx(其中e 为自然对数的底数)的图象大致形状是6.有10台不同的电视机,其中甲型3台,乙型3台,丙型4台。

2024届高三联合模拟考试一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}{}22log 2,2x A xy x B y y -==-==∣∣，则A B ⋂=（）A.()0,2 B.[]0,2C.()0,∞+D.(],2∞-2.已知复数iz 1i =-，则z 的虚部为（）A.12-B.1i 2-C.12D.1i23.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为1,2,4,5,6,x ，则这6个点数的中位数为4的概率为（）A.16 B.13C.12D.234.刍薨是《九章算术》中出现的一种几何体，如图所示，其底面ABCD 为矩形，顶棱PQ 和底面平行，书中描述了刍薨的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即()126V AB PQ BC h =+⋅（其中h 是刍薨的高，即顶棱PQ 到底面ABCD 的距离），已知28,AB BC PAD == 和QBC 均为等边三角形，若二面角P AD B --和Q BC A --的大小均为120︒，则该刍薨的体积为（）A. B.D.48+5.中国空间站的主体结构包括天和核心舱､问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁4名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人.若甲､乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（）种A.8B.10C.16D.206.已知πcos sin 64αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则5πsin 6α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是（）A.34-B.14-C.14D.347.已知点F 为地物线2:4C y x =的焦点，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，则2AF BF +的最小值为（）A. B.4C.3+D.68.已的1113sin ,cos ,ln 3332a b c ===，则（）A.c a b <<B.c b a<<C.b c a<< D.b a c<<二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知数列{}n a 满足*1121,,N 1n n a na n a n +==∈+，则下列结论成立的有（）A.42a =B.数列{}n na 是等比数列C.数列{}n a 为递增数列D.数列{}6n a -的前n 项和n S 的最小值为6S 10.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,M 为空间中动点，N 为CD 中点，则下列结论中正确的是（）A.若M 为线段AN 上的动点，则1D M 与11B C 所成为的范围为ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.若M 为侧面11ADD A 上的动点，且满足MN ∥平面1AD C ，则点M的轨迹的长度为C.若M 为侧面11DCC D 上的动点，且2213MB =，则点M 的轨迹的长度为23π9D.若M 为侧面11ADD A 上的动点，则存在点M满足MB MN +=11.已知()()()()1ln ,e 1xf x x xg x x =+=+（其中e 2.71828= 为自然对数的底数），则下列结论正确的是（）A.()f x '为函数()f x 的导函数，则方程()()2560f x f x ⎡⎤-'+=⎣⎦'有3个不等的实数解B.()()()0,,x f x g x ∞∃∈+=C.若对任意0x >，不等式()()2ln e x g a x g x x -+≤-恒成立，则实数a 的最大值为-1D.若()()12(0)f x g x t t ==>，则()21ln 21t x x +的最大值为1e三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的常数项为__________.13.已知向量a ，b 为单位向量，且12a b ⋅=- ，向量c 与3a b +共线，则||b c + 的最小值为__________.14.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,,F F P 为C 右支上一点，21122π,3PF F PF F ∠=的内切圆圆心为M ，直线PM 交x 轴于点,3N PM MN =，则双曲线的离心率为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题13分）为了更好地推广冰雪体育运动项目，某中学要求每位同学必须在高中三年的每个冬季学期选修滑冰､滑雪､冰壶三类体育课程之一，且不可连续选修同一类课程若某生在选修滑冰后，下一次选修滑雪的概率为13：在选修滑雪后，下一次选修冰壶的概率为34，在选修冰壶后，下一次选修滑冰的概率为25.（1）若某生在高一冬季学期选修了滑雪，求他在高三冬季学期选修滑冰的概率：（2）苦某生在高一冬季学期选修了滑冰，设该生在高中三个冬季学期中选修滑冰课程的次数为随机变量X ，求X 的分布列及期望，16.（本小题15分）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1,cos cos 2cos 0a C c A b B =+-=.（1）求B ；（2）若2AC CD =，且BD =，求c .17.（本小题15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为2的正方形，且PB =，点,O Q 分别为棱,CD PB 的中点，且DQ ⊥平面PBC .（1）证明：OQ ∥平面PAD ；（2）求二面角P AD Q --的大小.18.（本小题17分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两焦点()()121,0,1,0F F -，且椭圆C 过32P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设椭圆C 的左､右顶点分别为,A B ，直线l 交椭圆C 于,M N 两点（,M N 与,A B 均不重合），记直线AM的斜率为1k ，直线BN 的斜率为2k ，且1220k k -=，设AMN ，BMN 的面积分别为12,S S ，求12S S -的取值范围19.（本小题17分）已知()2e2e xx f x a x =-（其中e 2.71828= 为自然对数的底数）.（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程，（2）当12a =时，判断()f x 是否存在极值，并说明理由；（3）()1R,0x f x a∀∈+≤，求实数a 的取值范围.五校联合考试数学答案一､单选题1-8ACADB BCD二､多选题9.ABD10.BC11.AC三､填空题12.6013.1414.75四､解答题15.解：（1）若高一选修滑雪，设高三冬季学期选修滑冰为随机事件A ，则()3234510P A =⨯=.（2）随机变量X 的可能取值为1，2.()()323113221171,2.534320534320P X P X ==⨯+⨯===⨯+⨯=所以X 的分布列为：X 12P1320720()137272.202020E X =+⨯=16.解：（1）1,cos cos 2cos cos cos 2cos 0a C c A b B a C c A b B =∴+-=+-= .()sin cos sin cos 2sin cos sin 2sin cos 0.A C C AB B AC B B ∴+-=+-=又()1ππ,sin sin 0,cos 23A B C A C B B B ++=∴+=≠∴=∴= .（2）2AC CD =，设CD x =，则2AC x =，在ABC 中2222141cos ,1422c x B c x c c +-==∴+-=.在ABC 与BCD 中，22222142cos ,cos ,63042x c x BCA BCD x c x x ∠∠+--==∴--=.2321321330,022c c c c c ±∴--=∴=>∴=.17.解：（1）取PA 中点G ，连接,GQ GD ∴点Q 为PB 中点，GQ ∴∥1,2AB GQ AB =. 底面是边长为2的正方形，O 为CD 中点，DO ∴∥1,2AB DO AB =.GQ ∴∥,OD GQ OD =∴四边形GQOD 是平行四边形.OQ ∴∥DG .OQ ⊄ 平面,PAD GD ⊂平面,PAD OQ ∴∥平面PAD .（2）DQ ⊥ 平面,PBC BC ⊂平面PBC DQ BC ∴⊥.又 底面是边长为2的正方形，,,DC BC DQ DC D BC ∴⊥⋂=∴⊥ 平面DCQ .OQ ⊂ 平面,DCQ BC OQ ∴⊥.又CQ ⊂ 平面,DCQ BC CQ ∴⊥.2,PB QB BC QC =∴==∴=底面是边长为2的正方形，DB DQ DQ CQ ∴=∴==，O 为CD 中点，OQ DC ∴⊥.又,,BC OQ DC BC C OQ ⊥⋂=∴⊥ 平面ABCD .取AB 中点E ，以,,OE OC OQ 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()()()()()()0,0,0,0,0,1,2,1,0,2,1,0,0,1,0,2,1,2O Q A B D P ----所以()()()4,0,2,2,0,0,2,1,1AP AD AQ =-=-=-，设平面PAD 法向量为(),,m x y z =，则()4200,1,020m AP x z m m AD x ⎧⋅=-+=⎪∴=⎨⋅=-=⎪⎩设平面QAD 法向量为(),,n x y z =，则()200,1,120n AQ x y z n n AD x ⎧⋅=-++=⎪∴=-⎨⋅=-=⎪⎩2cos ,2m n m n m n⋅>==⋅又 二面角P AD Q --范围为()0,π，所以二面角P AD Q --的大小为π4.18.解：（1）由题意可得：2222213314c a b c ab ⎧⎪=⎪-=⎨⎪⎪+=⎩，解得2,31a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆的方程为：22143x y +=；（2）依题意，()()2,0,2,0A B -，设()()1122,,,M x y N x y ，直线BM 斜率为BM k .若直线MN 的斜率为0，则点,M N 关于y 轴对称，必有120k k +=，不合题意.所以直线MN 的斜率必不为0，设其方程为()2x ty m m =+≠±，与椭圆C 的方程联立223412,,x y x ty m ⎧+=⎨=+⎩得()2223463120t y tmy m +++-=，所以()22Δ48340t m=+->，且12221226,34312.34tm y y t m y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩因为()11,M x y 是椭圆上一点，满足2211143x y +=，所以2121111221111314322444BM x y y y k k x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅=⋅===-+---，则12324BM k k k =-=，即238BM k k -⋅=.因为()()1221222BM y y k k x x ⋅=--()()()()121222121212222(2)y y y y ty m ty m t y y t m y y m ==+-+-+-++-()()()()()22222222223123432334,4(2)42831262(2)3434m m m t m m t m t m m m t t --++====------+-++所以23m =-，此时22432Δ4834483099t t ⎛⎫⎛⎫=+-=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故直线MN 恒过x 轴上一定点2,03D ⎛⎫-⎪⎝⎭.因此()12222122264,343431232.34334tm t y y t t m y y t t ⎧+=-=⎪++⎪⎨-⎪==-++⎪⎩，所以12S S -=12121212222323y y y y ⎛⎫⎛⎫-------- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.1223y y =-====令122110,,344x S S t ⎛⎤=∈-= ⎥+⎝⎦当211344t =+即0t =时，12S S -取得最大值869.12860,9S S ⎛∴-= ⎝⎦19.解：（1）当0a =时，()()()2,21xxf x xe f x x e =-=+'-.()14.f e =-∴' 曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()41242.y e x e ex e =---=-+（2）当12a =时，()2122x xf x e xe =-，定义域为(),∞∞-+()()()22122,x x x x f x e x e e e x '=-+=--令()e 22xF x x =--，则()2xF x e '=-，当()(),ln2,0x F x ∞∈-'<；当()()ln2,,0x F x ∞∈+'>；所以()F x 在(),ln2∞-递减，在()ln2,∞+上递增，()min ()ln222ln222ln20F x F ==--=-<()()2110,260F F e e-=>=->存在()11,ln2x ∈-使得()10F x =，存在()2ln2,2x ∈使得()20F x =，()1,x x ∞∈-时，()()()0,0,F x f x f x >'>单调递增；()12,x x x ∈时，()()()0,0,F x f x f x <'<单调递减；()1,x x ∞∈+时，()()()0,0,F x f x f x >'>单调递增；所以12a =时，()f x 有一个极大值，一个极小值.（3）()()()222121x x x xf x ae x e e ae x '=-+=--，由()()21111,0,00a x f x f a a a a a+∀∈+≤+=+=≤R ，得0a <，令()e 1xg x a x =--，则()g x 在R 上递减，0x <时，()()()e 0,1,e ,0,e 11x x xa a g x a x a x ∈∈∴=-->--，则()()1110g a a a ∴->---=又()110g ae--=< ，()01,1x a ∃∈--使得()00g x =，即()000e 10x g x a x =--=且当()0,x x ∞∈-时，()0g x >即()0f x '>；当()00,x x ∞∈+时，()0g x <即()0f x '<，()f x ∴在()0,x ∞-递增，在()0,x ∞+递减，()002max 00()2x x f x f x ae x e ∴==-，由()000001e 10,e xx x g x a x a +=--==，由max1()0f x a+≤得()000000e 1e 201x x x x x e x +-+≤+即()()00011101x x x -++≤+，由010x +<得20011,1x x -≤≤<-，001,e x x a +=∴ 设()1(1)e x x h x x +=≤<-，则()0xxh x e-=>'，可知()h x在)⎡⎣上递增，()((()()110h x h h x h ≥==<-=实数a的取值范围是()1⎡⎣.。

2021-2022学年安徽省合肥市五校联考高一上学期期末数学试题一、单选题1．集合{}1,2,3A =，集合{}0,1,2B =，则A B =（ ）A ．{}2B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．∅ 【答案】B【分析】根据交集的知识求得正确答案.【详解】依题意，A B ={}1,2.故选：B2．cos420︒=（ ）A B ． C ．12 D ．12- 【答案】C【分析】根据诱导公式()cos 360cos ,k k αα+⋅︒=∈Z 化简即可. 【详解】1cos 420cos(36060)cos60.2︒︒︒︒=+== 故选：C3．命题p ：x ∃∈R ，20x +≤，则命题p 的否定是（ ）A ．x ∃∈R ，20x +>B ．x ∀∈R ，20x +≤C ．x ∃∈R ，20x +≥D ．x ∀∈R ，20x +> 【答案】D【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】因为命题p ：x ∃∈R ，20x +≤是存在量词命题，所以其否定是全称量词命题，即x ∀∈R ，20x +>，故选：D4．函数()lg(21)f x x =-的定义域为（ ）A ．1(0,)2B ．(]0,1C ．1(,)2-∞D ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【分析】根据二次根式的性质，结合对数型函数的定义域进行求解即可.【详解】要使函数有意义，需满足10210x x -≥⎧⎨->⎩， 解得112x <≤， 故选：D5．下列函数在定义域上是增函数的是（ ）A ．sin y x =B ．ln y x =C ．1()2x y =D ．2y x【答案】B【分析】根据基本函数的性质即可判断.【详解】函数sin y x = 在R 上既有单调增区间又有减区间，A 不符合题意； 函数ln y x =在定义域()0+∞，上为增函数，B 符合题意； 函数1()2x y =是在R 上单调递减的指数函数，C 不符合题意； 函数2y x 的定义域为R ，在()0-∞，是减函数，在()0+∞，是增函数，故D 不符合题意. 故选：B6．“1x =”是“220x x +-=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】解方程可求得220x x +-=的解，根据充分必要条件定义可得结论.【详解】由220x x +-=得：2x =-或1x =，“1x =”是“220x x +-=”的充分不必要条件.故选：A.7．若0.5a e =，ln 2b =，2log 0.2c =，则有（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >> 【答案】A【解析】利用指数函数和对数函数的单调性比较a 、b 、c 三个数与0、1的大小关系，从而可得出这三个数的大小关系.【详解】指数函数x y e =为增函数，则0.501a e e =>=；对数函数ln y x =为增函数，则ln1ln 2ln e <<，即01b <<；对数函数2log y x =为增函数，则22log 0.2log 10c =<=.因此，a b c >>.故选：A.【点睛】本题考查指数式与对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性得出各数与中间值0、1的大小关系，考查推理能力，属于基础题.8．已知关于x 的不等式220ax bx ++<的解集为(1,2)，则下列结论中正确的是（ ）A ．3,1a b ==B ．1,3a b =-=-C ．1,3a b ==-D ．3,1a b =-=-【答案】C【分析】由题意可知1和2是方程220ax bx ++=的两个根，代入方程求,a b 的值即可.【详解】因为不等式220ax bx ++<的解集为(1,2)，所以1,2x x ==是方程220ax bx ++=的两个根， 将1,2x x ==代入方程220ax bx ++=得204220a b a b ++=⎧⎨++=⎩， 解得13a b =⎧⎨=-⎩， 故选：C二、多选题9．已知函数(),0,0x x f x x x ≤⎧=⎨->⎩，则下列结论中正确的是( ) A ．函数()f x 有且仅有一个零点0B ．(2)2f =C ．()f x 在(),0∞-上单调递增D ．()f x 在(0,)+∞上单调递减【答案】ACD【分析】根据函数零点的定义可判断A ；根据分段函数解析式求出f (2)可判断B ；根据一次函数的单调性可判断CD ． 【详解】由函数(),0,0x x f x x x ⎧=⎨->⎩，可得函数()f x 有且仅有一个零点0，故A 正确； 由于()22f =-，故B 错误；当0x 时，()f x x =，∴()f x 在(),0∞-上单调递增，故C 正确；当0x >时，()f x x =-，∴()f x 在()0,∞+上单调递减，故D 正确．故选：ACD10．已知函数()sin(2),()sin 4f x xg x x π=-=，要得到函数()f x 的图象可由函数()g x 的图象（ ） A ．先将横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移8π个单位长度 B ．先将横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，再向右平移8π个单位长度 C ．先向右平移4π个单位长度，再将横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变 D ．先向右平移8π个单位长度，再将横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变 【答案】BC【分析】根据函数图像缩放平移的规则计算即可.【详解】先将横坐标缩小为原来的12 ，纵坐标不变，得到sin 2y x = ， 再向右平移8π 个单位长度得到函数()sin 2sin 284y f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 的图象，A 错误，B 正确； 先向右平移4π 个单位长度，得到sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ， 再将横坐标缩小为原来的12 ，纵坐标不变，得到函数()sin 24y f x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 的图象，C 正确，D 错误.故选：BC.11．已知函数()1f x x x=+，则下列结论中正确的是（ ） A ．当0x >时，()f x 最小值是2B ．()f x 是奇函数C ．()f x 在()0,1上单调递减D ．()f x 在()1,+∞上单调递增【答案】ABCD 【分析】由基本不等式可判断A ；由奇偶性的定义可判断B ；由单调性的定义可判断CD【详解】当0x >时，由基本不等式()12f x x x =+≥=，当且仅当1x =时，取等号， 所以当0x >时，函数的最小值为2，故A 正确；因为函数的定义域为()(),00,∞-+∞， ()()11f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭，可得()f x 是奇函数，故B 正确；任取()12,0,1x x ∈，且12x x <()()()()121212121212111x x x x f x f x x x x x x x ---=+--=， 因为1201x x <<<，所以1212120,10,0x x x x x x -<-<>，所以()()12121210x x x x x x -->，即()()12f x f x >，所以函数()1f x x x=+在()0,1上为减函数，故C 正确； 同理可得函数()1f x x x =+在 ()1,+∞上为增函数，故D 正确； 故选：ABCD12．已知函数()sin()0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．函数()y f x =的最小正周期为2πB ．函数()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减 C ．函数()y f x =的图象关于直线512x π=-对称 D ．该图象向右平移6π个单位可得2sin 2y x =的图象 【答案】CD 【分析】先根据图象求出()y f x =的解析式，再分别验证A 、B 、C 、D 是否正确.根据图象得到的周期进行判定A ；求得23x π+的取值范围，然后利用正弦函数的单调性结合复合函数单调性法则判定B ；计算512f π⎛-⎫ ⎪⎝⎭，看512x π=-是否经过顶点从而判定是否为对称轴从而判定C ；利用“左加右减”求得平移后的函数解析式即可判断D .【详解】由图象可知：A =2，周期24,2312T T ππππω⎛⎫=-=∴== ⎪⎝⎭； 由=2sin 2212122f ππϕπϕ⎧⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪<⎪⎩，解得：3πϕ=， 故函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 对于A ：T π=，故A 错误；对于B ：当236x ππ-≤≤- 时203x ππ-≤+≤，因为[]0π-，上正弦函数sin y x =先减后增，不单调，所以()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上不单调，故B 错误； 对于C ：当512x π=- 时255s 2121232in f πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎭⎝-⎪⎭+⎝⨯，即直线512x π=-是()y f x =的一条对称轴，故C 正确；对于D ：()y f x =向右平移6π个单位得到2sin 22sin 263y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故D 正确. 故选：CD.三、填空题13．lg5lg 2+=___．【答案】1【分析】根据对数的运算法则计算可得；【详解】解：()lg5lg2lg 52lg101+=⨯==；故答案为：114．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≥时，()()1f x x x =+，则()1f -=______．【答案】2-【分析】求出()1f 的值，利用奇函数的性质可求得()1f -的值.【详解】由题意可得()1122f =⨯=，因为函数()f x 为奇函数，故()()112f f -=-=-.故答案为：2-.15．若角α的终边过点1,2，则tan α=______.【答案】-2【分析】由正切函数定义计算.【详解】根据正切函数定义：2tan 21α==--. 故答案为－2. 【点睛】本题考查三角函数的定义，掌握三角函数定义是解题基础.16．若0x >，0y >，且1x y +=，则11x y+的最小值为________． 【答案】4【分析】应用基本不等式“1”的代换求最小值即可，注意等号成立的条件.【详解】由题设，知：()()22241111y x y x x y x x x y x yy y +=++=++≥+⋅=当且仅当12x y ==时等号成立.故答案为：4.四、解答题17．设全集为R ，{}|A x x a =<，{}2|430.B x x x =-+<(1)当2a =时，求,A B A B ；(2)若B A ⊆，求a 的取值范围.【答案】(1){}12A B x x ⋂=<<，{}3A B x x ⋃=<(2){}|3a a ≥【分析】解一元二次不等式得B 集合，（1）由交运算、并运算可得结果；（2）由集合的包含关系列式可得结果.【详解】（1）2{|430}{|13}B x x x x x =-+<=<< ，当a =2时，{|2}A x x =< ，∴{|12}A B x x =<< ，{|3}A B x x =<；（2）∵B A ⊆ ，{|}A x x a =<，{|13}B x x =<<，如图所示，∴3a ≥故实数a 的范围为[3,)+∞.18．求解下列问题：(1)已知sin αα为第二象限角，求cos α和tan α的值； (2)已知3sin 5α=，5cos()13αβ+=，α，β为锐角，求sin β的值. 【答案】(1)cos α=1tan 2α=- (2)33sin 65β=【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系式求得正确答案.（2）结合同角三角函数的基本关系式、两角差的正弦公式求得正确答案.【详解】（1）由于sin αα为第二象限角，所以cos α=， 所以sin 1tan cos 2ααα==-. （2）由于α，β为锐角，所以0παβ<+<， 由于3sin 5α=，5cos()13αβ+=，所以()412cos ,sin 513ααβ+==， 所以()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+124533313513565=⨯-⨯=. 19．已知函数2,0,()log ,0,ax x f x x x +≤⎧=⎨>⎩且点(2,1)在函数()f x 的图像上.(1)求a ，并在如图直角坐标系中画出函数()f x 的图像；(2)求不等式()1f x <的解集；(3)若方程()0f x m -=有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围．【答案】(1)2a =，图像见解析(2)(,1)(0,2)-∞-(3)(],2-∞【分析】（1）由(2)1f =得出a ，进而画出图像；（2）由对数函数的单调性解不等式得出解集；（3）由函数y m =的图像与函数()y f x =的图像有两个不同的交点，结合图像得出实数m 的取值范围．【详解】（1） 点(2,1)在函数()f x 的图像上，(2)log 21a f ∴==，2a ∴=22,0()log ,0x x f x x x +≤⎧∴=⎨>⎩， 函数()f x 的图像如图所示：（2）不等式()1f x <等价于20log 1x x >⎧⎨<⎩或021x x ≤⎧⎨+<⎩， 解得02x <<或1x <-，∴不等式()1f x <的解集为(,1)(0,2).-∞-⋃（3）方程()0f x m -=有两个不相等的实数根， ∴函数y m =的图像与函数()y f x =的图像有两个不同的交点． 结合图像可得2m ，故实数m 的取值范围为(],2-∞ .20．已知函数π()sin()(0,0)6f x A x A ωω=+>>的最大值为2,函数()f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2. (1)求,A ω的值;(2)若()2f α=,π02α<<,求cos2α的值. 【答案】(1)2A =,2ω= (2)12【分析】(1)根据函数()f x 的最大值为2可得A ;由函数()f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2可得π22T =,结合2πT ω=即可求出结果;(2)根据()2f α=,可得πsin 26α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值,依据π02α<<可求出2α的值,即可求出cos2α的值.【详解】（1）由题意,函数()f x 的最大值为2,可得2A =, 由函数()f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2,可得π22T =,πT ∴=,即2π2Tω==; （2）由(1)知()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,()2f α=,π2sin 226α⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭,即πsin 216α⎛⎫+= ⎪⎝⎭,π02α<<,ππ7π2666α∴<+<, ππ262α∴+=, ∴π23α=, 1cos 22α∴=.21．已知函数()sin cos 2.f x x x x = (1)求函数()f x 的最小正周期及函数的单调递增区间；(2)求函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．【答案】(1)最小正周期为π，单调递增区间为π5ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(2)⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）利用倍角公式辅助角公式化简，根据公式求函数最小正周期，根据正弦函数的性质求得单调区间．（2）由题意可得ππ2π2,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，利用正弦函数的单调性求值域.【详解】（1）1π()sin cos 2sin 22sin 223f x x x x x x x ⎛⎫===- ⎪⎝⎭， ∴()f x 的最小正周期 2ππ2T ==；令 πππ2π22π(Z)232k x k k -+≤-≤+∈，解得： π5πππ(Z)1212k x k k -+≤≤+∈， ∴()f x 的单调递增区间为π5ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）当 π02x ≤≤时， ππ2π2333x -≤-≤，∴πsin(2)13x -≤，∴()1f x ≤≤ ， 即 ()f x 在 π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 22．已知函数2()21xf x a =-+为奇函数，R a ∈. (1)求a 的值；(2)判断函数()f x 的单调性；(3)若22(4)()0f x x f x k -++--<恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】(1)1a = (2)()f x 在R 上是增函数 (3)2k >【分析】（1）根据奇函数性质可得，()()0f x f x -+=，代入即可得到a 的值； （2）利用单调性的定义证明，任取12,R x x ∈，设12x x <，然后()()12f x f x -()()()12122222121x x x x -=+⋅+，再分析判断其符号即可；（3）利用奇函数性质可推得()222(4)()f x x f x k f x k -+<---=+，进而根据函数的单调性可列出不等式，原题转化一元二次不等式在R 上恒成立的问题，求解即可. 【详解】（1）函数定义域为R .因为函数2()21x f x a =-+为奇函数， 所以有()()f x f x -=-，即()()0f x f x -+=.又222()2121xx xf x a a -⋅-=-=-++， 则()()2222121x x x f x f x a a ⋅-+=-+-++222222021x x a a ⋅+=-=-=+，所以，1a =.（2）由（1）知，2()121x f x =-+. 任取12,R x x ∈，不妨设12x x < ，()()121222112121⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭x x f x f x ()()()12122222121x x x x -=+⋅+， ∵12x x <，∴1222x x <，∴12220x x -<. 又1210x +>，2210x +>，∴()()120f x f x -<， 即()()12f x f x <，∴函数()f x 是R 上的增函数. （3）因为，函数2()121x f x =-+为奇函数， 所以22(4)()0f x x f x k -++--<等价于()222(4)()f x x f x k f x k -+<---=+，∵()f x 是R 上的单调增函数，∴224x x x k -+<+，即2240x x k -+>恒成立， ∴()()2442820k k ∆=--⨯=--<， 解得2k >.。

五校（江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余四中）联考文科数学学科试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数Z 满足（2+i ）·Z=1－2i 3，则复数Z 对应的点位于复平面内 （ ）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限2．集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≤+=Z x x x x P ,21|，集合{}032|2>-+=x x x Q ,则R PC Q =（ ）A [)03，－B {}123－，－，－C {}1123，－，－，－D {}0123，－，－，－3．已知变量x ，y 之间具有线性相关关系，其回归方程为y ^＝－3＋bx ，若∑i ＝110x i ＝20，∑i ＝110y i ＝30，则b 的值为( )A ．1B ．3C ．－3D ．－14．已知数列{a n }满足a 1＝1，2121n n n a a a +=-+ ()*n N ∈，则2014a ＝( )A 1B 0C 2014D －20145.设x ，y 满足约束条件10103x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则z =2x －3y 的最小值是（ ）A 7-B －6C 5-D 9-6．对某市人民公园一个月(30天)内每天游玩人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )A ．46,45,56B ．46,45,53C ．47,45,56D ．45,47,537．如图三棱锥,,,30oV ABC VA VC AB BC VAC ACB -∠=∠=⊥⊥若侧面VAC ⊥底面ABC ，则其主视图与左视图面积之比为（ ）A．4 B．4 CDC8.()cos3502sin160sin 190o oo-=-( )A．B．D9．以下四个命题:①若{}{}1,2,3,A B x x A ==⊆,则A B ⊆；②为了调查学号为1、2、3、…、69、70的某班70名学生某项数据，抽取了学号为2、12、22、32、42、52、62的学生作为数据样本，这种抽样方法是系统抽样； ③空间中一直线l ，两个不同平面,αβ，若l ∥α，l ∥β，则α∥β； ④函数sin 1tan tan 2x y x x ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭的最小正周期为π. 其中真命题．．．的个数是（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个10．以双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中心O (坐标原点)为圆心，焦矩为直径的圆与双曲线交于M 点（第一象限），F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，过点M 作x 轴垂线，垂足恰为OF 2的中点，则双曲线的离心率为（ ）A1B1D ．2第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．向量,,a b c 在单位正方形网格中的位置如图所示，则()a b c +＝ .12．设等差数列{}n a 前n 项和为n S ,若2,0,111==-=+-m m m S S S ,则=m ________.13．函数)2||,0,0)(sin()(πφωφω<>>+=A x A x f 的部分图像如图所示，则将()y f x =的图象向左至少平移 个单位后，得到的图像解析式为cos y A x ω=．14．过椭圆221164x y +=的左焦点作直线与椭圆相交，使弦长均为整数的所有直线中，等可能地任取一条直线，所取弦长不超过4的概率为 .15．若关于x 的方程211x x m --+=有两个不同的实数根，则实数m 的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本题满分12分）为了增强中学生的法律意识，某中学高三年级组织了普法知识竞赛.并随机抽取了A 、B 两个班中各5名学生的成绩，成绩如下表所示：（1） 根据表中的数据，分别求出A 、B 两个班成绩的平均数和方差，并判断对法律知识的掌握哪个班更为稳定？（2） 用简单随机抽样方法从B 班5名学生中抽取2名，他们的成绩组成一个样本，求抽取的2名学生的分数差值至少是4分的概率.17. （本题满分12分）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且(2b －3c )cos A －3a cos C =0. (1)求角A 的大小；(2)若角B ＝π6，BC 边上的中线AM 的长为7，求△ABC 的面积．18．（本题满分12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，侧棱PA 丄底面ABCD ，底面ABCD 为矩形，E 为PD 上一点，AD =2AB =2AP =2，PE =2DE ．（1）若F 为PE 的中点，求证BF ∥平面ACE ；（2）求三棱锥P ﹣ACE 的体积．P AF ED19.（本题满分12分）如图所示，程序框图的输出的各数组成数列{}n a . （1）求{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）已知{}n b 是等差数列，且12b a =，3123b a a a =++，求数列{}n n a b ⋅前n 项和n T .20. （本题满分13分）如图所示，作斜率为14-的直线l 与抛物线2:2D y x =相交于不同的两点B 、C ，点A (2,1)在直线l 的右上方.（1）求证：△ABC 的内心在直线x =2上； （2）若90oBAC ∠=，求△ABC 内切圆的半径．21. （本题满分14分）已知,a b 是正实数,设函数()ln ,()ln f x x x g x a x b ==-+. (1)设()()()h x f x g x =-,求()h x 的单调递减区间; (2)若存在03[,]45a b a b x ++∈使00()()f x g x ≤成立,求ba的取值范围.五校（江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余四中）联考文科数学学科试题 参考答案：一．选择题二．填空题11．3 12． 3 13． 6π14．51215．32m >- 三．解答题16. （本题满分12分） 解：（1）1(8788919193)905A X =++++=,1(8589919293)905B X =++++=…1分 222222124(8790)(8890)(9190)(9190)(9390)55A S ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦,…3分 2222221(8590)(8990)(9190)(9290)(9390)85A S ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦…5分 法律知识的掌握A 班更为稳定……………6分(2).从B 班抽取两名学生的成绩分数，所有基本事件有：（85，89），（85，91），（85，92），（85，93），（89，91），（89，92），（89，93），（91，92），（91，93），（92，93） 共有10个…………………………8分基本事件；抽取的2名学生的分数差值至少是4分的有（85，89），（85，91），（85，92），（85，93），（89，93）5个基本事件。

第1页，共12页2020-2021学年高三年级第一学期第一次五校联考数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，共40.0分） 1.函数f(x)=√1−x +lg(3x −1)的定义域为( )A. ( 13,1] B. ( 0,1]C. (−∞,13)D. (0,13) 2.已知log 2a >log 2b ，则下列不等式一定成立的是( )A. 1a >1bB. log 2(a −b)>0C. (13)a<(12)bD. 2a−b <13.已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且在[0,+∞)上是增函数，f(2)=0，则不等f(log 2x)>0的解集为( )A. (0,14)B. (4,+∞)C. (14,1)∪(4,+∞)D. (0,14)∪(4,+∞)4.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休. 在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数(1)e sin ()e 1x x xf x =-+在区间ππ(-,)22上的图象的大致形状是( ) A ． B ．C ．D ．5.已知x >0,y >0,lg4x +lg2y =lg8，则12x +4y 的最小值是( )．A. 3B. 94C. 4615D. 96．已知函数()sin f x x x =+，x ∈R ，若()2log 3a f =，13log 2b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()22c f -=则,,a b c 的大小为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b a c >>27．已知命题：，；命题q: ，，若、都为真命题，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．8.已知函数f (x )=x (lnx −ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,0)B. (0,12)C. (0,1)D. (0,+∞)二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分，每小题全对得5分，部分对得3分，有错得零分）9.若直线y =12x +b 是函数f (x )图象的一条切线，则函数f (x )可以是( )A. f (x )=1xB. f (x )=x 4C. f (x )=sinxD. f (x )=e x10．设正实数mn 、满足2m n +=，则下列说法正确的是( ) A ．2n m n+的最小值为3 B ．mn 的最大值为1 C的最小值为2 D ．22m n +的最小值为211.下列命题中正确命题的是( )A .已知a ，b 是实数，则“(13)a <(13)b ”是“log 3a >log 3b ”的充分而不必要条件； B .∃x ∈(−∞,0)，使2x <3x ；C.设x =θ是函数f(x)=3sinx −cosx 的一个极值点，则sin2θ+2cos 2θ=−25 D.若角α的终边在第一象限，则sinα2|sin α2|+cosα2|cos α2|的取值集合为{−2,2}．12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y =[x]称为高斯函数，例如：[−3.5]=−4，[2.1]=2.已知函数f (x )=e x1+e x−12，则关于函数g (x )=[f (x )]的叙述中正确的是( ) A. g (x )是偶函数B. f (x )是奇函数C. f (x )在R 上是增函数D. g (x )的值域是{−1,0,1}三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知扇形的圆心角为2π3，半径为5，则扇形的面积S =______．14.已知函数f(x)=lg(√x 2+1+x)+a ，且f(ln3)+f(ln 13)=1，则a =______． 15.已知三个函数ℎ(x )=x 2−2ln x,f(x)=ℎ′(x)−5ln x −5ln 2，g(x)=ℎ(x)+2ln x −bx +4.若∃x 1∈(0,1]，∀x 2∈[1,2]，都有f(x 1)≥g(x 2)成立，求实数b 的取值范围16.设f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(2+x)=f(2−x)，当x ∈[−2,0]时，f(x)=(√22)x −1，若在区间(−2,6)内关于x 的方程f(x)−log a (x +2)=0(a >0)有3个不同的根，则a 的范围是 ．p x ∀∈R 220mx +>x ∃∈R 2210x mx -+≤p q m [1,)+∞(,1]-∞-(,2]-∞-[1,1]-第3页，共12页四、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17.（本题共10分）已知角α为第一象限角，且sinα=√55． (1)求cosα，tanα的值； (2)求3sin(π−α)−2cos(π+α)cos(π2−α)的值．18.（本题共12分）已知集合A ={x|y =log 2(−4x 2+15x −9),x ∈R }，B ={x||x −m |⩾1,x ∈R }(1)求集合A ；(2)若p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，且p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 19.（本题共12分）已知函数f(x)=ax 2+2x +c ，(a,c ∈N ∗)满足：①f(1)=5；②6<f(2)<11．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若对任意的实数x ∈[12,32]，都有f(x)−2mx ≤1成立，求实数m 的取值范围．。

2021届四川省五校高三上学期第一次联考数学（文）试题（全卷满分：150分 完成时间：120分钟）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．已知集合{}{}|12,|03A x x B x x =-<<=<<，则A B ⋃=（ ） A ．)3,1(- B ．)0,1(- C ．)2,0( D ．)3,2(2．已知函数R x x x x x x x f ∈+=,sin )sin 2sin cos 2(cos )(，则)(x f 是（ ） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A ．3ln y x = B ．2y x =- C ． xy 1= D ．y x x = 4．已知33cos()25πϕ-=，且2πϕ<，则tan ϕ为（ ）A ．43-B ．43C ．34- D ．345．下列说法中，正确的是（ ）A ．命题“若b a <，则22bm am <”的否命题是假命题B ．设βα,为两不同平面，直线α⊂l ，则“β⊥l ”是 “βα⊥” 成立的充分不必要条件C ．命题“存在0,2>-∈x x R x ”的否定是“对任意0,2<-∈x x R x ” D ．已知R x ∈，则“1>x ”是“2>x ”的充分不必要条件 6．在等比数列{}n a 中，7116a a =，4145,a a +=则2010a a 等于（ ） A ．23或32 B ．13或12- C ．23 D ．32 7．已知命题1p ：函数xxy --=22在R 上为增函数,2p ：函数xxy -+=22在R 上为减函数，则在命题112:q p p ∨； 212:q p p ∧； 213)(:p p q ∨⌝和)(:214p p q ⌝∧中，真命题是（ ）A ．13,q qB ．23,q qC ．14,q qD ．24,q q8．已知(x)sin(x )(A 0,0,,x )2f A R πωϕωϕ=+>><∈在一个周期内的图像如图所示，则(x)y f =的图像可由函数cos y x =的图像（纵坐标不变）（ ）得到．A ．先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向左平移6π单位 B ．先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移12π单位C ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移6π单位D ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，，再向左平移12π单位 9．函数)(x f 是奇函数，且在),0(+∞内是增函数，0)3(=-f ，则不等式0)(<⋅x f x 的解集为（ ） A ．}303|{><<-x x x 或 B ．}303|{<<-<x x x 或 C ．}33|{>-<x x x 或 D ．}3003|{<<<<-x x x 或10. 设实数,x y 满足2102146x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则xy 的最大值为（ ）A ．252 B ．492C ．12D ．14 11．已知m x g x x f x -=+=)21()(),1ln()(2，若对∀1x ∈[0，3]，∃2x ∈[1，2]，使得)()(21x g x f ≥，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[41，＋∞） B ．（－∞，41] C ．[21，＋∞） D ．（－∞，－21] 12．已知函数()xF x e =满足()()()F x g x h x =+，且()(),g x h x 分别是R 上的偶函数和奇函数，若(]0,2x ∀∈使得不等式()()20g x ah x -≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),22-∞ B ．(,22⎤-∞⎦C ．(0,22⎤⎦D ．()22,+∞二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．若{U n n =是小于9的正整数},{A n U n =∈是奇数}，={U B n n ∈是3的倍数}，则(A B)U C ⋃= ．14．若533sin )6cos(=-+απα，则)65sin(πα+＝ ．15．数列{a }n 满足+1=3a 1n n a +，且11a =，则数列{a }n 的通项公式n a = ．16．已知曲线ln y x x =+在点)1,1(处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切，则a = ．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且23cos cos 3b c CA a-=． （1）求角A 的值；（2）若,6B BC π∠=边上中线7AM =，求ABC ∆的面积．18．某车间将10名技工平均分为甲，乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工零件若干，其中合格零件的个数如下表：（1）分别求出甲，乙两组技工在单位时间内完成合格零件的平均数及方差，并由此分析两组技工的技术水平；（2）质检部门从该车间甲，乙两组中各随机抽取1名技工，对其加工的零件进行检测，若两人完成合格零件个数之和超过12件，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．19．如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC=2，E 是PC 的中点． （Ⅰ）证明PA//平面EDB ； （Ⅱ）求三棱锥A-BDP 的体积．20．已知P 为圆8)1(:22=++y x A 上的动点，点()1,0B ，线段PB的垂直平分线与半径PA 相交于点M ，记点M 的轨迹为Γ. （1）求曲线Γ的方程；（2）当点P 在第一象限，且22cos 3BAP ∠=时，求点M 的坐标． 21．已知函数(x)(x k)e (k R)xf =-∈． （1）求(x)f 的单调区间和极值； （2）求(x)f 在[]1,2x ∈上的最小值；（3）设(x)(x)g f =+(x)'f ，若对∀35,22k ⎡⎤∈∀⎢⎥⎣⎦及[]0,1x ∈有(x)g λ≥恒成立，求实数λ的取值范围．请考生在22、23题中选一题作答，如果多做，则按所做的第一题给分。

2020-2021学年第一学期高一年段期末五校联考数 学 试 卷一，单项选择题1. 设全集U =R ,{}220A x x x =-<,{}10B x x =->,则如图阴影部分表示地集合为（）A. {}1x x ≥ B. {}1x x ≤C. {}01x x <≤ D. {}12x x ≤<【结果】D 【思路】【思路】解出集合A ，B ,然后利用图中阴影部分所表示地集合地含义得出结果.【详解】{}{}22002A x x x x x =-<=<< ,{}{}101B x x x x =->=<.图中阴影部分所表示地集合为{x x A ∈且}{}12x B x x ∉=≤<.故选：D.【点睛】本题考查韦恩图表示地集合地求解,同时也考查了一圆二次不等式地解法,解题地关键就是弄清楚阴影部分所表示地集合地含义,考查运算求解能力,属于基础题.2. 设p：x >,q ：22x >,则p 是q 地（ ）A. 充要款件B. 充分不必要款件C. 必要不充分款件D. 既不充分也不必要款件【结果】B 【思路】思路】解出不等式22x >,依据集合地包含关系,可得到结果.【详解】解：因为q ：22x >,【所以q ：x >或x <,因为p ：x >,所以p 是q 地充分不必要款件.故选：B【点睛】本题考查了充分不必要款件地判断,两个命题均是范围形式,解决问题常见地方式是判断出集合之间包含关系.3. 设2log 0.3,a =0.53,b =0.50.3c =,则a ,b ,c 地大小关系是A. a b c >> B. c a b>> C. c b a>> D. b c a>>【结果】D 【思路】【思路】运用对数函数，指数函数地单调性,利用中间值法进行比较即可.【详解】22log 0.3log 10,a =<=0.50331,b =>=050.00.30.0131c <=∴<<< ,因此可得b c a >>.故选：D【点睛】本题考查了对数式，指数式之间地大小比较问题,考查了对数函数，指数函数地单调性,考查了中间值比较法,属于基础题.4. 已知函数f (x )＝6x－log 2x ,则f (x )地零点所在地区间是（ ）A. (0,1) B. (2,3)C. (3,4) D. (4,＋∞)【结果】C 【思路】【思路】先判断出函数地单调性,然后得出()()3,4f f 地函数符号,从而得出结果.【详解】由6y x=在()0,∞+上单调递减,2log y x =在()0,∞+上单调递减所以函数()26log f x x x=-在()0,∞+上单调递减又()()22243132log 3log 0,4log 40322f f =-=>=-=-<依据函数f (x ) 在()0,∞+上单调递减,由零点存在定理可得函数在(3,4)之间存在零点.故选：C5. 一个扇形地弧长为6,面积为6,则这个扇形地圆心角是（ ）A. 1 B. 2C. 3D. 4【结果】C 【思路】【思路】依据扇形地弧长公式和扇形地面积公式,列出方程组,即可求解,得到结果.【详解】设扇形所在圆地半径为r ,由扇形地弧长为6,面积为6,可得26162l r S r αα==⎧⎪⎨==⎪⎩,解得3α=,即扇形地圆心角为3rad .故选C.【点睛】本题主要考查了扇形地弧长公式,以及扇形地面积公式地应用,其中解答中熟练应用扇形地弧长公式和扇形地面积公式,准确运算是解答地关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.6. 福州新港江阴港区地处福建最大海湾兴化湾西北岸,全年全日船泊进出港不受航道及潮水地限制,是迄今为止“我国少有，福建最佳”地天然良港.如图,是港区某个泊位一天中6时到18时地水深变化曲线近似满足函数3sin()y x k ωϕ=++,据此可知,这段时长水深（单位：m ）地最大值为（ ）A. 5B. 6C. 8D. 10【结果】C 【思路】【思路】从图象中地最小值入手,求出5k =,进而求出函数地最大值,即为结果.【详解】从图象可以看出,函数3sin()y x k ωϕ=++最小值为-2,即当sin()1x ωϕ+=-时,函数得到最小值,即32k -+=,解得：5k =,所以3sin()5y x ωϕ=++,当sin()1x ωϕ+=时,函数得到最大值,max 358y =+=,这段时长水深（单位：m ）地最大值为8m.7. 若函数()()222,1log 1,1xx f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩在(],a -∞上地最大值为4,则a 地取值范围为（ ）A. []0,17B. (],17-∞C. []1,17D. [)1,+∞【结果】C 【思路】【思路】先分别探究函数()122,1xf x x =+≤与()()22log 1,1f x x x =->地单调性,再求()f x 地最大值.【详解】因为()122xf x =+在(],1-∞上单调递增,()()22log 1f x x =-在()1,+∞上单调递增.而()14f =,()174f =,所以a 地取值范围为[]1,17.【点睛】本题主要考查分段函数地最值以及指数函数,对数函数地单调性,属于中档题.8. 用函数()M x 表示函数()f x 和()g x 中地较大者,记为：()max{(),()}M x f x g x =,若()(0)f x x =≠,2()g x x -=,则()M x 地大约图像为（ ）A. B.C. D.【结果】A 【思路】【思路】利用特殊值确定正确选项.【详解】依题意()max{(),()}M x f x g x =,()()()21222214f g M -==⇒=>,排除CD 选项.()()()()21222214f g M ---=-=⇒-=>,排除B 选项.所以A 选项正确.9. 十六世纪中叶,英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用,后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号,并逐步被数学界接受,不等号地引入对不等式地发展影响深远. 已知01a b <<<,则下面不等式成立地是（ ）A. 1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. ln ln a b> C.11a b> D.11ln ln a b>【结果】ACD 【思路】【思路】利用指数函数地单调性可判断A 选项。

2019—2020学年度（上）沈阳市五校协作体期中联考高三年级理科数学试卷试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷选择题（1—12题，共60分）和第Ⅱ卷（非选择 题，13—23题，共90分）。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

命题人：关锋 校对人：张燕考试时间 ：120 分钟 考试分数：150分第Ⅰ卷（选择题 满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合{|3}A x x =∈Z ≤，{|ln 1}B x x =<，集合A 与B 关系的韦恩图如图所示，则阴影部分所表示的集合为 ( ) A ．{|0}x x e << B ．{123}，， C ．{012}，， D ．{12}，2.i 为虚数单位，复数1i 2+=z 在复平面内对应的点的坐标为( ) A ．)11(，-B ．)11(，C ．)11(-，D ．)11(--，3.已知,a b 都是实数,:p 直线0x y +=与圆22()()2x a y b -+-=相切; :2q a b +=,则p 是q 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。

两颗星的星等与亮度满足m 2-m 1=错误！未指定书签。

lg 错误！未指定书签。

，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k =1,2). 已知太阳的星等为 -26.7，天狼星的星等为 -1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A.1010.1 B.10.1 C.lg10.1 D.10-10.1 5.,,a b c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．c b a >> C ．c a b >> D ．a c b >> 6.得到的回归方程为y ＝bx ＋a ，则( )A．a >0，b >0 B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0 7.已知(,0),cos()sin 365ππααα∈-+-=，则sin()12πα+的值是（ ） A ． B ．10- C D ．45-8.函数()||mf x x x=-（其中m R ∈）的图像不可能．．．是（ ）C ．D ．9.为了丰富教职工的文化生活，某学校从高一年级、高二年级、高三年级、行政部门各挑选出4位教师组成合唱团，现要从这16人中选出3人领唱，要求这3人不能都是同一个部门的，且在行政部门至少选1人，则不同的选取方法的种数为 A ．336 B ．340 C ．352 D ．472 10.已知3412a b==，则,a b 不可能．．．满足的关系是（ ） A ．4a b +> B ．4ab > C ．22(1)(1)2a b -+-> D ．223a b +<11.已知向量OA 、OB 满足0O A O B=,点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒, 设OC mOA nOB =+（,m n R ∈），若||12||OA OB =,则m n =A.B. 4C.D.1412.已知()f x '是奇函数f(x)(x R ∈)的导函数，f(-1)=0,当x>0时，()()0xf x f x '-<,则使得f(x)>0成立的x 的取值范围为( )A.)1,0()1,(⋃--∞B.),1()0,1(+∞⋃-C.)0,1()1,(-⋃--∞ D.),1()1,0(+∞⋃第Ⅱ卷 （非选择题 满分90分）二、填空题（每小题5分，共20分）13.若实数,x y 满足条件20,0,3,x y x y y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩则34z x y =-的最大值是__________． 14.由曲线3x y =(0)x ≥与它在1=x 处切线以及x 轴所围成的图形的面积为 ． 15.三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，23BAC π∠=，3AP =，AB =Q 是BC边上的一个动点，且直线PQ 与平面ABC 所成角的最大值为3π，则该三棱锥外接球的表面积为__________．16.对于函数()y f x =，若在其定义域内存在0x ，使得00()1x f x =成立，则称函数()f x 具有性质P.（1）下列函数中具有性质P 的有 ；①()2f x x =-+②()sin f x x =([0,2])x π∈ ③1()f x x x=+，((0,))x ∈+∞（2）若函数 具有性质P ，则实数a 的取值范围是 . （本题第一空2分，第二空3分．）三、解答题：共70分。

绝密★考试结束前2023学年第一学期宁波五校联盟期中联考高一年级数学学科试题考生须知：1．本卷共5页满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。

3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。

4．考试结束后，只需上交答题纸。

选择题部分一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合}6,5,4,3,2,1{=U ，}5,3,1{=A ，}5,4,3{=B ，则=)(B A C U A ．}5,3{B ．}5,4,3,1{C ．}6,2{D ．}6,4,2,1{2．“22b a =”是“22)()(b a =”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知命题p ：“R x ∈∃，012<+-ax x ”为假命题，则实数a 的取值范围为A ．]2,(-∞B ．)2,2(-C ．),2()2,(+∞--∞ D ．]2,2[-4．已知0>x ，0>y ，且12=+y x ，下列结论中错误的是A ．xy 的最大值是81B ．224y x +的最小值是21C ．yx 21+的最小值是9D ．yx42+的最小值是25．设),(a -∞是函数5||42+-=x x y 的一个减区间，则实数a 的取值为A ．a ≤2-B ．a ≥2-C ．a ≥2D ．a ≤26．已知函数)(x f 是偶函数，)(x g 是奇函数，满足2)()(2-+=+x x x g x f ，则)2(f ＝A ．1B ．2C ．3D ．47．已知5253(=a ，53)52(=b ，52)52(=c ，则A ．cb a <<B ．ab c <<C ．a c b <<D ．ba c <<8．已知幂函数αx x f =)(的图象经过点2,2(，则函数)(x f 为A ．非奇非偶函数且在),0(+∞上单调递增B ．非奇非偶函数且在),0(+∞上单调递减C ．奇函数且在),0(+∞上单调递增D ．偶函数且在),0(+∞上单调递减二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9．下列各组函数中是同一函数的是A ．11)(-⋅+=x x x f ，)1()1()(-⋅+=x x x g B ．x x x f -⋅+=11)(，)1()1()(x x x g -⋅+=C ．||)(x x f =，2)(t t g =D ．1)(+=x x f ，1)(-=t t g 10．已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为2|{-<x x 或}3>x ，则下列说法正确的是A ．0>a B ．不等式0>+c bx 的解集是}6|{<x x C ．0<++c b a D ．不等式02<+-a bx cx 的解集是31|{-<x x 或}21>x11．如果函数)(x f 在],[b a 上是增函数，对于任意)(],[,2121x x b a x x ≠∈，则下列结论中正确的是A ．)()(2121>--x x x f x f B ．[]0)()()(2121>--x f x f x x C ．)()()()(21b f x f x f a f ≤<≤D ．)()(21x f x f >A ．4B ．12C ．246-D ．246+非选择题部分三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．=--+--32221278()21(162023．14．集合}32|{<≤-∈=x Z x A 的子集个数是．15．若函数||)(a x x x f -=在区间]2,0(上既有最小值又有最大值，那么实数a 的取值范围是．16．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，2)(x x f =，若对任意的]1,[+∈t t x ，不等式)(2)(x f t x f ≥+恒成立，则实数t 的最小值是．四、解答题（共6小题，共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知集合}21|{2++-==x x y x A ，}321|{+≤≤-=m x m x B .（1）当0=m 时，求B A ，B A ；（2）若A B ⊆时，求实数m 的取值范围.已知命题p ：]3,2[∈∀x ，02≥-a x ，命题q ：R x ∈∃，0222=++a ax x .（1）若命题p ⌝为假命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题p 和q ⌝均为真命题，求实数a 的取值范围.19.（本小题满分12分）已知二次函数)51(3)42()(2≤≤++--=x a x a x x f .（1）记)(x f 的最小值为)(a g ，求)(a g 的解析式；（2）记)(x f 的最大值为)(a h ，求)(a h 的解析式.20.（本小题满分12分）（1）已知正数b a ,满足121=+ba ，求b a 8+的最小值；（2）已知正数b a ,满足12=+b a ，求aba 11+的最小值.“绿色低碳、节能减排”是习总书记指示下的新时代发展方针.某市一企业积极响应总书记的号召，采用某项创新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，以达到减排效果.已知该企业每月的二氧化碳处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系式可表示为125000300212+-=x x y ，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.（1）该企业每月处理量为多少吨时，才能使其每吨的平均处理成本最低？（2）该市政府也积极支持该企业的减排措施，试问该企业在该减排措施下每月能否获利？如果获利，请求出最大利润；如果不获利，则该市政府至少需要补贴多少元才能使该企业在该措施下不亏损？22.（本小题满分12分）2023学年第一学期宁波五校联盟期中联考高一年级数学学科参考答案命题：正始中学方勇审稿：正始中学王伍成一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）CBDDABCA二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9.BC10.ACD11.AB12.AD三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.45-14.3215.]2,0(16.22四、解答题（共6小题，共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.解：（1）由题得)2,1(-=A --------------------------------------------------------------------------1分当0=m 时，]3,1[=B ，故)2,1[=B A ----------------------------------------------------------------------------3分]3,1(-=B A --------------------------------------------------------------------------5分（2）由题知AB ⊆（i ）当Φ=B 时，321+>-m m 即32-<m 符合题意；---------------------------7分232113212132.-------------------------918.解：（1）由题知p 为真命题，-------------------------------------------------------------------------2分即2x a ≤对于32≤≤∀x 恒成立，--------------------------------------4分得]4,(-∞∈a -------------------------------------------------------6分（2）由题得命题q ⌝：022,2≠++∈∀a ax x R x 为真命题--------------------7分即0842<-=∆a a ---------------------------------------------------9分解得20<<a -------------------------------------------------------10分由命题p 和q ⌝均为真命题，得⎩⎨⎧<<<204a a ------------------------------11分综上所述)2,0(∈a --------------------------------------------------12分19.解：（1）该二次函数的对称轴为直线2-=a x -----------------------------------1分（i）当12<-a ，即3<a 时，此时)(x f 在区间]5,1[上单调递增-----------2分所以)(x f 的最小值a f a g -==8)1()(；----------------------------3分（ii）当52>-a ，即7>a 时，此时)(x f 在区间]5,1[上单调递减---------4分所以)(x f 的最小值a f a g 948)5()(-==；（iii）当521≤-≤a ，即73≤≤a 时，-------------------------------5分此时)(x f 的最小值15)2()(2-+-=-=a a a f a g ；-----------------6分综上所述，⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-+-<-=)7(948)7315)3(,8)(2a a a a a a a a g （----------------------------7分（2）（i）当32<-a ，即5<a 时，-----------------------------------------8分此时)(x f 的最大值a f a h 948)5()(-==；-------------------------9分（ii）当32≥-a ，即5≥a 时，--------------------------------------10分此时)(x f 的最大值a f a h -==8)1()(；-------------------------------11分585948------------------------------1220.解：（1）b a 8+21)(8(ba b a ++=----------------------------------------------------------1分258178221716821=+=⋅+≥+++=ab b a a b b a -------------------------------4分当且仅当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=12182ba ab b a ，即⎪⎩⎪⎨⎧==255b a 时，取得最小值，最小值为25----------------------6分（2）ab a 11+ba ab b a a 1321+=++=-----------------------------------------------------7分625625263)2)(13(+=⋅+≥+++=++=b aa b b a a b b a b a --------------------10分当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧=+=126b a b aa b ，即⎪⎩⎪⎨⎧-=-=12663b a 时，取得最小值，最小值为625+------------12分21.解：（1）每吨的平均处理成本为30012500021125000300212-+=+-=xx x x x x y ------------------2分所以200300125000212=-⋅≥x x x y ，----------------------------------------------5分此时xx 12500021=，---------------------------------------------------------------6分即500=x 时取到最小值------------------------------------------------------------7分（2）设该企业每月获利为)(x s 元，则y x x s -=100)(，即)12500030021(100)(2+--=x x x x s --------------------------------------------9分也就是12500040021)(2-+-=x x x s ，即45000)400(21)(2---=x x s ，其最大值为45000-，----------------------------11分说明该企业每月没有获利，该市政府至少需要补贴45000元才能使该企业不亏损------------12分22.解：（1）由2)1(-=-f ，且)(x f 是奇函数，得2)1(=f ，于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-2222ba ba ，解得⎩⎨⎧==01b a ，即x x x f 1)(+=．-----------------------------------------2分函数。

2020届安徽省五校(怀远一中、蒙城一中、淮南一中、颍上一中、淮南一中、涡阳一中）高三联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2{4,},1,A a B a ==，a R ∈，则AB 不可能．．．是（ ） A ．{}1,1,4- B ．{}1,0,4 C ．{}1,2,4D ．{}2,1,4-【答案】A 【解析】由题选择A B 不可能．．．的选项，依次检验找出矛盾即可. 【详解】 依次检验：如果是A 选项，则只能考虑1a =-，集合B 不满足元素互异性； 当0a =，B 选项正确； 当2a =，C 选项正确； 当2a =-，D 选项正确； 故选：A 【点睛】此题考查集合并集运算和元素互异性，对分析问题能力要求较高. 2．复数z 的实部为1，且1z i -=，则复数z 的虚部为（ ） A ．i B ．i -C ．1D ．1-【答案】C【解析】根据复数实部为1，设出复数，求出模长，便可解得. 【详解】设复数1,1(1)1z bi z i b i =+-=+-=1=，解得1,1b z i ==+ 故选：C 【点睛】本题考查复数的基本运算和概念，容易出现概念混淆不清，把虚部弄错.3．《掷铁饼者》 取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4π米，肩宽约为8π米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）1.732≈≈）A ．1.012米B ．1.768米C ．2.043米D ．2.945米【答案】B【解析】由题分析出“弓”所在弧长，结合弧长公式得出这段弧所对圆心角，双手之间距离即是这段弧所对弦长. 【详解】由题：“弓”所在弧长54488l ππππ=++=，其所对圆心角58524ππα==，两手之间距离 1.25 1.768d =≈.故选：B 【点睛】此题考查扇形的圆心角和半径与弧长关系的基本计算，关键在于读懂题目，提取有效信息.4．数列{}n a 的前n 项和()1n S n n =-，若510k a a -=，则k =（ ） A ．10 B ．15 C ．20 D ．25【答案】A【解析】通过数列{}n a 的前n 项和()1n S n n =-计算出n a ，再根据k a 求出k . 【详解】由题：()1n S n n =-，()11(2),2,n S n n n n N -+=--≥∈, 所以22n a n =-，2,n n N +≥∈ 当=1n 时，110212a S ===⨯-， 所以22n a n =-，n ∈+N510k a a -=，即22810k --=，解得：10k =. 故选：A 【点睛】此题考查数列前n 项和与通项n a 的关系，依据n S 求n a 还应注意考虑n 的取值范围.5．已知向量(),1a λ=-，若()1,3b =-r，3232a b a b -=+，则λ的值为（ ）A ．3-B ．2-C ．0D ．1【答案】A【解析】两个向量模长相等，平方处理，即可转化成通过求a b ⋅的值解得未知数. 【详解】由题：3232a b a b -=+，所以223232a b a b -=+，化简得：0a b ⋅=，即30λ--= 所以3λ=-. 故选：A 【点睛】此题考查向量的基本运算，对运算能力要求较高，在具体问题中适当处理坐标利于简化运算，如果此题先代入坐标运算，计算量很大，先处理模长大大降低计算量.6．曲线21:C y x =，22:4C y x x =-以及直线:2l x =所围成封闭图形的面积为（ ）A ．1B ．3C ．6D ．8【答案】D【解析】根据微积分基本定理，求出积分即是封闭图形面积 【详解】由题：2222220((4))428x x x dx xdx x--===⎰⎰，所以，封闭图形面积为8. 故选：D 【点睛】此题考查用微积分基本定理进行简单计算，用来解决曲线围成封闭图形的面积. 7．已知正项等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则“1q >”是“1012112+>S S S ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由题1012112+>S S S ，变形得1211a a >即可选出选项 【详解】由题：1012112+>S S S ，12111110S S S S ->-，即1211a a >，由于题目给定{}n a 各项为正，所以等价于公比为1q >. 故选：C 【点睛】此题考查与等比数列有关的两个条件充分性与必要性，关键在于题目给定各项均为正的前提下如何利用1012112+>S S S . 8．函数2211()sin f x x x x π=+-在区间[]2,2ππ-上的大致图像为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据奇偶性排除A ，D ，根据()0,f π=(0,)x π∈，(,2)x ππ∈函数值的正负可选出选项. 【详解】由题可得2211()sin f x x x x π=+-是偶函数，排除A,D 两个选项， ()0,f π=当(0,)x π∈时，2211sin 0,x x x π>>，()0f x >， 当(,2)x ππ∈时，2211sin 0,x x x π<<，()0f x <， 所以当(2,2)x ππ∈-时，()f x 仅有一个零点. 故选：C 【点睛】此题考查函数的奇偶性和零点问题，解题时要善于观察出函数的一个零点，再分别讨论(0,)x π∈，(,2)x ππ∈函数值的正负便可得出选项.9．已知平面,,αβγ有一个公共点，直线,,a b c 满足：,,a b c αβγ⊆⊆⊆，则直线,,a b c 不可能．．．满足以下哪种关系（ ） A ．两两平行 B ．两两异面C ．两两垂直D ．两两相交【答案】A【解析】三个平面一有个公共点说明三个平面两两相交，且三条交线交于一点，可以考虑在长方体某一顶点处的三个平面内分别检验，发现可以满足两两异面，两两垂直，两两相交的情况，不能满足两两平行. 【详解】取长方体某一顶点处的三个平面内分别检验，三条交线就可以满足两两垂直，两两相交，也易作出两两异面，如图：平面1ADD ，平面11C DD ，平面111C A D ，取11C D 中点E ，111,,AD AC DE 两两异面，11111,,DD AD D C 两两相交，两两垂直，对于两两平行，考虑反证法：假设符合题意的三个平面内直线,,a b c 两两平行，则任意两条直线形成的平面共三个，这三个平面要么相交于同一条直线，要么三条交线两两平行，均与题目矛盾. 【点睛】此题考查线面位置关系，对空间图形的直观认识能力要求较高，解决这类问题可以作图处理，更可以考虑利用好身边的墙壁，桌面，笔模拟线面位置关系，更能直观地判定. 10．安徽怀远石榴（Punicagranatum ）自古就有“九州之奇树，天下之名果”的美称，今年又喜获丰收.怀远一中数学兴趣小组进行社会调查，了解到某石榴合作社为了实现100万元利润目标，准备制定激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过6万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不能超过利润的20%.同学们利用函数知识，设计了如下函数模型，其中符合合作社要求的是（ ）（参考数据：1001.015 4.432,lg11 1.041≈≈）A ．0.04y x =B ． 1.0151x y =-C ．tan 119x y ⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．()11log 310y x =-【答案】D【解析】根据奖励规则，函数必须满足：(6,100]x ∈，增函数，3,0.2y y x ≤≤ 【详解】对于函数：0.04y x =，当100x =时，43y =>不合题意； 对于函数： 1.0151xy =-，当100x =时， 3.4323y =>不合题意；对于函数：tan 119x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，不满足递增，不合题意；对于函数：()11log 310y x =-，满足：(6,100]x ∈，增函数， 且()111111log 310010log 290log 13313y ≤⨯-=<=，结合图象：符合题意． 故选：D 【点睛】此题考查函数模型的应用，关键在于弄清题目给定规则，依次用四个函数逐一检验.11．设函数()()21ln xf x e e x =-+（其中e 为自然对数的底数），则函数()f x 的零点个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【解析】利用导函数，得出函数单调性，分析函数极值与0的大小关系即可求解. 【详解】由题()()222,0x x e ef x e f x e x x'''=-=+>，所以()f x ¢在(0,)x ∈+∞单调递增， ()10f e '=-<，()220f e e '=->，所以()f x ¢的零点0(1,2)x ∈，且002xe e x =，且当0(0,)x x ∈时，()0f x ¢<，当0(,)x x ∈+∞时，()0f x ¢>，即()f x 在0(0,)x x ∈单调递减，在0(,)x x ∈+∞单调递增，()f x 的极小值()()000002221ln 2(1ln )xx e e f x e e x e x e=-+=-+= 0000112((1ln 2))2(2ln 2)e e x e x x x -+-=+--，00015(1,2),2x x x ∈+<， ()0512ln 2ln 2ln 2022f x <--=-=<， 当0x +→时，()f x →+∞；当x →+∞时，()f x →+∞； 所以共两个零点. 故选：C 【点睛】此题考查函数单调性与极值和函数零点问题，其中重点考查隐零点问题的处理，和极限思想的应用.12．锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin5A C b Aa+=，22BA BC AB AC ⋅+⋅=．则ABC ∆面积的取值范围是（ ）A ．14,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．C ．()1,2D ．3⎫⎪⎪⎭【答案】D【解析】根据三角关系求出角B ，根据向量数量积求出边c ，作出三角形，数形结合求解. 【详解】由题sin sin5A C b Aa+=，三角形ABC ∆中，A B C π++=，A C B π+=-， 结合正弦定理，sin sin sin 5sin B B A A π-=，sin sin 5BB π-=，B 为锐角， 所以5B B π-=，=6B π， 22BA BC AB AC⋅+⋅=，即cos cos ac B bcA +=，由射影定理：c = 作图：在1Rt ABC ∆中，12cos6BC π==在2Rt ABC ∆中，22cos6BC ==当点C 在线段12C C 之间（不含端点）时，三角形ABC ∆为锐角三角形，11223ABCSBC =⨯⨯∈⎭， 所以面积取值范围⎭故选：D 【点睛】此题考查锐角三角形三内角和关系，正余弦定理，边角互化综合应用，重在数形结合思想.二、填空题13．已知不等式组330300x y x y x +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域为D ，,P Q 是区域D 内任意两点，若()3,3R ，则,PR QR 的最大值是____________． 【答案】90【解析】平面直角坐标系中作出可行域，观察图象,PR QR 即,RP RQ 的最大值，由图便知. 【详解】作出可行域如图所示：解出(0,3),(3,0)A B ，结合图象观察可得,RP RQ 的最大值即0,90RA RB =. 故答案为：90 【点睛】此题考查二元一次不等式组表示平面区域，向量夹角，数形结合思想，属于简单题目，如果不结合图象分析，计算量会很大.14．cos102cos20cos10-⋅=____________．【答案】 【解析】三角恒等变换，处理角度cos10cos(2010)=-即可. 【详解】由题：cos102cos20cos10cos(2010)2cos20cos10-⋅=--⋅cos20cos10sin 20sin10cos20cos10(cos20cos10sin 20sin10)=⋅+⋅-=-⋅-⋅cos30=-=-故答案为： 【点睛】此题考查三角恒等变换，关键在于合理处理两个角度，便于运算，此题陷阱在于两个角度有很多特殊关系，不易找准方向.15．若直线y kx b =+是曲线ln y x =的切线，也是曲线2x y e -=的切线，则k =________.【答案】1或1e【解析】分别设出直线与两曲线的切点坐标，求出导数值，得到两切线方程，由两切线重合得斜率和截距相等，从而求得切线方程的答案。

湖北省鄂东南五校一体联盟联考2025届高考数学一模试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知单位向量a ，b 的夹角为34π，若向量2m a =，4n a b λ=-，且m n ⊥，则n =（ ） A ．2B ．2C ．4D ．62．已知函数()f x 的导函数为()f x '，记()()1f x f x '=，()()21f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=(n ∈N *). 若()sin f x x x =，则()()20192021f x f x += （ ）A ．2cos x -B ．2sin x -C ．2cos xD ．2sin x3．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos2tan 1sin 2βαβ=-，则（ ）A ．22παβ+=B ．4παβ+=C ．4αβ-=π D ．22παβ+=4．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若312S a S +=，46a =，则5S =（ ）A ．5B ．10C ．15D ．205．已知抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．56．执行如图的程序框图，若输出的结果2y =，则输入的x 值为( )A ．3B ．2-C ．3或3-D ．3或2-7．执行如图所示的程序框图，若输入ln10a =，lg b e =，则输出的值为（ ）A ．0B ．1C ．2lg eD ．2lg108．已知直线l 320x y ++=与圆O ：224x y +=交于A ，B 两点，与l 平行的直线1l 与圆O 交于M ，N 两点，且OAB 与OMN 的面积相等，给出下列直线1l 330x y +-=320x y +-=，③320x -+=，④3230x y ++=.其中满足条件的所有直线1l 的编号有（ ） A ．①②B ．①④C ．②③D ．①②④9．已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+），则f （x ）的最小值为（ ） A ．12B ．14C ．34D ．2210．已知点()25,310A 在双曲线()2221010x y b b-=>上，则该双曲线的离心率为（ ）A ．103B ．102C ．10D ．21011．阅读下侧程序框图，为使输出的数据为，则①处应填的数字为A ．B ．C ．D ．12．如图，圆O 是边长为23的等边三角形ABC 的内切圆，其与BC 边相切于点D ，点M 为圆上任意一点，BM xBA yBD =+(,)x y ∈R ，则2x y +的最大值为（ ）A 2B 3C ．2D ．22二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

重庆市云阳2024届高三五校联考高三数学（答案在最后）时间：120分钟总分：150分一、单项选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1.已知集合{}2{43},4120A x xB x x x =-<<=+-<∣∣，则A B = （）A.{24}x x -<<∣B.{42}xx -<<∣C.{63}xx -<<∣ D.{62}xx -<<∣【答案】B 【解析】【分析】求出集合B ，根据集合的交集运算，即得答案.【详解】因为{}24120{62}B x x x x x =+-<=-<<∣∣，所以{42}A B x x =-<<∣，故选：B2.在复平面内，()()32i 1i -+对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A 【解析】【分析】化简复数，由复数的几何意义求解即可.【详解】因为()()232i 1i 33i 2i 2i 5i -+=+--=+，所以其在复平面内对应的点为()5,1，位于第一象限.故选：A .3.曲线52y x x =+在点()1,2处的切线的斜率为（）A.2 B.3C.6D.7【答案】D 【解析】【分析】对曲线52y x x =+求导，然后求出曲线在()1,2处的切线的斜率即可.【详解】因为452y x x '=+,所以当1x =时,7y '=.4.已知向量,a b满足3,5a a b =⋅=- ，则()2a b a -⋅= （）A.1-B.2C.15D.19【答案】D 【解析】【分析】根据题意利用向量的运算律分析求解.【详解】因为3,5a a b =⋅=-，所以()()22292519-⋅=-⋅=-⨯-=r r r r r r a b a a a b .故选：D.5.若某圆锥的母线与底面所成的角为45 ，且其母线长为4，则该圆锥的体积为（）A.π3 B.32π3C.π3D.16π3【答案】A 【解析】【分析】由题意可知圆锥的高与底面半径相等，再由母线长可求出高和底面半径，从而可求出圆锥的体积.【详解】因为该圆锥的母线与底面所成的角为45 ,且其母线长为4，所以该圆锥的高与底面半径相等,=,所以该圆锥的体积(2211162πππ333V r h ==⨯⨯,故选：A6.若数列{}n a 的满足1111116,1n n n n a a a a a ++=--=，则211a =（）A.16- B.75-C.6 D.57【答案】A【分析】由16a =和递推式求出2345,,,a a a a ，可得数列{}n a 是周期为4的数列，从而可求得结果.【详解】因为111111n n n n a a a a ++--=，所以111n n n n a a a a ++--=，得1(1)1n n n a a a +-=+，由上式可知1n a ≠，所以111nn na a a ++=-，因为16a =,所以2167165a +==--，371157615a -==-+，411561716a -==+，515176517a a +===-，所以{}n a 是周期为4的数列,所以2114523316a a a ⨯+===-，故选：A 7.已知π0,,3sin2cos212ααα⎛⎫∈=+ ⎪⎝⎭，则sin α=（）A.10B.10C.5D.5【答案】A 【解析】【分析】利用二倍角公式化简3sin2cos21αα=+可得3sin cos αα=，结合平方和关系，即可求得答案.【详解】因为sin22sin cos ααα=，2cos22cos 1αα=-，所以3sin2cos21αα=+可化为26sin cos 2cos ααα=，因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 0α≠，所以3sin cos αα=，结合22sin cos 1αα+=，得210sin 1,sin 0αα=> ，所以10sin 10α=，8.已知函数2()ln ||||ln f x x x =+，若函数()()g x f x m =-有4个零点，且其4个零点()12341234,,,x x x x x x x x <<<成等差数列，则m =（）A.3ln32B.2ln3C.3ln34D.3ln3【答案】C 【解析】【分析】分析函数()f x 的奇偶性，把()f x 化成分段函数，作出图象结合等差中项可得343x x =，再代入函数式化简计算即得.【详解】函数2()ln ||||ln f x x x =+的定义域为{|0}x x ∈≠R ，显然2()ln |||)()|(ln f x x x f x -+-==-，即函数()f x 是偶函数，3ln ,1ln ,01()ln(),103ln(),1x x x x f x x x x x ≥⎧⎪-<<⎪=⎨---<<⎪⎪-≤-⎩，其图象如图，依题意，14x x =-，23x x =-，而1234,,,x x x x 成等差数列，即有2342x x x =+，则343x x =，显然34()()f x f x m ==,即343)ln 3ln 3ln(3x x x -==，整理得33ln ln 34x =-，所以333)l 3(ln 4n m f x x ==-=.故选：C【点睛】关键点睛：涉及含有绝对值符号的函数，利用零点分段法去绝对值符号化成分段函数表示是解题的关键.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.根据国家统计局发布的数据，我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速如图所示，则（）A.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速最高为18.4%B.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的中位数为6.55%C.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总㲅同比增速的40%分位数为5.05%D.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的平均值为8.125%【答案】ABD 【解析】【分析】根据图形中给定数据从小到大排列，结合中位数，百分位数，平均数的定义计算即可.【详解】我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速从小到大依次为2.5%，3.1%，4.6%，5.5%，7.6%，10.6%，12.7%，18.4%.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速最高为18.4%，A 正确.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的中位数为5.5%7.6%6.55%2+=，B 正确.840% 3.2⨯=，我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的40%分位数为5.5%，C 错误.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的平均值为1(2.5% 3.1% 4.6% 5.5%7.6%8⨯++++10.6%12.7%18.4%)8.125%+++=，D 正确.故选：ABD 10.在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12,23AB AA ==，则（）A.该正四棱柱外接球的表面积为18πB.异面直线1A D 与1BC 所成的角为60C.该正四棱柱外接球的表面积为20πD.异面直线1A D 与1BC 所成的角大于60 【答案】BC 【解析】【分析】对A ，C ，正四棱柱的对角线为球的直径，代入球的表面积公式即可；对于B ，D ，根据异面直线所成角定义，平移相交可得解.【详解】对于A ，由题，正四棱柱的对角线为球的直径，则正四棱柱外接球的半径为R =,则该正四棱柱外接球的表面积为24π20πR =，故A 错误，C 正确；如图,易证11//A D B C ,则异面直线1A D 与1BC 所成的角为1B C 与1BC 所成的角,设11B C BC O = ,则11112OB OC B C ====,所以11OB C V 为正三角形,所以异面直线1A D 与1BC 所成的角为60 ，故B 正确，D 错误；故选：BC.11.下列函数中，存在两个极值点的是（）A.()()22exf x x x =++ B.()2e xf x x =C.()2e xx xf x +=D.()e xx f x =【答案】BC 【解析】【分析】利用函数极值点的定义判断.【详解】由()()22e x f x x x =++，得()()233e 0xf x x x =++>'恒成立，则()f x 无极值，A 不正确.由()2e xf x x =，得()()22e x f x x x '=+，当()(),20,x ∈-∞-⋃+∞时，()0f x ¢>，当()2,0x ∈-时，()0f x '<，则()f x 在(),2-∞-和()0,∞+上单调递增，在()2,0-上单调递减，()f x 有两个极值点，B正确.由()2e x x x f x +=，得()21e x x xf x -++'=，当11,22x ⎛⎫⎛⎫+∈-∞⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '<，当11,22x ⎛⎫-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，则()f x 在1,2⎛⎫--∞ ⎪ ⎪⎝⎭和12⎛⎫ ⎪ ⎝++⎭∞⎪上单调递减，在1515,22⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，()f x 有两个极值点，C 正确.由()exx f x =，得()1e x xf x -'=，当(),1x ∈-∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，()f x 有且只有一个极值点，D 不正确.故选：BC12.已知函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，()()()f x f y f xy y x=+，则（）A.(1)0f =B.(2)1f =C.()f x 为奇函数D.()f x 没有极值点【答案】AC 【解析】【分析】选项A ：赋值法求解判断；选项B:(2)f 的值不确定；选项C ：通过赋值解得(1)0f -=，然后赋值1y =-，判断函数奇偶性；选项D ：根据抽象函数结构利用对数函数求导验证极值点；【详解】令1x y ==，得(1)0f =，A 正确；令2,1x y ==，得()()()()2122012f f f f =++＝，故(2)f 的值不确定，B 错误；令1x y ==-，得(1)0f -=，令1y =-，得(1)()()()f f x f x f x x--=-+=-，则()f x 为奇函数，C 正确；由()()()f x f y f xy y x=+，可得()()()xyf xy xf x yf y =+，根据函数结构举例，当0x >时，可设()ln xf x x =，则ln ,0,()ln(),0.xx xf x x x x⎧>⎪⎪=⎨-⎪<⎪⎩，当0x >时，ln ()xf x x=，21ln ()x f x x -'=，当(0,e)x ∈时，()f x '0>，当(e,)x ∈+∞时，()0f x '<，所以()f x 在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减，此时()f x 有极值点，D 错误；故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知直线:20l x ay +-=与():2360n a x y -++=平行，则=a ____________.【答案】3【解析】【分析】根据条件，直接建立方程()230a a --=，从而得到3a =或1a =-，再检验一下即可求出结果.【详解】因为//l n ，所以()()()23310a a a a --=-+=，所以3a =或1a =-，当3a =时，符合题意；当1a =-时，两直线重合，故答案为：3.14.已知()232nx x --展开式的二项式系数之和为256，则其展开式中4x 的系数为_____________.（用数字作答）【答案】1120【解析】【分析】根据二项式展开式的二项式系数之和可得2256n =，解出n ，结合通项公式计算即可求出4x 的系数.【详解】由822562n ==,得8n =.()8232x x --展开式的通项()()()8238516188C 2C 21rrrr r r r r T x x x ----+=-=-，,令5164r -=,得4r =,则展开式中含4x 的项为()44448458C 212110T x x -=⨯=-.所以4x 的系数为1120.故答案为：1120.15.已知圆22:46120C x y x y +-+-=，直线:43230,l x y P -+=为l 上的动点，过点P 作圆C 的切线，切点为M ，则PM 的最小值为____________.【答案】【解析】【分析】由分析可知，当PC l ⊥时，PM 取得最小值，由点到直线的距离公式结合勾股定理即可得出答案.【详解】将圆C 化为标准方程为：()()222325x y -++=，所以圆C 的圆心为()2,3C -，半径为5，因为PM CM ⊥，所以PM ==所以当PC l ⊥时，PM 取得最小值，因为圆心()2,3C -到直线l 的距离8d ==，所以PM=.16.已知函数π()sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x 的图象关于直线π3x =对称，且()f x 在ππ,369⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为_____________.【答案】192【解析】【分析】先根据正弦函数的对称性可求出ω的一个范围，再根据函数在ππ,369⎛⎫⎪⎝⎭上单调，可得2ππ||6T ω=≥，再求出ω的一个范围，进而可得出答案.【详解】因为()f x 的图象关于直线π3x =对称，所以ππππ332k ω+=+，Z k ∈，解得132k ω=+，Z k ∈，因为()f x 在ππ,369⎛⎫⎪⎝⎭上单调，所以πππ936122T -=≤，即2ππ||6T ω=≥，解得||12ω≤，当192ω=时，19π()sin 23x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，当ππ,369x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，19π43π25π,237218x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以当ππ,369x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()f x 单调递减，故ω的最大值为192.故答案为：192.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在锐角ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c sin 0C c -=.（1）求A ;（2）求2sin B C -的取值范围.【答案】（1）π4（2）(【解析】【分析】（1）根据题意利用正弦定理边化角分析求解；（2）利用三角恒等变换整理得π2sin 2sin 4⎛⎫-=- ⎪⎝⎭B C B ，结合正弦函数的值域求解.【小问1详解】sin 0C c -=，由正弦定理可得sin sin 0-=A C C ，因为ABC 为锐角三角形，可知π0,2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0C >，所以2sin 2A =，且π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π4A =.【小问2详解】因为π4A =，可知3π4B C +=，即3π4C B =-，且ABC 为锐角三角形，则π023ππ042B B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得ππ42B <<，又因为()2sin 2sin -=-+B C B AB π22sin 224⎛⎫⎛⎫=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B B B B B B ，由ππ42B <<，可知ππ044<-<B，则πsin 0,42⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ，所以(2sin -∈B C .18.已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项14a =，且3715111,,a a a 成等比数列，记{}n a 的前n 项和为n S .（1）求{}n a 的通项公式及n S ;（2）记1231111n n T S S S S =++++ ，证明:1118n T <.【答案】（1）222,3n n a n S n n=+=+（2）证明见解析【解析】【分析】（1）结合等比数列的性质求出等差数列的公差，即可求得答案；（2）利用（1）的结果可得1nS 的表达式，利用裂项求和法，求得n T 的表达式，即可证明结论.【小问1详解】因为3715111,,a a a 成等比数列，所以27315111a a a =⋅，即27315a a a =，设等差数列{}n a 的公差为d ，因为14a =，所以()()()24642414d d d +=++，即220d d -=，因为0d ≠，所以2d =，所以2(422)22,32n n n n a n S n n ++=+==+；【小问2详解】证明：因为211111333n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以12311111111111111113432533633n n T S S S S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111111111132312318333639n n n n n n ⎛⎫=++---=--- ⎪++++++⎝⎭，因为1110,0,0333639n n n >>>+++，所以1118n T <.19.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别在棱1DD ，1BB 上，2AB =，1AD =，13AA =，11D E BF ==.（1）证明：1EF A E ⊥.（2）求平面1A EF 与平面ABCD 的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）3.【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用数量积证明垂直即可；（2）建立空间直角坐标系，以向量法去求平面1A EF 与平面ABCD 的夹角的余弦值即可解决.【小问1详解】以1C 为坐标原点，11C D ，11C B ，1C C 所在直线分别为x ，y ，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则1(2,1,0)A ，(2,0,1)E ，(0,1,2)F ，所以1(0,1,1)A E =- ，(2,1,1)EF =-，因为()10211110A E EF ⋅=⨯--⨯+⨯=，所以1EF A E ⊥.【小问2详解】由（1）1(0,1,1)A E =- ，(2,1,1)EF =-，设平面1A EF 的法向量为(,,)m x y z = ，则10A E m EF m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020y z x y z -+=⎧⎨-++=⎩，不妨取1z =，则(1,1,1)m = .易得1C C ⊥平面ABCD ，所以1C C 是平面ABCD 的一个法向量，且1(0,0,3)C C =.设平面设1A EF 与平面ABCD 的夹角为θ，所以1113cos cos ,3m C C m C C m C Cθ⋅=== .故平面1A EF 与平面ABCD 的夹角的余弦值为33.20.在平面直角坐标系中，已知两个定点()()2,0,4,0A B -，动点P 满足2PB PA =，设动点P 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程;（2）过点A 作两条互相垂直的直线与曲线C 分别交于点,,,E F P Q ，求四边形PFQE 面积的最大值.【答案】（1）()22416x y ++=（2）28【解析】【分析】（1）设点(),P x y ，由2PB PA =化简可得答案；（2）当过点A 的两条直线中有一条直线的斜率不存在时另一条直线的斜率为0求出PFQE S ；当两条直线的斜率都存在时，设直线,EF PQ 的方程分别为()2y k x =+和()12y x k=-+，利用圆心到直线的距离、圆的半径求出EF 、PQ ，再由12=⋅PFQE S EF PQ ，利用配方法求最值可得答案.【小问1详解】设点(),P x y ，由2PB PA ==，所以2280x y x ++=，即曲线C 的方程为()22416x y ++=；【小问2详解】当过点A 的两条直线中有一条直线的斜率不存在时，另一条直线的斜率为0，不妨设8,EF PQ ==，则12=⋅=PFQE S EF PQ 当两条直线的斜率都存在时，设直线,EF PQ 的方程分别为()2y k x =+和()12y x k=-+，圆心()4,0C -到直线EF的距离d =，所以EF =PQ =，所以12=⋅=PFQES EF PQ 令()210,11t k =∈+，则=PFQE S 当12t=时，28=PFQE S ，所以()max28=PFQES ，即四边形PFQE 面积的最大值为28.21.已知函数()31e cos 3xf x x x x =+--.（1）当[)3,x ∈+∞时，证明：()()f x f x '<.（2）试问0x =是否为()f x 的极值点?说明你的理由.【答案】（1）证明见解析（2）不是，理由见解析【解析】【分析】（1）结合分析法，将问题转化成证明32π1143x x x x ⎛⎫+<-+- ⎪⎝⎭，构造函数()()321133m x x x x x =-+-≥，利用导数与函数单调性间的关系，求出()m x 的最小值，即可证明结果；（2）对()f x '求导，得到()e cos 2x g x x x =--，再利用导数与函数单调性间的关系，得出()f x '在(),0∞-上单调递增，在()00,x 上单调递减，又因为()00f '=，再利用极值点的定义即可求出结果.【小问1详解】()2e sin 1x f x x x '=---，要证()()f x f x '<，只需证321e cos e sin 13xx x x x x x +--<---，32π1143x x x x ⎛⎫+<-+- ⎪⎝⎭，令()()321133m x x x x x =-+-≥，则()()210m x x =-≥'，则()m x 在[)3,+∞上单调递增，所以()()π324m x m x ⎛⎫≥=>+ ⎪⎝⎭，所以当[)3,x ∈+∞32π1143x x x x ⎛⎫+<-+- ⎪⎝⎭，从而当[)3,x ∈+∞时，()()f x f x '<得证.【小问2详解】因为()2e sin 1xf x x x '=---，所以()f x '的导数为()e cos 2xg x x x =--，故()e sin 2xg x x '=+-，当0x ≤时，e 1x ≤，当且仅当0x =时取等号，又sin 1x ≤，当0x =时，sin 0x =，所以()0g x '<，当0x >时，令()e sin 2x h x x =+-，则()e cos xh x x '=+，因为0x >时，e 1x >，所以()0h x '>，所以()h x 在()0,∞+上单调递增，又()()01,1e 2sin10h h =-=-+>，所以()00,1x ∃∈，使()00h x =,所以当0(0,)x x ∈时，()0h x <，当0(,)x x ∈+∞时，()0h x >，所以当0(,)x x ∈-∞时，()0g x '<，即()g x 在区间0(,)x -∞上单调递减；当0(,)x x ∈+∞时，()0g x '>，即()g x 在区间0(,)x +∞上单调递增，又()00g =，所以当(),0x ∈-∞时，()0g x >，当()00,x x ∈时，()0g x <，所以()f x '在(),0∞-上单调递增，在()00,x 上单调递减，又()00f '=，所以，当(),0x ∈-∞时，()0f x '<，当()00,x x ∈时，()0f x '<，所以0x =不是()f x 的极值点.【点睛】关键点晴，本题的关键在于，通过构造函数()e sin 2xh x x =+-，利用导数与函数单调性间的关系，得出()f x '在(),0∞-上单调递增，在()00,x 上单调递减，再利用极值的定义即可解决问题.22.有一位老师叫他的学生到麦田里，摘一颗全麦田里最大的麦穗，期间只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，他的学生两手空空走出麦田，因为他不知前面是否有更好的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到.假设该学生在麦田中一共会遇到n 颗麦穗（假设n 颗麦穗的大小均不相同），最大的那颗麦穗出现在各个位置上的概率相等，为了使他能在这些麦穗中摘到那颗最大的麦橞，现有如下策略：不摘前(1)k k n ≤<颗麦穗，自第1k +颗开始，只要发现比他前面见过的麦穗都大的，就摘这颗麦穗，否则就摘最后一颗.设k tn =，该学生摘到那颗最大的麦穗的概率为P .（取11ln n j k k k nn j n k-==∑）（1）若4n =，2k =，求P ；（2）若n 取无穷大，从理论的角度，求P 的最大值及P 取最大值时t 的值.【答案】（1）512（2）P 的最大值为1e ，此时t 的值为1e.【解析】【分析】（1）由题意可知，要摘到那颗最大的麦穗，有两种情况，最大的麦穗是第3颗和最大的麦穗是最后1颗，分情况分析两种情况的可能性，结合古典概型即可求出结果；（2）记事件A 表示最大的麦穗被摘到，根据条件概率和全概率公式求出()P A ，再利用导数求出最值即可.【小问1详解】这4颗麦穗的位置从第1颗到第4颗排序，有44A 24=种情况.要摘到那颗最大的麦穗，有以下两种情况：①最大的麦穗是第3颗，其他的麦穗随意在哪个位置，有33A 6=种情况.②最大的麦穗是最后1颗，第二大的麦穗是第1颗或第2颗，其他的麦穗随意在哪个位置，有222A 4=种情况.故所求概率为6452412+=.【小问2详解】记事件A 表示最大的麦穗被摘到，事件j B 表示最大的麦穗在麦穗中排在第j 颗.因为最大的那颗麦穗出现在各个位置上的概率相等，所以()1j P B n=.以给定所在位置的序号作为条件，()()()()111||nnj j j j j P A P A B P B P A B n ====∑∑.当1j k ≤≤时，最大的麦穗在前k 颗麦穗之中，不会被摘到，此时()|0j P A B =.当1k j n +≤≤时，最大的麦穗被摘到，当且仅当前1j -颗麦穗中的最大的一颗在前k 颗麦穗中时，此时()|1j kP A B j =-.由全概率公式知1111()ln 1nn j k j k k k k n P A nj n j n k-=+====-∑∑.令函数()ln (0)x n g x x n x =>，11()ln n g x n x n'=-.令()0g x '=，则enx =，当0,e n x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，当,e n x n ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，所以()g x 在0,e n ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,e n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.所以max 1()e en g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭.所以当e n k =，()ln k n P A n k =时取得最大值，最大值为1e ，此时1t e=，。

专题15 复数的四则运算一、单选题1．若复数Z 满足()·1 2z i i -=(i 是虚数部位)，则下列说法正确的是 A ．z 的虚部是-i B ．Z 是实数C ．z =D ．2z z i +=【试题来源】江苏省盐城市滨海中学2020-2021学年高三上学期迎八省联考考前热身 【答案】C【分析】首先根据题意化简得到1z i =-，再依次判断选项即可．【解析】()()()22122211112i i i i iz i i i i ++====---+-． 对选项A ，z 的虚部是1-，故A 错误． 对选项B ，1z i =-为虚数，故B 错误．对选项C ，z ==C 正确．对选项D ，112z z i i +=-++=，故D 错误．故选C 2．已知复数1z i =+（i 为虚数单位），则1z在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】安徽省六安市示范高中2020-2021学年高三上学期教学质量检测（文） 【答案】D【分析】由复数的运算化简1z，再判断复平面内对应的点所在象限． 【解析】因为()()11111122i i z i i -==-+-，所以1z 在复平面内对应的点11 ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在第四象限．故选D3．已知复数1z i =+（i 为虚数单位），则1z在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】安徽省六安市示范高中2020-2021学年高三上学期教学质量检测（理）【答案】D 【分析】化简复数1z，利用复数的几何意义可得出结论． 【解析】因为()()11111112i i z i i i --===++-，所以1z在复平面内对应的点的坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限．故选D ． 4．设复数z 满足11zi z+=-，则z = A ．i B ．i - C ．1D ．1i +【试题来源】山东省威海市2020-2021学年高三上学期期末 【答案】B【分析】利用除法法则求出z ，再求出其共轭复数即可【解析】11zi z+=-得()11z i z +=-，即()()()()111111i i i z i i i i ---===++-，z i =-，故选B. 5．(1)(4)i i -+= A ．35i + B ．35i - C ．53i +D ．53i -【试题来源】安徽省皖西南联盟2020-2021学年高三上学期期末（文） 【答案】D【分析】根据复数的乘法公式，计算结果．【解析】2(1)(4)4453i i i i i i -+=-+-=-．故选D 6．设复数z 满足()11z i i -=+，则z 的虚部为． A ．1- B ．1 C ．iD ．i -【试题来源】安徽省芜湖市2020-2021学年高三上学期期末（文） 【答案】B【分析】利用复数的除法化简复数z ，由此可得出复数z 的虚部．【解析】()11z i i -=+，()()()211111i iz i i i i ++∴===--+， 因此，复数z 的虚部为1．故选B ． 7．若复数z 满足21zi i=+，则z = A ．22i + B ．22i - C ．22i --D ．22i -+【试题来源】安徽省芜湖市2020-2021学年高三上学期期末（理） 【答案】C【分析】求出()2122z i i i =+=-+，再求解z 即可． 【解析】()2122z i i i =+=-+，故22z i =--，故选C. 8．将下列各式的运算结果在复平面中表示，在第四象限的为A ．1ii + B ．1ii +- C ．1i i-D ．1i i--【试题来源】河南省湘豫名校2020-2021学年高三上学期1月月考（文） 【答案】A【分析】对A 、B 、C 、D 四个选项分别化简，可得． 【解析】由11ii i+=-在第四象限．故选A ． 【名师点睛】（1）复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根； （2）复数除法实际上是分母实数化的过程．9．若复数z 满足()z 1i i +=- (其中i 为虚数单位)则复数z 的虚部为A ．12-B ．12C ．12i -D ．12i【试题来源】安徽省马鞍山市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量监测（文） 【答案】A【分析】先由已知条件利用复数的除法运算求出复数z ，再求其虚部即可． 【解析】由()z 1i i +=-可得()()()111111222i i i z i i i ----===--+-，所以复数z 的虚部为12-，故选A 10．复数z 满足()212()z i i -⋅+=（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】宁夏吴忠市2021届高三一轮联考（文） 【答案】D【分析】先计算复数221z i i=++，再求其共轭复数，即可求出共轭复数对应的点，进而可得在复平面内对应的点所在的象限． 【解析】由()()212z i i -⋅+=得()()()()21212211112i i z i i i i i ---====-++-， 所以1z i =+，1z i =-．所以复数z 在复平面内对应的点为()1,1-， 位于第四象限，故选D ．11．已知复数z 满足(2)z i i -=(i 为虚数单位)，则z = A ．125i-+ B ．125i-- C ．125i- D ．125i+ 【试题来源】安徽省名校2020-2021学年高三上学期期末联考（文） 【答案】A【分析】由已知可得2iz i=-，再根据复数的除法运算可得答案． 【解析】因为(2)z i i -=，所以()()()2122225i i i i z i i i +-+===--+．故选A ． 12．已知复数3iz i-=，则z =A ．4 BCD ．2【试题来源】江西省吉安市“省重点中学五校协作体”2021届高三第一次联考（文） 【答案】B【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【解析】因为()()()3331131i i i i z i i i i -⋅----====--⋅-，所以z ==B ．【名师点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题． 13．复数z 满足：()11i z i -=+，其中i 为虚数单位，则z 的共轭复数在复平面对应的点的坐标为 A ．0,1 B ．0,1 C ．1,0D ．()1,0【试题来源】江西宜春市2021届高三上学期数学（理）期末试题 【答案】A【分析】先由()11i z i -=+求出复数z ，从而可求出其共轭复数，进而可得答案【解析】由()11i z i -=+，得21i (1i)2ii 1i (1i)(1+i)2z ++====--， 所以z i =-，所以其在复平面对应的点为0,1，故选A 14．已知复数312iz i+=-，则z =A ．1 BCD ．2【试题来源】湖南省岳阳市平江县第一中学2020-2021学年高二上学期1月阶段性检测 【答案】B【分析】利用复数的除法法则化简复数z ，利用复数的模长公式可求得z ．【解析】()()()()2312337217121212555i i i i i z i i i i +++++====+--+，因此，z ==B ． 15．设复1iz i=+（其中i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期期末 【答案】A【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用复数的几何意义可得出结论． 【解析】()()()1111111222i i i i z i i i i -+====+++-，因此，复数z 在复平面内对应的点位于第一象限．故选A ．16．已知(1)35z i i +=-，则z = A ．14i - B ．14i -- C ．14i -+D ．14i +【试题来源】江苏省盐城市一中、大丰高级中学等四校2020-2021学年高二上学期期末联考 【答案】B【分析】由复数的除法求解．【解析】由题意235(35)(1)3355141(1)(1)2i i i i i i z i i i i -----+====--++-．故选B 17．复数(2)i i +的实部为 A ．1- B ．1 C ．2-D ．2【试题来源】浙江省绍兴市上虞区2020-2021学年高三上学期期末 【答案】A【分析】将(2)i i +化简即可求解．【解析】(2)12i i i +=-+的实部为1-，故选A ．18．已知i 是虚数单位，(1)2z i i +=，则复数z 所对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】山东省德州市2019-2020学年高一下学期期末 【答案】D【分析】利用复数的运算法则求解复数z ，再利用共轭复数的性质求z ，进而确定z 所对应的点的位置．【解析】由(1)2z i i +=，得()()()()2121211112i i i i z i i i i -+====+++-， 所以1z i =-，所以复数z 所对应的点为()1,1-，在第四象限，故选D ．【名师点睛】对于复数的乘法，类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可；对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式． 19．若复数2iz i=+，其中i 为虚数单位，则z =A B C ．25D ．15【试题来源】重庆市南开中学2020-2021学年高二上学期期末 【答案】B【分析】先利用复数的除法运算法则化简复数2iz i=+，再利用复数模的公式求解即可． 【解析】因为()()()21212222555i i i i z i i i i -+====+++-，所以z ==，故选B ． 20．52i i-= A ．152i--B ．52i-- C ．152i- D ．152i+ 【试题来源】江西省吉安市2021届高三上学期期末（文） 【答案】A【分析】根据复数的除法的运算法则，准确运算，即可求解． 【解析】由复数的运算法则，可得()5515222i i i ii i i ----==⨯．故选A ．21．设复数z 满足()1z i i R +-∈，则z 的虚部为 A ．1 B ．-1 C ．iD ．i -【试题来源】湖北省2020-2021学年高三上学期高考模拟演练 【答案】B【分析】根据复数的运算，化简得到()11(1)z i i a b i +-=+++，根据题意，求得1b =-，即可求得z 的虚部，得到答案．【解析】设复数,(,)z a bi a b R =+∈，则()11(1)z i i a b i +-=+++，因为()1z i i R +-∈，可得10b +=，解得1b =-，所以复数z 的虚部为1-．故选B ． 22．若复数151iz i-+=+，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是 A ．3 B ．3- C ．2D ．2-【试题来源】安徽省淮南市2020-2021学年高三上学期第一次模拟（文） 【答案】A【分析】先利用复数的除法运算，化简复数z ，再利用复数的概念求解．【解析】因为复数()()()()1511523111i i i z i i i i -+--+===+++-， 所以z 的虚部是3，故选A. 23．若m n R ∈、且4334im ni i+=+-（其中i 为虚数单位），则m n -= A ．125- B ．1- C ．1D ．0【试题来源】湖北省部分重点中学2020-2021学年高三上学期期末联考 【答案】B【分析】对已知进行化简，根据复数相等可得答案．【解析】因为()()()()433443121225343434916i i i ii m ni i i i +++-+====+--++， 根据复数相等，所以0,1m n ==，所以011m n -=-=-．故选B ．24．若复数z满足()36z =-（i 是虚数单位），则复数z =A．32-B．32- C．322+D．322-- 【试题来源】湖北省荆州中学2020-2021学年高二上学期期末 【答案】A【分析】由()36z =-，得z =，利用复数除法运算法则即可得到结果．【解析】复数z满足()36z +=-，6332z --=====-∴+，故选A ．25．若复数2i()2i+=∈-R a z a 是纯虚数，则z = A ．2i - B ．2i C ．i -D ．i【试题来源】河南省驻马店市2020-2021学年高三上学期期末考试（理） 【答案】D【分析】由复数的除法运算和复数的分类可得结果． 【解析】因为2i (2i)(2i)22(4)i2i (2i)(2i)5+++-++===-+-a a a a z 是纯虚数， 所以22040a a -=⎧⎨+≠⎩，则1a =，i =z ．故选D ．26．复数12z i =+，213z i =-，其中i 为虚数单位，则12z z z =⋅在复平面内的对应点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】江苏省G4（苏州中学、常州中学、盐城中学、扬州中学）2020-2021学年高三上学期期末联考 【答案】D【分析】根据复数的乘法法则，求得55z i =-，即可求得答案． 【解析】由题意得122(2)(13)25355i i i i i z z z =+-=-==--⋅， 所以12z z z =⋅在复平面内的对应点为（5，-5）位于第四象限，故选D27．复数2()2+∈-R a ia i 的虚部为 A ．225+aB ．45a - C ．225a -D ．45a +【试题来源】河南省驻马店市2020-2021学年高三上学期期末考试（文） 【答案】D【分析】由得数除法运算化为代数形式后可得． 【解析】因为2i (2i)(2i)22(4)i 2i (2i)(2i)5+++-++==-+-a a a a ，所以其虚部为45a +．故选D ． 28．复数z 满足()12z i i ⋅+=，则2z i -=ABCD ．2【试题来源】安徽省蚌埠市2020-2021学年高三上学期第二次教学质量检查（文） 【答案】A【分析】先利用除法化简计算z ，然后代入模长公式计算．【解析】()1i 2i z ⋅+=变形得22222221112-+====++-i i i i z i i i ，所以2121-=+-=-==z i i i i A ．29．i 是虚数单位，若()17,2ia bi ab R i-=+∈+，则ab 的值是 A ．15- B ．3- C ．3D ．15【试题来源】山东省菏泽市2020-2021学年高三上学期期末 【答案】C【分析】根据复数除法法则化简得数后，由复数相等的定义得出,a b ，即可得结论．【解析】17(17)(2)2147132(2)(2)5i i i i i i i i i ------===--++-， 所以1,3a b =-=-，3ab =．故选C ． 30．复数3121iz i -=+的虚部为 A ．12i -B ．12i C ．12-D ．12【试题来源】江西省赣州市2021届高三上学期期末考试（理） 【答案】C【分析】由复数的乘除法运算法则化简为代数形式，然后可得虚部．【解析】231212(12)(1)1223111(1)(1)222i i i i i i i z i i i i i ---++--=====-+--+， 虚部为12-．故选C ． 31．若复数z 满足(1)2i z i -=，i 是虚数单位，则z z ⋅=AB ．2C ．12D ．2【试题来源】内蒙古赤峰市2021届高三模拟考试（理） 【答案】B【分析】由除法法则求出z ，再由乘法法则计算．【解析】由题意222(1)2()11(1)(1)2i i i i i z i i i i ++====-+--+， 所以(1)(1)2z z i i ⋅=-+--=．故选B ． 32．若23z z i +=-，则||z =A ．1 BCD ．2【试题来源】河南省（天一）大联考2020-2021学年高三上学期期末考试（理） 【答案】B【分析】设(,)z a bi a b R =+∈，代入已知等式求得,a b 后再由得数的模的定义计算． 【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，则22()33z z a bi a bi a bi i +=++-=-=-，所以以331a b =⎧⎨-=-⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，所以==z B ．33．复数z 满足(2)(1)2z i i -⋅+=（i 为虚数单位），则z = A ．1 B ．2CD 【试题来源】宁夏吴忠市2021届高三一轮联考（理） 【答案】C【分析】先将复数化成z a bi =+形式，再求模． 【解析】由(2)(1)2z i i -⋅+=得2211z i i i-==-+，所以1z i =+，z ==C ．34．已知a R ∈，若()()224ai a i i +-=-（i 为虚数单位），则a = A ．-1 B ．0 C ．1D ．2【试题来源】浙江省杭州市2020-2021学年高三上学期期末教学质量检测 【答案】B【分析】将()()22ai a i +-展开可得答案．【解析】()()()222444ai a i a a i i +-=+-=-，所以0a =，故选B.35．已知i 为虚数单位，且复数3412ii z+=-，则复数z 的共轭复数为 A ．12i -+ B ．12i -- C ．12i +D ．1 2i -【试题来源】湖北省孝感市应城市第一高级中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】D【分析】根据复数模的计算公式，以及复数的除法运算，求出z ，即可得出其共轭复数． 【解析】因为3412i i z+=-，所以512z i =-，则()()()512512121212i z i i i i +===+--+， 因此复数z 的共轭复数为1 2i -．故选D ． 36．已知复数i()1ia z a +=∈+R 是纯虚数，则z 的值为 A ．1 B ．2 C ．12D ．-1【试题来源】江西省赣州市2021届高三上学期期末考试（文） 【答案】A【分析】根据复数除法运算化简z ，根据纯虚数定义求得a ，再求模长． 【解析】()()()()11121122a i i a i a a z i i i i +-++-===+++-是纯虚数，102102a a +⎧=⎪⎪∴⎨-⎪≠⎪⎩，解得1a =-，所以z i ，1z =．故选A ． 37．设复数11iz i，那么在复平面内复数31z -对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】陕西省咸阳市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（理） 【答案】C【分析】利用复数的除法法则化简复数z ，再将复数31z -化为一般形式，即可得出结论．【解析】()()()21121112i ii z i i i i ---====-++-，3113z i ∴-=--， 因此，复数31z -在复平面内对应的点位于第三象限．故选C ． 38．已知复数13iz i-=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】江西省南昌市新建区第一中学2020-2021学年高二上学期期末考试（理） 【答案】D【分析】将复数化简成z a bi =+形式，则在复平面内对应的点的坐标为(),a b ，从而得到答案．【解析】因为1(1)(3)24123(3)(3)1055i i i i z i i i i ----====-++-， 所以z 在复平面内对应的点12(,)55-位于第四象限，故选D.39．若复数2(1)34i z i+=+，则z =A ．45 B ．35C ．25D 【试题来源】成都市蓉城名校联盟2020-2021学年高三上学期（2018级）第二次联考 【答案】C 【分析】先求出8625iz -=，再求出||z 得解． 【解析】由题得()()()()212342863434343425i i i i iz i i i i +-+====+++-，所以102255z ===．故选C. 40．设复数11iz i，那么在复平面内复数1z -对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】陕西省咸阳市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（文） 【答案】C【分析】先求出z i =-，11z i -=--，即得解．【解析】由题得21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-， 所以11z i -=--，它对应的点的坐标为(1,1)--， 所以在复平面内复数1z -对应的点位于第三象限．故选C. 二、多选题1．已知m ∈R ，若6()64m mi i +=-，则m =A ．B ．1-CD ．1【试题来源】2021年高考一轮数学（理）单元复习一遍过 【答案】AC【分析】将6()m mi +直接展开运算即可．【解析】因为()()66661864m mi m i im i +=+=-=-，所以68m =，所以m =故选AC ． 2．设复数z 满足1z i z+=，则下列说法错误的是 A ．z 为纯虚数B ．z 的虚部为12i -C ．在复平面内，z 对应的点位于第三象限D ．2z = 【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】AB【分析】先由复数除法运算可得1122z i =--，再逐一分析选项，即可得答案． 【解析】由题意得1z zi +=，即111122z i i -==---， 所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为12-，故B 错误；在复平面内，z 对应的点为11(,)22--，在第三象限，故C 正确；2z ==，故D 正确．故选AB 【名师点睛】本题考查复数的除法运算，纯虚数、虚部的概念，复平面内点所在象限、复数求模的运算等知识，考查计算求值的能力，属基础题．3．已知复数122z =-，则下列结论正确的有 A ．1z z ⋅=B ．2z z =C ．31z =-D ．202012z =-+ 【试题来源】山东新高考质量测评联盟2020-2021学年高三上学期10月联考 【答案】ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质．【解析】因为111312244z z ⎛⎫⎛⎫-+=+= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎭=⎝⋅，所以A 正确；因为221122z ⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭=，122z =+，所以2z z ≠，所以B 错误；因为3211122z z z ⎛⎫⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；因为6331z z z =⋅=，所以()202063364431112222zzz z z ⨯+⎛⎫===⋅=-⋅-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选ACD ．【名师点睛】本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易． 4．下面是关于复数21iz =-+的四个命题，其中真命题是A ．||z =B ．22z i =C ．z 的共轭复数为1i -+D ．z 的虚部为1-【试题来源】福建省龙海市第二中学2019-2020学年高二下学期期末考试 【答案】ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出z ，再依次判断各选项． 【解析】()()()2121111i z i i i i --===---+-+--，z ∴==，故A 正确；()2212z i i =--=，故B 正确；z 的共轭复数为1i -+，故C 正确；z 的虚部为1-，故D 正确；故选ABCD ．【名师点睛】本题考查复数的除法运算，以及对复数概念的理解，属于基础题． 5．若复数351iz i-=-，则A ．z =B ．z 的实部与虚部之差为3C ．4z i =+D ．z 在复平面内对应的点位于第四象限 【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】AD【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出． 【解析】()()()()351358241112i i i iz i i i i -+--====---+，z ∴==，z 的实部为4，虚部为1-，则相差5，z 对应的坐标为()41-,，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正确，故选AD ．6．已知复数202011i z i+=-(i 为虚数单位)，则下列说法错误的是A ．z 的实部为2B ．z 的虚部为1C ．z i =D ．||z =【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解．【解析】因为复数2020450511()22(1)11112i i i z i i i i +++=====+---，所以z 的虚部为1，||z =，故AC 错误，BD 正确．故选AC. 7．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位）下列说法正确的是A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．1z =D ．1z的虚部为sin θ 【试题来源】湖北省六校（恩施高中、郧阳中学、沙市中学、十堰一中、随州二中、襄阳三中）2020-2021学年高三上学期11月联考 【答案】BC【分析】分02θπ-<<、0θ=、02πθ<<三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数1z，利用复数的概念可判断D 选项的正误．【解析】对于AB 选项，当02θπ-<<时，cos 0θ>，sin 0θ<，此时复数z 在复平面内的点在第四象限；当0θ=时，1z R =-∈； 当02πθ<<时，cos 0θ>，sin 0θ>，此时复数z 在复平面内的点在第一象限．A 选项错误，B 选项正确； 对于C 选项，22cos sin 1z θθ=+=，C 选项正确；对于D 选项，()()11cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin i i z i i i θθθθθθθθθθ-===-++⋅-， 所以，复数1z的虚部为sin θ-，D 选项错误．故选BC ． 8．已知非零复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则下列判断一定正确的是 A ．12z z R +∈B ．12z z R ∈C ．12z R z ∈D ．12z R z ∈【试题来源】重庆市南开中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】BD【分析】设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈，结合选项逐个计算、判定，即可求解． 【解析】设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈，则()()12()()z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，则0ad bc +=，对于A 中，12()()z z a bi c di a c b d i +=+++=+++，则12z z R +∈不一定成立，所以不正确；对于B 中，12()()ac bd ad bc z R i z =-+∈-一定成立，所以B 正确； 对于C 中，()()()()2122()()a bi c di a bi ac bd ad bc i R c di c di c z di z c d+-++--==∈++-+=不一定成立，所以不正确；对于D 中，()()()()2122()()a bi c di a bi ac bd ad bc iR c di c di c z di z c d ++++++==∈--++=一定成立，所以正确．故选BD ．9．已知复数()()()32=-+∈z a i i a R 的实部为1-，则下列说法正确的是 A ．复数z 的虚部为5- B ．复数z 的共轭复数15=-z i C．z =D ．z 在复平面内对应的点位于第三象限【试题来源】辽宁省六校2020-2021学年高三上学期期中联考 【答案】ACD【分析】首先化简复数z ，根据实部为-1，求a ，再根据复数的概念，判断选项． 【解析】()()()()23232323223z a i i a ai i i a a i =-+=+--=++-，因为复数的实部是-1，所以321a +=-，解得1a =-， 所以15z i =--，A ．复数z 的虚部是-5，正确；B ．复数z 的共轭复数15z i =-+，不正确；C ．z ==D ．z 在复平面内对应的点是()1,5--，位于第三象限，正确．故选ACD 10．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位），下列说法正确的是（） A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限 B ．cos z θ=C ．1z z ⋅=D ．1z z+为实数 【试题来源】山东省菏泽市2021届第一学期高三期中考试数学（B ）试题 【答案】CD【分析】利用复数对应点，结合三角函数值的范围判断A ；复数的模判断B ；复数的乘法判断C ；复数的解法与除法，判断D ． 【解析】复数cos sin ()22z i ππθθθ=+-<<（其中i 为虚数单位），复数z 在复平面上对应的点(cos ,sin )θθ不可能落在第二象限，所以A 不正确；1z ==，所以B 不正确；22·(cos sin )(cos sin )cos sin 1z z i i θθθθθθ=+-=+=．所以C 正确；11cos sin cos sin cos()sin()2cos cos sin z i i i z i θθθθθθθθθ+=++=++-+-=+为实数，所以D 正确；故选CD11．已知i 为虚数单位，下面四个命题中是真命题的是 A ．342i i +>+B ．24(2)()a a i a R -++∈为纯虚数的充要条件为2a =C ．()2(1)12z i i =++的共轭复数对应的点为第三象限内的点D ．12i z i +=+的虚部为15i 【试题来源】2020-2021年新高考高中数学一轮复习对点练 【答案】BC【分析】根据复数的相关概念可判断A ，B 是否正确，将()2(1)12z i i =++展开化简可判断C 选项是否正确；利用复数的除法法则化简12iz i+=+，判断D 选项是否正确． 【解析】对于A ，因为虚数不能比较大小，故A 错误；对于B ，若()242a a i ++-为纯虚数，则24020a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得2a =，故B 正确；对于C ，()()()211221242z i i i i i =++=+=-+，所以42z i =--对应的点为()4,2--位于第三象限内，故C 正确；对于D ，()()()()12132225i i i i z i i i +-++===++-，虚部为15，故D 错误．故选BC ． 12．已知复数(12)5z i i +=，则下列结论正确的是A ．|z |B ．复数z 在复平面内对应的点在第二象限C ．2z i =-+D ．234z i =+【试题来源】河北省邯郸市2021届高三上学期期末质量检测【答案】AD【分析】利用复数的四则运算可得2z i =+，再由复数的几何意义以及复数模的运算即可求解．【解析】5512122121212()()()()i i i z i i i i i i -===-=+++-，22,||34z i z z i =-==+ 复数z 在复平面内对应的点在第一象限，故AD 正确．故选AD13．已知i 是虚数单位，复数12i z i -=(z 的共轭复数为z )，则下列说法中正确的是 A ．z 的虚部为1B ．3z z ⋅=C ．z =D ．4z z +=【试题来源】山东省山东师大附中2019-2020学年高一下学期5月月考【答案】AC 【分析】利用复数的乘法运算求出122i z i i-==--，再根据复数的概念、复数的运算以及复数模的求法即可求解． 【解析】()()()12122i i i z i i i i ---===---，所以2z i =-+， 对于A ，z 的虚部为1，故A 正确；对于B ，()2225z z i ⋅=--=，故B 不正确；对于C ，z =C 正确；对于D ，4z z +=-，故D 不正确．故选AC14．早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程．16世纪上半叶，数学家得到了一元三次、一元四次方程的解法．此后数学家发现一元n 次方程有n 个复数根（重根按重数计）．下列选项中属于方程310z -=的根的是A．12 B．12-+ C．122-- D ．1【试题来源】江苏省苏州市2020-2021学年高二上学期1月学业质量阳光指标调研【答案】BCD【分析】逐项代入验证是否满足310z -=即可．【解析】对A，当122z =+时， 31z -31122i ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎭=⎝21112222⎛⎫⎛⎫+⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=21121344i ⎛⎫=++⋅ ⎪⎛⎫+- ⎪ ⎝ ⎭⎭⎪⎪⎝12112⎛⎫=-+⋅⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭2114⎫=-+-⎪⎪⎝⎭ 13144=--- 2=-，故3120z -=-≠，A 错误； 对B，当12z =-时，31z -3112⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭=211122⎛⎫⎛⎫-⋅-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2113124242i ⎛⎫=-+⋅ ⎪ ⎪⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1221122⎛⎫-⎛⎫=--⋅ ⎪+ - ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭21142⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ 13144=+- 0=，故310z -=，B 正确； 对C，当12z =-时，31z-31122⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭=21112222⎛⎫⎛⎫--⋅--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=21131442i ⎛⎫=++⋅ ⎪ ⎪⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12112⎛⎫-⎛⎫=-+⋅ ⎪- - ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭2114⎫=--⎪⎪⎝⎭13144=+-0=，故310z -=，C 正确； 对D ，显然1z =时，满足31z =，故D 正确．故选BCD ．15．已知复数()()122z i i =+-，z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是A ．z 的虚部为3iB ．5z =C ．4z -为纯虚数D ．z 在复平面上对应的点在第四象限【试题来源】湖南师范大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】BCD【分析】先根据复数的乘法运算计算出z ，然后进行逐项判断即可．【解析】因为()()12243z i i i =+-=+，则z 的虚部为3，5z z ===，43z i -=为纯虚数，z 对应的点()4,3-在第四象限，故选BCD ．三、填空题1．已知复数z 满足(1)1z i i ⋅-=+(i 为虚数单位)，则z =_________．【试题来源】上海市松江区2021届高三上学期期末（一模）【答案】1【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解析】由(1)1z i i ⋅-=+，得21(1)1(1)(1)i i z i i i i ++===--+，所以1z =．故答案为1． 2．i 是虚数单位，复数1312i i-+=+_________． 【试题来源】天津市七校2020-2021学年高三上学期期末联考【答案】1i +【分析】分子分母同时乘以分母的共轭复数12i -，再利用乘法运算法则计算即可． 【解析】()()()()22131213156551121212145i i i i i i i i i i i -+--+-+-+====+++--．故答案为1i +． 3．若复数z 满足方程240z +=，则z =_________．【试题来源】上海市复旦大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】2i ±【分析】首先设z a bi =+，再计算2z ，根据实部和虚部的数值，列式求复数．．【解析】设z a bi =+，则22224z a b abi =-+=-，则2240a b ab ⎧-=-⎨=⎩，解得02a b =⎧⎨=±⎩，所以2z i =±，故答案为2i ±. 4．复数21i-的虚部为_________． 【试题来源】上海市上海交通大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】1【分析】根据分母实数化，将分子分母同乘以分母的共轭复数1i +，然后即可判断出复数的虚部． 【解析】因为()()()2121111i i i i i +==+--+，所以复数的虚部为1，故答案为1． 5．若复数z 满足(12)1i z i +=-，则复数z 的虚部为_________．【试题来源】山东省山东师大附中2019-2020学年高一下学期5月月考 【答案】35【分析】根据复数的除法运算法则，求出z ，即可得出结果．【解析】因为(12)1i z i +=-，所以()()()()112113213121212555i i i i z i i i i -----====--++-， 因此其虚部为35．故答案为35． 6．复数34i i+=_________． 【试题来源】北京市东城区2021届高三上学期期末考试【答案】43i -【分析】分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理后得到最简形式即可． 【解析】由复数除法运算法则可得， ()343434431i i i i i i i i +⋅+-===-⋅-，故答案为43i -． 7．已知复数(1)z i i =⋅+，则||z =_________．【试题来源】北京市西城区2020-2021学年高二上学期期末考试【分析】根据复数的运算法则，化简复数为1z i =-+，进而求得复数的模，得到答案．【解析】由题意，复数(1)1z i i i =⋅+=-+，所以z == 8．i 是虚数单位，复数73i i-=+_________． 【试题来源】宁夏银川一中2020-2021学年高二上学期期末考试（文）【答案】2i -【分析】根据复数除法运算法则直接计算即可． 【解析】()()()()27372110233310i i i i i i i i i ----+===-++-．故答案为2i -． 9．设复数z 的共轭复数是z ，若复数143i z i -+=，2z t i =+，且12z z ⋅为实数，则实数t 的值为_________．【试题来源】宁夏银川一中2020-2021学年高二上学期期末考试（理） 【答案】34【分析】先求出12,z z ，再计算12z z ⋅即得解． 【解析】由题得14334i z i i-+==+，2z t i =-， 所以12(34)()34(43)z z i t i t t i ⋅=+-=++-为实数， 所以3430,4t t -=∴=．故答案为34【名师点睛】复数(,)a bi a b R +∈等价于0b =，不需要限制a ．10．函数()n nf x i i -=⋅（n N ∈，i 是虚数单位）的值域可用集合表示为_________． 【试题来源】上海市上海中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】{}1【分析】根据复数的运算性质可函数的值域．【解析】()()1111nn n n n n n n f x i i i i i i i i --⎛⎫=⋅⋅⋅⋅= ⎪⎝=⎭==，故答案为{}1． 11．已知()20212i z i +=（i 为虚数单位），则z =_________．【试题来源】河南省豫南九校2021届高三11月联考教学指导卷二（理）【分析】由i n 的周期性，计算出2021i i =，再求出z ，求出z ．【解析】因为41i =，所以2021i i =，所以i 12i 2i 55z ==++，所以z z == 【名师点睛】复数的计算常见题型：（1） 复数的四则运算直接利用四则运算法则；（2） 求共轭复数是实部不变，虚部相反；（3） 复数的模的计算直接根据模的定义即可．12．若31z i =-（i 为虚数单位），则z 的虚部为_________． 【试题来源】江西省上饶市2021届高三第一次高考模拟考试（文） 【答案】32-【分析】利用复数的除法化简复数z ，由此可得出复数z 的虚部． 【解析】()()()313333111122i z i i i i i +==-=-=-----+，因此，复数z 的虚部为32-． 故答案为32-． 13．设i 为虚数单位，若复数z 满足()21z i -⋅=，则z =_________． 【试题来源】江西省上饶市2020-2021学年高二上学期期末（文）【答案】2i +【分析】利用复数的四则运算可求得z ，利用共轭复数的定义可求得复数z ．【解析】()21z i -⋅=，122z i i ∴=+=-，因此，2z i =+．故答案为2i +． 14．已知i 是虚数单位，则11i i+=-_________． 【试题来源】湖北省宜昌市2020-2021学年高三上学期2月联考【答案】1【分析】利用复数的除法法则化简复数11i i +-，利用复数的模长公式可求得结果． 【解析】()()()21121112i i i i i i i ++===--+，因此，111i i i +==-．故答案为1． 15．i 是虚数单位，复数103i i=+____________． 【试题来源】天津市南开中学2020-2021学年高三上学期第四次月考【答案】13i +【分析】根据复数的除法运算算出答案即可．【解析】()()()()10310313333i i i i i i i i i -==-=+++-，故答案为13i +. 16．在复平面内，复数()z i a i =+对应的点在直线0x y +=上，则实数a =_________．【试题来源】北京市丰台区2021届高三上学期期末练习【答案】1【分析】由复数的运算法则和复数的几何意义直接计算即可得解．【解析】2()1z i a i ai i ai =+=+=-+，其在复平面内对应点的坐标为()1,a -， 由题意有：10a -+=，则1a =．故答案为1．17．已知复数z 满足()1234i z i +=+（i 为虚数单位），则复数z 的模为_________．【试题来源】江苏省苏州市2020-2021学年高二上学期1月学业质量阳光指标调研【分析】求出z 后可得复数z 的模．【解析】()()3412341121255i i i i z i +-+-===+，5z == 18．复数1i i-(i 是虚数单位)的虚部是_________． 【试题来源】北京通州区2021届高三上学期数学摸底（期末）考试【答案】1-【分析】先化简复数得1i 1i i-=--，进而得虚部是1-【解析】因为()()221i i 1i i i 1i i i--==--=--， 所以复数1i i-(i 是虚数单位)的虚部是1-．故答案为1-. 19．已知i 是虚数单位，复数11z i i =+-，则z =_________． 【试题来源】山东省青岛市2020-2021学年高三上学期期末【答案】2【分析】根据复数的除法运算，化简复数为1122z i =-+，再结合复数模的计算公式，即可求解． 【解析】由题意，复数()()111111122i z i i i i i i --=+=+=-+----，所以2z ==．故答案为2． 20．计算12z ==_______． 【试题来源】2021年高考一轮数学（理）单元复习一遍过【答案】-511【分析】利用复数的运算公式，化简求值．【解析】原式1212369100121511()i ==+=-+=--． 【名师点睛】本题考查复数的n次幂的运算，注意31122⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，()212i i +=， 以及()()612211i i ⎡⎤+=+⎣⎦，等公式化简求值． 四、双空题1．设32i i 1ia b =++(其中i 为虚数单位，a ，b ∈R )，则a =_________，b =_________． 【试题来源】浙江省绍兴市嵊州市2020-2021学年高三上学期期末【答案】1- 1- 【分析】利用复数的除法运算化简32i 1i 1i=--+，利用复数相等的定义得到a ，b 的值，即得解． 【解析】322(1)2211(1)(1)2i i i i i a bi i i i ----===--=+++-，1,1a b ∴=-=-. 故答案为－1；－1.2．已知k ∈Z ， i 为虚数单位，复数z 满足：21k i z i =-，则当k 为奇数时，z =_________；当k ∈Z 时，|z +1+i |=_________．【试题来源】2020-2021学年【补习教材寒假作业】高二数学（苏教版）【答案】1i -+ 2【分析】由复数的运算及模的定义即可得解．【解析】当k 为奇数时，()()2211k k k i i ==-=-， 所以1z i -=-即1z i =-+，122z i i ++==； 当k 为偶数时，()()2211k k k i i ==-=，所以1z i =-，122z i ++==；所以12z i ++=．故答案为1i -+；2．3．若复数()211z m m i =-++为纯虚数，则实数m =_________，11z=+_________． 【试题来源】浙江省金华市义乌市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试【答案】1 1255i - 【分析】由题可得21010m m ⎧-=⎨+≠⎩，即可求出m ，再由复数的除法运算即可求出．【解析】复数()211z m m i =-++为纯虚数，21010m m ⎧-=∴⎨+≠⎩，解得1m =，。

2024届河北省石家庄市五校联合体高三第一次联合考试数学试题试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图所示，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，双曲线C 的右支上一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且||2||BF AF =，则双曲线C 的离心率是（ ）.A ．33B ．72C ．3D ．72．在平面直角坐标系中，若不等式组44021005220x y x y x y -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域内存在点()00,x y ，使不等式0010x my ++≤成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．5(,]2-∞-B ．1(,]2-∞-C ．[4,)+∞D ．(,4]-∞-3．三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ︒∠=∠=，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A 3B ．66C 3D ．364．已知函22()(sin cos )2cos f x x x x =++，,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则()f x 的最小值为（ ）5．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若点(2,1)P -在角α的终边上，则sin 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．45-B ．45C ．35D ．356．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，且公比为2，则n S 与n a 的关系正确的是（ ） A ．41n n S a =- B ．21n n S a =+ C ．21n n S a =-D ．43n n S a =-7．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若111,,tan tan tan A B C依次成等差数列，则（ ） A ．,,a b c 依次成等差数列 B ．,,a b c 依次成等差数列 C ．222,,a b c 依次成等差数列D ．333,,a b c 依次成等差数列8．各项都是正数的等比数列{}n a 的公比1q ≠，且2311,,2a a a 成等差数列，则3445a a a a ++的值为( )A ．152- B ．512+ C ．512- D ．512+或512- 9．某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（ ）.A ．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加B ．与2016年相比，2019年一本达线人数减少C ．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.3倍D ．2016年与2019年艺体达线人数相同10．《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AA =，当阳马11B ACC A -体积的最大值为43时，堑堵111ABC A B C -的外接球的体积为（ ）A ．4π3B ．82π3C ．32π3D ．642π311．函数()cos2xf x x =的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．12．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。