晶体的倒格子和布里渊区

4、面心立方格子的布里渊区
（1）面心立方格子的格子常数（立方边长）为a，倒格子为体心 立方，倒格子常数（立方边长）为4/a。 （2）第一布里渊区为截角八面体（十四面体） (3) 几个点的坐标 ： 2/a(0，0，0) X： 2/a(1，0，0) L： 2/a(-½，½ ，½ ) K： 2/a(0，¾，¾ )
2、倒格子
布拉维格子的基矢a1、 a2 、a3为正格子基矢，称Rl=l1a1+l2a2+l3a3决 定的空间为正格子，=a1· (a2×a3)为正格子原胞体积。 × 2 × × 定义 1 2 3 3 1
b
1
= 2π a a Ω
为倒格子基矢，由Kh=h1b1+h2b2+h3b3决定的空间为倒格子， =b1· (b2×b3)为倒格子原胞体积。 正格子空间的长度量纲是m,倒格子空间的长度量纲为m-1。
3、两种格子原胞间的关系
Ω
*
2π =
Ω
3
倒格子原胞体积与正格子原胞体积存在倒数关系。
4、正格子与倒格子互为对方的倒格子 根据倒格子基矢的定义，倒格子的倒格子基矢
b
* 1
×b b = 2π
2
3
Ω*
a1
同理，可以证明 b2*=a2, b3*=a3 倒格子的倒格子就是正格子。
5、正格子（h1h2h3)晶面族与倒格矢Kh正交 Kh•CA=(h1b1+h2b2+h3b3) •(a1/h1-a3/h3)=0 Kh•CB=(h1b1+h2b2+h3b3) •(a2/h2-a3/h3)=0
矢量的乘积
标量积或点积 A· B=|A||B|cos(A,B) 矢量积或叉积 任何两个矢量Ａ和Ｂ的矢量积是一个矢量，它的大小等于这两个矢 量作成的平行四边形的面积，方向与这个平行四边形所在的平面的 垂线方向平行。 |AB|=|ABsin(A,B)|

a 3 正格子原胞基矢 a1 = ai, a2 = i + aj 2 2 取单位矢量k垂直于i, j 则，a1，a2和k构成的体积 3 2 Ω= a 2
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
倒格子原胞的基矢为 2π (a2 × k ) 2π 2π b1 = i− j = Ω a 3a 2π (k × a1 ) 4π b2 = = j Ω 3a
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
正方格子其它布里渊区的形成
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
正方格子其它布里渊区的形状
—— 每个布 里渊区经过适 当的平移之后 和第一布里渊 区重合
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
二维斜格子的第一布里渊区
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
二维斜格子其它布里渊区的形成
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
二维斜格子其它布里渊区的形状
—— 每个布里 渊区经过适当 的平移之后和 第一布里渊区 重合
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
平面正三角形，相邻原子间距为 求正格矢和倒格矢 求正格矢和倒格矢， 平面正三角形，相邻原子间距为a,求正格矢和倒格矢，画 出第一和第二布里渊区
的垂直平分线和第一 布里渊区边界所围成 —— 第二布里渊区大小
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
第三布里渊区 由4个倒格点 个倒格点
的垂直平分线和第二布 里渊区边界边界所围成 第三布里渊区大小
§3-4 三维晶格的振动 ——

问题：
若Gh，Rn分别为正、倒格矢，上 式成立。反之，若上式成立，若已知 一个为正格矢，则另一个必为倒格矢 吗？
证：
Gn
x
晶为面：族(h1h2h3x) 中 离G G原hh 点距m 离为dhmdh的晶面方程 其中
x为晶面上的任意位矢，并不一定是格矢。
由性质（4）
dh
2
Gh
x
G h Gh
x
Gh
（B） c 2
类似可得
b2＝
2
（a3×a1）
b3＝
2
(a1×a2)
2
2
有了倒格子基矢，可构成倒格矢。
Gh＝h1b1＋h2b2＋h3b3 倒格子周期性
其中h1 h2 h3为任意整数，由倒格矢Gh确定的空间 叫倒格子空间。
由上定义可知，Gh与波矢K有相同的量钢。 属同一“空间” Gh是K空间的特定矢量。
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§1.6 倒格子与布里渊区
一. 倒格子
（先在B格子和基矢坐标系中讨论)
1. 定义：
正格子基矢 a1 a2 a3 倒格子基矢 b1 b2 b3
即 U⊥Gh 同理可证υ⊥Gh Gh与（h1、h2、h3）面内二条非平行直线均 垂直,所以
Gh垂直于（h1、h2、h3）晶面族。
(4) 某方向最短倒格矢 Gh＝h1b1＋h2b2＋h3b3 之模 和晶面族（h1、h2、h3）的 面间距dh成反比。
dh
2
Gh
（5）倒格矢Gh和正格矢Rn的 标积是2π的整数倍 Gh·Rn＝2πm

第一章 晶体结构
第五节 七个晶系和十四种布拉菲格子
根据晶体的对称性特征划分： 32点群； 230种空间群 7个晶系 14种布拉菲格子
晶系 三斜 单斜 正交 三方 四方
对称性特征 只有1或 i 唯一2或 m 三个2或 m 唯一3 或 唯一4 或
第一章 晶体结构 a b c
C1、 Ci a b c ==90º C2、CS、C2h D2、C2V、D2h C 3 、 S6 、 D 3 C3Ｖ、D3d C4、S4、C4h、D4 C4V、D2d、D4h
晶胞参数
所属点群
Bravais格子 简单三斜 简单单斜 底心单斜 简单、底心、体 心、面心正交 三方 简单四方 体心四方 六方
第五节 七个晶系和十四种布拉菲格子
a b c = ＝= 90º a=b=c = ＝ 90º a=b c = ＝= 90º
六方
唯一6 或
a=b c C6、C3h、C6h、D6、 = ＝ 90º =120º C6V、D3h、D6h
第一章 晶体结构
第六节 倒格子和布里渊区
① ② O
③
二维正方格子的布里渊区
二维正方格子的布里渊区
①
②
二维正方格子的布里渊区
①
②
第一章 晶体结构
第六节 倒格子和布里渊区
二维正方格子的10个布里渊区
பைடு நூலகம்
第一章 晶体结构
第六节 倒格子和布里渊区
二维六方格子的10个布里渊区
第一章 晶体结构
第六节 倒格子和布里渊区
立方
四个3
a=b=c = ＝＝ 90º
T、Th、Td O、 Oh
简单、体心、面 心立方
第一章 晶体结构
第五节 七个晶系和十四种布拉菲格子