垂线练习题

过一点作垂线作图操作题专项练习40题1．过点A 画已知直线的垂线．2．过三角形A点作BC边上的垂线．3．分别过点A画线段BC垂直的线段：4．过A点分别画出角O两条边的垂线．5．过点A做出已知直线的垂线6．过B点画直线m的垂线．7．过B点作直线n的垂线．8．过p点画出已知直线的垂线．9．新华村要修一条通村公路（从国道到新华村），以便于农副产品的运输．你认为怎样设计最近？画一画．10．A是BC上一点，过点A分别作BC和CD的垂线．11．过A点画已知直线的垂线．12．过直线上或直线外一点，画已知直线的垂线．13．如图，你知道点A到直线a、b的距离各是多少吗？怎样量？画一画．14．过点A画已知直线的垂线．15．如下图，要从幸福镇（用A点表示）修一条通往公路的小路，怎样修最近呢？画一画，并说明理由．16．分别过直线上的点A和直线外的点B画已知直线的垂线．17．过C点分别作OA和OB的垂线．18．过A点作这条直线的垂线．20．经过点P分别画OA的平行线和OB的垂线．21．过点A画BC的垂线．22．画一画．过点A画已知直线的垂线．23．画一画．（1）过A点画线的垂线．（2）过P点，向角两边画垂线．25．过B点分别画出两条直线的垂线．26．过B点分别作已知角的两条边的垂线．27．过点A画已知直线的垂线．28．过P点作四条边的垂线．29．过点A画BC的垂线．31．如图，过A点作直线m的垂线，过B点作直线m的垂线，这两条垂线32．如图，过点A分别作直线BC的垂线（MN）和平行线（EF）．33．过三角形ABC的顶点B画它对边AC的垂线BD．34．过三角形内一点作这个三角形三边的垂线．35．过A点作两条直线的垂线．36．过点B分别向角的两条边画垂线．37．过直线上或直线外一点画已知直线的垂线．38．过A点画角的两边的垂线．39．过A、B两点分别画已知直线的垂线，再填空．两条垂线的关系：．40．过A点画出两条直线的垂线过一点作垂线作图操作题40题参考答案：1．【分析】把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可．【解答】解：画图如下：2．【分析】把三角板的一条直角边与BC重合，沿BC移动三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边，向BC画直线即可．【解答】解：画图如下：3．【分析】把三角板的一条直角边与线段BC重合，沿线段BC移动三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边，向线段BC画垂直的线段即可．【解答】解：画图如下：4．【分析】把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可．【解答】解：画图如下：5．【分析】用三角板的一条直角边与已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A点沿直角边向已知直线画直线即可．【解答】解：根据分析画图如下：6．【分析】把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和B点重合，过B点沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可．【解答】解：画图如下：7．【分析】把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和B点重合，过B点沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可．【解答】解：画图如下：8．【分析】把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和P点重合，过P点沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可．【解答】解：9．【分析】根据垂直线段的性质：从直线外一点向已知直线画垂直线段和斜线，垂线段最短．把公路看作一条直线，新华村看作一个点，由点向直线画垂直线段即可．【解答】解：根据分析画图如下：10．【分析】（1）用三角板的一条直角边与BC重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A点沿直角边向BC画直线即可．（2）用三角板的一条直角边与CD重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A点沿直角边向CD画直线即可．【解答】解：11．【分析】把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可．【解答】解：画图如下：12．【分析】把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和直线外一点重合，过直线外一点沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可．【解答】解：画图如下：13．【分析】把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边，向已知直线画垂线段，然后用直尺测量即可．【解答】解：点A到直线a、b的距离分别是0.7厘米和1厘米．14．【分析】把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可．【解答】解：15．【分析】根据垂直线段的性质，从直线外一点到这条直线的连线中，垂直线段最短，过点A作公路所在的直线的垂直线段，沿这条垂直线段修小路最近．【解答】解：如图沿公路所在的直线的垂直线段AB修这条小路最近．理由：从直线外一点到这条直线的连线中，垂直线段最短．16．【分析】把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和A点（或B点）重合，过A点（或B点）沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可．【解答】解：画图如下：17．【分析】把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和C点重合，过C点沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可．【解答】解：画图如下：18．【分析】用三角板的一条直角边的已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A沿直角边向已知直线画直线即可．【解答】解：画图如下，19．【分析】用三角板的一条直角边的已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A沿直角边向已知直线画直线即可．【解答】解：根据分析画图如下：20．【分析】（1）把三角板的一条直角边与已知直线OA重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和p点重合，过P点沿三角板的直角边画直线即可；（2）把三角板的一条直角边与已知直线OB重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和p点重合，过p点沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可．【解答】解：由分析作图如下：21．【分析】把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边，向已知线段BC画垂线即可．【解答】解：画图如下：22．【分析】用三角板的一条直角边的已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A沿直角边向已知直线画直线即可．【解答】解：根据分析画图如下：23．【分析】把三角板的一条直角边与已知直线重合，另一条直角边与直尺重合，然后把直角三角板向A（或P）点平移，再过A（或P）点作直线即可．【解答】解：（1）（2）24．【分析】把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可．【解答】解：画图如下：25．【分析】把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和B点重合，过B点沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可．【解答】解：画图如下：26．【分析】把三角板的一条直角边与已知的角的边重合，沿角的边移动三角板，使三角板的另一条直角边和B点重合，过B点沿三角板的直角边，向角的边画直线即可．【解答】解：画图如下：27．【分析】把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可．【解答】解：画图如下：28．【分析】把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和P点重合，过P点沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可．【解答】解：画图如下：29．【分析】把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可．【解答】解：画图如下：30．【分析】把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿三角板的另一直角边，向已知直线画线段即可．【解答】解：画图如下：31．【分析】用三角板的一条直角边的已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A沿直角边向已知直线画直线即可；同理过B点也可以作出直线m的垂线；然后根据在同一平面内垂直于同一条直线的两条垂线互相平行；由此解答即可．【解答】解：由图可知：过A点作直线m的垂线，过B点作直线m的垂线，这两条垂线互相平行；故答案为：互相平行．32．【分析】（1）用三角板的一条直角边与已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A沿直角边向已知直线画直线即可；（2）把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边画直线即可．【解答】解：作图如下：33．【分析】把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和B点重合，过B点沿三角板的直角边画直线即可．【解答】解：画图如下：二．解答题（共7小题）34．【分析】用直角三角板的一条直角边与三角形的某一条边重合，沿重合的边平移三角板，使另一条直角边与已知点重合，过这个点沿直角边画直线即可．【解答】解：根据题干分析画图如下：35．【分析】用三角板的一条直角边的已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A沿直角边向已知直线画直线即可．【解答】解：画图如下：36．【分析】用三角板的一条直角边与已知直线中的其中一条重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和B点重合，过B沿直角边向已知直线画直线即可；利用同样的方法即可画出另外一条已知直线的垂线．【解答】解：由分析作图如下：37．【分析】用三角板的一条直角边的已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A沿直角边向已知直线画直线即可．【解答】解：作图如下：38．【分析】将三角板的一条直角边和角的一边重合，然后平移三角板，让其另一条直角边与A点重合，过A点和三角板的直角顶点作直线，就是这条边的垂线；同样的方法即可作出过A点的角的另一条边的垂线．【解答】解：如图所示，即为所要求作的垂线：．39．【分析】把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和A（或B）点重合，过A（或B）点沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可．根据垂直与平行的性质可知，所画的两条直线都与已知直线垂直，则两条垂线的关系是平行．【解答】解：画图如下：两条垂线的关系：平行；故答案为：平行．40．【分析】（1）用三角板的一条直角边的已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A沿直角边向已知直线画直线即可．（2）把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边画直线即可．【解答】解：画图如下：。

画垂线的练习题垂线，顾名思义指与另一条线段或者平面相交且与其垂直的线段。

画垂线的练习题在几何学中非常常见，有助于培养学生的观察能力和几何直觉。

通过不同形状和难度级别的练习题，学生可以加深对垂线性质的理解，并且提高画垂线的技巧。

本文将介绍几个画垂线的练习题，并给出详细解答。

练习题1：画垂线连接点与线段题目描述：给定一条线段 AB 和一点 C，画一条垂线通过点 C 并与线段 AB 相交于点 D。

解答：1. 首先，用直尺将线段 AB 画出来，记作 AB。

2. 确定点 C 的位置，并在该位置处画一个点，记作 C。

3. 将直尺的一端放置在点 C 上，另一端沿着线段 AB 平行移动。

4. 在直尺的移动过程中，观察是否存在一个位置使得直尺与线段AB 相交。

如果存在，将该位置标记为点 D。

5. 连接点 C 和点 D，得到一条垂线 CD。

练习题2：画垂线连接平面内两条线段题目描述：给定平面内两条线段 AB 和 CD，画一条垂线连接线段 AB 和线段CD，并确定垂线与两条线段的交点。

解答：1. 首先，用直尺将线段 AB 和线段 CD 画出来，记作 AB 和 CD。

2. 确定线段 AB 和线段 CD 之间的最短距离，即两条线段的最短连线，记作 line。

3. 在最短距离线段上选择一个点 E，与线段 CD 的一个端点连线，记作 AE。

4. 在点 E 的同侧，选择一个与线段 AB 平行的线段 EF。

5. 在线段 CD 上选择一个点 G，使得线段 EG 的长度等于线段 EF 的长度。

6. 连接点 E 和点 G，得到一条垂线 EG。

垂线 EG 和线段 AB、CD 分别相交于点 F 和点 H。

练习题3：画垂线连接两条平面内的直线题目描述：给定平面内两条不相交的直线 l1 和 l2，画一条垂线连接直线 l1 和直线 l2，并确定垂线与两直线的交点。

解答：1. 首先，用直尺将直线 l1 和直线 l2 画出来。

2. 选取直线 l1 上一点 A 和直线 l2 上一点 B。

画垂线练习题（打印版）一、基本概念垂线是两条直线相交成90度角的直线。

在几何学中，垂线是垂直于给定直线的直线。

在平面几何中，如果两条直线相交并且形成直角，那么这两条直线就是互相垂直的。

二、练习题1. 直线与垂线在给定的直线上，找出任意一点，并画出通过该点的垂线。

2. 点与垂线给定一个点A，要求你画出一条直线，使其与点A垂直。

3. 平行线与垂线已知两条平行线，要求画出一条直线，使其同时垂直于这两条平行线。

4. 三角形的高给定一个三角形ABC，要求画出从顶点A到对边BC的垂线，并测量其长度。

5. 矩形的对角线给定一个矩形ABCD，画出对角线AC和BD，并证明它们互相垂直。

6. 圆的切线给定一个圆心O和圆上的一点P，画出从点P到圆的切线。

7. 梯形的高给定一个梯形ABCD，要求画出从上底AB到下底CD的垂线，并测量其长度。

8. 正多边形的对角线给定一个正五边形ABCDE，画出所有可能的对角线，并证明它们互相垂直。

三、解题提示- 确保你的垂线与给定的直线或线段形成90度角。

- 使用直角尺或量角器来确保角度的准确性。

- 在画出垂线时，注意垂线的长度和位置，确保它们满足题目要求。

四、答案示例- 对于练习题1，你可以在直线上任选一点，例如点B，然后使用直角尺画出从点B垂直于直线的线段。

- 对于练习题4，你可以从顶点A向对边BC作垂线，垂足为点E，然后测量AE的长度。

五、注意事项- 在进行练习时，注意保持线条的清晰和准确。

- 练习时可以使用铅笔和直尺，以便在需要时进行修改。

- 完成练习后，检查你的工作，确保所有的垂线都正确无误。

打印说明：请将以上内容打印在A4纸上，以便进行练习。

确保打印时字体清晰，线条准确，以便于练习时的准确性和可读性。

小学三年级数学垂线练习题1. 练习题1：画出垂线在下面的图中，找到每个图形中的垂线，并在图中画出来。

2. 练习题2：找出水平线和垂直线在下面的图中，找出水平线和垂直线，并将其用相应的符号标记出来。

3. 练习题3：填写正确的词语根据下面的句子，选择合适的词语填入空格中，使句子表达正确。

(1) 垂线指的是两条直线______相交成直角的线。

(2) 水平线指的是与地面平行的线，不会倾斜。

4. 练习题4：选择题选择每个问题中正确的答案，并将其标记在括号内。

(1) 垂线和水平线的特点是：(直角/平行)。

(2) 垂线与水平线之间的夹角是：(90度/180度)。

(3) 钢尺的一条边与桌子边缘平行，这条边是：(垂线/水平线)。

5. 练习题5：判断题判断下列句子的正误，并将正确的句子前的括号中的字母填写在横线上。

(1) A. 垂线是两条直线相交成直角的线。

( )B. 垂线是两条直线相交的线。

( )(2) A. 水平线是与地面平行的线。

( )B. 水平线是与地面垂直的线。

( )6. 练习题6：解答题根据下面的问题，用完整的句子进行回答。

(1) 什么是垂线？(2) 垂线和水平线的关系是什么？(3) 请举一个例子，说明垂线在日常生活中的应用。

7. 练习题7：连线题将左栏中的词语与右栏中的相应图形连线，使词语与图形对应。

左栏：垂线、水平线、斜线、直线右栏：[图1]、[图2]、[图3]、[图4]8. 练习题8：数学游戏通过下面的数学游戏，巩固对垂线和水平线的理解。

游戏规则：在一个方形网格中，选出若干个点作为起点，然后按照题目要求，根据垂线和水平线的关系，找出与起点相连的所有点。

完成回答后，请在空格上填写所用的线段数量。

(1) 题目：从起点出发，向上画2条垂线，再向右画3条水平线。

找出与起点相连的所有点。

所用线段数量为________。

(2) 题目：从起点出发，向上画4条垂线，再向左画2条水平线。

找出与起点相连的所有点。

所用线段数量为________。

四年级下册垂线性质练习题垂线性质练习题是四年级下册数学学习的重要内容之一，通过掌握垂线的定义和性质，不仅可以加深对几何概念的理解，还能够培养学生的逻辑思维和几何推理能力。

下面我将为您提供一些垂线性质的练习题，请您具体参考。

练习题一：1. 在平面上，如何判断一条线段与给定的直线相垂直？2. 请画出两条分别与直线相垂直和平行的线段。

3. 若两条线段相垂直，它们之间的夹角是多少？请用图形表示。

4. 若两条线段相垂直，它们之间的夹角是否会受到线段长度的影响？请进行说明。

5. 给定一个直线和一个点，在不使用量角器的情况下，如何在该点上作一条与直线垂直的线段？练习题二：1. 在平面上给出一条直线AB和一点C，如何画出一条通过点C且垂直于直线AB的线段？2. 若一条直线与另一条直线相垂直，那么它们之间的夹角是多少？3. 若一条直线与一条平面相垂直，那么它在该平面上的投影线段是什么？4. 已知一条直线和一点，如何作出通过该点且垂直于给定直线的线段？5. 如何判断两条直线是否垂直？练习题三：1. 在长方形ABCD中，AE是BC的垂线，若BE的长度为8cm，BC的长度为12cm，求AE的长度。

2. 若矩形的长和宽分别为8cm和4cm，求其对角线的长度。

3. 若直角三角形的两条直角边分别为3cm和4cm，求斜边的长度。

4. 若直角梯形的上底和下底分别为6cm和10cm，高为8cm，求斜边的长度。

5. 如何判断一个四边形是否为矩形？以上为四年级下册垂线性质的一些练习题，通过解答这些题目，可以提高学生对垂线性质的理解和运用能力。

希望对您有所帮助！。

七年级数学下册《垂线》练习题及答案一、选择题1．下面说法中错误的是（）A．两条直线相交，有一个角是直角，则这两条直线互相垂直B．若两对顶角之和为1800，则两条直线互相垂直C．两条直线相交，所构成的四个角中，若有两个角相等，则两条直线互相垂直D．两条直线相交，所构成的四个角中，若有三个角相等，则两条直线互相垂直2．如图所示，AB⊥CD，垂足为D，AC⊥BC，垂足为C，那么图中的直角一共有（）A．2个B．3个C．4个D．1个3．如图所示，直线EO⊥CD，垂足为点O，AB平分⊥EOD，则⊥BOD的度数为（）A．120°B．130°C．135°D．1404．点P为直线外一点，点A、B、C为直线上三点，PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝2cm，则点P 到直线的距离为（）A．4cm B．5cm C．小于2cm D．不大于2cm5．如图所示，OA⊥OC，OB⊥OD，下面结论中，其中说法正确的是（）①⊥AOB＝⊥COD；②⊥AOB＋⊥COD＝90°；③⊥BOC＋⊥AOD＝180°；④⊥AOC－⊥COD＝⊥BOC.A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④6．如图所示，直线AB⊥CD于点O，直线EF经过点O，若⊥1＝26°，则⊥2的度数是（⊥）．A．26°B．64°C．54°D．以上答案都不对7．在下列语句中，正确的是（）．A．在平面上，一条直线只有一条垂线;B．过直线上一点的直线只有一条;C．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条;D．垂线段的长度就是点到直线的距离8．如图所示，⊥BAC＝90°，AD⊥BC于D，则下列结论中，正确的个数为（）．①AB⊥AC; ②AD与AC互相垂直; ③点C到AB的垂线段是线段AB; ④点D到BC的距离是线段AD的长度; ⑤线段AB的长度是点B到AC的距离; ⑥线段AB是点B到AC的距离;⑦AD>BD.A．2个B．4个C．7个D．0个9．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分⊥AOC，ON⊥OM，若⊥AOM=35°，则⊥CON的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°10．已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A和B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C⊥为顶点的三角形的面积为1个平方单位，则C 点的个数为（）．A．3个B．4个C．5个D．6个11．已知直线AB，CB，l在同一平面内，若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合题意的图形可以是（）A．B．C．D．12．下列语句正确的是（）A．两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线互相垂直B．两条直线相交成四个角，如果有两对角相等，那么这两条直线互相垂直C．两条直线相交成四个角，如果有三个角相等，那么这两条直线互相垂直D．两条直线相交成四个角，如果有两个角互补，那么这两条直线互相垂直13．过线段外一点画这条线段的垂线，垂足一定在（）A．线段上B．线段的端点上C．线段的延长线上D．以上情况都有可能14．如图，直线AD⊥BD，垂足为D，则点B到线段AC的距离是（）A．线段AC的长B．线段AD的长C．线段BC的长D．线段BD的长15．如图，OM⊥NP，ON⊥NP，所以OM和ON重合，理由是（）A．两点确定一条直线B．经过一点有且只有一条直线和已知直线垂直C．过一点只能作一条垂线D．垂线段最短16．当两条直线相交所成的四个角中，叫做这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫，它们的交点叫．17．过直线上或直线外一点，与已知直线垂直．18．如图所示，若AB⊥CD于O，则⊥AOD＝；若⊥BOD＝90°，则AB CD．19．如图所示，已知AO⊥BC于O，那么⊥1与⊥2．20．如果CD⊥AB于D，自CD上任一点向AB作垂线，那么所画垂线均与CD重合，这是因为．21．如图，已知A，O，E三点在一条直线上，OB平分⊥AOC，⊥AOB＋⊥DOE＝90°，试问：⊥COD 与⊥DOE之间有怎样的关系?说明理由.－com22．如图，⊥1＝30°，AB⊥CD，垂足为O，EF经过点O．求⊥2、⊥3的度数．23．如图，直线AB与CD相交于点O，OP是⊥BOC的平分线，OE⊥AB，OF⊥CD（1）图中除直角外，还有相等的角吗？请写出两对：①；②．（2）如果⊥AOD＝40°，则①⊥BOC＝；②OP是⊥BOC的平分线，所以⊥COP＝度；③求⊥BOF的度数．24．如图，已知⊥AOB，OE平分⊥AOC，OF平分⊥BOC.（1）若⊥AOB是直角，⊥BOC＝60°，求⊥EOF的度数；（2）猜想⊥EOF与⊥AOB的数量关系；（3）若⊥AOB＋⊥EOF＝156°，则⊥EOF是多少度？25．直线AB、CD相交于点O.OE、OF分别是⊥AOC、⊥BOD的平分线.（1）画出这个图形.（2）射线OE、OF在同一条直线上吗?（3）画⊥AOD的平分线OG.OE与OG有什么位置关系?并说明理由.参考答案1．【答案】C2．【答案】B3．【答案】C4．【答案】D5．【答案】C6．【答案】B7．【答案】D8．【答案】B9．【答案】C10．【答案】D11．【答案】C12．【答案】C13．【答案】D14．【答案】D15．【答案】B16．【答案】有一个直角；另一条直线的垂线；垂足17．【答案】有且只有一条直线18．【答案】90°；⊥19．【答案】互余20．【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直21．【答案】相等，理由：⊥AOB＋⊥DOE＝90°，且A、O、E三点共线，所以⊥BOC＋⊥COD＝90°．因为OB平分⊥AOC，所以⊥AOB＝⊥BOC，通过等量代换，可以得知⊥COD与⊥DOE相等．22．【答案】∵⊥1与⊥3是对顶角∴⊥1＝⊥3，因为⊥1＝30°∴⊥3＝30°．∵AB⊥CD∴⊥BOD＝90°∵⊥2＋⊥3＝⊥BOD∴⊥2＝90°－⊥3＝60°．23．【答案】（1）⊥AOD＝⊥BOC；⊥BOP＝⊥COP（2）40°；20°；50°24．【答案】（1）∵⊥AOC＝⊥AOB＋⊥BOC，∴⊥AOC＝90°＋60°＝150°.∵OE平分⊥AOC，∴⊥EOC ＝150°÷2＝75°.∵OF平分⊥BOC，∴⊥COF＝60°÷2＝30°.∵⊥EOC＝⊥EOF＋⊥COF,∴⊥EOF＝75°－30°＝45°.（2）∵OE平分⊥AOC，OF平分⊥BOC．∴⊥COE＝⊥AOC，⊥COF＝⊥BOC∵⊥AOB＝⊥AOC－⊥BOC∴⊥EOF＝⊥COE－⊥COF＝⊥AOC－⊥BOC＝（⊥AOC－⊥BOC）＝⊥AOB（3）∵OE平分⊥AOC，OF平分⊥BOC，∴⊥COE＝⊥AOC，⊥COF＝⊥BOC∴⊥EOF＝⊥AOC－⊥BOC＝（⊥AOC－⊥BOC）＝⊥AOB．又∵⊥AOB＋⊥EOF＝156°∴⊥EOF＝52°．25．【答案】（1）如图：（2）射线OE、射线OF在同一条直线上．理由如下：∵直线AB、CD相交于点O，∴⊥AOC=⊥BOD，⊥AOC+⊥AOD=180°，∵OE、OF分别是⊥AOC、⊥BOD的平分线，∴⊥AOE=12⊥AOC，⊥DOF=12⊥BOD ∴⊥AOE=⊥DOF，∴⊥AOE+⊥DOF=⊥AOC，∴⊥AOE+⊥DOF+⊥AOD=180°，∴射线OE、射线OF在同一条直线上；（3）如图OE⊥OG．理由如下：∵OG平分⊥AOD，∴⊥AOG=⊥DOG，∵⊥AOE=⊥DOF，⊥AOE+⊥DOF+⊥AOD=180°，∴⊥AOE+⊥AOG=90°，∴OG⊥OE．。

二、垂线一、填空题1．当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线______，其中一条直线叫做另一条直线的______线，它们的交点叫做______．2．垂线的性质性质1：平面内，过一点____________与已知直线垂直．性质2：连接直线外一点与直线上各点的_________中，_________最短．3．直线外一点到这条直线的__________________叫做点到直线的距离．4．如图，直线AB，CD互相垂直，记作______；直线AB，CD互相垂直，垂足为O点，记作____________；线段PO的长度是点_________到直线_________的距离；点M到直线AB的距离是_______________．二、按要求画图5．如图，过A点作CD⊥MN，过A点作PQ⊥EF于B．图a 图b 图c6．如图，过A点作BC边所在直线的垂线EF，垂足是D，并量出A点到BC边的距离．图a 图b 图c7．如图，已知∠AOB及点P，分别画出点P到射线OA、OB的垂线段PM及PN．图a 图b 图c8．如图，小明从A村到B村去取鱼虫，将鱼虫放到河里，请作出小明经过的最短路线．综合、运用、诊断一、判断下列语句是否正确(正确的画“√”，错误的画“×”)9．两条直线相交，若有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直． ( )10．若两条直线相交所构成的四个角相等，则这两条直线互相垂直． ( )11．一条直线的垂线只能画一条． ( )12．平面内，过线段AB 外一点有且只有一条直线与AB 垂直． ( )13．连接直线l 外一点到直线l 上各点的6个有线段中，垂线段最短． ( )14．点到直线的距离，是过这点画这条直线的垂线，这点与垂足的距离． ( )15．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离． ( )16．在三角形ABC 中，若∠B ＝90°，则AC ＞AB ． ( )二、选择题17．如图，若AO ⊥CO ，BO ⊥DO ，且∠BOC ＝α，则∠AOD 等于( )．(A)180°－2α (B)180°－α (C)α2190+︒ (D)2α－90° 18．如图，点P 为直线m 外一点，点P 到直线m 上的三点A 、B 、C 的距离分别为PA ＝4cm ，PB ＝6cm ，PC ＝3cm ，则点P 到直线m 的距离为( )．(A)3cm (B)小于3cm (C)不大于3cm (D)以上结论都不对19．如图，BC ⊥AC ，CD ⊥AB ，AB ＝m ，CD ＝n ，则AC 的长的取值范围是( )．(A)AC ＜m (B)AC ＞n (C)n ≤AC ≤m (D)n ＜AC ＜m20．若直线a 与直线b 相交于点A ，则直线b 上到直线a 距离等于2cm 的点的个数是( )．(A)0 (B)1 (C)2 (D)321．如图，AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，DE ⊥BC 于点E ，能表示点到直线(或线段)的距离的线段有( )．(A)3条 (B)4条 (C)7条 (D)8条（第17题） （第18题） （第19题） （第21题）三、解答题22．已知：OA ⊥OC ，∠AOB ∶∠AOC ＝2∶3．求∠BOC 的度数．23．已知：如图，三条直线AB ，CD ，EF 相交于O ，且CD ⊥EF ，∠AOE ＝70°，若OG平分∠BOF ．求∠DOG ．。

垂线精选题39道一．选择题（共17小题）1．在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．过点B画线段AC所在直线的垂线段，其中正确的是（）A．B．C．D．4．已知直线AB，CB，l在同一平面内，若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合题意的图形可以是（）A．B．C．D．2．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM＝35°，则∠CON的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°3．如图，已知点O在直线AB上，CO⊥DO于点O，若∠1＝145°，则∠3的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°5．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O，∠AOE＝36°，则∠BOD＝（）A．36°B．44°C．50°D．54°6．在同一平面内，若∠A与∠B的两边分别垂直，且∠A比∠B的3倍少40°，则∠A的度数为（）A．20°B．55°C．20°或125°D．20°或55°7．如图，直线AB和CD相交于O点，OE⊥CD，∠EOF＝142°，∠BOD：∠BOF＝1：3，则∠AOF的度数为（）A．138°B．128°C．117°D．102°9．如图，直线AD、BE相交于点O，CO⊥AD于点O，OF平分∠BOC，若∠AOB＝32°，A．29°B．30°C．31°D．32°10．如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥CD．下列说法错误的是（）A．∠AOD＝∠BOC B．∠AOE+∠BOD＝90°C．∠AOC＝∠AOE D．∠AOD+∠BOD＝180°11．如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，∠EOD＝30°，则∠BOC ＝（）A．150°B．140°C．130°D．120°12．已知：如图，AB⊥CD，垂足为O，EF为过点O的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是（）A．相等B．互余C．互补D．互为对顶角13．如图，直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM．若∠BOD＝70°，A．35°B．45°C．55°D．65°14．如图，直线AB与直线CD相交于点O，MO⊥AB，垂足为O，已知∠AOD＝136°，则∠COM的度数为（）A．36°B．44°C．46°D．54°15．已知：OA⊥OC，∠AOB：∠AOC＝2：3，则∠BOC的度数为（）A．30°B．60°C．150°D．30°或150°16．如图，直线AB、CD相交于点O，OD平分∠BOF，OE⊥CD于O，若∠EOF＝α，下列说法①∠AOC＝α﹣90°；②∠EOB＝180°﹣α；③∠AOF＝360°﹣2α，其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③17．如图，若AB，CD相交于点O，过点O作OE⊥CD，则下列结论不正确的是（）A．∠1与∠2互为余角B．∠3与∠2互为余角C．∠3与∠AOD互为补角D．∠EOD与∠BOC是对顶角二．填空题（共14小题）18．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∠EOD＝50°，则∠BOC的度数为．19．在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC、OD，使OC⊥OD，当∠AOC＝30°时，∠BOD的度数是．20．如图，直线AB、CD交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠EOC＝35°，则∠AOD＝度．21．已知：OA⊥OC，∠AOB：∠AOC＝2：3．则∠BOC的度数为．22．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM＝35°，则∠CON的度数为．23．如图，已知OA⊥OB，点O为垂足，OC是∠AOB内任意一条射线，OB，OD分别平分∠COD，∠BOE，下列结论：①∠COD＝∠BOE；②∠COE＝3∠BOD；③∠BOE＝∠AOC；④∠AOC与∠BOD互余，其中正确的有（只填写正确结论的序号）．24．如图，直线AB，CD相交于O，OE⊥AB，O为垂足，∠COE＝34°，则∠BOD＝度．25．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥OE于O，若∠AOD＝78°，则∠AOF等于．26．如图，已知BO⊥AD于点O，∠COE＝90°，且∠BOC＝4∠AOC，则∠BOE的度数为度．27．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为点O，若∠AOD＝132°，则∠EOC ＝°．28．如图，已知OA⊥OC，OB⊥OD，∠3＝24°，则∠1＝．29．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠AOC：∠COE＝3：2，则∠AOD＝．30．如图，若OA⊥OB，OC⊥OD，且∠AOC：∠BOD＝1：2，则∠BOD＝°．31．如图，直线AB、CD相交于点O，OF⊥CD，∠DOE：∠BOD＝3：2，若∠AOC＝28°，则∠EOF的度数为．三．解答题（共8小题）32．如图，∠AGF＝∠ABC，∠1+∠2＝180°．（1）试判断BF与DE的位置关系，并说明理由；（2）若BF⊥AC，∠2＝150°，求∠AFG的度数．33．如图，直线AB、CD相交于O点，∠AOC与∠AOD的度数比为4：5，OE⊥AB，OF 平分∠DOB，求∠EOF的度数．34．如图，AB与CD相交于O，OE平分∠AOC，OF⊥AB于O，OG⊥OE于O，若∠BOD ＝40°，求∠AOE和∠FOG的度数．35．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，且∠BON＝55°，求∠BOD的度数．36．如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB．（1）若∠1＝∠2，证明：ON⊥CD；（2）若∠1=13∠BOC，求∠BOD的度数．37．如图所示，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB．（1）若∠1＝∠2，判断ON与CD的位置关系，并说明理由；（2）若∠1=14∠BOC，求∠MOD的度数．38．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，∠AOC＝50°．求∠BOE的度数．39．如图，两直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC：∠AOD＝7：11、（1）求∠COE的度数；（2）若OF⊥OE，求∠COF的度数．。

垂线专项练习30题（有答案）1．如图，①过点Q作QD⊥AB，垂足为D，②过点P作PE⊥AB，垂足为E，③过点Q作QF⊥AC，垂足为F，④连P、Q两点，⑤P、Q两点间的距离是线段_________的长度，⑥点Q到直线AB的距离是线段_________的长度，⑦点Q到直线AC的距离是线段_________的长度，⑧点P到直线AB的距离是线段_________的长度．2．如图，点P是∠AOB的边OB上的一点过点P画OB的垂线，交OA于点C；（1）过点P画OA的垂线，垂足为H；（2）线段PH的长度是点P到_________的距离，_________是点C到直线OB的距离．线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是_________（用“＜”号连接）3．（1）画出表示点B到直线CD的距离的线段，结论：_________（2）A、C两点之间的距离为线段_________的长；（3）画出表示两条平行线AD、BC之间的距离的线段，结论：_________．4．如图，DE∥BC，AF⊥DE于G，DH⊥BC于H，且AG=4cm，DH=4cm，试求点A到BC的距离．5．如图，过点A作BC的垂线，并指出那条线的长度是表示点A到BC的距离？6．如图，∠C=90°，AB=5，AC=4，BC=3，则点A到直线BC的距离为_________，点B到直线AC的距离为_________，A、B间的距离为_________，AC+BC＞AB，其依据是_________，AB＞AC，其依据是_________．7．如图所示，村庄A、村庄B分别要从河流L引水入庄，各需修筑一水渠，请你画出修筑水渠的路线图．8．如图，要把水渠中的水引到C点，在渠岸AB的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并说明理由．9．如图，王林和李明同学骑自行车同时从各自的家中出发去学校．如果他们的骑车速度相同，那么谁先到达学校？为什么？10．如图，是一条河，C是河边AB外一点：（1）过点C要修一条与河平行的绿化带，请作出正确的示意图．（2）现欲用水管从河边AB，将水引到C处，请在图上测量并计算出水管至少要多少？（本图比例尺为1：2000）11．如图所示，火车站、码头分别位于A，B两点，直线a和b分别表示铁路与河流．（1）从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由；（2）从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；（3）从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由．12．如图，计划在河边建一水厂，可过C点引CD⊥AB于D，在D点建水厂，可使水厂到村庄C的路程最短，这种设计的依据是_________．13．如图，点P处有一个工厂，现拟修一条通往大路口a的公路，应如何修才能使所修之路最短，试说明理由．14．如图，直线AD和BE相交于点O，∠COD=90°，∠COE=60°，求∠AOB的度数．15．如图，OF平分∠AOC，OE⊥OF，AB与CD相交于O，∠BOD=130°，求∠EOB的度数．16．如图所示，已知∠AOB=∠COD=90°，（1）若∠BOC=45°，求∠AOC与∠BOD的度数；（2）若∠BOC=25°，求∠AOC与∠BOD的度数；（3）由（1）、（2）你能得出什么结论？说说其中的道理．17．如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，OE平分∠BON，若∠EON=20°，求∠AOM的度数．18．如图，直线AB与CD相交于点O，OP是∠AOD的平分线，OF⊥CD，如果∠BOD=30°．求：（1）∠AOF的度数；（2）∠POF的度数．19．如图所示，OA丄OB，OC丄OD，OE为∠BOD的平分线，∠BOE=15°，求∠BOD和∠AOC的度数．20．已知：如图，直线AB、CD、EF相交于点0，∠1=20°，∠BOC=90°．求∠2的度数．21．说出日常生活现象中的数学原理：日常生活现象相应数学原理有人和你打招呼，你笔直向他走过去两点之间直线段最短要用两个钉子把毛巾架安装在墙上桥建造的方向通常是垂直于河两岸人去河边打水总是垂直于河边方向走22．如图所示，修一条路将A，B两村庄与公路MN连起来，怎样修才能使所修的公路最短？画出线路图，并说明理由．23．如图，点P是∠AOB的边OB上的一点．（1）过点P画OB的垂线，交OA于点C，（2）过点P画OA的垂线，垂足为H，（3）线段PH的长度是点P到_________的距离，线段_________是点C到直线OB的距离．（4）因为直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短，所以线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是_________（用“＜”号连接）24．已知：如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，GF⊥AB于G点，那么CD与AB是否互相垂直？试判断并说明理由．25．如图，已知OA⊥OB，∠1与∠2互补，求证：OC⊥OD．26．你能用折纸的方法过一点作已知直线的垂线吗？27．先拿一张长方形的白纸，按如图所示的方式将∠A、∠E折叠，使A′B与BE′重合，则BC与BD有什么关系？说明理由．28．分别过点P作线段MN的垂线．29．如图，∠AOE与∠BOF互余，那么AO与BO是否垂直？试说明理由．30．对于平面上垂直的两条直线a和b，称（a，b）为一个“垂直对”，而a和b都是属于这个“垂直对”的直线．那么当平面上有二十条直线时最多可组成多少个“垂直对”？参考答案：1．①②③④作图如图所示：⑤根据两点之间距离即可得出P、Q两点间的距离是线段PQ的长度，⑥根据点到直线的距离可得出点Q到直线AB的距离是线段QD的长度，⑦根据点到直线的距离可得出点Q到直线AC的距离是线段QF的长度，⑧根据点到直线的距离可得出点P到直线AB的距离是线段PE的长度，故答案为PQ，QD，QF，PE．2．（1）如图：（2）线段PH的长度是点P到直线OA的距离，线段CP的长度是点C到直线OB的距离，根据垂线段最短可得：PH＜PC＜OC，故答案为：OA，线段CP，PH＜PC＜OC3．（1）过B点作DC的垂线，交CD的延长线于E点，如，则线段BE的长为点B到直线CD的距离；所以过直线外一点作直线的垂线，垂线段长就是这个点到直线的距离；（2）A、C两点之间的距离为线段AC的长；（3）过C点作AD的垂线，垂足为F点，如图，则线段CF的长即为两条平行线AD、BC之间的距离．故答案为过直线外一点作直线的垂线，垂线段的长就是这个点到直线的距离；AC；两条平行线之间的距离就是一条直线上任意一点到另一条直线的距离．4．∵AF⊥DE，DE∥BC，∴AF⊥BC，∵DE∥BC，∴四边形DHFG是平行四边形，∴DH=GF=4cm，∴AF=AG+GF=4cm+4cm=8cm，即点A到BC的距离是8cm．5．过点A作BC的垂线，交CB的延长线于E，根据点到直线的距离的定义：从直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫点到直线的距离．可得AE的长度即为点A到BC的距离．答：AE的长度即为点A到BC的距离．6．∵∠C=90°，AB=5，AC=4，BC=3，∴点A到直线BC的距离为4，点B到直线AC的距离为3，A、B间的距离为5，AC+BC＞AB，其依据是三角形任意两边之和大于第三边长度，AB＞AC，其依据是直角三角形中斜边长度大于直角边长度．7．如图所示，AE、BF就是村庄A、村庄B修筑水渠的路线图．8．如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，在D处开沟，则沟最短．因为直线外一点与直线上各点连线的所有线段中，垂线段最短．9．根据垂线段定理，可知王林先到达学校．因为从他家到学校是垂线段，路程最短．10．如图：（1）过点C画一平行线平行于AB．（2）过点C作CD垂直于AB交AB于点D．然后用尺子量CD的长度，再按1：2000的比例求得实际距离即可．11．如图所示（1）沿AB走，两点之间线段最短；（2）沿BD走，垂线段最短；（3）沿AC走，垂线段最短．12．∵CD⊥AB，∴线段CD的长度就是点C到直线AB的最短距离．故答案为：垂线段最短．13．如图，过点P作PD⊥a于D，则由点P沿着PD修路，能使所修之路最短．14．∵已知∠COD=90°，∠COE=60°，∴∠DOE=90°﹣60°=30°，又∵∠AOB与∠DOE是对顶角，∴∠AOB=∠DOE=30°．15．∵∠AOC=∠BOD，∠BOD=130°，∴∠AOC=130°．∵OF平分∠AOC，∴∠AOF=∠FOC=65°．∵OE⊥OF，∴∠EOF=90°．∴∠BOE=180°﹣∠AOF﹣∠EOF=180°﹣65°﹣90°=25°16．（1）∵∠AOB=∠COD=90°，且∠BOC=45°，∴∠AOC=∠AOB﹣∠BOC=45°，∠BOD=∠COD﹣∠BOC=45°；（2）∵∠AOB=∠COD=90°，且∠BOC=25°，∴∠AOC=∠AOB﹣∠BOC=65°，∠BOD=∠COD﹣∠BOC=65°；（3）∠AOC=∠BOD，等角的余角相等．17．∵OE平分∠BON，∴∠BON=2∠EON=40°，∴∠COM=∠BON=40°，∴∠AOM=90°﹣∠COM=90°﹣40°=50°．18．（1）∵∠AOC=∠BOD=30°，OF⊥CD，∴∠AOF=90°﹣30°=60°；（2）∵OP是∠AOD的平分线，∴∠AOP=∠AOP=（180°﹣∠BOD）=（180°﹣30°）=75°，∴∠POF=∠AOP﹣∠AOF=75°﹣60°=15°19．∵OE为∠BOD的平分线，∴∠BOE=∠BOC，即∠BOD=2∠BOE=2×15°=30°；∵OA丄OB，OC丄OD，∴∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC=360°﹣90°﹣90°﹣30°=150°．20．∵∠1=20°，∠BOC=90°，∴∠BOE=∠BOC﹣∠1=90°﹣20°=70°，∴∠2=∠BOE=70°．21．这几种实际问题用数学原理解释分别是：两点确定一条直线；夹在两平行线间的线段中，垂线段最短；连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．22．连接AB，作BC⊥MN，C是垂足，线段AB和BC 就是符合题意的线路图．因为从A到B，线段AB最短，从B到MN，垂线段BC最短，所以AB+BC最短．23．（1）如图（2）如图，（3）直线0A、PC的长．（4）PH＜PC＜OC．24．相互垂直．理由：∵GF⊥AB，∴∠2+∠4=90°，而∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠3=90°，∴∠1+∠2=180°，∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，∴∠COD=360°﹣（∠1+∠2）﹣∠AOB=360°﹣180°﹣90°=90°，∴OC⊥OD26．先沿已知直线折一下，再在已知点处对折即可．27．垂直；根据题意可得∠ABC=∠A′BC，∠FBE=∠FBE′，∵∠ABC+∠A′BC+∠E′BF+∠FBE=180°，∴∠A′BC+∠E′BF=90°，∴BC⊥FB28．①延长NM，过点P作NM所在直线的垂线．②延长NM，过点P作NM所在直线的垂线．③过点P作NM所在直线的垂线．④延长NM，过点P作NM所在直线的垂线．29．AO与BO垂直．理由如下：∵∠AOE与∠BOF互余，∴∠AOE+∠BOF=90°，又∵∠AOE+∠AOB+∠BOF=180°，∴∠AOB=90°，∴AO⊥BO，即AO与BO垂直30．当二十条直线有10条互相平行；另10条不仅互相平行而且与前10条垂直时垂直对最多．答案是100对．。

七年级数学下册垂线练习题七年级数学下册《垂线》练习1一、选择题:(每小题3分,共18分)1.如图1所示,下列说法不正确的是( )A.点B到AC的垂线段是线段AB；B.点C到AB的垂线段是线段ACC.线段AD是点D到BC的垂线段；D.线段BD是点B到AD的垂线段D CB ADCBAO DCBAGOFEDCBA(1) (2) (3) （4）2.如图1所示,能表示点到直线(线段)的距离的线段有( )A.2条B.3条C.4条D.5条3.下列说法正确的有( ) ①在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线;②在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线;③在平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线;④在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4.如图2所示,AD⊥BD,BC⊥CD,AB=acm,BC=bcm,则BD的范围是( )A.大于acmB.小于bcmC.大于acm或小于bcmD.大于bcm且小于acm5.到直线L的距离等于2cm的点有( ) A.0个 B.1个; C.无数个 D.无法确定6.点P为直线m外一点,点A,B,C为直线m上三点,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则点P到直线m的距离为( ) A.4cm B.2cm; C.小于2cm D.不大于2cm二、填空题:(每小题3分,共12分)1.如图3所示,直线AB与直线CD的位置关系是_______,记作_______,此时,• ∠AOD=∠_______=∠_______=∠_______=90°.2.过一点有且只有________直线与已知直线垂直.3.画一条线段或射线的垂线,就是画它们________的垂线.4.直线外一点到这条直线的_________,叫做点到直线的距离.三、训练平台:(共15分) 如上图4所示,直线AB,CD,EF交于点O,OG平分∠BOF,且CD⊥EF,∠AOE=70°,•求∠DOG的度数.四、提高训练:(共15分)如图5所示,村庄A 要从河流L 引水入庄,需修筑一水渠,请你画出修筑水渠的路线图.OD CBANM B A（5） (6) （7） 五、探索发现:(共20分)如图6所示,O 为直线AB 上一点,∠AOC=13∠BOC,OC 是∠AOD 的平分线.(1)求∠COD 的度数;(2)判断OD 与AB 的位置关系,并说明理由.六、中考题与竞赛题:(共20分)1、如图7所示,一辆汽车在直线形的公路AB 上由A 向B 行驶,M,N•分别是 位于公路AB 两侧的村庄,设汽车行驶到P 点位置时,离村庄M 最近,行驶到Q 点位置时,•离村庄N 最近,请你在AB 上分别画出P,Q 两点的位置.2、如图，完成下列画图，并填空：(1)过A 作直线a 的垂线交b 与B ； (2)过A 作直线b 的垂线，垂足为C ； (3)过A 作AD ⊥直线c 于D ； (4)作出线段AB 的垂直平分线MN ；(5)量出点A 到直线b 的距离是 cm ，点B 到直线MN 的距离是 cm(精确到0.1cm)。

《垂线》练习题（含答案）5.1.2垂线1.(2014·贺州)如图，OA⊥OB，若∠1=55°，则∠2的度数是()A.35°B.40°C.45°D.60°2.如图,直线AB与直线CD相交于点O,已知OE⊥AB,∠BOD=45°,则∠COE的度数是()A.125°B.135°C.145°D.155°3.过线段外⼀点,画这条线段的垂线,垂⾜在()A.这条线段上B.这条线段的端点C.这条线段的延长线上D.以上都有可能4.如图所⽰，AD⊥B D，B C⊥C D，A B＝a，B C＝b，则BD的范围是__________，理由是____________________.5.如图,⽥径运动会上,七年级⼆班的⼩亮同学从C点起跳,假若落地点是 D.当AB与CD__________时,他跳得最远.6.(2014·厦门)已知直线AB，CB，l在同⼀平⾯内，若AB⊥l，垂⾜为B，CB⊥l，垂⾜也为B，则符合题意的图形可以是()CD7.如图，当∠1与∠2满⾜条件__________时，OA⊥OB.8.(2014·河南改编)如图，直线AB，相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=35°，则∠CON的度数为__________.9.如图所⽰,直线AB，CD相交于点O,作∠DOE=∠BOD,OF平分∠AOE.(1)判断OF与OD的位置关系；(2)若∠AOC∶∠AOD=1∶5,求∠EOF的度数.10.如图所⽰,⼀辆汽车在直线形的公路AB上由A向B⾏驶,C，D分别是位于公路AB两侧的村庄.(1)该汽车⾏驶到公路AB上的某⼀位置C′时距离村庄C最近,⾏驶到D′位置时,距离村庄D最近,请在公路AB上作出C′，D′的位置(保留作图痕迹)；(2)当汽车从A出发向B⾏驶时,在哪⼀段路上距离村庄C越来越远,⽽离村庄D越来越近？(只叙述结论,不必说明理由)参考答案1.A2.B3.D4.b＜BD＜a垂线段最短5.垂直6.C7.∠1+∠2=90°8.55°9.(1)因为OF平分∠AOE,所以∠AOF=∠EOF=12∠AOE.1⼜因为∠DOE=∠BOD=∠BOE,211所以∠DOE+∠EOF=(∠BOE+∠AOE)=×180°=90°,22即∠FOD=90°.所以OF⊥OD.(2)设∠AOC=x°,因为∠AOC∶∠AOD=1∶5,所以∠AOD=5x°.因为∠AOC+∠AOD=180°,所以x+5x=180,x=30.所以∠DOE=∠BOD=∠AOC=30°.⼜因为∠FOD=90°,所以∠EOF=90°-30°=60°.10.(1)图略.过点C作AB的垂线,垂⾜为C′,过点D作AB的垂线,垂⾜为D′.(2)在C′D′上距离村庄C越来越远,⽽离村庄D越来越近.。

课堂练习练习一：达标测试1、下列说法是否正确：两条直线相交,有一条角是直角，则两条直线互相垂直。

两条直线相交,有一对对顶角互补，则两条直线互相垂直。

两条直线相交，四个角都相等，则两条直线互相垂直。

两条直线相交,有一组邻补角相等，则两条直线互相垂直。

2、如图一所示,当∠1与∠2满足 时,能使OA ⊥OB3、如图二所示，从河中向稻田A 处引水，为使水渠最短，可过A 做AB ⊥CD 于点B ，沿线段AB 修渠最短，其根据是:( ）4、过一条线段外一点画这条线段的垂线，垂足在（ )A 、这条线段B 、这条线段的端点上C 、这条线段的延长线上D 、以上都有可能5、如图三所示，已知ON ⊥L,OM ⊥L ，所以OM 与ON 重合，其理由是（ )A ．过两点有且只有一条直线B 、过一点只能作一条直线C 、在同一平面内,经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D 、垂线段最短6、点直线的距离是指:( )A 、直线外一点到该直线的垂线的长度B 、直线外一点到该直线的垂线段的长度C 、直线外一点与直线外一点间的距离D 、从直线外一点向该直线所画的垂线段7、如图四所示，某人站在左侧点A 处，要到路的右侧，怎样走最近？为什么?如果他要到路对面的点B 处,8、如图五所示,AB ⊥CD,垂足为O ，OE 是一条射线，且∠AOE=35、∠COE 的度数.B C D 图三 O L A B 路 图四 AO 图一练习二：开拓思维9、①请画出∠AOB 的角平分线OC,②在OC 上任取一点P ，过点P 画OA 、OB 的垂线,垂足分别为点E 、F③量出点P 到OA 、OB 的距离，你有什么发现？④把你发现的结论用一句话描述出来。

10、如图六所示，一辆汽车在直线型的公路AB 上有A 向B 行驶，MN 分别是位于公路AB 两侧的村庄①设汽车行驶到公路AB 上点B 的位置是，距离村庄M 最近,行驶到Q 位置时,距离村庄N 最近，请在图中的公路上分别画出点P 、Q 的位置②当汽车从A 出发向B 行驶时，在公路AB 的哪一段路上，距离M 、N 两村庄距离都越来越近?在哪一段路上,距离村庄N 越来越近，而离村庄M 却越来越远？(用文字表述你的结论）BA M N 图六。

有垂线的练习题（题目：有垂线的练习题）[正文]练习题一：1. 在一个直角三角形中，垂线分割斜边成长度为8和6的两段，求斜边的长度。

解析：根据勾股定理，可设斜边的长度为x，则根据垂直分割线的性质，可列出两个方程：x^2 = 8^2 + h^2 和 x^2 = 6^2 + (x - h)^2，其中h 为垂线的长度。

解方程组得x ≈ 10.246。

练习题二：2. 给定一个矩形，如果一个垂线向其中一个顶点引出，会将矩形分为两个面积相等的部分吗？为什么？解析：垂直于对角线引出的垂线会将矩形分为两个面积相等的部分。

因为对角线将矩形分为两个全等的直角三角形，垂直于对角线的垂线同时也是这两个直角三角形的高，根据三角形的面积计算公式可知两个直角三角形的面积相等。

练习题三：3. 在一个平行四边形中，如果一条垂线将两个对边平分，证明这个平行四边形是矩形。

解析：设平行四边形的对边长度分别为a和b，对边上的垂线分别为h1和h2。

根据垂线平分性质，可得 h1 = h2，根据平行四边形的性质，a = b。

根据勾股定理，可得 a^2 + h1^2 = b^2 + h2^2，将 a = b 和h1 = h2 代入得 a^2 = b^2，即 a = b。

因此，平行四边形的对边相等，为矩形。

练习题四：4. 在一个等腰梯形中，如果一条垂线将两个底边平分，证明这个等腰梯形是直角梯形。

解析：设等腰梯形的上底、下底和高分别为a、b和h，对边上的垂线分别为h1和h2。

根据垂线平分性质，可得 h1 = h2，根据等腰梯形的性质，a = b。

根据勾股定理，可得 h1^2 + (b-a)^2 = h2^2，将 a = b 和h1 = h2 代入得 a^2 = h^2，即 a = h。

因此，等腰梯形的上底和高相等，为直角梯形。

练习题五：5. 在一个梯形中，如果一条垂线将两个并行边平分，证明这个梯形是等腰梯形。

解析：设梯形的上底、下底和高分别为a、b和h，对边上的垂线分别为h1和h2。

七年级数学-垂线练习含解析基础闯关全练1．如图，直线AB、CD、EF相交于点O，且AB⊥CD，若∠BOE=35°，则∠DOF=( )A．65° B．45° C．35° D．55°2．如图，点O在直线AB上且OC⊥OD，若∠COA= 36°，则∠DOB的大小为( )A.36°B.54°C.55°D.44°3．下列选项中，过点P画AB的垂线CD，三角板放法正确的是( )A B C D4．在下图所示的各图中用三角板分别过点C画线段AB的垂线．（1）（2）（3）（4）5．如图，在立定跳远中，体育老师是这样测量运动员的成绩的，用一块直角三角板的一边附在起跳线上，另一边与拉直的皮尺重合，这样做的理由是( )A．两点之间，线段最短B．过两点有且只有一条直线C．垂线段最短D．过一点可以作无数条直线6．如图．想在河堤两岸搭建一座桥，图中四种搭建方式PA，PB，PC，PD中，最短的是_______. 7．下列图形中，线段PQ的长为点P到直线MN的距离的是( )A B C D8．如图．立定跳远比赛时，小明从点A起跳落在沙坑内B处，这次小明的跳远成绩是4.6米，则小明从起跳点到落脚点之间的距离( )A．大于4.6米 B．等于4.6米 C．小于4.6米 D．不能确定能力提升全练1．如图，∠ACB= 90°．CD⊥AB，垂足为点D，则下面的结论中，正确的有( )①BC与AC互相垂直②AC与CD互相垂直③点A到BC的垂线段是线段BC④点C到AB的垂线段是线段CD⑤线段BC是点B到AC的距离⑥线段AC的长度是点A到BC的距离A.2个 B．3个 C．4个 D．5个2．如图，已知直线CD、EF相交于点O．OA⊥OB，且OE平分∠AOC，若∠EOC= 60°，则∠BOF=______．3．如图,直线AB ，CD 相交于点O ，∠DOE=∠BOD ．OF 平分∠AOE. (1)判断OF 与OD 的位置关系；(2)若∠AOC ：∠AOD=1：5．求∠EOF 的度数．三年模拟全练 一、选择题1．如图所示，直线AB ⊥CD 于点D ，直线EF 经过点O ．若∠1=26°，则∠2的度数是( )A ．26°B ．64° C.54° D ．以上答案都不对2．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE ⊥CD ，∠AOE= 52°，则∠BOD 等于( )A.24°B.26° C ．36° D ．38° 二、填空题3．如图，已知AC ⊥BC,CD ⊥ AB ．AC=3，BC=4，CD= 2.4，则点C 到直线AB 的距离等于______.4．如图，当∠1与∠2满足_________条件时，OA ⊥OB ．三、解答题5．如图，直线AB 与CD 相交于点D ，OP 是∠BOC 的平分线，OE ⊥AB ，OF ⊥ CD. (1)图中除直角外，写出三对相等的角： (2)已知∠EOC= 50°，求∠POF 的度数，五年中考全练 选择题.1．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，EO ⊥CD.下列说法错误的是( )A. ∠AOD=∠BOCB.∠AOE+∠BOD=90°C.∠AOC=∠AOED.∠AOD+∠BOD= 180°2．如图，经过直线l 外一点A 画l 的垂线，能画出( )A.1条B.2条C.3条D.4条 3．如图所示，点P 到直线l 的距离是( )A ．线段PA 的长度B ．线段PB 的长度C ．线段PC 的长度D ．线段PD 的长度核心素养全练如图，随意画一个锐角∠MON和一个钝角∠M'O’N’，画出∠MON的平分线OP和∠M'O’N'的平分线O’P’．(1)在OP上任取一点A，画AB⊥OM，AC⊥ON，垂足分别为B，C；(2)在O'P’上任取一点A’，画A'B'⊥O'M’，A'C'⊥O'N'，垂足分别是B’，C’；(3)通过度量线段AB，AC，A'B’，A'C'的长度，发现AB____AC，A'B'____ A'C’；（填“=”或“≠”）(4)通过上面的画图和度量，和同学们交流一下，有什么猜想？请用一句话表述出来．5.1.2垂线1.D∵AB⊥CD,∠BOE=35°,∴∠AOF=35°,∠AOD=∠BOC=90°，∴∠DOF= 90°-35°=55°．故选D．2.B∵OC⊥OD,∴∠COD= 90°,又∵∠AOC+∠COD+∠DOB= 180°．∴∠DOB= 180°-36°-90°= 54°．故选B.3．C根据垂线的作法，将直角三角板的一条直角边与直线AB重合，另一条直角边过点P后沿该直角边画直线即可．4．解析5．C根据垂线段的性质：垂线段最短，故选C．6．答案PC解析根据“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”与PC⊥AD．知PC最短．7．A对于选项A，PQ⊥MN，Q是垂足，故线段PQ的长为点P到直线MN的距离．8．A跳远的成绩是点B到起跳线的距离，即垂线段的长度为4.6米，结合题图知AB的长大于4.6米．1.B．∵∠ACB=90°,∴AC⊥BC，故①正确；AC与DC相交不垂直，故②错误；点A到BC的垂线段是线段AC．故③错误；点C到AB的垂线段是线段CD，故④正确；线段BC的长度是点B到AC的距离，故⑤错误；线段AC的长度是点A到BC的距离，故⑥正确．故选B．2．答案30°解析∵OE平分∠AOC,∠EOC=60°,∴∠AOE=∠COE= 60°,∠DOE= 180°-∠COE= 120°,∴∠DOA= 60°,∵OA⊥OB，∴∠DOA+∠BOD= 90°．∴∠DOB=30°,∵∠DOF=∠EOC=60°,∴∠BOF=30°.3．解析(1)因为OF平分∠AOE,所以∠AOF=∠EOF=21∠AOE．又因为∠DOE=∠BOD=21∠BOE,所以∠DOE+∠EOF=21(∠BOE+∠AOE)=21×180°=90°,即∠FOD=90°,所以OF⊥OD.(2)设∠AOC=x．因为∠AOC：∠AOD=1：5，所以∠AOD=5x，因为∠AOC+∠AOD= 180°,所以x+5x= 180°,x=30°.所以∠DOE=∠BOD=∠AOC=30°.又因为∠FOD= 90°．所以∠EOF= 90°-30°= 60°.一、选择题1.B∵∠1=26°,∠DOF与∠1是对顶角，∴∠DOF=∠1=26°,又∵AB⊥CD.∴∠DOF+∠2=90°,∴∠2=90°-∠ DOF=90°-26°=64°．故选B.2.D 因为OE⊥CD, ∠AOE =52°，所以∠AOC= 38°，则∠BOD=∠AOC= 38°，故选D．二、填空题3．答案2.4解析由题意得点C 到直线AB 的距离等于CD 的长，即点C 到直线AB 的距离等于2.4． 4．答案∠1+∠2= 90°解析当∠1+∠2= 90°时，∠AOB= 90°，根据垂直的定义得OA ⊥OB. 三、解答题5．解析(1)①∠AOD= ∠BOC,②∠COP= ∠BOP,③∠COE=∠ BOF 等． (2)∵OE ⊥AB,∴ ∠EOB=90°.∵∠ EOC= 50°,∴∠COB= ∠EOB- ∠EOC= 40°.∵OP 是∠BOC 的平分线，∴∠COP=21∠BOC=20°. ∵OF ⊥CD, ∴∠COF=90°,∴∠POF= ∠COF-∠COP=70°. 选择题1．C 由对顶角相等知∠AOD=∠BOC ，选项A 中说法正确；由对顶角相等知∠BOD=∠AOC ．由EO ⊥CD 知∠AOE+∠AOC=90°，所以∠AOE+∠BOD=90°，选项B 中说法正确；由邻补角概念知∠AOD+∠BOD= 180°，选项D 中说法是正确的．只有选项C 中说法是错误的． 2．A 同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线． 3．B 点P 到直线l 的距离就是点P 到直线l 的垂线段PB 的长度。

5.1.2 垂线(一)◆典型例题【例1】①两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直；②两条直线相交，若有一组对顶角互补，则这条直线互相垂直；③两条直线相交，若所成的四个角相等，则这两条直线垂直；④两条直线相交，若有一组邻补角相等，则这两条直线垂直.其中说法正确的有( )A.1个B.2个C. 3个D. 4个【解析】题中的4个说法，都是关于两条直线垂直的判定问题.根据垂直定义，只要推出两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，就可以判断两条直线互相垂直.①是垂直的定义，所以正确；②有一组对顶角互补，因为对顶角相等，所以这两个角都是90°，所以正确；③两条直线相交，所成的四个角相等，都是90°，所以正确；④有一组邻补角相等，而邻补是互补的，所以这两个角都是90°，所以正确.【答案】 D【例2】如图5－16，过点A、B分别画OB、OA的垂线.图5－16 图5－17【解析】画线段或射线的垂线，就是画这条线段或射线所在直线的垂线，本例中的垂足分别在OB的反向延长线上和OA的延长线上.【答案】如图5－17所示，直线AE为过点A与OB垂直的直线，垂足为E;直线BD为过点B与OA垂直的直线，垂足为D.【例3】如图5－18，点O为直线AB上一点，OC为一射线，OE平分∠AOC，OF 平分∠BOC(1)若∠BOC=50°，试探究OE、OF的位置关系；(2)若∠BOC=α(0°＜x＜180°)，(1)中OE、OF的位置关系是否仍成立?请说明理由，由此你发现了什么规律?图5－18【解析】 要探究OE 、OF 的位置关系，可先用三角尺或量角器检测∠EOF 的大小来判断OE 、OF 的关系，再通过计算加以说明；第(2)问用代数代表示∠EOF ，再归纳出结论.【答案】 (1)由量角器测得∠EOF=90°,因此OE ⊥OF. 由邻补角的定义，可得∠AOC=180°－∠BOC=130°. 由OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOC 可得∠COF=21∠BOC=25°， ∠COE=21∠AOC=65°. 所以∠EOF=∠COF+∠COE=90°. 因此OE ⊥OF. (2)OE ⊥OF 仍成立.因为∠AOC=180°－α，∠COF=21α， ∠COE=21(180°－α)=90°－21α. 所以∠EOF=∠COF+∠COE=21α+(90°－21α)=90°.由此发现:无论∠BOC 度数是多少，∠EOF 总等于90°.即邻补角的平分线互相垂直.◆课前热身1.两条直线互相垂直时，所得的四个角中有__________个直角.2.过一点________条直线与已知直线垂直. ◆课上作业3.如图5－19，OA ⊥OB 于O ，直线CD 经过点O ，∠AOD=35°，则∠BOC=________.4.如图5－20，直线AB 与CD 相交于点O ，EO ⊥AB 于O ，则∠1与∠2的关系是________.图5－19 图5－205.如图5－21，O是直线AB上一点OC⊥OD，有以下两个结论:①∠AOC与∠BOD互为余角；②∠AOC、∠COD、∠BOD互为邻补角.其中说法正确的是________(填序号).图5－21 图5－226.如图5－22，已知OC⊥AB，OE⊥OD，则图中互余的角共有________对.◆课下作业一、填空题(每题5分，共50分)7.如果CD⊥AB于D，自CD上任一点向AB作垂线，那么所画垂线均与CD重合，这是因为________.8.如图5－23，直线AB、CD、EF交于一点O，CO⊥EF且∠GOB=30°，∠AOC=40°，则∠COE=________.9.从钝角∠AOB的顶点O引射线OC⊥OA，若∠ACO∶∠COB=3∶1，则∠AOB=________.10.如图5－24，直线AB、CD相交于O，EO⊥AB，OB平分∠DOF，若∠EOC=115°，则∠BOF=________.∠COF=________.图5－23 图5－24二、选择题(每题5分，共10分)11.如图5－25，∠PQR等于138°，SQ⊥QR，TQ⊥PQ则∠SQT等于( )A.42°B.64°C.48°D.24°图5－25 图5－2612.如图5－26所示，AB 、CD 相交于点O ，OE ⊥AB ，那么下列结论错误的是( )A.∠AOC 与∠COE 互为余角B.∠BOD 与∠COE 互为余角C.∠COE 与∠BOE 互为补角D.∠AOC 与∠BOD 是对顶角三、解答题(每题20分，共40分)13.OC 把∠AOB 分成两部分且有下列两个等式成立：①∠AOC=31直角+31∠BOC ；②∠BOC=31平角－21∠AOC ，问∶ (1)OA 与OB 的位置关系怎样?(2)OC 是否为∠AOB 的平分线?并写出判断的理由.14.如图5－27，已知AB 、C D 、EF 相交于点O ，EF ⊥AB ，OG 为∠COF 的平分线，OH 为∠DOG 的平分线.(1)若∠AOC ∶∠COG=4∶7，求∠DOF 的大小； (2)若∠AOC ∶∠DOH=8∶29，求∠COH 的大小.图5－27参考答案◆课前热身1.两条直线互相垂直时，所得的四个角中有__________个直角.答案：42.过一点________条直线与已知直线垂直.答案：有且只有◆课上作业3.如图5－19，OA⊥OB于O，直线CD经过点O，∠AOD=35°，则∠BOC=________.答案：125°4.如图5－20，直线AB与CD相交于点O，EO⊥AB于O，则∠1与∠2的关系是________.图5－19 图5－20答案：互为余角5.如图5－21，O是直线AB上一点OC⊥OD，有以下两个结论:①∠AOC与∠BOD互为余角；②∠AOC、∠COD、∠BOD互为邻补角.其中说法正确的是________(填序号).图5－21 图5－22答案：①6.如图5－22，已知OC⊥AB，OE⊥OD，则图中互余的角共有________对.答案：4◆课下作业一、填空题(每题5分，共50分)7.如果CD⊥AB于D，自CD上任一点向AB作垂线，那么所画垂线均与CD重合，这是因为________.答案：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直8.如图5－23，直线AB、CD、EF交于一点O，CO⊥EF且∠GOB=30°，∠AOC=40°，则∠COE=________.答案：20°9.从钝角∠AOB的顶点O引射线OC⊥OA，若∠ACO∶∠COB=3∶1，则∠AOB=________.答案：120°10.如图5－24，直线AB、CD相交于O，EO⊥AB，OB平分∠DOF，若∠EOC=115°，则∠BOF=________.∠COF=________.图5－23 图5－24答案：25°；130°二、选择题(每题5分，共10分)11.如图5－25，∠PQR等于138°，SQ⊥QR，TQ⊥PQ则∠SQT等于( )A.42°B.64°C.48°D.24°图5－25答案：A12.如图5－26所示，AB、CD相交于点O，OE⊥AB，那么下列结论错误的是( )A.∠AOC与∠COE互为余角B.∠BOD与∠COE互为余角C.∠COE与∠BOE互为补角D.∠AOC与∠BOD是对顶角图5－26答案：C三、解答题(每题20分，共40分)13.OC 把∠AOB 分成两部分且有下列两个等式成立：①∠AOC=31直角+31∠BOC ；②∠BOC=31平角－21∠AOC ，问∶ (1)OA 与OB 的位置关系怎样?(2)OC 是否为∠AOB 的平分线?并写出判断的理由.答案：(1)OA ⊥OB (2)O(C 为∠AOB 的平分线，因为∠BOC=∠AOC=45°.14.如图5－27，已知AB 、C D 、EF 相交于点O ，EF ⊥AB ，OG 为∠COF 的平分线，OH 为∠DOG 的平分线.图5－27(1)若∠AOC ∶∠COG=4∶7，求∠DOF 的大小； (2)若∠AOC ∶∠DOH=8∶29，求∠COH 的大小. 答案：(1)∠DOF=110° (2)∠COH=107.5°。

专题5.6垂线（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判定两条直线垂直的是（）．A．有两个角相等B．有两对角相等C．有三个角相等D．有四对邻补角2．如图，经过直线l外一点A作l的垂线，能画出（）A．4条B．3条C．2条D．1条3．在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，正确的是()A．B．C．D．4．如图，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，AB⊥l2，AC⊥l1，AB＝4，BC＝3，则下列说法正确的是（）A．点A到直线l2的距离等于4B．点C到直线l1的距离等于4C．点C到AB的距离等于4D．点B到AC的距离等于35．如图，在△ABC中，∠C＝90︒，D是边BC上一点，且∠ADC＝60︒，那么下列说法中错误的是（）A．直线AD与直线BC的夹角为60︒B．直线AC与直线BC的夹角为90︒C ．线段CD 的长是点D 到直线AC 的距离D ．线段AB 的长是点B 到直线AD 的距离6．如图，已知直线AB l ⊥，BC l ⊥，则直线AB 与BC 重合，理由是（）A ．垂线段最短B ．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C ．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离D ．在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条7．如图， ,, 5, 3AD BD BC CD AB BC ⊥⊥==，则BD 的长度可能是()A ．3B ．5C ．3或5D ．4.58．如图所示，点A 到BC 所在的直线的距离是指图中线段()的长度．A ．ACB ．AFC ．BD D ．CE9．直线AB ，CD 相交于点O ．OE ，OF ，OG 分别平分AOC ∠，BOC ∠，AOD ∠．下列说法正确的是（）A ．OE ，OF 在同一直线上B ．OE ，OG 在同一直线上C ．OG OF⊥D ．OE OF ⊥10．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE ⊥AB ，O 为垂足，如果∠EOD ＝38°，下列结论不正确的是（）A ．∠EOB =90°B ．∠DOB 是∠AOE 的补角C ．∠AOC =52°D ．∠AOC 与∠EOD 互为余角二、填空题11．如果∠α，∠β两边分别垂直，其中∠α比∠β的2倍少30°，那么∠α＝_____．12．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，EO ⊥AB ，垂足为O ，∠AOC ：∠COE ＝2：3，则∠AOD ＝______．13．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分BOC ∠，OF OE ⊥于点O ．若80AOD ∠=︒，则AOF ∠等于____________．14．点O 为线段AB 上一点，不与点A 、B 重合，OC ⊥OD 于点O ，若∠AOC ＝35°，则∠BOD 的度数为___．15．如图，点C ，O ，D 在一条直线上，OA OB ⊥，OE 平分AOC BOC ∠∠，比BOD ∠大70︒，COE ∠的度数为________．16．已知点O 是直线AB 上一点，50AOC ∠=︒，OD 平分AOC ∠，90BOE ∠=︒，请写出下列正确结论的序号_____________①130BOC ∠=︒②25AOD ∠=︒③155BOD ∠=︒④45COE ∠=︒17．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OE CD ⊥，垂足为点O ．当直线AB 绕着点O 在DOE ∠内部转动，OF 是AOC ∠的角平分线，若BOE α∠=，则AOF β∠=，则β关于α的函数关系式为______．18．100条直线两两相交于一点，则共有对顶角（不含平角）_______对，邻补角________对.三、解答题19．如图，A 、B 、C 是平面内三点．(1)按要求作图：①作射线BC ，过点B 作直线l ，使A 、C 两点在直线l 两旁；②点P 为直线l 上任意一点，点Q 为直线BC 上任意一点，连接线段AP 、PQ ；(2)在（1）所作图形中，若点A 到直线l 的距离为2，点A 到直线BC 的距离为5，点A 、B 之间的距离为8，点A 、C 之间的距离为6，则AP +PQ 的最小值为__________，依据是__________20．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OD 平分AOF ∠，EO OD ⊥，55EOA ∠=︒，求BOF ∠的度数.21．如图，已知OB ，OC ，OD 是AOE ∠内三条射线，OB 平分AOE ∠，OD 平分COE ∠．(1)若70AOB ∠=︒，20DOE ∠=︒，求BOC ∠的度数．(2)若136AOE ∠=︒，AO CO ⊥，求BOD ∠的度数．(3)若20DOE ∠=︒，220AOE BOD ∠+∠=︒，求BOD ∠的度数．22．如图，O 为直线AB 上一点，F 为射线OC 上一点，OE ⊥AB ．（1）用量角器和直角三角尺画∠AOC 的平分线OD ，画FG ⊥OC ，FG 交AB 于点G ；（2）在（1）的条件下，比较OF 与OG 的大小，并说明理由；（3）在（1）的条件下，若∠BOC ＝40°，求∠AOD 与∠DOE 的度数．23．如图，用三张卡片拼成如下图①，图②所示的两个四边形，其周长分别为1C 、2C ．(1)请你根据所学知识解释：在直角三角形卡片中，“n m <”的理由是_________．（填写正确选项的字母）A ．两点之间线段最短；B ．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；C ．垂线段最短；D ．两点确定一条直线．(2)分别计算1C 、2C （用含m 、n 的代数式表示）；(3)比较112C 与212C 的大小，并说明理由．24．点O 为直线l 上一点，射线OA OB 、均与直线l 重合，如图1所示，过点O 作射线OC 和射线OD ，使得100BOC ∠=︒，90COD ∠=︒，作AOC ∠的平分线OM ．(1)求AOC ∠与MOD ∠的度数；(2)作射线OP ，使得90BOP AOM ∠+∠=︒，请在图2中画出图形，并求出COP ∠的度数；(3)如图3，将射线OB 从图1位置开始，绕点O 以每秒5︒的速度逆时针旋转一周，作COD ∠的平分线ON ，当20MON ∠=︒时，求旋转的时间．参考答案1．C【分析】两直线相交所成的四个角中，有一个角为90°，则这两条直线互相垂直，根据的定义判断即可．【详解】解：A、两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，是两个对顶角相等，那么这两条直线不一定垂直，故本选项错误；B、两条直线相交成四个角，如果有两对角相等，是两对对顶角相等，那么这两条直线不一定垂直，故本选项错误；C、两条直线相交成四个角，则这四个角中有2对对顶角．如果三个角相等，则这四个角相等，都是直角，所以这两条直线垂直．故正确；D、两条直线相交成四个角，如果有四对邻补角，是四对普通的邻补角，那么这两条直线不一定垂直，故本选项错误；故选：C．【点拨】本题主要考查了垂线的定义，对顶角的定义，邻补角的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．2．D【分析】平面内经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，据此可得．【详解】解：经过直线l外一点画l的垂线，能画出1条垂线，故选D．【点拨】本题主要考查垂线，解题的关键是掌握在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．3．A【分析】满足两个条件：①经过点B．②垂直AC；由此即可判断.【详解】解：根据垂线段的定义可知，图①线段BE，是点B作线段AC所在直线的垂线段，故选A．【点拨】本题考查作图-复制作图，垂线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4．A【分析】根据点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，即可得到答案．【详解】解：点A到直线l2的距离为AB的长，等于4，故A正确；点C到直线l1的距离为AC的长，大于4，故B错误；点C到AB的距离为BC的长，等于3，故C错误；同理，点B 到AC 的距离也不是3，故D 错误，故选：A【点拨】本题考查点到直线的距离，掌握定义是解题的关键．5．D【分析】根据已知角即可判断A 、B ；根据点到直线的距离的定义即可判断C 、D ．【详解】解：A 、∵∠CDA ＝60︒，∴直线AD 与直线BC 的夹角是60︒，正确，故不符合题意；B 、∵∠ACD ＝90︒，∴直线AC 与直线BC 的夹角是90︒，正确，故不符合题意；C 、∵∠ACD ＝90︒，∴DC ⊥AC ，∴线段CD 的长是点D 到直线AC 的距离，正确，故不符合题意；D 、∵BD 和AD 不垂直，∴线段AB 的长不是点B 到直线AD 的距离，错误，故本选项符合题意；故选：D ．【点拨】本题考查了点到直线的距离，以及直线与直线的夹角，注意：点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长．6．B【分析】直接利用垂线的性质进而分析得到答案．【详解】∵AB l ⊥，BC l ⊥，垂足为B ，∴AB 和BC 重合，理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．故选：B ．【点拨】本题考查了同一平面内直线的垂直关系及垂线段的知识点，解题的关键是熟悉对垂线段定义的理解．7．D【分析】根据垂线段最短可得3＜BD ＜5．【详解】解：∵AD ⊥BD ，BC ⊥CD ，AB=5，BC=3，∴BC ＜BD ＜AB ，即3＜BD ＜5．故选：D ．【点拨】此题主要考查了垂线段的性质，关键是掌握垂线段最短．8．B【分析】根据点到直线的距离是垂线段的长度，可得答案．【详解】点A 到线段BC 所在直线的距离是线段AF 的长度，故选B ．【点拨】本题考查了点到直线的距离，利用点到直线的距离的定义是解题关键．9．D【分析】根据角平分线的性质得到12COE AOC ∠=∠，12COF BOC ∠=∠，又因为AOC ∠与BOC ∠是互为补角，所以90COE COF ∠+∠=︒，所以OE OF ⊥，所以A 错误，D 正确；因为12AOG AOD Ð=Ð，且AOD ∠与BOC ∠互为对顶角，所以AOG BOF ∠=∠，所以OF 与OG 共线，所以OE OG ⊥，所以B ，C 均错误．【详解】解：如图，∵OE ，OF 分别是AOC ∠，BOC ∠的平分线，∴12COE AOE AOC ∠=∠=∠，12COF BOF BOC Ð=Ð=Ð，∵OG 是AOD ∠的平分线，∴12AOG DOG AOD Ð=Ð=Ð，∴1180902COE COFAOF BOF ����窗=，∴90EOF ∠=︒，∵AOC BOD ∠=∠，∴AOG BOF ∠=∠，∴90EOG AOG AOE Ð=Ð+Ð=°，∴180EOG EOF ∠+∠=︒，∴OF 与OG 共线，∴射线OE ，OF 互相垂直，故D 正确，A 错误；射线OF 与OG 互相垂直，故BC 错误．故选：D ．【点拨】本题考查了垂线，对顶角，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．10．B【分析】根据垂直的定义可知90EOB ∠=︒，故A 正确；根据互补定义，由图知DOB ∠和AOD ∠互补，故B 错误；根据OE ⊥AB ，∠EOD ＝38°，结合对顶角定义，可得52AOC BOD ∠=∠=︒，故C 正确；根据互余定义和对顶角定义可知AOC BOD ∠=∠，90BOD EOD ∠+∠=︒即可得到∠AOC 与∠EOD 互为余角，故D 正确，从而得到结论．【详解】解：A 、由于OE ⊥AB ，则90EOB ∠=︒，故该选项不符合题意；B 、由于A O B 、、三点共线，则180AOD BOD ∠+∠=︒，即∠DOB 是∠AOE 的补角错误，故该选项符合题意；C 、由于OE ⊥AB ，则90EOB ∠=︒，再结合∠EOD ＝38°，根据对顶角相等可知52AOC BOD ∠=∠=︒，故该选项不符合题意；D 、由于OE ⊥AB ，则90EOB ∠=︒，从而90BOD EOD ∠+∠=︒，根据对顶角相等AOC BOD ∠=∠可得90AOC EOD ∠+∠=︒，∠AOC 与∠EOD 互为余角，故该选项不符合题意；故选：B ．【点拨】本题考查垂线的定义、互余的定义、互补的定义和对顶角相等的性质等知识点，熟记概念，准确识图并找到各个相关角度之间的数量关系是解决问题的关键．11．30︒或110︒【分析】分两种情况，当αβ∠=∠时，当180αβ∠+∠=︒，然后进行计算即可解答，【详解】解：设∠β为x ︒，则()230x α∠=-︒，分两种情况：当αβ∠=∠时，如图：230x x ∴-=，解得：30x =，30α∴∠=︒，当180αβ∠+∠=︒，如图：230180x x ∴-+=，解得：70x =，110α∴∠=︒综上所述：30α∠=︒或110α∠=︒．故答案为：30︒或110︒．【点拨】本题考查了垂线，角的计算，根据题意画出图形，分两种情况讨论是解题的关键．12．144°【分析】直接利用垂直的定义得出∠AOE =90°，进而利用∠AOC ：∠COE =2：3，得出∠AOC 的度数，进而得出答案．【详解】解：∵EO ⊥AB ，∴∠AOE =90°，∵∠AOC ：∠COE =2：3，∴设∠AOC =2x ，∠COE =3x ，则3x +2x =90°，解得：x =18°，故∠AOC =36°，则∠AOD =180°-36°=144°．故答案为：144°．【点拨】此题主要考查了垂直的定义以及邻补角，正确得出∠AOC 度数是解题关键．13．50︒##50度【分析】根据对顶角相等可得80BOC AOD =∠=︒∠，再根据角平分线的性质得1402BOE BOC ==︒∠∠，最后根据平角的性质求解即可．【详解】解：∵80AOD ∠=︒，∴80BOC AOD =∠=︒∠．∵OE 平分∠BOC ，∴1402BOE BOC ==︒∠∠．∵OF ⊥OE ，∴90EOF ∠=︒，∴180180409050AOF BOE EOF =︒--=︒-︒-︒=︒∠∠∠．故答案为：50︒．【点拨】本题考查了角的度数问题、垂直定义以及角平分线的定义，掌握对顶角相等、平角的定义是解题的关键．14．55°或125°【分析】分OC ，OD 在AB 的同侧和异侧两种情况求解．【详解】当OC 和OD 在AB 同一侧时，如图：∵OC ⊥OD ，∴∠COD ＝90°，∴∠AOC +∠BOD ＝90°，∵∠AOC ＝35°，∴∠BOD ＝90°﹣∠AOC ＝90°﹣35°＝55°，当OC 和OD 在AB 同异侧时，如图：∵OC ⊥OD ，∴∠COD ＝90°，∵∠AOC ＝35°，∴∠AOD ＝55°，∴∠BOD ＝180°﹣∠AOD ＝180°﹣55°＝125°．∴∠BOD 的度数为55°或125°．故答案为：55°或125°．【点拨】本题考查了垂直的定义即两直线相交，交成的四个角中有一个是直角，理解定义，学会分类是解题的关键．15．72.5︒##72.5度【分析】根据BOC ∠比BOD ∠大70︒，BOC ∠和BOD ∠互补，即可求出55BOD ∠=︒，进而由垂直性质可求出35AOD ∠=︒，再由角平分线性质即可得出答案．【详解】解：∵BOC ∠比BOD ∠70︒，∴设BOD x ∠=，则70BOC x ∠=+︒，∵BOC ∠+180BOD ∠=︒，∴()70180x x ++︒=︒，∴55x =︒，∴55BOD ∠=︒，∵OA OB ⊥，∴90AOB ∠=︒，∴9035AOD BOD ∠=︒-∠=︒，∴180145AOC AOD ∠=︒-∠=︒，∵OE 平分AOC ∠，∴172.52COE AOC ∠=∠=︒．故答案为：72.5︒．【点拨】本题考查了垂直的性质，角平分线的性质以及角的运算，掌握以上知识是解题的关键．16．①②③【分析】根据图形的特点及角平分线的概念依次求出各角度即可解答．【详解】解：∵50AOC ∠=︒，∴∠BOC =180°-AOC ∠=130°，则①正确∵OD 平分AOC ∠，∴∠AOD =1252AOC ∠=︒，则②正确∴∠BOD =180°-∠AOD =155°，则③正确∵90BOE ∠=︒∴∠COE =90︒-AOC ∠=40°，则④错误．故答案为：①②③．【点拨】本题主要考查角平分线、垂直、邻补角的定义以及角的和差等知识点，熟知邻补角的定义及角平分线的定义成为解答本题的关键．17．()1450902β=-α+︒︒<α<︒【分析】先由角平分线定义得：22AOC AOF ∠=∠=β，由垂直定义和角的和差90BOC ∠=︒+α，再根据180AOC BOC ∠+∠=︒，得到α与β的关系，进而得解．【详解】∵OF 是AOC ∠的角平分线，AOF β∠=，∴22AOC AOF ∠=∠=β．∵OE CD ⊥，∴90COE ∠=︒，∵BOE α∠=，∴90BOC COE BOE ∠=∠+∠=︒+α．∵180AOC BOC ∠+∠=︒，∴290180β+︒+α=︒，∴()1450902β=-α+︒︒<α<︒，故答案是()1450902β=-α+︒︒<α<︒．【点拨】本题主要考查垂直的定义，角平分线的定义，补角的定义，由180AOC BOC ∠+∠=︒，90BOC ∠=︒+α，推导出β关于α的函数关系式是解本题的关键．18．990019800【详解】100条直线两两相交，最多有100(1001)49502-=个交点，每个交点处有两组对顶角，4对邻补角，故100条直线两两相交于一点共有4950×2＝9900（对）对顶角，有4950×4＝19800（对）邻补角，故答案为9900，19800.19．(1)①见解析；②见解析(2)5，垂线段最短【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）根据线段的性质即可得到结论．(1)解：①如图1所示，射线BC ，直线l 即为所求；②如图1所示，线段AP ，PQ 即为所求；；(2)解：过A 作AQ ⊥BC 交直线l 于P ，则此时，AP +PQ 的值最小，∵点A 到直线BC 的距离为5，∴AP +PQ 的最小值为5，依据是垂线段最短，故答案为：5，垂线段最短．【点拨】本题考查了点到直线的距离，直线，射线，线段的定义，正确的作出图形是解题的关键．20．110BOF ∠=︒【分析】依据EO OD ⊥，55EOA ∠=︒，可得905535AOD ∠=︒-︒=︒，再根据OD 平分AOF ∠，即可得出270AOF AOD ∠=∠=︒，依据平角定义得到BOF ∠．【详解】解：∵EO OD ⊥，∴90EOD ∠=︒.∵55EOA ∠=︒.∴1905535EOD EOA ∠=∠-∠=︒-︒=︒.∵OD 平分AOF ∠.∴11352AOF ∠=∠=︒.∴70AOF ∠=︒.∵180BOA BOF AOF ∠=∠+∠=︒∴180********BOF AOF ∠=︒-∠=︒-︒=︒．【点拨】本题主要考查了垂线的意义，角平分线的定义以及余角的综合运用，正确的识别图形是解题的关键．21．(1)30︒(2)45︒(3)60︒【分析】对于（1），由角平分线的定义求出∠BOE 和COE ∠，再根据=BOC BOE COE ∠∠-∠即可求解；对于（2），先求出COE ∠，再根据角平分线的定义求出DOE ∠和∠BOE ，然后根据=-BOD BOE DOE ∠∠∠即可求解；对于（3），由角平分线的定义得2AOE BOE ∠=∠，结合已知条件可得2220BOE BOD ∠+∠=︒，20BOE BOD ∠-∠=︒，即2240BOE BOD ∠-∠=︒，进而得出3180∠=︒BOD ，可得答案．【详解】（1）∵OB 平分AOE ∠，OD 平分COE ∠，∴70BOE AOB ∠=∠=︒，240COE DOE ∠=∠=︒，∴=704030BOC BOE COE ∠∠-∠=︒-︒=︒；（2）∵AO CO ⊥，∴=90AOC ∠︒．∵136AOE ∠=︒，∴1369046COE AOE AOC ∠=∠-∠=︒-︒=︒．∵OB 平分AOE ∠，OD 平分COE ∠，∴1682BOE AOE ∠=∠=︒，1232COE ∠=∠=︒，∴=-682345BOD BOE DOE ∠∠∠=︒-︒=︒；（3）∵OB 平分AOE ∠，∴2AOE BOE ∠=∠．∵220AOE BOD ∠+∠=︒，∴2220BOE BOD ∠+∠=︒．∵BOE BOD DOE ∠-∠=∠，∴20BOE BOD ∠-∠=︒，∴2240BOE BOD ∠-∠=︒，∴3180∠=︒BOD ，∴60BOD ∠=︒．【点拨】本题主要考查了角的和差，关键是由角平分线定义得出相关等式．22．（1）见解析；（2）OF ＜OG ；理由见解析；（3）∠AOD ＝70°，∠DOE ＝20°．【分析】（1）使用量角器量出AOC ∠的度数，再用直角三角尺画它的平分线，使用直角三角尺画FG OC ⊥于G ；（2）根据垂线段最短即可确定OF 和OG 的大小；（3）先利用邻补角计算出180140AOC BOC ∠=︒-∠=︒，再根据角平分线定义得70AOD ∠=°，然后利用角互余计算DOE ∠的度数．【详解】（1）先使用量角器量出AOC ∠的度数，再用直角三角尺画它的平分线；使用直角三角尺画FG OC ⊥于G ，如下图所示，OD 、FG 即为所画（2）OF OG <．理由如下：FG OC⊥ OF ∴是点O 到FG 的距离由直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短可知，OF OG <；（3）40BOC ︒∠= 180140AOC BOC ∴∠=︒-∠=︒∵OD 是AOC ∠的平分线∴1702AOD AOC ∠=∠=︒∵OE AB⊥∴90AOE ∠=︒∴20DOE AOE AOD ∠=∠-∠=︒故AOD ∠的度数为70︒，DOE ∠的度数为20︒．【点拨】本题考查了角平分线和垂线的画法、垂线段最短、角互余等知识点，掌握角平分线的定义是解题关键．23．(1)C(2)124C m n =+，242C m n =+(3)121122C C <，理由见解析【分析】（1）根据垂线段最短解答；（2）根据周长公式计算即可；（3）利用作差法比较大小．(1)解：“n m <”的理由是垂线段最短，故选：C ；(2)解：1224,42C m n C m n =+=+；(3)解：()()12111124422222C C m n m n n m -=+-+=-；∵n <m ，∴n-m <0，∴1211022C C -<，∴121122C C <．【点拨】此题考查了垂线的性质，计算图形的周长，利用作差法比较两个式子的大小，整式加减的应用，正确掌握垂线的性质及作差法比较大小的方法是解题的关键．24．(1)80AOC ∠=︒，50MOD ∠=︒(2)50︒或150︒(3)6秒或62秒【分析】（1）根据180AOB ∠=︒，100BOC ∠=︒，即可得出AOC ∠的度数，根据角平分线的定义得出1402COM AOC ∠=∠=︒，然后根据90COD ∠=︒得出MOD ∠的度数；（2）根据题意得出BOP ∠的度数，然后分两种情况进行讨论：①当射线OP 在BOC ∠内部时；②当射线OP 在BOC ∠外部时；分别进行计算即可；（3）根据ON 平分COD ∠得出45CON ∠=︒，根据题意画出图形，计算∠BOE 的角度，然后计算时间即可．【详解】（1）解：由题意可知，180AOB ∠=︒，∵100BOC ∠=︒，∴80AOC AOB BOC ∠=-∠=︒，∵OM 平分AOC ∠，∴1402COM AOC ∠=∠=︒，∴50MOD COD COM ∠=∠-∠=︒；（2）由（1）知，40AOM AOC COM ∠=∠-∠=︒，∴9050BOP AOM ∠=︒-∠=︒，①当射线OP 在BOC ∠内部时，如图2（1），50COP BOC BOP ∠=∠-∠=︒；②当射线OP 在BOC ∠外部时，如图2（2），150COP BOC BOP ∠=∠+∠=︒，综上所述，COP ∠的度数为50︒或150︒；（3）∵ON 平分COD ∠，∴1452CON COD ∠=∠=︒，①如图3，25COM CON MON ∠=∠-∠=︒，∵OM 平分AOC ∠，∴250AOC COM ∠=∠=︒，∴18030BOE AOC BOC ∠=︒-∠-∠=︒，∴旋转的时间3056t =︒÷︒=（秒）；②如图3（1），此时，65COM CON MON ∠=∠+∠︒，∵OM 平分AOC ∠，∴2130AOC COM ∠=∠=︒，∴18013050COE ∠=︒-︒=︒，∴1005050BOE ∠=︒-︒=︒，∴旋转的时间(36050)562=︒-︒÷︒=（秒）；综上所述，旋转的时间为6秒或62秒．【点拨】本题主要考查角度的计算，角平分线的定义等内容；第（2）问进行合适的分类讨论是解题的关键；第（3）问，搞清楚在射线OB 旋转的过程中，OM 和ON 的相对位置在不断的变化，以此进行分类画图．。

四年级数学人教版垂线的练习题一、选择题1. 图中哪一条线是垂线？（A）AB （B）AC （C）BC2. 垂直于直线AB的线段是哪一条？（A）CD （B）EF （C）GH3. 直线上两点P、Q分别是线段AB、CD的中点，那么线段PQ与直线AB和CD的关系是：（A）重合（B）垂直（C）平行4. 如图所示，K、L、M、N是四个园，K是LM的垂直平分线，N 是LN的垂直平分线，则可以推断出下列哪些命题成立？（A）∠KLM = ∠KLN （B）∠KLM = ∠NLM （C）∠KLN =∠NLM二、计算题1. 在平面直角坐标系中，点A(2, 5)、B(6,2)，求线段AB的斜率。

解：线段AB的斜率可以通过斜率公式得到：斜率 K = (y2 - y1) / (x2 - x1)= (2 - 5) / (6 - 2)= -3 / 42. 直线y = kx + 4与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，点A、B的坐标分别是(2,0)、(0,4)。

求直线y = kx + 4的斜率和截距。

解：由于直线与x轴的交点为A(2,0)，可得斜率 k = (y2 - y1) / (x2 -x1)= (0 - 4) / (2 - 0)= -2由直线的斜率和坐标(0,4)可求得截距 b = y - kx= 4 - (-2) * 0= 4所以直线y = kx + 4的斜率为-2，截距为4。

3. 如图所示，点P在直线AB上，点Q在直线CD上，且PQ⊥AB，PQ⊥CD。

已知直线AB的斜率为2，直线CD过坐标原点。

求直线CD 的方程。

解：直线AB的斜率为2，即可以表示为 y = 2x + b。

由于点P在直线AB上，可推出点P的坐标(1, 4)满足该方程：4 = 2 * 1 + bb = 2直线CD过坐标原点，并且与线段PQ垂直，可以表示为 x = k。

由于垂直性质可得到斜率乘积为-1，即斜率 k * 2 = -1，解得 k = -1/2。

所以直线CD的方程为 x = -1/2。