北京大学 非线性最优化问题
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非线性最优化模型主讲人：刘宏志
非线性最优化问题
•目标函数或约束条件中至少有一项是非线性的
•例如：
–生产的边际成本是生产数量的非线性函数
–利润是销售量的非线性函数
–债券的价格是利率的非线性函数
……
回顾：Par公司的生产决策问题
•问题描述：
–Par是一家生产高尔夫器材的公司
–决定开始生产标准袋和高级袋两种高尔夫球袋•目标：利润最大化
•决策：两种球袋各生产多少
回顾：Par公司的生产决策问题
Par公司：数学建模•决策变量：
S：生产标准袋数量；D：生产高级袋数量•目标函数：
max 10S+ 9D
•约束条件：
7S/10 + 1D ≤630切割和印染
1S/2 + 5D/6 ≤600缝合
1S+ 2D/3 ≤708成型
1S/10 + 1D/4 ≤135检查和包装S, D≥0非负约束
图解法：最优解
线性规划问题的最优解一定可以在可行解区域的一个极点上找到
Par公司问题的再思考
•初始假设：
–固定利润，所有生产的球袋都可以售出？？•实际：
–随着价格的升高，需求数量会下降
•重新假定：
–价格和需求间常常存在反比关系
–每种袋的单位成本固定
收集数据
•符号
–
P s ：标准袋的价格–
P D ：高级袋的价格–
S ：标准袋生产数量–D ：高级袋生产数量
•价格与需求之间的关系
–S = 2250 –15P s –D = 1500 –5P D
•生产成本：
–标准袋：70美元/个
–高级袋：150美元/个
Par公司问题：无约束求解
•总利润= 标准袋总利润+ 高级袋总利润
= (80S–S2/15) + (150D–D2/5)•标准袋总利润= 标准袋利润x 标准袋数量
= (80 –S/15) x S
•标准袋利润= 标准袋价格–标准袋成本
= (150 –S/15) –70
•S= 2250 –15P
s => P
s
= 150 –S/15
Par公司问题：无约束求解•总利润B= (80S–S2/15) + (150D–D2/5)
•最优解：–S= ？
–D= ？
–B= ？二次非线性规划模型
如何求解?
Par 公司问题：无约束求解•总利润B = (80S –
S 2/15) + (150D –D 2/5)•最优解：
–S = 600
–D = 375
–B = 52125 •求解过程：
–0 = d B /d S = 80 –2S /15 => S = 600
如何求解？一阶导数为0
Par公司问题：实际约束
无约束的最优
解不满足实际
的约束条件
计算机求解（演示）
Par公司问题：总结
•目标函数
–B = (80S–S2/15) + (150D–D2/5)
–二次函数：f（X, Y）= -X2-Y2
–特点：有唯一的局部最大值，即全局最大值
局部最大值和全局最大值
•符号：
–可行域：F
–可行解：p ∈F
–目标函数：g (p )
•全局最大值
–∀q ∈F ，g (p )≥g (q ) ，则称g (p )为全局最大值•局部最大值
––则称g (p )为局部最大值
, ,()()
N F p N q N g q g p ∃⊂∈∀∈≤且 使得
上凸函数
下凸函数
通过演化算法搜索最优解
Markowitz投资组合模型
•马科维茨（Markowitz）
–1990获诺贝尔经济学奖
–突出贡献：投资组合最优化模型
•Markowitz均方差投资组合模型–非线性规划的一个经典应用，被广泛采用–基本思想：
•用投资组合的方差来测量风险
•权衡投资组合的风险和收益
投资组合：Hauck 金融服务公司假设：这5个可能场景中有一个能代表接下来12个月的收益17.315.43-6.7025.3224.56小市值价值(SV)-9.0258.683.8519.4033.44小市值成长(SG)
-5.377.0612.9320.6132.36大市值价值(LV)
-23.2641.4633.2818.7132.41大市值成长(LG)
7.36-1.337.513.2517.64中期债券(IB)
-21.9345.4213.4713.1210.06外国股票(FS)
场景5场景4场景3场景2场景1年收益率共同基金
不同场景下的收益•场景1
•场景2
•场景3
•场景4
•场景5
保守的投资组合
•目标：
–在风险最小的前提下，获得最大的收益•最大化最小模型
–目标：最大化最低收益（M）
–约束：任何场景的收益都不低于最低收益•R1 ≥M
•R2 ≥M
•R3 ≥M
•R4 ≥M
•R5 ≥M
最大化最小模型
•目标函数：max M
•约束条件：
保守投资组合的最优解
中等风险的投资组合
•目标客户：
–试图获得更好的收益而愿意接受中等程度的风险
•例如：
–某客户愿意接受风险，但不愿意收益低于2%
中等风险的投资组合
•目标客户：
–试图获得更好的收益而愿意接受中等程度的风险•例如：
–某客户愿意接受风险，但不愿意收益低于2%•R1 ≥2
•R2 ≥2
•R3 ≥2
•R4 ≥2
•R5 ≥2
中等风险的投资组合
•目标函数：最大化收益
•期望收益：
p s 表示场景s 的概率
•假设
–5种场景发生的概率相同，即p s =0.2
1n
s s
s R p R ==∑
构建Markowitz 模型•用投资组合的方差来测量风险
•构造方法1：
–在投资组合期望收益的约束条件的限制下–最小化投资组合的方差•构造方法2：
–在投资组合方差的约束条件的限制下–最大化投资组合的期望收益2
1()
n s s s Var p R R ==−∑
Hauck公司的投资组合
•客户要求：
–预期的投资组合收益至少为10%
–最小化由投资组合方差测量的风险
•假设：
–5种场景发生的概率相同，即p s=0.2
效率限界
•投资组合方差最小值随期望收益的变化•Markowitz模型敏感度分析的一种方法
Markowitz模型：总结•基本思想：
–以期望收益E来衡量证券收益
–以收益的方差δ2表示投资风险
•优化模型：
–r p——组合收益；
–r i、r j——第i种、第j种资产的收益；
–w i、w j——资产i和资产j在组合中的权重；
–δ2(r p)——组合收益的方差，即组合的总体风险；
–cov(r i,r j)——两种资产之间的协方差。
