应用数理统计Chapter3.1(带作业)

第三章 假设检验课后作业参考答案某电器元件平均电阻值一直保持Ω，今测得采用新工艺生产36个元件的平均电阻值为Ω。

假设在正常条件下，电阻值服从正态分布，而且新工艺不改变电阻值的标准偏差。

已知改变工艺前的标准差为Ω，问新工艺对产品的电阻值是否有显著影响(01.0=α) 解：(1)提出假设64.2:64.2:10≠=μμH H ，(2)构造统计量36/06.064.261.2/u 00-=-=-=nX σμ(3)否定域⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>⋃⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=--21212αααu u u u u u V(4)给定显著性水平01.0=α时，临界值575.2575.2212=-=-ααuu ，(5) 2αu u <，落入否定域，故拒绝原假设，认为新工艺对电阻值有显著性影响。

一种元件,要求其使用寿命不低于1000（小时）,现在从一批这种元件中随机抽取25件,测得其寿命平均值为950（小时）。

已知这种元件寿命服从标准差100σ=（小时）的正态分布，试在显著水平下确定这批元件是否合格。

解：{}01001:1000, H :1000950 100 n=25 10002.5V=u 0.05H x u αμμσμα-≥<====->=提出假设：构造统计量：此问题情形属于u 检验，故用统计量：此题中：代入上式得：拒绝域：本题中：0.950.950u 1.64u 0.0u H =>∴即，拒绝原假设认为在置信水平5下这批元件不合格。

某厂生产的某种钢索的断裂强度服从正态分布()2,σμN ，其中()2/40cm kg =σ。

现从一批这种钢索的容量为9的一个子样测得断裂强度平均值为X ，与以往正常生产时的μ相比，X 较μ大20(2/cm kg )。

设总体方差不变，问在01.0=α下能否认为这批钢索质量显著提高 解：(1)提出假设0100::μμμμ>=H H ，(2)构造统计量5.13/4020/u 00==-=nX σμ (3)否定域{}α->=1u u V(4)给定显著性水平01.0=α时，临界值33.21=-αu(5) α-<1u u ，在否定域之外，故接受原假设，认为这批钢索质量没有显著提高。

第三章 假设检验课后作业参考答案3.1 某电器元件平均电阻值一直保持2.64Ω，今测得采用新工艺生产36个元件的平均电阻值为2.61Ω。

假设在正常条件下，电阻值服从正态分布，而且新工艺不改变电阻值的标准偏差。

已知改变工艺前的标准差为0.06Ω，问新工艺对产品的电阻值是否有显著影响？(01.0=α)解：(1)提出假设64.2:64.2:10≠=μμH H ， (2)构造统计量36/06.064.261.2/u 00-=-=-=nX σμ(3)否定域⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>⋃⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=--21212αααu u uu u u V (4)给定显著性水平01.0=α时，临界值575.2575.2212=-=-ααuu ，(5) 2αu u <，落入否定域，故拒绝原假设，认为新工艺对电阻值有显著性影响。

3.2 一种元件,要求其使用寿命不低于1000（小时）,现在从一批这种元件中随机抽取25件,测得其寿命平均值为950（小时）。

已知这种元件寿命服从标准差100σ=（小时）的正态分布，试在显著水平0.05下确定这批元件是否合格。

解：{}01001:1000, H :1000X 950 100 n=25 10002.5V=u 0.05H x u αμμσμα-≥<====->=提出假设：构造统计量：此问题情形属于u 检验，故用统计量：此题中：代入上式得：拒绝域：本题中：0.950.950u 1.64u 0.0u H =>∴即，拒绝原假设认为在置信水平5下这批元件不合格。

3.3某厂生产的某种钢索的断裂强度服从正态分布()2,σμN ，其中()2/40cm kg =σ。

现从一批这种钢索的容量为9的一个子样测得断裂强度平均值为X ，与以往正常生产时的μ相比，X 较μ大20(2/cm kg )。

设总体方差不变，问在01.0=α下能否认为这批钢索质量显著提高？ 解：(1)提出假设0100::μμμμ>=H H ， (2)构造统计量5.13/4020/u 00==-=nX σμ (3)否定域{}α->=1u u V(4)给定显著性水平01.0=α时，临界值33.21=-αu(5) α-<1u u ，在否定域之外，故接受原假设，认为这批钢索质量没有显著提高。

第三章 假设检验P1313.2 一种元件，要求其使用寿命不得低于1000（小时）。

现在从一批这种元件中随机抽取25件，测得其寿命平均值为950（小时）。

已知该种元件寿命服从标准差100σ=（小时）的正态分布，试在显著水平0.05下确定这批元件是否合格。

解：本题需检验0H ：0μμ≥，1H ：0μμ<.元件寿命服从正态分布，0σ已知，∴当0H成立时，选取统计量X u μ-=，其拒绝域为{}V u u α=<.其中950X =，01000μ=，25n =，0100σ=.则 2.5u ==-.查表得0.05 1.645u =-，得0.05u u <，落在拒绝域中，拒绝0H ，即认为这批元件不合格。

3.3 某厂生产的某种钢索的断裂强度服从正态分布()2N μσ，，其中40σ=（kg / cm 2）。

现从一批这种钢索的容量为9的一个子样测得断裂强度平均值为X ，与以往正常生产时的μ相比，X 较μ大20（kg / cm 2）。

设总体方差不变，问在0.01α=下能否认为这批钢索质量有显著提高？解：本题需检验0H ：0μμ=，1H ：0μμ>.钢索的断裂强度服从正态分布，0σ已知，∴当0H成立时，选取统计量u =，其拒绝域为{}1V u u α-=>.其中040σ=，9n =，020X μ-=，0.01α=.则 1.5u ==.查表得10.990.01 2.33u u u u αα-==-=-=，得0.99u u <，未落在拒绝域中，接受0H ，即认为这批钢索质量没有显著提高。

3.5 测定某种溶液中的水分。

它的10个测定值给出0.452%X =，0.035%S =。

设总体为正态分布()2N μσ，，试在水平5%检验假设：（i ）0H ：0.5%μ>； 1H ：0.5%μ<. （ii ）0H ：0.04%σ≥； 1H ：0.04%σ<. 解：（i ）总体服从正态分布，0σ未知，当0H成立时，选取统计量t =(){}1V t t n α=<-.查表得()()0.050.9599 1.8331t t =-=-.而()4.114 1.83311t t n α==-<-=-.落在拒绝域中，拒绝0H .（ii ）总体服从正态分布，μ未知， 当0H 成立时，选取统计量222nSχσ=，其拒绝域为(){}221V n αχχ=<-.查表得()20.059 3.325χ=.而()()()2222100.035%7.65610.04%n αχχ⨯==>-.未落在拒绝域中，接受0H .3.6 使用A （电学法）与B （混合法）两种方法来研究冰的潜热，样品都是－0.72℃的冰块，下列数据是每克冰从－0.72℃变成0℃水的过程中的吸热量（卡 / 克）：方法A ：79.98，80.04，80.02，80.04，80.03，80.03，80.04，79.97，80.05，80.03，80.02，80.00，80.02方法B ：80.02，79.94，79.97，79.98，79.97，80.03，79.95，79.97假定用每种方法测得的数据都服从正态分布，且它们的方差相等。

学号姓名学院专业成绩典型燃煤中汞的赋存规律摘要：近年来，燃煤引起的汞污染越来越受到人们关注。

中国能源结构以燃煤为主，但由于中国煤质地区差异较大，造成现有烟气脱汞技术对煤质适应性较差，因此针对中国典型煤种中汞的赋存规律进行研究，对促进烟气脱汞技术的发展和环境保护具有重要意义。

论文针对烟煤和无烟煤，通过总汞测定、X射线荧光光谱分析等手段，对15个典型煤样中汞的赋存状态和规律进行了实验研究。

随着煤炭变质程度的增高，煤中总汞含量有增高趋势，各地区煤总汞含量差别较大，在本实验范围内，汞含量大致呈现北低南高的特征。

α= 0. 05时，煤样中的总汞含量与硅含量、硫含量、氯含量的相关性系数分别为0.509、0.600和0.682，具有较好的相关性。

关键词：CO2；赋存规律；相关性1提出问题并分析问题大气中的汞有两种不同类型的排放源：天然源和人类源。

主要还是以人类活动排放为主。

在自然界中汞以各种形式存在，例如以硫化汞的形式存在于岩石中。

这些汞经过一系列的自然过程进入大气。

天然源释放到大气中的主要是Hg0，还有一些二甲基汞、挥发性无机汞化合物等。

煤中汞的赋存形式是影响汞排放的一个重要因素。

有学者提出煤中存在与有机煤岩组分结合的有机汞化合物，但主要还是以与无机物结合形式存在[1]。

对于煤中汞的存在形式，许多学者都进行了研究。

Finkelman在煤中发现了含汞的硫化物和硒化物，Cahill和Shiley发现煤中的方铅矿含汞，Dvornikov还提出煤中的汞主要以辰砂、金属汞和有机汞化合物的形式存在[1]。

煤在地质化学中被归为亲硫元素，因而，煤中的汞主要存在于黄铁矿（FeS2）和朱砂（HgS）中[2]。

文献[1]的研究证实了煤中大多数汞以固溶物形式分布于黄铁矿中,特别是后期成因的黄铁矿。

与煤中汞的含量分布研究相比，我国对煤中汞的赋存状态研究相对薄弱。

目前对煤中汞赋存状态的研究，采集的样品大多为我国西南地区的高硫煤或某些高汞煤，主要讨论煤中的汞与黄铁矿或硫分之间关系。

应用数理统计答案学号：姓名：班级：目录第一章数理统计的基本概念 (2)第二章参数估计 (14)第三章假设检验 (23)第四章方差分析与正交试验设计 (28)第五章回归分析 (31)第六章统计决策与贝叶斯推断 (34)对应书目：《应用数理统计》施雨著西安交通大学出版社第一章 数理统计的基本概念1.1 解：∵2(,)XN μσ∴ 2(,)n XN σμ∴(0,1)N 分布∴(1)0.95P X P μ-<=<=又∵ 查表可得0.025 1.96u =∴ 221.96n σ=1.2 解：(1) ∵(0.0015)X Exp∴ 每个元件至800个小时没有失效的概率为：8000.001501.2(800)1(800)10.0015x P X P X e dxe -->==-<=-=⎰∴ 6个元件都没失效的概率为： 1.267.2()P ee --==(2)∵(0.0015)X Exp∴ 每个元件至3000个小时失效的概率为：30000.001504.5(3000)0.00151x P X e dxe--<===-⎰∴ 6个元件没失效的概率为： 4.56(1)P e-=-1.4 解：ini n x n x ex x x P ni i 122)(ln 2121)2(),.....,(122=--∏∑==πσμσ1.5证：21122)(naa x n x a x n i ni ii+-=-∑∑==∑∑∑===-+-=+-+-=ni i ni i ni i a x n x x na a x n x x x x 1222211)()(222a) 证：)(11111+=+++=∑n ni i n x x n x)(11)(1111n n n n n x x n x x x n n -++=++=++])()1(1 ))((12)[(11)](11[11)(11212111121211212112n n n i n n n i n i n i ni n n n i n i n in x x n n x x x x n x x n x x n x x n x x n S -+++--+--+=-+--+=-+=++=+=+=+=++∑∑∑∑] )(11))1()((12)([112111212n n n n n n n n n x x n x n x x n x x n x x nS n -++-+-+--++=++++ ])(11S [1 ])(1[n S 11212n 212n n n n n x x n n n x x n n n -+++=-+++=++1.6证明 (1) ∵22112211221()()()2()()()()()nni ii i nni i i i ni i X X X X X X X X X n X X X n X μμμμμ=====-=-+-=-+--+-=-+-∑∑∑∑∑(2) ∵2221112221221()22ii i nn ni i i i i ni ni XX X X X nX X nX nX X nX =====-=-+=-+=-∑∑∑∑∑1.10 解:(1).∑∑====ni i n i i x E n x n E X E 11)(1)1()(p np n=⋅=1np m p x D n x n D X D ni in i i )1()(1)1()(121-===∑∑==))(1()(122∑=-=n i i x x n E S E)1(1)])1(1())1(([1)])()(())()(([1])()([1])([12222212212212p mp nn p m p mp n n p m p mp n n x E x D n x E x D n x nE x E n x x E n ni i i n i i n i i --=+--+-=+-+=-=-=∑∑∑=== 同理，（2）.λ===∑∑==ni i n i i x E n x n E X E 11)(1)1()(λnx D n x n D X D ni in i i 1)(1)1()(121===∑∑==λnn x E x D n x E x D n x nE x E n S E ni i i n i i 1)])()(())()(([1])()([1)(2122122-=+-+=-=∑∑==(3).2)(1)1()(11ba x E n x n E X E ni i n i i +===∑∑==na b x D nx n D X D ni ini i 12)()(1)1()(2121-===∑∑==12)(1)])()(())()(([1])()([1)(22122122a b n n x E x D n x E x D n x nE x E n S E ni i i n i i -⋅-=+-+=-=∑∑==(4).λ===∑∑==ni i ni i x E n x n E X E 11)(1)1()(nx D nx n D X D ni ini i 2121)(1)1()(λ===∑∑==221221221)])()(())()(([1])()([1)(λnn x E x D n x E x D n x nE x E n S E ni i i n i i -=+-+=-=∑∑==(5).μ===∑∑==ni i n i i x E n x n E X E 11)(1)1()(nx D nx n D X D ni in i i 2121)(1)1()(σ===∑∑==221221221)])()(())()(([1])()([1)(σ⋅-=+-+=-=∑∑==nn x E x D n x E x D n x nE x E n S E ni i i n i i1.11 解：由统计量的定义知，1，3，4，5，6，7为统计量，5为顺序统计量 1.17 证：),(~ λαΓXxe x xf λαααλ--Γ=∴1)()( 令kXY =ke ky k ke ky yf kyky⋅Γ=⋅Γ=∴----λαααλαααλαλ11)()( )()()(即 ),(~ky Y αΓ1.18 证：),(~ b a X β),()1()( 11b a B x xx f b a ---=∴),(),(),()1()( 11b a B b k a B b a B x x x X E b a k k +=-=∴⎰∞+∞---),(),1()( b a B b a B X E +=∴ba a ab a b a b a a a a b a b a a a b b a b a b a +=Γ+Γ++ΓΓ=Γ++Γ+Γ+Γ=ΓΓ+Γ⋅++ΓΓ+Γ=)()()()()()()1()()1()()()()1()()1(),(),2()(2b a B b a B X E +=))(1()1()()()()2()()2(b a b a a a a b b a b a b a ++++=ΓΓ+Γ⋅++ΓΓ+Γ= 22)]([)()( X E X E X D -=∴2))(1())(1()1(b a b a ab ba ab a b a a a +++=+-++++=1.19 解：∵(,)X F n m 分布12(1)022()((1))()(1)()()()(1)()()n n m n mn m yn m y n mn nP Y y P X X y m myP X y n n n x x dx m m m++--+≤=+≤=<-Γ=+ΓΓ⎰222212211()()()1()(1)()()11(1)(1)(,)n n m n m n mn mn mf y P Y y y y y y y yy B ++----'=≤Γ=+ΓΓ----=∴ 22(1)(,)n m n n Y X X m mβ=+分布1.20 解：∵()Xt n 分布122212()()(()2(1)n n P Y y P X y P X xdxn ++-≤=≤=≤≤Γ=+11111212122()()()(1)()1()(1)()()()n n n n nf y P Y y y yn y y n n n+++--+--'=≤Γ=+Γ=+ΓΓ∴2(1,)2nY XF =分布1.21 解: (1) ∵(8,4)XN 分布∴ 4(8,)25XN 分布，即5(8)(0,1)2X N -∴ 样本均值落在7.88.2分钟之间的概率为：5(7.88)5(8)5(8.28)(7.88.2)()2220.383X P X P ---≤≤=≤≤=(2) 样本均值落在7.58分钟之间的概率为：5(7.58)5(8)5(88)(7.58)()2225(8)(0 1.25)20.3944X P X P X P ---≤≤=≤≤-=≤≤=若取100个样品，样本均值落在7.58分钟之间的概率为：10(7.88)10(8)10(8.28)(7.88.2)()2222*(0.84130.5)0.6826X P X P ---≤≤=≤≤=-=单个样品大于11分钟的概率为：110.77340.2266P =-=25个样品的均值大于9分钟的概率为210.97980.0202P =-= 100个样品的均值大于8.6分钟的概率为310.99870.0013P =-= 所以第一种情况更有可能发生1.23 解：(1) ∵2(0,)XN σ分布∴2(0,)XN nσ分布∴22()(1)χσ∵ 22221()()ni i a X an X an σσ===∑∴21a n σ=同理 21b m σ=(2) ∵2(0,)XN σ分布∴222(1)X χσ分布由2χ分布是可加性得：2221()ni i X n χσ=∑()nic X t m ==∑∴c =(3) 由(2)可知2221()ni i X n χσ=∑2221122211(,)nni ii i n mn mi ii n i n X d Xnn dF n m XmXmσσ==++=+=+=∑∑∑∑∴ md n=1.25 证明：∵211(,)XN μσ分布∴2211()(1)i X μχσ-∴1221111()()n i i X n μχσ=-∑ 同理2222212()()n i i Y n μχσ=-∑1122222112211111222221122112()()(,)()()n n i i i i n n i i i i X n n X F n n Y n Y n μσμσμσμσ====--=--∑∑∑∑第二章 参数估计 2.1 (1) ∵ ()XExp λ分布∴ ()1E X λ=令 ˆ1X λ= 解得λ的矩估计为: ˆ1X λ= (2) ∵ (,)XU a b 分布∴ ()2a bE X +=2()()12b a D X -=令 1ˆˆ2ab A X +==22221ˆˆˆˆ()()1124n i i b a a b A X n =-++==∑ （22211n i i X X S n =-=∑）解得a 和b 的矩估计为:ˆˆaX bX ==(3) 110()1E X x x dx θθθθ-=*=+⎰令1ˆˆ1A X θθ==+∴ˆ1X X θ=- (4) 110()(1)!kk x kE X x x e dx k βββ--=*=-⎰令ˆkX β= ∴ ˆk Xβ=(5) 根据密度函数有2221()22()E X a aE X a λλλ=+=++根据矩估计有1222221ˆˆˆ22ˆˆˆa A X a a A S X λλλ+==++==+解得λ和a 的矩估计为: ˆˆaX λ==- (6) ∵ (,)X B m p∴ ()E X mp =令 1ˆmpA X == 解得p 的矩估计为:ˆX pm= 2.3解：∵ X 服从几何分布，其概率分布为：1()(1)k P X k p p -==-故p 的似然函数为： 1()(1)ni i x nnL p p p =-∑=-对数似然函数为：1ln ()ln ()ln(1)ni i L p n p x n p ==+--∑令 1ln ()1()01nii L p n x n p p p=∂=--=∂-∑ ∴ 1ˆpX= 2.4 解：由题知X 应服从离散均匀分布，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤==其它011)(N k N k x p2)(NX E =矩估计： 令7102=∧N1420=∴∧N 极大似然估计：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它071011)(N N N L要使)(N L 最大，则710=N710=∴∧N2.5 解：由题中等式知：2196.196.196.1)025.01(025.0)(1S X +=+=∴+=+-Φ=∴=-Φ-∧∧∧-σμθσμμσθσμθ2.6 解：（1） 05.009.214.2=-=R0215.005.04299.05=⨯==∴∧d R σ （2）将所有数据分为三组如下所示：0197.005.03946.005.0)05.005.005.0(316=⨯==∴=++=∴∧d R R σ2.7 解：（1）⎩⎨⎧+<<=其它 01x1)(θθx fθθθθθθ≠+==+=++=∴∧21)()(2121)(X E E X E ∴ X =∧θ不是θ的无偏估计，偏差为21=-∧θθ （2） θ=-)21(X E 21-=∴∧X θ是θ的无偏估计 （3）22))(()())(()(θθθθ-+=-+=∧∧X E X D E D M S E41121+=n 2.8 证：由例2.24，令2211x a x a +=∧μ，则∧μ 为μ无偏估计应 满足121=+a a因此1μ，2μ，3μ都是μ的无偏估计)()()()(21)()(2513)()(95)9491)(()())(()()(1233212221212∧∧∧∧∧∧=∧<<===+=∴+==∑μμμμμμμD D D X D D X D D X D X D D a a X D X D a D i i i2132121X X +=∴∧μ最有效 2.9 证： )(~λp Xλλ==∴)( )(X D X EX 是λ=)(X E 的无偏估计，2*S 是λ=)( X D 的无偏估计 )()1()())1((2*2*S E X E S XE αααα-+=-+∴λλααλ=-+=)1(∴2*)1(SX αα-+是λ的无偏估计2.10 解：因为2222((1))()(1)()(1)()1(1)()11(1)1E X S E X E S na E S n n a E S n n n a n nααααλαλαλαλλ**+-=+-=+--=+---=+-=-所以 2(1)X S αα*+-是λ的无偏估计量2.15 解：因为ˆθ是θ的有效估计量ˆˆˆ()()()E uE a b aE b a b u θθθ=+=+=+= 221ˆˆˆˆ()()()()D u D a b a D a D θθθ=+=≤ （其中,1ˆθ是θ的任意无偏估计量中的一个）所以 ˆu是u 的有效估计量 2．26 解： 因为总体服从正态分布，所以)01X U N μσ-=（，）对于给定的1α-，查标准正态分布表可得2u α，使得 2()1P U u αα<=- 即：22()1P X p X ααα<<+=-区间的长度2d L α=<，所以22224u n L ασ>2.28 解：因为总体服从正态分布，所以)01X U N μσ-=（，）， 222(1)nS V n χσ=-由因为U 和V 是相互独立的， 所以(1)X T t n =-对于给定的1α-，查标t 分布表可得2t α，使得 2()1P U t αα<=-，即：2()1P X X ααμα<<=- 当30n =，35X =，15S =时，第一家航空公司平均晚点时间μ的95%的置信区间为：(29.3032,40.6968)对于给定的1α-，查标t 分布表可得t α，使得 ()1P U t αα>=-， 即：()1P X αμα<+=- 故μ的具有单侧置信上限的单侧置信区间为(,)X α-∞+ 所以经计算可得：第一家航空公司的单侧上限置信区间为(,39.7327)-∞ 第二种航空公司的单侧上限置信区间为(,36.3103)-∞ 所以选择第二家航空公司。

应用数理统计答案学号：姓名：班级：目录第一章数理统计的基本概念 (2)第二章参数估计 (14)第三章假设检验 (24)第四章方差分析与正交试验设计 (29)第五章回归分析 (32)第六章统计决策与贝叶斯推断 (35)对应书目：《应用数理统计》施雨著西安交通大学出版社第一章 数理统计的基本概念1.1 解：∵2(,)X N μσ∼ ∴ 2(,)n X N σμ∼∴)(0,1)X N μσ−∼分布∴(1)0.95P X P μ−<=<=又∵ 查表可得0.025 1.96u = ∴ 221.96n σ=1.2 解：(1) ∵ (0.0015)X Exp ∼∴ 每个元件至800个小时没有失效的概率为：8000.001501.2(800)1(800)10.0015x P X P X e dxe −−>==−<=−=∫∴ 6个元件都没失效的概率为： 1.267.2()P e e −−==(2) ∵ (0.0015)X Exp ∼∴ 每个元件至3000个小时失效的概率为：30000.001504.5(3000)0.00151x P X e dxe−−<===−∫∴ 6个元件没失效的概率为： 4.56(1)P e −=−1.4 解：ini n x n x ex x x P ni i 122)(ln 2121)2(),.....,(122=−−Π∑==πσμσ1.5证：∵21122)(na a x n x a x ni ni ii+−=−∑∑==∑∑∑===−+−=+−+−=ni i ni i ni i a x n x x naa x n x x x x 1222211)()(222a) 证：)(11111+=+++=∑n ni i n x x n x )(11)(1111n n n n n x x n x x x n n −++=++=++])()1(1 ))((12)[(11)](11[11)(11212111121211212112n n n i n n n i n i n i ni n n n i n i n in x x n n x x x x n x x n x x n x x n x x n S −+++−−+−−+=−+−−+=−+=++=+=+=+=++∑∑∑∑] )(11))1()((12)([112111212n n n n n n n n n x x n x n x x n x x n x x nS n −++−+−+−−++=++++])(11S [1 ])(1[nS 11212n 212n n n n n x x n n n x x n n n −+++=−+++=++ 1.6证明 (1) ∵22112211221()()()2()()()()()nni ii i nni i i i ni i X X X X X X X X X n X X X n X μμμμμ=====−=−+−=−+−−+−=−+−∑∑∑∑∑(2) ∵2221112221221()22ii i nn ni i i i i ni ni XX X X X nX X nX nX X nX =====−=−+=−+=−∑∑∑∑∑1.10 解: (1).∑∑====ni i n i i x E n x n E X E 11)(1)1()(p np n=⋅=1np mp x D n x n D X D ni in i i )1()(1)1()(121−===∑∑==))(1()(122∑=−=n i i x x n E S E)1(1)])1(1())1(([1)])()(())()(([1])()([1])([12222212212212p mp nn p m p mp n n p m p mp n n x E x D n x E x D n x nE x E n x x E n ni i i n i i n i i −−=+−−+−=+−+=−=−=∑∑∑=== 同理，（2）. λ===∑∑==ni i n i i x E n x n E X E 11)(1)1()(λnx D n x n D X D ni in i i 1)(1)1()(121===∑∑==λnn x E x D n x E x D n x nE x E n S E ni i i n i i 1)])()(())()(([1])()([1)(2122122−=+−+=−=∑∑==(3). 2)(1)1()(11b a x E n x n E X E ni i n i i +===∑∑==na b x D nx n D X D ni ini i 12)()(1)1()(2121−===∑∑==12)(1)])()(())()(([1])()([1)(22122122a b nn x E x D n x E x D n x nE x E n S E ni i i n i i −⋅−=+−+=−=∑∑==(4). λ===∑∑==ni i n i i x E n x n E X E 11)(1)1()(nx D nx nD X D ni ini i 2121)(1)1()(λ===∑∑==221221221)])()(())()(([1])()([1)(λnn x E x D n x E x D n x nE x E n S E ni i i n i i −=+−+=−=∑∑==(5). μ===∑∑==ni ini i x E nx nE X E 11)(1)1()(nx D nx nD X D ni i ni i 2121)(1)1()(σ===∑∑==221221221)])()(())()(([1])()([1)(σ⋅−=+−+=−=∑∑==nn x E x D n x E x D n x nE x E n S E ni i i n i i1.11 解：由统计量的定义知，1，3，4，5，6，7为统计量，5为顺序统计量 1.17 证：),(~ λαΓX ∵xe x xf λαααλ−−Γ=∴1)()( 令kXY =ke ky k k e ky yf kyky ⋅Γ=⋅Γ=∴−−−−λαααλαααλαλ11)()( )()()(即 ),(~ky Y αΓ1.18 证：),(~ b a X β∵),()1()( 11b a B x xx f b a −−−=∴),(),( ),()1()( 11b a B b k a B b a B x x x X E b a k k +=−=∴∫∞+∞−−−),(),1()( b a B b a B X E +=∴ba a ab a b a b a a a a b a b a a a b b a b a b a +=Γ+Γ++ΓΓ=Γ++Γ+Γ+Γ=ΓΓ+Γ⋅++ΓΓ+Γ=)()()()()()()1()()1()()()()1()()1(),(),2()(2b a B b a B X E +=))(1()1()()()()2()()2(b a b a a a a b b a b a b a ++++=ΓΓ+Γ⋅++ΓΓ+Γ= 22)]([)()( X E X E X D −=∴2))(1())(1()1(b a b a ab ba ab a b a a a +++=+−++++= 1.19 解：∵ (,)X F n m ∼分布2212(1)022()((1))((1)()()()(1)()()n n m n mn m yn m y n mn nP Y y P X X y m myP X y n n n x x dx m mm ++−−+≤=+≤=<−Γ=+ΓΓ∫2222122221122()()()1((1()()11(1)(1)(,)n n m n m n m n m n m f y P Y y y y yy y yy B ++−−−−′=≤Γ=+ΓΓ−−−−=∴ 22(1)(,)n mn n Y X X m mβ=+∼分布1.20 解：∵ ()X t n ∼分布122212()()((2(1n n P Y y P X y P X xdxn ++−≤=≤=≤≤=+112211221212122()()()(1)()1()(1(()()n n n n n f y P Y y y y n y y nn n +++−−+−−′=≤Γ=+Γ=+ΓΓ∴ 2(1,)2nY X F =∼分布1.21 解: (1) ∵ (8,4)X N ∼分布∴ 4(8,)25X N ∼ 分布，即5(8)(0,1)2X N −∼ ∴ 样本均值落在7.88.2∼分钟之间的概率为：5(7.88)5(8)5(8.28)(7.88.2)()2220.383X P X P −−−≤≤=≤≤=(2) 样本均值落在7.58∼分钟之间的概率为：5(7.58)5(8)5(88)(7.58)(2225(8)(0 1.25)20.3944X P X P X P −−−≤≤=≤≤−=≤≤= 若取100个样品，样本均值落在7.58∼分钟之间的概率为：10(7.88)10(8)10(8.28)(7.88.2)(2222*(0.84130.5)0.6826X P X P −−−≤≤=≤≤=−= 单个样品大于11分钟的概率为：110.77340.2266P =−= 25个样品的均值大于9分钟的概率为210.97980.0202P =−= 100个样品的均值大于8.6分钟的概率为310.99870.0013P =−= 所以第一种情况更有可能发生1.23 解：(1) ∵ 2(0,)X N σ∼分布 ∴ 2(0,X N nσ∼分布∴ 22)(1)nXχσ∼∵ 222221()(ni i nXa X an X an σσ===∑∴ 21a n σ=同理 21b m σ=(2) ∵2(0,)X N σ∼分布 ∴222(1)X χσ∼分布由2χ分布是可加性得：2221()ni i X n χσ=∑∼()ninX c X t m ==∑∼ ∴c =(3) 由(2)可知2221()ni i X n χσ=∑∼2221122211(,)nni ii i n mn mi ii n i n X d Xnn dF n m XmXmσσ==++=+=+=∑∑∑∑∼∴ md n=1.25 证明：∵ 211(,)X N μσ∼分布 ∴ 2211((1)i X μχσ−∼∴ 1221111(()n i i X n μχσ=−∑∼同理 2222212(()n i i Y n μχσ=−∑∼ 1122222112211111222221122112()()(,)()()n n i i i i n n i i i i X n n X F n n Y n Y n μσμσμσμσ====−−=−−∑∑∑∑∼ 第二章 参数估计2.1 (1) ∵ ()X Exp λ∼分布∴ ()1E X λ=令 ˆ1X λ= 解得λ的矩估计为: ˆ1X λ= (2) ∵ (,)X U a b ∼分布∴ ()2a bE X +=2()()12b a D X −=令 1ˆˆ2ab A X +==22221ˆˆˆˆ()()1124n i i b a a b A X n =−++==∑ （22211n i i X X S n =−=∑）解得a 和b 的矩估计为:ˆˆaX bX =−=(3) 110()1E X x x dx θθθθ−=∗=+∫令 1ˆˆ1A X θθ==+∴ˆ1XXθ=− (4) 110()(1)!kk x kE X x x e dx k βββ−−=∗=−∫令ˆkX β= ∴ ˆkXβ=(5) 根据密度函数有2221()22()E X a aE X a λλλ=+=++根据矩估计有1222221ˆˆˆ22ˆˆˆa A X a a A S X λλλ+==++==+解得λ和a 的矩估计为:ˆˆaX λ==(6) ∵ (,)X B m p ∼ ∴ ()E X mp =令 1ˆmpA X == 解得p 的矩估计为:ˆXpm= 2.3解：∵ X 服从几何分布，其概率分布为：1()(1)k P X k p p −==−故p 的似然函数为： 1()(1)ni i x nnL p p p =−∑=−对数似然函数为：1ln ()ln ()ln(1)ni i L p n p x n p ==+−−∑令 1ln ()1()01nii L p n x n p p p =∂=−−=∂−∑ ∴ 1ˆpX= 2.4 解：由题知X 应服从离散均匀分布，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤==其它01 1)(Nk N k x p2)(NX E =矩估计： 令 7102=∧N1420=∴∧N 极大似然估计：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它07101 1)(NN N L ∵要使)(N L 最大，则710=N710=∴∧N 2.5 解：由题中等式知：2196.196.196.1)025.01(025.0)(1S X +=+=∴+=+−Φ=∴=−Φ−∧∧∧−σμθσμμσθσμθ2.6 解：（1） 05.009.214.2=−=R ∵0215.005.04299.05=×==∴∧d Rσ（2）将所有数据分为三组如下所示：1x 2x 3x 4x5x 6x i R1 2.14 2.10 2.15 2.13 2.12 2.13 0.05 2 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 0.05 32.11 2.14 2.10 2.11 2.15 2.10 0.050197.005.03946.005.0)05.005.005.0(316=×==∴=++=∴∧d R R σ 2.7 解：（1）⎩⎨⎧+<<=其它 01x 1)(θθx f ∵ θθθθθθ≠+==+=++=∴∧21)()(2121)(X E E X E ∴ X =∧θ不是θ的无偏估计，偏差为21=−∧θθ（2） θ=−21(X E ∵ 21−=∴∧X θ是θ的无偏估计（3）22))(()())(()(θθθθ−+=−+=∧∧X E X D E D MSE41121+=n 2.8 证：由例2.24，令2211x a x a +=∧μ，则∧μ 为μ无偏估计应 满足121=+a a因此1μ，2μ，3μ都是μ的无偏估计)()()()(21)()(2513)()(95)9491)(()())(()()(1233212221212∧∧∧∧∧∧=∧<<===+=∴+==∑μμμμμμμD D D X D D X D D X D X D D a a X D X D a D i i i ∵∵2132121X X +=∴∧μ最有效2.9证： )(~λp X ∵ λλ==∴)( )(X D XEX ∵是λ=)(X E 的无偏估计，2*S 是λ=)( X D 的无偏估计)()1()())1((2*2*S E X E S X E αααα−+=−+∴λλααλ=−+=)1(∴2*)1(SX αα−+是λ的无偏估计2.10 解：因为2222((1))()(1)()(1)()1(1)()11(1)1E X S E X E S na E S n n a E S n n n a n nααααλαλαλαλλ∗∗+−=+−=+−−=+−−−=+−=− 所以 2(1)X S αα∗+−是λ的无偏估计量2.15 解：因为ˆθ是θ的有效估计量ˆˆˆ()()()E uE a b aE b a b u θθθ=+=+=+= 221ˆˆˆˆ()()()()D u D a b a D a D θθθ=+=≤ （其中,1ˆθ是θ的任意无偏估计量中的一个）所以 ˆu是u 的有效估计量 2．26 解： 因为总体服从正态分布，所以)01X U N μσ−=∼（，）对于给定的1α−，查标准正态分布表可得2u α，使得2()1P U u αα<=−即：22()1P X p X ααα−<<=−区间的长度2d L α=<，所以 22224u n L ασ>2.28 解：因为总体服从正态分布，所以)01X U N μσ−=∼（，）， 222(1)nS V n χσ=−∼由因为U 和V 是相互独立的，所以(1)X T t n =−∼对于给定的1α−，查标t 分布表可得t α，使得 2()1P U t αα<=−，即：22()1P X X ααμα<<+=− 当30n =，35X =，15S =时，第一家航空公司平均晚点时间μ的95%的置信区间为：(29.3032,40.6968)对于给定的1α−，查标t 分布表可得t α，使得 ()1P U t αα>=−， 即：()1P X αμα<+=− 故μ的具有单侧置信上限的单侧置信区间为(,)X α−∞+ 所以经计算可得：第一家航空公司的单侧上限置信区间为(,39.7327)−∞第二种航空公司的单侧上限置信区间为(,36.3103)−∞所以选择第二家航空公司。

2214243.(1)[||]0.140(2)[||]0.144(,4),(,),(0,)[||]20.1800255(3){||0.1}2(10.9521.9615372tnE a D nnE aN a N a t a NnnE t t dtnP t Pnξξξξξξπ-+∞-==≤⇒=-≤=-==≤==≤=≤=Φ-≥=⇒≥⎰《应用数理统计》参考答案习题一0.51.(,0.5)(,){||0.1}0.9972.97442N a N anP a Pnξξξξ⇒-<=<==⇒=2242.(,4)(,)100||(1)(||)()0.90,0.330.20.2(2):P(||)N a N aa UP a U P Uaξξξξσξεε⇒--<=<==-≥≤挈比学夫不等式(5)(5)125515(3){15}1{15}1{15,15,,15}1215121[{}]221[1(1.5)]0.292P P P P ξξξξξξ>=-≤=-≤≤≤--=->=--Φ=1121212111()(1){}{,,,}{1,1,,1}()()(1)(1)k n n nn m nm n m n m ni i P k pq P M m P m m m P m m m pqpq q q ξξξξξξξ----======≤≤≤-≤-≤-≤-=-=---∑∑4.5. 6. 13.0)25(1}8.012138.012{}13{)54,12(~)1()4,12(~=Φ-=->-=>ξξξξP P N N (1)(1)1255511515(2){10}1{10}1{10,10,,10}1[{10}]1[1{10}]1210121[1{}]221[11(1)]0.579P P P P P P ξξξξξξξξ<=-≥=->>>=->=--≤--=--≤=--+Φ=6(1)0.001567.2800~(0.0015)(1){800}[{800}][0.0015]x E P P e dx e ξξξ∞-->=>==⎰6(6)30000.00156 4.56(2){3000}[{3000}][0.0015](1)x P P e dx e ξξ--<=<==-⎰1212(2){}{,,,}{1,1,,1}n n nn P K k P k k k P k k k ξξξξξξ==≥≥≥-≥+≥+≥+7．8.均值的和（差）等于和的均值，方差的和差都等于方差的和9.由中心极限定理：10.11.22222(1)(1)(1)()222~()()()[()](,)it itit n e n n e n e it i t t tn it it n n nn p t e t t ee n e e e N n λξλλξξλλλλλξλϕϕϕλξλ---+--∴=∴======∴12121233~(20,3),~(20,),~(20,)10151~(0,)2{||0.3}1220.67N N N N P P ξξξξξξξξξ-∴->=->=-Φ=2(),(),E a D ξξσ==121(0,1)(0,1)~(,)n n i i i ni i na a n N N N a n nξξσξσξ==--∴∴=∑∑∑22222222,(),()()(),(),(),(,)k k k k k k k k k k k k k kk k E a E a D E E a a a a E A a D A n a a A N a nξξξξξ===-=--∴==-∴22121212222(),()(),()0,()()()2,()()()2,i i E E a D D E D D D E E D ξξξξσξξξξξξσξξξξξξσ====∴-=-=+=∴-=-+-=13.14.15.16.2212221221,(),(),()()0,()()()(1),11[()](1)1niii ii i iniiniiE a E a D DnE D D DnDn D nDES n Dn nE ES Dn n nσξξξσξξξξξξξσξξξξξξξ=======∴-=-=+--===--==--∑∑∑222222222424222(1),11()(1)()2(1)21 ()2(1)() nsnns nE n Es On nns nD n Ds On n n χσσσσσσσ--=-⇒==+-=-⇒==+112323''' '2(121)(1)()()()()5231()(121)23023021AD E E E EA E E A AVar Aξξξξξξηξηηηηηξξξξξ⎛⎫⎪-+=-==⎪⎪⎝⎭=--=--⎛⎫⎛⎫⎪⎪==--=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭11223''''110(2)(,)111()()()()5231()(121)23023021BE E E EB E E B BVar Bξηηηξξξηηηηξξξξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪===⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭∑=--=--⎛⎫⎛⎫⎪⎪==--=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭11222211()2822121(2)||2241128116xx xxe dx dxπ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪∞∞⎝⎭⎝⎭-∞-∞-=∑-⎛⎫⎛⎫∑==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎰⎰17.18.21.22.()11223'122'111110(,),211151,1101221111111100130111100310110N A A AAA Aξηξηξηηθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭∑⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪==⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪∑=-=⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎝⎭⎝⎭‘＝，由引理1.2.3，则－的联合分布为－－11223''12111111~(,),1011111432111111121301111210.2N A A AA Aξηξξηξηθρρρρρρρρρηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭∴∑⎛⎫⎛⎫+--⎛⎫⎛⎫⎪⎪∑=-=⎪ ⎪⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎪⎪-⎝⎭⎝⎭∴--=⇒=-＝=A，－－时与独立2''44''22'''''' 44224(0,)(,)()()2()()()()()cov(,)(,)()() ()()2()()()2()nN IE A B tr A tr B tr ABE A E B tr A tr BA B E A B E A E Btr A tr B tr AB tr A tr B tr AB ζσζζζζσσζζζζσσζζζζζζζζζζζζσσσσσ=+=∴=-=+-=()11112222121122,1,1,0822177,122477yay y Qyba babθθθθθθθ--⎛⎫⎛⎫--=⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⇒===-=⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫∴=∑== ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭23.24.又 则令 则与 独立，则 与独立，且26.则2212221~(,),~(0,),~(1),(0,1)/(1)n n N a N n n ns n N T t n σξξξσξξχσξξ++----=-'11111(,,),(,,)111(,,),()11n n n ij n n n n i i i ia a B D nn n ξξθξσσσσδσσ⨯======-∑∑'2,0,D D D BD ===221(,)(,)1()n ni i nnB N a N I ηξθσσ===∑,i i i aξγσ-=2'11,()()()ni i i a D n ηγζγγξθξθσ=-==-=--∑∑B nηξ=ξηζ)1(~2-n χζ11(,)22U ξθθ-+(1)()121111221111()2201()121()()[1()]1[]21()()[()][]2(,)(1)()()[()()](1)[]n x n n n n n n n x f x other F x dx x f x nf x F x n x f x nf x F x n x f x y n n f x f y F y F x n n y x ξξθξξθθθθθ-------⎧-<<+⎪=⎨⎪⎩==-+∴=-=⋅⋅-+==⋅+-=--=⋅-⋅-⎰27.33.2222122222212222(0,),1()||2 ()()()()22(1)iyniniiY a NE d Y dynaD dE d E d Ennn nσξσσξσσσπσσσππ-∞-∞===-==-=-=-=⋅-=-∑⎰∑2222122122210.3(0,0.3),(0,)1010()(9)0.310()100.18{}0.30.3{(2}0.01iniiniiniN NPPξξξξχξξξ===--⨯<=<=∑∑∑222(2)(0,1),(1)0.3(9){0.9}0.9932nsN ntP Psnξχσξξξ--<=<=12121222221221212(3)(0,0.18),(0,0.18)(0,1),(0,1)0.18(1),()(1)0.18{()40}0.9N NN NPξξξξχχξξξξ+-+-+<=-224132244(4)~(1),~(0,0.12),10.73 {10.73}{}0.95NP Pξχξξξξ-<=<=34.《应用数理统计》参考答案2211222212222211(1)(0,),(0,)(1),()(1)11,()()(2)nn miii i n nniii nn mi i i i n N n N m n m m a b n m a b n m ξσξσξξχχσσσξξχ+==+=+==+--==++-∑∑∑∑∑∑222211112(2)(),(0,)(0,1),/(),n mni ii n i nniii i i m N n N t m c m n ξχξσσξξσσ+=+===∴=∑∑∑∑∑2222221121221(3)(),()()/(1,1),/nn mi i i i n ni i n mi i n n m n mF n m d nm ξξχχσσξσξσ+==+=+=+--∴=∑∑∑∑1. 由矩估计法2. (1) 由矩估计法(2)(3)(4)(5)818226212266174.00281610(74.002)88610 6.85710181ii i i a X x S x n S S n σ=-=--⎧===⎪⎪⎨⎪==⨯=-⎪⎩∴==⨯⨯=⨯--∑∑11'1202()33A x EX x dx θαξθθαξθθξ==-====∴=⎰111'101(1)2211A EX x x dx θαξθαθξθξθξ==+==+==+-∴=-⎰1211211122222221212222222121112()2x x n i i e xdx e x dx A X n A S S S θθθθθθαθθξθαθθξθξθξθθξθξθ--+∞--+∞==⋅=+==⋅===+∴=+==-+⎧=-⎪∴⎨=⎪⎩⎰∑⎰111(1)122Ni N NA x N NN ξξ=+===⋅⇒=∑11102()1A dx ξξθξ===⇒=-⎰2∞3.4.2()2{0},(){0}{}()0.7,110.7,0.525x aA X AP A P dxa aP a pp aξξξ--=<=<=--=<=Φ-=≈∴≈=-⎰设表示出现的次数，(1)11111(1)()ln()[ln ln(1)ln]ln()1[ln ln]ln ln0 ln lnniiniin ni ii iniiL c xL c xLc x n c xnnx n cθθθθθθθθθθθθθ-+=======+-+∂=+-=+-=∂=-∏∑∑∑∑1111221(2)()ln()[ln1)ln]ln()]0(ln)niniiniiniiLL xLxnxθθθθθ======+∂=+=∂=∑∑∑11()()()()11(3)()ln()lnln()11,,,,()0,0,11,()()nnin nn nnn nnnLL nL nLother otherL Lθθθθθθθθξξθξθθθθθξθξθξ====-∂=-=∂⎧⎧≤≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩≤≤=∏11()()()()11(3)()ln()lnln()11,,,,()0,0,11,()()nnin nn nnn nnnLL nL nLother otherL Lθθθθθθθθξξθξθθθθθξθξθξ====-∂=-=∂⎧⎧≤≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩≤≤=∏5.221()212212241(5)()()ln()[ln]22()2()ln()[022in xiniini iiLxLx xLθθθθθθθθθθθθθξθ--====-=-----∂==∂=∑∑(1)11(1)11(1)(1)(6)()ln()[ln ln(1)ln]ln()(),,,()()nc ciiniinc ci niL c xL c c c xL ncL c xL Lθθθθθθθθθθθξξθξθξ-+==-+===--+∂=-=∂=≤≤⇒=∏∑∏不能解出，所以由22111(7)()1)(1)ln()[2ln(2)ln(1)ln(1)]2ln()22]01inxiini iiniiL xL x xx nL nθθθθθθθθθθθξ-====--=+--+--∂=-=⇒=∂-∏∑∑（~(,0)11nUξθ∏6.7.所以不唯一。

学号 20111613210 姓名 吴代顶 学院 土木工程学院 专业 建筑与土木工程 成绩重庆大学土木工程学院2011届建工9班毕业生出生地农村或城市与毕业去向读研或工作的独立性假设检验摘要：文章通过对重庆大学土木工程学院2011届应届毕业的建筑工程9班学生调查，研究学生家庭出生地（城市或农村）与学生毕业去向（读研或工作）是否相互独立，来说明假设检验里独立性假设检验（非参数假设检验）所用方法的原理以及在实际中的应用。

文章对事件独立与否采用的是2χ检验法，通过实际数据计算其检验统计量2n χ并以显著性水平为05.001.0==αα和分别确定拒绝域，从而确定家庭出生地（城市或农村）与学生毕业去向（读研或工作）是否相互独立，最终完成一个数学方法在实际中的应用。

一、问题提出，问题分析重庆大学土木工程学院2011届应届毕业的建工9班共38人，通过对学生的出生地与毕业去向的调查，试以显著性水平为05.001.0==αα和分析该班学生的出生地（农村或城市）与毕业去向（读研或工作）是否相互独立?该问题旨在确定事件之间是否相互独立，是一个非参数的独立性假设检验问题，该问题宜采用2χ检验法。

二、数据描述重庆大学土木工程学院2011届应届毕业的建工9班学生信息表如下：表1该表格信息由重庆大学土木工程学院2011届应届毕业的建工9班班长李军谊提供，该表格为该班毕业时学生去向的统计表，真实可靠。

三、模型建立（1）提出假设条件，明确概念，引进参数设总体随机向量（X,Y ），X 表示学生毕业去向，取值为r a a a ,,,21 （此问题取值有读研和工作）；Y 表示学生出生地，取值为s 21,,,a a a （此问题取值有农村和城市）；现在对（X,Y ）做n 次独立观测，得到事件},X {j i b Y a ==的频数),,2,1;,,2,1(n s j r i ij ==，此问题r=2，s=2。

则该问题统计假设为：0H ：X 与Y 独立 1H ：X 与Y 不独立 （2）模型构建检验的统计量为：∑∑=⋅⋅⋅⋅=-=ri ji j i ij n n nn n n 12s1j 2n )(nχ ，其中各数据根据以下列联表得到，列联表根据原始数据统计而来，列联表如下：（3）模型求解及模型检验 ①检验统计量为1451.018*20*22*16)11*711*9(38)(n )(n 2212122112221112s1j 2n =-=-=-=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=∑∑n n n n n n n n n n nn n n ri ji j i ij χ②0H 成立下统计量2n χ的极限分布为))1)(1((2--s r χ，则当01.0=α时，拒绝域为：}63.6)1())1)(1(({299.02120==-->=-χχχαs r K n 当05.0=α时，拒绝域为：}84.3)1())1)(1(({295.02120==-->=-χχχαs r K n四、计算方法设计和计算机实现假设（X,Y ）的联合分布函数为F(X ，Y) ，边缘分布为)(),(F y F x Y X ，那么X 与Y 独立等价于+∞<<-∞=y x y F x F y x F Y X ,),()(),( 将抽样数据用s r ⨯表3表示),,2,1(1r i n n sk ik i ==∑=⋅ ，),,2,1(1s i n n r k kj j ==∑=⋅记),(j i ij b Y a X P p ===，∑=⋅=s k ik i p 1p ，),,2,1;,,2,1(p 1j s j r i p rk kj ===∑=⋅。

应用数理统计课后习题参考答案1. 描述性统计问题1描述性统计是一种对数据进行整理、呈现和分析的方法。

它可以提供数据的基本特征，包括数据的中心趋势、离散程度和分布形状。

常见的描述性统计方法有：•平均数：用于衡量数据的中心趋势，是所有数据值的总和除以数据的个数。

•中位数：将数据按大小顺序排列，中间位置的数值即为中位数。

•众数：数据中出现次数最多的数值。

•范围：数据的最大值减去最小值。

•方差：用于衡量数据的离散程度，是每个数据与平均数之差的平方的平均值。

•标准差：方差的正平方根。

问题2对于给定数据集，以下是计算描述性统计的步骤：1.求出数据的个数。

2.计算数据的总和。

3.求出数据的平均数。

4.将数据按大小顺序排列。

5.求出数据的中位数。

6.找出数据中出现次数最多的数值，即众数。

7.计算数据的范围。

8.计算数据的方差。

9.计算数据的标准差。

2. 概率分布问题1概率分布是用来描述随机变量的分布规律的函数。

常见的概率分布包括：•二项分布：适用于具有两个可能结果的离散型随机变量，如投硬币的结果。

•泊松分布：适用于描述单位时间或单位空间内随机事件发生次数的离散型随机变量。

•正态分布：也称为高斯分布，是一种连续型概率分布，常用于描述自然界中许多现象的分布情况，如身高、体重等。

问题2对于给定的概率分布，以下是计算概率的步骤：1.对于离散型概率分布，计算每个可能结果的概率，并将其加总为1。

2.对于连续型概率分布，计算指定区间内的概率，可以使用积分来进行计算。

3.根据需要计算特定事件的概率，可以使用概率密度函数（PDF）或累积分布函数（CDF）来计算。

3. 统计推断问题1统计推断是一种利用样本数据对总体特征进行估计和推断的方法。

常见的统计推断方法有：•置信区间估计：对总体参数进行估计时，构造一个区间，使得真实值以一定概率包含在该区间内。

•假设检验：用于判断一个总体参数是否等于某个特定值。

•方差分析：用于比较两个或多个总体的均值是否有显著差异。