正弦余弦的诱导公式专题训练

三角函数诱导公式对于角“k π2±α”(k ∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说k π2±α，k ∈Z 的角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号．例1．sin 585°的值为 ( )A ．－2 B.2 C ．－3 D.3例2：已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于 ( )A ．－πB ．－π C.π D.π例3：如果sin(π＋A )＝12，那么cos ⎪⎫⎛-A 3 的值是________． 例5：若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为 ( )例6：已知α∈(－π，0)，tan(3π＋α)＝31，则cos ⎪⎭⎫⎝⎛+απ23的值为 ( ) A.1010 B ．－1010 C.31010 D ．－31010解：tan α＝13，cos ⎪⎭⎫⎝⎛+απ23＝sin α.∵α∈(－π，0)，∴sin α＝－1010. A ．－32 B.32 C.3－12 D.3＋12解：sin 600°＋tan 240°＝sin(720°－120°)＋tan(180°＋60°)＝－sin 120°＋tan 60°＝－32＋3＝32. ( ) A ．3 B ．5 C ．1 D ．不能确定解：f(2 011)＝asin(2 011π＋α)＋bcos(2 011π＋β)＋4＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＋4＝－asin α－bcos β＋4 ＝5.∴asin α＋bcos β＝－1.∴f(2 012)＝asin(2 012π＋α)＋bcos(2 012π＋β)＋4＝asin α＋bcos β＋4 ＝－1＋4＝3.1.诱导公式在三角形中经常应用，常用的变形结论有：A ＋B ＝π－C ； 2A ＋2B ＋2C ＝2π；A 2＋B 2＋C 2＝π2.2.求角时，一般先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的范围，最后求角．例9：△ABC 中，cos A ＝13，则sin(B ＋C )＝________.解：∵△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin(π－A )＝sin A ＝1－cos 2A ＝223.例10：在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角． 解：由已知得⎩⎨⎧sin A ＝2sin B ①3cos A ＝2cos B ②①2＋②2得2cos 2A ＝1，即cos A ＝22或cos A ＝－22.(1)当cos A ＝22时，cos B ＝32，又A 、B 是三角形的内角，∴A ＝π4，B ＝π6，∴C ＝π－(A ＋B )＝712π. A ．B ．C ．D ．2.cos （﹣30°）的值是（ ） A ．B ．C ．D ．3.下列能与sin20°的值相等的是（ ） A ．cos20° B ．sin （﹣20°） C ．sin70° D ．sin160°4.已知，则下列各式中值为的是（ ）A ．B ．sin （π+α）C ．D ．sin （2π﹣α）换元法与诱导公式例11：已知41)3sin(=+απ，则=-)6cos(απ 。

高一数学三角函数诱导公式50道常考题经典题一、单选题1.若角的终边上有一点(-4,a)，则a的值是（）A. B. C. D.【答案】A【考点】任意角的三角函数的定义，诱导公式一【解析】【解答】由三角函数的定义知：，所以，因为角的终边在第三象限，所以<0,所以的值是。

【分析】三角函数是用终边上一点的坐标来定义的，和点的位置没有关系。

属于基础题型。

================================================================================2.若,则的值是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【解答】即，所以，，=，故选C。

【分析】简单题，此类题解的思路是：先化简已知条件，再将所求用已知表示。

================================================================================3.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【考点】诱导公式一，同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】，故选C.================================================================================4.函数图像的一条对称轴方程是（）A. B. C. D.【答案】A【考点】诱导公式一，余弦函数的图象，余弦函数的对称性【解析】【分析】，由y=cosx的对称轴可知，所求函数图像的对称轴满足即，当k=-1时，，故选A.================================================================================5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【考点】诱导公式一，同角三角函数间的基本关系，弦切互化【解析】【解答】因为，所以，可得，故C符合题意.故答案为：C .【分析】利用诱导公式将已知条件化简可求出tan，将中分子分母同时除以cos.================================================================================6.函数（）A. 是奇函数B. 是偶函数C. 既是奇函数，又是偶函数D. 是非奇非偶函数【答案】A【考点】奇函数，诱导公式一【解析】【解答】∵，∴,∴是奇函数．故答案为：A【分析】首先利用诱导公式整理化简f(x) 的解析式，再根据奇函数的定义即可得证出结果。

正弦、余弦的诱导公式基础练习1．求下列三角函数值：（1）sin （－120°）； （2）cos （－240°）； （3）tan （－135°）；（4）)4π7sin(-； （5）)6π11cos(- （6）)3π4tan(-． 2．求下列三角函数值： （1）sin （－2460°）； （2）cos840°； （3）tan （－2025°） （4）)3π17sin(-； （5）)3π50cos(-； （6）)6π415tan(-． 3．将下列各值化为锐角的三角函数值： （1）sin4321°； （2）)π9368cos(-； （3）)π7117sin(； （4）cos2001°． 4．下列各式的值等于－sin A 的是（ ）．A ．sin （－A ）B ．sin （k ·360°－A ），k ∈ZC ．sin （k ·360°＋A ），k ∈ZD ．－sin （－A ）5．如果＋＝180°，那么下列等式中成立的是（ ）．A ．sin ＝－sinB ．cos ＝cosC ．sin ＝sinD ．cos （＋）＝16．函数式)1-πcos()1-πsin(21-化简的结果是（ ）． A ．sin1－cos1 B ．sin1＋cos1C ．±（sin1－cos1）D ．cos1－sin17．已知31)πsin(=+x ，求)π(cos 1)-πsin(2x x ++的值． 8．若（－4，3）是角 终边上一点，则)π(sin )2π-tan( ) π3cos(2αα-⋅-a 的值为_______．综合练习1．求下列三角函数值：（1）)π665cos(-； （2）sin （－1590°）； （3）cos （－1260°）； （4）π331sin ； （5）sin （－542°）； （6）)π724cos(-．2．设A 、B 、C 是某三角形的三个内角，给出下列四个命题：（1）sin （A ＋B ）＝sin C ；（2）cos （B ＋C ）＝cos A ；（3）tan （A ＋C ）＝tan B ；（4）A ＋B ＋C ＝．其中正确的命题是（ ）．A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（3）（4）D ．（1）（4）3．是第三象限的角，则下列各式中其值恒正的是（ ）．A ．sin －cos （－）B ．－tan －cos （＋）C ．tan （－2）＋sin （2－）D ．－tan （4＋）＋sin4．)4π3tan(6π25cos 3π4sin-⋅⋅的值是（ ）． A ．43- B ．43 C ．43- D ．435．当31tan =α时，求cos （――5）tan （3＋）sin （－）－1的值．6．已知f （x ）＝2cos x ，则下列等式成立的是（ ）．A ．)()π2(x f x f -=+B ．)()(x f x f =-C ．)()(x f x f -=-D ．)()π2(x f x f =+ 7．化简：（1）[][])-π)1(cos π)1(sin )cos()-πsin(αααπα+⋅+++⋅k k k k （k ∈Z ）； （2）790cos 200cos 110cos 470sin 21+⋅+． 8．化sin （75＋）（为钝角）为锐角的三角函数为________．9．已知3)2001cos()π2001sin(=+++βπαb a ，（其中、、a 、b 都是常数），则a sin （2002＋）＋b cos （2002＋）的值为________．10．已知33)6πcos(=-α，则)6π(sin )6π5cos(2--+αα的值为________．拓展练习 1．)cos )](sin πcos()sin(1[cos )-2sin(2π-) πcos(sin 1αααααααα++---⋅--+． 2．计算： 1sin 2＋ 2sin 2＋…＋ 89sin 2＋ 90sin 2＋ 91cos 2＋ 92cos 2＋…＋ 179cos 2＋180cos 2．3．化简：)πsin(α+＋)π2sin(α+＋)π3sin(α+＋…＋)π2sin(α+k ，k ∈Z ．4．已知是锐角，sin （－）和cos （－）是方程022=+-m x x （m 是常数）的两个根，求sin ＋cos 的值．5．设A 、B 、C 、D 是圆内接四边形ABCD 的四个内角，求证：（1）sin A ＝sin C ；（2）cos （A ＋B ）＝cos （C ＋D ）；（3）tan （A ＋B ＋C ）＝－tan D ． 6．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-<=⎩⎨⎧≥+-<=).21(1)1(),21(πcos )();0(1)1(),0)(πsin()(x x g x x x g x x f x x x f 求)65()41()43()31(g g f f +++的值．参考答案基础练习1．（1）23-；（2）21-；（3）1；（4）22；（5）23；（6）3-． 2．（1）23；（2）21；（3）－1；（4）23；（5）21-；（6）33-． 3.（1）sin1°；（2）9πcos -；（3）π72sin ；（4）－cos21°． 4．B 5．C 6．B ．7．173-．由已知得31sin -=x ，x x x x 22cos 1sin )π(cos 1)-πsin(+=++． 8．原式可化为ααααsin 1sin tan cos 2-=⋅-，由条件53sin =α，故所求值为35-． 综合练习1．（1）23-；（2）21-；（3）－1；（4）23；（5）0.0349；（6）－0.2225． 2．D 3．C 4．A5．109-．化简 cos （－－5）tan （3+）sin （－7）－1＝－cos 2． 6．B ．7．（1）当k ＝2n （n ∈Z ）时，有原式1)cos (sin cos sin -=-⋅-⋅-=αααα；当k ＝2n ＋1（n ∈Z ）时，原式1cos sin )cos (sin -=-=αααα． （2）原式＝︒+︒-︒⋅︒+70cos 20cos 110cos 110sin 21＝︒-︒︒⋅︒-70sin 70cos 70cos 70sin 21＝ ︒-︒︒-︒70sin 70cos )70cos 70sin (2＝︒-︒︒-︒70sin 70cos 70cos 70sin ＝－1． 8．－sin （－）．9．－3．a sin （2001＋）＋b cos （2001+）＝－a sin a －b cos．∴a sin （2002＋）＋b cos （2002＋）＝a sin +b cos ＝－3． 10．33)6πcos(])-6π(-πcos[)6πcos(332-=--==+⋅+-ααα． 32311)6π(cos 1)6π(sin )6π(sin 222=-=---=-ααα． 拓展练习1．原式)cos )(sin cos sin 1(cos sin )cos (sin )cos )(sin cos sin 1(cos sin 2cos sin 12αααααααααααααααα++++++=+++⋅+++= 1)cos )(sin cos sin 1()cos sin 1)(cos (sin =++++++=αααααααα． 2．原式＝9111cos 88cos 89cos 189sin 2sin 1sin 222222=+︒++︒+︒++︒++︒+︒ ．3．原式＝（－sin ＋sin ）＋（－sin ＋sin）＋…＋（－sin ＋sin ）＝0. 4．由已知21)cos()sin(=-+-θθ，即21sin cos =-θθ，∴ 41cos sin 21=-θθ，于是83cos sin =θθ．47cos sin 21)cos (sin 2=+=+θθθθ，又为锐角．∴θθcos sin +＝27． 5．由已知A ＋C ＝，A ＋B ＋C ＋D ＝2得A ＝－C ，则sin A ＝sin （－C ）＝sin C ，又A ＋B ＝2－（C ＋D ），故cos （A ＋B ）＝cos[2－（C ＋D ）]＝cos （C ＋D ）.tan （A ＋B ＋C ）＝tan （2－D ）＝－tan D ．6．由已知231)31(-=f ，221)43(-=f ，22)41(=g ，231)65(+=g ．故原式＝3．0。

三角函数诱导公式练习题一、选择题（共21小题）1、已知函数f（x）=sin，g（x）=tan（π﹣x），则（）A、f（x）与g（x）都是奇函数B、f（x）与g（x）都是偶函数C、f（x）是奇函数，g（x）是偶函数D、f（x）是偶函数，g（x）是奇函数2、点P（cos2009°，sin2009°）落在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限3、已知，则=（）A、B、C、D、4、若tan160°=a，则sin2000°等于（）A、B、C、D、﹣5、已知cos（+α）=﹣，则sin（﹣α）=（）A、﹣B、C、﹣D、6、函数的最小值等于（）A、﹣3B、﹣2C、D、﹣17、本式的值是（）A、1B、﹣1C、D、8、已知且α是第三象限的角，则cos（2π﹣α）的值是（）A、B、C、D、9、已知f（cosx）=cos2x，则f（sin30°）的值等于（）A、B、﹣C、0 D、110、已知sin（a+）=，则cos（2a﹣）的值是（）A、B、C、﹣D、﹣11、若，，则的值为（）A、B、C、D、12、已知，则的值是（）A、B、C、D、13、已知cos（x﹣）=m，则cosx+cos（x﹣）=（）A、2mB、±2mC、D、14、设a=sin（sin20080），b=sin（cos20080），c=cos（sin20080），d=cos（cos20080），则a，b，c，d的大小关系是（）A、a＜b＜c＜dB、b＜a＜d＜cC、c＜d＜b＜aD、d＜c＜a＜b15、在△ABC中，①sin（A+B）+sinC；②cos（B+C）+cosA；③tan tan；④，其中恒为定值的是（）A、②③B、①②C、②④D、③④16、已知tan28°=a，则sin2008°=（）A、B、C、D、17、设，则值是（）A、﹣1B、1C、D、18、已知f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β）+4（a，b，α，β为非零实数），f（2007）=5，则f（2008）=（）A、3B、5C、1D、不能确定19、给定函数①y=xcos（+x），②y=1+sin2（π+x），③y=cos（cos（+x））中，偶函数的个数是（）A、3B、2C、1D、020、设角的值等于（）A、B、﹣C、D、﹣21、在程序框图中，输入f0（x）=cosx，则输出的是f4（x）=﹣csx（）A、﹣sinxB、sinxC、cosxD、﹣cosx二、填空题（共9小题）22、若（﹣4，3）是角终边上一点，则Z的值为．23、△ABC的三个内角为A、B、C，当A为°时，取得最大值，且这个最大值为．24、化简：=25、化简：= ．26、已知，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）= ．27、已知tanθ=3，则（π﹣θ）= ．28、sin（π+）sin（2π+）sin（3π+）…sin（2010π+）的值等于．29、f（x）=，则f（1°）+f（2°）+…+f（58°）+f（59°）= ．30、若，且，则cos（2π﹣α）的值是．答案与评分标准一、选择题（共21小题）1、已知函数f（x）=sin，g（x）=tan（π﹣x），则（）A、f（x）与g（x）都是奇函数B、f（x）与g（x）都是偶函数C、f（x）是奇函数，g（x）是偶函数D、f（x）是偶函数，g（x）是奇函数考点：函数奇偶性的判断；运用诱导公式化简求值。

一、选择题1．如果|cos x |=cos （x +π），则x 的取值集合是（ ）A．－2π+2k π≤x ≤2π+2k π B ．－2π+2k π≤x ≤2π3+2k πC ． 2π+2k π≤x ≤2π3+2k πD ．（2k +1）π≤x ≤2（k +1）π（以上k ∈Z ）2．sin （－6π19）的值是（ ）A ． 21 B ．－21C ．23 D ．－233．下列三角函数：①sin （n π+3π4）；②cos（2n π+6π）；③sin （2n π+3π）；④cos ［（2n +1）π－6π］；⑤sin ［（2n +1）π－3π］（n ∈Z ）．其中函数值与sinπ的值3相同的是（）A．①②B．①③④C．②③⑤D．①③⑤4．若cos（π+α）=－10，5且α∈（－π，0），则tan（2π3+α）2的值为（）A．－6B．363C．－6D．2625．设A、B、C是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是（）A．cos（A+B）=cos C B．sin（A+B）=sin C C．tan （A+B）=tan C D．sin2B A =sin2C 6．函数f（x）=cos3πx（x ∈Z）的值域为（）A．{－1，－1，0，21，21} B ．{－1，－21，21，1}C ．{－1，－23，0，23，1} D ．{－1，－23，23，1}二、填空题7．若α是第三象限角，则)πcos()πsin(21αα---=_________．8．sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°=_________．三、解答题9．求值：sin （－660°）cos420°－tan330°cot （－690°）．10．证明：1)πtan(1)π9tan(sin 211cos )πsin(22++-+=--⋅+θθθθθ．11．已知cos α=31，cos（α+β）=1，求证：cos （2α+β）=31．12． 化简：︒+︒︒︒+790cos 250sin 430cos 290sin 21．13、求证：)π5sin()πcos()π6cos()π2sin()π2tan(θθθθθ+-----=tan θ．14． 求证：（1）sin （2π3－α）=－cos α；（2）cos （2π3+α）=sin α．参考答案1一、选择题1．C 2．A 3．C 4．B 5．B 6．B二、填空题7．－sin α－cos α 8．289三、解答题 9．43+1．10．证明：左边=θθθθ22sin cos cos sin 2-1--=－θθθθθθθθθθcos sin cos sin )sin )(cos sin (cos )cos (sin 2-+=-++， 右边=θθθθθθθθcos sin cos sin tan tan tan tan -+=1-1+=1+-1--，左边=右边，∴原等式成立． 11．证明：∵cos （α+β）=1，∴α+β=2k π．∴cos （2α+β）=cos （α+α+β）=cos （α+2k π）=cos α=31．12．解：︒+︒︒︒+790cos 250sin 430cos 290sin 21=)360270cos()70180sin()36070cos()36070sin(21︒⨯+︒+︒+︒︒+︒︒+︒-+=︒-︒︒︒-70sin 70cos 70cos 70sin 21 =︒-︒︒-︒70sin 70cos )70cos 70(sin 2=︒-︒︒-︒70sin 70cos 70cos 70sin =－1．13．证明：左边=θθθθθθθθθθsin cos cos )sin )(tan ()sin )(cos ()cos()sin()tan(--=-----=tan θ=右边，∴原等式成立．14证明：（1）sin（π3－α）2=sin［π+（π－α）］=－sin（2π－2α）=－cosα．（2）cos（π3+α）=cos［π+2（π+α）］=－cos（2π+α）=sinα．2三角函数的诱导公式2一、选择题：1．已知sin(π+α)=23，则4sin(3π-α)值为（）4A.1 B. —21 C.223 D. —232．cos(π+α)= —21，23π<α<π2,sin(π2-α) 值为（ ）A. 23 B. 21 C.23±D. —233．化简：)2cos()2sin(21-∙-+ππ得（ ）A.sin2+cos2B.cos2-sin2C.sin2-cos2D.± (cos2-sin2)4．已知α和β的终边关于x 轴对称，则下列各式中正确的是（ ）A.sin α=sin βB.sin(α-π2) =sin βC.cos α=cos βD. cos(π2-α) =-cos β5．设tan θ=-2, 2π-<θ<0，那么sin 2θ+cos(θ-π2)的值等于（ ），A. 51（4+5） B. 51（4-5）C. 51（4±5） D. 51（5-4）二、填空题：6．cos(π-x)= 23，x ∈（-π，π），则x 的值为 ．7．tan α=m ，则=+-+++)c o s(-s i n ()c o s(3s i n (απα）απ）απ ．8．|sin α|=sin （-π+α），则α的取值范围是 ．三、解答题： 9．)cos(·3sin()cos()n(s 2sin(απα）παπα）π----+-απi ．10．已知：sin （x+6π）=41，求sin （)67x +π+cos 2（65π-x ）的值．11． 求下列三角函数值：（1）sin 3π7；（2）cos 4π17；（3）tan （－6π23）；12． 求下列三角函数值：（1）sin3π4·cos6π25·tan4π5；（2）sin［（2n+1）π－3π2］.13．设f（θ）=)cos()π(2cos23)2πsin()π2(sin cos2223θθθθθ-+++-++-+，求f（3π）的值.参考答案21．C 2．A 3．C 4．C 5．A6．±65π7．11-+m m8．[(2k-1) π,2kπ]9．原式=)cos(·sin()cos()ns(sinαα）παπα--+--αi=)cos?(sin)cos(sin2αααα--=sin α 10．161111．解：（1）sin 3π7=sin（2π+3π）=sin 3π=23.（2）cos 4π17=cos （4π+4π）=cos 4π=22.（3）tan （－6π23）=cos （－4π+6π）=cos 6π=23.（4）sin （－765°）=sin ［360°×（－2）－45°］=sin（－45°）=－sin45°=－2.2注：利用公式（1）、公式（2）可以将任意角的三角函数转化为终边在第一象限和第二象限的角的三角函数，从而求值.12．解：（1）sinπ4·cos6π25·tan4π5=sin3（π+π）·cos（4π+6π）·tan（π+4π）3=（－sinπ）·cos6π·tan4π=（－323）·23·1=－43.（2）sin ［（2n +1）π－3π2］=sin （π－3π2）=sin 3π=23.13．解：f （θ）=θθθθθcos cos 223cos sin cos 2223++-++=θθθθθcos cos 223cos cos 1cos 2223++-+-+=θθθθθcos cos 22)cos (cos 2cos 2223++--- =θθθθθcos cos 22)1(cos cos )1(cos 223++---=θθθθθθθcos cos 22)1(cos cos )1cos )(cos 1(cos 222++--++-=θθθθθcos cos 22)2cos cos 2)(1(cos 22++++-＝cosθ－1，∴f（3π）=cos3π－1=21－1=－1.2三角函数公式1．同角三角函数基本关系式sin2α＋cos2α=1sinα=tanαcosαtanαcotα=12．诱导公式(奇变偶不变，符号看象限)（一）sin(π－α)＝sinαsin(π+α)＝-sinαcos(π－α)＝-cosαcos(π+α)＝-cosαtan(π－α)＝-tanαtan(π+α)＝tanαsin(2π－α)＝-sinαsin(2π+α)＝sinαcos(2π－α)＝cosαcos(2π+α)＝cosαtan(2π－α)＝-tanαtan(2π+α)＝tanα（二）sin(π2－α)＝cosαsin(π2+α)＝cosαcos(π2－α)＝sin αcos(π2+α)＝- sin αtan(π2－α)＝cot αtan(π2+α)＝-cot αsin(3π2－α)＝-cos αsin(3π2+α)＝-cos αcos(3π2－α)＝-sin αcos(3π2+α)＝sin αtan(3π2－α)＝cot αtan(3π2+α)＝-cot αsin(－α)＝－sinαcos(－α)=cosαtan(－α)=－tanα3．两角和与差的三角函数cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβcos(α－β)=cosαcosβ＋sinαsinβsin (α+β)=sinαcosβ＋cosαsinβsin (α－β)=sinαcosβ－cosαsinβtan(α+β)=tanα+tanβ1－tanαtanβtan(α－β)= tanα－tanβ1＋tanαtanβ4．二倍角公式sin2α=2sinαcosαcos2α=cos2α－sin2α＝2 cos2α－1＝1－2 sin2αtan2α=2tanα1－tan2α5．公式的变形（1）升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α1—cos2α＝2sin2α（2）降幂公式：cos2α＝1＋cos2αsin2α＝21－cos2α2（3）正切公式变形：tanα+tanβ＝tan(α+β)（1－tan αtanβ）tanα－tanβ＝tan(α－β)（1＋tanαtanβ)（4）万能公式（用tanα表示其他三角函数值）sin2α＝2tanα1+tan2αcos2α＝1－tan2α1+tan2αtan2α＝2tanα1－tan2α6．插入辅助角公式asinx＋bcosx=a2+b2sin(x+φ) (tanφ= b a )特殊地：sinx±cosx＝ 2sin(x±π4 )7．熟悉形式的变形（如何变形）1±sinx±cosx 1±sinx 1±cosxtanx＋cotx若A、B是锐角，A+B＝π4，则（1＋tanA）(1+tanB)=2 8．在三角形中的结论若：A＋B＋C=π,A+B+C2=π2则有tanA＋tanB＋tanC=tanAtanBtanCtan A2tanB2＋tanB2tan C2＋tanC2tanA2＝1。

诱导公式练习题一、基本概念题1. 写出三角函数的诱导公式：正弦、余弦、正切函数的周期性公式。

2. 利用诱导公式，将sin(π α)转换为基本三角函数的形式。

3. 将cos(3π/2 + β)用基本三角函数表示。

4. 利用诱导公式，将tan(2π + γ)简化。

5. 已知sinθ = 1/2，求cos(π/2 θ)的值。

二、化简题6. 化简表达式：sin(π + α) cos(π/2 α)。

7. 化简表达式：tan(2π β) + tan(π + β)。

8. 化简表达式：sin^2(π/2 γ) + cos^2(π/2 γ)。

9. 化简表达式：cos(2π 2θ) sin(2π + 2θ)。

10. 化简表达式：tan(π 3α) tan(π + 3α)。

三、应用题11. 已知sinα = 3/5，求cos(π/2 α)的值。

12. 已知cosβ = 4/5，求sin(π β)的值。

13. 已知tanγ = 1，求tan(π + γ)的值。

14. 已知sinθ = √3/2，求cos(2π + θ)的值。

15. 已知cosφ = √2/2，求sin(π/2 φ)的值。

四、综合题16. 已知sinα + cosα = 1，求sin(π/2 α)的值。

17. 已知sinβ cosβ = 0，求cos(π β)的值。

18. 已知tanγ = tan(π/4 γ)，求sin(2π + γ)的值。

19. 已知sinθ = cos(π/2 θ)，求tan(2π θ)的值。

20. 已知cosφ = sin(π/2 φ)，求sin(π + φ)的值。

五、拓展题21. 利用诱导公式证明：sin^2α + cos^2α = 1。

22. 利用诱导公式证明：tan(π + α) = tanα。

23. 利用诱导公式证明：sin(π 2α) = sin2α。

24. 利用诱导公式证明：cos(2π 2β) = cos2β。

25. 利用诱导公式证明：tan(π/2 γ) = cotγ。

诱导公式Ⅰ习题2一、判断题(每道小题1分共2分)( )2. 当α在第三象限时，180°+α在第一象限，其正弦值为正，所以有：sin(180°+α)=sinα( )二、单选题(每道小题3分共9分)1. 下列各函数值中与－cos130°的值相同的是[ ]A．cos50°．B．sin50°．C．－cos50°．D．cos(－130°)．[ ][ ]三、填空题(1－2每题2分，第3小题3分，4－5每题4分，共15分)1. △ABC中，若A∶B∶C=3∶4∶5，则最小角的余弦值是____________．4. tan(－210°)－tan420°+tan(－840°)=________．5. 适合sin | x | =sin(π+x)的x的集合是______．四、解答题( 7分)求适合4cos2(3π+x)－3=0的x的集合．诱导公式Ⅱ习题1一、单选题(1－9每题3分，10－12每题4分，共39分)[ ][ ]3. 如果α+β=180°，那么下列等式中成立的是[ ] A．sinα=－sinβ B．cosα=cosβ C．tanα=tanβ D．sinα=sinβ[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] 二、填空题(第1小题3分，第2小题4分，共7分)诱导公式Ⅰ习题2答案一、判断题1. ×2. ×二、单选题1. A2. C3. D三、填空题5. {x | x≤0，x ∈R} 或{x | x=kπ，k∈z}四、解答题1D 2. D3. D4. C5. A6. C7. D8. A9. A10. C11. B. 4。

三角函数诱导公式练习题及答案1．2cos(−θ)+sin(π−θ)cos(π2−θ)+sin(3π2−θ)=4，求tanθ的值 2．已知f(α)=sin(α−3π)⋅cos(2π−α)⋅sin(−α+32π)cos(−π−α)⋅sin(−π−α)（1）化简f(α)；（2）若α为第四象限角且sinα=−35，求f(α)的值；（3）若α=−313π，求f(α)。

3．已知sin(α+2022π)−6sin(α−3π2)2cos(α−π)−sinα=−tan 3π4． （1）求tanα的值；（2）求sinα−cosα的值。

4．已知sinα=−35，且α为第三象限角.（1）求cosα和tanα的值；（2）已知f(α)=2sin(π+α)+cos(2π+α)cos(α−π2)+sin(π2+α)，求f(α)的值。

5．已知关于x 的方程25x 2−ax +12=0的两根为sinθ和cosθ，其中θ∈(π4，3π4)，（1）求a 的值；（2）求2sin(θ+π2)−cos(θ−π2)+sin(θ−π)cos(π+θ)4cos(θ+π2)−1的值。

6．已知f(α)=cos(π−α)sin(−α−π)sin(α−π2)cos(3π2+α)tan(π−α). （1）化简f(α)；（2）若角α为第二象限角，且sinα=13，求f(α)的值。

7．已知tanα=2，求cos(π2+α)sin(−α)+cos(2π−α)的值。

8．已知α∈(0，π2)，cosα=35，求sin(π2−α)+cos(3π2−α)sin(3π+α)+cos(π−α)的值。

9．（1）化简sin(π−α)sin(π2−α)cos(π+α)cos(π2+α)．（2）已知：tanα=2，求sinα+2cosα5cosα−sinα的值．10．化简f(α)=sin(π−α)cos(3π2−α)tan(−π−α)cos(−π2−α)tan(2π+α)11．已知cosα=−√55，α是第三象限角，求： （1）tanα的值；（2）sin(3π2−α)cos(π+α)tan(−α−π)cos(2π−α)sin(π−α)tan(−α)的值. 12．已知tanα=12，求13cos(−α)−2cos(π2−α)sin(π2+α)+3sin(π+α)的值． 13．已知cosα=−45，且tanα>0．（1）求tanα的值；（2）求2sin(π−α)+sin(π2+α)cos(2π−α)+cos(−α)的值． 14．已知3cosα−2sinαsinα+2cosα=−14，cos(π+α)cos(π2+α)sin(3π2−α)cos(3π2−α)sin(3π−α)sin(5π2+α)的值。

第1讲 正弦、余弦、正切、余切 （专题测试）【基础题】 一、单选题1．（2019·上海市第二中学高一期中）“1sin 2x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】首先根据1sin 2x =可得：2()6x k k Z ππ=+∈或52()6x k k Z ππ=+∈，再判断即可得到答案. 【详解】由1sin 2x =可得：2()6x k k Z ππ=+∈或52()6x k k Z ππ=+∈， 即2()6x k k Z ππ=+∈能推出1sin 2x =，但1sin 2x =推不出2()6x k k Z ππ=+∈“1sin 2x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”的必要不充分条件故选：B【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断，同时考查根据三角函数值求角，属于简单题.二、填空题2．（2020·上海市金山中学高一期中）已知tan 2θ=，则3sin 2cos sin 3cos θθθθ-=+____________________________．【答案】45【分析】分子、分母同除以cos θ，将tan 2θ=代入化简即可. 【详解】因为tan 2θ=，所以3sin 2cos 3tan 23224sin 3cos tan 3235θθθθθθ--⨯-===+++,故答案为45.【点睛】本题主要考查同角三角函数之间的关系的应用，属于基础题. 同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.3．（2019·上海华师大二附中高一期中）函数y =______． 【答案】2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈【分析】根据函数y =cos 0x ≥，再结合余弦函数的图象，求得x 的范围．【详解】根据函数y =cos 0x ≥，可得2222k x k ππππ-≤≤+()k ∈Z ，故函数的定义域为2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈， 故答案为2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈．【点睛】本题主要考查余弦函数的图象的特征，解三角不等式，属于基础题．4．（2020·上海市金山中学高一期中）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，1()22P -为其终边上一点，则sin()2πα+=________【答案】 【分析】由三角函数的定义可求出cos α的值，然后由诱导公式可得sin()cos 2παα+=得到答案.【详解】点1()2P 在角α的终边上，则1r OP ==.由三角函数的定义可得：cos x r α==又sin()cos 22παα+==-故答案为： 【点睛】本题考查三角函数的定义和诱导公式，属于基础题. 5．（2020·上海市杨浦高级中学高一期末）已知扇形的圆心角为23π，扇形的面积为3π，则该扇形的弧长为____________. 【答案】2π【分析】利用扇形的面积求出扇形的半径r ，再带入弧长计算公式即可得出结果． 【详解】解：由于扇形的圆心角为23απ=，扇形的面积为3π， 则扇形的面积221123223S r r παπ==⨯⨯=，解得：3r =，此扇形所含的弧长2323l r παπ==⨯=. 故答案为：2π.6．（2021·上海市行知中学高一期末）如果α是第三象限角，则3α的终边一定不在第_________象限.【答案】二【分析】根据α是第三象限角，求得3α的范围，分别令3k m =，31k m =+，32,()k m m Z 可判断3α终边所在象限，即可得答案.【详解】由题意得：360180360270,()k k k Z α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈， 所以1206012090,()3k k k Z α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈，当3,()k m mZ 时，3606036090,()3m m m Z α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈，则3α的终边在第一象限；当31,()k m m Z 时，360180360210,()3m m m Z α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈，则3α的终边在第三象限； 当32,()k mmZ 时，360300360330,()3m m m Z α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈，则3α的终边在第四象限，所以3α的终边一定不在第二象限，故答案为：二7．（2020·上海浦东新区·高一期中）计算：15︒=________rad 【答案】12π【分析】根据1180π︒=rad 求解. 【详解】因为1180π︒=rad ， 所以151518012ππ︒=⨯=rad ，故答案为：12π【点睛】本题主要考查弧度制与角度制的互化，还考查了运算求解的能力，属于基础题.三、解答题8．（2016·上海普陀区·曹杨二中高一期末）已知一个扇形的周长为定值a ,求其面积的最大值,并求此时圆心角α的大小.【答案】2α=时,扇形面积最大为2a 16.【分析】设扇形面积为S ,半径为r ,圆心角为α,则扇形弧长为2a r -,,1(2)2S a r r =-,结合二次函数的图像与性质求解最值即可.【详解】设扇形面积为S ,半径为r ,圆心角为α,则扇形弧长为2a r -,所以221(2)2416a a S a r r r ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭. 故当4a r =且2α=时,扇形面积最大为2a 16. 【点睛】本题重点考查了扇形的面积公式、弧长公式、二次函数的最值等知识,属于基础题. 9．（2020·上海市杨浦高级中学高一期末）已知4tan 3α=-，且α是第四象限角，求cot ,cos ,csc ααα的值.【答案】335cot ,cos ,csc 454ααα=-==-. 【分析】根据同角三角函数的基本关系计算可得； 【详解】解：因为4tan 3α=-，且α是第四象限角， 所以41cot tan 3αα==-，因为22sin tan cos sin cos 1ααααα⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得3cos 54sin 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或3cos 54sin 5αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 因为α是第四象限角，所以3cos 54sin 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以15csc sin 4αα==- 【提升题】 一、单选题1．（2020·浙江高一期末）设a R ∈，[0,2]b π∈.若对任意实数x 都有sin(3)=sin()3x ax b π-+，则满足条件的有序实数对（a,b ）的对数为. A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 试题分析：5sin(3)sin(32)sin(3)333x x x ππππ-=-+=+，，又4sin(3)sin[(3)]sin(3)333x x x ππππ-=--=-+，4(,)(3,)3a b π=-， 注意到[0,2)b π∈，只有这两组．故选B ． 【考点】三角函数【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，利用分类讨论的方法，确定得到,a b 的可能取值.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等. 2．（2020·上海奉贤区·高一期中）若α是第二象限的角，4sin 25α=，则sin α的值为（ ） A ．925B ．2125C ．2425D ．2425-【答案】C【分析】α是第二象限的角，根据sin 2α的值，利用三角函数的基本关系求出cos2α的值，再用二倍角公式即可求出sin α的值.【详解】解：α是第二象限的角，所以22,2k k k Z ππαππ+<<+∈，∴422k k παπππ+<<+,k Z ∈所以2α是第一或第三象限的角，又4sin 025α=>，2α是第一象限的角， 所以3cos25α=，由二倍角公式可得4324sin 2sin cos 2225525ααα==⨯⨯=. 故选：C【点睛】本题主要考查三角函数求值问题，解答本题需用到同角三角函数基本关系，和而二倍角角公式.3．（2020·常熟市中学高一月考）已知sin()cos )2ππθθπθ⎛⎫+++=- ⎪⎝⎭，则2sin cos cos θθθ-=（ ）A ．12B ．12-C D 【答案】C【分析】先根据诱导公式化简已知得: tan θ=进而再根据齐次式求值即可.【详解】解:根据诱导公式化简整理sin()cos )2ππθθπθ⎛⎫+++=- ⎪⎝⎭得:sin θθ=,所以tan θ=所以22222sin cos cos tan 11sin cos cos sin cos tan 14θθθθθθθθθθ---===++ 故选:C【点睛】本题考查诱导公式化简，同角三角函数齐次式求值，考查运算求解能力，是中档题.解题的关键在于2222sin cos cos sin cos cos sin cos θθθθθθθθ--=+，进而求解.二、填空题4．（2020·河北巨鹿中学高一月考）已知1cos 5α=，且02πα-<<，则()()()cos sin 2tan 23sin cos 22αππαπαππαα--+-=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______．【答案】-【分析】用同角间的三角函数关系计算sin α，用诱导公式化简后再计算．然后计算tan α，可得．【详解】∵1cos 5α=，且02πα-<<，∴sin α==，∴()()()cos sin 2tan 2cos sin (tan )sin tan 3cos (sin )cos sin cos 22αππαπααααααππααααα--+---=====---⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：-【点睛】方法点睛：本题考查诱导公式，同角间的三角函数关系．三角函数求值问题，首先要进行化简，应用诱导公式化简，应用同角间的三角函数关系化简，最后才代入求值．应用诱导公式应牢记：奇变偶不变，符号看象限，应用同角间的三角函数关系应注意在应用平方关系求函数值需确定角的范围，以确定正弦余弦值的正负．5．（2020·常熟市中学高一月考）如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是125，则22sin cos θθ-的值是______．【答案】725-【分析】由题可得每个直角三角形的长直角边为cos θ，短直角边为sin θ，可得1cos sin 5θθ-=，由此可求出7cos sin 5θθ+=，即可求出22sin cos θθ-. 【详解】大正方形的面积是1，即大正方形的边长为1，则由题可得每个直角三角形的长直角边为cos θ，短直角边为sin θ， 所以小正方形的边长为cos sin θθ-，小正方形的面积是125，()21cos sin 25θθ∴-=，1cos sin 5θθ∴-=， ()21cos sin 12sin cos 25θθθθ-=-=，则12sin cos 25θθ=，()249cos sin 12sin cos 25θθθθ∴+=+=，则7cos sin 5θθ+=，()()22177sin cos sin cos sin cos 5525θθθθθθ∴-=-+=-⨯=-.故答案为：725-. 【点睛】关键点睛：本题考查同角三角函数的关系，解题的关键是根据图形得出1cos sin 5θθ-=，从而根据三角函数关系求出7cos sin 5θθ+=. 6．（2020·湖北武汉市·武汉二中高一期末）已知tan 2α=，则442cos 2cos sin sin 2cos 1ααααα+-=+________． 【答案】17【分析】先进行弦化切，然后把tan 2α=代入求值.【详解】()()42422242422222222cos 2cos sin sin 2cos 1cos sin 2cos sin 2cos 1cos sin cos sin 2cos sin 2cos 1cos sin 2cos sin 3cos sin 1tan 2tan =3tan αααααααααααααααααααααααααα+-+-+=+-++=+-+=+-++ ∵tan 2α=，∴原式221tan 2tan 1441===3tan 347ααα-+-+++ 故答案为：17【点睛】对于正余弦的齐次式，可以先进行弦化切，然后代入求值.三、解答题7．（2020·江西省宜春中学高一月考）如图，点0P 是锐角α的终边与单位圆的交点，0OP 逆时针旋转3π得11,OP OP 逆时针旋转得21,,n OP OP -⋅⋅⋅，逆时针旋转3π得n OP .（1）若点2020P 的横坐标为45，求点1P 的横坐标； （2）若0P 的坐标为34,55⎛⎫⎪⎝⎭，求()()()c sin ta os n 2sin 3ααπαπαππ+⎛⎫-- ⎪⎝-⎭的值.【答案】（1）45-；（2）53【分析】（1）根据得2020P 的横坐标为45，即：4cos(2020)35πα+⨯=的值，化简得π4cos 35α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即为点1P 的横坐标； （2）根据题意得344cos ,sin ,tan 553ααα===，再根据诱导公式化简求值即可. 【详解】解：（1）根据题意得：2020OP 终边对应的角为20203πα+⨯，因为点2020P 的横坐标为45， 所以4cos 202035πα⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭，即4cos 673cos 335ππαπα⎛⎫⎛⎫++=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以π4cos 35α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 另一方面，1OP 的终边对应的角为π3α+， 所以点1P 的横坐标为π4cos 35α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. （2）因为0P 的坐标为34,55⎛⎫⎪⎝⎭，所以344cos ,sin ,tan 553ααα===，所以()()()()()sin sin tan cos cos tan 152cos sin cos 3sin cos sin cos cos 3παααπαααααππαααααα⎛⎫--⋅ ⎪⋅⎝⎭====+--⋅-⋅ 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，是基础题．本题解题的关键在于根据规律得n OP 的终边对应的角*,3n n N πα+∈，进而根据三角函数定义求解.8．（2020·沭阳县修远中学高一月考）《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”，“弦”和“矢”的定义，“弧田”(如图阴影部分所示)是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.（1）当圆心角AOB ∠为23π，矢为2的弧田，求：弧田(如图阴影部分所示)的面积； （2）已知如图该扇形圆心角AOB ∠是α，半径为r ，若该扇形周长是一定值()0c c >当α为多少弧度时，该扇形面积最大？ 【答案】（1）16433π-；（2）2α=. 【分析】（1）令圆弧的半径为R ，由定义知cos 22AOBR R ∠-=求R ，进而由弧田面积OACB AOB S S S =-，即可求其面积；（2）由题意得2r r c α+=，扇形面积22r S α=，利用基本不等式求其最大值，确定最大值时α的值即可.【详解】（1）由题意，如下图示2CD =，令圆弧的半径为R ，23AOB π∠=，∴cos32R OD R π==，即22RCD OC OD R =-=-=，得4R =， ∴弧田面积21132OACB AOBS S SR OD AB π=-=-⋅⋅，而3AB R =， ∴16433S π=-（2）由题意知：弧长AOB 为r α，即该扇形周长2r r c α+=，而扇形面积22r S α=，∴2222242(2)162()8c c c S αααα==≤=+++当且仅当2α=时等号成立. ∴当2α=时，该扇形面积最大.【点睛】关键点点睛：（1）根据“矢”的定义，结合扇形中弦、半径、圆心角的关系求其半径，进而由面积关系求弧田面积即可； （2）由扇形周长、面积公式列出扇形面积S 关于圆心角α的函数，应用基本不等式求最值并确定等号成立的条件.9．（2020·沭阳县修远中学高一月考）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在第一象限且3sin 5α=，若角β是将角α的终边逆时针旋转2π得到. （1）求sin β的值；（2）求tan β和221sin sin cos 2cos ββββ--的值. 【答案】（1）4sin 5β=；（2）22415tan ,3sin sin cos 2cos 2βββββ=-=--. 【分析】（1）由诱导公式求得sin β；（2）由同角关系求得cos β后可得tan β，直接代入sin ,cos ββ的值计算．【详解】（1）因为α是第一象限角，所以4cos 5α==，又2πβα=+， 所以4sin sin()cos 25πβαα=+==； （2）α是第一象限角，则2πβα=+是第二象限角，所以3cos 5β===-， 所以4sin 45tan 3cos 35βββ===--， 2222115sin sin cos 2cos 2443325555ββββ==--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯--⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的定义，诱导公式，同角间的三角函数关系．解题关键是掌握三角函数的定义确定三角函数值的正负，从而正确求解．由三角函数的定义得出cosα为正，cosβ为负．然后由商数关系求得tanβ，代入已求值可得分式的值．10．（2020·安徽省定远中学高一月考）若α为第二象限角，4 sin25πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭.（1）求sinα的值.（2）若7sin(5)cos tan()2()tan(19)sin()fπαπαπααπαα⎛⎫---+⎪⎝⎭=----，求()fα的值.【答案】（1）35；（2）35.【分析】（1）由已知利用诱导公式可求cosα的值，根据同角三角函数基本关系式可求sinα的值；（2）利用诱导公式即可化简求值得解．【详解】（1）α为第二象限角，4 sin()cos25παα+==-，3sin5α∴；（2）7sin(5)cos()tan()sin(sin)tan2()sintan(19)sin()tan(sin)fπαπαπααααααπαααα---+-===-----，3()5fα∴=．【点睛】方法点睛：诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限.用诱导公式化简，一般先把角化成,2kk Zπα+∈的形式，然后利用诱导公式的口诀化简（如果前面的角是90度的奇数倍，就是“奇”，是90度的偶数倍，就是“偶”；符号看象限是，把α看作是锐角，判断角2kπα+在第几象限，在这个象限的前面三角函数的符号是“+”还是“-”，就加在前面）。

正弦函数和余弦函数的定义及诱导公式训练题A 组1．若cos α＝－35，α∈(π2，π)，则tan α＝________. 解析：cos α＝－35，α∈(π2，π)，所以sin α＝45，∴tan α＝sin αcos α＝－43. 答案：－432．(高考北京卷)若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝________. 解析：由sin θ＝－45<0，tan θ>0知，θ是第三象限角，故cos θ＝－35. 答案：－353．若sin(π6＋α)＝35，则cos(π3－α)＝________. 解析：cos(π3－α)＝cos[π2－(π6＋α)]＝sin(π6＋α)＝35.答案：354．(合肥质检)已知sin x ＝2cos x ，则5sin x －cos x 2sin x ＋cos x＝______. 解析：∵sin x ＝2cos x ，∴tan x ＝2，∴5sin x －cos x 2sin x ＋cos x ＝5tan x －12tan x ＋1＝95. 答案：955．(原创题)若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ＝________.解析：由cos2θ＋cos θ＝0，得2cos 2θ－1＋cos θ＝0，所以cos θ＝－1或cos θ＝12，当cos θ＝－1时，有sin θ＝0，当cos θ＝12时，有sin θ＝±32.于是sin2θ＋sin θ＝sin θ(2cos θ＋1)＝0或3或－ 3.答案：0或3或－ 36．已知sin(π－α)cos(－8π－α)＝60169，且α∈(π4，π2)，求cos α，sin α的值． 解：由题意，得2sin αcos α＝120169.①又∵sin 2α＋cos 2α＝1，② ①＋②得：(sin α＋cos α)2＝289169，②－①得：(sin α－cos α)2＝49169. 又∵α∈(π4，π2)，∴sin α>cos α>0，即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0， ∴sin α＋cos α＝1713.③sin α－cos α＝713，④ ③＋④得：sin α＝1213.③－④得：cos α＝513. B 组1．已知sin x ＝2cos x ，则sin 2x ＋1＝________.解析：由已知，得tan x ＝2，所以sin 2x ＋1＝2sin 2x ＋cos 2x ＝2sin 2x ＋cos 2x sin 2x ＋cos 2x ＝2tan 2x ＋1tan 2x ＋1＝95.答案：952．(南京调研)cos 10π3＝________. 解析：cos 10π3＝cos 4π3＝－cos π3＝－12.答案：－123．(西安调研)已知sin α＝35，且α∈(π2，π)，那么sin2αcos 2α的值等于________． 解析：cos α＝－1－sin 2α＝－45， sin2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2sin αcos α＝2×35－45＝－32. 答案：－324．(南昌质检)若tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2α＝_________________. 解析：sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2α＝sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan α＋1tan α－1＋1tan 2α＋1＝165.答案：165 5．(苏州调研)已知tan x ＝sin(x ＋π2)，则sin x ＝___________________. 解析：∵tan x ＝sin(x ＋π2)＝cos x ，∴sin x ＝cos 2x ，∴sin 2x ＋sin x －1＝0，解得sin x ＝5－12.答案：5－126．若θ∈[0，π)，且cos θ(sin θ＋cos θ)＝1，则θ＝________.解析：由cos θ(sin θ＋cos θ)＝1⇒sin θ·cos θ＝1－cos 2θ＝sin 2θ⇒sin θ(sin θ－cos θ)＝0⇒sin θ＝0或sin θ－cos θ＝0，又∵θ∈[0，π)，∴θ＝0或π4.答案：0或π47．已知sin(α＋π12)＝13，则cos(α＋7π12)的值等于________． 解析：由已知，得cos(α＋7π12)＝cos[(α＋π12)＋π2]＝－sin(α＋π12)＝－13. 答案：－138．(高考浙江卷改编)若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝________.解析：由⎩⎨⎧cos α＋2sin α＝－5， ①sin 2α＋cos 2α＝1， ②将①代入②得(5sin α＋2)2＝0，∴sin α＝－255，cos α＝－55，∴tan α＝2. 答案：29．已知f (α)＝sin(π－α)cos(2π－α)tan(－α＋3π2)cos(－π－α)，则f (－31π3)的值为________． 解析：∵f (α)＝sin α·cos α·cot α－cos α＝－cos α，∴f (－313π)＝－cos π3＝－12.答案：－12 10．求sin(2n π＋2π3)·cos(n π＋4π3)(n ∈Z )的值． 解：(1)当n 为奇数时，sin(2n π＋2π3)·cos(n π＋4π3)＝sin 2π3·cos[(n ＋1)π＋π3] ＝sin(π－π3)·cos π3＝sin π3·cos π3＝32×12＝34. (2)当n 为偶数时，sin(2n π＋2π3)·cos(n π＋4π3)＝sin 2π3·cos 4π3＝sin(π－π3)·cos(π＋π3)＝sin π3·(－cos π3)＝32×(－12)＝－34. 11．在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三内角．解：由已知，得⎩⎨⎧ sin A ＝2sin B ， ①3cos A ＝2cos B ， ②①2＋②2得：2cos 2A ＝1，即cos A ＝±22. (1)当cos A ＝22时，cos B ＝32，又A 、B 是三角形内角，∴A ＝π4，B ＝π6，∴C ＝π－(A ＋B )＝712π.(2)当cos A ＝－22时，cos B ＝－32.又A 、B 是三角形内角，∴A ＝34π，B ＝56π，不合题意．综上知，A ＝π4，B ＝π6，C ＝712π. 12．已知向量a ＝(3，1)，向量b ＝(sin α－m ，cos α)．(1)若a ∥b ，且α∈[0,2π)，将m 表示为α的函数，并求m 的最小值及相应的α值；(2)若a ⊥b ，且m ＝0，求cos(π2－α)·sin(π＋2α)cos(π－α)的值． 解：(1)∵a ∥b ，∴3cos α－1·(sin α－m )＝0，∴m ＝sin α－3cos α＝2sin(α－π3)． 又∵α∈[0,2π)，∴当sin(α－π3)＝－1时，m min ＝－2. 此时α－π3＝32π，即α＝116π. (2)∵a ⊥b ，且m ＝0，∴3sin α＋cos α＝0.∴tan α＝－33. ∴cos(π2－α)·sin(π＋2α)cos(π－α)＝sin α·(－sin2α)－cos α＝tan α·2sin α·cos α ＝tan α·2sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝tan α·2tan α1＋tan 2α＝12.。