奥数五年级质数合数问题

质数、合数和分解质因数【知能大展台】一个自然数，如果只有1和它本身这两个约数，这样的数叫做质数（或素数）一个自然数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。

1既不是质数，也不是合数。

每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

【试金石】例1：三个质数的和是80，这三个质数的积最大是多少？【分析】由于三个数的和是偶数，所以这三个数中必有一个是偶数，在质数中只有2是偶数，所以三个数中一定有2。

另外两个质数的和是78，要使乘积尽可能的大，那么这两个质数的差值应尽可能的小。

显然，和是78的两个质数中，以41和37的差最小，即这两个数的积最大。

【解答】80=2+37+412×37×41=3034答：这三个质数的积最大是3034。

【智力加油站】【针对性训练】三个质数的和是62，这三个质数的积最大是多少？【试金石】例2：班主任李老师带领五年（一）班同学去植树，学生按人数恰好平均分成三组，已知李老师与学生共种了312棵树，老师与学生、每人种的树一样多，并且不超过10棵。

这个班共有学生多少人？每人种树多少棵？【分析】种树总数=每人种树棵数×师生总人数即：312=每人种树棵数×（1+学生人数）由于学生人数是3的倍数，再加上李老师一人，则师生总人数被3除余1。

因此先将312分解质因数312=2×2×2×3×13，然后按题意进行组合使之成为两数之积。

【解答】312=2×2×2×3×13若312=24×13，13为师生总人数，则每人种树24棵，与题意不相符。

若312=6×52，52为师生总人数，则每人种树6棵。

答：这个班共有学生51人，每人种6棵。

【智力加油站】【针对性训练】小青去看电影，他买的票的排数与座位号数的积是391，而且排数比座位号大6，小青买的电影票是几排几座？【试金石】例3在做一道两位数乘以两位数的乘法题时，小马虎把一乘数中的数字5看成8，由此得乘积为1872．那么原来的乘积是多少?【分析】1872=2×2×2×2×3×3×13=口口×口口，其中某个口为8，验证只有：1872=48×39，1872=78×24满足．【解答】当为1872=48×39时，小马虎错把5看成8，也就是错把45看成48，所以正确的乘积应该是45×39=1755．当为1872=78×24时，小马虎错把5看成8，也就是错把75看成78，所以正确的乘积应该是75×24=1800．答：原来的积为1755或1800．【智力加油站】【针对性训练】在下面算式的框内，各填入一个数字，使算式成立。

小学奥数之质数与合数解题1.掌握质数与合数的定义 2.能够用特殊的偶质数2与质数5解题 3.能够利用质数个位数的特点解题 4. 质数、合数综合运用一、质数与合数 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。

要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。

常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.⑴ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.二、判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p 的质数q (均为整数)，使得q 能够整除p ，那么p 就不是质数，所以我们只要拿所有小于p 的质数去除p 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p ，我们可以先找一个大于且接近p 的平方数2K ，再列出所有不大于K 的质数，用这些质数去除p ，如没有能够除尽的那么p 就为质数.例如：149很接近1441212=⨯，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.模块一、判断质数合数 【例 1】 下面是主试委员会为第六届“华杯赛”写的一首诗：美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；九天九霄志凌云，九七共庆手相握；聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．请你将诗中56个字第1行左边第一字起逐行逐字编为1—56号，再将号码中的质数由小到大找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话．【考点】判断质数合数 【难度】1星 【题型】填空【解析】 按要求编号排序，并画出质数号码：美 少 年 华 朋 会 友，幼 长 相 亲 同 切 磋；1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14杯 赛 联 谊 欢 声 响，念 一 笑 慰 来 者 多；15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28九 天 九 霄 志 凌 云，九 七 共 庆 手 相 握；29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42聚 起 华 夏 中 兴 力，同 唱 移 山 壮 丽 歌．43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 565-3-1.质数与合数（一）知识框架知识点拨例题精讲【答案】少年朋友亲切联欢；一九九七相聚中山【例 2】著名的哥德巴赫猜想是：“任意一个大于4的偶数都可以表示为两个质数的和”。

第十三讲质数和合数1、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类.（1）质数（或素数）：只有1和它本身两个因数。

（2）合数：除了1和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）。

（3）1：只有1个因数。

“1”既不是质数，也不是合数。

注：①最小的质数是2，最小的合数是4，连续的两个质数是2、3。

②每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。

③ 20以内的质数：有8个（2、3、5、7、11、13、17、19）④ 100以内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、972、100以内找质数、合数的技巧：看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。

关系：奇数×奇数=奇数质数×质数=合数3、常见最大、最小A的最小因数是：1；最小的奇数是：1；A的最大因数是：本身；最小的偶数是：0；A的最小倍数是：本身；最小的质数是：2；最小的自然数是：0；最小的合数是：4；4、分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。

树状图例：分析：先把36写成两个因数相乘的形式，如果两个因数都是质数就不再进行分解了；如果两个因数中海油合数，那我们继续分解，一直分解到全部因数都是质数为止。

把36分解质因数是：36=2×2×3×35、用短除法分解质因数（一个合数写成几个质数相乘的形式）。

例：分析：看上面两个例子，分别是用短除法对18,30分解质因数，左边的数字表示“商”，竖折下面的表示余数，要注意步骤。

具体步骤是：6、互质数：公因数只有1的两个数，叫做互质数。

两个质数的互质数：5和7两个合数的互质数：8和9一质一合的互质数：7和87、两数互质的特殊情况：⑴1和任何自然数互质；⑵相邻两个自然数互质；⑶两个质数一定互质；⑷2和所有奇数互质；⑸质数与比它小的合数互质；教学重点：质数和合数的概念。

例1、判断下面的数是质数还是合数173 189 669 1003 2003 2011 2013练习：判断下面的数是质数还是合数107 127 703 1999例2、已知三个质数的和是50.那么这三个质数的积最大是多少练习：已知A<B<C,且都是质数,A+B=16,B+C=24,那么A+B+C=__________.例3、A是一个质数,而且A+6,A+8,A+14都是质数;试求出满足要求的最小质数A.练习：已知A是一个质数,而且A+4,A+6,A+10都是质数;求符合条件的最小质数A.例4、三个连续的自然数的乘积等于39270.那么这三个连续的自然数的和等于多少练习：三个自然数的乘积为84,其中两个数的和正好等于另一个数;求这三个数;例5、马鹏和李虎计算甲、乙两个大于1的自然数的乘积,马鹏把甲数的个位数字看错了,得乘积473；李虎把甲数的十位数字看错了,得乘积407;那么甲、乙两数的乘积是多少练习:用216元去买钢笔,钱正好用完;如果每支钢笔便宜1元,则可多买3支钢笔,钱都正好用完;那么原来共买了多少支钢笔例6、秋季开学,国才教育五年级培优班来了四位新同学,他们的年龄恰好是一个比一个大1岁,而他们的年龄的乘积是5040,聪明的小朋友,你能猜到这四位新同学的年龄吗练习：在去西天取经的路上,孙悟空、猪八戒、沙和尚和白龙马捉住的妖怪的数目刚好是四个连续的自然数;而且;这四个自然数的乘积刚好是630;聪明的小朋友你知道他们一共捉住了几个妖怪吗例7、把1、2、3、4、5、6、7、8、9填进下面算式方框内,每个数字用一次,使等式成立;□□□×□□=□□×□□=5568练习：下面四张小纸片各盖住一个数字,如果这四个数字是连续的偶数,请写出完整的等式; □□×□□=1288练习：1×2×3×4×5×......×99×100的积,末尾有多少个连续的零。

2、质数和合数1、从1、3、4、5、6这五个数字中任选三个数字组成一个各位数字互不相同的三位质数，其中最大的三位质数是，最小的三位质数是。

2、用2、3、5、7、9这五个数字进行四则混合运算，每个数字只能用一次，能够得到的最大的质数是。

3、有两个自然数A、B，它们的最大公约数是75，最小公倍数是4200。

如果A 是525，则B是。

4、有四个连续自然数，相乘的积是24024，这四个自然数分别是。

5、要使下面算式中的连乘积的最后五个数字都是0，在横线上最小可以填。

175 ×262 ×410 ×6、已知A是一个质数，而且A+6、A+8、A+12、A+14都是质数，这样的质数A 是。

7、有一个长方体，它的一个正面和一个上面的两个长方形的面积和是323平方分米，若它的长、宽、高都是质数分米，那么这个长方体的体积是立方分米。

8、把14、33、35、30、39、75、143、169八个数平均分成A、B两组，使每组4个数的乘积相等。

请写出A组和B组的数。

A：；B：。

9、甲数有7个约数，乙数有12个约数，甲、乙两数的最小公倍数是1728。

那么甲、乙两数各是。

10、A、B、C为三个小于30的质数，其中A>B>C，且A+B+C=34。

如果要使这三个数的乘积最小，那么A、B、C这三个数各是几时，乘积是。

11、有一种最简真分数，它们的分子和分母的乘积是630，如果把所有这样的分数按从小到大的顺序进行排列，第五个是哪一个分数？12、张敏参加宁波市镇海区组织的小学六年级数学竞赛。

成绩公布后，他对爸爸说：“我的年龄、名次和分数相乘的积是2522。

已知这一次数学竞赛满分是100分。

那么张敏今年几岁，他得了第几名？2、质数和合数解答一、解答题1、能组成的最大的三位质数是653，能组成的最小三位质数是163。

用这几个数组成的最大的数是654，它是3的倍数。

第二个数是653，可以用小于25的质数去除都不能整除。

五年级奥数质数和合数例【1】有三张卡片，在它们上面各写有一个数字，从中抽取一张，两张，三张，按任意次序排起来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数。

请你将其中的素数都写出来。

例【2】（1）已知P是质数，p +1也是质数，求p+1997是多少？（2）如果a,b均为质数，且3a+7b=41，则a+b=_________。

解：如果一个数既有质数合数，又有奇数偶数，结合起来考虑，很大的可能都有偶质数2例【3】p,q为质数。

M,n 为互不相同的正整数，P=M+N, q=MN,则解：因为Q是质数却能表示成M×N，所以Q只能是1×它本身Q由此推出：M=1 Q=N，有因为P=1+N 因为Q=N，所以P=1+Q Q是个质数，由题目条件知道P也为质数，所以质数=1+质数又因为奇数+奇数=偶数奇数+偶数=奇数，可以知道Q是个偶质数2，P=1+Q Q=2 P=3例【4】找200个连续自然数，它们各个都是合数。

解：需要背的知识点：100以内有74个合数。

10以内连续的合数：8、9100以内连续的合数有7个：90~~~~96150以内连续的合数有13个：114~~~126连续合数的万能方法：引进一个概念阶乘！200个连续的自然数，找合数，就是从1一直乘到200，因为1是个废数，所以不算，应该是201的阶乘，表示为201！此题的答案就是201！+2~~~~~~201！+201例【5】将200分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能的小，那么此时这个最大的质数是------------。

如果要求最大的质数尽可能的大，那么此时这个最大的质数为-----------。

解：这道题最大的陷进就是没有说不同的质数，说明质数可以重复，可以相同最大的质数尽可能的小，说明质数尽可能的接近，那就求个平均数200÷10=20 说明，最大的质数肯定要超过这个平均数一点点，21,22都是合数不行，23最接近23*8=184 剩下16可以分成2个质数。

小学奥数教案---质数与合数与质数有关的构造问题，通过分解质因数求解的整数问题．1、有人说：“任何7个连续整数中一定有质数．”请你举一个例子，说明这句话是错的．【分析与解】例如连续的7个整数：842、843、844、845、846、847、848分别能被2、3、4、5、6、7、8整除，电就是说它们都不是质数．评注：有些同学可能会说这是怎么找出来的，翻质数表还是……，我们注意到(n+1)!+2，(n+1)!+3，(n+1)!+4，…，(n+1)!+(n+1)这n个数分别能被2、3、4、…、(n+1)整除，它们是连续的n个合数．其中n!表示从1一直乘到n的积，即1×2×3×…×n．2、从小到大写出5个质数，使后面的数都比前面的数大12．【分析与解】我们知道12是2、3的倍数，如果开始的质数是2或3，那么后一个数或与12的和一定也是2或3的倍数，将是合数，所以从5开始尝试．即23有5、17、29、41、53是满足条件的5个质数．3．9个连续的自然数，它们都大于80，那么其中质数最多有多少个?【分析与解】大于80的自然数中只要是偶数一定不是质数，于是奇数越多越好，9个连续的自然数中最多只有5个奇数，它们的个位应该为1，3，5，7，9．但是大于80且个位为5的数一定不是质数，所以最多只有4个数．验证101，102，103，104，105，106，107，108，109这9个连续的自然数中101、103、107、109这4个数均是质数．也就是大于80的9个连续自然数，其中质数最多能有4个．4. 用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这9个数字最多能组成多少个质数?【分析与解】要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7均为一位质数，这样还剩下1、4、6、8、9这5个不是质数的数字未用．有1、4、8、9可以组成质数41、89，而6可以与7组合成质数67．所以这9个数字最多组成了2、3、5、41、67、89这6个质数．5．3个质数的倒数之和是16611986，则这3个质数之和为多少?【分析与解】设这3个质数从小到大为a、b、c，它们的倒数分别为1a、1b、1c，计算它们的和时需通分，且通分后的分母为a×b×c，求和得到的分数为Fabc,如果这个分数能够约分，那么得到的分数的分母为a、b、c或它们之间的积．现在和为16611986，分母1986=2×3×331，所以一定是a=2，b=3，c=331，检验满足．所以这3个质数的和为2+3+331=336．6．已知一个两位数除1477，余数是49．求满足这样条件的所有两位数．【分析与解】有1477÷除数=商……49，那么1477-49：除数×商，所以，除数×商=1428=2×2×3×7×17．一般情况下有除数大于余数．即除数大于49且整除1428，有84、51、68满足．所以满足题意的两位数有51、68、84．7．有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是140．如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少?【分析与解】有140=2×2×5×7，因为这些分数的分子与分母的乘积均为140，当分母越大时，分子越小，所以对应的分数也越小．有分母从大到小依次为140、70、35、28、20、14、10、7、5、4、2、1；对应分子从小到大依次为1、2、4、5、7、10、14、20、28、35、70、140；对应分数从小到大依次为而1140、270、435、528、720、1014、1410、…其中第三个最简真分数为．8．某校师生为贫困地区捐款1995元．这个学校共有35名教师，14个教学班．各班学生人数相同且多于30人不超过45人．如果平均每人捐款的钱数是整数，那么平均每人捐款多少元?【分析与解】这个学校最少有35+14×30=455名师生，最多有35+14×45=665名师生，并且师生总人数能整除1995．1995=3×5×133，在455～665之间的约数只有5×133=665，所以师生总数为665人，则平均每人捐款1995÷665=3元．9．在做一道两位数乘以两位数的乘法题时，小马虎把一乘数中的数字5看成8，由此得乘积为1872．那么原来的乘积是多少?【分析与解】1872=2×2×2×2×3×3×13=口口×口口，其中某个口为8，一一验证只有：1872=48×39，1872=78×24满足．当为1872=48×39时，小马虎错把5看成8，也就是错把45看成48，所以正确的乘积应该是45×39=1755．当为1872=78×24时，小马虎错把5看成8，也就是错把75看成78，所以正确的乘积应该是75×24=1800．所以原来的积为1755或1800．10.已知两个数的和被5除余1，它们的积是2924，那么它们的差等于多少?【分析与解】2924=2×2×17×43=A×B，且有A+B被5除余l，则和的个位为1或6．有4×17+43=68+43=11l，也就是说68、43为满足题意的两个数．它们的差为68-43=25．11．在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是“0”(脱靶)，或者是不超过10的自然数．甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭得到的环数的积都是1764，但是甲的总环数比乙少4环．求甲、乙的总环数各是多少?【分析与解】1764=2×2×3×3×7×7，1764对应为5个小于10的自然数乘积．只能是1764=4×3×3×7×7=2×6×3×7×7=2×2×9×7×7=1×6×6×7×7=1×4×9×7×7对应的和依次为4+3+3+7+7=24，2+6+3+7+7=25，2+2+9+7+7=27，1+6+6+7+7=27，l+4+9+7+7=28．对应的和中只有24，28相差4，所以甲的5箭环数为4、3、3、7、7，乙的5箭环数为1、4、9、7、7．所以甲的总环数为24，乙的总环数为28．12．在面前有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少?【分析与解】如下图，设长、宽、高依次为a、b、c，有正面和上面的和为ac+ab=209．ac+ab=a×(c+b)=209，而209=11×19．当a=11时，c+b=19，当两个质数的和为奇数，则其中必定有一个数为偶质数2，则c+b=2+17;当a=19时，c+b=11，则c+b=2+9，b为9不是质数，所以不满足题意．所以它们的乘积为11×2×17=374．13.一个长方体的长、宽、高是连续的3个自然数，它的体积是39270立方厘米，那么这个长方体的表面积是多少平方厘米?【分析与解】方法一：39270=2×3×5×7×11×17，为三个连续自然数的乘积，而34最接近39270，39270的约数中接近或等于34的有35、34、33，有34×34×34即333×34×35=39270．所以33、34、35为满足题意的长、宽、高．则长方体的表面积为：2×(长×宽+宽×高+高×长)=2×(33×34+34×35+35×33)=6934(平方厘米)．方法二：39270=2×3×5×7×11×17，为三个连续自然数的乘积，考虑质因数17，如果17作为长、宽或高显然不满足．当17与2结合即34作为长方体一条边的长度时有可能成立，再考虑质因数7，与34接近的数32～36中，只有35含有7，于是7与5的乘积作为长方体的一条边的长度．而39270的质因数中只剩下了3和1l，所以这个长方体的大小为33×34×35．长方体的表面积为2×(3927033+3927034+3927035)=2×(1190+1155+1122)=2×3467=6934(平方厘米)．14．一个长方体的长、宽、高都是整数厘米，它的体积是1998立方厘米，那么它的长、宽、高的和的最小可能值是多少厘米?【分析与解】我们知道任意个已确定个数的数的乘积一定时，它们相互越接近，和越小．如3个数的积为18，则三个数为2、3、3时和最小，为8．1998=2×3×3×3×37，37是质数，不能再分解，所以2×3×3×3对应的两个数应越接近越好．有2×3×3×3=6×9时，即1998=6×9×37时，这三个自然数最接近．它们的和为6+9+37=52(厘米)．15．如果两数的和是64，两数的积可以整除4875，那么这两个数的差等于多少?【分析与解】4875=3×5×5×5×13，有a×b为4875的约数，且这两个数的和为64．发现39=3×13、25=5×5这两个数的和为64，所以39、25为满足题意的两个数．那么它们的差为39-25=14．评注：由上题可推知，当两个数的和一定时，这两个数越接近，积越大，所以两个和为64的数的乘积最大为32×32=1024，而积最小为1×63=63．而4875在64～1024之间的约数有65，195，325，375，975等．我们再对65，195，325，375，975等一一验证．严格的逐步计算，才不会漏掉满足题意的其他的解．而在本题中满足题意的只有39、25这组数．练习一、填空题1. 在一位的自然数中，既是奇数又是合数的有_____；既不是合数又不是质数的有_____；既是偶数又是质数的有_____.2. 最小的质数与最接近100的质数的乘积是_____.3．两个自然数的和与差的积是41，那么这两个自然数的积是_____.4. 在下式样□中分别填入三个质数,使等式成立.□+□+□=505. 三个连续自然数的积是1716,这三个自然数是_____、_____、_____.6. 找出1992所有的不同质因数,它们的和是_____.7. 如果自然数有四个不同的质因数, 那么这样的自然数中最小的是_____.8. 9216可写成两个自然数的积，这两个自然数的和最小可以达到_____.9. 从一块正方形的木板上锯下宽为3分米的一个木条以后,剩下的面积是108平方分米.木条的面积是_____平方分米.10. 今有10个质数:17,23,31,41,53,67,79,83,101,103.如果将它们分成两组,每组五个数,并且每组的五个数之和相等,那么把含有101的这组数从小到大排列,第二个数应是_____.二、解答题11．2，3，5，7，11，…都是质数，也就是说每个数只以1和它本身为约数.已知一个长方形的长和宽都是质数个单位,并且周长是36个单位.问这个长方形的面积至多是多少个平方单位?12.把7、14、20、21、28、30分成两组，每三个数相乘，使两组数的乘积相等.13.学生1430人参加团体操,分成人数相等的若干队,每队人数在100至200之间,问哪几种分法?14. 四只同样的瓶子内分别装有一定数量的油,每瓶和其他各瓶分别合称一次,记录千克数如下:8、9、10、11、12、13.已知四只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数,求最重的两瓶内有多少油?。

小学数学五年级奥数：“质数与合数(二)”试题（含答案）年级班姓名得分一、填空题1、在1~100里最小的质数与最大的质数的和是_____.2、小明写了四个小于10的自然数,它们的积是360.已知这四个数中只有一个是合数.这四个数是____、____、____和____.3、把232323的全部质因数的和表示为AB,那么A⨯B⨯AB=_____.4、有三个学生,他们的年龄一个比一个大3岁,他们三个人年龄数的乘积是1620,这三个学生年龄的和是_____.5、两个数的和是107,它们的乘积是1992,这两个数分别是_____和_____.6、如果两个数之和是64,两数的积可以整除4875,那么这两数之差是_____.7、某一个数,与它自己相加、相减、相乘、相除，得到的和、差、积、商之和为256.这个数是_____.8、有10个数:21、22、34、39、44、45、65、76、133和153.把它们编成两组,每组5个数,要求这组5个数的乘积等于那组5个数的乘积.第一组数____________；第二组数是____________.9、有_____个两位数,在它的十位数字与个位数字之间写一个零,得到的三位数能被原两位数整除.10、主人对客人说：“院子里有三个小孩，他们的年龄之积等于72，年龄之和恰好是我家的楼号，楼号你是知道的，你能求出这些孩子的年龄吗？”客人想了一下说：“我还不能确定答案。

”他站起来，走到窗前，看了看楼下的孩子说：“有两个很小的孩子，我知道他们的年龄了。

”主人家的楼号是_____ ,孩子的年龄是_____.二、解答题11、甲、乙、丙三位同学讨论关于两个质数之和的问题。

甲说：“两个质数之和一定是质数”.乙说：“两个质数之和一定不是质数”.丙说：“两个质数之和不一定是质数”.他们当中,谁说得对?12、下面有3，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排起来，得到不同的一位数、两位数、三位数.把所得数中的质数写出来.13、在100以内与77互质的所有奇数之和是多少?14、在射箭运动中,每射一箭得到的环数或者是“0”（脱靶），或者是不超过10的自然数.甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭得到环数的积都是1764，但是甲的总环数比乙少4环.求甲、乙的总环数.小学数学五年级奥数：“质数与合数(二)”答案1. 99100,98是偶数,99是3倍数,从而知97是1~100中最大的质数,又最小的质数是2,所以最小的质数与最大的质数的和是99.2. 3,3,5,8根据这四个数中只有一个是合数,可知其他三个数是质数,将360分解质因数得:360=2⨯2⨯2⨯5⨯3⨯3所以,这四个数是3,3,5和8.3. 1992依题意,将232323分解质因数得232323=23⨯10101=23⨯3⨯7⨯13⨯37从而,全部不同质因数之和AB=23+3+7+13+37=83所以,A⨯B⨯AB=8⨯3⨯83=1992.4． 36岁根据三个学生的年龄乘积是1620的条件，先把1620分解质因数，然后再根据他们的年龄一个比一个大3岁的条件进行组合.1620=2⨯2⨯3⨯3⨯3⨯3⨯5=9⨯12⨯15所以,他们年龄的和是9+12+15=36(岁)5. 83,24先把1992分解质因数,再根据两个数的和是107进行组合1992=2⨯2⨯2⨯3⨯83=24⨯8324+83=107所以,这两个数分别是83和24.6. 14根据两数之积能整除4875,把4875分解质因数,再根据两数之和为64进行组合.4875=3⨯5⨯5⨯5⨯13=(3⨯13)⨯(5⨯5)⨯5=(39⨯25)⨯5由此推得这两数为39和25.它们的差是39-25=14.7. 15解法一因为相同两数相加之和为原数的2倍,相减之差为零,相乘之积为原数乘以原数,相除之商为1.所以原数的2倍加上原数乘以原数应是256-1=255.把255分解质因数得: 255=3⨯5⨯17=3⨯5⨯(15+2)=15⨯2+15⨯15所以,这个数是15.解法二依题意,原数的2倍+0+原数⨯原数+1=256,即原数的2倍+原数⨯原数=256-1原数的2倍+原数⨯原数=255把255分解质因数得255=3⨯5⨯17=15⨯(15+2)=15⨯2+15⨯15所以,这个数是15.8. 21、22、65、76、153；34、39、44、45、133.先把10个数分别分解质因数,然后根据两组中所包含质因数必须相等把这10个数分成两组:21=3⨯7 22=2⨯1134=2⨯17 39=3⨯1344=2⨯2⨯11 45=3⨯3⨯565=5⨯13 76=2⨯2⨯19133=7⨯19 153=3⨯3⨯17由此可见,这10个数中质因数共有6个2,6个3,2个5,2个7,2个11,2个13,2个17,2个19.所以,每组数中应包含3个2,3个3,5、7、11、13、17和19各一个.于是,可以这样分组:第一组数是:21、22、65、76、153；第二组数是:34、39、44、45、133.[注]若将分为两组拓广分为三组,则得到一个类似的问题(1990年宁波市江北区小学五年级数学竞赛试题):把20,26,33,35,39,42,44,55,91等九个数分成三组,使每组的数的乘积相等.答案是如下分法即可:第一组：20，33，91；第二组：44，35，39；第三组：26，42，55.9． 12设这样的两位数的十位数字为A，个位数字为B，由题意依据数的组成知识，可知100A+B 能被10A+B整除.因为100A+B=90A+(10A+B),由数的整除性质可知90A能被10A+B整除.这样只要把90A 分解组合,就可以推出符合条件的两位数.210. 14；3岁，3岁，8岁因为三个孩子年龄的积是72，所以，我们把72分解为三个因数（不一定是质因数）的积，因为小孩的年龄一般是指不超过15岁，所以所有不同的乘积式是72=1⨯6⨯12=1⨯8⨯9=2⨯3⨯12=2⨯4⨯9=2⨯6⨯6=3⨯3⨯8=3⨯4⨯6三个因数的和分别为：19、18、17、15、14、14、13.其中只有两个和是相等的,都等于14.14就是主人家的楼号.如果楼号不是14,客人马上可以作出判断.反之客人无法作出判断,说明楼号正是14.亦即三个孩子年龄的和为14.此时三个孩子的年龄有两种可能:2岁、6岁、6岁；或3岁、3岁、8岁.当他看到有两个孩子很小时,就可以断定这三个孩子的年龄分别是3岁、3岁、8岁.主人家的楼号是14号.11. 因为两个质数之和可能是质数如2+3=5,也可能是合数如3+5=8,因此甲和乙的说法是错误的,只有丙说得对.12. 从三张卡片中任抽一张,有三种可能,即一位数有三个,分别为1、2、3，其中只有2、3是质数.从三张卡片中任抽二张,组成的两位数共六个.但个位数字是2的两位数和个位与十位上数字之和是3的倍数的两位数,都不是质数.所以,两位数的质数只有13,23,31.因为1+2+3=6,6能被3整除,所以由1、2、3按任意次序排起来所得的三位数，都不是质数.故满足要求的质数有2、3、13、23、31这五个.[注]这里采用边列举、边排除的策略求解.在抽二张卡片时,也可将得到六个两位数全部列举出来:12,13,21,23,31,32.再将三个合数12,21,32排除即可.13. 100以内所有奇数之和是1+3+5+…+99=2500，从中减去100以内奇数中7的倍数与11的倍数之和7⨯(1+3+...+13)+11⨯(1+3+ (9)=618，最后再加上一个7⨯11=77（因为上面减去了两次77），所以最终答数为2500-618+77=1959.[注]上面解题过程中100以内奇数里减去两个不同质数7与11的倍数,再加上一个公倍数7⨯11,这里限定在100以内,如果不是100以内,而是1000以内或更大的数时,减去的倍数就更多些而返回加上的公倍数有7⨯11的1倍,3倍,…也更多些，这实质上是“包含与排除”的思路.14. 依题意知,每射一箭的环数,只能是下列11个数中的一个0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.而甲、乙5箭总环数的积1764≠0,这说明在甲、乙5箭得到的环数里没有0和10.而1764=1⨯2⨯2⨯3⨯3⨯7⨯7是由5箭的环数乘出来的，于是推知每人有两箭中的环数都是7，从而可知另外3箭的环数是5个数1，2，2，3，3经过适当的分组之后相乘而得到的,可能的情形有5种：（1）1，4，9；（2）1，6，6；（3）2，2，9；（4）2，3，6；（5）3，3，4．因此，两人5箭的环数有5种可能：7，7，1，4，9和是28；7，7，1，6，6和是27；7，7，2，2，9和是27；7，7，2，3，6和是25；7，7，3，3，4和是24。

学科培优数学“质数、合数、分解质因数”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲中的知识点在小学课本内已经有所涉及,并且多以判断题考察。

质数合数的出现是对自然数的另一种分类方式,但是相对于奇数偶数的划分要复杂许多。

质数本身的无规律性也是一个研究质数结构的难点。

在奥数数论知识体系中我们要帮助孩子树立对质数和合数的基本认识,在这个基础之上能够会与之前的一些知识点结合运用。

分解质因数法是一个数论重点方法,本讲另一个授课重点在于让孩子对这个方法能够熟练并且灵活运用。

知识梳理一、质数与合数的基本概念1.质数：一个数除了1和它本身没有其他的约数,这个数就称为一个质数,也叫做素数2.合数：一个数除了1和它本身还有其他的约数,这个数就称为一个合数3.质因数：如果一个质数是某个数的约数,那么就说这个质数是这个数的质因数二、质数和合数的一些性质和常用结论1. 0和1既不是质数也不是合数,因此,我们可以说,自然数可以分成三部分,即,0和1,质数,合数。

2. 最小的质数是2,最小的合数是4。

3. 常用的100以内的质数：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,8 9,97其中2是唯一的偶数,5是唯一个位上数字是5的数,其余的数字个位只为1,3,7,94. 部分特殊数的分解：=⨯1000173137=⨯=⨯⨯1111141271=⨯100171113111337=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯200733223=⨯⨯⨯1998233337199535719=⨯⨯⨯+==⨯⨯10101371337 2008222251=⨯⨯⨯200720084015511735. 质数的判定方法判断一个数是否是质数,可以采用“连续小质数试除法”。

例如：判断251是否是质数,可以从最小的质数2开始依次除251,直到所得的商比除数小为止,可以断定251是质数。

251÷2=125...1, 251÷3=83...2, 251÷5=50...1, 251÷7=35...6, (251)17=14…13,此时除数17＞商14,由此说明251是质数。