九年级数学上册 273 反比例函数的应用课堂导学案 (新版)冀教版

反比例函数复习课导学案一学习目标：1、知识与技能：（1）复习反比例函数概念、图象与性质的知识点，通过相应知识点的配套练习加深学生对反比例函数本章知识的理解与掌握。

（2）能够根据问题中的条件确定反比例函数的解析式,会画出它的图象并根据问题确定自变量的取值范围及增减性。

2、过程与方法：通过对相关问题的变式探究，正确运用反比例函数知识，进一步体验形成解决问题的一些基本策略，发展实践能力和创新精神。

3、情感态度与价值观：创设教学情景，鼓励学生主动参与反比例函数复习活动，激发学习兴趣，获得问题解决后的乐趣，继续渗透数形结合等数学思想。

二学习重点和难点：重点：进一步掌握反比例函数的概念、图像、性质并正确运用。

难点：反比例函数性质的灵活运用。

数形结合思想的应用。

突破重点、难点的方法策略：由于本节课的学习是学生对函数的概念、图象与性质一个再知和整合的过程。

可以帮助学生形成解决问题的一些基本策略，提高分析问题，解决问题的能力和发展他们的创新精神。

所以我确定本节课的教学重点是进一步掌握反比例函数的概念、图像、性质并正确运用。

教学难点是反比例函数性质的灵活运用。

数形结合思想的应用。

三教学方法：启发式、自主学习、合作探究。

()2212--=m x m y 四 教学过程：（一）知识链接：基础在现1、如果反比例函数y=xm 41-的图像位于第二、四象限，那么m 的取值范围为 。

2、己知函数 的图象是双曲线,且在每一个象限内y 随x 的增大而增大,则m=______;3、（2008河北）点P （2m-3，1）在反比例函数y= 的图像上，则 m= 。

4、(2013永州)如图，两个反比例函数 y=x 4和y=x2 在第一象限内的图像分别是 C 1和C 2，设点P 在C 1上，AP ⊥x 轴于点A,交C 2于点B ，则ΔPOB 的面积为 。

（二）自主学习：方法提炼1.反比例函数 的图象经过点（-2,3），那么函数的解析式为____2.某反比例函数的图象经过点（-1,6），则下列各点中，此函数图象也经过的点是（ ）A. （-3,2）B. （3,2）C. （2，3）D. （6,1）3.已知y-1与x+2成反比例，当x=2时,y=9。

课时目标1.经历“问题情境—建立反比例函数模型—运用反比例函数模型解决实际问题”的过程,体会数学的价值,增强学好数学的信心.2.能运用反比例函数模型解决某些实际问题,增强应用意识.学习重点用反比例函数模型解决简单的实际问题.学习难点将实际问题中变量间的反比例关系抽象为反比例函数,并能利用反比例函数的性质解决实际问题.课时活动设计回顾引入一次函数学习流程:概念→图像→性质→应用反比例函数学习流程:概念→图像→性质→应用设计意图:学生思考,教师与学生共同回顾正比例函数、一次函数,指出这些函数在生活中都有广泛的应用,以引起学生对本节课的研究内容及研究方法的关注.进一步熟悉函数学习的基本过程和方法,点明研究的内容.一起探究完成下列问题,思考解决反比例函数实际问题的关键及需要注意的问题气体的密度是指单位体积(m3)内所含气体的重量(kg),现有某种气体7 kg.(1)某储气罐的容积为V(m3),将这7 kg的气体注入该容器后,该气体的密度为ρ(kg/m3),写出用V表示ρ的函数表达式.(2)当把这些气体装入容积为4 m3的储气罐中时,它的密度为多大?(3)要使气体的密度ρ=2 kg/m3,需把这些气体装入容积是多少立方米的容器中?(4)把这些气体装入容积不超过2 m3的容器中,气体的密度ρ在什么范围内?(5)若气体的密度ρ不高于7 kg/m3,把这些气体装入容积在什么范围内的容器中?(气体的密度是指单位体积(m3)内所含气体的质量(kg))解:(1)用V表示ρ的函数表达式为ρ=7V.(2)当V=4 m3时,ρ=7V =74=1.75(kg/m3).(3)当ρ=2 kg/m3时,2=7V,解得V=3.5(m3).(4)当V≤2 m3时,7V≥3.5,解得ρ≥3.5(kg/m3).(5)当ρ≤7 kg/m3时,7V≤7,解得V≥1(m3).设计意图:教师提出问题,学生分小组讨论、交流,领会实际问题的意义,体会变量之间的依存关系,引导启发学生建立反比例函数模型.从生活中提炼数学,展示反比例函数在实际生活中的应用情况,激发学生的求知欲和浓厚的数学兴趣.自主探究变式1气体的密度和容器体积有如下关系:求出用V表示ρ的函数表达式.解:设用V表示ρ的函数表达式为:ρ=mV.当V=1,ρ=7时,解得m=7,则用V表示ρ的函数表达式为:ρ=7V.设计意图:列表法是一种直观且易于理解的求解反比例函数的表达式的方法.通过列出x和y的对应值,学生能够更加直观地看到x和y之间的关系,从而更深刻地理解反比例函数的概念和性质,使用列表法求解反比例函数表达式的过程中,学生需要独立思考、分析问题,并找出解决问题的策略.这样的过程可以锻炼学生解决问题的能力,并培养他们的逻辑思维能力.巩固练习变式2容器体积和气体密度的函数图像如图所示,过A(2,3.5),B(m,1)两点.(1)求出用V表示ρ的函数表达式;(2)求m的值,并解释m的实际意义..解:(1)用V表示ρ的函数表达式为ρ=7V(2)m=7,实际意义:当容器体积为7 m3时,气体密度为1 kg/m3设计意图:让学生独立思考,自主探索,从实际问题中抽象出数学问题,通过寻找变量之间的关系,建立反比例函数模型.体验反比例函数是有效描述现实世界的重要手段.例题、变式1和变式2分别以文字描述、表格、图像三种不同的角度来确定反比例函数表达式.拓展提升例制作一种产品,需先将材料加热到60℃后,再进行操作.设该材料温度为y(℃),从加热开始计算时间x(分钟).据了解,该材料加热时,温度y与时间x成一次函数关系;停止加热进行操作时,温度y与时间x成反比例关系(如图),已知该材料在操作加工前的温度为15℃,加热5分钟后温度达到60℃.(1)分别求出将材料加热和停止加热进行操作时,y与x的函数表达式;(2)根据工艺要求,当材料的温度低于15℃时,需停止操作,那么从开始加热到停止操作,共经历了多长时间?(3)该种材料温度维持在40℃以上(包括40℃)的时间有多长?解:(1)当0≤x ≤5时,设函数的表达式是y =kx +b ,则{b =15,5k +b =60,解得{b =15,k =9.则材料加热时,函数的表达式是y =9x +15(0≤x ≤5).当x >5时,设函数的表达式是y =mx ,则m =5×60=300.℃则停止加热时函数的表达式是y =300x(x >5).(2)把y =15代入y =300x,得15=300x,解得x =20;经检验,x =20是原分式方程的解.若当材料的温度低于15℃时,需停止操作,那么从开始加热到停止操作,共经历了20分钟.(3)把y =40代入y =9x +15得x =259;把y =40代入300x得x =152.所以该材料温度维持在40℃以上(包括40℃)的时间为152-259=8518(分钟). 设计意图:本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用,解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系,然后利用待定系数法求出它们的表达式.利用反比例函数解决实际问题中有关温度的问题,使学生体验运用新知、独自解决问题的快乐.课堂小结设计意图:通过小结,使学生梳理本节课所学内容和解决问题的过程与方法,巩固对反比例函数的性质的认识,进一步提高应用反比例函数解决实际问题的能力.课堂8分钟.1.教材第140页习题A组第1,2题,第141页习题B组第1,2题.2.七彩作业.27.3反比例函数的应用一、确定反比例函数表达式二、借助性质解决问题教学反思。

新冀教版九年级数学上册《27.2反比例函数图像和性质2》导学案（预习展示课）学习目标：能用反比例函数的定义和性质解决相关的数学问题。

环节预设：前测：4min 解读目标：3min 读学：20min 研学: 13min 展学：5min前测：1、反比例函数xky =的图象经过点A （-3，2），则次反比例函数的解析式为 。

区别于一次函数b kx y +=，类似正比例函数kx y =，反比例函数xky =中只有 个待定系数k，只需 组x,y 的对应值即可确定反比例函数的解析式。

（为学习例3做准备） 2、x y 5-=的图像位于 象限，在每一象限内，当x 增大时，则y ；函数xy 6=图象在第 象限，在每个象限内y 随x 的减少而解读目标：老师在黑板上写了这样一道题：“已知（2，5）在反比例函数xy ?=的图像上，试判断点（-5，-2）是否也在此图像上。

”题中的“？”是被一个同学不小心擦掉的一个数字，请你分析一下“？”代表什么数，并解答此题目。

读学积累： 【活动一】例题讲解例1已知反比例函数的图象经过点A （2，6），（1)这个函数的图象分布在哪些象限？y 随ｘ的增大如何变化?（2)点B(3,4)、C ），（454-212-和D （2，5）是否在这个函数的图象上？变式训练1、若点B （-3，-3n+5）在此双曲线上，n=2、若C 为此反比例函数图像上任意一点，CD 垂直OX 于点D ，CE 垂直OY 于点E ，求四边形ODCE 的面积。

（反过来若C 为此反比例函数xky =图像上任意一点，CD 垂直OX 于点D ，CE 垂直OY 于点E ，四边形ODCE 的面积是5，求k 的值。

)【活动二】若A （-3，y 1）B （-2，y 2）是反比例函数x y 1=上的两个点，则y 1与y 2的关系为 。

若A （-3，y 1）B （-2，y 2）C （4，y 3）是反比例函数xy 1=上的三个点，则y 1、y 2与y 3的关系为 。

新冀教版九年级数学上册《27.2反比例函数图像和性质》导学案学习目标：1.能灵活运用反比例函数的图像和性质求反比例函数解析式2.能利用图像比较大小并解决一些综合的数学问题。

环节预设： 前测：5min 解读目标：1min 读学：10min 研学: 14min 展学：15min 前测：1、一般地，形如 （k 是常数，k ≠0）的函数叫做反比例函数，图像是。

2、反比例函数xk y =的性质 。

3、已知函数x y 3-= （1）画出此函数图像（2）当2≤x ≤4时，求函数值y 的取值范围。

解读目标：1、如何确定反比例函数解析式？2、如何利用反比例函数图像比较大小？读学积累： 例1、已知反比例函数的图像经过点A （3，-4）（1）求这个反比例函数的解析式（2）这个函数的图像分布在哪些象限？在图像每一支上y 随x 的增大如何变化？（3）点B （-3,4）、C （-2,6）和D （3,4）是否在这个函数的图像上？例2、如图点A 、B 在反比例函数图像上，且点A 、B 的横坐标分别为m,2m(m ＞0)，AC 垂直x 轴，垂足为点C ，且△ADC 的面积为2.（1）求该反比例函数的解析式（2）若点（-m,y 1）,（-2m,y 2）在该反比例函数的图像上试比较y 1与y 2的大小。

研学探究：1、反比例函数解析式的求法？2、第二个问题中△ADC 的面积与什么有关？有什么关系？3、若点P(x ，y)是反比例函数)0(≠=k xk y 的图像上的任意一点，过点p 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足为A 、B ，试判断矩形PAOB 的面积与K 的联系。

展学提升： 展学任务：自三组开始每组一小问，二组研学3展学要求：能根据例题总结出所用知识点。

A B C O yy x y O P A B。

冀教版数学九年级上册27.1《反比例函数》教学设计一. 教材分析冀教版数学九年级上册第27.1节《反比例函数》是本册教材的重要内容，主要让学生理解反比例函数的概念，掌握反比例函数的性质，并能够运用反比例函数解决实际问题。

这一节内容是在学生已经掌握了函数概念和一次函数、二次函数的基础上进行学习的，为后续学习其他函数奠定了基础。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，对于函数的概念和性质有一定的了解。

但是，对于反比例函数的理解和应用还需要通过实例和练习来进行强化。

此外，学生的学习兴趣和学习动机对于本节课的学习也起着重要的作用。

三. 教学目标1.理解反比例函数的概念，掌握反比例函数的性质。

2.能够运用反比例函数解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。

四. 教学重难点1.反比例函数的概念和性质。

2.反比例函数在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过探究、讨论来理解反比例函数的概念和性质。

2.利用实例和练习题，让学生通过自主学习和合作学习，掌握反比例函数的应用。

3.采用激励评价的方法，激发学生的学习兴趣和学习动机。

六. 教学准备1.教材和教学参考书。

2.教学PPT或黑板。

3.实例和练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，如“一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，行驶1小时后，离出发地点的距离是多少？”引导学生思考和讨论，引出反比例函数的概念。

2.呈现（10分钟）呈现反比例函数的定义和性质，通过PPT或黑板展示，让学生直观地理解反比例函数的概念和性质。

3.操练（10分钟）让学生通过自主学习和合作学习，完成一些练习题，巩固对反比例函数的理解。

4.巩固（5分钟）对学生的练习进行点评和讲解，帮助学生巩固反比例函数的知识。

5.拓展（5分钟）通过一些实际问题，让学生运用反比例函数解决实际问题，提高学生的应用能力。

6.小结（5分钟）对本节课的内容进行小结，让学生概括反比例函数的概念和性质，反思自己的学习过程。

建立反比例函数模型解实际问题学习目标：1、能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题．2、能综合利用几何、方程、反比例函数的知识解决一些实际问题．学习重点：利用反比例函数的知识分析、解决实际问题。

学习难点：分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式。

学习准备：1、解析式的一般形式。

2、反比例函数的图象和性质。

学习过程：一、探究研讨【活动1】问题：市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室．(1)储存室的底面积S(单位：m2)与其深度d(单位：m)有怎样的函数关系?(2)公司决定把储存室的底面积S定为500m2，施工队施工时应该向下挖进多深?(3)当施工队按(2)中的方案挖进到地下15m时，碰上了坚硬的岩石，为了节约建设资金，公司临时改变方案把储存室的深改为15m，相应的，储存室的底面积应改为多少才能满足需要(保存两位小数)。

【活动2】码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，把轮船装载宪毕恰好用了8天时间．(1)轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度v(单位：吨／天)与卸货时间t(单位：天)之间有怎样的函数关系?(2)由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不超过5日内卸载完毕，那么平均每天至少要卸多少吨货物?二、稳固练习：1、京沈高速公路全长658km，汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北京，那么汽车行完全程所需时间t〔h〕与行驶的平均速度v〔km/h〕之间的函数关系式为2、完成某项任务可获得500元报酬，考虑由x人完成这项任务，试写出人均报酬y〔元〕与人数x〔人〕之间的函数关系式ρ〔kg/m3〕是它的体积V〔m3〕的反比例函数，当V＝10时，3、一定质量的氧气，它的密度ρ＝，〔1〕求ρ与V的函数关系式；〔2〕求当V＝2时氧气的密度ρ4、某矩形的面积为20cm2〔1〕写出其长y与宽x之间的函数表达式。

(2)当矩形的长为12cm时，求宽为多少?当矩形的宽为4cm，求其长为多少?(3)如果要求矩形的长不小于8cm，其宽至多要多少?三、提升能力：1、某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P〔千帕〕是气体体积V〔立方米〕的反比例函数，其图像如下图〔千帕是一种压强单位〕〔1〕写出这个函数的解析式；〔2〕当气球的体积是立方米时，气球内的气压是多少千帕？〔3〕当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了平安起见，气球的体积应不小于多少立方米？2、学校锅炉旁建有一个储煤库，开学初购进一批煤，现在知道：按每天用煤吨计算，一学期〔按150天计算〕刚好用完.假设每天的耗煤量为x吨，那么这批煤能维持y天〔1〕那么y与x之间有怎样的函数关系？〔2〕画函数图象〔3〕假设每天节约吨，那么这批煤能维持多少天？四、反思归纳1、本节课学习的内容：2、数学思想方法归纳：。

反比例函数应用的教学设计一、教学内容分析反比例函数在前面已经学习了“图形与坐标”，本专题复习在反比例函数单元复习基础上展开的，以函数图象为载体，以数形结合思想为主线，围绕“点、函数表达式、函数图像”核心内容进行，学生在解决问题过程中进一步领悟反比例函数的概念并积累研究函数表达式。

二、学情分析反比例函数是函数的重要知识，核心知识是反比例函数的求解从学生学习情况分析，反比例函数的表达式用点、面积来求解，学生在理解上、思维方式变换上存在一定困难，用反比例函数解决实际问题需要建模的思想与策略，对学生有较高的要求基于以上分析，从学习函数最本质的思想——数形结合思想为立意，设计函数图象，在学生疑难问题解决过程中加深对反比例函数的理解 三、教学目标1、 通过复习更深层次地掌握反比例函数表达式的求解方法，一种是待定系数法，一种是利用面积（k 的几何意义）2、 逐步提高从函数图像中获取信息的能力，体会待定系数法、数形结合等数学思想方法 四、教学重难点重点：反比例函数的图象性质与数形结合思想，用待定系数法求表达式。

难点：利用图形变换，利用面积来求解 五、教学准备多媒体课件，三角板， 六、教学过程（一）、基础训练（给学生约5分钟的时间）1、点（2，3）在反比例函数y=x k 的图像上，那么k= 2、点（a ，3）在反比例函数y=x 9的图像上，那么a=3、已知点A （7-2m ，5-m ）在第二象限，且m 为整数，则过点A 的反比例函数的解析式1----3题是简单的采用点求比例系数k 或由反比例函数求点4、过双曲线xy 4上的点A 作A B ⊥y 轴,垂足为B ，那么S △AOB =5、如图，M 为反比例函数y=x k的图像上一点，MA 垂直y 轴,垂足为A ，△MAO 的面积为2，则k 的值为6、如图，过同一双曲线上两点A 、B 分别作x 轴、y 轴的垂线垂足为C 、D ，E 、F ，若矩形ADOC 矩形、BFOE 的面积分别为S 1，S 2，则S 1 S 2（二）通过基础训练让学生头脑构建求反比例函数表达式的方法 1、借助点，采用待定系数法 结合基础训练题教师加以强调注意点 2、用三角形面积和矩形面积求解结合基础训练题教师三角形和四边形的条件，（不是所有的三角形和四边形）同时注意双曲线所在的象限及k 的正负 3、利用逆向思维求点的坐标和图形面积（三）出示课件中的提升题，让学生在思维上得以提升1是2，①求点M的坐标②求此函数的解析式分析：抓住第一象限的角平分线OM，OM的长是2，从而通过添加辅助线来解决点的坐标，再用待定系数法求反比例函数解析式2、如图点A为双曲线（x>0）y=k/x上一点,△AOB为等腰直角三角形，∠OAB=900，直线y=3x-4分析：△AOB为等腰直角三角形得A点横纵坐标相等，设点A（a,a）代入直线表达式，解得A点坐标3、如图点P为双曲线 y=3/x上一点，A为x轴上的一点，连接OP、AP，OP=AP，则S△0AP=_____变式1：其他条件不变，△0AP为等边三角形？变式1：其他条件不变，∠OPA=900,，△0AP为等腰直角三角形呢？连接AB 、BP ，S △ABP=2,则k 的值_____变式：其他条件不变，让点B 在x 轴上从左向右运动，在运动过程中△ABP 的面积变化吗？ 分析：考虑三角形的底和高与点P 的横、纵坐标之间的关系，从而得出△ABP 面积等于1/2︱k ︱,之后的变式则是让点动起来，三角形的形状发生变化，得出△ABP 的是否变化5、过双曲线y=6/x 上的A 分别作x 轴y 轴的垂线，垂足为C 、D ，过双曲线的B 分别作x 轴y BHCE 的面积为S1，S2分析：6、如图正方形OABC OB 的中点D OAE=4.5，则点分析：这道题难度大，图中有特殊图形正方形和等腰直角三角形，其中还蕴含着三角形的全等，先考虑解题方法可以通过求直线EF的解析式，令y=0来求解G点坐标，还可以从求OG的长来解决G点坐标，留有几分钟的时间让学生对这道题进行梳理，并书写格式。

反比例函数的应用主备人单位九年级数学组使用人教学目标知识与技能1．能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题．2．反比例函数和一次函数的结合过程与方法1．经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数的模型，进而解决问题的过程．2．体会数形结合的思想，增强应用意识，提高运用图形的能力．情感态度与价值观1．积极参与交流，并积极发表意见．2．体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具．重点掌握从实际问题中建构反比例函数模型以及数形结合的思想．难点从实际问题中寻找变量之间的关系．关键是充分运用所学知识分析实际情况，建立函数模型，教学时注意分析过程，渗透数形结合的思想．【教学环节安排】环节教学问题设计教学活动设计问题最佳解决方案创设情境例1 如图，已知，A,B是双曲线(k0)kyx=>上的两点，（1）若A(2,3)，求K的值（2）在(1)的条件下，若点B的横坐标为3，连接OA,OB,AB，求△OAB的面积。

(1)根据A点求出K的值，体现反比例函数表达式的求法(2)熟悉由坐标求面积的过程(3)体现数学的本质：由特殊到一般学生亲自动手操作，并在小组内合作交流．教师巡视学生小组讨论的结果．在此活动中，教师应重点关注：①学生动手画图的能力；②学生数形结合的意识；③学生数学建模的意识；④学生能否大胆说出自己的见解，倾听别人的看法．自主探究例2为了预防“传染病”,某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒, 已知在药物燃烧时段内,室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min)成正比例.药物燃烧后,y与x成反比例(如图所示),现测得药物8min燃烧完,此时室内空气中每立方米的含药量为6mg,请根据题中所提供的信息,解答下列问题:1)药物燃烧时,y关于x 的函数关系式为:________, 自变量x 的取值范围是:_______,药物燃烧后y关于x的函数关系式为_______.(2)研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时,才能有效杀灭空气中的病菌,那么此次消毒是否有效?为什么?师：（1）中从题设中，我们不难发现y和x之间的函数关系，实际上是含药量与时间之间的关系．根据（8,6）这个点，就可得到y和x的函数关系．生：（2）中把y=3分别带入正比例函数和反比例函数中，求得两个对应的x的值，充分利用图像，作差相减即可师：很好!下面同学们就来自己完成．学生先独立思考，然后小组交流合作．教师应鼓励学生运用数形结合，用多种方法来思考问题，在此活动中，教师应重点关注：①学生能否自己建构函数模型，②学生面对困难，有无克服困难的勇气和战胜困难的坚强意志．6O8x(min)y(mg)尝试应用课堂提高;若A(m，n)是反比例函数图象上的一动点，其中0<m<3，点B的坐标(3，2)，过点A作直线AC∥x轴，交y轴于点C；过点B作直线BD∥y轴交x轴于点D，交直线AC于点E，当四边形OBEA的面积为6时，请判断线段AC与AE的大小关系例题的运用，以达到巩固提高的目的，学生小组内交流讨论，然后独立完成解题过程！先由学生独立完成，后在小组内讨论交流．教师可巡视，对“学围生”以适当的帮助．成果展示保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动，某化工厂2017年1月的利润为200万元．设2017年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元．由于排污超标，该厂决定从2017年1月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y与x成反比例，到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元(如图)．(1)分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后，y与x之间的函数关系式；(2)治污改造工程顺利完工后经过几个月，该厂月利润才能达到200万元？(3)当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？进一步让学生体会从实际问题中建立函数模型的过程，即将实际问题置于已有的知识背景之中，然后用数学知识重新理解这是什么?可以看成什么?由学生独立完成，教师根据学生完成情况及时给予评价．补偿提高小结：本节课你有哪些收获？对前几个环节学生所出现的问题针对性的补偿，有余力的学生拓展提高。

27.1 反比例函数能力点1利用待定系数法确定字母的取值X 围题型导引利用待定系数法结合函数的特征，确定函数表达式中字母的取值情况．【例1】已知函数y ＝(5m －3)x 2－n ＋(n ＋m )，(1)当m ，n 为何值时是一次函数？(2)当m ，n 为何值时，为正比例函数？(3)当m ，n 为何值时，为反比例函数．分析：(1)根据一次函数的定义知2－n ＝1，且5m －3≠0，据此可以求得m ，n 的值；(2)根据正比例函数的定义知2－n ＝1，m ＋n ＝0，5m －3≠0，据此可以求得m ，n 的值；(3)根据反比例函数的定义知2－n ＝－1，m ＋n ＝0，5m －3≠0，据此可以求得m ，n 的值．解：(1)当函数y ＝(5m －3)x2－n ＋(m ＋n )是一次函数时，2－n ＝1，且5m －3≠0， 解得n ＝1，m ≠53. (2)当函数y ＝(5m －3)x 2－n ＋(m ＋n )是正比例函数时，⎩⎪⎨⎪⎧2－n ＝1，m ＋n ＝0，5m －3≠0，解得n ＝1，m ＝－1.(3)当函数y ＝(5m －3)x 2－n ＋(m ＋n )是反比例函数时，⎩⎪⎨⎪⎧2－n ＝－1，m ＋n ＝0，5m －3≠0，解得n ＝3，m ＝－3.规律总结正确理解和区分正比例函数、一次函数和反比例函数的表达式，正比例 函数可以表示为y ＝kx (k ≠0)；一次函数可以表示为y ＝kx ＋b (k ≠0)，反比例函数可以表示为y ＝k x (k ≠0)，即y ＝kx －1(k ≠0)．变式训练已知函数(m 为常数)． (1)当m 取何值时，它是正比例函数？(2)当m 取何值时，它是反比例函数？分析：函数y ＝kx n＋b 为正、反比例函数的条件分别是k ≠0，b ＝0，n ＝1和k ≠0，b ＝0，n ＝－1.解：(1)由正比例函数的概念可知，要使为正比例函数，则需要满足⎩⎪⎨⎪⎧m －2≠0，m 2－5m ＋5＝1，（m －1）（m －3）＝0，解得m ＝1，所以当m ＝1时，它是正比例函数，其函数表达式为y ＝－x .(2)由反比例函数的概念可知，要使为反比例函数，则需要满足⎩⎪⎨⎪⎧m －2≠0，m 2－5m ＋5＝－1，（m －1）（m －3）＝0，解得m ＝3，所以当m ＝3时，它是反比例函数，其函数表达式为y ＝x －1.能力点2某某际问题中反比例函数的表达式题型导引在实际问题中，可以通过数学建模思想，确定反比例函数的表达式．【例2】写出下列函数关系式，并指出它们各是什么函数？(1)一个面积为500m 2的矩形花坛，花坛的长y (m )与宽x (m )的关系；(2)一个游泳池的容积为2000(m 3)，注满游泳池的时间t (h )与注水速度v(m 3/h )的关系．解：(1)y ＝500x，y 是x 的反比例函数； (2)t ＝2000v，t 是v 的反比例函数． 规律总结利用数学建模思想列函数表达式时，首先审清题意，列出两个变量之间的关系式，将两个变量之间的关系加以整理，写出反比例函数的一般形式，即y ＝k x(k ≠0)．变式训练某村有耕地360公顷，人口数n 逐年发生变化，那么该村人均占有耕地面积m (公顷/人)与全村人口数n 的函数关系式为____________．解析：由题意可知，该村的耕地总数一定，所以该村人均占有耕地面积m (公顷/人)与全村人口数n 成反比例关系，所以该村人均占有耕地面积＝全村耕地总数该村人口数.360答案：m＝n。

九年级数学教案（编号35）课题： 27.3反比例函数应用备课人：编制日期：使用日期：学科组长签字：分管领导签字：学习目标： 1.能够根据具体实际问题情景确定变量之间的反比例关系,并求出反比例函数的解析式.2.能灵活运用反比例函数的图像和性质解决相关的实际问题.一、知识链接：【师生活动】学生独立思考回答,教师规范书写.1、你吃过拉面吗?知道在做拉面的过程中渗透着数学知识吗?(1)体积为20cm3的面团做成拉面,面条的长度y与面条的粗细(横截面积S)有怎样的函数关系?(2)某家面馆的师傅手艺精湛,她拉的面条粗1mm2,如果面团的体积为10cm3,那么面条总长是多少?二、新知探究：【师生活动】学生自主学习、独立思考后,小组合作交流,学生展示后教师点评归纳,.1、在一段长为45 km的高速公路上,规定汽车行驶的速度最低为60 km/h,最高为110km/h.（1）在这段高速公路上,设汽车行驶的速度为v(km/h),时间为t(h),写出v与t之间的函数关系式.（2）.某司机开车用了25 min匀速通过了这段高速公路,请你判断这辆汽车是否超速,并说明理由.（3）某天,由于天气原因,汽车通过这段高速公路时,要求行驶速度不得超过75 km/h.此时,汽车通过该路段最少要用多长时间?三、典例分析：【师生活动】学生独立思考后,小组合作交流,教师对有困难的学生进行指导,小组代表展示,教师点评过程中强调易错点.例1某药品研究所开发一种抗菌新药,经多年动物实验,首次用于临床人体实验,测得成人服药后血液中药物浓度y(微克/毫升)与服药时间x 小时之间的函数关系如图所示(当4≤x ≤10时,y 与x 成反比例).(1)根据图像分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y 与x 之间的函数关系式;(2)血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为多少小时?四、题组训练: 【师生活动】 学生独立完成后小组交流答案,教师在巡视过程中帮助有困难的学生【A 组】1.下列各问题中,两个变量之间的关系不是反比例关系的是 ( )A.小明完成100 m 赛跑时,时间t (s )与他跑步的平均速度v (m/s )之间的关系B.菱形的面积为48 cm 2时,它的两条对角线的长y (cm )与x (cm )之间的关系 C.一个玻璃容器的体积为30 L 时,所盛液体的质量m 与所盛液体的密度ρ之间的关系D.压力为600 N 时,压强P 与受力面积S 之间的关系2.一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体,密度ρ(单位:kg/m 3)与体积v (单位:m 3)满足函数关系式ρ= (k 为常数,k ≠0),其图像如图所示,则k 的值为 ( )A.9 B.-9 C.4D.-43.某同学做物理实验,他使用的蓄电池电压为定值,电流I (A )与电阻R (Ω)的关系如图所示,若该电路内的用电器限制电流不得超过8 A ,则此用电器的可变电阻R (Ω)的范围应为 ( )A.R <5B.R >5C.R ≤5D.R ≥54.某一蓄水池的排水速度v (m 3/h )与排完水池中的水所用的时间t (h )之间的函数关系图像是一支双曲线,图像过点(4,12).则此函数的解析式为 .vm【B组】5、.将油箱注满k升油后,轿车可行驶的总路程s(单位:千米)与平均耗油量a(单位:升/千米)之间是反比例函数关系s=(k是常数,k≠0).已知某轿车油箱注满油后,以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶,可行驶700千米.(1)求该轿车可行驶的总路程s与平均耗油量a之间的函数解析式(关系式);(2)当平均耗油量为0.08升/千米时,该轿车可以行驶多少千米?【C组】“保护生态环境,建设绿色社会”已经从理念变为人们的行动.某化工厂2014年1月的利润为200万元.设2014年1月为第1个月,第x个月的利润为y万元.由于排污超标,该厂决定从2014年1月底起适当限产,并投入资金进行治污改造,导致月利润明显下降,从1月到5月,y与x成反比例.到5月底,治污改造工程顺利完工,从这时起,该厂每月的利润比前一个月增加20万元(如图所示).(1)分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后y与x之间对应的函数表达式;(2)治污改造工程完工后经过几个月,该厂月利润才能达到2014年1月的水平?(3)当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期,则该厂资金紧张期共有几个月?课堂小结:达标检测：教后反思：安全教育：答案：一、知识链接： 1、（1）反比例函数 （2）10000mm二、新知探究1、（1）tv 45=（2）25min=125h 108<110没有超速 （3）t=h537545=三、典例分析 例1：(1)当0⩽x ⩽4时，设直线解析式为：y =kx ，将(4,8)代入得：8=4k ，解得：k =2，故直线解析式为：y =2x ，当4⩽x ⩽10时,设反比例函数解析式为：y =x a，将(4,8)代入得：8=4a，解得：a =32，故反比例函数解析式为：y =x 32；因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y =2x (0⩽x ⩽4)， 下降阶段的函数关系式为y =x 32(4⩽x ⩽10).(2)当y =4，则4=2x ，解得：x =2，当y =4,则4=x 32，解得：x =8，∵8−2=6(小时)，∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间6小时。

九年级数学教案（编号33） 课题： 27.2反比例函数性质2 姓名：学习目标：1、理解反比例函数的图像和性质2、会应用图像和性质解决问题一、知识链接：【师生活动】 学生独立思考回答,教师规范书写.1（1）y=7x 的图像分布在_______象限，y 随x 的增大而______.（2）y=-7x的图像分布在_______象限，y 随x 的增大而_______.2.反比例函数y=xk 的图像经过（-3,4），则k=___, y 随x 的增大而_______. 3. 反比例函数y=x k 1 图像在二、四象限，则k 的范围是______. 4、如图所示,M 为反比例函数y =xk 的图像上的一点,MA 垂直于y 轴,垂足为A ,△MAO 的面积为2,则k 的值为 . 二、典例分析：【师生活动】 学生独立思考后,小组合作交流,教师对有困难的学生进行指导,小组代表展示,教师点评过程中强调易错点.1、已知反比例函数y=x k 的图像如图所示，回答下列问题 （1）判断k 的符号?（2）k 的值是什么? （3）如果A(-3,y 1),B(-1, y 2)是该图像上的两点，那么y 1 和y 2的大小关系是什么?2、A(x 1,y 1)，B (x 2,y 2)， C(x 3,y 3)在反比例函数y=x 5的图像上， （1）如果x 1＜ x 2<0,则y 1 ___y 2(2) 如果x 1＜0＜ x 2, 则y 1 ___y 221(3)如果x 1＜0＜x 2 ＜x 3,，则y 1 ，y 2 ，y 3的大小关系是什么？(4)如果m>0,（m+1, y 1）,(m+2, y 2)，那么y 1 ___y 2（5）如果A(x 1,y 1)，B (x 2,y 2)在第三象限，y 1 <y 2 ,则x 1___ x 2三、题组训练: 【师生活动】 学生独立完成后小组交流答案,教师在巡视过程中帮助有困难的学生【A 组】1、反比例函数y=-x3的图像上 （1）A(-4,y 1),B(-2, y 2)则y 1 ___y 2 (2) A(3,y 1),B(-2, y 2) 则y 1 ___y 2（3）A(3,y 1),B(4，y 2)，则y 1 ___y 2,（4）A(-3,y 1),B(-1, y 2) ，C(2,y 3)则y 1 ，y 2 ，y 3的大小关系是_______2、对于y=x3的图像有以下几个点，回答下列问题 （1）x 1 <x 2<0 ,则y 1 __y 2 (2) x 1 <0<x 2 ,则y 1 __y 2（3）0<x 1 <x 2 则y 1 __y 2 （4）x 2 <0<x 1,则y 1 __y 2（5）A(x 1,y 1),B(x 2, y 2) ，C （x 3，y 3), x 1＜x 2<0＜x 3则y 1 ，y 2 ，y 3的大小关系是_______【B 组】1、如图所示,函数y 1=-x +4的图像与函数y 2=xk 2(x >0)的图像交于A (a ,1),B (1,b )两点. (1)求函数y 2的表达式;(2)观察图像,比较当x >0时,y 1与y 2的大小.【C 组】1、如图所示,一次函数y =-x +4的图像与反比例函数y =x k (k 为常数,且k ≠0)的图像交于A (1,a ),B (b,1)两点.(1)求反比例函数的表达式及点B 的坐标;(2)在x 轴上找一点P ,使PA +PB 的值最小,求满足条件的点P 的坐标及△PAB 的面积.答案：一、知识链接：1、一三 减小 二四 增大2、-12 增大3、<14、4二、典例分析例1：1、（1）+ （2）2 （3）y 1 >y 22、（1）> （2）< （3）y 1 <y 3<y 2 （4）> （5）>四、题组训练A 组:1、（1）< （2）< （3）< （4）y 2 > y1> y32、（1）> （2）< （3）> （4）< （5）y3 <y1<y2 B 组：1、（1）x3y 2= （2）当10<<x 或3>x 时 y 1 <y 2 当时，31≤≤x y 1 ≥y 2。

冀教版数学九年级上册27.3《反比例函数的应用》教学设计一. 教材分析冀教版数学九年级上册27.3《反比例函数的应用》是本册教材中的重要内容，主要让学生掌握反比例函数的概念，理解反比例函数的图像和性质，以及学会反比例函数的应用。

本节课的内容与学生的生活实际紧密相连，有助于提高学生学习数学的兴趣，培养学生的数学应用能力。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数的基本概念和一次函数、二次函数的知识，对函数图像和性质有一定的了解。

但是，对于反比例函数的概念和性质，学生可能初次接触，理解起来有一定难度。

因此，在教学过程中，要注重引导学生从已知知识出发，逐步过渡到反比例函数的学习。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握反比例函数的概念，理解反比例函数的图像和性质，学会反比例函数的应用。

2.过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，让学生自主探索反比例函数的性质，提高学生的数学思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学应用意识，感受数学与生活的紧密联系。

四. 教学重难点1.重点：反比例函数的概念、图像和性质。

2.难点：反比例函数的应用，特别是实际问题中的建模和求解。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入反比例函数，让学生感受数学与生活的紧密联系。

2.启发式教学法：引导学生从已知知识出发，自主探索反比例函数的性质。

3.小组合作学习：让学生在小组内讨论、交流，提高学生的合作能力和沟通能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学素材，如PPT、反比例函数的图像、实际问题等。

2.准备教学用的黑板、粉笔等。

3.提前让学生预习本节课的内容，了解反比例函数的基本概念。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个生活实例引入反比例函数，如“一辆汽车以60千米/时的速度行驶，行驶1小时后，剩余路程与速度成反比。

求行驶3小时后，剩余路程是多少？”让学生感受数学与生活的紧密联系。

2.呈现（10分钟）讲解反比例函数的概念，引导学生从已知知识出发，自主探索反比例函数的性质。

27.3 反比例函数的应用 能力点反比例函数在物理等学科中的应用题型导引反比例函数常常与物理学科的知识联系在一起，借助于物理知识建立模型，从而使问题获解．【例题】某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p (k P a )是气球的体积V(m 3)的反比例函数，其图像如图所示．(1)写出这个函数的表达式；(2)当气球的体积为0.8m 3时，气球内的气压是多少千帕？(3)当气球内的气压大于144k P a 时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？解：(1)设p 与V 的函数的表达式为p ＝kV(k ≠0)， 把点A(1.5，64)代入，解得k ＝96.∴这个函数的表达式为p ＝96V . (2)把V ＝0.8代入p ＝96V， 得p ＝120，当气球的体积为0.8m 3时，气球内的气压是120k P a .(3)当p ＝144时，V ＝23， ∴p ≤144时，V≥23. 规律总结本题运用了建模思想和代入法，根据已知条件建立反比例函数模型，得出反比例函数表达式，进而求解，应注意的是在画反比例函数图像时，注意在本题中的自变量取值范围，图像只分布在第一象限．变式训练蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数关系如图所示．(1)蓄电池的电压是多少？你能写出这个函数的表达式吗？(2)如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过12A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？分析：首先根据蓄电池的电压为定值，可知电流与电阻成反比，观察图像知电流与电阻的一对对应值，因而利用待定系数法求解．解：(1)设蓄电池的电压为U，由电学公式知U＝IR，观察图像，当R＝8时，I＝6，因而U＝6×8＝48.所以函数的表达式为I＝48 R.(2)根据电流与电阻成反比的关系，当用电器限制电流不得超过12A(即I≤12A)时，则用电器的可变电阻应不少于4812＝4(Ω)，即R≥4Ω.。

27.2 反比例函数的图像和性质第2课时反比例函数的性质学习目标：1.根据反比例函数的图像归纳出反比例函数的性质.2.能够结合反比例函数的图像和性质解决问题.学习重点：反比例函数的性质.学习难点：反比例函数的图像和性质的运用.一、知识链接1.在直角坐标系中作出反比例函数2yx=2yx-=4yx=4yx-=的图像.二、新知预习【归纳】反比例函数的性质: 反比例函数kyx=的图像，当k>0时,图像位于第____、____象限，在每一象限内，y 的值随x 的增大而____； 当k<0时，图象位于第____、____象限，y 的值随x 的增大而____. 三、自学自测1.下列函数中，其图象位于第一，三象限的有 ；在其图象所在象限内， y 的值随x 值的增大而增大的有 。

① y=x 21 ② y=x 3.0 ③ y=x 10 ④ y=x1007- 2. 已知点( 2, y 1), ( 3, y 2 )在反比例函数y=x2的图象上，则y 1 y 2.四、我的疑惑_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________一、要点探究探究点：反比例函数的性质 问题1： 在反比例函数y ＝1－kx的图象的每一条曲线上，y 都随x 的增大而增大，则k 的值可以是（ ）A.－1B.0C.1D.2【归纳总结】反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由比例系数k 的符号决定的；反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k 的符号. 【针对训练】问题2：在反比例函数y ＝－1x的图象上有三点（x 1，y 1），（x 2，y 2），（x 3，y 3），若x 1＞x 2＞0＞x 3，则下列各式正确的是（ ）A.y 3＞y 1＞y 2B.y 3＞y 2＞y 1C.y 1＞y 2＞y 3D.y 1＞y 3＞y 2【归纳总结】此题有多种解法，图象法形象直观，具有一般性；特殊值法最简单，这种方法对于解答许多选择题都很有效，要注意学会使用. 【针对训练】已知点( x 1, y 1), ( x 2, y 2 )都在反比例函数y=x3-的图象上，且x 1＜x 2＜0,则 y 1 y 2 问题3：如图，两个反比例函数x y 4=和xy 2=在第一象限内的图象分别是1C 和2C ，设点P 在1C 上，PA ⊥x 轴于点A ，交2C 于点B ，则△POB 的面积为_______.【归纳总结】求阴影部分的面积的方法：当它无法直接求出时，一般都采用“割补法”的方法，将它转化为易求面积的图形面积的和或差来进行计算. 【针对训练】 反比例函数xky =的图象如图所示，点M 是该函数图象上一点，MN 垂直于x 轴，垂足是点N ，如果S △MON ＝2，则k 的值为 . 二、课堂小结1.对于反比例函数2y x=，下列说法不正确．．．的是（ ） A ．点(21)--，在它的图象上B ．它的图象在第一、三象限C ．当0x >时，y 随x 的增大而增大D ．当0x <时，y 随x 的增大而减小2.已知点A （11x y ，）、B （22x y ，）是反比例函数xky =（0>k ）图象上的两点， 若210x x <<，则( )A ．210y y <<B ．120y y <<C ．021<<y yD ．012<<y y 3.在反比例函数3k y x-=图象的每一支曲线上，y 都随x 的增大而减小，则k 的取值范围是 .4. 已知点（-m ，n ）在反比例函数的图象上，则它的图象也一定经过点 。

第二十七章反比例函数1.结合具体情境体会反比例函数的意义,能根据已知条件确定反比例函数的表达式,理解并掌握反比例函数的概念.2.能用待定系数法求反比例函数的解析式.3.会用描点法画反比例函数的图像,根据图像和表达式探索并理解其性质.4.掌握反比例函数的图像和性质,能运用相关性质解决有关问题.5.理解反比例函数中比例系数k的几何意义.6.能根据实际问题确定变量之间的反比例关系,并确定反比例函数解析式,能灵活运用反比例函数的意义和性质解决相关的实际问题.1.经历从实际问题情境中探索两个变量之间关系的过程,使学生体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系,发展学生的观察能力、探究能力及归纳总结能力.2.通过函数图像探究函数性质,进一步体会数形结合思想在数学中的应用,经历知识的形成过程,体会由特殊到一般的数学方法.3.通过探究反比例函数解决实际问题,体会数学知识的现实意义,提高分析问题、解决问题的能力,培养数学应用意识.4.经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体会建立函数模型的思想.1.通过探索实际问题中两个变量之间的反比例关系,体验数学来源于生活,又应用于生活,提高学生运用数学的意识,体验数学活动中的探索性和创造性.2.让学生经历观察、比较、归纳、应用以及猜想、验证的学习过程,使学生掌握类比、转化等学习数学的方法,养成既能自主探索,又能合作探究的良好学习习惯.3.通过用反比例函数表示两个变量间的关系,并解决某些实际问题,体会数学模型思想、数形结合思想在实际问题中的应用,感受数学的价值,增强学好数学的信心.函数知识是初中代数的核心内容,反比例函数也是新课标明确要求的初中学生必需体会和掌握的三种函数基本形式之一.对函数的认识需要经历由浅入深、螺旋上升的过程,本章内容是在学生已经学习了函数及其图像的初步知识,以及系统地研究了一次函数的概念、图像、性质、简单应用等基础上,类比研究一次函数的方法,较系统地研究反比例函数的模型、图像、性质及应用.通过本章的学习,丰富函数模型的认识,进一步体会数形结合思想,提高用函数的观点解决实际问题的能力,为研究二次函数积累更多的经验.本章内容从实际问题情境入手引出基本概念,引导学生进一步体会函数的模型思想,重点内容是反比例函数的图像和性质的理解和掌握,通过画特殊的反比例函数的图像,归纳出一般反比例函数的图像特征和性质,体会由特殊到一般的数学学习方法,提高学生观察、分析、归纳总结的能力.加强反比例函数与实际问题的联系,让学生体会数学与生活息息相关,提高学生的数学应用意识.数形结合思想贯穿本章内容,从图像上直观观察函数的变化规律,整体把握函数的性质,而解析式是对函数性质的无限“解读”,但抽象不直观,所以将两者结合起来,共同研究函数的性质.本章重点是反比例函数的概念、图像、性质及应用,难点是反比例函数图像的生成过程.根据学生的特点,依照前边学过的函数为基础,用类比的方法探究本章内容,重视反比例函数与一次函数的联系、差异和综合运用.反比例函数作为重要的数学模型,在解决日常生活实际问题中发挥了重要作用,通过学习可以培养和提高学生用函数模型解决实际问题,逐步提高分析问题、解决问题及应用数学的能力.【重点】1.通过对实际问题情境的分析,确定反比例函数的解析式.2.会用描点法画反比例函数的图像,并能从图像中认识反比例函数的性质.3.能用反比例函数的性质解决简单的实际问题.【难点】1.能根据反比例函数图像特征及其性质解决有关问题.2.应用反比例函数解决实际问题,能解决与其他函数结合的问题.1.数学教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程,所以根据本章内容和呈现的特点,设计恰当的数学活动进行教学,给学生提供不同的实际背景,在理解情境的基础上,分析其中的数量关系,通过分析、归纳,抽象出数学关系,建立反比例函数模型,让学生充分经历建立反比例函数模型的过程,提高学生分析问题、解决问题及抽象概括的能力.2.反比例函数是初中阶段学习的一类重要函数,在初中教材中起着承上启下的作用,所以在教学中要处理好新旧知识之间的联系,通过复习函数及一次函数的有关内容,为本章的学习做好铺垫,类比一次函数的探究思路,通过表格中函数的变化规律,画出反比例函数图像,再通过观察图像归纳和概括反比例函数的性质,让学生体会数形结合思想在数学中的应用,既加深学生对反比例函数的理解,又克服集中探索的困难.3.注重反比例函数的应用,增强学生的应用意识,对教材中涉及的一些实际问题和跨学科问题,利用问题中量与量之间的等量关系来解决,不应看做是单纯的公式变形,应将实际问题中的两个量视为变量,建立反比例函数模型,借助反比例函数的性质来解决问题,增强数学的应用意识.4.渗透数学重要思想与方法成为本章的主要线索,类比思想、从特殊到一般、数形结合思想、方程思想及待定系数法等数学思想和方法,贯穿整章的教学,教学过程中每课时都要注重数学思想的培养.27.1反比例函数1课时27.2反比例函数的图像和性质2课时27.3反比例函数的应用1课时回顾与反思1课时27.1反比例函数1.结合具体问题情境体会反比例函数的意义.2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数.3.能根据已知条件或实际问题中的条件确定反比例函数的解析式.1.让学生从实际问题情境中经历探索、分析和建立两个变量之间的反比例函数关系的过程.2.用类比的思想方法,从实际问题中抽象出反比例函数的模型,发展学生的观察能力、探究能力及交流总结能力.3.经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体会建立函数模型的思想.1.通过对一些实际问题的探究,发展学生合理的猜想、推理能力,增强他们学习数学的兴趣.2.通过探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体验数学来源于生活,又应用于生活,提高学生应用数学的意识.【重点】1.理解并掌握反比例函数的定义,掌握反比例函数的一般形式.2.能根据已知条件确定反比例函数的解析式.【难点】经历探索和表示反比例函数关系的过程,体验用反比例函数表示变量之间的关系.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】预习教材P128~129.导入一:【课件展示】如图所示,当电路中的电压一定时.(1)怎样用电阻R表示电流I?(2)电流I是怎样随电阻R的变化而变化的?(电流I随着R的增大而减小)(3)变量I是R的函数吗?为什么?(是,电流I随着R的变化而变化,给一个R的值,都有一个I和它对应)[设计意图]由与生活息息相关的跨学科知识和已有的知识出发,将学生引导到一个新的函数模型的研究中,让学生感受到生活中处处有数学,激发学生对学习数学的兴趣和愿望,同时也为抽象出反比例函数的概念做铺垫.导入二:【课件展示】同一条铁路线上,由于不同车次列车运行时间有长有短,所以他们的平均速度有快有慢.在速度v,时间t与路程s之间满足:(1)如果速度v一定时,那么路程s与时间t之间是什么函数关系?(s=vt,是正比例函数关系)(2)如果时间t一定时,那么路程s与速度v之间又是什么函数关系?(s=vt,是正比例函数关系)(3)如果路程s一定时,那么速度v和时间t之间的等量关系是什么?是函数关系吗?【思考】这个函数是不是我们前边学过的函数?[导入语]问题(1)(2)中的函数是我们学过的一次函数,(3)中的函数不是前边学过的函数,这类函数就是本章要研究的反比例函数.[设计意图]通过生活中的问题情景,引导学生发现不同于以往学过的新的函数关系,唤起学生对本课时的学习欲望,使学生带着问题进入本节课的学习.导入三:复习提问:(1)什么是函数?什么是一次函数?(2)学习一次函数的基本思路是什么?【课件展示】以往研究函数的基本思路:[导入语]函数是初中数学中重要的数学模型,我们学习一次函数时,在理解定义的基础上,研究它的图像和性质,并用之解决实际问题,本章将用类似的方法研究一种新的函数——反比例函数.[设计意图]通过回忆一次函数的概念及研究思路,引导学生用类比的方法学习本章的反比例函数,在学习中学生易从已有的知识体系中自然地构建出新知识,为学习本章内容做好铺垫.[过渡语]若将成正比例的两个量视为变量,则这两个量之间具有正比例函数关系.那么,当将两个成反比例的量视为变量时,它们之间又具有怎样的函数关系呢?这就是本节课要学习的内容.一、反比例函数的概念思路一【课件展示】1.要制作容积为15700 cm3的圆柱形水桶,水桶的底面积为S cm2,高为h cm,则Sh=,用h表示S的函数表达式为.2.自行车运动员在长为10000 m的路段上进行骑车训练,行驶全程所用时间为t s,行驶的平均速度为v m/s,则vt=,用t表示v的函数表达式为.3.y与x的乘积为-2,用x表示y的函数表达式为.【学生活动】独立完成填空,小组内交流答案.1.15700S=2.10000v=3.y=教师引导学生思考:(1)每个事例中的两个变量是什么?(2)当一个量变化时,另一个量随着怎样变化?(3)上述三对量之间每对量都成反比例吗?(4)请再举出几个具有这种特征的例子.【师生活动】学生独立思考后,小组合作交流,确定三个问题中的每对量都成反比例,并归纳函数表达式的共同特征,教师对学生的回答进行点评归纳.[设计意图]通过问题的形式,引导学生发现这些变量之间的关系都成反比例,并且这种函数的解析式不同于以往的一次函数,为进一步研究反比例函数做知识准备,同时调动学生学习的欲望,实现了让学生感知反比例函数的目的.观察前面的三个函数关系式,思考:(1)这三个函数是一次函数吗?(2)这些函数表达式具有怎样的共同特征?(3)通过观察,你能归纳出这种函数的一般形式吗?(4)你能给这类函数下一个定义吗?【师生活动】学生思考后,逐一回答所提问题,教师适时启发,共同归纳结论.教师引导学生从两个方面思考:一是与一次函数的解析式对比;二是看给出的三个函数关系式是整式还是分式.总结:【课件展示】一般地,如果变量y和变量x之间的函数关系可以表示成y=(k为常数,且k≠0)的形式,那么称y为x的反比例函数,k称为比例系数.在反比例函数y=中,自变量x的取值范围是不等于0的实数.【思考】(1)在反比例函数y=中,k,x,y可以取任意实数吗?(2)反比例函数y=中,自变量x的指数是1吗?为什么?(3)反比例函数除了这种分式的形式外,还有其他表示方法吗?【师生活动】学生独立思考后,小组交流,学生回答时教师及时点评和引导,师生共同归纳反比例函数概念的有关特点:(1)反比例函数中,比例系数k≠0,自变量x≠0,函数值y≠0.(2)反比例函数y=右边是分式形式,x的指数是-1.(3)反比例函数的三种表示形式:y=,xy=k,y=kx-1.[设计意图]通过学生观察思考、小组交流讨论,依据老师设计的问题,类比已学的一次函数,归纳出反比例函数的特征,让学生经历概念的形成过程,达到真正理解反比例函数定义的目的,同时培养学生归纳总结的能力.思路二【课件展示】出示下列几个问题:1.要制作容积为15700 cm3的圆柱形水桶,水桶的底面积为S cm2,高为h cm,则Sh=,用h表示S的函数表达式为.2.自行车运动员在长为10000 m的路段上进行骑车训练,行驶全程所用时间为t s,行驶的平均速度为v m/s,则vt=,用t表示v的函数表达式为.3.y与x的乘积为-2,用x表示y的函数表达式为.4.已知北京市的总面积为1.68×104 km2,人均占有面积S(单位:km2/人)与全市总人口n(单位:人)的函数表达式为.【学生活动】独立完成后,小组内交流答案,教师对学生答案进行点评.1.15700S=2.10000v=3.y=4.S=教师引导学生思考:(1)每个事例中的中两个变量是什么?(2)当一个量变化时,另一个量随着怎样变化?(3)上述几对量之间每对量都成反比例吗?(4)你能不能再举出几个具有这种特征的例子?【师生活动】学生独立思考后,小组合作交流,确定几个问题中的每对量都成反比例,并归纳函数表达式的共同特征,教师对学生的回答进行点评归纳.[设计意图]问题情境既有教材“做一做”栏目的问题,又有新增设的问题,这些事例要求学生从实际问题中找到两个变量之间的函数表达式,为形成反比例函数的概念、辨析反比例函数做好准备.[过渡语]刚才同学们列出了相关的4个函数表达式,接下来我们开始研究这些函数表达式的特征吧!1反比例函数的一般形式【课件展示】思考下列问题:(1)这四个函数都是一次函数吗?(2)这些函数表达式具有怎样的共同特征?(3)通过观察,你能归纳出这种函数的一般形式吗?(4)你能给这类函数下一个定义吗?问题提示:通常情况下,我们用y表示函数,用k表示常量,用x表示自变量.对于这四个特殊的函数,学生可以初步总结为y=.总结:【课件展示】一般地,如果变量y和变量x之间的函数关系可以表示成y=(k为常数,且k≠0)的形式,那么称y为x的反比例函数,k称为比例系数.2.理解反比例函数的概念.问题1反比例函数的一般式y=的右边是什么式子?(提示:分式,其他的函数都是单项式或多项式)问题2反比例函数y=的比例系数k、自变量x取值有什么要求?(提示:都是不能为0的实数)问题3反比例函数解析式还可以写成其他形式吗?(提示:两个变量的乘积为定值;自变量x的指数为-1)【师生活动】学生独立思考后小组合作交流,教师对学生的回答作出点评和归纳.[设计意图]通过回答教师提出的问题,让学生理解反比例函数的意义,能用数学语言表达反比例函数的表达式,并能理解自变量的取值范围,掌握判断反比例函数的方法.通过学生的观察、思考、合作、交流,反比例函数概念的模型建立也就会水到渠成.[过渡语]我们通过实例归纳总结了反比例函数的概念,试试能不能解决下列问题.下列函数:①y=;②y=;③y=;④y=;⑤xy=2;⑥y=.其中是反比例函数的是(填序号),它们的比例系数k分别是.〔解析〕按照反比例函数的概念判断,易得①②④⑤是反比例函数,其中k分别为5,0.4,,2.〔答案〕①②④⑤5,0.4,,2若y=(a-2)x|a|-3是反比例函数,则a的值为.【师生活动】学生独立思考后,小组交流答案,教师对学生的答案进行点评,并强调易错点.〔解析〕根据反比例函数概念可得,反比例函数满足两个条件:①常数k≠0;②自变量x的指数为-1.由题意可得|a|-3=-1,且a-2≠0,解得a=-2.故填-2.[设计意图]通过练习让学生进一步理解和掌握反比例函数的一般形式及特点,特别是忽略k≠0这一易错点.(教材129页例1)写出下列问题中y与x之间的函数关系式,指出其中的正比例函数和反比例函数,并写出它们的比例系数k.(1)y与x互为相反数.(2)y与x互为负倒数.(3)y与2x的积等于a(a为常数,且a≠0).【师生活动】学生独立完成后小组内交流答案,教师点评学生的答案,并强调易错点.解:(1)因为y+x=0,即y=-x,所以y是x的正比例函数,比例系数k=-1.(2)因为xy=-1,即y=,所以y是x的反比例函数,比例系数k=-1.(3)因为2xy=a,即y=,所以y是x的反比例函数,比例系数k=a.[设计意图]通过书写函数关系式,并认识比例系数k,对正比例函数和反比例函数本质属性进行比较,加深对反比例函数的理解.(教材129页例2)已知y是x的反比例函数,当x=4时,y=6.(1)写出这个反比例函数的表达式.(2)当x=-2时,求y的值.〔解析〕类比一次函数求解析式的方法——待定系数法,设出函数解析式,将一对x,y 的值代入,求出待定系数k.【师生活动】师生共同复习待定系数法求函数解析式,然后学生独立完成,并板书过程,学生之间互相纠正错误答案,教师点评,并归纳待定系数法求函数解析式的一般步骤.解:(1)设y=.把x=4,y=6代入y=,得k=24.所以这个反比例函数的表达式为y=.(2)当x=-2时,y==-12.[设计意图]通过复习待定系数法,用待定系数法求反比例函数关系式,并让学生体会在反比例函数关系式中,代入一对x,y的值即可求出函数关系式.同时让学生体会建模思想在数学中的应用.[知识拓展]1.反比例函数y=(k为常数,且k≠0)的左边是函数,右边为自变量x的分式,也就是说,分母不能是多项式,只能是x的一次单项式,如y=,y=等都是反比例函数,但y=中,y就不是x 的反比例函数.2.反比例函数可以理解为两个变量的乘积是一个不为0的常数,因此可以写成xy=k(k≠0),y=kx-1(k≠0)的形式.1.反比例函数的概念:一般地,如果变量y和变量x之间的函数关系可以表示成y=(k为常数,且k≠0)的形式,那么称y为x的反比例函数,k称为比例系数.2.反比例函数满足的条件:(1)自变量的指数是-1;(2)比例系数不为0.3.反比例函数的三种表示形式:y=;xy=k;y=kx-1.4.反比例函数自变量的取值范围:x≠0.1.下列函数中是反比例函数的是()A.y=2x+1B.y=C.y=D.2y=x解析:A中函数是一次函数,不是反比例函数;B中函数自变量x的指数不是-1,不是反比例函数;C中函数符合反比例函数的定义;D中函数是正比例函数,不是反比例函数.故选C.2.反比例函数y=-中,k的值是()A.2B.-2C.-D.-解析:根据反比例函数定义可得,比例系数k为-.故选C.3.若函数y=(m-1)为反比例函数,则m的值是,此函数的表达式为.解析:根据反比例函数定义可得,m2-2=-1,且m-1≠0,解得m=-1,此时函数表达式为y=-.答案:-1y=-4.长方体的体积为103m3,底面积为S m2,高度为d m,用d表示S的函数关系式为;当S=500 m2时,d=m.解析:因为体积V=Sd,所以S=,把S=500代入函数解析式,得d=2.答案:S= 25.已知y与3x成反比例,且当x=1时,y=.(1)写出y与x的函数表达式;(2)当x=时,求y的值;(3)当y=时,求x的值.解:(1)设y与x的函数表达式为y=,把x=1,y=代入,得,所以k=2,所以y与x的函数表达式为y=.(2)当x=时,y=2.(3)当y=时,,解得x=.27.1反比例函数一、反比例函数的概念二、例题讲解一、教材作业【必做题】教材第130页习题A组第1,2,3题.【选做题】教材第130页习题B组第1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.下列关系中,两个量之间为反比例函数关系的是 ()A.正方形的面积S与边长a的关系B.正方形的周长L与边长a的关系C.长方形的长为a,宽为20,其面积S与a的关系D.长方形的面积为40,长为a,宽为b,a与b的关系2.下列函数中,不是反比例函数的是 ()A.y=-B.y=C.y=D.3xy=23.下列反比例函数中,当x=2时,y的值为-3的是()A.y=B.y=-C.y=-D.y=-4.若y=(a+1)是反比例函数,则a的值为()A.1B.-1C.±1D.任意实数5.已知y是x的反比例函数,并且当x=-3时,y=-2,则y与x的函数关系式为.6.已知反比例函数y=中,k=-12,则当x=2时,y=;当y=-4时,x=.7.若梯形的下底长为x,上底长为下底长的,高为y,面积为60,则y与x的函数表达式是.(不考虑x的取值范围)8.已知y与x的函数解析式为y=.(1)请完成下表:x-3 -1 1 3y(2)求当x=-10时函数y的值;(3)求当y=6时自变量x的值.【能力提升】9.将x=代入反比例函数y=-中,所得函数值记为y1,又将x=y1+1代入原反比例函数中,所得函数值记为y2,再将x=y2+1代入原反比例函数中,所得函数值记为y3,…,如此继续下去,则y2014=.10.已知一个长方体的体积是100 cm3,它的长是y cm,宽是5 cm,高是x cm.(1)写出用高表示长的解析式;(2)当x=3时,求y的值.【拓展探究】11.已知y=y1+y2,y1与x成正比例,y2与x成反比例,且当x=1时,y=4;当x=2时,y=5.(1)求y与x之间的函数关系式;(2)当x=4时,求y的值.【答案与解析】1.D(解析:正方形的面积S与边长a的关系为S=a2,不是反比例函数关系;正方形的周长L与边长a的关系为L=4a,不是反比例函数关系;长方形的长为a,宽为20,其面积S与a的关系为S=20a,不是反比例函数关系;长方形的面积为40,长为a,宽为b,a与b的关系为a=,是反比例函数关系.故选D.)2.C(解析:A,B,D符合反比例函数的定义,C函数中的分母不是单项式,所以不是反比例函数.故选C.)3.B(解析:把x=2分别代入各选项求出y的值,只有B中y的值为-3.故选B.)4.A(解析:根据反比例函数的定义,得a2-2=-1,且a+1≠0,解得a=1.故选A.)5.y=(解析:设y与x之间的关系式为y=,把x=-3,y=-2代入,得k=6,所以y与x之间的关系式为y=.故填y=.)6.-63(解析:把x=2代入y=-,得y=-6;把y=-4代入y=-,得-4=-,解得x=3.)7.y=(解析:根据梯形的面积公式可得,y=60,化简得y=.故填y=.)8.解:(1)-1-331(2)当x=-10时,y=-. (3)当y=6时,6=,解得x=.9.-(解析:把x=代入,得y1=-,则x2=-+1=-,所以y2=2,则x3=2+1=3,所以y3=-,则x4=-+1=,所以y4=-,…,观察y1=y4,所以三组循环出现,2014除以3余数为1,所以y2014=y1=-.)10.解:(1)y=. (2)当x=3时,y=.11.解:(1)设y1=k1x,y2=,则y=y1+y2=k1x+.把x=1,y=4;x=2,y=5代入,得解得所以y=2x+. (2)当x=4时,y=2×4+.本节课精心设计教学导入环节,通过跨学科实际问题和生活实际问题导入新课,激发学生学习本节课的兴趣,通过回顾由成正比例的量抽象出正比例函数的过程,自然引出由一对反比例的量抽象出什么样的函数,把学生带入课时学习的情境之中,为学好本课时的内容做了很好的铺垫.在教学设计思路上,不是把概念直接交给学生,而是让学生通过比较反比例函数与其他函数区别的基础上得出结论,这样既巩固了先前的知识,又很好地做到了知识的迁移和延伸,让学生亲身经历知识的形成过程,做到真正理解和掌握反比例函数的概念.教学中依据教材的情境,设计了对学生具有启发性和引导性的问题,精心设置了教材例题之外的例题,更好地为实现本节课的教学目标服务.在复习一次函数知识的时候,给学生的时间较少,部分同学还没有很好地回忆和总结先前的知识,这在一定程度上造成了学生理解知识存在衔接的困难.在形成概念的过程中,教师设计了一些引导学生思考的小问题,在小组合作交流的过程中,给学生思考时间较少,学生自我学习和交流不够深入,老师过早地把问题结论提示给学生,对学生的思维活动没有做到很好地引导.本节课的学习内容是经历问题情境建立反比例函数模型的过程,需要联系以往的函数知识,所以教师在课前给学生足够的时间回顾一次函数的概念及学习思路,为本节课的学习打下基础,在生活实际问题中建立函数关系式,观察函数关系式的特点,学生通过独立思考、小组合作交流,共同归纳反比例函数的概念,经历知识的形成过程,提高归纳总结能力.补充例题巩固反比例函数的概念,把重点放在巩固基础上,而不是强调对知识的综合练习.练习(教材第129页)。

课题反比例函数的图像和性质2019-2020学年九年级数学上册 27.2 反比例函数的图像和性质导学案（新版）冀教版使用班级课型预习展示上课时间备课时间环节解读 3min 读学12min 研学15min 展学 15 min 巩固10min 检测 5min 环节具体内容学法指导学习目标1.能用描点法画出反比例函数的图象；2、探索并掌握反比例函数的图象的性质；（3分钟）读学积累一、旧知回顾：1、一次函数y＝kx＋b（k、b是常数，k≠0）的图象是。

2、回忆正比例函数y＝kx（k≠0）及一次函数y＝kx＋b（k、b是常数，k≠0）的图像和性质。

3、画函数图象的方法与步骤：1、列表2、描点3、连线二、预习导学：目标一：1、建立平面直角坐标系，画出下列函数的图象（1）xy6=（2）xy6-=画图：（12分钟）读学要求：1、在白板桌上总结一次函数性质；2、用铅笔按照画图像的步骤画函数图像；学法指导：画反比例函数图像应多取一些点，描的点越多，图像越准确，连线时注意用平滑的曲线连接各点；研学探究目标二：三、探究、合作、交流，生成总结探讨1.观察上述所作图像思考下列问题：（1）反比例函数xky=（)0≠k的图象是由两条曲线组成的.（通常称为双曲线）（2）性质：反比例函数xky=)0(≠kK的符号0>k0<k图像性质图像在、象限，在每一个象限，在各自象限内y随x的增大而，曲线从左到右图像在、象限，在每一个象限，在各自象限内y随x的增大而，曲线从左到右探究2：反比例函数与正比例函数的区别与联系正比例函数反比例函数定义自变量的指数自变量的取值范围图像增减性（15分钟)学法指导：1、反比例函数图像不经过原点，双曲线是由两个分支组成的，且两个分支关于原点对称；2、随着x的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永远不与坐标轴有交点；联系1、两函数图像都关于原点对称；2、两函数图像都经过（1，k)；3、K>0, 两函数图像经过一、三象限k<0，两函数图像都经过二、四象限4、两个函数中只有一个待定系数，确定解析式时，都只需要一个独立的条件；基础巩固四、当堂训练1．函数y＝－ax＋a与xay-=（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）2.若函数xmy)12(-=与xmy-=3的图象交于第一、三象限，则m的取值范围是3．在平面直角坐标系内，过反比例函数xky=（k＞0）的图象上的一点分别作x轴、y轴的垂线段，与x轴、y轴所围成的矩形面积是6，则反比例函数解析式为4.过反比例函数xy1=（x＞0）的图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，设△AOC和△BOD的面积分别是S1、S2，比较它们的大小，可得（）（A）S1＞S2（B）S1＝S2（C）S1＜S2（D）大小关系不能确定（10分钟）当堂检测：当堂检测：1．反比例函数y=1mx-的图象在第二、四象限，则m的取值范围是________．2．已知反比例函数y=5mx-的图象在每一个象限内，y随x增大而增大，则m________．3．如果点(1，－2)在双曲线xky =上，那么该双曲线在第______象限． 4．在反比例函数1ky x-=的图象的每一条曲线上，y x 都随的增大而增大，则k 的值可以是（ ） A ．-1 B ．0 C ．1D ．25．若点（m ，-2m ）在反比例函数ky x=的图像上，那么这个反比例函数的图像在（ ） A ．第一、二象限 B 第三、四象限 C 第一、三象限D 第二、四象限。