导数的应用练习课

第一章导数及其应用1．1变化率与导数1．1.1变化率问题1．1.2导数的概念1．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则ΔyΔx等于()．A．4 B．4x C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)22．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度是()．A．4 B．4.1 C．0.41 D．33．如果某物体的运动方程为s＝2(1－t2)(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2 s末的瞬时速度为()．A．－4.8 m/s B．－0.88 m/s C．0.88 m/s D．4.8 m/s4．已知函数y＝2＋1x，当x由1变到2时，函数的增量Δy＝________.5．已知函数y＝2x，当x由2变到1.5时，函数的增量Δy＝________.6．利用导数的定义，求函数y＝1x2＋2在点x＝1处的导数．7．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为()．A．0.40 B．0.41 C．0.43 D．0.448．设函数f(x)可导，则limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)3Δx等于()．A．f′(1) B．3f′(1) C.13f′(1) D．f′(3)9．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是________．10．某物体作匀速运动，其运动方程是s＝v t，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是________．11．子弹在枪筒中的运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是a＝5×105 m/s2，子弹从枪口射出时所用的时间为t0＝1.6×10－3s，求子弹射出枪口时的瞬时速度．12．(创新拓展)已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求满足f′(x)＋2＝g′(x)的x的值．导数练习题 2015年春第 3 页 共 16 页1.1.3 导数的几何意义1．已知曲线y ＝12x 2－2上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，则过点P 的切线的倾斜角为( )．A ．30°B ．45°C ．135°D ．165°2．已知曲线y ＝2x 3上一点A (1,2)，则A 处的切线斜率等于( )． A ．2 B ．4 C ．6＋6Δx ＋2(Δx )2 D ．63．设y ＝f (x )存在导函数，且满足lim Δx →0f (1)－f (1－2Δx )2Δx＝－1，则曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )． A ．2 B ．－1 C ．1 D ．－24．曲线y ＝2x －x 3在点(1,1)处的切线方程为________． 5．设y ＝f (x )为可导函数，且满足条件 lim x →0f (1)－f (1－x )2x＝－2，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率是________．6．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线．7．设函数f (x )在x ＝x 0处的导数不存在，则曲线y ＝f (x )( )．A ．在点(x 0，f (x 0))处的切线不存在B ．在点(x 0，f (x 0))处的切线可能存在C ．在点x 0处不连续D ．在x ＝x 0处极限不存在 8．函数y ＝－1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2处的切线方程是( )．A ．y ＝4xB ．y ＝4x －4C ．y ＝4x ＋4D ．y ＝2x －49．若曲线y＝2x2－4x＋p与直线y＝1相切，则p的值为________．10．已知曲线y＝1x－1上两点A⎝⎛⎭⎪⎫2，－12、B（2＋Δx，－12＋Δy），当Δx＝1时割线AB的斜率为________．11．曲线y＝x2－3x上的点P处的切线平行于x轴，求点P的坐标．12．(创新拓展)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点P(1,1)，Q(2，－1)，且在点Q 处与直线y＝x－3相切，求实数a、b、c的值．导数练习题2015年春1．2导数的计算1．2.1几个常用函数的导数1．2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则第1课时基本初等函数的导数公式1．已知f(x)＝x2，则f′(3)()．A．0 B．2x C．6 D．92．f(x)＝0的导数为()．A．0 B．1 C．不存在D．不确定3．曲线y＝x n在x＝2处的导数为12，则n等于()．A．1 B．2 C．3 D．44．设函数y＝f(x)是一次函数，已知f(0)＝1，f(1)＝－3，则f′(x)＝________. 5．函数f(x)＝x x x的导数是________．6．在曲线y＝x3＋x－1上求一点P，使过P点的切线与直线y＝4x－7平行．7．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，f n＋1(x)＝f n′(x)，n∈N，则f2010(x)＝()．A．sin x B．－sin x C．cos x D．－cos x第 5 页共16 页8．下列结论①(sin x )′＝－cos x ；②⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1x 2；③(log 3x )′＝13ln x ；④(ln x )′＝1x .其中正确的有( )．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 9．曲线y ＝4x 3在点Q (16,8)处的切线的斜率是________． 10．曲线y ＝9x 在点M (3,3)处的切线方程是________．11．已知f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，求适合f ′(x )＋g ′(x )≤0的x 的值．12．(创新拓展)求下列函数的导数：(1)y ＝log 4x 3－log 4x 2；(2)y ＝2x 2＋1x －2x ；(3)y ＝－2sin x 2(2sin 2x4－1)．导数练习题 2015年春第 7 页 共 16 页第2课时 导数的运算法则及复合函数的导数1．函数y ＝cos x1－x的导数是( )． A.－sin x ＋x sin x (1－x )2B.x sin x －sin x －cos x (1－x )2C.cos x －sin x ＋x sin x (1－x )2D.cos x －sin x ＋x sin x 1－x2．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值为( )． A.193 B.103 C.133 D.163 3．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1＋x ，则f ′(x )等于( )．A.11＋x B ．－11＋x C.1(1＋x )2 D ．－1(1＋x )24．若质点的运动方程是s ＝t sin t ，则质点在t ＝2时的瞬时速度为________． 5．若f (x )＝log 3(x －1)，则f ′(2)＝________.6．过原点作曲线y ＝e x 的切线，求切点的坐标及切线的斜率．7．函数y＝(x－a)(x－b)在x＝a处的导数为()．A．ab B．－a(a－b) C．0 D．a－b8．当函数y＝x2＋a2x(a>0)在x＝x0处的导数为0时，那么x0＝()．A．a B．±a C．－a D．a29．若f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________.10．函数f(x)＝x3＋4x＋5的图象在x＝1处的切线在x轴上的截距为________．11．曲线y＝e2x·cos 3x在(0,1)处的切线与直线L的距离为5，求直线L的方程．12．(创新拓展)求证：可导的奇函数的导函数是偶函数．导数练习题 2015年春第 9 页 共 16 页1.3 导数在研究函数中的应用1．3.1 函数的单调性与导数1．在下列结论中，正确的有( )． (1)单调增函数的导数也是单调增函数； (2)单调减函数的导数也是单调减函数； (3)单调函数的导数也是单调函数；(4)导函数是单调的，则原函数也是单调的． A ．0个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．函数y ＝12x 2－ln x 的单调减区间是( )．A ．(0,1)B ．(0,1)∪(－∞，－1)C ．(－∞，1)D ．(－∞，＋∞)3．若函数f (x )＝x 3－ax 2－x ＋6在(0,1)内单调递减，则实数a 的取值范围是( )． A ．a ≥1 B ．a ＝1 C ．a ≤1 D ．0<a <1 4．函数y ＝ln(x 2－x －2)的递减区间为________．5．若三次函数f (x )＝ax 3＋x 在区间(－∞，＋∞)内是增函数，则a 的取值范围是________．6．已知x >1，证明：x >ln(1＋x )．7．当x >0时，f (x )＝x ＋2x 的单调递减区间是( )．A ．(2，＋∞)B ．(0,2)C ．(2，＋∞)D ．(0，2) 8．已知函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象可能是( )．9．使y ＝sin x ＋ax 为R 上的增函数的a 的范围是________． 10．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________.11．已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋8的单调递减区间为(－5,5)，求函数y ＝f (x )的递增区间．12．(创新拓展)求下列函数的单调区间，并画出大致图象： (1)y ＝x ＋9x ； (2)y ＝ln(2x ＋3)＋x 2.导数练习题 2015年春第 11 页 共 16 页1.3.2 函数的极值与导数1．下列函数存在极值的是( )．A ．y ＝1xB ．y ＝x －e xC ．y ＝x 3＋x 2＋2x －3D ．y ＝x 32．函数y ＝1＋3x －x 3有( )．A ．极小值－1，极大值1B ．极小值－2，极大值3C ．极小值－2，极大值2D ．极小值－1，极大值33．函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )( )．A ．无极大值点，有四个极小值点B ．有三个极大值点，两个极小值点C ．有两个极大值点，两个极小值点D ．有四个极大值点，无极小值点4．设方程x 3－3x ＝k 有3个不等的实根，则常数k 的取值范围是________．5．已知函数y ＝x 2x －1，当x ＝________时取得极大值________；当x ＝________时取得极小值________．6．求函数f (x )＝x 2e －x 的极值．7．函数f (x )＝2x 3－6x 2－18x ＋7( )．A ．在x ＝－1处取得极大值17，在x ＝3处取得极小值－47B ．在x ＝－1处取得极小值17，在x ＝3处取得极大值－47C．在x＝－1处取得极小值－17，在x＝3处取得极大值47D．以上都不对8．三次函数当x＝1时有极大值4，当x＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是()．A．y＝x3＋6x2＋9x B．y＝x3－6x2＋9xC．y＝x3－6x2－9x D．y＝x3＋6x2－9x9．函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋3既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．10．函数y＝x3－6x＋a的极大值为________，极小值为________．11．已知函数y＝ax3＋bx2，当x＝1时函数有极大值3，(1)求a，b的值；(2)求函数y的极小值．12．(创新拓展)设函数f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d(a>0)，且方程f′(x)－9x＝0的两个根分别为1,4.(1)当a＝3且曲线y＝f(x)过原点时，求f(x)的解析式；(2)若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围．导数练习题 2015年春第 13 页 共 16 页1．3.3 函数的最大(小)值与导数1．函数y ＝x e －x ，x ∈[0,4]的最大值是( )．A ．0 B.1e C.4e 4 D.2e 22．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为( )．A ．0≤a <1B ．0<a <1C ．－1<a <1D ．0<a <123．设f (x )＝x (ax 2＋bx ＋c )(a ≠0)在x ＝1和x ＝－1处均有极值，则下列点中一定在x 轴上的是( )．A ．(a ，b )B ．(a ，c )C ．(b ，c )D ．(a ＋b ，c )4．函数y ＝x ＋2cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是________． 5．函数f (x )＝sin x ＋cos x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2的最大、最小值分别是________． 6．求函数f (x )＝x 5＋5x 4＋5x 3＋1在区间[－1,4]上的最大值与最小值．7．函数y ＝x 33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是( )．A ．－173B ．－103C ．－4D ．－6438．已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为()．A．－37 B．－29 C．－5 D．－119．函数f(x)＝4xx2＋1，x∈[－2,2]的最大值是________，最小值是________．10．如果函数f(x)＝x3－32x2＋a在[－1,1]上的最大值是2，那么f(x)在[－1,1]上的最小值是________．11．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．12．(创新拓展)已知函数f(x)＝x2e－ax(a>0)，求函数在[1,2]上的最大值．导数练习题 2015年春第 15 页 共 16 页1.4 生活中的优化问题举例1．如果圆柱截面的周长l 为定值，则体积的最大值为( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫l 63πB.⎝ ⎛⎭⎪⎫l 33πC.⎝ ⎛⎭⎪⎫l 43πD.14⎝ ⎛⎭⎪⎫l 43π 2．若一球的半径为r ，作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为( )．A ．2πr 2B ．πr 2C ．4πr D.12πr 2 3．某公司生产一种产品， 固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 3900＋400x ，0≤x ≤390，90 090，x >390，则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是( )． A ．150 B ．200 C ．250 D ．3004．有矩形铁板，其长为6，宽为4，现从四个角上剪掉边长为x 的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子，要使容积最大，则x ＝________.5．如图所示，某厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为________．6．如图所示，已知矩形的两个顶点位于x 轴上，另两个顶点位于抛物线y ＝4－x 2在x 轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的边长．7．设底为正三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为()．A.3V B.32V C.34V D．23V8．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自摆成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是()．A.32 3 cm2B．4 cm2 C．3 2 cm2D．2 3 cm29．在半径为r的圆内，作内接等腰三角形，当底边上的高为________时它的面积最大．10．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．11．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？12．(创新拓展)如图所示，在边长为60 cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它沿虚线折起，做成一个无盖的长方体箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？。

习题课——导数运算及几何意义的综合问题课后篇巩固提升基础巩固1.若f (x )=x 2-2x-4ln x ,则f'(x )>0的解集为( )A.(0,+∞)B.(-1,0)∪(2,+∞)C.(2,+∞)D.(-1,0),f (x )的定义域为(0,+∞),f'(x )=2x-2-4x ,令2x-2-4x >0,整理得x 2-x-2>0,解得x>2或x<-1.结合函数的定义域知,f'(x )>0的解集为(2,+∞).故选C .2.若曲线f (x )=13x 3+x 2+mx 的切线中,只有一条与直线x+y-3=0垂直,则实数m 的值等于( )A.2B.0C.0或2D.3,只有一条切线的斜率等于1,又f'(x )=x 2+2x+m ,所以方程x 2+2x+m=1只有一个实数根,于是Δ=4-4(m-1)=0,解得m=2.3.已知f (x )=f '(1)x+4x ,则f'(1)=( )A.1B.4C.2D.-1f (x )=f '(1)x +4x ,所以f'(x )=-f '(1)x 2+4. 因此f'(1)=-f '(1)12+4,解得f'(1)=2.4.经过点(3,0)的直线l 与抛物线y=x 22的两个交点处的切线相互垂直,则直线l 的斜率k 等于( )A.-1B.-13C.12D.-12l 的斜率为k ,则其方程为y=k (x-3),设直线l 与抛物线的两个交点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由{y =x 22,y =k (x -3),得x 2-2kx+6k=0,所以x 1x 2=6k.又对y=x 22求导有y'=x ,所以抛物线在A ,B 两点处的切线的斜率分别为x 1,x 2,于是有x 1x 2=6k=-1,所以k=-16.5.下列说法正确的是( )A.曲线的切线和曲线有且只有一个交点B.曲线的切线和曲线可能有无数个交点C.已知y=ln 2,则y'=12D.函数f (x )=x 3在原点处的切线为y 轴A,例如y=cos x 在(0,1)处的切线和y=cos x 有无数个交点,故A 错误,从而可知B 正确;对于C,y=ln2,y'=0,故C 错误;对于D,由f (x )=x 3,得f'(x )=3x 2,所以f'(0)=0,所以函数f (x )=x 3在原点处的切线方程是y=0,即为x 轴,故D 错误.故选B .6.给出定义:若函数f (x )在D 上可导,即f'(x )存在,且导函数f'(x )在D 上也可导,则称f (x )在D 上存在二阶导函数,记f ″(x )=(f'(x ))',若f ″(x )<0在D 上恒成立,则称f (x )在D 上为凸函数,以下四个函数在(0,π2)上不是凸函数的是( ) A.f (x )=sin x+cos x B.f (x )=ln x-2x C.f (x )=-x 3+2x-1D.f (x )=-x e -xf (x )=sin x+cos x ,则f ″(x )=-sin x-cos x ,在(0,π2)上,恒有f ″(x )<0;若f (x )=ln x-2x ,则f ″(x )=-1x 2,在(0,π2)上,恒有f ″(x )<0;若f (x )=-x 3+2x-1,则f ″(x )=-6x ,在(0,π2)上,恒有f ″(x )<0;若f (x )=-x e -x =-xe x ,则f'(x )=x -1e x ,f ″(x )=2-x e x,在(0,π2)上,恒有f ″(x )>0,故选D .7.已知函数f (x )的图象在x=2处的切线方程为2x+y-3=0,则f (2)+f'(2)= .2x+y-3=0的斜率为-2,所以f'(2)=-2.又切点在切线上,所以2×2+y-3=0. 因此y=f (2)=-1, 故f (2)+f'(2)=-1+(-2)=-3.3 8.已知a=limΔx →0f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx,b=limΔx →0f (x 0-Δx )-f (x 0)Δx,c=limΔx →0f (x 0+2Δx )-f (x 0)Δx,d=limΔx →0f (x 0+Δx )-f (x 0-Δx )Δx,e=limx →x 0f (x )-f (x 0)x -x 0,则a ,b ,c ,d ,e 中有相等关系的是 .c=d,又在e=limx→x0f(x)-f(x0)x-x0中,若令x-x0=Δx,则该式可化为e=limx→x0f(x)-f(x0)x-x0=lim Δx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx,所以a=e,因此具有相等关系的是c=d,a=e.,a=e9.曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为.y'=3(2x+1)e x+3(x2+x)e x=3(x2+3x+1)e x,∴k=y'|x=0=3.∴曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为y=3x.3x10.已知曲线y=x2+1,问是否存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线?若存在,求出a 的取值范围;若不存在,说明理由..因为y=x2+1,所以y'=2x.设切点为(t,t2+1),所以切线斜率为y'|x=t=2t,于是切线方程为y-(t2+1)=2t(x-t),将(1,a)代入,得a-(t2+1)=2t(1-t),即t2-2t+(a-1)=0.因为切线有两条,所以Δ=(-2)2-4(a-1)>0,解得a<2.故存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线,且a的取值范围是(-∞,2).能力提升1.曲线y=2x ln x在x=e处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()A.e24B.e22C.e2D.2e2y'=2ln x+2,所以y'|x=e=2+2=4,且y(e)=2e,所以切线方程为y-2e=4(x-e),即y=4x-2e,所以直线与x轴、y轴交点坐标分别为(e2,0),(0,-2e),所以切线与坐标轴围成的三角形面积是S=12×e2×2e=e22,故选B.2.设f'(x)是函数f(x)(x>0)的导函数,且满足xf'(x)+2f(x)=1x2,f(1)=1,则f(x)的解析式为()A.f(x)=lnx+1x2(x>0) B.f(x)=ln x+1(x>0)C.f(x)=lnxx2+1(x>0) D.f(x)=lnxx+1(x>0)xf'(x)+2f(x)=1x2,∴x 2f'(x )+2xf (x )=1x . ∵[x 2f (x )]'=x 2f'(x )+2xf (x ), ∴可设[x 2f (x )]'=(ln x+c )',即f (x )=lnx+c x 2.又f (1)=1,∴c=1.∴f (x )=lnx+1x 2(x>0).3.若f (x )=x 3-f'(1)x 2+x+4,则f'(1)= .f (x )=x 3-f'(1)x 2+x+4,所以f'(x )=3x 2-2f'(1)x+1,所以f'(1)=3-2f'(1)+1,解得f'(1)=43.4.设曲线y=x n+1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ,令a n =lg x n ,则a 1+a 2+…+a 99的值为 .y'|x=1=n+1(n ∈N *),∴曲线在点(1,1)处的切线为y-1=(n+1)(x-1)(n ∈N *),令y=0,得x=x n =n n+1(n ∈N *),∴a n =lgn n+1(n ∈N *),∴a 1+a 2+…+a 99=lg 12+lg 23+…+lg 99100=lg (12×23×…×99100)=lg 1100=-2.25.已知f (x )=(x-a )(x-b )(x-c )(a>b>c ),试证明方程f'(x )=0必有两个实数根.:因为f (x )=(x-a )(x-b )(x-c )=(x-a )[(x-b )(x-c )],所以f'(x )=(x-b )(x-c )+(x-a )[(x-b )(x-c )]' =(x-b )(x-c )+(x-a )(x-c )+(x-a )(x-b ). 令g (x )=(x-a )(x-b )+(x-b )(x-c )+(x-a )·(x-c ), 因为a>b>c ,所以有g (a )=(a-b )(a-c )>0, g (b )=(b-a )(b-c )<0,g (c )=(c-a )(c-b )>0,根据函数零点的性质知,函数g (x )在区间(b ,a )和(c ,b )内各有一个零点, 故f'(x )=0有两个实根,且一个大于b ,另一个小于b. 法二:∵f (x )=(x-a )(x-b )(x-c ) =x 3-(a+b+c )x 2+(ab+bc+ac )x-abc ,∴f'(x )=3x 2-2(a+b+c )x+(ab+bc+ac ).Δ=[-2(a+b+c )]2-4×3×(ab+bc+ac ) =4[(a+b+c )2-3(ab+bc+ac )] =4(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac )=2[(a 2+b 2-2ab )+(b 2+c 2-2bc )+(c 2+a 2-2ac )] =2[(a-b )2+(b-c )2+(a-c )2],∵a>b>c ,∴Δ>0恒成立.∴方程f'(x )=0必有两个实数根.6.设函数f (x )=ax-bx ,曲线f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为7x-4y-12=0.(1)求f (x )的解析式;(2)证明:曲线y=f (x )在任一点处的切线与直线x=0和直线y=x 所围成的三角形面积为定值,并求此定值.7x-4y-12=0可化为y=74x-3.当x=2时,y=12.又f'(x )=a+b x2,于是{2a -b 2=12,a +b 4=74,解得{a =1,b =3,故f (x )=x-3x .P (x 0,y 0)为曲线上任一点,由y'=1+3x 2,知曲线在点P (x 0,y 0)处的切线方程为y-y 0=(1+3x 02)(x-x 0),即y-(x 0-3x 0)=(1+3x2)(x-x 0).令x=0,得y=-6x 0,从而得切线与直线x=0的交点坐标为(0,-6x 0).令y=x ,得y=x=2x 0,从而得切线与直线y=x 的交点坐标为(2x 0,2x 0).所以曲线在点P (x 0,y 0)处的切线与直线x=0,y=x 所围成的三角形面积为12·|6x 0|·|2x 0|=6.故曲线y=f (x )在任一点处的切线与直线x=0和直线y=x 所围成的三角形面积为定值,此定值为6.。

第01讲导数的概念及运算 (精讲+精练）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：导数的概念高频考点二：导数的运算高频考点三：导数的几何意义①求切线方程（在型）②求切线方程（过型）③已知切线方程（或斜率）求参数④导数与函数图象⑤共切点的公切线问题⑥不同切点的公切线问题⑦与切线有关的转化问题第四部分：高考真题感悟第五部分：第01讲导数的概念及运算（精练）1、平均变化率（1）变化率事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。

如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值. （2）平均变化率一般地，函数()f x 在区间[]21,x x 上的平均变化率为：2121()()f x f x x x --.（3）如何求函数的平均变化率求函数的平均变化率通常用“两步”法：①作差：求出21()()y f x f x ∆=-和21x x x ∆=-②作商：对所求得的差作商，即2121()()f x f x y x x x -∆=∆-. 2、导数的概念（1）定义：函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是()()xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆0000limlim，我们称它为函数()x f y =在0x x =处的导数,记作()　或0x f '即　0x x y ='()()()xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆'→∆→∆00000limlim ＝. （2）定义法求导数步骤：① 求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-； ② 求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； ③ 求极限，得导数：00000()()'()limlim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆==∆∆.3、导数的几何意义函数()y f x =在点0x x =处的导数的几何意义，就是曲线()y f x =在点00(,)P x y 处的切线的斜率k ，即0()k f x '=.4、基本初等函数的导数公式5若()f x '，()g x '存在，则有 （1）[()()]()()f x g x f x g x '''±=±（2）[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=⋅+⋅ （3）2()()()()()[]()()f x f xg x f x g x g x g x ''⋅-⋅'= 6、复合函数求导复合函数(())y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．7、曲线的切线问题（1）在型求切线方程已知：函数)(x f 的解析式.计算：函数)(x f 在0x x =或者))(,(00x f x 处的切线方程.步骤：第一步：计算切点的纵坐标)(0x f （方法：把0x x =代入原函数)(x f 中），切点))(,(00x f x . 第二步：计算切线斜率'()k f x =.第三步：计算切线方程.切线过切点))(,(00x f x ，切线斜率)('0x f k =。

导数的概念及其几何意义 课后练习主讲教师：黄颖 北京八中数学高级教师题一：已知函数f (x )在区间]3,0[上图象如图所示，记)1(1f k '=，)2(2f k '=，)3(3f k '=，则321,,k k k 之间的大小关系为________．(请用“>”连接)题二：已知)1(log )(>=a x x f a 的导函数是)(x f '，记)(a f A '=，)()1(a f a f B -+=，)1(+'=a f C ，则( )．A ．A >B >C B ．A >C >B C ．B >A >CD ．C >B >A题三：若函数()y f x =的导函数．．．在区间[,]a b 上是减函数，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是( )A B C D题四：若函数()y f x =的导函数．．．在区间[,]a b 上先递增再递减，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是 ( )A B C D题五：已知函数()y f x =的图象在点))1(,1(f M 处的切线方程是152y x =+，则='+)1()1(f f ________.题六：如图是函数)(x f 及)(x f 在点P 处切线的图象，则='+)2()2(f f ________.题七：设函数(),y f x x =∈R 可导，满足)()(x f x f =-，)()4(x f x f =+，则曲线()y f x =在4=x 处的切线的斜率为( )A ．41-B ．0 C. 41D ．4 题八：函数)2sin(2)(φ+=x x f ，若2)(=m f ，则曲线()y f x =在πx m =+处的切线的斜率为_______________.题九：求过点)8,3(A 且与曲线2x y =相切的直线方程。

§3.6 利用导数证明不等式题型一 将不等式转化为函数的最值问题例1 已知函数g (x )＝x 3＋ax 2.(1)若函数g (x )在[1,3]上为单调函数，求a 的取值范围；(2)已知a >－1，x >0，求证：g (x )>x 2ln x .(1)解 由题意知，函数g (x )＝x 3＋ax 2，则g ′(x )＝3x 2＋2ax ，若g (x )在[1,3]上单调递增，则g ′(x )＝3x 2＋2ax ≥0在[1,3]上恒成立，则a ≥－32； 若g (x )在[1,3]上单调递减，则g ′(x )＝3x 2＋2ax ≤0在[1,3]上恒成立，则a ≤－92.所以a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－92∪⎣⎡⎭⎫－32，＋∞. (2)证明 由题意得，要证g (x )>x 2ln x ，x >0，即证x 3＋ax 2>x 2ln x ，即证x ＋a >ln x ， 令u (x )＝x ＋a －ln x ，x >0，可得u ′(x )＝1－1x ＝x －1x，x >0， 当0<x <1时，u ′(x )<0，函数u (x )单调递减；当x >1时，u ′(x )>0，函数u (x )单调递增．所以u (x )≥u (1)＝1＋a ，因为a >－1，所以u (x )>0，故当a >－1时，对于任意x >0，g (x )>x 2ln x .教师备选已知函数f (x )＝1－ln x x ，g (x )＝a e e x ＋1x－bx ，若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )的一个公共点是A (1,1)，且在点A 处的切线互相垂直．(1)求a ，b 的值；(2)证明：当x ≥1时，f (x )＋g (x )≥2x. (1)解 因为f (x )＝1－ln x x，x >0，所以f ′(x )＝ln x －1x 2，f ′(1)＝－1. 因为g (x )＝a e e x ＋1x－bx ， 所以g ′(x )＝－a e e x －1x 2－b . 因为曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )的一个公共点是A (1,1)，且在点A 处的切线互相垂直， 所以g (1)＝1，且f ′(1)·g ′(1)＝－1，所以g (1)＝a ＋1－b ＝1，g ′(1)＝－a －1－b ＝1，解得a ＝－1，b ＝－1.(2)证明 由(1)知，g (x )＝－e e x ＋1x＋x ， 则f (x )＋g (x )≥2x ⇔1－ln x x －e e x －1x＋x ≥0. 令h (x )＝1－ln x x －e e x －1x＋x (x ≥1)， 则h (1)＝0，h ′(x )＝－1＋ln x x 2＋e e x ＋1x 2＋1＝ln x x 2＋e e x＋1. 因为x ≥1，所以h ′(x )＝ln x x 2＋e e x ＋1>0， 所以h (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以当x ≥1时，h (x )≥h (1)＝0，即1－ln x x －e e x －1x＋x ≥0， 所以当x ≥1时，f (x )＋g (x )≥2x. 思维升华 待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，有时对复杂的式子要进行变形，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造函数的单调性和最值即可得证．跟踪训练1 已知函数f (x )＝ln x ＋a x，a ∈R . (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)当a >0时，证明：f (x )≥2a －1a. (1)解 f ′(x )＝1x －a x 2＝x －a x 2(x >0)． 当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a >0时，若x >a ，则f ′(x )>0，函数f (x )在(a ，＋∞)上单调递增；若0<x <a ，则f ′(x )<0，函数f (x )在(0，a )上单调递减．(2)证明 由(1)知，当a >0时，f (x )min ＝f (a )＝ln a ＋1.要证f (x )≥2a －1a ，只需证ln a ＋1≥2a －1a， 即证ln a ＋1a－1≥0. 令函数g (a )＝ln a ＋1a－1， 则g ′(a )＝1a －1a 2＝a －1a 2(a >0)， 当0<a <1时，g ′(a )<0；当a >1时，g ′(a )>0，所以g (a )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以g (a )min ＝g (1)＝0.所以ln a ＋1a－1≥0恒成立， 所以f (x )≥2a －1a. 题型二 将不等式转化为两个函数的最值进行比较例2 (2022·武汉模拟)已知函数f (x )＝a ln x ＋x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＝1时，证明：xf (x )<e x .(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a x ＋1＝x ＋a x. 当a ≥0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a <0时，若x ∈(－a ，＋∞)，则f ′(x )>0；若x ∈(0，－a )，则f ′(x )<0.所以f (x )在(－a ，＋∞)上单调递增，在(0，－a )上单调递减．综上所述，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a <0时，f (x )在(－a ，＋∞)上单调递增，在(0，－a )上单调递减．(2)证明 当a ＝1时，要证xf (x )<e x ，即证x 2＋x ln x <e x ，即证1＋ln x x <e x x 2. 令函数g (x )＝1＋ln x x， 则g ′(x )＝1－ln x x 2. 令g ′(x )>0，得x ∈(0，e)；令g ′(x )<0，得x ∈(e ，＋∞)．所以g (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，所以g (x )max ＝g (e)＝1＋1e， 令函数h (x )＝e xx2， 则h ′(x )＝e x (x －2)x 3. 当x ∈(0,2)时，h ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，h ′(x )>0.所以h (x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以h (x )min ＝h (2)＝e 24. 因为e 24－⎝⎛⎭⎫1＋1e >0， 所以h (x )min >g (x )max ，即1＋ln x x <e xx2，从而xf (x )<e x 得证． 教师备选(2022·长沙模拟)已知函数f (x )＝e x 2－x ln x ．求证：当x >0时，f (x )<x e x ＋1e. 证明 要证f (x )<x e x ＋1e， 只需证e x －ln x <e x ＋1e x， 即e x －e x <ln x ＋1e x. 令h (x )＝ln x ＋1e x(x >0)， 则h ′(x )＝e x －1e x2， 易知h (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增， 则h (x )min ＝h ⎝⎛⎭⎫1e ＝0，所以ln x ＋1e x≥0. 再令φ(x )＝e x －e x ，则φ′(x )＝e －e x ，易知φ(x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则φ(x )max ＝φ(1)＝0，所以e x －e x ≤0.因为h (x )与φ(x )不同时为0，所以e x －e x <ln x ＋1e x，故原不等式成立． 思维升华 若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标．本例中同时含ln x 与e x ，不能直接构造函数，把指数与对数分离两边，分别计算它们的最值，借助最值进行证明．跟踪训练2 (2022·百校大联考)已知函数f (x )＝eln x －ax (a ∈R )．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)当a ＝e 时，证明：xf (x )－e x ＋2e x ≤0.(1)解 f ′(x )＝e x－a (x >0)， ①若a ≤0，则f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②若a >0，则当0<x <e a时，f ′(x )>0； 当x >e a时，f ′(x )<0. 故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，e a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫e a ，＋∞上单调递减． (2)证明 因为x >0，所以只需证f (x )≤e x x－2e ， 当a ＝e 时，由(1)知，f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．所以f (x )max ＝f (1)＝－e.设g (x )＝e x x －2e(x >0)，则g ′(x )＝(x －1)e x x 2， 所以当0<x <1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x >1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，所以g (x )min ＝g (1)＝－e.综上，当x >0时，f (x )≤g (x )，即f (x )≤e x x －2e. 故不等式xf (x )－e x ＋2e x ≤0得证．题型三 适当放缩证明不等式例3 已知函数f (x )＝e x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)当x >－2时，求证：f (x )>ln(x ＋2)．(1)解 由f (x )＝e x ，得f (0)＝1，f ′(x )＝e x ，则f ′(0)＝1，即曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y －1＝x －0，所以所求切线方程为x －y ＋1＝0.(2)证明 设g (x )＝f (x )－(x ＋1)＝e x －x －1(x >－2)，则g ′(x )＝e x －1，当－2<x <0时，g ′(x )<0；当x >0时，g ′(x )>0，即g (x )在(－2,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，于是当x ＝0时，g (x )min ＝g (0)＝0，因此f (x )≥x ＋1(当且仅当x ＝0时取等号)，令h (x )＝x ＋1－ln(x ＋2)(x >－2)，则h ′(x )＝1－1x ＋2＝x ＋1x ＋2， 则当－2<x <－1时，h ′(x )<0，当x >－1时，h ′(x )>0，即有h (x )在(－2，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，于是当x ＝－1时，h (x )min ＝h (－1)＝0，因此x ＋1≥ln(x ＋2)(当且仅当x ＝－1时取等号)，所以当x >－2时，f (x )>ln(x ＋2)． 教师备选已知函数f (x )＝x ln x x ＋m，g (x )＝x e x ，且曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为x －2y ＋n ＝0. (1)求m ，n 的值；(2)证明：f (x )>2g (x )－1.(1)解 由已知得，f (1)＝0，∴1－0＋n ＝0，解得n ＝－1.∵f ′(x )＝(ln x ＋1)(x ＋m )－x ln x (x ＋m )2，∴f ′(1)＝m ＋1(1＋m )2＝12， 解得m ＝1.(2)证明 设h (x )＝e x －x －1(x >0)，则h ′(x )＝e x －1>0，∴h (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴h (x )>h (0)＝0，即e x >x ＋1>1，∴1e x <1x ＋1. 要证f (x )>2g (x )－1，即证x ln x x ＋1>2x e x－1， 只需证x ln x x ＋1≥2x x ＋1－1， 即证x ln x ≥x －1，令m (x )＝x ln x －x ＋1，则m ′(x )＝ln x ，∴当x ∈(0,1)时，m ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，m ′(x )>0，∴m (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴m (x )min ＝m (1)＝0，即m (x )≥0，∴x ln x ≥x －1，则f (x )>2g (x )－1得证．思维升华 导数方法证明不等式中，最常见的是e x 和ln x 与其他代数式结合的问题，对于这类问题，可以考虑先对e x 和ln x 进行放缩，使问题简化，简化后再构建函数进行证明．常见的放缩公式如下：(1)e x ≥1＋x ，当且仅当x ＝0时取等号．(2)ln x ≤x －1，当且仅当x ＝1时取等号．跟踪训练3 已知函数f (x )＝a e x －1－ln x －1.(1)若a ＝1，求f (x )在(1，f (1))处的切线方程；(2)证明：当a ≥1时，f (x )≥0.(1)解 当a ＝1时，f (x )＝e x －1－ln x －1(x >0)，f ′(x )＝e x －1－1x， k ＝f ′(1)＝0，又f (1)＝0，∴切点为(1,0)．∴切线方程为y －0＝0(x －1)，即y ＝0.(2)证明 ∵a ≥1，∴a e x －1≥e x －1，∴f (x )≥e x －1－ln x －1.方法一 令φ(x )＝e x －1－ln x －1(x >0)，∴φ′(x )＝e x －1－1x， 令h (x )＝e x －1－1x， ∴h ′(x )＝e x －1＋1x 2>0， ∴φ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，又φ′(1)＝0，∴当x ∈(0,1)时，φ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )>0，∴φ(x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴φ(x )min ＝φ(1)＝0，∴φ(x )≥0，∴f (x )≥φ(x )≥0，即f (x )≥0.方法二 令g (x )＝e x －x －1，∴g ′(x )＝e x －1.当x ∈(－∞，0)时，g ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )>0，∴g (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴g (x )min ＝g (0)＝0，故e x ≥x ＋1，当且仅当x ＝0时取“＝”．同理可证ln x ≤x －1，当且仅当x ＝1时取“＝”．由e x ≥x ＋1⇒e x －1≥x (当且仅当x ＝1时取“＝”)，由x －1≥ln x ⇒x ≥ln x ＋1(当且仅当x ＝1时取“＝”)，∴e x －1≥x ≥ln x ＋1，即e x －1≥ln x ＋1，即e x －1－ln x －1≥0(当且仅当x ＝1时取“＝”)，即f (x )≥0.课时精练1．已知函数f (x )＝ln x x ＋a(a ∈R )，曲线y ＝f (x )在点(e ，f (e))处的切线方程为y ＝1e . (1)求实数a 的值，并求f (x )的单调区间；(2)求证：当x >0时，f (x )≤x －1.(1)解 ∵f (x )＝ln x x ＋a， ∴f ′(x )＝x ＋a x －ln x (x ＋a )2，∴f ′(e)＝a e (e ＋a )2， 又曲线y ＝f (x )在点(e ，f (e))处的切线方程为y ＝1e， 则f ′(e)＝0，即a ＝0，∴f ′(x )＝1－ln x x 2， 令f ′(x )>0，得1－ln x >0，即0<x <e ；令f ′(x )<0，得1－ln x <0，即x >e ，∴f (x )的单调递增区间是(0，e)，单调递减区间是(e ，＋∞)．(2)证明 当x >0时，要证f (x )≤x －1，即证ln x －x 2＋x ≤0，令g (x )＝ln x －x 2＋x (x >0)，则g ′(x )＝1x －2x ＋1＝1＋x －2x 2x＝－(x －1)(2x ＋1)x， 当0<x <1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x >1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，∴g (x )≤g (1)＝0，即当x >0时，f (x )≤x －1.2．已知f (x )＝x ln x .(1)求函数f (x )的极值；(2)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x >1e x －2e x成立． (1)解 由f (x )＝x ln x ，x >0，得f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )＝0，得x ＝1e.当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 所以当x ＝1e时，f (x )取得极小值， f (x )极小值＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e，无极大值． (2)证明 问题等价于证明x ln x >x e x －2e(x ∈(0，＋∞))． 由(1)可知f (x )＝x ln x (x ∈(0，＋∞))的最小值是－1e ，当且仅当x ＝1e时取到． 设m (x )＝x e x －2e(x ∈(0，＋∞))， 则m ′(x )＝1－x ex ，由m ′(x )<0，得x >1时，m (x )单调递减；由m ′(x )>0得0<x <1时，m (x )单调递增，易知m (x )max ＝m (1)＝－1e，当且仅当x ＝1时取到．从而对一切x ∈(0，＋∞)，x ln x ≥－1e ≥x e x －2e ，两个等号不同时取到，所以对一切x ∈(0，＋∞)都有ln x >1e x －2e x成立．3．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)讨论函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性；(2)证明：e x －e 2ln x >0恒成立．(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x， 当a ≤0时，f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝1a， ∴x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )>0； x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． (2)证明 要证e x －e 2ln x >0，即证e x －2>ln x ，令φ(x )＝e x －x －1，∴φ′(x )＝e x －1.令φ′(x)＝0，得x＝0，∴当x∈(－∞，0)时，φ′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，∴φ(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴φ(x)min＝φ(0)＝0，即e x－x－1≥0，即e x≥x＋1，当且仅当x＝0时取“＝”．同理可证ln x≤x－1，当且仅当x＝1时取“＝”．由e x≥x＋1(当且仅当x＝0时取“＝”)，可得e x－2≥x－1(当且仅当x＝2时取“＝”)，又x－1≥ln x，当且仅当x＝1时取“＝”，∴e x－2≥x－1≥ln x且两等号不能同时成立，故e x－2>ln x．即证原不等式成立．4．(2022·常德模拟)已知函数f(x)＝x e x－x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x>0时，f(x)－ln x≥1.(1)解由题意得f′(x)＝(x＋1)e x－1，设g(x)＝(x＋1)e x，则g′(x)＝(x＋2)e x，当x≤－1时，g(x)≤0，f′(x)<0，f(x)在(－∞，－1]上单调递减；当x>－1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，又因为g(0)＝1，所以当x<0时，g(x)<1，即f′(x)<0，当x>0时，g(x)>1，即f′(x)>0，综上可知，f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．(2)证明要证f(x)－ln x≥1，即证x e x－x－ln x≥1，即证e x＋ln x－(x＋ln x)≥1，令t＝x＋ln x，易知t∈R，待证不等式转化为e t－t≥1.设u(t)＝e t－t，则u′(t)＝e t－1，当t<0时，u′(t)<0，当t>0时，u′(t)>0，故u(t)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．所以u(t)≥u(0)＝1，原命题得证．。