有关多次相遇的行程问题解析

（一）由简单行程问题拓展出的多次相遇问题所有行程问题都是围绕“=⨯路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．（二）多次相遇与全程的关系1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；第2次相遇，共走3个全程；第3次相遇，共走5个全程；…………， ………………；第N 次相遇，共走2N-1个全程；注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。

即甲第1次如果走了N 米，以后每次都走2N 米。

2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程；第2次相遇，共走4个全程；第3次相遇，共走6个全程；…………， ………………；第N 次相遇，共走2N 个全程；3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键 几个全程多人相遇追及的解题关键 路程差 知识要点：第十四讲 行程问题——多次相遇问题（三）解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。

折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。

如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。

例题：【例 1】甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？【例 2】甲、乙两车同时从A地出发，不停的往返行驶于A，B两地之间。

已知甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C地。

问：甲车的速度是乙车的多少倍？【例 3】如图，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长．【例 4】甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇．求A、B两地间的距离是多少千米？【例 5】甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地3千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地2千米处第二次相遇，求第2000次相遇地点与第2001次相遇地点之间的距离.【例 6】A、B两地相距2400米，甲从A地、乙从B地同时出发，在A、B间往返长跑。

“多次相遇问题”剖析一、直线型直线型多次相遇问题宏观上分“两岸型”和“单岸型”两种。

“两岸型”是指甲、乙两人从路的两端同时出发相向而行；“单岸型”是指甲、乙两人从路的一端同时出发同向而行。

现在分开向大家一一介绍：(一)两岸型两岸型甲、乙两人相遇分两种情况，可以是迎面碰头相遇，也可以是背面追及相遇。

题干如果没有明确说明是哪种相遇，考生对两种情况均应做出思考。

1、迎面碰头相遇：如下图，甲、乙两人从A、B两地同时相向而行，第一次迎面相遇在a处，(为清楚表示两人走的路程，将两人的路线分开画出)则共走了1个全程，到达对岸b后两人转向第二次迎面相遇在c处，共走了3个全程，则从第一次相遇到第二次相遇走过的路程是第一次相遇的2倍。

之后的每次相遇都多走了2个全程。

所以第三次相遇共走了5个全程，依次类推得出：第n次相遇两人走的路程和为(2n-1)S，S为全程。

而第二次相遇多走的路程是第一次相遇的2倍，分开看每个人都是2倍关系，经常可以用这个2倍关系解题。

即对于甲和乙而言从a到c走过的路程是从起点到a的2倍。

相遇次数全程个数再走全程数1 1 12 3 23 5 24 7 2………n 2n-1 22、背面追及相遇与迎面相遇类似，背面相遇同样是甲、乙两人从A、B两地同时出发，如下图，此时可假设全程为4份，甲1分钟走1份，乙1分钟走5份。

则第一次背面追及相遇在a 处，再经过1分钟，两人在b处迎面相遇，到第3分钟，甲走3份，乙走15份，两人在c处相遇。

我们可以观察，第一次背面相遇时，两人的路程差是1个全程，第二次背面相遇时，两人的路程差为3个全程。

同样第二次相遇多走的路程是第一次相遇的2倍，单看每个人多走的路程也是第一次的2倍。

依次类推，得：第n次背面追及相遇两人的路程差为(2n-1)S。

(二)单岸型单岸型是两人同时从一端出发，与两岸型相似，单岸型也有迎面碰头相遇和背面追及相遇两种情况。

1、迎面碰头相遇：如下图，假设甲、乙两人同时从A端出发，假设全程为3份，甲每分钟走2份，乙每分钟走4份，则甲乙第一次迎面相遇在a处，此时甲走了2份，乙走了4份，再过1分钟，甲共走了4份，乙共走了8份，在b处迎面相遇，则第二次相遇多走的跟第一次相遇相同，依次类推，可得出：当第n次碰头相遇时，两人的路程和为2ns。

行测数量关系：多次相遇简单解决为大家提供行测数量关系：多次相遇简单解决，一起来看看吧！希望大家能顺利解决多次相遇的问题！行测数量关系：多次相遇简单解决相信大家在备考行测时经常会遇到行程问题，而行程问题往往思路不够清晰、对应情景比较复杂，如经常看到有多者相遇、追及的情景，甚至还会出现多次相遇。

今天，就带大家一起来看一下，多次相遇题型的奥秘，帮你迅速解决难题!一、什么叫多次相遇：所谓多次相遇，即在题干中出现两个主体，在运动中不断地相遇的题型。

我们都知道，如果在直线异地相遇的情景中，两者同时相对出发，会相遇一次，那如果想要出现多次相遇，则需要两者“到达对方出发点后立即返回，在两地间往返运动”，这就是直线异地多次相遇的题型特征。

二、解题思路想要分析直线异地多次相遇的解题思路，需要借助行程图，我们一起来看看每次相遇时的具体情况。

对于直线异地多次相遇，我们掌握了对应的路程、时间和速度的比例关系，就等于掌握了解题的核心思路，只要灵活套用这个比例，我们就一定能把多次相遇问题，变得相对简单!行测数量关系：行程问题之相遇型牛吃草牛吃草问题是行测当中经常会考到的题型，在2020省考中还出现了一道牛吃草问题的变形题，难倒了很多考生。

但是其实牛吃草问题已经是相对来说比较固定的模型了，解题方法和思路也是比较固定的，如果能将这些解题思路和公式熟练掌握，牛吃草问题也就迎刃而解了;反之，如果不能掌握相应的解题方法的话，这一个相对来说比较容易的知识点就会变成公考路上的拦路虎。

今天就带大家一起来探究下相遇型牛吃草问题的解题思路。

一、题型特征相遇型牛吃草问题的典型题型特征：1、题目呈排比句式2、原始量受两个因素影响，且相遇型牛吃草的两个因素对原始量都是消耗二、模型求解方法原始草量M=(牛吃草的速度﹢草生长的速度)×时间(其中：M为原始草量，N为牛的数量，x为草枯萎的速度，t 为时间)三、例题剖析例题1.由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定的速度在减少。

奥数行程多次相遇和追及问题The document was prepared on January 2, 2021一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题所有行程问题都是围绕“=⨯路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．二、多次相遇与全程的关系1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；第2次相遇，共走3个全程；第3次相遇，共走5个全程；…………， ………………；第N 次相遇，共走2N-1个全程；注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。

即甲第1次如果走了N 米，以后每次都走2N 米。

2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程；第2次相遇，共走4个全程；第3次相遇，共走6个全程；…………， ………………；第N 次相遇，共走2N 个全程；知识框架多次相遇与追及问题3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键几个全程多人相遇追及的解题关键路程差三、解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。

折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。

如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。

例题精讲【例 1】甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点【巩固】甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米．如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次【例 2】甲、乙两车同时从A地出发，不停的往返行驶于A，B两地之间。

已知甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C地。

行程问题：多次相遇、追及问题1、五年级行程问题：多次相遇、追及问题------难度：中难度甲、乙两车分别从A,B两地出发,并在A,B两地间不断往返行驶;已知甲车的速度是25千米/时,乙车的速度是15千米/时,甲、乙两车第三次相遇地点与第四次相遇地点相差100千米;求A,B两地的距离分析：多次相遇问题,最好把全程分成分数去考虑甲乙的速度比是25：15=5：3,第一次相遇两车共行了一个全程,其中乙行了;第三次两车共行了5个全程,乙行了5× = 个全程,第四次相遇两车共行了7个全程,乙行了7× = 个全程,两次路程差是个全程,所以AB两地相距200千米2、六年级行程问题：多次相遇、追及问题------难度：中难度甲、乙二人分别从A﹑B两地同时相向而行,乙的速度是甲的,二人相遇后继续行进,甲到B地,乙到A地后立即返回;已知二人第二次相遇到地点距第一次相遇的地点是20千米,那么,A﹑B两地相距多少千米分析：第一次相遇,甲乙的路程和是一个全程,甲行的路程是全程的,乙行了全程的,第二次相遇,甲乙的路程和是3个全程,此时甲行了×3= 个全程,两次相遇的距离是个全程,即20千米,所以AB的距离是20÷=50千米;3、五年级行程问题：多次相遇、追及问题------难度：高难度A、B两地间有条公路,甲从A地出发,步行到B地,乙骑摩托车从B地出发,不停地往返于A、B两地之间,他们同时出发,80分钟后两人第一次相遇,100分钟后乙第一次追上甲,问：当甲到达B地时,乙追上甲几次分析：在第一次相遇与第一次追上之间,乙在100-80=20分钟内所走的路程恰等于线段FA的长度再加上线段AE的长度,即等于甲在80+100分钟内所走的路程,因此,乙的速度是甲的9倍=180÷20,则BF的长为AF的9倍,所以,甲从A到B,共需走80×1+9=800分钟,乙第一次追上甲时,所用的时间为100分钟,且与甲的路程差为一个AB全程.从第一次追上甲时开始,乙每次追上甲的路程差就是两个AB全程,因此,追及时间也变为200分钟,所以,在甲从A到B的800分钟内,乙共有4次追上甲,即在第100分钟,300分钟,500分钟和700分钟.4、五年级行程问题：多次相遇、追及问题-----难度：高难度快车与慢车分别从甲、乙两地同时开出,相向而行,经过5小时相遇;已知慢车从乙地到甲地用12.5小时,慢车到甲地停留1小时后返回,快车到乙地停留2小时后返回,那么两车从第一次相遇到第二次相遇共需多长时间分析：慢车相遇后经过12.5-5=7.5小时到甲地,13.5小时后从甲地返回;所以甲乙的速度比是7.5：5=3：2;因为两车第一次相遇时共行甲、乙两地的一个单程,第二次相遇时共行三个单程,所以若两车都不停留,则第一次相遇到第二次相遇需10小时;现在慢车停留1时,快车停留2小时,所以第一次相遇后11小时两车间的距离还需快车再行1小时;这段距离两车需行3÷3+2=0.6小时;从第一次相遇到第二次相遇共需11.6小时;5、六年级行程问题：多次相遇、追及问题------难度：高难度A、B两地间的距离是950米.甲、乙两人同时由A地出发往返锻炼.甲步行每分走40米,乙跑步每分行150米,40分后停止运动.甲、乙二人第几次迎面相遇时距B地最近,距离是多少米分析：方法一：不用比例甲40分钟行了40×40=1600米,即甲还没有返回到A地,第一次相遇,甲乙行了两个全程,行了950×2÷150+40=10分,甲距离B地950-10×40=550米,第二次相遇,乙比甲多行了2个全程,距B地950-950×2÷150-40×40≈200米,第三次相遇,甲乙共行了4个全程,距B地950-950×4÷150+40×40=150米,第四次相遇,乙比甲多行了4个全程,甲行了950×4÷159-40×40=1.8米,距B地1.8-950=431.8米;所以第三次相遇近;方法二：用比例,把全程分成19份,那么每次相遇的点占全程的积分之几就一目了然了;略。

“多次相遇问题”解题技巧“多次相遇”问题有直线型和环型两种模型。

相对来讲，直线型更加复杂。

环型可是单纯的周期问题。

一、直线型直线型多次相遇问题宏观上分“两岸型”和“单岸型”两种。

“两岸型”是指甲、乙两人从路的两端同时出发相向而行；“单岸型”是指甲、乙两人从路的一端同时出发同向而行。

（一）两岸型两岸型甲、乙两人相遇分两种情况，能够是迎面碰头相遇，也能够是反面追及相遇。

题意若是没有明确说明是哪一种相遇，对两种情况均应做出思虑。

1、迎面碰头相遇：以以下图，甲、乙两人从 A、B 两地同时相向而行，第一次迎面相遇在 a 处，（为清楚表示两人走的行程，将两人的路线分开画出）则共走了 1 个全程，到达对岸 b 后两人转向第二次迎面相遇在 c 处，共走了 3 个全程，则从第一次相遇到第二次相遇走过的行程是第一次相遇的2 倍。

此后的每次相遇都多走了2 个全程。

所以第三次相遇共走了5 个全程，依次类推得出：第 n 次相遇两人走的行程和为（ 2n-1 ）S，S 为全程。

而第二次相遇多走的行程是第一次相遇的用这个 2 倍关系解题。

即对于甲和乙而言从2 倍，分开看每个人都是 2 倍关系，经常能够a 到 c 走过的行程是从起点到 a 的 2 倍。

相遇次数全程个数再走全程数111232352472⋯⋯⋯n2n-122、反面追及相遇与迎面相遇似，反面相遇同是甲、乙两人从A、 B 两地同出，以下，此可假全程 4 份，甲 1 分走 1 份，乙 1 分走 5 份。

第一次反面追及相遇在 a ，再1 分，两人在 b 迎面相遇，到第 3 分，甲走 3 份，乙走 15 份，两人在 c 相遇。

我能够察，第一次反面相遇，两人的行程差是 1 个全程，第二次反面相遇，两人的行程差 3 个全程。

同第二次相遇多走的行程是第一次相遇的 2 倍，看每个人多走的路程也是第一次的 2 倍。

依次推，得：第 n 次反面追及相遇两人的行程差（2n-1 ） S。

（二）岸型岸型是两人同从一端出，与两岸型相似，岸型也有迎面碰相遇和反面追及相遇两种情况。

解析行程问题—“多次相遇”行程问题是行测数学运算中必考题型。

同时也是相对较难解决的一种题型。

而路程=速度×时间是行程问题中最基本公式。

这个基本公式中暗含着的正反比关系也是考生在复习过程中需要重点注意的地方。

正因如此，比例思想是我们解决行程问题的常用方法。

其次，数形结合也是不可或缺的工具。

即对于行程问题，最主要的是根据题干信息画出行程图，理清路程、速度、时间三者之间的关系，进而解题。

行程问题实际上还包含很多小的模块，比如：简单的相遇和追及、多次相遇问题、流水行船、时钟问题、牛吃草问题等等。

在此，中公教育专家宋丽娜将对于比较难以掌握的多次相遇问题详细的阐述下其中蕴含的原理、公式及考题。

(1)最基本的多次相遇问题是指两人同时从不同的地点同时相向而行，在第一次相遇后没停，继续向前走到打对方终点后返回再次相遇，如此循环往返的过程是多次相遇问题。

基本模型如下：从出发开始到等等依次类推到第n次相遇。

在此运动过程中，基本规律如下：(1)从出发开始，到第n次相遇：每一次相遇会比前一次夺走2个全程;即：路程和具有的特点是1：2：2：2：……，含义是第一次走1个全程，第二次开始都增加2个全程;(2)由于二者在运动过程中，速度和是不变的，故每次相遇所用时间和路程和成正比，若设第一次相遇的时间为t，则第一次到第二次所用时间为2t，依次类推，每次相遇所用的时间关系也为1：2;2：2……，含义是第一次相遇用时间t，第二次开始相遇时间都会增加2t的时间;(3)各自所走路程也满足这个关系。

设第一次相遇甲走路程为S0，则从第二次相遇开始甲走的路程会增加2S0，即关系式仍为1：2：2：2……。

例题1：甲从A地、乙从B地同时以均匀的速度相向而行，第一次相遇离A地6千米，继续前进，到达对方起点后立即返回，在离B地3千米处第二次相遇，则A、B两地相距多少千米?【答案】D。

解析：直线多次相遇问题。

第一次相遇时，两人走的总路程为A、B之间的路程，即1个AB全程。

多次相遇问题（解析版）一、多次相遇与全程的关系1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；第2次相遇，共走3个全程；第3次相遇，共走5个全程；…………， ………………；第N 次相遇，共走2N-1个全程；注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。

即甲第1次如果走了N 米，以后每次都走2N 米。

2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程；第2次相遇，共走4个全程；第3次相遇，共走6个全程；…………， ………………；第N 次相遇，共走2N 个全程；3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键 几个全程多人相遇追及的解题关键 路程差【例 1】 小明和小红两人在长100米的直线跑道上来回跑步，做体能训练，小明的速度为6米/秒，小红的速度为4米/秒．他们同时从跑道两端出发，连续跑了12分钟．在这段时间内，他们迎面相遇了多少次？【解析】 第一次相遇时，两人共跑完了一个全程，所用时间为：1006410÷+=（）(秒)．此后，两人每相遇一次，就要合跑2倍的跑道长，也就是每20秒相遇一次，除去第一次的10秒，两人共跑了126010710⨯-=(秒)．求出710秒内两人相遇的次数再加上第一次相遇，就是相遇的总次数．列式计算为：1006410÷+=（）(秒)，1260101023510⨯-÷⨯=（）（），共相遇35136+=(次)。

注：解决问题的关键是弄清他们首次相遇以及以后每次相遇两人合跑的路程长．【例 2】 A 、B 两地间有条公路，甲从A 地出发，步行到B 地，乙骑摩托车从B 地出发，不停地往返于A 、B 两地之间，他们同时出发，80分钟后两人第一次相遇，100分钟后乙第一次追上甲，问：当甲到达B 地时，乙追上甲几次？【解析】第一次追上第一次相遇乙甲F E B由上图容易看出：在第一次相遇与第一次追上之间，乙在1008020-=(分钟)内所走的路程恰等于线段FA 的长度再加上线段AE 的长度，即等于甲在(80100+)分钟内所走的路程，因此，乙的速度是甲的9倍(18020=÷)，则BF 的长为AF 的9倍，所以，甲从A 到B ，共需走80(19)800⨯+=(分钟)乙第一次追上甲时，所用的时间为100分钟，且与甲的路程差为一个AB 全程．从第一次追上甲时开始，乙每次追上甲的路程差就是两个AB 全程，因此，追及时间也变为200分钟(1002=⨯)，知识精讲所以，在甲从A到B的800分钟内，乙共有4次追上甲，即在第100分钟，300分钟，500分钟和700分钟．【例 3】（难度等级3）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，乙的速度是甲的23，二人相遇后继续行进，甲到B地、乙到A地后立即返回．已知两人第二次相遇的地点距第三次相遇的地点是100千米，那么，A、B两地相距千米．【解析】由于甲、乙的速度比是2:3，所以在相同的时间内，两人所走的路程之比也是2:3．第一次相遇时，两人共走了一个AB的长，所以可以把AB的长看作5份，甲、乙分别走了2份和3份；第二次相遇时，甲、乙共走了三个AB，乙走了236⨯=份；第三次相遇时，甲、乙共走了五个AB，乙走了2510⨯=份．乙第二次和第三次相距10－6=4（份）所以一份距离为：100÷4=25（千米），那么A、B两地距离为：5×25＝125（千米）【巩固】（难度等级※※※）小王、小李二人往返于甲、乙两地，小王从甲地、小李从乙地同时出发，相向而行，两人第一次在距甲地3千米处相遇，第二次在距甲地6千米处相遇(追上也算作相遇)，则甲、乙两地的距离为千米．【解析】由于两人同时出发相向而行，所以第一次相遇一定是迎面相遇；由于本题中追上也算相遇，所以两人第二次相遇可能为迎面相遇，也可能为同向追及．①如果第二次相遇为迎面相遇，如下图所示，两人第一次在A处相遇，第二次在B处相遇．由于第一次相遇时两人合走1个全程，小王走了3千米；从第一次相遇到第二次相遇，两人合走2个全程，所以这期间小王走了326⨯=千米，由于A、B之间的距离也是3千米，所以B与乙地的距离为(63)2 1.5-÷=千米，甲、乙两地的距离为6 1.57.5+=千米；李王乙甲甲王李乙②如果第二次相遇为同向追及，如上图，两人第一次在A处相遇，相遇后小王继续向前走，小李走到甲地后返回，在B处追上小王．在这个过程中，小王走了633-=千米，小李走了639+=千米，两人的速度比为3:91:3=．所以第一次相遇时小李也走了9千米，甲、乙两地的距离为9312+=千米．所以甲、乙两地的距离为7.5千米或12千米．【巩固】（难度级别3）A，B两地相距540千米。

解析行程问题—“多次相遇”行程问题是行测数学运算中必考题型。

同时也是相对较难解决的一种题型。

而路程=速度×时间是行程问题中最基本公式。

这个基本公式中暗含着的正反比关系也是考生在复习过程中需要重点注意的地方。

正因如此，比例思想是我们解决行程问题的常用方法。

其次，数形结合也是不可或缺的工具。

即对于行程问题，最主要的是根据题干信息画出行程图，理清路程、速度、时间三者之间的关系，进而解题。

行程问题实际上还包含很多小的模块，比如：简单的相遇和追及、多次相遇问题、流水行船、时钟问题、牛吃草问题等等。

在此，中公教育专家宋丽娜将对于比较难以掌握的多次相遇问题详细的阐述下其中蕴含的原理、公式及考题。

(1)最基本的多次相遇问题是指两人同时从不同的地点同时相向而行，在第一次相遇后没停，继续向前走到打对方终点后返回再次相遇，如此循环往返的过程是多次相遇问题。

基本模型如下：从出发开始到等等依次类推到第n次相遇。

在此运动过程中，基本规律如下：(1)从出发开始，到第n次相遇：每一次相遇会比前一次夺走2个全程;即：路程和具有的特点是1：2：2：2：……，含义是第一次走1个全程，第二次开始都增加2个全程;(2)由于二者在运动过程中，速度和是不变的，故每次相遇所用时间和路程和成正比，若设第一次相遇的时间为t，则第一次到第二次所用时间为2t，依次类推，每次相遇所用的时间关系也为1：2;2：2……，含义是第一次相遇用时间t，第二次开始相遇时间都会增加2t的时间;(3)各自所走路程也满足这个关系。

设第一次相遇甲走路程为S0，则从第二次相遇开始甲走的路程会增加2S0，即关系式仍为1：2：2：2……。

例题1：甲从A地、乙从B地同时以均匀的速度相向而行，第一次相遇离A地6千米，继续前进，到达对方起点后立即返回，在离B地3千米处第二次相遇，则A、B两地相距多少千米?A.10B.12C.18D.15【答案】D。

解析：直线多次相遇问题。

第一次相遇时，两人走的总路程为A、B之间的路程，即1个AB全程。

（一）由简单行程问题拓展出的多次相遇问题所有行程问题都是围绕“=⨯路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．（二）多次相遇与全程的关系1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；第2次相遇，共走3个全程；第3次相遇，共走5个全程；…………， ………………；第N 次相遇，共走2N-1个全程；注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。

即甲第1次如果走了N 米，以后每次都走2N 米。

2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程；第2次相遇，共走4个全程；第3次相遇，共走6个全程；…………， ………………；第N 次相遇，共走2N 个全程；3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键 几个全程多人相遇追及的解题关键 路程差 知识要点：第十四讲 行程问题——多次相遇问题（三）解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。

折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。

如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。

例题：【例 1】甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？【例 2】甲、乙两车同时从A地出发，不停的往返行驶于A，B两地之间。

已知甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C地。

问：甲车的速度是乙车的多少倍？【例 3】如图，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长．【例 4】甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇．求A、B两地间的距离是多少千米？【例 5】甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地3千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地2千米处第二次相遇，求第2000次相遇地点与第2001次相遇地点之间的距离.【例 6】A、B两地相距2400米，甲从A地、乙从B地同时出发，在A、B间往返长跑。

奥数——行程、多次相遇和追及问题一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题所有行程问题都是围绕“=?路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．二、多次相遇与全程的关系1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；第2次相遇，共走3个全程；第3次相遇，共走5个全程；…………，………………；第N 次相遇，共走2N-1个全程；注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。

即甲第1次如果走了N 米，以后每次都走2N 米。

2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程；第2次相遇，共走4个全程；第3次相遇，共走6个全程；…………，………………；第N 次相遇，共走2N 个全程；3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键几个全程多人相遇追及的解题关键路程差三、解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求知识框架多次相遇与追及问题数交点个数即可完成。

折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。

如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。

【例1】甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？【巩固】甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米．如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次？【例2】甲、乙两车同时从A 地出发，不停的往返行驶于A ，B 两地之间。

已知甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C 地。

问：甲车的速度是乙车的多少倍？例题精讲【巩固】甲、乙二人从相距60千米的两地同时相向而行，6时后相遇。

行程问题—专题04《多次相遇问题》一．选择题1．（2012•中山校级模拟）一条环形跑道的长是40米，小东和小明在跑道上同一点沿相反方向同时出发，小东每秒跑6米，小明每秒跑4米，那么，除第一次出发以外，两人在中途相遇了()次后又相遇在原出发点．A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据题意，两人又相遇在原出发点，说明小东比小明多跑了一圈，即40米；由题意求出他们每次的需要时间，即40(64)4⨯-=米，用多跑的一圈÷+=秒，那么每次相遇时，小东比小明多跑了4(64)8除以多跑的距离，就是他们一共相遇了4085÷=次再原点相遇，然后再减去原点相遇的一次就是要求的答案．【解答】解：他们每次的相遇时间是：40(64)4÷+=（秒）；每次相遇时，小东比小明多跑了4(64)8⨯-=（米）；又相遇在原出发点时的相遇次数是：4085÷=（次）；中途相遇的次数是：514-=（次）．答：人在中途相遇了4次后又相遇在原出发点故选：C．二．填空题2．（2017•兴义市）甲、乙两人同时从相距40千米的两地出发，相向而行．甲每小时走4.5千米，乙每小时走3.5千米．与甲同时、同地、同向出发的一只狗，每小时跑5千米，狗碰到乙之后就回头向甲跑去，碰到甲以后又向乙跑去⋯⋯．这只狗就这样往返于甲乙两人之间直到二人相遇为止．由甲乙相遇时这只狗共跑了25千米．【分析】根据题意，在甲乙从出发到相遇的过程中，小狗一直在以每小时5千米的速度跑，所以，小狗和二人所用时间一样．求甲乙相遇时这只狗共跑了多远，只需求出二人相遇所用时间，再用时间乘小狗的速度即可．【解答】解：甲乙相遇时所用的时间：÷+40(4.5 3.5)=÷4085=（小时）⨯=（千米）狗共跑的路程为：5525答：甲乙相遇时这只狗共跑了25千米．故答案为：25．3．甲和乙两人同时从一条路的两端出发，相对而行（甲从A地出发，乙从B地出发）．两人第一次在距A地60千米处相遇，相遇后继续以原速行走，分别到达对方出发地后立即原路返回，第二次在距B地55千米相遇．两次相遇点之间的距离是125千米．【分析】根据“在距A地60千米处相遇”可知，第一次相遇时甲车走了60千米，而到这次相遇时，两车共走了1个全程，由于甲、乙两车速度不变，所以在每个全程中甲车都走了60千米．根据第二次相遇，可知两车一共走了3个全程．就可以推出甲车一共走了3个60千米．再根据此时距B地55千米处相遇⨯-=（千米）就是1个全程，也就是A、B两地间可知：甲车走了1个全程加55千米，那么36055125的路程．⨯-【解答】解：36055=-8055=（千米）125答：A、B两地间的路程是125千米．故答案为：125．4．甲乙丙三人在圆形的跑道上跑步，甲跑完一周要用时3分，乙跑完一周要用时4分，丙跑完一周要用时6分．如果他们同时从同一地点同向起跑，那么他们第二次相遇要经过24分钟．【分析】根据题意，他们第二次同时在同一地点会合需要的时间是3、4、和6的公倍数，据此解答即可．=⨯【解答】解：422623=⨯⨯⨯=3、4、和6的最小公倍数是：2231212224⨯=（分钟）答：他们第二次相遇要经过24分钟．故答案为：24．5．平静的景观湖两岸有A、B两个码头．甲乙两只游船船从A、B两地同时相向出发．在距A地700米处第一次相遇，随后两船继续航行，到达对岸后立即返航，在返航途中，两船距乙地400米处，第二次相遇，则AB两地距离1700米．【分析】根据题意画图如下：在第一次相遇中甲行了700米，也就是说两船共行一个两地距离，那么甲就行了700米，甲、乙两船两次相遇，共行了3个两地距离，则甲就行了70032100⨯=米，正好是一个两地距离再加400米，所以A、B两地相距：21004001700-=（米）．【解答】解：7003400⨯-2100400=-1700=（米）答：A、B两地相距1700米．故答案为：1700．6．（2019•深圳）甲乙两人在A、B两地之间往返跑步，甲从A地出发，乙从B地出发，同时出发，相向而行，甲和乙的速度比为5:3，他们第一次相遇和第二次相遇的地点相距50m，则A、B两地相距100m．【分析】根据甲和乙的速度比为5:3；第一次相遇时，知道两人一共行了AB两地的距离，其中甲行了全程的553+，相遇地点离A地的距离为AB两地距离的553+；第二次相遇时，两人一共行了AB两地距离的3倍，则甲行了全程的5353⨯+，相遇地点离A地的距离为AB两地距离的5(23)53-⨯+，再根据两人两次相遇地点之间相距50米，可以求出两地的距离．【解答】解：55 50(23)5353÷-⨯-++1502=÷100=（米）答：A、B两地相距100米．故答案为：100．7．（2019春•济南月考）如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A、C点同时沿正方形的边开始移动，甲点顺时针方向环行，乙点逆时针方向环行．若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2014次相遇在边BC上．【分析】乙的速度是甲的速度的4倍，故第1次相遇，甲走了正方形周长的1125⨯；从第2次相遇起，每次甲走了正方形周长的15，从第2次相遇起，5次一个循环，据此求出2014次相遇的位置．【解答】解：根据题意分析可得：乙的速度是甲的速度的4倍，故第1次相遇，甲走了正方形周长的1125⨯；从第2次相遇起，每次甲走了正方形周长的15，从第2次相遇起，5次一个循环．因此可得：从第2次相遇起，每次相遇的位置依次是：DC ，点C ，CB ，BA ，AD ；依次循环． 故它们第2014次相遇位置与第四次相同，在边BC 上． 故答案为：BC ．8．（2019•广州模拟）甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行．甲车每小时行45千米，乙车每小时行36千米．相遇以后继续以原来的速度前进，各自到达目的地后又立即返回，这样不断地往返行驶．已知途中第二次相遇地点与第三次相遇地点相距60千米．则A 、B 两地相距 135 千米． 【分析】将AB 两地的距离当做单位“1”，由甲乙两车的速度可以推知：在相同时间内甲乙两车所行路程的比为45:365:4=，从而可知，甲乙所行路程分别占它们共行路程的55459=+、49．由此可知：（如图）第二次两车相遇于C 点，此时两车共行三个全程，则甲行了共行路程的523193⨯=，乙行了共行路程的413193⨯=，此时AC 为全程的13；第三次相遇时相遇于D 点，两车共行了5个全程，甲行了全程的575299⨯=，乙行了全程的425299⨯=，则BD 为全程的29，所以CD 就为全程的1241399--=，已知途中第二次相遇地点与第三次相遇地点相距60千米即60CD =千米，所以全程为4601359÷=千米．【解答】解：45:365:4=，即在相同时间内甲乙所行路程分别占它们共行路程的55459=+、54199-=．如图：第二次两车相遇于C 点，甲行了共行路程的523193⨯=，乙行了共行路程的413193⨯=，此时AC 为全程的13；第三次相遇时相遇于D点，甲行了全程的575299⨯=，乙行了全程的425299⨯=，则BD为全程的29；所以CD就为全程的1241399--=，所以全程为4601359÷=（千米）．答：AB两地相距135千米．故答案为：135．9．（2017•长沙）甲、乙两人同时从A、B两地相向而行，第一次在离A地40千米处相遇，之后两人仍以原速度前进，各自到达目的地后，立即返回，又在离A地20千米处相遇，则AB两地距离为70千米．【分析】当两人第二次相遇时，两人一共行驶了3个两地间的距离，第一次相遇时甲应该行了40千米，即甲共行了403120⨯=千米，然后再加上20千米，就是2个两地间的距离，再除以2就是AB两地距离．【解答】解：(40320)2⨯+÷1402=÷70=（米）答：AB两地相距70米．故答案为：70．10．（2015春•无锡期末）平平和涛涛分别从一座桥的两端同时出发，往返于桥的两端之间．平平行走的速度是70米/分，涛涛行走的速度是74米/分，经过3分钟两人第一次相遇，这座桥全长432米．当两人第二次相遇时，两人一共行走了1296米．【分析】（1）运用加法求出两人的速度和，再根据“路程=速度和⨯相遇时间”，求出两人的路程和，即为这座桥长度；（2）当两人第二次相遇时两人一共行走了三个桥长，据此解答即可．【解答】解：（1）(7074)3+⨯1443=⨯432=（米），答：这座桥全长432米．（2）43231296⨯=（米），答：当两人第二次相遇时，两人一共行走了1296米．故答案为：432，1296．11．（2013•北京模拟）甲，乙两车同时从A、B两地相对开出，两车第一次在距A地32千米处相遇，相遇后两车继续行驶，各自到达B、A两地后，立即沿原路返回，第二次在距A地64千米处相遇，则A、B 两地间的距离是80千米．【分析】据题意可知，第一次相遇时甲车行了32千米，第二次相遇时两车共行了3个全程，由于每行一个⨯=（千米），又因为此时距A地64千米，全程甲车就行了32千米，所以第二次相遇时甲车共行了32396由此可以求得A、B两地间的距离．⨯+÷【解答】解：(32364)2=÷，1602=（千米）；80答：A、B两地间的距离是80千米．故答案为：80．三．应用题12．甲、乙两车同时从A、B两城相向而行，在距离A城32千米处相遇，都到达对方城市后立即以原来速度原路返回，又在距离B城44千米处相遇．那么两城相距多少千米？【分析】第一次相遇时，从A城出发的甲行驶了32千米，到第二次相遇时，两人一共行驶了3个两城间的距离，那么从A城出发的甲就应该行驶了32396⨯=千米，此时甲行驶了两城路程多44千米，就行驶-=千米的距离，也就是两城间的距离，依据除法意义即可解答．964452【解答】解：32344⨯-=-9644=（千米）52答：原来两城相距52千米13．一条马路长400m，小明和他的小狗分别以均匀的速度同时从马路的起点出发．当小明走到这条马路一半的时候，小狗已经到达马路的终点．然后小狗返回与小明相向而行，遇到小明以后再跑向终点，到达终点以后再与小明相向而行⋯⋯直到小明到达终点．小狗从出发开始，一共跑了多少米？【分析】根据题意知：当小明走到这条马路一半的时候，小狗已经到达马路的终点，所以小狗的速度是小明速度的2倍．因为在此过程中，小明和小狗都在以各自的速度行走，所以相同的时间，路程与速度成正比例关系．所以小狗行的路程应是小明的2倍． 【解答】解：4002800⨯=（米） 答：小狗共跑了800米．14．甲、乙两车分别同时从A 、B 两地相对开出．第一次在离A 地95千米处相遇，相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B 地25千米处相遇．求A 、B 两地间的距离是多少千米？【分析】第一次相遇时，两车共行了A 、B 两城的距离，其中A 城出发的甲行了95千米；即每行一个A 、B 两城的距离，A 城出发的甲车就行95千米，第二次相遇时，两车共行了A 、B 两城距离的3倍，则A 城出发的甲车行了953285⨯=千米；所以，A 、B 两城相距28525260-=千米． 【解答】解：95325⨯- 28525=- 260=（千米）．答：A 、B 两地间的距离是260千米．15．A 、B 两地相距236千米．两辆汽车同时从两地出发，相向而行．分别到达A 、B 两地后又立即返回，经过6小时后两辆汽车第二次在途中相遇．已知甲每小时行56千米．乙车每小时行多少千米？ 【分析】由于它们相向而行，各自达到目的地后又立即返回，他们应是在乙车返回A 地后又在去B 地的路上和返回A 地的甲车相遇，所以相遇时他们行了3个全程，即2363708⨯=（千米），已知行驶时间为6小时，用总路程除以6小时，求出两车的速度和，再减去甲车的速度，即可求出乙车每小时行多少千米． 【解答】解：23636⨯÷ 7086=÷ 118=（千米） 1185662-=（千米）答：乙车每小时行62千米．16．（2019•郑州）有甲乙两车从A、B两地相向而行，甲乙的速度比是7:9，两车相遇后又继续前进，甲到达B地，乙到达A地后又返回，甲车在离B地80千米的地方与乙车相遇，求A、B两地的距离．【分析】甲乙的速度比是7:9，那么相遇时甲乙行驶的路程比也是7:9；所以当第二次相遇时，两车共行了3个A、B两地间的距离；此时甲车行了A、B两地距离的7379⨯+；那么80千米就相当于A、B两地距离的7(31)79⨯-+，然后根据分数除法的意义即可求出A、B两地的距离．【解答】解：780(31)79÷⨯-+58016=÷256=（千米）答：A、B两地的距离是256千米．17．（2019春•北京月考）A、B两地之间有条公路，小王步行从A地去B地，小张骑摩托车从B地出发不停地往返于A，B两地之间．若他们同时出发，前后速度保持不变，60分钟后两人第一次相遇，70分钟后小张第一次超过小王．当小王到达B地时，小张和小王迎面相遇过几次？【分析】我们通过“走相同的路程”所用的时间比表示出小张和小王的速度的比，小张和小王所需时间比：(6070):(7060)130:1013:1+-==所以，小张和小王的速度比为(7060):(6070)10:1301:13-+==，即，小王走一个全程，小张走13个全程；小王行完一个全程，小张行13个全程，第一次是相遇，第二次是追上，所以，共相遇7次，追上6次；据此解答即可．【解答】解：由题意可知：走相同的路程，小张和小王所需时间比：(6070):(7060)130:1013:1+-==所以，小张和小王的速度比为(7060):(6070)10:1301:13-+==即，小王走一个全程，小张走13个全程．小王行完一个全程，小张行13个全程，第一次是相遇，第二次是追上⋯，所以，共相遇7次，追上6次．答：小张和小王迎面相遇过7次．18．（2019春•浦东新区月考）两辆汽车同时从A，B两地相向而行，第一次相遇在距A地180千米的地方，相遇后继续前进，各自到达B，A两地后按原路返回，第二次相遇在距A地260千米的地方，A，B两地相距多少千米？【分析】根据题意，第一次相遇，他们共行一个全程，甲行180千米；第二次相遇，他们共行3个全程，⨯米．这时离A地还有260千米．就是说它再加上260千米就是2个全程．所以，全程长：甲应行1803⨯+÷=（千米）．(1803260)2400⨯+÷【解答】解：(1803260)2(540260)2=+÷=÷8002400=（千米）答：A，B两地相距400千米．19．（2018春•简阳市期中）小强和小华两家相距1400米，小强带着一只小狗和小华同时从家中出发，相向而行．小狗一共跑了多少米？÷+=【分析】根据题意，狗跑的时间就是两人相遇的时间，因此先求出两人相遇的时间，即1400(6080)10⨯=（米）．解决问题．（分钟），那么小狗一共跑了120101200⨯÷+【解答】解：120[1400(6080)]=⨯÷120[1400140]=⨯12010=（米）1200答：小狗一共跑了1200米．20．（2018•长沙）乙两辆汽车分别从A、B两地同时相对开出，甲、乙两车速度的比是9:7．第一次相遇后车继续向前行驶，甲车到达B地、乙车到达A地后立即掉头向回行驶，两车第二次相遇点和第一次相遇点之间相距32千米，求A、B两地之间的距离．【分析】我们知道像题目中的行程问题，甲乙第一次相遇时，两车共行了一个全程(A、B间的距离），以后每次相遇都要行两个全程．所以，我们根据甲、乙两车的速度比9:7，结合行程问题可以把甲、乙两车第一次相遇时，甲走了9份路程，乙走了7份路程，共行7916+=份的路程；第二次相遇时，甲走了9218⨯=份路程，即在返回的路上走了18711-=份路程，1174-=份的路程就是两次相遇点之间的距离，至此即可求出全程的千米数．【解答】解：92711⨯-=（份） 32(117)(79)÷-⨯+ 32416=÷⨯ 816=⨯ 128=（千米）答：A 、B 两地之间的距离为128千米．21．（2017•长沙）甲、乙、丙三人，甲每分钟走20米，乙每分钟走22米，丙每分钟走25米，甲、乙从东镇，丙从西镇，同时相对出发，丙遇到乙后，十分钟再遇到甲，求两镇的距离是多少米？【分析】丙遇到乙后再过10分钟又遇到甲，则从丙遇到乙后，再和甲相遇的这10分钟里，甲丙共行了(2025)10450+⨯=米，即乙丙相遇时，乙比甲多行了450米，甲、乙两人的速度差为22202-=米/分钟，则乙丙相遇时，甲、乙共行的时间4502225÷=分钟，所以东、西两镇的距离为：(2225)225+⨯千米． 【解答】解：(2025)10(2220)(2225)+⨯÷-⨯+ 450247=÷⨯ 22547=⨯ 10575=（米）答：两镇相距10575米．22．A ，B 两地相距540千米．甲、乙两车往返行驶于A ，B 两地之间，都是到达一地之后立即返回，乙车较甲车快．设两辆车同时从A 地出发后第一次和第二次相遇都在途中P 地．那么到两车第三次相遇为止，乙车共走了多少千米？【分析】根据题意，甲乙两车每次相遇都共行了2个A 、B 之间的全程，画图如下：（黄色路线是甲走的，红色路线是乙走的）；由图可知：第一次相遇时甲走了AP ，乙走了2AP BP +；第二次相遇时，甲走了2BP ，即2AP BP =；这样即可求出2AP BP +与AP 的数量关系，那么就可以每次相遇两车行驶的路程比，继而可以求出每次相遇乙车行驶的路程，然后再进一步解答．【解答】解：根据题意可画出下图（黄色路线是甲走的，红色路线是乙走的）由图可知：第一次相遇，甲走了AP 的路程；第二次相遇甲走了PB BP +，则2AP BP =，那么3AB BP =；第一次相遇：甲车路程：乙车路程:()2:41:2AP AB BP BP BP =+==；第一次相遇乙车行驶了：540(12)2360÷+⨯=（千米）；每次相遇，乙车都行驶了360千米；所以，第三次相遇乙车共行了3个360千米，即36031080⨯=（千米）．答：到两车第三次相遇为止，乙车共走了1080千米．23．（2019•石家庄）在300米环形跑道甲乙并头起跑，甲的平均速度是每秒5米，乙的平均速度是每秒4.4米，按平均速度计算，两人第二次相遇在起跑线前面多少米？【分析】甲每秒跑5米，乙每秒跑4.4米，则甲每秒比乙多跑5 4.40.6-=米，又甲、乙二人同时同地同向跑步，所以两人起跑后的第二次相遇时，甲正好比乙多跑2周即3002600⨯=米，所以两人相遇所用时间是600(5 4.4)÷-秒，此时乙跑了600(5 4.4) 4.4÷-⨯米，除以环形跑道的长度，余数即可得两人起跑后的第二次相遇点在起跑线前多少米．【解答】解：3002(5 4.4) 4.4⨯÷-⨯6000.6 4.4=÷⨯4400=（米）440030014÷=（圈)200⋯（米）答：两人第二次相遇在起跑线前面200米．24．（2019•长沙）甲、乙两地是电车发车站，每隔一定时间两地同时发出一辆车，每辆电车都是每隔4分钟遇到迎面开来的一辆电车，小张和小王分别骑车从甲、乙两地同时出发，相向而行，小张每隔5分钟遇到迎面开来的一辆电车，小王每隔6分钟遇到一辆迎面开来的电车，如果电车行驶全程需要56分钟，那么小王与小张在途中相遇时，他们已经出发了多少分？【分析】把同向行驶的相邻两辆车之间的距离看作单位“1”，两辆电车每分钟一共行14，则每辆电车每分钟行11248÷=；如果电车行驶全程需要56分钟，同甲乙两地之间的距离为15678⨯=；小张和电车每分钟一共行全程的15，小王和电车每分钟一共行全程的16，那么两人的速度和是111()564+-，再用总路程7除以速度和，即可求出两人相遇时已经行了：1117()60564÷+-=（分钟）；据此解答即可．【解答】解：11248÷=15678⨯=1117()564÷+-6077=÷60=（分钟）答：他们已经出发了60分钟．25．（2018•徐州）甲村、乙村相距6千米，小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回）．在出发后40分钟两人第一次相遇，小王到达甲村后返回，在离甲村2千米的地方两人第二次相遇．问小张和小王的速度各是多少？【分析】两人第一次相遇，共行一个全程，用时为40分钟，第二次相遇，共行三个全程，所用时间为：403120⨯=分钟2=小时相遇时，小王行了两个个全程加减去2千米，其速度为：[6(40360)2]25⨯⨯÷-÷=（千米/小时），小王行了一个全程多2千米速度为：(62)24+÷=（千米/每小时）．【解答】解：小张的速度为：[6(40360)2]2⨯⨯÷-÷[622]2=⨯-÷，5=（千米/小时）；小王的速度为：(62)2+÷82=÷，4=（千米/每小时）．故答案为：5，4．四．解答题26．（2014•海安县模拟）甲、乙两人同时从A 、B 两地出发相向而行，而甲速快于乙速，两人第一次相遇在距B 点240米的地方，两人分别到达B 、A 后又立即以原速返回，第二次相遇在距A 地120米的地方，求A 、B 两地相距多少米？【分析】甲和乙第一次相遇时，两个合走一个全程，第二次相遇时，两人合走三个全程，两人合走一个全程时，甲走了240米，合走三个全程时，甲应该走2403720⨯=米，又因为第二次相遇时，距B 地120米，那么减去这120米，就正好是1个全程了．据此解答．【解答】解：2403120⨯-720120=-600=（米)答：A 、B 两地相距600米．27．甲、乙两车同时从A 、B 两地出发相向而行，两车在距B 地64千米处第一次相遇，相遇后两车仍以原速继续行驶，并且在到达对方出发点后，立即沿原路返回，途中两车在距A 地48千米处第二次相遇，问两次相遇点相距多少千米？【分析】第二次相遇说明共行了三个总路程，根据两车在距B 地64千米处第一次相遇，可知甲乙每行一个总路程，乙就行64千米，则第二次相遇时乙就行了：643192⨯=（千米），然后减去48就是A 、B 两地间的距离；再减去64与48的和可得两次相遇点的距离．据此解答．【解答】解：643192⨯=（千米）(19248)(4864)--+144112=-32=（千米）答：两次相遇点相距32千米．28．甲乙两车分别从A 、B 两地同时相对开出，第一次在距离A 地75千米处相遇，相遇后继续前进，分别到达B 地、A 地后，又立即返回．第二次距离B 地55千米处相遇，求A 、B 两地间的距离．【分析】第一次相遇时，两车共行了AB 两城的距离，其中A 城出发的甲行了75千米；即每行一个AB 两城的距离，A 城出发的甲车就行75千米，第二次相遇时，两车共行了AB 两地距离的3倍，则A 城出发的甲车行了753225⨯=千米；所以，AB 两城相距22555-千米．【解答】解：75355⨯-22555=-170=（千米）答：A、B两地间的距离是170千米．29．甲、乙从东镇，丙从西镇同时相向出发，甲每小时行4km，乙每小时行5km，丙每小时行6km，丙遇到乙后12分钟再遇到甲，求两镇相距多少千米．=小时，当丙遇到乙后再经过12分钟遇到甲，这时丙和甲这12分钟走的路程，就是丙【分析】12分钟0.2和乙相遇时，乙比甲多走的路程，根据追及问题，可求出丙和乙相人相遇时用的时间，再用丙和乙两人的速度和，乘时间进行解答．=小时【解答】解：12分钟0.2+⨯(46)0.2=⨯100.2=（千米）22(54)÷-=÷21=（小时）2(56)2+⨯=⨯112=（千米）22答：两镇相距22千米．30．甲乙两人在400米环形跑道上跑步，甲每分钟300米，乙每分钟200米，如果两人在同一起点同时反向出发，（1）几分钟后，两人第一次相遇？（2）几分钟后，两人第一次相遇后又相距100米？【分析】（1）由于是环形跑道，两人同时反向出发第一次相遇时，两人共行了一周即400米，两人的速度+=米，根据路程除以速度和等于相遇时间，所以两人第一次相遇时共行了和为300200500÷+分钟；400(300200)+=米，根据路程除以速度和等（2）同理，两人第一次相遇后又相距100米，说明两人共行了400100500÷+分钟；据此解答即可．于时间，所以共同行驶的时间是500(300200)【解答】解：（1）400(300200)÷+400500=÷0.8=（分钟）答：0.8分钟后，两人第一次相遇．（2）(400100)(300200)+÷+500500=÷1=（分钟）答：1分钟后，两人第一次相遇后又相距100米．31．小平和小利同时从A ．B 两地相向而行，经过30分钟两人在途中相遇，两人相遇后又以原来速度行进，两人分别到达对方的出发地后立即返回．小利从A 地出发到第二次与小平相遇，用了25分钟，问小利从B 地到A 地需多少分钟？【分析】平和小利同时从A ．B 两地相向而行，经过30分钟两人在途中相遇，即两人每共行一个全程就用30分开钟，两人相遇后又以原来速度行进，两人分别到达对方的出发地后立即返回．小利从A 地出发到第二次与小平相遇，第二次相遇时，两人共行了三个全程，所以此时小利行了3030⨯分钟，又小利从A 地出发到第二次与小平相遇，用了25分钟，所以小利从B 地到A 地需30325⨯-分钟．【解答】解：30325⨯-9025=-，65=（分钟）．答：利从B 地到A 地需65分钟．32．甲乙两人在一个长400米的环形跑道上从一点同时反向而行，甲每分钟走45米，乙每分钟走35米，多少分钟后两人第二次相遇？【分析】由于是环形跑道，两人第二次相遇时，两人共行了两周即4002⨯米，两人的速度和为4535+米，所以两人第二次相遇时共行了4002(4535)⨯÷+分钟．【解答】解：4002(4535)⨯÷+80080=÷，10=（分钟）．答：10分钟后，两人第二次相遇．33．（2019•上街区）如图，A 、B 是圆的直径的两端，小张在A 点，小王在B 点同时出发，相向行走，他们在距A 点80米处的C 点第一次相遇，接着又在距B 点60米处的D 点第二次相遇．求这个圆的周长．【分析】两人第一次相遇时，共行了半个周长，此时小张行了80米，即每共行半个圆，小张就走80米，离开C 点，第二次相遇时，两共行了3个半圆，则此时小张A 从C 点到D 点行了803240⨯=米，又B 点距D 点为60米，则A 到B 点长24060180-=米，所以周长是1802360⨯=米．【解答】解：(80360)2⨯-⨯(24060)2=-⨯1802=⨯360=（米）答：这个圆的周长是360米．34．（2017秋•海安县期末）小明和小华在一个400米的环形跑道上练习跑步，两人同时从同一点出发，同向而行，小明每秒跑3.5米，小华每秒跑5.5米．经过多少秒，两人第三次相遇？【分析】由于两人同向而行，则第三次相遇时，小华比小明正好多跑3圈，又两人速度差是每秒5.5 3.52-=米，则用3圈的长度÷两人的速度差，依此即可求解．【解答】解：4003(5.5 3.5)⨯÷-12002=÷600=（秒）． 答：经过600秒，两人第三次相遇．35．（2017•长沙）甲、乙二人分别从A 、B 两地同时相向而行，乙的速度是甲的23，二人相遇后继续行进，甲到B 地、乙到A 地后立即返回．已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点是20千米，那么，A 、B 两地相距多少千米？。

解析行程问题—“多次相遇”行程问题是行测数学运算中必考题型。

同时也是相对较难解决的一种题型。

而路程=速度×时间是行程问题中最基本公式。

这个基本公式中暗含着的正反比关系也是考生在复习过程中需要重点注意的地方。

正因如此，比例思想是我们解决行程问题的常用方法。

其次，数形结合也是不可或缺的工具。

即对于行程问题，最主要的是根据题干信息画出行程图，理清路程、速度、时间三者之间的关系，进而解题。

行程问题实际上还包含很多小的模块，比如：简单的相遇和追及、多次相遇问题、流水行船、时钟问题、牛吃草问题等等。

在此，中公教育专家宋丽娜将对于比较难以掌握的多次相遇问题详细的阐述下其中蕴含的原理、公式及考题。

(1)最基本的多次相遇问题是指两人同时从不同的地点同时相向而行，在第一次相遇后没停，继续向前走到打对方终点后返回再次相遇，如此循环往返的过程是多次相遇问题。

基本模型如下：从出发开始到等等依次类推到第n次相遇。

在此运动过程中，基本规律如下：(1)从出发开始，到第n次相遇：每一次相遇会比前一次夺走2个全程;即：路程和具有的特点是1：2：2：2：……，含义是第一次走1个全程，第二次开始都增加2个全程;(2)由于二者在运动过程中，速度和是不变的，故每次相遇所用时间和路程和成正比，若设第一次相遇的时间为t，则第一次到第二次所用时间为2t，依次类推，每次相遇所用的时间关系也为1：2;2：2……，含义是第一次相遇用时间t，第二次开始相遇时间都会增加2t的时间;(3)各自所走路程也满足这个关系。

设第一次相遇甲走路程为S0，则从第二次相遇开始甲走的路程会增加2S0，即关系式仍为1：2：2：2……。

例题1：甲从A地、乙从B地同时以均匀的速度相向而行，第一次相遇离A地6千米，继续前进，到达对方起点后立即返回，在离B地3千米处第二次相遇，则A、B两地相距多少千米?A.10B.12C.18D.15【答案】D。

解析：直线多次相遇问题。

第一次相遇时，两人走的总路程为A、B之间的路程，即1个AB全程。

多次相遇与追及问题知识框架一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题所有行程问题都是围绕“=⨯路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．二、多次相遇与全程的关系1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；第2次相遇，共走3个全程；第3次相遇，共走5个全程；…………，………………；第N次相遇，共走2N-1个全程；注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。

即甲第1次如果走了N米，以后每次都走2N 米。

2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程；第2次相遇，共走4个全程；第3次相遇，共走6个全程；…………，………………；第N次相遇，共走2N个全程；3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键几个全程多人相遇追及的解题关键路程差三、解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。

折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。

如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。

例题精讲【例 1】甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？【考点】行程问题 【难度】☆☆ 【题型】解答【解析】 从开始到两人第十次相遇的这段时间内，甲、乙两人共跑的路程是操场周长的10倍，为300103000⨯=米，因为甲的速度为每秒钟跑3.5米，乙的速度为每秒钟跑4米，所以这段时间内甲共行了 3.5300014003.54⨯=+米，也就是甲最后一次离开出发点继续行了200米，可知甲还需行300200100-=米才能回到出发点．【答案】100米【巩固】 甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米．如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次？【考点】行程问题【难度】☆☆ 【题型】解答【解析】 17【答案】17【例 2】甲、乙两车同时从A 地出发，不停的往返行驶于A ，B 两地之间。

多次往返相遇问题怎么办？在考试过程中，行程问题考查的重点之一就是相遇追及问题，单次相遇追及问题，直接利用相遇公式或追及公式就能求解出答案，那么多次往返相遇问题怎么办？不要慌，我们同样有公式。

从两端出发多次往返相遇问题公式：（2n-1）S=（V1+V2）×T，其中n：代表第n次相遇，S：代表两地的初始距离，V1：代表物体1的速度，V2：代表物体2的速度，T：代表相遇时间。

记住公式，我们来看几道真题。

【真题1】A大学的小李和B大学的小孙分别从自己学校同时出发，不断往返于A.B两校之间，现已知小李的速度为85米/分钟，小孙的速度为105米/分钟，且经过12分钟后两人第二次相遇，问A.B 两校相距多少米？（）A.1140米B.980米C.840米D.760米【解析】本题选D。

第二次相遇，也就是n=2，利用公式则（2×2-1）×S=（85+105）×12，求得S=760，故本题选D。

【真题2】某高校两校区相距2760米，甲，乙两同学从各自校区同时出发到对方校区，甲的速度为70米每分钟，乙的速度为110米每分钟，在路上二人第一次相遇后继续行进，到达对方校区后马上回返，那么两人从出发到第二次相遇需要多少分钟？A.32B.46C.61D.64【解析】本题选B。

利用公式（2×2-1）×2760=（70+110）×T，T=46，故本题选B。

【真题3】在一次航海模型展示活动中，甲乙两款模型在长100米的水池两边同时开始相向匀速航行，甲款模型航行100米要72秒，乙款模型航行100米要60秒，若调头转身时间略去不计，在12分钟内甲乙两款模型相遇次数是：A.9B.10C.11D.12【解析】本题选C。

甲100米需要72秒，则1分钟行进500/6米，乙1分钟行进100米，则利用公式（2n-1）×100=（500/6+100）×12，解得n=11.5，故相遇次数为11次。