初中数学专题复习——求阴影面积的常用方法

阴影面积求法阴影部分的图形一般是不规则图形或没有可直接利用的公式，因此，同学们常感到困难。

本文指出：求解这类问题的关键是将阴影部分图形转化为可求解的规则图形的组合。

如何转化呢?这里给出常用的9种转化方法。

1.直接组合例1.如下图，圆A 、圆B 、圆C 、圆D 、圆E 相互外离，它们的半径都是1，顺次连结五个圆心得到五边形ABCDE ，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是（）A.π B.1.5π C.2πD.2.5π（02年河南省中考）分析：由于每个扇形圆心角的具体角度未知，故无法直接进行计算。

因为五边形ABCDE 的内角和=540°=360°+180°，从而可知所求阴影部分的面积可以重新组合成一个圆和一个半圆的面积，即1.5个圆的面积：ππ5.1)1(5.12=⋅⨯，选（B ）。

2.圆形分割例2.如下图，ΔABC 中，∠C 是直角，AB=12cm ，∠ABC=60°，将ΔABC 以点B 为中心顺时针旋转，使点C 旋转到AB 边延长线上的点D 处，则AC 边扫过的图形（阴影部分）的面积是_________2cm （π=3.14159……，最后结果保留三个有效数字）。

（03年济南市中考）解：在ABC Rt ∆中，所以cm AB BC BAC ABC 6213060==︒=∠︒=∠又易证EBD Rt ABC Rt ∆≅∆，。

，，所以︒=∠=∠︒=∠=∠=∆∆12060CBD ABE EBD ABC S S EBD ABC 故所求阴影面积为整个图形的总面积减去空白图形的面积，即）。

（＝＝＝）（）＝（扇形扇形扇形扇形阴影22211336636012012360120cm S S S S S S S BCDBAE ABC BCD EBD BAE ≈⋅-⋅-+-+∆∆πππ3.平移例3.如下图，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2，那么阴影部分的面积为________________。

求阴影部分面积的几种常用方法阴影部分面积的计算是许多科学，工程和设计领域中常见的问题。

以下是几种常用的方法：1.基于几何模型的计算：这种方法适用于简单的阴影形状和物体表面。

可以通过几何关系和公式来计算阴影部分的面积。

例如，如果阴影形状是矩形或圆形，可以计算出其面积并减去被遮挡的部分。

对于其他形状，可以尝试将其近似为几何图形，然后计算阴影部分的面积。

2.基于光线投射的计算：这种方法基于光的直线传播特性。

通过确定光源的位置和阴影对象的形状，并追踪光线的路径，可以计算出阴影部分的面积。

这可以通过数值方法，如光线追踪算法，来实现。

光线追踪算法通过逐个追踪光线，计算出光线与物体的交点，并对光照强度进行积分来生成图像。

通过分析生成的图像，可以确定阴影部分的面积。

3.基于遮挡关系的计算：这种方法基于阴影对象和背景之间的遮挡关系。

可以使用二维图像处理算法，如阈值分割和连通区域分析，来分析图像中的遮挡关系。

首先，需要在图像中分割出阴影对象和背景，并标记出遮挡的区域。

然后，通过计算遮挡区域的像素数或像素面积，就可以得到阴影部分的面积。

这种方法适用于基于摄像机或传感器捕获的实时图像数据。

4.基于数值积分的计算：这种方法使用数值积分技术来计算阴影部分的面积。

数值积分是一种数值近似方法，用于计算曲线下的面积或曲线之间的面积。

可以将阴影形状建模为二维或三维曲线，然后使用数值积分算法，如拉格朗日插值法或梯形法则，来计算阴影部分的面积。

这种方法在精确模型或复杂阴影场景的计算中比较有效。

总之，根据具体情况和问题，可以选择不同的方法来计算阴影部分的面积。

这些方法可以根据问题的复杂性、可用数据和计算资源的限制来选择。

对于简单的几何形状和光线传播特性明确的场景，基于几何模型或光线投射的方法可能更为适用。

对于实时图像数据或复杂阴影场景，基于遮挡关系或数值积分的方法可能更为合适。

总结：对于不规则图形面积的计算问题一般将它转化为若干基本规则图形的组合，分析整体与部分的和、差关系，问题便得到解决.常用的基本方法有：一、相加法：这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积.例如，下图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可以了.二、相减法：这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差.例如，下图，若求阴影部分的面积，只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可.三、直接求法：这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积.如下页右上图，欲求阴影部分的面积，通过分析发现它就是一个底是2、高是4的三角形，其面积直接可求为|：四、重新组合法：这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.例如，欲求下图中阴影部分面积，可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处，这时采用相减法就可求出其面积了.五、辅助线法：这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可.如下图，求两个正方形中阴影部分的面积.此题虽然可以用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便.六、割补法：这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决.例如，如下图，欲求阴影部分的面积，只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半.七、平移法：这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积.例如，如下图，欲求阴影部分面积，可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个阴影部分恰是一个正方形。

八、旋转法：这种方法是将图形中某一部分切割下来之后，使之沿某一点或某一轴旋转一定角度贴补在另一图形的一侧，从而组合成一个新的基本规则的图形，便于求出面积.例如，欲求下图（1）中阴影部分的面积，可将左半图形绕B 点逆时针方向旋转180°，使A与C 重合，从而构成如右图（2）的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积.九、对称添补法：这种方法是作出原图形的对称图形，从而得到一个新的基本规则图形.原来图形面积就是这个新图形面积的一半.例如，欲求下图中阴影部分的面积，沿AB在原图下方作关于AB为对称轴的对称扇形ABD.弓形CBD的面积的一半就是所求阴影部分的面积。

阴影部分面积的求法
1.矩形法：当阴影部分与原图形为矩形相交时，可通过计算阴影矩形的面积来求得阴影部分面积。

2. 几何图形分解法：当阴影部分与原图形为多边形相交时，可将其分解为若干个几何图形，再对各个图形进行面积计算后相加得到阴影部分的面积。

3. 分割法：当阴影部分与原图形为曲线相交时，可通过将原图形分割为若干小块，再对每个小块内的阴影部分进行面积计算后相加得到阴影部分的面积。

4. 积分法：当阴影部分为较为复杂的形状时，可通过积分计算得到其面积。

这种方法需要一定的数学基础和计算能力。

需要注意的是，在进行阴影部分面积的求解时，需要注意精度问题，特别是在使用积分法时更为重要。

同时，在进行计算时也要注意单位的一致性，以避免出现计算错误。

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总结：对于不规则图形面积的计算问题一般将它转化为若干基本规则图形的组合，分析整体与部分的和、差关系，问题便得到解决.常用的基本方法有：一、相加法：这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积.例如，下图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可以了.二、相减法：这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差.例如，下图，若求阴影部分的面积，只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可.三、直接求法：这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积.如下页右上图，欲求阴影部分的面积，通过分析发现它就是一个底是2、高是4的三角形，其面积直接可求为|：四、重新组合法：这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.例如，欲求下图中阴影部分面积，可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处，这时采用相减法就可求出其面积了.五、辅助线法：这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可.如下图，求两个正方形中阴影部分的面积.此题虽然可以用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便.六、割补法：这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决.例如，如下图，欲求阴影部分的面积，只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半.七、平移法：这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积.例如，如下图，欲求阴影部分面积，可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个阴影部分恰是一个正方形。

八、旋转法：这种方法是将图形中某一部分切割下来之后，使之沿某一点或某一轴旋转一定角度贴补在另一图形的一侧，从而组合成一个新的基本规则的图形，便于求出面积.例如，欲求下图（1）中阴影部分的面积，可将左半图形绕B 点逆时针方向旋转180°，使A与C 重合，从而构成如右图（2）的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积.九、对称添补法：这种方法是作出原图形的对称图形，从而得到一个新的基本规则图形.原来图形面积就是这个新图形面积的一半.例如，欲求下图中阴影部分的面积，沿AB在原图下方作关于AB为对称轴的对称扇形ABD.弓形CBD的面积的一半就是所求阴影部分的面积。

初中数学学法指导：求阴影部分面积的三种方法求阴影部分的面积，在近几年中考题中，形成一个新的热点，在计算由圆、扇形、三角形、四边形等组成的图形面积时，要注意观察和分析图形，学会分解和组合图形，明确要计算图形的面积，可以通过哪些图形的和或差得到，切勿盲目计算。

现举例谈谈三种主要的方法：一. 和差法和差法是指不改变图形的位置，而将它的面积用规则图形的面积的和或差表示，经过计算后即得所求图形面积。

例1. 如图1所示，半径OA=2cm ，圆心角为90°的扇形AOB 中，C 为AB 的中点，D 为OB 的中点，求阴影部分的面积。

解：连结OC ，过点C 作CE ⊥OB 于E 。

因为C 为AB 的中点，所以 ∠BOC=︒=∠45AOB 21，所以CE=OC ·sin45°=cm 2。

所以22COB cm 2360245S ππ=⨯=扇形 2COD cm 22222121CE OD 21S =⨯⨯⨯=⨯=∆ 所以))(cm 222(S S S 2COD COB -=-=∆π扇形阴影点拨：不要将图形CBD 当作扇形计算，对于不规则图形的面积的计算问题，通常是经过适当的几何变换，把不规则的图形面积求解问题转化为规则图形面积的求解。

二. 移动法移动法是指将图形的位置进行移动，以便为使用和差法提供条件。

具体方法有：平移、旋转、割补、等积变换等。

例2. 如图2所示，AB 是半圆的直径，AB=2R ，C 、D 为半圆的三等分点，求阴影部分的面积。

解：连结OC 、OD 。

因为AC=BD ，所以∠CDA=∠DAB ，所以CD//AB所以COD S S 扇形阴影= 又因为∠COD=︒=∠60AOB 31所以222COD R 61360R 60360R n S S πππ====扇形阴影点拨：此阴影部分为不规则图形，可应用等积方法，转化为规则图形——扇形COD 。

例3. 某种商品的商标图案如图3所示（阴影部分），已知菱形ABCD 的边长为4，︒=∠60A ，BD 是以A 为圆心，AB 长为半径的弧，CD 是以B 为圆心，BC 长为半径的弧，求商标图案的面积。

初中数学求几何阴影面积解法一、公式法这属于最简单的方法，阴影面积是一个常规的几何图形，例如三角形、正方形等等。

简单举出2个例子：二、和差法攻略一直接和差法这类题目也比较简单，属于一目了然的题目。

只需学生用两个或多个常见的几何图形面积进行加减。

攻略二构造和差法从这里开始，学生就要构建自己的数学图形转化思维了，学会通过添加辅助线进行求解。

三、割补法割补法，是学生拥有比较强的转化能力后才能轻松运用的，否则学生看到这样的题目还是会无从下手。

尤其适用于直接求面积较复杂或无法计算时，通过对图形的平移、旋转、割补等，为利用公式法或和差法求解创造条件。

攻略一全等法训练题：1.如图所示：在正方形ABCD中，红色、绿色正方形的面积分别为52和12，且红绿两个正方形有一个顶点重合。

黄色正方形的一个顶点位于红色正方形两条对角线的交点，另一个顶点位于绿色正方形两条对角线的交点。

求黄色正方形的面积。

2.如图是一个大正方形和一个小正方形拼成的图形，已知小正方形的边长是6厘米，阴影部分的面积是66平方厘米，则空白部分的面积是多少？3.一个长方形被两条直线分成四个长方形，其中三个的面积分别是12平方厘米，8平方厘米，20平方厘米，求整个长方形的面积。

4.大正六边形的面积是720平方厘米，阴影部分是一个小正六边形，它的面积是____平方厘米。

（A）360（B）240（C）180（D）1205.如图，在两个半圆中，大圆的弦MN与小圆相切于点D，MN∥AB，MN＝a，ON、CD分别是两圆的半径，求阴影部分的面积。

6.如图，A是半径为2的⊙O外一点，OA＝4，AB是⊙O的切线，点B是切点，弦BC∥OA，连结AC，求图中阴影部分的面积。

初中数学阴影面积计算方法讲解阴影面积是指在光照、光线等因素影响下，物体表面未被直接照射到的面积部分。

在初中数学中，我们可以通过一些基本的几何知识和方法计算阴影面积。

下面就介绍一下初中数学中常见的几种阴影面积计算方法。

一、计算矩形阴影面积：```A，—BC，—D```在光线OA和OC照射下，阴影面积为ADCB区域。

矩形的阴影面积计算方法为：阴影面积=矩形面积-三角形面积其中，矩形面积为AB * BC，三角形面积可通过以下公式计算：三角形面积 = 1/2 * BC * heightheight为光线OC到AB的距离，可以通过相似三角形的比例关系计算得到：height = (OC / OA) * BC将得到的height代入三角形面积公式，即可计算出阴影面积。

二、计算三角形阴影面积：```A\C，—B```在光线OA和OC照射下，阴影面积为ACB区域。

三角形的阴影面积计算方法为：阴影面积=三角形面积-三个小三角形面积之和其中，三角形面积可以通过以下公式计算：三角形面积=1/2*AC*BC 小三角形面积为：1/2 * AC * height_ACO + 1/2 * BC *height_BCO + 1/2 * AB * height_ABOheight_ACO、height_BCO和height_ABO分别为光线OC到AC、BC、AB的距离，可以通过相似三角形的比例关系计算得到。

将得到的三角形面积和小三角形面积相减，即可计算出阴影面积。

三、计算圆形阴影面积：```O/\/\A，—C\/\/在光线OA和OC照射下，阴影面积为ACO区域。

圆形的阴影面积计算方法为：阴影面积=圆形面积-扇形面积其中，圆形面积为π*r*r，扇形面积可通过以下公式计算：扇形面积=1/2*扇形的弧长*r扇形的弧长可以通过扇形角的度数和圆的周长计算得到：扇形的弧长=(扇形角的度数/360)*2*π*r将得到的扇形的弧长代入扇形面积公式，即可计算出阴影面积。

初中数学专题复习——求阴影面积的常用方法计算平面图形的面积问题是常见题型，求平面阴影部分的面积是这类问题的难点。

不规则阴影面积常常由三角形、四边形、弓形、扇形和圆、圆弧等基本图形组合而成的，在解此类问题时，要注意观察和分析图形，会分解和组合图形。

介绍几种常用的方法。

1.转化法此法就是通过等积变换、平移、旋转、割补等方法将不规则的图形转化成面积相等的规则图形，再利用规则图形的面积公式，计算出所求的不规则图形的面积。

例1. 如图1，点C、D是以AB为直径的半圆O上的三等分点，AB=12，则图中由弦AC、AD 和围成的阴影部分图形的面积为_________。

2.和差法有一些图形结构复杂，通过观察，分析出不规则图形的面积是由哪些规则图形组合而成的，再利用这些规则图形的面积的和或差来求，从而达到化繁为简的目的。

例2. 如图3是一个商标的设计图案，AB=2BC=8，为圆，求阴影部分面积。

3.重叠法就是把所求阴影部分的面积问题转化为可求面积的规则图形的重叠部分的方法。

这类题阴影一般是由几个图形叠加而成。

要准确认清其结构，理顺图形间的大小关系。

例3. 如图4，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内作半圆，求所围成阴影部分图形的面积。

4.补形法将不规则图形补成特殊图形，利用特殊图形的面积求出原不规则图形的面积。

例4. 如图5，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，，求四边形ABCD所在阴影部分的面积。

5.拼接法例5. 如图6，在一块长为a、宽为b的矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽都是c个单位），求阴影部分草地的面积。

6.特殊位置法例6. 如图8，已知两个半圆中长为4的弦AB与直径CD平行，且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积等于__________。

7.代数法将图形按形状、大小分类，并设其面积为未知数，通过建立方程或方程组来解出阴影部分面积的方法。

例7. 如图10，正方形的边长为a，分别以两个对角顶点为圆心、以a为半径画弧，求图中阴影部分的面积。

中考求阴影部分面积【知识概述】计算平面图形的面积问题是常见题型，求平面阴影部分的面积是这类问题的难点。

不规则阴影面积常常由三角形、四边形、弓形、扇形和圆、圆弧等基本图形组合而成的，在解此类问题时，要注意观察和分析图形,会分解和组合图形。

现介绍几种常用的方法。

一、转化法此法就是通过等积变换、平移、旋转、割补等方法将不规则的图形转化成面积相等的规则图形，再利用规则图形的面积公式，计算出所求的不规则图形的面积。

例1. 如图1,点Ｃ、D 是以AB 为直径的半圆O 上的三等分点，ＡB=12，则图中由弦A Ｃ、AD 和C D ⌒围成的阴影部分图形的面积为____＿_＿＿_。

分析:连结ＣD 、OC 、O Ｄ,如图2。

易证ＡＢ//ＣD ，则∆∆A C D O C D和的面积相等,所以图中阴影部分的面积就等于扇形O ＣD 的面积。

易得∠=︒C O D 60，故S S O C D阴影扇形==⋅=60636062ππ。

例2、 如图,A 是半径为１的⊙O 外的一点，OA ＝2，AB 是⊙O 的切线,Ｂ是切点,弦BC ∥OA,连结A Ｃ，则阴影部分的面积等于_______．分析:一个图形的面积不易或难以求出时，可改求与其面积相等的图形面积，便可以使原来不规则的图形转化为规则图形。

解：连结OB 、OC.∵B Ｃ∥OA ，∴Ｓ△ＡBC=S △ＯBC,∴S 阴影＝S 扇形ＯBC. ∵AB 是⊙Ｏ的切线,∴∠ＢOA ＝90°, ∵OB=1,ＯA=2，∴∠ＯBC=∠ＢOA=60°，∴∠B ＯC= ， ∴扇形ＯB Ｃ是圆的 ．∴S 阴影=S 扇形ＯＢC ＝二、和差法有一些图形结构复杂,通过观察,分析出不规则图形的面积是由哪些规则图形组合而成的，再利用这些规则图形的面积的和或差来求,从而达到化繁为简的目的。

例3. 如图3是一个商标的设计图案，AB=2ＢＣ=8,A D E ⌒为14圆，求阴影部分面积。

分析：经观察图3可以分解出以下规则图形：矩形ABC Ｄ、扇形A ＤE 、R t E B C∆。

四种方法求阴影部分面积计算阴影面积是在几何学和物理学中的一个常见问题。

在这个问题中，我们需要找到两个或多个图形之间的重叠部分的面积。

这些图形可以是任何形状，包括圆形、矩形、三角形等。

在本文中，我将介绍四种不同的方法来计算阴影面积。

这些方法分别是几何法、分割法、积分法和数值法。

每种方法都有其优点和局限性，适用于不同类型的图形和场景。

1.几何法：几何法是最常见和直观的方法之一，适用于简单的图形。

它的基本思想是将图形转化为几何体，然后计算这些几何体的体积或面积。

对于平面图形，可以使用面积公式来计算。

例如，对于矩形，可以直接计算两个方向上的长度乘积；对于圆形，可以使用圆的半径和π来计算面积。

然后，通过找到两个图形的重叠部分，并计算其面积，可以得到阴影面积。

2.分割法：分割法是一种基于图形分割的方法，适用于复杂的图形。

它的思想是将图形分割成简单的几何体，然后计算这些几何体的面积，并将它们加在一起。

这种方法一般使用数学建模软件来进行计算。

例如，对于一个复杂的图形，可以将其分割成多个矩形或三角形，并计算它们的面积，然后将它们加在一起来得到阴影面积。

3.积分法：积分法是一种基于微积分的方法，适用于连续变化的图形。

它的基本思想是使用积分来计算曲线下面积。

对于阴影面积的计算，可以将两个图形的边界曲线表示为一个函数的形式，并计算它们之间的积分。

这种方法需要具备一定的数学知识和计算能力，但可以得到更准确的结果。

4.数值法：数值法是一种通过数值逼近的方法，适用于复杂的图形和场景。

它的思想是将图形离散化成有限个点或网格，并计算每个点或网格的面积，并将它们加在一起。

这种方法可以使用计算机程序进行计算，但结果的准确性依赖于离散化的精度。

通常情况下，离散化的精度越高，计算结果越准确。

综上所述，四种方法分别是几何法、分割法、积分法和数值法。

它们适用于不同类型的图形和场景，并具有不同的优点和局限性。

在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来计算阴影面积。

初中数学阴影面积求解小技巧
阴影部分面积计算是全国中考的高频考点，常在选择题和填空题中考查。

求阴影部分面积的常用方法有以下三种：
一、公式法（所求面积的图形是规则图形）
二、和差法（所求图形面积是不规则图形，可通过添加辅助线转化为规则图形的和或差）
（1）直接和差法
（2）构造和差法
三、等积变换法（直接求面积无法计算或者较复杂，通过对图形的平移、选择、割补等，为利用公式法或和差法求解创造条件）（1）全等法
（2）对称法
（3）平移法
（4）旋转法
练习题。

中考求阴影部分面积【知识概述】计算平面图形的面积问题是常见题型，求平面阴影部分的面积是这类问题的难点。

不规则阴影面积常常由三角形、四边形、弓形、扇形和圆、圆弧等基本图形组合而成的，在解此类问题时，要注意观察和分析图形，会分解和组合图形。

现介绍几种常用的方法。

一、转化法此法就是通过等积变换、平移、旋转、割补等方法将不规则的图形转化成面积相等的规则图形，再利用规则图形的面积公式，计算出所求的不规则图形的面积。

例1. 如图1，点C 、D 是以AB 为直径的半圆O 上的三等分点，AB=12，则图中由弦AC 、AD 和C D ⌒围成的阴影部分图形的面积为_________。

二、和差法有一些图形结构复杂，通过观察，分析出不规则图形的面积是由哪些规则图形组合而成的，再利用这些规则图形的面积的和或差来求，从而达到化繁为简的目的。

三、重叠法就是把所求阴影部分的面积问题转化为可求面积的规则图形的重叠部分的方法。

这类题阴影一般是由几个图形叠加而成。

要准确认清其结构，理顺图形间的大小关系。

例4. 如图4，正方形的边长为a ，以各边为直径在正方形内作半圆，求所围成阴影部分图形的面积。

四、补形法将不规则图形补成特殊图形，利用特殊图形的面积求出原不规则图形的面积。

例5. 如图5，在四边形ABCD 中，AB=2，CD=1，∠=︒∠=∠=A B D 60，90︒，求四边形ABCD 所在阴影部分的面积。

例2.如图2，PA 切圆O 于A ，OP 交圆O 于B ，且PB=1，PA=3，则阴影部分的面积S=_______．五、拼接法例6. 如图6，在一块长为a 、宽为b 的矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽图2都是c 个单位），求阴影部分草地的面积。

六、特殊位置法例7. 如图8，已知两个半圆中长为4的弦AB 与直径CD 平行，且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积等于_______。

七、代数法将图形按形状、大小分类，并设其面积为未知数，通过建立方程或方程组来解出阴影部分面积的方法。

例谈求阴影部分面积的几种常见方法【专题综述】在初中数学中，求阴影部分的面积问题是一个重要内容，在近年来的各地中考试题中屡见不鲜．这类试题大多数都是求不规则图形的面积，具有一定的难度，因此，正确把握求阴影部分面积问题的解题方法，显得尤为重要．本文举例介绍解决这类问题的常见方法．【方法解读】一、直接求解法例1 如图1，有一矩形纸片ABCD，AB＝10，AD＝6，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，AD变到AD1位置，折痕为AE．再将△AED1以D1E为折痕，向右折叠，AE变到A1E位置，且A1E交BC于点F．求图中阴影部分的面积．分析因为阴影部分是一个规则的几何图形Rt△CEF，故根据已知条件可以直接计算阴影部分面积．解如图1，根据对称性可得AD＝AD1＝A1D1＝6．由已知条件易知：EC＝D1B＝4，BC＝6；Rt△FBA1∽Rt△FCE．设FC为x，则FB＝6－x．二、间接求解法例2 如图2，⊙O1与⊙O2外切于点C，且两圆分别和直线l相切于A、B两点，若⊙O1半径为3cm；⊙O2半径为1cm，求阴影部分面积．分析这是求一个不规则图形的面积，没有现成的面积公式，因此应采用间接的方法，设法转化为规则图形的面积的和或差去计算．三、整体合并法例3 如图3，⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且半径都是0.5cm，求三个阴影部分面积之和．分析所求的阴影部分面积是三个扇形面积之和，因为三个扇形圆心角度数不知道，所以无法单独求解，但仔细观察发现，三个扇形的圆心角分别是△ABC的三个内角，其和为180°，而扇形半径都相等，所以三个扇形能合并成一个半圆．于是问题获解．解如图3，因为三个圆的半径相等，三个扇形圆心角之和是180°，所以其面积就是半圆面积．四、等积变换法例4 如图4，A是半径为R的⊙O外一点，弦BC为3R，OA∥BC，求阴影部分面积．分析本题的阴影部分是不规则的图形，求其面积较困难，但灵活运用等积变换，就可以把它的面积转化为扇形OBC的面积，从而获解．解连接OC，OB，五、分割法例5 如图5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，分别以AC、BC为直径画半圆，求阴影部分面积．分析阴影部分图形不规则，不能直接求面积，可以把它分割成几个部分求面积的和．解如图5，连接CD．∵AC、BC是直径，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∴A、D、B三点共线．设阴影部分面积被分割为S1、S2、S3、S4四部分．则六、转化法例6如图(1)，大半圆O与小半圆O1相切于点C，大半圆的弦AB与小半圆相切于点F，且AB∥CD，AB ＝4cm，求阴影部分面积．分析如果想直接求阴影部分面积，无法求解，因为它不是规则图形．但要采取转化思想，把小半圆平移到与大半圆的圆心重合的位置，作OE⊥AB于点E．连接OB，可知BE＝2cm，阴影部分面积等于大半圆面积减去小半圆的面积．解如图(2)，将小半圆O1移至与大半圆圆心重合，作O E⊥AB于点E，则BE＝12AB＝2cm．设大圆半径为R，小圆半径为x，在Rt△OEB中，有七、割补法例7 如图7，点P(3a，a)是反比例函数y＝12x与⊙O在第一象限内的一个交点，求阴影部分的面积．分析阴影部分分两部分，难于逐一求解，但考虑反比例函数的对称性，结合割补原理，问题变得特别简单．解如图7，把右上角的S1部分分割下来，移到左下方补在S3处，与S2就组成了一个扇形OAB．易知：∵P(3a，a)在反比例函数y＝12x的图象上，∴3a＝12a．解得：a1＝2，a2＝－2（舍去）．∴P坐标为(6，2)．连接OP，作PC⊥x轴于点C，得：八、方程建模法例8如图8，正方形边长为a，以每边为直径在正方形内画四个半圆，求阴影部分的面积．分析本题直接求阴影部分面积较复杂，但观察图形特点引入方程的思想，问题变得非常简单．解正方形由四个阴影花瓣和四个空白图形组成，如图8，设一个阴影花瓣面积为x，一个空白图形面积为y．根据题意得：因此阴影部分面积为．222aaπ-．【强化训练】1．（2017内蒙古包头市）如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=45°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，若BC=42，则图中阴影部分的面积为（）A．π+1B．π+2C．2π+2D．4π+12．（2017四川省凉山州）如图，一个半径为1的⊙O1经过一个半径为2的⊙O的圆心，则图中阴影部分的面积为（）A．1B．12C．2D．223．（2017四川省资阳市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，则图中阴影部分的面积为（）A．1312πB．34πC．43πD．2512π4．（2017衢州）运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB是⊙O的直径，CD、EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB=10，CD=6，EF=8．则图中阴影部分的面积是（）A．252πB．10πC．24+4πD．24+5π5. （2017云南省）如图，边长为4的正方形ABCD外切于⊙O，切点分别为E、F、G、H．则图中阴影部分的面积为．6．（2017吉林省）如图，分别以正五边形ABCDE的顶点A，D为圆心，以AB长为半径画BE，CE．若AB=1，则阴影部分图形的周长为（结果保留π）．7. （2017四川省达州市）如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD边F处，连接AF，在AF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作⊙O与AD相切于点P．若AB=6，BC=33，则下列结论：①F是CD的中点；②⊙O的半径是2；③AE=92CE；④32S阴影．其中正确结论的序号是．8. （2017湖北省恩施州）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，以直角边AB为直径作半圆交AC于点D，以AD为边作等边△ADE，延长ED交BC于点F，BC=23，则图中阴影部分的面积为．（结果不取近似值）9. （2017内蒙古赤峰市）如图，点A是直线AM与⊙O的交点，点B在⊙O上，BD⊥AM垂足为D，BD 与⊙O交于点C，OC平分∠AOB，∠B=60°．（1）求证：A M是⊙O的切线；（2）若DC=2，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．10．（2017新疆）如图，AC为⊙O的直径，B为⊙O上一点，∠ACB=30°，延长CB至点D，使得CB=BD，过点D作DE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，连接BE．（1）求证：B E是⊙O的切线；（2）当BE=3时，求图中阴影部分的面积．。

初中数学之求阴影面积方法总结一、简单图形的阴影面积求解方法：1.长方形或正方形的阴影面积求解：对于长方形或正方形的阴影面积，只需计算图形的面积，然后与整个长方形或正方形的面积相减即可。

具体的计算公式为：阴影面积=整个长方形或正方形的面积-图形的面积。

2.圆形的阴影面积求解：对于圆形的阴影面积，需要先计算整个圆形的面积，然后找出圆形内的阴影部分，最后两者相减即可。

计算整个圆形面积的公式为：整个圆形的面积=π*半径²。

3.三角形的阴影面积求解：对于三角形的阴影面积，需要先计算整个三角形的面积，然后找出三角形内的阴影部分，最后两者相减即可。

计算三角形面积的公式为：三角形的面积=底边长度*高/2二、复杂图形的阴影面积求解方法：1.矩形与半圆阴影面积求解：当图形由矩形和半圆组成时，需要分别计算矩形和半圆的面积，然后相加即可。

具体步骤为：计算矩形面积，矩形面积=长*宽；计算半圆面积，半圆面积=π*半径²/2；最后将两部分面积相加得到阴影面积。

2.矩形与等腰梯形阴影面积求解：当图形由矩形和等腰梯形组成时，同样需要分别计算矩形和等腰梯形的面积，然后相加即可。

具体步骤为：计算矩形面积，矩形面积=长*宽；计算等腰梯形面积，等腰梯形面积=(上底+下底)*高/2；最后将两部分面积相加得到阴影面积。

三、图形的分割和组合：1.图形的分割：对于复杂的图形，可以通过将图形分割成简单的图形来计算阴影面积。

具体方法包括将图形分割成矩形、三角形、半圆等简单的图形，然后依次计算每个简单图形的面积，最后将各个部分的面积相加得到阴影面积。

2.图形的组合：当图形由多个简单图形组合而成时，可以分别计算每个简单图形的面积，然后将各个部分的面积相加得到阴影面积。

需要注意的是，图形的组合可能会产生重叠的部分，要注意将其去除或计算重叠部分的面积然后进行调整。

综上所述，求阴影面积主要涉及到计算图形的面积以及图形的分割和组合。

通过对不同图形的特点和求解方法的了解，我们可以灵活运用数学知识来计算阴影面积。

中考求阴影部分面积【知识概述】计算平面图形的面积问题是常见题型，求平面阴影部分的面积是这类问题的难点。

不规则阴影面积常常由三角形、四边形、弓形、扇形和圆、圆弧等基本图形组合而成的，在解此类问题时，要注意观察和分析图形，会分解和组合图形。

现介绍几种常用的方法。

一、转化法此法就是通过等积变换、平移、旋转、割补等方法将不规则的图形转化成面积相等的规则图形，再利用规则图形的面积公式，计算出所求的不规则图形的面积。

例1. 如图1，点C、D是以AB为直径的半圆O上的三等分点，AB=12，则图中由弦AC、AD和C D⌒围成的阴影部分图形的面积为_________。

二、和差法有一些图形结构复杂，通过观察，分析出不规则图形的面积是由哪些规则图形组合而成的，再利用这些规则图形的面积的和或差来求，从而达到化繁为简的目的。

三、重叠法就是把所求阴影部分的面积问题转化为可求面积的规则图形的重叠部分的方法。

这类题阴影一般是由几个图形叠加而成。

要准确认清其结构，理顺图形间的大小关系。

例4. 如图4，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内作半圆，求所围成阴影部分图形的面积。

四、补形法将不规则图形补成特殊图形，利用特殊图形的面积求出原不规则图形的面积。

例5. 如图5，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠=︒∠=∠=A B D60，90︒，求四边形ABCD所在阴影部分的面积。

例2.如图2，PA切圆O于A，OP交圆O于B，且PB=1，PA=3，则阴影部分的面积S=_______．五、拼接法例6. 如图6，在一块长为a、宽为b的矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽图2都是c 个单位），求阴影部分草地的面积。

六、特殊位置法例7. 如图8，已知两个半圆中长为4的弦AB与直径CD平行，且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积等于_______。

七、代数法将图形按形状、大小分类，并设其面积为未知数，通过建立方程或方程组来解出阴影部分面积的方法。

初中数学之求阴影面积方法总结一、公式法这属于最简单得方法,阴影面积就是一个常规得几何图形,例如三角形、正方形等等。

简单举出2个例子:二、与差法攻略一直接与差法这类题目也比较简单,属于一目了然得题目。

只需学生用两个或多个常见得几何图形面积进行加减。

攻略二构造与差法从这里开始,学生就要构建自己得数学图形转化思维了,学会通过添加辅助线进行求解、三、割补法割补法,就是学生拥有比较强得转化能力后才能轻松运用得,否则学生瞧到这样得题目还就是会无从下手。

尤其适用于直接求面积较复杂或无法计算时,通过对图形得平移、旋转、割补等,为利用公式法或与差法求解创造条件。

攻略一全等法攻略二对称法攻略三平移法攻略四旋转法小结:(一)解决面积问题常用得理论依据1、三角形得中线把三角形分成两个面积相等得部分。

2、同底同高或等底等高得两个三角形面积相等。

3、平行四边形得对角线把其分成两个面积相等得部分。

4、同底(等底)得两个三角形面积得比等于高得比。

同高(或等高)得两个三角形面积得比等于底得比。

5、基本几何图形面积公式:三角形、平行四边形、、菱形、矩形、梯形、圆、扇形。

6、相似三角形面积之比等于相似比得平方7、反比例函数中ｋ得几何含义8、在直角坐标系中函数图像构成得图形面积常常利用图形顶点得坐标构造高去求面积(二)证明面积问题常用得证题思路与方法１、分解法:通常把一个复杂得图形,分解成几个三角形。

2、补全法:通过平移、旋转、翻折变换把分散得图形拼成一个规则得几何基本图形3、作平行线法:通过平行线找出同高(或等高)得三角形。

求阴影部分面积的方法在数学中，求阴影部分面积是一个常见的问题。

阴影部分面积的计算方法有很多种，下面我们将介绍几种常见的方法。

一、几何法。

几何法是最直观的求阴影部分面积的方法之一。

首先，我们需要将阴影部分与已知图形进行比较，找到相似的图形或者利用几何图形的性质来求解。

例如，如果阴影部分是一个三角形，我们可以利用三角形面积公式来计算阴影部分的面积。

如果阴影部分是一个不规则图形，我们可以将其分割成几个已知图形，然后分别计算它们的面积，最后将它们相加得到阴影部分的面积。

二、积分法。

积分法是一种比较高级的求阴影部分面积的方法。

如果阴影部分是一个曲线围成的区域，我们可以利用定积分的概念来求解。

首先，我们需要确定曲线的方程，并找到曲线与坐标轴之间的交点。

然后，利用定积分的性质，可以将曲线围成的区域分割成无穷小的矩形，然后将这些矩形的面积相加，即可得到阴影部分的面积。

三、投影法。

投影法是一种利用投影关系来求解阴影部分面积的方法。

如果阴影部分是一个立体图形在平面上的投影，我们可以利用投影的性质来求解。

首先，我们需要确定立体图形的形状和位置，然后利用投影的关系，可以将立体图形的面积投影到平面上，最后计算投影部分的面积即可得到阴影部分的面积。

四、数值逼近法。

数值逼近法是一种利用数值计算方法来求解阴影部分面积的方法。

如果阴影部分的形状比较复杂，难以用几何法或者积分法求解，我们可以利用数值计算方法来逼近阴影部分的面积。

例如，可以利用蒙特卡洛方法来进行随机抽样，然后利用抽样结果来估计阴影部分的面积。

以上就是几种常见的求阴影部分面积的方法，每种方法都有其适用的场景和计算步骤。

在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解阴影部分的面积。

希望本文的介绍对您有所帮助。