五年级上册-最大公因数-练习

2 23 3 课题：五年级 最大公约数与最小公倍数 应用基础训练1、 求下列各数的最大公约数和最小公倍数。

（1）36和48 （2）24、36和482、已知甲数=2 ×3×5，乙数 =2 ×3 ×7，求甲乙两数的最大公约数和最小公倍数。

3、把1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数分别填在下面的九个方框里，使以下等式成立：□□×□□＝□□×□□□＝36344、将下列八个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等。

12，18，33，35，36，65，77，104．应用题1、有四个人，他们的年龄一个比一个大一岁，他们的年龄的乘积等于43680，则这四个人中年龄最小的是几岁？2、王老师带学生去植树，学生恰好平均分成三组，如果他们共植树638棵，且老师和学生植树棵数相同，问一共有多少名学生？每人植树多少棵？（全班人数接近60人）3、2160与一个自然数A 相乘的积恰好是某一个自然数的平方，问A 最小是多少？当A 最小时，这个自然数的平方是多少？4、有三个自然数A，B，C，已知A×B=36，B×C=108，A×C=48，则这三个自然数的和是多少？5、电子钟每9分钟亮一次灯，整点响铃，12点既亮灯又响铃以后，下次在几点既响铃又亮灯？6、有36支铅笔和40本练习本，平均奖给若干个三好学生，结果铅笔多出一支，练习本差2本，获奖的学生有多少人？7、某班学生自制学具，把长144厘米、宽48厘米、高32厘米的长方体木料，锯成尽可能大的同样大小的正方体木块，求正方体木块的棱长和块数（锯完之后原木料没有剩余）。

8、某班学生人数在60---70之间，如果分成每8人一个小组，那么有一个小组多5人；如果分成每12人一个小组，那么有3个小组各少一人。

求这个班的学生人数。

思考题：有若干名学生上体育课，内容是学习篮球、排球和足球。

规定每二人合用一只排球，每三人合用一只足球，每四人合用一只篮球，共用了26只球。

10.求最大公因数与最小公倍数的方法一、认真审题，填一填。

(每空2分，共22分)1．60以内6的倍数：()，9的倍数：()，6和9的公倍数：()。

2．50以内8和12的公倍数有()，最小公倍数是()。

3．一个数既是4的倍数又是6的倍数，这个数最小是()。

4．100以内8和12的公倍数有()个。

5．在括号里填上最简分数。

80分＝()时600千克＝()吨40厘米＝()米60平方分米＝()平方米二、火眼金睛，判对错。

(每小题2分，共8分)1．约分就是把分数的分子、分母变小。

() 2．最简分数的分子和分母没有公因数。

() 3．a和b的最大公因数是a，最小公倍数一定是b。

() 4．两个数的最小公倍数一定是最大公因数的倍数。

()三、仔细推敲，选一选。

(每小题2分，共8分)1．在3，5，7，8中，只有公因数1的有()对。

A．3 B．4 C．5 D．62．数a是数b的倍数，那么a和b的最大公因数是()。

A．a B．b C．1 D．ab3．下列叙述的几组数中，()的最大公因数是1。

A．两个不同的质数B．两个不同的奇数C．一个质数和一个合数D．一个奇数和一个偶数4．a÷b＝10(a，b均为不等于0的自然数)，a和b的最小公倍数是()。

A．a B．b C．10 D．无法确定四、按要求完成各题。

(共44分)1．求出下列各组数的最小公倍数。

(12分)28和42 9和18925和45 48和722．找出下列各组数的最大公因数。

(12分)15和50 66和8851和1726和783．写出分子和分母的最大公因数。

(6分)912() 515()810()420() 1545()4527()4．圈出最简分数，并把其余的分数约分。

(6分)6 15711486465 91133734515．把下面各组分数通分。

(8分)4 9和5181842和12145 24和113647和613五、聪明的你，答一答。

(共18分)1．一张长方形纸长80 cm，宽60 cm，要把它剪成若干大小相等的正方形(边长为整厘米数)，没有剩余，正方形的边长最长是多少厘米？可以剪多少个？(9分)2．五年级同学排队做操，排成每队15人或每队18人，都刚好排完。

最大公因数专题简析：几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个就是这几个数的最大公因数。

课本向我们介绍了用列举法来求几个数的最大公因数。

本讲我们一起来探讨用短除法、辗转相除法等几个方法求几个数的最大公因数。

自然数a、b的最大公因数可以记作（a，b）。

例1用短除法求36和54的最大公因数。

分析与解答：人们常常用短除法求两个数的最大公因数，短除法的形式如下：2 36 54 ……先同时除以公因数2；3 18 27 ……再同时除以公因数3；3 6 9 ……再同时除以公因数3；2 3 ……除到两个商为互质数为止。

把上式中所有的除数相乘所得的积即为36和54的最大公因数，即（36,54）=2×3×3=18.随堂练习：用短除法求40和32的最大公因数。

例2求45、60、90这三个数的最大公因数。

分析与解答：与前面的例1不同的是这道题要求三个数的最大公因数。

方法1：可以用列举法。

45的因数有：1，3，4，5，9，15，45；60的因数有：1,2,3,4,5，6,10,12,15,20,30,60；90的因数有：1,2,3,4,5，6,10,15,18,30,45,90.45,60和90的公因数有：1,3,5,15；所以（45,60,90）=15.方法2：也可以用短除法。

345 60 90 ……先同时除以公因数3；5 15 20 30 ……再同时除以公因数5；3 4 6 ……除到三个商只有公因数1为止。

把上式的除数3和5相乘所得的积即为45,60,和90的最大公因数，即（45,60,90）=3×5=15.随堂练习：用短除法求36、48和60的最大公因数。

例3求319和377的最大公因数。

分析与解答：求这两个数的最大公因数如果用短除法很难找出它们的公因数，我们可以用下面这种新的方法：用较大的数377除以较小的数319；377÷319=1 (58)上面的算式中有余数58，用上式中的除数319除以余数58：319÷58=5 (29)上面的算式中仍有余数，再用上式中的除数58除以余数29：58÷29=2上式中没有余数了，这时算式中的除数29就是想319和377的最大公因数，即（319,377）=29上面这张求最大公因数的方法被古希腊的大数学家欧几里德命名为“辗转相除法”。

五年级数学最大公因数,最小公倍数练习题(含提高)定义：最大公约数：最大公约数，也称最大公因数、最大公因子，指两个或多个整数共有约数中最大的一个。

a，b的最大公约数记为（a，b），同样的，a，b，c的最大公约数记为（a，b，c），多个整数的最大公约数也有同样的记号。

求最大公约数有多种方法，常见的有质因数分解法、短除法、辗转相除法、更相减损法。

与最大公约数相对应的概念是最小公倍数，a，b的最小公倍数记为[a，b]。

质因数分解法：把每个数分别分解质因数，再把各数中的全部公有质因数提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最大公约数。

例如：求24和60的最大公约数，先分解质因数，得24=2×2×2×3，60=2×2×3×5，24与60的全部公有的质因数是2、2、3，它们的积是2×2×3=12，所以，（24、60）=12。

把几个数先分别分解质因数，再把各数中的全部公有的质因数和独有的质因数提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最小公倍数。

例如：求6和15的最小公倍数。

先分解质因数，得6=2×3，15=3×5，6和15的全部公有的质因数是3，6独有质因数是2，15独有的质因数是5，2×3×5=30，30里面包含6的全部质因数2和3，还包含了15的全部质因数3和5，且30是6和15的公倍数中最小的一个，所以[6，15]=30。

短除法：短除法求最大公约数，先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所有的商互质为止，然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公约数。

短除法求最小公倍数，先用这几个数的公约数去除每个数，再用部分数的公约数去除，并把不能整除的数移下来，一直除到所有的商中每两个数都是互质的为止，然后把所有的除数和商连乘起来，所得的积就是这几个数的最小公倍数，例如，求12、15、18的最小公倍数。

最大公因数与最小公倍数应用题——五年级上册几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，此中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。

几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，此中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。

最大公因数和最小公倍数的性质1）两个数分别除以它们的最大公因数，所得的商必然是互质数。

2）两个数的最大公因数的因数，都是这两个数的公因数，3）两个自然数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。

例：有一个长方体的木头，长3.25米，宽1.75米，厚0.75米。

假如把这块木头截成好多相等的小立方体，并使每个小立方体尽可能大，小立方体的棱长及个数各是多少？解：依据题意，小立方体一条棱长应是长方体长、宽、厚各数的最大合约数。

即：（325、175、75）=25（厘米）因为325÷25=13；175÷25=7；75÷25=3所以13×7×3=273（个）或（325×175×75）÷（25×25×25）=273例：有一个两位数，除50余2，除63余3，除73余1。

求这个两位数是多少？解：这个两位数除50余2，则用他除48（52－2）恰好整除。

也就是说，这个两位数是4 8的约数。

同理，这个两位数也是60、72的约数。

所以，这个两位数只可能是48、60、72的合约数1、2、3、4、6、12，而满足条件的只有合约数12，即（48、60、72）=12。

练习1.新年联欢会上，张老师把42个打气球和30个吝啬球均匀分给几个小组，正好分完。

最多可以分给几个小组？每个小组分的大、吝啬球各多少个？2.雨辰小学五年二班有54人，五年三班有63人，两班决定分小组去博物馆观光，两班每组人数相等而且没有节余每小组最多有多少人？每个班可以分多少个小组？3.同学们买了24朵百合花的18朵玫瑰花送个老师，两栽花混在一起扎成一束，想要扎成每束百合花、玫瑰花朵数相同，最多扎几束？每束几朵百合花，几朵玫瑰花？4.明显有一张长84厘米，宽60厘米的长方形纸板，剪成边长相等的小正方形，边长最长是多少？可以剪几块？解答合约数或公倍数问题的要点是：从约数和倍数的意义下手来解析，把原题归纳为求几个数的合约数或公倍数问题。

最大公约数和最小公倍数应用题1.认真理解整除的概念；2.熟练运用求最大公因数与最小公倍数的方法：短除法3.对题意的深入理解；例题1 一张长方形纸，长96厘米，宽60厘米，如果把它裁成同样大小且边长为整厘米的最大正方形，且保持纸张没有剩余，每个正方形的边长是几厘米？每个正方形的面积是多少？可以裁多少个这样的正方形？随堂练习：1.有一块长方形纸板，长24厘米，宽15厘米，将这块纸板裁成同样大小的正方形，不能有剩余，每块小正方形的边长是最长是多少？可以裁成多少块？2.王师傅找到一块长72厘米，宽60厘米，高48厘米的长方体木料，王师傅把它锯成同样大小的正方体木块，木块的体积最大，不能有剩余，算一算，可以锯成多少块？3.五（1）班给每个同学买了1个练习本，共花去9.30元钱，已知每个练习本的价钱比学生人数少，五（1）班共有多少个学生？例题2 张林、李强都爱在图书馆看书，张林每4天去一次，李强每6天去一次，有一次他们两人在图书馆相遇，至少再过多少天他们又可以在图书馆相遇？随堂练习：1.有一包奶糖，无论分给6个小朋友，8个小朋友，还是10个小朋友，都正好分完，这包糖至少有多少块？2.某公共汽车站有三条不同线路，1路车每隔6分钟发一辆，2路车每隔10分钟发一辆，3路车每隔12分钟发一辆，三路车在早上8点同时发车后，至少再到什么时候又可以同时发车？3.一个班不足50人，上体育课站队时，无论每行站16人，还是每行站24人，都正好是整行，这个班有多少人？例题3 用一个数去除52,余4,再用这个数去除40,也余4,这个数最大是多少？随堂练习：1.把19支钢笔和23个软面抄平均奖给几个三好学生，结果钢笔多出了3支，软面抄也多出了3三，得奖的学生最多有几人？2.一个自然数，去除22少2,去除34也少2,这个自然数最大是几？3.一个数除73余1,除98余2,除147余3,这个数最大应是多少？例题4 有一批作业本，无论是平均分给10个人，还是12个人，都剩余4本，这批作业本至少有多少本？随堂练习：1.有一箱卡通书，把它平均分给6个小朋友，多出1本；平均分给8个小朋友，也多出1本；平均分给9个小朋友，还是多1本，这箱卡通书最少有多少本？2.五年级同学参加社区服务活动，人数在40和50之间，如果分成3人一组，4人一组或6人一组都正好缺一人，五年级参加活动的一共有多少人？4.有一篮鸡蛋，两个两个去数，余1个；三个三个去数，余2个；四个四个去数，余3个，这篮鸡蛋至少有多少个？课堂作业：1.有两根钢管，一根长25米，一根长20米，把它们锯成同样长的小段，使每根不许有剩余，每段最长几米？一共要锯几次？2.李老师要把84本语文课本，70本数学课本，56本自然课本，平均分为若干堆，每堆中这三种课本的数量分别相等，那么最多可以分成多少堆？每堆中有语文、数学、自然课本各多少本？3缝纫店有一块长40分米，宽25分米的布料，现在顾客要求把它裁成正方形小布块（不能有剩余），块数又要求最少，那么裁成的正方形不布块面积有多大？4.一盒铅笔，可以平均分给4,5,6个小朋友，都没有剩余，这盒铅笔最少有多少只？5.某学校暑假期间安排王老师生4天值一次班，李老师每6天值一次班，张老师每8天值一次班，如果7月1日他们三人同一天值班，下一次他们三人同一天值班是几月几日？6.开学初，学校准备了96个黑板擦，72把扫帚，48个纸篓，平均分给各个班。

公因数问题1：用短除法求下列各组数的最大公因数。

①12和18 ②34和102 ③15和50 ④12、24和36 想：用短除法求几个数的最大公因数，一般用这几个数除以它们的公因数，一直除到所得的商只有公因数1为止,再把所有的除数连乘起来，所得积就是这几个数的最大公因数。

两个数的最大公因数用（ ）表示。

试一试：求下列各组数的最大公因数（用短除法）①20和30 ②28和84 ③54和90 ④30、45和60问题2：求24、60和132三个数，共有多少个公因数其中最大的公因数是多少想：这道题可用列举法来解答，但比较麻烦。

我们可以用短除法求出这三个数的最大公因数，然后根据几个自然数最大公因数的因数个数等于这几个自然数公因数的个数的规律，找到这三个数的公因数。

1126 93 2 3①②31022 1511 3③④1553112326112369312（34、102）= 2×17（15、50）= 5（15、24、36）= 2×2×3解同时除以公因数2 同时除以公因数2同时除以公（12、18）= 2×3＝6试一试：先用短除法求出每一组数的最大公因数，再求出每组数中公因数的总个数。

①16和24 ②28和70 ③150和180 ④60、75和150问题3：有三根木棒，分别长12厘米，44厘米，56厘米，把它们都截成同样长的小棒（整厘米），不许有剩余，每根小棒最长能有多少厘米想：把每根木棒截成同样长的小棒后不许有剩余，每根小棒的长度必须是各自木棒长度的因数；把三根小棒截成同样长的小棒，不许有剩余，每根小棒的长就是这三根小棒的公因数；每根小棒最长多少厘米，就是求这三根小棒的最大公因数。

试一试：1、有三根钢筋，分别长12分米，18分米、30分米，把它们都截成同样长的小段（整分米），不许有剩余，每小段最长是多少分米2、有50个梨、75个苹果和100个桔子，要把这些水果平均分给几个小组，并且每个小组分得的三种水果的个数也相同，最多可以分给几个小组每组中每样水果各几个1456 2622 2311（12、44、56）= 2×2=4解2613221362613325（24、60、132）= 2×2×3=12，因为24、60和132的最大公因数是12，而12=22×3，得（2+1）×（1+1）=6，解1问题4：一张长方形纸，长7分米5厘米，宽6分米，把它截成一块块相同的正方形。

五年级数学：最大公因数练习题最大公因数练题一、基础练1、填空。

1）几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。

2）公因数只有1的两个数，叫做互质数。

如果两个数是互质数，它们的最大公因数是1.3）所有的偶数都有公因数2.4）如果小数是大数的因数，那么这个小数就是这两个数的最大公因数。

5）把210分成三个连续自然数的乘积是1680.6）两个数最大公因数是30，这两个数的公因数有1、2、3、5、6、10、15、30.7）自然数a是自然数b的3倍，这两个数的最大公因数是a，最小公倍数是3b。

8）6和18，6是3的倍数，18是6的倍数。

6和18的最大公因数是6.9）既能整除12，又能整除18的数，最大的一个数是36.10）24和36所有公因数的积是72.2、下面各组数是互质数的在（）里打“√”。

5和7（√）；9和10（√）；12和21（）；90和25（）；24和13（√）；121和11（√）；1和42（√）；52和13（√）；7和27（）。

3、判断。

（对的打“√”，错的打“×”）1）7是互质数。

（√）2）相邻的两个自然数都是互质数。

（×）3）两个奇数一定是互质数。

（√）4）互质数是没有公因数的。

（×）5）1、2和3的最大公因数是1×2×3=6.（√）6）a和b两个自然数的最大公因数是12，那么a和b的公因数共有6个。

（×）7）甲数是乙数的3倍，那么甲数是甲、乙两数的最大公因数。

（×）8）24×35×a（a是非自然数）的积一定能被42整除。

（×）4、直接写出各组数的最大公因数。

5，8）=1；（12，13）=1；16，20）=4；（65，143）=13；17，51）=17；（11，12，13）=1；4，16，48）=4；（4，10，16）=2；25，40，65）=5；5、求下面各组数的最大公因数。

1、一张长方形纸，长96厘米，宽60厘米，如果把它裁成同样大小且边长为整厘米的最大正方形，且保持纸张没有剩余，每个正方形的边长是几厘米？每个正方形的面积是多少？可以裁多少个这样的正方形？2、有一块长方形纸板，长24厘米，宽15厘米，将这块纸板裁成同样大小的正方形，不能有剩余，每块小正方形的边长是最长是多少？可以裁成多少块？3、王师傅找到一块长72厘米，宽60厘米，高48厘米的长方体木料，王师傅把它锯成同样大小的正方体木块，木块的体积最大，不能有剩余，算一算，可以锯成多少块？4、五（1）班给每个同学买了1个练习本，共花去9.30元钱，已知每个练习本的价钱比学生人数少，五（1）班共有多少个学生？5、张林、李强都爱在图书馆看书，张林每4天去一次，李强每6天去一次，有一次他们两人在图书馆相遇，至少再过多少天他们又可以在图书馆相遇？6、有一包奶糖，无论分给6个小朋友，8个小朋友，还是10个小朋友，都正好分完，这包糖至少有多少块？7、某公共汽车站有三条不同线路，1路车每隔6分钟发一辆，2路至少再车每隔10分钟发一辆，3路车每隔12分钟发一辆，三路车在早上8点同时发车后，到什么时候又可以同时发车？8、一个班不足50人，上体育课站队时，无论每行站16人，还是每行站24人，都正好是整行，这个班有多少人？9、用一个数去除52,余4,再用这个数去除40,也余4,这个数最大是多少？10、把19支钢笔和23个软面抄平均奖给几个三好学生，结果钢笔多出了3支，软面抄也多出了3个，得奖的学生最多有几人？11、一个自然数，去除22少2,去除34也少2,这个自然数最大是几？12、一个数除73余1,除98余2,除147余3,这个数最大应是多少？13、有一批作业本，无论是平均分给10个人，还是12个人，都剩余4本，这批作业本至少有多少本？14、有一箱卡通书，把它平均分给6个小朋友，多出1本；平均分给8个小朋友，也多出1本；平均分给9个小朋友，还是多1本，这箱卡通书最少有多少本？15、五年级同学参加社区服务活动，人数在40和50之间，如果分成3人一组，4人一组或6人一组都正好缺一人，五年级参加活动的一共有多少人？16、有一篮鸡蛋，两个两个去数，余1个；三个三个去数，余2个；四个四个去数，余3个，这篮鸡蛋至少有多少个？17、有两根钢管，一根长25米，一根长20米，把它们锯成同样长的小段，使每根不许有剩余，每段最长几米？一共要锯几次？18、李老师要把84本语文课本，70本数学课本，56本自然课本，平均分为若干堆，每堆中这三种课本的数量分别相等，那么最多可以分成多少堆？每堆中有语文、数学、自然课本各多少本？19、缝纫店有一块长40分米，宽25分米的布料，现在顾客要求把它裁成正方形小布块（不能有剩余），块数又要求最少，那么裁成的正方形不布块面积有多大？20、一盒铅笔，可以平均分给4,5,6个小朋友，都没有剩余，这盒铅笔最少有多少只？21、某学校暑假期间安排王老师生4天值一次班，李老师每6天值一次班，张老师每8天值一次班，如果7月1日他们三人同一天值班，下一次他们三人同一天值班是几月几日？22、开学初，学校准备了96个黑板擦，72把扫帚，48个纸篓，平均分给各个班。

五年级数学最大公因数,最小公倍数练习题(含提高)定义：最大公约数：最大公约数.也称最大公因数.最大公因子.指两个或多个整数共有约数中最大的一个·a.b的最大公约数记为（a.b）.同样的.a.b.c的最大公约数记为（a.b.c）.多个整数的最大公约数也有同样的记号·求最大公约数有多种方法.常见的有质因数分解法.短除法.辗转相除法.更相减损法·与最大公约数相对应的概念是最小公倍数.a.b的最小公倍数记为[a.b]·质因数分解法：把每个数分别分解质因数.再把各数中的全部公有质因数提取出来连乘.所得的积就是这几个数的最大公约数·例如：求24和60的最大公约数.先分解质因数.得24=2×2×2×3.60=2×2×3×5.24与60的全部公有的质因数是2.2.3.它们的积是2×2×3=12.所以.（24.60）=12·把几个数先分别分解质因数.再把各数中的全部公有的质因数和独有的质因数提取出来连乘.所得的积就是这几个数的最小公倍数·例如：求6和15的最小公倍数·先分解质因数.得6=2×3.15=3×5.6和15的全部公有的质因数是3.6独有质因数是2.15独有的质因数是5.2×3×5=30.30里面包含6的全部质因数2和3.还包含了15的全部质因数3和5.且30是6和15的公倍数中最小的一个.所以[6.15]=30·短除法：短除法求最大公约数.先用这几个数的公约数连续去除.一直除到所有的商互质为止.然后把所有的除数连乘起来.所得的积就是这几个数的最大公约数·短除法求最小公倍数.先用这几个数的公约数去除每个数.再用部分数的公约数去除.并把不能整除的数移下来.一直除到所有的商中每两个数都是互质的为止.然后把所有的除数和商连乘起来.所得的积就是这几个数的最小公倍数.例如.求12.15.18的最小公倍数·[1]短除法的格式短除法的本质就是质因数分解法.只是将质因数分解用短除符号来进行·短除符号就是除号倒过来·短除就是在除法中写除数的地方写两个数共有的质因数.然后落下两个数被公有质因数整除的商.之后再除.以此类推.直到结果互质为止（两个数互质）·而在用短除计算多个数时.对其中任意两个数存在的因数都要算出.其它没有这个因数的数则原样落下·直到剩下每两个都是互质关系·求最大公因数便乘一边.求最小公倍数便乘一圈·无论是短除法.还是分解质因数法.在质因数较大时.都会觉得困难·这时就需要用新的方法·辗转相除法：辗转相除法是求两个自然数的最大公约数的一种方法.也叫欧几里德算法·这就是辗转相除法的原理·辗转相除法的格式例如.求（319.377）：∵ 319÷377=0（余319）∴（319.377）=（377.319）；∵ 377÷319=1（余58）∴（377.319）=（319.58）；∵ 319÷58=5（余29）.∴（319.58）=（58.29）；∵ 58÷29=2（余0）.∴（58.29）= 29；∴（319.377）=29.可以写成右边的格式·用辗转相除法求几个数的最大公约数.可以先求出其中任意两个数的最大公约数.再求这个最大公约数与第三个数的最大公约数.依次求下去.直到最后一个数为止·最后所得的那个最大公约数.就是所有这些数的最大公约数·更相减损法：也叫更相减损术.是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法.它原本是为约分而设计的.但它适用于任何需要求最大公约数的场合·《九章算术》是中国古代的数学专著.其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数.即“可半者半之.不可半者.副置分母.子之数.以少减多.更相减损.求其等也·以等数约之·”翻译成现代语言如下：第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数·若是.则用2约简；若不是则执行第二步·第二步：以较大的数减较小的数.接着把所得的差与较小的数比较.并以大数减小数·继续这个操作.直到所得的减数和差相等为止·则第一步中约掉的若干个2与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数·其中所说的“等数”.就是最大公约数·求“等数”的办法是“更相减损”法·所以更相减损法也叫等值算法·例1.用更相减损术求98与63的最大公约数·解：由于63不是偶数.把98和63以大数减小数.并辗转相减：98-63=3563-35=2835-28=728-7=2121-7=1414-7=7所以.98和63的最大公约数等于7·这个过程可以简单的写为：（98.63）=（35.63）=（35.28）=（7.28）=（7.21）=（7.14）=（7.7）=7最小公倍数：两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数·两个或多个整数的公倍数里最小的那一个叫做它们的最小公倍数·分解质因数法：先把这几个数的质因数写出来.最小公倍数等于它们所有的质因数的乘积（如果有几个质因数相同.则比较两数中哪个数有该质因数的个数较多.乘较多的次数）·比如求45和30的最小公倍数·45=3*3*530=2*3*5不同的质因数是2,3,5·3是他们两者都有的质因数.由于45有两个3.30只有一个3.所以计算最小公倍数的时候乘两个3.最小公倍数等于2*3*3*5=90又如计算36和270的最小公倍数36=2*2*3*3270=2*3*3*3*5不同的质因数是5·2这个质因数在36中比较多.为两个.所以乘两次；3这个质因数在270个比较多.为三个.所以乘三次·最小公倍数等于2*2*3*3*3*5=54020和40的最小公倍数是40[4]公式法：由于两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的积·即（a.b）×[a.b]=a×b·所以.求两个数的最小公倍数.就可以先求出它们的最大公约数.然后用上述公式求出它们的最小公倍数·例如.求[18.20].即得[18.20]=18×20÷（18.20）=18×20÷2=180·求几个自然数的最小公倍数.可以先求出其中两个数的最小公倍数.再求这个最小公倍数与第三个数的最小公倍数.依次求下去.直到最后一个为止·最后所得的那个最小公倍数.就是所求的几个数的最小公倍数·常用结论：在解有关最大公约数.最小公倍数的问题时.常用到以下结论：（1）如果两个自然数是互质数.那么它们的最大公约数是1.最小公倍数是这两个数的乘积·例如8和9.它们是互质数.所以（8.9）=1.[8.9]=72·（2）如果两个自然数中.较大数是较小数的倍数.那么较小数就是这两个数的最大公约数.较大数就是这两个数的最小公倍数·例如18与3.18÷3=6.所以（18.3）=3.[18.3]=18·（3）两个整数分别除以它们的最大公约数.所得的商是互质数·例如8和14分别除以它们的最大公约数2.所得的商分别为4和7.那么4和7是互质数·（4）两个自然数的最大公约数与它们的最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积·例如12和16.（12.16）=4.[12.16]=48.有4×48=12×16.即（12.16）× [12.16]=12×16·例1：两个数的最大公因数是15,最小公倍数是90,求这两个数分别是多少？15×1=15,15×6=90；当a1b1分别是2和3时,a.b分别为15×2=30,15×3=45·所以.这两个数是15和90或者30和45·例2：两个自然数的积是360,最小公倍数是120,这两个数各是多少？分析我们把这两个自然数称为甲数和乙数·因为甲.乙两数的积一定等于甲.乙两数的最大公因数与最小公倍数的积·根据这一规律.我们可以求出这两个数的最大公因数是360÷120=3·又因为（甲÷3=a,乙÷3=b)中,3×a×b=120,a和b一定是互质数.所以,a和b可以是1和40,也可以是5和8·当a和b是1和40时.所求的数是3×1=3和3×40=120；当a 和b是5和8时.所求的数是3×5=15和3×8=24·分析甲跑一圈需要600÷3=200秒.乙跑一圈需要600÷4=150秒.丙跑一圈需要600÷2=300秒·要使三人再次从出发点一齐出发.经过的时间一定是200.150和300的最小公倍数·200.150和300的最小公倍数是600,所以.经过600秒后三人又同时从出发点出发·综合练习：一. 填空题·1. 都是自然数.如果.的最大公约数是（）.最小公倍数是（）·2. 甲.乙.甲和乙的最大公约数是（）×（）＝（）.甲和乙的最小公倍数是（）×（）×（）×（）＝（）·3. 所有自然数的公约数为（）·4. 如果m和n是互质数.那么它们的最大公约数是（）.最小公倍数是（）·5. 在4.9.10和16这四个数中.（）和（）是互质数.（）和（）是互质数.（）和（）是互质数·6. 用一个数去除15和30.正好都能整除.这个数最大是（）·7. 两个连续自然数的和是21.这两个数的最大公约数是（）.最小公倍数是（）·8. 两个相邻奇数的和是16.它们的最大公约数是（）.最小公倍数是（）·9. 某数除以3.5.7时都余1.这个数最小是（）·10. 根据下面的要求写出互质的两个数·（1）两个质数（）和（）·（2）连续两个自然数（）和（）·（3）1和任何自然数（）和（）·（4）两个合数（）和（）·（5）奇数和奇数（）和（）·（6）奇数和偶数（）和（）·11.两个数的最大公因数是6.最小公倍数是144.这两个数的和是（）·12.有一个数.同时能被9,10,15整除.满足条件的最大三位数是（）·13.筐里装满了鸡蛋.已知这筐鸡蛋两个两个数多一个.五个五个数仍多一个.那么这筐鸡蛋至少有（）个·14.有336个苹果.252个橘子.210个梨.用这些果品最多可分成若干份同样的礼物.这时在每份礼物中.三种水果各有（）·15.有96多红花和72朵白花扎成花束.如果每个花束里红花的朵数相同.白花的朵数也相同.每个花束至少有（）朵花·二. 判断题·1. 互质的两个数必定都是质数·（）2. 两个不同的奇数一定是互质数·（）3. 最小的质数是所有偶数的最大公约数·（）4. 有公约数1的两个数.一定是互质数·（）5. a是质数.b也是质数..一定是质数·（）三. 直接说出每组数的最大公约数和最小公倍数·26和13（） 13和6（）4和6（） 5和9（）29和87（） 30和15（）13.26和52 （） 2.3和7（）四.求下面每组数的最大公约数和最小公倍数·（三个数的只求最小公倍数）45和60 36和6027和72 76和8042.105和56 24.36和48五.解答题·1.把一张长120厘米.宽80厘米的长方形的纸裁成正方形.不允许剩余.至少能裁多少张？2.已知两个自然数的最大公因数是12.（1）最小公倍数是72.求这两个数的积（2）满足已知条件的自然数有哪几组？3.一筐梨.按每份2个梨分多一个.每份3个梨多两个.每份5个梨多四个.问筐里至少有多少个梨？4.甲乙丙三人环绕操场步行一周.甲要三分钟.乙要四分钟.丙要六分钟.三人同时同地同向出发.当他们三人第一次相遇时.甲乙丙三人分别绕了多少周？5.某港口停着四艘轮船.一天他们同时开出港口.已知甲船每隔两星期回港一次.乙船每隔四星期回港一次.丙船每隔六星期回港一次.丁船八星期回港一次.至少经过几星期后.这四只轮船再次在港口重新会合？6、有一个自然数.被6除余1.被5除余1.被4除余1.这个自然数最小是几？7、一盒钢笔可以平均分给2.3.4.5.6个同学.这盒钢笔最小有多少枝？8、用96朵红花和72朵白花做成花束.如果各花束里红花的朵数相同.白花的朵数也相同.每束花里最少有几朵花？9、从小明家到学校原来每隔50米安装一根电线杆.加上两端的两根一共是55根电线杆.现在改成每隔60米安装一根电线杆.除两端的两根不用移动外.中途还有多少根不必移动？10.每筐梨.按每份两个梨分多1个.每份3个梨分多2个.每份5个梨分4个.则筐里至少有多少个梨？11.学校买来40支圆珠笔和50本练习本.平均奖给四年级三好学生.结果圆珠笔多4支.练习本多2本.四年级有多少名三好学生.他们各得到什么奖品？12.小明.小红.小王一起分17个苹果.小明分得其中的二分之一.小红分得其中的三分之一.小王分得其中的九分之一.问他们每个人分别分得几个苹果？。

五年级数学上册典型例题系列之第五单元：求最大公因数和最小公倍数专项练习（解析版）1．求出下列各组数的最大公因数和最小公倍数。

（1）13和26 （2）10和15【答案】（1）最大公因数：13；最小公倍数：26（2）最大公因数：5；最小公倍数：30【分析】根据求最大公因数和最小公倍数的方法：对于一般的两个数来说，这两个数的公有质因数的连乘积是最大公因数，两个数的公有质因数与每个独有质因数的连乘积是最小公倍数；如果两个数为倍数关系，最大公因数为较小的数，较大的那个数是这两个数的最小公倍数；如果两个数位互质数，最大公因数是1，最小公倍数是两个数的乘积，据此解答。

【详解】（1）13和2613和26是倍数关系；最大公因数是13；最小公倍数是26；（2）10和1510＝2×515＝3×510和15的最大公因数：5最小公倍数是：2×5×3＝302．写出下面每组数的最大公因数。

2和8 12和18 10和25 7和9【答案】2；6；5；1【分析】求两个数的最大公因数，把这两个数分解质因数，它们公有质因数的乘积就是最大公因数；当两个数是倍数关系时，最大公因数是较小数；当两个数是互质数时，它们的最大公因数是1；据此解答。

【详解】8÷2＝4，8是2的倍数，2和8的最大公因数是2；12＝2×2×3，18＝2×3×312和18的最大公因数是2×3＝6；10＝2×5，25＝5×510和25的最大公因数是5；7和9是互质数，7和9的最大公因数是1。

3．写出下面各组数的最大公因数和最小公倍数。

1和10 3和9 6和8【答案】最大公因数：1；3；2最小公倍数：10；9；24【分析】求两个数的最大公因数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数就是这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积，由此解答即可。

【详解】1＝1×110＝1×2×51和10的最大公因数是1，1和10的最小公倍数是：1×2×5＝2×5＝103＝1×39＝3×33和9的最大公因数是3，3和9的最小公倍数是：3×3＝9。

最大公因数和最小公倍数典型例题和专项练习最大公因数和最小公倍数是数学中的基本概念，经常在实际问题中应用。

下面是一些典型例题和专项练。

典型例题】例1、有三根铁丝，分别长18米、24米、30米。

现在要把它们截成同样长的小段。

每段最长可以有几米？一共可以截成多少段？分析与解：截成的小段一定是18、24、30的最大公因数。

先求这三个数的最大公因数，再求一共可以截成多少段。

解答：（18、24、30）=6，（18+24+30）÷6=12段。

答：每段最长可以有6米，一共可以截成12段。

例2、一张长方形纸，长60厘米，宽36厘米，要把它截成同样大小的长方形，并使它们的面积尽可能大，截完后又正好没有剩余，正方形的边长可以是多少厘米？能截多少个正方形？分析与解：要使截成的正方形面积尽可能大，也就是说，正方形的边长要尽可能大，截完后又正好没有剩余，这样正方形边长一定是60和36的最大公因数。

解答：（36、60）=12，（60÷12）×（36÷12）=15个。

答：正方形的边长可以是12厘米，能截15个正方形。

例3、用96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束。

若每个花束里的红玫瑰花的朵数相同，白玫瑰花的朵数也相同，最多可以做多少个花束？每个花束里至少要有几朵花？分析与解：要把96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做成花束，每束花里的红白花朵数同样多，那么做成花束的个数一定是96和72的公因数，又要求花束的个数要最多，所以花束的个数应是96和72的最大公因数。

解答：（1）最多可以做多少个花束（96、72）=24，（2）每个花束里有几朵红玫瑰花96÷24=4朵，（3）每个花束里有几朵白玫瑰花72÷24=3朵，（4）每个花束里最少有几朵花4+3=7朵。

例4、公共汽车站有三路汽车通往不同的地方。

第一路车每隔5分钟发车一次，第二路车每隔10分钟发车一次，第三路车每隔6分钟发车一次。

三路汽车在同一时间发车以后，最少过多少分钟再同时发车？分析与解：这个时间一定是5的倍数、10的倍数、6的倍数，也就是说是5、10和6的公倍数，“最少多少时间”，那么，一定是5、10、6的最小公倍数。

最大公因数和最小公倍数一、写出下列各数的最大公因数和最小公倍数(1) 4和6的最大公因数是；最大公倍数是；(2) 9和3的最大公因数是；最大公倍数是；(3) 9和18的最大公因数是；最大公倍数是；(4) 11和44的最大公因数是；最大公倍数是；(5) 8和11的最大公因数是；最大公倍数是；(6) 1和9的最大公因数是；最大公倍数是；(7) 已知A＝2×2×3×5，B＝2×3×7，那么A、B的最大公因数是；最小公倍数是；(8)已知A＝2×3×5×5，B＝3×5×5×11，那么A、B的最大公因数是；最小公倍数是。

1.在17、18、15、20和30五个数中，能被2整除的数是（）；能被3整除的数是（）；能被5整除的数是（）；能同时被2、3整除的数是（）；能同时被3、5整除的数是（）；能同时被2、5整除的数是（）；能同时被2、3、5整除的数是（）。

2.在20以内的质数中，（）加上2还是质数。

3.如果有两个质数的和等于24，可以是（）＋（），（）＋（）或（）＋（）。

4.把330分解质因数是（）。

5.一个能同时被2、3、5整除的三位数，百位上的数比十位上的数大9，这个数是（）。

6.在50以内的自然数中，最大的质数是（），最小的合数是（）。

7.既是质数又是奇数的最小的一位数是（）。

二、判断题1.两个质数相乘的积还是质数。

（）2.成为互质数的两个数，必须都是质数。

（）3.任何一个自然数，它的最大约数和最小倍数都是它本身。

（）4.一个合数至少得有三个约数。

（）5.在自然数列中，除2以外，所有的偶数都是合数。

（）6.12是36与48的最大公约数。

（）三、选择题1.15的最大约数是（），最小倍数是（）。

①1 ②3 ③5 ④152.在14＝2×7中，2和7都是14的（）。

①质数②因数③质因数3.有一个数，它既是12的倍数，又是12的约数，这个数是（）。

教材版本：北师大版学科：小学数学册数：第(9)册单元数：第（5）单元知识领域：数与代数内容专题：找最大公因数情境课题：分数的意义（第7课时）知识课题找最大公因数题型试题知识要点难易程度认知过程数学核心素养……填空计算选择判断问题解决其它基础变式拓展记忆理解应用分析评价创造数学抽象逻辑推理数学运算直观想象数据分析数学建模√一、填空。

1.15＝（）×（）＝（）×（）25＝（）×（）＝（）×（）15和25的公因数：（）15和25的最大公因数：（）【答案：1,15,3,5；1,25,5,5；1,5；5 】A.理解公因数和最大公因数的意义A1.会借助乘法（或除法）找两个数的所有因数，揭示公因数和最大公因素的意义√√√√ 2.A=2×3×4，B=2×3×5，A和B的公因数是（）；A和B的最大公因数是（）。

【答案： 1,2,3,6；6 】A.理解公因数和最大公因数的意义A1.会借助乘法（或除法）找两个数的所有因数，揭示公因数和最大公因素的意义√√√√ 3.A和B是两个相邻的非零的自然数，它们的最大公因数是（）。

【答案：1 】A.理解公因数和最大公因数的意义A2. 会举例陈述公因数和最大公因数的意义√√√√ 4.B＝12，A÷B＝ 11，那么A和B的最大公因数是（）。

【答案： 12 】A.理解公因数和最大公因数的意义A2. 会举例陈述公因数和最大公因数的意义√√√√ 5.35和25的最大公因数是（）【答案： 5 】A.理解公因数和最大公因数的意义A2. 会举例陈述公因数和最大公因数的意义√√√√ 6.18的因数有（），36的因数有（），18和36的公因数有（），其中最大的一个是（）。

【答案：1,2,3,6,9,18；1,2,3,4，6,9,12，18,36 ；1,2,3,6，9,18；18 】B．掌握找两个数的公因数和最大公因数B1. 能用列举的方式找公因数和最大公因数√√√√7.求出下面每组数的最大公因数，填在括号里。

最大公因数一、专题分析几个公有的约数叫做这几个数的公约数，其中最大的一个公约数叫做这几个数的最大公约数。

我们可以把自然数a，b的最大公约数记作（a、b），如果（a、b）＝1，则a和b互质。

二、求几个数的最大公约数的方法（一）分解质因数法例1、求120、64、108这三个数的最大公因数。

练习、求450、175、300的最大公因数。

（二）短除法例2、求60、90、160的最大公因数练习、求68、48、100的最大公因数二、基本例题例1、一块长45厘米，宽30厘米的长方形木板，把它锯成若干块相同的正方形而无剩余。

(1) 如果要求所锯得的正方形的边长是整数厘米，那么有几种锯法？(2) 所有的锯法中，所锯成的正方形的边长最长是多少厘米？可以锯成多少块？例2、一个长方体木块，长27分米，宽18分米，高15分米。

要把它锯成大小相等的小正方体木块，不许有剩余，所锯的正方体的棱长最大是多少分米？可以锯多少块？例3、用一个数去除200余4，除300余6，除500余10。

求这个数最大是多少？例4、一条道路由甲村经过乙村到丙村，已知甲乙两村相距360千米，乙丙两村相距675千米，现在准备在路旁栽树，要求相邻两棵树之间距离相等，并在甲乙两村和乙丙两村的中点都要栽上树，求相邻两棵树之间的距离是多少米？四、练习1、一张长方形的纸，长75厘米，宽60厘米。

现在要把它裁成若干个相同的正方形，而且正方形边长为整数厘米，不允许有剩余，有几种裁法？如果要裁得的正方形面积最大，可以裁多少块？2、把1米3分米5厘米长，1米5厘米宽的长方形纸，裁成同样大小的正方形，至少能裁多少块？3、有50个梨，75个橘子和100个苹果，要把这些水果平均分给几个小组而无剩余，并且每个小组分得的三种水果的个数也相同（每个小组分得的梨相同，橘子相同，苹果相同），最多可以分给几个小组？4、有3根钢管，它们的长度分别是240厘米，200厘米和480厘米，如果把它们截成同样长的小段，且不许有剩余。