第二章教学课题：第二节 初等解析函数教学目的：1、了解复正、余弦函数的有关性质；2、了解正、余切函数、双曲函数的解析性和周期性；3、理解指数函数)sin (cos y i y e e e x iy x z +==+的常见性质；4、充分掌握整幂函数及有理函数的解析性；教学重点：指数函数)sin (cos y i y e e e x iy x z +==+的常见性质教学难点：正、余切函数、双曲函数的解析性和周期性教学方法：启发式教学手段：多媒体与板书相结合教材分析：这一节主要是讨论初等单值函数的解析性，这可从他们的可微性来判定，他们是数学分析中相应初等函数在复数域中的自然推广。
教学过程：1、指数函数定义2.4对于任何复数iy x z +=我们用关系式),sin (cos y i y e e e x iy x z +==+来规定指数函数z e指数函数z e 它有如下性质：（1）当z=x 时（y=0）我们的定义与实指数函数是一致的。
（2）0;arg ,0≠=>=z z x z e z y e e e 平面上在（3）z e 在z 平面上解析，且z z e e =')(（4）2121z z z z e e e +（5）z e 是以i π2为基本周期的周期函数。
（6）极限z z e ∞→lim 不存在，既无意义。
2、三角函数与双曲函数：由于Euler 公式，对任何实数x ，我们有：x i x e x i x e ix ix sin cos ,sin cos -=+=-，所以有,2sin ,2cos ie e x e e x ixix ix ix ---=+= 因此，对任何复数z ，定义余弦函数和正弦函数如下：,2sin ,2cos ie e z e e z iziz iz iz ---=+=则对任何复数z ，Euler 公式也成立：,sin cos z i z e iz +=关于复三角函数，有下面的基本性质：1、cos z 和sin z 是单值函数；2、cos z 是偶函数，sin z 是奇函数:,cos 22)cos()()(z e e e e z iziz z i z i =+=+=----- ,sin 22)sin()()(z ie e i e e z iziz z i z i -=-=-=----- 3、cos z 和sin z 是以π2为周期的周期函数:,cos 2)2cos()2()2(z e e z z i z i =+=++-+πππ ,sin 2)2sin()2()2(z ie e z z i z i =-=++-+πππ 4、212121sin cos cos sin )sin(z z z z z z ±=± 212121sin sin cos cos )cos(z z z z z z =±； 证明：)(4122sin cos )()()()(21212121212211z z i z z i z z i z z i iz iz iz iz e e e e i i e e e e z z +-+--+---+-=-+=，)(4122sin cos )()()()(12212112211122z z i z z i z z i z z i iz iz iz iz e e e e ii e e e e z z +---+---+-=-+= 所以)sin()(21sin cos cos sin 21)()(21212121z z e e iz z z z z z i z z i ±=-=±±-± 5、;1cos sin 22=+z z12242)2()2(sin cos 22222222=-+-++=-++=+----z i z i z i z i iz iz iz iz e e e e i e e e e z z 注解：由于负数可以开平方，所以由此不能得到1|sin |,1|cos |≤≤z z ，例如z=2i 时，有,22sin ,122cos 2222ie e i e e i -=≥+=-- 6、cos z 和sin z 在整个复平面解析，并且有：.cos )'(sin ,sin )'(cos z z z z =-=证明：,sin 222cos z i e e ie ie e e dz d z dz d iz iz iz iz iz iz -=--=-=+=---z e e i ie ie i e e dz d z dz d iz iz iziz iz iz cos 222sin =+=+=-=--- 7、cos z 和sin z 在复平面的零点：cos z 在复平面的零点是，)(2Z k k z ∈+=ππ，sin z在复平面的零点是，)(Z k k z ∈=π。
