上海中考二模数学压轴题精选.pdf

2024年中考第二次模拟考试（上海卷）数学·全解全析第Ⅰ卷一、选择题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．在下列图形中，为中心对称图形的是()A ．等腰梯形B ．平行四边形C ．正五边形D ．等腰三角形【答案】B【分析】根据中心对称与轴对称的概念和各图形的特点即可求解．【详解】中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转180°后能和原来的图形重合，A 、C 、D 都不符合；是中心对称图形的只有B ．故选B ．2．下列方程有实数根的是A ．4x 20+=B 2x 21-=-C ．2x +2x −1=0D ．x 1x 1x 1=【答案】C【详解】A ．∵x 4＞0，∴x 4+2=0无解，故本选项不符合题意；B ．∵22x -≥0，∴22x -=−1无解，故本选项不符合题意；C ．∵x 2+2x −1=0，∆=8＞0，方程有实数根，故本选项符合题意；D ．解分式方程1x x -=11x -，可得x =1，经检验x =1是分式方程的增根，故本选项不符合题意．故选C ．3．计算：AB BA += （）A ．AB ；B ．BA ；C ．0 ；D ．0．【答案】C【分析】根据零向量的定义即可判断．【详解】AB BA += 0 ．故选C ．4．在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（）A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠BAC＝∠BCDC．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC【答案】C【分析】根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案．【详解】解：A，不能，只能判定为矩形，不符合题意；B，不能，只能判定为平行四边形，不符合题意；C，能，符合题意；D，不能，只能判定为菱形，不符合题意．故选C．5．下列命题中，假命题是（）A．如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；B．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；C．如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线平分这条弦所对的弧，并且垂直于这条弦；D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧．【答案】C【分析】利用垂径定理及其推论逐个判断即可求得答案．【详解】A．如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦，正确，是真命题；B．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线一定经过圆心，并且垂直于这条弦，正确，是真命题；C．如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线不一定平分这条弦所对的弧，不一定垂直于这条弦，例如：任意两条直径一定互相平分且过圆心，但不一定垂直．错误，是假命题；D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧，正确，是真命题．故选C．【点睛】本题考查了垂径定理及其推论，对于一个圆和一条直线来说如果一条直线具备下列，①经过圆心，②垂直于弦，③平分弦（弦不是直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，五个条件中的任何两个，那么也就具备其他三个．6．如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP 相切，半径长为5的⊙B与⊙A内含，那么OB的取值范围是（）A ．4<OB <7B ．5<OB <7C ．4<OB <9D ．2<OB <7【答案】A 【分析】作⊙A 半径AD ，根据含30度角直角三角形的性质可得4OA =，再确认⊙B 与⊙A 相切时，OB 的长，即可得结论．【详解】解：设⊙A 与直线OP 相切时的切点为D ，∴AD OP ⊥，∵∠POQ =30°，⊙A 半径长为2，即2AD =，∴24OA AD ==，当⊙B 与⊙A 相切时，设切点为C ，如下图，∵5BC =，∴4(52)7OB OA AB =+=+-=，∴若⊙B 与⊙A 内含，则OB 的取值范围为47OB <<．故选：A ．【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系、切线的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆与圆内含和相切的关系是解题关键．二、填空题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）7．分解因式：2218m -=．【答案】()()233m m +-/()()233m m -+【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：2218m -=2（m 2-9）=2（m +3）（m -3）．故答案为：2（m +3）（m -3）．【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．8．2x x +=-的解是．【答案】x ＝﹣1．【分析】把方程两边平方后求解，注意检验．【详解】把方程两边平方得x +2＝x 2，整理得（x ﹣2）（x +1）＝0，解得：x ＝2或﹣1，经检验，x ＝﹣1是原方程的解．故本题答案为：x ＝﹣1．【点睛】本题考查无理方程的求法，注意无理方程需验根．9．函数2x y x =-中自变量x 的取值范围是．【答案】0x ≥且2x ≠【分析】根据二次根式中被开方数大于等于0及分母不为0即可求解．【详解】解：由题意可知：020x x ≥⎧⎨-≠⎩，解得：0x ≥且2x ≠，故答案为：0x ≥且2x ≠．【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．10．△ABC 中，AD 是中线，G 是重心，,AB a AD b == ，那么BG =（用a b 、表示）.【答案】23a b -+ .【详解】试题分析：∵在△ABC 中，点G 是重心，AD b = ，∴23AG b =，又∵BG AG AB =- ，AB a = ，∴2233BG b a a b =-=-+ ；故答案为23a b -+ ．考点：1．平面向量；2．三角形的重心．11．有四张质地相同的卡片，它们的背面相同，其中两张的正面印有“粽子”的图案，另外两张的正面印有“龙舟”的图案，现将它们背面朝上，洗均匀后排列在桌面，任意翻开两张，那么两张图案一样的概率是.【答案】13【详解】解:列树状图得共有12种情况，两张图案一样的有4种情况，所以概率是13.12．在方程224404x x x x +-+=中，如果设y=x 2﹣4x ，那么原方程可化为关于y 的整式方程是．【答案】2430y y ++=【分析】先把方程整理出含有x 2-4x 的形式，然后换成y 再去分母即可得解．【详解】方程2234404x x x x +-+=-可变形为x 2-4x+214x x -+4=0,因为24y x x =-，所以340y y++=，整理得，2430y y ++=13．如果⊙O 1与⊙O 2内含，O 1O 2＝4，⊙O 1的半径是3，那么⊙O 2的半径r 的取值范围是．【答案】7r >/7r<【分析】由题意，⊙O 1与⊙O 2内含，则可知两圆圆心距d r r <-小大，据此代入数值求解即可．【详解】解：根据题意，两圆内含，故34r ->，解得7r >．故答案为：7r >．【点睛】本题主要考查了两圆位置关系的知识，熟练掌握由数量关系判断两圆位置关系是解题关键．14．某单位10月份的营业额为100万元，12月份的营业额为200万元，假设该公司11、12两个月的增长率都为x ，那么可列方程是．【答案】100（1＋x ）2＝200【分析】根据题意，设平均每月的增长率为x ，依据10月份的营业额为100万元，12月份的营业额为200万元，即可列出关于x 的一元二次方程．故答案为：100（1＋x ）2＝200【详解】设平均每月的增长率为x ，根据题意可得：100（1＋x ）2＝200．故答案为：100（1＋x ）2＝200．【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出方程是解题关键．15．菱形ABCD 中，已知AB ＝4，∠B ：∠C ＝1：2，那么BD 的长是．【答案】43【分析】根据题意画出示意图（见详解），由菱形的性质可得BO ＝12BD ，BD ⊥AC ，在Rt △ABO 中，由cos ∠ABO 即可求得BO ，继而得到BD 的长．【详解】解：如图，∵四边形ABCD 为菱形，∴AB CD ∥，∴∠ABC +∠BCD ＝180°，∵∠ABC ：∠BCD ＝1：2，∴∠ABC ＝60°，∴∠ABD ＝12∠ABC ＝30°，BO ＝12BD ，BD ⊥AC ．在Rt △ABO 中，cos ∠ABO ＝BO AB ＝32，∴BO＝AB⋅cos∠ABO＝4×32＝23．∴BD＝2BO＝43．故答案为：43．【点睛】本题考查菱形的性质，熟知菱形的对角线互相垂直，利用垂直构造直角三角形，再利用三角函数求解线段长度是解题的关键．16．如图，已知在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为点D．如果CD=4，AB=16，那么OC=．【答案】10【分析】根据垂径定理求出AD的长，设半径OC=OA=r，则OD=r-4，再根据勾股定理列出关于r的方程，解出即可得出OC的长．【详解】设半径OC=OA=r，则OD=OC-CD=r-4半径OC垂直于弦AB，垂足为点D，AB=16∴AD=12AB=8，在Rt△AOD中,OD2+AD2=OA）即（r-4）2+82=r2解得：r=10故答案为10.【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键.17．新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形.如图，已知在对余四边形ABCD中，10AB=，12BC=，5CD=，3tan4B=，那么边AD的长为．【答案】9【分析】连接AC，作AE BC⊥交BC于E点，由3tan4B=，10AB=，可得AE=6，BE=8，并求出AC的长，作CF AD ⊥交AD 于F 点，可证B DCF ∠=∠，最后求得AF 和DF 的长，可解出最终结果．【详解】解：如图，连接AC ，作AE BC ⊥交BC 于E 点，3tan 4B =，10AB =，∴3tan 4AE B BE ==，设AE=3x ，BE=4x ，∴222AE BE AB +=，则()()2223425100x x x +==，解得x=2，则AE=6，BE=8，又 12BC =，∴CE=BC-BE=4，∴22213AC AE CE =+=，作CF AD ⊥交AD 于F 点，+=90B D ∠∠︒，90D DCF ∠+∠=︒，∴B DCF ∠=∠，3tan 4B ==tan DCF ∠=DF CF ，又 5CD =，∴同理可得DF=3，CF=4，∴226AF AC CF =-=，∴AD=AF+DF=9．故答案为：9．【点睛】本题考查四边形综合问题，涉及解直角三角形，勾股定理，有一定难度，熟练掌握直角三角形和勾股定理知识点，根据题意做出正确的辅助线是解决本题的关键．18．如图，在Rt ∆ABC 中，∠ACB =90°，BC =4，AC =3，⊙O 是以BC 为直径的圆，如果⊙O 与⊙A 相切，那么⊙A 的半径长为．【答案】132±【分析】分两种情况：①如图，A 与O 内切，连接AO 并延长交A 于E ，根据AE AO OE =+可得结论；②如图，A 与O 外切时，连接AO 交A 于E ，同理根据AE OA OE =-可得结论．【详解】解：有两种情况，分类讨论如下：①如图1，A 与O 内切时，连接AO 并延长交O 于E ，O 与A 相内切，E ∴为切点，122OE BC ∴==，90ACB ∠=︒ ，根据勾股定理得：22222313OA OC AC =+=+=，132AE OA OE ∴=+=+；即A 的半径为132+；②如图2，A 与O 外切时，连接AO 交O 于E ，同理得132AE AO OE =-=-，即A 的半径为132-，综上，A 的半径为132+或132-．故答案为：132±．【点睛】本题考查了相切两圆的性质、勾股定理，解题的关键是通过作辅助线得出AE 是A 的半径．第Ⅱ卷三、解答题（本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（10()()()20220118cot 45233sin 30π--︒+-+--︒．【答案】223+【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【详解】解：20220118(cot 45)|23|(3)(sin 30)π-+-︒+-+--︒20221132(1)321()2-=+-+-+-3213212=++-+-223=+．【点睛】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂、绝对值，特殊角的三角函数值，解题的关键是准确熟练地化简各式．20．（10分）如图，AH 是△ABC 的高，D 是边AB 上一点，CD 与AH 交于点E .已知AB =AC =6，cos B =3，AD ∶DB =1∶2.（1）求△ABC 的面积；（2）求CE ∶DE .【答案】解：（1）85；（2）31.【详解】试题分析：（1）根据题意和锐角三角函数可以求得BH 和AH 的长，从而可以求得△ABC 的面积；（2）根据三角形的相似和题意可以求得CE ：DE 的值．试题解析：解：（1）∵AB =AC =6，cos B =23，AH 是△ABC 的高，∴BH =4，∴BC =2BH =8，AH =226425-=，∴△ABC 的面积是；2BC AH ⋅=8252⨯=85；（2）作DF ⊥BC 于点F ．∵DF ⊥BH ，AH ⊥BH ，∴DF ∥AH ，∴AD HF CE CH AB HB DE HF ==，．∵AD ：DB =1：2，BH =CH ，∴AD ：AB =1：3，∴13HF HB =，∴31CE CH BH DE HF HF ===，即CE ：DE =3：1．点睛：本题考查了解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．21．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 是反比例函数y ＝x的图象与正比例函数y ＝kx 的图象在第一象限内的交点，已知点A 的纵坐标为2．经过点A 且与正比例函数y ＝kx 的图象垂直的直线交反比例函数y ＝k x的图象于点B （点B 与点A 不是同一点）．(1)求k的值；(2)求点B的坐标．【答案】(1)2 (2)（4，12）【分析】（1）根据题意得到22kk=，解方程求得k＝2；（2）先求得A的坐标，根据正比例函数的解析式设直线AB的解析式为y12=-x+b，把A的坐标代入解得b52=，再与反比例函数的解析式联立成方程组，解方程组即可求得点B的坐标．【详解】（1）解：∵点A是反比例函数ykx=的图象与正比例函数y＝kx的图象在第一象限内的交点，点A的纵坐标为2，∴22k k=，∴2k＝4，解得k＝±2，∵k＞0，∴k＝2；（2）∵k＝2，∴反比例函数为y2x=，正比例函数为y＝2x，把y＝2代入y＝2x得，x＝1，∴A（1，2），∵AB⊥OA，∴设直线AB的解析式为y12=-x+b，把A 的坐标代入得2112=-⨯+b ，解得b 52=，解21522y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩得12x y =⎧⎨=⎩或412x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴点B 的坐标为（4，12）．【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是求出直线AB 的解析式，本题属于中等题型．22．（10分）图1是某区规划建设的过街天桥的侧面示意图，等腰梯形ABCD 的上底BC 表示主跨桥，两腰AB ，CD 表示桥两侧的斜梯，A ，D 两点在地面上，已知AD ＝40m ，设计桥高为4m ，设计斜梯的坡度为1：2.4．点A 左侧25m 点P 处有一棵古树，有关部门划定了以P 为圆心，半径为3m 的圆形保护区．(1)求主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和；(2)为了保证桥下大货车的安全通行，桥高要增加到5m ，同时为了方便自行车及电动车上桥，新斜梯的坡度要减小到1：4，新方案主跨桥的水平位置和长度保持不变．另外，新方案要修建一个缓坡MN 作为轮椅坡道，坡道终点N 在左侧的新斜梯上，并在点N 处安装无障碍电梯，坡道起点M 在AP 上，且不能影响到古树的圆形保护区．已知点N 距离地面的高度为0.9m ，请利用表中的数据，通过计算判断轮椅坡道的设计是否可行．表：轮椅坡道的最大高度和水平长度坡度1：201：161：121：101：8最大高度（m ）1.200.900.750.600.30水平长度（m ）24.0014.409.00 6.002.40【答案】(1)主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为26.6m(2)轮椅坡道的设计不可行，理由见解析【分析】（1）根据斜坡AB的坡度以及天桥的高度可求出AE，由勾股定理求出AB，进而求出EF＝BC的长，再计算主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和；（2）根据坡度的定义求出新方案斜坡A B''的水平距离A E'进而求出点M到点G的最大距离，再由表格中轮椅坡道的最大高度和水平长度的对应值进行判断即可．【详解】（1）解：如图，作直线AD，则AD过点A'和点D'，过点B、C分别作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足为E、F，延长EB，延长FC，则射线EB过点B'，射线FC过点C'，由题意得，BE＝CF＝4m，AP＝25m，B'E＝5m，∵斜坡AB的坡度为1：2.4，即BEAE＝1：2.4，∴AE＝4×2.4＝9.6（m），又∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AE＝DF＝9.6m，∴BC＝AD﹣AE﹣DF＝5.8（m），AB＝22AE BE+＝229.64+＝10.4（m）＝CD，∴主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为AB+BC+CD＝10.4+5.8+10.4＝26.6（m），答：主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为26.6m．（2）解：∵斜坡A B''的坡度为1：4，即B EA E''＝1：4，∴A'E＝5×4＝20（m），∴A A'＝20﹣9.6＝11.4（m），A'G＝4NG＝4×0.9＝3.6（m），∴AG＝11.4﹣3.6＝7.8（m），点M到点G的最多距离MG＝25﹣7.8﹣3＝14.2（m），∵14.2＜14.4，∴轮椅坡道的设计不可行．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据坡度和坡角构造直角三角形，然后分别用解直角三角形的知识坡道的水平距离是解答本题的关键．23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，90B Ð=°，E 是AC 的中点，DE 的延长线交边BC 于点F．（1）求证：四边形AFCD 是平行四边形；（2）如果22AE AD BC =⋅，求证四边形AFCD 是菱形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由平行四边形的性质可知DAE FCE =∠∠，ADE CFE ∠=∠．再由E 是AC 中点，即AE =CE ．即可以利用“AAS ”证明AED CEF ≌，得出AD CF =，即证明四边形AFCD 是平行四边形．（2）由22AE AD BC =⋅和E 是AC 中点，即可推出AE AD CB AC=．又因为DAE FCE =∠∠，即证明ADE CAB ∽△△，即可推出DF AC ⊥．即四边形AFCD 是菱形．【详解】（1）∵//AD BC ，∴DAE FCE =∠∠，ADE CFE ∠=∠．又∵E 是AC 中点，∴AE =CE ，∴在AED △和CEF △中ADE CFE DAE FCE AE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AED CEF AAS ≌，∴AD CF =，∴四边形AFCD 是平行四边形．（2）∵//AD BC ，∴DAE FCE =∠∠．∵22AE AD BC =⋅，∴AE AC AD BC ⋅=⋅，∴AE AD CB AC=，∴ADE CAB ∽△△，∴90AED ABC ∠=∠=︒，即DF AC ⊥．∴四边形AFCD 是菱形．【点睛】本题考查梯形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质．掌握特殊四边形的判定方法是解答本题的关键．24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线235y x bx c =-++与y 轴交于点(0,3)A ，与x 轴的正半轴交于点(5,0)B ，点D 在线段OB 上，且1OD =，联结AD ，将线段AD 绕着点D 顺时针旋转90︒，得到线段DE ，过点E 作直线l x ⊥轴，垂足为H ，交抛物线于点F ．(1)求抛物线的表达式；(2)联结DF ，求cot ∠EDF 的值；(3)点P 在直线l 上，且∠EDP =45°，求点P 的坐标．【答案】(1)2312355y x x =-++；(2)cot 2EDF ∠=；(3)(4,6)或3(4,)2-．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）证明()OAD HDE AAS ∆∆≌，再根据全等三角形的性质得1EH OD ==，3DH OA ==，可得(4,1)E ，(4,3)F ，求出3FH DH ==，则45DFH ∠=︒，32DF =，过点E 作EK DF ⊥于K ，根据等腰直角三角形的性质可得2KF KE ==，则22DK DF KF =-=，在Rt DKE ∆中，根据余切的定义即可求解；（3）分两种情形①点P 在点E 的上方时；②点P 在点E 的下方时，根据相似三角形的判定和性质即可解决问题．【详解】（1）解：把点(0,3)A ，点(5,0)B 代入235y x bx c =-++，得：15503b c c -++=⎧⎨=⎩，解得：1253b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为2312355y x x =-++；（2）解：如图：90AOD ADE DHE ∠=∠=∠=︒ ，90ADO OAD ∴∠+∠=︒，90ADO EDH ∠+∠=︒，OAD EDH ∴∠=∠，AD DE = ，()OAD HDE AAS ∴∆∆≌，1EH OD ∴==，3DH OA ==，(4,1)E ∴，过点E 作直线l x ⊥轴，垂足为H ，交抛物线2312355y x x =-++于点F ．(4,3)F ∴，3FH ∴=，3FH DH ∴==，90DHE ∠=︒ ，45DFH ∴∠=︒，32DF =，过点E 作EK DF ⊥于K ，312EF =-= ，2KF KE ∴==，22DK DF KF ∴=-=，在Rt DKE ∆中，22cot 22DK EDF KE ∠===；（3）解：①当点P 在点E 的上方时，45EDP DFH ∠=∠=︒ ，DEP ∠是公共角，EDF EPD ∴∆∆∽，∴EF ED ED EP=，2ED EF EP ∴=⋅，设(4,)P y ，则1EP y =-，又2EF = ，223110ED =+=，102(1)y ∴=-，解得6y =，∴点P 的坐标为(4,6)；②当点P 在点E 的下方时，45EDP DFP ∠=∠=︒ ，DPF ∠是公共角，PED PDF ∴∆∆∽，∴PE DP PD FP=，2DP PE PF ∴=⋅，设(4,)P y ，则1EP y =-，3FP y =-，223DP y =+，29(1)(3)y y y ∴+=--，解得32y =-，∴点P 的坐标为3(4,)2-；综上所述，当45EDP ∠=︒时，点P 的坐标为(4,6)或3(4,)2-．【点睛】本题是二次函数综合题，考查二次函数的应用、旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质．25．（14分）如图，半径为1的⊙O 与过点O 的⊙P 相交，点A 是⊙O 与⊙P 的一个公共点，点B 是直线AP 与⊙O 的不同于点A 的另一交点，联结OA ，OB ，OP ．(1)当点B 在线段AP 上时，①求证：∠AOB ＝∠APO ；②如果点B 是线段AP 的中点，求△AOP 的面积；(2)设点C 是⊙P 与⊙O 的不同于点A 的另一公共点，联结PC ，BC ．如果∠PCB ＝α，∠APO ＝β，请用含α的代数式表示β．【答案】(1)①见解析；②74(2)β＝60°﹣23β【分析】（1）①利用圆的半径相等可得∠OAB ＝∠OBA ＝∠AOP ，则∠AOB ＝∠APO ；②首先利用△AOB ∽△APO ，得OA AB AP OA=，可得AP 的长，作AH ⊥PO 于点H ，设OH ＝x ，则PH ＝2﹣x ，利用勾股定理列方程求出OH的长，从而得出AH，即可求得面积；（2）联结OC，AC，利用圆心角与圆周角的关系得∠ACB＝12∠AOB＝12β，∠ACO＝12∠APO＝12β，再利用SSS说明△OAP≌△OCP，得∠OAP＝∠OCP，从而解决问题．【详解】（1）①证明：∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵PA＝PO，∴∠BAO＝∠POA，∴∠OAB＝∠OBA＝∠AOP，∴∠AOB＝∠APO；②解：∵∠AOB＝∠APO，∠OAB＝∠PAO，∴△AOB∽△APO，∴OA AB AP OA=，∴OA2＝AB•AP＝1，∵点B是线段AP的中点，∴AP＝2，作AH⊥PO于点H，设OH＝x，则PH＝2﹣x，由勾股定理得，12﹣x2＝（2）2﹣（2x-）2，解得x＝2 4，∴OH＝2 4，21由勾股定理得，AH ＝2221()4-＝144，∴△AOP 的面积为11142224OP AH ⨯⨯=⨯⨯＝74；（2）解：如图，联结OC ，AC ，∵∠AOB ＝∠APO ，∴∠AOB ＝β，∴∠ACB ＝12∠AOB ＝12β，∠ACO ＝12∠APO ＝12β，∴∠OCP ＝β+α，∵OA ＝OC ，AP ＝PC ，OP ＝OP ，∴△OAP ≌△OCP （SSS ），∴∠OAP ＝∠OCP ＝β+α，在△OAP 中，2（α+β）+β＝180°，∴β＝60°﹣23β．【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，圆心角与圆周角的关系，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，求出大圆半径是解题的关键．。

2013年上海市各区中考数学二模压轴题图文解析目录例1 2013年上海市宝山区中考模拟第24题/ 2例2 2013年上海市宝山区中考模拟第25题/ 4例3 2013年上海市崇明县中考模拟第24题/ 6例4 2013年上海市崇明县中考模拟第25题/ 8例5 2013年上海市奉贤区中考模拟第24题/ 10例6 2013年上海市奉贤区中考模拟第25题/ 12例7 2013年上海市虹口区中考模拟第24题/ 14例8 2013年上海市虹口区中考模拟第25题/ 16例9 2013年上海市黄浦区中考模拟第24题/ 18例10 2013年上海市黄浦区中考模拟第25题/ 20例11 2013年上海市金山区中考模拟第24题/ 22例12 2013年上海市金山区中考模拟第25题/ 24例13 2013年上海市静安区中考模拟第24题/ 26例14 2013年上海市静安区中考模拟第25题/ 28例15 2013年上海市闵行区中考模拟第25题/ 30例16 2013年上海市浦东新区中考模拟第24题/ 32例17 2013年上海市浦东新区中考模拟第25题/ 34例18 2013年上海市普陀区中考模拟第24题/ 36例19 2013年上海市普陀区中考模拟第25题/ 38例20 2013年上海市松江区中考模拟第24题/ 40例21 2013年上海市松江区中考模拟第25题/ 42例22 2013年上海市徐汇区中考模拟第24题/ 44例23 2013年上海市徐汇区中考模拟第25题/ 46例24 2013年上海市杨浦区中考模拟第24题/ 48例25 2013年上海市杨浦区中考模拟第25题/ 50例26 2013年上海市闸北区中考模拟第24题/ 52例27 2013年上海市闸北区中考模拟第25题/ 54例28 2013年上海市长宁区中考模拟第24题/ 56例29 2013年上海市长宁区中考模拟第25题/ 58例 2013年上海市宝山区中考模拟第24题 如图1，已知抛物线c bx x y ++=221经过点A (－3,0)、)23,0(-C . （1）求该抛物线顶点P 的坐标；（2）求tan ∠CAP 的值；（3）设Q 是（1）中所求出的抛物线的一个动点，点Q 的横坐标为t ，当点Q 在第四象限时，用含t 的代数式表示△QAC 的面积．图1动感体验请打开几何画板文件名“13宝山24”，拖动点Q 在第四象限内的抛物线上运动，可以体验到，△QAC 的面积是t 的二次函数．直线AP 与坐标轴的夹角为45°．思路点拨1．第（2）题要把∠CAP 放置到怎样的直角三角形中？准确描绘点A 、P ，容易看到直线AP 与坐标轴的夹角为45°，过点C 作AP 的垂线，问题就解决了．2．第（3）题中的△QAC 是一个不规则的三角形，割还是补？补为直角梯形比较简便． 满分解答（1）将)0,3(-A 、)23,0(-C 分别代入c bx x y ++=221，得 930,23.2b c c ⎧-+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 解得1,3.2b c =⎧⎪⎨=-⎪⎩ 所以22131(1)2222y x x x =+-=+-． 顶点P 的坐标为(－1,－2)．（2）如图2，延长AP 交y 轴于M ．过点C 作CN ⊥AM ，垂足为N ．由A (－3,0)、P (－1,－2)，可知直线AP 与坐标轴的夹角为45°．在Rt △AOM 中，OA ＝3，所以OM ＝3，AM =在Rt △CMN 中，32CM OM OC =-=，所以32CN MN ===．所以AN AM MN =-==．在Rt △ACN 中，1tan 443CN CAP AN ∠==÷=．图2 图3（3）如图3，过点C 作x 轴的平行线，过点A 、Q 作x 轴的垂线，3条直线与直线AD 围成直角梯形AEFQ ，那么3(3,)2E --． 点Q 的坐标可表示为213(,)22t t t +-，那么CF ＝t ，212QF t t =+． S 梯形AEFQ ＝2321131599()(3)2224444t t t t t t +++=+++． S △ACE ＝1393224⨯⨯=． S △QCF ＝2321111()2242t t t t t +=+． 所以S △QAC ＝S 梯形AEFQ －S △ACE －S △QCF ＝23944t t +． 考点伸展第（3）题中，如果点Q 在第三象限内的抛物线上时，S △QAC ＝23944t t --（如图4）． 当32t =时，△QAC 的面积最大．32t =的几何意义是点Q 在线段AC 的中点的正下方，这是一个典型结论．图4例 2013年上海市宝山区中考模拟第25题已知AP 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上的一个动点（不与点A 、P 重合），联结AC ，以直线AC 为对称轴翻折AO ，将点O 的对称点记为O ′，射线AO ′交半圆O 于点B ，联结OC ．（1）如图1，求证：AB //OC ；（2）如图2，当点B 与点O ′重合时，求证：=AB CB ；（3）过点C 作射线AO ′的垂线，垂足为E ，联结OE 交AC 于F ．当AO ＝5，O ′B ＝1时，求AFCF 的值．图1 图2 备用图动感体验请打开几何画板文件名“13宝山25”，拖动点C 在半圆上运动，可以体验到，四边形AOCO ′保持菱形的形状，四边形OCEH 保持矩形的形状，△COF 与△AEF 保持相似． 思路点拨1．本题情景下的翻折，四边形AOCO ′保持菱形的形状．2．第（2）题容易想到，在同圆中相等的弦所对的弧相等，当点B 与点O ′重合时，四边形ABCO 是菱形．3．第（1）题的结论应用于第（3）题，关键是求EA 的长．4．备用图暗示了O ′B ＝1要分类讨论．满分解答（1）如图3，因为AO 与AO ′关于直线AC 对称，所以∠1＝∠2．因为OA ＝OC ，所以∠2＝∠C ．因此∠1＝∠C ．所以AB //OC ．图3 图4（2）如图4，联结BC ．当点B 与点O ′重合时，由AB //OC ，AB ＝OC ，可知四边形ABCO 是平行四边形． 又因为OA ＝OC ，所以四边形ABCO 是菱形．因此AB ＝CB ，从而得到=AB CB ．（3）如图5，过点O 作OH ⊥AB ，那么12AH AB =，四边形OCEH 是矩形，EH ＝CO ＝5．如图6，因为AB //OC ，所以=CF OC AF EA． ①如图5，当O ′在AB 上时，AB ＝AO ′＋O ′B ＝6． 此时1=32AH AB =，EA ＝EH ＋AH =8．所以5==8CF OC AF EA ． ②如图6，当O ′在AB 的延长线上时，AB ＝AO ′－O ′B ＝4． 此时1=22AH AB =，EA ＝EH ＋AH =7．所以5==7CF OC AF EA ．图5 图6考点伸展在本题情景下，当点C 在半圆上运动时，点O ′运动的轨迹是什么？设AC 与OO ′的交点为M ，那么点M 运动的轨迹是什么？如图7，因为AO ＝AO ′，所以点O ′运动的轨迹是以A 为圆心，AO 为半径的半圆． 如图8，因为四边形AOCO ′是菱形，所以对角线互相垂直平分，△AOM 保持直角三角形的形状，斜边AO 不变，所以直角顶点M 的轨迹是以AO 为直径的半圆．图7 图8例 2013年上海市崇明县中考模拟第24题如图1，抛物线254y x bx c =-++与y 轴交于点A (0,1)，过点A 的直线与抛物线交于另一点B 5(3,)2，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ． （1）求抛物线的表达式；（2）点P 是x 轴正半轴上的一动点，过点P 作PN ⊥x 轴，交直线AB 于点M ，交抛物线于点N ，设OP 的长度为m ．①当点P 在线段OC 上（不与点O 、C 重合）时，试用含m 的代数式表示线段PM 的长度；②联结CM 、BN ，当m 为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？图1动感体验请打开几何画板文件名“13崇明24”，拖动点P 在x 轴正半轴上运动，可以体验到，当点P 在线段OC 上时，点M 的运动轨迹是线段AB ．观察NM 与BC 的比值，可以体验到，平行四边形BCMN 存在两种情况．思路点拨1．用待定系数法求抛物线的解析式．2．用含m 的代数式表示线段PM 的长度，其实就是求线段AB 所在直线的解析式．3．如果四边形BCMN 是平行四边形，那么NM ＝BC ．解关于m 的方程，可以求得m ． 满分解答（1）将A (0,1)、B 5(3,)2分别代入254y x bx c =-++，得 1,4553.42c b c =⎧⎪⎨-++=⎪⎩ 解得17,41.b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 所以抛物线的表达式为2517144y x x =-++． （2）①当点P 在线段OC 上（不与点O 、C 重合）时，线段PM 的长度等于点M 的纵坐标，而点M 运动的轨迹是线段AB ．设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋n ，将A (0,1)、B 5(3,)2分别代入，得1,53.2n k n =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得1,21.k n ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 所以直线AB 的解析式为112y x =+． 因此线段PM 的长度用m 表示为112PM m =+，m 的取值范围是0＜m ＜3． ②225171515(1)(1)44244N M NM y y m m m m m =-=-++-+=-+，52BC =． 解方程25155442m m -+=，得m ＝1或m ＝2． 因此当m ＝1或m ＝2时，四边形BCMN 为平行四边形（如图2，图3）．图2 图3考点伸展本题中，如果点P 是x 轴上一点，当m 为何值时，以B 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形？还需要考虑M 在N 上方的情况，251544MN m m =-． 解方程25155442m m -=，得m =（如图4，图5）．图4 图5例 2013年上海市崇明县中考模拟第25题如图1，⊙O 的半径为3，OC ⊥弦AB ，垂足为D ，点E 在⊙O 上，∠ECO ＝∠BOC ，射线CE 与射线OB 相交于点F ．设AB ＝x ，CE ＝y ．（1）求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数定义域；（2）当△OEF 为直角三角形时，求AB 的长；（3）如果BF ＝1，求EF 的长．图1 备用图 备用图动感体验请打开几何画板文件名“13崇明25”，拖动点B 在⊙O 上运动，可以体验到，y 随x 变化的图像是四分之一圆，等腰三角形FOC 与等腰三角形OCE 保持相似，直角三角形OEF 存在两种情况，BF ＝1也存在两种情况．思路点拨1．在备用图中怎样画示意图？在图中的7个点中，O 、C 是两个定点，其它的都是动点。

2021年上海市各区中考数学模拟压轴题图文解析目录第24、25题图文解析例2021年上海市宝山区中考第24、25题/ 2例2021年上海市崇明县中考第24、25题/ 6例2021年上海市奉贤区中考第24、25题/ 10例2021年上海市虹口区中考第24、25题/ 14例2021年上海市黄浦区中考第24、25题/ 19例2021年上海市嘉定区中考第24、25题/ 22例2021年上海市金山区中考第24、25题/25例2021年上海市静安区中考第24、25题/28例2021年上海市闵行区中考第24、25题/ 33例2021年上海市浦东新区中考第24、25题/ 36例2021年上海市普陀区中考第24、25题/ 40例2021年上海市青浦区中考第24、25题/ 44例2021年上海市松江区中考第24、25题/ 48例2021年上海市徐汇区中考第24、25题/ 51例2021年上海市杨浦区中考第24、25题/ 55例2021年上海市长宁区中考第24、25题/60第18题图文解析例2021年上海市宝山区中考第18题/ 64例2021年上海市崇明县中考第18题/ 65例2021年上海市奉贤区中考第18题/ 66例2021年上海市虹口区中考第18题/ 67例2021年上海市黄浦区中考第18题/ 68例2021年上海市嘉定区中考第18题/ 69例2021年上海市金山区中考第18题/70例2021年上海市静安区中考第18题/ 71例2021年上海市闵行区中考第18题/ 72例2021年上海市浦东新区中考第17题/ 73例2021年上海市浦东新区中考第18题/ 74例2021年上海市普陀区中考第18题/ 75例2021年上海市青浦区中考第18题/ 76例2021年上海市松江区中考第18题/ 77例2021年上海市徐汇区中考第18题/ 78例2021年上海市杨浦区中考第18题/ 79例2021年上海市长宁区中考第18题/80例 2021年上海市宝山区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx －1（a ≠0）经过点A (－2, 0)、B (1, 0)和D (－3, n )，与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的表达式及点D 的坐标；（2）将抛物线平移，使点C 落在点B 处，点D 落在点E 处，求△ODE 的面积；（3）如果点P 在y 轴上，△PCD 与△ABC 相似，求点P 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“21宝山24”，可以体验到，△ODE 与△OMN 是同高三角形．点击屏幕左下方的按钮“第（3）题”，拖动点P 在运动，可以体验到，△PCD 与△ABC 相似存在两种情况．思路点拨1．第（1）题先写出抛物线的交点式，再根据常数项相等列关于a 的方程．2．第（2）题求△ODE 的面积可以用割补法，也可以先求直线DE 与坐标轴围成的三角形的面积，再根据同高三角形的面积比等于底边的比来解．3．第（3）题关键的一步是寻找一组等角，然后根据夹角的两条边对应成比例，分两种情况列方程求CP 的长．图文解析（1）抛物线的交点式为y ＝a (x ＋2)(x －1)，对照y ＝ax 2＋bx －1，根据常数项相等， 得－2a ＝－1．解得12a =． 所以2111(2)(1)1222y x x x x =+-=+-． 当x ＝－3时，11(2)(1)(1)(4)222y x x =+-=⨯-⨯-=．所以D (－3, 2)． （2）如图2，点C (0,－1)先向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点B (1, 0)． 所以点D (－3, 2)按C →B 的方向平移，得到点E (－2, 3)．由D (－3, 2)、E (－2, 3)，得直线DE 的解析式为y ＝x ＋5．直线DE 与y 轴交于点M (0, 5)，与x 轴交于点N (－5, 0)，所以S △OMN ＝252． 因为15DE MN =，所以S △ODE ＝15S △OMN ＝52．（3）如图2，由A (－2, 0)、B (1, 0)、C (0,－1)，可知∠ABC ＝45°，BA ＝3，BC ．如图3，由D (－3, 2) 、C (0,－1)，可知∠DCO ＝45°，CD ＝当点P 在y 轴上点C 上方时，∠DCP ＝∠ABC ＝45°，分两种情况讨论相似： ①当CP BACD BC ==．解得CP ＝9．此时P (0, 8)（图3中的点P ′）．②当CPBCCD BA ==．解得CP ＝2．此时P (0, 1) （图3中的点P ）．图2 图3考点伸展第（2）题求△ODE 的面积的方法多样，例如S △ODE ＝S △OMN ―S △OME ―S △OND ．例 2021年上海市宝山区中考模拟第25题如图1，已知AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，垂足分别为B 、C ，AC 与BD 交于点P ．（1）如果AB ＝3，CD ＝5，以点P 为圆心作圆，⊙P 与直线BC 相切．①求圆P 的半径长；②若BC ＝8，以BC 为直径作⊙O ，试判断⊙O 与⊙P 的位置关系，并说明理由．（2）如果分别以AB 、CD 为直径的两圆外切，求证：△ABC 与△BCD 相似．图1动感体验请打开几何画板文件名“21宝山25”，拖动点C 运动，改变BC 的长度，可以体验到，PH 的长度始终保持不变．观察度量值，可以体验到，当BC ＝8时，⊙O 与⊙P 内切．点击屏幕左下方的按钮“第（2）题”，拖动点A 或点C 改变两圆的半径，可以体验到，当两圆相切时，△ABC 与△BCD 始终保持相似．思路点拨1．第（1）题用字母表示线段的长，设BH ＝m ，CH ＝n ，计算起来比较方便．2．判断两圆的位置关系，需要罗列三要素，即两圆半径和圆心距．3．第（2）题中蕴含了两个经典，一是外切两圆的圆心以及外公切线的两个切点，围成了一个直角梯形，一般策略是把这个直角梯形分割为一个矩形和一个直角三角形．另一个经典是代数计算，用到了两个完全平方公式的差．图文解析（1）①如图2，设⊙P 与直线BC 相切于点H ，那么PH ⊥BC ．设BH ＝m ，CH ＝n ．由PH //AB //DC ，得PH CH n AB BC m n ==+，PH BH m DC BC m n ==+． 两式相加，得1PH PH AB DC +=． 所以135PH PH +=． 解得r P ＝PH ＝158．图2 图3②如图3，因为BC ＝8，那么rO ＝OB ＝4． 由=PH BH DC BC ，得15858=BH ．解得BH ＝3． 在Rt △POH 中，PH ＝158，OH ＝OB －BH ＝4－3＝1，由勾股定理，得PO ＝178． 因为r O －r P ＝1548-＝178，所以d ＝PO ＝r O －r P ． 图4 所以⊙O 与⊙P 内切（如图4所示）．（2）如图5，设AB ＝2a ，DC ＝2b ，那么AB ·DC ＝4ab ．取AB 的中点M ，DC 的中点N ，联结MN ．那么r M ＝a ，r N ＝b ．作MG ⊥DC 于G ，得矩形BCGM ．在Rt △MNG 中，MN ＝b ＋a ，NG ＝b －a ，所以MG 2＝(b ＋a )2－(b －a )2＝4ab ．所以AB ·DC ＝MG 2．又因为MG ＝BC ，所以=AB BC BC DC． 又因为∠ABC ＝∠BCD ＝90°，所以△ABC ∽△BCD （如图6所示）．图5 图6考点伸展我们把第（1）题一般化．如图7，AC 与BD 交于点P ，AB //PH //DC ，如果AB ＝3，DC ＝5，那么PH ＝158．求解过程完全相同，与BC 的长无关，与AB 的斜率无关．图7例 2021年上海市崇明区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝x －3分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A 和B ，且其顶点为D ．（1）求抛物线的表达式；（2）求∠BAD 的正切值；（3）设点C 为抛物线与x 轴的另一个交点，点E 为抛物线的对称轴与直线y ＝x －3的交点，点P 是直线y ＝x －3上的动点，如果△P AC 与△AED 是相似三角形，求点P 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“21崇明24”，拖动点P 在BA 的延长线上运动，可以体验到，△P AC 与△AED 相似存在两种情况．思路点拨1．第（2）题由A 、B 、D 三点的坐标，根据勾股定理的逆定理得到△ABC 是直角三角形．2．第（3）题关键的一步，是寻求一组相等的角，然后根据夹角的两边对应成比例分两种情况列方程求AP 的长，进而求点P 的坐标．图文解析（1）由y ＝x －3，得A (3, 0)，B (0,－3)．因为抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、C 两点，设y ＝(x －3)(x －x C )．代入点B (0,－3)，得－3＝－3(－x C )．解得x C ＝－1．所以y ＝(x －3)(x ＋1)＝x 2－2x －3，顶点为D (1,－4)．（2）如图2，由A (3, 0)、B (0,－3)、D (1,－4)，得AB 2＝18，BD 2＝2，AD 2＝20． 所以AB 2＋BD 2＝AD 2．所以△ABD 是直角三角形，∠ABD ＝90°．所以tan ∠BAD ＝BD AB ＝13．图2（3）如图3，由A (3, 0)，B (0,－3)，得OA ＝OB ，∠OAB ＝45°．抛物线的顶点为D (1,－4)，当x ＝1时，y ＝x －3＝－2．所以E (1,－2)．所以ED ＝2，EA ＝当点P 在BA 的延长线上时，∠CAP ＝∠AED ＝135°，分两种情况讨论△P AC 与△AED 相似．①当AP EA AC ED =时，4AP =AP ＝ 作PH ⊥x 轴于H ，那么PH ＝AH ＝4．此时P (7, 4)（如图3所示）．②当AP EDAC EA =时，4AP =AP ＝ 此时PH ＝AH ＝2，P (5, 2) （如图4所示）．图3 图4考点伸展第（2）题也可以用几何计算的方法．如图2，作DF ⊥y 轴于F ．由△OAB 和△DFB 都是等腰直角三角形，得到∠ABD ＝90°．直角三角形ABD 两条直角边的比，就是两个等腰直角三角形斜边的比，等于相似比1∶3．例 2021年上海市崇明区中考模拟第25题如图1，在矩形ABCD中，E是边CD的中点，点F在边AD上，EF⊥BD，垂足为点G．（1）如图2，当矩形ABCD为正方形时，求DGGB的值；（2）如果15=DGGB，AF＝x，AB＝y，求y与x的函数关系式，并写出函数定义域；（3）如果AB＝4cm，以点A为圆心，3cm长为半径的⊙A与以点B为圆心的⊙B外切，以点F为圆心的⊙F与⊙A、⊙B都内切，求DGGB的值．图1 图2 备用图动感体验请打开几何画板文件名“21崇明25”，拖动点D运动，可以体验到，⊙F与⊙A内切的切点是确定的，⊙F与⊙B内切时，Rt△ABF就确定了．思路点拨1．这三个小题都和DG∶GB相关，因此添加辅助线的方法是一致的，延长FE交BC 的延长线于点M，这样就利用了中点E．2．第（3）题中，⊙A、⊙B、⊙F的半径分别为3、1、r，当⊙F与⊙A、⊙B都内切时，用r表示圆心距AF、BF，再利用勾股定理解Rt△ABF，就得到了AF的长．图文解析（1）设正方形ABCD的边长为2a．如图3，延长FE交BC的延长线于点M．因为AD//BM，E是DC的中点，所以DF＝CM．因为△DEG是等腰直角三角形，所以△DEF也是等腰直角三角形．所以DF＝DE＝CE＝CM＝a．再由AD//BM，得1===33 DG DF aGB BM a．（2）如图4，延长FE交BC延长线于点M．设DF＝m．因为AD//BM，E是DC的中点，所以DF＝CM＝m．再由AD//BM，得15DF DGBM BG==．所以BM＝5DF＝5m．所以BC＝5m－m＝4m．所以AF＝4m－m＝3m＝x．所以m＝13x．如图5，根据等角的余角相等，得∠1＝∠2．由tan ∠1＝tan ∠2，得CB CE CD CM=．所以142=y m y m ．所以228=y m ．因为x ＞0，y ＞0，所以3==y x ．定义域是x ＞0．图3 图4 图5（3）如图6，因为⊙A 与⊙B 外切，所以圆心距AB ＝r A ＋r B ．所以3＋r B ＝4．解得r B ＝1．设⊙F 的半径为r ．因为⊙F 与⊙A 、⊙B 都内切，所以圆心距AF ＝r F －r A ＝r －3，圆心距BF ＝r F －r B ＝r －1．在Rt △ABF 中，根据勾股定理，得AB 2＋AF 2＝BF 2．所以42＋(r －3)2＝(r －1)2． 解得r ＝6．所以AF ＝r －3＝3．如图7，设DF ＝CM ＝m ，那么BC ＝m ＋3．由△DCB ∽△ECM ，得=CD CM CB CE ．所以432=+m m ．整理，得m 2＋3m －8＝0．解得m ．如图8，由AD //BM ，得23==+DG FD m GB BM m ．代入=m DG GB ．图6 图7 图8考点伸展第（3）题中的⊙F 不存在其他情况，从解题过程可以看到，圆心距AF 不论表示为r －3还是3－r ，圆心距BF 不论表示为r －1还是1－r ，由勾股定理得42＋(r －3)2＝(r －1)2，这个方程是一元一次方程，解是唯一的．例 2021年上海市奉贤区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，已知B (0, 2)、C 3(1,)2-，点A 在x 轴正半轴上，且OA ＝2OB ，抛物线y ＝ax 2＋bx （a ≠0）经过点A 、C ．（1）求这条抛物线的表达式；（2）将抛物线先向右平移m 个单位，再向上平移1个单位，此时点C 恰好落在直线AB 上的点C ′处，求m的值；（3）设点B 关于原抛物线对称轴的对称点为B ′，联结AC ，如果点F 在直线AB ′上，∠ACF ＝∠BAO ，求点F的坐标． 图1 动感体验请打开几何画板文件名“21奉贤24”，可以体验到，∠CAO ＝∠BAO ，按照点F 与直线AC 的位置关系，∠ACF ＝∠BAO 存在两种情况．思路点拨1．抛物线的平移，归根到底是对应点的平移．第（2）题其实是点C 平移以后落在直线AB 上，抛物线的平移是假象．2．第（3）题中∠ACF ＝∠BAO ，按照点F 与直线AC 的位置关系，分两种情况． 图文解析（1）由B (0, 2)、OA ＝2OB ，得OA ＝4，A (4, 0)．因为抛物线与x 轴交于O 、A 两点，设y ＝ax (x －4)．代入点C 3(1,)2-，得31(3)2a -=⨯⨯-．解得12a =． 所以211(4)222y x x x x =-=-． （2）由A (4, 0)、B (0, 2)，得直线AB 的解析式为122y x =-+． 如图2，点C 3(1,)2-先向右平移m 个单位，再向上平移1个单位得点C ′1(1,)2m +-． 将点C ′1(1,)2m +-代入直线AB 的解析式122y x =-+，得11(1)222m -=-++． 解得m ＝4．图2（3）由A (4, 0)、B (0, 2)、C 3(1,)2-，可得tan ∠BAO ＝24＝12，tan ∠CAO ＝332÷＝12． 所以∠BAO ＝∠CAO （如图3所示）．如图3，点B 与点B ′关于OA 的垂直平分线对称，所以直线AB ′是x ＝4．如果∠ACF ＝∠BAO ，分两种情况：①点F 在直线AC 的下方．过点C 作x 轴的平行线交直线AB ′于点F ．此时F 3(4,)2-． ②点F ′在直线AC 的上方．设F ′C 与x 轴交于点G ，那么GA ＝GC ．设G (m , 0)，由GA 2＝GC 2，得2223(1)()(4)2m m -+=-．解得178m =．所以G 17(,0)8． 由174'58'38F A GA F F CF -===，得'53F A AF =．所以5535'3322F A AF ==⨯=．此时F ′5(4,)2．图3 图4考点伸展第（3）题求点F ′的坐标，也可以先求tan2α的值．如图4，已知A (4, 0)、B (0, 2)，作AB 的垂直平分线交y 轴于点P ，垂足为Q ，那么 ∠APB ＝2∠BAO ＝2α．设P (0, n )．由P A 2＝PB 2，可得42＋n 2＝(2－n )2．解得n ＝－3．所以tan2α＝tan ∠APO ＝OA OP ＝43． 第（3）题求点F ′的坐标，还可以先说理再计算．如果把△CAF 与△CAF ′看作同高三角形，面积比等于AF ∶AF ′．又因为CA 平分∠FCF ′，所以点A 到CF 、CF ′的距离相等，因此△CAF 与△CAF ′又可以看作等高三角形，面积比等于CF ∶CF ′． 所以''CF AF CF AF =．设F ′(4, y )3322y y==． 整理，得4y 2－4y －15＝0．解得52y =，或32y =-（与点F 重合，舍去）．例 2021年上海市奉贤区中考模拟第25题如图1，已知扇形AOB 的半径OA ＝4，∠AOB ＝90°，点C 、D 分别在半径OA 、OB 上（点C 不与点A 重合），联结CD ．点P 是弧AB 上一点，PC ＝PD ．（1）当cot ∠ODC ＝34，以CD 为半径的圆D 与圆O 相切时，求CD 的长； （2）当点D 与点B 重合，点P 为弧AB 的中点时，求∠OCD 的度数；（3）如果OC ＝2，且四边形ODPC 是梯形，求PCD OCDS S △△的值．图1 备用图 备用图动感体验请打开几何画板文件名“21奉贤25”，拖动点D 在OB 上运动，可以体验到，⊙O 与 ⊙D 可以内切于点B ．点击屏幕左下方的按钮“第（2）题”，可以体验到，△OAP 、△OBP 和△P AC 都是顶角为45°的等腰三角形．点击按钮“第（3）题”，可以体验到，梯形ODPC 存在两种情况．思路点拨1．相切两圆的连心线必过切点，⊙O 与⊙D 可以内切于点B ．2．第（2）题把图形中的等腰三角形都标记出来，标记出内角的度数．事实上，PC 与PD 垂直且相等．3．第（3）题根据梯形的一组对边平行，可以先画出准确的示意图，再进行计算．两个三角形的面积比等于底边的比．图文解析（1）如图2，在Rt △OCD 中，cot ∠ODC ＝34，设OD ＝3m ，OC ＝4m ，那么CD ＝5m ． 因为相切两圆的连心线必过切点，所以连心线OD 过切点B ．所以⊙O 与⊙D 内切于点B ．所以r O －r D ＝d ＝OD ．所以4－5m ＝3m ．解得m ＝12．所以CD ＝5m ＝52．图2 图3 图4（2）如图3，因为点P为弧AB的中点，所以P A＝PD，∠POA＝∠POD＝45°．又因为OA＝OP，所以∠OAP＝∠OP A＝67.5°．同理可得∠OPD＝∠ODP＝67.5°．所以∠APD＝135°．如图4，因为P A＝PD，PC＝PD，得P A＝PC．所以在△ACP中，∠P AC＝∠PCA＝67.5°，∠APC＝45°．在△PCD中，∠CPD＝∠APD－∠APC＝90°，所以∠PCD＝45°．所以∠OCD＝180°－∠ACP－∠PCD＝180°－67.5－45°＝67.5°．（3）如果四边形ODPC是梯形，按照对边平行，分两种情况．①如图5，当CP//OD时，△PCD与△OCD是等高三角形，面积比等于PC∶OD．作PH⊥OB于H，得矩形OCPH．联结OP．在Rt△OCP中，OC＝2，OP＝4，所以PC＝．在Rt△DPH中，PH＝OC＝2，PD＝PC＝，所以DH＝所以OD＝OH－DH＝所以3PCDOCDS PCS OD==+△△图5 图6 图7②如图6，当DP//CO时，△PCD与△OCD是等高三角形，面积比等于PD∶OC．作PG⊥AO于G，得矩形PGOD．联结OP．设PC＝PD＝m．在Rt△PDO和Rt△PGC中，由OD2＝PG2，得22216(2)m m m-=--．整理，得m2＋4m－20＝0．解得m＝2±（舍去负值）．所以1PCDOCDS PDS OC===△△．考点伸展第（2）题当点P是弧AB的中点时，这个图形是一个典型图，如图7，PC与PD垂直且相等．例 2021年上海市虹口区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，直线l：34y x b=+与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线H：kyx=交于点P9(2,)2，直线x＝m分别与直线l和双曲线H交于点E、D．（1）求k和b的值；（2）当点E在线段AB上时，如果ED＝BO，求m的值；（3）点C是y轴上一点，如果四边形BCDE是菱形，求点C的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“21虹口24”，拖动点E运动，可以体验到，菱形BCDE存在两种情况，点E分别在点B的左侧和右侧．思路点拨1．第（2）题用m表示E、D两点的坐标，再用m表示ED的长．2．第（3）题根据ED2＝EB2列方程，就可以不遗不漏地得到所有可能的菱形．图文解析（1）将点P9(2,)2代入kyx=，得k＝xy＝9．将点P9(2,)2代入34y x b=+，得93224b=⨯+．解得b＝3．所以BO＝3．（2）如图2，由E3(,3)4m m+，D9(,)mm，得ED＝39(3)4mm+-．如果ED＝BO＝3，那么39(3)34mm+-=．整理，得34mm=．解得m＝（舍去），或m＝-（3）如图3，由E3(,3)4m m+、B(0, 3)，得EB2＝22235()()44m m m+=．由（2）知，ED＝39 (3)4mm+-．如果四边形BCDE是菱形，那么EB＝ED．由EB2＝ED2，得22539 ()(3)44m mm⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦．①方程539(3)44m mm=+-整理，得m2－6m＋18＝0．此方程无实数根．②方程539(3)44m mm-=+-整理，得2m2＋3m－9＝0．解得m＝－3，或32m=．当m ＝－3时，EB 2＝25()4m ＝154．所以BC ＝154． 此时将点B 向下平移个154单位得到点C 3(0,)4-（如图3所示）． 当32m =时，EB 2＝25()4m ＝158．所以BC ＝158． 此时将点B 向上平移个158单位得到点C 39(0,)8（如图4所示）．图2 图3 图4考点伸展第（3）题还可以这样构图：如图5，设四边形BCDE 是菱形，边长为5n ．作EM ⊥y 轴于M ，作DN ⊥y 轴于N ，那么EM ＝DN ＝4n ，BM ＝CN ＝3n ．将点B (0, 3)向下平移5n 个单位得点C (0, 3－5n )，点C (0, 3－5n )向下平移3n 个单位，再向左平移4n 个单位，得点D (－4n , 3－8n )．将点D (－4n , 3－8n )代入9y x=，得－4n (3－8n )＝9． 整理，得32n 2－12n －9＝0．解得n ＝34，或n ＝38-． 当n ＝34时，3－5n ＝34-．此时C 3(0,)4-．当n ＝38-时，3－5n ＝398．此时C 39(0,)8．图5例 2021年上海市虹口区中考模拟第25题在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tan A＝34，AC＝5，点M是射线AB上一点，以MC为半径的⊙M交直线AC于点D．（1）如图1，当MC＝AC时，求CD的长；（2）当点D在线段AC的延长线上时，设BM＝x，四边形CBMD的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果直线MD与射线BC相交于点E，且△ECD与△EMC相似，求线段BM的长．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“21虹口25”，拖动点M在AB的延长线上运动，可以体验到，四边形CBMD的面积等于△CBM与△CDM的面积之和．点击屏幕左下方的按钮“第（3）题”，拖动点M在射线AB上运动，可以体验到，△ECD与△EMC相似存在两种情况．思路点拨1．第（1）题为第（2）题提供了方法依据，第（2）题求不规则四边形的面积，先要用x表示CD的长．2．第（3）题点M的位置在变，点D的位置随之改变，根据点M和点D的位置画出示意图，分三种情况讨论，其中两种情况下，根据相似三角形的对应角相等和等边对等角，等量代换以后都能得到角平分线，从而得到HM＝BM．图文解析（1）在Rt△ABC中，由tan A＝34，AC＝5，可得AB＝4，CB＝3．如图2，作MH⊥CD于H，那么CD＝2CH．因为MC＝AC，CB⊥AM，所以AB＝BM＝4．所以AM＝8．在Rt△AMH中，cos A＝45，所以AH＝AM∙cos A＝485⨯＝325．所以CH＝AH－AC＝3255-＝75．所以CD＝2CH＝145．图2 图3 图4（2）如图3，在Rt △AMH 中，cos A ＝45，AM ＝4＋x ，所以AH ＝AM ∙cos A ＝4(4)5+x ， MH ＝3(4)5+x ．所以CH ＝AH －AC ＝4(4)55+-x ＝495-x ． 所以CD ＝2CH ＝2(49)5-x ． 如图4，S 四边形CBMD ＝S △CBM ＋S △CDM ＝1122⋅+⋅BM CB CD MH ． 所以y ＝312(49)3(4)2255-+⋅⋅+x x x ． 整理，得y ＝22411721650+-x x ．定义域是x ＞94． 当x ＝94时，⊙M 与直线AC 相切于点C ． （3）以点M 和点D 的位置为分类标准，分三种情况讨论．①如图5，点M 在线段AB 上，点D 在线段CA 的延长线上．由△ECD ∽△EMC ，得∠ECM ＝∠EDC ．又因为MC ＝MD ，所以∠MCD ＝∠EDC ．等量代换，得∠ECM ＝∠MCD ．所以CM 是∠BCH 的平分线，HM ＝BM ＝x ．如图6，在Rt △AMH 中，由sin A ＝HM AM ＝35，得3(4)5=-x x ． 解得x ＝BM ＝32．图5 图6②如图7，当点M 在线段AB 的延长线上，点D 在线段AC 上时，△ECD 是锐角三角形，△EMC 是钝角三角形，这两个三角形不可能相似．④如图8，点M 在线段AB 的延长线上，点D 在线段AC 的延长线上．由△ECD ∽△EMC ，得∠EDC ＝∠ECM ．根据等角的补角相等，得∠MDC ＝∠BCM ．图7 图8 图9如图9，因为MC＝MD，所以∠MCD＝∠MDC．等量代换，得∠BCM＝∠MCD．所以CM是∠BCD的角平分线，HM＝BM＝x．在Rt△AMH中，由sin A＝HMAM＝35，得3(4)5x x=+．解得x＝BM＝6．考点伸展第（2）题求四边形CBMD的面积，也可以用△ADM的面积减去△ACB的面积．计算CD和MH的方法相同．如果抛物线C1：y＝ax2＋bx＋c与抛物线C2：y＝－ax2＋dx＋e的开口方向相反，顶点相同，我们称抛物线C2是C1的“对顶”抛物线．（1）求抛物线y＝x2－4x＋7的“对顶”抛物线的表达式；（2）将y＝x2－4x＋7的“对顶”抛物线沿其对称轴平移，使所得抛物线与原抛物线y ＝x2－4x＋7形成两个交点M、N，记平移前后两抛物线的顶点分别为A、B，当四边形AMBN 是正方形时，求正方形AMBN的面积；（3）某同学在探究“对顶”抛物线时发现：如果抛物线C1与C2的顶点位于x轴上，那么系数b与d，c与e之间的关系是确定的，请写出它们之间的关系．动感体验请打开几何画板文件名“21 黄浦24”，拖动x轴正半轴上表示实数a的点可以改变a 的值，拖动点A可以平移抛物线，拖动点B可以上下平移抛物线C2，可以体验到，四边形AMBN可以成为正方形．思路点拨1．把一般式化为顶点式，就可以写出“对顶”抛物线的顶点式．2．正方形的对角线互相垂直平分且相等，将点A向上平移m个单位，再向右平移m个单位，就可以表示出点N的坐标．然后将点N代入C1就可以求得平移距离m的值．3．第（3）题直接写出两条抛物线的顶点式，再化为一般式进行比较．图文解析（1）由y＝x2－4x＋7＝(x－2)2＋3，得顶点为(2, 3)．所以它的“对顶”抛物线的表达式为y＝－(x－2)2＋3＝－x2＋4x－1．（2）如图1，已知A(2, 3)，设AB＝2m，那么B(2, 3＋2m)．如果四边形AMBN是正方形，那么N(2＋m, 3＋m)．将点N(2＋m, 3＋m)代入y＝(x－2)2＋3，得3＋m＝m2＋3．解得m＝1，或m＝0（舍去）．所以AB＝2．所以正方形AMBN的面积＝2．（3）如果抛物线C1与C2的顶点位于x轴上，设顶点为(n, 0)．所以C1为y＝a(x－n)2＝ax2－2anx＋an2，C2为y＝－a(x－n)2＝－ax2＋2anx－an2．所以b＝－2an，d＝2an，c＝an2，e＝－an2．所以b＝－d，c＝－e．也就是说，b与d互为相反数，c与e互为相反数．图1 图2考点伸展第（2）题可以一般化，如图所示2，当1（a＞0）时，四边形AMBN是正方形．ma如图1，AD 是△ABC 的角平分线，过点C 作AD 的垂线交边AB 于点E ，垂足为点O ，联结DE ．（1）求证：DE ＝DC ；（2）当∠ACB ＝90°，且△BDE 与△ABC 的面积比为1∶3时，求CE ∶AD 的值；（3）是否存在△ABC 能使CE 为△ABC 边AB 上的中线，且CE ＝AD ？如果能，请用∠CAB 的某个三角比的值来表示它此时的大小；若不能，请说明理由．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“21黄浦25”，拖动点C 落在半圆上，可以体验到，DE ⊥AB ．当点E 与圆心重合时，可以体验到，△ADC 、△ADE 和△BDE 全等．点击按钮“CE ＝AD ，E 是AB 的中点”，观察度量值，可以体验到，这样的△ABC 是存在的．思路点拨1．第（1）题由等腰三角形的“三线合一”可知AD 垂直平分CE ．2．第（2）题可以转化为三个直角三角形全等，得到30°角的Rt △ABC ．3．第（3）题就是求等腰三角形ACE 的顶角的三角比，如果知道腰和底的比，或者底边与高的比，这个三角形的形状就确定了．图文解析（1）因为∠1＝∠2，CE ⊥AD ，AO ＝AO ，所以△ACO ≌△AEO ．所以AC ＝AE ． 根据等腰三角形的“三线合一”，可得AD 垂直平分CE ．所以DE ＝DC ．（2）因为S △BDE ∶S △ABC ＝1∶3，所以S △BDE ∶S 四边形ACDE ＝1∶2．又因为△ACD ≌△AED ，所以△ADC 、△ADE 和△BDE 面积相等．所以E 是AB 的中点．如果∠ACB ＝90°，那么DE ⊥AB ．所以DE 垂直平分AB ．所以DA ＝DB ．所以∠2＝∠3．又因为∠1＝∠2，所以∠1＝∠2＝∠3＝30°．所以△ACE 是等边三角形．于是cos 2cos302CE AE AD AD ==∠=︒=．图2 图3（3）如图4，作BF //CE 交AD 的延长线于点F ．如果CE 是△ABC 的中线，那么E 是AB 的中点．所以O 是AF 的中点．所以OE 是△ABF 的中位线．所以BF ＝2OE ＝2OC ． 所以2DF BF OD CO==． 设DO ＝n ，DF ＝2n ，那么OF ＝3n ．所以AO ＝OF ＝3n ．所以AD ＝4n ．如果CE ＝AD ，那么CE ＝4n ．如图5，作CG ⊥AE 于G ．在Rt △AEO 中，AO ＝3n ，EO ＝12CE ＝2n ，所以AE ．由S △ACE ＝1122⋅=⋅AE CG CE AO 1432⋅=⋅CG n n ．解得CG ．在Rt △ACG 中，AC ＝AE ，CG ，所以sin ∠CAG ＝CG AC ＝1213．图4 图5考点伸展在本题情景下，如果△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，如图6所示，这个图形就是我们熟悉的一个典型图，AB ＝AC ＋CD ．图6 图7第（3）题情景下，把这个图形看作△CEB 被一条直线所截，与三边或延长线分别交于点D 、O 、A ，如图7所示，理论上过C 、E 、B 、D 、O 、A 等六个点的每一个点，都有两种添加平行线的方法，例如图8、图9、图10．图8 图9 图10在平面直角坐标系中，二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋a －1（其中a 是常数，且a ≠0）的图像是开口向上的抛物线．（1）求该抛物线的顶点P 的坐标；（2）我们将横、纵坐标都是整数的点叫做“整点”，将抛物线f (x )＝ax 2－2ax ＋a －1与y 轴的交点记为A ，如果线段OA 上的“整点”的个数小于4，试求a 的取值范围；（3）如果f (－1)、f (0)、f (3)、f (4)这四个函数值中有且只有一个大于0，试写出符合题意的一个函数解析式；结合函数图像，求a 的取值范围．动感体验请打开几何画板文件名“21嘉定24”，拖动点A 在y 轴上运动，可以体验到，f (－1)和f (3)的函数值相等，f (0)对应点A ，只有f (4)这个函数值大于0．思路点拨1．按照点A 在x 轴下方和上方两种情况分类考虑，再综合考虑．2．抛物线的对称轴为x ＝1，所以f (－1)和f (3)的函数值相等．抛物线开口向上，所以f (0)＜f (3)，只有f (4)＞0．3．第（3）题先探究a 的取值范围，再写出一种具体情况．临界点是f (3)＝0和f (4)＝0． 图文解析（1）由f (x )＝ax 2－2ax ＋a －1＝a (x －1)2－1，得抛物线的顶点P 的坐标为(1,－1)．（2）由f (x )＝ax 2－2ax ＋a －1，得A (0, a －1)．①因为抛物线的顶点为P (1,－1)，当点A 在x 轴下方时，－1＜a －1≤0．解得0＜a ≤1．②当点A 在x 轴上方时，0＜a －1＜3．解得1＜a ＜4．③当点A 与点O 重合时，线段OA 不存在．因此a －1≠0．解得a ≠1．综上所述，a 的取值范围是0＜a ＜4且a ≠1．（3）如图1，因为抛物线的对称轴为直线x ＝1，所以f (－1)和f (3)的函数值相等． 如果f (－1)、f (0)、f (3)、f (4)这四个函数值中有且只有一个大于0，因为抛物线的开口向上，所以只有f (4)的值大于0．由(3)0,(4)0,f f ⎧⎨⎩≤＞ 得不等式组410,910.a a -⎧⎨-⎩≤＞ 解得a 的取值范围是1194a ＜≤． 例如：当18a =时，符合题意的一个函数解析式是21(1)18y x =--． 图1 考点伸展第（3）题如果没有抛物线开口向上的条件，当开口向下时，f (0)＞0．已知：⊙O 的半径长是5，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦．分别过点A 、B 向直线CD 作垂线，垂足分别为E 、F ．（1）如图1，当点A 、B 位于直线CD 同侧，求证：CF ＝DE ；（2）如图2，当点A 、B 位于直线CD 两侧，∠BAE ＝30°，且AE ＝2BF 时，求弦CD 的长；（3）设弦CD 的长为l ，线段AE 的长为m ，线段BF 的长为n ，探究l 与m 、n 之间的数量关系，并用含m 、n 的代数式表示l ．图1 图2 备用图动感体验请打开几何画板文件名“21嘉定25”，拖动点A 运动，可以体验到，OH 是△ABK 的中位线，当A 、B 两点在弦CD 的同侧时，OH 等于AE ＋BE 的一半；点A 、B 两点在弦CD 的两侧时，OH 等于AE －BF 的一半．思路点拨1．作弦心距OH ，求CD 的长先求DH 的长．2．由O 、H 是两个中点，不由得想到中位线．图文解析（1）如图3，作OH ⊥CD 于H ．由垂径定理，得CH ＝DH ．因为BF //OH //AE ，OA ＝OB ，所以FH ＝EH ．所以FH －CH ＝EH －DH ，即CF ＝DE ．（2）如图4，设AB 与CD 交于点G ．由AE //BF ，得2AG AE BG BF ==．所以23AG AB =．所以AG ＝23AB ＝203．图3 图4 图5如图5，在Rt △OGH 中，OG ＝AG －OA ＝2053-＝53，∠GOH ＝∠A ＝30°，所以OH ＝OG ·cos30°＝53．在Rt △OCH 中，OC ＝5，OH ，由勾股定理，得CH所以CD ＝2OD （3）如图3，点A 、B 位于直线CD 同侧．因为OH 是梯形ABFE 的中位线，所以OH ＝1()2+BF AE ＝1()2+m n ． 如图5，在Rt △OCH 中，OC ＝5，OH ＝1()2+m n ，由勾股定理，得CH ．所以l ＝CD ＝2CH ．如图6，点A 、B 位于直线CD 两侧．延长BH 交AE 于点K ．因为BF //AE ，H 是FE 的中点，所以KE ＝BF ＝n ．因为OH 是△ABK 的中位线，所以OH ＝12AK ＝1()2AE BF -＝1()2m n -． 如图5，在Rt △OCH 中，OC ＝5，OH ＝1()2-m n ，由勾股定理，得CH所以l ＝CD ＝2CH ．考点伸展如图6、如图7是对立统一的两个图，OH 是△ABK 的中位线．如图6，当A 、B 在CD两侧时，OH ＝12AK ＝2AE BF -．如图7，当A 、B 在CD 同侧时，OH ＝12AK ＝2AE BF +．图6 图7如图1，已知直线y＝kx＋b经过A(－2, 0)、B(1, 3)两点，抛物线y＝ax2－4ax＋b与已知直线交于C、D两点（点C在点D的右侧），顶点为P．（1）求直线y＝kx＋b的表达式；（2）若抛物线的顶点不在第一象限，求a的取值范围；（3）若直线DP与直线AB所成的夹角等于15°，且点P在直线AB上方，求抛物线y＝ax2－4ax＋b的表达式．动感体验请打开几何画板文件名“21金山24”，拖动点P在第四象限的对称轴上运动，可以体验到，抛物线与y轴的交点D是确定的．点击屏幕左下方的按钮“第（3）题”，可以体验到，△PDF是60°角的直角三角形．思路点拨1．注意到两个解析式的常数项相同，抛物线与直线左侧的交点D是确定的．2．第（3）题构造60°角的直角三角形，先求顶点P的坐标．图文解析（1）将A(－2, 0)、B(1, 3)两点分别代入y＝kx＋b，得20,3.k bk b-+=⎧⎨+=⎩解得k＝1，b＝2．所以直线的表达式为y＝x＋2．（2）由y＝ax2－4ax＋2＝a(x－2)2＋2－4a，可知抛物线的顶点为P(2, 2－4a)．如图1所示，如果顶点不在第一象限，那么2－4a＜0．解得12 a>．（3）抛物线的对称轴为直线x＝2，设对称轴与直线AB交于点E，那么E(2, 4)．抛物线与直线的左侧的交点D的坐标为(0, 2)．如图2，过点D向对称轴作垂线，垂足为F，那么△DEF是腰长为2的等腰直角三角形．当点P在直线AB上方，∠PDE＝15°时，在Rt△PDF中，∠PDF＝60°．所以PF＝．所以顶点P(2,2+．所以224a+-．解得a=．所以抛物线的表达式为y＝ax2－4ax＋2＝22++．图1 图2考点伸展第（2）题可以数形结合，抛物线开口向上，a＞0，由∆＝(－4a)2－8＞0，解得12 a>．如图1，在△ABC 中，AB ＝AC＝，∠BAC ＝120°，△ADE 的顶点D 在边BC 上，AE 交BC 边于点F （点F 在点D 的右侧），∠DAE ＝30°．（1）求证：△ABF ∽△DCA ；（2）若AD ＝ED ．①联结EC ，当点F 是BC 的黄金分割点（FC ＞BF ）时，求ABF FECS S △△． ②联结BE ，当DF ＝1时，求BE 的长．图1 备用图 备用图动感体验请打开几何画板文件名“21金山25”，拖动点D 在BC 上运动，可以体验到，△ABF 、△DCA 与△DAF 两两相似．点击屏幕左下方的按钮“第（2）题①”，拖动点D 在BC 上运动，可以体验到，CE 与BC 的夹角始终保持30°不变，△ABF 与△ECF 始终保持相似．点击屏幕左下方的按钮“第（2）题②”，观察DF 的度量值，可以体验到，DF ＝1存在两种情况，分别是AD ⊥BC 和AF ⊥BC 的时刻．思路点拨1．第（1）题也是“三等角”问题，有三个三角形两两相似．2．第（2）题中的四边形AEDC 被对角线分成四个三角形，相对的两个三角形相似．3．第（2）题中AB 与CE 保持平行关系，△ABF 与△ECF 保持相似．图文解析（1）如图2，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，所以∠B ＝∠C ＝30°． 设∠BAD ＝α，那么∠ADC ＝α＋30°．又因为∠BAF ＝α＋30°，所以∠ADC ＝∠BAF ．所以△ABF ∽△DCA ．（2）①因为点F 是BC 的黄金分割点（FC ＞BF ），所以=BF FC ． 如图3，由AD ＝ED ，得∠AED ＝∠DAE ＝30°．等量代换，得∠AED ＝∠C ．又因为∠DFE ＝∠AFC ，所以△DFE ∽△AFC ．所以FD FA FE FC =． 又因为∠DF A ＝∠EFC ，所以△DF A ∽△EFC ．所以∠FCE ＝∠F AD ＝30°．如图4，因为∠B ＝∠FCE ，所以AB //CE ．所以△ABF ∽△ECF ．所以22=()==ABF FEC S BF S FC △△．。

例 2020年上海市杨浦区中考模拟第25题如图1，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝8，点P 是射线AC 上一点（不与点A 、C 重合），过P 作PM ⊥AB ，垂足为点M ，以M 为圆心，MA 长为半径的⊙M 与边AB 相交的另一个交点为N ，点Q 是边BC 上一点，且CQ ＝2CP ，连结NQ ．（1）如果⊙M 与直线BC 相切，求⊙M 的半径长；（2）如果点P 在线段AC 上，设线段AP ＝x ，线段NQ ＝y ，求y 关于x 的函数解析式及定义域；（3）如果以NQ 为直径的⊙O 与⊙M 的公共弦所在直线恰好经过点P ，求线段AP 的长．图1 备用图思路点拨1．圆与直线相切，圆心到直线的距离等于圆的半径．2．第（2）题构造以NQ 为斜边的直角三角形．3．相交两圆的连心线垂直平分公共弦，第（3）题隐含了MO 是△NAQ 的中位线，也就是说公共弦所在的直线与AQ 保持垂直关系，这样图形中就有等角的余角相等． 图文解析（1）如图2，作MH ⊥AC 于H ．在Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝8，所以AB ＝cos ∠A ＝5，sin ∠A ＝5在Rt △AMH 中，设AM ＝r ，那么AH ． 如果⊙M 与直线BC 相切，那么半径AM ＝HC ．所以4r =．解得5r = 图2 （2）如图3，作NG ⊥BC 于G ．在Rt △APM 中，AP ＝x ，所以AM x ．所以BN ＝AB －AN ＝x ．在Rt △BNG 中，NG ＝5BN ＝245x -，BG ＝2NG ＝485x -． 在Rt △NQG 中，QG ＝BC －CQ －BG ＝48(82)(8)5x x ----＝1485x -，由勾股定理，得NQ 2＝NG 2＋QG 2＝222144+855x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ＝4(2x 2－12x ＋20)．所以y ＝NQ ＝．定义域是0＜x ≤4．图3（3）如图4，因为M 、O 分别是NA 、NQ 的中点，所以MO 是△NAQ 的中位线． 所以MO //AQ ．根据相交两圆的连心线垂直平分公共弦，当公共弦经过点P 时，MO ⊥PN ． 所以PN ⊥AQ （如图5所示）．如图5，因为点P 在AN 的垂直平分线上，所以P A ＝PN ．所以∠P AN ＝∠PNA ． 根据等角的余角相等，可知∠QAN ＝∠B ．所以QA ＝QB ．设CQ ＝m ，那么QA ＝QB ＝8－m ．在Rt △ACQ 中，由勾股定理，得(8－m )2＝42＋m 2．解得m ＝CQ ＝3．图4 图5② 如图4，当点P 在AC 上时，由CQ ＝2CP ＝2(4－x )＝3，得x ＝52． ②如图6，当点P 在AC 的延长线上时，由CQ ＝2CP ＝2(x －4)＝3，得x ＝112．图6考点伸展第（2）题求y 关于x 的解析式的过程，运算很繁琐，结果很简洁，一般情况下，都是因为构造的辅助线不同．也可以这样添加垂线：如图7，作QK ⊥AB 于K ．在Rt △BQK 中，BQ ＝8－(8－2x )＝2x ，所以QK x ，BK ．在Rt △NQK 中，NK ＝AB －AN －BK ＝x ＝x ，所以NQ 2＝NK 2＋QK 2＝22+x x ⎛⎫⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＝4(2x 2－12x ＋20)．图7。

如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，tan B ＝34，将△ABC 绕点B 逆时针旋转，得到 △A 1BC 1，当点C 1在线段CA 延长线上时△ABC 1的面积为 __________．图1答案 46825．思路如下：如图2，设BC 的中点为H ． 在Rt △ABH 中，由AB ＝5，tan B ＝34，可得AH ＝3，BH ＝4． 所以BC ＝8，S △ABC ＝12．如图3，当点C 1落在线段CA 延长线上时，△ABC ∽△BC 1C ．根据相似三角形的面积比等于对应边比的平方，得221525864ABC BC C S AB S BC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△． 所以S △BC 1C ＝641225⨯． 所以S △ABC 1＝64121225⨯-＝391225⨯＝46825．图2 图3如图1，在平面直角坐标系中，A (8, 0)，B (8, 4)，C (0, 4)，反比例函数=ky x在第一象限内的图像分别与AB 、BC 交于点F 、E ，连结EF ．如果点B 关于EF 的对称点恰好落在OA 边上，那么k 的值为__________．图1答案 12．思路如下：如图2，作EM ⊥x 轴于M ．设E (m , 4)，F (8, n )．由4m ＝8n ＝k ，得m ＝2n ．所以882244BE m nBF n n--===--． 由△EMB ′∽△B ′AF ，得''2''EM MB B E BEB A AF FB FB====．所以4'2'MB B A n==．所以B ′A ＝2，MB ′＝2n ＝m ．再由EB ＝MA ，得8－m ＝m ＋2．解得m ＝3． 所以E (3, 4)．所以k ＝12．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝35°，CD是斜边AB上的中线，如果将△BCD沿CD所在直线翻折，点B落在点E处，连结AE，那么∠CAE的度数是__________．图1答案125°．思路如下：如图2，因为CD是Rt△ABC斜边上的中线，所以DA＝DC＝DB．所以∠DCB＝∠B＝35°，∠DCA＝∠DAC＝55°．所以∠ADC＝70°，∠CDB＝110°．因为△CDB与△CDE关于CD对称，所以∠CDE＝∠CDB＝110°．所以∠ADE＝110°－70°＝40°（如图3所示）．所以在等腰三角形DAE中，∠DAE＝70°．所以∠CAE＝55°＋70°＝125°．图2 图3如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点D 、E 分别是边BC 、AB 上一点，DE //AC ，BD ＝BDE 绕着点B 旋转得到△BD ′E ′（点D 、E 分别与点D ′、E ′对应），如果A 、D ′、E ′在同一直线上，那么AE ′的长为 __________．图1答案如图2，在Rt △ABC 中，AC ＝6，BC ＝8，所以AB ＝10，tan ∠B ＝34．在Rt △EDB 中，DE ＝34BD ＝34⨯如图3，当点A 在E ′D ′的延长线上时．在Rt △ABD ′中，AB ＝10，BD ′＝AD ′＝此时AE ′＝AD ′＋D ′E ′＝如图4，当点A 在D ′E ′的延长线上时，AE ′＝AD ′－D ′E ′＝图2 图3 图4定义：如果三角形的两个内角α与β满足α＝2β，那么，我们将这样的三角形称为“倍角三角形”．如果一个等腰三角形是“倍角三角形”，那么这个等腰三角形的腰长与底边长的比值为 __________．答案如图1，如果α为等腰三角形的顶角，那么α＋β＋β＝4β＝180°．解得β＝45°．如图2，如果α为等腰三角形的底角，那么α＋α＋β＝5β＝180°．解得β＝36°．这个三角形是黄金三角形．如图3，设腰长AB ＝CB ＝x ，底边AC ＝1．作∠BAC 的平分线交BC 于D ，那么△BCA ∽△ACD ．由BC AC AC DC =，得111x x =-．解得x =．图1 图2 图3如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，把△ABC绕C点旋转得到△A′B′C，其中点A′在线段AB上，那么∠A′B′B的正切值等于__________．图1答案724．思路如下：如图2，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，所以AB＝5，cos∠A＝35．在等腰三角形ACA′和等腰三角形BCB′中，5''6 CA CBAA BB==．所以AA′＝65CA＝185，BB′＝65CB＝245．所以A′B＝AB－AA′＝1855-＝75．由∠A＋∠ABC＝90°，∠A＝∠1，得∠1＋∠ABC＝90°．如图3，在Rt△A′B′B中，tan∠A′B′B＝''A BBB＝724．图2 图3如果一条直线把一个四边形分成两部分，这两部分图形的周长相等，那么这条直线称为这个四边形的“等分周长线”．在直角梯形ABCD中，AB//CD，∠A＝90°，DC＝AD，∠B是锐角，cot B＝512，AB＝17．如果点E在梯形的边上，CE是梯形ABCD的“等分周长线”，那么△BCE的周长为__________．答案42．思路如下：如图1，作CH⊥AB于H，那么四边形AHCD是正方形．已知cot B＝512，AB＝17，设BH＝5m，CH＝12m，那么AB＝17m＝17．解得m＝1．所以正方形的边长为12，BC＝13．所以四边形ABCD的周长为54，周长的一半等于27．如图2，因为CD＋DA＝24，所以点E在AB上，AE＝3．此时在Rt△CEH中，EH＝12－3＝9，CH＝12，所以CE＝15．所以△BCE的周长＝15＋(9＋5)＋13＝42．图1 图2如图1，已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠BAC ＝30°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转，使点B 落在点B 1处，点C 落在点C 1处，且BB 1⊥AC ．连结B 1C 和C 1C ，那么△B 1C 1C 的面积等于__________．图1答案 8-如图2，当BB 1⊥AC 时，AC 垂直平分BB 1，AB 1垂直平分CC 1． 此时△B 1C 1C 的面积等于△BCB 1的面积（如图3所示）．如图2，在Rt △ABE 中，AB ＝4，∠BAE ＝30°，所以BE ＝2，AE ＝所以CE ＝AC －AE ＝4-所以S △BCB 1＝112BB CE ⋅＝14(42⨯-＝8-图2 图3如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，BC D是BC边上一点，沿直线AD翻折△ABD，点B落在点E处，如果∠ABE＝45°，那么BD的长为__________．图1答案2．思路如下：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，BC AB＝2．如图2，当∠ABE＝45°时，△ABE是等腰直角三角形．此时∠BAD＝45°．如图3，作△ABD的高DH．设DH＝AH＝m，那么BH．由AB＝1)m＝2，得m1．所以BD＝2DH＝2m＝2．图2 图3小明学习完《相似三角形》一章后，发现了一个有趣的结论：在两个不相似的直角三角形中，分别存在经过直角顶点的一条直线，把直角三角形分成两个小三角形后，如果第一个直角三角形分割出来的一个小三角形与第二个直角三角形分割出来的一个小三角形相似，那么分割出来的另外两个小三角形也相似．他把这样的两条直线称为这两个直角三角形的相似分割线．如图1、图2，直线CG、DH分别是两个不相似的Rt△ABC和Rt△DEF的相似分割线，CG、DH分别与斜边AB、EF交于点G、H，如果△BCG与△DFH相似，AC＝3，AB＝5，DE＝4，DF＝8，那么AG＝__________．图1 图2答案3．思路如下：如图3，设∠A＝α，∠B＝β．已知AC＝3，AB＝5，所以BC＝4．如图4，设∠E＝γ，∠F＝θ．如果△BCG与△DFH相似，因为钝角对应相等，所以∠BCG＝∠F＝θ，∠HDF＝∠B ＝β．所以BC DFBG DH=．所以48BG DH=．设BG＝m，那么DH＝2m．根据等角的余角相等，∠ACG＝∠E＝γ，∠EDH＝∠A＝α．所以△ACG∽△DEH．所以AC DEAG DH=．所以3452m m=-．解得m＝2．所以AG＝5－m＝3．图3 图4如图1，四边形ABCD 是⊙O 的内接矩形，将矩形ABCD 沿着直线BC 翻折，点A 、点D 的对应点分别为A ′、D ′，如果直线A ′D ′与⊙O 相切，那么ABBC的值为__________．图1答案 4．思路如下：如图2，设A ′D ′与⊙O 相切于点N ，连结ON 交BC 与点M ，那么ON ⊥A ′D ′．设OM ＝m ，那么AB ＝A ′B ＝MN ＝2m ．在Rt △ABC 中，AB ＝2m ，AC ＝2ON ＝6m ，所以BC ．所以4==AB BC ．图2如图1，在平行四边形ABCD 中，AD ＝3，AB ＝5，sin A ＝45，将平行四边形ABCD 绕着点B 顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°）后，点A 的对应点是点A ′，连结A ′C ，如果A ′C ⊥BC ，那么cos θ的值是__________．图1答案 725．思路如下：如图2，已知sin A ＝sin α＝45． 如图3，在Rt △A ′BC 中，A ′B ＝5，BC ＝3，所以A ′C ＝4． 所以∠A ′BC ＝α．延长A ′C 交AB 的延长线于点E ． 因为DA //CB ，所以∠CBE ＝∠A ＝α． 于是可得BC 垂直平分A ′E ． 作A ′F ⊥AB 于F ．由S △A ′BE ＝11''22A E BC BE A F ⋅=⋅，得'8324'55A E BC A F BE ⋅⨯===． 于是在Rt △A ′BF 中，sin θ＝''A F A B ＝2425．所以cos θ＝725．图2 图3例 2020年上海市杨浦区中考模拟第18题如图1，已知在平行四边形ABCD 中，AB ＝10，BC ＝15，tan ∠A ＝43，点P 是边AD 上一点，连结PB ，将线段PB 绕着点P 逆时针旋转90°得到线段PQ ，如果点Q 恰好落在平行四边形ABCD 的边上，那么AP 的值是__________．图1答案 6或10．思路如下：如图2，作BH ⊥AD 于H ．在Rt △ABH 中，由AB ＝10，tan ∠A ＝43，可得AH ＝6，BH ＝8．所以DH ＝9． 如图3，当点Q 落在AD 上时，点P 与点H 重合，此时AP ＝6．图2 图3如图4，当点Q 落在CD 上时，作QG ⊥AD 交AD 的延长线于G ，那么△BHP ≌△PGQ ． 设HP ＝GQ ＝4m ，那么DG ＝3m ．由PG ＝BH ＝8，得PD ＋DG ＝8．所以(9－4m )＋3m ＝8． 解得m ＝1．此时AP ＝AH ＋HP ＝6＋4m ＝10．图4例 2020年上海市长宁区中考模拟第18题如图1，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，点D 是边BC 的中点，∠ABC ＝∠CAD ，将△ACD 沿直线AD 翻折，点C 落在点E 处，连结BE ，那么线段BE 的长为 __________．图1答案如图2，由∠ABC ＝∠CAD ，∠C 是公共角，得△CAD ∽△CBA ．所以=CA CD CB CA ．所以1=2CA CA．解得CA在Rt △ACD 中，CD ＝1，CA AD cos ∠ADC ＝CD AD 如图3，连结CE 交AD 于点F ，那么AD 垂直平分CE ． 因为点D 是边BC 的中点，所以DF 是△CBE 的中位线．在Rt △FCD 中，DF ＝CD ∙cos ∠ADC ＝13 ＝3．所以BE ＝2DF图2 图3。

上海市各区2018届九年级中考二模数学试卷精选汇编：压轴题专题宝山区、嘉定区25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）在圆O 中，AO 、BO 是圆O 的半径，点C 在劣弧AB 上，10=OA ，12=AC ，AC ∥OB ，联结AB .（1）如图8，求证：AB 平分OAC ∠；（2）点M 在弦AC的延长线上，联结BM ，如果△AMB 是直角三角形，请你在如图9中画出点M 的位置并求CM 的长；（3）如图10，点D 在弦AC 上，与点A 不重合，联结OD 与弦AB 交于点E ，设点D 与点C 的距离为x ，△OEB 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.25.（1）证明：∵AO 、BO 是圆O 的半径 ∴BO AO =…………1分 ∴B OAB ∠=∠…………1分 ∵AC ∥OB图8图10图8∴B BAC ∠=∠…………1分 ∴BAC OAB ∠=∠∴AB 平分OAC ∠…………1分 (2)解：由题意可知BAM ∠不是直角，所以△AMB 是直角三角形只有以下两种情况:︒=∠90AMB 和︒=∠90ABM① 当︒=∠90AMB ，点M 的位置如图9-1……………1分 过点O 作AC OH ⊥,垂足为点H∵OH 经过圆心 ∴AC HC AH 21==∵12=AC ∴6==HC AH 在Rt △AHO 中，222OA HO AH =+ ∵10=OA ∴8=OH∵AC ∥OB ∴︒=∠+∠180OBM AMB ∵︒=∠90AMB ∴︒=∠90OBM ∴四边形OBMH 是矩形 ∴10==HM OB∴4=-=HC HM CM ……………2分 ②当︒=∠90ABM ，点M 的位置如图9-2由①可知58=AB ，552cos =∠CAB 在Rt △ABM 中，552cos ==∠AM AB CAB∴20=AM8=-=AC AM CM ……………2分综上所述，CM 的长为4或8.说明：只要画出一种情况点M 的位置就给1分，两个点都画正确也给1分. （3）过点O 作AB OG ⊥,垂足为点G 由（1）、（2）可知，CAB OAG ∠=∠sin sin 由（2）可得：55sin =∠CAB图10∵10=OA ∴52=OG ……………1分 ∵AC ∥OB ∴ADOBAE BE =……………1分 又BE AE -=58,x AD -=12,10=OB∴xBEBE -=-121058 ∴x BE -=22580 ……………1分∴52225802121⨯-⨯=⨯⨯=xOG BE y ∴xy -=22400……………1分自变量x 的取值范围为120<≤x ……………1分长宁区25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）在圆O 中，C 是弦AB 上的一点，联结OC 并延长，交劣弧AB 于点D ，联结AO 、BO 、AD 、BD . 已知圆O 的半径长为5 ，弦AB 的长为8．（1）如图1，当点D 是弧AB 的中点时，求CD 的长； （2）如图2，设AC =x ，y S S OBDACO=∆∆，求y 关于x 的函数解析式并写出定义域； （3）若四边形AOBD 是梯形，求AD 的长．25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分） 解：（1）∵OD 过圆心，点D 是弧AB 的中点，AB =8，∴OD ⊥AB ， （2分） 在Rt △AOC 中，，AO =5，∴ （1分） ， （1分）（2）过点O 作OH ⊥AB ，垂足为点H ，则由（1）可得AH =4，OH =3 ∵AC =x ，∴在Rt △HOC 中，，AO =5， ∴， （1分） ∴（） （3分） （3）①当OB （3分） ②当OA ABC △8AB =10BC =12AC =2AB AD AC =⋅AEF C ∠=∠ABC ∠BE x =CF y =y xGEF △8AB =12AC=2AB AD AC =g 163AD =16201233CD =-=2AB AD AC =g AD AB AB AC =BAC ∠ADB ABC △∽△ABD C =∠∠BD AD BC AB =203BD =BD CD =DBC C =∠∠ABD DBC =∠∠BD ABC ∠A AH BC ∥BD H AH BC∥16432053AD DH AH DC BD BC ====203BD CD ==8AH =163AD DH ==12BH =AH BC∥AH HGBE BG =812BG x BG-=128xBG x =+BEF C EFC=+∠∠∠BEA AEF C EFC +=+∠∠∠∠AEF C =∠∠BEA EFC=∠∠DBC C=∠∠（第25题图） A B C D G EF（备用图）AB C DBEG CFE△∽△BE BGCF EC=12810x x x y x+=-228012x x y -++=GEF GE GF=23GE BE EF CF ==23x y =4BE =EG EF =BE CF =x y =5BE =-FG FE =32GE BE EF CF ==32x y =3BE =-+BC BO BE ⋅=2知AD =1，AB =2. （1）设BC =x ，CD =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域； （2）当∠B =70°时，求∠AEC 的度数； （3）当△ACE 为直角三角形时，求边BC 的长.25. 解：（1）过A 作AH ⊥BC 于H ，————————————————————（1分） 由∠D =∠BCD =90°，得四边形ADCH 为矩形.在△BAH 中，AB =2，∠BHA =90°，AH =y ，HB =1x -，所以22221y x =+-，——————————————————————（1分） 则()03y x =<<.———————————————（2分）（2）取CD 中点T ，联结TE ，————————————————————（1分） 则TE 是梯形中位线，得ET ∥AD ，ET ⊥CD .∴∠AET =∠B =70°. ———————————————————————（1分） 又AD =AE =1，∴∠AED =∠ADE =∠DET =35°. ——————————————————（1分） 由ET 垂直平分CD ，得∠CET =∠DET =35°，————————————（1分） 所以∠AEC =70°＋35°=105°. ——————————————————（1分）（3）当∠AEC =90°时，易知△CBE ≌△CAE ≌△CAD ，得∠BCE =30°， 则在△ABH 中，∠B =60°，∠AHB =90°，AB =2，图9AB C D O E备用图ABO 备用图 AB得BH=1，于是BC=2. ——————————————————————（2分）当∠CAE=90°时，易知△CDA∽△BCA，又AC=则AD CAxAC CB=⇒=⇒=2分）易知∠ACE<90°.所以边BC的长为2或12+.——————————————————（1分）金山区25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5 分）如图9，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=5，3sin5B=，P是线段BC上一点，以P为圆心，PA为半径的⊙P与射线AD的另一个交点为Q，射线PQ与射线CD相交于点E，设BP=x．（1）求证△ABP∽△ECP；（2）如果点Q在线段AD上（与点A、D不重合），设△APQ的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）如果△QED与△QAP相似，求BP的长．25．解：（1）在⊙P中，PA=PQ，∴∠PAQ ＝∠PQA，……………………………（1分）AB CD图9备用图∵AD ∥BC ，∴∠PAQ ＝∠APB ，∠PQA ＝∠QPC ，∴∠APB ＝∠EPC ，……（1分） ∵梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC ，∴∠B ＝∠C ，…………………………（1分） ∴△APB ∽△ECP ．…………………………………………………………（1分） （2）作AM ⊥BC ，PN ⊥AD ，∵AD ∥BC ，∴AM ∥PN ，∴四边形AMPN 是平行四边形，∴AM =PN ，AN =MP ．………………………………………………………（1分） 在Rt △AMB 中，∠AMB =90°，AB =5，sinB =35， ∴AM =3，BM =4，∴PN =3，PM =AN =x -4，……………………………………（1分） ∵PN ⊥AQ ，∴AN =NQ ，∴AQ = 2x -8，……………………………………（1分）∴()1128322y AQ PN x =⋅⋅=⋅-⋅，即312y x =-，………………………（1分）定义域是1342x <<．………………………………………………………（1分）（3）解法一：由△QED 与△QAP 相似，∠AQP ＝∠EQD ，①如果∠PAQ ＝∠DEQ ，∵△APB ∽△ECP ，∴∠PAB ＝∠DEQ ，又∵∠PAQ ＝∠APB ，∴∠PAB ＝∠APB ，∴BP =BA =5．………………………（2分） ②如果∠PAQ ＝∠EDQ ，∵∠PAQ ＝∠APB ，∠EDQ ＝∠C ，∠B ＝∠C ，∴∠B ＝∠APB ，∴ AB =AP ，∵AM ⊥BC ，∴ BM =MP =4，∴ BP =8．………（2分） 综上所述BP 的长为5或者8．………………………………………………（1分） 解法二：由△QAP 与△QED 相似，∠AQP ＝∠EQD ，在Rt △APN 中，AP PQ ===∵QD ∥PC ，∴EQ EPQD PC=， ∵△APB ∽△ECP ，∴AP EPPB PC=，∴AP EQ PB QD =，①如果AQ EQQP QD =，∴AQ AP QP PB =x=，解得5x =………………………………………………………………………（2分） ②如果AQ DQQP QE =，∴AQ PBQP AP ==解得8x =………………………………………………………………………（2分） 综上所述BP 的长为5或者8．…………………………………………………（1分）静安区25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分4分）如图，平行四边形ABCD 中，已知AB =6，BC =9，31cos =∠ABC ．对角线AC 、BD 交于点O ．动点P 在边AB 上，⊙P 经过点B ,交线段PA 于点E ．设BP = x ．（1） 求AC 的长；（2） 设⊙O 的半径为y ，当⊙P 与⊙O 外切时， 求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3） 如果AC 是⊙O 的直径，⊙O 经过点E ， 求⊙O 与⊙P 的圆心距OP 的长．25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分） 解：（1）作AH ⊥BC 于H ，且，AB =6， 那么…………（2分）BC =9，HC =9-2=7，， ……………………（1分） ﹒ ………（1分）（2）作OI ⊥AB 于I ，联结PO , AC =BC =9，AO = ∴∠OAB =∠ABC , ∴Rt △AIO 中，∴AI =，IO = ……………………（1分） ∴PI =AB -BP -AI ==， ……………………（1分） ∴Rt △PIO 中，A第25题图B P OC DE·第25题备用图ABOCDDA ·第25题图BP OCHE第25题图……（1分）∵⊙P 与⊙O 外切，∴ ……………………（1分） ∴= …………………………（1分）∵动点P 在边AB 上，⊙P 经过点B ,交线段PA 于点E ．∴定义域：0<x ≤3…………（1分） （3）由题意得：∵点E 在线段AP 上，⊙O 经过点E ，∴⊙O 与⊙P 相交 ∵AO 是⊙O 半径，且AO ＞OI ，∴交点E 存在两种不同的位置，OE =OA = ① 当E 与点A 不重合时，AE 是⊙O 的弦，OI 是弦心距，∵AI =，AE =3， ∴点E 是AB 中点，,,, IO =……………………（2分）② 当E 与点A 重合时，点P 是AB 中点，点O 是AC 中点, ……（2分） ∴或．闵行区25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）如图，已知在Rt △ABC 中，∠ACB = 90o，AC =6，BC = 8，点F 在线段AB 上，以点B 为圆心，BF 为半径的圆交BC 于点E ，射线AE 交圆B 于点D （点D 、E 不重合）． （1）如果设BF = x ，EF = y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出它的定义域； （2）如果»»2EDEF ，求ED 的长； （3）联结CD 、BD ，请判断四边形ABDC 是否为直角梯形说明理由．25．解：（1）在Rt △ABC 中，，，∴．……………………………………………………………（1分）（备用图）CBA （第25题图）CBEF DA过E作EH⊥AB，垂足是H，易得：，，．…………………………（1分）在Rt△EHF中，，∴．………………………………………（1分+1分）（2）取的中点P，联结BP交ED于点G∵，P是的中点，∴．∴∠FBE =∠EBP =∠PBD．∵，BP过圆心，∴BG⊥ED，ED =2EG =2DG．…………（1分）又∵∠CEA =∠DEB，∴∠CAE=∠EBP=∠ABC．……………………………………………（1分）又∵BE是公共边，∴．∴．在Rt△CEA中，∵AC = 6，，，∴．……………………………（1分）∴．……………………………………………（1分）∴．……………………………………（1分）（3）四边形ABDC不可能为直角梯形．…………………………………（1分）①当CD∥AB时，如果四边形ABDC是直角梯形，只可能∠ABD =∠CDB = 90o．在Rt△CBD中，∵，∴，．∴，；∴．∴CD不平行于AB，与CD∥AB矛盾．∴四边形ABDC不可能为直角梯形．…………………………（2分）②当AC∥BD时，如果四边形ABDC是直角梯形，只可能∠ACD =∠CDB = 90o．∵AC∥BD，∠ACB = 90o，∴∠ACB =∠CBD = 90o．∴∠ABD =∠ACB +∠BCD > 90o．与∠ACD =∠CDB = 90o矛盾．∴四边形ABDC不可能为直角梯形．…………………………（2分）普陀区25．（本题满分14分）已知P 是O ⊙的直径BA 延长线上的一个动点，P ∠的另一边交O ⊙于点C 、D ，两点位于AB 的上方，AB ＝6，OP m ＝，1sin 3P ＝，如图11所示．另一个半径为6的1O ⊙经过点C 、D ，圆心距1OO n ＝． （1）当6m ＝时，求线段的长；（2）设圆心1O 在直线AB 上方，试用n 的代数式表示m ；（3）△1POO 在点P 的运动过程中，是否能成为以1OO 为腰的等腰三角形，如果能，试求出此时n 的值；如果不能，请说明理由． 25．解：（1）过点O 作OH ⊥CD ，垂足为点H ，联结OC ．在Rt △POH 中，∵1sin 3P ＝，6PO =，∴2OH =． ········· （1分） ∵AB ＝6，∴3OC ＝． ······················ （1分） 由勾股定理得CH = ····················· （1分）∵OH ⊥DC，∴2CD CH == ··············· （1分） （2）在Rt △POH 中，∵1sin 3P ＝， PO m ＝，∴3m OH ＝． ········ （1分） 在Rt △OCH 中，2293m CH ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝． ················ （1分）在Rt △1O CH 中，22363m CH n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝． ·············· （1分）可得 2236933m m n ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝，解得23812n m n -＝． ········· （2分）OAB备用图PDOABC图11（3）△1POO 成为等腰三角形可分以下几种情况：● 当圆心1O 、O 在弦CD 异侧时①1OP OO ＝，即m n ＝，由23812n n n-＝解得9n ＝． ········· （1分）即圆心距等于O ⊙、1O ⊙的半径的和，就有O ⊙、1O ⊙外切不合题意舍去．（1分） ②11O P OO ＝n ＝， 解得23m n ＝，即23n 23812n n-＝，解得n ········· （1分） ● 当圆心1O 、O 在弦CD 同侧时,同理可得 28132n m n-＝．∵1POO ∠是钝角，∴只能是m n =，即28132n n n-＝，解得n ． ·· （2分）综上所述，n．青浦区25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）如图9-1，已知扇形MON，∠MON =90o ，点B 在弧MN 上移动，联结BM ，作OD ⊥BM ，垂足为点D ，C 为线段OD 上一点，且OC =BM ，联结BC 并延长交半径OM 于点A ，设OA = x ，∠COM 的正切值为y ．（1）如图9-2，当AB ⊥OM 时，求证：AM =AC ； （2）求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域； （3）当△OAC 为等腰三角形时，求x 的值.图9-1图9-2备用图25．解：（1）∵OD ⊥BM ，AB ⊥OM ，∴∠ODM =∠BAM =90°． ·········· （1分）∵∠ABM +∠M =∠DOM +∠M ，∴∠ABM =∠DOM ． ········· （1分） ∵∠OAC =∠BAM ，OC =BM ，∴△OAC ≌△ABM ， ······················ （1分） ∴AC =AM ． ························· （1分）（2）过点D 作DE=MD MEDMAE)12x2==OA OC DM OE OD OD 2=DM OA ODOE =y0<≤x 111222===DM BM OCx ==OD =DMyOD1=x=x =x α90α︒-α90α︒-α45︒290α∠=>︒BOA 90∠≤︒BOA （1）求CE 的长；（2）P 是 CE 延长线上一点，直线AP 、CD 交于点Q.① 如果△ACQ ∽△CPQ ，求CP 的长；② 如果以点A 为圆心，AQ 为半径的圆与⊙C 相切，求CP 的长.25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题每个小题各5分） 解：（1）∵AE ∥CD∴…………………………………1分 ∵BC=DC∴BE=AE …………………………………1分(第25题图)CBA DE(备用图)CBADE(第25题图)CBA DE设CE =x 则AE =BE =x +2 ∵ ∠ACB =90°， ∴即………………………1分 ∴即…………………………………1分 （2）①∵△ACQ ∽△CPQ ，∠QAC>∠P∴∠ACQ=∠P …………………………………1分 又∵AE ∥CD ∴∠ACQ=∠CAE∴∠CAE=∠P ………………………………1分 ∴△ACE ∽△PCA ，…………………………1分 ∴…………………………1分 即∴ ……………………………1分 ②设CP =t ，则 ∵∠ACB =90°， ∴ ∵AE ∥CD∴……………………………1分 即∴……………………………1分 若两圆外切，那么此时方程无实数解……………………………1分 若两圆内切切，那么 ∴21540160t t -+=CBA DEPQ解之得2015t ±=………………………1分又∵∴2015t +=………………………1分徐汇区25. 已知四边形ABCD 是边长为10的菱形，对角线AC 、BD 相交于点E ，过点C 作CF ∥DB 交AB 延长线于点F ，联结EF 交BC 于点H . （1）如图1，当EF BC ⊥时，求AE 的长；（2）如图2，以EF 为直径作⊙O ，⊙O 经过点C 交边CD 于点G （点C 、G 不重合），设AE 的长为x ，EH 的长为y ；① 求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；③ 联结EG ，当DEG ∆是以DG 为腰的等腰三角形时，求AE 的长.杨浦区25、（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）（1） 如图9，在梯形ABCD 中，AD 当圆P 过点A 时，求圆P 的半径；（2） 分别联结EH 和EA ，当△ABE △CEH 时，以点B 为圆心，r 为半径的圆B 与圆P 相交，试求圆B 的半径r 的取值范围；（3） 将劣弧沿直线EH 翻折交BC 于点F ，试通过计算说明线段EH 和EF 的比值为定值，并求出此定值。

（2016浦东新区）18．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝15，AC ＝20．点D 在边AC 上，DE ⊥AB ，垂足为点E ，将△ADE 沿直线DE 翻折，翻折后点A 的对应点为点P ，当∠CPD 为直角时，AD 的长是．24．(本题满分12分，每小题4分)如图，二次函数242y ax ax =-+的图像与y 轴交于点A ，且过点(36)B ，．（1）试求二次函数的解析式及点A 的坐标；（2）若点B 关于二次函数对称轴的对称点为点C ， 试求CAB ∠的正切值；（3）若在x 轴上有一点P ，使得点B 关于直线AP 的对称点1B 在y 轴上， 试求点P 的坐标．第24题图25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）如图，Rt △ABC 中，90ACB ∠=，6BC =，点D 为斜边AB 的中点，点E 为边AC 上的一个动点．联结DE ，过点E 作DE 的垂线与边BC 交于点F ，以,DE EF 为邻边作矩形DEFG ．（1）如图1，当8AC =，点G 在边AB 上时，求DE 和EF 的长； （2）如图2，若12DE EF =，设AC x =，矩形DEFG 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式； （3）若23DE EF =，且点G 恰好落在Rt △ABC 的边上，求AC 的长．第25题 图1第25题图2（2016宝山）18、如图3，点D 在边长为6的等边△ABC 的边AC 上，且AD=2，将△ABC 绕点C 顺时针方向旋转60°，若此时点A 和点D 的对应点分别记作点E 和点F ，联结BF 交边AC 与点G ，那么tan ∠AEG =___________.24、（本题满分12分，每小题满分4分）在平面直角坐标系xOy (如图7)中，经过点A (-1,0)的抛物线23y x bx =-++与y 轴交于点C ，点B 与点A 、点D 与点C 分别关于该抛物线的对称轴对称。

（徐汇）24．直线l 过点(2,0A -（1）求直线l （2）若抛物线y =(3) 若点E 在直线25．（本题满分14已知如图，直线MN 段CD 于点E ，过点（1） 求证：2PC （2） 设PN x =，（3） 联结PD（浦东）24．（本题满分12如图，0），点B 是点A 关于原点的对称点，P 是函数)0(2>=x xy 图像上的一点，且△ABP 是直角三角形．（第24题图）（1）求点P 的坐标；（2）如果二次函数的图像经过A 、B 、P 三点，求这个二次函数的解析式；（3）如果第（2）小题中求得的二次函数图像与y 轴交于点C ，过该函数图像上的点C 、点P 的直线与x 轴交于点D ，试比较∠BPD 与∠BAP 的大小，并说明理由． 25．（本题满分14分，其中第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）如图，已知在矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，P 是边BC 延长线上的一点，联接AP 交边CD 于点E ，把射线AP 沿直线AD 翻折，交射线CD 于点Q ，设CP =x ，DQ =y ． （1）求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域．（2）当点P 运动时，△APQ 的面积是否会发生变化？如果发生变化，请求出△APQ 的面积S 关于x 的函数解析式，并写出定义域；如果不发生变化，请说明理由． （3）当以4为半径的⊙Q 与直线AP 相切，且⊙A 与⊙Q 也相切时，求⊙A 的半径．（青浦）24．如图，直线OA 与反比例函数的图像交于点A(3，3)，向下平移直线OA ，与反比例函数的图像交于点B(6，m)与y 轴交于点C ． （1）求直线BC 的解析式；（2）求经过A 、B 、C 三点的二次函数的解析式；（3）设经过A 、B 、C 三点的二次函数图像的顶点为D ，对称轴与x 轴的交点为E ．问：在二次函数的对称轴上是否存在一点P ，使以 O 、E 、P 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在， 请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．25．如图，已知△ABC 中，AB=AC=5，BC=4，点O 在BC 边上运动，以O 为圆心，OA为半径的圆与边AB 交于点D （点A 除外），设OB x =，AD y = ． （1）求ABC ∠sin 的值；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当点O 在BC 边上运动时，⊙O 是否可能与以C 为圆心，41BC 长为半径的⊙C 相切？如果可能，请求出两圆相切时x 的值；如果不可能，请说明理由．A B C Q D （第25题图） P E CODBA（宝山）24．(本题满分12分，共3小题，每小题满分各4分）如图8，已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线22y mx mx n =++上． （1）求m 、n ；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，若四边形 A A ′B ′B 为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB ′ 的 交点为点C ，试在x 轴上找点D ，使得以点 B ′、C、D 为顶点的三角形与ABC △相似．25. (本题满分14分，第(1)小题满分3分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分6分）如图9，矩形ABCD 中，AB E 是BC 边上的一个动点，联结AE ，过点D 作DF AE ⊥，垂足为点F .（1）设BE x =，ADF ∠的余切值为y ，求y 关于x 的函数解析式；（2）若存在点E ，使得∆ABE 、∆ADF 与四边形CDFE 的面积比是3：4：5，试求矩形ABCD 的面积；（3）对（2）中求出的矩形ABCD ，联结CF ，当BE 的长为多少时，∆CDF 是等腰三角形？（普陀）24. 如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，已知点A 的坐标为（2，2），点B 、C 在x 轴上，BC =8，AB=AC ，直线AC 与y 轴相交于点D ． 1）求点C 、D 的坐标；2）求图象经过B 、D 、A 三点的二次函数解析式 及它的顶点坐标．(备用图) DC D C E (图9)25．如图，已知Sin ∠ABC=13，⊙O 的半径为2，圆心O 在射线BC 上，⊙O 与射线BA 相交于 E 、F 两点，EF=（1） 求BO 的长；（2） 点P 在射线BC 上，以点P 为圆心作圆，使得⊙P 同时与⊙O 和射线BA 相切， 求所有满足条件的⊙P 的半径. BC 上（闵行）24．（本题共3小题，第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分，满分12分）如图，已知抛物线221y x x m =-++-与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，其中点C 的坐标是（0，3），顶点为点D ，联结CD ，抛物线的对称轴与x 轴相交于点E ． （1）求m 的值； （2）求∠CDE 的度数；（3）在抛物线对称轴的右侧部分上是否存在一点P ，使得 △PDC 是等腰三角形？如果存在，求出符合条件的点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．25．（本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题每小题5分，满分14分）如图，在△ABC 中，AB = BC = 5，AC = 6，BO ⊥AC ，垂足为点O ．过点A 作射线AE // BC ，点P 是边BC 上任意一点，联结PO 并延长与射线AE 相交于点Q ，设B 、P 两点间的距离为x ．（1）如图1，如果四边形ABPQ 是平行四边形，求x 的值；（2）过点Q 作直线BC 的垂线，垂足为点R ，当x 为何值时，△PQR ∽△CBO ？ （3）设△AOQ 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式，并写出函数的定义域．DCFABO第25题E G（第24题图）COB AECOPBQAE（第25题图1）C O BAE（第25题图）Q P（长）24. （本题12分）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为圆心，2为半径画圆，P 是⊙O 上一动点且在第一象限内，过点P 作⊙O 的切线，与x 、y 轴分别交于点A 、B 。

图12备用图上海市2024届初三二模数学试卷分类汇编——25题解答压轴题【2024届·宝山区·初三二模·第25题】1.（本题满分14分，第（1）①小题4分，第（1）②小题4分，第（2）小题6分）已知AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上不与A 、B 重合的点，将弧AC 沿直线AC 翻折，翻折所得的弧交直径AB 于点D ，E 是点D 关于直线AC 的对称点．（1）如图12，点D 恰好落在点O 处．①用尺规作图在图12中作出点E （保留作图痕迹），联结AE 、CE 、CD ，求证：四边形ADCE 是菱形；②联结BE ，与AC 、CD 分别交于点F 、G ，求FGBE的值；（2）如果10AB =，1OD =，求折痕AC 的长．备用图2【2024届·崇明区·初三二模·第25题】2.（本题满分14分，第（1）①小题4分，第（1）②小题5分，第（2）小题5分）如图，已知Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC =，3sin 5B =，点D 是射线BA 上一动点（不与A 、B 重合），过点D 作//DE AC ，交射线BC 于点E ，点Q 为DE 中点，联结AQ 并延长，交射线BC 于点P ．（1）如图1，当点D 在线段AB 上时．①若2AD =，求PC 的长；②当ADQ ∆与ABP ∆相似时，求AD 的长；（2）当ADQ ∆是以AD 为腰的等腰三角形时，试判断以点A 为圆心、AD 为半径的⊙A 与以点C 为圆心、CE 为半径的⊙C 的位置关系，并说明理由．第25题图1备用图1图10备用图【2024届·奉贤区·初三二模·第25题】3.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）如图10，已知半圆O 的直径为MN ，点A 在半径OM 上，B 为 MN 的中点，点C 在 BN 上，以AB 、BC为邻边作矩形ABCD ，边CD 交MN 于点E ．（1）如果6MN =，2AM =，求边BC 的长；（2）联结CN ，当CEN ∆是以CN 为腰的等腰三角形时，求BAN ∠的度数；（3）联结DO 并延长，交AB 于点P ，如果2BP AP =，求BCAB的值．【2024届·虹口区·初三二模·第25题】4.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）①小题5分，第（2）②小题5分）在梯形ABCD 中，//AD BC ，点E 在射线DA 上，点F 在射线AB 上，联结CE 、DF 相交于点P ，EPF ABC ∠=∠．（1）如图10①，如果AB CD =，点E 、F 分别在边AD 、AB 上．求证：AF DFDE CE=；（2）如图10②，如果AD CD ⊥，5AB =，10BC =，3cos 5ABC ∠=．在射线DA 的下方，以DE 为直径作半圆O ，半圆O 与CE 的另一个交点为点G ．设DF 与弧EG 的交点为Q ．①当6DE =时，求EG 和AF 的长；②当点Q 为弧EG 的中点时，求AF 的长．图10①图10②图10②备用图图10备用图【2024届·黄浦区·初三二模·第25题】5.（本题满分14分）已知：如图10，ABC ∆是圆O 的内接三角形，AB AC =，弧 AB 、AC 的中点分别为M 、N ，MN 与AB 、OA 、AC 分别交于点P 、T 、Q ．（1）求证：OA MN ⊥；（2）当ABC ∆是等边三角形时，求ATOT的值；（3）如果圆心O 到弦BC 、MN 的距离分别为7和15，求线段PQ 的长．图9图10备用图在菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，点E 在射线AB 上，联结CE 、BD ．（1）如图9，当点E 是边AB 的中点，求ECD ∠的正切值；（2）如图10，当点E 在线段AB 的延长线上，联结DE 与边BC 交于点F ，如果6AD =，EFC ∆的面积等于33EF 的长；（3）当点E 在边AB 上，CE 与BD 交于点H ，联结DE 并延长DE 与CB 的延长线交于点G ，如果6AD =，BCH ∆与以点E 、G 、B 所组成的三角形相似，求AE 的长．第25题图1第25题图2如图，已知：等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，AB DC =，以A 为圆心，AB 为半径的圆与BC 相交于点E ，与CD 相交于点F ，联结AE 、AC 、BF ，设AE 、AC 分别与BF 相交于点G 、H ，其中H 是AC 的中点．（1）求证：四边形AECD 为平行四边形；（2）如图1，如果AE BF ⊥，求ABBC的值；（3）如图2，如果BG GH =，求ABC ∠的余弦值．=第25题图1第25题图2如图1，ABC ∆中，已知6AB =，9BC =，B ∠为锐角，1cos 3ABC ∠=．（1）求sin C 的值；（2）如图2，点P 在边AB 上，点Q 是边BC 的中点，⊙P 经过点A ，⊙P 与⊙Q 外切，且⊙Q 的直径不大于BC ，设⊙P 的半径为x ，⊙Q 的半径为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）在第（2）小题条件下，联结PQ ，如果BPQ ∆是等腰三角形，求AP 的长．第25题图1第25题图2备用图【2024届·闵行区·初三二模·第25题】9.（本题满分14分，第（1）①小题4分，第（1）②小题5分，第（2）小题5分）如图，OB 是⊙O 的半径，弦AB 垂直于弦BC ，点M 是弦BC 的中点，过点M 作OB 的平行线，交⊙O 于点E 和点F ．（1）如图1，当AB BC =时．①求ABO ∠的度数；②联结OE ，求证：30OEF ∠=︒；（2）如图2，联结OE ，当AB BC ≤时，tan OEF x ∠=，ABy BC=，求y 关于x 的函数关系式并直接写出定义域．第25题图1第25题图2第25题图3【2024届·浦东新区·初三二模·第25题】10.（本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）已知：⊙1O 和⊙2O 相交于A 、B 两点，线段12O O 的延长线交⊙2O 于点C ，CA 、CB 的延长线分别交⊙1O 于点D 、E ．（1）联结AB 、DE ，AB 、DE 分别与连心线12O O 相交于点H 、点G ．如图1，求证：//AB DE ；（2）如果125O O ．①如图2，当点G 与1O 重合，⊙1O 的半径为4时，求⊙2O 的半径；②联结2AO 、BD ，BD 与连心线12O O 相交于点F ，如图3，当2//BD AO ，且⊙2O 的半径为2时，求1O G 的长．11.（本题满分14分）如图9，在梯形ABCD 中，//AD BC （AD BC <），90A ∠=︒，6BC CD ==．将梯形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转，使点B 与点D 重合，此时点A 、D 的对应点分别是点E 、F ．（1）当点F 正好落在AD 的延长线上时，求BCD ∠的度数；（2）联结AE ，设AD x =，AE y =．①求y 关于x 的函数解析式；②定义：同中心同边数的两个正多边形称为双同正多边形．设BCF ∠是一个正多边形的中心角，联结BD ，请说明以线段BD 、AE 为边的正多边形是双同正多边形的理由．当这两个正多边形的面积比是4:5时，求双同正多边形的边数．图9第25题（1）图第25题（2）图12.（本题满分14分，第（1）①小题4分，第（1）②小题5分，第（2）小题5分）在ABC ∆中，2AB AC ==，以C 为圆心、CB 为半径的弧分别与射线BA 、射线CA 相交于点D 、E ，直线ED 与射线CB 相交于点F ．（1）如图，当点D 在线段AB 上时．①设ABC α∠=，求BDF ∠；（用含α的式子表示）②当1BF =时，求cos ABC ∠的值；（2）如图，当点D 在BA 的延长线上时，点M 、N 分别为BC 、DF 的中点，联结MN ，如果//MN CE ，求CB 的长．图9备用图13.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）如图9，已知矩形ABCD 中，1AB =，2BC =，点P 是边AD 上一动点，过点P 作PE AC ⊥，垂足为点E ，联结BE ，过点E 作EF BE ⊥，交边AD 于点F （点F 与点A 不重合）．（1）当F 是AP 的中点时，求证：BA BE =；（2）当AP 的长度取不同值时，在PEF ∆中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由；（3）延长PE 交边BC 于点G ，联结FG ，EFG ∆与AEF ∆能否相似？若能相似，求出此时AP 的长；若不能相似，请说明理由．第25题图14.（本题满分14分，第（1）①小题2分，第（1）②小题3分，第（2）①小题5分，第（2）②小题4分）如图，在扇形OAB 中，62OA OB ==90AOB ∠=︒，点C 、D 是弧AB 上的动点（点C 在点D 的上方，点C 不与点A 重合，点D 不与点B 重合），且45COD ∠=︒．（1）①请直接写出弧AC 、弧CD 和弧BD 之间的数量关系；②分别联结AC 、CD 和BD ，试比较AC BD +和CD 的大小关系，并证明你的结论；（2）联结AB 分别交OC 、OD 于点M 、N ．①当点C 在弧AB 上运动过程中，AN BM ⋅的值是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求AN BM ⋅的值；②当5MN =时，求圆心角DOB ∠的正切值．第25题图1备用图15.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题10分）已知以AB 为直径的半圆O 上有一点C ，CD OA ⊥，垂足为点D ，点E 是半径OC 上一点（不与点O 、C 重合），作EF OC ⊥交弧BC 于点F ，联结OF ．（1）如图1，当FE 的延长线经过点A 时，求CD AF的值；（2）如图2，作FG AB ⊥，垂足为点G ，联结EG ．①试判断EG 与CD 的大小关系，并证明你的结论；②当EFG ∆是等腰三角形，且4sin 5COD ∠=，求OE OD 的值．第25题图1备用图备用图16.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）①小题5分，第（2）②小题5分）已知在ABC ∆中，CA CB =，6AB =，3cos 5CAB ∠=，点O 为边AB 上一点，以点O 为圆心，OA 为半径作⊙O ，交边AC 于点D （点D 不与点A 、C 重合）．（1）当4AD =时，判断点B 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）过点C 作CE OD ⊥，交OD 延长线于点E ．以点E 为圆心，EC 为半径作⊙E ，延长CE ，交⊙E 于点'C ．①如图1，如果⊙O 与⊙E 的公共弦恰好经过线段EO 的中点，求CD 的长；②联结'AC 、OC ，如果'AC 与BOC ∆的一条边平行，求⊙E 的半径长．。

上海市2019年中考数学二模汇编：25题压轴题闵行 25．（本题共3小题，其中第（1）小题各4分，第（2）、（3）小题各5分，满分14分）如图1，点P 为∠MAN 的内部一点．过点P 分别作PB ⊥AM 、PC ⊥AN ，垂足分别为点B 、C ．过点B 作BD ⊥CP ，与CP 的延长线相交于点D ．BE ⊥AP ，垂足为点E ． （1）求证：∠BPD =∠MAN ； （2）如果sin MAN ∠=AB =BE = BD ，求BD 的长； （3）如图2，设点Q 是线段BP 的中点．联结QC 、CE ，QC 交AP 于点F ．如果 ∠MAN = 45°，且BE // QC ，求PQF CEFS S ∆∆的值．宝山25．（本题满分14分，第(1)、第(2)小题满分各4分,第(3)小题满分6分）如图已知： AB 是圆O 的直径，AB=10，点C 为圆O 上异于点A 、B 的一点，点M 为弦BC 的中点．（1）如果AM 交OC 于点E ，求OE ：CE 的值； （2）如果AM ⊥OC 于点E ，求∠ABC 的正弦值；（3）如果AB ：BC=5：4，D 为BC 上一动点，过D 作DF ⊥OC ，交OC 于点H ，与射线BO 交于圆内点F ，请完成下列探究．探究一：设BD=x ，FO=y ，求y 关于x 的函数解析式及其定义域．探究二：如果点D 在以O 为圆心，OF 为半径的圆上，写出此时BD 的长度．MN A BCDP（图1）EE M（图2）AN QFP CDB崇明 25．（本题满分14分，其中第(1)、(2)小题满分各4分，第(3)小题满分6分）如图9，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，8AB DC ==，12BC =，3cos 5C =，点E 为AB 边上一点，且2BE =．点F 是BC 边上的一个动点（与点B 、点C 不重合），点G 在射线CD 上，且EFG B ∠=∠．设BF 的长为x ，CG 的长为y ．（1）当点G 在线段DC 上时，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）当以点B 为圆心，BF 长为半径的⊙B 与以点C 为圆心，CG 长为半径的⊙C 相切时， 求线段BF 的长；（3）当CFG △为等腰三角形时，直接写出线段BF 的长．DAEB FCG图9ABC DE奉贤25．（本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分5分）如图10，已知△ABC ，AB，3BC，∠B =45°，点D 在边BC 上，联结AD ， 以点A 为圆心，AD 为半径画圆，与边AC 交于点E ，点F 在圆A 上，且AF ⊥AD ．（1）设BD 为x ，点D 、F 之间的距离为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （2）如果E 是DF 的中点，求:BD CD 的值；（3）联结CF ，如果四边形ADCF 是梯形，求BD 的长 ． 金山25. 如图，在ABC Rt ∆中，90=∠C ，16=AC cm ，20=AB cm ，动点D 由点C 向点A 以每秒cm 1速度在边AC 上运动，动点E 由点C 向点B 以每秒cm 34速度在边BC 上运动，若点D ，点E 从点C 同时出发，运动t 秒(0>t )，联结DE .（1）求证：DCE ∆∽BCA ∆．（2）设经过点D 、C 、E 三点的圆为⊙P . ①当⊙P 与边AB 相切时，求t 的值.②在点D 、点E 运动过程中，若⊙P 与边AB 交于点F 、G （点F 在点G 左侧），联结CP 并延长CP 交边AB 于点M ，当PFM ∆与CDE ∆相似时，求t 的值.图10B 第25题图普陀25．（本题满分14分）如图12，在Rt△ABC 中，90ACB ∠=︒，5AB =，4cos 5BAC ∠=，点O 是边AC 上一个动点（不与A 、C 重合），以点O 为圆心，AO 为半径作⊙O ，⊙O 与射线AB 交于点D ；以点C 为圆心，CD 为半径作⊙C ，设OA x =． （1）如图13，当点D 与点B 重合时，求x 的值；（2）当点D 在线段AB 上，如果⊙C 与AB 的另一个交点E 在线段AD 上时，设AE y =，试求y 与x 之间的函数解析式，并写出x 的取值范围；（3）在点O 的运动的过程中，如果⊙C 与线段AB 只有一个公共点，请直接写出x 的取值范围 ． 杨浦图12AB COD图13AB （D ）C O25. 已知圆O 的半径长为2，点A 、B 、C 为圆O 上三点，弦BC=AO ，点D 为BC 的中点. （1）如图1，联结AC 、OD ，设OAC α∠=，请用α表示∠AOD； （2）如图2，当点B 为AC 的中点时，求点A 、D 之间的距离；（3）如果AD 的延长线与圆O 交于点E ，以O 为圆心，AD 为半径的圆与以BC 为直径的圆相切，求弦AE 的长.长宁25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）如图7，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，3=AC ，4=BC ，点P 在边AC 上（点P 与点A 不重合），以点P 为圆心，PA 为半径作⊙P 交边AB 于另一点D ，DP ED ⊥，交边BC 于点E ． (1) 求证：DE BE =；(2) 若x BE =，y AD =，求y 关于x 的函数关系式并写出定义域；(3) 延长ED 交CA 的延长线于点F ，联结BP ，若BDP ∆与DAF ∆相似，求线段AD 的长．图7BECADP备用图BCA备用图BCA黄浦嘉定静安松江闵行 25．（1）证明：∵ PB ⊥AM ，PC ⊥AN ，∴ ∠PBA =∠PCA = 90°．…………（1分）在四边形ABPC 中，∠BAC +∠PCA +∠BPC +∠PBA = 360°， ………………………（1分） ∴ ∠BAC +∠BPC = 180°． ………………………………………（1分） 又∵ ∠BPD +∠BPC = 180°，∴ ∠BAC =∠BPD ． ………………………………………………（1分）（2）解：由 BE ⊥AP ，∠D = 90°，BE = BD ，得 ∠BPD =∠BPE ．即得 ∠BPE =∠BAC ． ……………………（1分） 在Rt △ABP 中，由 ∠ABP = 90°，BE ⊥AP ，得 ∠APB =∠ABE ．即得 ∠BAC =∠ABE ．………………………………………………（1分）∴ sin sin AE BAC ABE AB ∠=∠==．又∵ AB =∴ 6AE ==．…………………………………………（1分）∴ 2BE ． ………………………（1分） ∴ BD = 2． …………………………………………………………（1分）（3）解：过点B 作BG ⊥AC ，垂足为点G ．过点Q 作QH // BD ．设BD = 2a ，PC = 2b ，则 CD = 2a + 2b ．在Rt △ABG 和Rt △BDP 中，由 ∠BAC =∠BPD = 45°， 得 BG = AG ，DP = BD ．∵ QH // BD ，点Q 为BP 的中点．∴ 1PH PQ DH BQ==．即得 PH = a ．∴ 12QH BD a ==，CH = PH + PC = a + 2b ．……………………（1分） 又∵ BD // AC ，CD ⊥AC ，BG ⊥AC ，∴ BG = DC = 2a + 2b ． 即得 AC = 4a +2b ．由 BE // QC ，BE ⊥AP ，得 ∠CQP =∠BEP = 90°． 又由 ∠ACP = 90°，得 ∠QCH =∠PAC ． ∴ △ACP ∽△QCH ．∴ PC ACQH HC=．即得 2422b a b a a b +=+． 解得 a = b ．……………………………………………………………（1分）∴ CH = 3a ．∴ CQ =．……………………………………（1分） 又∵ ∠QHC =∠PFC = 90°，∠QCH =∠PCF ，∴ △QCH ∽△PFC ．∴ HC QCCF PC =．即得3a FC ．解得 FC =．…………………………（1分）∴QF QC FC =--=． 又∵ BE // QC ，Q 是PB 的中点，∴ 1PF PQ EF BQ==．即得 PE = EF ．于是，△PQF 与△CEF 面积之比等于高之比，即23PQF CEF S QF S FC ∆∆==．…………………………………………………（1分） 宝山25. （1）过点O 作ON ║BC 交AM 于点N ， ……………………1分AB 是圆O 的直径，21==AB AO BM ON ……………………1分 点M 为弦BC 的中点21==BM ON CM ON ……………………1分 OE:CE=OE:CE=1：2 ……………………1分 （2）点M 为弦BC 的中点 OM ⊥BC ……………………1分AM ⊥OC 于点E ∠OME=∠MCE △OME ∽△MCE ……………………1分CE OE ME ⋅=2 设OE=x ，则CE=x 2， ME=x 2 ……………………1分在直角△MCE 中，x CM 6=， 33sin =∠ECM ……………………1分 33sin =∠ABC （2）过点D 作DL ⊥BO 于点L ，AB=10，AB ：BC=5：4，BC=8， ……………1分设BD=x ，则CD=x -8，BL=DL=x 85，CH=)8(54x -，OH=5754-=-x CH CO FL FO LD OH = x y y x x 855855754-+=-……………………1分73520-=x y （其中2747 x ） ……………………1+1分19112=BD 以O 为圆心，OF 为半径的圆经过D OC 垂直平分DF ，FO=OL ，x y 855-= ……………………1分x x 85573520-=-， 19112=x ……………………1分 此时． 崇明（本题满分14分，其中第(1)、(2)小题满分各4分，第(3)小题满分6分） 解：（1）∵梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ∴∠B ＝∠C∵∠EFC =∠B ＋∠BEF ＝=∠EFG ＋∠GFC ，∠EFG ＝∠B∴∠GFC ＝∠FEB ……………………………………………………………（1分） ∴△EBF ∽△FCG ……………………………………………………………（1分） ∴EB BF FC CG=，∴212xx y =- ………………………………………………（1分） ∴ 2162=-+y x x ………………………………………………………………（1分）自变量x的取值范围为：06612x x <≤-+≤<……………（1分） （2）当012x G CD CD <<时，无论点在线段上，还是在的延长线上，都有2162=-+y x x①当⊙B 与⊙C 外切时， BF ＋CG ＝BC∴216122-+=x x x ，解得x ＝2或x ＝12（舍去） ………………………（2分）②当⊙B 与⊙C 内切时， CG －BF ＝BC∴216122-+-=x x x ，解得x ＝4或x ＝6 ……… …… ……………………（2分）综上所述，当⊙B 与⊙C 相切时，线段BF 的长为：2或4或6（3）当△FCG 为等腰三角形时，线段BF 的长为：53或2或125………………（6分）奉贤 25．解：（1）过点A 作AH ⊥BC ，垂足为点H ．∵∠B =45°，AB ，∴cos 1BH AH AB B ． ··········· （1分）∵BD 为x ，∴1DHx ．在Rt △ADH 中，90AHD ，∴22222AD AH DH x x ． ···· （1分）联结DF ，点D 、F 之间的距离y 即为DF 的长度．∵点F 在圆A 上，且AF ⊥AD ，∴AD AF =，45ADF ∠=︒． 在Rt △ADF 中，90DAF ，∴2442cos AD DFxx ADF．∴2442yxx ．(03)x···················· （2分）（2）∵E 是DF 的中点，∴AE DF ⊥，AE 平分DF ． ·········· （1分）∵BC=3，∴312HC =-=．∴AC = ·········· （1分） 设DF 与AE 相交于点Q ，在Rt △DCQ 中，90DQC ，tan DQDCQ CQ． 在Rt △AHC 中，90AHC ，1tan 2AH ACH HC． ∵DCQ ACH ，∴12DQCQ． 设,2DQ k CQk ，AQ DQ k ， ∵35k ，53k，∴2253DC DQ CQ ． ·········· （2分） ∵43BDBCDC，∴4:5BD CD ． ················ （1分） （3）如果四边形ADCF 是梯形则①当AF ∥DC 时，45AFD FDC ．∵45ADF ，∴AD BC ，即点D 与点H 重合． ∴1BD ． ··· （2分）②当AD ∥FC 时，45ADF CFD ． ∵45B ，∴B CFD ． ∵B BAD ADF FDC ，∴BAD FDC ． ∴ABD ∆∽DFC ∆．∴AB ADDF DC=． ················ （1分）∵DF =，DC BC BD =-．∴2AD BC BD =-．即23x =- ·············· （1分）整理得 210x x --=，解得 x =（负数舍去）． ········· （1分）综上所述，如果四边形ADCF 是梯形，BD 的长是1金山25. （1）证明：由题意得：t CE t CD 34,==，∵ 90=∠C ，16=AC ，20=AB ； ∴12162022=-=CB ，∵1212tAC CE t CB CD ==，；（2分） ∴ACCE CB CD = （1分） 又∵ 90=∠=∠C C ∴DCE ∆∽BCA ∆． （1分）（2）①连结CP 并延长CP 交AB 于点H ，∵90=∠ACB ，∴DE 是⊙P 的直径 即P 为DE 中点，∴DE PE DP CP 21===. （1分） ∴PEC PCE ∠=∠，∵DCE ∆∽BCA ∆，∴B CDE ∠=∠, （1分）∵90=∠+∠CED CDE ,∴90=∠+∠HCB B （1分） ∴AB CH ⊥； （1分） ∵⊙P 与边AB 相切，∴点H 为切点， （1分） CH 为⊙P 的直径， ∵AB CB CA CH A ==sin 解得548=CH ，∴548=DEAB CB DE CD CED A ==∠=sin sin 得25144=CD 即25144=t . （1分） ②由题意得⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤<1234016t 0t 解得90≤<t ,由①得548=CM ,t DE CP 6521==，AB CM ⊥ ∴t PM 65548-=,t CP PF 65==， 90=∠PMF , ∵90=∠=∠PMF ACB ∴由PFM ∆与CDE ∆相似可得：情况一：CD PM DE PF =得t t t t 655483565-=解得：536=t ； 95360≤< 情况二：CE PM DE PF =得t t t t 34655483565-=解得：523=t ； 95320≤<∴综上所述：当PFM ∆与CDE ∆相似时. 523=t 或536=t （2分+2分） 普陀 25．解：（1）在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，4cos 5BAC ∠=，∴45AC AB =． ∵5AB =，∴4AC =． ······················ （1分） 由勾股定理得 3BC =． ······················ （1分） ∵OB OA x ==，∴4CO x =-． 在Rt △BCO 中，90C ∠=︒，由勾股定理得 2223(4)x x +-=． ·················· （1分） 解得258x =． ·························· （1分） （2）过点O 、C 分别作OH ⊥AB 、CG ⊥AB ，垂足为点H 、G ．∵OH ⊥AB ，∴AH DH =． ···················· （1分） 同理 DG EG =． ∵4cos 5BAC ∠=，∴45AH x =． ∴85AD x =． ··························· （1分） ∵CG ⊥AB ，∴90AGC ∠=︒． ∴90AGC ACB ∠=∠=︒．又∵CAB ∠是公共角，∴△AGC ∽△ACB ．∴AG AC AC AB =．∴165AG =． ∵AE y =，∴165GE y =-． ···················· （1分）∴165DG y =-．∴16168555y y y x -+-+=． ∴化简得 32855y x =-（2528≤x <）． ················ （2分） （3）708x << ···························· （2分）2x =．······························ （1分）2548x <<． ··························· （2分） 杨浦25.（1）1502AOD α∠=︒-（2）AD =3）1122or 长宁25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）解：（1） ∵DP ED ⊥ ∴ ︒=∠90EDP ∴︒=∠+∠90PDA BDE又∵︒=∠90ACB ∴︒=∠+∠90PAD B（1分） ∵PA PD =∴PAD PDA ∠=∠（1分） ∴B BDE ∠=∠（1分） ∴DE BE =（1分） （2）∵yAD =，yAD BA BD -=-=5（1分）过点E 作 BD EH ⊥垂足为点H ，由（1）知DE BE = ， ∴2521y BD BH -== （1分）在EHB Rt ∆中，︒=∠90EHB ∴xyBE BH B 25cos -==在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，3=AC ，4=BC ∴5=AB ∴54cos ==AB BC B ∴5425=-x y ∴)82587(5825<≤-=x x y （1分+1分）（2）设a PD =，则a AD 56=，a AD BA BD 565-=-= 在等腰PDA ∆中，53cos =∠PAD ，易得257cos =∠DPA在PDF Rt ∆中，︒=∠90PDF ，257cos ==∠PF PD DPA ∴725a PF =，718aAF= （2分） 若BDP ∆∽DAF ∆又 DAF BDP ∠=∠①当ADF DBP ∠=∠时，PD AF BD AD =即a a a a71856556=-，解得3=a ，此时51856==a AD （2分）②当F DBP ∠=∠时，BD AF PD AD =即a a a a56571856-=，解得117175=a ，此时397056==a AD （2分）综上所述，若BDP ∆∽DAF ∆, 线段AD 的长为518或3970 黄浦嘉定静安松江徐汇。

例 2020年上海市宝山区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2－2ax －3a （a ＜0）与x 轴交于A 、 B 两点（点A 在点B 的左侧），经过点A 的直线l ：y ＝kx ＋b 与y 轴负半轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且CD ＝4AC ．（1）直接写出点A 的坐标，并求直线l 的函数表达式（其中k 、b 用含a 的式子表示）；（2）点E 是直线l 上方的抛物线上的动点，若△ACE 的面积的最大值为54，求a 的值； （3）设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，当以点A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形为矩形时，请直接写出点P 的坐标．图1思路点拨1．点D 的横坐标是定值，等于4．2．△ACE 与△ADE 是同高三角形，当△ADE 面积最大时，△ACE 的面积也最大．3．以AD 为分类标准，AD 可能是矩形的边，也可能是矩形的对角线．4．第（3）题画示意图时，不要画抛物线，画矩形和它的外接矩形，再用a 表示D 、Q 、P 的坐标．图文解析（1）由y ＝ax 2－2ax －3a ＝a (x ＋1)(x －3)，得A (－1, 0)，B (3, 0)．如图2，作DH ⊥x 轴于H ．由CD ＝4AC ，得OH ＝4AO ＝4．所以D (4, 5a )．将A (－1, 0)、D (4, 5a )两点分别代入y ＝kx ＋b ，得0,45.k b k b a -+=⎧⎨+=⎩解得k ＝a ，b ＝a ．所以直线l 的函数表达式为y ＝ax ＋a ．（2）如图2，连结ED ．由CD ＝4AC ，可知AD ＝5AC ．所以S △ADE ＝5S △ACE ．所以△ADE 面积的最大值为254． 作EF //y 轴交AD 于点F ．所以S △ADE ＝S △AEF ＋S △DEF ＝12EF AH ⨯＝52EF ． 而EF ＝(ax 2－2ax －3a )－(ax ＋a )＝ax 2－3ax －4a ＝a (x 2－3x －4)，当x ＝32时，EF 的最大值为254a -．所以52525244a ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭．解得a ＝25-．图2（3）点P 的横坐标为1．分两种情况讨论矩形的存在性：①如图3，当AD 为矩形的边时，作矩形ADPQ 的外接矩形MNGH ．由PN ＝AD ＝5，得点N 、Q 的横坐标为－4．当x ＝－4时，y ＝a (x ＋1)(x －3)＝21a ．所以Q (－4, 21a )．所以P (1, 26a )． 再由QM AH MA HD =，得21535a a -=-．整理，得217a =．所以a =P (1,． ②如图4，当AD 为矩形的对角线时，作矩形APDQ 的外接矩形MNGR ．由MQ ＝PG ＝3，得点Q 的横坐标为2．所以Q (2,－3a )．所以AN ＝RD ＝－3a －5a ＝－8a ．所以P (1, 8a )． 再由AM QR MQ RD=，得3238a a -=-．整理，得214a =．所以12a =-．此时P (1,－4)．图3 图4考点伸展第（3）题也可以这样解：在表示出A 、D 、P 、Q 四个点的坐标之后，根据矩形的对角线相等，直接列方程．例 2020年上海市崇明区中考模拟第24题如图1，已知抛物线y＝ax2＋bx－4经过点A(－1, 0)，B(4, 0)，与y轴交于点C，点D 是该抛物线上一点，且在第四象限内，连结AC、BC、CD、BD．（1）求抛物线的函数解析式，并写出对称轴；（2）当S△BCD＝4S△AOC时，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，如果点E是x轴上一点，点F是抛物线上一点，当以点A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点E的坐标．图1思路点拨1．已知抛物线与x轴的两个交点，设交点式比较简便．2．△AOC的面积为2．连结OD可以用割补法求△BCD的面积．3．在x轴上虚拟一个点E，过△ADE的三个顶点分别画对边的平行线，得到三个点F，点F的纵坐标就确定了．最后通过平移点F的横坐标得到点E的横坐标．图文解析（1）因为抛物线与x轴交于A(－1, 0)、B(4, 0)两点，所以设抛物线解析式为y＝a(x＋1)(x－4)．对照y＝ax2＋bx－4，根据常数项相等，得－4a＝－4．所以a＝1．所以y＝(x＋1)(x－4)＝x2－3x－4．对称轴是直线x＝32．（2）如图2，由A(－1, 0)、C(0,－4)，得S△AOC＝2．所以S△BCD＝4S△AOC＝8．连结OD．设D(x, y)，且满足y＝x2－3x－4．所以S△BCD＝S△OCD＋S△OBD－S△OCB＝111()222OC x OB y OC OB ⋅+⋅--⋅＝2x－2y－8＝2x－2(x2－3x－4)－8＝8．整理，得x2－4x＋4＝0．解得x1＝x2＝2．所以D(2,－6)．图2 图3 （3）点E的坐标是(1, 0)，(8, 0)，(－2, 0) ，或(0, 0)．考点伸展第（3）题可以这样解：如图3，由A(－1, 0)、D(2,－6)，可知A、D两点间的水平距离为3，竖直距离为6．过△ADE的每个顶点画对边的平行线，三条线两两相交，得F1、F2、F3．①如图4，如图5，如果AD为平行四边形的边，那么点F1的纵坐标为6，点F2的纵坐标为－6．当点F1的纵坐标为6时，解方程x2－3x－4＝6，得x＝－2，或x＝5．当F1 (－2, 6)时，E(1, 0)；当F1 (5, 6)时，E(8, 0)，如图4所示．当点F2的纵坐标为6时，点F2与点D关于抛物线的对称轴对称．所以F2 (1,－6)．此时E(－2, 0)，如图5所示．②如果AD为平行四边形的边，F3D//AE//x轴，所以F3与F2 (1,－6)重合．此时AE＝F3D＝1．所以E(0, 0)，如图6所示。

第1页共16页如图1，已知半圆O 的直径AB=4，C 是圆外一点，∠ABC 的平分线交半圆O 于点D ，且∠BCD=90°，联结OC 交BD 于点E.（1）当∠ABC=45°时，求OC 的长；（2）当∠ABC=60°时，求OE EC的值；（3）当△BOE 为直角三角形时，求sin ∠OCB 的值.页如图，在Rt ABC△中，90ACB∠=︒，6,3AC BC==．点D是边AC上一动点（不与A、C重合），联结BD，过点C作CF⊥BD，分别交BD、AB于点E、F．（1）当2CD=时，求∠ACF的正切值；（2）设CD x=，AF yBF=，求y关于x的函数解析式，并写出x的定义域；（3）联结FD并延长，与边BC的延长线相交于点G，若△DGC与△BAC相似，求AFBF的值．第2页共16页在梯形ABCD中，AD//BC，AD=4，∠ABC=90°，BD=BC，过点C作对角线BD的垂线，垂足为E，交射线BA于点F.（1）如图1，当点F在边AB上时，求证：△ABD≌△ECB；（2）如图2，如果F是AB的中点，求FE:EC的值；（3）联结DF，如果△BFD是等腰三角形，求BC的长．第3页共16页如图1，在菱形ABCD中，AB=P在对角线BD上，tan∠DBC=12，⊙O是△PAB的外接圆，点B与点P之间的距离记为m．（1）如图2，当PA=PB时，联结OB，求证：OB⊥BC；（2）延长AP交射线BC于点Q，如果△ABQ是直角三角形，求PQ的长；（3）当圆心O在菱形ABCD外部时，用含m的代数式表示⊙O的半径，并直接写出m的取值范围．第4页共16页如图，在菱形ABCD中，BC=10，E是边BC上一点，过点E作EH⊥BD，垂足为点H，点G在边AD上，且GD=CE，联结GE，分别交BD、CH于点M、N．（1）已知3sin5DBC∠=，①当EC=4时，求△BCH的面积；②以点H为圆心，HM为半径作圆H，以点C为圆心，半径为1作圆C，圆H与圆C有且仅有一个公共点，求CE的值；（2）延长AH交边BC于点P，当设CE=x，请用含x的代数式表示HPCN的值.第5页共16页在Rt△ABC中，︒=∠90BAC，点P在线段BC上，ACBBPD∠=∠21，PD交BA于点D，过点B作PDBE⊥，垂足为E，交CA的延长线于点F．（1）如果︒=∠45ACB，①如图1，当点P与点C重合时，求证：PDBE21=；②如图2，当点P在线段BC上，且不与点B、点C重合时，问：①中的“PDBE21=”仍成立吗？请说明你的理由；（2）如果︒≠∠45ACB，如图3，已知ACnAB⋅=（n为常数），当点P在线段BC上，且不与点B、点C重合时，请探究PDBE的值（用含n的式子表示），并写出你的探究过程．第6页共16页如图，已知在ABC∆中，ACAB=，点D是边BC中点，在边AB 上取一点E，使得DBDE=，延长ED交AC延长线于点F．（1）求证：CDFA∠=∠；（2）设AC的中点为点O，①如果CD为经过DCA、、三点的圆的一条弦，当弦CD恰好是正十边形的一条边时，求ACCF:的值；②⊙M经过C、D两点，联结OM、MF，当︒=∠90OFM，10=AC，43tan=A时，求⊙M的半径长．（第25题图）备用图第7页共16页如图25-①，扇形MON的半径为r，圆心角∠MON=90°，点A是MN上的动点（点A不与点M、N重合），点B、C分别在半径OM、ON上，四边形ABOC 为矩形，点G在线段BC上，且CG=2BG．（1）求证：CG23r=；（2）如图25-②，以A为顶点、AC为一边，作∠CAP=∠BCO，射线AP交射线ON于点P，联结AN、OG．①当∠BGO=∠ANP时，求△OBG与△ANP的面积之比；②把△OGB沿直线OG翻折后记作△OGB'，当OB'⊥BC时，求∠P的正切值．第8页共16第9页共16页如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =1，以BC 为边作△DBC（点D 、A 在直线BC 的异侧），且满足BD =BC ，∠BCD =∠ABC +45°．（1）求证：∠A =∠ABD ；（2）设点E 为边BC 的中点，联结DE 并延长交边AB 于点F ，当△BEF 为直角三角形时，求边AC 的长；（3）设AB =x ，CD =y ，求y 关于x的函数解析式并写出定义域．页已知：⊙O的直径10AB=，C是 AB的中点，D是⊙O上的一个动点（不与点A、B、C重合），射线CD交射线AB于点E．（1）如图1，当BE AB=时，求线段CD的长；（2）如图2，当点D在 BC上运动时，联结BC、BD，△BCD中是否存在度数保持不变的角？如果存在，请指出这个角并求其度数；如果不存在，请说明理由；（3）联结OD，当△ODE是以DE为腰的等腰三角形时，求△ODE与△CBE面积的比值．第10页共16页如图，半圆O的直径4AB=，点C是 AB上一点（不与点A、B 重合），点D是 BC的中点，分别联结AC、BD．（1）当AC是圆O的内接正六边形的一边时，求BD的长；（2）设AC x=，=BD y，求y与x之间的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）定义：三角形一边上的中线把这个三角形分成两个小三角形，如果其中有一个小三角形是等腰三角形，且这条中线是这个小三角形的腰，那么这条中线就称为这个三角形的中腰线．分别延长AC、BD相交于点P，联结PO．PO是△PAB的中腰线，求AC的长．第11页共16第12页共16页如图，半圆O 的直径AB=10，点C 在半圆O 上，BC=6，CH ⊥AB ，垂足为点H ，点D 是弧AC 上一点．（1）若点D 是弧AB 的中点，求tan ∠DOC 的值；（2）联结BD 交半径OC 于点E ，交CH 于点F ，设OE=m ．①用含m 的代数式表示线段CF 的长；②分别以点O 为圆心OE 为半径、点C 为圆心CF 为半径作圆，当这两个圆相交时，求m取值范围．页如图1，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，点O'与点O 关于直线AC对称，射线AO'交半圆O于点D，弦AC交O O'于点E、交OD于点F．（1）如图2，如果点O′恰好落在半圆O上，求证：=O A BC'；（2）如果30DAB∠= ，求EFO D'的值；（3）如果OA=3，1O D'=，求OF的长.第13页共16页已知：如图1，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠B＝∠C＜90°．(1)求证：四边形ABCD是等腰梯形；(2)边CD的垂直平分线EF交CD于点E，交对角线AC于点P，交射线AB于点F．①当AF＝AP时，设AD长为x，试用x表示AC的长；②当BF＝DE时，求ADBC的值．第14页共16页已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点H，点E在直径AB上（与A、B不重合），EH=AH，联结CE并延长与⊙O交于点F.（1）如图1，当点E与点O重合时，求∠AOC的度数；（2）联结AF交弦CD于点P，如果43CEEF=，求DPCP的值；（3）当四边形ACOF是梯形时，且AB=6，求AE的长.第15页共16页如图1，在ABC∆中，︒=∠90ACB，以点A为圆心、AC为半径的⊙A交边AB于点D，点E在边BC上，满足BDCE=，过点E作CDEF⊥交AB 于点F，垂足为点G.（1）求证：BCD∆∽BFE∆；（2）延长EF与CA的延长线交于点M，如图2所示，求ADDFACCM+的值；（3）以点B为圆心、BE为半径作⊙B，当8=BC，2=AF时，请判断⊙A与⊙B的位置关系，并说明理由.第16页共16第1页共31页如图1，已知半圆O 的直径AB=4，C 是圆外一点，∠ABC 的平分线交半圆O 于点D ，且∠BCD=90°，联结OC 交BD 于点E.（1）当∠ABC=45°时，求OC 的长；（2）当∠ABC=60°时，求OE EC的值；（3）当△BOE 为直角三角形时，求sin ∠OCB 的值.（1）联结OD ，过点O 做OH ⊥BC ，垂足为H ，...........................1分∴∠OHC=∠OHB=90°.∵AB=4，∴OB=OD=2，∴∠ODB=∠OBD ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠OBD=∠DBC ，∴∠DBC=∠ODB ，∴OD//BC ，∴∠DOH=∠OHB=90°，∴四边形DOHC 是矩形，∴OD=HC=2............................1分Rt △BOH 中，sin ∠OBH=22=OB OH ，∴OH=2...................1分Rt △COH 中，∵OC ²=CH ²+OH ²，∴OC=6........................1分（2）Rt △BOH 中，cos ∠OBH=21=OB BH ，......................................1分∴BH=1................................................................1分第2页共31页∴CB=CH+BH=3，......................................................1分∵OD//BC ，∴32==BC OD EC OE ...............................................2分（3）（i ）当∠EOB=90°时，设BH=x ，则BC=x+2，∵OH ⊥BC ，∴∠OHB=∠COB=90°.∵∠OBH=∠COB ，∴△BOH ∽△BCO ，....................................1分∴OB ²=BH ·BC ，∠BOH=∠BCO ，∴x ²+2x-4=0，解得x1=51+-，x2=51--（不合题意，舍去），∴BH=51+-.∴sin ∠OCB=sin ∠BOH=215-=OB BH .....................................1分（ii ）当四边形OBCD 是正方形时，∠BEO=90°，∴∠OCB=45°，........................................................1分∴sin ∠OCB=sin45°=22................................................1分（iii ）根据题意∠OBE=90°不成立........................................1分所以，当△BOE 为直角三角形时，sin ∠OCB 的值是215-或22.如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，6,3AC BC ==．点D 是边AC 上一动点（不与A 、C 重合），联结BD ，过点C 作CF ⊥BD ，分别交BD 、AB 于点E 、F ．（1）当2CD =时，求∠ACF 的正切值；（2）设CD x =，AF y BF=，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的定义域；第3页共31页（3）联结FD并延长，与边BC的延长线相交于点G，若△DGC与△BAC相似，求AF BF的值．（1）∵CF⊥BD90C∠=︒∴90BEC∠=︒∴90ACF BDC∠+∠=︒................................................(1分）∵90C∠=︒∴90DBC BDC∠+∠=︒................................................(1分）∴ACF DBC∠=∠................................................(1分）又∵3,BC=CD=2∴2tan tan3CDACF DBCBC∠=∠==................................................(1分）(2)过点F作FH⊥AC,垂足为H................................................(1分）∴90AHF ACB∠=∠=︒∴FH BC∴AF AHBF CH=;FH AHBC AC=∵3,6BC AC==∴2AH FH=................................................(1分）∴2AF FHBF CH=第4页共31页又∵tan tan ACF DBC∠=∠即：3FH CD x CH BC ==................................................(1分）∴223AF FH y x BF CH ===（06x <<）................................................(2分）(3)∵90DCG ACB ∠=∠=︒∴△DGC 与△BAC 相似有两种情况................................................(1分）①当G A ∠=∠时又∵ADF CDG∠=∠∴FAD ∆∽CGD ∆∴90DCG AFD ∠=∠=︒∵ACF DBC ∠=∠,EDC CDB∠=∠∴ECD ∆∽CDB∆∴CD BD ED CD =∴2CD DE BD= 同理：2FD DE BD= ∴CD FD x==∵sin BC FD A AB AD ==6x x =-∴x =................................................(1分）∴213y x ==-即：1AF BF=................................................(1分）②当G ABC ∠=∠时∵90A ABC ∠+∠=︒90CDG G ∠+∠=︒∴A CDG ADF∠=∠=∠∴AF FD=过点F 作FH ⊥AC,垂足为H第5页共31页∴62x AH HD -==，632xHC AH =-=+又∵tan tan ACF DBC∠=∠即：FH CD CH BC=得：64332x x x -=+解得：12151544x x -+--==（舍）................................................(1分）∴2532y x -==即：52AFBF =................................................(1分）综上：512AFBF=.在梯形ABCD 中，AD//BC ，AD=4，∠ABC=90°，BD=BC ，过点C 作对角线BD 的垂线，垂足为E ，交射线BA 于点F.（1）如图1，当点F 在边AB 上时，求证：△ABD ≌△ECB ；（2）如图2，如果F 是AB 的中点，求FE:EC 的值；（3）联结DF ，如果△BFD 是等腰三角形，求BC的长．（1）∵CF ⊥BD ，∴∠CEB =90°．····················································（1分）∵AD //BC ，∠ABC ＝90°，∴∠A =90°，∠ADB =∠CBE ．····························（1分）∴∠CEB =∠A ．·················································································（1分）第6页共31页图1∵BD =BC ，∴△ABD ≌△ECB ．····························································（1分）（2）过点F 作FG //AD ，交BD 于点G .设BC=BD=m ，∵FG//AD ，∴.ADFGBD BG AB BF ==（1分）∵点F 是AB 的中点，AD =4，∴.21=AB BF ∴FG =2，BG =.21m ··············································································（1分）∵△ABD ≌△ECB ，∴BE=AD =4．∴EG =421-m ．·································（1分）∵AD//BC ，∴FG//BC ．∴ECEFBE EG BC FG ==．········································（1分）即44212-=m m .解得m =.244±∴2122442-=+=EC EF ．（1分）（3）①如图1，当BF=DF 时，∵FC ⊥BD ，∴∠FEB =∠FED =90°.∴BE=DE .∴BC=DC .∴△BDC 是等边三角形.∴∠DBC =60°.∴∠ABD =30°.∴BD =2AD =8.∴BC =8...................................................（2分）②如图2，当BF=BD 时，∵BD=BC ，∴BF=BC .∵CF ⊥BD ，∠FBC =90°，∴∠FBE =∠CBE =45°.∵∠BAD =90°，∴AD=AB =4．∴BC =BD=.··················································································（2分）③如图3，当DF=BD时，图3图2第7页共31页设AD 和EC 的交点为点H ，BC=BD=a ，∵FD=BD ，∠DAB =90°，∴AF=AB .∵AD//AB ，∴.21==BF AF BC AH ∴AH =.21a ∴DH =.a 214-∵.BEED BC DH =即.a a a44214-=-解得a =（负值舍去）.171±∴BC =.171+.··········································（1分）综上所述，如果△BFD 是等腰三角形，BC =8、24或.171+如图1，在菱形ABCD 中，AB=P 在对角线BD 上，tan∠DBC=12，⊙O 是△PAB 的外接圆，点B 与点P 之间的距离记为m ．（1）如图2，当PA=PB 时，联结OB ，求证：OB ⊥BC ；（2）延长AP 交射线BC 于点Q ，如果△ABQ 是直角三角形，求PQ 的长；（3）当圆心O 在菱形ABCD 外部时，用含m 的代数式表示⊙O 的半径，并直接写出m 的取值范围．（1）联结OP ，交AB 于点H∵PA=PB ，∴.又∵OP 过圆心，∴OP ⊥AB ………………………………………………………（1分）∵OB=OP ，∴∠OBP=∠OPB在菱形ABCD 中，∠ABD=∠CBD ……………………………………………（1分）在Rt△BPH中，∠ABP+∠OPB=90°…………………………………………（1分）∴∠CBD+∠OBP=90°即∠OBC=90°∴OB⊥BC.……………………………………………………（1分）（2）∵∠ABC≠90°如果△ABQ是直角三角形，那么只有∠BAQ=90°或∠AQB=90°①当∠BAQ=90°时，联结AC，由题可得AC=4，BD=8在Rt△ABP中，tanAP AB ABP=⋅∠=，5cosABBPABP==∠∴DP=3∵AD∥BQ∴AP DPPQ BP=35=∴PQ.…………………………………………………………………（2分）②当∠AQB=90°时，∵12ABCDS AC BD BC AQ=⋅=⋅菱形∴在菱形ABCD中，AD=AB=AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC∴tan∠ADB=tan∠DBC=1 2在Rt△ADP中，tanAP AD ADB=⋅∠=∴PQ=2分）综上所述，PQ=5.（3）联结OP，过点O作OE⊥AB于点E，延长OE交BD于点F 过点O作OG⊥BD于点G∵OG⊥BD，∴BG=GP=12BP=12m,同理，BE=12AB.……………………………………………………………（1分）第8页共31页第9页共31页∵∠ABD+∠BFE=90°，∠FOG+∠BFE=90°∵∠ABD=∠CBD∴∠FOG =∠CBD∴tan ∠FOG=tan ∠CBD=12在Rt △BEF 中，5cos 2BE BF FOG ==∠……………（2分）∴5122FG BF BG m =-=-在Rt △OGF 中，5tan GFOG mFOG==-∠在Rt △OPG 中，222OP OG GP =+∴OP =∴⊙O2分）m 的取值范围为0<m<4或203<m≤8……………………………………………（1分）如图，在菱形ABCD 中，BC=10，E 是边BC 上一点，过点E 作EH ⊥BD ，垂足为点H ，点G 在边AD 上，且GD=CE ，联结GE ，分别交BD 、CH 于点M 、N ．（1）已知3sin 5DBC ∠=，①当EC=4时，求△BCH 的面积；②以点H 为圆心，HM 为半径作圆H ，以点C 为圆心，半径为1作圆C ，圆H 与圆C 有且仅有一个公共点，求CE 的值；（2）延长AH 交边BC 于点P ，当设CE=x ，请用含x 的代数式表示HPCN的值.第10页共31页（1）①联结AC 交BD 于点O,…………………………………………………(1分）∵四边形ABCD 是菱形，∴OC ⊥BO ．在Rt △BOC 中，BC=10，3sin 5DBC ∠=，∴CO=6，BO=8．……………………………………………………………………(1分）∵EH ⊥BD ，∴EH ∥CO ，∴BH BEBO BC=．∴245BH =．……………………………………………………………………(1分）∴124726255BHC S =⨯⨯=V ．………………………………………………………(1分）②在菱形ABCD 中，AD ∥BC ，又∵GD=CE ，∴四边形CEGD 是平行四边形．∴EG ∥CD ，∴EG ∥AB ，∴∠EMB =∠ABD ．又∵∠ABD=∠CBD ，∴∠EMB =∠CBD ，∴BE=ME ．又∵EH ⊥BD ，∴HM=BH ，…………………………………………………………(1分）设CE x =，由（1）可得，∴485H r BH x ==-．………………………………(1分）在Rt △HOC中，HC ==．1°当两圆外切时，4815x -+=258x =．……………………………………(1分）第11页共31页2°当两圆内切时，4815x --=，解得6556x =．……………………………………(1分）综上所述，CE 长是258或6556．……………………………………(1分）（2）∵AB=BC ，∠ABD=∠CBD ，BH 是公共边，∴△ABH ≌△CBH ．∴∠BAH=∠BCN ．……………………………………………………………(1分）取BE 中点Q ，联结HQ ，又∵HM=BH ，∴HQ ∥EN ∥AB ，∴∠HQP=∠CEN ，∠QHP=∠BAH=∠BCN ，∴△HQP ∽△CEN ．………………………………………………………………(1分）∴HP HQCN CE=．…………………………………………………………………(1分）又∵11022x HQ BE -==．∴102HP x CN x-=．………………………………………………………(2分）在Rt △ABC 中，︒=∠90BAC ，点P 在线段BC 上，ACB BPD ∠=∠21，PD 交BA 于点D ，过点B 作PD BE ⊥，垂足为E ，交CA 的延长线于点F ．（1）如果︒=∠45ACB ，①如图1，当点P 与点C 重合时，求证：PD BE 21=；②如图2，当点P 在线段BC 上，且不与点B 、点C 重合时，问：①中的“PD BE 21=”仍成立吗？请说明你的理由；（2）如果︒≠∠45ACB ，如图3，已知AC n AB ⋅=（n 为常数），当点P 在线段BC 上，第12页共31页且不与点B 、点C 重合时，请探究PDBE的值（用含n 的式子表示），并写出你的探究过程．（1）①证明：∵Rt △ABC 中，︒=∠90BAC ，︒=∠45ACB ，∴︒=∠=∠45ACB ABC ，∴AC AB =.………………………………………（1分）∵PD BE ⊥，∴︒=∠+∠90EDB EBD .∵Rt △DAC 中，︒=∠+∠90DCA ADC ，又∵ADC EDB ∠=∠，∴DCA EBD ∠=∠.在△F AB 和△DAC 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠DAC F AB AC AB DCA FBA ，∴)..(A S A DAC F AB ≌△△.∴PD BF =.………………………………………………………………………（1分）∵ACB BPD ∠=∠21，∴FPE BPE ∠=∠.在△BPE 和△FPE 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠FEP BEP PE PE FPE BPE ，∴)..(A S A FPE BPE ≌△△.∴BF FE BE 21==.……………………………………………………………（1分）∴PD BE 21=.……………………………………………………………（1分）②成立.……………………………………………………………………………（1分）如图，过点P 作CF PM ∥，交AB 于点N .∵CF PM ∥，∴︒=∠=∠90BAC BNP ，︒=∠=∠45BCA BPN .第13页共31页∴NP NB =.……………………………………………………………………（1分）∵PD BE ⊥，∴︒=∠+∠90EDB EBD .∵Rt △DPN 中，︒=∠+∠90DPN PDN ，又∵PDN EDB ∠=∠，∴DPN EBD ∠=∠.同①中方法可得)..(A S A DNP MNB ≌△△.∴PD BM =.…………………………………（1分）∵ACB BPD ∠=∠21，∴MPE BPM BPE ∠=∠=∠21.同①中方法可得)..(A S A MPE BPE ≌△△.∴BM ME BE 21==.…………………………………………………………（1分）∴PD BE 21=.……………………………………………………………（1分）（2）如图，过点P 作CF PQ ∥，交AB 于点K .同②可知︒=∠=∠90QKB DKP ，DPK QBK ∠=∠，∴DPK QBK ∽△△.∴DP QBPK BK =.……（1分）∵CF PQ ∥，∴CA BAPK BK =.……………（1分）∵AC n AB ⋅=，∴n DPQB=.…………（1分）同②可证)..(A S A QPE BPE ≌△△，∴BE QB 2=.………………………（1分）即n DP BE =2，∴2nDP BE =.……………………………………………………（1分）如图，已知在ABC ∆中，AC AB =，点D 是边BC 中点，在边AB上取一点E ，使得DB DE =，延长ED 交AC 延长线于点F ．（1）求证：CDF A ∠=∠；（2）设AC 的中点为点O ，①如果CD 为经过D C A 、、三点的圆的一条弦，当弦CD恰好是正十边形的一条边时，第14页共31页求AC CF :的值；②⊙M 经过C 、D 两点，联结OM 、MF ，当︒=∠90OFM ，10=AC ，43tan =A 时，求⊙M的半径长．（1）证明：∵AB=AC∴∠B=∠BCA (1分)∵DE=DB ∴∠BED=∠B (1分)∴△ABC ∽△DBE ∴∠BDE=∠A (1分)∵∠BDE=∠CDF ∴∠A=∠CDF(1分)（2）①联结OD∵O 是AC 中点，D 是BC 中点∴AB OD //，AB OD 21=，AC OC OA 21==∵AB=AC∴OA=OC=OD∴经过A 、D 、C 三点的圆是以O 为圆心，OA 长为半径的圆.(1分)∵弦CD 恰好是正十边形的一条边∴∠DOC=36°(1分)∴∠DCF=72°，∠CDF=∠BAC=∠DOC=36°∴∠F=36°=∠CDF ，∠DOF=∠F ∴CF=CD=DB=DE ，DO=DF∵∠CDF=∠DOF ，∠F=∠F∴△DCF ∽△ODF ∴OFDF OD DC =(1分)设CD=m ，圆O 的半径为r ，则DC=m ，OF=m+r ，OD=DF=r ∴mr rr m +=令k r m =，则有012=-+k k ，解得215-=k （负值已舍）(1分)（第25题图）备用图第15页共31页∴415212-===k r m AC CF (1分)②∵⊙O 、⊙M 都经过C 、D 两点，∴OM 垂直平分CD(1分)过点B 作B H ⊥AC ，垂足为H ∵AC=10，∴AB=AC=10在Rt △ABH 中，43tan ==AH BH A 可得BH=6，AH=8在Rt △BHC 中，HC=AC-AH=2，可得3tan ==∠HCBHBCH ，102=BC ∴3tan tan =∠=∠BCH FCG (1分)∵∠GDF=∠A∴43tan =∠GDF 设CG=m ，则FG=3m ，则有DG=4m ，则有CD=3m ∵D 为BC 中点，∴10=CD ∴310==m CG ∴310=CF (1分)∴325=OF ∴925=MF (1分)∴619531092522=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=MC (1分)如图25-①，扇形MON 的半径为r ，圆心角∠MON=90°，点A是 MN 上的动点（点A 不与点M 、N 重合），点B 、C 分别在半径OM 、ON 上，四边形ABOC为矩形，点G 在线段BC 上，且CG=2BG ．（1）求证：CG 23r =；（2）如图25-②，以A 为顶点、AC 为一边，作∠CAP=∠BCO ，射线AP 交射线ON 于点P ，联结AN 、OG ．①当∠BGO=∠ANP 时，求△OBG 与△ANP的面积之比；第16页共31页PO AB CG M N12E3②把△OGB 沿直线OG 翻折后记作△OGB '，当OB '⊥BC 时，求∠P 的正切值．（1）联结OA ，设OA 与BC 相交于点E ，∵四边形ABOC 是矩形，∴BC=OA=r ，∵CG=2BG ，∴23CG BC =，即23CG r =．（2）①∵四边形ABOC 是矩形，∴EO=EC ，∴∠EOC=∠ECO ．∵∠BGO=∠ANP ，∴∠1=∠2，∴△CGO ∽△ONA ，∴23OG CG NA ON ==．∵在Rt △BOC 中，∠BCO+∠3=90°，在Rt △ACP 中，∠CAP+∠P=90°，又∵∠CAP=∠BCO ，∴∠3=∠P ，∵∠BGO=∠ANP ，∴△OBG ∽△APN ，∴249OBG ANP S OG S NA ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△．第17页共31页HFM OB N GPAC B 'BAM O NGPCB '12H②方法1：当OB '⊥BC 时（如图所示），∠OHC=90°，在Rt △OGH 中，∠CGO=90°－∠1．∵四边形ABOC 是矩形，∴∠BOC=90°，∴∠COG=90°－∠2．∵翻折，∴∠1=∠2．∴∠CGO=∠COG ，∴23OC CG r ==．∴在Rt △OBC中，OB =，∴tan ∠P=tan ∠OBC 5OC OB ==．方法2：当OB '⊥BC 时（如图所示），延长B G '交OB 于点F ，由翻折可得B G BG '=，∠FBG=∠HB G ',又∠FGB=∠HGB '，∴△FGB ≌△HGB '，∴FB=HB '，∠BFG=∠B HG '=90°．∴∠BFG=∠BOC ，∴FG ∥OC ，∴12BF BG B H B G OF CG OH OC ''====，即23OC r =．∴在Rt △OBC中，3OB r =，∴tan ∠P=tan ∠OBC 5OC OB ==．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =1，以BC 为边作△DBC （点D 、A 在直线BC 的异侧），且满足BD =BC ，∠BCD =∠ABC +45°．（1）求证：∠A =∠ABD ；（2）设点E 为边BC 的中点，联结DE 并延长交边AB 于点F ，当△BEF 为直角三角形时，求边AC 的长；（3）设AB =x ，CD =y ，求y 关于x 的函数解析式并写出定义域．第18页共31页解：（1）∵BD=BC ，∴∠BDC=∠BCD ．………………………………………………………（1分）∵∠BCD=∠ABC+45°，∴∠BDC=∠ABC+45°．∵180BDC BCD CBD ∠+∠+∠=︒，∴∠CBD=90°-2∠ABC ．∴∠ABD=∠CBD+∠ABC=90°-∠ABC ．………………………………（1分）∵∠ACB ＝90°，∴∠A+∠ABC ＝90°，∴∠A=90°-∠ABC ．………………………………………………………（1分）∴∠A=∠ABD ．…………………………………………………………（1分）（2）设∠ABC=θ1︒当∠BFE ＝90°时，∵∠BFE ＝90°，∴∠ABD+∠FDB ＝90°．∵90ABD θ∠=︒-，∴∠FDB ＝θ．∵∠ABC=θ，∴∠FDB=∠ABC ．∵∠EFB=∠BFD ，∴△FBE ∽△FDB ．∴EF BE FB BD=．………………………………………………………………（1分）∵点E 为边BC 的中点，∴12BE BC =．第19页共31页∵BD=BC ，∴EF BE FB BD =12=．…………………………………………………（1分）在Rt △BEF 中，∠EFB=90°，1tan 2EF ABC FB ∠==．∴在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，11tan 122AC BC ABC =⋅∠=⨯=．………………………………………………（1分）2︒当∠BEF ＝90°时，则∠BED ＝90°．在Rt △BDE 中，∠DEB=90°，由勾股定理，得DE ===．……………………（1分）∵90BEF ACB ∠=∠=︒，∴EF AC ∥，∴90EFB BAC θ∠=∠=︒-．∴EFB ABD ∠=∠，∴1DF BD ==．………………………………………（1分）∴312EF DF DE =-=-．∵EF AC ∥，∴12EF BE AC BC ==．∴2AC =1分）综上所述：边AC 的长为12或2．（3）过点C 作CH ∥AB ，交BD 于点H ．∵CH ∥AB ，∴,CHD ABD BCH ABC ∠=∠∠=∠．∵A ABD ∠=∠，∴CHD A ∠=∠．∵CH ∥AB ，且AC 与BD 不平行，∴四边形ABHC 是梯形．∵A ABD ∠=∠，∴四边形ABHC 是等腰梯形．∴BH=AC ．第20页共31页由45BCD ABC BCH ABC BCD DCH BCH ∠=∠+︒∠=∠∠=∠+∠，，，∴45DCH ∠=︒．……………………………………………………………（1分）过点D 作DG CH ⊥于点G ．∴sin 452DG CD y =⋅=，sin sin CHD A ∠=由12yx=．……………………………（1分）∴(222y x x=1＜．……………………………（1分+1分）已知：⊙O 的直径10AB =，C 是 AB 的中点，D 是⊙O 上的一个动点（不与点A 、B 、C 重合），射线CD 交射线AB 于点E ．（1）如图1，当BE AB =时，求线段CD 的长；（2）如图2，当点D 在 BC上运动时，联结BC 、BD ，△BCD 中是否存在度数保持不变的角？如果存在，请指出这个角并求其度数；如果不存在，请说明理由；（3）联结OD ，当△ODE 是以DE 为腰的等腰三角形时，求△ODE 与△CBE面积的比值．解：（1）联结OC ，过点O 作OH ⊥CD ，垂足为H ．∵⊙O 的直径AB=10，∴BE=AB=10．∴OE=15．∵OC 过圆心O 且C 是 AB 的中点，第21页共31页∴CO ⊥AB ，垂足为O ．……1分∴∠COB=90°．∴Rt △OCH中，CE =∴cos 10OC C CE ==．……1分∵OH 过圆心O ，∴12CH CD =．……1分在Rt △OCH中，cos 10CH C OC ==，∴CH =CD =1分（2）∠CDB 为保持不变的角，度数为135°．……1分证明：联结OD ．∵OC=OD ，∴∠OCD=∠CDO ．………………1分∵在△COD 中，∠COD+∠OCD+∠CDO=180°．∴1802CODCDO ︒-∠∠=．……………………1分；同理，1802BODBDO ︒-∠∠=．…………………1分∴1180()1352CDB CDO BDO COD BOD ∠=∠+∠=︒-∠+∠=︒．……1分另解：证明：联结OD ．过点O 作OH ⊥CD ，垂足为H ．过点O 作OF ⊥BD ，垂足为F ．∵OC=OD ，OH ⊥CD ，∴12DOH COD ∠=∠，∠OHD=90°．……1分同理，12DOF BOD ∠=∠，∠OFD=90°．………1分∴1452HOF DOH DOF COB ∠=∠+∠=∠=︒．……1分∵四边形HOFD 的内角和为360°，∠OHD=90°，∠OFD=90°，∴∠CDB=135°．……………………………………1分（3）①当D 在 CB上，ODE CBE S S =△△②当D 在 BM上，ODE CBE S S △△；③当D在 MA上，ODECBESS=△△．（注：求出一个得2分，求出两个得4分，求出三个得5分）如图，半圆O的直径4AB=，点C是 AB上一点（不与点A、B 重合），点D是 BC的中点，分别联结AC、BD．（1）当AC是圆O的内接正六边形的一边时，求BD的长；（2）设AC x=，=BD y，求y与x之间的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）定义：三角形一边上的中线把这个三角形分成两个小三角形，如果其中有一个小三角形是等腰三角形，且这条中线是这个小三角形的腰，那么这条中线就称为这个三角形的中腰线．分别延长AC、BD相交于点P，联结PO．PO是△PAB的中腰线，求AC的长．解：（1）联结OD．由AC是圆O的内接正六边形的一边，可得60AOC∠=︒．得120BOC∠=︒．∵点D是 BC的中点，∴60COD DOB∠=∠=︒．又∵OD OB=，∴△DOB为等边三角形．∴2BD OB==．（2）分别联结BC、OD，记交点为E．∵点D是 BC的中点，∴OD BC⊥，BE CE=．∵AO OB=，可得OE是△ABC的中位线．∴122xOE AC==．第22页共31页第23页共31页∴22x DE =-．由2222OB OE BD DE -=-，得2224222x x y ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．化简得y =（0＜x ＜4）．（3）由PO 是△PAB 的中腰线，点P 是圆外一点，可得PO PB =或PO PA =．i ．当PO PB =时，联结OD ．由OE 是△ABC 的中位线，可得OD //AC ．∵=AO BO ，∴BD DP =．∴2BP y =．易证△POB ∽△ODB .可得2OB BD BP =⋅.得42y y =⋅.解得3x =．ii ．当PO PA =时，联结OC ．由OD //AC ，可得=APB ODB ∠∠．∵=ODB OBD ∠∠，∴=APB OBD ∠∠．∴4AP AB ==．易证△POA ∽△OAC .可得2OA AC AP =⋅.得44x =⋅.解得1x =．所以AC 的长为3或1．如图，半圆O 的直径AB=10，点C 在半圆O 上，BC=6，CH ⊥AB ，垂足为点H ，点D 是弧AC 上一点．（1）若点D 是弧AB 的中点，求tan ∠DOC 的值；（2）联结BD 交半径OC 于点E ，交CH 于点F ，设OE=m ．①用含m 的代数式表示线段CF 的长；②分别以点O 为圆心OE 为半径、点C 为圆心CF 为半径作圆，当这两个圆相交时，求m取值范围．第24页共31页解：（1）联结DO ，∵点D 是弧AB 的中点，AB 是直径，∴OD ⊥AB ．（1分）∴∠CHB=∠DOB=90°，OD ∥CH ，∴∠DOC=∠OCH ．（1分）过点O 作OM ⊥BC ，垂足为点M ．由垂径定理，132BM BC ==．在Rt △BOM 中，BM=3，OM=4，OB=5，4sin 5OBC ∠=，3cos 5OBC ∠=．在Rt △BCH 中，24sin 5CH BC OBC =⋅∠=．（1分）18cos 5BH BC OBC =⋅∠=．75OH OB BH =-=（1分）∴7247tan tan 5524OH DOC OCH CH ∠=∠==÷=．（1分）（2）作HG ∥OC 交BD 于点G.．（1分）得1855GH BH OE BO ==，1825GH m =．（1分）又由HG ∥OC 得CF CEFH GH=，所以52418525CF mCF m -=-．（1分）∴6001201257mCF m-=-．（2分）（3）o r OE m ==，6001201257c mr CF m-==-，5d OC ==．①当两圆内切时，60012051257mm m--=-．（1分）由于05m <<，600120051257mm -<<-，所以两圆不可能内切．（1分）②当两圆外切时，60012051257mm m-+=-．解得125,57m m ==．（1分）所以当两圆相交时，557m <<．（1分）页如图1，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，点O'与点O 关于直线AC对称，射线AO'交半圆O于点D，弦AC交O O'于点E、交OD于点F．（1）如图2，如果点O′恰好落在半圆O上，求证：=O A BC'；（2）如果30DAB∠= ，求EFO D'的值；（3）如果OA=3，1O D'=，求OF的长.解：（1）∵点O'与点O关于直线AC对称，∴O A OA'=，OO AC'⊥………1分∵点O′恰好落在半圆O上，∴O O OA'=∴△O AO'是等边三角形，=60AOO∠' ………1分联结OC,由OO AC'⊥得，=AO O C''∴==60AOO COO∠'∠' ………1分∴==60AOO BOC∠'∠ ∴=O A BC'………1分（2）∵30DAB∠= ，=OA OD，∴30ADO∠= ∴45AFO∠=∵点O'与点O关于直线AC对称，O E OE'=，OO AC'⊥∴45EOF∠= ，△OEF是等腰直角三角形……2分联结O F'，△OO F'是等腰直角三角形，设=EF t，则=OE t，=2O O t'，O F'Rt△O DF',30ADO∠=，O D'=……2分∴4EFO D==' (1)分第25页共31（3）联结OC，∠1=∠2，∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴OC∥AD，∴OC OFAD DF=，………1分当点O'在圆内，OC=OD=3，AD=4,34OFDF=,∴97OF=………2分当点O'在圆外，OC=OD=3，AD=2,32OFDF=∴95OF= (2)分已知：如图1，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠B＝∠C＜90°．(1)求证：四边形ABCD是等腰梯形；(2)边CD的垂直平分线EF交CD于点E，交对角线AC于点P，交射线AB于点F．①当AF＝AP时，设AD长为x，试用x表示AC的长；②当BF＝DE时，求ADBC的值．(1)证明：延长BA、CD交于点P．……………（1分）∵∠B＝∠C，∴PB＝PC．∵AB＝CD，∴PA＝PD，∴∠PAD＝∠PDA．∵∠B＋∠C＋∠P＝∠PAD＋∠PDA＋∠P＝180°，∴∠B＋∠C＝∠PAD＋∠PDA，即2∠B＝2∠PAD．∴∠B＝∠PAD，∴AD∥BC．……………（2分）∵∠B＝∠C＜90°，∴∠B＋∠C≠180°．……………（1分）∴AB与CD不平行，∴四边形ABCD是梯形．第26页共31页第27页共31页∵AB＝CD，∴梯形ABCD是等腰梯形．(2)解：①联结DP，则DP＝CP，∠PDC＝∠PCD．∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA＝∠PDC．∴△CPD∽△CDA．…………（1分）∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠BAD＝∠ADC，∴∠BAP＝∠ADP．∵AF＝AP，∴∠AFP＝∠APF＝∠CPE．∵DP＝CP，PE⊥CD，∴∠DPE＝∠CPE＝∠AFP．∴DP∥AF，∴∠APD＝∠FAP＝∠ADP，∴AP＝AD．…………（2分）∵△CPD∽△CDA，∴CP CD CD AC=，设AC＝y，则AP＝AD=x，CD＝x，CP＝y－x．有y x xx y-=，即y2－xy－x2＝0，解得12y x=（负值舍）．…………（2分）∴512 AC x+=②延长FE、AD交于点G；过点E作EN∥AB，交BC于点N；作EH⊥BC，垂足为H．记EF与BC的交点为M．若点F在线段AB上，则点F为AB的中点，EF为等腰梯形ABCD的中位线．于是EF∥BC，∠DEF＝∠C＜90°，这与EF⊥CD不符，当点F在AB的延长线上时，∵BF＝DE＝12CD＝12AB，又∵AD∥BC，∴13BM BFAG AF==．…………（1分）设BM＝a，AD＝x，则AG＝3a，DG＝3a－x．第28页共31页∵1DG DECM CE==，∴CM ＝DG ＝3a －x ．∵EN ∥AB ，∴∠ENC ＝∠ABC ＝∠C ，∴EN ＝EC ＝DE ＝BF ．∴1MN ENBM BF==，MN ＝BM ＝a ，CN ＝2a －x ．∵EH ⊥BC ，∴CH ＝NH ＝12CN ＝a －12x ，cos C ＝12212a xa x x x --=．…………（1分）∵∠CDG ＝∠C ，cos ∠CDG ＝12362xDE x DG a x a x==--，…………（1分）∴262x a x a x x-=-，整理得x 2－10ax ＋12a 2＝0，解得(5x a =±．∵CN ＝2a －x ＞0，∴(5x a =，…………（1分）∴41381324123AD x BC a x ===-．…………（1分）已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点H ，点E 在直径AB 上（与A 、B 不重合），EH=AH ，联结CE 并延长与⊙O 交于点F .（1）如图1，当点E 与点O 重合时，求∠AOC 的度数；（2）联结AF 交弦CD 于点P ，如果43CE EF =，求DPCP的值；（3）当四边形ACOF 是梯形时，且AB=6，求AE 的长.第29页共31页（1）∵弦CD ⊥AB ，∴∠CHO=90°.（1分）∵EH=AH ，∴12EH EA =.∵点E 与点O 重合，∴OA=EA.又OA=OC ，∴12EH OC =.（1分）∴∠OCH=30°，∴∠AOC=60°.（1分）（2）∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∴CH=DH .（1分）又∵EH=AH ，∴四边形形ACED 是平行四边形.（1分）∴CE//AD ，CE=AD .（1分）∴DPAD CP CF =.∴DP CECP CF =.（1分）∵43CE EF=，∴47CE CF =∴47DP CP =.（1分）（3）设OCF α∠=，∵OC=OF ，∴OCF OFC α∠=∠=.当四边形ACOF 是梯形时，①OC //AF .∴OCF AFC α∠=∠=.（1分）∴2AFO AFC OFC α∠=∠+∠=.∵OA=OF ，∴2OAF AFO α∠=∠=.∴23AEC OAF AFC ααα∠=∠+∠=+=.∵EH=AH ，弦CD ⊥AB ，∴EC=AC .∴3CAO AEC α∠=∠=.∵OA=OC ，∴3OCA CAO α∠=∠=.∵AEC AOC OCF ∠=∠+∠，∴32AOC AEC OCF ααα∠=∠-∠=-=.在△AOC 中，180AOC CAO OCA ∠+∠+∠=︒，233180ααα++=︒.∴22.5o α=.（1分）∴45AOC ∠=︒.∴在Rt △OCH中2OH CH ==.又AB=6，∴OH =∴3AH =.∴6AE =-.（1分）②OF //AC .∴ACF OFC α∠=∠=.（1分）∴2OCA ACF OCF ααα∠=∠+∠=+=.∵OA=OC ，∴2OCA CAO α∠=∠=.∴2AEC CAO α∠=∠=.∴2AOC AEC OCF ααα∠=∠-∠=-=.在△AOC 中，180AOC CAO OCA ∠+∠+∠=︒，22180ααα++=︒.∴36o α=.（1分）。

专题2020年二模分类汇编-23题专题一相似三角形证明【知识梳理】【历年真题】1．（2020•普陀区二模）已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E是DB延长线上的一点，且EA＝EC，分别延长AD、EC交于点F．（1）求证：四边形ABCD为菱形；（2）如果∠AEC＝2∠BAC，求证：EC•CF＝AF•AD．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形知OA＝OC，结合EA＝EC知EO⊥AC，从而得证；（2）先由∠AEB＝∠CEB＝∠AEC，平行四边形ABCD为菱形得∠CDF＝∠DAC+∠DCA ＝∠AEF，据此可证△FCD∽△F AE得＝，结合CD＝AD，AE＝CE可得答案．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，又∵EA＝EC，∴EO⊥AC，∴四边形ABCD是菱形；（2）∵∠AEB＝∠CEB＝∠AEC，平行四边形ABCD为菱形，∴∠AEB＝∠CEB＝∠BAC＝∠BCA＝∠DAC＝∠DCA，∠CDF＝∠DAC+∠DCA＝∠AEF，∴△FCD∽△F AE，∴＝，∵CD＝AD，AE＝CE，∴＝，即EC•CF＝AF•AD．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质、菱形的判定、等腰三角形的性质及相似三角形的判定与性质等知识点．2．（2020•长宁区二模）如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD上（点F与点C、D不重合），BE⊥EF，且∠ABE+∠CEF＝45°．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）连接BD，交EF于点Q，求证：DQ•BC＝CE•DF．【考点】正方形的判定与性质；矩形的性质．【专题】矩形菱形正方形；图形的相似；推理能力．【分析】（1）作EM⊥BC于点M，可证EM∥AB，可得∠ABE＝∠BEM，∠BAC＝∠CEM，由角的数量关系可得∠CEM＝45°＝∠BAC，可证AB＝BC，可得结论；（2）通过证明△BCE∽△FDQ，可得，可得结论．【解答】证明：（1）如图，作EM⊥BC于点M，∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC，∴EM∥AB，∴∠ABE＝∠BEM，∠BAC＝∠CEM，∵∠ABE+∠CEF＝45°，∴∠BEM+∠CEF＝45°，∵BE⊥EF，∴∠CEM＝45°＝∠BAC，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∴AB＝BC，∴矩形ABCD是正方形；（2）如图，∵∠BEF+∠BCF+∠EFC+∠EBC＝360°，∴∠EBC+∠EFC＝180°，且∠EFC+∠QFD＝180°，∴∠DFQ＝∠EBC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝∠BDC＝45°，∴△BCE∽△FDQ，∴，∴BC•DQ＝CE•DF．【点评】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．3．（2020•奉贤区二模）已知：如图，在梯形ABCD中，CD∥AB，∠DAB＝90°，对角线AC、BD相交于点E，AC⊥BC，垂足为点C，且BC2＝CE•CA．（1）求证：AD＝DE；（2）过点D作AC的垂线，交AC于点F，求证：CE2＝AE•AF．【考点】相似三角形的判定与性质；直角梯形．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】（1）根据相似三角形的判定定理得到△BCE∽△ACB，根据相似三角形的性质得到∠CBE＝∠CAB，根据等角的余角相等得到∠BEC＝∠DAE，根据等腰三角形的判定定理证明；（2）根据平行线分线段成比例定理得到，，得到，整理得到CE2＝AE•EF，根据等腰三角形的三线合一得到AF＝EF，证明结论．【解答】证明：（1）∵BC2＝CE•CA，∴，又∠ECB＝∠BCA，∴△BCE∽△ACB，∴∠CBE＝∠CAB，∵AC⊥BC，∠DAB＝90°，∴∠BEC+∠CBE＝90°，∠DAE+∠CAB＝90°，∴∠BEC＝∠DAE，∵∠BEC＝∠DEA，∴∠DAE＝∠DEA，∴AD＝DE；（2）∵DF⊥AC，AC⊥BC，∴∠DFE＝∠BCA＝90°，∴DF∥BC，∴，∵DC∥AB，∴，∴，∴CE2＝AE•EF，∵AD＝DE，DF⊥AC，∴AF＝EF，∴CE2＝AE•AF．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、直角梯形的概念，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．4．（2020•静安区二模）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA至点E，使得AE＝AB，联结DE、AC．点F在线段DE上，联结BF，分别交AC、AD于点G、H．（1）求证：BG＝GF；（2）如果AC＝2AB，点F是DE的中点，求证：AH2＝GH•BH．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；图形的相似；推理能力．【分析】（1）由平行四边形的性质可得AB＝CD＝AE，AB∥CD，可证四边形ACDE是平行四边形，可得，可得结论；（2）由“SAS”可证△BEF≌△DEA，可得∠EBF＝∠EDA，通过证明△AHG∽△BHA，可得结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵AB＝AE，∴AE＝CD，∴四边形ACDE是平行四边形，∴AC∥DE，∴，∴BG＝GF；（2）∵AB＝AE，∴BE＝2AE，∵AC＝2AB，∴BE＝AC，∵四边形ACDE是平行四边形，∴AC＝DE，∴DE＝BE，∵点F是DE的中点，∴DE＝2EF，∴AE＝EF，∵DE＝BE，∠E＝∠E，AE＝EF，∴△BEF≌△DEA（SAS），∴∠EBF＝∠EDA，∵AC∥DE，∴∠GAH＝∠EDA．∴∠EBF＝∠GAH．∵∠AHG＝∠BHA，∴△AHG∽△BHA，∴．∴AH2＝GH•BH．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．5．（2020•浦东新区二模）已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，过点E作AC的垂线交边BC于点F，与AB的延长线交于点M，且AB•AM＝AE•AC．求证：（1）四边形ABCD是矩形；（2）DE2＝EF•EM．【考点】相似三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；矩形的判定与性质．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】（1）根据相似三角形的性质与判定可知∠AME＝∠ACB，从而可得∠ACB+∠BAC ＝90°，所以▱ABCD是矩形．（2）由（1）可知：DE＝EC，AE＝EC，易证∠CME＝∠AME＝∠ECB，所以△CEF∽△MEC，所以，从而得证．【解答】解：（1）∵AB•AM＝AE•AC，∴＝，∵∠CAB＝∠CAB，∴△ACB∽△AME，∴∠AME＝∠ACB，由于∠AME+∠BAC＝90°，则∠ACB+∠BAC＝90°，∴▱ABCD是矩形．（2）由（1）可知：DE＝EC，AE＝EC，∵ME⊥AC，∴ME平分∠AMC，∴∠CME＝∠AME＝∠ECB，∵∠MEC＝∠FEC＝90°，∴△CEF∽△MEC，∴，∴EC2＝EF•EM，即DE2＝EF•EM．【点评】本题考查相似三角形的综合问题，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，以及矩形的性质与判定，本题综合程度较高．6．（2020•松江区二模）如图，已知AB、AC是⊙O的两条弦，且AO平分∠BAC．点M、N 分别在弦AB、AC上，满足AM＝CN．（1）求证：AB＝AC；（2）联结OM、ON、MN，求证：＝．【考点】相似三角形的判定与性质；圆周角定理．【专题】证明题；数形结合；图形的全等；圆的有关概念及性质；图形的相似；推理能力．【分析】（1）过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，则根据垂径定理可得答案；（2）联结OB，OM，ON，MN，先判定△BOM≌△AON（SAS），再证明△NOM∽△BOA，然后根据相似三角形的性质可得答案．【解答】证明：（1）过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，如图所示：∵AO平分∠BAC．∴OD＝OE，∴AB＝AC；（2）联结OB，OM，ON，MN，如图所示，∵AM＝CN，AB＝AC∴BM＝AN，∵OA＝OB，∴∠B＝∠BAO，∵∠BAO＝∠OAN，∴∠B＝∠OAN，∴△BOM≌△AON（SAS），∴∠BOM＝∠AON，OM＝ON，∴∠AOB＝∠MON，∴△NOM∽△BOA，∴．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及圆的有关性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．7．（2020•崇明区二模）如图，已知四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH ⊥AB，垂足为点H，交AC于E，联结HO并延长交CD于点G，（1）求证：∠DHO＝∠BCD；（2）求证：HG•AE＝2DE•CG．【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质．【分析】（1）先判断出OB＝OD，进而判断出OH＝OD，得出∠DHO＝∠BDH，再用等角的余角相等判断出∠DHO＝∠BAO，即可得出结论；（2）先判断出∠ADH＝∠COG，进而判断出△ADE∽△COG，得出AE•OG＝DE•CG，再判断出△AOH≌△COG，得出OG＝HG，即可得出结论．【解答】证明：（1）∵AC是菱形ABCD的对角线，∴∠BCD＝∠BAD＝2∠BAO，∵点O是菱形ABCD的两条对角线的交点，∴OB＝OD，∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∴OH＝OD，∴∠DHO＝∠BDH，在Rt△BHD中，∠BDH+∠ABO＝90°，∵∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠BDH＝∠BAO，∴∠DHO＝∠BAO，∴∠BCD＝2∠DHO，∴∠DHO＝∠BCD；（2）由（1）知，∠DHO＝∠BAO，∵AC是菱形ABCD的对角线，∴OA＝OC，∠DAO＝∠BAO，∴∠DHO＝∠DAO，∵∠AED＝∠HEO，∴∠AOH＝∠ADE，∵∠AOH＝∠COG，∴∠ADH＝∠COG，∵∠DAE＝∠OCG，∴△ADE∽△COG，∴，∴AE•OG＝DE•CG，在△AOH和△COG中，，∴△AOH≌△COG（SAS），∴OH＝OG，∴OG＝HG，∴AE•HG＝DE•CG，∴HG•AE＝2DE•CG．【点评】此题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，同角的余角相等，判断出∠DHO＝∠BAO是解本题的关键．8．（2020•闵行区二模）如图，已知在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE＝AB，点F为CE的中点，点G在线段CD上，联结DF，交AG于点M，交EG于点N，且∠DFC＝∠EGC．（1）求证：CG＝DG；（2）求证：CG2＝GM•AG．【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；梯形．【专题】三角形；梯形；推理能力；应用意识．【分析】（1）根据已知，找到∠AEB＝∠EFC．∠EDC＝∠DEC．即可利用AAS证明全等．（2）根据AB2＝BG•BD结合∠ABG＝∠DBA．即可得到：△ABD∽△GBA．利用对应角相等，即可证明△AEB∽△BDC．再利用对应边成比例，即可求证．【解答】证明：方法一：（1）在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD．∴∠B＝∠C．∠ADE＝∠DEC．∵DE平分∠ADC．∴∠ADE＝∠EDC．∴∠EDC＝∠DEC．∴EC＝CD．∴AB＝EC．∵AE⊥BC、EF⊥CD．∴∠AEB＝∠EFC．在ABE与△ECF中，．∴△ABE≌△ECF（AAS）．方法二：∵DE平分∠ADC．AE⊥BC、EF⊥CD．∴AE＝EF．∵AE⊥BC、EF⊥CD．∴∠AEB＝∠EFC．∵AD∥BC，AB＝CD．∴∠B＝∠C．在ABE与△ECF中，．∴△ABE≌△ECF（AAS）．（2）联接BD，BD与AE交于点G，如图：∵AB2＝BG•BD．∴．∵∠ABG＝∠DBA．∴△ABD∽△GBA．∴∠ADB＝∠GAB．∵AD∥BC．∴∠ADB＝∠DBC．∴∠BAG＝∠DBC．∴△AEB∽△BDC．∴．∴AB•DC＝BC•EB．∴EC2＝BE•BC．【点评】本题考查三角形全等判断和性质，三角形相似判断和性质．关键在于掌握三角形的判定定理在本题中的应用．属于拔高题．9．（2020•嘉定区二模）已知：△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是边BC的中点，点E在边AB上（点E不与点A、B重合），点F在边AC上，联结DE、DF．（1）如图1，当∠EDF＝90°时，求证：BE＝AF；（2）如图2，当∠EDF＝45°时，求证：．【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力．【分析】（1）连接AD，证△BDE≌△ADF（ASA），即可得出结论；（2）证明△BDE∽△CFD．得出，得出，由BD＝CD，即可得出结论．【解答】证明：（1）连接AD，如图1所示：在Rt△ABC中，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∵点D是边BC的中点，∴AD＝BC＝BD，AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝45°，∴∠B＝∠CAD，∵∠EDF＝90°，∴∠ADF+∠ADE＝90°∵∠BDE+∠ADE＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF；（2）∵∠BDF＝∠BDE+∠EDF，∠BDF＝∠C+∠CFD，∴∠BDE+∠EDF＝∠C+∠CFD．又∵∠C＝∠EDF＝45°，∴∠BDE＝∠CFD，∴△BDE∽△CFD．∴，∴，又∵BD＝CD，∴．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．专题二四边形的证明【历年真题】1．（2020•杨浦区二模）如图，已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M 在线段OD上，联结AM并延长交边DC于点E，点N在线段OC上，且ON＝OM，联结DN与线段AE交于点H，联结EN、MN．（1）如果EN∥BD，求证：四边形DMNE是菱形；（2）如果EN⊥DC，求证：AN2＝NC•AC．【考点】菱形的判定与性质；正方形的性质；平行线分线段成比例．【专题】矩形菱形正方形；应用意识．【分析】（1）由四边形ABCD是正方形，推出，所以MN∥CD，再根据EN∥BD，推出四边形DMNE是平行四边形，再证明△AOM≌△DON，推出∠OMA＝∠OND，由∠OAM+∠OMA＝90°，∠OAM+∠OND＝90°得出∠AHN＝90°，即DN⊥ME，所以四边形DMNE是菱形；（2）由MN∥CD，推出，由四边形ABCD是正方形，推出AB∥DC，AB＝DC，∠ADC＝90°，即AD⊥DC，根据EN⊥DC，得出EN∥AD，所以，根据AB∥DC，推出，所以，最后得出结论．【解答】证明：（1）如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD，∵ON＝OM，∴，∴MN∥CD，又∵EN∥BD，∴四边形DMNE是平行四边形，在△AOM和△DON中，∵∠AOM＝∠DON＝90°，OA＝OD，OM＝ON，∴△AOM≌△DON（SAS），∴∠OMA＝∠OND，∵∠OAM+∠OMA＝90°，∴∠OAM+∠OND＝90°∴∠AHN＝90°．∴DN⊥ME，∴平行四边形DMNE是菱形；（2）如图2，∵MN∥CD，∴，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC，AB＝DC，∠ADC＝90°，∴AD⊥DC，又∵EN⊥DC，∴EN∥AD，∴，∵AB∥DC，∴，∴，∴AN2＝NC•AC．【点评】本题考查了正方形与菱形，熟练运用正方形和菱形的性质是解题的关键．2．（2020•虹口区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上，联结AD，以AD 为一边作△ADE，满足AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，联结EC．（1）求证：CA平分∠DCE；（2）如果AB2＝BD•BC，求证：四边形ABDE是平行四边形．【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠ACB，证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质得到∠B＝∠ACE，根据角平分线的定义证明结论；（2）根据相似三角形的判定定理得到△ABD∽△CBA，得到∠BAD＝∠ACB，分别证明AE ∥BD，AB∥DE，根据平行四边形的判定定理证明．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠DAE＝∠BAC，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE，∴∠ACB＝∠ACE，∴CA平分∠DCE；（2）证明：∵AB2＝BD•BC，∴＝，又∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBA，∴∠BAD＝∠ACB，∵△ABD≌△ACE，∴∠BAD＝∠CAE，∴∠CAE＝∠ACB，∴AE∥BD，∵AB＝AC，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，∴∠ACB＝∠ADE，∴∠BAD＝∠ADE，∴AB∥DE，∵AE∥BD，AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定，掌握等腰三角形的性质、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．3．（2020•徐汇区二模）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，BE＝DG，BF＝DH．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）当AB＝BC，且BE＝BF时，求证：四边形EFGH是矩形．【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；矩形菱形正方形；推理能力．【分析】（1）利用全等三角形的性质可得EF＝HG，EH＝FG，可得结论；（2）由等腰三角形的性质可得∠BEF＝∠BFE＝，∠AEH＝∠AHE＝，可求∠FEH＝90°，可得结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D，∠A＝∠C，∵BE＝DG，BF＝DH，且∠B＝∠D，∴△BEF≌△DGH（SAS），∴EF＝HG，同理可得EH＝FG，∴四边形EFGH是平行四边形；（2）∵AB＝BC，BE＝BF∴AB＝BC＝CD＝AD，BE＝BF＝DH＝DG，∴AE＝AH，∵AD∥BC，∴∠B+∠A＝180°，∵BE＝BF，AE＝AH，∴∠BEF＝∠BFE＝，∠AEH＝∠AHE＝，∴∠AEH+∠BEF＝90°，∴∠FEH＝90°，∴平行四边形EFGH是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理证明是本题的关键．专题三边与角的证明【历年真题】1．（2020•金山区二模）如图，已知C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作正方形ACDE和正方形CBGF，点F在CD上，联结AF、BD，BD与FG交于点M，点N是边AC上的一点，联结EN交AF与点H．（1）求证：AF＝BD；（2）如果＝，求证：AF⊥EN．【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】图形的全等；矩形菱形正方形；图形的相似；推理能力．【分析】（1）依题意易证△AFC≌△DBC，从而求出AF＝BD；（2）由△AFC≌△DBC可得∠CAF＝∠CDB，从而证得△BGM∽△ACF，根据相似三角形的性质和已知＝，求得AN＝CF，即可证得△AEN≌△CAF，得到∠ENA＝∠AFC，从而证得∠F AC+∠ENA＝90°，即∠AHN＝90°，即可证得结论．【解答】解：（1）∵四边形ACDE和四边形BCFG都为正方形，∴AC＝DC，∠ACD＝∠BCD＝90°，BC＝CF，在△AFC和△DBC中，，∴△AFC≌△DBC（SAS）．∴AF＝BD．（2）∵△AFC≌△DBC，∴∠CAF＝∠CDB，∵CD∥BG，∴∠CDB＝∠MBG，∴∠CAF＝∠MBG，∵∠ACF＝∠BGM＝90°，∴△BGM∽△ACF，∴，∵BG＝GF＝FC，∴＝，∵＝，∴AN＝FC，在△AEN和△CAF中，∴△AEN≌△CAF（SAS），∴∠ENA＝∠AFC，∵∠F AC+∠AFC＝90°，∴∠F AC+∠ENA＝90°，∴∠AHN＝90°，∴AF⊥EN．【点评】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．2．（2020•宝山区二模）如图，E、F分别是正方形ABCD的边DC、CB的中点，以AE为边作正方形AEHG，HE与BC交于点Q，联结AQ、DF．（1）求证：AE⊥DF；（2）设S△CEQ＝S1，S△AED＝S2，S△EAQ＝S3，求证：S1+S2＝S3．【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】图形的全等；图形的相似；推理能力．【分析】（1）由正方形的性质得出AD＝DC，∠ADE＝∠DCF＝90°，再由SAS即可证出△ADE≌△DCF，然后根据全等三角形的性质和垂直的定义即可得到结论；（2）先证明△AEQ∽△ECQ，得出△AEQ∽△ECQ∽△ADE，得出面积比等于相似比的平方，再由勾股定理即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADE＝∠DCF＝90°，在△ADE和△DCF中，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴∠EAD＝∠CDF，∵∠AED+∠CDF＝90°，∴∠AED+∠EAD＝90°，∴AE⊥DF；（2）证明：∵E是CD的中点，∴CE＝DE＝DC＝AD，∵四边形AEHG是正方形，∴∠AEH＝90°，∴∠AED+∠CEQ＝90°，∵∠AED+∠DAE＝90°，∴∠DAE＝∠CEQ，∵∠ADE＝∠DCF，∴△ADE∽△ECQ，∴＝，∵DE＝CE，∴＝，∵∠C＝∠AEQ＝90°，∴△AEQ∽△ECQ，∴△AEQ∽△ECQ∽△ADE，∴＝（）2，＝（）2，∴+＝（）2+（）2＝，∵EQ2+AE2＝AQ2，∴+＝1，∴S1+S2＝S3．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，需要多次证明三角形相似才能得出结论．3．（2020•黄浦区二模）已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）当OA＝4，AB＝6，求边BC的长．【考点】三角形的外接圆与外心；等腰三角形的判定与性质．【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质．【分析】（1）连接OB、OC，先证明∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，再证明△OAB≌△OAC得AB＝AC，问题得证；（2）延长AO交BC于点H，先证明AH⊥BC，BH＝CH，设OH＝b，BH＝CH＝a，根据OA＝4，AB＝6，由勾股定理列出a、b的方程组，解得a、b，便可得BC．【解答】解：（1）连接OB、OC，∵OA＝OB＝OC，OA平分∠BAC，∴∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，在△OAB和△OAC中，，∴△OAB≌△OAC（AAS），∴AB＝AC即△ABC是等腰三角形；（2）延长AO交BC于点H，∵AH平分∠BAC，AB＝AC，∴AH⊥BC，BH＝CH，设OH＝b，BH＝CH＝a，∵BH2+OH2＝OB2，BH2+AH2＝AB2，OA＝4，AB＝6，∴，解得，，∴BC＝2a＝3．【点评】本题是圆的一个综合题，主要考查了圆的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，第（1）关键在证明三角形全等；第（2）题关键由勾股定理列出方程组．4．（2020•青浦区二模）如图，在平行四边形ABCD中，BE、DF分别是平行四边形的两个外角的平分线，∠EAF＝∠BAD，边AE、AF分别交两条角平分线于点E、F．（1）求证：△ABE∽△FDA；（2）连接BD、EF，如果DF2＝AD•AB，求证：BD＝EF．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】多边形与平行四边形；图形的相似；推理能力．【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠HDF＝∠HDC．根据平行四边形的性质得到AB ∥CD．求得∠BAD＝∠CDH．等量代换得到∠BAE＝∠F，同理∠DAF＝∠E，于是得到结论；（2）作AP平分∠DAB交CD于点P，由角平分线的定义得到∠DAP＝∠BAD，求得∠HDF＝∠DAP，推出DF∥AP，同理BE∥AP，根据相似三角形的性质得到BE＝DF，根据平行四边形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵∠EAF＝∠BAD，∴∠DAF+∠BAE＝∠BAD，∵DF平分∠HDC，∴∠HDF＝∠HDC，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BAD＝∠CDH，∴∠HDF＝∠EAF，∴∠HDF＝∠DAF+∠BAE，又∵∠HDF＝∠DAF+∠F，∴∠BAE＝∠F，同理：∠DAF＝∠E，∴△ABE∽△FDA；（2）作AP平分∠DAB交CD于点P，∴∠DAP ＝∠BAD，∵∠HDF ＝∠CDH，且∠BAD＝∠CDH∴∠HDF＝∠DAP，∴DF∥AP，同理：BE∥AP，∴DF∥BE，∵△ABE∽△FDA ，∴，即BE•DF＝AD•AB，又∵DF2＝AD•AB，∴BE＝DF，∴四边形DFEB是平行四边形，∴BD＝EF．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键。

第1页共16页在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线c bx x y ++-=2经过点A(-3,0)、B(1,0)，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D.（1）求二次函数的解析式和顶点D 的坐标；（2）联结AC ，试判断△ACD 与△BOC 是否相似，并说明理由；（3）将抛物线平移，使新抛物线的顶点E 落在线段OC 上，新抛物线与原抛物线的对称轴交于点F ，联结EF ，如果四边形CEFD 的面积为3，求新抛物线的表达式.页如图，在直角坐标平面xOy中，直线5y x=-+分别与x轴、y 轴交于A、B两点，抛物线2y x bx c=++经过A、B两点，点D是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）抛物线与x轴的另一个交点为C，点7(,4M a-在抛物线对称轴左侧的图像上，将抛物线向上平移m个单位（0m>），使点M落在△ABC内，求m的取值范围；（3）对称轴与直线AB交于点E，P是线段AB上的一个动点（P不与E重合），过P作y 轴的平行线交原抛物线于点Q，当PE QD=时，求点Q的坐标．第2页共16页如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线32++-=bxxy与x 轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的表达式和对称轴；（2）联结AC、BC，D为x轴上方抛物线上一点（与点C不重合），如果△ABD的面与△ABC 的面积相等，求点D的坐标；（3）设点P（m，4）（m>0），点E在抛物线的对称轴上（点E在顶点上方），当∠APE=90°，且45=APEP时，求点E的坐标．第3页共16第4页共16页在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22(1)23y x m x m =-++-的顶点为A ，与y 轴相交于点B ，异于顶点A 的点C （2，n ）在该抛物线上．（1）如图1，点B 的坐标为（0，1）．①求点A 的坐标和n 的值；②将抛物线向上平移后的新抛物线与x 轴的一个交点为D ，顶点A 移至点A 1，如果四边形DCAA 1为平行四边形，求平移后新抛物线的表达式；（2）直线AC 与y 轴相交于点E ，如果BC ∥AO 且点B 在线段OE 上，求m的值．页如图，在平面直角坐标系xOy中，直线4y x=--与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线2y x bx c=++经过点A、B．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线与x轴的另一个交点为C，点P是△ABC的外接圆的圆心，求点P坐标；（3）点D坐标是(0，4)，点M、N在抛物线上，且四边形MBND是平行四边形，求线段MN的长．第5页共16页如图，在直角坐标平面xOy中，点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的正半轴上，OCAB∥，抛物线)0(422≠--=aaxaxy经过CBA、、三点．（1）求点BA、的坐标；（2）联结BCOBAC、、，当OBAC⊥时，①求抛物线表达式；②在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得ABCP ACSS△△4=？如果存在，求出所有符合条件的点P坐标；如果不存在，请说明理由．第6页共16第7页共16页在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线c bx x y ++=221经过点()0,2-A 和点()8,6B ，直线AB 与y 轴交于点C ，与抛物线的对称轴直线l 交于点D ．（1）求抛物线的表达式及对称轴；（2）如果该抛物线平移后经过点C ，其顶点P 在原抛物线上，且点P 在直线l 的右侧，求点P 的坐标；（3）点E 在直线l 上，若31tan =∠ABE ，求点E的坐标．页如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线24y ax x c=-+（a≠0）与x轴分别交于点A（1，0）、点B（3，0），与y轴交于点C，联结BC，点P在线段BC 上，设点P的横坐标为m．（1）求直线BC的表达式；（2）如果以P为顶点的新抛物线经过原点，且与x轴的另一个交点为D：①求新抛物线的表达式（用含m的式子表示），并写出m的取值范围；②过点P向x轴作垂线，交原抛物线于点E，当四边形AEDP是一个轴对称图形时，求新抛物线的表达式．第8页共16页在平面直角坐标系xOy中，抛物线2y x mx n=-++经过点A（3，0）、B（0，3），与x轴的负半轴交于点C．（1）求该抛物线的表达式及点C的坐标；（2）设点D在该抛物线上（位于对称轴右侧部分），联结CD．①如果CD与线段AB交于点E，且BE=2AE，求∠ACD的正切值；②如果CD与y轴交于点F，以CF为半径的⊙C，与以DB为半径的⊙D外切，求点D的坐标．第9页共16页如图，直线122y x=--与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线214y x bx c=++经过A、C两点，且与x轴的另一个交点为B，抛物线的顶点为P．（1）求抛物线的表达式；（2）如果抛物线的对称轴与直线BC交于点D，求tan∠ACD的值；（3）平移这条抛物线，平移后的抛物线交y轴于点E，顶点Q在原抛物线上．当四边形BPQE是平行四边形时，求平移后抛物线的表达式．第10页共16页在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线22y ax x c=-+(0)a≠与x轴交于点A(1,0)-和B(3,0)，与y轴交于点C．抛物线的顶点为点D．（1）求抛物线的表达式，并写出点D的坐标；（2）将直线BC绕点B顺时针旋转，交y轴于点E．此时旋转角EBC∠等于ABD∠．①求点E的坐标；②二次函数2221y x bx b=++-的图像始终有一部分落在△ECB的内部，求实数b的取值范围．第11页共16页如图，抛物线214y x bx c=-++经过点B(6，0)和C(0，3)，与x 轴的另一个交点为点A．（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；（2）将该抛物线向右平移m个单位（m>0），点C移到点D，点A移到点E，若∠DEC90=，求m的值；（3）在（2）的条件下，设新抛物线的顶点为G，新抛物线在对称轴右侧的部分与x轴交于点F,求点C到直线GF的距离．第12页共16页在平面直角坐标系xOy中（如图），已知直线+2y x=-与y轴交于点A，抛物线()()210y x t t=-->的顶点为B.（1）若抛物线经过点A，求抛物线解析式；（2）将线段OB绕点B顺时针旋转90 ，点O落在点C处，如果点C在抛物线上，求点C 的坐标；（3）设抛物线的对称轴与直线+2y x=-交于点D，且点D位于x轴上方，如果45BOD︒∠=，求t的值.第13页共16页如图，已知抛物线cbxxy++=2经过点(2,7)A-，与x轴交于点B、(5,0)C.（1）求抛物线的顶点M的坐标；（2）点E在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCE沿直线BE翻折，如果点C的对应点F恰好落在抛物线的对称轴上，求点E的坐标；（3）点P在抛物线的对称轴上，点Q是抛物线上位于第四象限内的点，当△CPQ为等边三角形时，求直线BQ的表达式.第14页共16页已知抛物线C1：2y ax b=+与x轴相交于点A（2-，0）和点B，与y轴交于点C（0，2）.（1）求抛物线C1的表达式；（2）把抛物线C1沿射线CA方向平移得到抛物线C2，此时点A、C分别平移到点D、E 处，且都在直线AC上，设点F在抛物线C1上，如果△DEF是以EF为底的等腰直角三角形，求点F的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，设点M为线段BC上的一点，EN⊥EM，交直线BF于点N，求tan ENMÐ的值.第15页共16页已知抛物线622++=xaxy与x轴交于点A、点B（点A在点B的左侧，点B在原点O右侧），与y轴交于点C，且OCOB=.（1）求抛物线的表达式.（2）如图1，点D是抛物线上一点，直线BD恰好平分ABC∆的面积，求点D的坐标；（3）如图2，点E坐标为)2,0(-，在抛物线上存在点P，满足OBEOBP∠=∠2，请直接写出直线BP的表达式.第16页共161在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线c bx x y ++-=2经过点A(-3,0)、B(1,0)，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D.（1）求二次函数的解析式和顶点D 的坐标；（2）联结AC ，试判断△ACD 与△BOC 是否相似，并说明理由；（3）将抛物线平移，使新抛物线的顶点E 落在线段OC 上，新抛物线与原抛物线的对称轴交于点F ，联结EF ，如果四边形CEFD 的面积为3，求新抛物线的表达式.（1）∵抛物线c bx x y ++-=2过点A （-3，0）、B （1，0），∴⎩⎨⎧=+-=-.1,93c b c b 解方程组得b=-2，c=3...........................2分∴抛物线表达式是322+--=x x y ................................1分可得抛物线的顶点D 的坐标为（-1，4）............................1分（2）由322+--=x x y 得点C 的坐标是（0，3），∴OC=3.由A （-3，0）、B （1，0），D （-1，4），得AC=23，OB=1，AD=52，CD=2，∴CD ²+AC ²=20，AD ²=20，∴CD ²+AC ²=AD ²，∴∠ACD=90°，.......................................................1分∴∠ACD=∠BOC........................................................1分∵31232==ACCD，31=OCOB，∴ACCDOCOB=，∴ACOCCDOB=，...........................................1分∴△ACD∽△BOC.......................................................1分（3）原抛物线的对称轴是直线x=-1，..........................................1分设新抛物线的表达式为y=-x²+k，∴它的顶点E的坐标是（0，k）（0≤k≤3）................................1分∴点F的坐标是（-1，k-1），............................................1分∴EC=3-k，DF=4-k+1=5-k∵CE∥DF，∴四边形DCEF是梯形，∴S梯形DCEF=31)53(21=⨯-+-⨯kk，解得k=1，所以新抛物线的表达式是y=-x²+1 (1)分如图，在直角坐标平面xOy中，直线5y x=-+分别与x轴、y 轴交于A、B两点，抛物线2y x bx c=++经过A、B两点，点D是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）抛物线与x轴的另一个交点为C，点7(,4M a-在抛物线对称轴左侧的图像上，将抛物线向上平移m个单位（0m>），使点M落在△ABC内，求m的取值范围；（3）对称轴与直线AB交于点E，P是线段AB上的一个动点（P不与E重合），过P作y 轴的平行线交原抛物线于点Q，当PE QD=时，求点Q的坐标．23（1）由题意得A （5，0）B （0，5）................................................(1分）把A （5，0）B （0，5）代入2y x bx c=++255+c 0655b b c c +==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩解得：................................................(2分）∴265y x x =-+∴D （3，-4）................................................(1分）（2）过M 作y 轴的平行线交直线AB 于点H 把7(,4M a -代入265y x x =-+得：27654a a -+=-解得：1239,22a a ==∵点7(,)4M a -在抛物线对称轴左侧的图像上∴32a =，37(,24M -................................................(1分）把32x =代入5y x =-+得：72y =∴37(,)22H ................................................(1分）∴214MH =................................................(1分）4∵点M 落在△ABC 内，∴72144m <<．................................................(1分）（3）设(,5)P x x -+2(,65)Q x x x -+由题意可得PQ ∥ED ，∵PE QD =．∴四边形PEDQ 为平行四边形或等腰梯形．①当PE ∥DQ 时，四边形PQDE 为平行四边形，此时P 在对称轴左侧，则PQ=DE由题意(3,2)E ，6ED =则：225655PQ x x x x x =-+-+-=-+................................................(1分）∴256x x -+=解得：122,3x x ==（舍）∴(2,3)Q -................................................(1分）②当PE 与DQ 不平行时，四边形PQDE 为等腰梯形，此时P 在对称轴右侧，∵PQ ∥ED ，PE=DQ ∴∠AED=∠QDE由题意可得：∠OBA=∠AED=∠QDE=45°；作QN ⊥DE,垂足为N ，可得△QND 是等腰直角三角形，则QN=DN=3x -；2(3,65)N x x -+2365(4)x x x -=-+--.............................................(1分)解得：124,3x x ==（舍）∴(4,3)Q -................................................(1分）5如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线32++-=bxxy与x 轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的表达式和对称轴；（2）联结AC、BC，D为x轴上方抛物线上一点（与点C不重合），如果△ABD的面与△ABC的面积相等，求点D的坐标；（3）设点P（m，4）（m>0），点E在抛物线的对称轴上（点E在顶点上方），当∠APE=90°，且45=APEP时，求点E的坐标．（1）∵抛物线32++-=bxxy与x轴交于点A（1，0），∴代入得130b-++=，解得2b=-．（2分）∴抛物线的表达式是322+--=xxy．该抛物线的对称轴是直线x=-1．（2分）（2）∵抛物线322+--=xxy与y轴交于点C，∴C（0，3）．（1分）∵△ABD的面积与△ABC的面积相等，∴点C到x轴的距离等于点D到x轴的距离．∴点C与点D关于抛物线的对称轴对称．（2分）∵点D在x轴上方的抛物线上，∴点D的坐标（-2，3）．（1分）6（3）过点P 作对称轴的垂线，垂足为点H ，作x 轴的垂线，垂足为点G ．∵∠APE=∠GPH=90°，∴∠EPH=∠APG ．∵∠EHP=∠AGP=90°，∴△EHP ∽△AGP ．（1分）∴EP EH PHAP AG PG==．∵45=AP EP ，GP=4，∴5PH =．（1分）∵点A 到对称轴的距离是2，∴3AG =．∴154EH =，∴E 的纵坐标是314．（1分）∴点E 的坐标（-1，431）．（1分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22(1)23y x m x m =-++-的顶点为A ，与y 轴相交于点B ，异于顶点A 的点C （2，n ）在该抛物线上．（1）如图1，点B 的坐标为（0，1）．①求点A 的坐标和n 的值；②将抛物线向上平移后的新抛物线与x 轴的一个交点为D ，顶点A 移至点A 1，如果四边形DCAA 1为平行四边形，求平移后新抛物线的表达式；（2）直线AC 与y 轴相交于点E ，如果BC ∥AO 且点B 在线段OE 上，求m 的值．（1）①根据题意，可得123m =-，解得m =2.7∴抛物线的表达式是261y x x =-+.…………………………………………（2分）∵2(3)8y x =--∴点A （3，-8）…………………………………………（1分）把点C （2，n ）代入，得n =-7………………………………………………（1分）②点C （2，-7）由题意可得，DC ∥AA 1，A A ’⊥x 轴∴DC ⊥x 轴∴DC =7………………………………………………………（2分）∵四边形DCAA ’是平行四边形，∴AA 1=DC =7即抛物线向上平移7个单位…………………………………………（1分）∴平移后的新抛物线的表达式2(3)1y x =--……………………………………（1分）（2）由题意可得C （2，-2m -3）点B （0，2m -3）∵2222(1)23(1)4y x m x m x m m =-++-=----∴点A 2(+1,4)m m --………………………………………………………………（1分）可得l BC ：2+23y mx m =--，l OA ：241m y xm --=+∵BC ∥AO ∴2421m m m ---=+解得1m =-±（2分）可得l AC ：(1)5y m x =---∴点E （0，-5）∵点B 在线段OE 上∴1m =-+1分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线4y x =--与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，抛物线2y x bx c =++经过点A 、B ．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线与x 轴的另一个交点为C ，点P 是△ABC 的外接圆的圆心，求点P 坐标；（3）点D 坐标是(0，4)，点M 、N 在抛物线上，且四边形MBND 是平行四边形，求线段MN 的长．8（1）点B 坐标是(0,4)-；…………………………………………………(1分）把0y =，代入4y x =--，得4x =-，∴点A 坐标是(4,0)-．……………(1分）将点A 、B 坐标代入2y x bx c =++，得24;0(4)(4).c b c =-⎧⎨=-+-+⎩解得3; 4. b c =⎧⎨=-⎩………………………………(1分）∴抛物线的表达式是234y x x =+-．……………………………………(1分）（2）∵点P 是△ABC 的外接圆的圆心，∴点P 在AC 的垂直平分线上，即抛物线的对称轴上，∴点P 的横坐标是32-．……………………………………………………(2分）设点P 坐标为3(,)2a -，∵PB=PA．解得32a =-．……(1分）∴点P 的坐标是33(,)22--．…………………………………………………(1分）（3）∵点O 是BD 中点，即O 是平行四边形MBND 对角线交点，又∵四边形MBND 是平行四边形，∴点M ，N 关于原点O 对称，………………(1分）不妨设点M 的横坐标为m (0m ≥)，9则点M 坐标是（m ，234m m +-），点N 坐标是（m -，234m m --+），把点（m -，234m m --+）坐标代入234y x x =+-，得223434m m m m --+=--．解得2m =．（负值已舍）……………………………………………(1分）∴点M 坐标是(2, 6)，点N 坐标是(2, 6)--，……………………………………(1分）∴MN =．…………………………………………(1分）如图，在直角坐标平面xOy 中，点A 在y 轴的负半轴上，点C 在x 轴的正半轴上，OC AB ∥，抛物线)0(422≠--=a ax ax y 经过C B A 、、三点．（1）求点B A 、的坐标；（2）联结BC OB AC 、、，当OB AC ⊥时，①求抛物线表达式；②在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得ABC P AC S S △△4=？如果存在，求出所有符合条件的点P坐标；如果不存在，请说明理由．（1）∵抛物线)0(422≠--=a ax ax y 经过C B A 、、三点，且点A 在y 轴的负半轴上，∴)4,0(-A ．……………………………………………………（1分）由抛物线表达式可知：对称轴为直线1=x ．……………………………（1分）10∵OC AB ∥，点C 在x 轴的正半轴上，∴点B A 、关于直线1=x 对称．∴)4,2(-B ．…………………………………………………………（2分）（2）①∵OB AC ⊥，∴︒=∠+∠90OAH AOH ．∵OC AB ∥，∴︒=∠=∠90COA BAO ．∴︒=∠+∠90ABO AOB ．∴ABO OAH ∠=∠．………………………………………（1分）∵Rt △AOB 中，AB OA ABO =∠tan ；Rt △AOC 中，OAOCOAC =∠tan ，∴OAOCAB OA =.…………………………………………………………（1分）∵)4,0(-A ，)4,2(-B ，∴2,4==AB OA .∴424OC =，即8=OC ，∴)0,8(C .………………………………………（1分）把)0,8(C 代入)0(422≠--=a ax ax y ，可得121=a .∴抛物线表达式为4611212--=x x y .……………………………………（1分）②存在.如图，过点C 作AB CM ⊥，垂足为点M .∵OC AB ∥，∴4==OA CM .∴421=⋅=CM AB S ABC △.…………………（1分）∵ABC P AC S S △△4=，∴16=P AC S △.∵)4,0(-A ，)0,8(C ，∴可求得直线AC 的解析式为421-=x y .设直线AC 与直线1=x 的交点为点N ，则)27,1(-N .……（1分）设),1(y P ，（Ⅰ）当点P 在点N 上方时，271+=y N P .∵PCN P AN P AC S S S △△△+=，∴16)(21=+⋅QM AQ PN ，11即168)27(21=⨯+y ，得21=y .∴)21,1(1P .………………………（1分）（Ⅱ）当点P 在点N 下方时，y N P --=272.同理可得215-=y .∴215,1(2-P .………………………（1分）综上所述，)21,1(1P ，)215,1(2-P.在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线c bx x y ++=221经过点()0,2-A 和点()8,6B ，直线AB 与y 轴交于点C ，与抛物线的对称轴直线l 交于点D ．（1）求抛物线的表达式及对称轴；（2）如果该抛物线平移后经过点C ，其顶点P 在原抛物线上，且点P 在直线l 的右侧，求点P 的坐标；（3）点E 在直线l 上，若31tan =∠ABE ，求点E的坐标．（1）将点()0,2-A 和点()8,6B 代入c bx x y ++=221得方程组⎩⎨⎧=++=+-8618022c b c b (1分)解得⎩⎨⎧-=-=41c b (1分)所以4212--=x x y (1分)其对称轴为直线1=x (1分)12（2）设平移后抛物线的表达式为n mx x y ++=221(1分)∵()0,2-A 和点()8,6B ∴直线AB 的表达式为2+=x y 与y 轴交于点C （0，2）(1分)因为平移后的抛物线经过点C ，所以代入可得n=2此时求得平移后的抛物线顶点P （m -，2212+-m ）(1分)因为点P 在原抛物线上，所以代入原抛物线表达式中得42122122-+=+-m m m 解得：31-=m ，22=m ∵点P 在对称轴1=x 的右侧，所以3-=m ∴P （3，5.2-）(1分)（3）如图所示，作E1G ⊥AB ，垂足为G 设直线AB 与直线x=1交于F ，点F （1,3）∴25=FB (1分)由31tan 1=∠ABE ，∠E1GF=45°，可设E1G=t ，则FG=t ，BG=3t 则4t=25，解得245=t ∴251=F E ∴，（21111E (1分)同理可得），（212-E (2分)综上所述：，（21111E ，），（212-E.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24y ax x c =-+（a ≠0）与x 轴分别交于点A （1，0）、点B （3，0），与y 轴交于点C ，联结BC ，点P 在线段BC 上，设点P 的横坐标为m ．（1）求直线BC 的表达式；（2）如果以P 为顶点的新抛物线经过原点，且与x 轴的另一个交点为D ：①求新抛物线的表达式（用含m 的式子表示），并写出m的取值范围；②过点P向x轴作垂线，交原抛物线于点E，当四边形AEDP是一个轴对称图形时，求新抛物线的表达式．（1）把A(1，0)、B(3，0)分别代入24y ax x c=-+，得{040912a ca c=-+=-+，解得{13a c==．即C(0，3)．设直线BC的表达式为3y kx=+（0k≠），把点B(3，0)代入，得3y x=-+．（2）①∵点P在线段BC上，点P的横坐标为m，∴3P m m+（，-）．设新抛物线的表达式为2()3y a x m m'=--+（0a'≠），把点O（0,0）代入，得23mam-'=．∴新抛物的表达式为：223()3my x m mm-=--+，m的取值范围为03m＜＜；②∵点3P m m+（，-），即新抛物线的对称轴为直线x m=，∴点20D m（，），点243E m m m+（，-），当点D在点A左侧时，四边形AEDP为凹四边形，不合题意；1314当点D 在点A 右侧时：不存在等腰梯形AEDP ，即四边形AEDP 不可能为轴对称图形；若PE 垂直平分AD ，则1m m -=，方程无实数解，即四边形AEDP 不可能为轴对称图形；若AD 垂直平分PE ，则2433m m m -+=-+-（），得1223m m ==，（舍）∴新抛物的表达式为21(2)14y x =--+（或214y x x =-+）．综上所述，当四边形AEDP 是一个轴对称图形时，新抛物线的表达式为214y x x =-+．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x mx n =-++经过点A （3，0）、B （0，3），与x 轴的负半轴交于点C ．（1）求该抛物线的表达式及点C 的坐标；（2）设点D 在该抛物线上（位于对称轴右侧部分），联结CD ．①如果CD 与线段AB 交于点E ，且BE =2AE ，求∠ACD 的正切值；②如果CD 与y 轴交于点F ，以CF 为半径的⊙C ，与以DB 为半径的⊙D 外切，求点D 的坐标．解：（1）∵抛物线2y x mx n =-++经过A （3，0）、B （0，3）．∴9303m n n -++=⎧⎨=⎩，．15∴2m =，3n =，…………………………………………………………（1分）∴该抛物线的表达式为223y x x =-++．………………………………（1分）当y=0时，2230x x -++=，解得1213x x =-=，．………………………………（1分）∵点C 在x 轴的负半轴，∴C （-1，0）．…………………………………………（1分）∴该抛物线的表达式为223y x x =-++，C （-1，0）．（2）①过点E 作EH ∥OB 交OA 于点H ，∴∠CHE=∠COB=90°．∵EH ∥OB ，∴AE AH EHAB OA OB ==．………………………………………………（1分）∵BE=2AE ，∴13AE AB =．∴23AH EH OA OB ==．…………………………………………（1分）∵A （3，0）、B （0，3），∴OA=OB=3,∴AH=1，EH=1，………………………（1分）∴CH=3．在Rt △CEH 中，∠CHE=90°，1tan 3EH ACD CH ∠==．…………………（1分）∴∠ACD 的正切值是13．（3）设点D 的坐标为（x ，223x x -++），其中1x >．过点D 作DP ⊥y 轴，垂足为点P ．∵∠DPO=∠POC=90°，∴DP//x 轴，∴CO FODP FP=．∵⊙C 与⊙D 外切，∴CF BD CD +=，…………………（1分）又CF FD CD +=，∴BD=FD ．…………………（1分）又∵DP ⊥y 轴，∴BP=FP ．由DP=x ，CO=1，FP=22x x -，FO=232(2)x x --得2212432x x x x x-++=-，…………………（1分）整理得22350x x --=，解得52x =或1x =-，经检验，只有52x =符合题意．∴点D的坐标为（52，74）．…………………（1分）（其他解法参照酌情给分）如图，直线122y x=--与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线214y x bx c=++经过A、C两点，且与x轴的另一个交点为B，抛物线的顶点为P．（1）求抛物线的表达式；（2）如果抛物线的对称轴与直线BC交于点D，求tan∠ACD的值；（3）平移这条抛物线，平移后的抛物线交y轴于点E，顶点Q在原抛物线上．当四边形BPQE是平行四边形时，求平移后抛物线的表达式．解：（1）直线122y x=--，令0y=，得4x=-；令0x=，得2y=-．∴A（4-，0），C（0，2-）．………………………………1分∵抛物线214y x bx c=++经过A、C两点，∴4402b cc-+=⎧⎨=-⎩，．…………………1分，解得122bc⎧=⎪⎨⎪=-⎩，．……………………………1分∴抛物线的表达式为211242y x x=+-．…1分1617（2）∵211242y x x =+-，令0y =，得1242x x =-=，．∴B （2，0），对称轴是直线1x =-．…………1分∵C （0，2-），∴直线BC 表达式2y x =-．∴D 点坐标为（1-，3-）………………1分联结AD ．∵A （4-，0），C （0，2-），D （1-，3-），∴AD CD AC ===∴222AD CD AC +=，∠ADC=90°．…………1分∴Rt △ACD中，tan 3AD ACD CD ∠===．……1分（3）∵2211192(1)4244y x x x =+-=+-，∴P （1-，94-）．………………………………1分∵四边形BPQE 是平行四边形，又点E 在y 轴上，∴点B 向左平移2个单位到y 轴，对应的，点P 也向左平移2个单位，得点Q 的横坐标3-．∵点Q 在抛物线211242y x x =+-上，∴Q （3-，54-）．…………………………………………………………1分∵点P 向左平移2个单位后，再向上平移1个单位得点Q ，∴点B 向左平移2个单位后，再向上平移1个单位得E （0，1），∴经检验，点E 是平移后的抛物线与y 轴的交点，合题意．…………1分∴平移后的抛物线为215(3)44y x =+-．…………………………………1分（其他方法、比照给分）在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线22y ax x c =-+(0)a ≠与x 轴交于点A (1,0)-和B (3,0)，与y 轴交于点C ．抛物线的顶点为点D．18（1）求抛物线的表达式，并写出点D 的坐标；（2）将直线BC 绕点B 顺时针旋转，交y 轴于点E ．此时旋转角EBC ∠等于ABD ∠．①求点E 的坐标；②二次函数2221y x bx b =++-的图像始终有一部分落在△ECB 的内部，求实数b 的取值范围．解：由抛物线22y ax x c =-+与x 轴交于点A (1,0)-和B (3,0)，得20,960.a c a c ++=⎧⎨-+=⎩解得1a =，3c =-．所以，抛物线的表达式是223y x x =--，点D 的坐标为()1,4-．（2）①∵218BC =，22CD =，220BD =，得222BC CD BD +=.∴90BCD ∠= .所以1tan 3CBD ∠=.∵EBC ABD ∠=∠，∴EBA CBD ∠=∠.可得tan tan EBA CBD ∠=∠.在Rt △EOB 中，由13EO OB =，得1EO =.所以点E 的坐标为()0,1.19②由二次函数2221y x bx b =++-图像的开口向上，顶点坐标为(),1b --，可知顶点始终在直线1y =-上运动．当二次函数2221y x bx b =++-的图像经过点E 时，可得b =E ，所以b．当二次函数2221y x bx b =++-的图像经过点B 时，可得2b =-或4b =-．结合图像的左半支经过点B ，所以b 取4-．∴实数b 的取值范围为4-＜b．如图，抛物线214y x bx c =-++经过点B(6，0)和C(0，3)，与x轴的另一个交点为点A ．（1）求抛物线的解析式及点A 的坐标；（2）将该抛物线向右平移m 个单位（m>0），点C 移到点D ，点A 移到点E ，若∠DEC 90=，求m 的值；（3）在（2）的条件下，设新抛物线的顶点为G ，新抛物线在对称轴右侧的部分与x 轴交于点F,求点C 到直线GF的距离．解：（1）将B （6，0）、C （0，3）代入214y x bx c =-++，得9603b c c -++=⎧⎨=⎩解得：13b c =⎧⎨=⎩（2分）20所以，2134y x x =-++．（1分）当y=0时，x=6或x=－2．∴点A 的坐标为（－2，0）（1分）（2）由平移得AC//DE ，平移距离m=AE ．∴∠ACE=∠DEC=90°．（1分）∵∠ACO+∠OCE=90°，∠ACO+∠CAO=90°．∴∠CAO=∠OCE ∴tan ∠CAO=tan ∠OCE ．（1分）在Rt △ACO 中，3tan 2OC ACO OA ∠==；在Rt △ECO 中，tan 3OE OEOCE OC ∠==∴332OE =，92OE =（1分）∴132AE AO OE =+=，即132m =（1分）（3）过点C 作CH ⊥GF ，垂足为点H ．过点G 作GP ⊥x 轴，垂足为点P ．设直线GF 与y 轴交于点M ．原抛物线21(2)44y x =--+向右平移132个单位，得到2117()442y x =--+．∴17(,4)2G ，25(,0)2F ，17(,0)2P ．（1分）4GP PF ==，∴△GPF 是等腰直角三角形，∠GFP=45°．（1分）在Rt △MOF 中，∠OMF=∠OFM =45°，252OM OF ==．∴192CM OM OC =-=．（1分）在Rt △MCH 中，sin CHOMF CM∠=，192192sin 224CH CM OMF =⋅∠=⨯=．（1分）答：点C 到直线GF的距离是4.在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知直线+2y x =-与y 轴交于点A ，抛物线()()210y x t t =-->的顶点为B.（1）若抛物线经过点A ，求抛物线解析式；21（2）将线段OB 绕点B 顺时针旋转90 ，点O 落在点C 处，如果点C 在抛物线上，求点C 的坐标；（3）设抛物线的对称轴与直线+2y x =-交于点D ，且点D 位于x 轴上方，如果45BOD ︒∠=，求t 的值.（1）∵直线+2y x =-与y 轴交于点A ，∴A （0，2）……………1分∵抛物线()21y x t =--经过点A ，∴221t =-∴=t ，∵0t >，∴t 1分∴抛物线解析式(21y x =-………1分（2）作BE ⊥y 轴于点E ，作CF ⊥BE 于点F,则OE=1，BE=t ，△OBE ≌△BCF ．则BF=1，CF=t ，∴C +11t t -（，）……………2分∵点C 在抛物线上，∴()2111t t t -=+--，∴=1t ∴C 2（，0）………2分（3）D t t （，2-），B t （，-1）………1分∵∠OAD=∠BOD=45 ，∠AOD=∠ODB ∴△AOD ∽△ODB ………2分∴OA OD OD BD=∴22OD BD =∴()222(3)2t t t -=-+22∴210t t --=，152t ±=∵0t >，∴12t += (2)分如图，已知抛物线c bx x y ++=2经过点(2,7)A -，与x 轴交于点B 、(5,0)C .（1）求抛物线的顶点M 的坐标；（2）点E 在抛物线的对称轴上，且位于x 轴的上方，将△BCE 沿直线BE 翻折，如果点C 的对应点F 恰好落在抛物线的对称轴上，求点E 的坐标；（3）点P 在抛物线的对称轴上，点Q 是抛物线上位于第四象限内的点，当△CPQ 为等边三角形时，求直线BQ 的表达式.（1）∵抛物线c bx x y ++=2经过点(2,7)A -，与x 轴交于点(5,0)C .∴⎩⎨⎧=++=+-0525724c b c b 解得⎩⎨⎧-=-=54c b ，∴抛物线的表达式为542--=x x y ，…………（2分）∴顶点M 的坐标为（2，﹣9）.…………（1分）23（2）∵抛物线的表达式为542--=x x y ，∴B （-1，0），∴BC =6，且抛物线的对称轴为直线x =2．…………（1分）设抛物线的对称轴与x 轴交于点G ，则G 点的坐标为（2，0），BG =3由翻折得BF=BC =6．在Rt △BGF 中，由勾股定理，得3322=-=BG BF FG ，∴点F 的坐标为（2，33），tan ∠FBG =3=BGFG，∴∠FBG =60°．……（1分）由翻折得∠EBG =︒=∠3021FBG ，在Rt △EBG 中，330tan 3tan =︒⋅=∠⋅=EBG BG EG ．∴点E 的坐标为)32(，．…………（2分）（3）联结CF ，联结BQ 交y 轴于点H ，∵BC=BF ，∠FBC =60°，∴△FBC 为等边三角形．∵△FBC ，△PQC 为等边三角形，∴CQ=CP ，BC=FC ，∠QCP =∠BCF =60°，∴∠BCQ =∠FCP ，∴△BCQ ≌△FCP ，…………（2分）∴∠QBC =∠PFC ．∵BF=CF ，FG ⊥BC ，∴∠PFC =︒=∠30BFC 21，∴∠QBC =30°．…………（1分）在Rt △BOH 中，33331tan =⨯=∠⋅=QBC OB OH ，∴点H 坐标为)330(-，．…………（1分）由设直线BQ 的表达式为y =mx +n (m ≠0)，将B （-1，0）H 330(-，代入，24由⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=n n m 330有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=3333n m ．∴直线BQ 的表达式为3333--=x y ．……………（1分）已知抛物线C1：2y ax b =+与x 轴相交于点A （2-，0）和点B ，与y 轴交于点C （0，2）.（1）求抛物线C1的表达式；（2）把抛物线C1沿射线CA 方向平移得到抛物线C2，此时点A 、C 分别平移到点D 、E 处，且都在直线AC 上，设点F 在抛物线C1上，如果△DEF 是以EF 为底的等腰直角三角形，求点F 的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，设点M 为线段BC 上的一点，EN ⊥EM ，交直线BF 于点N ，求tan ENM Ð的值.（1）∵抛物线2y ax b =+与x 轴交于点A 20（-，），与y 轴交于点C 02（，），∴2202.a b b （-），⎧⨯+=⎨=⎩（2分）∴122.a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩（1分）∴2122y x =-+.（1分）25（2）∵点A 20（-，），点C 02（，），∴OA=OC.∴45ACO ∠=︒，AC =，直线AC ：2y x =+.据题意抛物线C1沿直线AC 方向平移后，点E 在直线AC 上，∴设E （a ，a+2）.（1分）∵△DEF 是以EF 为底的等腰直角三角形，∴45DEF ∠=︒.4EF ==.∴DEF ACO ∠=∠，∴EF//y 轴.（1分）∵点F 在抛物线C1上，∴点F 2122a a （，+）-.∴21(2)(2)42a a +--+=（1分）解得1224a a (舍），==-．∴点E 42（，）--，点F 46（，）--.（1分）（3）令y=0，21202x -+=，∴1222x x ，==-.∴点B 20（，）.又∵点E 42（，）--，点C 2（0，），∴EC=，BC=.（1分）∵DF ⊥AC ，BC ⊥AC ，∴DF//BC.又DF=AC=BC ，∴四边形DFBC 是矩形.∴DC//FB.过E 作EQ ⊥BF ，垂足为点Q.∴EQ=BC=.（1分）∵EN ⊥EM ，∴∠MEN=90°.又∵∠CEQ=90°，∴∠CEM=∠QEN.又∵∠EQN=∠ECM=90°，∴△CEM ∽△QEN.（1分）∴EM EC EN EQ =.∴2EM EN ==.∴tan 2EM EMN EN ∠==.（1分）已知抛物线622++=x ax y 与x 轴交于点A 、点B （点A 在点B 的左侧，点B 在原点O 右侧），与y 轴交于点C ，且OC OB =.（1）求抛物线的表达式.（2）如图1，点D 是抛物线上一点，直线BD 恰好平分ABC ∆的面积，求点D 的坐标；（3）如图2，点E 坐标为)2,0(-，在抛物线上存在点P ，满足OBE OBP ∠=∠2，请直接写出直线BP 的表达式.26（1）由题意可得：)6,0(C ，（1分）OC OB = ,)0,6(B ∴,（1分）代入622++=x ax y 得：612360++=a ，解得：21-=a ，（1分）故新抛物线表达式为62212++-=x x y .（1分）（2）由（1）知抛物线的表达式为62212++-=x x y ，故令0=y 得：622102++-=x x 解得：6,221=-=x x ，从而点A 的坐标为)0,2(-.（1分）即2=OA ,记直线BD 交AC 于点G ，由直线BD 恰好平分ABC ∆的面积，那么点G 为AC 的中点.（1分）过点G 、D 分别作x 轴的垂线，垂足分别为点N 、T ，在OCA ∆中，GN ∥CO ，故由中位线可得：1,3==ON GN ，（1分）故在BGN Rt ∆中，73tan ==∠BN GN GBN ，（1分）设)6221,(2++-t t t D ，故t OT t t DT -=++-=,62212，故在BDT Rt ∆中，66221tan 2+-++-==∠t t t BT DT DBT ，GBN DBT ∠=∠tan tan ，∴73662212=+-++-t t t ，（1分）解得：781-=t ，62=t （舍），27从而)49150,78(-D .（1分）（本题由直线BD 与抛物线求交点同步赋分）（3）直线BP 的表达式为2943-=x y 或2943+-=x y .（1分+1分）。

二次函数压轴题(二00九) 一、二次函数与相似三角形综合题专题1．（本题满分12分）已知一次函数mx y +=43的图像分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点（如图），且与反比例函数xy 24=的图像在第一象限交于点C （4，n ），CD ⊥x 轴于D .（1）求m 、n 的值； （2）如果点P 在x 轴上，并在点A 与点D 之间，点Q 在线段AC 上，且AP =CQ ,那么当△APQ 与△ADC 相似时，求点Q 的坐标．2.（本题满分12分）如图，二次函数c bx x y ++-=241 的图像经过点()()4,4,0,4--B A ，且与y 轴交于点C .（1）试求此二次函数的解析式；（2）试证明：CAO BAO ∠=∠（其中O 是原点）； （3）若P 是线段AB 上的一个动点（不与A 、B 重合）， （4）过P 作y 轴的平行线，分别交此二次函数图像及x 轴（5）于Q 、H 两点，试问：是否存在这样的点P ，使QH PH 2=？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.3．（本题满分12分）如图，在直角坐标系中，直线421+=x y 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，过点A 作CA ⊥AB ，CA ＝52，并且作CD ⊥x 轴.(1)求证:△ADC ∽△BOA ；(2)若抛物线c bx x y ++-=2经过B 、C 两点.xy B第24题图OA①求抛物线的解析式；②该抛物线的顶点为P ，M 是坐标轴上的一个点，若直线PM 与y 轴的夹角为30°，请直接写出点M 的坐标.4．（本题满分12分，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分5分） 已知：如图6，点A （–2，–6）在反比例函数的图像上，如果点B 也在此反比例函数图像上，直线AB 与 y 轴相交于点C ，且BC =2AC ．(1) 求点B 的坐标；(2) 如果二次函数92-+=bx ax y 的图像经过A 、B 两点，求此二次函数的解析式.5．（本题满分12分，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分5分） 在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线22y x =沿轴向上平移1个单位，再沿x 平移后抛物线的顶点坐标记作A ，直线3x=后的抛物线相交于B ，与直线OA 相交于C ． （1）求△ABC 面积；（2）点P 在平移后抛物线的对称轴上，如果△ABP 与△ABC 相似，求所有满足条件的P 点坐标． 、6．（本题满分12分）已知一次函数m x y +-=21的图像经过点A （-2，3），并与x 轴相交于点B ，二次函数22-+=bx ax y 的图像经过点A 和点B ． （1）分别求这两个函数的解析式；（2）如果将二次函数的图像沿y 轴的正方向平移，平移后的图像与一次函数的图像相交于点P ，与y 轴相交于点Q ，当PQ ∥x 轴时，试问二次函数的图像平移了几个单位．7．（本题满分12分）如图，已知二次函数y =ax 2-2ax +3（a <0）的图像与的负半轴交于点A ，与y 轴的正半轴交于点B 且OB =3OA ，一次函数y =kx +b 的图像经过点A 、点（1）求一次函数的解析式； （2）求顶点P 的坐标；（3）平移直线AB 使其过点P ，如果点M 在平移后的 直线上，且tan ∠OAM =23，求点M 的坐标．图）二、二次函数与圆综合题专题 1．（本题满分12分）如图，抛物线c bx ax y ++=2与y与x 轴交于点），（、04)0,1(B A ，OCA ∠=∠（1）求抛物线的解析式；（2）在直角坐标平面内确定点M ，使得以点C B A M 、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M 的坐标； （3）如果⊙P 过点C B A 、、三点，求圆心P 的坐标． （6分）2.已知：抛物线2y x b x =-与x 轴正半轴相交于点A ，点B（m ，-3）为抛物线上一点，△OAB 的面积等于6．（1）求该抛物线的表达式和点B 的坐标； （2）设C 为该抛物线的顶点，⊙C 的半径长为2．以该抛物线对称轴上一点P 为圆心，线段PO 的长为半径作⊙P ，如果⊙P与⊙C 相切，求点P 的坐标．x图7 xyO3．（本题满分12分）如图，已知点)0,4-(P ,以点P 为圆心PO 长为半径作圆交x轴交于点A 、O 两点，过点A 作直线AC 交y 轴于点C ,与圆P 交于点B ，53sin =∠CAO (1) 求点C 的坐标；(2) 若点D 是弧AB 的中点，求经过A 、D 、O 三点的抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的解析式；(3) 若直线)0(≠+=k b kx y 经过点)0,2(M ，当直线)0(≠+=k b kx y 与圆P 相交时，求b 的取值范围．4．（本题满分12分）抛物线bx ax y +=2（0≠a ）经过点)491(，A ，对称轴是直线2=x ，顶点是D ，与x 轴正半轴的交点为点B ．（1）求抛物线bx ax y +=2（0≠a ）的解析式和顶点D 的坐标； （6分）（2）过点D 作y 轴的垂线交y 轴于点C ，点M 在射线BO 上，当以DC 为直径的⊙N 和以MB 为半径的⊙M 相切时，求点M 的坐标． （6分）三、二次函数与平行四边形、梯形综合题专题Cy1、如图，抛物线32++=bx ax y 与y 轴交于点C ，与x 轴交于A 、B 两点，tan ∠OCA=31，S △ABC =6．（1）求：点B 的坐标；（2）求：抛物线的解析式及顶点坐标； （3）若E 点在x 轴上，F 点在抛物线上， 如果A 、C 、E 、F 构成平行四边形。

2024年4月上海市中考数学二模题型分类汇编5---二次函数压轴题（24题）【2024.4月奉贤区二模】24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）如图9，在直角坐标平面xOy 中，抛物线22y ax ax c =-+与x 轴交于点A 、B ，与y 轴正半轴交于点C ，顶点为P ，点A 坐标为（-1，0）.（1）写出这条抛物线的开口方向，并求顶点P 的坐标（用a 的代数式表示）；（2）将抛物线向下平移后经过点（0，1），顶点P 平移至P'.如果锐角∠CP'P 的正切值为12，求a 的值；（3）设抛物线对称轴与x 轴交于点D ，射线PC 与x 轴交于点E ，如果∠EDC =∠BPE ，求此抛物线的表达式.图9xyO11-124．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）新定义：已知抛物线2y ax bx c =++（其中abc ≠0），我们把抛物线2y cx ax b =++称为2y ax bx c =++的“轮换抛物线”．例如：抛物线y ＝2x 2+3x +1的“轮换抛物线”为y ＝x 2+2x +3．已知抛物线C 1：24(45)y mx m x m =+-+的“轮换抛物线”为C 2，抛物线C 1、C 2与y 轴分别交于点E 、F ，点E 在点F 的上方，抛物线C 2的顶点为P ．（1）如果点E 的坐标为（0，1），求抛物线C 2的表达式；（2）设抛物线C 2的对称轴与直线38y x =+相交于点Q ，如果四边形PQEF 为平行四边形，求点E 的坐标；（3）已知点M （-4，n ）在抛物线C 2上，点N 坐标为（-2，172-），当△PMN ∽△PEF 时，求m 的值．备用图Oy xyOx24．（本题满分12分）问题：已知抛物线L ：22y x x =-．抛物线W 的顶点在抛物线L 上（非抛物线L 的顶点）且经过抛物线L 的顶点．请求出一个满足条件的抛物线W 的表达式．（1）解这个问题的思路如下：先在抛物线L 上任取一点（非顶点），你所取的点是①；再将该点作为抛物线W 的顶点，可设抛物线W 的表达式是②；然后求出抛物线L 的顶点是③；再将抛物线L 的顶点代入所设抛物线W 的表达式，求得其中待定系数的值为④；最后写出抛物线W 的表达式是⑤．（2）用同样的方法，你还可以获得其他满足条件的抛物线W ，请再写出一个抛物线W的表达式．（3）如果问题中抛物线L 和W 在x 轴上所截得的线段长相等，求抛物线W 的表达式．24.（本题满分12分,第（1）小题4分，第（2）小题中①②题各4分）已知：抛物线2y x bx c =++经过点A （3，0）、B （0，-3），顶点为P ．（1）求抛物线的解析式及顶点P 的坐标；（2）平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点Q 在直线AB 上，且点Q 在y 轴右侧．①若点B 平移后得到的点C 在x 轴上，求此时抛物线的解析式；②若平移后的抛物线与y 轴相交于点D ，且△BDQ 是直角三角形，求此时抛物线的解析式．yxO24．（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线关于直线25=x 对称，且经过点A （0，3）和点B （3，0），横坐标为4的点C 在此抛物线上．（1）求该抛物线的表达式；（2）联结AB 、BC 、AC ，求tan BAC ∠的值；（3）如果点P 在对称轴右方的抛物线上，且∠PAC =45°，过点P 作PQ ⊥y 轴，垂足为Q ，请说明∠APQ =∠BAC ，并求点P 的坐标．24．（满分12分，其中第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线212y x bx c =++与x 轴相交于A （1-，0）、B两点，且与y 轴交于点C （0，2-）．（1）求抛物线的表达式；（2）如果点D 是x 正半轴上一点，∠ADC=2∠ACO ，且四边形AQCD 是菱形，请直接写出点D 和点Q 的坐标（不需要说明理由）；（3）由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次联结所组成的封闭图形叫做多边形，对于平面内的一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做“凸多边形”；否则叫做“凹多边形”．如果点E 是抛物线对称轴上的一个动点，纵坐标为t ，且四边形ACBE 是凹四边形（线段AE 与线段BC 不相交），求t 的取值范围．yxO（第24题图）24．（本题满分12分，其中每小题各4分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线+2y x =-与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，抛物线C 1：2y x bx c =-++经过点A 、B 两点，顶点为点C ．（1）求b 、c 的值；（2）如果点D 在抛物线C 1的对称轴上，射线AB 平分∠CAD ，求点D 的坐标；（3）将抛物线C 1平移，使得新抛物线C 2的顶点E 在射线BA 上，抛物线C 2与y 轴交于点F ，如果△BEF 是等腰三角形，求抛物线C 2的表达式．（第24题图）11OxyAB24．（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中（如图8），已知抛物线()()20y a x m n a =-+≠与x 轴交于点A 、B ，抛物线的顶点P 在第一象限，且90APB ∠=︒．（1）当点P 的坐标为()4,3时，求这个抛物线的表达式；（2）抛物线()()20y a x m n a =-+≠表达式中有三个待定系数，求待定系数a 与n 之间的数量关系；（3）以点P 为圆心，PA 为半径作P ，P 与直线2ny x =+相交于点M 、N ．当点P 在直线12y x =上时，用含a 的代数式表示MN 的长．图8yxOPAB24.（本题满分12分，每小题满分各4分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y axbx =+-的图像与x 轴交于点A （-3，0）和点B （1，0），与y 轴交于点C ，D 是线段OA 上一点．（1）求这条抛物线的表达式和点C 的坐标；（2）如图，过点D 作DG ⊥x 轴，交该抛物线于点G ，当DGA ＝DGC 时，求△GAC 的面积；（3）点P 为该抛物线上第三象限内一点，当OD ＝1，且∠DCB +∠PBC ＝45°时，求点P 的坐标．第24题图24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题第①问4分，第（2）小题第②问4分）如图8,在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （2，0）、点B （0，2），抛物线2y x bx c =-++经过点A ，且顶点C 在线段AB 上（与点A 、B 不重合）．（1）求b 、c 的值；（2）将抛物线向右平移m （0m >）个单位，顶点落在点P 处,新抛物线与原抛物线的对称轴交于点D ，联结PD ，交x 轴于点E ．①如果m =2,求△ODP 的面积；②如果EC =EP ,求m 的值.(图8)11OxyA B24．（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线)0(442>+-=a ax ax y 与x 轴交于点)0,1(A 和点B ，与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的表达式及点B 的坐标；（2）已知点),0(m M ，联结BC ，过点M 作BC MG ⊥，垂足为G ，点D 是x 轴上的动点，分别联结GD 、MD ，以GD 、MD 为边作平行四边形GDMN ．①当23=m 时，且□GDMN 的顶点N 正好落在y 轴上，求点D 的坐标；②当0≥m 时，且点D 在运动过程中存在唯一的位置，使得□GDMN 是矩形，求m 的值．（第24题图）A O xyB C24．（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题9分）定义：我们把平面内经过已知直线外一点并且与这条直线相切的圆叫做这个点与已知直线的点切圆．如图1，已知直线l外有一点H，圆Q经过点H且与直线l相切，则称圆Q 是点H与直线l的点切圆．阅读以上材料，解决问题：已知直线OA外有一点P，PA⊥OA，OA=4，AP=2，圆M是点P与直线OA的点切圆．（1）如果圆心M在线段OP上，那么圆M的半径长是▲(直接写出答案)．（2）如图2，以O为坐标原点、OA为x轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy，点P在第一象限，设圆心M的坐标是（x，y）．①求y关于x的函数解析式；②点B是①中所求函数图像上的一点，联结BP并延长交此函数图像于另一点C．如果CP：BP=1：4，求点B的坐标．lH Q第24题图1PyxAO第24题图224．（本题满分12分，每小题满分各4分）在平面直角坐标系xOy （如图8）中，已知抛物线32++=bx ax y 经过点)0,1(A 、)3,2-(B 两点，与y 轴的交点为C 点，对称轴为直线l ．（1）求此抛物线的表达式；（2）已知以点C 为圆心，半径为CB 的圆记作圆C ，以点A 为圆心的圆记作圆A ，如果圆A 与圆C 外切，试判断对称轴直线l 与圆A 的位置关系，请说明理由；（3）已知点D 在y 轴的正半轴上，且在点C 的上方，如果BAC BDC ∠=∠，请求出点D 的坐标．图8O 11xy-1-1。