柯西古萨定理

§2 柯西——古萨定理及其应用

一、引理与基本定理

1.引理

若zf在单连域D内解析,且zf连续,则对任意简单闭曲线DC,有：

0Cdzzf。

证明 ivuzf解析,且zf连续，xvyuyvxu,且它们均连续。从而，由格林公式，CdzzfivdyudxCCudyvdx

000DDdxdyyvxuidxdyyuxv。

推论 若zf在一条简单闭曲线C的内部及C上解析，则0Cdzzf。

例1 计算Cizdzze12，其中曲线C为正向圆周：13iz。

解 奇点iz不在闭曲线C内，在C内，被积函数zf解析，从而，

Cizdzze12=0。

2.柯西——古萨基本定理

sGC'定理 若zf在单连域D内处处解析，则对任意闭曲线DC,有：

0Cdzzf。

二、原函数与不定积分

1.存在性定理

由基本定理及高等数学的知识知道，必有：

若zf在单连域D内解析，则积分Cdzzf与路径无关。即此时, Cdzzf10zzdzzf，其中称1z为上限，0z为下限。积分zzdzzf0称为上限z的函数,记为zF，并有：

定理1 若zf在单连域D内处处解析,则zF为解析函数,且

zfzF.

证明 zF=zzdzzf0yxyxyxyxiVUudyvdxivdyudx,,,,0000,

viuzf在单连域D内解析，xvyuyvxu,。

udyvdxdVvdyudxdU,，即

uyVvxVvyUuxU,;,。

从而，xVyUyVxU,，于是，

zF为解析函数,且zfivuxVixUzF .

2.原函数概念与积分计算

定义 若zfzF,则称zF为zf的原函数或不定积分。易见zzdzzf0是zf的一个原函数，且任二原函数相差一常数。类似牛顿——莱布尼兹定理的证明，有：

定理2 若zf在单连域D内解析, zF为zf的原函数,则

101001zzzzzFzFzFdzzf。

例2 计算Czdz,其中C为从点0到点i1的曲线段.

解 zzf处处解析, 从而, Czdziizzdzii212210210.

例3

求izdz22cot.

解 zzfcot在zDRe0:内处处解析，且Di2,2，从而，

原式iizdzzz2222sinlnsincos

1coshlncosln2sinln2sinlnii.

三、柯西——古萨定理的推广

1.引理

定义 两条曲线称为连续变形曲线，如果⑴开闭不变；⑵方向不变；⑶连续扫过其存在的解析区域.

闭路变形原理 设zf在区域D内解析，闭曲线1C的任意连续变形曲线为2C，则21CCdzzfdzzf，即闭曲线连续变形不改变解析函数的积分值.

证明 如图：连bBaA,,则由ThsGC'知:

0aAbeaBbAEBAEBbeaAdzzfdzzfdzzfdzzfdzzf,

0BFAbBafbAaAafbBFAdzzfdzzfdzzfdzzfdzzf.

二式相加,得 AEBFAdzzf0afbeadzzf,即1Cdzzf02Cdzzf（*）

 1Cdzzf2Cdzzf. 例4 证明：izzdzC20，其中C为任意包含点0z的闭曲线.

证明 在C的内部作圆周rzzC01:，则izzdzC210。

01zzzf只有一个奇点0zz，1,CC互为连续变形曲线，

由原理知， Czzdz0izzdzC210.

进一步，有：.1,0,1,20kkizzdzCkC为任意包含点0z的闭曲线。

注:由原理证明中的(*)式,若将21,CC视作一条复合闭路21CC，其正向为外线逆时针,内线顺时针,则0dzzf。进一步可由一般地：

2.复合闭路定理

定理3 设zf在多连域D内解析,简单闭曲线DCCCCn,,,,21,且以其为边界(nCCCC21)的区域也属于D,诸nkCk,,2,1互不相交，互不包含，但均在C的内部，则

⑴0dzzf；⑵nkCCkdzzfdzzf1。

注:定理3从理论上指明了闭路积分的计算方法：

⑴若zf在闭曲线C所围域内解析，则0Cdzzf；⑵若zf在闭曲线C所围域内不解析，则Cdzzf等于绕其内单个奇点的闭路积分之和。

例5 计算Czzdz422，其中C由正向圆周23z与负向圆周1z构成。 解 4122zzzf的奇点izz2,0不在C内，

即zf在C内解析，0422Czzdz.

例6 计算Czdz12，其中C为正向圆周2z.

解 112zzf在C内有奇点1z，如图在C内作单独包含1,1z的闭曲线21,CC，于是，

原式112Czdz212Czdz

11(21Czdz)11Czdz21(21Czdz)12Czdz

0022021ii.

§3 柯西积分公式及其推广

一、柯西积分公式

1.定理与公式

定理1 设zf在区域D内解析，任意简单闭曲线DC，且DCI)(，对CIz0，有Cdzzzzfizf0021——柯西公式。

证明(思路) Cdzzzzf0Cdzzzzf00Cdzzzzfzf00

02zfi+Cdzzzzfzf00,可以证明:

000Cdzzzzfzf. y

C

x

2i

-2i 注：10.分析意义：zf在解析域内部的值可用其边界上的积分表示，即对Dz，有DCdzfizf021——柯西型积分;

20.计算意义：公式可用于求闭路积分: Cdzzzzf002zif.

2.应用举例

例1 设C为正向圆周2z，计算Cdzizzicos21。

解 izzcos在C内有奇点iz，从而，由柯西公式，

原式=1cosh2coscos1eeiziz。

例2 计算Cdzzzz212，其中C为正向圆周4z。

解 zzz212在C内有奇点1,0z，作21,CC分别单包1,0z，从而，

原式=10121121221122121zzCzzCzzzzizzidzzdzz

iii422。

例3 设Cdzezf2，其中C为正向圆周2，

试求ifif21,1。

解

zziezfiezfz222,22时，，

0,02zfzfz时，。

又221,221ii，从而， 021,221212ifeieifi。

二、柯西积分公式的推广——导数公式

1.定理与公式

定理2 解析函数的导数仍为解析函数，且

Cnndzzzzfinzf1002!，

其中C为zf的解析域D内含Dz0的任一正向简单闭曲线，且DCI)(。

证明(思路) 应用数学归纳法，先证：

zzfzzfzfz0000limCdzzzzfi202!1

注：10.分析意义：解析函数任意阶可导;

20.计算意义：公式可用于求闭路积分: Cndzzzzf100!2zfnin——化积分问题成微分问题

2.应用举例

例4 计算Czdzze32，其中C为正向圆周3z。

解 32zez在C内有奇点2z，从而，

原式=ieieeizz222!22。

例5 计算22-2344sinzdzzzzz。

解 2232sin44sinzzzzzzz在22z内有一个奇点2z，从而，

原式=2222sin!122sinzzzzidzzzz

iizzzziz22sin2cos42sin2cos22sincos222。