高中数学均值不等式

（一） 知识内容

1．均值定理：如果,abR（R表示正实数），那么2abab≥，当且仅当ab时，有等号成立．

此结论又称均值不等式或基本不等式．

2．对于任意两个实数,ab，2ab叫做,ab的算术平均值，ab叫做,ab的几何平均值．

均值定理可以表述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．

3．两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．

<教师备案>1．在利用均值定理求某些函数的最值时，要注意以下几点：

⑴函数式中的各项必须都是正数，在异号时不能运用均值不等式，在同负时可以先进行

转化，再运用均值不等式；

⑵函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；

⑶只有具备了不等式中等号成立的条件，才能使函数式取到最大或最小值．否则不能由

均值不等式求最值，只能用函数的单调性求最值．

运用均值不等式的前提有口诀：一正二定三相等．

2.均值不等式的几何解释：半径不小于半弦．

⑴对于任意正实数,ab，作线段ABab，使,ADaDBb；

⑵以AB为直径作半圆O，并过D点作CDAB于D，

且交半圆于点C；

⑶连结,,ACBCOC，则2abOC，

∵,ACBCCDAB

∴CDADBDab，

当ab时，在RtCOD中，

有2abOCCDab．

当且仅当ab时，,OD两点重合，有2abOCCDab．

3．已知：abR、（其中R表示正实数），

有以下不等式：222211222ababababab≥≥≥≥

其中222ab称为平方平均数，2ab称为算术平均数，

ab称为几何平均数，211ab称为调和平均数． CODBA

均值不等式

证明：2222210224ababab≥

∴222222abab≥

∵abR、，∴2222abab≥，当且仅当“ab”时等号成立．

221()0224ababab≥

∴222abab≥，当且仅当“ab”时等号成立．

∵221()024ababab≥

∴22abab≥，当且仅当“ab”时等号成立．

∴22()211ababababababababab(2)abababab

2()0ababab≥

∴211abab≥，当且仅当“ab”时等号成立．

了解这组不等式对解决一些不等式的证明题会有帮助，可选择性介绍．

（三）典例分析：

1.基础不等式

【例1】 1．“0ab，且ab”是“222abab”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2． 0a≥，0b≥，且2ab，则（ ）

A．12ab≤ B．12ab≥ C．222ab≥ D．223ab≤

【变式】 设abc，，是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是（ ）

A．||||||abacbc≤ B．2211aaaa≥

C．1||2abab≥ D．312aaaa≤

【例2】 设a、b为非零实数，若ab，则下列各式成立的是（ ）

A．22ab B．22abab C．2211abab D．baab

【变式】 若110ab，则下列不等式①abab②||||ab③ab④2baab中，正确的不等式有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【变式】 设a、b、c、d、m、n均为正实数，Pabcd，bdQmancmn，那么（ ）

A．PQ≥ B．PQ≤

C．PQ D．P、Q间大小关系不确定，而与m、n的大小有关

【变式】 若直线1xyab通过点(cossin)M，，则（ ）

A．221ab≤ B．221ab≥ C．22111ab≤ D．22111ab≥

【例3】 设实数a、b满足0ab，且1ab，则下列四数中最大的是（ ）

A．12 B．22ab C．2ab D．a

【例4】 正实数a、b、c满足adbc，adbc，则（ ）

A．adbc B．adbc C．adbc D．ad与bc大小不定

【例5】 已知abc，则()()abbc与2ac的大小关系是________．

【例6】 已知实数x、y、z满足条件0xyz，0xyz，设111Txyz，则（ ）

A．0T B．0T C．0T D．以上都可能

【例7】 若10ab，以下不等式恒成立的是( )

A．12aabb B．12bbaa C．1lglg2abab D．1lglg2baba

2.不等式最值问题

【例8】 若0x，则423xx的最小值是_________．

【例9】 设a、bR，则3ab，则22ab的最小值是_________．

【例10】 若a、bR，且1ab，则ab的最大值是_________．

【例11】 已知不等式19axyxy≥对任意正实数xy，恒成立，则正实数a的最小值为( )

A．8 B．6 C．4 D．2

【例12】 当___x时，函数22(2)yxx有最 值，其值是 ．

【例13】 正数a、b满足9ab，则1ab的最小值是______．

【例14】 若x、*yR且41xy，则xy的最大值是_____________．

【变式】 设0,0xy≥≥，2212yx，则21xy的最大值为_________．

【变式】 已知0x，0y，1xy，则1111xy的最小值为

【例15】 设0ab，那么21()abab的最小值为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【变式】 设221xy，则11xyxy的最大值是 最小值是 .

【变式】 已知23200xyxy，，则xy的最小值是 .

【例16】 已知2222,,xyamnb其中,,,0xymn，且ab，求mxny的最大值．

【变式】 0,0,4,abab求2211abab的最小值．

【例17】 设x，y，z为正实数，满足230xyz，则2yxz的最小值是 ．

【例18】 ⑴已知x、yR，且2520xy，当x=______，y=_____时，xy有最大值为_______．

⑵若a、bR，且1ab，则ab的最大值是_______，此时____,_____.ab

3.均值与函数最值

【例19】 求函数22109xyx的最小值．

【例20】 求函数13yxx的最小值.

【例21】 求函数2211()1fxxxxx的最小值．

【例22】 已知3x≥，求4yxx的最小值.

【变式】 求函数2254xyx的最小值．

【点评】 当a、b为常数，且ab为定值，ab时，2abab，不能直接求最小值，此时求最值的一般

方法是通过函数的单调性求最值或者通过恒等变形2()4ababab，求出ab之差的最值，从而求得原函数的最值，如本题的法一和法二．

法三是判别式法，因为t有范围，所以光用判别式判断方程有根并不能保证t在所限制的范围内能取到对应的值，所以这里需要讨论，可以看出，这种讨论很繁琐晦涩，一般不用．

【变式】 函数()992(33)xxxxfx的最小值为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．2

【例23】 ⑴求函数2241yxx的最小值，并求出取得最小值时的x值．

⑵求22614xyx的最大值．

【变式】 ⑴求函数211axxyx（1x且0a）的最小值．

⑵求函数312yxx的取值范围．

【点评】 第⑴题在解答过程中如果选用判别式法往往会陷入困境：由21yxyaxx得：

2(1)10axyxy，2(42)140yaya≥，且要满足有大于1的解，下面的讨论与求解过程十分复杂，故这里用判别式法不合适．

【例24】 ⑴求函数22(2)yxx的最大值．

⑵求22421xyx的最小值．

⑶求函数22109xyx的最值．

【例25】 ⑴已知54x，求函数11454yxx的最小值．

⑵求函数312yxx的取值范围．

⑶求函数22(2)yxx的最大值．