2021年高考新高考卷II海南数学试题含答案解析

2021年海南高考数学立体几何题及答案解析立体几何在高考数学中一直是考察的重点内容之一。

通过对2021年海南高考数学立体几何题目及答案解析的深入探讨，我们可以更好地理解这一知识点，并提升解题技巧。

本文将为大家从难度适中的题目出发，逐步解析，帮助大家理清思路与解题思路。

题目一：在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，已知 AB = 2，AC = 2√2，A1B1 = 2√2，A1C1 = 2，线段 MN 在平面 ABCD 内部，以 AM 为轴旋转到 MNMN'，交于 MN 于 J，MN' 于 K，再以 AK 为轴旋转到MNMN''，交于 MN 于 L，已知 LN = 2，求 KL 的长。

【解析】首先，我们可以通过观察立体图形的几何性质，理解其中的关系。

根据题目所给信息，我们可以知道长方体的一些边长以及旋转后的线段情况。

接下来，我们可以利用平面几何的知识和三角关系进行求解。

设 KL 的长度为 x，根据题意，我们可以得到以下等式：∠BKL = ∠DKA = ∠NLA （由旋转的性质可知）∠BNK = ∠ALN （平行线之间的夹角）根据等腰三角形的性质，我们知道∠LNK = ∠LKN，且∠LNK =∠MKJ（内角和等于外角）由于 L 在 MN 上，且 LN = 2，我们可以得到以下等式：tan∠MKJ = tan∠NKL = tan∠LNK = tan∠ALN = tan∠BNK通过利用这些等式和三角函数的性质，我们可以整理出详细的解题步骤，具体过程略。

最后，计算得 KL 的长度为√10。

综上所述，本题通过巧妙地运用立体几何和平面几何的知识，结合三角关系与三角函数的运用，成功求解出 KL 的长度为√10。

通过以上题目的解析，我们可以看出，在解答立体几何题目时，我们需要充分理解立体图形的性质，通过平面几何的知识和三角关系进行运用，巧妙地利用等式和三角函数的性质，逐步解析并求得所需答案。

2021年高考数学试卷新高考2卷含参考答案解析2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（新高考2卷）注意事项：1.在答题卡上填写姓名、考生号、考场号和座位号。

用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上，并将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后再涂其他答案。

不要在试卷上作答。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案。

不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

单选题：1.复数2-i在复平面内对应的点所在的象限为（）。

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2.设集合U={1,2,3,4,5,6}，A={1,3,6}，B={2,3,4}，则A∪B的结果为（）。

A．{3} B．{1,6} C．{5,6} D．{1,3}3.抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为2，则p=（）。

A．1 B．2 C．22 D．44.北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果，其中地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为km。

将地球看作是一个球心为O，半径r为6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数。

地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S=2πr2(1-cosα)（单位：km2）。

则S占地球表面积的百分比约为（）。

A．26% B．34% C．42% D．50%5.正四棱台的上底面和下底面的边长分别为2和4，侧棱长为2，则其体积为（）。

A．20+123 B．282 C．56√3/2 D．282√3/36.某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ)，下列结论中不正确的是（）。

2021 年海南省高考数学试卷〔文科〕〔全国新课标Ⅱ〕一、选择题：此题共12 小题，每题 5 分，共 60 分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1．〔5 分〕 i〔2+3i〕 =〔〕A．3﹣2i B．3+2i C．﹣ 3﹣2i D．﹣ 3+2i2．〔5 分〕集合 A={ 1，3，5，7} ， B={ 2， 3， 4， 5} ，那么 A∩B=〔〕A．{ 3} B．{ 5} C．{ 3，5} D．{ 1，2，3，4，5，7}3．〔5 分〕函数 f〔 x〕= 的图象大致为〔〕A．B．C．D．4．〔5 分〕向量，满足|| =1，=﹣ 1，那么?〔 2〕=〔〕A．4B．3C．2D．05．〔5 分〕从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区效劳，那么选中的2人都是女同学的概率为〔〕A．0.6 B．C．D．6．〔5 分〕双曲线=1〔 a＞ 0， b＞ 0〕的离心率为，那么其渐近线方程为〔〕A ．y=± xB ．y=± xC ．y=± xD ．y=± x7．〔5 分〕在△ ABC 中， cos = ，BC=1，AC=5， AB=〔〕A ．4B ．C ．D ．2 8．〔5 分〕 算 S=1++⋯+ ， 了如 的程序框 ， 在空白框中 填入〔〕A ．i=i+1B ．i=i+2C ．i=i+3D ． i=i+4．〔 分〕在正方体 1 1 1 1 中， E 棱 CC 1 的中点， 异面直AE 与9 5 ABCD A B C D CD 所成角的正切 〔 〕 A ．B ．C ．D ．10．〔 5 分〕假设 f 〔 x 〕=cosx sinx 在[ 0，a] 是减函数， a 的最大 是〔 〕A ．B ．C ．D ．π．〔5 分〕1，F 2 是 C 的两个焦点， P 是 C 上的一点，假设 PF 1⊥PF 2，且11F∠ PF 2 1 °， C 的离心率 〔〕F =60A ．1B ．2C ．D ．112．〔 5 分〕 f 〔x 〕是定 域 〔 ∞， +∞〕的奇函数， 足 f 〔 1 x 〕 =f 〔 1+x 〕，假设 f 〔1〕=2， f 〔 1〕 +f 〔2〕+f 〔3〕+⋯+f 〔50〕=〔〕A．﹣ 50B．0C． 2D．50二、填空题：此题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分。

2021年普通高等学校招生全国统一考试 全国新高考Ⅱ 卷数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在复平面内，复数2i13i--对应的点位于( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若全集1,2,3,4,6{}5,U =，集合1,{}3,6A =，2,{}3,4B =，则()U A B =C ( )A.{}3B.{1,6}C.{5,6}D.{1,3}3.若抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+p =( )A.1B.2C. D.44.卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km （轨道高度指卫星到地球表面的最短距离）.把地球看成一个球心为O ，半径为6400km 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道所在平面所成角的度数，地球表面能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星的点的纬度的最大值记为α.该卫星信号覆盖的地球表面面积22π(1cos )S r α=-（单位：2km ），则S 占地球表面积的百分比为( ) A.26%B.34%C.42%D.50%5.正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则四棱台的体积为( )A.5623B.562C.282D.28236.某物理量的测量结果服从正态分布()210,N σ，则下列结论中不正确的是( ) A.σ越小，该物理量一次测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大 B.σ越小，该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5C.σ越小，该物理量一次测量结果大于10.01与小于9.99的概率相等D.σ越小，该物理量一次测量结果落在(9.9,10.2)内的概率与落在(10,10.3)内的概率相等 7.若5log 2a =，8log 3b =，12c =，则( ) A.a b c >>B.b a c >>C.b c a >>D.c b a >>8.设函数()f x 的定义域为R ，且()2f x +为偶函数，()21f x +为奇函数，则( ) A.102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B.()10f -=C.()20f =D.()40f =二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年全国新高考II卷数学试题-【含答案】2021年全国新高考II卷数学试题注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息。

2.请将答案正确填写在答题卡上。

第I卷（选择题）一、单选题1.复数2-i和1-3i在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设集合U={1,2,3,4,5,6}，A={1,3,6}，B={2,3,4}，则A∪B=（）A.{3}B.{1,6}C.{5,6}D.{1,3}3.抛物线y^2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为2，则p=A.1B.2C.22D.44.北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果。

在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为km（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）。

将地球看作是一个球心为O，半径r为6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数。

地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S=2πr^2(1-cosα)（单位：km^2），则S占地球表面积的百分比约为（）A.26%B.34%C.42%D.50%5.正四棱台的上底面和下底面的边长分别为2和4，侧棱长为2，则其体积为（）A.20+123B.282C.562/3D.28/36.某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ^2)，下列结论中不正确的是（）A.σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大。

二、多选题9．下列统计量中，能度量样本$x_1,x_2,\dots,x_n$的离散程度的是（）A．样本$x_1,x_2,\dots,x_n$的标准差C．样本$x_1,x_2,\dots,x_n$的极差10．如图，在正方体中，$O$为底面的中心，$P$为所在棱的中点，$M$，$N$为正方体的顶点．则满足$MN\perp OP$的是（）A．B．C．D．11．已知直线$l:ax+by-\frac{r}{2}=0$与圆$C:x^2+y^2=r^2$，点$A(a,b)$，则下列说法正确的是（）A．若点$A$在圆$C$上，则直线$l$与圆$C$相切C．若点$A$在圆$C$外，则直线$l$与圆$C$相离12．设正整数$n=a\cdot 2+a_1\cdot 2^2+\dots+a_{k-1}\cdot 2^{k-1}+a_k\cdot 2^k$，其中$a_i\in\{0,1\}$，记$\omega(n)=a+a_1+\dots+a_k$．则（）B．$\omega(2n+3)=\omega(n)+1$D．$\omega(2^k-1)=k$C．(8n+5)=(4n+3)第II卷（非选择题）评卷人得分三、填空题14．写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x):_________．①f(x1+x2)=f(x1)f(x2)；②当x∈(0,+∞)时，f'(x)>0；③f'(x)是奇函数．15．已知向量a+b+c=，a=1，b=c=2，a·b+b·c+c·a=_______．16．已知函数f(x)=ex-1,x10，函数f(x)的图象在点A(x1,f(x1))和点B(x2,f(x2))的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则|AM|/|BN|取值范围是_______．四、解答题17．记Sn是公差不为的等差数列{an}的前n项和，若a3=Sn5，a2an+1=Sn4．1）求数列{an}的通项公式an；2）求使Sn>an成立的n的最小值．18．在ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，b=a+1，c=a+2．1）若2sinC=3sinA，求ABC的面积；2）是否存在正整数a，使得ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．19．在四棱锥Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD=2，QD=QA=5，QC=3．1）证明：平面QAD⊥平面ABCD；2）求二面角B-QD-A的平面角的余弦值．20．已知椭圆C的方程为x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)，右焦点为F(2,0)，且离心率为e．…1.求椭圆C的方程；设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x^2+y^2=b^2(x>0)相切。

海南省海口市2021届新高考第二次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数()()23ln1xf xx+=的大致图象是A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断.【详解】由题意可知函数()f x为奇函数，可排除B选项；当x0<时，()0f x＜，可排除D选项；当x1=时，()12f ln=，当x3=时，ln10ln10(3),ln22727f=>，即()()1?3f f＞，可排除C选项，故选：A【点睛】本题考查了函数图象的判断，函数对称性的应用，属于中档题．2．函数sin()(0y A xωϕω=+>，||2ϕπ<，)x R∈的部分图象如图所示，则函数表达式为（）A．4sin()84y xππ=-+B．4sin()84y xππ=-C．4sin()84y xππ=--D．4sin()84y xππ=+【答案】A【解析】【分析】根据图像的最值求出A ，由周期求出ω，可得4sin()8y x πϕ=+，再代入特殊点求出ϕ，化简即得所求.【详解】 由图像知4A =，6(2)82T =--=，216T πω==，解得8πω=， 因为函数4sin()8y x πϕ=+过点(2,4)-，所以4sin(2)48πϕ⨯+=-， sin(2)18πϕ⨯+=-，即22()82k k Z ππϕ=-π⨯++∈，解得32()4k k Z πϕπ=-+∈，因为||2ϕπ<，所以54πϕ=，54sin()4sin()8484y x x ππππ=+=-+.故选：A 【点睛】本题考查根据图像求正弦型函数的解析式，三角函数诱导公式，属于基础题.3．已知定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，22()2xx xf x e +=-，设(ln (ln2a fb fc f ===，则（ ） A ．b a c >> B ．b a c >=C ．a c b =>D ．c a b >>【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数性质，可判断,a c 关系；由0x ≥时，22()2xx xf x e +=-，求得导函数，并构造函数()1x g x e x =--，由()g x '进而判断函数()f x 在0x ≥时的单调性，即可比较大小.【详解】()f x 为定义在R 上的偶函数，所以(ln ln 22c f f f ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以a c =;当0x ≥时，22()2xx x f x e +=-，则)1(xf x e x =--'， 令()1xg x e x =--则1()x g x e '=-，当0x ≥时，)0(1xg x e =-≥'， 则()1x g x e x =--在0x ≥时单调递增，因为000)10(g e =--=，所以1(0)xg x e x --=≥， 即)0(1x x f x e =--≥'，则22()2xx xf x e +=-在0x ≥时单调递增，而0ln 22<<，所以()()ln 22f f<，综上可知，()()2ln ln 222f f f⎛⎫=< ⎪ ⎪⎝⎭即a c b =<， 故选：B. 【点睛】本题考查了偶函数的性质应用，由导函数性质判断函数单调性的应用，根据单调性比较大小，属于中档题. 4．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．240B ．264C ．274D ．282【答案】B 【解析】 【分析】将三视图还原成几何体，然后分别求出各个面的面积，得到答案. 【详解】由三视图可得，该几何体的直观图如图所示， 延长BE 交DF 于A 点，其中16AB AD DD ===，3AE =，4AF =， 所以表面积()3436536246302642S ⨯=⨯+⨯+⨯+⨯+=. 故选B 项.【点睛】本题考查三视图还原几何体，求组合体的表面积，属于中档题5．已知ABC ∆中，角A 、B 所对的边分别是a ，b ，则“a b >”是“A B >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分也不必要条件 D ．充分必要条件【答案】D 【解析】 【分析】由大边对大角定理结合充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】ABC ∆中，角A 、B 所对的边分别是a 、b ，由大边对大角定理知“a b >”⇒“A B >”，“A B >”⇒“a b >”.因此，“a b >” 是“A B >”的充分必要条件. 故选：D. 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查三角形的性质等基础知识，考查逻辑推理能力，是基础题．6．若双曲线E ：22221x y a b-=（0,0a b >>）的一个焦点为(3,0)F ，过F 点的直线l 与双曲线E 交于A 、B 两点，且AB 的中点为()3,6P --，则E 的方程为（ ）A ．22154x y -=B ．22145x y -=C ．22163x y -=D ．22136x y -=【答案】D 【解析】 【分析】求出直线l 的斜率和方程，代入双曲线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合焦点的坐标，可得,a b 的方程组，求得,a b 的值，即可得到答案. 【详解】由题意，直线l 的斜率为06133PF k k +===+， 可得直线l 的方程为3y x =-，把直线l 的方程代入双曲线22221x y a b-=，可得2222222()690b a x a x a a b -+--=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则212226a x x a b+=-， 由AB 的中点为()3,6P --，可得22266a a b=--，解答222b a =，又由2229a b c +==，即2229a a +=，解得a b ==所以双曲线的标准方程为22136x y -=.故选：D. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程的求解，其中解答中属于运用双曲线的焦点和联立方程组，合理利用根与系数的关系和中点坐标公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 7．已知m 为一条直线，,αβ为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若,m ααβ∥∥，则m β∥ B ．若,m αβα⊥⊥，则m β⊥ C ．若,m ααβ⊥∥，则m β⊥ D ．若,m ααβ⊥∥，则m β⊥【答案】D 【解析】A. 若//,//m ααβ，则//m β或m β⊂，故A 错误；B. 若,m αβα⊥⊥，则//m β或m β⊂故B 错误；C. 若//,m ααβ⊥，则//m β或m β⊂，或m 与β相交；D. 若,//m ααβ⊥，则m β⊥，正确. 故选D.8．1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放.事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚.根据这次统计数据，若客人随意向这张白纸上投放一根这样的针，则针落地后与直线相交的概率约为（ ）A．12πB．3πC．2πD．1π【答案】D【解析】【分析】根据统计数据，求出频率，用以估计概率.【详解】70412212π≈.故选:D.【点睛】本题以数学文化为背景，考查利用频率估计概率，属于基础题.9．已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：通过对以下四个四棱锥的三视图对照可知，只有选项C是符合要求的.考点：三视图10．设1i2i1iz-=++，则||z=A．0B．12C．1D2【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后求解复数的模. 详解：()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+ i 2i i =-+=，则1z =，故选c.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.11．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值是( )A ．4B ．2C ．2-D ．4-【答案】C 【解析】 【分析】利用n S 先求出n a ，然后计算出结果. 【详解】根据题意，当1n =时，11224S a λ==+,142a λ+∴=, 故当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=,Q 数列{}n a 是等比数列,则11a =，故412λ+=, 解得2λ=-, 故选C . 【点睛】本题主要考查了等比数列前n 项和n S 的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础.12．已知集合{}2|230A x x x =--<，集合{|10}B x x =-≥，则()A B ⋂=R ð（ ）.A ．(,1)[3,)-∞+∞UB ．(,1][3,)-∞+∞UC ．(,1)(3,)-∞+∞UD ．(1,3)【答案】A 【解析】算出集合A 、B 及A B I ，再求补集即可. 【详解】由2230x x --<，得13x -<<，所以{|13}A x x =-<<，又{|1}B x x =≥， 所以{|13}A B x x ⋂=≤<，故()A B ⋂=R ð{|1x x <或3}x ≥. 故选：A. 【点睛】本题考查集合的交集、补集运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年全国统一高考数学试卷（新高考全国Ⅱ卷）使用省份：海南､辽宁､重庆一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数2i13i--在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A 【解析】【分析】利用复数的除法可化简2i13i--，从而可求对应的点的位置.【详解】()()2i 13i 2i 55i 1i13i 10102-+-++===-，所以该复数对应的点为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，该点在第一象限，故选：A.2.设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()U A B = ð（）A.{3} B.{1,6}C.{5,6}D.{1,3}【答案】B 【解析】【分析】根据交集、补集的定义可求()U A B ⋂ð.【详解】由题设可得{}U 1,5,6B =ð，故(){}U 1,6A B ⋂=ð，故选：B.3.抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（）A.1 B.2C. D.4【答案】B 【解析】【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p 的值.【详解】抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，其到直线10x y -+=的距离：d ==解得：2p =(6p =-舍去).故选：B.4.北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O ，半径r 为6400km 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为22(1cos )S r πα=-（单位：2km ），则S 占地球表面积的百分比约为（）A.26% B.34%C.42%D.50%【答案】C 【解析】【分析】由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得，S 占地球表面积的百分比约为：226400164003600002(1.cos )1cos 44242%22r r πααπ---+==≈=.故选：C .5.正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）A.20+B. C.563D.3【答案】D 【解析】【分析】由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解.【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，所以该棱台的高()2222222h =--下底面面积116S =，上底面面积24S =，所以该棱台的体积((121211282164642333V h S S S S =+=+=.故选：D.6.某物理量的测量结果服从正态分布()210,N σ，下列结论中不正确的是（）A.σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B.σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C.σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D.σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等【答案】D 【解析】【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.【详解】对于A ，2σ为数据的方差，所以σ越小，数据在10μ=附近越集中，所以测量结果落在()9.9,10.1内的概率越大，故A 正确；对于B ，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B 正确；对于C ，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C 正确；对于D ，因为该物理量一次测量结果落在()9.9,10.0的概率与落在()10.2,10.3的概率不同，所以一次测量结果落在()9.9,10.2的概率与落在()10,10.3的概率不同，故D 错误.故选：D .7.已知5log 2a =，8log 3b =，12c =，则下列判断正确的是（）A.c b a <<B.b a c<< C.a c b<< D.a b c<<【答案】C 【解析】【分析】对数函数的单调性可比较a 、b 与c 的大小关系，由此可得出结论.【详解】55881log 2log log log 32a b =<==<=，即a c b <<.故选：C.8.已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为偶函数，()21f x +为奇函数，则（）A.102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B.()10f -=C.()20f =D.()40f =【答案】B 【解析】【分析】推导出函数()f x 是以4为周期的周期函数，由已知条件得出()10f =，结合已知条件可得出结论.【详解】因为函数()2f x +为偶函数，则()()22f x f x +=-，可得()()31f x f x +=-，因为函数()21f x +为奇函数，则()()1221f x f x -=-+，所以，()()11f x f x -=-+，所以，()()()311f x f x f x +=-+=-，即()()4f x f x =+，故函数()f x 是以4为周期的周期函数，因为函数()()21F x f x =+为奇函数，则()()010F f ==，故()()110f f -=-=，其它三个选项未知.故选：B.二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列统计量中，能度量样本12,,,n x x x 的离散程度的是（）A.样本12,,,n x x x 的标准差B.样本12,,,n x x x 的中位数C.样本12,,,n x x x 的极差D.样本12,,,n x x x 的平均数【答案】AC 【解析】【分析】考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项.【详解】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；故选：AC.10.如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M ，N 为正方体的顶点．则满足MN OP ⊥的是（）A. B.C. D.【答案】BC 【解析】【分析】根据线面垂直的判定定理可得BC 的正误，平移直线MN 构造所考虑的线线角后可判断AD 的正误.【详解】设正方体的棱长为2，对于A ，如图（1）所示，连接AC ，则//MN AC ，故POC ∠（或其补角）为异面直线,OP MN 所成的角，在直角三角形OPC ，OC =1CP =，故2tan2POC ∠==，故MN OP ⊥不成立，故A 错误.对于B ，如图（2）所示，取NT 的中点为Q ，连接PQ ，OQ ，则OQ NT ⊥，PQ MN ⊥，由正方体SBCM NADT -可得SN ⊥平面ANDT ，而OQ ⊂平面ANDT ，故SN OQ ⊥，而SN MN N = ，故OQ ⊥平面SNTM ，又MN ⊂平面SNTM ，OQ MN ⊥，而OQ PQ Q = ，所以MN ⊥平面OPQ ，而PO ⊂平面OPQ ，故MN OP ⊥，故B 正确.对于C ，如图（3），连接BD ，则//BD MN ，由B 的判断可得OP BD ⊥，故OP MN ⊥，故C 正确.对于D ，如图（4），取AD 的中点Q ，AB 的中点K ，连接,,,,AC PQ OQ PK OK ，则//AC MN ，因为DP PC =，故//PQ AC ，故//PQ MN ，所以QPO ∠或其补角为异面直线,PO MN 所成的角，因为正方体的棱长为2，故122PQ AC ==，22123OQ AO AQ =+=+=22415PO PK OK =+=+=，222QO PQ OP <+，故QPO ∠不是直角，故,PO MN 不垂直，故D 错误.故选：BC.11.已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(,)A a b ，则下列说法正确的是（）A.若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B.若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离C.若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D.若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切【答案】ABD 【解析】【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为222,a b r +的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.【详解】圆心()0,0C 到直线l 的距离2d =若点(),A a b 在圆C 上，则222a b r +=，所以2d r =，则直线l 与圆C 相切，故A 正确；若点(),A a b 在圆C 内，则222a b r +<，所以2d r =，则直线l 与圆C 相离，故B 正确；若点(),A a b 在圆C 外，则222a b r +>，所以2<d r =，则直线l 与圆C 相交，故C 错误；若点(),A a b 在直线l 上，则2220a b r +-=即222=a b r +，所以2d r =，直线l 与圆C 相切，故D 正确.故选：ABD.12.设正整数010112222k k k k n a a a a --=⋅+⋅++⋅+⋅ ，其中{}0,1i a ∈，记()01k n a a a ω=+++ ．则（）A.()()2n n ωω=B.()()231n n ωω+=+C.()()8543n n ωω+=+D.()21n nω-=【答案】ACD 【解析】【分析】利用()n ω的定义可判断ACD 选项的正误，利用特殊值法可判断B 选项的正误.【详解】对于A 选项，()01k n a a a ω=+++ ，12101122222kk k k n a a a a +-=⋅+⋅++⋅+⋅ ，所以，()()012k n a a a n ωω=+++= ，A 选项正确；对于B 选项，取2n =，012237121212n +==⋅+⋅+⋅，()73ω∴=，而0120212=⋅+⋅，则()21ω=，即()()721ωω≠+，B 选项错误；对于C 选项，3430234301018522251212222k k k k n a a a a a a +++=⋅+⋅++⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅++⋅ ，所以，()01852k n a a a ω+=++++ ，2320123201014322231212222k k k k n a a a a a a +++=⋅+⋅++⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅++⋅ ，所以，()01432k n a a a ω+=++++ ，因此，()()8543n n ωω+=+，C 选项正确；对于D 选项，01121222n n --=+++ ，故()21nn ω-=，D 选项正确.故选：ACD.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为_______________【答案】y =【解析】【分析】由双曲线离心率公式可得223b a=，再由渐近线方程即可得解.【详解】因为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，所以2e ===，所以223b a =，所以该双曲线的渐近线方程为by x a=±=.故答案为：y =.【点睛】本题考查了双曲线离心率的应用及渐近线的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.14.写出一个同时具有下列性质①②③的函数():f x _______．①()()()1212f x x f x f x =；②当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>；③()'f x 是奇函数．【答案】()4f x x =（答案不唯一，()()2*nxN f n x =∈均满足）【解析】【分析】根据幂函数的性质可得所求的()f x .【详解】取()4f x x =，则()()()()44421121122x f x f x x x x f x x ===，满足①，()34f x x '=，0x >时有()0f x '>，满足②，()34f x x '=的定义域为R ，又()()34f x x f x ''-=-=-，故()f x '是奇函数，满足③.故答案为：()4f x x =（答案不唯一，()()2*nxN f n x =∈均满足）15.已知向量0a b c ++= ，1a = ，2b c == ，a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_______．【答案】92-【解析】【分析】由已知可得()20a b c++=，展开化简后可得结果.【详解】由已知可得()()()22222920a b c a b c a b b c c a a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅=+⋅+⋅+⋅=，因此，92a b b c c a ⋅+⋅+⋅=- .故答案为：92-.16.已知函数12()1,0,0xf x e x x <=>-，函数()f x 的图象在点()()11,A x f x 和点()()22,B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是_______．【答案】()0,1【解析】【分析】结合导数的几何意义可得120x x +=，结合直线方程及两点间距离公式可得1A x M =，2B x N =，化简即可得解.【详解】由题意，()1011,0,xx x e x f x e e x <=⎧---≥⎪=⎨⎪⎩，则()0,,0xx x f x e e x ⎧-⎪=<>⎨'⎪⎩，所以点()11,1xA x e -和点()22,1xB x e -，12,x xAM BN k e k e =-=,所以12121,0xx e ex x -⋅=-+=，所以()()111111,0:,11xx x xe e x x e AM e y M x -+=---+，所以1x AM ==，同理2B x N =,所以()10,1x e N AM B ===∈=.故答案为：()0,1【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件120x x +=，消去一个变量后，运算即可得解.四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17.记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35244,a S a a S ==．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）求使n n S a >成立的n 的最小值．【答案】(1)26n a n =-；(2)7.【解析】【分析】(1)由题意首先求得3a 的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；(2)首先求得前n 项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n 的最小值.【详解】(1)由等差数列的性质可得：535S a =，则：3335,0a a a =∴=，设等差数列的公差为d ，从而有：()()22433a a a d a d d =-+=-，()()()41234333322S a a a a a d a d a a d d =+++=-+-++-=-，从而：22d d -=-，由于公差不为零，故：2d =，数列的通项公式为：()3326n a a n d n =+-=-.(2)由数列的通项公式可得：1264a =-=-，则：()()214262n n n S n n n -=⨯-+⨯=-，则不等式n n S a >即：2526n n n ->-，整理可得：()()160n n -->，解得：1n <或6n >，又n 为正整数，故n 的最小值为7.【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.18.在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.．（1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）1574；（2）存在，且2a =.【解析】【分析】（1）由正弦定理可得出23c a =，结合已知条件求出a 的值，进一步可求得b 、c 的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出sin B ，再利用三角形的面积公式可求得结果；（2）分析可知，角C 为钝角，由cos 0C <结合三角形三边关系可求得整数a 的值.【详解】（1）因为2sin 3sin C A =，则()2223c a a =+=，则4a =，故5b =，6c =，2221cos 28a b c C ab +-==，所以，C 为锐角，则sin 8C ==，因此，11sin 452284ABC S ab C ==⨯⨯⨯=△；（2）显然c b a >>，若ABC 为钝角三角形，则C 为钝角，由余弦定理可得()()()()22222221223cos 022121a a a a b c a a C ab a a a a ++-++---===<++，解得13a -<<，则0<<3a ，由三角形三边关系可得12a a a ++>+，可得1a >，a Z ∈ ，故2a =.19.在四棱锥Q ABCD -中，底面ABCD 是正方形，若2,3AD QD QA QC ====．（1）证明：平面QAD ⊥平面ABCD ；（2）求二面角B QD A --的平面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）23.【解析】【分析】（1）取AD 的中点为O ，连接,QO CO ，可证QO ⊥平面ABCD ，从而得到面QAD ⊥面ABCD .（2）在平面ABCD 内，过O 作//OT CD ，交BC 于T ，则OT AD ⊥，建如图所示的空间坐标系，求出平面QAD 、平面BQD 的法向量后可求二面角的余弦值.【详解】（1）取AD 的中点为O ，连接,QO CO .因为QA QD =，OA OD =，则QO ⊥AD ，而2,AD QA ==2QO ==.在正方形ABCD 中，因为2AD =，故1DO =，故CO =因为3QC =，故222QC QO OC =+，故QOC 为直角三角形且QO OC ⊥，因为OC AD O = ，故QO ⊥平面ABCD ，因为QO ⊂平面QAD ，故平面QAD ⊥平面ABCD .（2）在平面ABCD 内，过O 作//OT CD ，交BC 于T ，则OT AD ⊥，结合（1）中的QO ⊥平面ABCD ，故可建如图所示的空间坐标系.则()()()0,1,0,0,0,2,2,1,0D Q B -，故()()2,1,2,2,2,0BQ BD =-=-.设平面QBD 的法向量(),,n x y z =，则00n BQ n BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩即220220x y z x y -++=⎧⎨-+=⎩，取1x =，则11,2y z ==，故11,1,2n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ .而平面QAD 的法向量为()1,0,0m = ，故12cos ,3312m n ==⨯ .二面角B QD A --的平面角为锐角，故其余弦值为23.20.已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为(2,0)F ，且离心率为63．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||3MN =．【答案】（1）2213x y +=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由离心率公式可得3a =2b ，即可得解；（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证MN =充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<，由直线与圆相切得221b k =+，联立直线与椭圆方程结合弦长公式可得22413k=+1k =±，即可得解.【详解】（1）由题意，椭圆半焦距c =且3c e a ==，所以a =又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2213x y +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>，当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意；当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ，必要性：若M ，N ，F三点共线，可设直线(:MN y k x =-即0kx y --=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，解得1k =±，联立(2213y x x y ⎧=±⎪⎨⎪+=⎩可得2430x -+=，所以1212,324x x x x +=⋅=，所以MN ==所以必要性成立；充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<即0kx y b -+=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，所以221b k =+，联立2213y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222136330k x kbx b +++-=，所以2121222633,1313kb b x x x x k k -+=-⋅=++，所以MN==213k=+=化简得()22310k-=，所以1k=±，所以1kb=⎧⎪⎨=⎪⎩或1kb=-⎧⎪⎨=⎪⎩，所以直线:MN y x=或y x=-，所以直线MN过点F，M，N，F三点共线，充分性成立；所以M，N，F三点共线的充要条件是||MN=．【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重. 21.一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，()(0,1,2,3)iP X i p i===．（1）已知01230.4,0.3,0.2,0.1p p p p====，求()E X；（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：230123p p x p x p x x+++=的一个最小正实根，求证：当()1E X≤时，1p=，当()1E X>时，1p<；（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析.【解析】【分析】（1）利用公式计算可得()E X.（2）利用导数讨论函数的单调性，结合()10f=及极值点的范围可得()f x的最小正零点.（3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.【详解】（1）()00.410.320.230.11E X=⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）设()()3232101f x p x p x p x p=++-+，因为32101p p p p+++=，故()()32322030f x p x p x p p p x p=+-+++，若()1E X ≤，则123231p p p ++≤，故2302p p p +≤.()()23220332f x p x p x p p p '=+-++，因为()()20300f p p p '=-++<，()230120f p p p '=+-≤，故()f x '有两个不同零点12,x x ，且1201x x <<≤，且()()12,,x x x ∈-∞⋃+∞时，()0f x '>；()12,x x x ∈时，()0f x '<；故()f x 在()1,x -∞，()2,x +∞上为增函数，在()12,x x 上为减函数，若21x =，因为()f x 在()2,x +∞为增函数且()10f =，而当()20,x x ∈时，因为()f x 在()12,x x 上为减函数，故()()()210f x f x f >==，故1为230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，若21>x ，因为()10f =且在()20,x 上为减函数，故1为230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，综上，若()1E X ≤，则1p =.若()1E X >，则123231p p p ++>，故2302p p p +>.此时()()20300f p p p '=-++<，()230120f p p p '=+->，故()f x '有两个不同零点34,x x ，且3401x x <<<，且()()34,,x x x ∈-∞+∞ 时，()0f x '>；()34,x x x ∈时，()0f x '<；故()f x 在()3,x -∞，()4,x +∞上为增函数，在()34,x x 上为减函数，而()10f =，故()40f x <，又()000f p =>，故()f x 在()40,x 存在一个零点p ，且1p <.所以p 为230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，此时1p <，故当()1E X >时，1p <.（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.22.已知函数2()(1)x f x x e ax b =--+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：()f x 有一个零点①21,222e a b a <≤>；②10,22a b a <<≤．【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；(2)由题意结合(1)中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论.【详解】(1)由函数的解析式可得：()()'2xf x x e a =-，当0a ≤时，若(),0x ∈-∞，则()()'0,f x f x <单调递减，若()0,x ∈+∞，则()()'0,f x f x >单调递增；当102a <<时，若()(),ln 2x a ∈-∞，则()()'0,f x f x >单调递增，若()()ln 2,0x a ∈，则()()'0,f x f x <单调递减，若()0,x ∈+∞，则()()'0,f x f x >单调递增；当12a =时，()()'0,f x f x ≥在R 上单调递增；当12a >时，若(),0x ∈-∞，则()()'0,f x f x >单调递增，若()()0,ln 2x a ∈，则()()'0,f x f x <单调递减，若()()ln 2,x a ∈+∞，则()()'0,f x f x >单调递增；(2)若选择条件①：由于2122e a < ，故212a e <≤，则()21,010b af b >>=->，而()()210b f b b e ab b --=----<，而函数在区间(),0-∞上单调递增，故函数在区间(),0-∞上有一个零点.()()()()2ln 22ln 21ln 2f a a a a a b =--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()22ln 21ln 22a a a a a>--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()ln 22ln 2a a a =-⎡⎤⎣⎦，由于2122e a < ，212a e <≤，故()()ln 22ln 20a a a -≥⎡⎤⎣⎦，结合函数的单调性可知函数在区间()0,∞+上没有零点.综上可得，题中的结论成立.若选择条件②：由于102a <<，故21a <，则()01210f b a =-≤-<，当0b ≥时，24,42e a ><，()2240f e a b =-+>，而函数在区间()0,∞+上单调递增，故函数在区间()0,∞+上有一个零点.当0b <时，构造函数()1xH x e x =--，则()1xH x e '=-，当(),0x ∈-∞时，()()0,H x H x '<单调递减，当()0,x ∈+∞时，()()0,H x H x '>单调递增，注意到()00H =，故()0H x ≥恒成立，从而有：1x e x ≥+，此时：()()()()22111x f x x e ax b x x ax b =---≥-+-+()()211a x b =-+-，当x ()()2110a x b -+->，取01x =+，则()00f x >，即：()00,10f f ⎫<+>⎪⎪⎭，而函数在区间()0,∞+上单调递增，故函数在区间()0,∞+上有一个零点.()()()()2ln 22ln 21ln 2f a a a a a b =--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()22ln 21ln 22a a a a a ≤--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()22ln 2ln 2a a a a =-⎡⎤⎣⎦由于12a<<，021a<<，故()()ln22ln20a a a-<⎡⎤⎣⎦，结合函数的单调性可知函数在区间(),0-∞上没有零点.综上可得，题中的结论成立.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．。

2021年高考新高考卷II海南数学试题含答案解析姓名：__________ 班级：__________考号：__________一、选择题（共12题）1、设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=（）A. {x|2<x≤3}B. {x|2≤x≤3}C. {x|1≤x<4}D. {x|1<x<4}2、（）A. 1B. −1C. iD. −i3、 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A. 120种B. 90种C. 60种D. 30种4、日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（）A. 20°B. 40°C. 50°D. 90°5、某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A. 62%B. 56%C. 46%D. 42%6、基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R，T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫0情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （）A. 1.2天B. 1.8天C. 2.5天D. 3.5天7、已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范用是（）A. B.C. D.8、若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（）A. B.C. D.9、已知曲线.（）A. 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B. 若m=n>0，则C是圆，其半径为C. 若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为D. 若m=0，n>0，则C是两条直线10、下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （）A. B. C. D.11、已知a>0，b>0，且a+b=1，则（）A. B.C. D.12、信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵.（）A若n=1，则H(X)=0B. 若n=2，则H(X)随着的增大而增大C. 若，则H(X)随着n的增大而增大D. 若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且，则H(X)≤H(Y)二、填空题（共5题）1、斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=________．2、将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{a n}，则{a n}的前n项和为________．3、某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG 为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=，，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．4、已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．5、在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．三、解答题（共4题）1、已知公比大于的等比数列满足．（1）求的通项公式；（2）求.2、为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了天空气中的和浓度（单位：），得下表：32 18 46 8 123 7 10（1）估计事件“该市一天空气中浓度不超过，且浓度不超过”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的列联表：（3）根据（2）中的列联表，判断是否有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关？附：，0.050 0.010 0.0013.841 6.635 10.8283、如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．4、已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为，（1）求C的方程；（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.四、综合题（共1题）1、已知函数．（1）当时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．============参考答案============一、选择题1、 C【解析】【分析】根据集合并集概念求解.【详解】故选：C【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题.2、 D【解析】【分析】根据复数除法法则进行计算.【详解】故选：D【点睛】本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题.3、 C【解析】【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解. 【详解】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；最后剩下的名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有种.故选：C【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.4、 B【解析】【分析】画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点处的纬度，计算出晷针与点处的水平面所成角.【详解】画出截面图如下图所示，其中是赤道所在平面的截线；是点处的水平面的截线，依题意可知；是晷针所在直线.是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得可知、根据线面垂直的定义可得..由于，所以，由于，所以，也即晷针与点处的水平面所成角为.故选：B【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质，属于中档题.5、 C【解析】【分析】记“该中学学生喜欢足球”为事件，“该中学学生喜欢游泳”为事件，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，然后根据积事件的概率公式可得结果.【详解】记“该中学学生喜欢足球”为事件，“该中学学生喜欢游泳”为事件，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，则，，，所以所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为.故选：C.【点睛】本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.6、 B【解析】【分析】根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果.【详解】因为，，，所以，所以，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，则，所以，所以，所以天.故选：B.【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.7、 A【解析】【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果.【详解】的模为2，根据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是，结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积，所以的取值范围是，故选：A.【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.8、 D【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，所以在上也是单调递减，且，，所以当时，，当时，，所以由可得：或或解得或，所以满足的的取值范围是，故选：D.点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.9、 ACD【解析】【分析】结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示双曲线，时表示两条直线.【详解】对于A，若，则可化为，因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；对于B，若，则可化为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；对于C，若，则可化为，此时曲线表示双曲线，由可得，故C正确；对于D，若，则可化为，，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；故选：ACD.【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.10、 BC【解析】【分析】首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.【详解】由函数图像可知：，则，所以不选A,当时，，解得：，即函数的解析式为：.而故选：BC.【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.11、 ABD【解析】【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.【详解】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A正确；对于B，，所以，故B正确；对于C，，当且仅当时，等号成立，故C不正确；对于D，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：ABD【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.12、 AC【解析】【分析】对于A选项，求得，由此判断出A选项的正确性；对于B选项，利用特殊值法进行排除；对于C选项，计算出，利用对数函数的性质可判断出C选项的正确性；对于D选项，计算出，利用基本不等式和对数函数的性质判断出D选项的正确性.【详解】对于A选项，若，则，所以，所以A选项正确.对于B选项，若，则，，所以，当时，，当时，，两者相等，所以B选项错误.对于C选项，若，则，则随着的增大而增大，所以C选项正确.对于D选项，若，随机变量的所有可能的取值为，且（）..由于，所以，所以，所以，所以，所以D选项错误.故选：AC【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题.二、填空题1、【解析】【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y并整理得到关于x的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.【详解】∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F坐标为，又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为：代入抛物线方程消去y并化简得，解法一：解得所以解法二：设，则,过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示.故答案为：【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题. 2、【解析】【分析】首先判断出数列与项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.【详解】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以的前项和为，故答案为：.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目.3、【解析】【分析】利用求出圆弧所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形的面积，求出直角的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得.【详解】设，由题意，，所以，因为,所以，因，所以，因为与圆弧相切于点，所以，即为等腰直角三角形；在直角中，，，因为，所以，解得；等腰直角面积为；扇形的面积，所以阴影部分的面积为.故答案为：.【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.4、.【解析】【分析】根据已知条件易得，侧面，可得侧面与球面的交线上的点到的距离为，可得侧面与球面的交线是扇形的弧，再根据弧长公式可求得结果.【详解】如图：取的中点为，的中点为，的中点为，因为60°，直四棱柱的棱长均为2，所以△为等边三角形，所以，，又四棱柱为直四棱柱，所以平面，所以，因为，所以侧面，设为侧面与球面的交线上的点，则，因为球的半径为，，所以，所以侧面与球面的交线上的点到的距离为，因为，所以侧面与球面的交线是扇形的弧，因为，所以，所以根据弧长公式可得.故答案为：.【点睛】本题考查了直棱柱的结构特征，考查了直线与平面垂直的判定，考查了立体几何中的轨迹问题，考查了扇形中的弧长公式，属于中档题.5、详见解析【解析】【分析】解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a,b的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得的值，得到角的值，然后根据选择的条件进行分析判断和求解.【详解】解法一：由可得：，不妨设，则：，即.选择条件①的解析：据此可得：，，此时.选择条件②的解析：据此可得：，则：，此时：，则：. 选择条件③的解析：可得，，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在.解法二：∵,∴,，∴,∴,∴,∴,若选①，,∵,∴,∴c=1;若选②，,则,;若选③,与条件矛盾.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．三、解答题1、（1）；（2）【解析】【分析】(1)由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式；(2)首先求得数列的通项公式，然后结合等比数列前n项和公式求解其前n项和即可.【详解】(1) 设等比数列的公比为q(q>1)，则，整理可得：，，数列的通项公式为：.(2)由于：，故：.【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，等差数列与等比数列求和公式是数列求和的基础.2、（1）；（2）答案见解析；（3）有.【解析】【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；（2）根据表格中数据可得列联表；（3）计算出，结合临界值表可得结论.【详解】（1）由表格可知，该市100天中，空气中的浓度不超过75，且浓度不超过150的天数有天，所以该市一天中，空气中的浓度不超过75，且浓度不超过150的概率为；（2）由所给数据，可得列联表为：合计64 16 8010 10 20合计74 26 100（3）根据列联表中的数据可得，因为根据临界值表可知，有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关.【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，考查了完善列联表，考查了独立性检验，属于中档题.3、（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证得平面，利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得，从而得到平面；（2）根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点，之后求得平面的法向量以及向量的坐标，求得的最大值，即为直线与平面所成角的正弦值的最大值.【详解】（1）证明：在正方形中，，因为平面，平面，所以平面，又因为平面，平面平面，所以，因为在四棱锥中，底面是正方形，所以且平面，所以因为所以平面；（2）如图建立空间直角坐标系，因为，则有，设，则有，设平面的法向量为，则，即，令，则，所以平面的一个法向量为，则根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于，当且仅当时取等号，所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定和性质，线面垂直的判定和性质，利用空间向量求线面角，利用基本不等式求最值，属于中档题目.4、（1）；（2）12.【解析】【分析】(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程；(2)首先利用几何关系找到三角形面积最大时点N的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点N到直线AM的距离即可求得三角形面积的最大值.【详解】(1)由题意可知直线AM的方程为：，即.当y=0时，解得，所以a=4，椭圆过点M(2，3)，可得，解得b2=12.所以C的方程：.(2)设与直线AM平行的直线方程为：，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.联立直线方程与椭圆方程，可得：，化简可得：，所以，即m2=64，解得m=±8，与AM距离比较远的直线方程：，直线AM方程为：，点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：，由两点之间距离公式可得.所以△AMN的面积的最大值：.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．四、综合题1、（1）（2）【解析】。

海南省三亚市2021届新高考第二次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设复数z 满足2z iz i -=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法运算可整理得到z ，由此得到对应的点的坐标，从而确定所处象限. 【详解】由2z iz i -=+得：()()()()2121313111222i i i i z i i i i ++++====+--+， z ∴对应的点的坐标为13,22⎛⎫⎪⎝⎭，位于第一象限.故选：A . 【点睛】本题考查复数对应的点所在象限的求解，涉及到复数的除法运算，属于基础题.2．如图，在四边形ABCD 中，1AB =，3BC =，120ABC ∠=︒，90ACD ∠=︒，60CDA ∠=︒，则BD 的长度为（ ）A ．33B ．23C ．33D 73【答案】D 【解析】 【分析】设ACB α∠=，在ABC ∆中，由余弦定理得2106cos12013AC =-︒=，从而求得CD ，再由由正弦定理得sin sin120AB ACα=︒，求得sin α，然后在BCD ∆中，用余弦定理求解.【详解】设ACB α∠=，在ABC ∆中，由余弦定理得2106cos12013AC =-︒=，则AC =CD =由正弦定理得sin sin120AB AC α=︒，即sin α=，从而()cos cos 90sin BCD αα∠=︒+=-=，在BCD ∆中，由余弦定理得：2134992333BD =++⨯=，则3BD =. 故选：D 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 3．已知将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则ω的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．32【答案】B 【解析】 【分析】因为将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，可得()sin sin 33g x x x ππωϕωωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，结合已知，即可求得答案.【详解】Q 将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象∴()sin sin 33g x x x ππωϕωωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又Q ()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，∴由1242432k k ππωϕππππωωϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪-+=+⎪⎩()12,k k ∈Z ，得()123k k πωπ=-，()12,k k ∈Z ，即()123k k ω=-()12,k k ∈Z ， 又Q 06ω<<，∴3ω=.故选：B. 【点睛】本题主要考查了三角函数图象平移和根据图象对称求参数，解题关键是掌握三角函数图象平移的解法和正弦函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.4．已知四棱锥E ABCD -，底面ABCD 是边长为1的正方形，1ED =，平面ECD ⊥平面ABCD ，当点C 到平面ABE 的距离最大时，该四棱锥的体积为（ ） AB ．13CD ．1【答案】B 【解析】 【分析】过点E 作EH CD ⊥，垂足为H ，过H 作HF AB ⊥，垂足为F ，连接EF.因为//CD 平面ABE ，所以点C 到平面ABE 的距离等于点H 到平面ABE 的距离h .设(0)2CDE πθθ∠=<≤，将h 表示成关于θ的函数，再求函数的最值，即可得答案. 【详解】过点E 作EH CD ⊥，垂足为H ，过H 作HF AB ⊥，垂足为F ，连接EF. 因为平面ECD ⊥平面ABCD ，所以EH ⊥平面ABCD ， 所以EH HF ⊥.因为底面ABCD 是边长为1的正方形，//HF AD ，所以1HFAD ==.因为//CD 平面ABE ，所以点C 到平面ABE 的距离等于点H 到平面ABE 的距离. 易证平面EFH⊥平面ABE ，所以点H 到平面ABE 的距离，即为H 到EF 的距离h . 不妨设(0)2CDE πθθ∠=<≤，则sin EH θ=，EF =因为1122EHFS EF h EHFH=⋅⋅=⋅⋅V，所以21sin sinhθθ⋅+=，所以222211sin1sinhθθ==≤++，当2πθ=时，等号成立.此时EH与ED重合，所以1EH=，2111133E ABCDV-=⨯⨯=.故选：B.【点睛】本题考查空间中点到面的距离的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意辅助线及面面垂直的应用.5．已知i是虚数单位，若1z ai=+，2zz=，则实数a=（）A．2-2B．-1或1 C．1 D2【答案】B【解析】【分析】由题意得，()()2111zz ai ai a=+-=+，然后求解即可【详解】∵1z ai=+，∴()()2111zz ai ai a=+-=+.又∵2zz=，∴212a+=，∴1a=±.【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题6．设非零向量ar，br，cr，满足||2b=r，||1a=r，且br与ar的夹角为θ，则“||3b a-=r r是“3πθ=”的（）．A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用数量积的定义可得θ，即可判断出结论． 【详解】解：||b a -=r r ∴2223b a a b +-=r r r r g ，221221cos 3θ∴+-⨯⨯⨯=，解得1cos 2θ=，[0θ∈，]π，解得3πθ=，∴ “||b a -=r r 是“3πθ=”的充分必要条件． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查平面向量数量积的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题．7．已知函数3(1),1()ln ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，若()()f a f b >，则下列不等关系正确的是（ ）A ．221111a b <++ B C ．2a ab < D ．()()22ln 1ln 1a b +>+【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的单调性得到,a b 的大小关系，再利用不等式的性质，即可得答案. 【详解】∵()f x 在R 上单调递增，且()()f a f b >，∴a b >.∵,a b 的符号无法判断，故2a 与2b ，2a 与ab 的大小不确定， 对A ，当1,1a b ==-时，221111a b =++，故A 错误； 对C ，当1,1a b ==-时，21,1a ab ==-，故C 错误； 对D ，当1,1a b ==-时，()()22ln 1ln 1a b +=+，故D 错误；对B ，对a b >B 正确. 故选：B. 【点睛】本题考查分段函数的单调性、不等式性质的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题.8．已知实数x，y满足约束条件202201x yx yx+-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数21yzx-=+的最小值为A．23-B．54-C．43-D．12-【答案】B【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，目标函数21yzx-=+的几何意义为动点(),M x y到定点()1,2D-的斜率，利用数形结合即可得到z的最小值．【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：目标函数21yzx-=+的几何意义为动点(),M x y到定点()1,2D-的斜率，当M位于11,2A⎛⎫-⎪⎝⎭时，此时DA的斜率最小，此时1252114minz--==-+．故选B．【点睛】本题主要考查线性规划的应用以及两点之间的斜率公式的计算，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．9．设一个正三棱柱ABC DEF-，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面ABC的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的概率为10P，则10P为（）A．10111432⎛⎫⋅+⎪⎝⎭B．111132⎛⎫+⎪⎝⎭C．111132⎛⎫-⎪⎝⎭D．10111232⎛⎫⋅+⎪⎝⎭【解析】 【分析】由题意，设第n 次爬行后仍然在上底面的概率为n P .①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率为123n P -；②若上一步在下面，则第1n -步不在上面的概率是11n P --.如果爬上来，其概率是()1113n P --，两种事件又是互斥的,可得()1121133n n n P P P --=+-，根据求数列的通项知识可得选项. 【详解】由题意，设第n 次爬行后仍然在上底面的概率为n P .①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率为()1223n P n -≥； ②若上一步在下面，则第1n -步不在上面的概率是()11,2n P n --≥.如果爬上来，其概率是()()111,23n P n --≥， 两种事件又是互斥的,∴()1121133n n n P P P --=+-，即11133n n P P -=+，∴1112213n n P P -⎛⎫-- ⎪⎝⎭=，∴数列12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是以13为公比的等比数列，而123P =，所以111232nn P ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭， ∴当10n =时，1010111232P ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭， 故选：D. 【点睛】本题考查几何体中的概率问题，关键在于运用递推的知识，得出相邻的项的关系，这是常用的方法，属于难度题.10．已知函数()2x f x x x ln a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，关于x 的方程f （x ）＝a 存在四个不同实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，1）∪（1，e ）B ．10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．11e ⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．（0，1）【答案】D 【解析】原问题转化为221x x a a =有四个不同的实根，换元处理令t =，对g （t）21lnt t t ⎫=--⎪⎭进行零点个数讨论. 【详解】由题意，a ＞2，令t =， 则f （x ）＝a ⇔2x x x ln a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭⇔221x x a a -=⇔221t -=⇔210lnt t t ⎫-=⎪⎭． 记g （t）21lnt t t ⎫=-⎪⎭．当t ＜2时，g （t ）＝2ln （﹣t）t 1t-）单调递减，且g （﹣2）＝2， 又g （2）＝2，∴只需g （t ）＝2在（2，+∞）上有两个不等于2的不等根．则210lnt t t ⎫--=⎪⎭221tlntt =-， 记h （t ）221tlntt =-（t ＞2且t≠2）， 则h′（t ）()()()22222222212122141(1)(1)t t lnt lnt t t lnt t t t ⎛⎫-+- ⎪+--+⎝⎭==--．令φ（t ）2211t lnt t -=-+，则φ′（t ）()()2222222221211(1)(1)(1)t t t t t t t t t +---=-=-++＜2． ∵φ（2）＝2，∴φ（t ）2211t lnt t -=-+在（2，2）大于2，在（2，+∞）上小于2．∴h′（t ）在（2，2）上大于2，在（2，+∞）上小于2， 则h （t ）在（2，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减． 由211222112t t tlnt lnt limlim t →→+==-1，即a ＜2．∴实数a 的取值范围是（2，2）． 故选：D ． 【点睛】此题考查方程的根与函数零点问题，关键在于等价转化，将问题转化为通过导函数讨论函数单调性解决问题.11．某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均数据,绘制如下折线图,那么,下列叙述错误的是( )A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中,2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10°C 的月份有5个D ．从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势 【答案】D 【解析】 【分析】根据折线图依次判断每个选项得到答案. 【详解】由绘制出的折线图知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确；在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D. 【点睛】本题考查了折线图，意在考查学生的理解能力.12．已知定义在[)1,+∞上的函数()f x 满足()()33f x f x =，且当13x ≤≤时，()12f x x =--，则方程()()2019f x f =的最小实根的值为（ ） A ．168 B ．249C ．411D ．561【答案】C 【解析】 【分析】先确定解析式求出(2019)f 的函数值，然后判断出方程()()2019f x f =的最小实根的范围结合此时的5()3f x x =-，通过计算即可得到答案.【详解】当1x ≥时，()()33f x f x =，所以22()3()3()33x x f x f f ===L 3()3n n x f =，故当 +133n n x ≤≤时，[1,3]3n x ∈，所以()13,233(12)33,23n n nn n nx x x f x x x +⎧-≥⋅=--=⎨-<⋅⎩，而 672019[3,3]∈，所以662019(2019)3(12)3f =--=732109168-=，又当13x ≤≤时， ()f x 的极大值为1，所以当+133n n x ≤≤时，()f x 的极大值为3n ，设方程()168f x =的最小实根为t ，45168[3,3]∈，则56533(3,)2t +∈，即(243,468)t ∈，此时5()3f x x =-令5()3168f x x =-=，得243168411t =+=，所以最小实根为411. 故选：C. 【点睛】本题考查函数与方程的根的最小值问题，涉及函数极大值、函数解析式的求法等知识，本题有一定的难度及高度，是一道有较好区分度的压轴选这题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2 ()2021 年全国新高考 II 卷数学试题题号 一二三四总分得分注意事项：1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2. 请将答案正确填写在答题卡上第 I 卷（选择题）一、单选题2 - i1．复数1- 3i 在复平面内对应的点所在的象限为（）A .第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．设集合U = {1, 2, 3, 4,5, 6}, A = {1, 3, 6}, B = {2, 3, 4}，则 A (ðU B )= （ ）A ．{3}B ．{1, 6}C ．{5, 6}D ．{1, 3}3.抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的焦点到直线 y = x + 1 的距离为 ，则 p =（）A ．1B ．2C ．2 D ．44.北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为 O ，半径 r 为6400km 的球，其上点 A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S = 2r 2 (1 - cos ) （单位： km 2 ），则 S 占地球表面积的百分比约为（）A ．26%B ．34%C ．42%D ．50%5.正四棱台的上､下底面的边长分别为 2，4，侧棱长为 2，则其体积为（）A ．20 +12B .28 56C .328 2D .3N 10,26.某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（）试卷第 1 页，共 4 页2 3 2…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:姓名：班级：考号：…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………评卷人 得分A. 越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1) 的概率越大B. 越小，该物理量在一次测量中大于 10 的概率为 0.5C. 越小，该物理量在一次测量中小于 9.99 与大于 10.01 的概率相等D.越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2) 与落在(10,10.3) 的概率相等7.已知a = log 5 2 ，b =log 8 3 ， c = 12 ，则下列判断正确的是（ ）A ．c < b < a B ．b < a <c C. a < c < bD. a < b < c8.已知函数 f (x )的定义域为R ， f (x + 2)为偶函数， f (2x +1)为奇函数，则（）f ⎛ - 1 ⎫= 0 2⎪ f (-1)= 0 f (2)= 0 f (4)= 0 A. ⎝ ⎭B.C ．D ．二、多选题9.下列统计量中，能度量样本 x 1 , x 2,, x n的离散程度的是（ ） A ．样本 x 1 , x 2 ,, x n 的标准差 B ．样本 x 1 , x 2 ,, x n的中位数 C ．样本 x 1 , x 2,, x n的极差D ．样本 x 1 , x 2,, x n的平均数10. 如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M ，N 为正方体的顶点．则满足MN ⊥ OP 的是（）A ．B ．C ．D ．11.已知直线l : ax + by - r 2 = 0 与圆C : x 2 + y 2 = r 2，点 A (a , b ) ，则下列说法正确的是（）A ．若点 A 在圆 C 上，则直线 l 与圆 C 相切B ．若点 A 在圆C 内，则直线 l 与圆 C 相试卷第 2 页，共 4 页………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………评卷人 得分( )离C ．若点 A 在圆 C 外，则直线 l 与圆 C 相离D ．若点 A 在直线 l 上，则直线 l 与圆 C相切n = a⋅ 20+ a ⋅ 2 ++ a⋅ 2k -1+ a⋅ 2ka ∈{0,1} 12.设正整数0 1 k -1k，其中 i ，记(n )= a 0 + a 1 ++ a k．则（）A ．(2n )= (n ) C ．(8n + 5)=(4n + 3)B ．(2n + 3)= (n )+12n - 1 = n D ．第 II 卷（非选择题）三、填空题x 2 - y 2 = 113. 若双曲线 a 2 b 2的离心率为 2，则此双曲线的渐近线方程 ．14.写出一个同时具有下列性质①②③的函数f (x ):．① f (x 1 x 2 )= f (x 1 ) f (x 2 )；②当 x ∈(0, +∞) 时， f '(x ) > 0 ；③ f ' (x ) 是奇函数．15．已知向量a + b + c = 0 ， a = 1 ， b = c = 2，a ⋅b + b ⋅c + c ⋅ a = ． f ( x ) = e x - 1 , x < 0, x > 0A (x , f (x )) 16. 已知函数B (x 2 , f (x 2 ))1 2 ，函数 f (x ) 的图象在点 1 1和点 | AM | | BN |的两条切线互相垂直，且分别交 y 轴于 M ，N 两点，则取值范围是．四、解答题17. 记S n是公差不为 0 的等差数列{a n }的前 n 项和，若a 3 = S 5 , a 2a 4 = S 4 ．（1） 求数列{a n }的通项公式a n ；（2） 求使S n > a n成立的 n 的最小值．18. 在A BC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，b = a +1，c = a + 2 .． （1） 若2 s in C = 3sin A ，求A BC 的面积；试卷第 3 页，共 4 页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:姓名：班级：考号：…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………评卷人 得分评卷人得分3 2（2）是否存在正整数a ，使得 A BC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．19. 在四棱锥Q - ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，若 AD = 2,QD = QA =（1） 证明：平面QAD ⊥ 平面 ABCD ；（2） 求二面角 B - QD - A 的平面角的余弦值． x2 +y2= > >5,QC = 3 ．20. 已知椭圆 C 的方程为 a 2（1） 求椭圆 C 的方程；b 21(a b 0)，右焦点为 F ( 2, 0) ，且离心率为 3 ．（2） 设 M ，N 是椭圆 C 上的两点，直线MN 与曲线 x 2 + y 2 = b 2( x > 0) 相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是| MN |= ．21. 一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第 0 代，经过一次繁殖后为第 1 代，再经过一次繁殖后为第 2 代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设 X 表示 1 个微生物个体繁殖下一代的个数，P ( X = i ) = p i (i = 0,1, 2, 3) ．（1）已知 p 0 = 0.4, p 1 = 0.3, p 2 = 0.2, p 3 = 0.1 ，求 E ( X ) ；（2） 设 p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p 是关于 x 的方程：p + p x + p x 2 + p x 3 = x的一个最小正实根，求证：当 E ( X ) ≤ 1时， p = 1，当123E ( X ) > 1 时， p < 1；（3） 根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．22. 已知函数 f ( x ) = ( x - 1)e x- ax 2+ b ． （1） 讨论 f (x ) 的单调性；（2） 从下面两个条件中选一个，证明： f (x ) 只有一个零点1< a ≤ e , b > 2a ① 2 2 ；0 < a < 1, b ≤ 2a② 2 ．试卷第 4 页，共 4 页621+1 p- 0 +12……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………,1．A【分析】2 - i参考答案利用复数的除法可化简1- 3i ，从而可求对应的点的位置. 【详解】2 - i = (2 - i )(1+ 3i ) = 5 + 5i =1+ i⎛ 1 1 ⎫ 2 2 ⎪ 1- 3i 10 10 2 该点在第一象限， 故选：A. 2．B ，所以该复数对应的点为⎝ ⎭ ， 【分析】根据交集、补集的定义可求 A ⋂ (ðU B ). 【详解】 由题设可得ðU B = {1, 5, 6}，故 A ⋂ (ðU B )= {1, 6}，故选：B. 3．B 【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得 p 的值.【详解】⎛ p , 0 ⎫2 ⎪ 抛物线的焦点坐标为⎝ ⎭ ，d = =其到直线x - y +1 = 0 的距离： ，解得： p = 2 ( p = -6 舍去).故选：B. 4．C 【分析】由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.【详解】答案第 1 页，共 17 页学校:姓名：班级：考号：……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………22 - (2 2 - 2 )2 2由题意可得，S 占地球表面积的百分比约为：2r 2(1- c os ) = 1- c os=1-64006400 + 36000≈ 0.42 = 42% 4r 22 2 .故选：C .5．D【分析】由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解.【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，因为该四棱台上下底面边长分别为 2，4，侧棱长为 2，h = = 所以该棱台的高 ，下底面面积S 1 = 16 ，上底面面积S 2 = 4，V = 1 h (S + S + = 1 ⨯ 2 ⨯ (16 + 4 + 64 )= 28所以该棱台的体积故选：D. 6．D【分析】3 1 23 3 .由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.【详解】 对于 A ，2为数据的方差，所以越小，数据在= 10 附近越集中，所以测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大，故 A 正确；对于 B ，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于 10 的概率为0.5 ，故 B正确；答案第 2 页，共 17 页2 S 1S 2 ……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………2……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99 的概率相等，故C 正确；对于D，因为该物理量一次测量结果落在(9.9,10.0)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不同，所以一次测量结果落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同，故D 错误.故选：D.7．C【分析】对数函数的单调性可比较a 、b 与c 的大小关系，由此可得出结论.【详解】a = log 2 < log =1= log 2 < log 3 =b5 5故选：C.8．B2 8 8，即a <c <b .【分析】推导出函数f (x)是以4 为周期的周期函数，由已知条件得出f (1)= 0 ，结合已知条件可得出结论.【详解】因为函数f (x + 2)为偶函数，则 f (2 +x)=f (2 -x)，可得f (x + 3)=f (1-x)，因为函数f (2x +1)为奇函数，则f (1- 2x)=-f (2x +1)，所以，f (1-x)=-f (x +1)，所以，f (x + 3)=-f (x +1)=f (x -1)，即f (x)=f (x + 4)，故函数f (x)是以4 为周期的周期函数，因为函数F (x)=f (2x +1)为奇函数，则F (0)=f (1)= 0 ，故f (-1)=-f (1)= 0 ，其它三个选项未知.故选：B.9．AC【分析】考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选答案第 3 页，共17 页5学校:姓名：班级：考号：……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………项.【详解】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度； 由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势； 由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度； 由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势； 故选：AC. 10．BC【分析】根据线面垂直的判定定理可得 BC 的正误，平移直线MN 构造所考虑的线线角后可判断 AD的正误.【详解】设正方体的棱长为2 ，对于 A ，如图（1）所示，连接 AC ，则MN //AC ， 故∠POC （或其补角）为异面直线OP , MN 所成的角，tan ∠POC = 1 = 2在直角三角形OPC ， OC = 2 ， CP = 1，故 2 2 ， 故MN ⊥ OP 不成立，故 A 错误.对于 B ，如图（2）所示，取 NT 的中点为Q ，连接 PQ ， OQ ，则OQ ⊥ NT ， PQ ⊥ MN ， 由正方体SBCM - NADT 可得SN ⊥ 平面 ANDT ，而OQ ⊂ 平面 ANDT ， 故SN ⊥ OQ ，而SNMN = N ，故OQ ⊥ 平面SNTM ，答案第 4 页，共 17 页……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………又MN ⊂平面SNTM ，OQ ⊥MN ，而OQ PQ =Q ，所以MN ⊥平面OPQ ，而PO ⊂平面OPQ ，故MN ⊥OP ，故B 正确.对于C，如图（3），连接BD ，则BD//MN ，由B 的判断可得OP ⊥BD ，故OP ⊥MN ，故C 正确.对于D，如图（4），取AD的中点Q，AB 的中点K ，连接AC,PQ,OQ,PK,OK，则AC //MN ，因为DP =PC ，故PQ//AC ，故PQ//MN ，所以∠QPO 或其补角为异面直线PO,MN 所成的角，答案第 5 页，共17 页学校:姓名：班级：考号：……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………1+ 2 4 +1 5 r r r r因为正方体的棱长为 2，故PQ = 1 AC = 2 ， OQ = = = 3 ， PO = = = ， QO 2 < PQ 2 + OP 2，故∠QPO 不是直角，故 PO ,MN 不垂直，故 D 错误.故选：BC. 11．ABD 【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为a 2 + b 2 , r 2 的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.【详解】圆心C (0, 0)到直线 l 的距离2d = a 2 + b 2，若点 A (a , b )在圆 C 上，则a 2 + b 2 = r 2 ，所以2d = = r a 2 + b 2，则直线 l 与圆 C 相切，故 A 正确；若点 A (a , b )在圆 C 内，则a 2 + b 2 < r 2 ，所以2d = > r a 2 + b 2，则直线 l 与圆 C 相离，故 B 正确；若点 A (a , b )在圆 C 外，则a 2 + b 2 > r 2 ，所以2d = < r a 2 + b 2，则直线 l 与圆 C 相交，故 C 错误；答案第 6 页，共 17 页2AO 2 + AQ 2 PK 2 + OK 2 ……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………r，对于D 选项，，故，D 选项正确.若点A(a, b)在直线l 上，则a2 +b2 -r 2 = 0 即a2 +b2 =r 2 ，2d = = r所以a2 +b2，直线l 与圆 C 相切，故D 正确.故选：ABD.12．ACD【分析】利用(n)的定义可判断ACD 选项的正误，利用特殊值法可判断B 选项的正误.【详解】(n)=a0 +a1 ++a k2n =a ⋅ 21 +a ⋅ 22 ++a⋅ 2k +a⋅ 2k +1 对于A 选项，，0 1k -1 k ，所以，(2n)=a0 +a1 ++a k =(n)，A 选项正确；对于B 选项，取n = 2 ，2n + 3 = 7 =1⋅20 +1⋅21 +1⋅22 ∴(7)= 3，而2 = 0 ⋅20 +1⋅21 ，则(2)=1，即(7)≠(2)+1，B 选项错误；对于C 选项，8n + 5 =a ⋅ 23 +a ⋅ 24 ++a ⋅2k +3 + 5 = 1⋅20 +1⋅ 22 +a ⋅ 23 +a ⋅ 24 ++a ⋅ 2k +30 1 k0 1 k ，所以，(8n + 5)= 2 +a0 +a1 ++a k，4n + 3 =a ⋅ 22 +a ⋅ 23 ++a ⋅2k +2 + 3 =1⋅ 20 +1⋅21 +a ⋅ 22 +a ⋅ 23 ++a ⋅ 2k +20 1 k0 1 k ，所以，(4n + 3)= 2 +a0 +a1 ++a k，因此，(8n + 5)=(4n + 3)，C 选项正确；2n -1 = 20 + 21 ++ 2n-1(2n -1)=n故选：ACD.13．y =± 3x【分析】根据离心率结合a2 +b2 =c2 得出a, b 关系即可求出.【详解】由题离心率e =c= 2a ，即c = 2a ，答案第7 页，共17 页学校:姓名：班级：考号：……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………3( )R ( ) ( ) ( ) ( ) x > ( )0 ( )b = 又a 2+ b 2= c 2= 4a 2，即b 2= 3a 2，则 a ，故此双曲线的渐近线方程为 y = ± 3x .故答案为： y = ± f (x )= x 4 3x .f (x )= x 2n (n ∈ N * ) 14． （答案不唯一， 均满足）【分析】根据幂函数的性质可得所求的 f (x ).【详解】f (x )= x 4 f (x x )= (x x )4= x 4 x 4 = f (x ) f (x )取 ，则 1 21 2 1 2 1 2，满足①， f ' x = 4x3f ' x > 0 ， 时有 ，满足②，f ' x = 4x 3的定义域为，f ' -x = -4x 3 = - f ' x f ' x 又 ，故 是奇函数，满足③. f (x )= x 4f (x )= x 2n (n ∈ N * )故答案为：（答案不唯一， 均满足）- 9 15． 2【分析】2a +b +c = 0由已知可得 ，展开化简后可得结果.【详解】2 2 2 2(a +b +c ) = a + b + c + 2 (a ⋅ b + b ⋅ c + c ⋅ a )= 9 + 2 (a ⋅ b + b ⋅ c + c ⋅ a )= 0由已知可得 ，因此，9 a ⋅ b + b ⋅ c + c ⋅ a = -2 . -9故答案为： 2 .16．(0,1)【分析】结合导数的几何意义可得 x 1 + x 2 = 0，结合直线方程及两点间距离公式可得AM = ⋅ x 1 ， BN = ⋅ x 2，化简即可得解.【详解】答案第 8 页，共 17 页1+ e 2 x 11+ e 2 x 2 ……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………1+ e 2x 1AM BN⎩ ，则( )= 12 S 由题意，f (x )= ex⎧⎪1- e x, x < 0-1 = ⎨⎪e x -1, x ≥ 0 ⎧⎪-e x , x < 0 f ' x ⎨ ⎪⎩e x , x > 0 ， A (x ,1- e x 1) B (x , e x 2-1) k = -e x 1, k = ex2所以点 1和点 2 ， AM BN ,所以-e x 1⋅ e x2= -1, x + x = 0 ， AM : y -1+ e x 1= -e x 1(x - x ), M (0, e x 1x - e x 1+1)所以AM =所以同理BN x 2 ,⋅ x11，= ⋅ x 1，=所以x 2= e x 1∈(0,1) .故答案为：(0,1) 【点睛】 关键点点睛：解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件 x 1 + x 2 = 0，消去一个变量后，运算即可得 解.17．(1) a n = 2n - 6 ；(2)7. 【分析】(1) 由题意首先求得a 3 的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；(2) 首先求得前 n 项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定 n 的最小值.【详解】(1)由等差数列的性质可得： S 5 = 5a 3 ，则： a 3 = 5a 3 ,∴ a 3 = 0 ， a a = (a - d )(a + d )= -d 2设等差数列的公差为d ，从而有：2 433，S 4 = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = (a 3 - 2d )+ (a 3 - d )+ a 3 + (a 3 - d )= -2d，从而： -d 2= -2d ，由于公差不为零，故： d = 2 ，数列的通项公式为： a n = a 3 + (n - 3)d = 2n - 6 .(2)由数列的通项公式可得： a 1 = 2 - 6 = -4，则： n= n ⨯(-4)+ n (n -1)⨯ 2 = n 2 - 5n 2 ，答案第 9 页，共 17 页1 - cos2 C3 7 则不等式S n > a n 即： n 2- 5n > 2n - 6 ，整理可得： (n -1)(n - 6)> 0 ，解得： n < 1或n > 6 ，又n 为正整数，故n 的最小值为7 . 【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.18．（1） 15 7 4 ；（2）存在，且a = 2 .【分析】（1） 由正弦定理可得出2c = 3a ，结合已知条件求出a 的值，进一步可求得b 、c 的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出sin B ，再利用三角形的面积公式可求得结果；（2） 分析可知，角C 为钝角，由cos C < 0 结合三角形三边关系可求得整数a 的值.【详解】（1）因为2 sin C = 3sin A ，则2c = 2 (a + 2)= 3a ，则a = 4 ，故b = 5 ， c = 6 ， a 2 +b 2 - c 2 1 cos C = 2ab= 8 ，所以， C 为锐角，则sin C = =8 ， 因此， S △ ABC= 1 ab sin C = 1 ⨯ 4 ⨯ 5 ⨯ 3 7 = 15 72 2 8 4 ；（2）显然c > b > a ，若 ABC 为钝角三角形，则C 为钝角，a 2 +b 2 -c 2a 2 + (a +1)2 - (a + 2)2a 2 - 2a - 3 cos C ===< 0 由余弦定理可得2ab2a (a +1)2a (a +1)，解得-1 < a < 3 ，则0 < a < 3 ，由三角形三边关系可得a + a +1 > a + 2 ，可得a > 1， a ∈ Z ，故a = 2 .2 19．（1）证明见解析；（2）3 . 【分析】（1） 取 AD 的中点为O ，连接QO , CO ，可证QO ⊥ 平面 ABCD ，从而得到面QAD ⊥ 面ABCD .（2） 在平面 ABCD 内，过O 作OT //CD ，交 BC 于T ，则OT ⊥ AD ，建如图所示的空间坐标系，求出平面QAD 、平面 BQD 的法向量后可求二面角的余弦值. 【详解】答案第 10 页，共 17 页……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………5……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（1）取AD 的中点为O ，连接QO, CO .因为QA =QD ，OA =OD ，则QO ⊥AD ，而AD = 2, QA = ，故QO = = 2 .在正方形ABCD 中，因为AD = 2 ，故DO =1，故CO =，因为QC = 3 ，故QC 2 =QO2 +OC 2 ，故QOC 为直角三角形且QO ⊥OC ，因为OC AD =O ，故QO ⊥平面ABCD ，因为QO ⊂平面QAD ，故平面QAD ⊥平面ABCD .（2）在平面ABCD 内，过O 作OT //CD ，交BC 于T ，则OT ⊥AD ，结合（1）中的QO ⊥平面ABCD ，故可建如图所示的空间坐标系.答案第11 页，共17 页5 5 -1学校:姓名：班级：考号：……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………24k 2 2 y y 1 则 D (0,1, 0), Q (0, 0, 2), B (2, -1, 0)，故 BQ = (-2,1, 2), BD = (-2, 2, 0). 设平面QBD 的法向量n = (x , y , z )， ⎧ n ⋅ B Q = 0 ⎧-2x + y + 2z = 0 1 ⎨ ⎨y = 1, z = 则⎩n ⋅ BD = 0 即⎩-2x + 2 y = 0 ，取x = 1 ，则 2 ，⎛ 1 ⎫n = 1,1, ⎪ 故 ⎝ ⎭ .cosm , n =1 = 23 3而平面QAD 的法向量为m = (1, 0, 0)，故 1⨯ 2 .2二面角 B - QD - A 的平面角为锐角，故其余弦值为 3 .x 2 + 220．（1） 3 【分析】= 1 ；（2）证明见解析.（1） 由离心率公式可得a = 3 ，进而可得b 2，即可得解；（2） 必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证MN = 3；充分性：设直线MN : y = kx + b , (kb < 0)，由直线与圆相切得b 2 = k 2 +1 ，联立直线与椭圆方程结合弦长公式可得⋅ 1+ 3k 2=，进而可得k = ±1 ，即可得解.【详解】（1）由题意，椭圆半焦距c =e = c= 2 且 a63 ，所以a = 3 ，x 2+ 2 = 又b 2 = a 2 - c 2= 1，所以椭圆方程为 3 ； （2）由（1）得，曲线为x 2 + y 2= 1(x > 0) ， 当直线MN 的斜率不存在时，直线MN : x = 1，不合题意； 当直线MN 的斜率存在时，设M (x 1 , y 1 ), N (x 2 , y2 )， 必要性：MN : y = k (x - 2)kx - y -2k = 0若 M ，N ，F 三点共线，可设直线即 ，答案第 12 页，共 17 页1+ k 23 ……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………2k = 1 k 2 +1 3 2( x + x - 4x ⋅ x 1 2 ) 21 23 bk 2 +1 1+ k 2( x + x - 4x ⋅ x 1 2 ) 21 2 1+ k 224k 22 3 ……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………( 3(k -1 = 0)由直线MN 与曲线x 2 + y 2 = 1(x > 0) 相切可得 ，解得k = ±1 ， ⎧ y = ± x - 2⎪ ⎨ x 223⎪ + y = 1 联立⎩ 3可得4x 2- 6 2x + 3 = 0 ，所以 x 1 + x 2 = 2 , x 1 ⋅ x 2 = 4 ， MN = 1+1 ⋅= 所以,所以必要性成立；充分性：设直线MN : y = kx + b , (kb < 0)即kx - y + b = 0 ，= 1由直线MN 与曲线x 2 + y 2 = 1(x > 0) 相切可得 ，所以b 2 = k 2+1 ，⎧ y = kx + b ⎪ ⎨ x2 2 ⎪⎩3 + y = 1(1+ 3k 2 )x 2 + 6kbx + 3b 2 - 3 = 0 联立 可得 ，6kb3b 2 - 3 所以x 1 + x 2 = - 1+ 3k 2 , x 1 ⋅ x 2 = 1+ 3k 2 ，MN = ⋅ = 所以= ⋅1+ 3k 2 = 3 ，22化简得 ，所以k = ±1 ，⎧⎪k = 1⎨所以⎪⎩b = - ⎧⎪k = -1 ⎨ 或⎪⎩b = ，所以直线MN : y = x -或 y = -x + ，所以直线MN 过点 F ( 2, 0) ，M ，N ，F 三点共线，充分性成立；所以 M ，N ，F 三点共线的充要条件是| MN |= ． 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重.21．（1）1；（2）见解析；（3）见解析.【分析】答案第 13 页，共 17 页1+ k 2- ⎛ 6kb ⎫23b 2 - 3 ⎝ 1+ 3k 2 ⎭ 1+ 3k 2 ⎪ - 4 ⋅ 2 2 2 学校:姓名：班级：考号：……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………)（1） 利用公式计算可得 E ( X ) .（2） 利用导数讨论函数的单调性，结合f (1)= 0 及极值点的范围可得 f (x )的最小正零点.（3） 利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.【详解】（1）E ( X ) = 0 ⨯ 0.4 +1⨯ 0.3 + 2 ⨯ 0.2 + 3⨯ 0.1 = 1. f (x )= p x 3 + p x 2 + (p -1)x + p（2） 设 3 2 1，p + p + p + p = 1f (x )= p x 3 + p x 2 - (p + p + p )x + p 因为 3 2 1 0 ，故3 2 2 0 3，E (X )≤ 1 p + 2 p + 3 p ≤ 1p + 2 p ≤ p若 ，则 1 2 3，故 23 0 . f '(x )= 3 p x 2 + 2 p x - (p + p + p )3223，因为 f '(0)= -(p 2 + p 0 + p 3 )< 0 ， f '(1)= p 2 + 2 p 3 - p 0 ≤ 0 ，f '(x ) x , xx < 0 < 1 ≤ x 故 有两个不同零点 1 2 ， 且 12 ， 且 x ∈(-∞, x 1 )⋃(x 2 , +∞)时， f '(x )> 0 ； x ∈(x 1 , x 2 )时， f '(x )< 0；故 f (x )在(-∞, x 1 )， (x 2 , +∞)上为增函数，在(x 1 , x 2 )上为减函数，若 x 2 = 1，因为 f (x )在(x 2 , +∞)为增函数且 f (1)= 0 ，而当 x ∈(0, x 2 )时，因为 f (x )在(x 1 , x 2 )上为减函数，故 f (x )> f (x 2 )= f (1)= 0 ，p + p x + p x 2 + p x 3 = x故1为 0 12 3 的一个最小正实根，x > 1f (1)= 0 (0, x 2 )p + p x + p x 2 + p x 3 = x 若 2 ，因为 且在 上为减函数，故 1 为 0 1 2 3的一个最小正实根，综上，若 E (X )≤ 1 ，则 p = 1.若 E (X )> 1，则 p 1 + 2 p 2 + 3 p 3 > 1 ，故 p 2 + 2 p 3 > p 0 . 此时 f '(0)= -(p 2 + p 0 + p 3 )< 0 ， f '(1)= p 2 + 2 p 3 - p 0 > 0 ，故f '(x )有两个不同零点 x 3 , x 4 ，且 x 3 < 0 < x 4 < 1，且 x ∈(-∞, x 3 ) (x 4 , +∞)时， f '(x )> 0 ； x ∈(x 3 , x 4 )时， f '(x )< 0 ；答案第 14 页，共 17 页……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………( ) () 故 f (x )在(-∞, x 3 )， (x 4 , +∞)上为增函数，在(x 3 , x 4 )上为减函数，而 f (1)= 0 ，故 f (x 4 )< 0 ，又f (0)= p 0 > 0 ，故 f (x )在(0, x4 )存在一个零点 p ，且 p < 1. 所以 p为 p + p x + p x 2 + p x 3 = x 的一个最小正实根，此时 p < 1， 0123故当E (X )> 1时， p < 1.（3） 意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过 1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过 1，则若干代后被灭绝的概率小于 1. 22．(1)答案见解析；(2)证明见解析.【分析】(1) 首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可； (2) 由题意结合(1)中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论.【详解】f ' x = x e x- 2a(1) 由函数的解析式可得：，当a ≤ 0 时，若 x ∈(-∞, 0)，则 f '(x )< 0, f (x )单调递减，若x ∈(0, +∞)，则f '(x )> 0, f (x )单调递增；0 < a < 1x ∈(-∞, ln (2a ))f '(x )> 0, f (x ) 当 2 时，若 ，则 单调递增，若 x ∈ (ln (2a ), 0)，则 f '(x )< 0, f (x )单调递减， 若x ∈(0, +∞)，则f '(x )> 0, f (x )单调递增；a = 1 f '(x )≥ 0, f (x )当 2 时， 在R 上单调递增； a > 1 x ∈(-∞, 0) f '(x )> 0, f (x ) 当 2 时，若 ，则 单调递增， 若 x ∈ (0, ln (2a ))，则 f '(x )< 0, f (x )单调递减， 若 x ∈ (ln (2a ), +∞)，则 f '(x )> 0, f (x )单调递增；(2) 若选择条件①：1 < a … e由于2 2 ，故1 < 2a ≤ e 2 ，则b > 2a > 1, f (0)= b -1 > 0 ，答案第 15 页，共 17 页2b a b a 1- b1- a 1- b 1- a 当时， ， ，b⎛ ⎫ ⎛ ⎫ - bf - ⎪ = -1- ⎪ e a- b + b < 0而 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭， 而函数在区间(-∞, 0)上单调递增，故函数在区间(-∞, 0)上有一个零点.f (ln (2a ))= 2a ⎡⎣ln (2a )-1⎤⎦ - a ⎡⎣ln (2a )⎤⎦2+ b > 2a ⎡⎣ln (2a )-1⎤⎦ - a ⎡⎣ln (2a )⎤⎦2+ 2a = 2a ln (2a )- a ⎡⎣ln (2a )⎤⎦2= a ln (2a )⎡⎣2 - ln (2a )⎤⎦ ，1 < a … e2 21 < 2a ≤ e 2a ln (2a )⎡⎣2 - ln (2a )⎤⎦ ≥ 0 由于，，故 ，结合函数的单调性可知函数在区间(0, +)上没有零点.综上可得，题中的结论成立.若选择条件②：0 < a < 1f (0)= b -1 ≤ 2a -1 < 0由于2 ，故2a < 1 ，则 ，b ≥ 0 e 2> 4, 4a < 2 f (2)= e 2- 4a + b > 0 而函数在区间(0, +)上单调递增，故函数在区间(0, +)上有一个零点.H xe x x 1H ' x = e x -1当时，构造函数，则 ，当 x ∈(-∞, 0)时， H '(x )< 0, H (x )单调递减， 当 x ∈(0, +∞)时， H '(x )> 0, H (x )单调递增，注意到 H (0)= 0，故 H (x )≥ 0 恒成立，从而有： e x ≥ x +1 ，此时：f (x )= (x -1)e x - ax 2 - b ≥ (x -1)(x +1)- ax 2 + b = (1- a )x 2 + (b -1)x > (1- a )x 2 + (b -1)> 0当 时， ，x 0 = +1取，则 f (x 0 )> 0 ，答案第 16 页，共 17 页……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………，21-b 1-a……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………⎛f (0)< 0, f +1⎫> 0⎪即：⎝⎭，而函数在区间(0, +)上单调递增，故函数在区间(0, +)上有一个零点.f (ln (2a))= 2a ⎡⎣ln (2a)-1⎤⎦-a ⎡⎣ln (2a)⎤⎦2 +b≤ 2a ⎡⎣ln (2a)-1⎤⎦-a ⎡⎣ln (2a)⎤⎦2 + 2a= 2a ln (2a)-a ⎡⎣ln (2a)⎤⎦2=a ln (2a)⎡⎣2 - ln (2a)⎤⎦，0 <a <1 a ln (2a)⎡⎣2 - ln (2a)⎤⎦< 0由于 2 ，0 < 2a <1，故，结合函数的单调性可知函数在区间(-∞, 0)上没有零点.综上可得，题中的结论成立.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．答案第17 页，共17 页学校:姓名：班级：考号：……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………。