保密★启用并使用完毕前淄博市2013—2014学年度高三模拟考试试题文 科 数 学本试卷，分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．共4页，满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、区县和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|02}A x x =<<，{|(1)(1)0}B x x x =-+>，则A B =A ．()01，B ．()12，C ．(,1)(0,)-∞-+∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞ 2．在复平面内，复数2ii+ 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知tan =2α，那么sin 2α的值是A ．45-B ． 45C ．35-D ．354．在等差数列{}n a 中，已知3810a a +=，则753a a += A ．10 B ．18 C ．20 D ．285．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为2，则输出的x的值为A ．3B ．126C ．127D ．1286．设1a >，0b >，若2a b +=，则121a b+-的最小值为A ．3+B ．6C ．D ．7．把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，形成的三棱锥A BCD -的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为ABC D8．下列说法正确．．的是 A ．“p q ∨为真”是“p q ∧为真”的充分不必要条件；B ．设有一个回归直线方程为ˆ2 1.5yx =-，则变量x 每增加一个单位，ˆy 平均减少1.5个单位；C ．若[],0,1a b ∈，则不等式2214a b +<成立的概率是4π； D ．已知空间直线,,a b c ，若a b ⊥，b c ⊥，则//a c ．9．过抛物线24y x =焦点F 的直线交其于A ，B 两点，O 为坐标原点．若||3AF =，则AOB ∆的面积为A ．22B ．2C ．223 D ．2210．若函数()f x 的导函数在区间(),a b 上的图像关于直线2a bx +=对称，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是A ．①④B ．②④C ．②③D ．③④第Ⅱ卷(共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知函数()f x 为奇函数，当0x >时，2()log f x x =，则满足不等式()0f x >的x 的取值范围是 ．12．已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+-≤-+0101205x y x y x ，则2z x y =+的最大值是 ．13．已知向量a 、b 的夹角为060，且||2a = ，||1b = ，则向量a 与向量2a b + 的夹角等于 ．14．已知点()()2,0,0,2A B -，若点C 是圆2220x x y -+=上的动点，则ABC △面积的最小值为 ．15．对于大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：3331373152,39,4,5171119……⎧⎧⎪⎧⎪⎪===⎨⎨⎨⎩⎪⎪⎩⎪⎩．仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是2015， 则m = ．16．（本题满分12分） 已知向量1sin ,22x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，)1,2sin 2cos 3(x x b -= ，函数b a x f ⋅=)(，ABC ∆ 三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c . （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若()1,f B C +=1a b ==，求ABC ∆的面积S ． 17．（本题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形11BBC C 是矩形，1BB ⊥平面ABC ，CA CB =，11A B ∥AB ，112AB A B =，E ，F 分别是AB ，1AC 的中点．（Ⅰ）求证：EF ∥平面11BBC C ； （Ⅱ）求证：11C A ⊥平面11ABB A ． 18．（本题满分12分）参加市数学调研抽测的某校高三学生成绩分析的茎叶图和频率分布直方图均受到不同程度的破坏，但可见部分信息如下，据此解答如下问题：（Ⅰ）求参加数学抽测的人数n 、抽测成绩的中位数及分数分别在[)80,90，[]90,100内的人数；（Ⅱ）若从分数在[]80,100内的学生中任选两人进行调研谈话，求恰好有一人分数在[]90,100内的概率． 19．(本题满分12分)三、解答题：本大题6小题，共75分在数列{}n a 中，112a =-，121n n a a n -=--*(2,)n n N ≥∈，设n n b a n =+． （Ⅰ）证明：数列{}n b 是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n nb 的前n 项和n T ；（Ⅲ）若1()2nn n c a =-，n P 为数列221n n nn c c c c ⎧⎫++⎨⎬+⎩⎭的前n 项和，求不超过2014P 的最大的整数．20．（本题满分13分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，右焦点2F 到直线1:340l x y +=的距离为35． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过椭圆右焦点F 2斜率为k （0k ≠）的直线l 与椭圆C 相交于E F 、两点，A 为椭圆的右顶点，直线AE AF ,分别交直线3x =于点M N ,，线段MN 的中点为P ，记直线2PF 的斜率为k '，求证：k k '⋅为定值． 21．（本题满分14分）已知函数x x x f ln )(=，2)(2-+-=ax x x g （ 2.71e ≈，a R ∈）．（Ⅰ）判断曲线)(x f y =在点（1，)1(f ）处的切线与曲线)(x g y =的公共点个数； （Ⅱ）当1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，若函数)()(x g x f y -=有两个零点，求a 的取值范围．一模数学试题参考答案及评分说明2014.3一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．B 2．D 3．B 4．C 5．C 6．A 7．D 8．B 9．C 10．D 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11．（文科）(1,0)(1,)-+∞ 12．9 13．（文科）6π（或030） 14．（文科）3 15．（文科）4516．（文科 本题满分12分）解：（Ⅰ）由题意得1()sin sin )2222x x x f x a b =⋅=-+21cos sin 2222x x x =-+三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．=212cos 1sin 23+--x x =x x cos 21sin 23+πsin()6x =+ ，…………3分令πππ2π2π262k x k -≤+≤+ ()Z k ∈ 解得2ππ2π2π 33k x k -≤≤+ ()Z k ∈ 所以函数()f x 的单调增区间为2ππ2π,2π33k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()Z k ∈ .………………6分 （Ⅱ） 解法一：因为()1,f B C +=所以πsin()16B C ++=，又(0,π)B C +∈，ππ7π(,)666B C ++∈,所以πππ,623B C B C ++=+=，所以2π3A =, …………………………8分由正弦定理Bb A a sin sin =把1a b ==代入，得到1sin 2B = …………10分得6B π= 或者56B π= ，因为23A π= 为钝角，所以56B π=舍去所以π6B =，得π6C =.所以，ABC ∆的面积111sin 12224S ab C ==⋅=. ……………………12分 解法二：同上（略）2π3A =, …………………………8分 由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-，得231c c =++，1c =或3-（舍去）10分所以，ABC ∆的面积11sin 112224S bc A ==⋅⋅⋅=. ……………………12分 17．（文科 本题满分12分）证明：（Ⅰ）连接1BC ，因为 E 、F 分别是AB ,1AC 的中点，所以 EF ∥1BC ．………………………2分又因为 EF ⊄平面11BBC C ，1BC ⊂平面11BBC C ， 所以 EF ∥平面11BBC C ．…………4分（Ⅱ）连结1A E ，CE .因为 1BB ⊥平面ABC ，1BB ⊂平面11A ABB ， 所以 平面11A ABB ⊥平面ABC …………………………………………6分因为 CA CB =，E 是AB 的中点， 所以CE AB ⊥所以 CE ⊥平面11A ABB ． …………………………………………8分 因为 11B A ∥BA ,111=2B A BA BE =所以 四边形11A EBB 为平行四边形，所以 11//BB A E . ……………………10分 又 11//BB CC ，所以 11//A E CC 所以 四边形11A ECC 为平行四边形， 则 11C A ∥CE . 所以 11C A ⊥平面11ABB A ． …………………12分 18．（文科 本题满分12分）解：（Ⅰ）分数在[)50,60内的频数为2，由频率分布直方图可以看出，分数在[]90,100内同样有2 人． ……………………………………………2分， 由2100.008n=⨯， 得25n = ， ……………………………………………3分 茎叶图可知抽测成绩的中位数为73 ． …………………………………4分∴分数在[)80,90之间的人数为()25271024-+++= ……………………5分参加数学竞赛人数25n =，中位数为73，分数在[)80,90、[]90,100内的人数分别为4 人、2 人． ………………………………………6分（Ⅱ）设“在[]80,100内的学生中任选两人，恰好有一人分数在[]90,100内”为事件M ，将[)80,90内的4人编号为a b c d ,,, ；[]90,100内的2人编号为A B , 在[]80,100内的任取两人的基本事件为：,,ab ac ad aA aB ,,,b c b d,, ,bA bB ,cd cA cB dA dB AB ,,,,,共15个…………………………………………9分其中，恰好有一人分数在[]90,100内的基本事件有,aA aB ,,bA bB ,,cA cB dA ,,dB ,共8个故所求的概率得()8=15P M ………………………11分 答：恰好有一人分数在[]90,100内的概率为815………………………12分 19．(文科 本题满分12分)解证：（Ⅰ）由121n n a a n -=--两边加2n 得，12()1n n a n a n -+=+- ……2分所以 11(1)2n n a n a n -+=+-， 即 112n n b b -=，数列{}n b 是公比为2的等比数列…3分其首项为11111122b a =+=-+=，所以1()2n n b = …………………………4分（Ⅱ）1()22nn n nnb n =⋅=……………………………………5分 234112*********n n n n nT --=++++++L ①122345112341222222n n n n nT +-=++++++L ② ①-②得2341111111111222222222n n n n n n nT ++=+++++-=--所以 222n nn T +=-………………………………………………8分 (Ⅲ)由(Ⅰ)得1()2nn a n =-，所以n c n =22221111111(1)1n n n n c c n n c c n n n n n n ++++==+=+-++++ ……………10分 201411111111(1)(1)(1)(1)12233420142015P =+-++-++-+++-120152015=-所以不超过2014P 的最大的整数是2014．………………………………12分20．（文科 本题满分13分） 解证：（Ⅰ）由题意得21==a c e1=，……………………………2分所以1c =，2=a ，所求椭圆方程为13422=+y x ． …………………… 4分 （Ⅱ）设过点()1,0P 的直线l 方程为：)1(-=x k y ，设点),(11y x E ，点),(22y x F …………………………………5分将直线l 方程)1(-=x k y 代入椭圆134:22=+y x C 整理得：01248)34(2222=-+-+k x k x k ………………………………… 6分 因为点P 在椭圆内，所以直线l 和椭圆都相交，0∆>恒成立，且3482221+=+k k x x 341242221+-=⋅k k x x …………………………7分 直线AE 的方程为：)2(211--=x x y y ，直线AF 的方程为：)2(222--=x x y y令3=x ，得点113,2y M x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，223,2y N x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，所以点P 的坐标121213,222y y x x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭………………………………… 9分直线2PF 的斜率为)22(41130)22(21'22112211-+-=---+-=x y x yx y x y k4)(24)(32414)(2)(241212121212121211212++-++-⋅=++-+-+=x x x x kx x k x kx x x x x y y y x x y ……… 11分 将34124,34822212221+-=+=+k k x x k k x x 代入上式得：222222224128234134343'412844244343k k k k k k k k k k kk k -⋅-⋅+++=⋅=---+++ 所以'k k ⋅为定值43- ………………………………… 13分21．（文科 本题满分14分） 解：（Ⅰ）()ln 1f x x '=+，所以斜率(1)1k f '== …………………………2分又(1)0f =，曲线在点（1，0）处的切线方程为1-=x y …………3分由222(1)101y x ax x a x y x ⎧=-+-⇒+-+=⎨=-⎩ ……………………4分 由△=22(1)423a a a --=--可知：当△>0时，即1-<a 或3>a 时，有两个公共点； 当△=0时，即1-=a 或3=a 时，有一个公共点；当△<0时,即31<<-a 时，没有公共点 ……………………7分 （Ⅱ）)()(x g x f y -==x x ax x ln 22++-，由0=y 得x x x a ln 2++= ……………………8分 令x x x x h ln 2)(++=，则 2(1)(2)()x x h x x-+'= 当1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由 ()0h x '= 得 1x = …………………10分 所以，)(x h 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在[]1,e 上单调递增因此，3)1()(min ==h x h ……………………11分由11()21h e ee =+-，2()1h e e e =++比较可知1()()h h e e> 所以，当3a <≤21e e++时，函数)()(x g x f y -=有两个零点.……………14分。
