三角函数中的数形结合例题及其解法
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【数形结合思想在函数与三角函数中的应用】数形结合思想是数学解题中常用的思想方法,数形结合思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质;另外,由于使用了数形结合的方法,很多问题便迎刃而解,且解法简捷。
有关函数的定义域、值域、单调性、对称轴等问题1. 函数2sin cos (0)y x x ωωω=>的最小正周期是ω,则函数()2sin 2f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭的一个单调递增区间是( ) A. ,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. ,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2. 函数y x =+⎛⎝ ⎫⎭⎪sin 252π的图像的一条对称轴是( )A. x =-π2B. x =-π4C. x =π8D. x =54π 3. 如果||x ≤π4,求函数f x x x ()cos sin =+2的最小值4. 已知向量(cos sin ,sin ),(cos sin ,2cos ),().a x x x b x x x f x a b =+=-=∙设(1)求函数()f x的最小正周期;(2)当,44xππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,求函数()f x的最大值和最小值。
5.已知函数2()sin sin(0)2f x x x xπωωωω⎛⎫=+>⎪⎝⎭的最小正周期为π(1)求ω的值;(2)求函数()f x在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围。
● 分段函数问题1. 设函数2()2()g x x x R =-∈,()4,(),(),().(){g x x x g x g x x x g x f x ++<-≥=则()f x 的值域是( )A .9,0(1,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦ B .[0,)+∞ C .9[,)4-+∞ D .9,0(2,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦2. 已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩是(,)-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是( )(A )(0,1) (B )1(0,)3(C )11(,)73(D )1[,1)73. 定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数,若()f x 的最小正周期是π,且当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()sin f x x =,则5()3f π的值为( )A. -12 B. 12C.-D.4. 画出21,0,0x y x x x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩ 函数图象,写出函数的定义域和值域。
【例2】某片绿地形〉图所示,其中匕4=60°,AB±BC f AD'CD,ng二200/n,CZ?=100/n.求8C的长.(精确到Is.73^1.732)解题思路:本题的解题关键是构造直角三角形,构造的原则是不能破环匕4所以连结NC不 行.延长和8C交于一点£(如图1),这样既构造出了直角三角形,又保全了特殊街&;或过点Q作矩形ABEF(如图2)来求解.【例3】如图,已知正方形49口)中,£为8匚上一点.将正方形折叠起来,使京N和点£重合,折痕为M/V.若tanQ£N=?,£?C+(T=10.(1)求以他的面积;(2)求sin ZENB的值.解题思踣:将tan A4£V=|与DC Q=10结合起来,可求出相关线段的长,为解朝铺平道路.【例4】如图,容轮沿折线K—8—C从4出发经8田到C匀速航行,货轮从的中点Q出发沿某一方向匀i:线航行,将一批物品送达客轮.两船同时起航,并同时到达折度4—8—C上 的桌点£处,已知4g=8C=2O0海里,^ABC=90°,客?觥麋的2倍,(1)选择:两船相遇之处£点()〜/ZA.在象础上//ZB.在线段8C上c—-----------pnC.可以在线段上,也可以在线段8C上(2)求货轮从出发到两船相遥共航行了多少海里?(结果保留根号)(南宗市中考试题)解题思85:对于(2),过。
作DF'CB于£设DE=X,建立关于x的方程.【例5]若直角三角形的两个洗角A, B的正弦是方程x2+px+g=0的两个根.(1)那么,实数们g应海足哪些条{牛?(2)如果日,q满足这些条件,方程/+哗+。
二0的两个根是否等于直角三角形的两个说角凡〃的正弦?(江苏肯竟葡国解题思路:解本例的关健是建立严密约束条件下的含不等式、等式的混合组,需综舍运用一元:次三角函数的知识与方法.【例6】设子,b,(■是直角三角形的三边,。
十一种类型的三角函数最值问题1.利用三角函数的有界性求最值利用正弦函数、余弦正数的有界性:∣sinx ∣≤1,∣cosx ∣≤1,可求形如y=Asin(ωx+φ),y=Acos(Asin(ωx+φ)(A ≠0, φ≠0)的函数最值.例:已知函数y=12 cos 2x+32 sinxcosx+1,x ∈R,当函数y 取得最大值时,求自变量x 的集合.2.反函数法 例:求函数1cos 21cos 2-+=x x y 的值域[分析] 此为dx c bx a y -+=cos cos 型的三角函数求最值问题,分子、分母的三角函数同名、同角,先用反解法,再用三角函数的有界性去解。
3.配方法—---转化为二次函数求最值例:求函数y=f(x)=cos 22x-3cos2x+1的最值.4.引入辅助角法y=asinx+bcosx 型处理方法:引入辅助角ϕ ,化为y=22b a +sin (x+ϕ),利用函数()1sin ≤+ϕx 即可求解。
Y=asin 2x+bsinxcosx+mcos 2x+n 型亦可以化为此类。
例:已知函数()R x x x x y ∈+⋅+=1cos sin 23cos 212当函数y 取得最大值时,求自变量x 的集合。
[分析] 此类问题为x c x x b x a y 22cos cos sin sin +⋅+=的三角函数求最值问题,它可通过降次化简整理为x b x a y cos sin +=型求解。
5. 利用数形结合 例: 求函数y xx=+s in c o s 2的最值。
解:6、换元法例:若0<x<2π,求函数y=(1+1sinx )(1+1cosx )的最小值.7. 利用函数在区间内的单调性8. 例: 已知()π,0∈x ,求函数xx y sin 2sin +=的最小值。
[分析] 此题为xax sin sin +型三角函数求最值问题,当sinx>0,a>1,不能用均值不等式求最值,适合用函数在区间内的单调性来求解。
锐角三角函数帮你解决生活中的问题锐角三角函数是学好三角学及本章内容的关键和基础. 锐角三角函数, 既是本章的重点,也是难点. 此内容又是数形结合的典范. 这涉及数学各个分支,又在工程,测量,军事,工业,农业,航海,航空等诸领域都有应用. 因而,对本单元的学习必须引起足够的重视,特别是在日常生活中的应用更加广泛,下面举几例与同学们共赏一、车厢离地面多少米?问题1:如图,自卸车厢的一个侧面是矩形ABCD ,AB =3米,BC =0.5米,车厢底部离地面1.2米,卸货时,车厢倾斜的角度060=θ,问此时车厢的最高点A 离地面多少米?(精确到1米)【思路解析:】此题只需求出点A 到CE 的距离,于是过A 、D 分别作AG ⊥CE ,DF ⊥CE ,构造直角三角形,解Rt △AHD 和Rt △CDF 即可求解.过点A 、D 分别作CE 的垂线AG 、DF ,垂足分别为G 、F ,过D 作DH ⊥AG 于H ,则有:23323360sin 0=⨯=⋅=CD DF 41215.060cos 0=⨯=⋅=AD AH 于是A 点离地面的高度为42.141233≈++(米). 所以,车厢的最高点A 离地面约为4米.点评:本题只要将实际问题转化为解直角三角形的问题,然后,运用三角函数的有关知识即可解决.二、如何将角橱搬进房间?问题2:如图1所示是某立式家具(角书橱)的横断面,请你设计一个方案(角书橱高2米,房间高2.6米,所以不从高度方面考虑方案的设计),按此方案可以使该家具通过如图2中的长廊搬入房间,在图2中把你的设计方案画成草图,并说明按此方案可把家问题一图HG FDCB A具搬入房间的理由(注:搬动过程中不准拆卸家具,不准损坏墙壁).问题二图1问题二图2【思路解析:】如说理图所示,作直线AB ,延长DC 交AB 于E ,由题意可知,△ACE 是等腰直角三角形,所以CE =0.5,DE =DC +CE =2,作DH ⊥AB 于H ,则245sin 2sin 0==∠⋅=HED DE DH ,∵5.12<,∴可按此方案设计图将家具从长廊搬入房间. 答案:设计方案草图如图所示.设计方案图设计方案说理图.点评:本题是一道比较贴近生活的实际问题,学生看到题目感到比较亲切、自然,但本题重点考查学生综合运用所学知识解决实际问题的探究和创新能力.本题还反映了生活中常见的实际情况,很有创意,并充分体现了学数学用数学的价值,角书橱过长廊进入房间,必须要放倒倾斜搬进,不能正面直入,方案的设计也多种多样.三、是否有进入危险区域的可能?问题3:一艘渔船正以30海里/小时的速度由西向东追赶鱼群,在A 处看见小岛C 在船的北偏东600方向,40分钟后,渔船行至B 处,此时看见小岛C 在船的北偏东300方向,已知以小岛C 为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区,问这艘渔船继续向东追赶鱼群,是否有进入危险区域的可能?【思路解析】此题是一个重要题型——航海问题,解这类题要弄清方位角、方向角的概念,正确地画出示意图,然后根据条件解题.此题可先求出小岛C 与航向(直线AB )的距离,再与10海里进行比较得出结论.解:过C 作AB 的垂线CD 交AB 的延长线于点D ∵CD AD =30cot ,CDBC =060cot , ∴030cot ⋅=CD AD ,60cot ⋅=CD BD ,∴20)60cot 30(cot 0=-=-CD BD AD ∴31033320=-=CD , ∵310>10.∴这艘渔船继续向东追赶鱼群不会进入危险区域.点评:正确解答这类问题,第一步,根据材料提供的生活背景,画出几何图形,并把实际问题数学化,分析出作为一个数学问题的已知条件和问题。
1。
5 正弦函数典题精讲1.周期函数一定都有最小正周期吗?剖析:并不是所有周期函数都存在最小正周期.很多同学对此产生质疑,其突破的方法是:通过经验的积累,考虑特殊的周期函数.例如:常数函数f(x)=C(C为常数),x∈R.当x取定义域内的任意值时,函数值都是C,即对于函数f(x)的定义域内的每一个值x都有f(x+T)=C,因此f(x)是周期函数,由于T可以是任意不为零的常数,而正数集合中没有最小者,所以f(x)没有最小正周期. 2。
正弦函数线有何作用?剖析:有的同学学习了正弦线后,感到正弦线没有什么用处.其突破的路径是准确理解正弦线的定义和平时经验的积累。
正弦线是当点P为终边与单位圆交点时,正弦函数值的直观表现形式.正弦线的方向和长度直观反映了正弦值的符号和绝对值.由正弦线的方向判断正弦值的正负,由正弦线的长度确定正弦值的绝对值大小。
由此可见,用正弦线表示正弦函数值,反映了变换与转化、数形的结合与分离的思想方法。
正弦函数在各象限的符号除从各象限点的坐标的符号结合正弦函数的定义来记忆之外,也可以根据画出的正弦线的方向记忆.正弦线的主要作用是解三角不等式、证明三角不等式、求函数定义域及比较三角函数式的大小,同时它也是以后学习正弦函数的图像与性质的基础.例如:求函数y=log2(sinx)的定义域。
思路分析:转化为解三角不等式sinx>0.图1—4—5解:要使函数有意义,x 的取值需满足sinx >0。
如图1—4—5所示,MP 是角x 的正弦线,则有sinx=MP >0, ∴MP 的方向向上.∴角x 的终边在x 轴的上方。
∴2kπ<x <2kπ+π(k ∈Z ).∴函数y=log 2(sinx)的定义域是(2kπ,2kπ+π)k ∈Z 。
由以上可看出,利用三角函数线,数形结合,能使问题得以简化.三角函数线是利用数形结合思想解决有关三角函数问题的重要工具,通过平时经验的积累,掌握三角函数线的应用。
3。
在推广了的三角函数定义中,为什么三角函数值与点P 在角α终边上的位置无关,只依赖于角α的大小?剖析:联系相似三角形的知识来分析.设P 0(x 0,y 0)是角α终边上的另一点,|OP 0|=r 0,由相似三角形的知识可知,只要点P 0在α终边上,总有r y =0r y .因此所得的比值都对应相等.所以角α的正弦函数值只依赖于终边的位置即α的大小,与点P 在角α终边上的位置无关.典题精讲例1(经典回放)sin 600°的值是( )A 。
求三角函数值域及最值的常用方法(一)一次函数型或利用:=+=x b x a y cos sin )sin(22ϕ+⋅+x b a化为一个角的同名三角函数形式,利用三角函数的有界性或单调性求解; (2)2sin(3)512y x π=--+,x x y cos sin =(3)函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2π上的最小值为 1 .(4)函数tan()2y x π=-(44x ππ-≤≤且0)x ≠的值域是 (,1][1,)-∞-⋃+∞(二)二次函数型利用二倍角公式,化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式,利用配方法、 换元及图像法求解。
(2)函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于43.(3).当20π<<x 时,函数x xx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为 4 .(4).已知k <-4,则函数y =cos2x +k (cos x -1)的最小值是 1 .(5).若2αβπ+=,则cos 6sin y βα=-的最大值与最小值之和为____2____.(三)借助直线的斜率的关系,用数形结合求解型如dx c bx a x f ++=cos sin )(型。
此类型最值问题可考虑如下几种解法:①转化为c x b x a =+cos sin 再利用辅助角公式求其最值;②利用万能公式求解;③采用数形结合法(转化为斜率问题)求最值。
例1:求函数sin cos 2xy x =-的值域。
解法1:数形结合法:求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx , sinx )与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。
作出如图得图象,当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sin cos 2xy x =-得最值,由几何知识,易求得过Q 的两切线得斜率分别为33-、33。
结合图形可知,此函数的值域是33[,]33-。
数形结合在解三角函数不等式中的应用作者:***来源:《读与写·教师版》2018年第07期摘要:三角函数不等式在高中数学课本中是一个重要的课题,三角函数不等式的解决需要学生熟练掌握基础知识和运用多种解决方法,其中,数形结合是一种较为实用的解决手段,它能够将三角函数不等式中抽象复杂的数学问题转化为直观的几何求解,帮助学生找到解题途径,激发思维和兴趣。
本文列举了几个实际例子来探究数形结合在解三角函数不等式中的应用。
关键词:数形结合;三角函数不等式;应用中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:1672-1578(2018)07-0142-01引言:在解决中学阶段的数学问题当中,数和形是两大重要基础,数形的相互结合可以将题目进行直观与抽象、感知与思维的交换和融合。
三角函数不等式灵活变换的特点提高了对学生思维能力的要求,其中,在解三角函数不等式的题目当中,数形结合是将其化繁为简最有效的途径。
1.数形结合的含义数形结合与数学的发展是息息相关的,在中学数学的学习中,表面上代数主要是研究数与数量,几何是研究空间形式,解析几何是数与形的相结合。
实际上数形结合贯穿了中学数学的每个课程中,例如中学数学中实数、函数分别于数轴、函数图像互相结合。
数形结合主要应用于两个方面:第一类是通过数较为精准的属性来阐释图像的属性,第二类是通过图像直观的属性来阐释数与数之间的联系,数形的相结合实际上就是通过其中一个来解释另外一个,数形结合的手段可以帮助我们打开解题思路,丰富解题方式,简化解题过程。
不等式是一个重要的数学基础理论,刻画了数量之间的不等关系,三角函数不等式是不等式的一个重要分支,研究数形结合在三角函数不等式上的应用对中学生充分理解和渗透数学知识的意义[1]。
2.利用函数图像解决正切不等式例题1 解不等式:tanx>-1。
分析:第一步,用图像繪制y=tanx在一个周期内的图像(如图1),并且找出正切值为-1的角在坐标上的位置-π/4 ;第二步:因为y=tanx在(-π/2,π/2)的区间内表现为增函数,所以tanx>-1←→tanx>tan (-π/4)←→-π/4第三步:得出结果kπ-π/43.解决正弦和余弦不等式例题2:求定义域y=分析:要求该函数的定义域,可以结合简单的三角函数不等式2sinx≥1即sinx≥1/2,借助单位圆和三角函数线对解决这一类问题具有便捷性。
运用数形结合思想巧解高中数学题例析正文高中数学题目往往给学生带来了很大的困扰,尤其是在运用数形结合思想巧解题目时更是难上加难。
今天我们将通过几个例子来演示如何运用数形结合思想巧解高中数学题目。
例一:已知一个等边三角形的边长为a,求其高和面积。
解题思路:首先我们可以通过数学公式得出等边三角形的高和面积,公式如下:1. 等边三角形的高为:sqrt(3)/2*a2. 等边三角形的面积为:sqrt(3)/4*a^2接着我们可以通过数形结合思想来验证这两个公式。
我们可以画出等边三角形的图形,然后利用勾股定理来计算三角形的高和面积。
解题过程:首先我们画出一个等边三角形ABC,边长为a,然后我们假设高为h。
根据勾股定理,我们可以得到:a^2 = h^2 + (a/2)^2通过这个等式,我们可以求解出h的值,即:h = sqrt(3)/2 * a接着我们计算三角形的面积,根据公式S=1/2*底*高,我们可以得到三角形的面积为:S = sqrt(3)/4*a^2。
通过这种数形结合思想,我们不仅验证了等边三角形的高和面积的公式,而且更加深入地理解了这些公式的意义。
例二:已知梯形的上底长为a,下底长为b,高为h,求其面积。
解题思路:梯形的面积公式为:S=(a+b)*h/2我们可以通过数形结合思想,将梯形拆分成两个三角形和一个矩形,然后分别计算它们的面积来求解梯形的面积。
解题过程:首先我们将梯形拆分成上下两个三角形和一个矩形。
然后我们分别计算这两个三角形和一个矩形的面积,然后相加起来就是梯形的面积。
三角形1的底长为a,高为h,面积为:Sa=1/2*a*h三角形2的底长为b,高为h,面积为:Sb=1/2*b*h矩形的长为(a+b),宽为h,面积为:Sc=(a+b)*h最后将这三个部分的面积相加起来就是梯形的面积,即:S=Sa+Sb+Sc=(a+b)*h/2通过这种数形结合思想,我们可以更加直观地理解梯形的面积公式,并且能够灵活地应用到解题过程中。
运用数形结合思想巧解高中数学题例析例题1:已知直角三角形ABC中,\angle B=90^\circ, AB=3, BC=4.过点B画高BD交AC于点D,求\bigtriangleup ABD的面积。
解析:在解决这个问题时,我们可以通过数形结合的思想来进行分析。
我们可以通过勾股定理知道AC=5。
然后我们可以通过计算直角三角形ABC的面积,S_{\bigtriangleup ABC}=\frac{1}{2}\times 3\times 4=6。
接着,我们可以通过计算直角三角形ABC在AC上的高BD,可以用\frac{1}{2}AB\times BC=6可以得到BD=1.5。
接下来,我们可以计算\bigtriangleup ABD的面积,S_{\bigtriangleup ABD}=\frac{1}{2}\times 3\times 1.5=2.25。
\bigtriangleup ABD的面积为2.25。
通过这个例题我们可以看到,通过数形结合的思想,我们可以用较为简洁的步骤来解决这个问题,使得我们更清晰地理解题目,找到更加直观的解法。
例题2:已知f(x)=x^2+bx+c是一个以x为自变量的二次函数,且f(2)+f(3)=26,f(4)=19,求b,c的值。
解析:对于这个问题,我们可以通过数形结合的思想来进行分析。
我们可以通过函数值的计算得到f(2)=4+2b+c,f(3)=9+3b+c,f(4)=16+4b+c。
由f(2)+f(3)=26可得13+5b+2c=26,所以5b+2c=13。
由f(4)=19可得16+4b+c=19,所以4b+c=3。
通过解这个方程组可以得到b=5,c=3。
例题3:已知椭圆的离心率为\frac{1}{2},长轴的长为8,求其短轴的长。
解析:对于这个问题,我们可以通过数形结合的思想来进行分析。
椭圆的离心率定义为e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a},其中a为长轴的长,b为短轴的长。
高中数学数形结合思想在三角函数问题中的应用探究高中数学数形结合思想在三角函数问题中的应用探究,可以说是像一条河流一样活跃而富有成效。
事实上,把数学数据和形状相结合充分发挥了三角函数应用的方方面面。
这使我们能够用数学的方法理解三角函数的特性,把不同的几何形式转换成三角函数的表达式。
例如,开发者可以运用数形结合思想来解决求解三角等腰三角形的高度和底边长的问题。
同时,也可以用这种思想来解决求解一般三角形的高度和底边长的问题,这就需要先将一般三角形分解为两个等腰三角形,然后再利用数形结合思想来解决这个问题。
此外,可以利用数形结合思想来求解三角函数中旋转半径的应用,在求解三角函数之中,当弧线旋转一定角度时,可以发现弧线的长度变化,那么便可运用数形结合思想来解决求解旋转半径下弧线的长度的问题。
以上就是运用数形结合思想来解决三角函数问题的应用探究,与传统的三角函数问题求解相比,数形结合思想不仅更加灵活,而且也更具有普遍性,可以解决更多的问题。
因此,数形结合思想在解决三角函数问题中起着重要作用,有助于更好地理解三角函数,普及和提高三角函数的应用水平。
LiberalArtsGuidance2019年07月(总第344期)文理导航No.07,2019Serial No.344数形结合思想是数学教学中的重要思想方法,数与形是数学知识结构中的基本概念。
高中数学问题解答的过程中,常利用图形表示数学内容,思考数学问题。
三角函数是高中数学的重要内容,知识内容非常抽象,学生的学习和理解存在一定的困难,教师需合理利用数形结合思想,帮助学生深入学习和理解三角函数知识,解决三角函数问题。
教师可借助数形结合将三角函数直观展示,从不同角度解决三角函数问题,弥补传统教学的不足,激发学生的学习兴趣。
一、三角函数定义教学中应用数形结合方法在高中数学三角函数教学中,教师可合理利用数形结合方法,加强学生对三角函数的理解,提高学生对三角函数知识的应用能力。
可在实际教学中结合三角函数实际问题,在求解的过程中对取点法和单位圆两种解题方式进行对比,单位圆方式更加的简单、方便,且解题效率更高。
例题:求解7π3的正弦值、余弦值和正切值。
解析:通过对问题已知条件进行分析,可以使用取点法、单位圆的方式完成解答。
在解答过程中,应用取点法:将角放入相应的直角坐标系中,并在角的边上任意取一点p ,向x 轴作垂线,构建相应的直角三角形,结合p 的坐标计算出三角形各个边的边长,结合三角函数的定义,求解出角的正弦值、余弦值和正切值。
单位圆法:将角放入到直角坐标系中,并画出一个单位圆,角和单位圆相交于点p ,从p 点向x 轴引出垂线,结合三角函数在单位圆的特殊性质,可以更加轻松地解决角的正弦值、余弦值和正切值。
在此种类型三角函数问题的解答中,采取上述两种方式需要应用数形结合法,画出直角坐标系和单位圆,通过观察和分析,做出相应的计算。
相比较而言,单位圆法更的简单,利用p 点坐标可以求解答案。
二、三角函数性质教学中应用数形结合方法高中数学教学中,大多数学生对三角函数性质已经有所了解,但在实际问题解答中,依然不够灵活,导致问题解决不够顺利,导致问题解答出现错误。
数形结合巧解三角函数题在解三角函数的各种题型时,若能恰到好处地运用三角函数的图象,既能培养学生的观察能力、锻炼学生的直觉思维能力,又能很准确、快速地得到答案.下面举例以陈己见.一、比较大小例1 已知函数⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=2,0,tan )(πx x x f ,若,2,0,21⎪⎭⎫⎝⎛∈πx x 且21x x ≠,则)]()([2121x f x f +与)2(21x x f +的大小关系是 (用不等号连接).解析:在直角坐标系中作出函数⎪⎭⎫⎝⎛∈=2,0,tan )(πx x x f 的图象如图一:在图一中, )2(21x x f +表示线段11B A 的中点处1C 的函数值,即图中D C 1的数量,)]()([2121x f x f +表示梯形B B AA 11的中位线C C 1的数量,原问题转化为有向线段D C 1与CC 1数量的大小关系.显然)]()([2121x f x f +>)2(21x x f +.这里曲线的凹凸性起了关键的作用.又如:α为锐角,试比较α2sin 和)4sin(πα+的大小.二、求方程解的个数例2 方程x x lg sin =的实根有A 1个B 2个C 3个D 无穷多个图一yxy解析:在同一直角坐标系中作出函数x y sin =与x y lg =的图象(如右图二所示).由于当10>x 时,1lg >x ;而此时[]1,1sin -∈=x y ,故由图知,只有3个交点,选(C ).三、求解不等式例3 已知点)tan ,cos (sin ααα-P 在第一象限,则在[]π2,0内α的取值范围是 .(98年全国高考)A ⎪⎭⎫⎝⎛⋃⎪⎭⎫⎝⎛45,43,2ππππ B⎪⎭⎫⎝⎛⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛45,2,4ππππC ⎪⎭⎫⎝⎛⋃⎪⎭⎫⎝⎛23,4543,2ππππ D ⎪⎭⎫⎝⎛⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛ππππ,432,4 解析:由题意得{0tan 0cos sin >>-ααα,等价转化为{1tan 0cos >>αα或{1tan 00cos <<<αα,画出函数[]π2,0,tan ∈=x x y 的图象(如右图三),图中加深曲线部分α的范围为⎪⎭⎫⎝⎛⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛45,2,4ππππ,所以选(B ). 四、求函数的最值例4 函数)cos()(ϕω+=x M x f ( 0>ω )在区间 []b a , 上是增函数,且)(a f =M b f M =-)(,,则函数)sin()(ϕω+=x M x g 在[]b a ,上 .(99年全国高考)(A) 是增函数 (B) 是减函数 (C) 可以取得最大值M (D) 可以取得最小值M -解析:由题意可作出如右示意(图四), 再联想余弦曲线,用特殊值法,不妨令x =a 时,图二 y图三πϕω-=+x ;x =b 时,0=+ϕωx ,此时[]b a x ,∈时,[]0,πϕω-∈+x ,从而选(D ).五、研究函数的性质例5 已知函数)cos (sin cos )cos (sin sin {)(x x x x x x x f <≥=,给出下列五个命题:①)(x f 的值域为[]1,1-;②当且仅当Z k k x ∈+=,22ππ时,)(x f 取最大值;③)(x f 的周期为π2; ④当Z k k x k ∈+<<,2322πππ时,)(x f <0;⑤)(x f 的增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-πππk k 2,432和)(22,42Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ 其中真命题(写序号)的是 .解析:在同一直角坐标系作出函数x y x y cos ,sin ==的图象,已知函数)(x f 的图象如右图五中的加深曲线部分.由图象显然得到上述命题中的真命题序号为③,④,⑤.六、求参数的取值范围例6 若方程0cos 3sin =++a x x 在[]π2,0上有相异实根, 则a 的取值范围是 .解析:把原方程化为:a x x -=+cos 3sin ,令a y x x y -=+=21,cos 3sin ,在同一直角坐标系中作出它们的图象(如右图六):上下平行移动直线yxy图六图五图四a y -=,找出符合题意(直线a y -=与曲线x x y cos 3sin 1+=在[]π2,0上有两个不同的交点)的a -的范围为()()2,33,2⋃-,所以a 的范围为()()2,33,2-⋃--.另外,还可由图求出两根的和为3π或67π.。
利用数学思想处理三角函数方法数形结合思想数形结合思想体现在三角函数中是利用单位圆中三角函数线、三角函数图象求三角函数定义域、解三角不等式、求单调区间、讨论方程实根的个数、比较大小等。
例1. 从小到大的顺序是___________。
解析:这些角都不是特殊角,求出值来再比较行不通,若注意到相差较大,容易利用单位圆上的三角函数线区分它们各自函数值的大小。
设(如图所示)可知应填的定义域是____________。
解析:该函数定义域即不等式组的解集,即的解集,若用传统方法则要求的交集,不太方便。
若画出的图象(如图所示)由,易得2. 转化与化归思想体现在三角函数中是切割化弦、统一角、统一函数名称、换元等手段处理求值(域)、最值、比较大小等问题。
例3. 若 B. D. 的大小比较就容易多了。
因为又因为,所以的值域。
解析:先切割化弦,统一函数名称,得:令于是求原函数的值域转化为求函数的值域,易得,所以原函数的值域为。
3. 函数与方程思想的应用体现在三角函数中是用函数的思想求解范围问题,用方程的思想解决求值、证明等问题。
例5. 已知函数分离a得:问题转化为求a的值域。
因为所以故当时,有实数解。
例6. 已知,求的值。
解法1:只需求α的某个三角函数或α的值,又只需用倍角公式把已知条件“缩角升幂”转化为解三角方程。
由倍角公式,原方程化为:由解法2:可以将原方程配方转化得:即因为则所以只有解得,求的值。
解析:由已知条件得:即因为所以所以即求的符号要展开讨论:(1)当所以;(2)当所以;综上5. 分析与综合的思想体现在三角函数中是把多边形分割为三角形,把求某值转化为求另外的值等,然后依据分析结果,综合写出求解过程。
例8. 设的取值范围是_____________。
解析:运用分析与综合的思想方法,先分析x的取值范围,再综合求则即所以填。
而两个三角形的两边已知,只须求得已知两边的夹角的正弦值,又,只需求得其中一个角的正弦值或余弦值,解题从求余弦值开始,连结BD,在△ABD中,由余弦定理,得:在△CBD中,同理得:所以化简得又因为所以且则6. 整体思想的应用体现在三角函数中主要是整体代入、整体变形、整体换元、整体配对、整体构造等进行化简求值、研究函数性质等。
三角函数中的数形结合例题及其解法
在三角函数中,利用数形结合的思想解决一些问题可以带来极大的方便,也容易理解,使一些抽象的问题形象化。
【例1】函数f(x)=sinx+2sinx,x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且仅有2个不同的交点,则k的取值范围是.
【分析】本题根据函数解析式,画出图象,可以直观而简明地得出答案,在有时间限制的高考中就能大大地节约时间,提高考试的效率.
解:函数f(x)=由图象可知:1<k<3.
【例2】若sinα+cosα=tanα(0<α<),则α∈().
解:令f(x)=sinx+cosx=sin(x+ )(0<α<),g(x)=tanx,画出图象,从图象上看出交点P的
横从标xP>.再令α=,则sin+cos=≈1.366,tan=≈1.732>1.367,由图象知xP应小于.故选C.
【点评】本题首先构造函数f(x),g(x),再利用两个函数的图象的交点位置确定α>,淘汰了A、
B两选项,然后又用特殊值估算,结合图象确定选项C,起到了出奇制胜的效果.
【例3】已知函数f(x)是定义在(-3,3)上的奇函数,当0<x<3时f(x)图象如下图所示,那么不等式f(x)cosx<0的解集是().
解:函数f(x)定义在(-3,3)上,且是奇函数,根据奇函数图象性质可知,f(x)在(-3,0)上的图象如图所示,若使f(x)cosx<0,只需f(x)与cosx异号,即图象须分别分布在x轴上下侧,由图
可知,有三部分区间符合条件要求,即(-,-1)∪(0,1)∪(,3),故选B.
【点评】已知函数的一部分图象,根据函数的性质可得到函数的另一部分图象,利用数形结合的思想,可以先画出完整的函数图象,再研究有关问题.
另外,单位圆在求值域、定义域等问题中也有广泛应用。
用单位圆理解问题十分实用,是三角函数中必须掌握的。
在此就不多举例了。
数形结合在三角函数中有广泛的应用,也会带来出其不意的效果,在上面的例题中可见一斑。
所以一定要充分掌握,提高解题速度。