13巩固练习_余弦定理_基础

正弦定理与余弦定理1．已知△ABC 中，a=4，ο30,34==A b ，则B 等于（ ）A ．30° B．30° 或150° C．60° D．60°或120° 2．已知锐角△ABC 的面积为33，BC=4，CA=3，则角C 的大小为（ ） A ．75° B．60° C．45° D．30°3．已知ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对的边，若0cos cos )2(=++C b B c a ，则角B 的大小为（ ） A ．6πB ．3πC ．32π D ．65π 4．在∆ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边.若sin sin CA=2，ac a b 322=-，则B ∠=( ) A. 030 B. 060 C. 0120 D. 0150 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知a=5，c=10，A=30°，则B 等于（ ）A ．105° B．60° C．15° D．105° 或 15° 6．已知ABC ∆中，756,8,cos 96BC AC C ===，则ABC ∆的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．钝角三角形7．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2B C =，2cos 2cos b C c B a -=，则角A 的大小为（ ） A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 8．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定 9．在ABC ∆中，sin :sin :sin 3:2:4A B C =，那么cos C =（ ） A.14 B.23 C.23- D.14- 10．在ABC ∆中，a b c ，，分别为角A B C ，，所对边，若2cos a b C =，则此三角形一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形 11．在△ABC 中，cos2=，则△ABC 为（ ）三角形．A ．正B ．直角C ．等腰直角D ．等腰 12．在△ABC 中，A=60°，a=4，b=4，则B 等于（ ）A ．B=45°或135°B ．B=135°C ．B=45°D ．以上答案都不对13．在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且a b >,则B ∠=（ ）A.6πB.3πC.23πD.56π14．设△ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 15．已知在ABC ∆中，2cos 22A b cc+=，则ABC ∆的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．正三角形 D ．等腰直角三角 16．已知ABC ∆内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若1cos ,2,sin 2sin 4B bC A ===，则ABC ∆的面积为（ ） A.156 B. 154 C. 152D. 15 17．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A ＝3π，a ＝3，b ＝1，则c ＝( ) A ． 3－1 B ．3 C. 2 D. 1 评卷人 得分一、解答题（题型注释）18．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知4A π=，22212b ac -=. （1）求tan C 的值；（2）若ABC ∆的面积为3，求b 的值.19．在△ABC 的内角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知，（1）求B ；（2）若b=2，△ABC 的周长为2+2，求△ABC 的面积．ABC C B A ,,c b a ,,B c C b a sin cos +=B2=b ABC21．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知()222332b c a bc +=+ （1）求sinA ； （2）若32a =，△ABC 的面积S ＝22，且b>c ，求b ，c ．22．已知ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且满足sin(2)22cos()sin A B A B A+=++.（Ⅰ）求ba的值； （Ⅱ）若17a c ==，，求ABC △的面积.23．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2a =，5c =， （1）求b 的值； （2）求sin C 的值．二、填空题 24．已知在中，，，，则___．25．△ABC 中，若222a b c bc =+-，则A ＝ .26．在中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若，则b=___________．27．在C ∆AB 中，已知，C 4A =，30∠B =o ，则C ∆AB 的面积是 ． 28．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，，则C 的大小为___________. 29．在∆ABC ，则这个三角形的形状是参考答案1．D 【解析】试题分析：B b A a sin sin =，2342134430sin 34sin sin 0=⋅=⋅==a A b B ；b a <Θ，030=>∴A B ， 060=∴B 或0120=B ，选D.考点：正弦定理、解三角形2．B 【解析】试题分析：33sin 4321sin 21=⋅⋅=⋅⋅=∆C C BC AC S ABC ,则23sin =C ，所以060=C ，选B.考点：三角形面积公式3．C 【解析】试题分析：由已知和正弦定理得(2sin sin )cos sin cos 0,A C B B C ++=展开化简得2sin cos sin 0A B A +=，由于A 为三角形内角，所以0,sin 0A A ≠≠,所以1cos 2B =-，23B π=，选C. 考点：1.正弦定理；2.两角和的正弦公式；3.已知三角函数值求角.4．C 【解析】试题分析：由正弦定理可得，sin 22sin C c c a A a==⇒=，又222237b a ac b a -=⇒=，由余弦定理可得，2222221cos 242a cb a B ac a +--===-，又()0,B π∈，所以120B ︒∠=. 考点：1.正弦定理；2.余弦定理.5．D 【解析】解：=， ∴sinC=•sinA=×=，∵0＜C ＜π，∴∠C=45°或135°， ∴B=105°或15°， 故选D ．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．解题的过程中一定注意有两个解，不要漏解． 6．D 【解析】试题分析：由余弦定理得22275682682596AB =+-⨯⨯⨯=，所以最大角为B 角，因为226258cos 0265B +-=<⨯⨯，所以B 角为钝角，选D.考点：余弦定理【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是： 第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 7．A 【解析】试题分析：由正弦定理得()2sin cos 2sin cos sin sin B C C A B C -==+sin cos cos sin B C B C =+，2sin cos 3sin cos ,sin 2cos 3sin cos 2B C C B C C C C ==，()2222cos 3cos sin C C C =-，213tan ,tan 33C C ==，2,B C C =∴Q 为锐角,所以,,632C B A πππ===，故选A.考点：1、正弦定理两角和的正弦公式；2、三角形内角和定理.8．C 【解析】试题分析：由题可根据正弦定理，得a 2＋b 2<c 2，∴cos C ＝2222a b c ab+-<0，则角C 为钝角考点：运用正弦和余弦定理解三角形. 9．D 【解析】试题分析：sin :sin :sin 3:2:4,::3:2:4A B C a b c =∴=2221cos 24a b c C ab +-∴==- 考点：正余弦定理解三角形10．C 【解析】试题分析：在给定的边与角的关系式中，可以用余弦定理，得22222a b c a b ab+-=g ，那么化简可知所以 2222=a a b c +-，即 22=b c ，=b c ，所以三角形ABC 是等腰三角形．故选C ．考点：余弦定理判断三角形的形状． 11．B 【解析】试题分析：根据二倍角的余弦公式变形、余弦定理化简已知的等式，化简后即可判断出△ABC 的形状． 解：∵cos2=，∴（1+cosB ）=，在△ABC 中，由余弦定理得，=，化简得，2ac+a 2+c 2﹣b 2=2a （a+c ），则c 2=a 2+b 2，∴△ABC 为直角三角形， 故选：B ． 12．C 【解析】试题分析：由A 的度数求出sinA 的值，再由a 与b 的值，利用正弦定理求出sinB 的值，由b 小于a ，得到B 小于A ，利用特殊角的三角函数值即可求出B 的度数． 解：∵A=60°，a=4，b=4， ∴由正弦定理=得：sinB===，∵b ＜a ，∴B ＜A ， 则B=45°． 故选C 13．A 【解析】试题分析：利用正弦定理化简得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=12sinB ， ∵sinB ≠0，∴sinAcosC+cosAsinC=sin （A+C ）=sinB=12， ∵a ＞b ，∴∠A ＞∠B ，∴∠B=6π 考点： 14．B 【解析】试题分析：()22cos cos sin sin cos cos sin sin sin sin b C c B a A B C B C A B C A +=∴+=∴+=sin 12A A π∴=∴=，三角形为直角三角形考点：三角函数基本公式 15．A【解析】试题分析：22cos 2cos 11cos 1cos 222A b c A b c b b b A A c c c c c++=⇒==+⇒+=+⇒= ()sin sin cos sin cos 0cos 0,sin sin 2A CB A AC C C C C π+==⇒=∴==，选A考点：正弦定理，二倍角的余弦，两角和的正弦16．B【解析】试题分析：2222214sin 2sin 2cos 242a c b a c C A c a B ac ac +-+-=∴==∴=Q Q 1,2a c ∴==111515sin 122244S ac B ∴==⨯⨯⨯= 考点：正余弦定理解三角形17．C 【解析】试题分析：由余弦定理可得2222113cos 2222b c a c A c bc c+-+-=∴=∴= 考点：余弦定理解三角形 18．(1)2；(2)3.【解析】试题分析：(1)先运用余弦定理求得b c 322=，进而求得b a 35=，再运用正弦定理求C sin 的值即可获解；（2）利用三角形的面积公式建立关于b 方程求解. 试题解析：（1）由余弦定理可得222222⨯-+=bc c b a ， 即bc c a b 2222=+-，将22212b a c -=代入可得b c 322=，再代入22212b ac -=可得b a 35=， 所以522sin sin ==a c A C ，即52sin =C ，则51cos =C ，所以2tan =C ； （2）因3sin 21=A bc ，故322322212=⨯⨯b ，即3=b . 考点：正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用． 19．（1）B=（2）【解析】解：（1）由正弦定理可得：=，∴tanB=，∵0＜B ＜π， ∴B=；（2）由余弦定理可得b 2=a 2+c 2﹣2accosB ，即a 2+c 2﹣ac=4，又b=2，△ABC 的周长为2+2， ∴a+c+b=2+2， 即a+c=2， ∴ac=，∴S △ABC =acsinB=××=．【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形周长、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 20．（1）B=.4π（2）21+ 【解析】试题分析：（1）由题为求角，可利用题中的条件B c C b a sin cos +=，可运用正弦定理化边为角， 再联系两角和差公式，可求出角B 。

余弦定理【学习目标】1.掌握余弦定理的内容及证明余弦定理的向量方法；2.熟记余弦定理及其变形形式，会用余弦定理解决两类基本解三角形问题；3.通过三角函数，余弦定理，向量的数量积等知识间的联系，理解事件之间的联系与辨证统一的关系.【要点梳理】要点一：学过的三角形知识 1.ABC ∆中（1）一般约定：ABC ∆中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ； （2）0180A B C ++=；（3）大边对大角，大角对大边，即B C b c >⇔>； 等边对等角，等角对等边，即B C b c =⇔=；（4）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即a c b +>，a c b -<. 2.Rt ABC ∆中，090C ∠=， （1）090B A +=， （2）222a b c += （3）sin a A c =，sin bB c =，sin 1C =； cos b A c =，cos aB c=，cos 0C =要点诠释：初中讨论的三角形的边角关系是解三角形的基本依据 要点二：余弦定理及其证明三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

即：Cab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222-+=-+=-+=余弦定理的推导已知：ABC ∆中，BC a =，AC b =及角C ，求角C 的对应边c . 证明：方法一：向量法（1）锐角ABC ∆中（如图）， ∵AC CB AB +=，∴()()AB AB AC CB AC CB ⋅=++222AC CB AC CB =+⋅+22||2||||cos()||AC CB AC C CB π=+⋅-+222cos b ba C a =-+即：2222cos c a b ab C =+- (*)同理可得：2222cos b a c ac B =+-,2222cos a b c bc A =+- 要点诠释：（1）推导（*）中，AC 与CB 的夹角应通过平移后得到，即向量的起点应重合，因此AC 与CB 的夹角应为C π-，而不是C .（2）钝角三角形情况与锐角三角形相同。

正弦定理余弦定理练习题在平面几何中，正弦定理和余弦定理是解决三角形相关问题的重要定理。

熟练掌握这两个定理的使用方法，对于解题非常有帮助。

本文将通过一些练习题，进一步巩固并应用正弦定理和余弦定理。

一. 练习题一已知三角形ABC，∠BAC = 35°，BC = 10cm，AC = 8cm。

1. 求∠ABC和∠ACB的度数。

2. 求∠BAC的正弦值和余弦值。

3. 求∠BAC的弧度值。

解答：1. 由三角形内角和定理可知∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180°，故∠ABC + 35° + ∠ACB = 180°。

化简可得∠ABC + ∠ACB = 145°。

又因为∠ABC和∠ACB为三角形内角，故它们的度数之和小于180°，可知∠ABC和∠ACB的度数为(0, 145°)。

2. 根据正弦定理可得 sin(∠BAC) = BC/AC = 10/8 = 1.25。

因为∠BAC是锐角，故其正弦值为1.25。

根据余弦定理可得 cos(∠BAC) = (AB² + AC² - BC²) / (2 * AB * AC) = (AB² + 8² - 10²) / (2 * AB * 8) = (AB² + 64 - 100) / (16 * AB) = (AB² - 36) / (16 * AB)。

因为∠BAC是锐角，所以其余弦值小于1，得到 AB² - 36 < 16 * AB。

将 AB 换成 x，得到 x² - 16x - 36 < 0。

解这个不等式可得 4 < x < 9，所以 AB 的长度为 (4, 9)。

3. 弧度值可以通过将度数除以180°，再乘以π来计算。

所以∠BAC 的弧度值为35° * (π /180°) ≈ 0.6109。

余弦定理练习题及答案1.已知三角形ABC的边长a=21，b=5，c=4，求角A的大小。

解析：根据余弦定理，cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)，代入数值计算可得cosA=-61/40，因为-1≤cosA≤1，所以三角形ABC不存在角A，即无解。

2.已知三角形ABC的边长a=3，b=4，c=6，求XXX的值。

解析：根据余弦定理，cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)，cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)，cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)，代入所求式计算可得答案为-11/2.3.已知三角形ABC的边长a=3，b=4，c=6，求边C的长度。

解析：根据余弦定理，cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)，代入数值计算可得cosC=-1/2，因为0°≤C≤180°，所以C的大小为120°。

再根据正弦定理，c/sinC=a/sinA，代入已知数据可得c=2√3.4.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为多少？解析：设等腰三角形的底边长为x，则周长为5x，由等腰三角形的性质可知，其两个等角为(180°-顶角)/2，所以顶角的大小为2(180°-顶角)/2=180°-顶角。

根据余弦定理，cos顶角=[(5x/2)^2+x^2-(5x/2)^2]/(2x^2)=3/4.5.已知三角形ABC的边长a=1，b=7，角B=60°，求边C 的长度。

解析：根据正弦定理，c/sinC=a/sinA，又因为A+B+C=180°，所以角A=180°-60°-arcs in(1/7)≈86.6°。

代入已知数据计算可得c≈7.5.6.已知三角形ABC的边长a=2，b=2，角A=45°，解此三角形。

解析：根据余弦定理，cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=0，即角B为直角。

余弦定理练习题（含答案）本页仅作为文档封面，使月変T以删除This document is for reference onlyjar21year余弦定理练习题11. ABC中，如果BC=6, AB=4, cosB=§,那么AC 等于（）A. 6B. 2、/i C・ 3、/i D・ 4、/i2. 在△ABC 中，a=29 b=\[l-l9 C=30\ 则 c 等于（）D・23. 在A ABC中，，=匕2+以+羽be,则z &等于（）A. 60°B. 45°C. 120°D. 150°4. ABC中，Z/k Z B. ZC的对边分别为a、H c,若0+呂_夕曲曲=羽却则Z B的值为（）5TX2n或T 或亍5. 在△ ABC中，a、b、c分别是4、C的对边，则acosS+bcos4等于（）A. aB. bC. cD.以上均不对6. 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.由增加的长度决定8. 在AABC 中，b=g C=39 S=30°,贝!| a 为（）B・ 2、/i 或2、/i D・ 29. 已知bABC的三个内角满足2B=A + C9且48=1, SC=4,则边BC上的中线AD的长为 __________________ ・10. A ABC中，sin4： sinB ： sinC=（｛i —：L）：（yfl+l）:倔，求最大角的度数.已知a. b、c是bABC的三边，S是'ABC的面积，若a=4, b=5, S=5©则边c的值为______________________ ・12. 在AABC 中，sin A : sin S ： sin C=2 ： 3 ： 4,贝Ij cos A ： cos B : cos C= _______ ・13. ABC中，0=3^2, cos C=|, S^ABC=4y[39则b= __________________ ・/+，一c215・已知4 ABC的三边长分别是a、b. c,且面积S= ---------------- -------- ,则角C= __________ ・16.三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为_____________ •17・在AABC中，BC=a9 AC=b f a, b是方程只_2压+2 = 0的两根，且2cos（4 + B） = l,求48的长.18.已知"BC的周长为y/1+l,且sin A + sin B=y/lsin C.⑴求边AB的长；⑵若4 ABC的面积为^sin C,求角C的度数.19.在△ABC 中，BC=G AC=39 sin C=2sinA.(l)求AB 的值；(2)求sin(24的值.20.在4 ABC中，已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab・且2cos Asin B=sinC,确定A ABC的形状.余弦定理答案在bABC 中，a=2, b=y[3-l 9 C=30°,则 c 等于（B ） D. 2 在4 ABC 中.a2=b2+w+羽矗，则ZA 等于（D ）A ・ 60°B. 45°C. 120°D. 在b ABC 中，Z Z By ZC 的对边分别为 a. c 9 若（a 2+c 2—b 2）tanB=y/3ac 9亠5兀亠2TX 或T 或亍 解析：选D.由（a 24-c 2-b 2）tanS=V3ac,联想到余弦定理，代入得 c^+c 2—b2 y[3 1 羽 cosB n . 羽 n 2ncosB== 2ai = 2 t^B = 2 sin8•显然fi#2r •: S ，n8= 2 ••: Z 或亍.5. ABC 中.a 、b 、c 分别是久8、C 的对边，则acosS+bcosA 等于（C ）A ・a B. S C. c D ・以上均不对6. 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）A.锐角三角形B.宜角三角形C ・钝角三角形 D.由增加的长度决定解析：选A.设三边长分别为a, b 9 c 且a 2+b 2=c 2.设增加的长度为m,则c+m>a+m 9 c+m>b+m, 又（a+m ）2+（b+m ）2=a 2+b 2+2 佃+b ）E+2m2>c2+2cm+E2=（c+E ）r•:三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形.8・在4ABC 中.b=g C =39 S=30°,贝!）a 为（ ）B ・ 2、/i 或 2、/iD ・ 2 解析：选 C ・在AABC 中，由余弦定理得 62=02+^—2accosS,即 3=a 2^9—3y[3a 9 :. a 2 —3^3a+6=0,解得 a=\[3或 2羽・9. 已知bABC 的三个内角满足2B=A+C 9且AB=l f BC=4,则边BC 上的中线AD 的长为 ___________________ ・ 解析:T 2B=A + C, 4 + B+C=n,・•・ 3=扌・在AABD 中，AD=\）AB 2-}-BD 2—2AB BDcosB= yj 1+4—2xlx2x^=^3.答案：羽10. A ABC 中，smA : sinB : sinC=^-l ）:（羽+ 1）: 嗣,求最大角的度数・解：・・ sin4 : sinB : sinC=（V3~l ） : （W+1）:屈,・.a ： b ： c =（\（3-l ）:（羽+1）:伍・ 设 a=（羽一b=（y[3 + l ）k 9 c=yjldk （k>O}fa 24~b 2—c 2 1 ・・・c 边最长，即角C 最大.由余弦定理，得cosC=―面一=一刁 又ce （o°, 180°）, /. C=120°.11. 已知a 、b 、c 是6ABC 的三边，S 是b ABC 的面积，若a=4, b=5, S=5品 则边c 的值为 ___________________ ・ 解析：S=#absinC, sinC=^, /. C=60°或 120°./. cosC=#,又T c 2=a 2+b 2—2abcosC tA ^=21或61,・・,=回或佰•答案： 回或屈12. 在 AABC 中.sinA ： sinB ： sin C=2 ： 3： 4,贝l| cos A : cos 8 ： cos C= ________ ・解析：由正弦定理 a ： b ： c=sin A : sin B : sin C=2 ： 3 ： 4,2k 2+ 4k 2- 3/c 2 11IS 9 13.在△ ABC 中，a=3\（29 cos C=-： 解析:cos c=扌,sin2. 3. 4. 150° 则ZB 的值为（D ）cP+c 2—b 2 设 a=2k （k>0）,贝0 b=3k 9 c=4k, cos B=同理可得:cos 4=^, cos C=—右・・ cos A ： cos B : cos C=14 : 11 : （—4）.答案:14 ： 11 ： （—4）S AABC =4~\》,则 b= __________ ..又S AAB c=^absinC=4yj3t 即知3迄普=裁,二b=2品答案；2伍a 2-f-b 2—c 215.已知AABC 的三边长分别是a 、b. c,且面积S=——,则角C= ________________________ ・2x2kx4k1 a'+b2—c2，+堺一c2 ab 1解析：尹bsinC=S= ---------- - ------= --- 書^—=2obcosC, sinC=cosC, tanC=l, /. C=45°.答案：45°2ab16.三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为.疋+ k—1 2—k+1 2<0解析：设三边长为k-l9 k f k+l(k>29 kWN),则‘ 一亠-々=2VkV4,A+k—l>k+l32+4'—2? 7 7• • k=3,故三边长分别为2,3,4, 最小角的余弦值为2x3x4 =：答案:百17.在bABC中，BC=a, AC = b9 a, b是方程x z-2y(3x^2 = 0的两根，且2cos(A + S) = 1,求AB的长.1 1解：・.• A+B+C=TI且2cosS+B)=l, cos(n—C)=-t即cosC=—-又T 6 b是方程x2—2^/3x+2=0的两根,・・・a+b=2晶ab=2.・・.AB2=AC2+BC2-2AC BCcosC=a2+b2-2ab(-^=a2+b2+ab=(a+b)2—ab=(2yj3)2-2 = lQ9 /. AB=y[ld.18.已知AABC的周长为迄+1,且sinA+sinS=V2sinC・⑴求边AB的长；⑵若bABC的面积为fsinC,求角C的度数.解：⑴由题意及正弦定理得AB+BC+AC=7i+l, BC+AC=y/2AB,两式相减，得48=1.(2)由厶ABC的面积扌BC AC sin C=|sin C,得BC AC=^,在△ ABC 中,BC=G AC=3f sin C=2sinA・⑴求AB的值；(2)求sin(2A-为的值.解：⑴在BABC中，由正弦定理黒=鳥，得AB=^BC=2BC=2y/5. ▲毋+&7—BC2 2\[s(2)在△ ABC中，根据余弦定理，得cos A= 2AB AC = 5，于是si" … 4 3从而sin 24=2sin AcosA=^9 cos 24=cos2 4 —sin2 ^ = g-所以sin(2A—R = sin 2Acos^—cos 2Asin^=-J^・20.在b ABC中，已知(a+b+c)佃+b—c)=3cr® 且2cos4sin S=sinC,确定b ABC的形状. 」十7亠e ^sin C c .亠sinC c解：由正弦定理，得sin 8=匸由2cos Asin B=sin C,有cos4 = 2s j n g = 2b・b'+c2—ct2 c b'+c2—a'又根据余弦定理，得COS 4= 2bc ,所以沪2bc /即云=屏+以一a"所以a=b又因为(a+b+c)(a+b—c) = 3ab,所以(a+b)2—c2=3ab f所以4S2—c2=3S2, 所以b=6所以a=b=c f因此4 ABC为等边三角形.。

课时作业2 余弦定理时间：45分钟 满分：100分课堂训练1．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝4，∠C ＝120°.则c 为( ) A.41B.61 C.41或61D.21 【答案】B【解析】c ＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝52＋42－2×5×4×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝61.2．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且c ＝2a ，则cos B ＝( )A.14B.34C.24D.23 【答案】B【解析】由b 2＝ac ，又c ＝2a ，由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－a ×2a 2a ·2a ＝34.3．在△ABC 中，三个角A 、B 、C 的对边边长分别为a ＝3、b ＝4、c ＝6，则bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C ＝________.【答案】612【解析】bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C ＝bc ·b 2＋c 2－a 22bc ＋ca ·c 2＋a 2－b 22ac ＋ab ·a 2＋b 2－c 22ab ＝12(b 2＋c 2－a 2)＋12(c 2＋a 2－b 2)＋12(a 2＋b 2－c 2)＝12(a 2＋b 2＋c 2)＝612.4．在△ABC 中：(1)a ＝1，b ＝1，∠C ＝120°，求c ； (2)a ＝3，b ＝4，c ＝37，求最大角； (3)a :b :c ＝1: 3 :2，求∠A 、∠B 、∠C . 【分析】 (1)直接利用余弦定理即可； (2)在三角形中，大边对大角； (3)可设三边为x ，3x,2x .【解析】(1)由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝12＋12－2×1×1×(－12)＝3，∴c ＝ 3.(2)显然∠C 最大，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32＋42－372×3×4＝－12.∴∠C ＝120°.(3)由于a :b :c ＝1: 3 :2，可设a ＝x ，b ＝3x ，c ＝2x (x >0)．由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3x 2＋4x 2－x 22·3x ·2x＝32，∴∠A ＝30°.同理cos B ＝12，cos C ＝0.∴∠B ＝60°，∠C ＝90°.【规律方法】1．本题为余弦定理的最基本应用，应在此基础上熟练地掌握余弦定理的结构特征．2．对于第(3)小题，根据已知条件，设出三边长，由余弦定理求出∠A ，进而求出其余两角，另外也可考虑用正弦定理求∠B ，但要注意讨论解的情况．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分) 1．△ABC 中，下列结论：①a 2>b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形； ②a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则∠A 为60°； ③a 2＋b 2>c 2，则△ABC 为锐角三角形； ④若∠A :∠B :∠C ＝1:2:3，则a :b :c ＝1:2:3， 其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A【解析】①cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc<0，∴∠A 为钝角，正确；②cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，∴∠A ＝120°，错误；③cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab>0，∴∠C 为锐角，但∠A 或∠B 不一定为锐角，错误； ④∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°，a :b :c ＝1: 3 :2，错误．故选A.2．△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边长分别为a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )．若p ∥q ，则∠C 的大小为( )A.π6B.π3C.π2D.23π 【答案】B【解析】∵p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )且p ∥q ， ∴(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0即a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12.∴∠C ＝π3.3．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，∠A ＝π3，a ＝7，b ＝1，则c 等于( )A ．22B ．3C.3＋1 D ．2 3 【答案】B【解析】由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 所以(7)2＝1＋c 2－2×1×c ×cos π3，即c 2－c －6＝0，解得c ＝3或c ＝－2(舍)．故选B.4．在不等边三角形ABC 中，a 为最大边，且a 2<b 2＋c 2，则∠A 的取值X 围是( )A ．(π2，π)B ．(π4，π2)C ．(π3，π2)D ．(0，π2)【答案】C【解析】因为a 为最大边，所以∠A 为最大角，即∠A >∠B ，∠A >∠C ，故2∠A >∠B ＋∠C .又因为∠B ＋∠C ＝π－∠A ，所以2∠A >π－∠A ，即∠A >π3.因为a 2<b 2＋c 2，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc >0，所以0<∠A <π2.综上，π3<∠A <π2.5．在△ABC 中，已知a ＝4，b ＝6，∠C ＝120°，则sin A 的值为( ) A.5719B.217 C.338D ．－5719 【答案】A【解析】由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab ·cos C ＝42＋62－2×4×6(－12)＝76，∴c ＝76.由正弦定理得a sin A ＝csin C ，即4sin A ＝76sin120°，∴sin A ＝4sin120°76＝5719.6．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，且2b ＝a ＋c ，∠B ＝30°，△ABC 的面积为32，那么b 等于( )A.1＋32B ．1＋ 3C.2＋32D ．2＋ 3【答案】B【解析】∵2b ＝a ＋c ，又由于∠B ＝30°， ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12ac sin30°＝32，解得ac ＝6，由余弦定理：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－2ac －2ac ·cos30°＝4b 2－12－63， 即b 2＝4＋23，由b >0解得b ＝1＋ 3.7．在△ABC 中，若a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，则这个三角形一定是()A ．锐角三角形或钝角三角形B ．以a 或b 为斜边的直角三角形C ．以c 为斜边的直角三角形D ．等边三角形 【答案】B【解析】由余弦定理a cos A ＋b cos B ＝c cos C 可变为a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ·a 2＋b 2－c 22ab，a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＝c 2(a 2＋b 2－c 2) a 2b 2＋a 2c 2－a 4＋b 2a 2＋b 2c 2－b 4＝c 2a 2＋c 2b 2－c 42a 2b 2－a 4－b 4＋c 4＝0， (c 2－a 2＋b 2)(c 2＋a 2－b 2)＝0， ∴c 2＋b 2＝a 2或a 2＋c 2＝b 2， ∴以a 或b 为斜边的直角三角形．8．若△ABC 的周长等于20，面积是103，∠A ＝60°，则BC 边的长是( )A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】C【解析】依题意及面积公式S ＝12bc sin A ，得103＝12bc ×sin60°，即bc ＝40.又周长为20，故a ＋b ＋c ＝20，b ＋c ＝20－a .由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－2bc cos60°＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ，故a 2＝(20－a )2－120，解得a ＝7. 二、填空题(每小题10分，共20分)9．在△ABC 中，三边长AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →的值为________．【答案】－19【解析】由余弦定理可求得cos B ＝1935，∴AB→·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＝－|AB→|·|BC →|·cos B ＝－19. 10．已知等腰三角形的底边长为a ，腰长为2a ，则腰上的中线长为________．【答案】62a【解析】如图，AB ＝AC ＝2a ，BC ＝a ，BD 为腰AC 的中线，过A作AE ⊥BC 于E ，在△AEC 中，cos C ＝EC AC ＝14，在△BCD 中，由余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos C ，即BD 2＝a 2＋a 2－2×a ×a ×14＝32a 2，∴BD ＝62a .三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．在△ABC 中，已知b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B ·cos C ，试判断三角形的形状．【分析】 解决本题，可分别利用正弦定理或余弦定理，把问题转化成角或边的关系求解．【解析】方法一：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，R 为△ABC外接圆的半径，将原式化为8R 2sin 2B sin 2C ＝8R 2sin B sin C cos B cos C . ∵sin B sin C ≠0，sin B sin C ＝cos B cos C ，即cos(B ＋C )＝0，∴∠B ＋∠C ＝90°，∠A ＝90°，故△ABC 为直角三角形．方法二：将已知等式变为b 2(1－cos 2C )＋c 2(1－cos 2B )＝2bc cos B cos C .由余弦定理可得：b 2＋c 2－b 2·(a 2＋b 2－c 22ab )2－c 2(a 2＋c 2－b22ac)2＝2bc ·a 2＋b 2－c 22ab ·a 2＋c 2－b 22ac.即b 2＋c 2＝[a 2＋b 2－c 2＋a 2＋c 2－b2]24a 2也即b 2＋c 2＝a 2，故△ABC 为直角三角形．【规律方法】 在利用正弦定理实施边角转化时，等式两边a ，b ，c 及角的正弦值的次数必须相同，否则不能相互转化．12．(2013·全国新课标Ⅰ，理)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA .【解析】(1)由已知得，∠PBC ＝60°，∴∠PBA ＝30°，在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝3＋14－2×3×12cos30°＝74，∴PA＝72. (2)设∠PBA ＝α，由已知得，PB ＝sin α，在△PBA 中，由正弦定理得3sin150°＝sin αsin 30°－α，化简得，3cos α＝4sin α，∴tan α＝34，∴tan ∠PBA ＝34.。

1．△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于（ ）A ． 30°B ．45°C ．60°D ．120°2.已知△ABC 中，sinA:sinB:sinC ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于 ( ) A ．1∶2∶3 B ．2∶3∶1 C ．1∶3∶2D ．3∶1∶23.在ABC 中，60B =，2b ac =，则ABC 一定是 （ ） A 、锐角三角形 B 、钝角三角形 C 、等腰三角形 D 、等边三角形 5．在△ABC 中，若8,3,7===c b a ，则其面积等于（ ） A ．12 B ．221C ．28D ．36 6．在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则∠A=（ ） A ．090 B ．060 C ．0120 D ．0150 7．在△ABC 中，若1413cos ,8,7===C b a ，则最大角的余弦是（ ） A ．51- B ．61- C ．71- D ．81-8．三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程06752=--x x的根，则三角形的另一边长为（ ）A. 52B.C. 16D. 413．在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝109，则BC ＝________． 14．在△ABC 中，()()()6:5:4::=+++b a a c c b ，则△ABC 的最大内角的度数是15．．在△ABC 中，∠C ＝60°，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、.C 的对边，则ca bc b a +++＝________．17．△A BC 中，,26-=AB ∠C=300，则AC+BC 的最大值是________。

19．在△ABC 中，10=+b a ，cosC 是方程02322=--x x 的一个根，求△ABC 周长的最小值。

20．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程02322=+-x x 的两个根，且()1cos 2=+B A 。

余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定，是勾股定理在一般三角形情形下的推广。

下面是高二数学《余弦定理》训练题目及其参考答案以供大家学习。

1.在△ABC中，已知a=4，b=6，C=120°，则边c的值是( )A.8B.217C.62D.219解析：选D.根据余弦定理，c2=a2+b2-2abcos C=16+36-2×4×6cos 120°=76，c=219.2.在△ABC中，已知a=2，b=3，C=120°，则sin A的值为( )A.5719B.217C.338D.-5719解析：选A.c2=a2+b2-2abcos C=22+32-2×2×3×cos 120°=19.∴c=19.由asin A=csin C得sin A=5719.3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为__________.解析：设底边边长为a，则由题意知等腰三角形的腰长为2a，故顶角的余弦值为4a2+4a2-a22•2a•2a=78.答案：784.在△ABC中，若B=60°，2b=a+c，试判断△ABC的形状. 解：法一：根据余弦定理得b2=a2+c2-2accos B.∵B=60°，2b=a+c，∴(a+c2)2=a2+c2-2accos 60°，整理得(a-c)2=0，∴a=c.∴△ABC是正三角形.法二：根据正弦定理，2b=a+c可转化为2sin B=sin A+sin C.又∵B=60°，∴A+C=120°，∴C=120°-A，∴2sin 60°=sin A+sin(120°-A)，整理得sin(A+30°)=1，∴A=60°，C=60°.∴△ABC是正三角形.课时训练一、选择题1.在△ABC中，符合余弦定理的是( )A.c2=a2+b2-2abcos CB.c2=a2-b2-2bccos AC.b2=a2-c2-2bccos AD.cos C=a2+b2+c22ab解析：选A.注意余弦定理形式，特别是正负号问题.2.(2011年合肥检测)在△ABC中，若a=10，b=24，c=26，则最大角的余弦值是( )A.1213B.513C.0D.23解析：选C.∵c>b>a，∴c所对的角C为最大角，由余弦定理得cos C=a2+b2-c22ab=0.3.已知△ABC的三边分别为2,3,4，则此三角形是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不能确定解析：选B.∵42=16>22+32=13，∴边长为4的边所对的角是钝角，∴△ABC是钝角三角形.4.在△ABC中，已知a2=b2+bc+c2，则角A为( )A.π3B.π6C.2π3D.π3或2π3解析：选C.由已知得b2+c2-a2=-bc，∴cos A=b2+c2-a22bc=-12，又∵05.在△ABC中，下列关系式①asin B=bsin A②a=bcos C+ccos B③a2+b2-c2=2abcos C④b=csin A+asin C一定成立的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个解析：选C.由正、余弦定理知①③一定成立.对于②由正弦定理知sin A=sin Bcos C+sin Ccos B=sin(B+C)，显然成立.对于④由正弦定理sin B=sin Csin A+sin Asin C=2sin Asin C，则不一定成立.6.在△ABC中，已知b2=ac且c=2a，则cos B等于( )A.14B.34C.24D.23解析：选B.∵b2=ac，c=2a，∴b2=2a2，∴cos B=a2+c2-b22ac=a2+4a2-2a22a•2a=34.二、填空题7.在△ABC中，若A=120°，AB=5，BC=7，则AC=________.解析：由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2AB•AC•cosA，即49=25+AC2-2×5×AC×(-12)，AC2+5AC-24=0.∴AC=3或AC=-8(舍去).答案：38.已知三角形的两边分别为4和5，它们的夹角的余弦值是方程2x2+3x-2=0的根，则第三边长是________.解析：解方程可得该夹角的余弦值为12，由余弦定理得：42+52-2×4×5×12=21，∴第三边长是21.答案：219.在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C=5∶7∶8，则B的大小是________.解析：由正弦定理，得a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=5∶7∶8.不妨设a=5k，b=7k，c=8k，则cos B=5k2+8k2-7k22×5k×8k=12，∴B=π3.答案：π3三、解答题10.已知在△ABC中，cos A=35，a=4，b=3，求角C.解：A为b，c的夹角，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A，∴16=9+c2-6×35c，整理得5c2-18c-35=0.解得c=5或c=-75(舍).由余弦定理得cos C=a2+b2-c22ab=16+9-252×4×3=0，∵0°11.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边长，若(a+b+c)(sin A+sin B-sin C)=3asin B，求C的大小.解：由题意可知，(a+b+c)(a+b-c)=3ab，于是有a2+2ab+b2-c2=3ab，即a2+b2-c22ab=12，所以cos C=12，所以C=60°.12.在△ABC中，b=asin C，c=acos B，试判断△ABC的形状.解：由余弦定理知cos B=a2+c2-b22ac，代入c=acos B，得c=a•a2+c2-b22ac，∴c2+b2=a2，∴△ABC是以A为直角的直角三角形.又∵b=asin C，∴b=a•ca，∴b=c，∴△ABC也是等腰三角形.综上所述，△ABC是等腰直角三角形.。

余弦定理练习题余弦定理是三角学中的重要定理之一，它可以用来计算一个三角形的边长或角度。

在本文中，我们将提供一些余弦定理的练习题，以帮助读者更好地理解和应用这个定理。

题1：已知一边长和两个角度，求另两边长。

解：设三角形的边长分别为a，b，c，对应的角度为A，B，C。

根据余弦定理，我们有以下等式：a² = b² + c² - 2bc*cos(A)假设已知边长b=5，角度A=30°，角度B=45°。

我们可以将这些已知值代入上述等式，然后求解未知边长a和c。

a² = 5² + c² - 2*5*c*cos(30°)= 25 + c² - 10c*cos(30°)我们还需要知道cos(30°)的值，根据三角函数表可知，cos(30°) = √3/2。

将该值代入原等式，我们得到：a² = 25 + c² - 10c*(√3/2)= 25 + c² - 5√3c这是一个关于c的二次方程，我们可以将其化简为标准形式：c² - 5√3c + (25 - a²) = 0接下来，我们可以使用二次方程的求解方法，求解出c的值。

题2：已知两边长和对应角度，求另一边长的范围。

解：设三角形的边长分别为a，b，c，对应的角度为A，B，C。

根据余弦定理，我们有以下等式：c² = a² + b² - 2ab*cos(C)假设已知边长a=3，边长b=4，角度C为可变角度。

c² = 3² + 4² - 2*3*4*cos(C)= 9 + 16 - 24*cos(C)= 25 - 24*cos(C)在余弦定理中，边长的平方小于等于两边长之和的平方，即c² ≤ (a + b)²。

所以我们可以得到以下不等式：25 - 24*cos(C) ≤ (3 + 4)²25 - 24*cos(C) ≤ 49-24*cos(C) ≤ 24cos(C) ≥ -1根据余弦函数的定义域，-1 ≤ cos(C) ≤ 1。

余弦定理基础练习题1.在三角形△ABC中，已知a=3，b=7，c=2，求角B的度数。

解：根据余弦定理，$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$，代入已知数据得$7^2=3^2+2^2-2\times3\times2\cos B$。

化简得$\cos B=-\frac{11}{12}$，因为$0^\circ\leq B\leq 180^\circ$，所以$B=120^\circ$，选项C正确。

2.在三角形△ABC中，已知$\sin A:\sin B:\sin C=1:3:2$，求角A、B、C的度数。

解：由于$\sin A:\sin B:\sin C=1:3:2$，所以令$\sin A=k$，则$\sin B=3k$，$\sin C=2k$。

根据正弦定理，$\frac{a}{k}=\frac{b}{3k}=\frac{c}{2k}$，即$a: b: c=1: 3: 2$。

又因为三角形三个角度之和为$180^\circ$，所以$A+B+C=180^\circ$。

代入正弦定理得$\frac{a}{2R}+\frac{b}{2R}+\frac{c}{2R}=1$，化简得$a+b+c=2R$。

因此，$A=\sin^{-1}k$，$B=\sin^{-1}(3k)$，$C=\sin^{-1}(2k)$。

选项B正确。

3.在三角形△ABC中，已知$B=60^\circ$，$b=ac$，求三角形的类型。

解：根据正弦定理，$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sinB}=\frac{c}{\sin C}$。

因为$B=60^\circ$，所以$\sinB=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

又因为$b=ac$，所以$\frac{b}{c}=a$，代入正弦定理得$\frac{a}{\sinA}=\frac{ac}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，化简得$\sinA=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$A=60^\circ$。

正弦定理、余弦定理练习题年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____一、选择题(共20题，题分合计100分)1.已知在△ABC中,sin A:sin B:sin C=3:2:4,那么cos C的值为B.D.2.在△ABC中，a=λ,b=λ,A=45°,则满足此条件的三角形的个数是D.无数个3.在△ABC中，b cos A=a cos B，则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形4.已知三角形的三边长分别为x2+x+1,x2-1和2x+1(x＞1)，则最大角为°°°°5.在△ABC中，=1，=2，（+）·（+）=5+2则边||等于A.C.D.6.在△ABC中，已知B=30°,b=50,c=150，那么这个三角形是A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形7.在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bc cos B cos C，则此三角形为A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形8.正弦定理适应的范围是△B.锐角△ C.钝角△ D.任意△9.已知△ABC中，a=10,B=60°,C=45°，则c=+（-1） C.（+1）10.在△ABC中，b sin A＜a＜b，则此三角形有A.一解B.两解C.无解D.不确定11.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2-7x-6=0的根，则三角形的另一边长为12.在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于°°°13.在△ABC中，，则△ABC是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形14.在△ABC中，a=2，A=30°,C=45°，则△ABC的面积S△ABC等于A.C.+1D.(+1)15.已知三角形ABC的三边a、b、c成等比数列，它们的对角分别是A、B、C，则sin A sin C 等于+cos2B+sin2B16.在△ABC中，sin A＞sin B是A＞B的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.在△ABC中，b Cos A=a cos B，则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形18.△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形19.△ABC中,A=60°,b=1,这个三角形的面积为,则△ABC外接圆的直径为A.B.C.D.20.在△ABC中，,则k为D.(R为△ABC外接圆半径)二、填空题(共18题，题分合计75分)1.在△ABC中，A=60°，C=45°，b=2，则此三角形的最小边长为.2.在△ABC中，= .3.在△ABC中,a∶b∶c=(+1)∶∶2，则△ABC的最小角的度数为.4.在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C=6∶5∶4，则sec A= .5.△ABC中，，则三角形为_________.6.在△ABC中，角A、B均为锐角且cos A＞sin B，则△ABC是___________.7.在△ABC中，若此三角形有一解，则a、b、A满足的条件为____________________.8.已知在△ABC中，a=10,b=5,A=45°,则B= .9.已知△ABC中，a=181,b=209,A=121°14′，此三角形解.10.在△ABC中,a=1,b=1,C=120°则c= .11.在△ABC中，若a2＞b2+c2，则△ABC为；若a2=b2+c2，则△ABC为；若a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，则△ABC为.12.在△ABC中，sin A=2cos B sin C，则三角形为_____________.13.在△ABC中，BC=3，AB=2，且，A= .14.在△ABC中，B=,C=3,B=30°，则A= .15.在△ABC中，a+b=12,A=60°，B=45°，则a= ,b= .16.若2,3,x为三边组成一个锐角三角形，则x的范围为.17.在△ABC中，化简b cos C+c cos B= .18.钝角三角形的边长是三个连续自然数，则三边长为.三、解答题(共24题，题分合计244分)1.已知在△ABC中，c=10，A=45°，C=30°，求a、b和B.2.已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=，求三角形的最大内角.3.已知在△ABC中，∠A=45°，a=2，c=，解此三角形.4.在四边形ABCD中，BC=a，DC=2a，四个角A、B、C、D度数的比为3∶7∶4∶10，求AB的长.5.在△ABC中，A最大，C最小，且A=2C，A+C=2B，求此三角形三边之比.6.证明：在△ABC中，.（其中R为△ABC的外接圆的半径）7.在△ABC中，最大角A为最小角C的2倍，且三边a、b、c为三个连续整数，求a、b、c的值.8.如下图所示，半圆O的直径MN=2，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作正三角形ABC，问B在什么位置时，四边形OACB面积最大？最大面积是多少？9.在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C=m∶n∶l，且a+b+c=S，求a.10.根据所给条件，判断△ABC的形状（1）a cos A=b cos B(2)11.△ABC中，a+b=10，而cos C是方程2x2－3x－2=0的一个根，求△ABC周长的最小值.12.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，设a+c=2b,A－C=,求sin B的值.13.已知△ABC中，a=1,b=,A=30°,求B、C 和c.14.在△ABC中，c=2，tan A=3,tan B=2,试求a、b及此三角形的面积.15.已知S△ABC=10,一个角为60°，这个角的两边之比为5∶2，求三角形内切圆的半径.16.已知△ABC中，，试判断△ABC的形状.17.已知△ABC的面积为1，tan B=,求△ABC 的各边长.18.求值：19.已知△ABC的面积，解此三角形.20.在△ABC中，a=,b=2,c=+1，求A、B、C及S△.21.已知（a2+bc）x2+2=0是关于x的二次方程，其中a、b、c是△ABC的三边，(1)若∠A为钝角，试判断方程根的情况.(2)若方程有两相等实根，求∠A的度数.22.在△ABC中，（a2+b2）sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)，判断△ABC的形状.23.在△ABC中，a＞b,C=，且有tan A·tan B=6，试求a、b以及此三角形的面积.24.已知：k是整数，钝角△ABC的三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c（1）若方程组有实数解，求k的值.（2）对于（1）中的k值，若且有关系式,试求A、B、C的度数.正弦定理、余弦定理答案一、选择题(共20题，合计100分)1 A 2A3C 4 B 5 C 6D 7A 8 D 9B 10 B 11 B 12C 13C 14C 16. C 17：C 18A 19C 20. A二、填空题(共18题，合计75分)1.2（-1） 23. 45°4. 85.等腰三角形6.：钝角三角形7.a=b sin A或b＜a8.60°或120°9无10.11.钝角三角形直角三角形锐角三角形12.等腰三角形13.120°14.或215. 36-1216.＜x＜17.a18. 2、3、4三、解答题(共24题，合计244分)=B=105°b=2.∠C=120°3.∠B=75°或∠B=15°b=+1，∠C=60°，∠B=75°或b=－1，∠C=120°，∠B=15°4. AB的长为5.：此三角形三边之比为6∶5∶4=6,b=5,c=48.当θ=时，S四边形OACB最大, 最大值为+29.10（1）△ABC是等腰三角形或直角三角形（2）△ABC为等边三角形11△ABC周长的最小值为12.=60°,B2=120°；C1=90°，C2=30°；c1=2,c2=114..15.16.等边三角形17.18.20. A=60°，B=45°，C=75°，S△=21. (1)没有实数根(2)60°22.等腰三角形或直角三角形23.24.（1）k=1，2，3 （2）C=45°,B=15°。

【巩固练习】一、选择题1．在△ABC 中，已知A ＝30°，且3a ＝12，则c 的值为( )A ．4B ．8C ．4或8D ．无解2．在△ABC 中，下列关系式①a sin B ＝b sin A ②a ＝b cos C ＋c cos B ③a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C④b ＝c sin A ＋a sin C一定成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．在不等边三角形中，a 是最大的边，若a 2<b 2＋c 2，则角A 的取值范围是( ) A. (,)2ππ B. (,)32ππC. (,)42ππD. (0,)2π4．已知△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝c ，且∠A ＝75°，则b ＝( )A ．2B ．4＋C ．4－ D. 5. △ABC 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,)p a c b =+,(,)q b a c a =--,若//p q ,则角C 的大小为A ．6πB ．3πC ．2π D. 23π6. 锐角三角形ABC 中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，如果B ＝2A ，则b a 的取值范围是( ) A ．(－2,2)B ．(0,2)C ．D ．，2)7．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶4，则cos C 的值为( ) A.23B ．23-C ．14- D. 14二、填空题 8. 已知锐角三角形三边长分别为3,4，a ，则a 的取值范围为________．9. 在△ABC 中，A ，B ，C 是三个内角，C ＝30°，则sin 2A ＋sin 2B －2sin A sin B cos C 的值是________．10. 在△ABC 中，若S △ABC ＝14(a 2＋b 2－c 2)，那么角C ＝_______________. 11. 若钝角三角形三边长为1a +、2a +、3a +，则a 的取值范围是 ．三、解答题12．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，且2a sin A＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ，求A 的大小．13. 在△ABC 中，已知sin C ＝sin sin cos cos A B A B ++，试判断三角形的形状．14．在△ABC 中，已知c b ＝1，B ＝30°.(1)求角A ；(2)求△ABC 的面积．15. 在锐角ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知sin 3A =， （1）求22tan sin 22B C A ++的值；（2）若2a =，ABC S =△，求b 的值．【答案与解析】1. 【答案】 C【解析】 由3a b ＝12，得a ＝4，b ＝a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即16＝48＋c 2－12c ，解得c ＝4或c ＝8.2. 【答案】 C【解析】 由正、余弦定理知①③一定成立，对于②由正弦定理知sin A ＝sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin(B ＋C )，显然成立．对于④由正弦定理sin B ＝sin C sin A ＋sin A sin C ＝2sin A sin C ，则不一定成立．3. 【答案】 B【解析】 根据余弦定理：222cos 02b c a A bc+-=>，∴A 为锐角． ∵在不等边三角形中，a 是最大边，∴A 是最大角，∴△ABC 为锐角三角形，∴3π<A <2π. 4. 【答案】 A【解析】 △ABC 中，易知∠B ＝30°，由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos 30°，∴222b =-=4∴b ＝2.5. 【答案】 B【解析】222//()()()p q a c c a b b a b a c ab ⇒+-=-⇒+-=，利用余弦定理可得2cos 1C =，即1cos 23C C π=⇒=，故选择答案B 。

余弦定理基础训练题（有详解)一、单选题1．在钝角ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若301C c a =︒==，，ABC ∆的面积为A B C ．34D ．322．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C =（ ）A ．2π B ．4π C ．3π D ．6π 3．在V ABC 中，若7a =，3b =，8c =，则其面积等于（ ） A ．B ．212C ．28D ．124．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()2220a b c +-=，120C =，则ab =（ ） A ．10B ．20C ．103D ．2035．已知△ABC 三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c a a b b c+++=1，则B 的大小为（ ） A ．30B ．60C ．120D ．1506．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，1,5a c ==，cos2B =, 则b =（ ） A ．BC D ．7．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC ∆的面积为2221()4a b c -+-，1sin 2B =，则A =（ ） A ．105B ．75C ．30D ．158．在ABC ∆中，222a b c =++，则A ∠=（ ）9．在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若132cos 3b c A ===，，，则a =（ ） A ．5B C ．4D ．310．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若222c a b ab =+-，6ab =，则ABC ∆的面积为（ ） A ．3B C D ．11．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3,,sin 2sin 3a A C B π===，则b 的值为（ ） A B C D12．在ABC △中，60B =︒，2b ac =，则ABC △一定是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰三角形D ．等边三角形13．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a =4b =，120A =︒，则ABC ∆的面积为（ ）A ．2B C ．4D ．14．在△ABC 中，已知b c =，sin A B =，则A 等于( ) A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π315．在ABC △中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，若a 6,c 4,==sin23B =，则b =（ ）A ．9B ．36C ．D ．616．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2-b 2-c 2=bc ，则A =（ ） A ．30° B ．60°C ．120°D ．150°17．设的内角的对边分别为，且，，，则( )18．在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，则角C 的值为 A ． B ．C ．或D ．或19．在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果，那么的最大内角的余弦值为A ．B ．C ．D ．20．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为 A ．B ．C ．D ．21．在ABC ∆中， ::3:5:7a b c =，那么ABC ∆是（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．非钝角三角形 22．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若8,3,60b c A ===︒，则此三角形外接圆的半径R =（ ） A B C ．73D 23．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若22a b -=， sin C B =，则角B 等于（ ）A ．030B ．060C ．090D ．015024．已知ABC ∆的三边长为,,a b c ，满足直线0ax by c ++=与圆221x y +=相离，则ABC ∆是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上情况都有可能25．已知ABC ∆中， 222sin sin sin sin sin B C A B C +-=-，则A =（ ）A ．60︒B ．90︒C ．150︒D ．120︒二、填空题26．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a b ==1cos 3C =，则c =___；ABC ∆的面积是___29．在中，若，且，则__________．30．在中，，，的角平分线，则________.参考答案1．A 【解析】 【分析】根据已知求出b 的值，再求三角形的面积. 【详解】在ABC ∆中，301C c a =︒==，， 由余弦定理得：2222cos c a b a b C =+-⋅⋅， 即2320b b -+=， 解得：1b =或2b =.∵ABC ∆是钝角三角形，∴2b =（此时为直角三角形舍去）.∴ABC ∆的面积为111sin 12224ab C =⨯=. 故选:A . 【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形和三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 2．B 【解析】 【分析】由题利用三角形的面积公式和余弦定理解得tan 1C =，进而得到答案。