新高考数学二轮复习专题一函数与导数不等式第1讲函数图象与性质及函数与方程练习理

第1讲 函数的图像与性质的简单应用高考年份全国卷Ⅰ 全国卷Ⅱ 全国卷Ⅲ2020函数单调性的应用·T12对数大小的判断·T11 函数的奇偶性与单调性·T9函数的性质·T162019 函数图像的判断·T5函数的建模与应用·T4 函数图像的判断·T7 2018函数图像的判断·T3函数图像的判断·T71。

[2019·全国卷Ⅰ］函数f （x )=sinx+x cosx+x 2在[-π,π］的图像大致为( ）A BC D图M1-1-12。

[2018·全国卷Ⅲ]函数y=-x 4+x 2+2的图像大致为 ( ）图M1-1-23。

［2019·全国卷Ⅱ］若a〉b,则 (）A。

ln（a—b）>0 B。

3a〈3bC。

a3—b3〉0 D.｜a|>｜b｜4。

[2020·全国卷Ⅱ］若2x-2y〈3—x-3-y，则(）A.ln(y-x+1)〉0B.ln（y—x+1）〈0C.ln|x-y|〉0D。

ln｜x-y｜〈05.[2020·北京卷]已知函数f(x)=2x—x—1，则不等式f(x）〉0的解集是()A.（—1，1)B。

(-∞,—1)∪(1，+∞）C.(0，1）D。

（-∞,0）∪(1,+∞）6.[2020·全国新高考Ⅰ卷］若定义在R的奇函数f（x)在（-∞，0)单调递减,且f（2）=0,则满足xf(x-1）≥0的x的取值范围是（)B。

［—3,—1]∪[0，1]C.[—1，0］∪［1，+∞）D.[-1,0］∪［1,3］7.［2020·全国卷Ⅲ]已知55〈84,134<85。

设a=log53，b=log85,c=log138,则()A。

a<b〈c B.b<a〈cC。

b<c〈a D.c<a〈b8。

[2020·全国卷Ⅲ］Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎，累计确诊病例数I（t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t）=K1+e-0.23(t-53)其中K为最大确诊病例数。

第1讲 函数的图象与性质[考情分析] 1.高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等，主要考查求函数的定义域、分段函数的函数值的求解或分段函数中参数的求解及函数图象的识别．难度属中等及以上.2.此部分内容多以选择题、填空题形式出现，有时在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题．考点一 函数的概念与表示例1 (1)若函数f (x )＝log 2(x －1)＋2－x ，则函数f ⎝⎛⎭⎫x 2的定义域为( )A ．(1,2]B ．(2,4]C ．[1,2)D ．[2,4)(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋1，x ≤0，4x ，x >0，则满足f (x )＋f (x －1)≥2的x 的取值范围是________．跟踪演练1 (1)已知函数f (x ＋1)的定义域为(－2,0)，则f (2x －1)的定义域为( )A ．(－1,0) B.⎝⎛⎭⎫－12，12 C ．(0,1) D.⎝⎛⎭⎫－12，0(2)已知实数a <0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2a ，x <1，－x ，x ≥1，若f (1－a )≥f (1＋a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．[－2，－1]C ．[－1,0)D ．(－∞，0)考点二 函数的性质3．函数图象的对称中心或对称轴(1)若函数f (x )满足关系式f (a ＋x )＝2b －f (a －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )对称．(2)若函数f (x )满足关系式f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称． 考向1 单调性与奇偶性例2 (1)(2020·新高考全国Ⅰ)若定义在R 上的奇函数f (x )在(－∞，0)上单调递减，且f (2)＝0，则满足xf (x －1)≥0的x 的取值范围是( )A ．[－1,1]∪[3，＋∞)B ．[－3，－1]∪[0,1]C ．[－1,0]∪[1，＋∞)D ．[－1,0]∪[1,3](2)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－πx ＋(x ＋e )2x 2＋e 2的最大值为M ，最小值为N ，则(M ＋N －1)2 021的值为________．考向2 奇偶性与周期性例3 (1)定义在R 上的奇函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝f (x )，当x ∈⎝⎛⎦⎤0，12时，f (x )＝12log (1)x -，则f (x )在区间⎝⎛⎭⎫1，32内是( )A ．减函数且f (x )>0B ．减函数且f (x )<0C ．增函数且f (x )>0D ．增函数且f (x )<0(2)已知函数f (x )的定义域为R ，当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，则f (6)等于( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2跟踪演练2 (1)(2018·全国Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)等于( )A ．－50B ．0C ．2D ．50(2)已知对任意实数x ，函数f (x )都满足f (－x )＝f (x )，且当x ≥0时，f (x )＝e x －sin x ，若实数a 满足f (log 2a )<f (1)，则a 的取值范围是________．考点三 函数的图象核心提炼1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．考向1 函数图象的识别例4 (1)(2019·全国Ⅲ)函数y ＝2x 32x ＋2－x在[－6,6]上的图象大致为( )(2)已知某函数图象如图所示，则此函数的解析式可能是( )A ．f (x )＝1－e x 1＋e x ·sin xB ．f (x )＝e x －1e x ＋1·sin x C ．f (x )＝1－e x 1＋e x ·cos x D ．f (x )＝e x －1e x ＋1·cos x考向2 函数图象的变换及应用例5 (1)若函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝－f (x ＋1)的图象大致为( )(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1，x ≤0，－x 2－3x ，x >0，若不等式|f (x )|≥mx －2恒成立，则实数m 的取值范围为( ) A ．[3－22，3＋22] B ．[0,3－22]C ．(3－22，3＋22)D ．[0,3＋22]跟踪演练3 (1)(2020·天津市大港第一中学模拟)函数y ＝2|x |sin 2x 的图象可能是( )(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0，若存在x 0∈R 使得f (x 0)≤ax 0－1，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞)B ．[－3,0]C ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)D ．(－∞，－3]∪(0，＋∞)专题强化练一、选择题1．函数y ＝－x 2＋2x ＋3lg (x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,3] B ．(－1,0)∪(0,3]C ．[－1,3]D ．[－1,0)∪(0,3]2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x )，x <0，22x －1，x ≥0，则f (－3)＋f (log 23)等于( ) A.112 B.132 C.152D ．103．(全国Ⅱ)设函数f (x )＝ln|2x ＋1|－ln|2x －1|，则f (x )( )A ．是偶函数，且在⎝⎛⎭⎫12，＋∞单调递增B ．是奇函数，且在⎝⎛⎭⎫－12，12单调递减C ．是偶函数，且在⎝⎛⎭⎫－∞，－12单调递增 D ．是奇函数，且在⎝⎛⎭⎫－∞，－12单调递减 4．设函数f (x )＝4x 23|x |，则函数f (x )的图象大致为( )5．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，－x 2＋ax ＋1，x <1在R 上是增函数，则a 的取值范围为( ) A ．[2,3] B ．[2，＋∞) C ．[1,3] D ．[1，＋∞)6．若定义域为R 的函数f (x )在(4，＋∞)上为减函数，且函数y ＝f (x ＋4)为偶函数，则( )A ．f (2)>f (3)B ．f (2)>f (5)C ．f (3)>f (5)D ．f (3)>f (6)7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2|x －a |，x ≤1，x ＋1，x >1，若f (1)是f (x )的最小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－1,2) B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[1，＋∞)8．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1mx i 等于( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m9．已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数，且f (x )在(－∞，0)上是减函数，f (2)＝0，g (x )＝f (x ＋2)，则不等式xg (x )≤0的解集是( )A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B ．[－4，－2]∪[0，＋∞)C ．(－∞，－4]∪[－2，＋∞)D ．(－∞，－4]∪[0，＋∞)10．定义新运算：当a ≥b 时，a b ＝a ；当a <b 时，a b ＝b 2.则函数f (x )＝(1x )x －(2x )，x ∈[－2,2]的最大值为( )A ．－1B ．1C ．6D ．1211．(2020·贵阳模拟)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[－3，－2]时，f (x )＝－x －2，则( )A ．f ⎝⎛⎭⎫sin π6>f ⎝⎛⎭⎫cos π6 B ．f (sin 3)<f (cos 3) C ．f ⎝⎛⎭⎫sin 4π3<f ⎝⎛⎭⎫cos 4π3 D ．f (2 020)>f (2 019)12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋ax ，x ≤1，a 2x －7a ＋14，x >1，若∃x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，2)∪(3,5)C ．[2,3]D ．[2，＋∞)二、填空题13．(2020·江苏)已知y＝f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)＝23x，则f(－8)的值是________．14．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝－1f(x)，当x∈(0,2]时，f(x)＝2x＋1，则f(2 020)＋f(2 021)的值为________．15．已知函数f(x)＝log a(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围是________．16．关于函数f(x)＝lg x2＋1|x|(x≠0，x∈R)，有下列命题：①函数y＝f(x)的图象关于y轴对称；②当x>0时，f(x)是增函数；当x<0时，f(x)是减函数；③函数f(x)的最小值是lg 2；④当－1<x<0或x>1时，f(x)是增函数．其中正确命题的序号是________．。

高考数学二轮复习专题一函数与导数不等式教案(全国通用)x+ a, - K x<0,2.(2021 •江苏卷)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间［—1, 1)上,f(x)= 2其5 9中ae R假设f —万=f万,那么f (5a)的值是5 . 5 八.1 1斛析由 f —1 = f —]+2 = f --2 = --+a,2 1 1二——二=—5 2 10.一一5又「f 一3第1讲函数、函数与方程及函数的应用高考定位高考对本内容的考查主要有：(1)函数的概念和函数的根本性质是B级要求,是重要考点；(2)指数与对数的运算、指数函数与对数函数的图象和性质都是考查热点,要求都是B级；(3)函数与方程是B级要求,但经常与二次函数等根本函数的图象和性质综合起来考查,是重要考点；(4)函数模型及其应用是考查热点,要求是B级；试题类型可能是填空题,也可能在解做题中与函数性质、导数、不等式综合考查^3 2• • f (5 a) = f (3) =f(3 — 4)=f(—1)= — 1 +—=--.5 5入2答案—Z 52八13.(2021 •江苏卷)f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当xC［0, 3)时,f(x)= x -2x+-.假设函数y=f(x) - a在区间［—3, 4］上有10个零点(互不相同),那么实数a的取值范围是.1 解析作出函数y = f(x)在［—3, 4］上的图象,f(—3) =f (―2) = f( —1) =f(0) =f(1) =f (2) =f(3) =f(4)=］, (1)观祭图象可得0V av^. (1)答案0, 2、一… 一一. 0, 0vxw 1, ……. …,……4.(2021 •江苏卷)函数f(x) = |ln x| , g(x)= x2小 2 x>［那么万程| f (x)+g(x)| =1实根的个数为—In x, 0vxW1,解析令h(x) = f (x) + g(x),那么h(x) = -x2+ln x+2, 1vxv2,x2+ In x— 6, x>2,21 1 - 2x ............................... .......当1vx<2时,h (x)=—2x+-= ------------------------- < 0,故当 1 vx<2时h(x)单倜递减,在同一坐标系中回出---------------------------------------- y=|h(x)|x xf 2 =f 2-4 =f 2真题感悟1.(2021 •江苏卷)函数y=^/3-2x-x2的定义域是. 解析要使函数有意义,需且仅需3—2x—x2>0,解得—3W xW1.故函数定义域为［—3,1］.答案［—3, 1］和y= 1的图象如图所本.由图象可知|f(x)+g(x)| = 1的实根个数为4.答案4考点整合1 .函数的性质⑴单调性(i )用来比拟大小,求函数最值,解不等式和证实方程根的唯一性^(ii)常见判定方法：①定义法：取值、作差、变形、定号,其中变形是关键,常用的方法有：通分、配方、因式分解；②图象法；③复合函数的单调性遵循“同增异减〞的原那么；④导数法^(2)奇偶性：①假设f(x)是偶函数,那么f(x) =f (―x);②假设f (x)是奇函数,0在其定义域内,那么f(0) =0;③奇函数在关于原点对称的区间内有相同的单调性,偶函数在关于原点对称的区间内有相反的单调性；(3)周期性：常见结论有①假设y=f(x)对xCR, f(x+a) =f(x —a)或f(x—2a) = f(x)( a>0)恒成立,那么y= f(x) 是周期为2a的周期函数；②假设y=f(x)是偶函数,其图象又关于直线x = a对称,那么f (x)是周期为2| a|的周期函数；③假设y=f(x)是奇函数,其图象又关于直线x=a对称,那么f(x)是周期为4|a|的周期函数；④假设f(x + a) =“ 1-f(x)或f (x+ a) =f〜、,那么y=f(x)是周期为2|a|的周期函数. T (X)2 .函数的图象(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图,作函数图象有两种根本方法：一是描点法；二是图象变换法,其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换^(2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时,要注意结合其图象研究^3 .求函数值域有以下几种常用方法：(1)直接法；(2)配方法；(3)根本不等式法；(4)单调性法；(5)求导法；(6)别离变量法.除了以上方法外,还有数形结合法、判别式法等.4 .函数的零点问题(1)函数F(x) = f (x) — g(x)的零点就是方程f (x) = g(x)的根,即函数y = f(x)的图象与函数y= g(x)的图象交点的横坐标.(2)确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数形结合,利用两个函数图象的交点求解.5 .应用函数模型解决实际问题的一般程序读题建模求解反应(文字语言)?(数学语言)?(数学应用)?(检验作答)与函数有关的应用题,经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题,也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题.解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式,然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.热点一函数性质的应用【例1】⑴ 定义在R上的函数f (x) = 21x m —1( m为实数)为偶函数,记a = f (log 0.53), b= f (log 25) ,c = f (2 n),那么a, b, c的大小关系为 (从小到大排序)..一 .,,、 ,一一,一,.一一x+1 , .. ................(2)(2021 •全国n卷改编)函数f(x)(xCR)满足f(—x) = 2 —f(x),假设函数y=——与y= f (x)图象的交点为xm (x1, y1), (x2, y2),…,(x m, y n),那么(x i + y) =i = 1 解析(1)由f(x) =21x—m—1是偶函数可知m= 0, 所以f(x) = 2lx1—1.所以a=f(log 0.53) =2|log 0.53| - 1 = 2log 23-1=2, b= f (log 25) =2110g 25| -1 = 2log 25-1 = 4, c= f (0) = 2|0I -1 = 0,所以c<a<b.1 ,(2)由题设得/(f (x)+f ( —x)) = 1,点(x, f (x))与点(一x, f ( —x))关于点(0 , 1)对称,那么y=f(x)的图象关于点(0, 1)对称.又y=©」=1 + 1, xw0的图象也关于点(0, 1)对称. x x 那么交点(x1, y4, (x2, y2),…,(x m, y m)成对出现,且每一对关于点(0, 1)对称.m m m m 一那么x i y i = x+ y i =0 + 2>< 2= mi =1 i = 1 i =12答案(1) cv a<b (2) m探究提升(1)可以根据函数的奇偶性和周期性,将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值.(2)利用函数的对称性关键是确定出函数图象的对称中央(对称轴). 【练习1 ] (1)(2021 •全国I卷)假设函数f(x)=x ln( x+^a+x：2)为偶函数,那么a=.x…5, (2)(2021 •四川卷)函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0V x<1时,f(x)=4,那么f —1+f(1)解析(1) f(x)为偶函数,那么ln( x+^/a+x2)为奇函数, 所以ln( x+ 1a + x2) + ln( — x+ 1a+ x2) = 0, 即ln( a+x2—x2) = 0, a= 1.(2)由于f(x)是周期为2的奇函数, 所以f(1) =f(-1) = -f(1),即"1) = 0,5.1 J 1 .2 = f __2 = _ f 2 = - 42 = 2,5 ■从而 f -- + f (1) =- 2. 答案(1)1 (2) -2热点二函数图象的应用2—x +2x, x< 0,【例2】(1)(2021 •苏北四市调研)函数f(x)= 假设|f(x)| >ax,那么实数a的取值范围是ln (x+ 1) , x>0.(2)(2021 •全国I卷改编)设函数f(x) = e x(2x-1)-ax+a,其中a<1,假设存在唯一的整数x.使得f(x0)<0,那么实数a的取值范围是.解析(1)函数y=|f(x)|的图象如图.y= ax为过原点的一条直线,当a>0时,与y=|f(x)|在y轴右侧总有交点,不合题意；当a=0时成立；当a<0时,找与y= | -x2+2x|( xw0)相切的情况,即y' = 2x-2,切线方程为y= (2x0—2)( x—x O),由分析可知x0=0,所以a= —2,综上,a € [ -2, 0].(2)设g( x) = e x(2 x- 1), h(x) = ax—a,由题知存在唯一的整数x0,使得g(x0)v ax0—a,一.. x 一, 1 1由于g (x) = e (2x+ 1),可知g( x)在一0°,--上单倜递减,在一飞+°°上单倜〜,一 , ,一一h (0) >g (0),递增,作出g(x)与h(x)的大致图象如下图,故h (T) w g (― 1),3 所以7;-wa<1.-2a<--, 2ee一 3 ,答案(1)[ —2, 0] (2)瓦,1探究提升(1)涉及到由图象求参数问题时,常需构造两个函数,借助两函数图象求参数范围^(2)图象形象地显示了函数的性质,因此,函数性质确实定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.【练习2】(2021 •苏、锡、常、镇调研 )设奇函数f(x)在(0, +8)上为增函数,且f(2) =0,那么不等式f (x) — f (— x) &…由-------- - --- -- <0的解集为解析由奇函数的定义和f(2)=0得出函数在(一8, 0)上也为增函数.画出函数草图(如―一,口_ _ _ r q _ f…_ ,、“,f(X) f( X) 图),可得在(一2, 0)和(2 , +8)上f(x)>0,在(—8, —2)和(0 , 2)上f (x)<0.当x>0 时,由二------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------x <0,可得f (x) —f ( —x) =2f (x)<0 ,结合图象可知(0, 2)符合；当x<0 时,由f——f—^£l <0,可得f(x) — x f( —x) =2f(x)>0 ,结合图象可知(—2, 0)符合.答案(—2, 0) U (0 , 2)热点三函数与方程问题［微题型1］函数零点个数的求解_. . _ ........... 一,, 2x 兀......... 【例3—1］ (2021 •南东、盐城模拟)函数f(x) = 4cos'・ cos —■ —x - 2sin x- |ln( x+1)|的零点个数为..2x 2x解析f (x) = 4cos ^sin x— 2sin x— |ln( x+1)| =2sin x - 2cos -- 1 — |ln( x+ 1)| =sin 2 x— |ln( x+1)| ,令f(x)=0,得sin 2 x= |ln( x+1)|.在同一坐标系中彳^出两个函数y = sin 2 x与函数y= |ln( x+1)|的大致图象如下图.g( x) = f (x) —b.假设存在实数b,使得函数g(x)恰有3个零点,那么实数a的取值范围为... ...... ....... 2 — | x| , XW2, 一、…一,, , . _ 4一、… 一一, (2)函数f(x)= ( 2)2 〉2 函数g(x) = b—f (2 —x),其中bC R,右函数y=f (x) —g(x)恰有4个零点,那么b的取值范围是.一x— 1 一, 一, 2— x , , , ,r I 一,一, 一、,解析(1)当f(x)=L时,f (x) =-L,由f (x)=0 得x=2,且当xv2 时,f (x) >0, f(x)单倜递增, e e当x>2时,f' (x)<0, f(x)单调递减,那么当x= 2时,f(x)有极大值f(2) =2.当一x—1=」时,x= — 1 —▲. ee e1结合图象可得当存在头数b使得g(x) =f (x) —b恰有3个零点时,一1—q2〈av2.e(2)函数y = f(x) — g(x)恰有4 个零点,即方程f(x) -g(x) =0,即b=f(x) + f (2 —x)有4 个不同实数根,即直线y= b与函数y= f(x)+ f (2 — x)的图象有4个不同的交点,又y = f(x) + f(2 -x)=x2+x+ 2, x<0,2, 0<x<2, 作出该函数的图象如下图,2x — 5x+ 8, x>2,由图可知,当(vbvZ时,直线y = b与函数y=f (x)+ f (2 —x)的图象有4个不同的交点,故函数y = f(x) —g(x) 恰有4个零点时,b的取值范围是7 2 .一,1八7八答案⑴-1谆,2 (2) 7 2探究提升利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)别离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题,从而构建不等式求解^【练习3】(2021 •泰州调研)设函数f(x)=x2+3x+ 3—a • e x(a为非零实数),假设f (x)有且仅有一个零点,那么a观察图象可知,两函数图象有2个交点,故函数f(x)有2个零点.答案2探究提升解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法,尤其是求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题,常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解［微题型2］由函数的零点(或方程的根)求参数x- 1-x—, x>a,【例3—2］ (1)(2021 •南京三模)设函数f(x)= e-x- 1, x< a,的取值范围为2人r. H x +3x+3解析令f(x)=0,可得 ---------- x ---- = a,,令g' (x) >0,可得x C ( — 1, 0),令g' ( x) V 0,可得x C (—e2 .令g(x) =- --- x^一,贝u g,(x) =e00, — 1) U (0 , +°°),所以g(x)在(一1, 0)上单调递增,在(一00, — 1)和(0, +°°)上单调递减.由题意知函数(2x+3) - e x- e x - (x2+3x+3) x (x+1)/ x、 2(e)那么仓库容积V= ；x • 2(62- x2) + 2(62-x2) - 4x = 3yx(36 — x2).由V' = 0 得x= 2寸3或x=- 2^3(舍去). 由实际意义知V在x= 2小(m)时取到最大值, 故当PO= 2?3(m)时,仓库容积最大.探究提升(1)关于解决函数的实际应用问题,首先要在阅读上下功夫,一般情况下,应用题文字表达比拟长, 要耐心、细心地审清题意,弄清各量之间的关系,再建立函数关系式,然后借助函数的知识求解,解答后再回到实际问题中去. (2)对函数模型求最值的常用方法：单调,f法、根本不等式法及导数法^【练习4】(2021 •南京学情调研)某市对城市路网进行改造,拟在原有a个标段(注：一个标段是指一定长度的机动车道)的根底上,新建x个标段和n个道路交叉口,其中n与x满足n=ax+ 5.新建一个标段的造价为m 万元,新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k倍.(1)写出新建道路交叉口的总造价y(万元)与x的函数关系式；(2)设P是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比.假设新建的标段数是原有标段数的20%且k>3.问：P能否大于20,说明理由.* 解(1)依题息得y= mkn= mk ax+ 5) , x C N.(2)法一依题意x=0.2a,y=g(x)的图象与直线y= a有且仅有一个交点,结合y = g( x)及y= a的图象可得aC(0, e)U(3, +^). 答案(0 , e) U(3, +8)热点四函数的实际应用问题【例4】(2021 •江苏卷)现需要设计一个仓库, 它由上下两局部组成,上局部的形状是正四棱车B P— ABCD,下局部的形状是正四棱柱ABCDAiBCD(如下图),并要求正四棱柱的高OO是正四棱锥的高PO的4倍.(1)假设AB= 6 m, PO= 2 m,那么仓库的容积是多少？(2)假设正四棱锥的侧棱长为6 m,那么当PO为多少时,仓库的容积最大？所以P=mxy一xk (ax+5)a<——----- -3 (a + 25)____ ____ 1P不可能大于人.解(1) V= 3x 62X2+62X 2X4 = 312(m3).(2)设PO=x,那么OB=g62—x2, B I G=^/2• 462 —x2, ・•.S正方形A I BCD=2(62—x2).又由题意可得下面正四棱柱的高为4x,0.2 a ak (0.2a2+5) =k (a2+25)1 1 1 1---- T W------ d=_ = V25 : 2530 203 a+T r2、"飞法二依题意x=0.2a,mx x 0.2 a a所以P= 一 = --： --- - = --：-- 2———=--「 ----------- -y k (ax+5) k (0.2 a+ 5) k (a+25)假设P>710,那么ka2-20a+25k<0.2 2由于k>3,所以 A = 100(4—k)<0,不等式ka — 20a+25kv0无解,假设不成立_____ . _ 1P不可能大于元.1 -1.解决函数问题无视函数的定义域或求错函数的定义域,如求函数f(x) =--的定义域时,只考虑x>0,无视x ln xln x w 0的限制.2.如果一个奇函数f (x)在原点处有意义,即f(0)有意义,那么一定有f (0) = 0.3.三招破解指数、对数、哥函数值的大小比拟^(1)底数相同,指数不同的备用指数函数的单调性进行比拟；(2)底数相同,真数不同的对数值用对数函数的单调性比拟；(3)底数不同、指数也不同,或底数不同,真数也不同的两个数,常引入中间量或结合图象比拟大小^4.对于给定的函数不能直接求解或画出图形,常会通过分解转化为两个函数图象,然后数形结合,看其交点的个数有几个,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点一、填空题1.(2021 •南通调研)函数f(x)=ln x+什口:的定义域为.x>0, 解析要使函数f(x)=ln x+5一x有息义,那么解得0<xW1,即函数TE义域是(0,1］.* 1 -x>0, 答案(0,1］2.(2021 ・江苏卷)函数f (x)= log 5(2x+1)的单调增区间是.1 解析函数f(x)的TE义域为一2,十°°,令t =2x+1(t >0).由于y= log 5t在t e (0 , +oo)上为增函数,t =, 1 1 2x+1在—2, +°°上为增函数,所以函数y= log 5(2x+1)的单倜增区间为一万,+°0 .…1答案―］,+°°………2x, x<0, …3 .(2021 •苏州倜研)函数f (x) = 2十］〉0的值域为.解析当xwo 时,y=2x C(0, 1］；当x>0 时,y=—x2+1C(—8, 1). 综上, 该函数的值域为(—°°, 1］.答案(―巴1］4 .(2021 ・江苏卷)定义在区间［0 , 3兀］上的函数y= sin 2 x的图象与y=cos x的图象的交点个数是.解析在区间［0 , 3% ］上分别作出y= sin 2 x和y= cos x的简图如下：由图象可得两图象有7个交点. 答案7ax+ 1, - K x<0, 5 . (2021 ・江苏卷)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间［—1, 1］上,f (x), 4.1 . 3 …中a, bCR右f] =f -,那么a+3b的值为.b+2 1解析由于函数f(x)是周期为2的函数,所以f ( —1) =f (1) ? — a+1 =—2-,又f "22 1--a+ 1,联立列成万程组解得a=2, b=—4,所以a+3b= 2—12= — 10.答案—106.函数f(x)=x3+x,对任意的mE [—2, 2] , f (mA 2)+ f (x)<0恒成立,那么x的取值范围是. 解析f ' (x) = 3x2+1>0,f (x)在R上为增函数.又f(x)为奇函数,由f ( mx-2) + f(x)<0 知,f (mx-2)<f ( -x). mx-2<-x,即mx^ x-2<0,令g(m) = m肝x- 2,由[ - 2, 2]知g( m)<0 恒成立,可得 .— 2<x<?.g (2) = 3x-2<0, 3…2 2答案一2, 3——一、x-[x],x>0,7.函数f(x)=, 其中[x]表示不超过x的最大整数.假设直线y=k(x+1)( k>0)与函数y =f (x+ 1) , x< 0,f(x)的图象恰有三个不同的交点,那么实数k的取值范围是 .bx+ 2x+ 10<x< 1,1?b+23=f "2 = f解析根据［x］表示的意义可知,当0Wxv1时,f (x) =x,当1wxv2时,f (x) =x-1,当2Wxv3时,f (x)= x— 2,以此类推,当kwxvk+1 时,f(x)=x—k, kCZ,当一1w xv0 时,f(x)=x+ 1,作出函数f(x)的图象如图,直线丫=«*+1)过点(—1, 0),当直线经过点(3 , 1)时恰有三个交点,当直线经过点(2, 1)时恰好有两个交点,在这两条直线之间时有三个交点,故k €.4 31 1答案力a 4 32x — a, x< 1, 8. (2021 •北京海淀区二模)设函数f(x)=4 (x—a) (x —2a) , x> 1.(1)假设a= 1,那么f (x)的最小值为;(2)假设f (x)恰有2个零点,那么实数x2解析(1)当a= 1时,f (x)=4当x<1 时,f (x) = 2x—1 e (—1,当x>l 时,f (x) = 4(x2— 3x+ 2) = 4 x—3 -- >— 1 , 1. f (x)min= - 1. 2 4 (2)由于f(x)恰有2个零点,分两种情况讨论：当f(x)=2x—a, x<1没有零点时,a>2或aW0.当a>2 时,f(x) =4(x-a)( x-2a), x>1 时,有2个零点;当awo 时,f (x) =4(x—a)( x-2a), x> 1 时无零点. 因此a>2满足题意.当f(x)=2x—a, x<1 有一个零点时, 0<a<2.1f(x) =4(x-a)( x-2a), x>1 有一个零点,此时a<1,2 a> 1,因此^wa,1 ,综上知实数a的取值范围是a|±w a<1或a>2 .… 1 ,答案(1) -1 (2) 1 U［2, +oo)二、解做题9.函数f(x)=x2—2ln x, h(x) = x2—x+a.⑴求函数f(x)的极值；(2)设函数k(x) = f(x) -h(x),假设函数k(x)在［1 , 3］上恰有两个不同零点,求实数a的取值范围.2解(1)函数f (x)的TE义域为(0 , +°°),令f (x) = 2x-- = 0,得x= 1. x当xC(0, 1)时,f' (x)V0,当x C (1 ,+8)时,「(x) >0,所以函数f(x)在x=1处取得极小值为1,无极大值.(2) k(x) = f( x) - h(x) =x—2ln x- a( x>0),所以k' (x) = 1 ,令k' ( x) >0,得x>2,x所以k(x)在［1 , 2)上单调递减,在(2, 3］上单调递增,所以当x = 2时,函数k(x)取得最小值,k(2) =2—2ln 2 —a,由于函数k(x) =f (x) -h(x)在区间［1 , 3］上恰有两个不同零点.即有k(x)在［1 , 2)和(2, 3］内各有一个零点, k (1) >0, 1- a>0,所以k (2) <0,即有2—2ln 2 - a<0,k (3) >0, 3- 2ln 3 — a>0,解得 2 —2ln 2 <a<3-2ln 3.所以实数a的取值范围为(2 - 2ln 2 , 3-2ln 3］.10. (2021 ・江苏卷)如图,建立平面直角坐标系xOy, x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1千米.1某炮位于坐标原点.炮弹发射后的轨迹在方程y= kx—+ k ) x ( k>0)表木的曲线上,其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.a的取值范围是-1, x<1,(x —1) (x —2) , x>1.1),(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它？请说明理由.解(1)令y=0,得kx —'(I+k2)x2=0,由实际意义和题设条件知x>0, k>0,(1)求f (x)的解析式;(2)当x为多少时,总造价f(x)最低？并求出最低造价.解(1)在如题图所示的直角坐木^系中,由于曲线C的方程为y = x+¥(1wxw9), P阵x,所以点P坐标故x=20k 202= & 1 + k 1 k+k 20万10,当且仅当k= 1时取等号.所以炮的最大射程为10千米.(2)由于a>0,所以炮弹可击中目标？存在k>0,使 3.2 = ka—20(1 +k2)a2成立？关于k 的方程a2k2—20ak+a2+64= 0 有正根？判别式△ = ( —20a)2—4a2( a2+ 64) >0 ? aw 6.所以当a不超过6千米时,可击中目标.11.(2021 •苏北四市调研)如图,O上南北方向的一条公路, O祸北偏东45.方向的一条公路, 某风景区的一段边界为曲线C为方便游客观光,拟过曲线C上某点P分别修建与公路OA 0蜒直的两条道路PM PN且PM PN 的造价分别为5万元/百米、40万元/百米.建立如下图的平面直角坐标系xOy,那么曲线C符合函数模型y=x+ 乎(1 <x<9),设PM=x,修建两条道路PM PN的总造价为f(x)万元.题中所涉及长度单位均为百米.x, x+乎,直线OB的方禾g为x-y= °,那么点P到直线x—y=°的距离为又PM的造彳介为5万元/百米,PN的造彳介为40万元/百米.4那么两条道路总造价为f (x) = 5x + 40 , -x2= 5(2)由于f (x) = 5 x + -1 x,64所以「(x)=51—5 (x3—64)令f' (x)=0,解得x=4,列表如下:所以当x- xT4, 2 4,. 2x2Jkx2’x+[ (1 < x<9).x = 4时,函数f(x)有最小值,且最小值为f(4) =5 4 + 1 =30,即当x= 4时,总造价最低,最低造价为30万元.(注：利用三次均值不等式得 f (x) =5 x+-3!=xx x 32 3 _5 2 + 2 +片>5X3,8=30,当且仅当x= 4时,等号成立,同样正确.〕第2讲不等式问题高考定位高考对本内容的考查主要有：〔1〕一元二次不等式是C级要求,要求在初中所学二次函数的根底上, 掌握二次函数、二次不等式、二次方程之间的联系和区别,可以单独考查,也可以与函数、方程等构成综合题；〔2〕线性规划的要求是A级,理解二元一次不等式对应的平面区域,能够求线性目标函数在给定区域上的最值, 同时对一次分式型函数、二次型函数的最值也要有所了解；〔3〕根本不等式是C级要求,理解根本不等式在不等式证实、函数最值的求解方面的重要应用.x 一2y + 4 > 03. 〔2021 •江苏卷〕实数x, y满足2x+y-2>0,那么x2+y2的取值范围是.3x- y-3<0解析不等式组所表示的平面区域如图中阴影局部所示,那么〔x, y〕为阴影局部内的动点:x2 + y2表示原点到可行域内的点的距离的平方3x-y- 3= 0,x- 2y + 4= 0,真题感悟1 .(2021 ・江苏卷)不等式2x2—x<4的解集为.解析x2-x< 4= 22, • . x2-x< 2,即x2-x- 2< 0,解得一1<x<2.答案{x| —1vxv2}2 .(2021 •江苏卷)函数f(x) =x2+mx- 1,假设对于任意xQm 出1],都有f(x)<0成立,那么实数m的取值范围是. 解析二次函数f(x)对于任意xC[m, m^ 1],者B有f(x)<0成立, 2 . 2f (n) = m+ m- 1<0,f (m^ 1) = (m^ 1) 2+m(m+ 1) - 1<0,- 2解得—-2-<^<0.答案—02(x2 + y2) max=| OA2= 22+ 32= 13.…4答案5, 134.(2021 •江苏卷)在锐角三角形ABC43,假设sin A= 2sin B sin C,那么tan A an B tan C的最小值是.解析由sin A= sin( B+ C) =2sin Bsin C得sin Bcos C+ cos Bsin C= 2sin Bsin C,两边同日^除以cos B cos C得tan B+ tan C= 2tan B tan C.令tan B+ tan C= 2tan B tan C= m 由于^ ABC是锐角三角形,所以2tan B tan C> 2 tan B- tan C,那么tan B tanC> 1, m> 2.又在三角形中有tan A tan B tan C= — tan( B+ C tan---- r •二m= ;= m- 2 + -------------- 41 2 m- 2 m- 2—2m2\ I(m-2) -―J+4=8,当且仅当m-2 = -J,即m= 4时取等号,故tan A tanB tan C的最小值为8.m- 2 m-2解方程组得A (2 , 3).B tan C由图可知(x2 + y2)min =45'答案 8考点整合1 .(1)解含有参数的一元二次不等式,要注意对参数的取值进行讨论：①对二次项系数与 0的大小进行讨论；②在转化为标准形式的一元二次不等式后,对判别式与 0的大小进行讨论；③当判别式大于0,但两根的大小不确定时,对两根的大小进行讨论；④讨论根与定义域的关系^2 x 1 1解析 依题意知f(x)>0的解为—1<x<2,故0<10 <2,解得x<lg -(2)四个常用结论①ax 2 3+ bx+ c>0( a w0)恒成立的条件是 ②ax 2+ bx+ c< 0( awo )恒成立的条件是Da>f (x )恒成立? a>f (x )max④avf (x )恒成立？ a<f (x )min .2 .利用根本不等式求最值x, y> 0,那么(1)假设x+y = S (和为定值),那么当x=y 时,积xy 取得最大值J xyw Ty L ］ ; (2)假设xy= 集用区间表示为 .(2)(2021 •江苏卷)函数f (x )=x 2+ax+ b (a, bC F)的值域为［0,+8),假设关于x 的不等式f (x )<c 的解集［微题型1］根本不等式的简单应用 【例1】(1)(2021 •江苏卷)f (x )是定义在R 上的奇函数.当x >0时,f (x ) =x 2-4x,那么不等式f (x )>x 的解a>0,△ v 0.a< 0,△ v 0.为(m 6),那么实数c的值为.解析(1)由得f(0) =0,当x<0时, 2 2x - 4x, x > 0f(x)=-f(-x)=-x -4x,因此f(x) = 2-x -4x, x<0 …… x>0, ,x<0,不等式f(x)>x等价于x2—4X>X或—x2—4x>x 解得：x>5 或—5<x<0.2 . a 2 , a2(2)由题思知f (x) =x +ax+b= x+- +b—--. 2 42 2........... a 一a,「f(x)的值域为［0 , 十°°), b-- = 0,即b=—.• -f(x) = x+| .由f (x)<c,R积为定值),那么当x=y时,和x+y取得最小值2/(x+y>2而=2f.3.二元一次不等式(组)和简单的线性规划⑴线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等^(2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：①画出可行域；②根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；③求出目标函数的最大值或者最小值^ 得 * —W<x< --a+Vc,又f (x)< c的解集为(m m^ 6),②一①,得2\fc=6,c= 9.答案(1)( —5, 0) U(5, +8 ) (2)9探究提升解一元二次不等式一般要先判断二次项系数的正负也即考虑对应的二次函数图象的开口方向,再考虑方程根的个数也即求出其判别式的符号,有时还需要考虑其对称轴的位置,根据条件列出方程组或结合对应的函数图象求解.1 . V ______ .【练习1】一兀二次不等式f(x)<0的解集为x x<—1,或x>2 ,那么f(10x)>0的解集为.--^+ c=nu 6,热点一一元二次不等式的解法及应用【例2—1］ (1)(2021 ・南师附中模拟)设正实数x, y z 满足x 4—3xy+4y 2—z=0,那么当,取得最大值时,最大值为. ....... .._ _ _____ 一一 一_1 4..一 ., (2)正项等比数列｛a n ｝满足a 7=a 6+2a 5,右存在两项 a m, a n 使得,a m a n= 4a 1,那么不丁下的取小值为 解析 (1)由得 z = x 2-3xy+4y 2, (*) 2—,2 1 2<1,当且仅当x=2y 时取等号,把x=2y 代入(*)式,得z=2y ,所以-+ —— = x y z1 111--1 ----- 2= - 1y y yy 所以当y=1时,x+y —［的最大值为1.(2)设等比数列｛a n ｝的公比为q (q>0), a 7= a 6+ 2a 5, •l - a s q 2= a 5q + 2a 5, • •q 2-q-2 = 0,解得 q=2 或 q=—1(舍去).'am, an=,⑶,2 1平方得 2^n 2=16=24,n = 6,, 一 .____ ______________ _ ________________ _ , 1,1.解(1)由于△AOC 勺面积与^ BOC 勺面积之和等于^ AOB 勺面积,所以万x S+J 6)sin 45 +茬中+审6) • sin .130 = -xysin 75,即乎x ^p+g +；y(V 2+#)=丑：凡丫,2. 2x答案(1)1 (2)探究提升在利用根本不等式时往往都需要变形, 变形的原那么是在条件下通过变形凑出根本不等式应用的条 件,即“和〞或“积〞为定值,等号能够取得 ^［微题型2］根本不等式在实际问题中的应用【例2—2］ (2021 •南通调研)如图,在C 城周边已有两条公路1I , l 2在点O 处交汇. OC= (,2+y6)km, /AOB= 75° , /所以 y=vH(x>2). x — 2 1(2) 4AOB 勺面积 S= -xy sin 75 当且仅当x= 4时取等号,此时故 OA= 4 km, OB= 4/2 km 时,△ OA 前积的最小值为 4(73+1) km 2.探究提升 在利用根本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑〞等技巧,使其满足根本不等式中“正〞 (即条件要求中字母为正数)、“定〞(不等式的另一边必须为定值)、“等〞(等号取得的条件)的条件才能应用,否 那么会出现错误. 【练习2］ (1)向量a=(3, —2), b=(x, y —1),且a//b,假设x, y 均为正数,那么的最小值是 .(2)假设直线2ax —by+2=0(a>0, b>0)被圆x 2+y 2+2x —4y+1 =0截得的弦长为4,贝的最小值是.a b解析 (1) .「a// b, ••• 3(y -1) +2x=0, 即 2x+3y = 3.-x>0, y >0,3 2 3 2 1 .■-_+_= _ + _• -(2x+ 3y ) x yx y 3' 1 9y 4x 1=-6+6+ — + — >-(12 +2X6)= 8. 3 x y 3 当且仅当3y=2x 时取等号.(2)易知圆x 2 + y 2+2x —4y+1 = 0的半径为2,圆心为(一1, 2),由于直线 2ax —by+ 2=0(a>0, b>0)被圆x 2+ y 2+2x-4y+1 = 0截得的弦长为4,所以直线2ax — by+2=0( a>0, b>0)过圆心,把圆心坐标代入得 a+b= 1,一 ,111 1b a ,…,b a~ 1 ……… 所以一+：= _+_ (a+b) = 2+-+->4,当且仅当一=1,a+b=1,即a= b=/时等万成立.a b a ba b a b2答案(1)8(2)4AOC= 45° ,现规划在公路 l 1, l 2上分别选择 A, B 两 处为交汇点(异于点Q 直接修建一条公路通过 C 城.设OA= xkm, OB= y km.(1)求y 关于x 的函数关系式并指出它的定义域； (2)试确定点 A B 的位置,使^ OAB 勺面积最小.广,xy xy那么‘■= r~~— z x — 3xy +4y 1 x 4y c— —3 y x2 + 1<1.1 4一+一m n(mi+ n)=n 4m 16(5 + 4) =2当且仅当 n 4mm n '即n = 2m 亦即m= 2, n = 4时取等号X —x — =^3+ 1 (x —2+—4- +4) X 炉+ 1 X8=4(j3+ 1).x- 2 2 x- 2 2 N ^十P xv=^3±j 8 y 2热点三含参不等式恒成立问题［微题型1］别离参数法解决恒成立问题4 2【例3—1】(1)关于x的不等式x+-- 1-a2+2a>0对xC (0 ,十^)恒成立,那么实数a的取值范围为.x 、' ' '(2)x>0, y> 0, x + y+ 3 = xy,且不等式(x +y)2—a(x+y) +1 >0恒成立,那么实数a的取值范围是解析(1)设f (x) =x + ‘,由于x>0,所以f (x) =x+‘>2、/x •,= 4.又关于x 的不等式x+- - 1 -a2+2a>0 x x x x 对xC(0, +8)恒成立,所以a2—2a+1v4,解得一1v av3,所以实数a的取值范围为(一1, 3).(2)要使(x+ y)2—a(x + y) +1 >0 恒成立,那么有(x+y)2+1 >a(x+y),即aw (x+y)恒成立. x \" y由x+y+3=xy,得x+y+3 = xy< x+y 2 2rr 2 1 . 1 …即(x+y) -4(x+y) -12>0,解得x+y >6 或x+y w — 2(舍去).设t = x+y,贝U t >6, (x+y) +^^= t 设1 ...................... 1 .............................................. 1 37 一37...................................... f(t)=t+『那么在t>6时,f(t)单倜递增,所以f (t) = t + 1的取小值为6+6="6",所以a<-,即头数a的取值范围是37—OO —'6 .答案(1)(37 — 1,3) (2) -oo,-探究提升对于含参数的不等式恒成立问题,常通过别离参数,把求参数的范围化归为求函数的最值问题, a>f(x)恒成立？a>f(x)max；avf(x)恒成立？avf(x)min.[微题型2]函数法解决恒成立问题【例3—2】(1)f (x) =x2—2ax+2,当xC[ —1, +8)时,f(x)>a恒成立,那么a的取值范围为(2)二次函数f (x) = ax2+ x+1对x C [0 , 2]恒有f (x) >0.那么实数a的取值范围为.解析(1)法一 f (x) = (x —a)2+2 —a2,此二次函数图象的对称轴为x=a,①当aC( — °°, — 1)时,结合图象知,f (x)在[—1, + 00)上单调递增,f (x) min = f ( — 1) = 2a + 3. 要使f(x)>a恒成立,只需f ( x) min >a,即2a+ 3> a,解得一3< av — 1 ；2 ②当aC[ —1, +8)时,f(x)min= f(a) = 2-a , 由 2 — a2^5 a,解得一2w aW1.「. 一1w aW1.综上所述,所求a的取值范围为[—3, 1].法二设g(x) = f(x) — a,那么g(x) =x2—2ax+2 —a>0 在[—1, 十°0)上恒成立,A >0,2即△ =4a —4(2 —a) WO 或av—1, 解得[—3, 1].g (— 1) >0,(2)法一函数法. 假设a>0,那么对称轴x= —,<0, 2a故f (x)在[0, 2]上为增函数,且f(0) =1,因此在x € [0 , 2]上恒有f (x) >0成立... 一3右a<0,那么应有f(2) >0,即4a+3>0, 1. a>--.3综上所述,a的取值范围是一％, 0 U(0, +oo).法二别离参数法.当x = 0时,令g(x)=-f(x) = 1>0 成立.ax2+ x+ 1 >0 变为a> —x x111x2x x1. a〉——2—x又「aw0,答案(1)[探究提升——OO1x'a的取值范围是3 、—3, 1] (2) , 0 U(0 , +oo)参数不易别离的恒成立问题,特别是与二次函数有关的恒成立问题的求解,常用的方法是借助函数图象根的分布,转化为求函数在区间上的最值或值域问题^【练习3】(1)假设不等式x2- ax+1>0对于一切a€[-2, 2]恒成立,那么x的取值范围是(2)不等式>^\ a2-a|对于x C [2 , 6]恒成立,那么a的取值范围是x— 1 5解析(1)由于aC[ —2, 2],可把原式看作关于a的一次函数,即g( a) = - xa+x2+1 >0, 2 .g(― 2) = x + 2x+1>0,由题意可知g(2)x2 2x+1>Q解之得xCR一 2故y = £^在xC[2, 6]上单倜递减,即y min= 6-1 5'最小值为解析〔1〕不等式组表示的可行域如图中阴影局部所示.令z = 2x+y,那么y=-2x+z,作直2x-y=0,线"y-.并平移,当直线过点A时,截距最大,即z取得最大值,由*+丫=3,得所以A点坐标为〔1 , 2〕,可得2x+y的最大值为2X1+2 = 4.(2)由于不等式2xn^ (2 -x)n-8>0即为(2»n)x>8-2n,对任意x € [ - 4, 2]都成立,所2 (2m- n) > 8-2n,-4 (2m- n) > 8- 2n,所以m n满足的不等式组为m> 2,4m- 3n+4< 0,n< 6,mm勺几何意义是可行域上的点与原点的连线的斜率,所以80(2) - V3 探究提升线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要注意的是：一,准确无误地作出可行域；二,画目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比拟,防止出错；三,一般情况下, 目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得^ 1 .屡次使用根本不等式的考前须知当屡次使用根本不等式时,一定要注意每次是否能保证等号成立,并且要注意取等号的条件的一致性,否那么就会出错,因此在利用根本不等式处理问题时,列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤,也是检验转换是否有误故不等式x- 14|a2-a|对于武［2, 6］恒成立等价于2 1 9 2 a 一a一2W0, /_2心5恒成立,化简得a2_a+2>0解得—1W aw 2,故a的取值范围是［—1, 2］.答案⑴ R (2)[ —1, 2]热点四简单的线性规划问题y>x,【练习4】〔2021 •苏、锡、常、镇调研〕x, y满足y<- x + 2,且目标函数z = 2x+y的最小值为1,那么实数a的值是.解析依题意,不等式组所表示的可行域如下图〔阴影局部〕,观察图象可知,当目标函数z=2x + y过点B a〕时,z min= 2a+a= 3a;由于目标函数z = 2x+ y的最小值为1,所以3a= 1,解得a=\.3【例4】⑴〔2021 •北京卷改编〕假设*, y满足2x-y<0,x+y<3,那么2x+ y的最大值为x> 0,(2)(2021 吊pj4•苏北四市调研〕设实数n<6,假设不等式2xm+ 〔2 -x〕 n-8>0对任意xC［—4, 2］都成立,那么与^的标函数m- n4m n3mn 3 c-n,令一=t €m12 一一 r , 1 3 ……■y, 3 ,那么目标函数即为y=p-t3,其导数y'= 0,所以函数y1 3 =工―t在t 3上递减,故t =3时取得最小值—当.7 3 所以点〔m n〕对应的平面区域如图, 答案(1)4 x= 1,y=2,2.T-1=(i。

专题一 集合，常用逻辑用语，不等式，函数与导数（讲案）第二讲 函数的基本性质与图象【最新考纲透析】预计时间：3.13---3.18函数与基本初等函数的主要考点是：函数的表示方法、分段函数、函数的定义域和值域、函数的单调性、函数的奇偶性、指数函数与对数函数的图象与性质、幂函数的图象与性质。

本部分一般以选择题或填空题的形式出现，考查的重点是函数的性质和图象的应用，重在检测对该部分的基础知识和基本方法的掌握程度。

复习该部分以基础知识为主，注意培养函数性质和函数图象分析问题和解决问题的能力。

【考点精析】题型一 函数的概念与表示例1 (1)函数21sin()(10)()0x x x f x e x π-⎧-<<=⎨≥⎩，若(1)()2f f a +=，则的所有可能值为( ) A ．1，2- B．2- C ．1，2- D ．1，2（2）根据统计，一名工作组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<=Ax A c A x x c x f ,,,)(（A ，C 为常数）。

已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是A ．75，25B ．75，16C ．60，25D ．60，16（3）已知集合A 到集合{}0,1,2,3B =的映射1:1f x x →-，则集合A 中的元素最多有 个。

解析：1:1f x x →-是集合A 到集合B 的映射，∴A 中的每一个元素在集合B 中都应该有象。

令101x =-，该方程无解，所以0无原象，分别令11,2,3,1x =-解得：342,,23x x x =±=±=±。

故集合A 中的元素最多为6个。

（4）如图，已知底角为450的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7cm，腰长为cm ，当一条垂直于底边BC （垂足为F ）的直线l 从左至右移动（与梯形ABCD 有公共点）时，直线l 把梯形分成两部分，令BF x =，试写出左边部分的面积y 与x 的函数解析式。

核心考点2 函数的图象核心知识·精归纳1.作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．2.利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．多维题组·明技法角度1：由解析式确定函数的图象1. (2023·福州模拟)函数y ＝8ln |x |x－x 的图象大致为( A )【解析】 记y ＝f (x )＝8ln |x |x－x ，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以f (－x )＝8ln |－x |－x ＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫8ln |x |x －x ＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B 、D ，f (e)＝8ln |e|e －e ＝8－e 2e >8－2.82e ＝8－7.84e>0，故C 错误，A 正确．故选A ．2. (2023·雁塔区校级模拟)函数f (x )＝x ln |x |e x－e－x的图象大致是( D )【解析】 对于函数f (x )，有⎩⎪⎨⎪⎧|x |>0，e x －e －x≠0，解得x ≠0，故函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，排除A 、B 选项，令f (x )＝0可得ln|x |＝0，解得x ＝±1，即函数f (x )只有两个零点，排除C 选项．故选D ．角度2：由图象确定函数的解析式3. (2023·广东模拟)已知函数y＝f(x)部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式可能为( D )A．f(x)＝x sin 2x B．f(x)＝x sin xC．f(x)＝2|x|sin x D．f(x)＝2|x|sin 2x【解析】由图象知f(x)＝0，x∈[0，π]有三个零点经验证只有A、D满足，排除B、C选项，A中函数满足f(－x)＝－x sin(－2x)＝x sin 2x＝f(x)为偶函数，D中函数满足f(－x)＝2|－x|sin(－2x)＝－2|x|sin 2x＝－f(x)为奇函数，而图象关于原点对称，函数为奇函数，排除A．故选D．4.著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，我们经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如某体育品牌的LOGO为，可抽象为如图所示的轴对称的优美曲线，下列函数中，其图象大致可“完美”局部表达这条曲线的函数是_③__；(填写你认为正确的序号)①f(x)＝sin 5x2－x－2x ；②f(x)＝cos 5x2－x－2x；③f(x)＝cos 5x|2x－2－x|；④f(x)＝sin 5x|2x－2－x|.【解析】由图可知，当x→0＋时，f(x)>0，且f(x)应为偶函数，对于①，当x→0＋时，sin 5x>0,2－x－2x<0，所以f(x)<0，不符合题意；对于②，定义域为{x|x≠0}，因为f(－x)＝cos 5x2x－2－x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，不符合题意；对于③，定义域为{x|x≠0}，因为f (－x )＝cos －5x |2－x －2x |＝cos 5x |2x －2－x |＝f (x )，所以f (x )为偶函数，且当x →0＋时，f (x )>0，符合题意；对于④，定义域为{x |x ≠0}，因为f (－x )＝－sin 5x |2－x －2x |＝－sin 5x|2x －2－x |＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，不符合题意．故答案选③.方法技巧·精提炼1.识图的三种常用方法(1)抓住函数的性质，定性分析：①由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置； ②由函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③由函数的奇偶性，判断图象的对称性； ④由函数的周期性，判断图象的循环往复． (2)抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题． (3)根据实际背景、图形判断函数图象的方法：①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)； ②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)． 2.由图象确定函数解析式的方法(1)根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值； (2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性；(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性； (4)从图象与x 轴的交点情况，分析函数的零点．加固训练·促提高1. (2023·陇南一模)函数f (x )＝x2ln|x |的图象大致为( C )【解析】 函数f (x )＝x2ln|x |是奇函数，排除A 、D ；当x ∈(0,1)时，函数f (x )<0，所以排除B ．故选C ．2．(2023·吉安一模)已知函数y ＝f (x )的部分图象如图所示，则此函数的解析式可能是( C )A ．y ＝ln(x 2＋1－x ) B ．y ＝1－cos x e x －e －xC ．y ＝sin x －x cos xD ．y ＝sin x －x e x【解析】 对于A ，∵ln[－x2＋1＋x ]＝ln(x 2＋1＋x )＝ln1x 2＋1－x＝－ln(x 2＋1－x )，又y ＝ln(x 2＋1－x )的定义域为R ，∴y ＝ln(x 2＋1－x )为R 上的奇函数，图象关于原点对称，与已知图象相符；当x ≥0时，y ＝x 2＋1为增函数，y ＝x 为增函数，又y ＝ln t 在(0，＋∞)上单调递增，由复合函数单调性可知：y ＝ln(x 2＋1＋x )在[0，＋∞)上单调递增，又y ＝ln(x 2＋1－x )＝－ln(x 2＋1＋x )，∴y ＝ln(x 2＋1－x )在[0，＋∞)上单调递减，与已知图象不符，A 错误；对于B ，由e x －e －x≠0得：x ≠0，∴y ＝1－cos x e x －e －x的定义域为{x |x ≠0}，与已知图象不符，B 错误；对于D ，∵sin(－x )－(－x )e －x＝－sin x ＋x e －x≠－sin x ＋x e x ，∴y ＝sin x －x e x不是奇函数，图象不关于原点对称，与已知图象不符，D 错误．故选C ．。