初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案

人教版九年级下册数学二次函数知识点总结教案主讲人：李霜霜一、教学目标：(1)了解二次函数的意义，掌握二次函数的图象特征和性质，能确定函数解析式，并能解决简单的实际问题．(2)通过练习及提问，复习二次函数的基础知识；通过对典型例题的分析，培养学生分析问题、解决问题、综合运用数学知识的能力；继续渗透数学思想．二、教学重点、难点教学重点：二次函数的图像，性质和应用教学难点：运用二次函数知识解决较综合性的数学问题． 三、教学过程复习巩固（一）二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．（二）二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：（三）二次函数图象的平移1. 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”．（四）二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． (五)二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a<-时，y 随x 的增大而减小； 当2bx a>-时，y 随x 的增大而增大； 当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．(六)二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式（交点式）：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.(七)二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．（同左异右 b 为0对称轴为y 轴） 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．(八)二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；例题讲解：15.已知二次函数图象的对称轴是30x +=,图象经过(1,-6),且与y 轴的交点为(0,52-). (1)求这个二次函数的解析式;(2)当x 为何值时,这个函数的函数值为0?(3)当x 在什么范围内变化时,这个函数的函数值y 随x 的增大而增大?17.如图，抛物线2y x bx c =+-经过直线3y x =-与坐标轴的两个交点A 、B ，此抛物线与x 轴的另一个交点为C ，抛物线顶点为D. （1）求此抛物线的解析式；（2）点P 为抛物线上的一个动点，求使APC S ∆：ACD S ∆=5 ：4的点P 的坐标。

九年级数学上册第二十二章二次函数知识点总结归纳完整版单选题1、已知实数a ，b 满足b −a =1，则代数式a 2+2b −6a +7的最小值等于（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2答案：A分析：由已知得b =a +1，代入代数式即得a 2-4a +9变形为(a -2)2+5，再根据二次函数性质求解． 解：∵b -a =1，∴b =a +1，∴a 2+2b -6a +7=a 2+2(a +1)-6a +7=a 2-4a +9=(a -2)2+5，∵(a -2)2≥0，∴当a =2时，代数式a 2+2b -6a +7有最小值，最小值为5，故选：A ．小提示：本题考查二次函数的最值，通过变形将代数式化成(a -2)2+5是解题的关键．2、点A （m -1，y 1），B （m ，y 2）都在二次函数y =（x -1）2+n 的图象上．若y 1＜y 2，则m 的取值范围为（）A ．m >2B ．m >32C ．m <1D ．32<m <2答案：B分析：根据y 1＜y 2列出关于m 的不等式即可解得答案．解：∵点A （m -1，y 1），B （m ，y 2）都在二次函数y =（x -1）2+n 的图象上，∴y 1=（m -1-1）2+n =（m -2）2+n ，y 2=（m -1）2+n ，∵y 1＜y 2，∴（m -2）2+n ＜（m -1）2+n ，∴（m-2）2-（m-1）2＜0，即-2m+3＜0，∴m＞3，2故选：B．小提示：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m的不等式．3、抛物线y=x2−x−1经过点（m，3），则代数式m2−m−1的值为（）A．0B．1C．2D．3答案：D分析：将点（m，3）代入代数式中即可得到结果．解：将点（m，3）代入m2−m−1中得，m2−m−1=3，故代数式m2−m−1的值为3，故选：D．小提示：本题考查代数式的值，根据函数图象经过的点求函数解析式，能够掌握属性结合思想是解决本题的关键．4、小明在研究抛物线y=−(x−ℎ)2−ℎ+1（h为常数）时，得到如下结论，其中正确的是（）A．无论x取何实数，y的值都小于0B．该抛物线的顶点始终在直线y=x−1上C．当−1<x<2时，y随x的增大而增大，则ℎ≥2D．该抛物线上有两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，若x1<x2，x1+x2<2ℎ，则y1>y2答案：C分析：根据二次函数的对称轴、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，判断即可．解：A．∵y=−(x−ℎ)2−ℎ+1，∴当x=ℎ时，y max=−ℎ+1，当ℎ<1时，y max=−ℎ+1>0，故错误；B．∵抛物线y=−(x−ℎ)2−ℎ+1的顶点坐标为(ℎ，−ℎ+1)，当x=ℎ时，y=−ℎ−1≠−ℎ+1，故错误；C．∵抛物线开口向下，当−1<x<2时，y随x的增大而增大，∴ℎ≥2，故正确；D．∵抛物线上有两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，若x1<x2，x1+x2<2ℎ，∴x1+x2<ℎ，∴点A到对称轴的距离大2于点B到对称轴的距离，∴y1<y2，故错误．故选C．小提示：本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．5、根据表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程ax2+bx+c＝0的一个解x 的范围是（）C．1＜x＜1.5D．1.5＜x＜2答案：B分析：利用二次函数和一元二次方程的性质．解：观察表格可知：当x=0.5时，y=-0.5；当x=1时，y=1，∴方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是0.5＜x＜1．故选：B．小提示：本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可．6、某种产品按质量分为10个档次，生产最低档次产品，每件获利润8元，每提高一个档次，每件产品利润增加2元，用同样工时，最低档次产品每天可生产60件，提高一个档次将减少3件．如果用相同的工时生产，总获利润最大的产品是第k档次（最低档次为第一档次，档次依次随质量增加），那么k等于（）A．5B．8C．9D．10答案：C分析：第k档次产品比最低档次产品提高了(k−1)个档次，则数量在60的基础上减少了3(k−1)，每件产品利润在8的基础上增加2(k−1)，据此可求出总利润关系，求出最值即可．解：设总利润为y元，∵第k档次产品比最低档次产品提高了(k−1)个档次，∴每天利润为y=[60−3(k−1)][8+2(k−1)]=−6(k−9)2+864，∴当k=9时，产品利润最大，每天获利864元，故选C．小提示：本题考查了二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是本题的关键．7、已知抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点之间的距离为6，对称轴为x=3，则抛物线的顶点P关于x轴对称的点P′的坐标是（）A．(3,9)B．(3,−9)C．(−3,9)D．(−3,−9)答案：A分析：根据抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为6．对称轴为直线x＝3，可以得到b、c的值，然后即可得到该抛物线的解析式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到点P的坐标，然后根据关于x轴对称的点的特点横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得到点P关于x轴的对称点的坐标．解：设抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点坐标为（x1，0），（x2，0），∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为6，对称轴为直线x＝3，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝36，−b=3，2×1∴（﹣b）2﹣4×c＝36，b＝﹣6，解得：c＝0，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣6x＝（x﹣3）2﹣9，∴顶点P的坐标为（3，﹣9），∴点P关于x轴的对称点的坐标是（3，9），故选：A．小提示：本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、关于x轴对称的点的坐标特点，解答本题的关键是求出点P的坐标，利用二次函数的性质解答．8、已知a是不为0的常数，函数y＝ax和函数y＝﹣ax2+a在同一平面直角坐标系内的图象可以是（）A．B．C．D．答案：C分析：根据题意分a>0,a<0两种情况讨论，结合函数图象即可求解．解：A.正比例函数中a<0，二次函数开口向上，−a>0，与y轴的交点在y轴正半轴，则a>0，矛盾，故A 不正确；B.正比例函数中a>0，二次函数开口向上，−a>0，与y轴的交点在y轴正半轴，则a>0，矛盾，故B不正确；C.正比例函数中a>0，二次函数开口向下，−a<0，与y轴的交点在y轴正半轴，则a>0，故C正确；D. .正比例函数中a<0，二次函数开口向下，−a<0，与y轴的交点在y轴正半轴，则a>0，矛盾，故D不正确；故选C小提示：本题考查了正比例函数与二次函数的图象的性质，掌握正比例函数与二次函数的图象的性质是解题的关键．9、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况描述正确的是（）A．有两个相等的实数根B．有两个异号的实数根C．有两个同号的实数根D．有两个无法确定符号的实数根答案：B分析：根据二次函数的图像判断与x轴有两个交点，且在原点两侧，故关于x的一元二次方程ax2+bx+c= 0有两个异号的实数根．解：∵二次函数的图像与x轴有两个交点，且在原点两侧，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个异号的实数根，故选：B．小提示：本题考查二次函数图像与一元二次方程根的关系，掌握二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x 轴有交点的横坐标即为关一元二次方程ax2+bx+c=0的根是解答本题的关键．10、已知抛物线y=2(x−3)2−5，其对称轴是（）A．直线x=−3B．直线x=3C．直线x=−5D．直线x=5答案：B分析：直接根据抛物线的顶点式进行解答即可．解：∵y=2(x−3)2−5，∴抛物线对称轴为直线x=3．故选：B．小提示：本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图像与系数的关系．填空题11、已知二次函数y=(x−1)2+3，当x＝_______时，y取得最小值．答案：1分析：根据抛物线的顶点坐标和开口方向即可得出答案．解：∵y=(x−1)2+3，∴该抛物线的顶点坐标为(1,3)，且开口方向向上，∴当x=1时，y取得最小值，所以答案是：1．小提示：本题考查二次函数的最值，求二次函数最大值或最小值有三种方法：第一种可有图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．12、如图，过点D（1，3）的抛物线y=-x2+k的顶点为A，与x轴交于B、C两点，若点P是y轴上一点，则PC+PD的最小值为____．答案：3√2分析：由两点之间线段最短可知，当D、P、B在同一直线上时就可使PC+PD的值最小，解答即可．解：连接PB，对于抛物线y=-x2+k，对称轴是y轴，∴PC=PB，∴当D、P、B在同一直线上时，PC+PD的值最小，最小值为BD的长，∵抛物线y=-x2+k过点D（1，3），∴把x=1，y=3代入y=-x2+k，解得：k=4，把y=0代入y=-x2+4，解得：x=2或x=-2，所以点B的坐标为（-2，0），所以BD=√(−2−1)2+32=3√2，所以答案是：3√2．小提示：本题考查了抛物线与x轴的交点，轴对称－最短路线问题，找到P点是本题的关键．13、已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是________．答案：6分析：根据a－b2＝4得出b2=a−4，代入代数式a2－3b2＋a－14中，通过计算即可得到答案．∵a－b2＝4∴b2=a−4将b2=a−4代入a2－3b2＋a－14中得：a2－3b2＋a－14=a2−3(a−4)+a−14=a2−2a−2a2−2a−2=a2−2a+1−3=(a−1)2−3∵b2=a−4≥0∴a≥4当a=4时，(a−1)2−3取得最小值为6∴a2−2a−2的最小值为6∵a2－3b2＋a－14=a2−2a−2∴a2－3b2＋a－14的最小值6所以答案是：6．小提示：本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，从而完成求解．14、已知二次函数y =−x 2−2x +3，当a ⩽x ⩽12时，函数值y 的最小值为1，则a 的值为_______． 答案：−1−√3##−√3−1分析：先把函数解析式化为顶点式可得当x <−1时，y 随x 的增大而增大，当x >−1时，y 随x 的增大而减小，然后分两种情况讨论：若a ≥−1；若a <−1，即可求解．解：y =−x 2−2x +3=−(x +1)2+4，∴当x <−1时，y 随x 的增大而增大，当x >−1时，y 随x 的增大而减小，若a ≥−1，当a ⩽x ⩽12时，y 随x 的增大而减小， 此时当x =12时，函数值y 最小，最小值为74，不合题意，若a <−1，当x =a 时，函数值y 最小，最小值为1，∴−a 2−2a +3=1，解得：a =−1−√3或−1+√3（舍去）；综上所述，a 的值为−1−√3．所以答案是：−1−√3小提示：本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．15、已知二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)的图像的顶点为(2,−2)，与x 轴交于点(1,0)、(3,0)，根据图像回答下列问题：当x _______时，y 随x 的增大而减小：方程ax 2+bx +c =0的两个根是___________．答案： x ＜2 x 1=1，x 2=3分析：利用开口向上和对称轴以及二次函数与一元二次方程的联系即可得到答案．解（1）∵二次函数图像与x轴的两个交点坐标为（1，0）、（3，0），∴二次函数的对称轴为直线x=2，∵抛物线的开口向上，∴当x＜2时，y随x的增大而减小；（2）∵二次函数图像与x轴的两个交点坐标为（1，0）、（3，0），∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=1，x2=3．小提示：本题考查了二次函数的图像与性质以及二次函数与一元二次方程的联系，属于常考题型．解答题16、在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在A处开始减速，此时白球在黑球前面70cm处．小聪测量黑球减速后的运动速度v（单位：cm/s）、运动距离y（单位：cm）随运动时间t（单位：s）变化的数据，整理得下表．y与运动时间t之间成二次函数关系．(1)直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）(2)当黑球减速后运动距离为64cm时，求它此时的运动速度；(3)若白球一直．．以2cm/s的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由．答案：(1)v=−12t+10，y=−14t2+10t(2)6cm/s(3)黑、白两球的最小距离为6cm，大于0，黑球不会碰到白球分析：（1）根据黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系，设表达式为v=kt+b，代入两组数值求解即可；根据运动距离y与运动时间t之间成二次函数关系，设表达式为y=at2+bt+c，代入三组数值求解即可；（2）当黑球减速后运动距离为64cm时，代入（1）式中y关于t的函数解析式求出时间t，再将t代入v关于t的函数解析式，求得速度v即可；（3）设黑白两球的距离为w cm，得到w=70+2t−y=14t2−8t+70，化简即可求出最小值，于是得到结论．（1）根据黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系，设表达式为v=kt+b，代入（0，10），（1，9.5）得，{10=b 9.5=k+b ，解得{k=−12b=10，∴v=−12t+10，根据运动距离y与运动时间t之间成二次函数关系，设表达式为y=at2+bt+c，代入（0，0），（1，9.75），（2，19）得{0=c9.75=a+b19=4a+2b，解得{a=−14b=10c=0，∴y=−14t2+10t;（2）依题意，得−14t2+10t=64，∴t2−40t+256=0，解得，t1=8，t2=32；当t1=8时，v=6；当t2=32时，v=−6（舍）；答：黑球减速后运动64cm时的速度为6cm/s．（3）设黑白两球的距离为w cm，w=70+2t−y=14t2−8t+70=14(t−16)2+6，∵14>0，∴当t=16时，w的值最小为6，∴黑、白两球的最小距离为6cm，大于0，黑球不会碰到白球．小提示：本题考查一次函数和二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，解决本题的关键是明确题意求出函数表达式．17、已知抛物线y=ax2−4ax+3(a≠0)的图象经过点A(−2,0)，过点A作直线l交抛物线于点B(4,m)．(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标．(2)将抛物线向下平移n(n>0)个单位，使顶点落在直线l上，求m，n的值．答案：(1)y=−14x2+x+3；(2,4)(2)3；2分析：（1）把点A(−2,0)代入y=ax2−4ax+3(a≠0)，求出a的值即可；再运用顶点坐标公式求出顶点坐标即可；（2）把C(4,m)代入y=−14x2+x+3可求出m的值；再运用待定系数法求出直线AB的解析式，从而可求出平移后押物线的顶点坐标，进一步可得结论．（1）将A(−2,0)代入y=ax2−4ax+3得：0=4a+8a+3，解得a=−14，∴抛物线的函数表达式为y=−14x2+x+3，∵−b2a =−12×(−14)=2，4ac−b24a=4×(−14)×3−124×(−14)=4，∴顶点坐标为(2,4)；（2）把C(4,m)代入y=−14x2+x+3得，m =−4+4+3=3，设直线AB 的解析式为y =kx +b ，将A (−2,0)，B (4,3)代入y =kx +b 得{0=−2k +b 3=4k +b， 解得{k =12b =1， ∴直线AB 的解析式为y =12x +1， ∵顶点的横坐标为2，∴把x =2代入y =12x +1得：y =2，∴n =4−2=2．小提示：本题主要考查了运用待定系数法求函数关系式以及二次函数图象的平移，正确理解题意是解答本题的关键．18、戴口罩是阻断呼吸道病毒传播的重要措施之一，某商家对一款成本价为每盒50元的医用口罩进行销售，如果按每盒70元销售，每天可卖出20盒．通过市场调查发现，每盒口罩售价每降低1元，则日销售量增加2盒(1)若每盒售价降低x 元，则日销量可表示为_______盒，每盒口罩的利润为______元．(2)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款口罩，每盒售价应定为多少元？(3)当每盒售价定为多少元时，商家可以获得最大日利润？并求出最大日利润．答案：(1)(20+2x )盒，(20-x ) 元(2)每盒售价应定为60元(3)每盒售价应定为65元时，最大日利润是450元分析：（1）根据题意列出代数式即可；（2）设每盒售价x 元，则每件的销售利润为(x −50)元，日销售量为[20+2(70−x )]件，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出x 的值，再结合商家想尽快销售完该款商品，即可求解；（3）设日利润为y ，由（2）列出函数关系式，根据二次函数的性质即可求解．（1）设每盒售价降低x 元，则日销量可表示为(20+2x )盒，每盒口罩的利润为70−50−x =20−x （元）所以答案是：(20+2x)；(20−x)（2）设每盒售价x元，则每件的销售利润为(x−50)元，日销售量为[20+2(70−x)]件，根据题意得，(x−50)[20+2(70−x)]=(70−50)×20解得x1=70,x2=60又∵商家想尽快销售完该款商品，∴x=60．答：每件售价应定为60元；（3）设日利润为y，则y=(x−50)[20+2(70−x)]=−2x2+260x−8000=−2(x−65)2+450∴x=65时，y的最大值为450，即每盒售价应定为65元时，最大日利润是450元．小提示：本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意列出方程和函数关系式是解题的关键．。

九上数学二次函数知识点归纳及相关练习题(一)定义：一般地，如果y =ax 2+bx +c (a ,b ,c 是常数，a ≠0)，那么y 叫做x 的二次函数.【名师推荐你做】1.判断下列函数是否为二次函数，如果是，指出其二次项系数、一次项系数和常数项：（1）d =12n 2-32n ；（2）2y x =-；（3）y =1-x 2．2.判断①y =5x -4，②t =23x 2-6x ，③y =2x 3-8x 2+3，④y =38x 2-1，⑤y =2312x x-+是否为二次函数，如果是，指出其二次项系数、一次项系数和常数项．3.已知2(1)31k ky k x x +=-++是关于x 的二次函数，求k 的值．【答案与解析】1.【解析】（1）d =12n 2-32n 是二次函数，二次项系数、一次项系数和常数项分别为12、32-、0；（2）2y x =-是一次函数，不是二次函数；（3）y =1-x 2是二次函数，二次项系数、一次项系数和常数项分别为-1、0、1．2.【解析】①y =5x -4，③y =2x 3-8x 2+3，⑤y =2312x x-+不符合二次函数解析式，②t =23x 2-6x ，④y =38x 2-1符合二次函数解析式，②t =23x 2-6x 的二次项系数、一次项系数和常数项分别为23、-6、0，④y =38x 2-1的二次项系数、一次项系数和常数项分别为38、0、-1.3.【答案】-2．【解析】∵函数2(1)31k ky k xx +=-++是关于x 的二次函数，∴2102k k k -≠⎧⎨+⎩=，解得k =-2．（二）二次函数y =ax 2的性质(1)抛物线y =ax 2的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.(2)函数y =ax 2的图像与a 的符号关系.①当a >0时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当a <0时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.(3)顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为y =ax 2（a ≠0）.【名师推荐你做】1.观察函数y =3x 2与y =-3x 2的图像，回答：抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标及函数的单调性．【解析】（1）抛物线y =3x 2的开口方向是向上，对称轴是y 轴，顶点坐标是（0，0），当x ≠0时，抛物线上的点都在x 轴上方；当x ＞0时，曲线自左向右逐渐上升，当x ＜0时，曲线自左向右逐渐下降；二次函数y =-3x 2的开口方向是向下，对称轴是y 轴，顶点坐标是（0，0），当x ≠0时，抛物线上的点都在x 轴下方；当x ＞0时，曲线自左向右逐渐下降，当x ＜0时，曲线自左向右逐渐上升．（三）二次函数c bx ax y ++=2、k ax y +=2、()2h x a y -=、()kh x a y +-=2A.二次函数c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线.B.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中a b ac k abh 4422-=-=，.C.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y =ax 2；②y =ax 2+k ；③y =a (x -h )2；④y =a (x -h )2+k ；⑤y =ax 2+bx +c .【名师推荐你做】1.将抛物线y =-2x 2向右平移3个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线解析式是（）A.y =-2(x -3)2-5B.y =-2(x +3)2-5C.y =-2(x +3)2+5D.y =-2(x-3)2+5【答案与解析】1.【答案】D【解析】由“左加右减”的原则将函数y =-2x 2的图象向右平移3个单位，所得二次函数的解析式为：y =-2(x -3)2；由“上加下减”的原则将函数y =-2(x-3)2的图象向上平移5个单位，所得二次函数的解析式为：D.y =-2(x -3)2+5．所以选D.（四）抛物线A.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.(1)a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 越大，抛物线的开口越小；a 越小，抛物线的开口越大。

二次函数经典例题及解答二次函数一、中考导航图1.二次函数的意义2.二次函数的图像3.二次函数的性质顶点对称轴开口方向增减性4.待定系数法确定二次函数解析式5.二次函数与一元二次方程的关系三、中考知识梳理1.二次函数的图像二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像可以通过配方法化简为y=a(x+（b/2a））2+(4ac-b2)/4a2的形式。

确定顶点坐标后，可以对称求点列表并画图，或者使用顶点公式来求得顶点坐标。

2.理解二次函数的性质抛物线的开口方向由a的符号来确定。

当a>0时，抛物线开口向上，对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大。

当a0）或左增右减（a<0）。

此时，当x=-b/2a时，y取最值，最小值或最大值的大小为|(4ac-b2)/4a|。

3.待定系数法是确定二次函数解析式的常用方法待定系数法是通过给定的条件来确定二次函数的解析式。

可以任意给定三个点或三组x，y的值来确定解析式，组成三元一次方程组来求解。

也可以在给定条件中已知顶点坐标、对称轴或最值时，设解析式为y=a(x-h)2+k。

在给定条件中已知抛物线与x轴两交点坐标或已知抛物线与x轴一交点坐标和对称轴时，设解析式为y=a(x-x1)(x-x2)来求解。

4.二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点可以转化为一元二次方程ax2+bx+c=0的解。

当抛物线与x轴有两个交点时，方程有两个不相等实根；当抛物线与x轴有一个交点时，方程有两个相等实根；当抛物线与x轴无交点时，方程无实根。

5.抛物线y=ax2+bx+c中a、b、c符号的确定抛物线y=ax2+bx+c的开口方向由a的符号来确定。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

b的符号可以表示抛物线与y轴的交点在y轴的上方或下方。

c的符号可以表示抛物线与x轴的交点在x轴的上方或下方。

四、中考题型例析1.确定二次函数解析式例1：求满足以下条件的二次函数的解析式：1）图像经过点A（-1，3）、B（1，3）、C（2，6）；2）图像经过点A（-1，0）、B（3，0），函数有最小值-8；3）图像顶点坐标是（-1，9），与x轴两交点间的距离是6.分析：此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式。

九年级数学上册第二十二章二次函数知识点梳理单选题1、已知点A（－2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在二次函数y=−2x2图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1<y3<y2B．y1<y2<y3C．y2<y1<y3D．y3<y1<y2答案：D分析：分别计算出自变量为-2、-1和3的函数值，然后比较函数值的大小．解：∵点A（-2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在二次函数y=-2x2图象上，∴y1=-2×4=-8；y2=-2×1=-2；y3=-2×9=-18，∴y3＜y1＜y2．故选：D．小提示：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．2、已知抛物线y=x2+kx−k2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（）A．−5或2B．−5C．2D．−2答案：B分析：根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．解：函数y=x2+kx−k2向右平移3个单位，得：y=(x−3)2+k(x−3)−k2；再向上平移1个单位，得：y=(x−3)2+k(x−3)−k2+1，∵得到的抛物线正好经过坐标原点∴0=(0−3)2+k(0−3)−k2+1即k2+3k−10=0解得：k=−5或k=2∵抛物线y=x2+kx−k2的对称轴在y轴右侧∴x=−k＞02∴k＜0∴k=−5故选：B．小提示：此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．3、在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y＝ax＋b的图象不可能是( )A．B．C．D．答案：D分析：根据二次函数与一次函数的图象与性质进行判断即可．解：当a>0，b>0时，y=ax2+bx的开口上，与x轴的一个交点在x轴的负半轴，y=ax+b经过第一、二、三象限，且两函数图象交于x的负半轴，无选项符合；当a>0，b<0时，y=ax2+bx的开口向上，与x轴的一个交点在x轴的正半轴，y=ax+b经过第一、三、四象限，且两函数图象交于x的正半轴，故选项A正确，不符合题意题意；当a<0，b>0时，y=ax2+bx的开口向下，与x轴的一个交点在x轴的正半轴，y=ax+b经过第一、二、四象限，且两函数图象交于x的正半轴，C选项正确，不符合题意；当a<0，b<0时，y=ax2+bx的开口向下，与x轴的一个交点在x轴的负半轴，y=ax+b经过第二、三、四象限，B选项正确，不符合题意；只有选项D的两图象的交点不经过x轴，故选D.小提示：本题考查二次函数与一次函数图象的性质，解题的关键是根据a、b与0的大小关系进行分类讨论．4、在平面直角坐标系中，若抛物线y=2(x+5)(x−3)经一次变换后得到抛物线y=2(x+3)(x−5)，则这个变换可以是（）A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向上平移8个单位D．向下平移8个单位答案：B分析：先将两解析式化成顶点式，然后根据平移前后的两抛物线的顶点坐标即可解答．解：y=2（x+5）（x-3）=2x2+4x-30=2（x+1）2-32，顶点坐标是（-1，-32）．y=2（x+3）（x-5）=2x2-4x-30=2（x-1）2-32，顶点坐标是（1，-32）．所以将抛物线y=2（x+5）（x-3）向右平移2个单位长度得到抛物线y=2（x+3）（x-5）．故选：B．小提示：本题主要考查了二次函数图像与平移变换，掌握平移的规律“左加右减，上加下减”是解答本题的关键．5、如图，已知抛物线y=ax2+bx−2的对称轴是x=−1，直线l∥x轴，且交抛物线于点P(x1,y1),Q(x2,y2)，下列结论错误．．的是（）A．b2>−8a B．若实数m≠−1，则a−b<am2+bmC．3a−2>0D．当y>−2时，x1⋅x2<0答案：C分析：先根据抛物线对称轴求出b=2a，再由抛物线开口向上，得到a>0，则b2+8a=4a2+8a>0由此即可判断A；根据抛物线开口向上在对称轴处取得最小值即可判断B；根据当x=1时，y=a+b−2<0，即可判断C；根据y>−2时，直线l与抛物线的两个交点分别在y轴的两侧，即可判断D．解：∵抛物线y=ax2+bx−2的对称轴是x=−1，∴−b=−1，2a∴b=2a，∵抛物线开口向上，∴a>0，∴b2+8a=4a2+8a>0，∴b2>−8a，故A说法正确，不符合题意；∵抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线x=-1，∴当x=-1时，y=a−b−2，最小值∴当实数m≠−1，则a−b−2<am2+bm−2，∴当实数m≠−1时，a−b<am2+bm，故B说法正确，不符合题意；∵当x=1时，y=a+b−2<0，∴a+2a-2＜0，即3a-2＜0，故C说法错误，符合题意；∵y>−2，∴直线l与抛物线的两个交点分别在y轴的两侧，∴x1⋅x2<0，故D说法正确，不符合题意；故选C．小提示：本题主要考查了根据二次函数的图象去判断式子符号，二次函数的系数与图象之间的关系等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．6、二次函数y=x2+2x+2的图象的对称轴是（）A．x=−1B．x=−2C．x=1D．x=2答案：A分析：将二次函数y=x2+2x+2写成顶点式，进而可得对称轴．解：∵y=x2+2x+2=(x+1)2+1．∴二次函数y=x2+2x+2的图象的对称轴是x=−1．故选A．小提示：本题考查了二次函数的性质，将一般式转化为顶点式是解题的关键．7、某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利润y（元）与降价x（元）之间的关系是y＝－2x2＋60x＋800，则利润获得最多为（）A．15元B．400元C．800元D．1250元答案：D分析：将函数关系式转化为顶点式，然后利用开口方向和顶点坐标即可求出最多的利润．解：y＝－2x2＋60x＋800＝－2（x－15）2＋1250∵－2＜0故当x＝15时，y有最大值，最大值为1250即利润获得最多为1250元故选：D．小提示：此题考查的是利用二次函数求最值，掌握将二次函数的一般式转化为顶点式求最值是解决此题的关键．8、抛物线y=ax2+bx+c经过点(−1,0)、(3,0)，且与y轴交于点(0,−5)，则当x=2时，y的值为（）A．−5B．−3C．−1D．5答案：A分析：先利用待定系数法求出抛物线解析式，再求函数值即可．解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过点(−1,0)、(3,0)，且与y轴交于点(0,−5)，∴{c=−5a−b+c=09a+3b+c=0，解方程组得{c=−5 a=53b=−103，∴抛物线解析式为y=53x2−103x−5，当x=2时，y=53×4−103×2−5=−5．故选择A．小提示：本题考查待定系数法求抛物线解析式，和函数值，掌握系数法求抛物线解析式方法和函数值求法是解题关键．9、如图，等腰Rt△ABC与矩形DEFG在同一水平线上，AB=DE=2,DG=3，现将等腰Rt△ABC沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达DE之时开始计算，至AB离开GF为止．等腰Rt△ABC与矩形DEFG的重合部分面积记为y，则能大致反映y与x的函数关系的图象为（）A．B．C．D．答案：B分析：根据平移过程，可分三种情况，当0≤x<1时，当1≤x<3时，当3≤x≤4时，利用直角三角形的性质及面积公式分别写出各种情况下y与x的函数关系式，再结合函数图象即可求解．过点C作CM⊥AB于N，DG=3，在等腰Rt△ABC中，AB=2，∴CN=1，①当0≤x<1时，如图，CM=x，∴PQ=2x，∴y=12⋅PQ⋅CM=12×2x⋅x=x2，∴0≤x<1，y随x的增大而增大；②当1≤x<3时，如图，∴y=S△ABC=12×2×1=1，∴当1≤x<3时，y是一个定值为1；③当3≤x≤4时，如图，CM=x−3，∴PQ=2(x−3)，∴y=12AB⋅CN−12PQ⋅CM=12×2×1−12×2×(x−3)2=1−(x−3)2,当x=3，y=1，当3<x<4，y随x的增大而减小，当x=4，y=0，结合ABCD选项的图象，故选：B．小提示：本题考查了动点函数问题，涉及二次函数的图象及性质，能够准确理解题意并分情况讨论是解题的关键．10、如图，在正方形ABCD中，AB=4，点P从点A出发沿路径A→B→C向终点C运动，连接DP，作DP的垂直平分线MN与正方形ABCD的边交于M，N两点，设点P的运动路程为x，△PMN的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是（）A．B．C．D．答案：A分析：分点P在AB和BC上两种情况，分别求出MN和PF长，利用面积公式求解．解：（1）如图，当0≤x≤4时，点P在AB上，过点N作NE⊥AD于点E，设MN与PD交于点F，∴NE=DC=AD，则PD=√PA2+AD2=√x2+42=√x2+16，又∵MN垂直平分PD，∴PF=12PD=12√x2+16，∴∠MDF+∠FMD=∠MNE+∠FME=90°，∴∠MNE=∠PDA，在△MNE和△PDA中，{∠A=∠NEMAD=EN∠PDA=∠MNE∴△APD≌△EMN，∴PD=MN=√x2+16，∴y=12MN⋅PF=12√x2+16⋅12√x2+16=14x2+4 ,（2）如图，当4＜x≤8时，点P在BC上，过点N作NE⊥CD于点E，设MN交PD于点F，则PD=√PC2+CD2=√(8−x)2+16 ,∴PF=12√(8−x)2+16用（1）的方法得MN=√(8−x)2+16,y=12√(8−x)2+16⋅12√(8−x)2+16=14(x−8)2+4，故y={14x2+4(0≤x≤4)14(x−8)2+4(4＜x≤8)故选择A．小提示：本题考查分段函数，解决问题的关键是根据点P的位置确定自变量的取值范围得出函数解析式．填空题11、抛物线y=3−x2位于y轴左侧的部分是______的．（填“上升”或“下降”）答案：上升分析：根据二次函数图象的性质解答即可．解：∵二次项系数-1<0，∴抛物线开口向下，∵对称轴是直线y=0，∴抛物线y=3−x2位于y轴左侧的部分是上升的．所以答案是：上升．小提示：本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数y=ax2+k的性质是解答本题的关键．对于二次函数y=ax2+k (a，k为常数，a≠0)，当a>0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当a<0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小．12、如图，平行四边形ABCD中，AB=4，点D的坐标是(0，8)，以点C为顶点的抛物线经过x轴上的点A，B，则此抛物线的解析式为__________________．答案：y=−2x2+16x−24分析：根据平行四边形的性质得到CD=AB=4，即C点坐标为(4,8)，进而得到A点坐标为(2,0)，B点坐标为(6,0)，利用待定系数法即可求得函数解析式．∵四边形ABCD为平行四边形∴CD=AB=4∴C点坐标为(4,8)∴A点坐标为(2,0)，B点坐标为(6,0)设函数解析式为y=a(x−2)(x−6)，代入C点坐标有8=a(4−2)(4−6)解得a=−2∴函数解析式为y=−2(x−2)(x−6)，即y=−2x2+16x−24故答案为y=−2x2+16x−24．小提示：本题考查了平行四边形的性质，和待定系数法求二次函数解析式，问题的关键是求出A点或B点的坐标．13、如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3），它的对称轴为直线x=1，则下列结论中：①c=3；②2a+b=0；③8a-b+c>0；④方程ax2+bx+c=0的其中一个根在2，3之间，正确的有_______（填序号）．答案：①②④分析：由二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3），即可判断①；由抛物线的对称轴为直线x=1，即可判断②；抛物线与x轴的一个交点在-1到0之间，抛物线对称轴为直线x=1，即可判断④，由抛物线开口向下，得到a<0，再由当x=-1时，a−b+c<0，即可判断③．解：∵二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3），∴c=3，故①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴−b=1，即2a+b=0，故②正确；2a∵抛物线与x轴的一个交点在-1到0之间，抛物线对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点在2到3之间，故④正确；∵抛物线开口向下，∴a<0，∵当x=-1时，a−b+c<0，∴a−b+c+7a<0即8a−b+c<0，故③错误，所以答案是：①②④．小提示：本题主要考查了二次函数图像的性质，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数图像的性质．14、如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y=−0.2x2+x+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是_________m．答案：4分析：将y=3.05代入y=−0.2x2+x+2.25中可求出x，结合图形可知x=4，即可求出OH．解：当y=3.05时，−0.2x2+x+2.25=3.05，解得：x=1或x=4，结合图形可知：OH=4m，所以答案是：4小提示：本题考查二次函数的实际应用：投球问题，解题的关键是结合函数图形确定x的值．15、如图，一次足球训练中，一球员从球门正前方将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线，当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米，当足球下落到离地面53米时，足球飞行的水平距离为__________米．答案：10分析：设抛物线的解析式为y=a(x−6)2+3，代入原点，确定解析式为y=−112x2+x，当y=53米时，求得x的值即可．设抛物线的解析式为y=a(x−6)2+3，代入原点，得：0=a(0−6)2+3，解得a=−112，∴抛物线的解析式为y=−112x2+x，当y=53米时，−112x2+x=53，解得x=10，x=2（舍去），足球飞行的水平距离为10米，所以答案是：10．小提示：本题考查了抛物线的解析式，已知函数值求自变量值，熟练掌握待定系数法是解题的关键．解答题16、李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．(1)请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；(2)若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？答案：(1)y=−0.2x+8.4(1≤x≤10且x为整数)．(2)李大爷每天应购进这种水果7箱，获得的利润最大，最大利润是140元．分析：（1）根据题意列出y=8.2−0.2(x−1)，得到结果．（2）根据销售利润=销售量×（售价-进价），利用（1）结果，列出销售利润w与x的函数关系式，即可求出最大利润．（1）解：由题意得y=8.2−0.2(x−1)=−0.2x+8.4∴批发价y与购进数量x之间的函数关系式是y=−0.2x+8.4(1≤x≤10，且x为整数)．（2）解：设李大爷销售这种水果每天获得的利润为w元则w=[12−0.5(x−1)−y]⋅10x=[12−0.5(x−1)−(−0.2x+8.4)]⋅10x=−3x2+41x∵a=−3<0∴抛物线开口向下∵对称轴是直线x=416∴当1≤x≤41时，w的值随x值的增大而增大6∵x为正整数，∴此时，当x=6时，w=138最大当41≤x≤10时，w的值随x值的增大而减小6∵x为正整数，∴此时，当x=7时，w=140最大∵140>138∴李大爷每天应购进这种水果7箱，获得的利润最大，最大利润是140元．小提示：本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，最大销售利润的问题常利用二次函数的增减性来解答，解题关键是理解题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案进行解决．17、某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高x元．（1）服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？答案：（1）2元；（2）当服装店将销售单价50元时，得到最大利润是4000元分析：（1）根据题意，通过列一元二次方程并求解，即可得到答案；（2）设利润为M元，结合题意，根据二次函数的性质，计算得利润最大值对应的x的值，从而得到答案．（1）由题意列方程得：（x＋40-30）（300-10x）＝3360解得：x1＝2，x2＝18∵要尽可能减少库存，∴x2＝18不合题意，故舍去∴T恤的销售单价应提高2元；（2）设利润为M 元，由题意可得：M ＝（x ＋40-30）（300-10x ）＝-10x 2＋200x ＋3000＝−10(x −10)2+4000 ∴当x ＝10时，M 最大值＝4000元 ∴销售单价：40＋10＝50元∴当服装店将销售单价50元时，得到最大利润是4000元．小提示：本题考查了一元二次方程、二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程、二次函数的性质，从而完成求解．18、在平面直角坐标系中，设二次函数y =−12(x −2m )2+3−m （m 是实数）． (1)当m =2时，若点A (8,n )在该函数图象上，求n 的值．(2)小明说二次函数图象的顶点在直线y =−12x +3上，你认为他的说法对吗？为什么？(3)已知点P(a +1,c)，Q(4m −5+a,c)都在该二次函数图象上，求证：c ≤138．答案：(1)-7 (2)对，理由见解析 (3)见解析分析：（1）把m =2，点A （8，n ）代入解析式即可求解；（2）由抛物线解析式，得顶点是（2m ，3-m ），把x ＝2m 代入y =−12x +3，求出y 值与3-m 比较，若相等则即可判断小明说法正确，否则说法错误；（3）由点P （a +1，c ），Q （4m -5+a ，c ）的纵坐标相同，即可求得对称轴为直线x =a+1+4m−5+a2=a +2m -2，即可得出a +2m -2=2m ，求得a =2，得到P （3，c ），代入解析式即可得到 c =-12（3-2m ）2+3-m ＝-2m 2+5m -32＝-2(m -54)2+138，根据二次函数的性质即可证得结论．(1)解：当m ＝2时，y =-12（x -4）2+1 ∵A （8，n ）在函数图象上， ∴n =-12（8-4）2+1=-7(2)解：由题意得，顶点是（2m，3-m）当x＝2m时，y=-12×2m+3=-m+3∴顶点（2m，3-m）在直线y=-12x+3上(3)证明：∵P（a+1,c），Q（4m-5+a，c）都在二次函数的图象上∴对称轴是直线x=a+1+4m-5+a2=a+2m-2∴a+2m-2＝2m，∴a＝2，∴P（3，c），把P（3，c）代入抛物线解析式，得∴c=-12（3-2m）2+3-m＝-2m2+5m-32＝-2(m-54)2+138，∵-2<0，∴c有最大值为138，∴c≤138．小提示：本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．。

二次函数知识点归纳及相关典型题第一部分 基础知识1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.（2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a .3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线.4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）：①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则0<ab. 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).（3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb ac a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫⎝⎛-=--=-=-=444222122122121第二部分 典型习题１.抛物线y ＝x 2＋2x －2的顶点坐标是 （ D ）A.（2，－2）B.（1，－2）C.（1，－3）D.（－1，－3） ２.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ C ）Ａ．ab ＞0，c ＞0 Ｂ．ab ＞0，c ＜0 Ｃ．ab ＜0，c ＞0 Ｄ．ab ＜0，c ＜0第２,３题图 第4题图３.二次函数c bx ax y ＋＋＝2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ Ｄ ）A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0B ．a ＜0，b ＜0，c ＞0C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0D ．a ＜0，b ＞0，c ＞0４.如图，已知中，BC=8，BC 上的高，D 为BC 上一点，，交AB 于点E ，交AC 于点F （EF 不过A 、B ），设E 到BC 的距离为，则的面积关于的函数的图象大致为（ Ｄ ）2482,484EF xEF x y x x -=⇒=-∴=-+ ５.抛物线322--=x x y 与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为 4 ．6.已知二次函数11)(2k 2－－＋＝x kx y 与x 轴交点的横坐标为1x 、2x （21x x ＜），则对于下列结论：①当x ＝－2时，y ＝1；②当2x x ＞时，y ＞0；③方程011)(22＝－＋-x k kx 有两个不相等的实数根1x 、2x ；④11-＜x ，12＞－x ；⑤21x x －，其中所有正确的结论是 ①③④ （只需填写序号）．7.已知直线()02≠+-=b b x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；一抛物线的解析式为()c x b x y ++-=102.（1）若该抛物线过点B ，且它的顶点P 在直线b x y +-=2上，试确定这条抛物线的解析式；（2）过点B 作直线BC ⊥AB 交x 轴交于点C ，若抛物线的对称轴恰好过C 点，试确定直线b x y +-=2的解析式.解：（1）102-=x y 或642--=x x y将0)b （，代入，得c b =.顶点坐标为21016100(,)24b b b +++-，由题意得21016100224b b b b +++-⨯+=-，解得1210,6b b =-=-.（2）22--=x y8.有一个运算装置，当输入值为x 时，其输出值为y ，且y 是x 的二次函数，已知输入值为2-,0,1时, 相应的输出值分别为5,3-,4-．（1）求此二次函数的解析式；（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y 为正数时输入值x 的取值范围. 解：（1）设所求二次函数的解析式为c bx ax y ++=2,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=+⋅+⋅=+-+-43005)2()2(22c b a c b a c b a ,即⎪⎩⎪⎨⎧-=+=--=1423b a b a c ,解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a 故所求的解析式为:322--=x x y . （2)函数图象如图所示.由图象可得，当输出值y 为正数时， 输入值x 的取值范围是1-<x 或3>x ．9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同．他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图．请根据图象回答：⑴第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间? ⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少? ⑶兴趣小组又在研究中发现，图中10时到 22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解 析式．解：⑴第一天中，从4时到16时这头骆驼的体温是上升的它的体温从最低上升到最高需要12小时 ⑵第三天12时这头骆驼的体温是39℃ ⑶()22102421612≤≤++-=x x x y10.已知抛物线4)334(2+++=x a ax y 与x 轴交于A 、 B 两点，与y 轴交于点C ．是否存在实数a ，使得 △ABC 为直角三角形．若存在，请求出a 的值；若不 存在，请说明理由．解：依题意，得点C 的坐标为（0，4）．设点A 、B 的坐标分别为（1x ，0），（2x ，0），由04)334(2=+++x a ax ，解得 31-=x ，ax 342-=． ∴ 点A 、B 的坐标分别为（-3，0），（a34-，0）． ∴ |334|+-=aAB ，522=+=OC AO AC ， =+=22OC BO BC 224|34|+-a． ∴ 9891693432916|334|2222+-=+⨯⨯-=+-=aa a a a AB ， 252=AC ，1691622+=aBC ． 〈ⅰ〉当222BC AC AB +=时，∠ACB ＝90°．由222BC AC AB +=，得)16916(259891622++=+-a a a ． 解得 41-=a ． ∴ 当41-=a 时，点B 的坐标为（316，0），96252=AB ，252=AC ，94002=BC ． 于是222BC AC AB +=．∴ 当41-=a 时，△ABC 为直角三角形． 〈ⅱ〉当222BC AB AC +=时，∠ABC ＝90°．由222BC AB AC +=，得)16916()98916(2522+++-=aa a ． 解得 94=a ． 当94=a 时，3943434-=⨯=-a ，点B （-3，0）与点A 重合，不合题意．〈ⅲ〉当222AB AC BC +=时，∠BAC ＝90°．由222AB AC BC +=，得)98916(251691622+-+=+aa a ． 解得 94=a ．不合题意． 综合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈ⅲ〉，当41-=a 时，△ABC 为直角三角形． 11.已知抛物线y ＝－x 2＋mx －m ＋2.（1）若抛物线与x 轴的两个交点A 、B 分别在原点的两侧，并且ABm 的值；（2）设C 为抛物线与y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ，并且 △MNC 的面积等于27，试求m 的值. 解: (1)Ａ（x 1，0）,B(x 2，0) . 则x 1 ，x 2是方程 x 2－mx ＋m －2＝0的两根. ∵x 1 ＋ x 2 ＝m , x 1·x 2 =m －2 ＜0 即m ＜2 ;又AB ＝∣x 1 — x 2=∴m 2－4m ＋3=0 .解得：m=1或m=3(舍去) , ∴m 的值为1 . （2）M(a ，b)，则N(－a ，－b) . ∵M 、N 是抛物线上的两点,∴222,2.a ma m b a ma m b ⎧-+-+=⎪⎨---+=-⎪⎩①②①＋②得：－2a 2－2m ＋4＝0 . ∴a 2＝－m ＋2 . ∴当m ＜2时，才存在满足条件中的两点M 、N.∴a = .这时M 、N 到y又点C 坐标为（0，2－m ）,而S △M N C = 27 , ∴2×12×（2－m∴解得m=－7 .12.已知：抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1，0）．（1）求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；（2）D 是抛物线与y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以AB 为一底的梯形ABCD 的面积为9，求此抛物线的解析式；（3）E 是第二象限内到x 轴、y 轴的距离的比为5∶2的点，如果点E 在（2）中的抛物线上，且它与点A 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△APE 的周长最小?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 解法一：（1）依题意，抛物线的对称轴为x ＝－2． ∵ 抛物线与x 轴的一个交点为A （－1，0），∴ 由抛物线的对称性，可得抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）．（2）∵ 抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1， 0），∴ 0)1(4)1(2＝＋－＋－t a a ．∴ t ＝3a ．∴ a ax ax y 342＋＋＝．∴ D （0，3a ）．∴ 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线a ax ax y 342＋＋＝ 上，∵ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4． ∵ 梯形ABCD 的面积为9，∴9)(21＝OD CD AB ⋅+．∴ 93)42(21＝＋a ．∴ a ±1．∴ 所求抛物线的解析式为342＋＋＝x x y 或342---ax x y ＝．（3）设点E 坐标为（0x ，0y ）.依题意，00＜x ，00＜y ，且2500＝x y ．∴ 0025x y ＝－．①设点E 在抛物线342＋＋＝x x y 上，∴340200＋＋＝x x y ．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧34,25020000＋＋＝＝－x x y x y 得⎩⎨⎧-；＝，＝15600y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'-'．＝，＝452100y x ∵ 点E 与点A 在对称轴x ＝－2的同侧，∴ 点E 坐标为（21-，45）． 设在抛物线的对称轴x ＝－2上存在一点P ，使△APE 的周长最小． ∵ AE 长为定值，∴ 要使△APE 的周长最小，只须PA ＋PE 最小． ∴ 点A 关于对称轴x ＝－2的对称点是B （－3，0）， ∴ 由几何知识可知，P 是直线BE 与对称轴x ＝－2的交点． 设过点E 、B 的直线的解析式为n mx y ＋＝，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-.03,4521＝＋－＝＋n m n m 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧.23,21＝＝n m ∴ 直线BE 的解析式为2321＋＝x y ．∴ 把x ＝－2代入上式，得21＝y ． ∴ 点P 坐标为（－2，21）． ②设点E 在抛物线342---x x y ＝上，∴ 340200---x x y ＝．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧---.34,25020000x x y x y ＝＝－ 消去0y ，得03x 23x 020＝＋+． ∴ △＜0 . ∴ 此方程无实数根．综上，在抛物线的对称轴上存在点P （－2，21），使△APE 的周长最小． 解法二：（1）∵ 抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1，0），∴ 0)1(4)1(2＝＋－＋－t a a ．∴ t ＝3a ．∴ a ax ax y 342＋＋＝．令 y ＝0，即0342＝＋＋a ax ax ．解得 11＝－x ，32＝－x ． ∴ 抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）．（2）由a ax ax y 342＋＋＝，得D （0，3a ）．∵ 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线a ax ax y 342＋＋＝上，∴ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4．∵ 梯形ABCD 的面积为9，∴9)(21＝＋OD CD AB ⋅．解得OD ＝3． ∴ 33＝a ．∴ a ±1．∴ 所求抛物线的解析式为342＋＋＝x x y 或342－－＝－x x y ．（3）同解法一得，P 是直线BE 与对称轴x ＝－2的交点． ∴ 如图，过点E 作EQ ⊥x 轴于点Q ．设对称轴与x 轴的交点为F ．由PF ∥EQ ，可得EQ PF BQ BF ＝．∴ 45251PF＝．∴ 21＝PF ．∴ 点P 坐标为（－2，21）． 以下同解法一．13.已知二次函数的图象如图所示．（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M 的坐标．（2）若点N 为线段BM 上的一点，过点N 作x 轴的垂线，垂足为点Q ．当点N 在线段BM 上运动时（点N 不与点B ，点M 重合），设NQ 的长为l ，四边形NQAC 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使△PAC 为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）将△OAC 补成矩形，使△OAC 的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）．解：（1）设抛物线的解析式)2)(1(-+=x x a y ，∴ )2(12-⨯⨯=-a ．∴ 1=a ．∴ 22--=x x y ．其顶点M 的坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛-4921，．（2）设线段BM 所在的直线的解析式为b kx y +=，点N 的坐标为N （t ，h ），∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=.214920b k b k ，．解得23=k ，3-=b ．∴ 线段BM 所在的直线的解析式为323-=x y ． ∴ 323-=t h ，其中221<<t ．∴ t t s )3322(212121-++⨯⨯=121432+-=t t ． ∴ s 与t 间的函数关系式是121432+-=t t S ，自变量t 的取值范围是221<<t ． （3）存在符合条件的点P ，且坐标是1P ⎪⎭⎫ ⎝⎛4725，，⎪⎭⎫ ⎝⎛-45232，P ． 设点P 的坐标为P )(n m ，，则22--=m m n ．222)1(n m PA ++=，5)2(2222=++=AC n m PC ，．分以下几种情况讨论：i ）若∠PAC ＝90°，则222AC PA PC +=．∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+++=++--=.5)1()2(222222n m n m m m n ，解得：251=m ，12-=m （舍去）． ∴ 点⎪⎭⎫⎝⎛47251，P ． ii ）若∠PCA ＝90°，则222AC PC PA +=．∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+++=++--=.5)2()1(222222n m n m m m n ，解得：02343==m m ，（舍去）．∴ 点⎪⎭⎫ ⎝⎛45232，－P ．iii ）由图象观察得，当点P 在对称轴右侧时，AC PA >，所以边AC 的对角∠APC 不可能是直角．（4）以点O ，点A （或点O ，点C ）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边OA （或边OC ）的对边上，如图a ，此时未知顶点坐标是点D （－1，－2），以点A ，点C 为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC 的对边上，如图b ，此时未知顶点坐标是E ⎪⎭⎫⎝⎛-5251，，F ⎪⎭⎫ ⎝⎛-5854，．图a 图b14.已知二次函数22－＝ax y 的图象经过点（1，－1）．求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x 轴的交点的个数．解：根据题意，得a －2＝－1.∴ a ＝1． ∴ 这个二次函数解析式是22-x y ＝．因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0，－2），所以该函数图象与x 轴有两个交点．15.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB ＝5 cm ，拱高OC ＝0.9 cm ，线段DE 表示大桥拱内桥长，DE ∥AB ，如图（1）．在比例图上，以直线AB 为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴，以1 cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；（2）如果DE 与AB 的距离OM ＝0.45 cm ，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：4.12≈，计算结果精确到1米）． 解：（1）由于顶点C 在y 轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为 1092＋＝ax y ． 因为点A （25-，0）（或B （25，0））在抛物线上， 所以109)25(02＋＝-⋅a ，得12518＝－a ．因此所求函数解析式为)2525(109125182≤≤-x x y ＋＝－． （2）因为点D 、E 的纵坐标为209， 所以109125182092＋－x =，得245±＝x ． 所以点D 的坐标为（245－，209），点E 的坐标为（245，209）． 所以225)245(245＝－＝-DE ． 因此卢浦大桥拱内实际桥长为385227501.011000225≈⨯⨯＝（米）．16.已知在平面直角坐标系内，O 为坐标原点，A 、B 是x 轴正半轴上的两点，点A 在点B 的左侧，如图．二次函数c bx ax y ＋＋＝2（a ≠0）的图象经过点A 、B ，与y 轴相交于点C ．（1）a 、c 的符号之间有何关系?（2）如果线段OC 的长度是线段OA 、OB 长度的比例中项，试证a 、c 互为倒数；（3）在（2）的条件下，如果b ＝－4，34＝AB ，求a 、c 的值． 解:（1）a 、c 同号． 或当a ＞0时，c ＞0；当a ＜0时，c ＜0．（2）证明：设点A 的坐标为（1x ，0），点B 的坐标为（2x ，0），则210x x ＜＜． ∴ 1x OA =，2x OB =，c OC =．据题意，1x 、2x 是方程)0(02≠=a c bx ax ＋＋的两个根． ∴ acx x =⋅21． 由题意，得2OC OB OA ＝⋅，即22c c ac ＝＝．所以当线段OC 长是线段OA 、OB 长的比例中项时，a 、c 互为倒数．（3）当4-=b 时，由（2）知，0421＞＝＝－＋aa b x x ，∴ a ＞0．解法一：AB ＝OB －OA ＝21221124)(x x x x x x -＋＝－，∴ aa ac a c a AB 32416)(4)4(22=-==－．∵ 34=AB ， ∴3432＝a ．得21=a ．∴ c ＝2.解法二：由求根公式，aa a ac x 322416424164±-±-±＝＝＝，∴ a x 321-＝，ax 322+＝． ∴ aa a x x OA OB AB 32323212＝－－＝－＝－＝+． ∵ 34＝AB ，∴3432＝a ，得21＝a ．∴ c ＝2． 17.如图，直线333+-=x y 分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，⊙E 经过原点O 及A 、B 两点． （1）C 是⊙E 上一点，连结BC 交OA 于点D ，若∠COD ＝∠CBO ，求点A 、B 、C 的坐标； （2）求经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式：（3）若延长BC 到P ，使DP ＝2，连结AP ，试判断直线PA 与⊙E 的位置关系，并说明理由．解：（1）连结EC 交x 轴于点N （如图）．∵ A 、B 是直线333+-=x y 分别与x 轴、y 轴的交点．∴ A （3，0），B )3,0(． 又∠COD ＝∠CBO ． ∴ ∠CBO ＝∠ABC ．∴ C 是的中点． ∴ EC ⊥OA ．∴ 232,2321====OB EN OA ON ． 连结OE ．∴ 3==OE EC ． ∴ 23=-=EN EC NC ．∴ C 点的坐标为（23,23-）． （2）设经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式为()3-=x ax y ．∵ C （23,23-）． ∴)323(2323-⋅=-a ．∴ 392=a ．∴ x x y 8329322-=为所求． （3）∵ 33tan =∠BAO ， ∴ ∠BAO ＝30°，∠ABO ＝50°． 由（1）知∠OBD ＝∠ABD ．∴ ︒=︒⨯-∠=∠30602121ABO OBD ． ∴ OD ＝OB ·tan30°－1．∴ DA ＝2． ∵ ∠ADC ＝∠BDO ＝60°，PD ＝AD ＝2． ∴ △ADP 是等边三角形．∴ ∠DAP ＝60°．∴ ∠BAP ＝∠BAO ＋∠DAP ＝30°＋60°＝90°．即 PA ⊥AB ． 即直线PA 是⊙E 的切线．。

初三数学 二次函数知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 四、二次函数()2y a x h k =-+与2y a x b x c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a<-时，y 随x 的增大而减小； 当2bx a>-时，y 随x 的增大而增大； 当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式（交点式）：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．（同左异右 b 为0对称轴为y 轴）3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．. ② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；九矿新概念辅导班 二次函数对应练习试题一、选择题1. 二次函数247y x x =--的顶点坐标是( )A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3） 2. 把抛物线22y x =-向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A. 22(1)y x =-+ B. 22(1)y x =-- C. 221y x =-+ D. 221y x =-- 3.函数2y kx k =-和(0)ky k x=≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )4.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )A.1个B.2个C. 3个D. 4个5.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==和（ ）Ａ．－１.３ B.-2.3 C.-0.3 D.-3.36. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7.方程222x x x-=的正根的个数为（ ） A.0个 B.1个 C.2个. 3 个8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y 轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为A. 22y x x =-- B. 22y x x =-++C. 22y x x =--或22y x x =-++ D. 22y x x =---或22y x x =++二、填空题9．二次函数23y x bx =++的对称轴是2x =，则b =_______。

数学数学二次函数知识点+易错题精选一、二次函数基本概念：1．二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b,c可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数y=ax2+bx+c的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵ a,b,c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、基本形式1. 二次函数基本形式：y=ax2的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. y=ax2+c的性质：（上加下减）3. y=a(x-h)2的性质：（左加右减）4. y=a(x-h)2+k的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法1：⑴将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)2+k，确定其顶点坐标(h,k)；⑵保持抛物线y=ax2的形状不变，将其顶点平移到(h,k)处，具体平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．四、二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2+bx+c的比较从解析式上看，y=a(x-h)2+k与y=ax2+bx+c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中．五、二次函数y=ax2+bx+c图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y=ax2+bx+c化为顶点式y=a(x-h)2+k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点(0,c)、以及(0,c)关于对称轴对称的点(2h,c)、与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.六、二次函数y=ax2+bx+c的性质七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）；2. 顶点式：y=a(x-h)2+k（a，h，k为常数，a≠0）；3. 两根式：y=a(x-x1)(x-x2)（a≠0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2-4ac≥0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数y=ax2+bx+c中，a作为二次项系数，显然a≠0．⑴当a>0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；⑵当a<0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，∣a∣的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b3. 常数项c⑴当c>0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑶当c<0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．总之，只要a,b,c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：一元二次方程ax2+bx+c=0是二次函数y=ax2+bx+c当函数值y=0时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：2. 抛物线y=ax2+bx+c的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0,c)3. 二次函数常用解题方法总结：⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数y=ax2+bx+c中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2+bx+c本身就是所含字母x的二次函数；下面以a>0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数易错题精选一、选择题1.已知二次函数y=2(x+1)(x﹣a)，其中a＞0，且对称轴为直线x=2，则a的值是( )A.3B.5C.7D.不确定2.将抛物线y=－2x2＋1向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为( )A.y=－2(x＋1)2B.y=－2(x＋1)2＋2C.y=－2(x－1)2＋2D.y=－2(x－1)2＋13.若二次函数y=(m＋1)x2-mx＋m2-2m-3的图象经过原点，则m的值必为( )A.-1或3B.-1C.3D.-3或14.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a＞0)的图象与直线y=1交点坐标为(1,1),(3,1)，则不等式ax2+bx+c﹣1＞0的解集为（）A.x＞1B.1＜x＜3C.x＜1或x＞3D.x＞35.下表是满足二次函数y=ax2+bx+c的五组数据，x1是方程ax2+bx+c=0的一个解，则下列选项的正确是（）A.1.6<x<1.8B.1.8<x<2.0C.2.0<x<2.2D.2.2<x<2.46.在学习“一次函数与二元一次方程”时，我们知道了两个一次函数图像的交点坐标与其相应的二元一次方程组的解之间的关系．请通过此经验推断：在同一平面直角坐标系中，函数y=5x2－3x＋4与y=4x2－x＋3的图像交点个数有 ( )A.0个B.1个C.2个D.无数个7.在一定条件下，若物体运动的路程s(米)与时间t(秒)的关系式为s=5t2+2t，则当t=4时，该物体所经过的路程为( )A.88米B.68米C.48米D.28米8.图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面在l时,拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m,水面宽4m.如图（2）建立平面直角坐标系,则抛物线的关系式是（）A.y=﹣2x2B.y=2x2C.y=﹣0.5x2D.y=0.5x29.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：4a+2b+c＜0，2a+b＜0，b2+8a＞4ac，a＜﹣1，其中结论正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10.如图,点A的坐标为（0,1）,点B是x轴正半轴上的一动点,以AB为边作等腰Rt△ABC,使∠BAC=90°,设点B的横坐标为x,设点C纵坐标为y,能表示y与x的函数关系图象大致是（）11.已知二次函数y=a(x-2)2+c，当x=x时,函数值为y1；当x=x2时,函数值为y2，若|x1﹣2|＞|x2﹣2|,则下列表达1式正确的是（）A.y1+y2＞0B.y1﹣y2＞0C.a(y1﹣y2)>0D.a（y1+y2）＞012.如图，正方形ABCD中，AB＝8 cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1 cm/s 的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t(s)，△OEF的面积S(cm2)，则S(cm2)与t(s)的函数关系可用图象表示为( B )二、填空题13.如果函数y=(k﹣3)+kx+1是二次函数，那么k的值一定是．14.抛物线y=2x2+x-3与x轴交点个数为_____个.15.如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是．16.如图是某公园一圆形喷水池，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，建立如图所示的坐标系，如果喷头所在处A（0，1.25），水流路线最高处M（1，2.25），如果不考虑其他因素，那么水池的半径至少要m，才能使喷出的水流不至落到池外．17.已知实数m，n满足m﹣n2=1，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于．18.如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-1．且过点（0.5，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c=0；③25a ﹣10b+4c=0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中所有正确的结论是．（填写正确结论的序号）三、解答题19.如图所示，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=﹣x+6分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点B和点C，且抛物线的对称轴为直线x=4．（1）求出抛物线与x轴的两个交点A，B的坐标．（2）试确定抛物线的解析式．20.如图，有一个长为24米的篱笆，一面利用墙(墙的最大长度a为10米)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米.(1)求S与x的函数关系式；(2)如果要围成面积为45平方米的花圃，AB的长为多少米?21.设抛物线y=mx2－2mx＋3(m≠0)与x轴交于点A(a，0)和B(b，0).(1)若a=－1，求m，b的值；(2)若2m＋n=3，求证：抛物线的顶点在直线y=mx＋n上；(3)抛物线上有两点P(x1，p)和Q(x2，q)，若x1＜1＜x2，且x1＋x2＞2，试比较p与q的大小.22.已知二次函数y=ax2-4x+c的图象过点(-1, 0)和点(2,-9)．(1) 求该二次函数的解析式并写出其对称轴；(2) 已知点P(2 , -2),连结OP , 在x轴上找一点M,使△OPM是等腰三角形,请直接写出点M的坐标(不写求解过程).23.如图,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点A的坐标是(-2,4),过点A作AB⊥y轴,垂足为B,连结OA。

二次函数知识点归纳及相关典型题第一部分 基础知识1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a . 3.二次函数c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线. 4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<ab. 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0,c ).（2）与y 轴平行的直线h x=与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2). （3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb a ca b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=444222122122121第二部分 典型习题１.抛物线y ＝x 2＋2x －2的顶点坐标是 （ D ）A.（2，－2）B.（1，－2）C.（1，－3）D.（－1，－3） ２.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ C ）Ａ．ab ＞0，c ＞0 Ｂ．ab ＞0，c ＜0 Ｃ．ab ＜0，c ＞0 Ｄ．ab ＜0，c ＜0第２,３题图 第4题图３.二次函数c bx ax y ＋＋＝2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ Ｄ ） A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0 B ．a ＜0，b ＜0，c ＞0 C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0 D ．a ＜0，b ＞0，c ＞0 ４.如图，已知中，BC=8，BC 上的高，D 为BC 上一点，，交AB 于点E ，交AC 于点F （EF 不过A 、B ），设E 到BC 的距离为，则的面积关于的函数的图象大致为（ Ｄ ）2482,484EF xEF x y x x -=⇒=-∴=-+ ５.抛物线322--=x x y 与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为 4 ．6.已知二次函数11)(2k 2－－＋＝x kx y 与x 轴交点的横坐标为1x 、2x （21x x ＜），则对于下列结论：①当x ＝－2时，y ＝1；②当2x x ＞时，y ＞0；③方程011)(22＝－＋-x k kx 有两个不相等的实数根1x 、2x ；④11-＜x ，12＞－x ；⑤21x x －，其中所有正确的结论是 ①③④ （只需填写序号）．7.已知直线()02≠+-=b b x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；一抛物线的解析式为()c x b x y ++-=102.（1）若该抛物线过点B ，且它的顶点P 在直线b x y +-=2上，试确定这条抛物线的解析式；（2）过点B 作直线BC ⊥AB 交x 轴交于点C ，若抛物线的对称轴恰好过C 点，试确定直线b x y +-=2的解析式. 解：（1）102-=x y 或642--=x x y将0)b （，代入，得c b =.顶点坐标为21016100(,)24b b b +++-，由题意得21016100224b b b b +++-⨯+=-，解得1210,6b b =-=-. （2）22--=x y8.有一个运算装置，当输入值为x 时，其输出值为y ，且y 是x 的二次函数，已知输入值为2-,0,1时, 相应的输出值分别为5,3-,4-．（1）求此二次函数的解析式；第9题（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y 为正数时输入值x 的取值围. 解：（1）设所求二次函数的解析式为c bx ax y ++=2,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=+⋅+⋅=+-+-43005)2()2(22c b a c b a c b a ,即⎪⎩⎪⎨⎧-=+=--=1423b a b a c ,解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a 故所求的解析式为:322--=x x y .（2)输入值x 9.⑴第一天中，在什么时间围这头骆驼的体温是上升的?⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少? ⑶兴趣小组又在研究中发现，图中10时到 22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解 析式．解：⑴第一天中，从4时到16时这头骆驼的体温是上升的它的体温从最低上升到最高需要12小时 ⑵第三天12时这头骆驼的体温是39℃⑶()22102421612≤≤++-=x x x y 10.已知抛物线4)334(2+++=x a ax y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．是否存在实数a ，使得 △ABC 为直角三角形．若存在，请求出a 的值；若不 存在，请说明理由．解：依题意，得点C 的坐标为（0，4）．设点A 、B 的坐标分别为（1x ，0），（2x ，0）， 由04)334(2=+++x a ax ，解得 31-=x ，ax 342-=．∴ 点A 、B 的坐标分别为（-3，0），（a34-，0）． ∴ |334|+-=aAB ，522=+=OC AO AC ， =+=22OC BO BC 224|34|+-a． ∴ 9891693432916|334|2222+-=+⨯⨯-=+-=a a a a a AB ， 252=AC ，1691622+=aBC ．〈ⅰ〉当222BC AC AB +=时，∠ACB ＝90°． 由222BC AC AB +=，得)16916(259891622++=+-a a a ． 解得 41-=a ．∴ 当41-=a 时，点B 的坐标为（316，0），96252=AB ，252=AC ，94002=BC ．于是222BC AC AB +=． ∴ 当41-=a 时，△ABC 为直角三角形． 〈ⅱ〉当222BC AB AC +=时，∠ABC ＝90°． 由222BC AB AC +=，得)16916()98916(2522+++-=aa a ． 解得 94=a ． 当94=a 时，3943434-=⨯=-a ，点B （-3，0）与点A 重合，不合题意．〈ⅲ〉当222AB AC BC +=时，∠BAC ＝90°．由222AB AC BC +=，得)98916(251691622+-+=+aa a ． 解得 94=a ．不合题意． 综合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈ⅲ〉，当41-=a 时，△ABC 为直角三角形． 11.已知抛物线y ＝－x 2＋mx －m ＋2.（1）若抛物线与x 轴的两个交点A 、B 分别在原点的两侧，并且ABm 的值；（2）设C 为抛物线与y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ，并且 △MNC 的面积等于27，试求m 的值.解: (1)Ａ（x 1，0）,B(x 2，0) . 则x 1 ，x 2是方程 x 2－mx ＋m －2＝0的两根. ∵x 1 ＋x 2＝m , x 1·x 2=m －2 ＜0 即m ＜2 ;又AB ＝∣x 1—x 2121245x x x x -2（+）∴m 2－4m ＋3=0 .解得：m=1或m=3(舍去) , ∴m 的值为1 . （2）M(a ，b)，则N(－a ，－b) . ∵M 、N 是抛物线上的两点,∴222,2.a ma m b a ma m b ⎧-+-+=⎪⎨---+=-⎪⎩①②①＋②得：－2a 2－2m ＋4＝0 . ∴a 2＝－m ＋2 . ∴当m ＜2时，才存在满足条件中的两点M 、N. ∴2a m =- .这时M 、N 到y 2m -又点C 坐标为（0，2－m ）,而S △M N C = 27 , ∴2×12×（2－m 2m -∴解得m=－7 .12.已知：抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1，0）． （1）求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；（2）D 是抛物线与y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以AB 为一底的梯形ABCD 的面积为9，求此抛物线的解析式；（3）E 是第二象限到x 轴、y 轴的距离的比为5∶2的点，如果点E 在（2）中的抛物线上，且它与点A 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△APE 的周长最小?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 解法一：（1）依题意，抛物线的对称轴为x ＝－2． ∵ 抛物线与x 轴的一个交点为A （－1，0），∴ 由抛物线的对称性，可得抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）．（2）∵ 抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1， 0），∴ 0)1(4)1(2＝＋－＋－t a a ．∴ t ＝3a ．∴ a ax ax y 342＋＋＝． NMCx y O∴ D （0，3a ）．∴ 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线a ax ax y 342＋＋＝ 上， ∵ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4． ∵ 梯形ABCD 的面积为9，∴ 9)(21＝OD CD AB ⋅+．∴ 93)42(21＝＋a ．∴ a ±1．∴ 所求抛物线的解析式为342＋＋＝x x y 或342---ax x y ＝． （3）设点E 坐标为（0x ，0y ）.依题意，00＜x ，00＜y ， 且2500＝x y ．∴ 0025x y ＝－．①设点E 在抛物线342＋＋＝x x y 上，∴340200＋＋＝x x y ．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧34,25020000＋＋＝＝－x x y x y 得⎩⎨⎧-；＝，＝15600y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'-'．＝，＝452100y x ∵ 点E 与点A 在对称轴x ＝－2的同侧，∴ 点E 坐标为（21-，45）． 设在抛物线的对称轴x ＝－2上存在一点P ，使△APE 的周长最小． ∵ AE 长为定值，∴ 要使△APE 的周长最小，只须PA ＋PE 最小． ∴ 点A 关于对称轴x ＝－2的对称点是B （－3，0）， ∴ 由几何知识可知，P 是直线BE 与对称轴x ＝－2的交点． 设过点E 、B 的直线的解析式为n mx y ＋＝，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-.03,4521＝＋－＝＋n m n m 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧.23,21＝＝n m ∴ 直线BE 的解析式为2321＋＝x y ．∴ 把x ＝－2代入上式，得21＝y ． ∴ 点P 坐标为（－2，21）． ②设点E 在抛物线342---x x y ＝上，∴ 340200---x x y ＝．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧---.34,25020000x x y x y ＝＝－ 消去0y ，得03x 23x 020＝＋+． ∴ △＜0 . ∴ 此方程无实数根． 综上，在抛物线的对称轴上存在点P （－2，21），使△APE 的周长最小． 解法二：（1）∵ 抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1，0），∴ 0)1(4)1(2＝＋－＋－t a a ．∴ t ＝3a ．∴ a ax ax y 342＋＋＝．令 y ＝0，即0342＝＋＋a ax ax ．解得 11＝－x ，32＝－x ． ∴ 抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）．（2）由a ax ax y 342＋＋＝，得D （0，3a ）． ∵ 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线a ax ax y 342＋＋＝上，∴ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4． ∵ 梯形ABCD 的面积为9，∴ 9)(21＝＋OD CD AB ⋅．解得OD ＝3． ∴ 33＝a ．∴ a ±1．∴ 所求抛物线的解析式为342＋＋＝x x y 或342－－＝－x x y ．（3）同解法一得，P 是直线BE 与对称轴x ＝－2的交点． ∴ 如图，过点E 作EQ ⊥x 轴于点Q ．设对称轴与x 轴的交点为F ．由PF ∥EQ ，可得EQ PF BQ BF ＝．∴ 45251PF ＝．∴ 21＝PF ．∴ 点P 坐标为（－2，21）．以下同解法一．13.已知二次函数的图象如图所示．（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M 的坐标．（2）若点N 为线段BM 上的一点，过点N 作x 轴的垂线，垂足为点Q ．当点N 在线段BM 上运动时（点N 不与点B ，点M重合），设NQ 的长为l ，四边形NQAC 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使△PAC 为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）将△OAC 补成矩形，使△OAC 的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）．解：（1）设抛物线的解析式)2)(1(-+=x x a y ，∴ )2(12-⨯⨯=-a ．∴ 1=a ．∴ 22--=x x y ．其顶点M 的坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛-4921，． （2）设线段BM 所在的直线的解析式为b kx y +=，点N 的坐标为N （t ，h ），∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=.214920b k b k ，．解得23=k ，3-=b ．∴ 线段BM 所在的直线的解析式为323-=x y ． ∴ 323-=t h ，其中221<<t ．∴ t t s )3322(212121-++⨯⨯=121432+-=t t ．∴ s 与t 间的函数关系式是121432+-=t t S ，自变量t 的取值围是221<<t ．（3）存在符合条件的点P ，且坐标是1P ⎪⎭⎫ ⎝⎛4725，，⎪⎭⎫ ⎝⎛-45232，P ． 设点P 的坐标为P )(n m ，，则22--=m m n ．222)1(n m PA ++=，5)2(2222=++=AC n m PC ，．分以下几种情况讨论：i ）若∠PAC ＝90°，则222AC PA PC +=．∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+++=++--=.5)1()2(222222n m n m m m n ，解得：251=m ，12-=m （舍去）． ∴ 点⎪⎭⎫⎝⎛47251，P ． ii ）若∠PCA ＝90°，则222AC PC PA +=．∴⎪⎩⎪⎨⎧+++=++--=.5)2()1(222222nmnmmmn，解得：02343==mm，（舍去）．∴点⎪⎭⎫⎝⎛45232，－P．iii）由图象观察得，当点P在对称轴右侧时，ACPA>，所以边AC的对角∠APC不可能是直角．（4）以点O，点A（或点O，点C）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边OA（或边OC）的对边上，如图a，此时未知顶点坐标是点D（－1，－2），以点A，点C为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC的对边上，如图b，此时未知顶点坐标是E⎪⎭⎫⎝⎛-5251，，F⎪⎭⎫⎝⎛-5854，．图a 图b14.已知二次函数22－＝axy的图象经过点（1，－1）．求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x轴的交点的个数．解：根据题意，得a－2＝－1.∴ a＝1．∴这个二次函数解析式是22-xy＝．因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0，－2），所以该函数图象与x轴有两个交点．15.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB＝5 cm，拱高OC＝0.9 cm，线段DE表示大桥拱桥长，DE∥AB，如图（1）．在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1 cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；（2）如果DE 与AB 的距离OM ＝0.45 cm ，求卢浦大桥拱实际桥长（备用数据：4.12≈，计算结果精确到1米）． 解：（1）由于顶点C 在y 轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为1092＋＝ax y ． 因为点A （25-，0）（或B （25，0））在抛物线上， 所以109)25(02＋＝-⋅a ，得12518＝－a ． 因此所求函数解析式为)2525(109125182≤≤-x x y ＋＝－．（2）因为点D 、E 的纵坐标为209， 所以109125182092＋－x =，得245±＝x ． 所以点D 的坐标为（245－，209），点E 的坐标为（245，209）． 所以225)245(245＝－＝-DE ． 因此卢浦大桥拱实际桥长为 385227501.011000225≈⨯⨯＝（米）． 16.已知在平面直角坐标系，O 为坐标原点，A 、B 是x 轴正半轴上的两点，点A 在点B 的左侧，如图．二次函数cbx ax y ＋＋＝2（a ≠0）的图象经过点A 、B ，与y 轴相交于点C ．（1）a 、c 的符号之间有何关系?（2）如果线段OC 的长度是线段OA 、OB 长度的比例中项，试证a 、c 互为倒数；（3）在（2）的条件下，如果b ＝－4，34＝AB ，求a 、c 的值．解:（1）a 、c 同号． 或当a ＞0时，c ＞0；当a ＜0时，c ＜0．（2）证明：设点A 的坐标为（1x ，0），点B 的坐标为（2x ，0），则210x x ＜＜．∴ 1x OA =，2x OB =，c OC =．据题意，1x 、2x 是方程)0(02≠=a c bx ax ＋＋的两个根． ∴ ac x x =⋅21． 由题意，得2OC OB OA ＝⋅，即22c c a c＝＝． 所以当线段OC 长是线段OA 、OB 长的比例中项时，a 、c 互为倒数．（3）当4-=b 时，由（2）知，0421＞＝＝－＋aa bx x ，∴ a ＞0．解法一：AB ＝OB －OA ＝21221124)(x x x x x x -＋＝－， ∴ aa ac a c a AB 32416)(4)4(22=-==－． ∵ 34=AB ，∴ 3432＝a ．得21=a ．∴ c ＝2. 解法二：由求根公式，a a a ac x 322416424164±-±-±＝＝＝， ∴ a x 321-＝，ax 322+＝． ∴ a a a x x OA OB AB 32323212＝－－＝－＝－＝+． ∵ 34＝AB ，∴ 3432＝a ，得21＝a ．∴ c ＝2． 17.如图，直线333+-=x y 分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，⊙E 经过原点O 及A 、B 两点． （1）C 是⊙E 上一点，连结BC 交OA 于点D ，若∠COD ＝∠CBO ，求点A 、B 、C 的坐标；（2）求经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式：（3）若延长BC 到P ，使DP ＝2，连结AP ，试判断直线PA 与⊙E 的位置关系，并说明理由．解：（1）连结EC 交x 轴于点N （如图）．∵ A 、B 是直线333+-=x y 分别与x 轴、y 轴的交点．∴ A （3，0），B )3,0(． 又∠COD ＝∠CBO ． ∴ ∠CBO ＝∠ABC ．∴ C 是的中点． ∴ EC ⊥OA ．∴ 232,2321====OB EN OA ON ． 连结OE ．∴ 3==OE EC ． ∴ 23=-=EN EC NC ．∴ C 点的坐标为（23,23-）． （2）设经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式为()3-=x ax y ．∵ C （23,23-）． ∴)323(2323-⋅=-a ．∴ 392=a ． ∴ x x y 8329322-=为所求． （3）∵ 33tan =∠BAO ， ∴ ∠BAO ＝30°，∠ABO ＝50°． 由（1）知∠OBD ＝∠ABD ．∴ ︒=︒⨯-∠=∠30602121ABO OBD ． ∴ OD ＝OB ·tan30°－1．∴ DA ＝2． ∵ ∠ADC ＝∠BDO ＝60°，PD ＝AD ＝2．∴ △ADP 是等边三角形．∴ ∠DAP ＝60°． ∴ ∠BAP ＝∠BAO ＋∠DAP ＝30°＋60°＝90°．即 PA ⊥AB ．即直线PA 是⊙E 的切线．。

二次函数知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一样地，形如2=++（a b cy ax bx c，，是常数，0a≠）的函数，叫做二次函数。

（那个地址需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，能够为零．二次函数的概念域是全部实数．）2. 二次函数2=++的结构特点：y ax bx c⑴等号左侧是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的大体形式1. 二次函数大体形式：2=的性质：y axa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

y ax c=+的性质：上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方式一：⑴ 将抛物线解析式转化成极点式()2y a x h k =-+，确信其极点坐标()h k ，； ⑵ 维持抛物线2y ax =的形状不变，将其极点平移到()h k ，处，具体平移方式如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 归纳成八个字“左加右减，上加下减”． 方式二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=-+与2y axbx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方能够取得前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点画图法：利用配方式将二次函数2y ax bx c =++化为极点式2()y a x h k =-+，确信其开口方向、对称轴及极点坐标，然后在对称轴双侧，左右对称地描点画图.一样咱们选取的五点为：极点、与y 轴的交点()0c ，、和()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（假设与x 轴没有交点，那么取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，极点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，极点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，极点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方式1. 一样式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 极点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都能够化成一样式或极点式，但并非所有的二次函数都能够写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才能够用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式能够互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确信的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴确实是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右边． ⑵ 在0a <的前提下，结论恰好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右边； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴确实是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确信的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左侧那么0>ab ，在y 轴的右边那么0<ab ，归纳的说确实是“左同右异” 总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确信，那么这条抛物线确实是唯一确信的． 二次函数解析式的确信：依照已知条件确信二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必需依照题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一样来讲，有如下几种情形：1. 已知抛物线上三点的坐标，一样选用一样式；2. 已知抛物线极点或对称轴或最大（小）值，一样选用极点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一样选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用极点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一样有五种情形，能够用一样式或极点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，取得的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，取得的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，取得的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，取得的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，取得的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，取得的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于极点对称（即：抛物线绕极点旋转180°）2y ax bx c =++关于极点对称后，取得的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于极点对称后，取得的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，取得的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-依照对称的性质，显然不管作何种对称变换，抛物线的形状必然可不能发生转变，因此a 永久不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，能够依据题意或方便运算的原那么，选择适合的形式，适应上是先确信原抛物线（或表达式已知的抛物线）的极点坐标及开口方向，再确信其对称抛物线的极点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情形）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情形. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，不管x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，不管x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴必然相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数经常使用解题方式总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方式将二次函数由一样式转化为极点式；⑶ 依照图象的位置判定二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判定图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a++≠本身确实是所含字母x的二次函数；下面以0a>时为例，揭露二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：图像参考：y=-2x2十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的概念、性质，有关试题常出此刻选择题中，如：2y=3(x+4)22y=3x22-32y=-2(x-3)2已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像通过原点， 那么m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，若是函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题显现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线通过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。