高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不等问题(含答案)

数列和不等问题(教师版）一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理） 例1．正数数列{}na 的前n 项的和nS ,满足12+=n n a S ，试求:（1）数列{}na 的通项公式;（2）设11+=n n na a b，数列{}n b 的前n 项的和为n B ,求证:21<n B 解:（1)由已知得2)1(4+=nna S ，2≥n 时，211)1(4+=--n n a S ,作差得：1212224----+=n n nnna a a a a ,所以0)2)((11=--+--n n n n a a a a ,又因为{}na 为正数数列，所以21=--n n a a ，即{}n a 是公差为2的等差数列，由1211+=a S ,得11=a ，所以12-=n a n（2）)121121(21)12)(12(111+--=+-==+n n n n a a bn n n,所以21)12(2121)1211215131311(21<+-=+---+-=n n n B n 真题演练1:(06全国1卷理科22题）设数列{}na 的前n 项的和,14122333n nnS a +=-⨯+，1,2,3,n =（Ⅰ）求首项1a 与通项n a ;（Ⅱ)设2n n nT S =,1,2,3,n =,证明:132ni i T =<∑。

解: （Ⅰ)由 S ｎ=错误!a n －错误!×2n ＋1＋错误!, n=1，２，3，… , ①得 a １＝S 1= ＼f （4，3）a １—错误!×4+错误! 所以a 1=2再由①有 Ｓn —1=＼f （4，3)a n －1－错误!×２ｎ+错误!， n=2,3,4,…将①和②相减得： a n =S n －S ｎ－１= 错误!(ａn －a n-1)-错误!×(2n+１—２n),n=２,3， …整理得: a n +２n=４(ａn-1+2ｎ-1），ｎ=2，3， … ， 因而数列{ a n +２n｝是首项为a １+2=4，公比为4的等比数列,即 : a n +２n =4×4ｎ-１= 4n ， n=1，2,3， …, 因而a n =４n －2n ， ｎ=1,2，３, …，（Ⅱ）将a n ＝４n —2n 代入①得 S n = ＼f （4，3)×(4n -2n)—＼f （１，３）×2n+1 + 错误! = 错误!×（２n+1－１）（2n+1-2) ＝ ＼ｆ(２，3)×（２n+１－1）(2n－１)T ｎ= ＼f(２ｎ，S ｎ) =错误!×错误! = 错误!×(错误! － 错误!）所以， 1ni i T =∑＝错误!1(ni =∑错误! - 错误!) ＝ 错误!×(错误! -1121n +-) ＜ ＼f （3，2）二．先放缩再求和１．放缩后成等比数列，再求和例２．等比数列{}na 中，112a =-,前n 项的和为n S ，且798,,S S S 成等差数列．设nnn a a b -=12,数列{}nb 前n 项的和为nT ,证明:13nT<． 解：∵9789A A a a -=+,899A A a -=-,899a a a +=-,∴公比9812aq a==-．∴n na)21(-=. nn n nn n b 231)2(41)21(141⋅≤--=--=．（利用等比数列前n 项和的模拟公式n nSAq A=-猜想）∴n n b b b B ++=2131)211(31211)211(213123123123122<-=--⋅=⋅++⋅+⋅≤nn 。

用放缩法处理数列和不等问题一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理）例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：21<n B解：（1）由已知得2)1(4+=n n a S ，2≥n 时，211)1(4+=--n n a S ，作差得：1212224----+=n n n n n a a a a a ，所以0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，又因为{}n a 为正数数列，所以21=--n n a a ，即{}n a 是公差为2的等差数列，由1211+=a S ，得11=a ，所以12-=n a n （2）)121121(21)12)(12(111+--=+-==+n n n n a a b n n n ，所以21)12(2121)1211215131311(21<+-=+---+-=n n n B n 二．先放缩再求和1．放缩后成等比数列，再求和例2．等比数列{}n a 中，112a =-，前n 项的和为n S ，且798,,S S S 成等差数列．设nn n a a b -=12，数列{}n b 前n 项的和为n T ，证明：13n T <．解：∵9789A A a a -=+，899A A a -=-，899a a a +=-，∴公比9812a q a ==-． ∴nn a )21(-=． nn n nn n b 231)2(41)21(141⋅≤--=--=． （利用等比数列前n 项和的模拟公式n n S Aq A =-猜想）∴n n b b b B ++=2131)211(31211)211(213123123123122<-=--⋅=⋅++⋅+⋅≤n n ． 2．放缩后为“差比”数列，再求和例3．已知数列{}n a 满足：11=a ，)3,2,1()21(1 =+=+n a na n nn ．求证：11213-++-≥>n n n n a a 证明：因为n nn a na )21(1+=+，所以1+n a 与n a 同号，又因为011>=a ，所以0>n a ， 即021>=-+n nn n a na a ，即n n a a >+1．所以数列{}n a 为递增数列，所以11=≥a a n ， 即n n n n n n a n a a 221≥=-+，累加得：121212221--+++≥-n n n a a ． 令12212221--+++=n n n S ，所以n n n S 2122212132-+++= ，两式相减得： n n n n S 212121212121132--++++=- ，所以1212-+-=n n n S ，所以1213-+-≥n n n a ， 故得11213-++-≥>n n n n a a ． 3．放缩后成等差数列，再求和例4．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n n a a S +=.(1) 求证：2214n n n a a S ++<；(2)<⋅⋅⋅+<解：（1）在条件中，令1=n ，得1112122a S a a ==+，1011=∴>a a ，又由条件n n n S a a 22=+有11212+++=+n n n S a a ，上述两式相减，注意到n n n S S a -=++11得0)1)((11=--+++n n n n a a a a 001>+∴>+n n n a a a ∴11n n a a +-=所以， n n a n =-⨯+=)1(11，(1)2n n n S +=所以42)1(212)1(21222++=++∙<+=n n n a a n n n n S （2）因为1)1(+<+<n n n n ，所以212)1(2+<+<n n n n ，所以2)1(23222121+++⨯+⨯=++n n S S S n 212322++++<n 2122312-=+=+n S n n ；222)1(2222121n n S n n n S S S =+=+++>++。

数列和不等问题（教师版）时间：2021.03.04创作：欧阳地一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理） 例1．正数数列的前项的和，满足，试求： （1）数列的通项公式；（2）设，数列的前项的和为，求证：解：（1）由已知得，时，，作差得：，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2的等差数列，由，得，所以 （2），所以真题演练1：(06全国1卷理科22题)设数列的前项的和,，（Ⅰ）求首项与通项；（Ⅱ）设，，证明：.解: (Ⅰ)由 Sn=43an －13×2n+1+23, n=1,2,3，… , ①得 a1=S1= 43a1－13×4+23所以a1=2再由①有 Sn －1=43an －1－13×2n+23, n=2,3，4,…将①和②相减得: an=Sn －Sn －1= 43(an －an －1)－13×(2n+1－2n),n=2,3, …整理得: an+2n=4(an －1+2n －1),n=2,3, … , 因而数列{ an+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : an+2n=4×4n－1= 4n, n=1,2,3, …, 因而an=4n －2n, n=1,2,3, …,(Ⅱ)将an=4n －2n 代入①得 Sn= 43×(4n－2n)－13×2n+1+ 23 = 13×(2n+1－1)(2n+1－2) = 23×(2n+1－1)(2n －1)Tn= 2n Sn = 32×2n (2n+1－1)(2n －1) = 32×(12n －1 －12n+1－1)所以, =3212i －1 － 12i+1－1) = 32×(121－1－ ) < 32二．先放缩再求和1．放缩后成等比数列，再求和例2．等比数列中，，前n 项的和为，且成等差数列．设，数列前项的和为，证明：．解：∵，，，∴公比．∴．．（利用等比数列前n项和的模拟公式猜想）∴．真题演练2：(06福建卷理科22题)已知数列满足（I）求数列的通项公式；（II）若数列滿足，证明：数列是等差数列；（Ⅲ）证明：.（I）解：是以为首项，2为公比的等比数列即（II）证法一：①②②－①，得即③－④，得即是等差数列（III）证明：2．放缩后为“差比”数列，再求和例3．已知数列满足：，．求证：证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即．所以数列为递增数列，所以，即，累加得：．令，所以，两式相减得：，所以，所以，故得．3．放缩后成等差数列，再求和例4．已知各项均为正数的数列的前项和为,且.(1) 求证：；(2) 求证：解：（1）在条件中，令，得，，又由条件有，上述两式相减，注意到得∴所以，，所以（2）因为，所以，所以；练习：1.（08南京一模22题）设函数，已知不论为何实数，恒有且.对于正数列，其前n项和，.(Ⅰ) 求实数b的值；（II）求数列的通项公式；（Ⅲ）若，且数列的前n项和为，试比较和的大小并证明之.解：(Ⅰ) （利用函数值域夹逼性）；（II）；（Ⅲ）∵，∴2.（04全国）已知数列的前项和满足：，（1）写出数列的前三项，，；（2）求数列的通项公式；（3）证明：对任意的整数，有分析：⑴由递推公式易求：a1=1,a2=0,a3=2；⑵由已知得：（n>1）化简得：,故数列{}是以为首项, 公比为的等比数列.故∴∴数列{}的通项公式为：.⑶观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。

数列和不等问题(教师版)•先求和后放缩(主要是先裂项求和，再放缩处理) 例1正数数列 a 詁勺前n 项的和S n ，满足2 S ； -a n 1，试求:(1)数列；a n 1的通项公式;AA(2)设b n ——，数列h n ［的前n 项的和为B n ，求证：B n ：：：—a n an +2 3解：(1)由已知得 4S n =(a n J)2 , n_2 时，4S n ^-(a n j 1)2，作差得：4a n 二a ； • 2a n -a ；丄-2a n 」，所以(a n a nJ )(a n -a n 」-2)=0，又因为、a n ｛为正数数列，所以 a n - a n 丄=2，即：a n :■是公差为2的等差数列，由 2 S^a 1 1，得厲=1，所以a n = 2n -1111-(3 —)，所以 2 2n -1 2n 14 1 2 彳得 a 1=S 1= 3*1 — "3X 4+"3 所以a 〔=2 3334 1将①和②相减得:a n =S — s —1= -(a n — a n -1) — -X (2n+13 3因而数列｛ a n +2n｝是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列，即： ,,因而 a n =4 — 2 , n=1,2,3,,,4 n n 1 n+1 3X (4 — 2 ) — 2 + 2 1 n+1 n+13 = - X (2 — 1)(2 —2)2丁 (2n+1— 1)(2 n — 1) 3 2—-X 2n+1+3, n=1,2,3 ,,,①B n J(1 一1 !一! 2 3 3 5 2n -1 2n 1 2 2(2n 1) 2真题演练1: (06全国 1卷理科22题)设数列「a n ?的前n 项的和，& =4a n-- 2nd3 32-,n =1,2,3—(I)求首项 a i 与通项 a n ; (n)设 T n, S nnn =1,2,3，二3,证明：v T iid ：再由①有S 4 —1 =§a n — 1 — 1 23X 2n+3, n=2,3 , 4,, 2n Tn =恳 2n3 2X (2 n+1— 1)(2 n — 1) 31=2 X (22n+1— 11n 所以，'、 i =11 i+1_ 3」 1T = 2二(2—1 — 2^—1)=i 332(21— 11 2n 1 -13 )<3⑵b n1 1a n a n 1 (2n -1)(2n 1)4Sn =3a整理得：a n +2n=4(a n — ：+2n —：),n=2,3, a n +2n =4X 4n —：= 4n ,n=1,2,3, —2n ), n=2,3. (n )将a n =4n — 2n代入①得 S n =二.先放缩再求和1 •放缩后成等比数列，再求和例2.等比数列3中，a1 V ，前n 项的和为S ，且成等差数列.2设b n 二主—，数列4/前n 项的和为1 — a n真题演练2: （06福建卷理科22题）已知数列 订「满足a^1,3nd =2a n 1（ N *）.(I )求数列 曲的通项公式；(II )若数列 和[滿足4b ^44b2^' 4bn ^ -(a n - 1)bn (n ・N *)，证明：数列〈b n ?是等差数列; (川)证明： ° _1 ：：：色■电■…，-a ^ ::: n (n ・ N *).2 3 a2a3an + 2» *(I )解：a n 1—2a n 1(n N ),-a n1 1=2(a n 1), ：a n 1是以a 「1 = 2为首项，2为公比的等比数列 .a n 1 =2n .即 a n =22 -1(n N *).(II )证法一：；4k ^44k24...4kn4 =(a n 1)kn ..4E % +••*“)■» =2nk n2[(b b 2 ... b n )-n]= nb n ,① 2[(b 1 b 2 ... bn b n1)-(n 1)]=(n 1)b n1.②②—①，得 2(0 1 -1)=(n 1)b n1 - nbh,1T n'证明：「2解：T A 9 -A 7 =a 8 89,A 8 _ A 9a8' a 9V 9，二公比 q88（利用等比数列前 二 B n fb nb n11_(_1)nn 项和的模拟公式 4nS n 1 _(-2)n1<3 2n=Aq n - A 猜想)1 13 2 3 223 21 11 1 2(^2?)T — 2 1(1 1)3，2n ；即(n -1)bn 1 -nb n 2 =0, nb n 2 -(n 1)0 1 2=0. ③—④，得nb h .2-2nb h 1 nb n =0,d 2-20 10 =0,. 0 2 - g 1二 0 1 - 0 (□N *),.血？是等差数列故得 a n 1 -a n -32n 43 •放缩后成等差数列，再求和 例4.已知各项均为正数的数列 ｛a n ｝的前n 项和为& ,且a 2（山）证明:a kk .2 -1 k .2 -1a ia ? a 3k..a k 2-1-1 ak 12k -12(21) 1 ,k =1,2,..., n,2—— --------------------------------- ---------- — --------------------------------------- 二_ ——2 2(2k 1 -1) 2 3.2k2—2一2 321 1 1.k ，k= 1,2，...,n,a na ? a 3n 1 111、 n 11、 n 1-厂3（2戸…歹）匕一3（12）厂亍a ? a 3.电a n 1n *□ N).2 •放缩后为“差比”数列，再求和 例3•已知数列｛a n ｝满足：a, =1 ,an 1= (1尹)a n ( n ~ 1,2,3 ).求证：a n1a n-3证明：因为 a n 1 = (1-斗）a n ，所以a n d 与a n 同号，又因为a^ ^1 0，所以a n 0 ,2即 a n 1 - a n0，即a n d ■ a n .所以数列｛a n ｝为递增数列，所以a . — a1 =1,即 a n 1 " a n1累加得：a n ~^1 -2+——222nJ令S nn _•亍，两式相减得:1 n -1 —，所以Sn =2 nJn 2 22心，所以 an -32n -，a n二2S n.解：（1）在条件中，令 n=1，得 al - a^2S^2a 1,； a 1 0 . 1，又由条件 a 2 - a n = 2S n 有a 41 ■ a n 1 = 2S n 勺，上述两式相减，注意到 a n “ = S n j - S n 得(a n 1 a n )(a n 1 _a n _ 5 = 0a n 0 a n 1 a n 0二 a n 1「a n = 1所以，a n =1 1 (n -1) = n ，S n =练习：13 1. （08南京一模22题）设函数f （x ） x 2 bx，已知不论:J 为何实数，恒有f （cos 「）岂0且4 4f （2-si n 0.对于正数列，其前n 项和^乂仁內），（n • N *）.（I ）求实数b 的值；（II ）求数列＜a n ?的通项公式; —,n • N .，且数列；的前n 项和为T n ，试比较T n 和1的大小并证明之1 a n61解：（I ） b（利用函数值域夹逼性）；（II ） a n =2n ，1；24 （04全国）已知数列｛a n ｝的前n 项和S n 满足：S n =2a n ・（T ）n ， n_1（1）写出数列｛a n ｝的前三项a 1，a 2，a ? ； （ 2）求数列｛a .｝的通项公式;⑴求证: S n：：：2 2a n an 14⑵求证:n(n 1) 22 2所以2 2a n ' a n 14(2)因为 n v Jn(n +1) < n +1，所以 2 <、 <2 \：n(n+1) n+1所以2「n(n 1)2n n(n 1) 2 2、2S n 2（川）若,C n（出） C n—丄」 ・(2n 2)22 2n 1 2n 31 M二—工 5丄J 2n 36二数列｛ a n ｝的通项公式为: a n 心十1）n ].⑶观察要证的不等式，左边很复杂,111 3「1 = 亠 亠•亠a4 a5 用等比数列的前1a m =2[22 - n 项公式求和，由于-1 1 13 - 2 2 1 2 1 23，1 13歹，因此，可将 先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。

2 用放缩法处理数列和不等问题(教师版)•先求和后放缩(主要是先裂项求和，再放缩处理) 例1 •正数数列 a n 的前n 项的和S n ，满足2.. S ； a n 1,试求: (1)数列a n 的通项公式；5 1 1 (2 )设b n，数列b n 的前n 项的和为B n ,求证：B ；a n a n 122 2 2 2解：(〔)由已知得 4S n (a *1) , n 2时，4S n 1 (a * 11)，作差得：4a *a * 2a * a *12a * 1，所以(a * a * 1)(a *a n 1a 12) 0 1，所以 ，又因为 a * 1为正数数列，所以 a * a * 12，即a *是公差为2的等差数列，由2 S 1 a 11,得a *2n111 1 1(2 ) b n-()，所以a n a n1(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1c1一 1 1 1 111 1 1 B n (1-)23 3 5 2n 12n 1 2 2(2n 1) 24 1“ 2真题演练1: (06全国1卷理科22题)设数列a n 的前n 项的和，S n —a n — 2n 1 -，n 1,2,3,ggg 3 3 32**3(1)求首项 a 1 与通项 a * ； (n)设 T n—，n1,2,3,ggg ，证明： T i-.Si 124 1 d 2 412解：(I )由 S n =3a *— 3X 2 +3, n=1,2,3 ，…，① 得 a 1=S= ~a 1 — -x 4+3 所以 &=23 3 3 3 3 3 ,亠4 1 n2再由①有 S n — 1=-a n — 1— -X 2 +3, n=2,3 ，4,…3 3 34 1 +1将①和②相减得:a n =S — S n -1= §(a n — a n —1) — — x (2 — 2 ),n=2,3, …整理得：a n +2n =4(a n —1+2n —1),n=2,3,…，因而数列｛ a n +2n ｝是首项为 4n , n=1,2,3, …,因而 a *=4n — 2n , n=1,2,3,…,2n+1n-X (2 — 1)(2 — 1)a1+2=4,公比为4的等比数列,即:a n +2n =4X 4n —1=(n )将a *=4—2代入①得S *=nn1(4 — 2)—尹n+1 22 +-n+1 .... (2 — 1)(2 — 2)n+12nT n= §2nn+1— 1)(2 n —3 1 2X (2—7所以, 3 T = _ i i 2 i 1n1 ______________ _____________ (2i — 1 — 2i+1 — 1) =2 X (21— 1 i 1i+1•先放缩再求和21 •放缩后成等比数列，再求和11，前n 项的和为S n ，且S 7,S g ,S 8成等差数列.2（皿）证明:n 2 1 a 〔 a ? 3 a ?a 3a na n 1n尹N).（I ）解： Qa n 1 2a n 1(n N*),a n 1 1 2(a r> 1), a n 1是以a 11 2为首项，2为公比的等比数列a n12n.即 2a n 21(n*N ).(II )证法一：Q 4k1 14k2 1...4kl 1(an1)kn .4(k 1 k 2--k n ) n2nkn .2[Q b 2... b n ) n] nb n ,①2[(b 1 b 2...b n b n 1) (n1)] (n 1)b n 1.②②—①，得2(b n 11) (n 1)b n1nbn,设b n2 a n1，数列b n a n 前n 项的和为T n ,证明:解：•••A 7 38a 9， A 8 A 9a 9，a a9a g ，二公比a g a 8…a nb n11 1 ( 1)n22)n1 32^（利用等比数列前n 项和的模拟公式S nAq n A 猜想）…B n b 1 b 2 b n 1 13 2 3 2213 2n1 1(1 2 2 221 2真题演练2 : （06福建卷理科22题）已知数列 a n满足 a i1,a n(I ) 求数列 a n 的通项公式; (II ) 若数列b n 滿足4b11L 4b(a n1)bl (n1(12a n 1(n).），证明：数列 b n 是等差数列;即(n 1)b n 1nb n 2 0, nb n 2 (n 1)b n12 0.例2 •等比数列 a n 中,a i③—④，得nb n 2 2nb n 1 nb n 0,即b n 2 2b n 1 b n 0, b n 2 b n 1 b n 1 g (n N* ), b n是等差数列(III )证明:Q皀a k 1k .2 11 T2 1k .2 12(2k -)11,2,…,n,a1 a2 a2a3a n na n 1 2_ a kQ丄a k 12k12k 111 1 12 2(2k 11) 2 3.2k2k2111,2 3.尹k1,2,...,n,a?a2 a3n 1 a1a2 2 3 a? a3 a na n 1n *2(n N).2 •放缩后为“差比”数列，再求和例3•已知数列｛a n｝满足：a1 1，a n 1（1歩曲门1,2,3 ）•求证：am a n n 1 2* 1证明: 因为a n 1 (1 步）a n，所以a n1与a n同号，又因为a1 1 0,所以a n即a n1ann-an，即a n 1 2n即a n 1ann■a nn-，累加得:2"2n12n1令S n2n〒，所以2221 c1111S n2222歹2n11故得a 1a n31a n •所以数列｛a n｝为递增数列，所以a na n a1222n 12* 13 •放缩后成等差数列，再求和例4 •已知各项均为正数的数列a1 12S n，两式相减得:S n 所以a n 32{a n}的前n项和为S n,且a n a n 2S n.解： (1)在条件中，令 n1，得 a 2a 1 232a 1，a 1 02a 1 1 ，又由条件a n a n 2S n 有2 a n 1a n1 2S n 1，上述两式相减，注意到a n 1 S n 1S n 得(a n 1a n )(an 1a n1) 0a na n 1a n 0…a n 1a n 1所以,a n11(n1)n，S nn(n 1)2n(n 1)1?n2,八222所以S n(n 1) a nan 12 224(2)因为 n E n 1，所以 n 2；(n 21)n 21，所以1C n 的前n 项和为T n ，试比较T n 和的大小并证明之61解：(I ) b -(利用函数值域夹逼性)；(II ) a n 2 n 1；2(1)求证：S n 2 2a n a n 15n 11n(n 1)23 2 2 2n 2 3n 2、22 .2n n(n 1) S n .2 2.2 . 2练习:1. ( 08南京一模22题)设函数f(x)—x bx —，已知不论 4 4f (2 sin ) 0 .对于正数列a n ，其前n 项和S n f(a n )， (n为何实数，恒有 f(cos ) 0且*N ).(I ) 求实数b 的值;II )求数列 a n 的通项公式;N ，且数列(皿)1(2n 2)2 1 1 1丁，…T n C| 2 2n 1 2n 3C 2 C 3（3）证明：对任意的整数 m 分析：⑴由递推公式易求:⑵由已知得: a n S n 化简得:a n2 a n 1a n(1)n2 (1)n1故数列｛a na 4 a 5a ma i =i, a 2=o, a 3=2 ；S n 1 2a n2(1)n 2｝是以 31)n2a n 1n 1(1)(n>1)1)n1 a n(1)n••数列 { a n (1)n a i2[ (1)n-为首项， 3公比为2的等比数列.1 (?(2)n ｝的通项公式为: …a n 2 3[2 1)n ] a n2( 1)n ]. ⑶观察要证的不等式，左边很复杂, 1 先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。

数列的放缩题型一:单调性法例1：证明：11115123136n n n n ++++>++-，2n n N *≥∈，.因为1111111112313233233n a n n n n n n n n =++++<++++++-++++ 所以n a 单调递增，156n a a >=例2：证明：1111121313n n n n<++++<+-，n N *∈.右边：11111(31)213231n n n n n n n++++<•-+=+--左边：1111112313n a n n n n n=+++++++-可以证明：11232n x n x n+>+- 44()(3)2*2n nn x n x n n>+-所以倒叙相加可得 1111111111()()1231333121n n nn n n n nn n++++++++++++++--+ 2*n >422*2nn n = 所以1n a >题型二:裂项法例1：证明：222211117147(32)6n +++<-，n N *∈.211(32)(34)(31)n n n <---例2：证明：2611151(1)(21)493n n n n ≤++++<++ 解析: 一方面⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk 另一21111111111492334(1)11n n n n n n ++++>++++=-=⨯⨯+++方面:当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ ,当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++ ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n例3：证明：11112477121017(31)(52)25n n +++<⨯⨯⨯++提示：1313615(31)(52)55(31)(3)(3)(3)522n n n n n n =<++++-+例4：求证：22211171135(21)62(21)n n ++++>---，2n n N *≥∈，. 提示：211(21)(21)(21)n n n >--+例5：证明：222233131312n+++<---，n N *∈ 方法一:13123n n --≥⨯方法二:1111122323113()31(31)3(31)(31)3131n n nn n n n n n +++++⨯⨯=<=-------例6：已知当0x >时sin x x >，求证:211sinln 2(1)nk k =<+∑例7：已知函数()()cos sin 10f x x x x x =-+>。

用放缩法处理数列和不等问题（教师版）一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理）例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：21<n B解：（1）由已知得2)1(4+=n n a S ，2≥n 时，211)1(4+=--n n a S ，作差得：1212224----+=n n n n n a a a a a ，所以0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，又因为{}n a 为正数数列，所以21=--n n a a ，即{}n a 是公差为2的等差数列，由1211+=a S ，得11=a ，所以12-=n a n（2）)121121(21)12)(12(111+--=+-==+n n n n a a b n n n ，所以21)12(2121)1211215131311(21<+-=+---+-=n n n B n 真题演练1：(06全国1卷理科22题)设数列{}n a 的前n 项的和,14122333n n n S a +=-⨯+，1,2,3,n = （Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；（Ⅱ）设2n n n T S =，1,2,3,n = ，证明：132ni i T =<∑.解: (Ⅰ)由 S n =43a n －13×2n+1+23, n=1,2,3，… , ① 得 a 1=S 1= 43a 1－13×4+23所以a 1=2再由①有 S n －1=43a n －1－13×2n +23, n=2,3，4,…将①和②相减得: a n =S n －S n －1= 43(a n －a n －1)－13×(2n+1－2n ),n=2,3, …整理得: a n +2n =4(a n －1+2n －1),n=2,3, … , 因而数列{ a n +2n }是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : a n +2n =4×4n －1= 4n , n=1,2,3, …, 因而a n =4n －2n , n=1,2,3, …,(Ⅱ)将a n =4n －2n 代入①得 S n = 43×(4n －2n )－13×2n+1 + 23 = 13×(2n+1－1)(2n+1－2)= 23×(2n+1－1)(2n －1)T n = 2n S n = 32×2n (2n+1－1)(2n －1) = 32×(12n －1 － 12n+1－1)所以, 1ni i T =∑= 321(ni =∑12i －1 － 12i+1－1) = 32×(121－1 － 1121n +-) < 32二．先放缩再求和1．放缩后成等比数列，再求和例2．等比数列{}n a 中，112a =-，前n 项的和为n S ，且798,,S S S 成等差数列．设nn n a a b -=12，数列{}n b 前n 项的和为n T ，证明：13n T <．解：∵9789A A a a -=+，899A A a -=-，899a a a +=-，∴公比9812a q a ==-． ∴n n a )21(-=． nn n nn n b 231)2(41)21(141⋅≤--=--=． （利用等比数列前n 项和的模拟公式n n S Aq A =-猜想）∴n n b b b B ++=2131)211(31211)211(213123123123122<-=--⋅=⋅++⋅+⋅≤n n ． 真题演练2：(06福建卷理科22题)已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}n b 滿足12111*444(1)()n n b b b b n a n N ---=+∈ ，证明：数列{}n b 是等差数列； （Ⅲ）证明：*122311...()232n n a a a n nn N a a a +-<+++<∈. （I ）解：*121(),n n a a n N +=+∈112(1),n n a a +∴+=+{}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列12.n n a ∴+=即 2*21().n a n N =-∈（II ）证法一：1211144...4(1).n n k k k k n a ---=+12(...)42.n n k k k n nk +++-∴=122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ①12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ②②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+-即1(1)20,n n n b nb +--+= ③21(1)20.n n nb n b ++-++= ④③－④，得 2120,n n n nb nb nb ++-+=即 2120,n n n b b b ++-+=*211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈{}n b ∴是等差数列（III ）证明：1121211,1,2,...,,12122(2)2k k k k k k a k n a ++--==<=-- 12231 (2)n n a a a na a a +∴+++<111211111111.,1,2,...,,2122(21)2 3.222232k k k k k kk k a k n a +++-==-=-≥-=--+-1222311111111...(...)(1),2322223223n n n n a a a n n n a a a +∴+++≥-+++=-->-*122311...().232n n a a a n nn N a a a +∴-<+++<∈ 2．放缩后为“差比”数列，再求和例3．已知数列{}n a 满足：11=a ，)3,2,1()21(1 =+=+n a n a n n n ．求证：11213-++-≥>n n n n a a 证明：因为n nn a na )21(1+=+，所以1+n a 与n a 同号，又因为011>=a ，所以0>n a ， 即021>=-+n n n n a na a ，即n n a a >+1．所以数列{}n a 为递增数列，所以11=≥a a n ， 即n n n n n n a n a a 221≥=-+，累加得：121212221--+++≥-n n n a a ． 令12212221--+++=n n n S ，所以n n n S 2122212132-+++= ，两式相减得： n n n n S 212121212121132--++++=- ，所以1212-+-=n n n S ，所以1213-+-≥n n n a ， 故得11213-++-≥>n n n n a a ．3．放缩后成等差数列，再求和例4．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n n a a S +=.(1) 求证：2214n n n a a S ++<；(2)<⋅⋅⋅+<解：（1）在条件中，令1=n ，得1112122a S a a ==+，1011=∴>a a ，又由条件n n n S a a 22=+有11212+++=+n n n S a a ，上述两式相减，注意到n n n S S a -=++11得0)1)((11=--+++n n n n a a a a 001>+∴>+n n n a a a ∴11n n a a +-=所以， n n a n =-⨯+=)1(11，(1)2n n n S +=所以42)1(212)1(21222++=++∙<+=n n n a a n n n n S （2）因为1)1(+<+<n n n n ，所以212)1(2+<+<n n n n ，所以 2)1(23222121+++⨯+⨯=++n n S S S n 212322++++<n 2122312-=+=+n S n n ；222)1(2222121n n S n n n S S S =+=+++>++练习：1.（08南京一模22题）设函数213()44f x x bx =+-，已知不论,αβ为何实数，恒有(cos )0f α≤且(2sin )0f β-≥.对于正数列{}n a ，其前n 项和()n n S f a =，*()n N ∈.(Ⅰ) 求实数b 的值；（II ）求数列{}n a 的通项公式；1,1nn N a +=∈+，且数列{}n c 的前n 项和为n T ，试比较n T 和16的大小并证明之.解：(Ⅰ) 12b =（利用函数值域夹逼性）；（II ）21n a n =+； （Ⅲ）∵21111(22)22123nc n n n ⎛⎫=<- ⎪+++⎝⎭，∴1231111+23236n n T c c c c n ⎛⎫=+++⋅⋅⋅<-< ⎪+⎝⎭…2.（04全国）已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足：n n n a S )1(2-+=， 1≥n （1）写出数列}{n a 的前三项1a ，2a ，3a ；（2）求数列}{n a 的通项公式； （3）证明：对任意的整数4>m ，有8711154<+++m a a a 分析：⑴由递推公式易求：a 1=1,a 2=0,a 3=2；⑵由已知得：1112(1)2(1)n n n n n n n a S S a a ---=-=+----（n>1） 化简得：1122(1)n n n a a --=+-2)1(2)1(11---=---n n n n a a ,]32)1([232)1(11+--=+---n n n n a a故数列{32)1(+-nn a }是以321+-a 为首项, 公比为2-的等比数列. 故1)2)(31(32)1(---=+-n nn a ∴22[2(1)]3n n n a -=-- ∴数列{n a }的通项公式为：22[2(1)]3n n n a -=--. ⑶观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。

证明数列不等式的常用放缩方法技巧(含答案)work Information Technology Company.2020YEAR证明数列不等式的常用放缩方法技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。

这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： ⑴添加或舍去一些项，如：aa >+12；n n n >+)1(⑵将分子或分母放大（或缩小）⑶利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )25lg 3lg (5lg 3lg 2=<=+<⋅； 2)1()1(++<+n n n n⑷二项式放缩: n n n n n n C C C +++=+= 10)11(2,1210+=+≥n C C n n n , 2222210++=++≥n n C C C n n n n )2)(1(2≥->n n n n(5)利用常用结论：Ⅰ.的放缩 <Ⅱ. 21k 的放缩(1) ： 2111(1)(1)k k k k k <<+-（程度大） Ⅲ. 21k 的放缩(2)：22111111()1(1)(1)211k k k k k k <==+-+--+（程度小） Ⅳ.21k 的放缩(3)：2214112()412121kk k k <=+--+（程度更小）Ⅴ. 分式放缩还可利用真（假）分数的性质:)0,0(>>>++>m a b ma mb ab 和)0,0(>>>++<m b a ma mb ab 记忆口诀“小者小,大者大”。

解释:看b ,若b 小,则不等号是小于号,反之亦然. Ⅵ.构造函数法 构造单调函数实现放缩。

数列型不等式放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-nk k12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k. 解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以122121114212+=+-=-∑=n n n k n k (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k nk 奇巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n n n (2))1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(111)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅=+r r r r r r n r n r n nC Tr rrn r (4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n n n (5)nn nn 21121)12(21--=- (6)n n n -+<+221(7))1(21)1(2--<<-+n n n n n (8) nn n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+- (9)⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n(11))2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n(12) 111)1(1)1(1)1)(1(11123--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-<⋅=n n n n n n n n n nn n 11112111111+--<-++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=n n n n n n n (13) 3212132122)12(332)13(2221nn n n n n n n n <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+(14) !)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-+=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1≥--<+n n n n n (15) 111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i j i j i j i j i j i j i例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n (2)求证:n n 412141361161412-<++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn (4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn解析:(1)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以 )12131(211)12131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i ni(2))111(41)1211(414136116141222nn n -+<+++=++++(3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n n n ,再结合nn n -+<+221进行裂项,最后就可以得到答案(4)首先nn n n n ++=-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到n n 131211)11(2++++<-+ ,再证21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211-+<++++n n例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n解析:一方面:因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk 另一方面:1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n n 当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ , 当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++ ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+ 321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n .解析:首先可以证明:nx x n +≥+1)1(,∑=++++++++--=-++---+--=nk m m m m m m m m k k n n n n n 111111111])1([01)2()1()1( 所以要证1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n只要证:∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--nk m m m m m m m m m nk m nk m m k k n nnn n k m k k111111111111111])1[(2)1()1(1)1()1(])1([故只要证∑∑∑=++==++-+<+<--nk m m nk m n k m m k k k m k k 1111111])1[()1(])1([,即等价于mm m m m k k k m k k-+<+<--+++111)1()1()1(,即等价于11)11(11,)11(11++-<+-+<++m m kk m k k m 而正是成立的,所以原命题成立. 例6.已知n n n a 24-=,n n na a a T +++= 212,求证:23321<++++n T T T T .解析:)21(2)14(3421)21(241)41(4)222(444421321n n nn n n nT -+-=-----=+++-++++=所以123)2(22232234232323422234342)21(2)14(3422111111+⋅-⋅⋅=+⋅-⋅=-+=-+-=-+-=++++++n n nn n n n n n n n n n n n n T ⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--⋅⋅=+12112123)12)(122(2231n n n n n 从而231211217131311231321<⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-=+++++n n nT T T T 例7.已知11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==),2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n,求证:*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+证明:nnnn n n x x n n 222141141)12)(12(11424244122=⋅=>-=+-=+,因为12++<n n n ,所以)1(2122214122n n n n nx x n n -+=++>>+, 所以*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+二、函数放缩例8.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n∈+-<++++ .解析:先构造函数有xxx x x 11ln 1ln -≤⇒-≤,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 22ln nn n n +++--<++++因为⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++n n n n 31121219181716151413121313121 6533323279189936365111n n n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++>---所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n n n nn例11.求证:e n <+⋅⋅++)!11()!311)(!211( 和e n <+⋅⋅++)311()8111)(911(2 .解析:构造函数后即可证明例13.证明:)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n 解析:构造函数)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到: 12111)('--=--=x x x x f ,令0)('>x f 有21<<x ,令0)('<x f 有2>x ,所以0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12+=n x 有,1ln 22-≤n n所以211ln -≤+n n n ,所以)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n三、分式放缩姐妹不等式:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++<m b a ma mb a b记忆口诀”小者小,大者大”解释:看b ,若b 小,则不等号是小于号,反之.例19. 姐妹不等式:12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n 和121)211()611)(411)(211(+<+---n n也可以表示成为12)12(5312642+>-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅n n n和1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n n n解析: 利用假分数的一个性质)0,0(>>>++>m a b ma mb ab 可得>-⋅⋅122563412n n=+⋅⋅nn 212674523 )12(212654321+⋅-⋅⋅n nn⇒12)122563412(2+>-⋅⋅n n n 即.12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n 例20.证明:.13)2311()711)(411)(11(3+>-++++n n 解析: 运用两次次分式放缩:1338956.232313784512-⋅⋅⋅⋅>--⋅⋅⋅⋅n n n n (加1)nn n n 31391067.342313784512+⋅⋅⋅⋅>--⋅⋅⋅⋅ (加2)相乘,可以得到:)13(1323875421131381057.2423137845122+⋅--⋅⋅⋅⋅=-+⋅⋅⋅⋅>⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅⋅⋅⋅n n n n n n n 所以有.13)2311()711)(411)(11(3+>-++++n n四、分类放缩例21.求证:212131211nn>-++++ 解析: +++++++++>-++++ )21212121()4141(211121312113333n2)211(221)212121(n n nn n n n >-+=-+++ 六、借助数列递推关系例27.求证:1222642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn解析: 设n n a n 2642)12(531⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅= 则nn n n n a na a n a n n a +=+⇒++=++2)1(2)1(21211,从而n n n na a n a 2)1(21-+=+,相加后就可以得到1221)22(1321)1(22)1(21121-+⋅+<-+⋅+<-+=++++n n n n a a n a a a n n ,所以1222642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n n n 例28. 求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn解析: 设n n a n 2642)12(531⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅= 则111)12(]1)1(2[)1(212+++++=++⇒++=n n n n n a a n a n a n n a ,从而n n n a n a n a )12(]1)1(2[11+-++=++,相加后就可以得到11223121)12(3)12(1121-+<-+⋅+<-+=++++n n n a a n a a a n n 例29. 若1,111+=⋅=+n a a a n n ,求证:)11(211121-+≥+++n a a a n解析:nn n n n n n a a a a a n a a -=⇒+⋅=+=⋅+++++21112112所以就有2122111121121121-+=-≥--++=+++++n a a a a a a a a a a a n n n n n 九、均值不等式放缩例32.设.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n 求证.2)1(2)1(2+<<+n S n n n解析: 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k =+=2121)1(+=++<+<k k k k k k ，)21(11∑∑==+<<∴nk n nk k S k ， 即.2)1(22)1(2)1(2+<++<<+n n n n S n n n注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式2b a ab +≤，若放成1)1(+<+k k k 则得2)1(2)3)(1()1(21+>++=+<∑=n n n k S nk n ，就放过“度”了！②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里na a n a a a a a a nnnn n n22111111++≤++≤≤++其中，3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。

数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．一．先求和后放缩例1．正数数列的前项的和，满足，试求：（1）数列的通项公式；（2）设，数列的前项的和为，求证：解：（1）由已知得，时，，作差得：，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2的等差数列，由，得，所以（2），所以注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列满足条件）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和．二．先放缩再求和1．放缩后成等差数列，再求和例2．已知各项均为正数的数列的前项和为,且.(1) 求证：；(2)求证：解：（1）在条件中，令，得，，又由条件有，上述两式相减，注意到得∴所以，，所以（2）因为，所以，所以；2．放缩后成等比数列，再求和例3．（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：；（2）等比数列{a n}中，，前n项的和为A n，且A7，A9，A8成等差数列．设，数列{b n}前n项的和为B n，证明：B n＜．解：（1）当n为奇数时，a n≥a，于是，．当n为偶数时，a－1≥1，且a n≥a2，于是．（2）∵，，，∴公比．∴．．∴．3．放缩后为差比数列，再求和例4．已知数列满足：，．求证：证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即．所以数列为递增数列，所以，即，累加得：．令，所以，两式相减得：，所以，所以，故得．4．放缩后为裂项相消，再求和例5．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…P n中，若1≤i＜j≤m时P i＞P（即前面某数大于后面某数），则称P i与P j构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列的逆序数为a n，如排列21的逆序数，排列321的逆序数．j（1）求a4、a5，并写出a n的表达式；（2）令，证明，n=1,2,….（2）因为，所以.又因为，所以=.综上，.注：常用放缩的结论：（1）（2）．在解题时朝着什么方向进行放缩，是解题的关键，一般要看证明的结果是什么形式．如例２要证明的结论、为等差数列求和结果的类型，则把通项放缩为等差数列，再求和即可；如例3要证明的结论为等比数列求和结果的类型，则把通项放缩为等比数列，再求和即可；如例4要证明的结论为差比数列求和结果的类型，则把通项放缩为差比数列，再求和即可；如例5要证明的结论为裂项相消求和结果的类型，则把通项放缩为相邻两项或相隔一项的差，再求和即可．虽然证明与数列和有关的不等式问题是高中数学中比较困难的问题，但是我们通过仔细分析它的条件与要证明的结论之间的内在关系，先确定能不能直接求和，若不能直接求和则要考虑把通项朝什么方向进行放缩．如果我们平时能多观测要证明结论的特征与数列求和之间的关系，则仍然容易找到解决这类问题的突破口．。