人教版七年级数学 第九讲 二元一次方程组

《二元一次方程组》教学设计教学目标1．认识二元一次方程和二元一次方程组.2．了解二元一次方程和二元一次方程组的解，会求二元一次方程的正整数解.重点、难点重点: 理解二元一次方程组的解的意义难点: 求二元一次方程的正整数解教学过程一、复习1、什么是一元一次方程？“元”指什么？“次”指什么？2、什么是方程的解？设计意图：通过学生复习以前的内容，知道用元与次的含义，为这节课所学的二元一次方程组奠定基础。

二、情境导入在NBA篮球联赛中，比赛规则是：每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分. 姚明所在的火箭队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数应分别是多少?思考：这个问题中包含了哪些必须同时满足的条件？设胜的场数是x，负的场数是y，你能用方程把这些条件表示出来吗？由问题知道，题中包含两个必须同时满足的条件：胜的场数＋负的场数＝总场数，胜场积分＋负场积分＝总积分.这两个条件可以用方程表示吗？学生自己先用一元一次方程来解答此题，然后根据两个等量关系列出方程：x＋y＝10，2x＋y＝16设计意图：以问题串的形式创设情境，引起学生的认知冲突，使学生对旧知识产生设疑，从而激发学生的学习兴趣和求知欲望，通过情境创设，学生已激发了强烈的求知欲望，产生了强劲的学习动力，此时我把学生带入下一环节。

三、探究新知提问：这两个方程和我们以前学过的方程相同吗？什么共同特征？学生通过观察，师生共同总结：相同点1：未知数的个数都是22：含有未知数的项最高次数是1次3：含有未知数的项是整式而不是分式从而归纳出二元一次方程的定义：含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.把两个方程合在一起，写成x＋y＝222x＋y＝40像这样，把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.提问：对比两个方程，你能发现它们之间的关系吗？师生共同总结二元一次方程组的概念像这样方程组中有两个个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组.探究：满足x+y=10的值有哪些？请填入表中：使二元一次方程两边相等的未知数的值，叫做二元一次方程的解，记作.满足方程2x+y=16且符合问题的实际意义的x、y的值如下表：不难发现x=6,y=4既是x+y=10的解，也是2x+y=16的解，也就是说是这两个方程的公共解，我们把它们叫做方程组的解。

七年级数学二元一次方程组解法教案（优秀6篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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第九讲 实际问题与二元一次方程组一、知识梳理：考点1 常见的一些等量关系1.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.2.产品配套问题：解这类问题的根本等量关系是：加工总量成比例.3.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间是，各局部劳动量之和＝总量.4.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价，=100% 利润利润率进价.速度×时间是=路程.顺水速度=静水速度+水流速度.逆水速度=静水速度-水流速度.6.存贷款问题利息=本金×利率×期数.本息和〔本利和〕＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) . 年利率＝月利率×12. 月利率＝年利率×121.各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：假设一个两位数的个位数字为a ，十位数字为b ，那么这个两位数可以表示为10b+a ．8.方案问题在解决问题时，常常需合理安排．需要从几种方案中，选择最正确方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最正确方案．要点诠释：方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比拟几种方案得出最正确方案．考点2 实际问题与二元一次方程组列方程组解应用题，是把“未知〞转换成“〞的重要方法，它的关键是把量和未知量联络起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等.2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：设：用两个字母表示问题中的两个未知数；列：列出方程组〔分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组〕；解：解方程组，求出未知数的值；验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；答：写出答案．要点诠释：〔1〕解实际应用问题必须写“答〞，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；〔2〕“设〞、“答〞两步，都要写清单位名称；〔3〕一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.二、课堂精讲：〔一〕和差倍分问题例1．甲乙丙三个工厂一共同筹办一所厂校，所出经费不同，其中甲厂出总数的27，乙厂出甲丙两厂和的12，丙厂出了16000元，问这所厂校总经费是多少？甲乙两厂各出多少？【随堂演练一】根据如图提供的信息，求一个热水瓶的价格．〔二〕配套问题例2．某服装厂消费一批某种款式的秋装，每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或者衣袖5只. 现方案用132米这种布料消费这批秋装〔不考虑布料的损耗〕，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？【随堂演练二】m3m的木材，怎样分配桌面和桌腿使用的木材，才某家具厂消费一种方桌，设计时13能使桌面和桌腿刚好配套，并指出可消费多少张方桌？〔提示：一张方桌有一个桌面，4条桌腿〕.〔三〕工程问题例3．一批机器零件一共840个，假如甲先做4天，乙参加合做，那么再做8天才能完成；假如乙先做4天，甲参加合做，那么再做9天才能完成，问：两人每天各做多少个零件?【随堂演练三】古运河是的母亲河，为打造古运河风光带，现有一段长为180米的河道整治任务由A、B两个工程队先后接力完成．A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，一共用时20天．求A、B两工程队分别整治河道多少米．〔四〕利润问题例4.某商场投入13800元资金购进甲、乙两种矿泉水一共500箱，矿泉水的本钱价和销售价如表所示：〔1〕该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？〔2〕全部售完500箱矿泉水，该商场一共获得利润多少元？【随堂演练四】王师傅下岗后开了一家小商店，上周他购进甲乙两种商品一共50件，甲种商品的进价是每件35元，利润率是20%，乙种商品的进价是每件20元，利润率是15%，一共获利278元，你知道王师傅分别购进甲乙两种商品各多少件吗?〔五〕行程问题例5. A、B两地相距480千米，一列慢车从A地开出，一列快车从B地开出．(1)假如两车同时开出相向而行，那么3小时后相遇；假如两车同时开出同向(沿BA方向)而行，那么快车12小时可追上慢车，求快车与慢车的速度；(2)假如慢车先开出l小时，两车相向而行，那么快车开出几小时可与慢车相遇?【随堂演练五】两列火车从相距810km的两城同时出发，出发后10h相遇；假设第一列火车比第二列火车先出发9h，那么第二列火车出发5h后相遇，问这两列火车的速度分别是多少？〔六〕存贷款问题例6.蔬菜种植专业户徐先生要办一个小型蔬菜加工厂，分别向银行申请了甲，乙两种贷款，一共13万元，徐先生每年须付利息6075元，甲种贷款的年利率为6%，乙种贷款的年利率为3.5%，那么甲，乙两种贷款分别是多少元？〔七〕数字问题例7.有一个两位数，个位上的数比十位上的数大5，假如把这两个数的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143，求这个两位数．【随堂演练六】一个两位数的十位数字与个位数字之和是7，假如把这个两位数加上45，那么恰好成为把个位数字和十位数字对调后组成的数，那么这个两位数是多少？〔八〕方案选择问题例8.某种饮料有大箱和小箱两种包装，3大箱、2小箱一共92瓶；5大箱、3小箱一共150瓶．求：①2大箱、5小箱分别有饮料多少瓶？②假设一大箱、一小箱饮料分别标价48元、25元，且两种包装的饮料质量完全一样，请问购置哪种包装的饮料更合算？【随堂演练七】某高校一共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐.〔1〕求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；〔2〕假设7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由.三．小结：和差倍分问题；产品配套问题；工程问题；利润问题；行程问题；存贷款问题；数字问题；方案问题列方程组解应用题，是把“未知〞转换成“〞的重要方法，它的关键是把量和未知量联络起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等.3.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：设：用两个字母表示问题中的两个未知数；列：列出方程组〔分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组〕；解：解方程组，求出未知数的值；验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；答：写出答案．四、课后稳固练习一、选择题1．有一些苹果箱，假设每只装苹果25 kg，那么剩余40 kg无处装；假设每只装30 kg，那么还有20个空箱，这些苹果箱有( )A．12只 B．6只 C．112只 D．128只2.幸福中学七年级学生到礼堂开会，假设每条长椅坐5人，那么少10条长椅，假设每条长椅坐6人，那么又多余2条长椅，设学生有x人，长椅有y条，依题意得方程组 ( )A．5105662x yx y=+⨯⎧⎨=-⨯⎩B．51062x yx y=-⎧⎨=+⎩C．5105662x yx y=-⨯⎧⎨=+⨯⎩D．51062x yx y=+⎧⎨=-⎩3.十一旅游黄金周期间，某景点举办优惠活动，成人票和儿童票均有较大折扣，王明家去了3个大人和4个小孩，一共花了400元，李娜家去了4个大人和2个小孩，一共花了400元，王斌家方案去3个大人和2个小孩，请你帮助他算一下，需要准备多少门票钱？〔〕A．300元 B．310元 C．320元 D．330元4. 两个水池一共储水40吨，假如甲池注进水4吨，乙池注进水8吨，甲池水的吨数就与乙池水的吨数相等．甲、乙水池原来各储水的吨数是〔〕A．甲池21吨，乙池19吨 B．甲池22吨，乙池18吨C. 甲池23吨，乙池17吨D．甲池24吨，乙池16吨5.某校七年级(2)班40名同学为地震灾区捐款，一共捐了100元，捐款情况如下表：表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已经看不清楚，假设设捐款2元的有x名同学，捐款3元的有y名同学，根据题意，可列方程组( )A.272366x yx y+=⎧⎨+=⎩B．2723100x yx y+=⎧⎨+=⎩C.273266x yx y+=⎧⎨+=⎩D.2732100x yx y+=⎧⎨+=⎩6.甲乙两地相距100千米，一艘轮船往返两地，顺流用4小时，逆流用5小时，那么这艘轮船在静水中的船速与水流速度分别是〔〕7.一个两位数，它的十位上的数字x比个位上的数字y大1，假设颠倒个位数字与十位数字的位置，得到的新数比原数小9，求这个两位数所列的方程组正确的选项是〔〕A．1()()9x yx y y x-=⎧⎨+++=⎩，B．110()9x yx y y x=+⎧⎨+=++⎩，C．110109x yx y y x=+⎧⎨+=+-⎩，D．110109x yx y y x=+⎧⎨+=++⎩，8．今年哥哥的年龄是妹妹的2倍，2年前哥哥的年龄是妹妹的3倍，求2年前哥哥和妹妹的年龄，设2年前哥哥x岁，妹妹y岁，依题意，得到的方程组是〔〕A．23(2),2x yx y+=+⎧⎨=⎩B．23(2),2x yx y-=-⎧⎨=⎩C．22(2),3x yx y+=+⎧⎨=⎩D．23(2),3x yx y-=-⎧⎨=⎩9. 为了参加国际铁人三项〔游泳、自行车、长跑〕系列赛业余组的比赛，李明针对自行车和长跑工程进展专项训练．某次训练中，李明骑自行车的平均速度为每分钟600米，跑步的平均速度为每分钟200米，自行车路段和长跑路段一共5千米，用时15分钟．设自行车路段的长度为x米，长跑路段的长度y米．那么方程组正确的选项是〔〕A. B.C. D.二、填空题10．根据图中所给的信息，每件T恤和每瓶矿泉水的价格分别是元和元．11．一张试卷有25道题，做对一道得4分，做错一道扣1分，小明做了全部试题一共得70分，那么他做对了______道题.12．“六一〞儿童节，某动物园的成人门票每张8元，儿童门票半价(即每张4元)，全天一共售出门票3000张，一共收入15600元，那么这一天售出了成人票________张，儿童票__________ 张．13. 小龙和小刚两人玩“打弹珠〞游戏，小龙对小刚说：“把你珠子的一半给我，我就有10颗珠子〞．小刚却说：“只要把你珠子的13给我，我就有10颗〞，那么小刚的弹珠颗数是颗．14. 学生问教师：“您今年多大了〞教师幽默地说：“我像你这么大时，你刚1岁；你到我这么大时，我已37岁了〞．那么教师如今的年龄是岁．三、解答题15．一个两位数，十位上的数字与个位上数字和是8，将十位上数字与个位上数字对调，得到新数比原数的2倍多10．求原来的两位数．16．小华从家里到的路是一段平路和一段下坡路，假设他始终保持平路每分钟走60m，下坡路每分钟走80m，上坡路每分钟走40m，那么他从家里到需10min，从到家里需15min．问：从小华家到的平路和下坡路各有多远？17. 某同学在A、B两家超发现他看中的随身听的单价一样，书包单价也一样．随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价是书包单价的4倍少8元．(1)求该同学看中的随身听和书包的单价各是多少元?(2)某假期该同学上街，恰好赶上商家促销，超A所有商品打八折销售，超B全场购满100元返购物券30元(销售缺乏100元不返券，购物券全场通用)，但他只带了400元钱，假如他只在一家超购置看中的这两样物品，你能说出他可以选择在哪一家购置吗?假设两家都可以选择，在哪一家购置更钱?。

【人教版】初中数学七年级知识点总结
二元一次方程组
本章通过实例引入二元一次方程，二元一次方程组以及二元一次方程组的概念，培养学生对概念的理解和完整性和深刻性，使学生掌握好二元一次方程组的两种解法.。

重点：二元一次方程组的解法，列二元一次方程组解决实际问题。

难点：二元一次方程组解决实际问题。

一．知识结构图
二、知识概念
1.二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的指数都是1，像这样的方程叫做二元一次。

方程，一般形式是 ax+by=c(a≠0,b≠0)。

如果一个方程含有两个未知数，并且所含未知项都为1次方，那么这个整式方程就叫做二元一次方程，有无穷个解,若加条件限定有有限个解。

二元一次方程组，则一般有一个解，有时没有解,有时有无数个解。

如一次函数中的平行，。

二元一次方程的一般形式：ax+by+c=0其中a、b不为零。

这就是二元一次方程的定义。

2.二元一次方程组：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

3.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程组的解。

4.二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组。

5.消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。

6.代入消元：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。

7.加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

【导语】教案是教师为顺利⽽有效地开展教学活动，根据课程标准，教学⼤纲和教科书要求及学⽣的实际情况，以课时或课题为单位，对教学内容、教学步骤、教学⽅法等进⾏的具体设计和安排的⼀种实⽤性教学⽂书。

©⽆忧考⽹准备了以下内容，供⼤家参考!篇⼀：应⽤⼆元⼀次⽅程组——鸡兔同笼 教学⽬标： 知识与技能⽬标： 通过对实际问题的分析，使学⽣进⼀步体会⽅程组是刻画现实世界的有效数学模型，初步掌握列⼆元⼀次⽅程组解应⽤题．初步体会解⼆元⼀次⽅程组的基本思想“消元”。

培养学⽣列⽅程组解决实际问题的意识，增强学⽣的数学应⽤能⼒。

过程与⽅法⽬标： 经历和体验列⽅程组解决实际问题的过程，进⼀步体会⽅程（组）是刻画现实世界的有效数学模型。

情感态度与价值观⽬标： 1.进⼀步丰富学⽣数学学习的成功体验，激发学⽣对数学学习的好奇⼼，进⼀步形成积极参与数学活动、主动与他⼈合作交流的意识. 2．通过"鸡兔同笼"，把同学们带⼊古代的数学问题情景，学⽣体会到数学中的"趣"；进⼀步强调课堂与⽣活的联系，突出显⽰数学教学的实际价值，培养学⽣的⼈⽂精神。

重点： 经历和体验列⽅程组解决实际问题的过程；增强学⽣的数学应⽤能⼒。

难点： 确⽴等量关系，列出正确的⼆元⼀次⽅程组。

教学流程： 课前回顾 复习：列⼀元⼀次⽅程解应⽤题的⼀般步骤 情境引⼊ 探究1：今有鸡兔同笼， 上有三⼗五头， 下有九⼗四⾜， 问鸡兔各⼏何？ “雉兔同笼”题：今有雉（鸡）兔同笼，上有35头，下有94⾜，问雉兔各⼏何？ （1）画图法 ⽤表⽰头，先画35个头 将所有头都看作鸡的，⽤表⽰腿，画出了70只腿 还剩24只腿，在每个头上在加两只腿，共12个头加了两只腿 四条腿的是兔⼦(12只），两条腿的是鸡（23只） （2）⼀元⼀次⽅程法： 鸡头＋兔头＝35 鸡脚＋兔脚＝94 设鸡有x只，则兔有(35－x)只，据题意得： 2x＋4（35－x）＝94 ⽐算术法容易理解 想⼀想：那我们能不能⽤更简单的⽅法来解决这些问题呢？ 回顾上节课学习过的⼆元⼀次⽅程，能不能解决这⼀问题? （3）⼆元⼀次⽅程法 今有鸡兔同笼，上有三⼗五头，下有九⼗四⾜，问鸡兔各⼏何？ （1）上有三⼗五头的意思是鸡、兔共有头35个， 下有九⼗四⾜的意思是鸡、兔共有脚94只. （2）如设鸡有x只，兔有y只，那么鸡兔共有（x+y）只； 鸡⾜有2x只；兔⾜有4y只. 解：设笼中有鸡x只，有兔y只，由题意可得： 鸡兔合计头xy35⾜2x4y94 解此⽅程组得： 练习1: 1.设甲数为x，⼄数为y，则“甲数的⼆倍与⼄数的⼀半的和是15”，列出⽅程为_2x+05y=15 2.⼩刚有5⾓硬币和1元硬币各若⼲枚，币值共有六元五⾓，设5⾓有x枚，1元有y枚，列出⽅程为05x+y=65. 三、合作探究 探究2：以绳测井。

第九讲：二元一次方程组（一）一、 二元一次方程（组）的概念和解的意义1、已知方程：①2x+1y=3；②5xy-1=0；③x 2+y=2；④3x-y+z=0；⑤2x-y=3；⑥x+3=5，•其中是二元一次方程的有___ ___．（填序号即可）2、已知方程223(26)(2)0m n m x n y ---+-=是关于x 、y 的二元一次方程，则m ＝___，n ＝_ ___ _. 3、下列方程组中，属于二元一次方程组的是[ ] A 、⎩⎨⎧==+725xy y x B 、⎪⎩⎪⎨⎧=-=+043112y x y x C 、⎪⎩⎪⎨⎧=+=343453y x y x D 、⎩⎨⎧=+=-12382y x y x 4、已知x,y 的值：①22x y =⎧⎨=⎩ ②32x y =⎧⎨=⎩ ③32x y =-⎧⎨=-⎩ ④66x y =⎧⎨=⎩其中是二元一次方程2x-y=4的解的是( )A 、①B 、②C 、③D 、④5、若关于x 的二元一次方程kx+3y=5有一组解是21x y =⎧⎨=⎩，则k 的值是( ) A. 1 B. -1 C. 0 D. 26、方程组25,1x y x y -=⎧⎨+=⎩的解是( )A. 31x y =⎧⎨=⎩B. 01x y =⎧⎨=⎩C. 21x y =-⎧⎨=⎩D. 21x y =⎧⎨=-⎩7、已知12x y =⎧⎨=-⎩是关于x,y 的二元一次方程组2635ax y x by -=⎧⎨-=-⎩的解，求a,b 的值.二、解二元一次方程组 基本思路：消元 解法：代入消元法和加减消元法1、已知方程8x-7y=10，用含x 的式子表示y ，则y= ____.用含y 的式子表示x,则x= _2、代人法消元法概念：由二元一次方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法，简称代入法.例1 用代入法解方程组x－y＝3 ①3x－8y＝14 ②解后反思：(1)(2)为什么能代？(3）只求出一个未知数的值，方程组解完了吗？(4)把已求出的未知数的值，代入哪个方程来求另一个未知数的值较简便？(5)怎样知道你运算的结果是否正确呢？练习1.用代入法解二元一次方程组：(1)1,325;y xx y=-⎧⎨+=⎩（2）53220x yx y-=⎧⎨+=⎩(3)22240x yx y+=⎧⎨+=⎩练习.用代入法解二元一次方程组：(1)2332x yx y-=⎧⎨+=⎩(2)362318x yx y-=⎧⎨+=⎩3、通过变形将两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。