向量运算习题课

第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1．1空间向量及其线性运算例1如图1.1-9，已知平行四边形ABCD ，过平面AC 外一点O 作射线OA ，OB ，OC ，OD ，在四条射线上分别取点E ，F ，G ，H ，使OE OF OG OH k OA OB OC OD====．求证：E ，F ，G ，H 四点共面．图1.1-9分析：欲证E ，F ，G ，H 四点共面，只需证明EH ，EF ，EG uuu r 共面．而由已知AD ，AB ，AC 共面，可以利用向量运算由AD ，AB ，AC共面的表达式推得EH ，EF ，EG uuu r 共面的表达式．证明：因为OE OF OG OH k OA OB OC OD====．所以OE kOA = ，OF kOB = ，OG kOC = ，OH kOD = ．因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AC AB AD =+ ．因此EG OG OE kOC kOA k AC =-=-=()()k AB AD k OB OA OD OA =+=-+- OF OE OH OE EF EH=-+-=+ 由向量共面的充要条件可知，EH ，EF ，EG uuu r 共面，又EH ，EF ，EG uuu r 过同一点E ，从而E ，F ，G ，H 四点共面．练习1.举出一些表示三个不同在一个平面内的向量的实例．【答案】实例见解析；【解析】【分析】在空间几何体中，从一点出发的不同面的向量即可.【详解】在三棱锥P ABC -中，PA →，PB →，PC →不同在一个平面内；长方体ABCD A B C D ''''-中，从一个顶点A 引出的三个向量AB →，AD →，AA →'不同在一个平面内.2.如图，E ，F 分别是长方体ABCD A B C D ''''-的棱AB ，CD 的中点、化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量：（1）AA CB '- ；（2）AA AB BC '++ ；（3）AB AD B D ''-+ ；（4）AB CF + ．【答案】（1）AD ' ；（2）AC ' ；（3）0 ；（4）A E【解析】【分析】根据空间向量加减运算的运算法则计算即可.【详解】（1）AA CB AA BC AA A D AD ''''''-=+=+= ；（2）AA AB B C AA A B B C AC '''''''++=++''= ；（3）0AB AD B D AB AD BD DB BD -+=-+=+''= ；（4）AB CF AB BE AE +=+= .3.在图中，用AB ，AD ，AA ' 表示A C ' ，BD ' 及DB ' ．【答案】A C AB AD AA =+'-' ；BD AA AD AB ''-=+ ；DB AA AB AD ''=+- .【解析】【分析】根据空间向量的加减运算法则可转化.【详解】()A C A A AC AA AB AD AB AD AA =+=-''++=-''+ ，()()BD BD DD BA BC DD AB AD AA AA AD AB =+=++=-++=+-''''' ，()()DB DB BB DA DC BB AD AB AA AA AB AD =+=++=-++''''=-'+ .4.如图，已知四面体ABCD ，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量；（1）AB BC CD ++ ；（2）()12AB BD BC ++ ；（3）()12AF AB AC -+ ．【答案】（1）AD ；（2）AF ；（3）EF【解析】【分析】根据空间向量的线性运算法则计算即可.【详解】（1）AB BC CD AC CD AD ++=+= ；（2）()12AB BD BC AB BF AF ++=+= ；（3）()12AF AB AC AF AE EF -+=-= .5.如图，已知正方体ABCD A B C D ''''-，E ，F 分别是上底面A C ''和侧面CD '的中心，求下列各式中x ，y 的值：（1）AC x AB BC CC →→→→⎛⎫''=++ ⎪⎝⎭（2）AE AA x AB y AD→→→→'=++（3）AF AD x AB y AA →→→→'=++【答案】（1）1x =；（2）12x y ==；（3）12x y ==.【解析】【分析】（1）化简+AC AB AD AA →→→→''=+即得解；（2）化简1()2AE AA AC →→→''=+即得解；（3）化简1122AF AD AC →→→'=+即得解.【详解】（1）+AC AB AD AA AB BC CC →→→→→→→'''=+=++，所以1x =；（2）1111111()()2222222AE AA AC AA AC AA AA AB AD AA AB AD →→→→→→→→→→→→'''''''=+=+=+++=++，所以12x y ==；（3）111111()222222AF AD AC AD AB AA AD AD AB AA →→→→→→→→→→'''=+=+++=++,所以12x y ==.1.1.2空间向量的数量积运算例2如图1.1-12，在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，5AB =，3AD =，7AA '=，60BAD ∠=︒，45BAA DAA ''∠-∠=︒．求：图1.1-12（1）AB AD ⋅ ；（2）AC '的长（精确到0.1）．解：（1）||||cos ,AB AD AB AD AB AD ⋅=〈〉，53cos 607.5=⨯⨯︒=；（2）()22AC AB AD AA ''=++ ()222||||2AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''=+++⋅+⋅+⋅ ()222537253cos 6057cos 4537cos 45=+++⨯⨯︒+⨯⨯︒+⨯⨯︒98=+，所以13.3AC '≈．例3如图1.1-13，m ，n 是平面α内的两条相交直线．如果l m ⊥，l n ⊥，求证：l α⊥．图1.1-13分析：要证明l α⊥，就是要证明l 垂直于α内的任意一条直线g （直线与平面垂直的定义）．如果我们能在g 和m ，n 之间建立某种联系，并由l m ⊥，l n ⊥，得到l g ⊥，那么就能解决此问题．证明：在平面α内作任意一条直线g ，分别在直线l ，m ，n ，g 上取非零向量l ，m ，n ，g ．因为直线m 与n 相交，所以向量m ，n 不平行．由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对(,)x y ，使g xm yn =+u r u r r ．将上式两边分别与向量l作数量积运算，得l g xl m yl n ⋅=⋅+⋅ ．因为0l m ⋅=r u r ，0l n ⋅=r r （为什么？），所以0l g ⋅=r u r．所以l g ⊥．这就证明了直线l 垂直于平面α内的任意一条直线，所以l α⊥．练习6.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，若1AB =，则1AB 与1BC 所成角的大小为（）A.60︒B.90︒C.105︒D.75︒【答案】B【解析】【分析】取向量1,,BA BC BB 为空间向量的一组基底向量，表示出1AB 与1 BC ，再借助空间向量运算即可计算作答.【详解】在正三棱柱111ABC A B C -中，向量1,,BA BC BB 不共面，11AB BB BA =- ，11BC BC BB =+ ，令1||BB a = ，则||||BA BC == ，而1BB BA ⊥ ，1BC BB ⊥ ，于是得11112111()()AB BC BB BA BC BB BB BC BB BA BC BA BB ⋅=-⋅+=⋅+-⋅-⋅ 2cos 600a =-=，因此，11AB BC ⊥ ，所以1AB 与1BC 所成角的大小为90︒.故选：B7.如图，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，设AB a = ，AD b = ，AA c '= ，求：（1）()a b c ⋅+ ；（2）()a a b c ⋅++ ；（3）()()a b b c ⋅++ ．【答案】（1）0；（2）1；（3）1【解析】【分析】在正方体中，根据线线关系，结合空间向量运算法则对每个小题进行运算即可.【详解】（1）在正方体中，AB AA ⊥'，AB AD⊥故()0a b c a b a c →→→→→→→⋅+=⋅+⋅=（2）由（1）知，()()1a abc a a a b c →→→→→→→→→⋅++=⋅+⋅+=（3）由（1）及AD AA '⊥知，2()()()1a b b c a b c b b c →→→→→→→→→→++=⋅+++⋅=8.如图，在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，4AB =，3AD =，5AA '=，90BAD ∠=︒，BAA '∠=60DAA '∠=︒．求：（1）AA AB '⋅ ；（2）AB '的长；（3）AC '的长．【答案】（1）10；（261；（385【解析】【分析】（1）根据数量积的定义即可计算；（2）由AB AA A B ''''=+ 平方即可求解；（3）由A AB AD A C A =+'+'即可求解.【详解】（1）1cos 6054102AA AB AA AB ''⋅=⋅⋅=⨯⨯= ；（2）AB AA A B ''''=+ ，()()222222252101661AB AA A B AA AB AA AA AB AB '''''''∴=+=+=+⋅+=+⨯+= ，61AB '= AB '61；（3） AC AC CC AB AD AA '''=+=++ ，()()222222AC AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''''∴=++=+++⋅+⋅+⋅ 11169252054358522⎛⎫=++++⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭，85AC '∴= AC '85.9.如图，线段AB ，BD 在平面α内，BD AB ⊥，AC α⊥，且AB a =，BD b =，AC c =．求C ，D 两点间的距离．222a b c ++【解析】【分析】连接AD ，可得222AD a b =+，根据AC AD ⊥可求.【详解】连接AD ，BD AB ⊥ ，22222AD AB BD a b ∴=+=+，AC α⊥，AD α⊂，AC AD ∴⊥，222222CD AD AC a b c ∴=+=++，222CD a b c ∴=++即C ，D 222a b c ++.习题1.1复习巩固10.如图，在长方体ABCD A B C D ''''-中，E 、F 分别为棱AA '、AB 的中点．（1）写出与向量BC 相等的向量；（2）写出与向量BC 相反的向量；（3）写出与向量EF 平行的向量．【答案】（1）,,AD A D B C '''' ；（2）,,,DA CB C B D A '''' ；（3）,,,,D C CD A B BA FE'''' 【解析】【分析】（1）由相等向量的定义可判断；（2）由相反向量的定义可判断；（3）由平行向量的定义可判断.【详解】（1）由相等向量的定义知，大小相等，方向相同的两个向量为相等向量，所以与向量BC 相等的向量为,,AD A D B C '''' ；（2）由相反向量的定义知，大小相等，方向相反的两个向量为相反向量，所以与向量BC 相反的向量为,,,DA CB C B D A '''' ；（3）由平行向量的定义知，方向相同或相反的两个向量为平行向量，所以与向量EF 平行的向量为,,,,D C CD A B BA FE '''' .11.如图，已知平行六面体ABCD A B C D ''''-，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量：（1）AB BC + ；（2）AB AD AA '++ ；（3）12AB AD CC '++ ；（4）()13AB AD AA '++ ．【答案】（1）AC →，向量如图所示；（2）AC →'，向量如图所示；（3）AE →，向量如图所示；（4）AF →，向量如图所示；【解析】【分析】根据平行六面体基本性质及空间向量基本运算化简每个小题即可.【详解】（1）AB BC AC →→→+=，向量如图所示；（2）在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，有AD BC →→=，AA CC →→''=，故AB AD AA AB BC CC AC →→→→→→→'''++=++=，向量如图所示；（3）由AD BC →→=知，取CC '的中点为E ，12AB AD CC AB BC CE AE →→→→→→→'++=++=，向量如图所示；（4）由（2）知，取AC '的三等分点F 点，1()3AB AD AA AF →→→→'++=，向量如图所示；12.证明：如果向量a ，b 共线，那么向量2a b + 与a共线．【答案】证明见解析【解析】【分析】由向量共线定理可证明.【详解】如果向量a ，b 共线，则存在唯一实数λ，使得b a λ= ，则()222a b a a a λλ+=+=+ ，所以向量2a b + 与a 共线.13.如图，已知四面体ABCD 的所有棱长都等于a ，E ，F ，G 分别是棱AB ，AD ，DC 的中点．求：（1）AB AC ⋅uu u r uuu r ；（2）AD DB ⋅ ；（3）GF AC ⋅ ；（4）EF BC ⋅uu u r uu u r ；（5）FG BA ⋅ ；（6）GE GF ⋅ ．【答案】（1）22a ；（2）22a -；（3）22a -；（4）24a ；（5）24a -；（6）24a 【解析】【分析】根据空间向量数量积的定义计算即可.【详解】 四面体ABCD 的所有棱长都等于a ，∴任意两条棱所在直线的夹角为3π， E ，F ，G 分别是棱AB ，AD ，DC 的中点，//,//,||||2a EF BD FG AC EF FG ∴==，（1）2cos 32a AB AC a a π⋅=⨯⨯= ；（2）22cos 32a AD DB a a π⋅=⨯⨯=- ；（3）2cos 22a a GF AC a π⋅=⨯⨯=- ；（4）//EF BD ，则直线BD 与直线BC 所成角就是直线EF 与直线BC 所成角，又3CBD π∠=，2cos 234a a EF BC a π⋅==∴⨯⨯ ；（5）//FG AC ，则直线AC 与直线AB 所成角就是直线FG 与直线BA 所成角，22cos 234a a FG BA a π⋅-∴=⨯⨯= ；（6）取BD 中点M ，连接AM ，CM ，则,AM BD CM BD ⊥⊥，AM CM M ⋂= ，BD ∴⊥平面ACM ，又AC ⊂平面ACM ，BD AC ∴⊥，//EF BD ，EF AC ∴⊥，又//AC FG ，EF FG ∴⊥，0EF FG ⋅= ，可知1122GF AC a ==，222()||024a a GE GF GF FE GF GF FE GF ⎛⎫⋅=+⋅=+⋅=+= ⎝⎭∴⎪ .综合运用14.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为M .设11111,,,=== A B a A D b A A c ，则下列向量中与1B M 相等的向量是（）A.1122a b c --+B.1122a b c -++C.1122a b c -+ D.1122a b c ++ 【答案】B【解析】【分析】根据1112=+=+B M B B BM c BD uuuu r uuu r uuu r r uu u r代入计算化简即可.【详解】()1111112222=+=+=++=-++B M B B BM c BD c BA BC a b c uuuu r uuu r uuu r r uu u r r uu r uu u r rr r 故选：B.15.已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，用向量法证明：E ，F ，G ，H 四点共面.【答案】证明见解析【解析】【分析】根据给定条件利用空间向量的线性运算，结合空间向量共面定理即可得解..【详解】如图，E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，12EH FG BD == ，于是得：EG EF FG EF EH =+=+ ，即,,EG EF EH 共面，它们有公共点E ，所以E ，F ，G ，H 四点共面.16.如图，正方体ABCD A B C D ''''-（1）求A B '和B C '的夹角；（2）求证A A B C ''⊥．【答案】（1）3π；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）联结CD '，B D ''，则A B CD '' ，A B '和B C '的夹角即CD '和B C '的夹角B CD ''∠，由B D CD B C ''''==知，B CD ''△是等边三角形，故A B '和B C '的夹角为3π.（2）联结AB '，则AB A B ''⊥，又B C ''⊥平面ABB A ''，B C A B '''⊥，从而有A B '⊥平面AB C ''，从而证得A A B C ''⊥.【详解】（1）联结CD '，B D ''，则A B CD '' ，A B '和B C '的夹角即CD '和B C '的夹角B CD ''∠，在正方体中，设棱长为a ，则B D CD B C ''''===，则B CD ''△是等边三角形，即3B CD π''∠=故A B '和B C '的夹角为3π（2）联结AB '，则AB A B ''⊥，又B C ''⊥平面ABB A ''，A B '⊂平面ABB A ''，则B C A B '''⊥，又B C AB B ''''⋂=故A B '⊥平面AB C ''，又AC '⊂平面AB C ''，所以A A B C ''⊥17.用向量方法证明：在平面内的一条直线，如果与这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也与这条直线垂直（三垂线）【答案】证明见解析；【解析】【分析】根据向量运算法则，数量积为0即可证得垂直.【详解】如图所示，在平面α内，OB →是OA →在面内的投影向量，则BA CD →→⊥，由题知，CD OB →→⊥，则()0CD OA CD OB BA CD OB CD BA →→→→→→→→→⋅=⋅+=⋅+⋅=，故CD OA →→⊥，所以CD OA ⊥，即证得结论.拓广探索18.如图，空间四边形OABC 中，,OA BC OB AC ⊥⊥.求证：OC AB ⊥.【答案】证明见解析【解析】【详解】试题分析：利用三个不共面的向量OA OB OC ，，作为基底，利用空间向量的数量积为0，证明向量垂直，即线线垂直.试题解析：∵OA BC ⊥，∴OA OB ⊥ .∵0OA OB ⋅= ，∴()0⋅-= OA OC OB .∴0⋅-=⋅ OA OC OA OB （1）同理:由OB AC ⊥得0⋅-=⋅ OC OB OA OB （2）由（1）－（2）得0⋅-=⋅ OA OC OC OB∴()0⋅=- OA OB OC ，∴0OC BA ⋅= ，∴OC BA ⊥u u u r u u u r，∴OC AB ⊥.19.如图，在四面体OABC 中，OA OB =，CA CB =，E ，F ，G ，H 分别是OA ，OB ，BC ，CA 的中点．求证：四边形EFGH 是矩形．【答案】证明见解析；【解析】【分析】取AB 的中点D ，联结OD ，CD ，证得AB ⊥平面ODC ，AB OC ⊥，从而有EH EF ⊥；又E ，F ，G ，H 分别是OA ，OB ，BC ，CA 的中点．从而有EF GH =，结合EH EF ⊥，证得四边形EFGH 是矩形．【详解】取AB 的中点D ，联结OD ，CD ，由OA OB =，CA CB =知，⊥OD AB ，CD AB ⊥，又OD CD D ⋂=，故AB ⊥平面ODC ，又OC ⊂平面ODC ，因此AB OC⊥又E ，F ，G ，H 分别是OA ，OB ，BC ，CA 的中点．则EF AD = ，GH AD =，故EF GH=，四边形EFGH是平行四边形同理EH GF=，且EH OC，又AB OC⊥所以EH EF⊥，四边形EFGH是矩形。

习题课 平面的法向量课时对点练1．直线l 的方向向量s ＝(－1，1，1)，平面α的一个法向量为n ＝(2，x 2＋x ，－x )，若直线l ∥α，则x 的值为( )A ．－2B ．－ 2 C. 2 D ．±2答案 D解析 由题意知，－1×2＋1×(x 2＋x )＋1×(－x )＝0，解得x ＝±2.2．已知点A (0，1，0)，B (－1，0，－1)，C (2，1，1)，P (x ，0，z )，若P A ⊥平面ABC ，则点P 的坐标为( )A ．(1，0，－2)B ．(1，0，2)C ．(－1，0，2)D ．(2，0，－1)答案 C解析 由题意知AB →＝(－1，－1，－1)，AC →＝(2，0，1)，AP →＝(x ，－1，z )，又P A ⊥平面ABC ，所以AB →·AP →＝(－1，－1，－1)·(x ，－1，z )＝0，得－x ＋1－z ＝0.①AC →·AP →＝(2，0，1)·(x ，－1，z )＝0，得2x ＋z ＝0，②联立①②得x ＝－1，z ＝2，故点P 的坐标为(－1，0，2)．3．已知平面α的法向量是(2，3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是( )A ．－103B ．6C ．－6D ．103答案 B解析 ∵α∥β，∴α的法向量与β的法向量也互相平行．∴24＝3λ＝－1－2(λ≠0)，∴λ＝6. 4．若平面α，β的法向量分别为u ＝(2，－3，5)，v ＝(－3，1，－4)，则( )A ．α∥βB ．α⊥βC ．α，β相交但不垂直D ．以上均不正确答案 C 5．(多选)若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，且α⊥β，n 1＝(1，2，x )，n 2＝(x ，x ＋1，x )，则x 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2答案 CD解析 由题意可知，n 1·n 2＝(1，2，x )·(x ，x ＋1，x )＝x ＋2x ＋2＋x 2＝x 2＋3x ＋2＝0，解得x ＝－1或x ＝－2.6．(多选)已知v 为直线l 的方向向量，n 1，n 2分别为平面α，β的法向量(α，β不重合)，那么下列说法中正确的有( )A ．n 1∥n 2⇔α∥βB ．n 1⊥n 2⇔α⊥βC ．v ∥n 1⇔l ∥αD ．v ⊥n 1⇔l ⊥α答案 AB解析 ∵平面α，β不重合，∴平面α，β的法向量平行等价于平面α，β 平行，∴A 正确；易知B 正确；当v ∥n 1时，l ⊥α，故C 错误；当v ⊥n 1时，l ∥α或l ⊂α，故D 错误．7．若平面α的一个法向量为v 1＝(－3，y ，2)，平面β的一个法向量为v 2＝(6，－2，z )，且α∥β，则y ＋z ＝________.答案 －3解析 因为α∥β，所以v 1∥v 2， 所以－36＝y －2＝2z， 所以y ＝1，z ＝－4，所以y ＋z ＝－3.8．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，CD 的中点．则平面AED 与A 1FD 1的位置关系是________．答案 垂直解析 如图，以点D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .设正方体的棱长为2，则D (0，0，0)，A (2，0，0)，E (2，2，1)，F (0，1，0)，A 1(2，0，2)，D 1(0，0，2)，∴DA →＝D 1A 1—→＝(2，0，0)，DE →＝(2，2，1)，D 1F —→＝(0，1，－2)．设平面AED 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·DA →＝0，n 1·DE →＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＝0，2x 1＋2y 1＋z 1＝0. 令y 1＝1，得n 1＝(0，1，－2)．同理，平面A 1FD 1的法向量为n 2＝(0，2，1)．∵n 1·n 2＝(0，1，－2)·(0，2，1)＝0，∴n 1⊥n 2，∴平面AED ⊥平面A 1FD 1.9．如图所示，△ABC 是一个正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE ＝CA ＝2BD ，M 是EA 的中点．求证：平面DEA ⊥平面ECA .证明 以C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz ，不妨设CA ＝2，则CE ＝2，BD ＝1，C (0，0，0)，A (3，1，0)，E (0，0，2)，D (0，2，1)．所以EA →＝(3，1，－2)，CE →＝(0，0，2)，ED →＝(0，2，－1)．分别设平面CEA 与平面DEA 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·EA →＝0，n 1·CE →＝0，即⎩⎨⎧ 3x 1＋y 1－2z 1＝0，2z 1＝0，解得⎩⎨⎧ y 1＝－3x 1，z 1＝0. ⎩⎪⎨⎪⎧ n 2·EA →＝0，n 2·ED →＝0，即⎩⎨⎧ 3x 2＋y 2－2z 2＝0，2y 2－z 2＝0，解得⎩⎨⎧x 2＝3y 2，z 2＝2y 2. 不妨取n 1＝(1，－3，0)，n 2＝(3，1，2)，因为n 1·n 2＝0，所以两个法向量相互垂直，所以平面DEA ⊥平面ECA .10．如图所示，平面P AD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E ，F ，G 分别是线段P A ，PD ，CD 的中点．求证：(1)PB ∥平面EFG ；(2)平面EFG ∥平面PBC .证明 (1)因为平面P AD ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为正方形，所以AB ，AP ，AD 两两垂直．以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)，E (0，0，1)，F (0，1，1)，G (1，2，0)．方法一 EF →＝(0，1，0)，EG →＝(1，2，－1)，设平面EFG 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·EF →＝0，n ·EG →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x ＋2y －z ＝0， 令z ＝1，则n ＝(1，0，1)为平面EFG 的一个法向量，∵PB →＝(2，0，－2)，∴PB →·n ＝0，∴n ⊥PB →，∵PB ⊄平面EFG ，∴PB ∥平面EFG .方法二 PB →＝(2，0，－2)，FE →＝(0，－1，0)，FG →＝(1，1，－1)．设PB →＝sFE →＋tFG →，即(2，0，－2)＝s (0，－1，0)＋t (1，1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ t ＝2，t －s ＝0，－t ＝－2，解得s ＝t ＝2.∴PB →＝2FE →＋2FG →，又FE →与FG →不共线，∴PB →，FE →与FG →共面．∵PB ⊄平面EFG ，∴PB ∥平面EFG .(2)由(1)知，EF →＝(0，1，0)，BC →＝(0，2，0)，∴BC →＝2EF →，∴BC ∥EF .又EF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，∴EF ∥平面PBC ，同理可证GF ∥PC ，从而得出GF ∥平面PBC .又EF ∩GF ＝F ，EF ⊂平面EFG ，GF ⊂平面EFG ，∴平面EFG ∥平面PBC .11．在三棱锥S －ABC 中，∠SAB ＝∠SAC ＝∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝13，SB ＝29，则直线SC 与BC 所成的角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°答案 D解析 如图，以A 为坐标原点，AC ，AS 所在直线分别为y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Axyz ，则由AC ＝2，BC ＝13，SB ＝29，得B (－13，2，0)，S (0，0，23)，C (0，2，0)，SC →＝(0，2，－23)，CB →＝(－13，0，0)．∵SC →·CB →＝0，∴SC ⊥BC .∴SC 与BC 所成的角为90°.12．已知平面α内两向量a ＝(1，1，1)，b ＝(0，2，－1)且c ＝m a ＋n b ＋(4，－4，1)．若c 为平面α的法向量，则m ，n 的值分别为( )A ．－1，2B ．1，－2C ．1，2D ．－1，－2答案 A解析 c ＝m a ＋n b ＋(4，－4，1)＝(m ，m ，m )＋(0，2n ，－n )＋(4，－4，1)＝(m ＋4，m ＋2n －4，m －n ＋1)，由c 为平面α的法向量，得⎩⎪⎨⎪⎧ c ·a ＝0，c ·b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝2. 13．已知平面α内的三点A (0，0，1)，B (0，1，0)，C (1，0，0)，平面β的一个法向量为n ＝(－1，－1，－1)，且β与α不重合，则( )A ．α∥βB ．α⊥βC ．α与β相交但不垂直D ．以上都不对答案 A解析 AB →＝(0，1，－1)，AC →＝(1，0，－1)，易知A ，B ，C 三点不共线，n ·AB →＝－1×0＋(－1)×1＋(－1)×(－1)＝0，n ·AC →＝－1×1－1×0＋(－1)×(－1)＝0，∴n ⊥AB →，n ⊥AC →，∴n 也为α的一个法向量．又α与β不重合，∴α∥β.14．如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是边长为1的正方形，PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝1，若E ，F 分别为PB ，AD 的中点，则直线EF 与平面PBC 的位置关系是________．答案 垂直解析 以D 为原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(图略)， P (0，0，1)，B (1，1，0)，A (1，0，0)，C (0，1，0)，则E ⎝⎛⎭⎫12，12，12，F ⎝⎛⎭⎫12，0，0， ∴EF →＝⎝⎛⎭⎫0，－12，－12，平面PBC 的一个法向量为n ＝(0，1，1)． ∵EF →＝－12n ，∴EF →∥n ，∴EF ⊥平面PBC .15．若正三棱锥P －ABC 侧面互相垂直，则棱锥的高与底面边长之比为________． 答案 1∶ 6 解析 设高为h ，底面边长为1，O 为△ABC 的中心，以O 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则P (0，0，h )，A ⎝⎛⎭⎫33，0，0，B ⎝⎛⎭⎫－36，12，0，C ⎝⎛⎭⎫－36，－12，0， P A →＝⎝⎛⎭⎫33，0，－h ，PB →＝⎝⎛⎭⎫－36，12，－h ，PC →＝⎝⎛⎭⎫－36，－12，－h ， 得平面P AB 的法向量n 1＝⎝⎛⎭⎫3，3，1h ， 平面P AC 的法向量n 2＝⎝⎛⎭⎫3，－3，1h ， 由平面P AB ⊥平面P AC ，知n 1⊥n 2，即n 1·n 2＝0，得3－9＋1h2＝0， 解得h ＝66， 故高与底面边长之比为66∶1＝6∶6＝1∶ 6. 16．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1上的动点．(1)求证：A 1E ⊥BD ；(2)若平面A 1BD ⊥平面EBD ，试确定E 点的位置．(1)证明 以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系如图所示．设正方体棱长为a ，则B (a ，a ，0)，D (0，0，0)，A 1(a ，0，a )．设E (0，a ，e )(0≤e ≤a )．A 1E —→＝(－a ，a ，e －a )，BD →＝(－a ，－a ，0)，A 1E —→·BD →＝a 2－a 2＋(e －a )·0＝0，所以A 1E —→⊥BD →，即A 1E ⊥BD .(2)解 设平面A 1BD ，平面EBD 的法向量分别为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)．因为DB →＝(a ，a ，0)，DA 1→＝(a ，0，a )，DE →＝(0，a ，e )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ ax 1＋ay 1＝0，ax 1＋az 1＝0，⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋ay 2＝0，ay 2＋ez 2＝0. 取x 1＝x 2＝1，得n 1＝(1，－1，－1)，n 2＝⎝⎛⎭⎫1，－1，a e . 由平面A 1BD ⊥平面EBD ，得n 1⊥n 2.所以2－a e ＝0，即e ＝a 2， 所以当E 为CC 1的中点时，平面A 1BD ⊥平面EBD .。

平面向量习题课1．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB 平行的单位向量为________． 解：AB ＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量e ＝AB |AB |＝15(3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.答案：34,55⎛⎫± ⎪⎝⎭2．P ＝{a |a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于________． 解：P 中，a ＝(－1＋m,1＋2m )，Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n )．则⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n .得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝－7. 此时a ＝b ＝(－13，－23)． 答案：{}(－13，－23)3．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC 2＝16，|AB ＋AC |＝|AB －AC |，则|AM |＝________.解：由|AB ＋AC |＝|AB －AC |可知，AB ⊥AC ，则AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线， 因此，|AM |＝12|BC |＝2. 答案：24．已知a ，b 是非零向量，且a ，b 的夹角为π3，若向量p ＝a |a |＋b|b |，则|p |＝________.解：a |a |和b|b |分别表示与a ，b 同向的单位向量，所以长度均为1.又二者的夹角为π3，故|p |＝ 1＋1＋2×1×1×cos π3＝ 3.答案： 35．设O 是△ABC 内部一点，且OA ＋OC ＝－2OB ，则△AOB 与△AOC 的面积之比为________．解：设M 为边AC 的中点．因为OA ＋OC ＝－2OB ，所以点O 是△ABC 的中线BM 的中点，从而所求面积之比为1∶2. 答案：1∶2EX ：设D ，P 为△ABC 内的两点，且满足AD ＝14(AB ＋AC )，AP ＝AD ＋15BC ，则S △APD S △ABC＝_____. 解：设E 为边BC 的中点．由AD ＝14(AB ＋AC )可知，点D 在△ABC 的中线AE 上，且AD ＝12AE ，由AP ＝AD ＋15BC ，得DP ＝15BC ，利用平面几何知识知S△APD S△ABC＝12×15＝110.答案：1106．点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足AM ＝34AB ＋14AC ，则△ABM 与△ABC 的面积之比为________．解：分别在AB ，AC 上取点E ，F ，使得AE ＝34AB ，AF ＝14AC ，在BC 上取点G ，使BG ＝14BC ， 则EG ∥AC ，FG ∥AE ，∴AG ＝AE ＋AF ＝AM ，∴M 与G 重合，∴S △ABM S△ABC＝BM BC ＝14.7．若点G 为△ABC 的重心，且AG ⊥BG ，则sin C 的最大值为________． 解：记CA ＝b ，CB ＝a ，则AB ＝a －b ，从而AG ＝13(a －2b )，BG ＝13(b －2a )．因为AG ⊥BG ，所以(a －2b )(b －2a )＝0，即2b 2－5b ·a ＋2a 2＝0，所以cos C ＝2b 2＋2a25|b |·|a |≥45，故当|b |＝|a |时，cos C 有最小值45，此时sin C 有最大值35. 答案：358．已知点P 在△ABC 所在的平面内，若2PA ＋3PB ＋4PC ＝3AB ，则△P AB 与△PBC 的面积的比值为________． 解：因为2PA ＋3PB ＋4PC ＝3AB ，所以2PA ＋3PB ＋4PC ＝3PB －3PA ， 即5PA ＋4PC ＝0，所以△P AB 与△PBC 的面积的比为P A ∶PC ＝4∶5.答案：459．如图，在△ABC 中，BO 为边AC 上的中线，BG ＝2GO ，若CD ∥AG ，且AD＝15AB ＋λAC (λ∈R )，则实数λ的值为________．解：法一：因为AG ＝AB ＋BG ＝AB ＋23BO ＝AB ＋23(AO －AB )＝13AB ＋23AO ＝13AB ＋13AC ，CD ＝AD －AC ＝15AB ＋(λ－1)AC ，又因为CD ∥AG ，所以λ－1＝15，即λ＝65.法二：不妨设CD ＝m AG ，则有AD ＝AC ＋CD ＝AC ＋m AG ＝AC ＋m (AO ＋OG )＝AC ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 AC ＋13 OB ＝AC ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC －13 BO ＝AC ＋m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12AC －13·12( BA ＋BC ) ＝AC ＋m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12AC －13·12(BA ＋AC －AB ) ＝m ＋33AC ＋m3AB .又AD ＝15AB ＋λAC ，所以m 3＝15，从而m ＝35，所以λ＝m ＋33＝65. 答案：6510．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且3a BC ＋4b CA ＋5c AB ＝0，则a ∶b ∶c ＝________________. 解：在△ABC 中有BC ＋CA ＋AB ＝0，又3a BC ＋4b CA ＋5c AB ＝0，消去AB 得 (3a －5c )BC ＋(4b －5c )CA ＝0，从而3a －5c ＝0,4b －5c ＝0， 故a ∶b ∶c ＝20∶15∶12. 答案：20∶15∶1211．设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b . 解：由题意，设e 1＋e 2＝m a ＋n b .因为a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2， 所以e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2) ＝(m －n )e 1＋(2m ＋n )e 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝23，n ＝－13.答案：23 －1312．如图，在等腰三角形ABC 中，已知AB ＝AC ＝1，A ＝120°，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，且AE ＝m AB ，AF ＝n AC ，其中m ，n ∈(0,1)．若EF ，BC 的中点分别为M ，N ，且m ＋4n ＝1，则|MN |的最小值为________． 解：法一：由于M ，N 是EF ，BC 的中点，AE ＝m AB ，AF ＝n AC ，m ＋4n ＝1，所以AN ＝12AB ＋12AC ，AM ＝12AE ＋12AF ＝m 2AB ＋n 2AC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2n AB ＋n 2AC ，所以MN ＝AN －AM ＝2n AB ＋1－n 2AC .而AB ·AC ＝1×1×cos 120°＝－12，所以||MN ＝1221n 2－6n ＋1，显然当n ＝321时，||MN min ＝77.法二：以点N 为坐标原点，直线BC 为x 轴，直线NA 为y 轴建立平面直角坐标系，由AB ＝AC ＝1，A ＝120°，得N (0,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，所以AF ＝n AC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ，－12n ，AE ＝m AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32m ，－12m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －32，2n －12(由于m ＋4n ＝1)，从而点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －32，2n ，点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ，－12n ＋12，线段EF 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫534n －34，34n ＋14，所以||MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫534n －342＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34n ＋142＝1221n 2－6n ＋1，显然当n ＝321时，||MN min ＝77.13．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．设BA ＝a ，BC ＝b ，试用a ，b 为基底表示向量EF ，DF ，CD .解EF ＝EA ＋AB ＋BF ＝－16b －a ＋12b ＝13b －a ，DF ＝DE ＋EF ＝－16b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13b －a ＝16b －a ，CD ＝CF ＋FD ＝－12b －⎝ ⎛⎭⎪⎫16b －a ＝a －23b .14．已知a ，b 不共线，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，OD ＝d ，OE ＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．解：由题设知，CD ＝d －c ＝2b －3a ，CE ＝e －c ＝(t －3)a ＋t b .C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE ＝k CD ，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解之得t ＝65.故存在实数t＝65使C，D，E三点在一条直线上．15．已知向量a＝(cos λθ，cos(10－λ)θ)，b＝(sin(10－λ)θ，sin λθ)，λ，θ∈R.(1)求|a|2＋|b|2的值；(2)若a⊥b，求θ；(3)若θ＝π20，求证：a∥b.解：(1)因为|a|＝cos2(λθ)＋cos2[(10－λ)θ]，|b|＝sin2[(10－λ)θ]＋sin2(λθ)，所以|a|2＋|b|2＝2.(2)因为a⊥b，所以cos λθ·sin(10－λ)θ＋cos(10－λ)θ·sin λθ＝0. 所以sin[(10－λ)θ＋λθ]＝0，所以sin 10θ＝0，所以10θ＝kπ，k∈Z，所以θ＝kπ10，k∈Z.(3)证明：因为θ＝π20，所以cos λθ·sin λθ－cos(10－λ)θ·sin(10－λ)θ＝cos λπ20·sinλπ20－cos⎝⎛⎭⎪⎫π2－λπ20·sin⎝⎛⎭⎪⎫π2－λπ20＝cos λπ20·sinλπ20－sinλπ20·cosλπ20＝0，所以a∥b.16．如图，在边长为1的正三角形ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，若AE＝m AB，AF＝n AC，其中m，n∈(0,1)．设EF的中点为M，BC的中点为N.(1)若A，M，N三点共线，求证：m＝n；(2)若m ＋n ＝1，求|MN |的最小值．解：(1)证明：由A ，M ，N 三点共线，得AM ∥AN . 设AM ＝λAN (λ∈R )，即12(AE ＋AF )＝12λ(AB ＋AC )，所以m AB ＋n AC ＝λ(AB ＋AC )． 因为AB 与AC 不共线，所以m ＝n .(2)因为MN ＝AN －AM ＝12(AB ＋AC )－12(AE ＋AF )＝12(1－m )AB ＋12(1－n )AC ，又m ＋n ＝1，所以MN ＝12(1－m )AB ＋12m AC ，所以|MN |2＝14(1－m )22AB ＋14m 22AC ＋12(1－m )m ·AB ·AC ＝14(1－m )2＋14m 2＋14(1－m )m＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122＋316，故当m ＝12时，|MN |min ＝34.17．如图，半径为1，圆心角为3π2的圆弧AB 上有一点C .(1)若C 为圆弧AB 的中点，点D 在线段OA 上运动，求|OC ＋OD |的最小值；(2)若D ，E 分别为线段OA ，OB 的中点，当C 在圆弧AB 上运动时，求CE ·DE 的取值范围．解：以O 为原点，OA 为x 轴正方向，建立如图所示的直角坐标系．(1)设D (t,0)(0≤t ≤1)，又C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，所以OC ＋OD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋t ，22，所以|OC ＋OD |2＝12－2t ＋t 2＋12＝t 2－2t ＋1(0≤t ≤1)， 当t ＝22时，其最小值为12， 即|OC ＋OD |的最小值为22.(2)设OC ＝(cos α，sin α)⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤α≤3π2，因为D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12所以CE ＝OE －OC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12－(cos α，sin α)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos α，－12－sin α. DE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，故CE ·DE ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α＋12＋sin α＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋14. 因为π4≤α＋π4≤7π4，所以CE ·DE ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14－22，14＋22.18．如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心、AB 为半径的圆弧上的任意一点，设向量AC ＝λDE ＋μAP ，则λ＋μ的最小值为________．解：以A 为原点，如图建立直角坐标系，不妨设正方形ABCD 的边长为1，则AC ＝(1,1)，DE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1.设AP ＝(cos α，sin α)，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.由AC ＝λDE ＋μAP 得⎩⎨⎧1＝λ2＋μcos α，1＝－λ＋μsin α，所以μ＝32cos α＋sin α， 故λ＋μ＝μsin α－1＋μ＝3·1＋sin α2cos α＋sin α－1.设f (α)＝1＋sin α2cos α＋sin α，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f ′(α)＝2＋2sin α－cos α(2cos α＋sin α)2.因为f ′(α)＞0恒成立，故f (α)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调增函数．所以当α＝0时，f (α)min ＝f (0)＝12， 所以(λ＋μ)min ＝12.。