【江苏省南通市】2017年高考(数学学科基地命题)模拟数学试卷(三)-答案

江苏省南通、扬州、泰州2017届高三第三次模拟考试数学试题第Ⅰ卷（共70分）一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1.设复数错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

为虚数单位），若错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

的值是．2.已知集合错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

．3. 某人随机播放甲、乙、丙、丁错误！未找到引用源。

首歌曲中的错误！未找到引用源。

首，则甲、乙错误！未找到引用源。

首歌曲至少有错误！未找到引用源。

首被播放的概率是．4. 如图是一个算法流程图，则输出的错误！未找到引用源。

的值是．5.为调査某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为错误！未找到引用源。

的样本，其中大一年级抽取错误！未找到引用源。

人，大二年级抽取错误！未找到引用源。

人.若其他年级共有学生错误！未找到引用源。

人，则该校学生总人数是．6.设等差数列错误！未找到引用源。

的前错误！未找到引用源。

项和为错误！未找到引用源。

，若公差错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

的值是．7.在锐角错误！未找到引用源。

中，错误！未找到引用源。

，若错误！未找到引用源。

的面积为错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

的长是．8.在平面直角坐标系错误！未找到引用源。

中，若双曲线错误！未找到引用源。

经过抛物线错误！未找到引用源。

的焦点，则该双曲线的离心率是．9. 已知圆锥的侧面展开图是半径为错误！未找到引用源。

，圆心角为错误！未找到引用源。

的扇形，则这个圆锥的高为．10.若直线错误！未找到引用源。

为曲线错误！未找到引用源。

的一条切线，则实数错误！未找到引用源。

的值是．11.若正实数错误！未找到引用源。

满足错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

的最小值是．12.如图，在直角梯形错误！未找到引用源。

中，错误！未找到引用源。

南通市2017届高三第三次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．设复数iz a b=+（a b∈，R，i为虚数单位）．若(43i)iz=+，则ab的值是▲．【答案】12-2．已知集合{|0}U x x=>，={|2}A x x≥，则U Að=▲．【答案】{|02}x x<<3．某人随机播放甲、乙、丙、丁4首歌曲中的2首，则甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率是▲．【答案】564．右图是一个算法流程图，则输出的k的值是▲．【答案】35．为调查某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本．其中大一年级抽取200人，大二年级抽取100人．若其他年级共有学生3000人，则该校学生总人数是▲．【答案】75006．设等差数列{}n a的前n项和为n S．若公差2d=，510a=，则10S的值是▲．【答案】1107．在锐角△ABC中，3AB=，4AC=．若△ABC的面积为，则BC的长是▲．8．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线2221x ya-=（0a>）经过抛物线28y x=的焦点，则该双曲线的离心率是▲．（第4题）9． 已知圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为2π3的扇形，则这个圆锥的高为 ▲ ．【答案】10．若直线2y x b =+为曲线e x y x =+的一条切线，则实数b 的值是 ▲ ． 【答案】111．若正实数x y ，满足1x y +=，则4y x y+的最小值是 ▲ ． 【答案】812．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，90ABC ∠=︒，3AB =，2BC DC ==．若E F ，分别是线段DC 和BC 上的动点，则AC EF ⋅的取值范围是 ▲ ．【答案】[]46-，13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(02)A -，，点(11)B -，，P 为圆222x y +=上一动点， 则PB的最大值是 ▲ ． 【答案】214．已知函数3()3 .x x a f x x x x a ⎧=⎨-<⎩≥，，，若函数()2()g x f x ax =-恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 【答案】3(2)-，二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）已知函数()π()sin 3f x A x ω=+（00A ω>>，）图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，且经过点π(3．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若角α满足π()()12f αα-=，(0π)α∈，，求角α的值．（第12题）（第16题）BCDP M N【解】（1）由条件，周期2πT =，即2π2πω=，所以1ω=，即()π()sin 3f x A x =+． …… 3分因为()f x的图象经过点π(3，所以2πsin 3A 1A =，所以()π()sin 3f x x =+．…… 6分（2）由π()()12f αα-=，得()()πππsin 1332αα++-=，…… 8分 即()()ππsin 133αα++=，所以()ππ2sin 133α⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦，即1sin 2α=． …… 12分因为()0πα∈，，所以π6α=或5π6． …… 14分16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，平面P AD ⊥平面ABCD ，AP =AD ， M ，N 分别为棱PD ，PC 的中点． 求证：（1）MN ∥平面P AB ； （2）AM ⊥平面PCD ．【证】（1）因为M ，N 分别为棱PD ，PC 的中点， 所以MN ∥DC ， …… 2分又因为底面ABCD 是矩形，所以AB ∥DC ，所以MN ∥AB ． …… 4分 又AB ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ，所以MN ∥平面P AB ． …… 6分 （2）因为AP =AD ，M 为PD 的中点，所以AM ⊥PD ． …… 8分因为平面P AD ⊥平面ABCD ，（第17题）又平面P AD ∩平面ABCD = AD ，CD ⊥AD ，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面P AD ． …… 10分又AM ⊂平面P AD ，所以CD ⊥AM ． …… 12分 因为CD ，PD ⊂平面PCD ，CD PD D = ，所以AM ⊥平面PCD ． …… 14分17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的左焦点为(10)F -，，且经过点3(12，． （1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的弦AB 过点F ，且与x 轴不垂直．若D 为x 轴上的一点，DA DB =，求AB DF的值．【解】（1）方法一：由题意，得2222211914c a b a b c ⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎩，，，…… 3分解得2243.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆的标准方程为22143y x +=． (5)分方法二：由题意，知24a =，所以2a =． …… 2分 又1c =，222a b c =+，所以b =所以椭圆的标准方程为221y x +=． …… 5分（2）方法1：设直线AB 的方程为(1)y k x =+．① 若k =0时，AB =2a =4，FD =FO =1，所以4AB DF =； …… 6分② 若k ≠0时， 11()A x y ，，22()B x y ，，AB 的中点为00()M x y ，，代入椭圆方程，整理得2222(34)84120k x k x k +++-=，所以12x x == 所以202434k x k=-+， …… 8分所以0023(1)34k y k x k =+=+， 所以AB 的垂直平分线方程为()2223143434k k y x k k k -=-+++．因为DA =DB ，所以点D 为AB 的垂直平分线与x 轴的交点，所以22(0)34k D k -+，， 所以22223313434k k DF k k +=-+=++． …… 10分 因为椭圆的左准线的方程为4x =-，离心率为12，由1142AF x =+，得11(4)2AF x =+，同理21(4)2BF x =+．所以2120211212()44234k AB AF BF x x x k +=+=++=+=+． …… 12分 所以4AB DF=．综上，得AB DF的值为4． …… 14分方法2：设11()A x y ，，22()B x y ，，AB 的中点为00()M x y ，，① 若直线AB 与x 轴重合，4AB DF =； …… 6分② 若直线AB 不与x 轴重合，设11()A x y ，，22()B x y ，，AB 的中点为00()M x y ，， 由22112222144144x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，得22221212043x x y y --+=，所以120120()()043x x x y y y -⋅-⋅+=， 所以直线AB 的斜率为01212034x y y x x y -=--， …… 8分 所以AB 的垂直平分线方程为00004()3y y y x x x -=-． 因为DA =DB ，所以点D 为AB 的垂直平分线与x 轴的交点，所以0(0)x D ，，所以01x FD =+． …… 10分 同方法一，有04AB x =+， …… 12分所以4AB =． 综上，得AB DF的值为4． …… 14分方法3：① 若直线AB 与x 轴重合，4AB DF =． …… 6分② 若直线AB 不与x 轴重合，设11()A x y ，，22()B x y ，， 则AB 的中点为1212()22x x y y M ++，， 所以AB 的垂直平分线方程为12121212()22y y x x x xy x y y +-+-=---． 8分 令y =0，得221212122()2D y y x x x x x -+=+-22221212122()y y x x x x -+-=-2222121212113(1)3(1)442()x x x x x x -+-+-=-22121211442()x x x x -=-128x x +=．所以1218x x DF +=+． …… 10分 同方法一，有121()42AB x x =++， …… 12分所以4AB DF=．综上，得AB DF 的值为4． …… 14分18．（本小题满分16分）如图，半圆AOB 是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径OA 的长为1百米． 为了保护景点，基地管理部门从道路l 上选取一点C ，修建参观线路C -D -E -F ，且CD ， DE ，EF 均与半圆相切，四边形CDEF 是等腰梯形．设DE ＝t 百米，记修建每1百米参 观线路的费用为()f t 万元，经测算150()118 2.3t f t t t ⎧<⎪=⎨⎪-<<⎩，≤，（1）用t 表示线段EF 的长； （2）求修建该参观线路的最低费用．【解】设DE 与半圆相切于点Q ，则由四边形是等腰梯形知OQ l ⊥，DQ ＝QE ，以直线为x 轴，OQ 所在直线为y 所示的平面直角坐标系xOy ． （1）方法一：由题意得，点E 的坐标为(1)2t ，， 设直线EF 的方程为1()2t y k x -=-（0k <），即1102kx y tk -+-=．因为直线EF 与半圆相切，所以圆心O 到直线EF 1|1|21tk -=，解得244t k t =-． …… 3分 O（第18题）代入1()2t y k x -=-可得，点F 的坐标为1(0)4t t+，． …… 5分所以14t tEF =+， 即14EF t t =+（02t <<）． …… 7分 方法二：设EF 切圆O 于G ，连结过点E 作EH AB ⊥，垂足为H ． 因为EH OG =，OFG EFH ∠=∠，GOF HEF ∠=∠，所以Rt △EHF ≌Rt △OGF ， …… 3分 所以12HF FG EF t ==-．由222111()2EF HF EF t =+=+-， …… 5分所以14t EF t =+（02t <<）． …… 7分（2）设修建该参观线路的费用为y 万元．① 当103t <≤，122())4355(2t t t y t t ⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦++，由235(22)0y t '=-<，则y 在(103⎤⎥⎦，上单调递减． 所以当13t =时，y 取最小值为32.5； …… 11分 ② 当123t <<时，2111632)2()4(1228t t t t t t y t ⎡⎤=-=+⎢⎥⎣--⎦++，所以22334(1)(331)16241t t t t t t y '=+-+--=， …… 13分 因为123t <<，所以23310t t +->，且当1(1)3t ∈，时，0y '<；当(12)t ∈，时，0y '>， 所以y 在1(1)，上单调递减；在(12)，上单调递增． 所以当1t =时，y 取最小值为24.5．由①②知，y 取最小值为24.5． …… 15分O答：（1）EF 的长为1()4t t+百米；（2）修建该参观线路的最低费用为24.5万元． …… 16分19．（本小题满分16分）已知{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列，1q ≠±，正整数组 ()E m p r =，，（m p r <<）．（1）若122331a b a b a b +=+=+，求q 的值；（2）若数组E 中的三个数构成公差大于1的等差数列，且m p a b +=p r a b +=r m a b +，求q 的最大值；（3）若11()n n b -=-，m m a b +=p p a b +=0r r a b +=，试写出满足条件的一个数组E和对应的通项公式n a ．（注：本小问不必写出解答过程）【解】（1）由条件，知21111211112a b q a d b q a d b q a d b ⎧+=++⎪⎨++=++⎪⎩，，即2121()(1).d b q q d b q ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，所以2210q q --=． …… 2分 因为1q ≠±，所以12q =-． …… 4分（2）由m p a b +=p r a b +，即p m p r a a b b -=-，所以()()p m r m m p m d b q q ---=-，同理可得，()(1)r m m r p d b q --=-． …… 6分 因为m p r ，，成等差数列， 所以1()p m r p r m -=-=-．记p m q t -=，则有2210t t --=，因为1q ≠±，所以1t ≠±，故12t =-，即12p m q -=-． …… 8分所以10q -<<．记p m α-=，则α为奇数，又公差大于1，所以3α≥， …… 10分 所以11311||()()22q α=≥，即131()2q ≤-，当3α=时，q 取最大值为11()2-． …… 12分（3）满足题意的数组(23)E m m m =++，，， 此时通项公式为1133()(1)288m n a n m -=---，*m ∈N ． 例如：(134)E =，，，31188n a n =-． …… 16分20．（本小题满分16分）已知函数2()cos f x ax x =+（a ∈R ），记()f x 的导函数为()g x ． （1）证明：当12a =时，()g x 在R 上单调递增；（2）若()f x 在0x =处取得极小值，求a 的取值范围；（3）设函数()h x 的定义域为D ，区间(+)m D ∞⊆，，若()h x 在(+)m ∞，上是单调函数， 则称()h x 在D 上广义单调．试证明函数()ln y f x x x =-在(0)+∞，上广义单调． 【解】（1）当12a =时，21()cos 2f x x x =+，所以()sin f x x x '=-，即()sin g x x x =-， …… 2分 所以()1cos 0g x x '=-≥，所以()g x 在R 上单调递增． …… 4分 （2）因为()i )2s n (g x x f ax x '=-=，所以2c (s )o a g x x -'=．① 当1a ≥时，()1cos 0g x x '-≥≥，所以函数()f x '在R 上单调递增． 若0x >，则()(0)0f x f ''>=；若0x <，则()(0)0f x f ''<=， 所以()f x 的单调增区间是(0)+∞，，单调减区间是(0)-∞，， 所以()f x 在0x =处取得极小值，符合题意． …… 6分 ② 当12a ≤-时，()1cos 0g x x '--≤≤，所以函数()f x '在R 上单调递减．若0x >，则()(0)0f x f ''<=；若0x <，则()(0)0f x f ''>=， 所以()f x 的单调减区间是(0)+∞，，单调增区间是(0)-∞，， 所以()f x 在0x =处取得极大值，不符合题意． …… 8分 ③ 当1122a -<<时，0(0)x ∃∈π，，使得0cos 2x a =，即0()0g x '=，但当0(0)x x ∈，时，cos 2x a >，即()0g x '<，所以函数()f x '在0(0)x ，上单调递减，所以()(0)0f x f ''<=， 即函数()f x 在0(0)x ，单调递减，不符合题意．综上所述，a 的取值范围是)12⎡+∞⎢⎣，． …… 10分（3）记2()cos ln h x ax x x x =+-（0x >），① 若0a >，注意到ln x x <，则11ln x x <，即ln x < …… 12分当2x >时，()2sin 1ln 22h x ax x x ax '=--->-0=>．所以2m ∃=，函数()h x 在()m +∞，上单调递增．…… 14分 ② 若0a ≤，当x >1时，()2sin 1ln sin 1ln h x ax x x x x '=---<---<0．所以1m ∃=，函数()h x 在(+)m ∞，上单调递减， 综上所述，函数()ln y f x x x =-在区间(0)+∞，上广义单调． …… 16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，已知AB 为圆O 的一条弦，点P 为弧AB 的中点，过点P 任作两条弦PC ，PD ， 分别交AB 于点E ，F ． 求证：PE PC PF PD ⋅=⋅． 【证】连结P A ，PB ，CD ，BC ．因为∠P AB =∠PCB ，又点P 为弧AB 的中点，所以∠P AB =∠PBA ，（第21-A 题）所以∠PCB =∠PBA ． …… 4分 又∠DCB =∠DPB ，所以∠PFE =∠PBA+∠DPB =∠PCB+∠DCB =∠PCD ， 所以E ，F ，D ，C 四点共圆．所以PE PC PF PD ⋅=⋅． …… 10分B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵1=1a b ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦M ，点(11)-，在M 对应的变换作用下得到点(15)--，，求矩阵M 的特征值．【解】由题意，111115a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即1115a b -=-⎧⎨--=-⎩，， 解得2a =，4b =，所以矩阵12=14⎡⎤⎢⎥-⎣⎦M ． …… 5分 矩阵M 的特征多项式为212()5614f λλλλλ--==-+-． 令()0f λ=，得12λ=，23λ=，所以M 的特征值为2和3． …… 10分 C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知圆C的圆心在极轴上，且过极点和点π)4，，求圆C 的极坐标方程．【解】方法一：因为圆心C 在极轴上且过极点，所以设圆C 的极坐标方程为=cos a ρθ， …… 4分又因为点π)4，在圆C 上，所以πcos a 4，解得6a =．所以圆C 的极坐标方程为=6cos ρθ． …… 10分D ACBSPE 方法二：点π)4，的直角坐标为(33)，， 因为圆C 过点(00)，，(33)，， 所以圆心C 在直线为30x y +-=上． 又圆心C 在极轴上，所以圆C 的直角坐标方程为22(3)9x y -+=． …… 6分所以圆C 的极坐标方程为=6cos ρθ． …… 10分 D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a ，b ，c ，d 是正实数，且abcd =1，求证：5555a b c d a b c d ++++++≥． 【证】因为a ，b ，c ，d 是正实数，且abcd =1，所以54a b c d a +++≥． ① …… 4分 同理54b c d a b +++≥， ②54c d a b c +++≥， ③ 54d a b c d +++≥， ④将①②③④式相加并整理，即得5555a b c d a b c d ++++++≥． …… 10分 【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥S ABCD -中，SD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，90ADC DAB ∠=∠=︒，2SD AD AB ===，1DC =． （1）求二面角S BC A --的余弦值；（2）设P 是棱BC 上一点，E 是SA 的中点，若PE与平面SADCP 的长．【解】（1）以D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D xyz -，则(000)D ，，，(220)B ，，，(010)C ，，，(002)S ，，，所以(222)SB =- ，，，(012)SC =- ，，，(002)DS = ，，． 设平面SBC 的法向量为1()x y z =，，n ，由10SB ⋅= n ，10SC ⋅=n ， 得2220x y z +-=且20y z -=． 取1z =，得1x =-，2y =，所以1(121)=-，，n 是平面SBC 的一个法向量． …… 2分 因为SD ⊥平面ABC ，取平面ABC 的一个法向量2(001)=，，n ． 设二面角S BC A --的大小为θ，所以1212cos |||θ⋅===n n |n n ，由图可知二面角S BC A --为锐二面角，所以二面角S BC A --…… 5分（2）由（1）知(101)E ，，，则(210)CB = ，，，(111)CE =-，，．设CP CB λ=（01λ≤≤），则(20(210))CP λλλ== ，，，，， 所以(1211)PE CE CP λλ=-=---，，．易知CD ⊥平面SAD ，所以(010)CD =，，是平面SAD 的一个法向量． 设PE 与平面SAD 所成的角为α，所以sin cos PE CD PE CD PE CD α⋅===，， …… 8分=，得13λ=或119λ=（舍）．所以21(0)33CP = ，，，CP所以线段CP． …… 10分23．（本小题满分10分）已知函数0()cx d f x ax b +=+（0a ≠，0ac bd -≠）．设()n f x 为1()n f x -的导数，*n ∈N ．（1）求1()f x ，2()f x ；（2）猜想()n f x 的表达式，并证明你的结论． 【解】（1）102()()()cx d bc ad f x f x ax b ax b '+-⎡⎤'===⎢⎥+⎣⎦+ ，21232()()()()()a bc ad cb ad f x f x ax b ax b '⎡⎤---'===⎢⎥++⎣⎦． …… 2分 （2）猜想111(1)()!()()n n n n a bc ad n f x ax b --+-⋅⋅-⋅=+，*n ∈N ． …… 4分 证明：① 当1n =时，由（1）知结论正确， ② 假设当n k =，*k ∈N 时结论正确，即有111(1)()!()()k k k k a bc ad k f x ax b --+-⋅⋅-⋅=+．当1n k =+时，1()()k k f x f x +'=111(1)()!()k k k a bc ad k ax b --+'⎡⎤-⋅⋅-⋅=⎢⎥+⎣⎦11(1)(1)()!()k k k a bc ad k ax b ---+'⎡⎤=-⋅⋅-⋅+⎣⎦2(1)()(1)!()k k k a bc ad k ax b +-⋅⋅-⋅+=+．所以当1n k =+时结论成立．由①②得，对一切*n ∈N 结论正确． …… 10分。

为直角，有0=OB AB ，即有()0-=OB OB OA ，∴2=OA OB OB ； ， 5． ．[1,)-+∞． 13a b， b时，即，则(=-AP x ，(=-BP x ，根据2+=AP BP λ 2234403|334-+=<+)(7,)+∞1，函数f ， )(7,)+∞15．解：(1)∵在△ABC 中，3=B ，2=AC 2=BC ， 由余弦定理得2222cos =+-AC AB BC AB BC B ， 得21242=+-AB AB ，即2280--=AB AB 解之得4=AB ，2=-AB （舍去）．(2)cos 0=>A ，得π02<<A ，sin ==A sintan cos ==AA A ，又∵π3=B ，∴tan tan 333tan tan()1tan tan 33++=-+=-==-A B C A B A B ． 16．解：(1)在△AOB 与△COD 中， ∵∥DC AB ，2=DC AB ， ∴12==AO AB CO CD ， 又∵2=PE AE ， ∴在△APC 中，有12==AO AE CO PE ，则∥OE PC ． 又∵⊄OE 平面PBC ，⊂PC 平面PBC ， ∴∥OE 平面PBC ．(2)∵⊥AB 平面PAD ，⊂DE 平面PAD ， ∴⊥AB DE ．又∵⊥AP DE ，⊂AB 平面PAB ，⊂AP 平面PAB ，⋂=AP AB A ， ∴⊥DE 平面PAB ，⊂PB 平面PAD ， ∴⊥DE PB ．17．解：(1)当010<≤t 时，32()1124100100=+-+<V t t t t ， 化简得211240-+<t t ， 解得3<t 或8>t ，又∵010<≤t ，故04<<t 或810<≤t ，当1012<≤t 时，()4(10)(341)100100=--+<V t t t ，得41103<<t ， 又∵1012<≤t ，故1012<≤t ． 综上得04<<t ，或812<≤t ．∴衰退期为1月，2月，3月，4月，…9月，10月，11，12月共8个月． (2)由(1)知：()V t 的最大值只能在(4,9)内取到． 由322()(1124100)32224''=-+-+=+-V t t t t t t 令()0'=V t ， 得6=t 或43=t （舍去）． 当t 变化时，()'V t 与()V t 的变化情况如下表：由上表，()V t 在6=t 时取最大值(6)136()=亿立方米V ． 故该冰川的最大体积为136亿立方米．18．解：(1)∵圆222:+=x y r O与椭圆22221(0):+=>>x y ab a C b相交于点(0,1)M∴1==b r ．又∵离心率为e 2==c a ， ∴=a∴椭圆22:12+=y C x ．(2)∵过点M 的直线l 另交圆O 和椭圆C 分别于A ，B 两点，∴直线l 的方程为1(0)=+≠y kx k ，由22112=+⎧⎪⎨+=⎪⎩y kx x y 得22(21)40++=k x kx ， ∴222421(,)2121--+++k k B k k ， 同理2211=+⎧⎨+=⎩y kx x y 得到22(1)20++=k x kx ， ∴22221(,)11--+++k k A k k ，∵23=MB MA ，则224223211--=++k kk k ∵0≠k ，∴=k ，即直线l 的方程为1=+y ．②根据①222421(,)2121--+++k k B k k ，22221(,)11--+++k k A k k ，222111121-++-+====---+A N NAA N k y y k k k k x x k k ，22222111214221-++-+====---+B N NB B N k y y k k k k x x k k ， ∴2112=k k 为定值．19．解：(1)∵e ,()e |e ,⎧-+≥⎪=--=⎨+-<⎪⎩x xx x a x af x x a x a x a ，则e 1,()e 1,⎧-≥⎪'=⎨+<⎪⎩x x x a f x x a ，∵()f x 在R 上单调递增， ∴()0'≥f x 恒成立，当<x a 时，()e 110'=+≥>x f x 恒成立， 当≥x a 时，()e 10'=-≥x f x 恒成立， 故()0'≥f a ，即0≥a ．(2)由(1)知当0≥a 时，()f x 在R 上单调递增，不符题意， ∴有0<a ．此时，当<x a 时，()e 110'=+≥>x f x ，()f x 单调递增， 当≥x a 时，()e 1'=-x f x ，令()0'=f x ，得0=x ， ∴()0'<f x 在(,0)a 上恒成立，()f x 在(,0)a 上单调递减，()0'>f x 在(0,)+∞恒成立，()f x 在(0,)+∞上单调递增，∴()()e ==极大af x f a ，()(0)1==+极小f x f a ，即0<a 符合题意．由2121()()()-≥-f x f x k x x 恒成立，可得e 1--≥a a ka 对任意0<a 恒成立， 设()e (1)1=-+-a g a k a ，求导，得()e (1)'=-+a g a k ， ①当1≥-k 时，()0'≥g a 恒成立，()g a 在(,0)-∞单调递增， 又∵1(1)0e-=+<g k ，与()0>g a 矛盾； ②当0≥k 时，()0'≤g a 在(,0)-∞上恒成立，()g a 在(,0)-∞单调递减， 又∵(0)0=g ，∴此时()0≥g a 恒成立，符合题意；③当10-<<k 时，令()0'>g a 在(,0)-∞上解集为(ln(1),0)+k ， 即()g a 在(ln(1),0)+k 上单调递增， 又∵(0)0=g ，∴(ln(1))0+<g k 不符题意； 综上，实数k 的取值范围为[0,)+∞． 20．证明：(1)由312+++=n n n n a a a a ，可知323311...+++====n n n n a a aa a a a ，∴212232123212212()++---++==++n n n n n n n na a a a a a a a a a ， 当1=n 时，123+=a a ，即数列212{}-+n n a a 是以3为首项，3a 为公比的等比数列．(2)法一：由(1)，同理可知，数列221{}++n n a a 是以32+a 为首项，3a 为公比的等比数列．故当2=n k 时，32123421233(1)()()...()1--=++++++=-k k k k a S a a a a a a a 故当21=+n k 时，33211234513(2)(1)()()...()11+-+-=+++++++=+-k k n n a a S a a a a a a a a ． 又∵{}+n S t 为等比数列，故有221()()()++++=+n n n S t S t S t ，对+∀∈N n 恒成立， ∴222221()()()++++=+k k k S t S t S t 和222322()()()++++=+k k k S t S t S t 对+∀∈N k 恒成立，即123333333112333333333(1)3(1)(2)(1)()()(1)111(2)(1)(2)(1)3(1)(1)(1)()111+++⎧--+-++=++⎨---⎩+-+--++++=+---k k k k k k a a a a t t t a a a a a a a a t t t a a a 对+∀∈N k 恒成立， 解得34=a ，1=t ，此时2132(1)(1)(1)++=+S S S 也成立．∴34=a ，1=t ，即21=-nn S 得到12-=n n a ．法二：由(1)，同理可知，数列221{}++n n a a 是以32+a 为首项，3a 为公比的等比数列．故当2=n k 时，3212342123333(1)33()()...()111--=++++++==----k kk k ka S a a a a a a a a a a 要使得{}+n S t 为等比数列必有2{}+k S t 为等比数列，即有331=-t a 成立① 故当21=+n k 时，333321123451333(2)(1)22()()...()11111+-+-++=+++++++=+=-+---k k k n n a a a a S a a a a a a a a a a a ．要使得{}+n S t 为等比数列必有2{}+k S t 为等比数列，即有33211+=--a t a 成立② 联立①②得1=t ，34=a 以下同解法一法三：由(1)，同理可知，数列221{}++n n a a 是以32+a 为首项，3a 为公比的等比数列．故当2=n k 时，32123421233(1)()()...()1--=++++++=-k k k k a S a a a a a a a 故当21=+n k 时，33211234513(2)(1)()()...()11+-+-=+++++++=+-k k n n a a S a a a a a a a a ． 要使得{}+n S t 为等比数列必有2243()()()++=+S t S t S t 和2132()()()++=+S t S t S t 解得1=t ，34=a ，通过验证1=t ，31=a 时，{}+n S t 为等比数列．以下同解法一第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．解：A ．连接AD ， ∵AB 为圆O 的直径， ∴90∠=︒ADB ，又∵⊥EF AB ，90∠=︒AFE ，则A ，D ，E ，F 四点共圆， ∴=BD BE BA BF ，又~△△ABC AEF ，即=AB AF AE AC ．∴2()-=-=-=BE BD AE AC BA BF AB AF AB BF AF AB ．B ．∵212()5614--⎡⎤==-+⎢⎥-⎣⎦f λλλλλ，由()0=f λ，得2=λ或3=λ． 当2=λ时，对应的一个特征向量为121⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α；当3=λ时，对应的一个特征向量为211⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α；设321211⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦m n ，解得11=⎧⎨=⎩m n ，∴33333312122143()12131135⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=+=⨯+⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A A A A αααααC ．∵直线l 的极坐标方程为π()3=∈θρR ，∴直线l的直角坐标方程为y ，又∵曲线C 的参数方程为2cos 1cos2=⎧⎨=-⎩x y αα，∴曲线C 的普通方程为212,[2,2]2=-+∈-y x x ，联立解方程组2122⎧=⎪⎨=-+⎪⎩y y x ．解得3⎧=⎪⎨=-+⎪⎩x y3⎧=⎪⎨=-⎪⎩x y∴点P的直角坐标方程为(3-+． D ．∵0>a b ，0>b a ， ∴要证>a b b a ， 只要证ln ln >a b b a只要证ln ln >b ab a，构造函数ln (),(e,)=∈+∞x f x x x ． 21ln (),(e,)-'=∈+∞x f x x x，()0'<f x 在区间(e,)+∞恒成立， ∴函数()f x 在(e,)∈+∞x 上是单调递减，∴当e >>a b 时，有()()>f b f a 即ln ln >b ab a，得证． 22．解：(1)记“第三局结束后小明获胜”为事件A ，则3327()()464==P A ．(2)由题意可知X 的所有可能取值为3，4，5．33317(3)()()4416==+=P X131333311345(4)()()()()4444128==+=P X C C ，27(5)(3)(4)128===-==P X P X P X ．∴比赛局数X 的分布列为∴比赛局数X 的数学期望是74527483()34516128128128=⨯+⨯+⨯=E X ．23．解：(1)当1=m 时，1100111(,1)(1)(1)111++--=∑-=∑-=+++nn kkk k nn k k P n C C k n n ， 又∵11(,1)1+==+n Q n C n ，显然(,1)(,1)1=P n Q n ． (2)0(,)(1)-=∑-+nk knk mP n m C m k111111(1)()(1)-----=+∑-++-++n k k k nn n k m mC C m k m k111(1,)(1)---=-+∑-+n k k n k m P n m C m k 0(1,)(1)-=-+∑-+n k knk m m P n m C n m k (1,)(,)=-+mP n m P n m n即(,)(1,)=-+nP n m P n m m n， 由累乘，易求得!!1(,)(0,)()!+==+n n mn m P n m P m n m C ，又∵1(,)+=nn Q n m C ，∴(,)(,)1=P n m Q n m ．。

2017年江苏省南通市高考数学一模试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题(本大题共14小题，共70.0分)1.函数的最小正周期为______ ．【答案】【解析】解：函数的最小正周期为，故答案为：．根据函数y=A sin（ωx+φ）的周期等于，得出结论．本题主要考查三角函数的周期性及其求法，利用了y=A sin（ωx+φ）的周期等于，属于基础题．2.设集合A={1，3}，B={a+2，5}，A∩B={3}，则A∪B= ______ ．【答案】{1，3，5}【解析】解：集合A={1，3}，B={a+2，5}，A∩B={3}，可得a+2=3，解得a=1，即B={3，5}，则A∪B={1，3，5}．故答案为：{1，3，5}．由交集的定义，可得a+2=3，解得a，再由并集的定义，注意集合中元素的互异性，即可得到所求．本题考查集合的交集、并集运算，注意运用定义法，以及集合中元素的互异性，属于基础题．3.复数z=（1+2i）2，其中i为虚数单位，则z的实部为______ ．【答案】-3【解析】解：∵z=（1+2i）2=1+4i+（2i）2=-3+4i，∴z的实部为-3．故答案为：-3．直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．4.口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概率为______ ．【答案】0.17【解析】解：∵摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，∴摸出蓝球的概率为1-0.48-0.35=0.17．故答案为0.17．利用对立事件的概率公式，可得结论．本题考查对立事件的概率公式，熟练掌握概率的基本性质是求解本题的关键．5.如图是一个算法的流程图，则输出的n的值为______ ．【答案】5【解析】解：当n=1，a=1时，满足进行循环的条件，执行循环后，a=5，n=3；满足进行循环的条件，执行循环后，a=17，n=5；满足进行循环的条件，退出循环故输出n值为5故答案为：5．由已知的程序框图可知，该程序的功能是利用循环计算a值，并输出满足a＜16的最大n值，模拟程序的运行过程可得答案．本题考查的知识点是程序框图，由于循环的次数不多，故可采用模拟程序运行的方法进行．6.若实数x，y满足则z=3x+2y的最大值为______ ．【答案】7【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=3x+2y得y=-x+z平移直线y=-x+z，由图象可知当直线y=-x+z经过点A时，直线y=-x+z的截距最大，此时z最大．由，解得A（1，2），代入目标函数z=3x+2y得z=3×1+2×2=7．即目标函数z=3x+2y的最大值为7．故答案为：7．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．【答案】20【解析】解：根据题意，对于甲，其平均数甲==75，其方差S甲2=[（65-75）2+（80-75）2+（70-75）2+（85-75）2+（75-75）2]=50；对于乙，其平均数乙==75，其方差S乙2=[（80-75）2+（70-75）2+（75-75）2+（80-75）2+（70-75）2]=20；比较可得：S甲2＞S乙2，则乙的成绩较为稳定；故答案为：20．根据题意，分别求出甲、乙的平均数与方差，比较可得S甲2＞S乙2，则乙的成绩较为稳定；即可得答案．本题考查方差的计算，注意掌握方差的计算公式．8.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=3cm，AA1=1cm，则三棱锥D1-A1BD的体积为______ cm3．【答案】【解析】解：∵在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=3cm，AA1=1cm，∴三棱锥D1-A1BD的体积：=====（cm3）．故答案为：．三棱锥D1-A1BD的体积==，由此能求出结果．本题考查三棱锥的体积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．9.在平面直角坐标系x O y中，直线2x+y=0为双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线，则该双曲线的离心率为______ ．【答案】【解析】解：直线2x+y=0为双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线，可得b=2a，即c2-a2=4a2，可得=．故答案为：．利用双曲线的渐近线方程得到a，b关系，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．10.《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为______ 升．【答案】【解析】解：设最上面一节的容积为a1，由题设知，解得．故答案为：．设最上面一节的容积为a1，利用等差数列的通项公式、前n项和公式列出方程组，能求出结果．本题考查等差数列的首项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式和前n项和公式的灵活运用．11.在△ABC中，若•+2•=•，则的值为______ ．【答案】【解析】解：在△ABC中，设三条边分别为a、b，c，三角分别为A、B、C，由•+2•=•，得ac•cos B+2bc•cos A=ba•cos C，由余弦定理得：（a2+c2-b2）+（b2+c2-a2）=（b2+a2-c2），化简得=2，∴=，由正弦定理得==．故答案为：．根据题意，利用平面向量的数量积，结合余弦定理和正弦定理，即可求出的值．本题考查了平面向量的数量积以及余弦定理和正弦定理的应用问题，是综合性题目．12.已知两曲线f（x）=2sinx，g（x）=acosx，，相交于点P．若两曲线在点P处的切线互相垂直，则实数a的值为______ ．【答案】【解析】解：由f（x）=g（x），即2sinx=acosx，即有tanx==，a＞0，设交点P（m，n），f（x）=2sinx的导数为f′（x）=2cosx，g（x）=acosx的导数为g′（x）=-asinx，由两曲线在点P处的切线互相垂直，可得2cosm•（-asinm）=-1，且tanm=，则=1，分子分母同除以cos2m，即有=1，即为a2=1+，解得a=．故答案为：．联立两曲线方程，可得tanx==，a＞0，设交点P（m，n），分别求出f（x），g（x）的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，再由同角基本关系式，化弦为切，解方程即可得到a的值．本题考查导数的运用：求切线的斜率，两直线垂直的条件：斜率之积为-1，同时考查同角三角函数的基本关系式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．13.已知函数f（x）=|x|+|x-4|，则不等式f（x2+2）＞f（x）的解集用区间表示为______ ．【答案】，，【解析】解：令g（x）=f（x2+2）-f（x）=x2+2+|x2-2|-|x|-|x-4|，x≥4时，g（x）=2x2-2x+4＞0，解得：x≥4；≤x＜4时，g（x）=2x2-4＞0，解得：x＞或x＜-，故＜x＜4；0≤x＜时，g（x）=0＞0，不合题意；-≤x＜0时，g（x）=2x＞0，不合题意；x＜-时，g（x）=2x2+2x-4＞0，解得：x＞1或x＜-2，故x＜-2，故答案为： ，，．令g（x）=f（x2+2）-f（x）=x2+2+|x2-2|-|x|-|x-4|，通过讨论x的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．14.在平面直角坐标系x O y中，已知B，C为圆x2+y2=4上两点，点A（1，1），且AB⊥AC，则线段BC的长的取值范围为______ ．【答案】[，]【解析】解：在平面直角坐标系x O y中，已知B，C为圆x2+y2=4上两点，点A（1，1），且AB⊥AC，如图所示当BC⊥OA时，|BC|取得最小值或最大值．由，可得B（，1）或（，1），由，可得C（1，）或（1，-）解得BC min==，BC max==．故答案为：[，]．画出图形，当BC⊥OA时，|BC|取得最小值或最大值，求出BC坐标，即可求出|BC|的长的取值范围．本题考查直线与圆的方程的综合应用、考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力，属于难题．二、解答题(本大题共12小题，共154.0分)15.如图，在平面直角坐标系x O y中，以x轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A．以OA为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B，AB=．（1）求cosβ的值；（2）若点A的横坐标为，求点B的坐标．【答案】解：（1）在△AOB中，由余弦定理得，AB2=OA2+OB2-2OA•OB cos∠AOB，所以，∠=，即．（2）因为，，，∴．因为点A的横坐标为，由三角函数定义可得，，因为α为锐角，所以．所以，，即点，．【解析】（1）由条件利用余弦定理，求得cosβ的值．（2）利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦、余弦公式，求得点B的坐标．本题主要考查余弦定理，任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦、余弦公式的应用，属于基础题．16.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点，OP=OC，PA⊥PD．求证：（1）直线PA∥平面BDE；（2）平面BDE⊥平面PCD．【答案】证明：（1）连结OE，因为O为平行四边形ABCD对角线的交点，所以O为AC中点．又因为E为PC的中点，所以OE∥PA．…4分又因为OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，所以直线PA∥平面BDE．…6分（2）因为OE∥PA，PA⊥PD，所以OE⊥PD． (8)分因为OP=OC，E为PC的中点，所以OE⊥PC． (10)分又因为PD⊂平面PCD，PC⊂平面PCD，PC∩PD=P，所以OE⊥平面PCD．…12分又因为OE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面PCD．…14分．【解析】（1）连结OE，说明OE∥PA．然后证明PA∥平面BDE．（2）证明OE⊥PD．OE⊥PC．推出OE⊥平面PCD．然后证明平面BDE⊥平面PCD．本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．17.如图，在平面直角坐标系x O y中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，焦点到相应准线的距离为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P为椭圆上的一点，过点O作OP的垂线交直线于点Q，求的值．【答案】解：（1）由题意得，，，…2分解得，c=1，b=1．所以椭圆的方程为．…4分（2）由题意知OP的斜率存在．当OP的斜率为0时，，，所以．…6分当OP的斜率不为0时，设直线OP方程为y=kx．由得（2k2+1）x2=2，解得，所以，所以．…9分因为OP⊥OQ，所以直线OQ的方程为．由得，所以OQ2=2k2+2．…12分所以．综上，可知．…14分．【解析】（1）由已知条件可得，，然后求解椭圆的方程．（2）由题意知OP的斜率存在．当OP的斜率为0时，求解结果；当OP的斜率不为0时，设直线OP方程为y=kx．联立方程组，推出．OQ2=2k2+2．然后求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．18.如图，某机械厂要将长6m，宽2m的长方形铁皮ABCD进行裁剪．已知点F为AD的中点，点E在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处（点C，D分别落在直线BC下方点M，N处，FN交边BC于点P），再沿直线PE裁剪．（1）当∠EFP=时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积；（2）若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．【答案】解：（1）当∠EFP=时，由条件得∠EFP=∠EFD=∠FEP=．所以∠FPE=．所以FN⊥BC，四边形MNPE为矩形．…3分所以四边形MNPE的面积S=PN•MN=2m2．…5分（2）解法一：设∠＜＜，由条件，知∠EFP=∠EFD=∠FEP=θ．所以，，．…8分由＞＞＜＜得＞＞，＜＜所以四边形MNPE面积为== ==…12分．当且仅当，即，时取“=”．…14分此时，（*）成立．答：当∠时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大，最大值为m2．…16分解法二：设BE=tm，3＜t＜6，则ME=6-t．因为∠EFP=∠EFD=∠FEP，所以PE=PF，即．所以，．…8分由＜＜＞＞得＜＜＞，＜所以四边形MNPE面积为==…12分=．当且仅当，即时取“=”．…14分此时，（*）成立．答：当点E距B点m时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大，最大值为m2．…16分．【解析】（1）当∠EFP=时，由条件得∠EFP=∠EFD=∠FEP=．可得FN⊥BC，四边形MNPE 为矩形．即可得出．（2）解法一：设∠＜＜，由条件，知∠EFP=∠EFD=∠FEP=θ．可得，，．四边形MNPE面积为==，化简利用基本不等式的性质即可得出．解法二：设BE=tm，3＜t＜6，则ME=6-t．可得PE=PF，即．，NP=3-T+，四边形MNPE面积为==，利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了函数的性质、矩形的面积计算公式、基本不等式的性质、三角函数的单调性应与求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.已知函数f（x）=ax2-x-lnx，a∈R．（1）当时，求函数f（x）的最小值；（2）若-1≤a≤0，证明：函数f（x）有且只有一个零点；（3）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．【答案】解：（1）当时，．所以′，（x＞0）．…2分令f'（x）=0，得x=2，当x∈（0，2）时，f'（x）＜0；当x∈（2，+ ）时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+ ）上单调递增．所以当x=2时，f（x）有最小值．…4分（2）由f（x）=ax2-x-lnx，得′，＞．所以当a≤0时，′＜，函数f（x）在（0，+ ）上单调递减，所以当a≤0时，函数f（x）在（0，+ ）上最多有一个零点．…6分因为当-1≤a≤0时，f（1）=a-1＜0，＞，所以当-1≤a≤0时，函数f（x）在（0，+ ）上有零点．综上，当-1≤a≤0时，函数f（x）有且只有一个零点．…8分（3）由（2）知，当a≤0时，函数f（x）在（0，+ ）上最多有一个零点．因为函数f（x）有两个零点，所以a＞0．…9分由f（x）=ax2-x-lnx，得′，＞，令g（x）=2ax2-x-1．因为g（0）=-1＜0，2a＞0，所以函数g（x）在（0，+ ）上只有一个零点，设为x0．当x∈（0，x0）时，g（x）＜0，f'（x）＜0；当x∈（x0，+ ）时，g（x）＞0，f'（x）＞0．所以函数f（x）在（0，x0）上单调递减；在（x0，+ ）上单调递增．要使得函数f（x）在（0，+ ）上有两个零点，只需要函数f（x）的极小值f（x0）＜0，即＜．又因为，所以2lnx0+x0-1＞0，又因为函数h（x）=2lnx+x-1在（0，+ ）上是增函数，且h（1）=0，所以x0＞1，得＜＜．又由，得，所以0＜a＜1．…13分以下验证当0＜a＜1时，函数f（x）有两个零点．当0＜a＜1时，＞，所以＜＜．因为＞，且f（x0）＜0．所以函数f（x）在，上有一个零点．又因为＞（因为lnx≤x-1），且f（x0）＜0．所以函数f（x）在，上有一个零点．所以当0＜a＜1时，函数f（x）在，内有两个零点．综上，实数a的取值范围为（0，1）．…16分下面证明：lnx≤x-1．设t（x）=x-1-lnx，所以′，（x＞0）．令t'（x）=0，得x=1．当x∈（0，1）时，t'（x）＜0；当x∈（1，+ ）时，t'（x）＞0．所以函数t（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+ ）上单调递增．所以当x=1时，t（x）有最小值t（1）=0．所以t（x）=x-1-lnx≥0，得lnx≤x-1成立．【解析】（1）当时，．求出函数的导数，得到极值点，然后判断单调性求解函数的最值．（2）由f（x）=ax2-x-lnx，得′，＞．当a≤0时，函数f（x）在（0，+ ）上最多有一个零点，当-1≤a≤0时，f（1）=a-1＜0，＞，推出结果．（3）由（2）知，当a≤0时，函数f（x）在（0，+ ）上最多有一个零点．说明a＞0，由f（x）=ax2-x-lnx，得′，＞，说明函数f（x）在（0，x0）上单调递减；在（x0，+ ）上单调递增．要使得函数f（x）在（0，+ ）上有两个零点，只需要＜．通过函数h（x）=2lnx+x-1在（0，+ ）上是增函数，推出0＜a＜1．验证当0＜a＜1时，函数f（x）有两个零点．证明：lnx≤x-1．设t（x）=x-1-lnx，利用导数求解函数的最值即可．本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的极值，构造法以及分类讨论思想的应用，考查计算能力．20.已知等差数列{a n}的公差d不为0，且，，…，，…（k1＜k2＜…＜k n＜…）成等比数列，公比为q．（1）若k1=1，k2=3，k3=8，求的值；（2）当为何值时，数列{k n}为等比数列；（3）若数列{k n}为等比数列，且对于任意n∈N*，不等式＞恒成立，求a1的取值范围．【答案】解：（1）由已知可得：a1，a3，a8成等比数列，所以，…2分整理可得：4d2=3a1d．因为d≠0，所以．…4分（2）设数列{k n}为等比数列，则．又因为，，成等比数列，所以．整理，得．因为，所以a1（2k2-k1-k3）=d（2k2-k1-k3）．因为2k2≠k1+k3，所以a1=d，即．…6分当时，a n=a1+（n-1）d=nd，所以．又因为，所以．所以，数列{k n}为等比数列．综上，当时，数列{k n}为等比数列．…8分（3）因为数列{k n}为等比数列，由（2）知a1=d，＞．，a n=a1+（n-1）d=na1．因为对于任意n∈N*，不等式＞恒成立．所以不等式＞，即＞，＜＜恒成立．…10分下面证明：对于任意的正实数ε（0＜ε＜1），总存在正整数n1，使得＜．要证＜，即证lnn1＜n1lnq+lnε．因为＜，则＜，解不等式＜，即＞，可得＞，所以＞．不妨取，则当n1＞n0时，原式得证．所以＜，所以a1≥2，即得a1的取值范围是[2，+ ）．…16分【解析】（1）由已知得：a1，a3，a8成等比数列，从而4d2=3a1d，由此能求出的值．（2）设数列{k n}为等比数列，则，推导出，从而，进而．由此得到当时，数列{k n}为等比数列．（3）由数列{k n}为等比数列，a1=d，＞．得到＞，＜＜恒成立，再证明对于任意的正实数ε（0＜ε＜1），总存在正整数n1，使得＜．要证＜，即证lnn1＜n1lnq+lnε．由此能求出a1的取值范围．本题考查等差数列的首项与公差的比值的求法，考查满足等比数列的等差数列的首项与公差的比值的确定，考查数列的首项的取值范围的求法，综合性强，难度大，对数学思维要求较高．21.已知圆O的直径AB=4，C为AO的中点，弦DE过点C且满足CE=2CD，求△OCE的面积．【答案】解：设CD=x，则CE=2x．因为CA=1，CB=3，由相交弦定理，得CA•CB=CD•CE，所以1×3=x•2x=2x2，所以．…2分取DE中点H，则OH⊥DE．因为，所以．…6分又因为，所以△OCE的面积．…10分．【解析】由相交弦定理，得CD，DE中点H，则OH⊥DE，利用勾股定理求出OH，即可求出△OCE 的面积．本题考查的是相交弦定理，垂径定理与勾股定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22.已知向量是矩阵A的属于特征值-1的一个特征向量．在平面直角坐标系x O y中，点P（1，1）在矩阵A对应的变换作用下变为P'（3，3），求矩阵A．【答案】解：设，因为向量是矩阵A的属于特征值-1的一个特征向量，所以．所以…4分因为点P（1，1）在矩阵A对应的变换作用下变为P'（3，3），所以．所以…8分解得a=1，b=2，c=2，d=1，所以．…10分．【解析】设，根据矩阵变换，列方程组，即可求得a、b、c和d的值，求得A．本题考查矩阵的变换，考查方程思想，体现转化思想，属于中档题．23.在极坐标系中，求直线被曲线ρ=4sinθ所截得的弦长．【答案】解：以极点O为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．直线的直角坐标方程为y=x①，…3分曲线ρ=4sinθ的直角坐标方程为x2+y2-4y=0②．…6分由①②得或…8分所以A（0，0），B（2，2），所以直线被曲线ρ=4sinθ所截得的弦长AB=．…10分．【解析】极坐标方程化为直角坐标方程，联立，求出A，B的坐标，即可求直线被曲线ρ=4sinθ所截得的弦长．本题考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查方程思想，比较基础．24.求函数的最大值．【答案】解：…2分由柯西不等式得，…8分所以y max=5，此时．所以函数的最大值为5．…10分．【解析】利用二倍角公式化简函数的解析式，利用柯西不等式求解函数的最值即可．本题考查是的最值，柯西不等式在最值中的应用，考查转化思想以及计算能力．25.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为棱C1D1的中点，Q为棱BB1上的点，且BQ=λBB1（λ≠0）．（1）若，求AP与AQ所成角的余弦值；（2）若直线AA1与平面APQ所成的角为45°，求实数λ的值．【答案】解：以，，为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A-xyz．（1）因为，，，，，，所以＜，＞=．所以AP与AQ所成角的余弦值为．…4分（2）由题意可知，，，，，，．设平面APQ的法向量为=（x，y，z），则即令z=-2，则x=2λ，y=2-λ．所以=（2λ，2-λ，-2）．…6分又因为直线AA1与平面APQ所成角为45°，所以|cos＜，＞|==，可得5λ2-4λ=0，又因为λ≠0，所以．…10分．【解析】（1）以，，为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A-xyz．求出，，，，，，利用数量积求解AP与AQ所成角的余弦值．（2），，，，，．求出平面APQ的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．本题考查空间向量数量积的应用，直线与平面所成角的求法，异面直线所成角的求法，考查计算能力．26.在平面直角坐标系x O y中，已知抛物线x2=2py（p＞0）上的点M（m，1）到焦点F的距离为2，（1）求抛物线的方程；（2）如图，点E是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E处的切线与x轴相交于点P，直线PF与抛物线相交于A，B两点，求△EAB面积的最小值．【答案】解：（1）抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为，因为M（m，1），由抛物线定义，知，所以，即p=2，所以抛物线的方程为x2=4y．…3分（2）因为，所以′．设点，，，则抛物线在点E处的切线方程为．令y=0，则，即点，．因为，，F（0，1），所以直线PF的方程为，即2x+ty-t=0．则点，到直线PF的距离为．…5分联立方程消元，得t2y2-（2t2+16）y+t2=0．因为△=（2t2+16）2-4t4=64（t2+4）＞0，所以，，所以．…7分所以△EAB的面积为．不妨设（x＞0），则′．因为，时，g'（x）＜0，所以g（x）在，上单调递减；，上，g'（x）＞0，所以g（x）在，上单调递增．所以当时，．所以△EAB的面积的最小值为．…10分．【解析】（1）求出抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为，由抛物线定义，得到p=2，即可求解抛物线的方程．（2）求出函数的′．设点，，，得到抛物线在点E处的切线方程为．求出，．推出直线PF的方程，点，到直线PF的距离，联立求出AB，表示出△EAB的面积，构造函数，通过函数的导数利用单调性求解最值即可．本题考查抛物线与直线的位置关系的应用，函数的导数与函数的最值的求法，考查转化思想以及构造法的应用，难度比较大．。

=AB ________是虚数单位），则||z 的值为12n x ，则样本数据13x 24．执行如图所示的伪代码，则输出的结果为________．5．随机从1，2，3，4，5五个数中取两个数，取出的恰好都为偶数的概率为________． 6．已知等差数列{}n a 满足1210+=a a ，432-=a a ．则数列第10项10=a ________．7．如图，四棱锥-P ABCD 中，⊥PA 底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，2=AB ，3=AD ，点E 为棱CD 上一点，若三棱锥-E PAB 的体积为4，则PA 的长为________．8．函数2|log |=y x ，1[,32]4∈x 的值域为________． 9．如果函数3sin(2)=+y x ϕ的图像关于点5π(,0)6中心对称，则||ϕ的最小值为________．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知(1,)=-OA t ，(2,2)=OB ，若∠OBA 为直角三角形，则实数t 的值为________．11．若存在实数x ，使不等式2e 2e 10+-≥x x a 成立，则实数a 的取值范围为________．12．已知正数a ，b 满足13+=a bab 的最小值为________． 13．已知点(2,3)A ，点(6,3)-B ，点P 在直线3430-+=x y 上，若满足等式20+=AP BP λ的点P 有两个，则实数λ的取值范围是________．14．设函数33,()2,⎧-<=⎨-≥⎩x x x a f x x x a，若关于x 的不等式()4>f x a 在实数集R 上有解，则实数a 的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，π3=B ． (1)若=AC 2=BC ，求AB ． (2)若cos =A ，求tan C ． 16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥-P ABCD 中，⊥AB 平面PAD ，∥DC AB ，2=DC AB ，E 为棱PA 上一点.(1)设O 为AC 与BD 的交点，若2=PE AE ，求证：∥OE 平面PBC ；(2)若⊥DE AP ，求证：⊥PB DE ．17．(本小题满分14分）南半球某地区冰川的体积每年中随时间而变化，现用t 表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年的数据，冰川的体积（亿立方米）关于t 的近似函数的关系为321124100,010()4(10)(341)100,1012⎧-+-+<≤=⎨--+<≤⎩t t t t V t t t t (1)该冰川的体积小于100亿立方米的时期称为衰退期．以1-<<i t i 表示第t 月份(1,2,...,12)=i ，问一年内哪几个月是衰退期？ (2)求一年内该地区冰川的最大体积． 18．(本小题满分14分）已知圆222:(0)+=>O x y r r 与椭圆2222:1(0)+=>>x y C a b a b相交于点(0,1)M ，(0,1)-N ，且椭圆(1)求r 值和椭圆C 的方程；(2)过点M 的直线l 另交圆O 和椭圆C 分别于A ，B 两点． ①若23=MB MA ，求直线l 的方程；②设直线NA 的斜率为1k ，直线NB 的斜率为2k ，问：21k k 是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．19．(本小题满分16分）设函数()e ||=--x f x x a ，其中a 是实数．(1)若()f x 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)若函数有极大值点2x 和极小值点1x ，且2121()()()-≥-f x f x k x x 恒成立，求实数k 的取值范围． 20．(本小题满分16分）已知数列{}n a 的各项均为正数，2122==a a ，且312++-=n n n na a a a 对*∀∈n N 恒成立，记数列{}n a 的前n 项和为n S ．(1)证明：数列212{}-+n n a a 为等比数列；(2)若存在正实数t ，使得数列{+}n S t 为等比数列，求数列{}n a 的通项公式．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题，每小题10分，请选定其中两小题，并在相应的答题区域．．．．．．．．．内作答．．．. A.（选修4-1；几何证明选讲）如图,AB 是圆O 的直径，弦BD ,CA 的延长线相交于点E ．过E 作BA 的延长线的垂线，垂足为F ，求证：2=-AB BE BD AE AC ．B ．（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵1214⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，向量32⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，计算3A α． C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为π()3=∈R θρ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为2cos ()1cos 2=⎧⎨=-⎩为参数x y ααα，求直线l 与曲线C 交点P 的直角坐标．D ．（选修4-5：不等式选讲）已知a ，∈b R ，e >>a b （其中e 是自然数对数的底数），求证：>a b b a ．【选做题】第22题、23题，每题10分，共计20分.22．小明和小刚进行篮球投篮比赛，采用五局三胜制，当有人赢得三局时，比赛即停止．已知每局比赛中小明获胜的概率为34． (1)求第三局结束后小明获胜的概率；(2)设比赛的局数为X ，求X 的分布列及数学期望()E X ．23．设0(,)(1)-=-+∑nk knk m P n m C m k，(,)-=nn m Q n m C ，其中m ，*∈n N ．(1)当1=m 时，求(,1)(,1)P n Q n 的值；(2)对+∀∈m N ，证明：(,)(,)P n m Q n m 恒为定值．为直角，有0=OB AB ，即有()0-=OB OB OA ，∴2=OA OB OB ； 代入坐标得2-t 5=t ． 13a b， 3b，则(=-AP x ，(=-BP x ，根据2+=AP BP λ22134)()2-+<y λ．2234403|334-+=<+)(7,)+∞1，函数f ， )(7,)+∞15．解：(1)∵在△ABC 中，3=B ，2=AC ，2=BC ， 由余弦定理得2222cos =+-AC AB BC AB BC B ， 得21242=+-AB AB ，即2280--=AB AB 解之得4=AB ，2=-AB （舍去）．(2)cos 0=>A ，得π02<<A ，sin ==A sintan cos ==AA A 又∵π3=B ，∴tan tan tan tan()1tan tan 533+=-+=-==-A B C A B A B ．16．解：(1)在△AOB 与△COD 中， ∵∥DC AB ，2=DC AB ，∴12==AO AB CO CD ， 又∵2=PE AE ，∴在△APC 中，有12==AO AE CO PE ，则∥OE PC ． 又∵⊄OE 平面PBC ，⊂PC 平面PBC ，∴∥OE 平面PBC ．(2)∵⊥AB 平面PAD ，⊂DE 平面PAD ， ∴⊥AB DE ．又∵⊥AP DE ，⊂AB 平面PAB ，⊂AP 平面PAB ，⋂=AP AB A ， ∴⊥DE 平面PAB ，⊂PB 平面PAD ， ∴⊥DE PB ．17．解：(1)当010<≤t 时，32()1124100100=+-+<V t t t t ， 化简得211240-+<t t ， 解得3<t 或8>t ，又∵010<≤t ，故04<<t 或810<≤t ，当1012<≤t 时，()4(10)(341)100100=--+<V t t t ，得41103<<t ， 又∵1012<≤t ，故1012<≤t ． 综上得04<<t ，或812<≤t ．∴衰退期为1月，2月，3月，4月，…9月，10月，11，12月共8个月． (2)由(1)知：()V t 的最大值只能在(4,9)内取到． 由322()(1124100)32224''=-+-+=+-V t t t t t t 令()0'=V t ， 得6=t 或43=t （舍去）． 当t 变化时，()'V t 与()V t 的变化情况如下表：由上表，()V t 在6=t 时取最大值(6)136()=亿立方米V ． 故该冰川的最大体积为136亿立方米．18．解：(1)∵圆222:+=x y r O 与椭圆22221(0):+=>>x y ab a C b相交于点(0,1)M∴1==b r ．又∵离心率为e ==c a ∴a∴椭圆22:12+=y C x ．(2)∵过点M 的直线l 另交圆O 和椭圆C 分别于A ，B 两点，∴直线l 的方程为1(0)=+≠y kx k ，由22112=+⎧⎪⎨+=⎪⎩y kx x y 得22(21)40++=k x kx ， ∴222421(,)2121--+++k k B k k ，同理2211=+⎧⎨+=⎩y kx x y 得到22(1)20++=k x kx ，∴22221(,)11--+++k k A k k ，∵23=MB MA ，则224223211--=++k kk k ∵0≠k ，∴=k l 的方程为1=+y x ． ②根据①222421(,)2121--+++k k B k k ，22221(,)11--+++k k A k k ， 222111121-++-+====---+A N NAA N k y y k k k k x x k k ，22222111214221-++-+====---+B N NB B N k y y k k k k x x k k ， ∴2112=k k 为定值．19．解：(1)∵e ,()e |e ,⎧-+≥⎪=--=⎨+-<⎪⎩x xx x a x a f x x a x a x a ，则e 1,()e 1,⎧-≥⎪'=⎨+<⎪⎩x x x af x x a ，∵()f x 在R 上单调递增， ∴()0'≥f x 恒成立，当<x a 时，()e 110'=+≥>xf x 恒成立，当≥x a 时，()e 10'=-≥xf x 恒成立，故()0'≥f a ，即0≥a ．(2)由(1)知当0≥a 时，()f x 在R 上单调递增，不符题意， ∴有0<a ．此时，当<x a 时，()e 110'=+≥>xf x ，()f x 单调递增，当≥x a 时，()e 1'=-xf x ，令()0'=f x ，得0=x ，∴()0'<f x 在(,0)a 上恒成立，()f x 在(,0)a 上单调递减，()0'>f x 在(0,)+∞恒成立，()f x 在(0,)+∞上单调递增，∴()()e ==极大af x f a ，()(0)1==+极小f x f a ，即0<a 符合题意．由2121()()()-≥-f x f x k x x 恒成立，可得e 1--≥a a ka 对任意0<a 恒成立，设()e (1)1=-+-a g a k a ，求导，得()e (1)'=-+ag a k ，①当1≥-k 时，()0'≥g a 恒成立，()g a 在(,0)-∞单调递增， 又∵1(1)0e-=+<g k ，与()0>g a 矛盾； ②当0≥k 时，()0'≤g a 在(,0)-∞上恒成立，()g a 在(,0)-∞单调递减， 又∵(0)0=g ，∴此时()0≥g a 恒成立，符合题意；③当10-<<k 时，令()0'>g a 在(,0)-∞上解集为(ln(1),0)+k ， 即()g a 在(ln(1),0)+k 上单调递增， 又∵(0)0=g ，∴(ln(1))0+<g k 不符题意； 综上，实数k 的取值范围为[0,)+∞． 20．证明：(1)由312+++=n n n n a a a a ，可知323311...+++====n n n n a a aa a a a ，∴212232123212212()++---++==++n n n n n n n na a a a a a a a a a ， 当1=n 时，123+=a a ，即数列212{}-+n n a a 是以3为首项，3a 为公比的等比数列．(2)法一：由(1)，同理可知，数列221{}++n n a a 是以32+a 为首项，3a 为公比的等比数列．故当2=n k 时，32123421233(1)()()...()1--=++++++=-k k k k a S a a a a a a a 故当21=+n k 时，33211234513(2)(1)()()...()11+-+-=+++++++=+-k k n n a a S a a a a a a a a ． 又∵{}+n S t 为等比数列，故有221()()()++++=+n n n S t S t S t ，对+∀∈N n 恒成立，∴222221()()()++++=+k k k S t S t S t 和222322()()()++++=+k k k S t S t S t 对+∀∈N k 恒成立，即123333333112333333333(1)3(1)(2)(1)()()(1)111(2)(1)(2)(1)3(1)(1)(1)()111+++⎧--+-++=++⎨---⎩+-+--++++=+---k k k k k k a a a a t t t a a a a a a a a t t t a a a 对+∀∈N k 恒成立， 解得34=a ，1=t ，此时2132(1)(1)(1)++=+S S S 也成立．∴34=a ，1=t ，即21=-n n S 得到12-=n n a ．法二：由(1)，同理可知，数列221{}++n n a a 是以32+a 为首项，3a 为公比的等比数列．故当2=n k 时，3212342123333(1)33()()...()111--=++++++==----k kk k ka S a a a a a a a a a a 要使得{}+n S t 为等比数列必有2{}+k S t 为等比数列，即有331=-t a 成立① 故当21=+n k 时，333321123451333(2)(1)22()()...()11111+-+-++=+++++++=+=-+---k k k n n a a a a S a a a a a a a a a a a ．要使得{}+n S t 为等比数列必有2{}+k S t 为等比数列，即有33211+=--a t a 成立② 联立①②得1=t ，34=a 以下同解法一法三：由(1)，同理可知，数列221{}++n n a a 是以32+a 为首项，3a 为公比的等比数列．故当2=n k 时，32123421233(1)()()...()1--=++++++=-k k k k a S a a a a a a a 故当21=+n k 时，33211234513(2)(1)()()...()11+-+-=+++++++=+-k k n n a a S a a a a a a a a ． 要使得{}+n S t 为等比数列必有2243()()()++=+S t S t S t 和2132()()()++=+S t S t S t解得1=t ，34=a ，通过验证1=t ，31=a 时，{}+n S t 为等比数列．以下同解法一第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．解：A ．连接AD ， ∵AB 为圆O 的直径， ∴90∠=︒ADB ，又∵⊥EF AB ，90∠=︒AFE ，则A ，D ，E ，F 四点共圆， ∴=BD BE BA BF ，又~△△ABC AEF ，即=AB AF AE AC ．∴2()-=-=-=BE BD AE AC BA BF AB AF AB BF AF AB ．B ．∵212()5614--⎡⎤==-+⎢⎥-⎣⎦f λλλλλ，由()0=f λ，得2=λ或3=λ． 当2=λ时，对应的一个特征向量为121⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α；当3=λ时，对应的一个特征向量为211⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α；设321211⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦m n ，解得11=⎧⎨=⎩m n ，∴33333312122143()12131135⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=+=⨯+⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A A A A αααααC ．∵直线l 的极坐标方程为π()3=∈θρR ， ∴直线l的直角坐标方程为=y ，又∵曲线C 的参数方程为2cos 1cos 2=⎧⎨=-⎩x y αα，∴曲线C 的普通方程为212,[2,2]2=-+∈-y x x ，联立解方程组2122⎧=⎪⎨=-+⎪⎩y y x ．解得3⎧=⎪⎨=-+⎪⎩x y3⎧=⎪⎨=-⎪⎩x y∴点P的直角坐标方程为(3-． D ．∵0>a b ，0>b a ， ∴要证>a b b a ， 只要证ln ln >a b b a只要证ln ln >b ab a，构造函数ln (),(e,)=∈+∞x f x x x ． 21ln (),(e,)-'=∈+∞x f x x x，()0'<f x 在区间(e,)+∞恒成立， ∴函数()f x 在(e,)∈+∞x 上是单调递减，∴当e >>a b 时，有()()>f b f a 即ln ln >b ab a，得证． 22．解：(1)记“第三局结束后小明获胜”为事件A ，则3327()()464==P A ．(2)由题意可知X 的所有可能取值为3，4，5．33317(3)()()4416==+=P X131333311345(4)()()()()4444128==+=P X C C ，27(5)(3)(4)128===-==P X P X P X ．∴比赛局数X 的分布列为∴比赛局数X 的数学期望是74527483()34516128128128=⨯+⨯+⨯=E X ．23．解：(1)当1=m 时，1100111(,1)(1)(1)111++--=∑-=∑-=+++nn kkk k nn k k P n C C k n n ， 又∵11(,1)1+==+n Q n C n ，显然(,1)(,1)1=P n Q n ．(2)0(,)(1)-=∑-+nk knk mP n m C m k111111(1)()(1)-----=+∑-++-++n k k k nn n k m mC C m k m k111(1,)(1)---=-+∑-+n k k n k m P n m C m k 0(1,)(1)-=-+∑-+n k knk m m P n m C n m k (1,)(,)=-+mP n m P n m n即(,)(1,)=-+nP n m P n m m n， 由累乘，易求得!!1(,)(0,)()!+==+n n mn m P n m P m n m C ，又∵1(,)+=nn Q n m C ， ∴(,)(,)1=P n m Q n m ．。

2017年江苏省南通市高考数学全真模拟试卷(2)一、填空题(本题共14个小题，每小题5分，共70分)1 •复数》(i 为虚数单位)的模为 1+12•已知向量；=(1, 2), h = (- 3, 2),贝嗔？(；—7) =_.3•在标号为0, 1 , 2的三张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片上的标号之和为奇数的概率 是 . 4•已知一组数据3, 5, 4, 7, 6,那么这组数据的标准差为 _. 5•如图是一个算法流程图，则输出的 x 的值为_.旷1 , -V-1F 一―1 结束6•若函数f (x ) - ](e 为自然对数的底数)是奇函数，则实数 m 的值为_ .e -1 7•底面边长和高都为2的正四棱锥的表面积为—• 8•已知函数f (x ) =sin (®x©)(①〉0),如果存在实数xo ,使得对任意的实数 x ,都有f (xo )<f(x )< f (xo+2O16n)成立，则3的最小值为 _______ •10 .给出下列等式:9.在正项等比数列｛an ｝中，若3ai , —- 「成等差数列，则 ~a 2015 =^016 _a 2017X科 4 ?7 + 1/输出已/讦…J&d/=2COS .请从中归纳出第n (n € N*)个等式： 亍=—.11.在平面直角坐标系xOy 中，若直线I : x+2y=0与圆C ： (x- a ) 2+ (y -b ) 2=5相切，且圆心C 在 直线I 的上方，则ab 最大值为 _.12 .如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上， 边BsQ 上有10个不同的点Pi,R ,…P, 记 m i =AB??AP i （i=1，2，3，…，10），则 m 什m 2+・・+m 10的值为m q Cj C3\+2>013 .已知实数x ，y 满足・，设z=max{ 3x - y ，4x - 2y}，则z 的取值范围是 ____________ (max{ a ，b}表x+y<2示a ，b 两数中的较大数)14. 设曲线y= (ax- 1) e x 在点A (刈，yj 处的切线为b ，曲线:-•一二、填空题(本大题共6小题，共90分)15.在平面直角坐标系中，设向量 n=(虽cosA, si nA ),r = (cosB,-迓sinB),其中 A , B ABC的两个内角.(1) 若求证：C 为直角；(2) 若」「，求证：B 为锐角.16 .在三棱锥P- SBC 中，A , D 分别为边SB, SC 的中点，且AB=3, BC=8, CD=5 PALBC.(1) 求证：平面 PSBL 平面 ABCD ；(2) 若平面PADA 平面PBC=J 求证：I // BC.在点B(x 0, y 2)处的切线为J 若存在X 。

南通市 2017 届高三第三次调研测试数学学科参考答案一、填空题：本大题共14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．1．设复数z a bi （a，b R，i为虚数单位）．若z(43i)i ，则ab的值是▲．【答案】122．已知集合 U{ x | x0} ， A={ x | x ≥ 2} ，则 e U A = ▲．【答案】 { x | 0 x2}3．某人随机播放甲、乙、丙、丁 4 首歌曲中的 2 首，则甲、乙 2 首歌曲至少有 1 首被播放的概率是▲．开始【答案】5S 1， k164．右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是▲ ．S S k2k k 1【答案】 35．为调查某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用S10N分层抽样的方法抽取一个容量为500 的样本．其中大一年级Y输出 k 抽取 200 人，大二年级抽取100 人．若其他年级共有学生3000 人，则该校学生总人数是▲ ．结束【答案】 7500（第 4题）6．设等差数列a n的前n项和为 S n．若公差d 2 ，a510，则 S10的值是▲．【答案】 1107．在锐角△ABC中，AB 3，AC 4 ．若△ ABC的面积为3 3 ，则BC的长是▲．【答案】138．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2y2 1 （a0 ）经过抛物线y28x的焦点，则a2该双曲线的离心率是▲．【答案】5 29．已知圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为2π的扇形，则这个圆锥的高为▲．3【答案】 2210． 若直 y2x b 曲 ye xx 的一条切 ， 数b 的 是【答案】 111． 若正 数 x ，y 足 x y1 ，y4的最小 是▲．x y【答案】 812． 如 ，在直角梯形 ABCD 中， AB ∥ DC ， ABC 90 ，AB 3， BCDC2．若 E ，F 分 是 段 DC 和 BC 上uuur uuur的 点， AC EF 的取 范 是▲ ．A4 ，6【答案】▲ ．D E CFB（第 12 题）13． 在平面直角坐 系 xOy 中，已知点 A(0 ， 2) ，点 B(1， 1) ， P x 2y 22 上一 点，PB的最大 是 ▲ ．PA 【答案】 214． 已知函数 f (x)x ，x ≥a ， 2 f ( x) ax 恰有 2 个不同的零点， 数3， 若函数 g (x)x3x x a .a 的取 范 是▲．【答案】 (3，2)2二、解答 ：本大 共6 小 ，共90 分．15．（本小 分 14 分）已知函数 f ( x) Asin xπ（ A0 ， 0 ） 象的相 两条 称 之 的距离π 3，且 点 ( π， 3 ) ．3 2（ 1）求函数 f ( x) 的解析式；（ 2）若角足 f ( )3 f (π ，(0 ，π) ，求角的 ．) 12【解】 周期T ，（1）由条件，2π即2π2π，所以 1，即 f ( x) A sin xπ．⋯⋯3分3因 f ( x) 的 象 点( π，3) ，所以 Asin2π 3，所以A 1，3 232所以f ( x)sin xπ⋯⋯6分3 ．（2）由 f ( )3 f (π) 1 ，2得 sinπ 3sinπ π 1 ， ⋯⋯ 8分33 2 即 sinπ 3cosπ1 ，33所以2sinπ π 1 ，即 sin1⋯⋯ 123 32．分因0 ，π ，所以 π 5π． ⋯⋯14分6或616．（本小 分14 分）如 ，在四棱P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，平面 PAD ⊥平面 ABCD ， AP =AD ，M ，N 分 棱 PD ， PC 的中点．P求 ：（ 1）MN ∥平面 PAB ；M N（ 2）AM ⊥平面 PCD ．DC【 】（1）因 M ， N 分 棱 PD ，PC 的中点，所以∥ ，⋯⋯2分ABMN DC（第 16又因 底面是矩形，所以∥，题）ABCDAB DC所以∥．⋯⋯4分MN AB又 AB 平面 PAB ， MN平面 PAB ，所以 MN ∥平面 PAB ．⋯⋯6分（2）因 AP =AD ， MPD 的中点，所以 AM ⊥ PD ．⋯⋯ 8 分因 平面 PAD ⊥平面 ABCD ，又平面 PAD ∩平面 ABCD = AD ， CD ⊥AD ， CD 平面 ABCD ，所以 CD ⊥平面 PAD ．⋯⋯10分又AM 平面 ，所以 ⊥ ．⋯⋯12分PADCD AM因 CD ， PD平面 PCD ， CD I PDD ，所以 AM ⊥平面 PCD ．⋯⋯14分17．（本小 分 14 分）x 22在平面直角坐 系xOy 中，已知y 1( ab 0) 的左焦点 F ( 1 ，0)，且a 2b 2y点 ，3) ．B2（1）求 的 准方程；（2）已知 的弦AB 点 F ，且与 x 不垂直．FxD O若 D x 上的一点，DADB ，求AB的 ．ADF，（第 17 题）c 1【解】（1）方法一：由 意，得1 9 ， ⋯⋯3分a 2 4b 2 1a 2b 2c 2，2，解得3.b 2所以 的 准方程x 2y 2 1．⋯⋯5分43方法二：由 意，知23 223 22a(11)( 2)(1 1)(2)4，所以 a 2．⋯⋯2分又 c 1 ， a 2 b 2c 2 ，所以 b3 ，2y 2所以 的 准方程x1 ．⋯⋯5分4 3（ 2）方法 1： 直 AB 的方程 y k( x 1) ．① 若 k =0 ，=2 =4，= =1，所以AB 4 ； ⋯⋯6分DF② 若 k ≠ 0 ，A( x 1， y 1) ， B(x 2， y 2 ) ，AB 的中点 M (x 0， y 0 ) ，代入 方程，整理得(3 4k 2 )x 28k 2x 4k 212 0，所以 x 14k26 k21， x 24k 2 6 k 2 1 ，3 4k 23 4k 2所以 x 03 4k 2，⋯⋯8分4k 2所以 y 0k( x 0 1)3k，34k 2所以 AB 的垂直平分 方程y3k1x 4k 2．3 4k 2k 3 4k 2因= ，所以点D的垂直平分 与x 的交点，DA DBAB所以 D ( k 2 2 ， ，3 4k 0)22所以 DFk1 3 3k．⋯⋯10分3 4k 23 4 k 2因 的左准 的方程x4 ，离心率1 ，2由 AF1，得 AF1 ( x 1 4) ，x 1 4 22同理 BF1( x 24) ．2所以 AB AFBF1 (x 1 x2 ) 4 x 0 4 12 12k 2．⋯⋯12分23 4k 2所以AB4 ．DF上，得AB的 4．⋯⋯14分DF方法 2： A( x 1， y 1) ， B( x 2， y 2 ) ， AB 的中点 M ( x 0， y 0 ) ，① 若直 AB 与 x 重合，AB4 ； ⋯⋯ 6 分DF② 若直 AB 不与 x 重合，A( x 1，y 1 ) ， B( x 2， y 2 ) ， AB 的中点 M (x 0，y 0 ) ，x 2y 211，由44得 x 1 x 2y 1y 2 0 ，x 22 y 22， 43441所以 (x 1 x 2 ) x 0 ( y 1 y 2 ) y 0 0 ，43所以直 AB 的斜率y 1y 23x 0 ， ⋯⋯8分x 1 x 24 y 0所以 AB 的垂直平分 方程yy4 y 0 ( xx ) ．3 x 0因 DA =DB ，所以点 D AB 的垂直平分 与 x 的交点，所以 D (x 0，0) ，所以 FDx 0 1．⋯⋯10分44同方法一，有 AB x 04 ，⋯⋯12分所以AB4．DF上，得AB的 4．⋯⋯14分DF方法 3：① 若直 AB 与 x 重合，AB4 ．⋯⋯6分DF② 若直 AB 不与 x 重合， A(x 1， y 1 ) ， B( x 2，y 2 ) ，AB 的中点x 1 x 2 y 1 y 2) ，M ( 2 ， 2所以 AB 的垂直平分 方程yy 1y 2x 1x2( xx 1x 2) ． 8 分2yy221y2y 2xx2令 y =0，得 x D1212( x 1 x 2 )2y 12 y 22x 12x 222( x 1x 2 )3(1 1 2 3(1 1 2224 x 1 ) 4 x 2 )x 1x 22( x 1 x 2 )1 x2 1 x 24 1 422( x 1 x 2 ) x 1 x 2 ．8 x 1 x 21 ．所以 DF8同方法一，有AB1( x 1x 2 ) 4 ，2⋯⋯ 10 分 ⋯⋯12 分所以AB4．DF上，得AB的 4．⋯⋯ 14 分DF18．（本小 分16 分）如 ，半AOB 是某 国主 教育基地一景点的平面示意 ，半径OA 的 1 百米．了保 景点，基地管理部 从道路l 上 取一点C ，修建参 路C -D -E -F ，且 CD ，DE ， EF 均与半 相切，四 形CDEF 是等腰梯形． DE ＝ t 百米， 修建每1 百米参，0 t≤ 1，53路的 用 f (t ) 万元， 算 f (t)1，18 t 2.t 3（ 1）用 t 表示 段 EF 的 ；（ 2）求修建 参 路的最低 用．D ElCAOB F（第 18 题）【解】 DE 与半 相切于点Q ， 由四 形 CDEFy是等腰梯形知 OQ l ， DQ ＝QE ，以 OF 所在DQE直 x ， OQ 所在直 y ，建立如所示的平面直角坐 系．xOy（1）方法一：由 意得，lAOB F x 点 E 的坐 ( t，1) ，C⋯⋯ 1 分2直 EF 的方程 y 1 k( xt) （ k0 ），2即 kx y 1 1tk0 ．2因 直 EF 与半 相切，所以 心 O 到直 EF 的距离|1 1tk |1 ，解得 k 4t⋯⋯3分2 ．k 2 1t 24代入 y 1k( xt) 可得，点 F 的坐 (t1，0) ．⋯⋯ 5分24 t所以t 1 t 2 t 1( 4 t2 )1 4t，EF即 EFt 14t （ 0t2）．⋯⋯ 7 分方法二： EF 切 O 于G ， OG ，DE点 E 作 EHAB ，垂足 H ．G因 EHOG ， OFGEFH ，GOFHEF ，lC AOH B F 所以 Rt △ EHF ≌Rt △ OGF ，⋯⋯ 3分所以 HFFGEF1t ．2由 EF 2 1 HF 21 (EF1 t )2 ， ⋯⋯5分2所以 EFt 1 （ 0t 2 ）．⋯⋯7分4 t（2） 修建 参 路的 用y 万元．① 当1t 13 20 t≤ 3 ， y 5 2( 4 t ) t 5( 2 t t ) ，由 y5( 3 2 0 ， y 在 0 1 上 减．2 t 2 )，3所以当 t13， y 取最小 32.5 ；⋯⋯11分② 当 11 t 116 3 23 t2 ， y (8 t)2( 4 t )t12t t2 t 2 ，所以 y1216 4 4( t 1)(3t 2 3t1)⋯⋯13分233，ttt因1t2 ，所以 3t 21 0 ，3t3且当 t( 1，1) ， y 0 ；当 t(1，2) ， y0 ，3所以y 在 ( 1 ， 上 减；在 (1，2) 上 增．3 1)所以当 t 1 ， y 取最小 24.5 ．由①②知，y 取最小24.5 ．⋯⋯15分答：（ 1）EF 的t1( 4t ) 百米；（ 2）修建 参 路的最低 用24.5万元．⋯⋯16分19．（本小 分16 分）已知 { a n } 是公差 d 的等差数列， { b n } 是公比 q 的等比数列， q 1 ，正整数E ( m ， p ， r ) （ mp r ）．（ 1）若 a 1b 2 a 2 b 3 a 3b 1 ，求 q 的 ；（ 2）若数 E 中的三个数构成公差大于1 的等差数列，且 a m b pa pb r a r b m ，求 q 的最大 ；（ 3）若 b n( 1) n 1 ， a m b m a p b p a rb r0 ， 写出 足条件的一个数E2和 的通 公式a n ．（注：本小 不必写出解答 程）【解】（1）由条件，知a 1b 1 q a 1 d b 1q 2 ，即 d b 1 ( q q 2 ) ，d b 1 q 2d b 1 ( q 2a 1 a 1 2db 1， 1).所以 2q 2 q 1 0 ．⋯⋯2分因 q1，所以q1．⋯⋯4分2（2）由 a m b p a p b r ，即 a p a m b p b r ，所以 ( p m)d b m (q p m q r m ) ，同理可得， ( rp) d b m (q rm1) ．⋯⋯ 6 分因 m ，p ，r 成等差数列，所以 pmrp1(r m) ．2q p m t ， 有 2t 2 t 1 0 ，因 q1，所以 t1，故 t1 ，即 q p m 1 ． ⋯⋯8分22所以 1 q 0 ．p m，奇数，又公差大于 1，所以≥ 3 ，⋯⋯10分111所以 | q | ( 1 ) ≥ ( 1 ) 3 ，即 q ≤ - ( 1)3， 2221当3 ， q 取最大 - ( 1) 3．⋯⋯ 12 分2（3） 足 意的数E (m ，m 2 ，m 3) ，此 通 公式a n( 1 )m1( 3 n 3m 1) ， mN * ．288例如： E (1，3，4 ) ， a n3 n 11 ． ⋯⋯ 16 分8820．（本小分16 分）已知函数 f ( x) ax2cos x （a R ）， f ( x)的函数g ( x)．（ 1）明：当 a12， g (x) 在R上增；（ 2）若 f ( x) 在x0 取得极小，求a的取范；（ 3）函数 h( x) 的定域D，区 (m，+) D ，若 h( x) 在 (m，+) 上是函数，称 h( x) 在D上广．明函数y f ( x)x ln x 在 (0 ，) 上广．【解】（1）当1122， f (x)2x cosx ，a所以 f ( x)x sin x ，即 g ( x)x sin x ，⋯⋯ 2分所以 g (x)1cos x≥ 0 ，所以 g ( x) 在R上增．⋯⋯ 4分（2）因 g (x)f( x)2ax si n x ，所以 g ( x) 2 a cos x ．①当 a≥1， g ( x)≥1cos x≥0 ，所以函数 f( x) 在R上增．2若 x 0， f(x)f(0)0 ；若x0， f ( x) f (0)0 ，所以 f (x) 的增区是(0 ，) ，减区是( ，0)，所以 f (x) 在x0 取得极小，符合意．⋯⋯ 6分②当 a≤ -11cos x ≤ 0 ，所以函数 f( x) 在R上减．2， g ( x) ≤若 x 0， f(x)f(0)0 ；若x0， f ( x) f (0)0 ，所以 f (x) 的减区是(0 ，) ，增区是( ，0)，所以 f (x) 在x0 取得极大，不符合意．⋯⋯8分③ 当1a 1 ，x0(0 ， ) ，使得 cos x02a ，即 g ( x0 )0 ，22但当 x(0 ， x0 ) ，cosx2a ，即g (x) 0，所以函数 f ( x) 在 (0 ， x0 ) 上减，所以 f ( x) f (0)0 ，即函数 f (x) 在 (0 ， x0 ) 减，不符合意．上所述， a 的取范是 1 ，．⋯⋯10分2（3） h( x)ax2cos x x ln x （x0 ），11①若 a0，注意到 ln x x ， ln x2x 2，即ln x 2 x．⋯⋯12分2当x 1 4a 1，2ah ( x)2ax sin x1ln x 2 ax2 x 22( x14a 1)( x14a 1 ) 0．2a2a1 4 a12所以m，函数 h( x) 在 (m ，) 上增．⋯⋯ 14分2a②若 a ≤ 0，当 x>1，h ( x) 2 ax sin x 1ln xsin x 1ln x <0．所以m 1 ，函数h( x)在( m，+) 上减，上所述，函数y f ( x)xln x 在区 (0 ， ) 上广．⋯⋯ 16分数学Ⅱ（附加题）21．【做】本包括 A、 B、 C、D 四小，定其中两，并在相的答区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，按作答的前两分．解答写出文字明、明程或演算步．A． [ 修 4- 1：几何明 ] （本小分10 分）如，已知 ABO的一条弦，点 P 弧 AB的中点，点 P 任作两条弦 PC， PD，分交于点，．PAB E F求： PE PC PF PD ．【】PA，PB， CD，BC．因∠ PAB =∠ PCB，又点 P 弧 AB的中点，所以∠PAB =∠PBA，所以∠PCB =∠．⋯⋯4分PBA又∠ DCB =∠ DPB，所以∠ PFE =∠ PBA+∠ DPB =∠PCB+∠ DCB=∠ PCD，所以，，，C 四点共．E F D所以 PE PC PF PD．⋯⋯10分B． [ 修 4 2：矩与 ] （本小分10 分）-AE FBOCD（第 21- A 题）PA B E FOCD已知矩1a，点 (1， 1) 在M的作用下得到点( 1， 5) ，求矩M M =b1的特征．【解】由意，1a11，即1a，11b151b，5解得 a 2 ， b 4 ，所以矩 M =12⋯⋯5分1．4矩 M 的特征多式 f (122．) 5 6 14令 f ( )0，得 1 2 ， 23 ，所以 M 的特征 2和3．⋯⋯10分C ． [ 修 4- 4：坐 系与参数方程 ] （本小 分 10 分）在极坐 系中，已知 C 的 心在极 上，且 极点和点π ，求 C 的极坐(3 2，)4方程．【解】方法一：因 心C 在极 上且 极点，所以 C 的极坐 方程=acos ，⋯⋯4分π 在 C 上，又因 点 (3 2，)4所以3 π，解得a 6 ．2= a cos 4所以 C 的极坐 方程=6cos ．⋯⋯10分π 方法二：点(3 2 ， ) 的直角坐 (3 ，3) ，4因 C 点 (0 ，0) ， (3 ，3) ，所以 心 C 在直 x y 30 上．又 心 C 在极 上，所以 C 的直角坐 方程( x 3)2 y 29 ．⋯⋯6分 所以 C 的极坐 方程 =6cos ． ⋯⋯ 10分D ． [ 修 4 5：不等式 ] （本小 分10 分）-已知 a ， b ，c ， d 是正 数，且 abcd1，求 ： a 5 b 5 c 5d 5 ≥ a b c d ．【 】因 a ， b ， c ， d 是正 数，且abcd 1，所以 a 5 b c d ≥ 4 4 a 5 bcd 4a ． ①⋯⋯ 4 分同理 b 5c da ≥ 4b ， ②c 5d a b ≥ 4c ， ③ d 5a bc ≥ 4d ，④将①②③④式相加并整理，即得5555b cd ． ⋯⋯ 10 分a b c d ≥ a 【必做 】第22、 23 ，每小 10 分，共 20 分． 在答 卡指定区域内作答，解答．．．．．．．写出文字明、明程或演算步．22．（本小分 10 分）如，在四棱S ABCD 中，SD平面，四形ABCD是直角梯形，ABCDADCDAB 90， SD AD AB 2，DC 1．S（1）求二面角 S BC A 的余弦；（2） P 是棱BC上一点，E是SA的中点，若PE与平面 SAD所成角的正弦2 26 ，求段E13CP 的．D CAPB （第 22 题）【解】（1）以D坐原点，建立如所示空直角坐系 D xyz，zD (0 ，0，0) ， B(2 ，2，0) ， C (0 ，1，0) ， S(0 ，0，2) ，Suur uuur uuur(0 ，0 ，2) ．所以 SB(2，2， 2) ， SC(0 ，1， 2) ， DS平面 SBC的法向量n1( x，y，z)，Euur uuur由 n1 SB0 ， n1SC 0，得 2x 2 y 2 z0 且 y 2 z 0 ．D取 z 1 ，得 x1，y 2，A x所以 n1( 1，2 ，1)是平面 SBC的一个法向量．因SD 平面，取平面的一个法向量n2(0，0 ，1)．ABC ABC二面角 S BC A的大小，所以 cosn1n21 | n1|| n 2|6由可知二面角S BC A二面角，CyPB ⋯⋯ 2 分6，6所以二面角S BC A的余弦 6 ．⋯⋯5分6 uuur(2 ，1，0)uuur(1， 1 ，1) ．（2）由（ 1）知 E (1，0，1) ， CB， CEuuur uuur uuur(2 ，1，0)(2，，0)，CP CB（0≤≤1），CPuuur uuur uuur(12，1，1) ．所以 PE CE CP易知 CDuuur(0 ，1，0) 是平面SAD的一个法向量．平面 SAD ，所以CDPE 与平面 SAD 所成的角，uuur uuur uuur uuur所以 sinPE CD1cos PE ，CD，⋯⋯8分uuur uuur5 22PE CD3即51226 ，得 1 或11 （舍）．2231339所以uuur21uuur5，CP(，，，CP333所以段 CP 的 5 ．⋯⋯10分323．（本小分10 分）已知函数f0(x)cxax db（ a0 ， acbd0 ）． f n ( x) f n 1 (x) 的数，n N *．（1）求 f 1( x) ， f 2 ( x) ；（2）猜想 f n ( x) 的表达式，并明你的．【解】（1） f1 (x) f 0( x)cx d bc ad2，ax b(ax b)f2 ( x) f1 ( x)cb ad 2 a(bc ad)．⋯⋯ 2分(ax b)2(ax b)3（2）猜想 f n ( x)(1)n1a n 1(bc ad )n!， n N*．⋯⋯ 4分(ax b) n1明：①当 n1，由（ 1）知正确，② 假当n k ，k N*正确，即有 f k ( x)(1)k 1a k 1(bc ad)k! ．(ax b)k1当 n k1，f k 1 (x) f k( x)(1)k 1a k1(bc ad )k!( ax b) k1(1)k1a k 1(bc ad )k!(ax b) (k 1)(1)k a k(bc ad )(k1)!．(ax b) k 2所以当 n k1成立．由①②得，一切n N *正确．⋯⋯10分。

2017年江苏省南通市高考数学三模试卷一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1．（5分）设复数z=a+bi（a，b∈R，i为虚数单位），若z=（4+3i）i，则ab的值是．2．（5分）已知集合U={x|x＞0}，A={x|x≥2}，则?U A=．3．（5分）某人随机播放甲、乙、丙、丁4首歌曲中的2首，则甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率是．4．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的k的值是．5．（5分）为调査某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本，其中大一年级抽取200人，大二年级抽取100人．若其他年级共有学生3000人，则该校学生总人数是．6．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若公差d=2，a5=10，则S10的值是．7．（5分）在锐角△ABC中，AB=3，AC=4，若△ABC的面积为3，则BC的长是．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣y2=1（a＞0）经过抛物线y2=8x的焦点，则该双曲线的离心率是．9．（5分）圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则这个圆锥的高是．10．（5分）若直线y=2x+b为曲线y=e x+x的一条切线，则实数b的值是．11．（5分）若正实数x，y满足x+y=1，则的最小值是．12．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=3，BC=DC=2，若E，F分别是线段DC和BC上的动点，则的取值范围是．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，﹣2），点B（1，﹣1），P 为圆x2+y2=2上一动点，则的最大值是．14．（5分）已知函数f（x）=若函数g（x）=2f（x）﹣ax恰有2个不同的零点，则实数a的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（15分）已知函数f（x）=Asin（ωｘ+）（A＞0，ω＞0）图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，且经过点（，）（1）求函数f（x）的解析式；（2）若角α满足f（α）+f（α﹣）=1，α∈（0，π），求α值．16．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AP=AD，M，N分别为棱PD，PC的中点．求证：（1）MN∥平面PAB（2）AM⊥平面PCD．17．（15分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣1，0），且经过点（1，）．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的弦AB过点F，且与x轴不垂直．若D为x轴上的一点，DA=DB，求的值．18．（15分）如图，半圆AOB是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径OA的长为1百米．为了保护景点，基地管理部门从道路l上选取一点C，修建参观线路C﹣D﹣E﹣F，且CD，DE，EF均与半圆相切，四边形CDEF是等腰梯形，设DE=t百米，记修建每1百米参观线路的费用为f（t）万元，经测算f（t）=（1）用t表示线段EF的长；（2）求修建参观线路的最低费用．19．（15分）已知{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，q ≠±1，正整数组E=（m，p，r）（m＜p＜r）（1）若a1+b2=a2+b3=a3+b1，求q的值；（2）若数组E中的三个数构成公差大于1的等差数列，且a m+b p=a p+b r=a r+b m，求q的最大值．（3）若b n=（﹣）n﹣1，a m+b m=a p+b p=a r+b r=0，试写出满足条件的一个数组E和对应的通项公式a n．（注：本小问不必写出解答过程）20．（15分）已知函数f（x）=ax2+cosx（a∈R）记f（x）的导函数为g（x）（1）证明：当a=时，g（x）在R上的单调函数；（2）若f（x）在x=0处取得极小值，求a的取值范围；（3）设函数h（x）的定义域为D，区间（m，+∞）?D．若h（x）在（m，+∞）上是单调函数，则称h（x）在D上广义单调．试证明函数y=f（x）﹣xlnx 在0，+∞）上广义单调．[选修4-1：几何证明选讲]21．（10分）如图，已知AB为圆O的一条弦，点P为弧的中点，过点P任作两条弦PC，PD分别交AB于点E，F求证：PE?PC=PF?PD．[选修4-2：距阵与变换]22．（10分）已知矩阵M=，点（1，﹣1）在M对应的变换作用下得到点（﹣1，5），求矩阵M的特征值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在坐标系中，圆C的圆心在极轴上，且过极点和点（3，），求圆C的极坐标方程．[选修4-5：选修4-5：不等式选讲]24．知a，b，c，d是正实数，且abcd=1，求证：a5+b5+c5+d5≥a+b+c+d．解答题25．（10分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，∠ADC=∠DAB=90°，SD=AD=AB=2，DC=1（1）求二面角S﹣BC﹣A的余弦值；（2）设P是棱BC上一点，E是SA的中点，若PE与平面SAD所成角的正弦值为，求线段CP的长．26．（10分）已知函数f0（x）=（a≠0，ac﹣bd≠0），设f n（x）为f n﹣1（x）的导数，n∈N*．（1）求f1（x），f2（x）（2）猜想f n（x）的表达式，并证明你的结论．2017年江苏省南通市高考数学三模试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1．（5分）设复数z=a+bi（a，b∈R，i为虚数单位），若z=（4+3i）i，则ab的值是﹣12．【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：∵a+bi=（4+3i）i=﹣3+4i．∴a=﹣3，b=4．∴ab=﹣12．故答案为：﹣12．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．（5分）已知集合U={x|x＞0}，A={x|x≥2}，则?U A={x|0＜x＜2} ．【分析】根据补集的定义写出运算结果即可．【解答】解：集合U={x|x＞0}，A={x|x≥2}，则?U A={x|0＜x＜2}．故答案为：{x|0＜x＜2}．【点评】本题考查了补集的定义与运算问题，是基础题．3．（5分）某人随机播放甲、乙、丙、丁4首歌曲中的2首，则甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率是．【分析】先求出基本事件总数n==6，甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的对立事件是甲、乙2首歌曲都没有被播放，由此能求出甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率．【解答】解：∵随机播放甲、乙、丙、丁4首歌曲中的2首，∴基本事件总数n==6，甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的对立事件是甲、乙2首歌曲都没有被播放，∴甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率：p=1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．4．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的k的值是3．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，循环可得结论．【解答】解：模拟程序的运行，可得S=1，k=1S=2，不满足条件S＞10，k=2，S=6不满足条件S＞10，k=3，S=15满足条件S＞10，退出循环，输出k的值为3．故答案为：3．【点评】本题给出程序框图，要我们求出最后输出值，着重考查了算法语句的理解和循环结构等知识，属于基础题．5．（5分）为调査某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本，其中大一年级抽取200人，大二年级抽取100人．若其他年级共有学生3000人，则该校学生总人数是7500．【分析】由题意，其他年级抽取200人，其他年级共有学生3000人，即可求出该校学生总人数．【解答】解：由题意，其他年级抽取200人，其他年级共有学生3000人，则该校学生总人数是=7500．故答案为：7500．【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，属于基础题．6．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若公差d=2，a5=10，则S10的值是110．【分析】利用等差数列通项公式求出首项a1=2，由此利用等差数列前n项和公式能求出S10．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，若公差d=2，a5=10，∴a5=a1+4×2=10，解得a1=2，∴S10=10×2+=110．故答案为：110．【点评】本题考查等差数列的前10项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．7．（5分）在锐角△ABC中，AB=3，AC=4，若△ABC的面积为3，则BC的长是．【分析】利用三角形的面积公式求出A，再利用余弦定理求出BC．【解答】解：因为锐角△ABC的面积为3，且AB=3，AC=4，所以×3×4×sinA=3，所以sinA=，所以A=60°，所以cosA=，所以BC===．故答案为：．【点评】本题考查三角形的面积公式，考查余弦定理的运用，比较基础．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣y2=1（a＞0）经过抛物线y2=8x的焦点，则该双曲线的离心率是．【分析】根据题意，由抛物线的方程可得其焦点坐标，将其代入双曲线的方程可得a2的值，即可得双曲线的方程，计算可得c的值，由双曲线离心率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线的方程为y2=8x，其焦点为（2，0），若双曲线﹣y2=1（a＞0）经过点（2，0），则有﹣0=1，解可得a2=4，即双曲线的方程为：﹣y2=1，则a=2，c==，则双曲线的离心率e==；故答案为：．【点评】本题考查双曲线、抛物线的几何性质，注意由抛物线的几何性质求出其焦点坐标．9．（5分）圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则这个圆锥的高是2．【分析】利用扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解得到圆锥的底面半径，然后利用勾股定理确定圆锥的高即可．【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，2πr=，r=1；圆锥的高为：=2．故答案为：2．【点评】主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．10．（5分）若直线y=2x+b为曲线y=e x+x的一条切线，则实数b的值是1．【分析】先设出切点坐标P（x0，e x0+x0），再利用导数的几何意义写出过P的切线方程，最后由直线是y=2x+b是曲线y=e x+x的一条切线，求出实数b的值．【解答】解：∵y=e x+x，∴y′=e x+1，设切点为P（x0，e x0+x0），则过P的切线方程为y﹣e x0﹣x0=（e x0+1）（x﹣x0），整理，得y=（e x0+1）x﹣e x0?x0+e x0，∵直线是y=2x+b是曲线y=e x+x的一条切线，∴e x0+1=2，e x0=1，x0=0，∴b=1．故答案为1．【点评】本题考查导数的几何意义，解题时要注意发现隐含条件，辨别切线的类型，分别采用不同策略解决问题．11．（5分）若正实数x，y满足x+y=1，则的最小值是8．。

江苏省南通市2017年高考一模数学试卷答 案1．2π3 2．{135},, 3．3- 4．0.17 5．5 6．7 7．20 8．32910．1322111213．(,2)(2,)-∞-+∞14．15．解：（1）在AOB △中，由余弦定理得，2222cos AB OA OB OA OB AOB =+∙∠-，所以，2222221135cos 22115OA OB ABAOB OA OB+-+-∠===⨯⨯， 即3cos 5β=． （2）因为3cos 5β=，(0,)2πβ∈，∴4sin 5β==． 因为点A 的横坐标为513，由三角函数定义可得，5cos 13α=，因为α为锐角，所以12sin 13α===．所以5312433cos()cos cos sin sin 13513565αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-，sin()sin cos cos αβαβα+=+1235456sin 13513565β=⨯+⨯=， 即点3356(,)6565B -．16．证明：（1）连结OE ，因为O 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以O 为AC 中点． 又因为E 为PC 的中点， 所以//OE PA ．…4分又因为OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ， 所以直线//PA 平面BDE ．…6分（2）因为//OE PA ，PA PD ⊥，所以OE PD ⊥．…8分 因为OP OC =，E 为PC 的中点，所以OE PC ⊥．…10分 又因为PD ⊂平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，PC PD P =，所以OE ⊥平面PCD ．…12分又因为OE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面PCD ．…14分．17．解：（1）由题意得，c a =，21a c c -=，…2分解得a =1c =，1b =．所以椭圆的方程为2212x y +=．…4分（2）由题意知OP 的斜率存在．当OP 的斜率为0时，2OP =，2OQ =，所以．…6分当OP 的斜率不为0时，设直线OP 方程为y kx =．由2212x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩得22212k x +=()，解得22221x k =+，所以222221k y k =+，所以2222221k OP k +=+．…9分 因为OP OQ ⊥，所以直线OQ 的方程为1y x k=．由1y y xk ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得x =，所以2222OQ k =+．…12分 所以222221*********k OP OQ k k ++=+=++． 综上，可知22111OP OQ +=．…14分． 18．解：（1）当π4EFP ∠=时，由条件得π4EFP EFD FEP ∠=∠=∠=． 所以π2FPE ∠=．所以FN BC ⊥， 四边形MNPE 为矩形．…3分所以四边形MNPE 的面积2•2S PN MN m ==．…5分 （2）解法一： 设(0)2EFD πθθ∠=<<，由条件，知EFP EFD FEP θ∠=∠=∠=．所以22sin(2)sin 2PF πθθ==-，23sin 2NP NF PF θ=-=-，23tan ME θ=-．…8分 由230sin 2230tan 02θθπθ⎧->⎪⎪⎪->⎨⎪⎪<<⎪⎩得2sin 232tan ,()30.2θθπθ⎧>⎪⎪⎪>*⎨⎪⎪<<⎪⎩所以四边形MNPE 面积为112222()[(3)(3)]2622sin 2tan tan sin 2S NP ME MN θθθθ=+=-+-⨯=--2222(sin cos )366(tan )tan 2sin cos tan θθθθθθθ+=--=-+…12分66≤-- 当且仅当3tan tan θθ=，即tan θ，π3θ=时取“=”．…14分 此时，（*）成立． 答：当π3EFD ∠=时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE 面积最大，最大值为26-．…16分 解法二：设BE tm =，36t ＜＜，则6ME t =-．因为EFP EFD FEP ∠=∠=∠，所以PE PF =t BP -．所以2132(3)t BP t -=-，213333()32(3)t NP PF PE t BP t t -=-=-=--=-+-．…8分由22361302(3)13302(3)t t t tt t ⎧⎪<<⎪⎪-⎪>⎨-⎪⎪-⎪-+>-⎪⎩得236()12310t t t t <<⎧⎪>*⎨⎪-+<⎩ 所以四边形MNPE 面积为22111333067()[(3)(6)]2222(3)2(3t)t t t S NP ME MN t t t --+=+=-++-⨯=--…12分326[(3)]623t t =--+≤--．当且仅当32(3)23t t -=-，即33t ==+时取“=”．…14分 此时，（*）成立． 答：当点E 距B点33+m 时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE 面积最大，最大值为6-2．…16分．19．解：（1）当38a =时，23()ln 8f x x x x =--．所以31(32)(2)'()144x x f x x x x+-=--=，0x (＞)．…2分令'()0f x =，得2x =，当0,2x ∈()时，'0f x ()＜；当2x ∈+∞(,)时，'0f x ()＞，所以函数f x ()在02(,)上单调递减，在2+∞(,)上单调递增． 所以当2x =时，f x ()有最小值1(2)ln 22f =--．…4分（2）由2ln f x ax x x =()--，得2121'()21ax x f x ax x x--=--=，0x >．所以当0a ≤时，221'()0ax x f x x--=<，函数f x ()在0+∞(,)上单调递减，所以当0a ≤时，函数f x ()在0+∞(,)上最多有一个零点．…6分因为当10a ≤≤-时，110f a =()-＜，221()0e e af e e-+=>， 所以当10a ≤≤-时，函数f x ()在0+∞(,)上有零点． 综上，当10a ≤≤-时，函数f x ()有且只有一个零点．…8分（3）由（2）知，当0a ≤时，函数f x ()在0+∞(,)上最多有一个零点． 因为函数f x ()有两个零点，所以0a ＞…9分由2ln f x ax x x =()--，得221'()ax x f x x--=，(0)x >，令221g x ax x =()--．因为010g =()-＜，20a ＞，所以函数g x ()在0+∞(,)上只有一个零点，设为0x ．当00x x ∈(,)时，0g x ()＜，'0f x ()＜；当0x x ∈+∞(,)时，0g x ()＞，'0f x ()＞． 所以函数f x ()在00x (,)上单调递减；在0x +∞(,)上单调递增． 要使得函数f x ()在0+∞(,)上有两个零点，只需要函数f x ()的极小值00f x ()＜，即2000ln 0ax x x --<．又因为2000()210g x ax x =--=，所以002ln 10x x +-＞， 又因为函数2ln 1h x x x =+()-在0+∞(,)上是增函数，且10h =()， 所以01x ＞，得0101x <<． 又由20210ax x --=，得22000111112()()24a x x x =+=+-， 所以01a ＜＜．…13分 以下验证当01a ＜＜时，函数f x ()有两个零点． 当01a ＜＜时，21211()10a ag a a a a -=--=>， 所以011x a<<．因为22211()10a e e af e e e e-+=-+=>，且00f x ()＜． 所以函数f x ()在01(,)x e上有一个零点．又因为2242222()ln (1)10a f a a a a a a=--≥--=>（因为ln 1x x ≤﹣），且00f x ()＜．所以函数f x ()在02(,)x a上有一个零点．所以当01a ＜＜时，函数f x ()在12(,)e a内有两个零点． 综上，实数a 的取值范围为01(，)．…16分 下面证明：ln 1x x ≤-． 设1ln t x x x =()--，所以11'()1x t x x x-=-=，0x (＞)． 令'0t x =()，得1x =．当01x ∈(,)时，'0t x ()＜；当1x ∈+∞(,)时，'0t x ()＞． 所以函数t x ()在01(,)上单调递减，在1+∞(,)上单调递增． 所以当1x =时，t x ()有最小值10t =()． 所以1ln 0t x x x =≥()--，得ln 1x x ≤-成立．20．解：（1）由已知可得：1a ，3a ，8a 成等比数列，所以2111(2)(7)a d a a d +=+，…2分整理可得：2143d a d =．因为0d ≠，所以143a d =．…4分 （2）设数列{}n k 为等比数列，则2213k k k =．又因为1k a ，2k a ，3k a 成等比数列，所以2111312[(1)][(1)][(1)]a k d a k d a k d +-+-=+-．整理，得21213132132(2)(2)a k k k d k k k k k k --=---+．因为2213k k k =，所以121321322a k k k d k k k =(--)(--)．因为2132k k k ≠+，所以1a d =，即11a d=．…6分 当11a d=时，11n a a n d nd =+=(-)，所以n k n a k d =． 又因为1111n n n k k a a q k dq --==，所以11n n k k q -=．所以1111nn n n k k q q k k q +-==，数列{}n k 为等比数列． 综上，当11a d=时，数列{}n k 为等比数列．…8分 （3）因为数列{}n k 为等比数列，由（2）知1a d =，11(1)n n k k q q -=>．1111111n n n n k k a a q k dq k a q ---===，111n a a n d na =+=(-)．因为对于任意*n N ∈，不等式2n n k n a a k +>恒成立． 所以不等式1111112n n na k a qk q --+>，即111112n n k q a n k q -->+，111111110222n n n n k q qna k q k q --+<<=+恒成立．…10分下面证明：对于任意的正实数01εε(＜＜)，总存在正整数1n ，使得11n n q ε<． 要证11n n q ε<，即证11ln ln ln n n q ε+＜． 因为11ln 2x x x e ≤<，则1122111ln 2ln n n n =<，解不等式1211ln ln n n q ε<+，即1122211()ln ln 0n q n ε-+>，可得121n >，所以21n >．不妨取01n =+，则当10n n ＞时，原式得证． 所以11102a <≤，所以12a ≥，即得1a 的取值范围是[2+∞,)．…16分 21．解：设CD x =，则2CE x =． 因为1CA =，3CB =，由相交弦定理，得••CA CB CD CE =， 所以213?22x x x ⨯==，所以2x =．…2分 取DE 中点H ，则OH DE ⊥．因为2222354()28OH OE EH x =-=-=，所以OH =．…6分又因为2CE x ==所以OCE ∆的面积1122S OH CE ==⨯=10分． 22．解：设a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，因为向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦是矩阵A 的属于特征值1-的一个特征向量，所以111(1)111a b cd -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦．所以11a b c d -=-⎧⎨-=⎩…4分 因为点11P (,)在矩阵A 对应的变换作用下变为'33P (,)， 所以1313a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．所以33a b c d +=⎧⎨+=⎩…8分 解得1a =，2b =，2c =，1d =，所以1221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．…10分．23．解：以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系． 直线π()4R θρ=∈的直角坐标方程为y x =①，…3分 曲线4sin ρθ=的直角坐标方程为2240x y y +=-②．…6分由①②得00x y =⎧⎨=⎩或22x y =⎧⎨=⎩…8分所以00A(,)，22B (,)，所以直线π()4R θρ=∈被曲线4sin ρθ=所截得的弦长AB =．…10分．24．解：3sin 3sin y x x =++2分由柯西不等式得222222(3sin (34)(sin cos )25y x x x =+≤++=，…8分 所以5max y =，此时3sin 5x =．所以函数3sin y x =+5．…10分．25．解：以1{,,}AB AD AA 为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -． （1）因为(1,2,2)AP =，(2,0,1)AQ =，所以cos ,15APAQ AP AQ AP AQ===．所以AP 与AQ ．…4分 （2）由题意可知，1(0,0,2)AA =，(2,0,2)AQ λ=． 设平面APQ 的法向量为z n x y =(,,)，则00n AP n AQ ⎧=⎪⎨=⎪⎩即220220x y z x z λ++=⎧⎨+=⎩令2z =-，则2x λ=，2y λ=-． 所以222n λλ=(,-,-)．…6分又因为直线1AA 与平面APQ 所成角为45︒， 所以111cos ,2n AA n AA n AA ==， 可得2540λλ=-，又因为0λ≠，所以45λ=．…10分．26．解：（1）抛物线220x py p =(＞)的准线方程为2py =， 因为1M m (,)，由抛物线定义，知12pMF =+， 所以122p+=，即2p =，所以抛物线的方程为24x y =．…3分（2）因为214y x =，所以1'2y x =． 设点2(,)4t E t ，0t ≠，则抛物线在点E 处的切线方程为21()42t y t x t -=-．令0y =，则2tx =，即点(,0)2t P ．因为(,0)2t P ，01F (,)，所以直线PF 的方程为2()2ty x t =-，即20x ty t +=-． 则点2(,)4t E t 到直线PF的距离为d ==5分 联立方程2420x y x ty t ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩消元，得2222(2t 16)0t y y t -++=． 因为224221646440t t t =+=+△()-()＞，所以1y =，2y = 所以221212222164(4)1122t t AB y y y y t t++=+++=++=+=．…7分 所以EAB △的面积为3222214(4)1(4)22t t S t t++=⨯=⨯． 不妨设322(4)()(0)x g x x x +=>，则12222(4)'()(24)x g x x x+=-．因为x ∈时，'0g x ()＜ ，所以g x ()在)x ∈+∞上，'0g x ()＞，所以g x ()在)+∞上单调递增．所以当x时，32min()g x ==所以EAB △的面积的最小值为10分．江苏省南通市2017年高考一模数学试卷解析1．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期等于，得出结论．【解答】解：函数的最小正周期为，故答案为：．2．【考点】并集及其运算．【分析】由交集的定义，可得a+2=3，解得a，再由并集的定义，注意集合中元素的互异性，即可得到所求．【解答】解：集合A={1，3}，B={a+2，5}，A∩B={3}，可得a+2=3，解得a=1，即B={3，5}，则A∪B={1，3，5}．故答案为：{1，3，5}．3．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案．【解答】解：∵z=（1+2i）2=1+4i+（2i）2=﹣3+4i，∴z的实部为﹣3．故答案为：﹣3．4．【考点】概率的基本性质．【分析】利用对立事件的概率公式，可得结论．【解答】解：∵摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，∴摸出蓝球的概率为1﹣0.48﹣0.35=0.17．故答案为0.17．5．【考点】程序框图．【分析】由已知的程序框图可知，该程序的功能是利用循环计算a值，并输出满足a＜16的最大n值，模拟程序的运行过程可得答案．【解答】解：当n=1，a=1时，满足进行循环的条件，执行循环后，a=5，n=3；满足进行循环的条件，执行循环后，a=17，n=5；满足进行循环的条件，退出循环故输出n值为5故答案为：5．6．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=3x+2y得y=﹣x+z平移直线y=﹣x+z ，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得A（1，2），代入目标函数z=3x+2y得z=3×1+2×2=7．即目标函数z=3x+2y的最大值为7．故答案为：7．7．【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据题意，分别求出甲、乙的平均数与方差，比较可得S甲2＞S乙2，则乙的成绩较为稳定；即可得答案．【解答】解：根据题意，对于甲，其平均数甲==75，其方差S甲2=[（65﹣75）2+（80﹣75）2+（70﹣75）2+（85﹣75）2+（75﹣75）2]=50；对于乙，其平均数乙==75，其方差S乙2=[（80﹣75）2+（70﹣75）2+（75﹣75）2+（80﹣75）2+（70﹣75）2]=20；比较可得：S甲2＞S乙2，则乙的成绩较为稳定；故答案为：20．8．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】三棱锥D1﹣A1BD的体积==，由此能求出结果．【解答】解：∵在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3cm，AA1=1cm，∴三棱锥D1﹣A1BD的体积：=====（cm3）．故答案为：．9．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的渐近线方程得到a，b关系，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：直线2x+y=0为双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线，可得b=2a，即c2﹣a2=4a2，可得=．故答案为：．10．【考点】等差数列的通项公式．【分析】设最上面一节的容积为a1，利用等差数列的通项公式、前n项和公式列出方程组，能求出结果．【解答】解：设最上面一节的容积为a1，由题设知，解得．故答案为：．11．【考点】平面向量数量积的运算；正弦定理．【分析】根据题意，利用平面向量的数量积，结合余弦定理和正弦定理，即可求出的值．【解答】解：在△ABC中，设三条边分别为a、b，c，三角分别为A、B、C，由•+2•=•，得ac•cosB+2bc•cosA=ba•cosC，由余弦定理得：（a2+c2﹣b2）+（b2+c2﹣a2）=（b2+a2﹣c2），化简得=2，∴=，由正弦定理得==．故答案为：．12．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】联立两曲线方程，可得tanx==，a＞0，设交点P（m，n），分别求出f（x），g（x）的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，再由同角基本关系式，化弦为切，解方程即可得到a的值．【解答】解：由f（x）=g（x），即2sinx=acosx，即有tanx==，a＞0，设交点P（m，n），f（x）=2sinx的导数为f′（x）=2cosx，g（x）=acosx的导数为g′（x）=﹣asinx，由两曲线在点P处的切线互相垂直，可得2cosm•（﹣asinm）=﹣1，且tanm=，则=1，分子分母同除以cos2m，即有=1，即为a2=1+，解得a=．故答案为：．13．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】令g（x）=f（x2+2）﹣f（x）=x2+2+|x2﹣2|﹣|x|﹣|x﹣4|，通过讨论x的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可．【解答】解：令g（x）=f（x2+2）﹣f（x）=x2+2+|x2﹣2|﹣|x|﹣|x﹣4|，x≥4时，g（x）=2x2﹣2x+4＞0，解得：x≥4；≤x＜4时，g（x）=2x2﹣4＞0，解得：x＞或x＜﹣，故＜x＜4；0≤x＜时，g（x）=0＞0，不合题意；﹣≤x＜0时，g（x）=2x＞0，不合题意；x＜﹣时，g（x）=2x2+2x﹣4＞0，解得：x＞1或x＜﹣2，故x＜﹣2，故答案为：．14．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】画出图形，当BC⊥OA时，|BC|取得最小值或最大值，求出BC坐标，即可求出|BC|的长的取值范围．【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2+y2=4上两点，点A（1，1），且AB⊥AC，如图所示当BC⊥OA时，|BC|取得最小值或最大值．由，可得B（，1）或（，1），由，可得C（1，）或（1，﹣）解得BC min==，BC max==．故答案为：[，]．15．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】（1）由条件利用余弦定理，求得cosβ的值．（2）利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦、余弦公式，求得点B的坐标．16．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结OE，说明OE∥PA．然后证明PA∥平面BDE．（2）证明OE⊥PD．OE⊥PC．推出OE⊥平面PCD．然后证明平面BDE⊥平面PCD．17．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由已知条件可得，，然后求解椭圆的方程．（2）由题意知OP的斜率存在．当OP的斜率为0时，求解结果；当OP的斜率不为0时，设直线OP方程为y=kx．联立方程组，推出．OQ2=2k2+2．然后求解即可．18．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）当∠EFP=时，由条件得∠EFP=∠EFD=∠FEP=．可得FN⊥BC，四边形MNPE为矩形．即可得出．（2）解法一：设，由条件，知∠EFP=∠EFD=∠FEP=θ．可得，，．四边形MNPE面积为==，化简利用基本不等式的性质即可得出．解法二：设BE=tm，3＜t＜6，则ME=6﹣t．可得PE=PF，即．，NP=3﹣T+，四边形MNPE面积为==，利用基本不等式的性质即可得出．19．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）当时，．求出函数的导数，得到极值点，然后判断单调性求解函数的最值．（2）由f（x）=ax2﹣x﹣lnx，得．当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上最多有一个零点，当﹣1≤a≤0时，f（1）=a﹣1＜0，，推出结果．（3）由（2）知，当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上最多有一个零点．说明a＞0，由f（x）=ax2﹣x ﹣lnx，得，说明函数f（x）在（0，x0）上单调递减；在（x0，+∞）上单调递增．要使得函数f（x）在（0，+∞）上有两个零点，只需要．通过函数h（x）=2lnx+x﹣1在（0，+∞）上是增函数，推出0＜a＜1．验证当0＜a＜1时，函数f（x）有两个零点．证明：lnx≤x﹣1．设t（x）=x﹣1﹣lnx，利用导数求解函数的最值即可．20．【考点】数列与不等式的综合；等比数列的性质．【分析】（1）由已知得：a1，a3，a8成等比数列，从而4d2=3a1d，由此能求出的值．（2）设数列{k n}为等比数列，则，推导出，从而，进而．由此得到当时，数列{k n}为等比数列．（3）由数列{k n}为等比数列，a1=d，．得到，恒成立，再证明对于任意的正实数ε（0＜ε＜1），总存在正整数n1，使得．要证，即证lnn1＜n1lnq+lnε．由此能求出a1的取值范围．21．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由相交弦定理，得CD，DE中点H，则OH⊥DE，利用勾股定理求出OH，即可求出△OCE的面积．22．【考点】特征值与特征向量的计算．【分析】设，根据矩阵变换，列方程组，即可求得a、b、c和d的值，求得A．23．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】极坐标方程化为直角坐标方程，联立，求出A，B的坐标，即可求直线被曲线ρ=4sinθ所截得的弦长．24．【考点】柯西不等式在函数极值中的应用；三角函数的最值．【分析】利用二倍角公式化简函数的解析式，利用柯西不等式求解函数的最值即可．25．【考点】直线与平面所成的角．【分析】（1）以为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A﹣xyz．求出，，利用数量积求解AP与AQ所成角的余弦值．（2），．求出平面APQ的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．26．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；抛物线的标准方程；直线与抛物线的位置关系．【分析】（1）求出抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为，由抛物线定义，得到p=2，即可求解抛物线的方程．（2）求出函数的．设点，得到抛物线在点E处的切线方程为．求出．推出直线PF的方程，点到直线PF的距离，联立求出AB，表示出△EAB的面积，构造函数，通过函数的导数利用单调性求解最值即可．。