人教版数学选修1-1：2.3.2《抛物线的简单几何性质》ppt课件

A
x
小结:
1.掌握抛物线的几何性质:范围、对称性、顶点、
离心率、通径;
2.会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、 焦点坐标及解决其它问题;
2.3.2 抛物线的简单几何性质 (二)
图形
标准方程
2
范围
对称性
关于x 轴 对称，无 对称中心
关于x 轴 对称，无 对称中心 关于y 轴 对称，无 对称中心 关于y 轴 对称，无 对称中心
点M (2,2 2 ),所以，可设它的标准方 程为y 2 2 Px( P 0)
因为点M在抛物线上，所以 (2 2 )2 2P 2，即p 2
因此，所求抛物线的标 准方程是y 4x
2
变式: 顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点
M(2, 2 2 )的抛物线有几条,求它的标准方程.
y
分析：运用 抛物线的定 义和平面几 何知识来证 比较简捷．
C H D E F A
B O
x
证明：如图．
设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线l引垂 线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，
则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜ ∴｜AB｜ ＝｜AF｜＋｜BF｜ ＝｜AD｜＋｜BC｜ =2｜EH｜ 所以EH是以AB为直径的 圆E的半径，且EH⊥l，因 而圆E和准线l相切．
顶点
离心率 e=1
y 2 px x 0, ( p 0) y R
y 2 px x 0, ( p 0) y R
2
(0,0)
(0,0) (0,0) (0,0)
e=1
x 2 py y 0, ( p 0) x R
2
e=1
x 2 py y 0, ( p 0) x R
y∈R
(0,0) 1 y≥0 x∈R y轴 y≤0
y
O
F
l
y
O F
= -2py F (0, p ) y p 2 x（p>0） 2
l
x∈R
典型例题： 例1.已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标 原点,并且过点M(2, Байду номын сангаас2 2 ),求它的标准方程.
当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m ≠0)(x2=2my (m≠0)),可避免讨论 解：因为抛物线关于 x轴对称，它的顶点在原 点，并且经过
2
e=1
例 1 已知抛物线的方程为 y 4 x ,直线 l 过定点 P (2,1) , 斜率为 k , k 为何值时 ,直线 l 与抛物线 y 2 4 x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点;⑶ 没有公共点?
2
分析:直线与抛物 线有一个公共点 的情况有两种情 形：一种是直线 平行于抛物线的 对称轴； 另一种是直线与 抛物线相切．
解：因为直线AB过定点F且不与x轴平
行,设直线AB的方程为
2
y 2 px p O 2 p y 2 p ( my ) 2 x my 2
即：y 2 pmy p 0
2 2
p x my 2
y A F B x
y1 y2 p （定值）
直线与抛物线没有公 共点时△<0
1 综上所述，当 k 1，或k ，或k 0时， 2 即直线与抛物线只有一 个公共点。 1 当 1 k , 且k 0时， 2 即直线与抛物线有两个 公共点。 1 当k 1或k 时， 2 即直线与抛物线没有公 共点。
注:在方程中,二次项系数含有k,所以要对k进行讨论
2
例2、过抛物线焦点作直线交抛物线y 2 2 px( p 0)于 A，B两点，设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 求证 : y1 y2 p 2 .
y
联想 : 在同样的条件下， 注意到 y1 y2 p 2 , 那么x1 x2 ________?
(1)b=1
(2)b<1
(3)b>1,当直线与抛物线有公共点时,b的 最大值当直线与抛物线相切时取得.其值 为1
变式二:已知实数x、y满足方程y2=4x,求函数 的最值 本题转化为过定点(-2,1)的直线与抛物线有公共点时 斜率的最值问题.
k max 1 2 k min 1
y 1 z x2
4.抛物线的离心率是确定的,为1;
-3 -4 -5
5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.
P越大,开口越开阔
图 形
y
l O F
方程
焦点 准线 范围 顶点 对称轴
x≥0 y∈R x≤0 x轴
e
y2 = 2px p p F ( , 0 ) x x （p>0） 2 2
l
y
F O
y2 = -2px p p F ( ,0) x 2 x（p>0） 2 x2 = 2py p p F (0, ) y 2 2 x （p>0） x2

判断直线与抛物线位置关系的操作程序
把直线方程代入抛物线方程
得到一元一次方程 直线与抛物线的 对称轴平行 相交（一个交点）
得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 <0
相交
相切
相离
解：由题意，设直线 l的方程为y 1 k ( x 2).
y 1 k ( x 2) 2 由方程组 可得 ky 4 y 4(2k 1) 0 2 y 4x
2.3.2《抛物线的简单几何性质》
教学目标

知识与技能目标 使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准 方程出发，推导这些性质． 从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学 生分析、归纳、推理等能力 过程与方法目标 复习与引入过程 1．抛物线的定义是什么？ 请一同学回答．应为：“平面内与一个定点F和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．” 2．抛物线的标准方程是什么？ 再请一同学回答．应为：抛物线的标准方程是y2=2px(p＞0)， y2=-2px(p＞0)，x2=2py(p＞0)和x2=-2py(p＞0)． 下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质，从抛物线的标准方 程y2=2px(p＞0)出发来研究它的几何性质．《板书》抛物线 的几何性质
AB 2 ( x1 x2 ) 2 4 x1 x2 8
所以，线段 AB的长是8。
例2.斜率为1的直线L经过抛物线 y2 = 4x 的焦点F, 且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长. 解法二:由题意可知, p p 2, 1, 准线l : x 1. 2
y
A’
A O F B
20由 0，即2k 2 k 1 0
分析:
1 直线与抛物线有两个 解得 1 k . 2 公共点时△>0 1 即当 1 k , 且k 0时，方程组有两个解， 2 即直线与抛物线有两个 公共点。 分析:
30由 0，即2k 2 k 1 0
1 解得 k 1，或 k . 2 1 即当k 1或k 时，方程组没有实数解 ， 2 即直线与抛物线没有公 共点。
(1)当k 0时，由方程得 y 1.
1 这时，直线 l与抛物线只有一个公共 点( ,1) 4
1 把y 1代入 y 4 x, 得x . 4
2
(2)当k 0时，方程的判别式为 ＝16(2k 2 k 1).
10由＝0，即2k 2 k 1 0
1 解得 k 1, 或k . 2 1 即当k 1，或k 时，方程组只有一个解 ， 2 即直线与抛物线只有一 个公共点。
x
设A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), A, B到 准线l的距离分别为 d A , dB .
由抛物线的定义可知 AF d A x1 1, BF d B x2 1,
B’
所以 AB AF BF x1 x2 2 8
变式： 过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m， 交这抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆 和这抛物线的准线相切．
X
(2)对称性 关于x轴对称,对称轴 又叫抛物线的轴. (3)顶点
抛物线和它的轴的交点.
(4)离心率
始终为常数1 |PF|=x0+p/2
y
P
(5)焦半径
(6)通径
O
F
x
通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相 交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的 通径。 通径的长度：2P
利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出 反映抛物线基本特征的草图。
y
C H D E F A
B O
x
练习: 1.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴， 焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径 16 长是______________.
0 2 = 8x y 2.过抛物线 的焦点,作倾斜角为 45
16 的直线,则被抛物线截得的弦长为_________
3.垂直于x轴的直线交抛物线y2=4x于A、B, 3 且|AB|=4 ,求直线AB的方程. X=3
思考：通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗？
特点
1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无 限延伸,但它没有渐近线; 2
y =4x y2=2x 2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心 ; 2
4 3 2 1 -2 2 4 6 8 10
2 3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线 ;
-1 -2
y =x 1 2 y = x
例 2 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y 2 4 x 的焦点 F, 且与抛物线相交于 A、B 两点,求线段 AB 的长.
解这题,你有什么方法呢?
法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大);