动态几何型问题综合练习

2023年中考数学一轮综合培优测试卷：二次函数-动态几何问题一、综合题1．如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）经过A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当点P 到点A 、点B 的距离之和最短时，求点P 的坐标；（3）点M 也是直线l 上的动点，且△MAC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标．2．如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴相交于A （﹣1，0），B （3，0），与y 轴交于点C （0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC ，点P 为抛物线上第一象限内一动点，当△BCP 面积最大时，求点P 的坐标；（3）设点D 是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点Q ，使以点B ，C ，D ，Q 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．3．如图，抛物线y=﹣x 2+6x 与x 轴交于点O ，A ，顶点为B ，动点E 在抛物线对称轴上，点F 在对称轴右侧抛物线上，点C 在x 轴正半轴上，且EF OC ，连接OE ，CF 得四边形OCFE ．//=（1）求B 点坐标；（2）当tan ∠EOC= 时，显然满足条件的四边形有两个，求出相应的点F 的坐标；43（3）当0＜tan ∠EOC ＜3时，对于每一个确定的tan ∠EOC 值，满足条件的四边形OCFE 有两个，当这两个四边形的面积之比为1：2时，求tan ∠EOC ．4．若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线C 1：y 1=﹣2x 2+4x+2与C 2：y 2=﹣x 2+mx+n 为“友好抛物线”．（1）求抛物线C 2的解析式．（2）点A 是抛物线C 2上在第一象限的动点，过A 作AQ ⊥x 轴，Q 为垂足，求AQ+OQ 的最大值．（3）设抛物线C 2的顶点为C ，点B 的坐标为（﹣1，4），问在C 2的对称轴上是否存在点M ，使线段MB 绕点M 逆时针旋转90°得到线段MB′，且点B′恰好落在抛物线C 2上？若存在求出点M 的坐标，不存在说明理由．5．如图，已知抛物线 与直线AB 交于 、 两点，与y 轴交于y =−x 2+bx +c A(−1，0)B(2，3)点C ，顶点为D ．（1）求抛物线的解析式；（2）求△ABD的面积；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△APC是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(−1,0)OA=OC=4OB6．如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，且，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)A,B,C图象经过三点.A,C（1）求两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；P AC PD⊥AC D PD （3）若点是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点，当的值最大P PD时，求此时点的坐标及的最大值.7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PD⊥AC于点D（点P不与点A、B重合），作∠DPQ=60°，边PQ交射线DC于点Q．设点P的运动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示线段DC的长；（2）当点Q与点C重合时，求t的值；（3）设△PDQ与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（4）当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，直接写出t的值．8．已知，经过点A（－4，4）的抛物线y=ax2+bx与x轴相交于点B（－3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，过点A作AH⊥x轴，垂足为H，平行于y轴的直线交线段AO于点Q，交抛物线于点P，当四边形AHPQ为平行四边形时，求∠AOP的度数；（3）如图2，试探究：在抛物线上是否存在点C，使∠CAO＝∠BAO？若存在，请求出直线AC解析式；若不存在，请说明理由．9．如图，已知△ABC是边长为12的正三角形，AD是边BC上的高线，CF是外角ACE的平分线，点P是边BC B，C不重合），∠APQ＝60°，射线PQ分别与边AC，射线CF交于点N，Q．（1）求证：△ABP∽△PCN；（2）不管点P运动到何处，在不添辅助线的情况下，除第（1）小题中的一对相似三角形外，请写出图中其它的所有相似三角形；（3）当点P从BD的中点运动到DC的中点时，点N都随着点P的运动而运动．在此过程中，试探究：能否求出点N运动的路径长？若能，请求出这个长度；若不能，请说明理由．10．已知二次函数y = -x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C （0，3），M 为它的顶点．（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）连接MC 、BC 、BM ，画出图象并求出△MCB 的面积S △MCB ．11．已知二次函数y ＝ax 2+2x+c 的图象经过点（1，4）和（0，3）两点，与x 轴交于A 、B 两点（A点在B 点的左侧）．（1）求二次函数的表达式及对称轴；（2）若点P 在此抛物线上，且在x 轴上方，求△PAB 的最大面积．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数y= 的图象经过点A （2，0）和点14x 2+mx +nB （1，﹣ ），直线l 经过抛物线的顶点且与y 轴垂直，垂足为Q ．34（1）求该二次函数的表达式；（2）设抛物线上有一动点P 从点B 处出发沿抛物线向上运动，其纵坐标y 1随时间t （t≥0）的变化规律为y 1=﹣ +2t ．现以线段OP 为直径作⊙C ．34①当点P 在起始位置点B 处时，试判断直线l 与⊙C 的位置关系，并说明理由；在点P 运动的过程中，直线l 与⊙C 是否始终保持这种位置关系？请说明你的理由．②若在点P 开始运动的同时，直线l 也向上平行移动，且垂足Q 的纵坐标y 2随时间t 的变化规律为y 2=﹣1+3t ，则当t 在什么范围内变化时，直线l 与⊙C 相交？此时，若直线l 被⊙C 所截得的弦长为a ，试求a 2的最大值．13．如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 .y =x 2+x−2x A B y CA B C（1）求点，点和点的坐标；P PB+PC P（2）在抛物线的对称轴上有一动点，求的值最小时的点的坐标；M AC M ABCM （3）若点是直线下方抛物线上一动点，运动到何处时四边形面积最大，最大值面积是多少？14．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+5与y轴交于点A，与x轴交于点B．抛物线y＝﹣x2+bx+c过A、B两点．（1）点A，B的坐标分别是A ，B ；（2）求抛物线的解析式；（3）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一动点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积．y=ax2+bx+c C(0，−5)x15．如图，已知抛物线与y轴交于点，与轴交于点A和点B，其(5,0)x=2中点B的坐标为抛物线对称轴为直线．（1）求抛物线的解析式；（2）当 时，y 的取值范围为　　．0<x <5（3）点P 为该二次函数在第四象限内图像上的一动点，过点P 作 轴，交 于点Q ，PQ//y BC 设线段 长为l ，求l 的最大值，并写出此时点P 的坐标．PQ 16．如图，对称轴为直线x= 的抛物线经过点A （6，0）和B （0，4）．72（1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；①当平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形？②是否存在点E ，使平行四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．答案解析部分1．【答案】（1）解：将A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）代入抛物线y=ax 2+bx+c 中，得：，{a−b +c =09a +3b +c =0c =−3解得： {a =1b =−2c =−3故抛物线的解析式：y=x 2﹣2x﹣3（2）解：当P 点在x 轴上，P ，A ，B 三点在一条直线上时，点P 到点A 、点B 的距离之和最短，此时x=﹣ =1，b2a 故P （1，0）（3）解：如图所示：抛物线的对称轴为：x=﹣ =1，设M （1，m ），已知A （﹣1，0）、C （0，﹣3），则：b2a MA 2=m 2+4，MC 2=（3+m ）2+1=m 2+6m+10，AC 2=10；①若MA=MC ，则MA 2=MC 2，得：m 2+4=m 2+6m+10，解得：m=﹣1，②若MA=AC ，则MA 2=AC 2，得：m 2+4=10，得：m=± ；6③若MC=AC ，则MC 2=AC 2，得：m 2+6m+10=10，得：m 1=0，m 2=﹣6；当m=﹣6时，M 、A 、C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；综上可知，符合条件的M 点，且坐标为 M （1， ）（1，﹣ ）（1，﹣1）（1，0）．662．【答案】（1）解：设抛物线解析式为y=a （x+1）（x﹣3），把C （0，3）代入得a•1•（﹣3）=3，解得a=﹣1，所以抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3），即y=﹣x 2+2x+3（2）解：设直线BC 的解析式为y=kx+m ，把B （3，0），C （0，3）代入得，解得 ，{3k +m =0m =3{k =−1m =3所以直线BC 的解析式为y=﹣x+3，作PM ∥y 轴交BC 于M ，如图1，设P （x ，﹣x 2+2x+3），（0＜x ＜3），则M （x ，﹣x+3），∴PM=﹣x 2+2x+3﹣（﹣x+3）=﹣x 2+3x ，∴S △PCB = •3•PM=﹣ x 2+ =﹣ （x﹣ ）2+ ，1232923232278当x= 时，△BCP 的面积最大，此时P 点坐标为（ ， ）3232154（3）解：如图2，抛物线的对称轴为直线x=1，当四边形BCDQ 为平行四边形，设D （1，a ），则Q （4，a﹣3），把Q （4，a﹣3）代入y=﹣x 2+2x+3得a﹣3=﹣16+8+3，解得a=﹣2，∴Q （4，﹣5）；当四边形BCQD 为平行四边形时，设D （1，a ），则Q （﹣2，3+a ），把Q （﹣2，3+a ）代入y=﹣x 2+2x+3得3+a=﹣4﹣4+3，解得a=﹣8，∴Q （﹣2，﹣5）；当四边形BQCD 为平行四边形时，设D （1，a ），则Q （2，3﹣a ），把Q （2，3﹣a ）代入y=﹣x 2+2x+3得3﹣a=﹣4+4+3，解得a=0，∴Q （2，3），综上所述，满足条件的Q 点坐标为（4，﹣5）或（﹣2，﹣5）或（2，3）．3．【答案】（1）解：∵y=﹣x 2+6x=﹣（x﹣3）2+9，∴B （3，9）（2）解：抛物线的对称轴为直线x=3，直线x=3交x 轴于H ，如图，∵tan ∠EOC= ，即tan ∠EOH= ，4343∴ = ，EH OH 43∴EH=4，∴E 点坐标为（3，4）或（3，﹣4），当y=4时，﹣（x﹣3）2+9=4，解得x 1=3﹣ （舍去），x 2=3+ ，55当y=﹣4时，﹣（x﹣3）2+9=﹣4，解得x 1=3﹣ （舍去），x 2=3+ ，1313∴F 点坐标为（3+ ）或（3+ ，﹣4）513（3）解：如图，∵平行四边形和平行四边形OE′F′C′等高，∴这两个四边形的面积之比为1：2时，OC′=2OC ，设OC=t ，则OC′=2t ，∴F 点的横坐标为3+t ，F′点的横坐标为3+2t ，而点F 和F′的纵坐标互为相反数，∴﹣（3+t﹣3）2+9+[﹣（3+2t﹣3）2+9]=0，解得t 1= ，t 2=﹣ （舍去），31053105∴F 点坐标为（3+ ， ），3105275∴E （3， ），275∴tan ∠EOC= = ．2753954．【答案】（1）解：∵y 1=﹣2x 2+4x+2=﹣2（x﹣1）2+4，∴抛物线C 1的顶点坐标为（1，4）．∵抛物线C 1与C 2顶点相同，∴ =1，﹣1+m+n=4．−m−1×2解得：m=2，n=3．∴抛物线C 2的解析式为y 2=﹣x 2+2x+3（2）解：如图1所示：设点A 的坐标为（a ，﹣a 2+2a+3）．∵AQ=﹣a 2+2a+3，OQ=a ，∴AQ+OQ=﹣a 2+2a+3+a=﹣a 2+3a+3=﹣（a﹣ ）2+ ．32214∴当a= 时，AQ+OQ 有最大值，最大值为 32214（3）解：如图2所示；连接BC ，过点B′作B′D ⊥CM ，垂足为D ．∵B （﹣1，4），C （1，4），抛物线的对称轴为x=1，∴BC ⊥CM ，BC=2．∵∠BMB′=90°，∴∠BMC+∠B′MD=90°．∵B′D ⊥MC ，∴∠MB′D+∠B′MD=90°．∴∠MB′D=∠BMC ．在△BCM 和△MDB′中，，{∠MB'D =∠BMC∠BCM =∠MDB'BM =MB'∴△BCM ≌△MDB′．∴BC=MD ，CM=B′D ．设点M 的坐标为（1，a ）．则B′D=CM=4﹣a ，MD=CB=2．∴点B′的坐标为（a﹣3，a﹣2）．∴﹣（a﹣3）2+2（a﹣3）+3=a﹣2．整理得：a 2﹣7a+10=0．解得a=2，或a=5．当a=2时，M 的坐标为（1，2），当a=5时，M 的坐标为（1，5）．综上所述当点M 的坐标为（1，2）或（1，5）时，B′恰好落在抛物线C 2上5．【答案】（1）解：把 、 两点代入 得，A(−1，0)B(2，3)y =−x 2+bx +c ，{−1−b +c =0−4+2b +c =3解得： ，{b =2c =3∴抛物线的解析式为： y =−x 2+2x +3（2）解：∵ ，y =−x 2+2x +3=−(x−1)2+4∴D 点坐标为： ，D(1，4)设直线AB 的解析式为： ，代入A 、B 两点可得：y =kx +d ，{−k +d =02k +d =3解得： ，{k =1d =1∴直线AB 的解析式为： ，y =x +1设直线AB 与抛物线对称轴交于点E ，则 ，E(1，2)∴ ；S △ABD =12×(4−2)×3=3（3）解：假设存在，设点 ，由解析式可知C 点坐标为（0，3）P(1，m)∴ ， ， ，AC 2=12+32=10CP 2=12+(m−3)2=m 2−6m +10AP 2=m 2+4△ACP ①当 时， ，即 ，∠APC =90°AP 2+CP 2=AC 2m 2+4+m 2−6m +10=10解得： ， ，m 1=1m 2=2此时点P 的坐标为（1，1）或（1，2）；②当 时， ，即 ，∠ACP =90°AC 2+CP 2=AP 210+m 2−6m +10=m 2+4解得：，m =83此时点P 的坐标为；(1，83)③当 时， ，即 ，∠PAC =90°AP 2+AC 2=PC 2m 2+4+10=m 2−6m +10解得：，m =−23此时点P 的坐标为；(1，−23)综上所述，满足条件的P 点的坐标为（1，1）或（1，2）或或 ．(1，83)(1，−23)6．【答案】（1）解：OA ＝OC ＝4OB ＝4，故点A 、C 的坐标分别为（4，0）、（0，﹣4）（2）解：抛物线的表达式为： ，y ＝a （x +1）(x−4)=a(x 2﹣3x﹣4)即﹣4a ＝﹣4，解得：a ＝1，故抛物线的表达式为： y ＝x 2−3x−4（3）解：直线CA 过点C ，设其函数表达式为： ， y ＝kx−4将点A 坐标代入上式并解得：k ＝1，故直线CA 的表达式为：y ＝x﹣4，过点P 作y 轴的平行线交AC 于点H ，∵OA ＝OC ＝4，，∴∠OAC ＝∠OCA ＝45°∵PH//y 轴，，∴∠PHD ＝∠OCA ＝45°设点 ，则点H （x ，x﹣4），P （x ，x 2−3x−4）PD ＝22（x−4−x 2+3x +4）=−22x 2+22x∵ ＜0，∴PD 有最大值，当x ＝2时，其最大值为 ，−222此时点P （2，﹣6）.7．【答案】（1）解：在Rt △ABC 中，∠A=30°，AB=4，∴AC=2 ，3∵PD ⊥AC ，∴∠ADP=∠CDP=90°，在Rt △ADP 中，AP=2t ，∴DP=t ，AD=APcosA=2t× = t ，323∴CD=AC﹣AD=2 ﹣ t （0＜t ＜2）33（2）解：在Rt △PDQ 中，∵∠DPC=60°，∴∠PQD=30°=∠A ，∴PA=PQ ，∵PD ⊥AC ，∴AD=DQ ，∵点Q 和点C 重合，∴AD+DQ=AC ，∴2× t=2 ，33∴t=1（3）解：当0＜t≤1时，S=S △PDQ = DQ×DP= × t×t=t 2，当1＜t ＜2时，如图2，1212332CQ=AQ﹣AC=2AD﹣AC=2 t﹣2 =2 （t﹣1），333在Rt △CEQ 中，∠CQE=30°，∴CE=CQ•tan ∠CQE=2 （t﹣1）× =2（t﹣1），333∴S=S △PDQ ﹣S △ECQ = × t×t﹣ ×2 （t﹣1）×2（t﹣1）=﹣ t 2+4 t﹣2 ，12312333233∴S={32t 2(0<t ≤1)−33t 2+43t−23(0<t <2)（4）解：当PQ 的垂直平分线过AB 的中点F 时，如图3，∴∠PGF=90°，PG=12PQ= AP=t ，AF= AB=2，∵∠A=∠AQP=30°，∴∠FPG=60°，∴∠PFG=30°，∴PF=2PG=2t ，1212∴AP+PF=2t+2t=2，∴t= ；12当PQ 的垂直平分线过AC 的中点M 时，如图4，∴∠QMN=90°，AN= AC= ，QM= PQ= AP=t ，1231212在Rt △NMQ 中，NQ= ，MQ cos30°=233t ∵AN+NQ=AQ ，∴ + =2 t ，3233t3∴t= ，34当PQ 的垂直平分线过BC 的中点时，如图5，∴BF= BC=1，PE= PQ=t ，∠H=30°，∵∠ABC=60°，∴∠BFH=30°=∠H ，1212∴BH=BF=1，在Rt △PEH 中，PH=2PE=2t ，∴AH=AP+PH=AB+BH ，∴2t+2t=5，∴t= ，即：当线段PQ 的垂直平分线经过△ABC 一边中点时，t 的值为 秒或 秒或 秒541234548．【答案】（1）解：抛物线的解析式为 y =x 2+3x（2）解：设点P 坐标为 ，其中 (m ，m 2+3m)−4<m <0∵点A （－4，4），∴直线OA 的解析式为 ，y =−x 从而点Q 的坐标为 ，∴ = (m ，−m)PQ =−m−(m 2+3m)−m 2−4m当四边形AHPQ 为平行四边形时，PQ=AH=4，即 ，解得 ，此时点P 坐标为 −m 2−4m =4m =−2(−2，−2)∴∠AOP=∠AOH+∠POH=45o +45o =90o .（3）解：设AC 交y 轴于点D ，由点A （－4，4）得， ， ∠AOB =∠AOD =45o∵∠CAO ＝∠BAO ， ，∴ ≌ AO =AO ΔAOD ΔAOB ∴ ，点D 坐标为（0，3）OD =OB =3设直线AC 解析式为 ，则y =px +q {−4p +q =4q =3解得， ，∴直线AC 解析式为 .p =−14q =3y =−14x +39．【答案】（1）证明：在正三角形ABC 中，∠ABP ＝∠PCN ＝60°， ∴∠BAP+∠BPA ＝120°，又∵∠APQ ＝60°，∴∠CPN+∠BPA ＝120°，∴∠BAP ＝∠CPN ，∴△ABP ∽△PCN（2）解：△ABD ≌△ACD ；△APN ∽△ACP ；△APN ∽△QCN ；△ACP ∽△QCN ；理由：∵△ABC 是正三角形，AD ⊥BC ，由三线合一可证△ABD ≌△ACD ；∵∠APN=∠ACP=60°，∠PAN=∠CAP ，∴△APN ∽△ACP ；∵∠APN=∠NCQ=60°，∠PNA=∠CNQ,∴△APN ∽△QCN ；∵△APN ∽△ACP ，△APN ∽△QCN ，∴△ACP ∽△QCN（3）解：能，设PB ＝x ，CN ＝y ，由第（1）题可得： ， y x=12−x12∴，又3≤x≤9，利用函数图象可知：y =−112x 2+x 当x ＝3或9时，y ＝ ，当x ＝6时，y 最大＝3；94∴点N 运动的路径长为：（3－ ）×2＝1.59410．【答案】（1）解：∵抛物线与y 轴交于点C （0，3），∴c=3，∴抛物线解析式为：y = -x 2，将（﹣1，0）代入上述解析式，得：-1-b+3=0，解得：b=2，∴抛物线的解析式为：y = -x 2+2x+3，整理为顶点式为：y = -（x-1）2+4，∴顶点M 坐标为（1，4）（2）解：∵抛物线对称轴为直线x=1，A 、B 关于对称轴对称， ∴点B 的坐标为（3，0），作图如图所示，过M 点作MN ∥y 轴，交BC 于N 点，设直线BC 的解析式为：y=kx+b ，将B （3，0）和C （0，3）代入解得k=-1，b=3，∴直线BC 的解析式为：y=-x+3，∵MN ∥y 轴，∴M 、N 两点横坐标相同，由（1）知M 点横坐标为1，∴N 点横坐标为1，∴代入直线BC 解析式可得N 点纵坐标为2，∴MN=4-2=2，∴S △MBC = MN （x B -x C ）= ×2×（3-0）=3，1212∴△MCB 的面积为3．11．【答案】（1）解：把（1，4），（0，3）代入二次函数y ＝ax 2+2x+c 得：，{a +2+c =4c =3解得：a ＝－1，c ＝3∴y ＝－x 2＋2x ＋3对称轴为：直线x ＝-＝1．b2a （2）解：令y ＝0得：x 2-2x-3＝0，(x+1)(x-3)＝0，x 1＝－1，x 2＝3，∵A 点在B 点的左侧，∴A （－1，0），B （3，0），∴AB ＝3-(－1)＝4，当P 点为抛物线的顶点时，△PAB 的面积最大，把x ＝1代入y ＝-x 2+2x+3得：y ＝4，∴ P 点的坐标为（1，4），∴S △PAB ＝×4×4＝8，12即△PAB 的最大面积为8．12．【答案】（1）解：将点A （2，0）和点B （1，﹣ ）分别代入y= x 2+mx+n 中，得：3414 ，{14×4+2m +n =014+m +n =−34解得： ，{m =0n =−1∴抛物线的解析式：y= x 2﹣114（2）解：①将P 点纵坐标代入（1）的解析式，得：x 2﹣1=﹣ +2t ，x= ，14348t +1∴P （ ，﹣ +2t ），8t +134∴圆心C （ ，﹣ +t ），8t +1238∴点C 到直线l 的距离：﹣ +t﹣（﹣1）=t+ ；3858而OP 2=8t+1+（﹣ +2t ）2，得OP=2t+ ，半径OC=t+ ；345458∴直线l 与⊙C 始终保持相切．②Ⅰ、由①可知，若直线l 与⊙C 相切，则：2t﹣ =t+ ，t= ；585854∴当0＜t ＜ 时，直线l 与⊙C 相交；54Ⅱ、∵0＜t ＜ 时，圆心C 到直线l 的距离为d=|2t﹣ |，又半径为r=t+ ，545858∴a 2=4（r 2﹣d 2）=4[（t+ ）2﹣|2t﹣ |2]=﹣12t 2+15t ，5858∴t= 时，a 的平方取得最大值为 58751613．【答案】（1）由y=0，得x 2+x﹣2=0 解得 x 1=﹣2，x 2=l ，∴A （﹣2，0），B （l ，0），由x=0，得y=﹣2，∴C （0，﹣2）.（2）连接AC 与对称轴的交点即为点P.设直线AC 为y=kx+b ，则 ，{﹣2k +b =0b =﹣2得 k=﹣l ，∴y=﹣x﹣2.对称轴为x= ，当 x= 时，y=-（ ）﹣2= ，−12−12−12−32∴P （ ， ）.−12−32（3）过点M 作MN 丄x 轴与点N ，设点M （x ，x 2+x﹣2），则OA=2，ON=﹣x ，OB=1，OC=2，MN=﹣（x 2+x﹣2）=﹣x 2﹣x+2，S 四边形ABCM =S △AOM +S △OCM +S △BOC= ×2×（﹣x 2﹣x+2）+ ×2（﹣x ）+ ×1×2121212=﹣x 2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4.∵a=﹣1＜0，∴当x=﹣1时，S 四边形ABCM 的最大值为4.∴点M 坐标为（﹣1，﹣2）时，S 四边形ABCM 的最大值为4.14．【答案】（1）（0，5）；（5，0）（2）解：将点A 、B 的坐标代入二次函数表达式得： ， {−25+5b +c =0c =5解得： ，{b =4c =5即抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2+4x+5；（3）解：抛物线的对称轴为x ＝﹣ ＝2，则点C 的坐标为（4，5）， b 2a 设点P 的坐标为（x ，﹣x 2+4x+5），则点D 坐标为（x ，﹣x+5）∵AC ⊥PD ，∴S 四边形APCD ＝ ×AC×PD ＝2（﹣x 2+4x+5+x﹣5）＝﹣2x 2+10x ，12∵a ＝﹣2＜0，∴S 四边形APCD 有最大值，当x ＝ 时，其最大值为： ，此时点P 的坐标（ ， ）．522525225215．【答案】（1）解：∵点B 的坐标为(5，0)，抛物线对称轴为直线 ， x =2∴点A 的坐标为(-1，0)，设抛物线的解析式为 ，y =a(x +1)(x−5)把点C(0，-5)代入得： ，−5=a(0+1)(0−5)解得： ，a =1∴抛物线的解析式为 ，y =(x +1)(x−5)=x 2−4x−5（2）−9≤y <0（3）解：设直线BC 的解析式为 ，y =kx−5把点B 的坐标(5，0)代入得： ，0=5k−5解得： ，k =1∴直线BC 的解析式为 ，y =x−5设P 点的坐标为(x ， )，则点Q 的坐标为(x ， )，x 2−4x−5x−5∴ ( )l =PQ =x−5−x 2−4x−5= −x 2+5x=，−(x−52)2+254当 时， ，x =52l 最大=254此时，P 点的坐标为( ， )，52−35416．【答案】（1）解：因为抛物线的对称轴是x= ，72设解析式为y=a （x﹣ ）2+k ．72把A ，B 两点坐标代入上式，得 ，{a(6−72)2+k =0a(0−72)2+k =4解得a= ，k=﹣ ．23256故抛物线解析式为y= （x﹣ ）2﹣ ，顶点为（ ，﹣ ）237225672256（2）解：∵点E （x ，y ）在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合y= （x﹣ ）2﹣ ，2372256∴y ＜0，即﹣y ＞0，﹣y 表示点E 到OA 的距离．∵OA 是OEAF 的对角线，∴S=2S △OAE =2× ×OA•|y|=﹣6y=﹣4（x﹣ ）2+25．1272因为抛物线与x 轴的两个交点是（1，0）和（6，0），所以自变量x 的取值范围是1＜x ＜6．① 根据题意，当S=24时，即﹣4（x﹣ ）2+25=24．72化简，得（x﹣ ）2= ．7214解得x 1=3，x 2=4．故所求的点E 有两个，分别为E 1（3，﹣4），E 2（4，﹣4），点E 1（3，﹣4）满足OE=AE ，所以平行四边形OEAF 是菱形；点E 2（4，﹣4）不满足OE=AE ，所以平行四边形OEAF 不是菱形；②当OA ⊥EF ，且OA=EF 时，平行四边形OEAF 是正方形，此时点E 的坐标只能是（3，﹣3），而坐标为（3，﹣3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E ，使平行四边形OEAF 为正方形。

题型六几何动态综合题类型一点动型探究题针对演练1. (2016赤峰12分)如图，正方形ABCD的边长为3 cm，P，Q分别从B，A出发沿BC，AD方向运动，P点的运动速度是1 cm/秒，Q点的运动速度是2 cm/秒，连接AP，并过Q作QE⊥AP垂足为E.(1)求证：△ABP∽△QEA；(2)当运动时间t为何值时，△ABP≌△QEA；(3)设△QEA的面积为y，用运动时间t表示△QEA的面积y.(不要求考虑t的取值范围)(提示：解答(2)(3)时可不分先后)第1题图2. (2015省卷25，9分) 如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC 和Rt△ADC拼在一起，使斜边AC完全重合，且顶点B，D分别在AC的两旁，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，AB＝BC＝4 cm.(1)填空：AD＝________(cm)，DC＝________(cm)；(2)点M、N分别从A点，C点同时以每秒1 cm的速度等速出发，且分别在AD，CB 上沿A→D，C→B方向运动，当N点运动到B点时，M、N两点同时停止运动，连接MN.求当M、N点运动了x秒时，点N到AD的距离(用含x的式子表示)；(3)在(2)的条件下，取DC中点P，连接MP，NP，设△PMN的面积为y(cm2)，在整个运动过程中，△PMN的面积y存在最大值，请求出y的最大值．(参考数据：sin75°＝6＋2 4，sin15°＝6－24)第2题图3. (2016梅州10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5 cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2 cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒 3 cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒(0≤t≤5)，连接MN.(1)若BM＝BN，求t的值；(2)若△MBN与△ABC相似，求t的值；(3)当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．第3题图4. 如图，在▱ABCD中，BC＝8 cm，CD＝4 cm，∠B＝60°，点M从点D出发，沿DA方向匀速运动，速度为2 cm/s，点N从点B出发，沿BC方向匀速运动，速度为1 cm/s，过点M作MF⊥CD，垂足为F，延长FM交BA的延长线于点E，连接EN，交AD于点O，设运动时间为t (s )(0＜t ＜4)．(1)连接AN ，MN ，设四边形ANME 的面积为y (cm 2)，求y 与t 之间的函数关系式； (2)是否存在某一时刻t ，使得四边形ANME 的面积是 ▱ABCD 面积的2132？若存在，求出相应的t 值，若不存在，请说明理由；(3)连接AC ，交EN 于点P ，当EN ⊥AD 时，求线段OP 的长度．第4题图 备用图5. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，如果点E 由点B 出发沿BC 方向向点C 匀速运动，同时点F 由点D 出发沿DA 方向向点A 匀速运动，它们的速度分别为每秒2 cm 和1 cm ，FQ ⊥BC ，分别交AC 、BC 于点P 和Q ，设运动时间为t 秒(0＜t ＜4)．(1)连接EF，若运动时间t＝23秒时，求证：△EQF是等腰直角三角形；(2)连接EP，设△EPC的面积为y cm2，求y与t的函数关系式，并求y的最大值；(3)若△EPQ与△ADC相似，求t的值．6. (2015郴州)如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，DA⊥AB，AD＝4 cm，DC＝5 cm，AB＝8 cm.如果点P由B点出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点Q由A点出发沿AB 方向向点B匀速运动，它们的速度均为1 cm/s，当P点到达C点时，两点同时停止运动，连接PQ，设运动时间为t s，解答下列问题：(1)当t为何值时，P，Q两点同时停止运动？(2)设△PQB的面积为S，当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值；(3)当△PQB为等腰三角形时，求t的值．第6题图【答案】1．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，QE⊥AP，∴∠QEA＝∠B＝90°.∵AD∥BC，∴∠QAE＝∠APB，∴△ABP∽△QEA；…………………………………………(3分)(2)解：由题意得：BP＝t cm，AQ＝2t cm，要使△ABP≌△QEA，则AQ＝AP＝2t cm，在Rt △ABP 中，由勾股定理得：32＋t 2＝(2t)2， 解得t ＝±3(负值舍去)，即当t ＝3时，△ABP ≌△QEA ；…………………………(7分)(3)解：在Rt △ABP 中，由勾股定理得：AP ＝32＋t 2，∵△ABP ∽△QEA ， ∴AB QE ＝BPAE ＝APAQ ，∴3QE ＝tAE＝32＋t 22t ， ∴QE ＝6t32＋t 2，AE ＝2t 232＋t 2，∴y ＝12QE ·AE ＝12·6t32＋t 2·2t 232＋t 2＝6t 3t 2＋9.……………(12分)2．解：(1)26，22；【解法提示】在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得AC ＝AB 2＋BC 2＝42＋42＝4 2 cm ，在Rt △ACD 中，AD ＝AC ·co s 30°＝42×32＝2 6 cm ，DC ＝AC ·sin30°＝42×12＝2 2 cm.(2)如解图，过点N 作NE ⊥AD 于点E ，作NF ⊥DC 交DC 延长线于点F ，则NE ＝DF . ∵∠ACD ＝60°，∠ACB ＝45°， ∴∠NCF ＝75°，∠FNC ＝15°，在Rt △NFC 中， 第2题解图 ∵sin ∠FNC ＝FCNC，∴sin15°＝FCNC，又∵NC＝x cm，∴FC＝NC·sin15°＝6－24x cm，∴NE＝DF＝DC＋FC＝(22＋6－24x)cm，∴点N到AD的距离为(22＋6－24x)cm；(3)如解图，在Rt△NFC中，∵sin75°＝NFNC，∴NF＝NC·sin75°＝6＋24x cm，∵P为DC中点，DC＝2 2 cm，∴DP＝CP＝ 2 cm，∴PF＝DF－DP＝22＋6－24x－2＝(6－24x＋2) cm，∵S△PMN＝S四边形DFNM－S△DPM－S△PFN，即S△PMN＝12(NF＋MD)·NE－12MD·DP－12PF·NF，∴y＝12×(6＋24x＋26－x)×(22＋6－24x)－12×(26－x)×2－12×(6－24x＋2)×6＋24x，即y＝2－68x2＋7－3－224x＋23，∵12－68＜0， ∴当x ＝－7－3－2242×2－68＝36－23＋22－22秒时，y 取得最大值为4×2－68×23－（7－3－224）24×2－68＝236＋83＋92－1616cm 2.3．解：(1)根据题意BM ＝2t cm ，BC ＝5×tan60°＝5 3 cm ，BN ＝BC －3t ＝(53－3t)cm ，∴当BM ＝BN 时，2t ＝53－3t ，解得t ＝103－15；…………………………………………(2分)(2)分两种情况讨论：①当∠BMN ＝∠ACB ＝90°时，如解图①， △NBM ∽△ABC ，cosB ＝cos30°＝BM BN，∴2t 53－3t＝32，解得t ＝157；(4分)第3题解图②当∠MNB ＝∠ACB ＝90°时，如解图②，△MBN ∽△ABC ，cosB ＝cos30°＝BNBM，∴53－3t2t＝32，解得t ＝52，故若△MBN 与△ABC 相似，则t 的值为157秒或52秒；……(6分)(3)如解图③，过点M 作MD ⊥BC 于点D ，则MD ∥AC ， ∴△BMD ∽△BAC ， ∴BM BA＝MD AC，又∵BA ＝cos 60AC＝10， 第3题解图③∴2t10＝5MD，解得MD ＝t. 设四边形ACNM 的面积为y ，则 y ＝S △ABC －S △BMN ＝12AC ×BC － 12BN ·MD＝12×5×53－ 12(53－3t)·t＝32t 2－532t ＋ 2532 ＝32(t －52)2＋7538，…………………………………………(8分) ∴当t ＝52秒时，四边形ACNM 的面积最小，最小值为7538cm 2.…………………………………………………………………(10分)4．解：(1)如解图①，过点A 作AG ⊥BC ，垂足为点G .第4题解图①∵∠AGB ＝90°，∠B ＝60°， ∴AG ＝32AB ＝2 3 cm.由题可知，MD ＝2t cm ，则AM ＝(8－2t ) cm ， ∵AB ∥CD ，MF ⊥CD ， ∴ME ⊥AB ，∴∠MEA ＝∠MFD ＝90°， ∵AD ∥BC ，∴∠EAM ＝∠B ＝60°， ∴AE ＝12AM ＝(4－t) cm , ME ＝3(4－t) cm ，∴y ＝S △ANM ＋S △AEM ＝12×(8－2t)×23＋12×(4－t)×3×(4－t) ＝32t 2－63t ＋163(0＜t ＜4)；(2)存在．由四边形ANME 的面积是▱ABCD 面积的2132可得：32t 2－63t ＋163＝2132×8×23，整理得：t 2－12t ＋11＝0， 解得t ＝1或t ＝11(舍去)，所以当t ＝1s 时，四边形ANME 的面积是▱ABCD 面积的2132；(3)如解图②，第4题解图②由(1)可知AE ＝(4－t ) cm ， ∴BE ＝AB ＋AE ＝(8－t ) cm. ∵∠B ＝60°，EN ⊥BC ，AG ⊥BC ，∴BN ＝12BE ＝(4－12t ) cm ，BG ＝12AB ＝2 cm.又∵BN ＝t ，∴4－12t ＝t ，解得t ＝83，∴BN ＝83cm ，∴GN ＝BN －BG ＝23cm ，∴AO ＝23 cm ，NC ＝BC -BN =163 cm.设PO ＝x cm ，则PN ＝(23－x ) cm.∵AO ∥NC ， ∴△AOP ∽△CNP ，∴AO NC ＝POPN，即23163＝x23－x，解得x ＝239，∴当EN ⊥AD 时，线段OP 的长度为239cm.5．(1)证明：若运动时间t ＝23秒，则BE ＝2×23＝43 cm ，DF ＝23 cm ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ＝8 cm ，AB ＝DC ＝6 cm ，∠D ＝∠BCD ＝90°， ∵FQ ⊥BC ，∴∠FQC ＝∠D ＝∠QCD ＝90°， ∴四边形CDFQ 是矩形，∴CQ ＝DF ＝23 cm ，CD ＝QF ＝6 cm ，∴EQ ＝BC －BE －CQ ＝8－43－23＝6 cm ，∴EQ ＝QF ＝6 cm ，∴△EQF 是等腰直角三角形； (2)解：∵∠FQC ＝90°，∠B ＝90°， ∴∠FQC ＝∠B ， ∴PQ ∥AB ， ∴△CPQ ∽△CAB ，∴PQ AB ＝QC BC ，即6PQ ＝t 8， ∴PQ ＝34 t cm ，∵BE =2t ,∴EC =BC -BE =8-2t , ∵S △EPC ＝12EC ·PQ ，∴y ＝12(8－2t )·34t ＝－34t 2＋3t ＝－34(t －2)2＋3(0＜t ＜4).∵－34＜0，∴当t ＝2秒时，y 有最大值，y 的最大值为3 cm 2； (3)解：分两种情况讨论：(ⅰ)如解图①，点E 在Q 的左侧，①当△EPQ ∽△ACD 时， 第5题解图①可得PQ CD ＝EQAD ，即348t ＝8－3t 8，解得t ＝2；②当△EPQ ∽△CAD 时，可得PQ AD ＝EQCD ，即348t ＝8－3t 6，解得t ＝12857；(ⅱ)如解图②，点E 在Q 的右侧， ∵0＜t ＜4，∴点E 不能与点C 重合， ∴只存在△EPQ ∽△CAD ，可得PQ AD ＝EQCD ，即348t ＝3t －86，解得t ＝12839， 第5题解图②故若△EPQ 与△ADC 相似，则t 的值为2秒或12857秒或12839秒．6．解：(1)如解图，过点C 作CE ⊥AB 于点E ， ∵DC ∥AB ，DA ⊥AB ，CE ⊥AB ， ∴四边形AECD 是矩形，∴AE ＝DC ＝5，CE ＝AD ＝4， 第6题解图 ∴BE ＝AB －AE ＝8－5＝3， ∴由勾股定理得：BC ＝22+BE CE ＝32＋42＝5，∴BC ＜AB ，∵当点P 运动到点C 时，P 、Q 同时停止运动， ∴t ＝51＝5 s ，即t ＝5 s 时，P 、Q 两点同时停止运动； (2)由题意知，AQ ＝BP ＝t ， ∴QB ＝8－t.如解图，过点P 作PF ⊥QB 于点F ，则△BPF ∽△BCE ， ∴PF CE ＝BP BC ，即PF 4＝t5，∴PF ＝4t 5，∴S ＝12QB ·PF ＝12×(8－t)×4t 5＝－252t ＋16t5＝－25(t －4)2＋325(0＜t ≤5)．∵－25＜0，∴当t ＝4 s 时，S 有最大值，最大值为3252CM ；(3)∵cos B ＝BE BC ＝35，∴BF ＝PB ·cos B ＝t ·cos B ＝3t5，∴QF ＝AB －AQ －BF ＝8－8t5，∴QP ＝当△PQB 为等腰三角形时，分以下三种情况：①当PQ ＝PB 时，即t ， 解得：1t ＝4011，2t＝8，∵t2＝8＞5，不合题意， ∴t ＝4011；②当PQ ＝BQ 时，即8－t ，解得：1t ＝0(舍去)，2t ＝4811；③当QB ＝BP 时，即8－t ＝t ， 解得t ＝4；综上所述，当△PQB 为等腰三角形时，则t 的值为4011 s 或4811 s 或4 s.类型二 线动型探究题针对演练1. 如图，已知矩形ABCD ，AB ＝3，BC ＝3，在BC 上取两点E ，F (E 在F 左边)，以EF 为边作等边三角形PEF ，使顶点P 在AD 上，PE ，PF 分别交AC 于点G ，H .(1)求△PEF 的边长；(2)若△PEF 的边EF 在射线BC 上移动，(点E 的移动范围在B 、C 之间，不与B 、C 两点重合)，设BE ＝x ，PH ＝y .①求y与x的函数关系式；②连接BG，设△BEG面积为S，求S与x的函数关系式，判断x为何值时S最大，并求最大值S.第1题图2. 已知，如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC＝12 cm，BD ＝16 cm，点P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为1 cm/s；过点P作直线PF∥AD，PF交CD于点F，过点F作EF⊥BD，且与AD、BD分别交于点E、Q；连接PE，设点P 的运动时间为t(s)(0＜t＜10)．(1)填空：AB＝________cm；(2)当t为何值时，PE∥BD；(3)设四边形APFE的面积为y(cm2)．①求y与t之间的函数关系式；②若用S表示图形的面积，则是否存在某一时刻t，使得S四边形APFE＝825S菱形ABCD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．第2题图3. (2014省卷25，9分)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，BC＝10 cm，AD＝8 cm.点P从点B出发，在线段BC上以每秒3 cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2 cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于点E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒(t＞0)．(1)当t＝2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；(2)在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；(3)是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此刻t的值；若不存在，请说明理由．4. (2016镇江改编)如图①，在菱形ABCD中，AB＝65，tan∠ABC＝2，点E从点D 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t(秒)．将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α(α＝∠BCD)，得到对应线段CF.(1)求证：BE＝DF；(2)如图②，连接BD、EF，BD交EC、EF于点P、Q.当t为何值时，△EPQ是直角三角形？(3)如图③，将线段CD绕点C顺时针旋转一个角α(α＝∠BCD)，得到对应线段CG.在点E的运动过程中，当它的对应点F位于直线AD上方时，直接写出点F到直线AD的距离y 关于时间t的函数表达式．第4题图【答案】1．解：(1)如解图①，过点P作PQ⊥BC于点Q，∵在矩形ABCD中，∠B＝90°，∴AB⊥BC，又∵AD∥BC，∴PQ＝AB＝3，∵△PEF是等边三角形，∴∠PFQ＝60°，在Rt△PQF中，sin∠PFQ＝PQ PF，∴PF＝3÷32＝2，第1题解图①∴△PEF 的边长为2；(2)①在Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝3，由勾股定理得，AC ＝23，∴∠ACB ＝30°，又∵△PEF 是等边三角形，∴∠PFE ＝60°，∴∠FHC ＝30°，∴FH ＝FC ，∵HF ＝2－PH ＝2－y ，∴FC ＝2－y ，又∵BE ＋EF ＋FC ＝BC ，∴x ＋2＋2－y ＝3，即y ＝x ＋1(0＜x ＜3)；②如解图②，过点G 作GM ⊥BC 于点M ，∵△PEF 为等边三角形，∴∠PEF ＝60°，∵Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝3，第1题解图②∴∠ACB ＝30°，∴∠EGC ＝180°－30°－60°＝90°，∵BE ＝x ，∴EC ＝3－x ，∴EG ＝3－x2，∵∠GEM ＝60°，sin ∠GEM ＝GM GE ，∴GM ＝EG ·sin60°＝32×3－x 2＝33－3x 4， ∴S ＝12x ×33－3x 4 ＝－38x 2＋338x ＝－38(x －32)2＋9332， ∵－38＜0， ∴当x ＝32时，S 最大＝9332. 2．解：(1)10；【解法提示】如解图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，且AC ＝12 cm ，BD ＝16 cm ，∴ BO ＝DO ＝8 cm ，AO ＝CO ＝6 cm ，∴ AB ＝82＋62＝10 cm.(2)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，∠ADB ＝∠CDB ，又∵PF ∥AD ，∴四边形APFD 为平行四边形，∴DF ＝AP ＝t cm ，又∵EF ⊥BD 于点Q ，且∠ADB ＝∠CDB ，∴∠DEF ＝∠DFE ，∴DE ＝DF ＝t cm ，∴AE ＝(10－t ) cm ，当PE ∥BD 时，△APE ∽△ABD ， ∴AP AB ＝AE AD ， ∴t 10＝10－t10，∴t ＝5，∴当t ＝5 s 时，PE ∥BD ；(3)①∵∠FDQ ＝∠CDO ，∠FQD ＝∠COD ＝90°，∴△DFQ ∽△DCO ，∴QF OC ＝DFDC ，即QF6＝t10，∴QF ＝3t5 cm ，∴EF ＝2QF ＝6t5 cm ，同理，QD ＝4t5 cm ，如解图，过点C 作CG ⊥AB 于点G ，∵S 菱形ABCD ＝AB ·CG ＝12AC ·BD ，即10CG ＝12×12×16，第2题解图∴CG ＝485 cm ，∴S ▱APFD ＝DF ·CG ＝485t cm 2，∴S △EFD ＝12EF ·QD ＝12×6t 5×4t 5＝1225t 2 cm 2， ∴y ＝485t －1225t 2. ②存在．当S 四边形APFE ＝825S 菱形ABCD 时，则485t －1225t 2＝825×12×16×12， 整理得，t 2－20t ＋64＝0，解得t 1＝4，t 2＝16＞10(舍去)，∴当t ＝4s 时，S 四边形APFE ＝825S 菱形ABCD .3．(1)证明：如解图①，连接DE ，DF ，当t ＝2时，DH ＝AH ＝4，则H 为AD 的中点，∵EF ⊥AD ，∴EF 为AD 的垂直平分线，∴AE ＝DE ，AF ＝DF .∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，又∵AD ⊥BC ，∴EF ∥BC ，∴∠AEF ＝∠B ，∠AFE ＝∠C ，∴∠AEF ＝∠AFE ，∴AE ＝AF ，∴AE ＝AF ＝DE ＝DF ，∴四边形AEDF 为菱形；第3题解图(2)解：如解图②，连接PE ，PF ，由(1)知EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC ，∴EF BC ＝AH AD ，即EF 10＝8－2t 8，解得EF ＝10－52t ， ∴S △PEF ＝12EF ·DH ＝12(10－52t)·2t ＝－52t 2＋10t ＝－52(t －2)2＋10(0＜t ≤103)， ∴当t ＝2秒时，S △PEF 存在最大值，最大值为10 cm 2，此时BP ＝3t ＝6 cm ；(3)解：存在．(ⅰ)若点E 为直角顶点，如解图③，连接PE ，PF ，此时PE ∥AD ，PE ＝DH ＝2t ，BP ＝3t.∵PE ∥AD ，∴△BEP ∽△BAD ，∴PE AD ＝BP BD ，即2t 8＝3t 5，此比例式不成立，故此种情形不存在；第3题解图(ⅱ)若点F 为直角顶点，如解图④，连接PE ，PF ，此时PF ∥AD ，PF ＝DH ＝2t ，BP ＝3t ，CP ＝10－3t.∵PF ∥AD ，∴△CFP ∽△CAD ，∴PF AD ＝CP CD ，即2t 8＝10－3t 5， 解得t ＝4017； (ⅲ)若点P 为直角顶点，如解图⑤，连接PE ，PF ，过点E 作EM ⊥BC 于点M ，过点F 作FN ⊥BC 于点N ，则EM ＝FN ＝DH ＝2t ，EM ∥FN ∥AD .∵EM ∥AD ，∴△BEM ∽△BAD ，∴EM AD ＝BM BD ，即2t 8＝BM 5， 解得BM ＝54t ， ∴PM ＝BP －BM ＝3t －54t ＝74t. 在Rt △EMP 中，由勾股定理得， 222PE EM PM =+＝(2t)2＋(74t)2＝11316t 2.∴△CFN ∽△CAD ，∴FN AD ＝CN CD ，即2t 8＝CN 5， 解得CN ＝54t ， ∴PN ＝BC －BP －CN ＝10－3t －54t ＝10－174t. 在Rt △FNP 中，由勾股定理得， 222PF FN PN =+＝(2t)2＋(10－174t)2＝35316t 2－85t ＋100. 又∵EF ＝MN ＝BC －BM －CN ＝10－52t ， 在Rt △PEF 中，由勾股定理得，222EF PE PF =+，即(10－52t)2＝11316t 2＋(35316t 2－85t ＋100)， 化简得183t 2－280t ＝0，解得t ＝280183或t ＝0(舍去)， ∴t ＝280183. 综上所述，当t ＝4017秒或t ＝280183秒时，△PEF 为直角三角形．(9分) 4．(1)证明：∵∠ECF ＝∠BCD ＝α，∴∠ECF －∠ECD ＝∠BCD －∠ECD ，即∠DCF ＝∠BCE .∵四边形ABCD 是菱形，在△DCF 与△BCE 中，CF CEDCF BCEDC BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DCF ≌△BCE (SAS)，∴BE ＝DF ；(2)解：∵CE ＝CF ，∴∠CEQ <90°.①当∠EQP ＝90°时，如解图①，∵∠ECF ＝∠BCD ，BC ＝DC ，EC ＝FC ，∴△BCD ∽△ECF ，∴∠CBD ＝∠CEF .∵∠BPC ＝∠EPQ ， 第4题解图①∴∠BCP ＝∠EQP ＝90°，∴∠CED ＝90°，在Rt △CDE 中，∠CED ＝90°，∵CD ＝AB ＝65，tan ∠ABC ＝tan ∠ADC ＝2，∴ECDE ＝2，即EC ＝2DE ，∵222CD EC DE =+，即CD ＝5DE ，∴DE ＝5CD ＝655＝6，∴t ＝6；②当∠EPQ ＝90°时，如解图②，∵菱形ABCD 的对角线AC ⊥BD ，∴EC 和AC 重合， 第4题解图②∴DE ＝65， ∴t ＝6 5.综上所述，当t ＝6秒或65秒时，△EPQ 为直角三角形； (3)解：y ＝255t －12－ 2455. 【解法提示】点G 即为t ＝0时点E 的对应点．当点F 在直线AD 上方时，如解图③，连接GF ，分别交直线AD 、BC 的延长线于点M 、N ，过F 点作FH ⊥AD ，垂足为H ，由(1)得∠1＝∠2.易证△DCE ≌△GCF (SAS)，∴∠3＝∠4，∵DE ∥BC ，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠4，∴GF ∥CD ，∴四边形DCNM 为平行四边形，易得MN ＝6 5.∵∠BCD ＝∠DCG ，∠DCN ＋∠BCD ＝∠DCG ＋∠CGN ＝180°，∴∠CGN ＝∠DCN ＝∠CNG ，∴CN ＝CG ＝CD ＝6 5.∵tan ∠ABC ＝2， ∴tan ∠CGN ＝2， ∴GN ＝12， ∴GM ＝65＋12. 第4题解图③∵GF ＝DE ＝t ×1＝t ， ∴FM ＝t －65－12.∵tan ∠FMH ＝tan ∠ABC ＝2， ∴FH ＝255(t －65－12)，即y ＝255t －12－2455.类型三 形动型探究题针对演练1. 在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC 和AFG 摆放在一起，A 为公共顶点，∠BAC ＝∠AGF ＝90°，它们的斜边长为2，若△ABC 固定不动，△AFG 绕点A 旋转，AF 、AG 与边BC 的交点分别为D 、E (点D 不与点B 重合，点E 不与点C 重合)，设BE ＝m ，CD ＝n.(1)求证：△ABE ∽△DCA ；(2)求m 与n 的函数关系式，并直接写出自变量n 的取值范围； (3)在旋转过程中，试判断等式222BD CE DE +=是否始终成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．第1题图2. (2015吉林)两个三角板ABC，DEF，按如图所示的位置摆放，点B与点D重合，边AB与边DE在同一条直线上(假设图形中所有的点，线都在同一平面内)．其中，∠C＝∠DEF ＝90°，∠ABC＝∠F＝30°，AC＝DE＝6 cm.现固定三角板DEF，将三角板ABC沿射线DE 方向平移，当点C落在边EF上时停止运动．设三角板平移的距离为x(cm)，两个三角板重叠部分的面积为y(cm2)．(1)当点C落在边EF上时，x＝________ cm；(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(3)设边BC的中点为点M，边DF的中点为点N.直接写出在三角板平移过程中，点M 与点N之间距离的最小值．第2题图3. 如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，BC ＝5，高AD ＝4，矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上，E 、F 分别在AB 、AC 上，AD 交EF 于点H .(1)求证：AHAD ＝EFBC；(2)设EF ＝x ，当x 为何值时，矩形EFPQ 的面积最大？并求出最大面积；(3)当矩形EFPQ 的面积最大时，该矩形以每秒1个单位的速度沿射线DA 匀速向上运动(当矩形的边PQ 到达A 点时停止运动)，设运动时间为t 秒，矩形EFPQ 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围．第3题图4. 如图，在▱ABCD中，AD⊥BD，AB＝10，AD＝6，以AD为斜边在▱ABCD的内部作Rt△AED，使∠EAD＝∠DBA，点A′、E′、D′分别与点A、E、D重合，△A′E′D′以每秒5个单位长度的速度沿DC方向平移，当点E′落在BC边上时停止移动，线段BD交边A′D′于点M，交边A′E′或D′E′于点N，设平移的时间为t(秒)．(1)DM的长为________(用含t的代数式表示)；(2)当E′落在BD上时，求t的值；(3)若△A′E′D′与△BDC重叠部分图形的面积为S(平方单位)，求S与t之间的函数关系式；(4)在不添加辅助线的情况下，直接写出平移过程中，出现与△DMD′全等的三角形时t 的取值范围．第4题图5. (2016益阳14分)如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，D为AB 的中点，EF为△ACD的中位线，四边形EFGH为△ACD的内接矩形(矩形的四个顶点均在△ACD的边上)．(1)计算矩形EFGH的面积；(2)将矩形EFGH沿AB向右平移，F落在BC上时停止移动．在平移过程中，当矩形与△CBD重叠部分的面积为316时，求矩形平移的距离；(3)如图③，将(2)中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形E1F1G1H1，将矩形E1F1G1H1绕G1点按顺时针方向旋转，当H1落在CD上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形E2F2G1H2，设旋转角为α，求cosα的值．第5题图6. (2015青岛)已知：如图①，在▱ABCD中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，AC⊥AB.△ACD 沿AC的方向匀速平移得到△PNM，速度为1 cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速移动，速度为1 cm/s；当△PNM停止平移时，点Q也停止移动，如图②.设移动时间为t(s)(0＜t＜4)，连接PQ，MQ，MC.解答下列问题：(1)当t为何值时，PQ∥MN?(2)设△QMC的面积为y(cm2)，求y与t之间的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t，使S△QMC∶S四边形ABQP＝1∶4？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；(4)是否存在某一时刻t，使PQ⊥MQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．第6题图【答案】1．(1)证明：∵∠BAE＝∠BAD＋45°，∠CDA＝∠BAD＋45°，∴∠BAE＝∠CDA，又∵∠B＝∠C＝45°，∴△ABE∽△DCA；(2)解：∵△ABE∽△DCA，∴BECA＝BACD，依题可知CA＝BA＝2，∴m2＝2n，∴m＝2n，自变量n的取值范围为1＜n＜2；(3)解：成立．理由如下：如解图，将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH的位置，则CE＝HB，AE＝AH，∠ABH＝∠C＝45°，旋转角∠EAH＝90°，连接HD，在△EAD和△HAD中，∵AE＝AH，∠HAD ＝∠EAH－∠FAG＝45°＝∠EAD，AD＝AD，∴△EAD≌△HAD(SAS)，∴DH＝DE，又∠HBD＝∠ABH＋∠ABD＝90°，∴BD2＋HB2＝DH2，即BD2＋CE2＝DE2.2．解：(1)15；【解法提示】如解图①，作CG⊥AB于G点，CH⊥CE于点H，第2题解图①在Rt △ABC 中，由AC ＝6，∠ABC ＝30°，得BC ＝tan 30?AC＝6 3 cm.在Rt △BCG 中，BG ＝BC ·cos30°＝9 cm. ∵四边形CGEH 是矩形，∴CH ＝GE ＝BG ＋BE ＝9＋6＝15 cm. (2)①当0≤x ＜6时，如解图②，由∠GDB ＝60°，∠GBD ＝30°，DB ＝x ，得DG ＝12x ，BG ＝32x ，重叠部分的面积y ＝12DG ·BG ＝12×12x ×32x ＝38x 2；第2题解图②②当6≤x ＜12时，如解图③，BD ＝x ，DG ＝12x ，BG ＝32x ，BE ＝x －6，EH ＝33(x －6)，重叠部分的面积y ＝S △BDG －S △BEH ＝12DG ·BG －12BE ·EH ，即y ＝12×12x ×32x －12(x －6)×33(x －6)，第2题解图③化简得y ＝－324x 2＋23x －63；③当12≤x ≤15时，如解图④，AC ＝6，BC ＝63，BD ＝x ，BE ＝x －6，EG ＝33(x －6)，重叠部分的面积y ＝S △ABC －S △BEG ＝12AC ·BC －12BE ·EG ，即y ＝12×6×63－12(x －6)×33(x －6)，化简得y ＝－36x 2＋23x ＋123；第2题解图④综上所述，y ＝2223(0683-233(624323315x x x x x x x x ⎧⎪⎪⎪⎪+-⎨⎪⎪++⎪⎪⎩≤＜）＜＜）（≤≤）12 (3)如解图⑤所示，作NG ⊥DE 于点G ， 点M 在NG 上时MN 最短，NG 是△DEF 的中位线，NG ＝12EF ＝33，∵MB ＝12CB ＝33，∠B ＝30°，∴MG ＝12MB ＝332，则MN min ＝NG －MG ＝33－332＝332.第2题解图⑤3．(1)证明：∵四边形EFPQ 是矩形， ∴EF ∥BC ， ∴△AEF ∽△ABC ，∵AD 是△ABC 的高，AH 是△AEF 的高， ∴AHAD ＝EFBC；(2)解：∵AHAD ＝EFBC，EF ＝x ，AD ＝4，BC ＝5，∴AH 4＝5x ， ∴AH ＝4x 5，∴HD ＝4－4x 5，∴S 矩形EFPQ ＝EF ·HD ＝x (4－4x5)＝－45x 2＋4x＝－45(x －52)2＋5.∵－45＜0，∴当x ＝52时，矩形EFPQ 的面积最大，最大面积为5；(3)解：由(2)可知，当矩形EFPQ 的面积最大时，矩形的长EF 为52，宽HD ＝4－45x ＝2，在矩形EFPQ 沿射线AD 的运动过程中：(ⅰ)当0≤t ≤2时，如解图①所示．第3题解图①设矩形与AB 、AC 分别交于点K 、N ，与AD 分别交于点H 1、D 1.此时DD 1＝t ，H 1D 1＝2，∴HD 1＝HD －DD 1＝2－t ，HH 1＝H 1D 1－HD 1＝t ，AH 1＝AH －HH 1＝2－t ， ∵KN ∥EF ， ∴KN EF＝AH 1AH，即KN 52＝2－t 2，解得KN ＝54(2－t )，∴S ＝S 梯形KNFE ＋11EFPQ S 矩形 ＝12(KN ＋EF )·HH 1＋EF ·EQ 1＝12[54(2－t )＋52]×t ＋52(2－t )＝－58t 2＋5； (ⅱ)当2＜t ≤4时，如解图②所示．第3题解图②设矩形与AB 、AC 分别交于点K 、N ，与AD 交于点D 2，此时DD 2＝t ，AD 2＝AD －DD 2＝4－t ，∵K ′N ′∥EF ， ∴K ′N ′EF＝AD 2AH，即K ′N ′52＝4－t 2，解得K ′N ′＝5－54t ，∴S ＝S △AKN ＝12 K ′N ′·AD 2＝12×(5－54t )×(4－t )＝58t 2－5t ＋10.综上所述，S 与t 的函数关系式为：S ＝2255(028551048t t t t t ⎧-+⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩≤≤）（2＜≤）.4．解：(1)4t ；【解法提示】∵AD ⊥BD ， ∴∠ADB ＝90°， ∴BD＝102－62＝8，∵AD ∥A ′D ′， ∴A ′D ′⊥BD ，∴∠DMD ′＝∠ADB ＝90°， ∵CD ∥AB ， ∴∠D ′DM ＝∠ABD ， ∴△DMD ′∽△BDA ，∴DM BD＝'DD AB ＝'MD AD， ∴8DM ＝510t ＝'6MD ， ∴DM ＝4t ，MD ′＝3t .(2)如解图①，当E ′在BD 上时，第4题解图①∵∠ D ′E ′M ＋∠A ′E ′M ＝90°，∠MA ′E ′＋∠A ′E ′M ＝90°， ∴∠ D ′E ′M ＝∠MA ′E ′， ∵CD ∥AB ， ∴∠CDB ＝∠ABD ， ∵∠ MA ′E ′＝∠ABD ， ∴∠D ′DE ′＝∠D ′E ′D ， ∴DD ′＝D ′E ′，由△ADE ∽△BAD 得到，DE ＝185，AE ＝245，∴5t ＝185，∴t ＝1825；(3)①当0＜t ≤1825时，如解图②，重叠部分是△D ′MK ，S ＝12D ′M ×MK ＝12×3t ×4t ＝6t 2；图②图③第4题解图②当1825＜t ≤3225时，如解图③，重叠部分是四边形D ′E ′KM ，S ＝S △A ′D ′E ′－S △A ′MK ＝12×185×245－12(6－3t )×34(6－3t )＝－278t 2＋272t －24350.综上所述，S ＝2218602527272431832+82502525t t t t t ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩（＜≤）—（＜≤）；(4)平移过程中，当0＜t ≤1825或t ＝1或t ＝65 s 时，出现与△DMD ′全等的三角形．【解法提示】①当0＜t ≤1825时，如解图②，△DMD ′≌△KMD ′，②当DD ′＝D ′C 时，△DMD ′≌△BMA ′，此时t ＝1， ③当DD ′＝AD 时，△DMD ′≌△AED ，此时5t ＝6，t ＝65，综上所述，当0＜t ≤1825或t ＝1或t ＝65s 时，出现与△DMD ′全等的三角形．5．解：(1)在Rt △ACB 中，∠B ＝30°，AC ＝1， ∴AB ＝2AC ＝2， ∵点D 是AB 的中点， ∴AD ＝12AB ＝1＝CD ，∵EF 是△ACD 的中位线， ∴EF ＝DF ＝12＝12CD ，在△ACD 中，AD ＝CD ，∠A ＝60°， ∴△ACD 是等边三角形， ∴∠ADC ＝60°，在Rt △FGD 中，GF ＝DF ·sin60°＝34，∴矩形EFGH 的面积＝EF ·FG ＝12×34＝38；………………(3分)(2)根据第(1)问，易得GD ＝12DF ＝14，设矩形移动的距离为x ，则0＜x ≤12，如解图①，当矩形与△CBD 重叠部分为三角形时，0＜x ≤14，第5题解图①则此时重叠部分三角形的高为3x ， ∴重叠部分的面积S ＝12x ·3x ＝316，解得x ＝24＞14(舍去)；如解图②，当矩形与△CBD 重叠部分为直角梯形时，14＜x ≤12，则此时重叠部分直角梯形的高为34，上底边长为x ，下底边长为x －14，第5题解图②∴重叠部分的面积S ＝12[x ＋(x －14)]·34＝316，解得x ＝38，即矩形移动的距离为38时，矩形与△CBD 重叠部分的面积是316；(8分)(3)如解图③，过H 2作H 2K ⊥AB 于点K . 在Rt △F 1G 1B 中，∠B ＝30°，F 1G 1＝34，第5题解图③∴BG 1＝34，∴DG 1＝BD －BG 1＝1－34＝14，设KD ＝a ，则H 2K ＝3a ，在Rt △H 2G 1K 中，有H 2K 2＋G 1K 2＝H 2G 21， 即(3a )2＋(a ＋14)2＝(12)2，解得，a 1＝－1＋1316，a 2＝－1－1316(舍去)，∴cos α＝cos ∠H 2G 1K ＝KG 1H 2G 1＝13－116＋1412＝13＋38.……(14分) 6．解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD .∵AB ＝3 cm ，BC ＝5 cm ，AC ⊥AB ， 由勾股定理得：AC ＝BC 2－AB 2＝4 cm.∴cos ∠ACB ＝AC BC ＝45.∵△ACD 沿AC 方向平移得到△PNM ，平移的速度为1 cm/s ， ∴MN ∥AB ，PC ＝(4－t ) cm.∵点Q 在BC 上运动，运动的速度为1 cm/s ，第6题解图①∴QC ＝t cm.如解图①，当PQ ∥MN 时， 则PQ ∥AB ， ∴PQ ⊥AC ， ∴cos ∠ACB ＝PCQC ＝45， 即4－t t ＝45，解得t ＝209.∴当t ＝209s 时，PQ ∥MN ；第6题解图②(2)如解图②，过点P 作PH ⊥BC ，垂足为点H ， 则PH ＝PC ·sin ∠PCQ ＝35(4－t )，∴y ＝12·QC ·PH ＝12t ·35(4－t )＝－310t 2＋65t ，即y 与t 之间的函数关系式为y ＝－310t 2＋65t (0＜t ＜4)；(3)存在．∵△PMN 是由△ACD 沿AC 平移得到的， ∴PM ∥BC ， ∴S △PCQ ＝S △QMC ， 由(2)得S △QCP ＝S △QMC ， ∵S △QMC ∶S 四边形ABQP ＝1∶4， ∴S △QCP ∶S 四边形ABQP ＝1∶4， ∴S △QCP ∶S △ACB ＝1∶5.∵S △ACB ＝12AB ×AC ＝12×3×4＝6 cm 2，∴S △QCP ＝15S △ABC ＝65cm 2，即－310t 2＋65t ＝65，整理得：t 2－4t ＋4＝0， 解得t ＝2，∴t ＝2 s 时，使得S △QMC ∶S 四边形ABQP ＝1∶4； (4)存在．如解图③，过点P 作PH ⊥BC 于H ，过点M 作MG ⊥HC ，交HC 的延长线于点G ，第6题解图③∴MG ＝PH ＝35(4－t )，tan ∠PCH ＝PH HC ＝AB AC ＝34，∴HC ＝45(4－t )，又∵QC ＝t ，HG ＝PM ＝BC ＝5， ∴HQ ＝HC －QC ＝45(4－t )－t ＝165－95t ，∴QG ＝HG －HQ ＝5－(165－95t )＝95t ＋95.∵∠PQM ＝90°，∴∠PQH ＋∠MQG ＝90°， 又∵∠HPQ ＋∠PQH ＝90°， ∴∠HPQ ＝∠GQM ， ∴△PHQ ∽△QGM ， ∴PHHQ ＝QGGM，。

中考数学-几何图形的动态问题（含答案）一、单选题1.如图甲，A，B是半径为1的⊙O上两点，且OA⊥OB．点P从A出发，在⊙O上以每秒一个单位的速度匀速运动，回到点A运动结束．设运动时间为x，弦BP的长度为y，那么如图乙图象中可能表示y与x的函数关系的是（）A. ①B. ④C. ①或③D. ②或④2.如图，平行四边形ABCD中，AB= cm，BC=2cm，∠ABC=45°，点P从点B出发，以1cm/s 的速度沿折线BC→CD→DA运动，到达点A为止，设运动时间为t(s)，△ABP的面积为S(cm2)，则S与t的大致图象是（）A. B. C. D.3.如图，在Rt△PMN中，∠P=90°，PM=PN，MN=6cm，矩形ABCD中AB=2cm，BC=10cm，点C和点M重合，点B，C（M）、N在同一直线上，令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN 所在直线以每秒1cm的速度向右移动，至点C与点N重合为止，设移动x秒后，矩形ABCD 与△PMN重叠部分的面积为y，则y与x的大致图象是（）A. B. C. D.4.如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP 交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（）A. B. C. 1 D. 25.如图,菱形的边长是4厘米, ,动点以1厘米/秒的速度自点出发沿方向运动至点停止,动点以2厘米/秒的速度自点出发沿折线运动至点停止若点同时出发运动了秒,记的面积为,下面图象中能表示与之间的函数关系的是( )A. B.C. D.二、填空题6.如图，长方形ABCD中，AB=4cm，BC=3cm，点E是CD的中点，动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C→E 运动，最终到达点E．若点P运动的时间为x秒，那么当x= ________时，△APE的面积等于5 ．7.如图，在矩形中，点同时从点出发，分别在，上运动，若点的运动速度是每秒2个单位长度，且是点运动速度的2倍，当其中一个点到达终点时，停止一切运动．以为对称轴作的对称图形．点恰好在上的时间为________秒．在整个运动过程中，与矩形重叠部分面积的最大值为________．8.如图，平面直角坐标系中，点A、B分别是x、y轴上的动点，以AB为边作边长为2的正方形ABCD，则OC的最大值为________9.在Rt△ABC中，AB=1，∠A=60°，∠ABC=90°，如图所示将Rt△ABC沿直线l无滑动地滚动至Rt△DEF，则点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积为________．（结果不取近似值）10.如图，周长为a的圆上有且仅有一点A在数轴上，点A所表示的数为1，若该圆沿着数轴向右滚动两周后点A对应的点为B，此时，A、B两点之间恰好有三个表示正整数的点（不包括点A、B），则该圆的周长a的取值范围为________三、综合题11.如图，在△ABC中，已知AB=AC=10cm，BC=16cm，AD⊥BC于D，点E、F分别从B、C 两点同时出发，其中点E沿BC向终点C运动，速度为4cm/s；点F沿CA、AB向终点B运动，速度为5cm/s，设它们运动的时间为x（s）．（1）求x为何值时，△EFC和△ACD相似；（2）是否存在某一时刻，使得△EFD被AD分得的两部分面积之比为3:5，若存在，求出x 的值，若不存在，请说明理由；（3）若以EF为直径的圆与线段AC只有一个公共点，求出相应x的取值范围．12.如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．（1）证明与推断：①求证：四边形CEGF是正方形；②推断：AG∶BE的值为：（2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG 与BE之间的数量关系，并说明理由：（3）拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG=6，GH=2 ，则BC=________．13.如图，在平面直角坐标系中，已知A（-3，0），B（0，），点D与点A关于y轴对称，C在第一象限内且四边形ABCD是平行四边形.（1）求点C、点D的坐标并用尺规作图确定两点位置（保留作图痕迹）（2）若半径为1的⊙P从点A出发，沿A—D—B—C以每秒4个单位长的速度匀速移动，同时⊙P的半径以每秒0.5个单位长的速度增加，运动到点C时运动停止，当运动时间为t秒时①t为何值时，⊙P与y轴相切？②在整个运动过程中⊙P与y轴有公共点的时间共有几秒？简述过程.（3）若线段AB绕点O顺时针旋转90°，线段AB扫过的面积是多少？14.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AB在x轴上，点B坐标（﹣3，0），点C在y轴正半轴上，且sin∠CBO= ，点P从原点O出发，以每秒一个单位长度的速度沿x 轴正方向移动，移动时间为t（0≤t≤5）秒，过点P作平行于y轴的直线l，直线l扫过四边形OCDA的面积为S．（1）求点D坐标．（2）求S关于t的函数关系式．（3）在直线l移动过程中，l上是否存在一点Q，使以B、C、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．15.如图，已知A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16 cm，AD＝6 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2 cm/s的速度向点D移动，当点P停止运动时，点Q也停止运动．问：（1）P，Q两点从开始出发多长时间时，四边形PBCQ的面积是33 cm2?（2）P，Q两点从开始出发多长时间时，点P与点Q之间的距离是10 cm?16.有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE= ．将这副直角三角板按如图1所示位置摆放，点B与点F重合，直角边BA 与FD在同一条直线上．现固定三角板ABC，将三角板DEF沿射线BA方向平行移动，当点F 运动到点A时停止运动．（1）如图2，当三角板DEF运动到点D与点A重合时，设EF与BC交于点M，则∠EMC=________度；（2）如图3，在三角板DEF运动过程中，当EF经过点C时，求FC的长；（3）在三角板DEF运动过程中，设BF=x，两块三角板重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式，并求出对应的x取值范围．17.如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s 的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，（1）如果P、Q同时出发，几秒后，可使△PBQ的面积为8平方厘米？（2）线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．18.如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的点，AC的垂直平分线交半圆于点D，交AC于点E，连接DA，DC．已知半圆O的半径为3，BC=2．（1）求AD的长．（2）点P是线段AC上一动点，连接DP，作∠DPF=∠DAC，PF交线段CD于点F．当△DPF 为等腰三角形时，求AP的长．19.如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，E、F在菱形的边BC，CD上．（1）证明：BE=CF．（2）当点E，F分别在边BC，CD上移动时（△AEF保持为正三角形），请探究四边形AECF 的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．（3）在（2）的情况下，请探究△CEF的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．20.如图，在Rt△ABC中，AC=24cm，BC=7cm，P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C 点），点P运动的速度为2cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为5cm/s．若点P、Q分别从B、C同时运动，且运动时间记为t秒，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程．（1）当t为何值时，P、Q两点的距离为5 cm？（2）当t为何值时，△PCQ的面积为15cm2？（3）请用配方法说明，点P运动多少时间时，四边形BPQA的面积最小？最小面积是多少？答案解析部分一、单选题1.如图甲，A，B是半径为1的⊙O上两点，且OA⊥OB．点P从A出发，在⊙O上以每秒一个单位的速度匀速运动，回到点A运动结束．设运动时间为x，弦BP的长度为y，那么如图乙图象中可能表示y与x的函数关系的是（）A. ①B. ④C. ①或③D. ②或④【答案】C【考点】分段函数，圆的认识，几何图形的动态问题，动点问题的函数图像【解析】【解答】当点P顺时针旋转时，图象是③，当点P逆时针旋转时，图象是①，故答案为①③.故答案为：C．【分析】由题意知PB的最短距离为0，最长距离是圆的直径；而点P从A点沿顺时针旋转和逆时针旋转后与点B的距离有区别，当点P从A点沿顺时针旋转时，弦BP的长度y的变化是：从AB的长度增大到直径的长，然后渐次较小至点B为0，再从点B运动到点A，则弦BP的长度y由0增大到AB的长；当点P从A点沿逆时针旋转时，弦BP的长度y的变化是：从AB的长度减小到0，再由0增大到直径的长，最后由直径的长减小到AB的长。

中考数学总复习《二次函数的动态几何问题》专项测试卷-含参考答案一、单选题(共12题；共24分)1．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∥B=90°，AB=AD=5，BC=4，M、N、E分别是AB、AD、CB上的点，AM=CE=1，AN=3，点P从点M出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线MB﹣BE向点E运动，同时点Q从点N出发，以相同的速度沿折线ND﹣DC﹣CE向点E运动，当其中一个点到达后，另一个点也停止运动．设∥APQ的面积为S，运动时间为t秒，则S与t函数关系的大致图象为（）A．B．C．D．2．如图，在平面直角坐标系中，M、N、C三点的坐标分别为（12，1），（3，1），（3，0），点A为线段MN上的一个动点，连接AC，过点A作AB⊥AC交y轴于点B，当点A从M运动到N时，则点B随之运动，设点B的坐标为（0，b），则b的取值范围是（）A．−14≤b≤1B．−54≤b≤1C．−94≤b≤12D．−94≤b≤13．如图所示，∥ABC为等腰直角三角形，∥ACB=90°，AC=BC=2，正方形DEFG边长也为2，且AC 与DE在同一直线上，∥ABC从C点与D点重合开始，沿直线DE向右平移，直到点A与点E重合为止，设CD的长为x，∥ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．4．二次函数y=﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（1，﹣2）B．（1，2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）5．如图，等腰Rt∥ABC（∥ACB=90°）的直角边与正方形DEFG的边长均为2，且AC与DE在同一直线上，开始时点C与点D重合，让∥ABC沿这条直线向右平移，直到点A与点E重合为止．设CD的长为x，∥ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．6．如图，矩形ABCD中，AB=4cm，AD=5cm，点E在AD上，且AE=3cm，点P、Q同时从点B出发，点P沿BE→ED→DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s，设P、Q出发t秒，∥BPQ的面积为y cm2．则y与t的函数关系图象大致是（）A．B．C．D．7．如图，∥ABC是边长为4cm的等边三角形，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→C→B运动，到达B点即停止运动，过点P作PD∥AB于点D，设运动时间为x（s），∥ADP的面积为y （cm2），则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．8．如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．9．如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∥B=∥C=60°，P、Q同时从B出发，以每秒1单位长度分别沿B﹣A﹣D﹣C和B﹣C﹣D方向运动至相遇时停止，设运动时间为t（秒），∥BPQ的面积为S （平方单位），S与t的函数图象如图2所示，则下列结论错误的个数（）①当t=4秒时，则S=4 √3②AD=4③当4≤t≤8时，则S=2 √3t ④当t=9秒时，则BP平分四边形ABCD的面积．A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，直线l1:y=−x+4与x轴和y轴分别相交于A、B两点，平行于直线l1的直线l2从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴和y轴分别相交于C、D两点，运动时间为t秒(0≤t≤4).以CD为斜边作等腰直角ΔCDE（E、O两点分别在CD两侧），若ΔCDE和ΔOAB的重合部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．11．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=2.动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿折线AD→DC运动到点C，同时动点Q也从点A出发，以每秒√3个单位的速度沿AC 运动到点C，当一个点停止运动时，则另一个点也随之停止.设△APQ的面积为y，运动时间为x秒，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（）A．B．C．D．12．点C是线段AB上的一点，AB=1，分别以AC和CB为一边作正方形，用S表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是（）A．当C是AB的中点时，则S最小B．当C是AB的中点时，则S最大C．当C为AB的三等分点时，则S最小D．当C是AB的三等分点时，则S最大二、填空题(共6题；共7分)13．如图，抛物线y = 13x2−23x−83的图象与坐标轴交于A、B、D，顶点为E，以AB为直径画半圆交y轴的正半轴于点C，圆心为M，P是半圆上的一动点，连接EP，N是PE的中点，当P沿半圆从点A运动至点B时,点N运动的路径长是．14．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣5，0）、（﹣2，0）．点P在抛物线y=﹣2x2+4x+8上，设点P的横坐标为m．当0≤m≤3时，则∥PAB的面积S的取值范围是．15．如图，抛物线y=（x-1）2-1与直线y=x交于点O，点B为线段OA上的动点，过点B作BC∥y 轴，交交抛物线于点C，则线段BC长度的最大值为16．如图，在∥ABC中，∥B=90°，AB=12mm，BC=24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过秒，四边形APQC的面积最小．17．如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E到达点B时，则四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为s时，则四边形EFGH的面积最小，其最小值是cm2．18．如图，抛物线y=13x2+83x−3与x轴交于点A和点B两点，与y轴交于点C，D点为拋物线上第三象限内一动点，当∠ACD+2∠ABC=180∘时，则点D的坐标为.三、综合题(共6题；共73分)19．如图，抛物线y =ax 2+bx +3与x 轴交于A(−2，0)，B(6，0)两点，与y 轴交于点C 直线l ：y =12x +n 与抛物线交于A ，D 两点，与y 轴交于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 是抛物线上的点且在直线l 上方，连接PA ，PD ，求当△PAD 面积最大时点P 的坐标及该面积的最大值；（3）y 轴上是否存在点Q ，使∠ADQ =45°，若存在请求点Q 的坐标；若不存在说明理由． 20．在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax 2+bx ﹣4经过A （﹣4，0），C （2，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，∥AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．21．如图，抛物线y=﹣x 2+6x 与x 轴交于点O ，A ，顶点为B ，动点E 在抛物线对称轴上，点F 在对称轴右侧抛物线上，点C 在x 轴正半轴上，且EF =//OC ，连接OE ，CF 得四边形OCFE ．（1）求B点坐标；（2）当tan∥EOC= 43时，则显然满足条件的四边形有两个，求出相应的点F的坐标；（3）当0＜tan∥EOC＜3时，则对于每一个确定的tan∥EOC值，满足条件的四边形OCFE有两个，当这两个四边形的面积之比为1：2时，则求tan∥EOC．22．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动，且当其中一点到达终点时，则另一个点随之停止移动．设P，Q两点移动的时间为t秒，△PBQ的面积为Scm2．（1）BP=cm；（2）求S与t的函数关系式，并求出△PBQ面积的最大值．23．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（6，0），（6，8）、动点M、N分别从O、B同时出发，都以每秒1个单位的速度运动、其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动、过点N作NP∥BC，交AC于P，连结MP、已知动点运动了t秒、（1）P点的坐标为（，）（用含t的代数式表示）;（2）试求∥MPA面积的最大值，并求此时t的值;（3）请你探索：当t为何值时，则∥MPA是一个等腰三角形？24．已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A(−1，0)、B(3，0)，与y轴交于点C，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC上方抛物线上取一点P，过点P作PQ⊥x轴交BC边于点Q，求PQ的最大值；（3）在直线BC上方抛物线上取一点D，连接OD，CD．OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF=3：2时，则求点D的坐标．参考答案1．【答案】D2．【答案】B3．【答案】A4．【答案】B5．【答案】A6．【答案】B7．【答案】B8．【答案】B9．【答案】C10．【答案】C11．【答案】A12．【答案】A13．【答案】1.5π14．【答案】3≤S≤1515．【答案】9416．【答案】317．【答案】3；1818．【答案】(−7，−163) 19．【答案】（1）解：将A （-2，0）、B （6，0）代入y=ax 2+bx+3得：{4a −2b +3＝036a +6b +3＝0解得{a ＝−14b ＝1∴抛物线的解析式为y=-14x 2+x+3 （2）解：∵y =12x +n 过点于A(−2，0)，所以n =1 ∴点D 的坐标为(4，3)．如图1中，过点P 作PK ∥y 轴交AD 于点K ．设P(m ，−14m 2+m +3)，则K(m ，12m +1)． ∵S △PAD =12⋅(x D −x A )⋅PK =3PK ∴PK 的值最大值时，则△PAD 的面积最大PK =−14m 2+m +3−12m −1=−14m 2+12m +2=−14(m −1)2+94∵−14<0∴m =1时，则PK 的值最大，最大值为94此时△PAD 的面积的最大值为274，P(1，154)． （3）解：存在如图2中，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AT ，则T(−5，6)设DT 交y 轴于点Q ，则∥∠ADQ =45°∵D(4，3)∴直线DT 的解析式为y =−13x +133∴Q(0，133) 作点T 关于AD 的对称点T ′(1，−6)则直线DT ′的解析式为y =3x −9设DQ ′交y 轴于点Q ′，则∠ADQ ′=45°∴Q ′(0，−9)综上所述，满足条件的点Q 的坐标为(0，133)或(0，−9)． 20．【答案】（1）解：将A （﹣4，0），C （2，0）代入y ＝ax 2+bx ﹣4，得：{16a −4b −4=04a +2b −4=0 ，解得：{a =12b =1∴抛物线解析式为：y =12x 2+x −4 （2）解：如图，过点M 作MN∥AC 于点N∵抛物线y =12x 2+x −4与y 轴交于点B 当x =0 时，则y =−4∴B(0，−4) ，即OB=4∵点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m∴M(m ，12m 2+m −4) ∴ON =−m ，MN =−(12m 2+m −4)=−12m 2−m +4 ∴AN =m −(−4)=m +4∴S △ABM =S △ANM +S 梯形MNOB −S △AOB =12(4+m)(−12m 2−m +4)+12(−12m 2−m +4+4)(−m)−12×4 =−m 2−4m =−(m +2)2+4(−4<m <0)∴当m =−2 时，则S 有最大值，最大值为4∴S 关于m 的函数关系式为S =−m 2−4m ， S 的最大值为4．21．【答案】（1）解：∵y=﹣x 2+6x=﹣（x ﹣3）2+9∴B （3，9）（2）解：抛物线的对称轴为直线x=3，直线x=3交x 轴于H ，如图∵tan∥EOC= 43 ，即tan∥EOH= 43∴EH OH = 43∴EH=4∴E 点坐标为（3，4）或（3，﹣4）当y=4时，则﹣（x ﹣3）2+9=4，解得x 1=3﹣ √5 （舍去），x 2=3+ √5当y=﹣4时，则﹣（x ﹣3）2+9=﹣4，解得x 1=3﹣ √13 （舍去），x 2=3+ √13∴F 点坐标为（3+ √5 ）或（3+ √13 ，﹣4）（3）解：如图，∵平行四边形OEFC 和平行四边形OE′F′C′等高∴这两个四边形的面积之比为1：2时，则OC′=2OC 设OC=t，则OC′=2t∴F点的横坐标为3+t，F′点的横坐标为3+2t而点F和F′的纵坐标互为相反数∴﹣（3+t﹣3）2+9+[﹣（3+2t﹣3）2+9]=0，解得t1= 3√105，t2=﹣3√105（舍去）∴F点坐标为（3+ 3√105，275）∴E（3，27 5）∴tan∥EOC= 2753= 95．22．【答案】（1）（6-t）（2）解：经过t秒后∴S=12×PB×BQ=12×(6－t)×2t=－t2+6t=−(t−3)2+9∴在移动过程中，△PBQ的最大面积是9cm2．23．【答案】（1）解：6－t；43t（2）解：延长NP交x轴于Q，则有PQ∥QA．设∥MPA的面积为SS＝12MA·PQ＝12（6—t）43t＝— 23t2＋4t （0≤t≤6）∴当t ＝3时，则S的最大值为6（3）解：①若MP＝PA ∵PQ∥MA ∴ MQ＝QA＝t ∴3t＝6 即t＝2②若MP＝MA 则MQ＝6—2t PQ＝43t PM＝MA＝6—t在Rt∥PMQ 中∵PM2＝MQ2＋PQ2 ∴（6—t）2＝（6—2t）2＋（43t）2∴t ＝10843③若PA＝AM ∵PA＝t AM＝6—t ∴t＝6—t ∴t＝94综上所述， t ＝2或t ＝ 10843 或t ＝ 9424．【答案】（1）解：∵抛物线y =ax 2+bx +3经过点A(−1，0)、B(3，0)∴{a −b +3=09a +3b +3=0解得{a =−1b =2∴抛物线的解析式为：y =−x 2+2x +3（2）解：∵抛物线的解析式为：y =−x 2+2x +3 令x =0，则y =3∴C(0，3)∵B(3，0)设直线BC 的解析式为y =kx +b则{b =33k +b =0解得{k =−1b =3直线BC 的解析式为：y =−x +3过点P 作PQ∥x 轴交BC 于点Q ，设P 点坐标为(x ，−x 2+2x +3)则Q 点坐标为(x ，−x +3)则PQ =(−x 2+2x +3)−(−x +3)=−x 2+3x=−(x −32)2+94∴PQ 的最大值是94． （3）解：∵∆COF 与∆CDF 共高，面积比转化为底边比 OF ：DF=S∥COF ：S∥CDF ＝3：2过点D 作BC 的平行线交x 轴于G ，交y 轴于E根据平行线分线段成比例OF：FD=OC：CE=3：2∵OC=3∴OE=5∴E（0，5）∴直线EG解析式为：y= -x+5联立方程，得：−x2+2x+3=−x+5解得：x1=1则点D的坐标为（1，4）或（2，3）；。

动态几何与函数综合1．如图，在矩形ABCD 中，24AB cm BC cm ==，，点P 从点A 出发，沿A B C D 路径运动，到达D 点停止运动，点Q 从点A 出发，沿射线AC 方向运动。

设点P 运动的路程为x ，点Q 运动的路程为1y 。

若ADQ S xD =，记2ADp y S D =。

（1）求出12y y ，与x 的函数关系式，并注明x 的取值范围；（2）补全表格中1y 的值x1256101y 以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点，并在x 的取值范围内画出1y 的函数图象；（3）在直角坐标系内直接画出2y 的函数图象，观察函数图象，写出一条该函数的性质。

（4）结合所画图象，直接写出当12y y £时，x 的取值范围。

2．如图，在梯形ABCD 中，90452B C D AB BC cm ==，，，现有一动点Q 从B 点出发沿B C DA 的方向移动到A 点，设Q 点经过的路程为xcm ，AQ AB Q ，，经过的路径围成的封闭图形面积为21y cm 。

若点P 是射线CD 上一点，且6CP x =，连接AP AC 、，记22ACP S y cm D =。

（1）求出12y y ，与x 的函数关系式，并注明x 的取值范围；（2）补全表格中1y 与2y 的值，以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出相应的点，并在x 的取值范围内画出1y 与2y 的图像：x1234561y 2y （3）结合1y 与2y 的函数图像，求出当121y y -³时，x 的取值范围。

（结果保留根号）。

3．如图，在矩形ABCD 中，64AD CD ==，，动点P 从点A 出发，沿折线AD DC -向终点C 运动，在AD 上速度为每秒1个单位长度，在DC 上速度为每秒2个单位长度，设点P 运动的时间为t 秒（0t >），若点Q 为射线CE 上一点，且4CQ t=，连接AQ CP ，。

2023年中考数学高频考点训练——二次函数-动态几何问题一、综合题1．如图，抛物线y ＝x 2+bx+c 经过点（1，﹣4）和（﹣2，5），请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式，并求出对称轴及顶点坐标；（2）若与x 轴的两个交点为A 、B ，与y 轴交于点C ．在该抛物线上找一点D ，使得△ABC 与△ABD 全等，求出D 点的坐标．2．我们知道，二次函数y ＝a （x ﹣h ）2+k （a≠0）的图象是一条抛物线，现定义一种变换，先作这条抛物线关于原点对称的抛物线y′，再将抛物线y′向上平移m （m ＞0）个单位，得到新的抛物线y m ，我们称y m 叫做二次函数y ＝a （x ﹣h ）2+k （a≠0）的m 阶变换．（1）已知：二次函数y ＝2（x+2）2+1，它的顶点关于原点的对称点为，这个抛物线的2阶变换的表达式为．（2）若二次函数M 的6阶变换的关系式为y 6＝（x ﹣1）2+5．①二次函数M 的函数表达式为▲．②若二次函数M 的顶点为点A ，与x 轴相交的两个交点中左侧交点为点B ，动点P 在抛物线y 6上，作PD ⊥直线AB ，请求出PD 最小时P 点的坐标．3．如图，已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点()10A -，，()30B ，两点，与y 轴交于点C ，点P 是抛物线上在第一象限内的一动点，且点P 的横坐标为t ．（1）求抛物线的表达式；（2）连接BC ，PB ，PC ，设PBC 的面积为S ，求S 与t 的函数表达式，并求S 最大时点P 的坐标．4．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线()260y ax bx a =+-≠与x 轴交于()2 0A -，，()30B ，两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．（1）求抛物线的解析式；（2）点D 在抛物线的对称轴上，当ACD ∆的周长最小时，点D 的坐标为；（3）点E 是第四象限内抛物线上的动点，连接CE 和BE ．求BCE ∆面积的最大值及此时点E 的坐标；（4）若点M 是对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点N ，使以点B 、C 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，已知二次函数2y x mx n =++的图象经过点()03A ，，且对称轴是直线2x =．该函数图象和x 轴交于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧）．（1）求该函数解析式；（2）求B ，C 两点的坐标；（3）点P 是直线AC 下方抛物线上的一个动点，过点P 作PQ AC ⊥，垂足为Q ，求PQ 的最大值．6．如图，二次函数y=ax 2+4x+c 的图象与一次函数y=x-3的图象交于A 、B 两点，点A 在y 轴上，点B 在x 轴上，一次函数的图象与二次函数的对称轴交于点M ．（1）求a 、c 的值和点M 的坐标；（2）点P 是该二次函数图象上A 、B 两点之间的一动点，点P 的坐标为（x ，n ）（0<x<3），m=PM 2，求m 关于n 的函数关系式，并求当n 取何值时，m 的值最小，最小值是多少？7．如图1，对称轴为直线1x =的抛物线经过()30B ，、()04C ，两点，抛物线与x 轴的另一交点为A ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 为抛物线对称轴上的一点，使PA PC +取得最小值，求点P 的坐标；（3）如图2，若M 是线段BC 上方抛物线上一动点，过点M 作MD 垂直于x 轴，交线段BC 于点D ，是否存在点M 使线段MD 的长度最大，如存在求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A 和点B ，交y 轴于点C ．已知A （﹣3，0），C （0，﹣3），抛物线的顶点为点D ．请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式，直接写出顶点D的坐标．（2）P是抛物线上的一动点，当∠PBO＝∠CAO时，则点P的坐标为．9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=12x²-32x-2的图象交x轴于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，函数图象的顶点为点D。

2023年九年级数学中考专题：动态几何综合压轴题1．如图1，在△ABC 中，点P 为BC 边中点，直线a 绕顶点A 旋转．若B 、P 在直线a 的异侧，BM △直线a 于点M ，CN △直线a 于点N ，连接PM 、PN ； （1）延长MP 交CN 于点E （如图2）． △求证：△BPM △△CPE ； △求证：PM ＝PN ；（2）若直线a 烧点A 旋转到图3的位置时，点B 、P 在直线a 的同侧，其它条件不变．此时PM ＝PN 还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）若直线a 绕点A 旋转到与BC 边平行的位置时，其它条件不变．请直接判断四边形MBCN 的形状及此时PM ＝PN 还成立吗？（不必说明理由）2．如图△，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，AB BC =，延长CA 至点E ，作DE CE ⊥交BA 的延长线于点D ，连接CD ，点F 为CD 的中点，连接EF ，BF ．（1）直接写出线段EF 和BF 之间的数量关系为______．（2）将ADE 绕A 顺时针旋转到图△的位置，猜想EF 和BF 之间的数量关系，并加以证明；（3）若AC =:5AD BC =，将ADE 绕点A 顺时针旋转，当A ，E ，B 共线时，请直接写出EF 的长．3．如图，O 是正ABC 内一点，OA ＝3，OB ＝4，OC ＝5，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO ′，连接AO ′、OO ′， （1）OO ′＝ ．（2）求△AOB 的度数及四边形AOB O '的面积．（3）直接写出AOC AOB S S +△△的值，AOC AOB S S +△△＝ ．4．如图1，在△ABC 中，△C =90°，△ABC =30°，AC =1，D 为△ABC 内部的一动点（不在边上），连接BD ，将线段BD 绕点D 逆时针旋转60°，使点B 到达点F 的位置；将线段AB 绕点B 顺时针旋转60°，使点A 到达点E 的位置，连接AD ，CD ，AE ，AF ，BF ，EF ．（1）求证：△BDA △△BFE ；（2）△CD +DF +FE 的最小值为 ； △当CD +DF +FE 取得最小值时，求证：AD △BF ．（3）如图2，M ，N ，P 分别是DF ，AF ，AE 的中点，连接MP ，NP ，在点D 运动的过程中，请判断△MPN 的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．5．已知在ABC 中，O 为BC 边的中点，连接AO ，将AOC 绕点O 顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到EOF ，连接AE ，CF ．（1）如图1，当△BAC ＝90°且AB ＝AC 时，则AE 与CF 满足的数量关系是 ； （2）如图2，当△BAC ＝90°且AB ≠AC 时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）如图3，延长AO 到点D ，使OD ＝OA ，连接DE ，当AO ＝CF ＝5，BC ＝6时，求DE 的长．6．已知，在ABC 中，AB AC =，D 是平面上一点，连接AD ，把AD 绕点A 逆时针旋转至点E ，使DAE BAC ∠=∠．连接DE 并延长，交AB 于点O ，交BC 于点F ．连接BD 和CE ，CE 的延长线分别交AB ，BD 于点P ，G ．（1）如图1，求证：BGC DAE ∠=∠；（2）如图2，若点F 是BC 的中点，//AD CB ，求证12AE BC =； （3）在（2）的条件下，若G 是BD 的中点，连接,OG FG ．当5,3AB AD ==时，请直接写出OFG △的周长．7．【问题探究】（1）如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，△ACB＝△DCE＝90°，点B，D，E 在同一直线上，连接AD，BD．△请探究AD与BD之间的位置关系？并加以证明．△若AC＝BC，DC＝CE AD的长．【拓展延伸】（2）如图2，△ABC和△DEC均为直角三角形，△ACB＝△DCE＝90°，AC BC，CD CE＝1．将△DCE绕点C在平面内顺时针旋转，设旋转角△BCD为α（0°≤α＜360°），作直线BD，连接AD，当点B，D，E在同一直线上时，画出图形，并求线段AD的长．8．如图1和图2，四边形ABCD中，已知AD＝DC，△ADC＝90°，点E、F分别在边AB、BC上，△EDF＝45°．（1）观察猜想：如图1，若△A、△DCB都是直角，把△DAE绕点D逆时针旋转90°至△DCG，使AD与DC重合，易得EF、AE、CF三条线段之间的数量关系，直接写出它们之间的关系式_____；（2）类比探究：如图2，若△A、△C都不是直角，则当△A与△C满足数量关系_____时，EF、AE、CF三条线段仍有（1）中的关系，并说明理由；（3）解决问题：如图3，在△ABC中，△BAC＝90°，AB＝AC＝D、E均在边BC上，且△DAE＝45°，若BD＝1，求AE的长．9．如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD AE =，连接DC 、BE ，点P 为DC 的中点．（1）观察图1，猜想线段AP 与BE 的数量关系是______，位置关系是______； （2）把ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，（1）中的结论是否仍然成立，若成立请证明；若不成立，请写出新的结论并说明理由；（3）把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若6DE =，10BC =，请直接写出线段AP 长的取值范围．10．已知AOB 和△MON 都是等腰直角三角形，△AOB ＝△MON ＝90°． （1）如图1：连AM ，BN ，求证：AOM △BON ；（2）若将Rt MON 绕点O 顺时针旋转，当点A ，M ，N 恰好在同一条直线上时，如图2所示，线段OH //BN ，OH 与AM 交点为H ，若OB ＝4，ON ＝3，求出线段AM 的长； （3）若将MON 绕点O 顺时针旋转，当点N 恰好落在AB 边上时，如图3所示，MN 与AO 交点为P ，求证：MP 2+PN 2＝2PO 2．11．如图1，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 是BC 边上一动点，连接AD ，把AD 绕点A 顺时针旋转90°，得到AE ，连接DE ．（1）如图1所示，若4BC =，在D 点运动过程中，当8tan 11BDE ∠=时，求线段CD 的长．（2）如图2所示，点F 是线段DE 的中点，连接BF 并延长交CA 延长线于点M ，连接DM ，交AB 于点N ，连接CF ，AF ，当点N 在线段CF 上时，求证：AD BF CF +=．（3）如图3，若AB =ABC 绕点A 顺时针旋转得AB C ''△，连接CC '，P 为线段CC '上一点，且CC ''=，连接BP ，将BP 绕点B 顺时针旋转60°得到BQ ，连接PQ ，K 为PQ 的中点，连接CK ，请直接写出线段CK 的最大值．12．已知：如图1，将一块45︒角的直角三角板DEF 与正方形ABCD 的一角重合，连结AF 、CE ，点M 是CE 的中点，连结DM ．（1）请你猜想AF 与DM 的数量关系是___________．（2）如图2，把正方形ABCD 绕着点D 逆时针旋转α角（090α︒<<︒）． △AF 与DM 的数量关系是否仍成立，若成立，请证明：若不成立，请说明理由；△若60α=︒，且3FDM MDC ∠=∠，求DEDC的值．13．在等腰直角三角形ABC 中，290AC BC ACB ==∠=︒，，点M 为射线CA 上一个动点．过点M 作ME BM ⊥，交射线BA 于E ，将线段BM 绕点B 逆时针旋转90︒得到线段BN ，过点N 作NF BN ⊥交BC 延长线于点F ，连接EF ．（1）如图1，当点M 在边AC 上时，线段,,EM EF NF 的数量关系为_______； （2）如图2，当点M 在射线CA 上时，判断线段,,EM EF NF 的数量关系并说明理由； （3）当点M 在射线CA 上运动时，能否存在BEF △为等腰三角形，若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出CM 的长．14．如图，等腰Rt CEF 绕正方形ABCD 的顶点C 顺时针旋转，且AB CE EF ==，90CEF ∠=︒．连接AF 与射线BE 交于点G ．（1）如图1，当点B 、C 、F 三点共线时，则ABE ∠ FEM ∠（填“＞”、“＝”或“＜”），则AG FG （填“＞”、“＝”或“＜”）；（2）如图2，当点B 、C 、F 三点不共线时，求证：AG GF =；（3）若等腰CEF △从图1的位置绕点C 顺时针旋转α（090α︒<≤︒），当直线AB 与直线EF 相交构成的4个角中最小角为30°时，直接写出α的值．15．在菱形ABCD 中，4AB =，60ABC ∠=︒，E 是对角线AC 上一点，F 是线段BC 延长线上一点，且CF AE =，连接BE 、EF ．（1）如图1，若E 是线段AC 的中点，求EF 的长；（2）如图2，若E 是线段AC 延长线上的任意一点，求证：BE EF =． （3）如图3，若E 是线段AC 延长线上的一点，12CE AC =，将菱形ABCD 绕着点B 顺时针旋转α︒(0360)α≤≤，请直接写出在旋转过程中DE 的最大值．16．如图，等边三角形ABC 中，D 为AB 边上一点（点D 不与点,A B 重合），连接CD ，将CD 平移到BE （其中点B 和C 对应），连接AE ．将BCD △绕着点B 逆时针旋转至BAF △，延长AF 交BE 于点G ．（1）连接DF ，求证：BDF 是等边三角形； （2）求证：,,D F E 三点共线；（3）当2BG EG =时，求tan AEB ∠的值．17．ABC 为等边三角形，CD AB ⊥于点D ，点E 为边BC 上一点，点F 为线段CD 上一点，连接EF ，且CE EF =．（1）如图1，若342AB CE ==,，连接BF ，G 为BF 的中点，连接DG ，求线段DG 的长：（2）如图2，将CEF △绕点C 逆时针方向旋转一定的角度得到CMN ，连接BN ，点H为BN 的中点，连接AH HM ,，求证：AH =：（3）如图3，在（2）问的条件下，线段HM 与线段CN 交于点P ，连接AM ，交线段CN 于点Q ，当2CQ PN a ==时，请直接用含a 的式子表示PQ 的长．18．在ABC 中，90ACB ∠=︒．将ABC 绕点C 逆时针旋转一定角度（旋转角度不大于180︒），得到DEC （点D ，E 分别与点A ，B 对应），连接AD ，BE ．（1）如图1，当点A ，C ，E 在同一条直线上时，直接写出AD 与BE 的位置关系为__________；（2）如图2，当点D 落在AB 上时，（点D 不与点A 重合），请判断AD 与BE 的位置关系，并证明你的结论；（3）如图3，将ABC 绕点C 逆时针旋转60︒时，延长AD 与直线BC ，BE 分别相交于点F ，G ，连接CG ，试探究线段CG 与DE 之间满足的数量关系，并说明理由．19．如图△，在矩形ABCD 中，1AB =，对角线AC ，BD 相交于点O ，60COD ∠=︒，点E 是线段CD 上一点，连接OE ，将线段OE 绕点O 逆时针旋转60︒得到线段OF ，连接DF ．（1）求证：DF CE =；（2）连接EF 交OD 于点P ，求DP 的最大值；（3）如图△，点E 在射线CD 上运动，连接AF ，在点E 的运动过程中，若AF AB =，求OF 的长．20．将等边三角形ABC 如图放置在平面直角坐标系中，8AB =，E 为线段AO 的中点，将线段AE 绕点A 逆时针旋转60°得线段AF ，连接EF ． （△）如图1，求点E 的坐标；（△）在图1中，EF 与AC 交于点G ，连接EC ，N 为EC 的中点，连接NG ，求线段NG 的长．请你补全图形，并完成计算；（△）如图2，将AEF △绕点A 逆时针旋转，M 为线段EF 的中点，N 为线段CE 的中点，连接MN ，请直接写出在旋转过程中MN 的取值范围．参考答案：1．（2）成立（3）四边形MBCN的是矩形，PM=PN．2．（1）EF BF=；（2）FE FB=，（33．（1）4；（2）150°，（3）64．（2）（3）是，△MPN=30°．5．（1）AE CF=；（2）成立，（36．（3）47．（1）△AD BD⊥；△4；（2）8．（1）EF＝AE＋CF；（2）△A＋△C＝180°；（39．（1）12AP BE=，AP BE⊥；（2）12AP BE=，AP BE⊥仍成立；（3AP≤≤．10．（2；11．（1）3219；（3）312．（1）AF＝2DM，（2）△AF＝2DM仍然成立；13．（1）结论：EM+EF=FN；（2）结论：EF=EM=FN；（3）2或2+14．（1）=；=；（3）15°或75°15．（1）（3）16．tan AEB∠=17．（1；（318．（1）AD BE⊥；（2）AD BE⊥，（3）CG DE=19．（2）DP的最大值为14；（3）1OF=20．（△）(0,E；（△；（△）44MN≤≤答案第1页，共1页。

2023年中考数学高频考点训练——反比例函数-动态几何问题一、综合题1．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB 与反比例函数(0)ky x x =>的图象交于点A (1，3)和点B (3，n)，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ．（1）求反比例函数的表达式及n 的值；（2）将△OCD 沿直线AB 翻折，点O 落在第一象限内的点E 处，EC 与反比例函数的图象交于点F ．①请求出点F 的坐标；②在x 轴上是否存在点P ，使得△DPF 是以DF 为斜边的直角三角形?若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，一次函数y ＝﹣x +4的图象与反比例ky x =（k 为常数，且k ≠0）的图象交于A (1，a )，B 两点．（1）求反比例函数的表达式及点B 的坐标；（2）①在x 轴上找一点P ，使P A +PB 的值最小，求满足条件的点P 的坐标；②在x 轴上找一点M ，使|MA ﹣MB |的值为最大，直接写出M 点的坐标．3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝kx ﹣1（k≠0）与函数y mx =（x ＞0）的图象交于点A （3，2）．（1）求k ，m 的值；（2）将直线l 沿y 轴向上平移t 个单位后，与y 轴交于点C ，与函数y mx =（x ＞0）的图象交于点D ．①当t ＝2时，求线段CD 的长；②若≤CD≤2，结合函数图象，直接写出t 的取值范围．4．如图，在矩形ABCD 中，已知点A （2，1），且AB ＝4，AD ＝3，把矩形ABCD 的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为靓点，反比例函数y ＝kx （x ＞0）的图象为曲线L ．（1）若曲线L 过AB 的中点．①求k 的值．②求该曲线L 下方（包括边界）的靓点坐标．（2）若分布在曲线L 上方与下方的靓点个数相同，求k 的取值范围．5．在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数(0)ky k x =≠的图象过点(23)A ，．（1）求k 的值；（2）过点(0)(0)P m m ≠，作x 轴的垂线，分别交反比例函数(0)ky k x =≠，4y x=-的图象于点M ，N ．①当2m =-时，求MN 的长；②若5MN ≥，直接写出m 的取值范围．6．如图，已知直线OA 与反比例函数(0)my m x =≠的图像在第一象限交于点A ．若4OA =，直线OA 与x 轴的夹角为60°．（1）求点A 的坐标；（2）求反比例函数的解析式；（3）若点P 是坐标轴上的一点，当AOP 是直角三角形时，直接写出点P 的坐标．7．（1）探究新知：如图1，已知ABC 与ABD 的面积相等，试判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由．（2）结论应用：如图2，点M ，N 在反比例函数(0)ky k x =>的图象上，过点M作ME y ⊥轴，过点N 作NF x ⊥轴，垂足分别为E ，F ．试证明：//MN EF ．（3）拓展延伸：若（2）中的其他条件不变，只改变点M ，N 在反比例函数(0)ky k x =>图象上的位置，如图3所示，MN 与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，若3BM =，请求AN 的长．8．如图，在第一象限内有一点A （4，1），过点A 作AB ⊥x 轴于B 点，作AC ⊥y 轴于C 点，点N 为线段AB 上的一动点，过点N 的反比例函数y ＝nx 交线段AC 于M 点，连接OM ，ON ，MN ．（1）若点N 为AB 的中点，则n 的值为；（2）求线段AN 的长（用含n 的代数式表示）；（3）求△AMN 的面积等于14时n 的值．9．如图，直线26y x =+与反比例函数()0ky k x =>的图象交于点()1A m ，，与x 轴交于点B ．平行于x 轴的直线()08y n n =<<交反比例函数的图象于点M ，交AB 于点N ，连接BM ．（1）求m 的值和反比例函数的表达式；（2）当n 为何值时，BMN 的面积最大？10．已知正比例函数y 1＝ax 的图象与反比例函数y 2＝6ax -的图象交于A ，B 两点，且A 点的横坐标为﹣1．（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式．（2）根据图象回答，当x 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值．（3）点M （m ，n ）是反比例函数图象上一动点，其中0＜n ＜3，过点M 作MD ∥y 轴交x 轴于点D ，过点B 作BC ∥x 轴交y 轴于点C ，交直线MD 于点E ，当四边形OMEB 面积为3时，请判断DM 与EM 大小关系并给予证明．11．如图，将一张Rt ABC 纸板的直角顶点放在(2,1)C 处，两直角边BC ，AC 分别与x ，y 轴平行(BC AC >)，纸板的另两个定点A ，B 恰好是直线15y kx =+与双曲线2m y x =(0)m >的交点．（1）求m 和k 的值；（2）将此Rt ABC 纸板向下平移，当双曲线2my x =(0)m >与Rt ABC 纸板的斜边所在直线只有一个公共点时，求Rt ABC 纸板向下平移的距离．12．在矩形AOBC 中，分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．A 点坐标为(03)，，B 点坐标为(40)，，F 是BC 上的一个动点（不与B 、C 重合），过F 点的反比例函数0)y x=>的图象与AC 边交于点E ，连接OE OF ，，作直线EF ．（1）若2CF =，求反比例函数解新式；（2）在（1）的条件下求出EOF 的面积；（3）在点F 的运动过程中，试说明ECFC 是定值．13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，双曲线y 1＝kx 与直线y 2＝mx ＋n 交于点A ，E ，AE 交x 轴于点C ，交y 轴于点D ，AB x ⊥轴于点B ，C 为OB 中点．若D 点坐标为（0，﹣2），且S △AOD ＝4（1）求双曲线与直线AE 的解析式；（2）写出E 点的坐标；（3）观察图象，直接写出y 1≥y 2时x 的取值范围．14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数(0)my x x =>的图像经过点342A ⎛⎫⎪⎝⎭，，点B 在y 轴的负半轴上，AB 交x 轴于点C ，C 为线段AB 的中点．（1）m =，点C 的坐标为；（2）若点D 为线段AB 上的一个动点，过点D 作//DE y 轴，交反比例函数图象于点E ，求ODE 面积的最大值．15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数12y x =-+与反比例函数2(0)k y x x =<相交于点B ，与x 轴相交于点A ，点B 的横坐标为-2.（1）求k 的值；（2）直接写出当0x <且12y y <时，x 的取值范围；（3）设点M 是直线AB 上的一点，过点M 作//MN x 轴，交反比例函数2(0)ky x x =<的图象于点N .若以A ，O ，M ，N 为顶点的四边形为平行四边形，求点M 的坐标.16．如图1，已知点A （a ,0），B （0,b ），且a 、b 满足0，平行四边形ABCD 的边AD 与y 轴交于点E ，且E 为AD 中点，双曲线ky x =经过C 、D 两点．（1）a=，b=；（2）求D 点的坐标；（3）点P 在双曲线ky x =上，点Q 在y 轴上，若以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点Q 的坐标；17．如图，已知直线y=-2x 与双曲线y=kx （k<0）上交于A 、B 两点，且点A 的纵坐标为-2（1）求k 的值；（2）若双曲线y=kx （k<0）上一点C 的纵坐标为12，求△BOC 的面积；（3）若A 、B 、P 、Q 为顶点组成的四边形为正方形，直接写出过点P 的反比例函数解析式。

中考数学《一次函数-动态几何问题》专项练习题及答案一、单选题1．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∥B=90°，AB=AD=5，BC=4，M、N、E分别是AB、AD、CB上的点，AM=CE=1，AN=3，点P从点M出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线MB﹣BE向点E运动，同时点Q从点N出发，以相同的速度沿折线ND﹣DC﹣CE向点E运动，当其中一个点到达后，另一个点也停止运动．设∥APQ的面积为S，运动时间为t秒，则S与t函数关系的大致图象为（）A．B．C．D．2．如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P从点A出发，在正方形ABCD的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止设点P的运动路程为x（cm），在下列图象中，能表示∥ADP的面积y（cm2）关于x（cm）的函数关系的图象是（）A．B．C．D．3．如图，矩形ABCD中，P为CD中点，点Q为AB上的动点（不与A，B重合）．过Q作QM∥PA 于M，QN∥PB于N．设AQ的长度为x，QM与QN的长度和为y．则能表示y与x之间的函数关系的图象大致是( )A．B．C．D．4．如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(9，6)，AB⊥y轴，垂足为B，点P从原点O出发向x轴正方向运动，同时，点Q从点A出发向点B运动，当点Q到达点B时，点P、Q同时停止运动，若点P与点Q的速度之比为1：2，则下列说法正确的是()A．线段PQ始终经过点(2，3)B．线段PQ始终经过点(3，2)C．线段PQ始终经过点(2，2)D．线段PQ不可能始终经过某一定点5．如图1，在四边形ABCD中，DC//AB，∠DAB=90°，点E沿着B→C→D的路径以2cm/s速度匀速运动，到达点D停止运动，EF始终与直线BC保持垂直，与AB或AD交于点F，设线段EF的长度为d(cm)，运动时间为t(s)，若d与t之间的关系如图2所示，则图中a的值为（）A．3.8B．3.9C．4.5D．4.86．如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（2，2），直线y=kx+x+3与线段AB有公共点，则k的取值范围是（）A．k≥−3B．k<−32C．−3<k<−32D．−3≤k≤−3 27．如图所示，A、M、N点坐标分别为A（0，1），M（3，2），N（4，4），动点P从点A出发，沿y 轴以每秒一个单位长度的速度向上移动，且过点P的直线l：y＝﹣x+b也随之移动，设移动时间为t 秒，若点m，n分别位于l的异侧，则t的取值范围是（）A．5＜t＜8B．4＜t＜7C．4≤t≤7D．4＜t＜88．一次函数y=−2x+4的图象与y轴交于点P，将一次函数图象绕着点P转动，转动后得到的一次函数图象与两坐标轴所围成的面积比原来增加2，则转动后得到的一次函数图象与x轴交点横坐标为（）A．−3B．3C．3或−3D．6或−69．如图，在平面直角坐标系中有-个3×3的正方形网格，其左下角格点A的坐标为(1，1)，右上角格点B的坐标为(4，4)，若分布在直线y=k(x-1)两侧的格点数相同，则k的取值可以是()A．52B．2C．74D．3210．如图，直线AB：y=-3x+9交y轴于A，交x轴于B，x轴上一点C(-1，0)，D为y轴上一动点，把线段BD绕B点逆时针旋转90°得到线段BE，连接CE，CD，则当CE长度最小时，线段CD的长为()A．√10B．√17C．5D．2√711．小颖从家出发，走了20分钟，到一个离家1000米的图书室，看了40分钟的书后，用15分钟返回到家，图（3）中表示小颖离家时间x与距离y之间的关系正确的是（）A．B．C．D．12．如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点A(−1，−2)，B(3，−1)，若直线y=kx+2与线段AB有交点，则k的值可能是（）A．2B．3C．−12D．-4二、填空题13．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0，2)，点B是x轴上的一个动点，始终保持∥ABC 是等边三角形(点A，B，C按逆时针排列)，当点B运动到原点O处时，则点C的坐标是.随着点B在x轴上移动，点C也随之移动，则点C移动所得图象的表达式是.14．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是(m，2)，(2m−1，2)，若直线y=4x+1与线段AB有公共点，则m的取值范围是≤m≤．15．在平面坐标系中，已知点A（2，3），B（5，8），直线y=kx-k（k≠0）与线段AB有交点，则k的取值范围为．16．如图，在直角坐标系中，∥A的圆心的坐标为（﹣2，0），半径为2，点P为直线y=﹣34x+6上的动点，过点P作∥A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是17．如图，在∥ABC中，∥C＝90°，AC＝8，BC＝6，D点在AC上运动，设AD长为x，∥BCD 的面积y，则y与x之间的函数表达式为．18．如图，点M的坐标为(3，2)，点P从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴向上移动，同时过点P的直线关于直线l也随之上下平移，且直线l与直线y=−x平行，如果点M关于直线l的对称点落在坐标轴上，如果点P的移动时间为t秒，那么t的值为．三、综合题19．如图，在平面直角坐标系中，点F的坐标为（0，10）．点E的坐标为（20，0），直线l1经过点F 和点E，直线l1与直线l2 、y= 34x相交于点P．（1）求直线l1的表达式和点P的坐标；（2）矩形ABCD的边AB在y轴的正半轴上，点A与点F重合，点B在线段OF上，边AD平行于x 轴，且AB=6，AD=9，将矩形ABCD沿射线FE的方向平移，边AD始终与x 轴平行．已知矩形ABCD以每秒√5个单位的速度匀速移动（点A移动到点E时止移动），设移动时间为t秒（t＞0）．①矩形ABCD在移动过程中，B、C、D三点中有且只有一个顶点落在直线l1或l2上，请直接写出此时t的值；②若矩形ABCD在移动的过程中，直线CD交直线l1于点N，交直线l2于点M．当∥PMN的面积等于18时，请直接写出此时t的值．20．在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后返回.设汽车从甲地出发x（h）时，汽车与甲地的距离为y（km），y与x的函数关系如图所示.根据图象信息，解答下列问题：（1）这辆汽车的往、返速度是否相同？请说明理由；（2）求返程中y与x之间的函数表达式；（3）求这辆汽车从甲地出发4h时与甲地的距离.21．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线y=−12x+b相交于点C(2,m)（1）求点A、B的坐标；（2）求m和b的值；（3）若直线y=−12x+b与x轴相交于点D．动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒①若点P在线段DA上，且ΔACP的面积为10，求t的值；②是否存在t的值，使ΔACP为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．22．当我们将一条倾斜的直线进行上下平移时，直线的左右位置也发生着变化．下面是关于“一次函数图象平移的性质”的探究过程，请补充完整．（1）如图1，将一次函数y=x+2的图像向下平移1个单位长度，相当于将它向右平移了个单位长度；（2）将一次函数y=−2x+4的图像向下平移1个单位长度，相当于将它向（填“左”或“右”）平移了个单位长度；（3）综上，对于一次函数y=kx+b(k≠0)的图像而言，将它向下平移m(m>0)个单位长度，相当于将它向（填“左”或“右”）（k>0时）或将它向（填“左”或“右”）（k<0时）平移了n(n>0)个单位长度，且m，n，k满足等式．23．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，a），B（a+2，a），其中a＞0，直线y＝kx﹣2与y轴相交于C点．（1）已知a＝2①求S∥ABC；②若点A和点B在直线y＝kx﹣2的两侧，求k的取值范围；（2）当k＝2时，若直线y＝kx﹣2与线段AB的交点为D点（不与A点、B点重合），且AD＜3，求a的取值范围．24．如图所示，平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点B（﹣3，0），交y轴于点A（0，1），直线x=﹣1交AB于点D，P是直线x=﹣1上一动点，且在点D上方，设P（﹣1，n）．（1）求直线AB的解析式；（2）求∥ABP的面积（用含n的代数式表示）；（3）点C是y轴上一点，当S∥ABP=2时，∥BPC是等腰三角形①满足条件的点C的个数是▲ 个（直接写出结果）；②当BP为等腰三角形的底边时，求点C的坐标．参考答案1．【答案】D 2．【答案】A 3．【答案】D 4．【答案】B 5．【答案】B 6．【答案】D 7．【答案】B 8．【答案】C 9．【答案】C 10．【答案】B 11．【答案】A 12．【答案】D13．【答案】( √3 ，1)；y ＝ √3 x －2 14．【答案】14；5815．【答案】2≤k ≤3 16．【答案】4√2 17．【答案】y ＝－3x ＋24 18．【答案】2或319．【答案】（1）解：设直线l 1的表达式为y=kx+b ∵直线l 1过点F （0，10），E （20，0）∴{b =1020k +b =0解得 {k =−12b =10直线l 1的表达式为y=﹣ 12 x+10求直线l 1与直线l 2 交点，得34 x=﹣ 12 x+10解得x=8y= 34×8=6 ∴点P 坐标为（8，6）（2）解：①如图，当点D 在直线上l 2时∵AD=9∴点D 与点A 的横坐标之差为9∴将直线l1与直线l2交解析式变为x=20﹣2y，x= 43y∴43y﹣（20﹣2y）=9解得y= 8710则点A的坐标为：（135，8710）则AF= √(135)2+(10−8710)2=13√510∵点A速度为每秒√5个单位∴t= 1310如图，当点B在l2直线上时∵AB=6∴点A的纵坐标比点B的纵坐标高6个单位∴直线l1的解析式减去直线l2 的解析式得﹣12x+10﹣34x=6解得x= 165则点A坐标为（165，425）则AF= √(165)2+(10−425)2=8√55∵点A速度为每秒√5个单位∴t= 8 5故t值为1310或85②如图设直线AB交l2 于点H设点A横坐标为a，则点D横坐标为a+9由①中方法可知：MN= 54a+54此时点P到MN距离为：a+9﹣8=a+1∵∥PMN的面积等于18∴12×(54a +54)⋅(a +1)=18解得a 1= 12√55−1 ，a 2=﹣ 12√55−1 （舍去）∴AF=6﹣ √52则此时t 为 6√55−12 当t= 6√55−12 时，∥PMN 的面积等于18 20．【答案】（1）解：不同.理由如下：∵ 往、返距离相等，去时用了2小时，而返回时用了2.5小时∴ 往、返速度不同.（2）解：设返程中 y 与 x 之间的表达式为 y =kx +b则 {120=2.5k +b ，0=5k +b.解之，得 {k =−48，b =240.∴ y =−48x +240 .（ 2.5x ≤x ≤5 ）（3）解：当 x =4 时，汽车在返程中∴y =−48×4+240=48 .∴ 这辆汽车从甲地出发4h 时与甲地的距离为48km.21．【答案】（1）解：在 y =x +2 中当 x =0 时当 y =0 时∴A(−2,0)（2）解： ∵ 点 C(2,m) 在直线 y =x +2 上∴m =2+2=4又 ∵ 点 C(2,4) 也在直线 y =−12x +b 上 ∴ 即 4=12x +5 解得 b =5（3）解：在 y =−12x +5 中 当 x =0 时∴D(10,0)∵A(−2,0)∴AD =12①设 PD =t ，则 AP =12−t过 C 作 CE ⊥AP 于 E ，则 CE =4由 ΔACP 的面积为 10得 12(12−t)×4=10 解得 t =7②过 C 作 CE ⊥AP 于 E则 CE =4∴AC =4√2a. 当 AC =CP 时，如图①所示则 AP =2AE =8∴PD =AD −AP =4∴t =4b. 当 AP 1=AP 2=AC =4√2 时，如图②所示DP 1=t =12−4√2c. 当 CP =AP 时，如图③所示设 EP =a则 CP =√a 2+42∴√a 2+42=a +4解得 a =0∴AP =4∴PD =8∴t =8综上所述，当 t =4 或 t =12−4√2 或 t =12+4√2 或 t =8 时，ΔACP 为等腰三角形22．【答案】（1）1（2）左；12（3）右；左；m=n|k|23．【答案】（1）解：①∵a ＝2∴A （2，2），B （4，2）∴AB ＝2∵直线y ＝kx ﹣2与y 轴相交于C 点∴C （0，﹣2），如图∴S ∥ABC ＝12AB×（2+2）＝12×2×4＝4． ②当直线y ＝kx ﹣2经过点A （2，2）时2k ﹣2＝2，解得k ＝2当直线y ＝kx ﹣2经过点B （4，2）时4k ﹣2＝2，解得k ＝1∴点A 和点B 在直线y ＝kx ﹣2的两侧时，1＜k ＜2；（2）解：直线AB 的解析式为：y ＝a当k ＝2时，直线y ＝2x ﹣2∴2x ﹣2＝a ，即x ＝a+22∴D （a+22，a ）∴2＜a+22＜a+2解得a ＞2又∵AD ＝a+22−2<3解得a ＜8所以a 的取值范围为2＜a ＜8．24．【答案】（1）解：设直线AB 的解析式为y=kx+b ，把A(0，1)，B(﹣3，0)代入，得{b =1−3k +b =0解得{b =1k =13∴y =13x +1； （2）解：当x=-1时，y =13×(−1)+1=23∵P(﹣1，n)∴PD=n−2 3∴∥ABP的面积=∥APD的面积+∥BPD的面积=12PD⋅OB=12(n−23)×3=32n−1；（3）解：①3；②设C(0，c)∵P(-1，2)，B(﹣3，0)∴PC2=(−1−0)2+(2−c)2=c2−4c+5BC2=(−3−0)2+(0−c)2=c2+9当PC=BC时c2-4c+5= c2+9∴c=-1∴C(0，-1)．。

中考数学总复习《一次函数-动态几何问题》练习题附带答案一、单选题(共12题；共24分)1．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点P在矩形的边上沿B→C→D→A运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．2．如图，点P是▱ABCD边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，设P点经过的路径长为x，△BAP的面积是y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（）A．B．C．D．3．如图，在正方形ABCD中，点P从点A出发，沿着正方形的边顺时针方向运动一周，则△APC的面积y与点P运动的路程x之间形成的函数关系图象大致是（）A．B．C．D．4．在数轴上，点A表示－2，点B表示4.P,Q为数轴上两点，点Р从点A出发以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度向左运动，点Q到达原点О后，立即以原来的速度返回，当点Q回到点B时点Р与点Q同时停止运动．设点Р运动的时间为x秒，点Р与点Q之间的距离为y个单位长度，则下列图像中表示y与x的函数关系的是（）A．B．C．D．5．如图，在矩形ABCD中AB＝8cm，BC＝6cm动点P从点B出发，沿B→C→D→A方向匀速运动至点A 停止，已知点P的运动速度为2cm/s，设点P的运动时间为x（s），△PAB的面积为y（cm2），则下列图象中，能正确表示y与x的关系的是（）A．B．C．D．6．如图1，在四边形ABCD中DC//AB，∠DAB=90°点E沿着B→C→D的路径以2cm/s 速度匀速运动，到达点D停止运动，EF始终与直线BC保持垂直，与AB或AD交于点F，设线段EF的长度为d(cm)，运动时间为t(s)，若d与t之间的关系如图2所示，则图中a的值为（）A．3.8B．3.9C．4.5D．4.87．如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x=9时点R应运动到（）A ．M 处B ．N 处C ．P 处D ．Q 处8．如图，一次函数y= 34x+6的图像与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，过点B 的直线l 平分△ABO 的面积，则直线l 相应的函数表达式为（ ）A ．y= 35 x+6B ．y= 53 x+6C ．y= 23 x+6D ．y= 32x+69．如图1，在矩形 ABCD 中，动点 E 从点 B 出发，沿 BADC 方向运动至点 C 处停止，设点 E运动的路程为 x ，△BCE 的面积为 y ，如果 y 关于 x 的函数图象如图2所示，则当 x =7 时点 E 应运动到（ ）A ．点 处B ．点 处C ．点 处D ．点 处10．如图,AD,BC 是⊙O 的两条互相垂直的直径,点P 从点O 出发,沿O →C →D →O 的路线匀速运动,设∠APB=y （单位:度),点P 运动的时间为x （单位:秒），那么表示y 与x 关系的图象是( )A ．B ．C ．D ．11．如图，正方形ABCD 的边长为4，P 为正方形边上一动点，沿A →D →C →B →A 的路径匀速移动，设P点经过的路径长为x，△APD的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（）A．B．C．D．12．如图，过点A0（2，0）作直线l：y= √33 x的垂线，垂足为点A1，过点A1作A1A2⊥x轴，垂足为点A2，过点A2作A2A3⊥l，垂足为点A3，…，这样依次下去，得到一组线段：A0A1，A1A2，A2A3，…则线段A2016A2107的长为（）A．（√32）2015B．（√32）2016C．（√32）2017D．（√32）2018二、填空题(共6题；共10分)13．如图，把△ABC放在平面直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=10点A，B的坐标分别为(2，0)，(8，0)当直线y=2x+b（b为常数）与△ABC有交点时则b的取值范围是．14．已知两点M（3，5），N（1，1），点P是x轴上一动点，若使PM+PN最短，则点P的坐标应为．15．如图1，AB//CD，E是直线CD上的一点，且∠BAE=30°，P是直线CD上的一动点，M是AP的中点，直线MN⊥AP且与CD交于点N，设∠BAP=x°和∠MNE=y°．（1）在图2中，当x=12时∠MNE=；在图3中，当x=50时∠MNE=；（2）研究及明：y与x之间关系的图象如图4所示（y不存在时用空心点表示，请你根据图象直接估计当y=100时x=．（3）探究：当x=时点N与点E重合，并在答题卡上画出此时图形．（4）探究：当x>105时求y与x之间的关系式．16．如图1，在矩形ABCD中，动点P从点A出发，沿A−B−C的方向在AB和BC上运动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，且y关于x的函数图象如图2所示．当△PCD的面积与△PAB的面积相等时y的值为．17．如图，直线y=−12x+2与坐标轴分别交于点A,B，与直线y=12x交于点C,Q是线段OA上的动点，连接CQ，若OQ=CQ，则点Q的坐标为.18．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(0，4)，直线y＝34 x－3与x轴、y轴分别交于点A、B，点M是直线AB上的一个动点，则PM的最小值为．三、综合题(共6题；共69分)19．如图，在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为（2，0），（1，2），（4，3），直线l的解析式为y＝kx+4﹣3k（k≠0）．（1）当k＝1时直线l与x轴交于点D，点D的坐标是，S△ABD＝．（2）小明认为点C在直线l上，他的判断是否正确，请说明理由；（3）若线段AB与直线l有交点，则k的取值范围为．20．如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（√3，0）的两条直线分别交y轴于B、C两点，且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根（1）试问：直线AC与直线AB是否垂直？请说明理由；（2）若点D在直线AC上，且DB=DC，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，在直线BD上寻找点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．21．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线y=−12x+b相交于点C(2,m)（1）求点A、B的坐标；（2）求m和b的值；（3）若直线y=−12x+b与x轴相交于点D．动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒①若点P在线段DA上，且ΔACP的面积为10，求t的值；②是否存在t的值，使ΔACP为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．22．如图，直线l与x轴交于点A，与y轴交于点B(0，2) .已知点C(−1，3)在直线l上，连接OC.（1）求直线l的解析式；（2）P为x轴上一动点，若ΔACP的面积是ΔBOC的面积的2倍，求点P的坐标. 23．如图，一次函数y=2x+b的图像经过点M(1,3)，且与x轴，y轴分别交于A,B两点．（1）填空：b=；（2）将该直线绕点A顺时针旋转45∘至直线l，过点B作BC⊥AB交直线l于点C，求点C的坐标及直线l的函数表达式．24．当m，n为实数，且满足m+nm=n时就称点P(m，mn)为“状元点”．已知点A（0，7）和点M都在直线y=x+b上，点B，C是“状元点”，且B在直线AM上．（1）求b的值及判断点F（2，6）是否为“状元点”；（2）请求出点B的坐标；（3）若AC≤5√2，求点C的横坐标的取值范围．参考答案1．【答案】B 2．【答案】A 3．【答案】C 4．【答案】B 5．【答案】A 6．【答案】B 7．【答案】D 8．【答案】D 9．【答案】B 10．【答案】B 11．【答案】B 12．【答案】B13．【答案】-16≤b ≤4 14．【答案】（43，0）15．【答案】（1）102°；40°（2）10或170 （3）15或105 （4）y =270−x16．【答案】√2 17．【答案】(54,0)18．【答案】28519．【答案】（1）(−1，0)；3（2）解：小明的判断不符合题意，理由如下： ∵y =kx +4−3k ∴ 当 x =4 时 ∵k +4 不一定为3∴ 点 C(4，3) 不一定在直线 l 上，小明的判断不符合题意； （3）1⩽k ⩽420．【答案】（1）解：结论：AC ⊥AB ．理由如下：∵由x 2﹣2x ﹣3=0得：∴x 1=3，x 2=﹣1∴B （0，3），C （0，﹣1）∵A （ √3 ，0），B （0，3），C （0，﹣1）∴OA= √3 ，OB=3，OC=1∴tan ∠ABO= OA BO = √33，tan ∠ACO= OA OC = √3 ∴∠ABO=30°，∠ACO=60°∴∠BAC=90°∴AC ⊥AB（2）解：如图1中，过D 作DE ⊥x 轴于E ．∴∠DEA=∠AOC=90°∵tan ∠ACO= OA OC= √3 ∵∠DCB=60°∵DB=DC∴△DBC 是等边三角形∵BA ⊥DC∴DA=AC∵∠DAE=∠OAC在△ADE 和△ACO 中∴△ADE ≌△ACO∴DE=OC=1，AE=OA= √3∴OE=2 √3∴D 的坐标为（﹣2 √3 ，1）（3）解：设直线BD 的解析式为：y=mx+n ，直线BD 与x 轴交于点E把B （0，3）和D （﹣2 √3 ，1）代入y=mx+n∴{n =31=−2√3m +n解得 {m =√33n =3∴直线BD 的解析式为：y= √33 x+3令y=0代入y= √33 x+3∴x=﹣3 √3∴E （﹣3 √3 ，0）∴OE=3 √3∴tan ∠BEC= OB OE = 33√3 = √33∴∠BEO=30°同理可求得：∠ABO=30°∴∠ABE=30°当PA=AB 时如图2此时∠BEA=∠ABE=30°∴EA=AB∴P 与E 重合 ∴P 的坐标为（﹣3 √3 ，0）当PA=PB 时如图3此时∠PAB=∠PBA=30°∵∠ABE=∠ABO=30°∴∠PAB=∠ABO∴PA ∥BC∴∠PAO=90° ∴点P 的横坐标为﹣ √3 令x=﹣ √3 代入y= √33 x+3∴y=2 ∴P （﹣ √3 ，2）当PB=AB 时如图4∴由勾股定理可求得：AB=2 √3 ，EB=6若点P 在y 轴左侧时记此时点P 为P 1过点P 1作P 1F ⊥x 轴于点F ∴P 1B=AB=2 √3∴EP 1=6﹣2 √3∴sin ∠BEO= FP 1EP 1∴FP 1=3﹣ √3令y=3﹣ √3 代入y= √33x+3 ∴x=﹣3∴P 1（﹣3，3﹣ √3 ）若点P 在y 轴的右侧时记此时点P 为P 2过点P 2作P 2G ⊥x 轴于点G∴P 2B=AB=2 √3∴EP 2=6+2 √3∴sin ∠BEO= GP 2EP 2∴GP 2=3+ √3令y=3+ √3 代入y= √33x+3 ∴x=3∴P 2（3，3+ √3 ）综上所述，当A 、B 、P 三点为顶点的三角形是等腰三角形时点P 的坐标为（﹣3 √3 ，0），（﹣√3 ，2），（﹣3，3﹣ √3 ），（3，3+ √3 ）21．【答案】（1）解：在y=x+2中当x=0时当y=0时∴A(−2,0)（2）解：∵点C(2,m)在直线y=x+2上∴m=2+2=4又∵点C(2,4)也在直线y=−12x+b上∴即4=12x+5解得b=5（3）解：在y=−12x+5中当x=0时∴D(10,0)∵A(−2,0)∴AD=12①设PD=t，则AP=12−t过C作CE⊥AP于E，则CE=4由ΔACP的面积为10得12(12−t)×4=10解得t=7②过C作CE⊥AP于E则CE=4∴AC=4√2 a.当AC=CP时如图①所示则AP=2AE=8∴PD=AD−AP=4∴t=4b.当AP1=AP2=AC=4√2时如图②所示DP1=t=12−4√2c.当CP=AP时如图③所示设EP=a则CP=√a2+42∴√a2+42=a+4解得a=0∴AP=4∴PD=8∴t=8综上所述，当t=4或t=12−4√2或t=12+4√2或t=8时ΔACP为等腰三角形22．【答案】（1）解：设直线l的解析式为y=kx+b∵点B(0,2)、C(−1,3)在直线l上∴{b=2−k+b=3解得{b=2 k=−1∴直线l的解析式为y=−x+2（2）解：把y=0代入方程y=−x+2得x=2∴点A(2,0)SΔBOC=12|x c|⋅OB=12×1×2=1设P(a,0)，则AP=|a−2|∴ΔACP△ACP 的面积是: 12×3×|a−2|令SΔACP=2SΔBOC即12×3×|a−2|=2解得a=103或a=23∴A点的坐标数是(103,0)或(23,0)23．【答案】（1）1（2）由（1）可知，直线AB的解析式为：y=2x+1令x=0，则y=1令y=0，则 x =−12∴点A 为（ −12 ，0），点B 为（0，1） ∴OA= 12 ，OB=1；由旋转的性质，得 AB =BC∵BC ⊥AB∴∠ABC=90°过点C 作CD ⊥y 轴，垂足为D ，如图：∵∠BDC=90°∴∠CBD+∠BCD=∠CBD+∠ABD=90° ∴∠BCD=∠ABD同理，∠CBD=∠BAO∵AB=BC∴△ABO ≌△BCD∴BD=AO= 12 ，CD=BO=1∴OD= OB −BD =1−12=12∴点C 的坐标为（1， 12 ）；设直线l 的表达式为 y =mx +n ∵直线经过点A 、C ，则{m +n =12−12m +n =0 ，解得： {m =13n =16∴直线l 的表达式为 y =13x +16 ．24．【答案】（1）解：∵m+mn=n 且m ，n 是正实数 ∴m n +m=1，即m n =1-m∴P （m ，1-m ）∴点P 在直线y=1-x 上当x=2时1-x=-1∴点F （2，6）不是“状元点”；∵点A （0，7）在直线y=x+b 上∴7=0+b∴b=7；（2）解：由（1）求得直线AM ：y=x+7∵“状元点”B 在直线AM 上，且满足y=1-x∴{y =1−x y =x +7解得：{x =−3y =4∴点B 的坐标为（-3，4）；（3）解：∵点C 是“状元点”∴设C （n ，1-n ）∴AC=√n 2+(7−1+n)2=√2n 2+12n +36≤5√2 整理得n 2+6n −7≤0解得：-7≤n ≤1．。