中考数学复习--几何最值及路径长 精讲及测试题

一、选择题1．（2019·长沙）如图，△ABC 中，AB =AC =10，tanA =2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD +5的最小值是【 】A．．．D ．10【答案】B二、填空题1．（2019·黄冈）如图，AC ，BD 在AB 的同侧，AC ＝2，BD ＝8，AB ＝8.点M 为AB 的中点.若∠CMD ＝120°，则CD 的最大值是（）【解析】将△CAM 沿CM 翻折到△CA ′M ，将△DBM 沿DM 翻折至△DB ′M ， 则A ′M ＝B ′M ，∠AMC ＝∠A ′MC ，∠DMB ＝∠DMB ′， ∵∠CMD ＝120°，∴∠AMC +∠DMB ＝∠A ′MC +∠DMB ′＝60°，∴∠A ′MB ′＝180°-（∠AMC +∠DMB +∠A ′MC +∠DMB ′）＝60°， ∴△A ′MB ′是等边三角形，又∵AC ＝2，BD ＝8，AB ＝8.点M 为AB 的中点，知识点47——几何最值∴A ′B ′＝A ′M ＝B ′M ＝AM ＝12AB ＝4，CA ′＝AC ＝2，DB ′＝DB ＝8，又CD ≤CA ′+A ′B ′+DB ′＝2+4+8＝14.三、解答题1．（2019山东威海，24，12分）如图，在正方形ABCD 中，AB ＝10cm ，E 为对角线BD 上一动点，连接AE ，CE ，过E 点作EF ⊥AE ，交直线BC 于点F ．E 点从B 点出发，沿着BD 方向以每秒2cm 的速度运动，当点E 与点D 重合时，运动停止，设△BEF 的面积为ycm 2，E 点的运动时间为x 秒．（1）求证：CE ＝EF ；（2）求y 与x 之间关系的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围； （3）求△BEF 面积的最大值．【解析】（1）证明：过E 作MN ∥AB ，交AD 于M ，交BC 于N ， ∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ∥BC ，AB ⊥AD ，∴MN ⊥AD ，MN ⊥BC ，∴∠AME ＝∠FNE ＝90°＝∠NFE ＋∠FEN ， ∵AE ⊥EF ，∴∠AEF ＝∠AEM ＋∠FEN ＝90°，∴∠AEM ＝∠NFE ， ∵∠DBC ＝45°，∠BNE ＝90°，∴BN ＝EN ＝AM .， ∴△AEM ≌△EFN （AAS ），∴AE ＝EF .∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝CD ，∠ADE ＝∠CDE ， ∵DE ＝DE ，∴△ADE ≌△CDE （SAS ），∴AE ＝CE ＝EF .（2）在Rt △BCD 中，由勾股定理得：BD， ∴0≤x ≤.由题意，得BE ＝2x ，∴BN ＝EN x .由（1）知：△AEM≌△EFN，∴ME＝FN，∵AB＝MN＝10，∴ME＝FN＝10x，如图（1），当0≤x∴BF＝FN－BN＝10x x＝10－x. ∴y＝12BF·EN＝1(102−＝－2x2＋（0≤x；如图（2）x≤∴BF＝BN－FN x－（10x）＝x－10，∴y＝12BF·EN＝12−＝2x2－x≤.∴222(02x xyx x−+≤≤=−<≤（1）（2）（3）y＝－2x2＋5x＝－2（x2＋254，∵－2＜0，∴当x y有最大值是；即△BEF面积的最大值是；x≤y＝2x2－＝22(x－254，此时2＞0，开口向上，对称轴为直线x∵对称轴右侧，y 随x 的增大而增大， ∴当x＝y 最大值＝50.∴当x＝BEF 面积的最大值是50.25．（2019山东省威海市，题号25，分值12） （1）方法选择如图①，四边形ABCD 是OO 的内接四边形，连接AC ，BD .AB ＝BC ＝AC ，求证：BD ＝AD ＋CD . 小颖认为可用截长法证明：在DB 上截取DM ＝AD ，连接AM ..…… 小军认为可用补短法证明：延长CD 至点N ，使得DN ＝AD …… 请你选择一种方法证明.（2）类比探究【探究1】如图②，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD .BC 是⊙O 的直径，AB ＝AC .试用等式表示线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并证明你的结论.【探究2】如图③，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD .若BC 是⊙O 的直径，∠ABC ＝30°，则线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式是.图①图②B图③B图④B（3）拓展猜想如图④，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD .若BC 是O 0的直径，BC ：AC ：AB ＝a ：b ：c ，则线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式是.【思路分析】（1）选小颖的截长法，如图①，在DB 上截取DM ＝AD ，连接AM ，由旋转全等得BM ＝CD ，∴BD ＝MD ＋BM ＝AD ＋CD（2）【探究1】数量关系为：BDAD ＋CD如图②，在DB 上截取AD ＝AN ，连接AN ，可得△AND 为等腰直角三角形，∴ND，由旋转全等得BN ＝CD ，∴BD ＝ND ＋BNAD ＋CD【探究2】数量关系为：BD ＝2ADCD如图③，在DB 上截取2AD ＝PD ，连接AP ，可得△APD 为30°的直角三角形， 由旋转相似得BP，∴BD ＝PD ＋BP ＝2ADCD （3）拓展猜想数量关系为：BD ＝abAD ＋c b CD如图④，过A 作AQ ⊥AD 交BD 于Q ，连接AQ ，由旋转相似得=BQ AB c CD AC b =，=DQ BC aAD AC b=， ∴BQ ＝cb CD ，BQ ＝a b AD ，∴BD ＝PD ＋BP ＝abAD ＋c b CD【解析】（1）选小颖的截长法，如图①，在DB 上截取DM ＝AD ，连接AM ，可得△AMD 为等边三角形，可证△BAM ≌△CAD （SAS ）得BM ＝CD ，∴BD ＝MD ＋BM ＝AD ＋CD（2）【探究1】数量关系为：BDAD ＋CD如图②，在DB 上截取AD ＝AN ，连接AN ，可得△AND 为等腰直角三角形，∴NDAD ，∠BAN ＝答案图①答案图②B∠CAD ，可证△BAN ≌△CAD （SAS ）得BN ＝CD ，∴BD ＝ND ＋BNAD ＋CD【探究2】数量关系为：BD ＝2ADCD如图③，在DB 上截取2AD ＝PD ，连接AP ，可得△APD 为30°的直角三角形，∴=tan 30AP ABAD AC=°，∠BAP ＝∠CAD ，可证△BAP ∽△CAD 得BPCD ，∴BD ＝PD ＋BP ＝2AD（3）拓展猜想数量关系为：BD ＝a b AD ＋c bCD 如图④，过A 作AQ ⊥AD 交BD 于Q ，连接AQ ，可得∠BAQ ＝∠CAD ，∠ABQ ＝∠ACD ，∠ADQ ＝∠ACB ，∠BAC ＝∠QAD ∴△BAP ∽△CAD ，△ADQ ∽△ACB ∴=BQ AB c CD AC b =，=DQ BC aAD AC b=， ∴BQ ＝cb CD ，BQ ＝a b AD ，∴BD ＝PD ＋BP ＝a b AD ＋c bCD 2．（2019·益阳）如图，在半面直角坐标系x O y 中，矩形ABCD 的边AB =4，BC =6.若不改变矩形ABCD 的形状和大小，当形顶点A 在x 轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D 始终在y 轴的正半上随之上下移动.(1)当∠O AD =30°时，求点C 的坐标；(2)设AD 的中点为M ，连接O M 、MC ，当四边形 O MCD 的面积为221时，求O A 的长； (3)当点A 移动到某一位置时，点C 到点O 的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时c os ∠O AD 的值.答案图③B答案图④B第2题图 第2题备用图第2题答图1 第2题答图2【解析】（1）如图1，过点C 作CE ⊥y 轴，垂足为E .∵矩形ABCD 中，CD ⊥AD ，∴∠CDE +∠AD O=90°，又∵∠O AD +∠AD O=90°，∴∠CDE =∠O AD =30°.在R t △CED 中，CE =21CD =2，∴DE =32242222=−=−CE CD ; 在R t △O AD 中，∠O AD =30°，∴O D =21AD =3.∴点C 的坐标为(2，323+).(2)∵M 为AD 的中点，∴DM =3，6=DCM S △. 又∵221=OMCD S 四边形，∴29=ODM S △，∴9=OAD S △.设O A =x ，O D =y ，则 ==+9213622xy y x ，∴xy y x 222=+，即0)(2=−y x ，∴x =y .将x =y 代入3622=+y x 得182=x ，解得23=x (23−不合题意，舍去)，∴O A 的长为23.（3）O C 的最大值为8.理由如下：如图2，∵M 为AD 的中点，∴O M =3，522=+=DMCD CM .∴O C ≤O M +CM =8,当O 、M 、C 三点在同一直线时，O C 有最大值8. 连接O C ，则此时O C 与AD 的交点为M ，过点O 作O N ⊥AD ，垂足为N . ∵∠CDM =∠O NM =90°，∠CMD =∠O MN ，∴△CMD ∽△O MN ，∴OMCMMN DM ON CD ==，即3534==MN ON ， 解得59=MN ，512=ON ，∴56=−=MN AM AN . 在R t △O AN 中，∵55622=+=AN ON OA ，∴55cos ==∠OA OAD AN .3．（2019·衡阳）如图，在等边△ABC 中，AB ＝6cm ，动点P 从点A 出发以cm /s 的速度沿AB 匀速运动．动点Q 同时从点C 出发以同样的速度沿BC 延长线方向匀速运动．当点P 到达点B 时，点P 、Q 同时停止运动．设运动时间为t （s ）．过点P 作PE ⊥AC 于E ，连接PQ 交AC 边于D ．以CQ 、CE 为边作平行四边形CQFE ．（1）当t 为何值时，△BPQ 为直角三角形；（2）是否存在某一时刻t ，使点F 在∠ABC 的平分线上？若存在，求出t 的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE 的长；（4）取线段BC 的中点M ，连接PM ，将△BPM 沿直线PM 翻折，得△B ′PM ，连接AB ′当t 为何值时，AB ′的值最小？并求出最小值．【解析】：（1）∵△ABC 为等边三角形，∴∠B ＝60°，∵BP ⊥PQ ，∴2BP ＝BQ 即2（6－t ）＝6＋t ，解得t ＝2．∴当t 为2时，△BPQ 为直角三角形；（2）存在．作射线BF ，∵PE ⊥AC ，∴AE ＝0.5t ．∵四边形CQFE 是平行四边形，∴FQ ＝EC ＝6－0.5t ，∵BF 平分∠ABC ，∴∠FBQ ＋∠BQF ＝90°．∵BQ ＝2FQ ，BQ ＝6＋t ，∴6＋t ＝2（6－0.5t ），解得t ＝3．（3）过点P 作PG ∥CQ 交AC 于点G ，则△APG 是等边三角形．∵BP ⊥PQ ，∴EG ＝12AG ．∵PG ∥CQ ，∴∠PGD ＝∠QCD ，∵∠PDG ＝∠QDC ，PG ＝PA ＝CG ＝t ，∴△PGD ≌△QCD ．∴GD ＝12GC ．∴DE＝12AC＝3．（4）连接AM，∵△ABC为等边三角形，点M是BC的中点，∴BM＝3．由勾股定理，得AM＝．由折叠，得BM′＝3．当A 、B′、M在同一直线上时，AB′的值最小，此时AB′＝3.过点B′作B′H⊥AP于点H，则c os30°＝AHAB′,，解得t＝9－．∴t为9－时，AB′的值最小，最小值为－3．4.（2019·重庆A卷）如图，在平面在角坐标系中，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交与点A，B（点A 在点B的左侧）交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．（1）连结BD，点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MN⊥BD交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NH⊥x轴，垂足为H，交BD于点F，点P是线段OC上一动点，当MN取得最大值时，求HF＋FP＋13PC的最小值；（2）在（1）中，当MN取得最大值，HF＋FP＋13PC取得小值时，把点P单位得到点Q，连结AQ，把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度α（0°<α<360°），得到△A OQ′′，其中边A Q′′交坐标轴于点G，在旋转过程中，是否存在一点G，使得OGQQ''∠=∠？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q′的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）由题意得A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)，D(1，－4)，直线BD：y＝2x－6．如答图1，连接DN、BN，则S△BDN＝12BD•MN，而BD为定值，故当MN最大时，S△BDN取最大值．此Q时由S △BDN ＝S △DFN ＋S △BFN ＝12EH •FN ＋12BH •FN ＝12BE •FN ＝FN ，从而S △BDN 取最大值时，即为FN 有最大值．令N (m ，m 2－2m －3)，则F (m ，2m －6)，从而FN ＝(2m －6)－(m 2－2m －3)＝－m 2＋4m －3＝－(m －2)2＋1，此时，当且仅当m ＝2，FN 有最大值为1，于是N (2，－3)，F (2，－2)，H (2，0)．在直角三角形中，设最小的直角边为a ，斜边为3a ，较长直角边为3，即可求出a x 轴上取点K (，0)，连接KC ，易求直线KC ：y ＝－x －3．如答图1，过点F 作FR ⊥CK 于点R ，交OC 于点P ，作FT ⊥OC ，交CK 于点T ，则∠OCK ＝∠TFR ，于是，由△PCR ∽△ACO ∽△TFR ，得133PR OK a PC KC a ===，从而PR ＝13PC ，因此由FH 为定值，再由定点F 到直线的垂直线最短，可知MN 取得最大值时，HF ＋FP ＋13PC 最小值＝HF ＋FR ．在y ＝－x －3中，当y ＝－2，x ，于是FT ＝2．在R t △FTR 中，由FR FT =，得FR FT (2)＝13，故HF ＋FP ＋13PC 最小值＝2＋13．（2）(，(，，．5.（2019·重庆B 卷）在平面直角坐标系中，抛物线242y ++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ，对称轴与x 轴交于点Q .（1）如图1，连接AC ，BC ．若点P 为直线BC 上方抛物线上一动点，过点P 作PE ∥y 轴交BC 于点E ，作PF ⊥BC 于点F ，过点B 作BG ∥AC 交y 轴于点G ．点H ，K 分别在对称轴和y 轴上运动，连接PH ，HK ．当△PEF 的周长最大时，求PH +HK 的最小值及点H 的坐标． （2）如图2，将抛物线沿射线AC 方向平移，当抛物线经过原点O 时停止平移，此时抛物线顶点记作D ’，N 为直线DQ 上一点，连接点D ’，C ，N ，△D’CN 能否构成等腰三角形？若能，直接写出满足条件的点N 的坐标；若不能，请说明理由．【解析】（1）∵2y x ++与x 轴交于A ，B 两点，∴当y =0时，即20+，∴122,4x x =−=，即A （－2，0），B （4，0）， 设直线BC 的解析式为y =kx +b ，∵C （0，），B （4，0），∴40b k b =+=，∴b k = = ，∴直线BC的解析式为y +设点2(,4),P m m ++<< ∵PE ∥y 轴且点E 在直线BC上，∴(,E m +∠PEF =∠OCE ，∴2(04),PE m +<< ∵PF ⊥BC ，∴∠PFE =∠COB =90°，∴△PEF ∽△BCO ， 设△PEF 的周长为1l ，△BCO 的周长为2l ， 则12l PEl BC=，∵B （4，0），C （0，），∴BC=24l =+，∴21)(04),l m +<< ∴当m=2时，1l此时点P 的坐标为（2，）， ∵A （－2，0），C （0，），∴∠ACO =30°，∠CAO =60°， 备用图图1图2∵BG∥AC，∴.∠BGD=30°，∠OBG=60°，∴G（0，−，直线B G解析式为y=−PM解析式为y=，过点G作GN⊥BG，过点P作PM⊥GN于点M，如图1，此时，点H为PM与对称轴的交点，K为PM与y轴的交点，点K与点O重合，则KM=OMKG，PH+HKKG的最小值为线段PM的长.（此问题是胡不归问题）.解法一：（作一线三直角利用相似求解）如图2，过点P作PQ∥x轴交对称轴于点T，过点M作MQ⊥y轴交PT于点Q，过点G作GJ⊥MQ交MQ于点J.设点Q（n，），∴J（n，−，∴PQ=2－n，M2－n），∵GJ=－n，∴MJ=，∴MQ+MJ=CG=(−−，2－n）+()=，∴n=-3，∴Q（－3，），∴PQ=5，∴PM=2PQ=10，∴PH+HKKG的最小值为10，∵∠OGM=60°，∠PHT=30°，∠HPT=60°，∴PT=1，∴HTH（1.图1 N解法二：由上面的解法可知MG ⊥BG ，直线MG的解析式为：y x −如图3，过点P 作PR ⊥x 轴交MG 于点R ，∴R （2，）， 由第一种解法可知∠PRG =60°，∴PMPR（）=10， ∴PH +HKKG 的最小值为10，同理可求H （1.（2）这样的N 点存在.当△'CD N 为等腰三角形时，这样的N有：1N,2N，3N,4N,5N .【提示】由（1）可知∠AC O=30°，∠O AC =60°,图2NN又∵221)y x x ++−+D （1，∵抛物线按射线AC 的方向平移，设平移后顶点'(D a ++，平移后的抛物线解析式为21)y x a =−−++该抛物线经过原点，则201)a =−−+∴2280a a −−=，∴a =4或a =－2（舍去），即D .设点N （1，b ）'CD ==CN =，'ND 如图4，当△'CD N 为等腰三角形时，分三种情况：①当'CD CN =，可得1N ,2N ；②当''CD D N =3N ,4N ,③当'CN D N =可得5N ,∴当△'CD N 为等腰三角形时，这样的N 有：1N ,2N ，3N ,4N ,5N .6.（2019·天津）已知抛物线y =x 2-bx +c (b ,c 为常数，b >0)经过点A （-1,0），点M (m ,0)是x 轴正半轴上的动点，（1）当b =2时，求抛物线的顶点坐标；（2）点D (b ,y D )在抛物线上，当AM =AD ,m =5时，求b 的值；（3）点Q(1,2b +y Q)2QM +b 的值. 【解析】(1)∵抛物线y =x 2-bx +c 经过点A （-1,0），∴1+b +c =0，∴c =-1-b 当b =2时，c =-3，∴抛物线的解析式为y =x 2-2x -3，∴顶点坐标为（1，-4） （2）由(1)知，c =-1-b ，∵点D (b ,y D )在抛物线上，∴y D =-b -1， ∵b >0,∴b 02b >>，-b -1<0,∴D (b ,-b -1)在第四象限，且在抛物线对称轴2bx =的右侧.如图，过点D 作DE ⊥x 轴于E ，则E （b ，0），∴AE =b +1=DE ,所以AD 1)b +，∵m =5，∴AM =5-（-1）=6，∴1)b +，∴b =（3）∵点Q(1b ,2+y Q )在抛物线上，∴y Q=2113)()12224b b b b b +−+−−=−−（， ∴点Q （1b ,2+3-24b −）在第四象限，且在直线x =b 的右侧，2QM +，A (-1，0)，∴取点N (0，1)，如图， 过点Q 作Q H ⊥x 轴于H ，作QG ⊥AN 于G,QG 与x 轴交于点M ，则H （1b ,2+0），∠G AM =45°，∴G M AM ， ∵M （m ,0),∴AM =m +1,MH =1b 2m +−,Q H =324b +,∵MH =Q H ,∴1b 2m +−=324b +，∴m =1-24b ，∴AM =13-12424b b +=+，Q M 3)24b +（2QM +33)))24244（b ++b +b =4.7.（2019·自贡）如图，已知直线AB 与抛物线：y =ax 2+2x +c 相交于点A （-1，0）和点B （2，3）两点.（1）求抛物线C 函数解析式；（2）若点M 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，以MA 、MB 为相邻的两边作平行四边形MANB ，当平行四边形MANB 的面积最大时，求此时平行四边形MANB 的面积S 及点M 的坐标；（3）在抛物线C 的对称轴上是否存在顶点F ，使抛物线C 上任意一点P 到F 的距离等于到直线y =174的距离，若存在，求出定点F 的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）将A（-1，0）和B（2，3）代入抛物线解析式得�aa−2+cc=04aa+4+cc=3解得，�aa=−1cc=3∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3.（2）过M作MH∥y轴，交AB于H，设直线AB为y=kx+b，将A，B坐标代入得，�−kk+bb=02kk+bb=3解得，�kk=1bb=1.∴直线AB的解析式为y=x+1.设M为（m，-m2+2m+3）,则H（m，m+1）∴MH=y M-Y H=(-m2+2m+3)-( m+1)=-m2+m+2.∴S△ABM=S△AMH+S△BMH=12·MH·（x B-x A）=12·(-m2+m+2)·(2+1)=-32(m2-m)+3=-32(m-12)2+278. ∵四边形MANB是以MA、MB为相邻的两边的平行四边形，∴△ABM≌△BAN.∴S四边形MANB=2 S△ABM=-3(m-12)2+274，∵a=-3＜0且开口向下，∴当m=12时，S四边形MANB的最大值为274.此时，M坐标为（12，154）. （3）存在，理由如下：过P作直线y=174的垂线，垂足为T，∵抛物线为y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4.∴抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1,4）.当P为顶点，即P（1.4）时，设F点坐标为（1，t），此时PF=4-t，PT=174-4=14.∵P到F的距离等于到直线y=174的距离，∴4-t=14，即t=154.∴F为（1，154）设P点为（a，-a2+2a+3）,由勾股定理，PF2=(a-1)2+(-a2+2a+3-154)2=a4-4a3+132a2-5a+2516.又∵PT2=[174-(-a2+2a+3)]2= a4-4a3+132a2-5a+2516.∴PF2=PT2，即PF=PT.∴当F为（1，154）时，抛物线C上任意一点P到F的距离等于到直线y=174的距离. 8．（2019·淮安）如图①，在△ABC中，AB=AC=3，∠BAC=100°，D是BC的中点.小明对图①进行了如下探究：在线段AD上任取一点P，连接PB.将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80°，点B的对应点是点E，连接BE，得到△BPE.小明发现，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧.请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：(1)当点E在直线AD上时，如图②所示.①∠BEP= ；②连接CE，直线CE与直线AB的位置关系是.(2)请在图③中画出△BPE，使点E在直线AD的右侧，连接CE.试判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明理由.(3)当点P在线段AD上运动时，求AE的最小值.【解析】（1）①由题意得，PE =PB ，∠BPE =80°，∴∠BEP =°=°−°50280180； ②如图所示，∵AB =AC ，D 是BC 的中点，∠BAC =100°，∴∠ABC =°=°−°402100180，∵∠BEP =50°，∴∠BCE =∠CBE =40°，∴∠ABC =∠BCE ，∴CE ∥AB . 答案：①50°；②平行（2）在DA 延长线上取点F ，使∠BF A =∠CF A =40°，总有△BPE ∽△BFC . 又∵△BPF ∽△BEC ，∴∠BCE =∠BFP =40°，∴∠BCE =∠ABC =40°，∴CE ∥AB .当点P 在线段AD 上运动时，由题意得PB =PE =PC ， ∴点B 、E 、C 在以P 为圆心、PB 为半径的圆上， 如图所示：∴AE 的最小值为AC =3.9.（2019·凉山州）如图，抛物线y = ax 2+bx +c 的图象过点A （-1，0）、B （3,0）、C （0,3）.（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得△P AC 的周长最小，若存在，请求出点 P 的坐标及△P AC 的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x 轴上方的抛物线上是否存在点M （不与C 点重合），使得 S △P AM =S △P AC ，若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由题知 ==++=+−30390c c b a c b a ，解得==−=321c b a ，∴抛物线的解析式为y = -x 2+2x +3；（2）存在.连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时△P AC 的周长最小.设BC :y =kx +3，则3k +3=0，解得k =-1，∴BC :y =-x +3.由抛物线的轴对称性可得其对称轴为直线x =1，当x =1时，y =-x +3=2，∴P （1,2）.在Rt △OAC 中，AC =2231+=10；在Rt △OBC 中，BC =2233+=32.∵点P 在线段AB 的垂直平分线上，∴P A =PB ，∴△P AC 的周长=AC +PC +P A = AC +PC +PB =AC +BC =10+32.综上，存在符合条件的点P ，其坐标为（1,2），此时△P AC 的周长为10+32；（3）存在.由题知AB =4，∴S △P AC =S △ABC -S △P AB =21×4×3-21×4×2=2.设：AP :y =mx +n ，则=+=+−20n m n m ，解得==11n m ，∴AP :y =x +1.①过点C 作AP 的平行线交x 轴上方的抛物线于M ，易得CM :y =x +3，由++−=+=3232x x y x y 解得 ==3011y x ，==4122y x ，∴M （1,4）； ②设抛物线对称轴交x 轴于点E （1,0）,则S △P AC =21×2×2=2=S △P AC .过点E 作AP 的平行线交x 轴上方的抛物线于M ，设EM :y =x +t ，则1+t =0,∴t =-1，∴EM :y =x -1. 由 ++−=−=3212x x y x y 解得−−=−=2171217111y x （舍），+−=+=2171217122y x ，∴M （2171+,2171+−）. 综上，存在符合条件的点M ，其坐标为（1,4）或（2171+,2171+−）. 10．（2019·苏州，26，10）已知矩形ABCD 中，AB ＝5cm ，点P 为对角线AC 上的一点，且AP ＝cm ．如图①，动点M 从点A 出发，在矩形边上沿着A →B →C 的方向匀速运动（不包含点C ）．设动点M 的运动时间为t （s ），△APM 的面积为S （cm 2），S 与t 的函数关系如图②所示．（1）直接写出动点M 的运动速度为cm /s ，BC 的长度为cm；（2）如图③，动点M 重新从点A 出发，在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动，同时，另一个动点N 从点D 出发，在矩形边上沿着D →C →B 的方向匀速运动，设动点N 的运动速度为v （cm /s ）．已知两动点M ，N 经过时间x （s ）在线段BC 上相遇（不包含点C ），动点M ，N 相遇后立即同时停止运动，记此时△APM 与△DPN 的面积分别为S 1（cm 2），S 2（cm 2） ①求动点N 运动速度v （cm /s ）的取值范围； ②试探究S 1•S 2是否存在最大值，若存在，求出S 1•S 2的最大值并确定运动时间x 的值；若不存在，请说明理由．图① 图② 图③ 第27题答图 【解析】（1）∵t ＝2.5s 时，函数图象发生改变，∴t ＝2.5s 时，M 运动到点B 处，∴动点M 的运动速度为52.5=2cm /s ，∵t ＝7.5s 时，S ＝0，∴t ＝7.5s 时，M 运动到点C 处，∴BC ＝（7.5﹣2.5）×2＝10（cm ）， 故答案为2，10；（2）①∵两动点M ，N 在线段BC 上相遇（不包含点C ），∴当在点C 相遇时，v527.53=（cm /s ），当在点B 相遇时，v 5102.5+=6（cm /s ），∴动点N 运动速度v （cm /s ）的取值范围为23cm /s ＜v ≤6cm /s ； AB ，交CD EF ∥BC ，EF ＝BC ＝10，∴AF APAB AC=，∵AC∴5AF =解得AF ＝2，∴DE ＝AF ＝2，CE ＝BF ＝3，PF 4，∴EP ＝EF ﹣PF ＝6，∴S 1＝S △APM ＝S △APF +S 梯形PFBM ﹣S △ABM 12=×4×212+（4+2x ﹣5）×312−×5×（2x ﹣5）＝﹣2x +15，S 2＝S △DPM ＝S △DEP +S 梯形EPMC ﹣S △DCM 12=×2×612+（6+15﹣2x ）×312−×5×（15﹣2x ）＝2x ，∴S 1•S 2＝（﹣2x +15）×2x ＝﹣4x 2+30x ＝﹣4（x 154−）22254+，∵2.5154＜＜7.5，在BC 边上可取，∴当x 154=时，S 1•S 2的最大值为2254．11.(2019·巴中)如图,抛物线y ＝ax 2+bx －5(a ≠0)经过x 轴上的点A (1,0)和点B 及y 轴上的点C ,经过B ,C 两点的直线为y ＝x +n .①求抛物线的解析式;②点P 从A 出发,在线段AB 上以每秒1个单位的速度向B 运动,同时点E 从B 出发,在线段BC 上以每秒2个单位的速度向C 运动.当其中一个点到达终点时,另一点也停止运动.设运动时间为t 描,求t 为何值时,△PBE 的面积最大,并求出最大值.③过点A 作AM ⊥BC 与点M ,过抛物线上一动点N (不与点B ,C 重合)作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q,若点A ,M ,N ,Q 为顶点的四边形是平行四边形.求点N 的横坐标.分析:①由点A 和直线y ＝x +n 可得方程组,解出系数,求得二次函数的解析式;②根据题意表示出三角形面积,利用二次函数最值进行求解;③分析得到AM 平行且等于N Q,设出坐标,利用坐标关系列方程进行求解,并检验.【解析】①因为点B ,C 在y ＝x +n 上,所以B (－n ,0),C (0,n ),因为点A (1,0)在抛物线上,所以250505a b an bn n ì+-=ïï--=íï=-ïî,解得,a ＝－1,b ＝6,所以抛物线的解析式为:y ＝－x 2+6x －5.②由题意得:PB ＝4－t ,，BE ＝2t ，由①可知:∠O BC ＝45°,点P 到BC 上的高h ＝BP s in 45(4－t),所以S △PBE ＝12BE h 鬃＝)22t --+当t ＝2时,S 取得最大值为③因为l BC :y ＝x －5,所以B (5,0), 因为A (1,0),所以AB ＝4,在R t △ABM 中,∠ABM ＝45°,AM AB ＝M (3,－3)， 过点N 作x 轴的垂线交直线BC 于点P 交x 轴于点H , 设N (m ,－m 2+6m －5),则H (m ,0),P (m ,m －5),易证△P Q N 为等腰直角三角形,即N Q ＝P Q ＝所以PN ＝4.当NH +HP ＝4时,即－m 2+6m －5－(m －5)＝4,解之得,m 1＝1,m 2＝4. 当m 1＝1时,点N 与点A 重合,故舍去;当NH +HP ＝4时,即m －5－(－m 2+6m －5)＝4,解得,m 1,m 2因为m >5,所以m当NH －HP ＝4,即－(－m 2+6m －5)－[－(m －5)]＝4,解得,m 1,m 2因为m <0,所以m综上所述,要使点A ,M ,N ,Q 为顶点的四边形是平行四边形,点N 的横坐标为:412.（2019·淄博）顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3与x 轴交于A (3，0)，B (－1，0)两点，与y 轴交于点C ．(1)求这条抛物线对应的函数表达式；(2)问在y 轴上是否存在点P ，使得△P AM 为直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．(3)若在第一象限的抛物线下方有一动点D ，满足DA ＝OA ，过D 作DG ⊥x 轴于点G ，设△ADG 的内心为I ，试求CI 的最小值．【解析】(1)将A、B两点坐标代入抛物线表达式,得933030a ba b++=−+=,解得12ab=−=.∴y＝－x2＋2x＋3.(2)假设存在点P，使△P AM是直角三角形.当点M为直角顶点，过M作CD⊥y轴，过A作AD⊥x轴，交CD于D，CD交y轴于C，∵∠AMP＝90°，∴∠CMP＋∠AMD＝90，∴∠CMP＝∠MAD，又∵∠DM＝∠PCM，∴△CPM∽△DMA,∴CMAD＝PCMD，∴14＝2PC，∴PC＝12，∴P1(0,72);当点A为直角顶点，过A作CD⊥x轴，过M作MD⊥y轴交AD于D，过P作PC⊥y轴交CD于C，同上△CP A∽△DAM，∴PCAD＝ACMD，∴34＝2AC，∴AC＝32，∴P2(0,－32);当点P为直角顶点，过M作CM⊥y轴于C，∴△CPM∽△OAP，∴PCAO＝CMPO，∴3PC＝14-PC，∴PC＝1或3，∴P3(0,3)，P4(0,1).综上所述，使△P AM是直角三角形的点P的是P1(0,72)，P2(0,－32)，P3(0,3)，P4(0,1).（方法1）由(1)得DA ＝OA ＝3，设D (x ,y )，△ADG 的内切圆半径为r ，则△ADG 的内心I 为(x ＋r ,r ), ∴DG ＝y ,AG ＝3－x由两点距离公式可得()2222339DA x y =−+==①由等面积法得r ＝()33+22y x DG AG DA +−−−==2y x−② ∴()()2223CI x r r =++−③由①②③得222312CI x y =−+−+2CI在312x y =−−最小，此时CI 也最小，min 32CI =（方法2）简解：如图，由内心易知：∠DIA ＝135°，∠DAI ＝∠OAI ，△DAI ≌△OAI （SAS ），∴∠DIA ＝∠OIA ＝135°，则I 在圆周角∠OIA ＝135°⊙T的圆周上运动，且半径R T 为(32,32)，∴CI 在△CIA 中，CI ≥CT－IT＝32，当C 、I 、T三点一线时，min 3=2CI .13.(2019·枣庄)已知抛物线y ＝ax 2+32x +4的对称轴是直线x ＝3，与x 轴相交于A 、B 两点(点B 在点A 的右侧)，与y 轴交于点C .(1)求抛物线的解析式和A 、B 两点的坐标；(2)如图1，若点P 是抛物线上B 、C 两点之间的一个动点(不与B 、C 重合)，是否存在点P ，使四边形DIGxy O1241234PB O C 的面积最大？若存在，求点P 的坐标及四边形PB O C 面积的最大值；若不存在，请说明理由. (3)如图2，若点M 是抛物线上任意一点，过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点N ，当MN ＝3时，求点M 的坐标.解：(1)抛物线y ＝ax 2+32x +4的对称轴为:x ＝332224b a a a−=−=−＝3,∴a ＝14−,∴抛物线的解析式为:y ＝14−x 2+32x +4,令y ＝0,得14−x 2+32x +4＝0,解之,得,x 1＝－2,x 2＝8,∵点B 在点A 的右侧,∴A (－2,0),B (8,0);(2)连接BC ,在抛物线y ＝14−x 2+32x +4中,令x ＝0,得y ＝4,∴C (0,4),∴O C ＝4,O B ＝8,∴S △O BC ＝16,∵B (8,0),C (0,4),设l BC ：y ＝kx +b ，得0＝8k +b ，4＝b ，∴k ＝12−,b ＝4,l BC ：y ＝12−x +4,∴过点P 作PD ∥y轴交BC 于点D ,过点C 作CE 垂直PD 于点E ,过点B 作BF ⊥PD 于点F ,则S △PBC ＝S △PCD +S △PBD ＝12PD×CE +12PD ×BF ＝12PD ×(CE +BF )＝12PD ×(x B －x C )＝12PD ×8＝4PD ,∵点P 在抛物线上,设点P (x ,14−x 2+32x +4),∵PD ∥y 轴,点D 在直线BC 上,∴D (x ,12−x +4),∵点P 在B ,C 间的抛物线上运动,∴PD ＝y P－y D ＝14−x 2+32x +4－(12−x +4)＝14−x 2+2x ,S △PBC ＝4PD ＝4(14−x 2+2x )＝－x 2+8x ＝－(x －4)2+16，当x ＝4时，S △PBC 最大16，∴S 四边形O BPC ＝S △O BC +S △PBC ＝32;∵MN ∥y 轴,∴设M ,N 的横坐标为m ,∵点M 在抛物线上,设点M (m ,n ),其中n ＝14−m 2+32m +4,点N 在直线BC 上,∴N (m ,12−m +4),∵点M 是抛物线上任意一点,∴点M 和点N 的上下位置关系不确定,∴MN ＝|14−m 2+32m +4－(12−m +4)|＝|14−x 2+2x |,∵MN ＝3,∴|14−x 2+2x |＝3,即14−x 2+2x ＝3或14−x 2+2x ＝－3,解这两个方程,得m 1＝2, m 2＝6, m 3＝4+m 4＝4－∴n 1＝6, n 2＝4, n 31, n 41,∴M 1(2,6), M 2(6,4), M 3(4+1), M 4(4－－1).14.(2019·聊城)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A (－2,0),点B (4,0),与y 轴交于点C (0,8),连接BC ,又已知位于y 轴右侧且垂直于x 轴的动直线l ,沿x 轴正方向从O 运动到B (不含O 点和B 点),且分别交抛物线,线段BC 以及x 轴于点P ,D ,E .(1)求抛物线的表达式;(2)连接AC ,AP ,当直线l 运动时,求使得△PEA 和△A O C 相似的点P 的坐标;(3)作PF ⊥BC ,垂足为F ,当直线l 运动时,求R t △PFD 面积的最大值.解：(1)由已知,将C (0,8)代入y ＝ax 2+bx +c ,∴c ＝8,将点A (－2,0)和B (4,0)代人y ＝ax 2+bx +8,得428016480a b a b −+= ++= ,解得12a b =−= ,∴抛物线的表达式为y ＝－x 2+2x +8; (2)∵A (－2,0),C (0,8),∴O A ＝2,O C ＝8,∵l ⊥x 轴,∠PEA ＝∠A O C ＝90°,∵∠P AE ≠∠CA O,只有当∠P AE ＝∠AC O 时,△PEA ∽△A O C .此时AE PECO AO=,∴AE ＝4PE .设点P 的纵坐标为k ,则PE ＝k ,AE ＝4k ,∴O E ＝4k －2,P 点的坐标为(4k －2,k ),将P (4k －2,k )代入y ＝－x 2+2x +8,得－(4k －2)2+2(4k －2)+8＝k ,解得k 1＝0(舍去),k 2＝2316,当k ＝2316时,4k －2＝154,∴P 点的坐标为(154,2316). (3)在R t △PFD 中,∠PFD ＝∠C O B ＝90°,∵l ∥y 轴,∴∠PDF ＝∠O CB ,∴R t △PFD ∽R t △B O C ,∴2PFD=S PDS BC△△BOC,∴S △PFD ＝2PD S BC ⋅△BOC ,由B (4,0)知O B ＝4,又∵O C ＝8,∴BC ＝又S △B O C ＝12OB OC ⋅＝16,∴S △PFD ＝215PD ,∴当PD 最大时,S △PFD 最大.由B (4,0),C (0,8)可解得BC 所在直线的表达式为y ＝－2x +8,设P (m ,－m 2+2m +8),则D (m ,－2m +8),∴PD ＝－(m －2)2+4,当m ＝2时,PD 取得最大值4,∴当PD ＝4时,S △PFD ＝165,为最大值.15.（2019·滨州）如图①，抛物线y ＝－x 2+x +4与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，C ，将直线AB 绕点A 逆时针旋转90°，所得直线与x 轴交于点D ．（1）求直线AD 的函数解析式；（2）如图②，若点P 是直线AD 上方抛物线上的一个动点①当点P 到直线AD 的距离最大时，求点P 的坐标和最大距离；②当点P 到直线AD 的距离为时，求s in ∠P AD 的值．解：（1）当x ＝0时，y ＝4，则点A 的坐标为（0，4）， 当y ＝0时，0＝－x 2+x +4，解得x 1＝－4，x 2＝8， 则点B 的坐标为（－4，0），点C 的坐标为（8，0）， ∴OA ＝OB ＝4，∴∠OBA ＝∠OAB ＝45°． ∵将直线AB 绕点A 逆时针旋转90°得到直线AD ，∴∠BAD＝90°，∴OAD＝45°，∴∠ODA＝45°，∴OA＝OD，∴点D的坐标为（4，0）．设直线AD的函数解析式为y＝kx+b，，得，即直线AD的函数解析式为y＝－x+4（2）作PN⊥x轴交直线AD于点N，如右图①所示，设点P的坐标为（t，－t2+t+4），则点N的坐标为（t，－t+4），∴PN＝（－t2+t+4）－（－t+4）＝－t2+t∴PN⊥x轴，∴PN∥y轴，∴∠OAD＝∠PNH＝45°．作PH⊥AD于点H，则∠PHN＝90°，∴PH＝＝（－t2+t）＝t＝－（t－6）2+，∴当t＝6时，PH取得最大值，此时点P的坐标为（6，）即当点P到直线AD的距离最大时，点P的坐标是（6，），最大距离是②当点P到直线AD的距离为时，如右图②所示，则t＝，解得t1＝2，t2＝10，则P1的坐标为（2，），P2的坐标为（10，－）．当P1的坐标为（2，），则P1A＝＝，∴s in∠P1AD＝＝当P2的坐标为（10，－），则P2A＝＝，∴s in∠P2AD＝＝；由上可得，s in∠P AD的值是或。

题型四几何最值问题类型一利用“垂线段最短”解决最值问题1. 如图，在△ABC中，AC＝BC＝6，AB＝8，点D在AC边上，连接BD，以AD，BD为邻边作▱ADBE，连接DE，则DE的最小值为________．第1题图2. 如图，在△ABC中，AC＝BC＝6，S△ABC＝12，点D为AB的中点，点M，N分别是CD 和BC上的动点，则BM＋MN的最小值是________．第2题图3. 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，点P是BD上一动点，点E 是BC上一动点，若AC＝6，BD＝63，则PC＋PE的最小值为________．第3题图4. 如图，在△OAB中，已知∠AOB＝35°，点P是边AB上一点，点M，N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，连接PO，PM，MN，若∠BOP＝10°，OP＝6，则PM＋MN的最小值为________．第4题图类型二 利用“两点之间线段最短”解决最值问题1. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，点P 是矩形ABCD 内一点，记a ＝S △APB ＋S △CPD ，b ＝P A ＋PB ＋PC ＋PD ，则a ＋b 的最小值为________．第1题图2. 如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝1，AD ＝2，M ，N 分别为BC ，CD 边上的动点，则△AMN 周长的最小值为________．第2题图3. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，BC ＝43 ，点D 为边BC 上的动点，点E 为边AB 的中点，连接DE ，DA ，则线段DE ＋DA 的最小值为________．第3题图4. 如图，在等腰Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝22 ，∠A ＝90°，点P 是△ABC 内部一点，且满足S △BCP ＝12S △ABC ，则PB ＋PC 的最小值为________．第4题图5. 如图，二次函数y ＝－23 x 2－43x ＋2的图象与x 轴分别交于A ，B 两点(点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点C ，点P 是其对称轴上一点，连接PB ，PC ，BC ，则△PBC 的周长最小为________．第5题图类型三 利用“二次函数性质”解决最值问题（2021.9）1. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a ，b ，c, 记p ＝a ＋b ＋c 2，则其面积S ＝p （p －a ）（p －b ）（p －c ） .这个公式也被称为海伦－秦九韶公式．若p ＝5，c ＝4，则此三角形面积的最大值为( )A. 5B. 4C. 25D. 52. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，P 是BC 上的任意一点(P 与B ，C 不重合)，过点P 作AP ⊥PE ，垂足为P ，PE 交CD 于点E ，连接AE ，在点P 的运动过程中，线段CE 的最大值为________．第2题图3. 如图，在等腰△ABC 中，AC ＝BC ＝4，∠C ＝120°，点P 是AC 上一动点，PD ∥AB ，交BC 于点D ，连接AD ，则点P 在运动过程中，△APD 的面积的最大值为________．第3题图4. 如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点E，F分别为边AB，CD上的动点，且AE＝CF，将线段EF绕点F逆时针旋转90°得到线段FG，连接DG.(1)当点E为AB的中点时，线段DG的长是________；(2)当点E在边AB上运动时，线段DG的最小值是________．第4题图类型四利用“辅助圆”解决最值问题（8年3考：2021.10、17，2020.17）1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝25，E是边CD上一点，将△ADE沿直线AE 折叠得到△AFE，BF的延长线交边CD于点G，则DG长的最大值为________．第1题图2. 如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC边上的动点(不与正方形的顶点重合)，且AE＝BF，CE，DF交于点M，连接BM，若AB＝2，则BM的最小值为________．第2题图3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，E，F分别是AC，BC边上的动点，且EF＝AC，P是EF的中点，连接AP，BP，则△APB面积的最小值为________．第3题图4. 如图，已知△ABC为等边三角形，AB＝6，将边AB绕点A顺时针旋转a(0°＜a＜120°)，得到线段AD，连接CD，点E为CD上一点，且DE＝2CE.连接BE，则BE的最小值为________．第4题图5. 如图，在△ABC中，∠C＝45°，∠B＝60°，BC＝3＋1，P为边AB上一动点，过点P 作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，连接DE，则DE的最小值为________．第5题图题型四 几何最值问题类型一 利用“垂线段最短”解决最值问题 1. 853【解析】如解图，设DE 与AB 交于点O ，∵四边形ADBE 是平行四边形，∴OB ＝OA ，DE ＝2OD ，∴当OD ⊥AC 时，DO 的值最小，即DE 的值最小，过点B 作BH ⊥AC 于点H ，则∠BHD ＝∠EDH ＝90°，易知AD ∥BE ，即AC ∥BE ，∴∠EBH ＝90°，∴四边形BHDE 是矩形，∴DE ＝BH ，∵AC ＝BC ＝6，AB ＝8，∴设CH ＝x ，则AH ＝6－x ，∵BA 2－AH 2＝BH 2＝BC 2－CH 2，即82－(6－x )2＝62－x 2，解得x ＝23 ，∴CH ＝23，∴DE ＝BH ＝BC 2－CH 2 ＝853 .∴DE 的最小值为853.第1题解图2. 4 【解析】如解图，作点N 关于DC 的对称点N ′.∵AC ＝BC ，点D 为AB 的中点，∴点N ′在AC 上，连接MN ′，BN ′，∴BM ＋MN ＝BM ＋MN ′≥BN ′，∴当B ，M ，N ′三点共线，且BN ′⊥AC 时，BM ＋MN 取得最小值．∵AC ＝6，S △ABC ＝12，∴△ABC 中AC 边上的高为4，∴BM ＋MN 的最小值是4.第2题解图3. 33 【解析】如解图，作点E 关于BD 的对称点E ′，连接PE ′，∵四边形ABCD 是菱形，∴BA 与BC 关于BD 对称，∴点E ′位于BA 上，由对称的性质可知，PE ＝PE ′，∴当C ，P ，E ′三点重合，且CE ′⊥BA 时，PC ＋PE 的值最小，即为CE ′的长，∵四边形ABCD 是菱形，∴AO ＝CO ＝12 AC ＝3，BO ＝DO ＝12BD ＝33 ，AC ⊥BD ，AB ＝BC ，∴在Rt △BOC 中，BC ＝BO 2＋CO 2 ＝6，tan ∠BCO ＝BO CO＝3 ，∴∠BCO ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴CE ′＝BC ·sin 60°＝33 ，∴PC ＋PE 的最小值为33 .第3题解图 4. 33 【解析】如解图，作点P 关于OA 的对称点P ′，连接OP ′，过点P ′作OB 的垂线交OA 于点M ，交OB 于点N ，此时PM ＋MN 的值最小，最小值为线段P ′N 的长．∵∠AOB ＝35°，∠BOP ＝10°，点P ′与点P 关于OA 对称，∴∠POA ＝∠P ′OA ＝25°，∴∠BOP ′＝60°，OP ′＝OP ＝6，在Rt △P ′ON 中，P ′N ＝OP ′·sin 60°＝6×32＝33 ，∴PM ＋MN 的最小值为33 .第4题解图类型二 利用“两点之间线段最短”解决最值问题1. 44 【解析】如解图，过点P 作EF ⊥AB ，分别交AB ，CD 于点E ，F ，连接AC ，BD ，则EF ＝AD ＝8，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝90°，AB ＝CD ＝6，AD ＝BC ＝8，∴AC＝AB 2＋BC 2 ＝62＋82 ＝10，∴BD ＝AC ＝10，∵S △APB ＋S △CPD ＝12 AB ·PE ＋12 CD ·PF ＝12AB ·EF ＝12×6×8＝24，P A ＋PC ≥AC ，PB ＋PD ≥BD ，∴当A ，P ，C 三点共线，B ，P ，D 三点也共线时，P A ＋PB ＋PC ＋PD 有最小值，最小值为AC ＋BD ＝20，∴a ＋b 的最小值为24＋20＝44.第1题解图2. 27 【解析】如解图，分别作A 关于BC 和CD 的对称点A ′，A ″，连接A ′A ″，交BC 于点M ，交CD 于点N ，则A ′A ″即为△AMN 的周长最小值，作A ′H ⊥DA 交DA 的延长线于点H ，∴AA ′＝2AB ＝2，AA ″＝2AD ＝4，∵∠BAD ＝120°，∴∠HAA ′＝60°，∴在Rt △A ′HA 中，AH ＝12 AA ′＝1，∴A ′H ＝22－12 ＝3 ，A ″H ＝AH ＋AA ″＝1＋4＝5，∴A ′A ″＝A ′H 2＋A ″H 2 ＝27 ，∴△AMN 的周长最小值为27 .第2题解图3. 43 【解析】如解图，作点E 关于BC 的对称点E ′，连接EE ′，交BC 于点F ，连接DE ′，AE ′，过点E ′作E ′G ⊥AC 交AC 的延长线于点G ，则DE ＝DE ′，EF ＝E ′F ，DE ＋DA ＝DE ′＋DA ≥AE ′，∴当A ，D ，E ′在同一直线上时，DE ＋DA 的值最小，最小值为AE ′的长，∵∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，BC ＝43 ，∴AC ＝33 BC ＝33×43 ＝4，∵点E 为边AB 的中点，∴EF 为△ABC 的中位线，∴EF ＝12 AC ＝2，CF ＝12BC ＝23 ，∴E ′F ＝EF ＝2＝CG ，E ′G ＝CF ＝23 ，∴AG ＝AC ＋CG ＝4＋2＝6，∴AE ′＝E ′G 2＋AG 2 ＝（23）2＋62 ＝43 ，∴DE ＋DA 的最小值为43 .第3题解图4. 25 【解析】如解图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，∵AB ＝AC ＝22 ，∠BAC ＝90°，∴AD ＝2，BC ＝4，∵S △BCP ＝12S △ABC ，∴点P 到BC 的距离为1，即点P 在AD 的垂直平分线l 上运动，作点B 关于直线l 的对称点B ′，连接B ′C 交直线l 于点P ′，连接BP ′，B ′P ，则BB ′⊥BC ，BP ′＝B ′P ′，BP ＝B ′P ，∴BP ＋PC ＝B ′P ＋PC ≥B ′C ，当B ′，P ，C 三点共线，即点P 与点P ′重合时，BP ＋PC 的值最小，为B ′C 的长．在Rt △B ′BC 中，BB ′＝2，BC ＝4，∴B ′C ＝BB ′2＋BC 2 ＝25 ，∴PB ＋PC 的最小值为25 .第4题解图5. 13 ＋5 【解析】如解图，连接AC ，AP ，令y ＝0，得x ＝－3或1，∴点A (－3，0)，点B (1，0)，∴抛物线的对称轴是直线x ＝－1，OA ＝3，OB ＝1，令x ＝0，得y ＝2，∴点C (0，2)，∴OC ＝2，∴BC ＝OB 2＋OC 2 ＝5 ，AC ＝OA 2＋OC 2 ＝13 ，∵△PBC 的周长为PB ＋PC ＋BC ，BC 为定值，∴要使△PBC 的周长最小，则PB ＋PC 最小即可，∵点A 与点B 关于对称轴对称，∴P A ＝PB ，∴PB ＋PC ＝P A ＋PC ≥AC ，∴PB ＋PC 的最小值为AC 的长，∴△PBC 的周长最小值＝AC ＋BC ＝13 ＋5 .第5题解图类型三 利用“二次函数性质”解决最值问题1. C 【解析】∵p ＝5，c ＝4，∴S ＝5（5－a ）（5－b ）（5－4） ＝5（5－a ）（5－b ） ，∵p ＝a ＋b ＋c 2 ，∴a ＋b ＝2p －c ＝6，∴b ＝6－a ，∴S ＝5（5－a ）[5－（6－a ）] ＝5（5－a ）（a －1） ＝－5（a －3）2＋20 ，∵－5＜0，∴当a ＝3时，S 有最大值为20 ＝25 .2. 98【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠C ＝90°，∵AP ⊥PE ，∴∠APB ＋∠CPE ＝∠CPE ＋∠PEC ＝90°，∴∠APB ＝∠PEC ，∴△ABP ∽△PCE ，∴AB PC ＝BP CE，设BP ＝x ，CE ＝y ，则PC ＝3－x ，即23－x ＝x y，∴y ＝－12 x 2＋32 x ＝－12 (x －32 )2＋98 ，∵－12 ＜0，∴当x ＝32 时，y 有最大值，最大值是98 ，∴线段CE 的最大值为98 . 3. 3 【解析】如解图，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，过点P 作PF ⊥AB 于点F ，设AP ＝x ，则CP ＝4－x ，∵AC ＝BC ，∠C ＝120°，∴∠BAC ＝∠B ＝30°，AE ＝BE ，∴CE ＝12AC ＝2，PF ＝12 AP ＝12x ，在Rt △AEC 中，由勾股定理得AE ＝42－22 ＝23 ，∴AB ＝2AE ＝43 ，∵PD ∥AB ，∴△PCD ∽△ACB ，∴PC AC ＝PD AB ，∴4－x 4 ＝PD 43，解得PD ＝3 (4－x )，∴S △APD ＝12 PD ·PF ＝12 ×3 (4－x )×12 x ＝－34 (x －2)2＋3 ，∵－34<0，∴当x ＝2时，S △APD 有最大值，最大值为3 .第3题解图4. (1)1 【解析】∵点E 为AB 的中点，AE ＝CF ，∴点F 为CD 的中点，∴EF ＝FG ＝4，此时F ，D ，G 三点共线，∴DG ＝FG －FD ＝1； (2)255 【解析】如解图，过点F 作FH ⊥AB 于点H ，过点G 作IG ⊥CD 于点I ，则∠EHF ＝∠GIF ＝90°，由题意可知∠EFG ＝90°，EF ＝GF ，∴∠EFH ＋∠EFI ＝∠EFI ＋∠GFI ＝90°，∴∠EFH ＝∠GFI ，∴△EFH ≌△GFI (AAS)，∴EH ＝GI ，设AE ＝a ，①当0＜a ＜3时，如解图①，GI ＝EH ＝6－2a ，ID ＝FD －FI ＝FD －FH ＝6－a －4＝2－a ，∴DG 2＝ID 2＋IG 2＝(2－a )2＋(6－2a )2＝5a 2－28a ＋40＝5(a －145 )2＋45 ，∵5＞0，∴当a ＝145 时，DG 2取最小值45，∴DG ＝255；②当3≤a ＜6时，如解图②，GI ＝EH ＝2a －6，ID ＝FI －FD ＝FH －AE ＋EH ＝4－a ＋2a －6＝a －2，∴DG 2＝ID 2＋IG 2＝(a －2)2＋(2a －6)2＝5a 2－28a ＋40＝5(a －145)2＋45 ，∵5＞0，3≤a ＜6，∴当a ＝3时，DG 2取最小值1，∴DG ＝1，∵1＞255，∴DG 的最小值为255.第4题解图类型四 利用“辅助圆”解决最值问题1. 2 【解析】如解图，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，过点B 作弧的切线交CD 于点G ，切点为F ，此时点E 和点G 重合，DG 的最大值即为DE 的长，∵四边形ABCD 是矩形，∴BC ＝AD ＝25 ，AB ＝CD ＝6，由折叠的性质可知，DE ＝EF ，AF ＝AD ＝25 ，设DE ＝EF ＝x ，则CE ＝CD －DE ＝6－x ，在Rt △ABF 中，由勾股定理得BF ＝AB 2－AF 2 ＝4，则BE ＝BF ＋EF ＝4＋x ，在Rt △BEC 中，由勾股定理得BE 2＝CE 2＋BC 2，即(4＋x )2＝(6－x )2＋(25 )2 ，解得x ＝2，即DG 的最大值为2.第1题解图 2. 5 －1 【解析】如解图，取CD 的中点O ，连接BO ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∠EBC ＝∠FCD ＝90°，∵AE ＝BF ，∴AE ＋BE ＝BF ＋CF ，∴BE ＝CF ，∴△EBC ≌△FCD (SAS)，∴∠BCE ＝∠CDF ，∵∠BCE ＋∠DCE ＝∠BCD ＝90°，∴∠CDF ＋∠ECD ＝90°，∴∠CMD ＝90°，当点E ，F 分别在AB 和BC 上移动时，点M 在以CD 的中点O 为圆心，OC 长为半径的半圆上运动，要使BM 取得最小值，则需点B ，M ，O 在同一条直线上．∵AB ＝2，∴CO ＝1，∴BO ＝5 ，∴此时BM ＝5 －1，即BM 的最小值为5 －1.第2题解图3. 9 【解析】如解图，过点P 作PH ⊥AB 于点H ，则S △ABP ＝12AB ·PH ＝5PH ，∴当PH 最小时，△ABP 的面积最小．∵∠ACB ＝90°，AB ＝10，BC ＝8，∴AC ＝AB 2－BC 2 ＝6.∴EF＝AC ＝6.连接CP ，则CP ＝12EF ＝3.∴点P 在以点C 为圆心，3为半径的圆弧上，过点C 作CH ′⊥AB 于点H ′，交⊙C 于点P ′，∵P ′H ′＝CH ′－CP ′＝CH ′－CP ≤CP ＋PH －CP ＝PH ，∴当点P 与点P ′重合，点H 与点H ′重合时，PH 最小，最小值为P ′H ′的长．∵S △ABC ＝12AC ·BC ＝12 AB ·CH ′，∴CH ′＝AC ·BC AB ＝245 ，∴P ′H ′＝CH ′－CP ′＝245 －3＝95 ，∴PH 的最小值是95 ，此时S △ABP ＝5PH ＝9，即△ABP 面积的最小值为9.第3题解图4. 27 －2 【解析】如解图，过点E 作EH ∥AD ，交AC 于点H ，∵△ABC 为等边三角形，∴AB ＝AC ＝6，由旋转的性质得AD ＝AB ，∴AD ＝AC ，∴∠D ＝∠ACD ，∵DE ＝2CE ，∴CE CD ＝CH CA ＝13 ，∠CEH ＝∠D ＝∠ACD ，∴CH ＝EH ，∵AC ＝6，∴CH ＝EH ＝2，取AH 的中点P ，连接EP ，则PH ＝EH ，∴∠EPH ＝∠PEH ，∵∠EPH ＋∠CEP ＋∠ACD ＝180°，∴2∠PEH ＋2∠CEH ＝180°，∴∠CEP ＝90°，∴点E 在以点H 为圆心，CP 为直径的圆弧上运动，连接BH ，∵EH 为定值2，∴当B ，E ，H 三点共线时，BE 的长最小，过点B 作BQ ⊥AC 于点Q ，则CQ ＝12AC ＝3，∴QH ＝CQ －CH ＝1，BQ ＝BC 2－CQ 2 ＝62－32 ＝33 ，∴BH ＝BQ 2＋QH 2 ＝（33）2＋12 ＝27 ，∴BE 的最小值为27 －2.第4题解图5. 32＋64【解析】如解图，连接CP ，∵∠PDC ＝∠PEC ＝90°，∴∠PDC ＋∠PEC ＝180°，∴C ，D ，P ，E 四点共圆，圆心为点O ，且直径为CP ，∵BC ＝3 ＋1，∠ACB ＝45°，∠B ＝60°是定值，∴直径CP 最小时，∠DCE 所对的弦DE 最小，即CP ⊥AB 时，DE 的值最小，连接OD ，OE ，∵∠B ＝60°，CP ⊥AB ，BC ＝3 ＋1，∴∠BCP ＝30°，∴BP ＝12BC ＝3＋12 ，CP ＝3 BP ＝3＋32 ，∴OD ＝OE ＝12 CP ＝3＋34，∵∠ACB ＝45°，∴∠DOE ＝2∠ACB ＝90°，∴△ODE 是等腰直角三角形，∴DE ＝2 OD ＝32＋64，即DE 的最小值为32＋64.第5题解图。

培优冲刺03 几何最值类问题综合本考点是中考五星高频考点，难度中等偏上，在全国很多地市的中考试卷中多有考查。

（2022年柳州中考试卷第18题）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值为．【分析】连接DG，将DG绕点D逆时针旋转90°得DM，连接MG，CM，MF，作MH ⊥CD于H，利用SAS证明△EDG≌△DFM，得MF＝EG＝2，再说明△DGC≌△DMH （AAS），得CG＝DH＝2，MH＝CD＝4，求出CM的长，再利用三角形三边关系可得答案．【解答】解：方法一：连接DG，将DG绕点D逆时针旋转90°得DM，连接MG，CM，MF，作MH⊥CD于H，∵∠EDF＝∠GDM，∴∠EDG＝∠FDM，∵DE＝DF，DG＝DM，∴△EDG≌△MDF（SAS），∴MF＝EG＝2，∵∠GDC＝∠DMH，∠DCG＝∠DHM，DG＝DM，∴△DGC≌△MDH（AAS），∴CG＝DH＝2，MH＝CD＝4，∴CM＝＝2，∵CF≥CM﹣MF，∴CF的最小值为2﹣2，方法二：连接AG、AE，由方法一同理得，AE＝CF，AG＝2，∵AE≥AG﹣EG＝2﹣2，∴AE的最小值为2﹣2，∴CF的最小值为2﹣2，故答案为：2﹣2．点评：本题主要考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形三边关系等知识，做辅助线构造全等三角形是解题的关键。

初中数学中，几何最值问题属于难度较大的一类题，问题环境可以是三角形、四边形、圆或者反比例函数、二次函数。

而常用到的最值原理则有：两点之间线段最短（三点共线）、点到直线的距离垂线段最短、圆和圆外定点的最值原理等。

这类题的原理虽然较为固定，但对学生的逻辑思维能力要求较高，综合型较强。

本考点是中考五星高频考点，难度较大，个别还会以压轴题出现，在全国多地市的中考试卷中多有考查。

例2第22讲 几何最值知识纵横几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积等）的最大值或最小值。

求几何最值问题的基本方式有：1.特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，在进行一般情况下的推证。

2.几何定理（公理）法：应用几何中的不变量性质、定理.3.数行结合法：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等。

例题求解【例1】 如图，在锐角ABC ∆中，24=AB ，45=∠BAC ，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，点M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BN BM +的最小值 。

（陕西省中考题）思路点拨 画折线为直线，综合运用轴对称、垂线段最短等知识。

【例2】 如图，在ABC ∆中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C 且与AB 相切的动圆与CB 、CA 分别相交于点E 、F ，则线段EF 的最小值（ ）。

A.24 B.4.75 C.5 D4.8（兰州市中考题） 思路点拨 设O 与AB 相切与T ，连OC 、OT,EF 为O 直径，则EF=OE+OF=OC+OT,将问题转化为求OC+OT 的最小值。

【例3】 如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，点P 是BC 边上不与点B 、C 重合的任意一点，连接AP ，过点P 作PQ ⊥AP 交DC 于点Q ，设BP 的长为x cm ，CQ 的长为y cm.(1) 求点P 在BC 上运动的过程中y 的最大值；例1(2) 当41=y cm 时，求x 的值. （河南省中考题）思路点拨 利用相似形建立y 与x 的函数关系式，由此导出y 的最大值【例4】 如图，已知平行四边形ABCD ，AB=a ，BC=b （a>b ）,P 为AB 边上的一动点，直线DP 交CB 的延长线于Q ，求AP=BQ 的最小值. （永州市竞赛题） 思路点拨设AP=x ，把AP 、BQ 分别用x 的代数式表示，运用不等式ab b a 222≥+或ab b a 2≥+（当且仅当a=b 时取等号）来求最小值.【例5】 如图，在四边形ABCD 中，AD=DC=1，∠DAB=∠DCB=90，BC 、AD 的延长线交于P ，求AB ·S △PAB 的最小值.图形折叠【例6】 在等腰ABC ∆中，AB =AC =5，BC =6.动点M 、N 分别在两腰AB 、AC 上（M 不与A 、B 重合，N 不与A 、C 重合），且MN//BC ，将△AMN 沿MN 所在的直线折叠，使点A 的对应点为P.（1）当MN 为何值时，点P 恰好落在BC 上？ （2）设x MN =，MNP ∆与等腰ABC ∆重叠部分的面积为y ，试写出y 与x 的函数关系式.当x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？.（2011年宁夏中考题）例3例4例5第1题学力训练基础夯实1．如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长为6和8，点P 是对角线AC 上的一个动点，点M 、N 分别是边AB 、BC 的中点，则PM+PN 的最小值是_______。

逆等线模型一、模型介绍(一) 基本模型(二) 结论推导结论：BE+CD 的最小值为线段BF 的长.证明: ∵将△ADC 拼接到△CEF, ∴△ADC ≌△CEF,∴CD=EF, ∴BE+CD=BE+EF≥BF∴BE+CD 的最小值为线段BF 的长.(三) 满分策略遇到两条首尾不相连的相等线段，要求另外两条线段和的最小值，可以在等线段处构造全等三角形，将要求的两条线段拼接到一起，使条件集中，为了便于计算，应该使拼接后的角为特殊角. 如果线段和带系数，则需要在其中一条线段处构造相似，将系数化为相似比，通过三角形相似、勾股定理以及两点之间线段最短求出带系数的线段和最小值.二、典型例题例1 如图, 正方形 ABCD 的边长为4, 点E, F 分别是边BC, CD 上的动点, 且BE=CF, 连接BF, DE,则 BF+DE 的最小值为.考点分析：正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理.思路点拨: 将△CDE 拼接到△DGF,则△CDE ≌△DGF, DG=CD, DE=GF, 所以, BF+DE=BF+GF≥BG ，用勾股定理求出线段BG 的长，即为BF+DE 的最小值.例2 如图,在△ABC 中, AB=AC=4,∠BAC=120°, 点D, E 分别是边AB,BC 上的动点,且AD=BE,连接AE, CD, 当AE+CD 的值最小时, ∠AEB 的度数为 ( ).A. 90°B. 120°C. 135°D. 150°考点分析：等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和.思路点拨: 将△ADC 拼接到△BEF,则△ADC ≌△BEF, CD=EF,所以, AE+CD=AE+EF≥AF,当A, G, F 三点共线时, AE+CD的已知: 在△ABC 中, D,E 分别是AB, AC 上的动点,且AD=CE, 求BE+CD 的最小值. 将△ADC 拼接到△CEF, 连接BF.结论: BE+CD 的最小值为线段BF 的长.值最小,此时△ABF 是等腰三角形, AB=BF,∠ABF=150°,可得∠AEB=135°.例3 如图,在矩形ABCD中, AB=5, AD=6, 点E, F分别为边BC, CD 上的动点, 且BE=2DF, 连接AF, DE, 则2AF+DE的最小值为 .考点分析：矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理.思路点拨: 延长AB到点G,使BG=2AD,证△BGE∽△DAF,可得GE=2AF,则2AF+DE=GE+DE=DG，用勾股定理求出线段DG的长，即为2AF+DE的最小值.三、提分必练(一) 基础1. 如图, 在边长为2的正方形 ABCD 中,点E, F分别是对角线AC和边AD上的动点,且AF=CE,连接BE, CF, 则BE+CF的最小值为 .2. 如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°, BC=2, 点D为BC边上一动点, 将线段BD绕点 B 逆时针旋转90°到BE, 连接AD,CE, 则AD+CE的最小值为 .3.如图, 在△ABC中, AB=AC=2,∠BAC=90∘,,点 M, N分别是边 BC, AC上的动点,且AN=CM, 连接AM, BN, 当AM+BN的值最小时, CM的长为 .4. 如图, 在 Rt△ABC中,∠A=90°, AB=3, AC=4, 点D, E分别是边AC, AB 上的动点, 且AD=BE,连接BD, CE, 则BD+CE的最小值为 .(二) 提升1. 如图,矩形ABCD 中,AB=2,∠ABD=60°, 点E, F分别是对角线BD 和边 CD 上的动点, 且BE=DF, 连接AE, AF, 则AE+AF的最小值是 .2. 如图, 在 Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=30°, AC=2,点D为AB的中点, 点E, F分别为边 AC,BC上的动点, 且AE=CF, 连接DE, AF, 则 DE+AF的最小值为 .3. 如图, 在等边△ABC中,点D为BC边上一动点,点E为△ABC内一点，满足DE‖AB,且DE=BD,连接BE, CE, 点F为AB边上一点, AF=BE, 当( CE+CF的值最小时，∠ECF的度数为 .4.如图,在△ABC中,∠BAC=50°, AB=AC, BD⊥AC于点D,点M,N分别是线段BD, BC上的动点,且BM=CN,当AM+AN的值最小时, ∠AMD 的度数为 .5. 如图,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°, ∠ABC=30°, 点 D, E 分别是线段AB和 BA 延长线上的动点,且BD=AE, 连接CD, C的值为 .E, 当CD+CE的值最小时, BDAD(x+3)(x−a)与x轴交于A,B(4,0)两点,点C在y轴上，且OC=OB，点D 6.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=14是线段AC上的动点(不与端点重合).(1) 求抛物线的解析式；(2) 将△BCD沿x轴翻折得到△BFG,当点G落在抛物线上时, 求点 G 的坐标;(3)如图2,点E 是线段AB上的动点, 且CD=AE,连接BD, CE, 求 BD+CE的最小值.。

中考数学总复习《几何图形的最值问题》专题训练(附带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一 单选题1．如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为6 腰AC 的垂直平分线EF 分别交边AC AB 于点E F 若D 为BC 边的中点 M 为线段EF 上一动点 若三角形CDM 的周长的最小值为13 则等腰三角形ABC 的面积为（ ）A ．78B ．39C ．42D ．302．如图，在Rt ABC 和Rt ADE 中，90BAC DAE ∠=∠=︒ 3AC AD == AB =AE =5．连接BD CE 将△ADE 绕点A 旋转一周 在旋转的过程中当DBA ∠最大时 △ACE 的面积为（ ）．A ．6B ．62C ．9D ．92 3．如图，凸四边形ABCD 中，90,90,60,3,3A C D AD AB ∠=︒∠=︒∠=︒== 若点M N 分别为边,CD AD 上的动点 则BMN 的周长最小值为（ ）A ．26B ．36C ．6D ．34．如图，△ACB 中，CA ＝CB ＝4 △ACB ＝90° 点P 为CA 上的动点 连BP 过点A 作AM △BP 于M ．当点P 从点C 运动到点A 时 线段BM 的中点N 运动的路径长为（ ）5．如图，四边形ABCD 是菱形 AB=4 且△ABC=△ABE=60° G 为对角线BD （不含B 点）上任意一点 将△ABG 绕点B 逆时针旋转60°得到△EBF 当AG+BG+CG6．如图，在Rt ABC ∆中，90︒∠=C 4AC = 3BC = 点O 是AB 的三等分点 半圆O 与AC 相切 M N 分别是BC 与半圆弧上的动点 则MN 的最小值和最大值之和是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．87．如图，菱形ABCD 的边AB =8 △B =60° P 是AB 上一点 BP =3 Q 是CD 边上一动点 将梯形APQD 沿直线PQ 折叠 A 的对应点A ′．当CA ′的长度最小时 CQ13为PC 的中点.当点P 沿半圆从点A 运动至点B 时 点M 运动的路径长是（ ）A ．224π+B ．2πC ．422+D ．4π二 填空题9．如图，点P 是AOB ∠内任意一点 3cm OP = 点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点 30AOB ∠=︒ 则PMN 周长的最小值是 ．10．△ABC 中，AB ＝AC ＝5 BC ＝6 D 是BC 的中点 E 为AB 上一动点 点B 关于DE 的对称点B '在△ABC 内（不含△ABC 的边上） 则BE 长的范围为 ．11．如图，等边三角形ABC 的边BC 上的高为6 AD 是BC 边上的中线 M 是线段AD 上的-一个动点 E 是AC 中点 则EM CM +的最小值为 ．12．如图，正△ABC 的边长为2 过点B 的直线l △AB 且△ABC 与△A ′BC ′关于直线l 对称 D 为线段BC ′上一动点 则AD +CD 的最小值是 ．13．如图，已知ABC 外心为O 18BC = 60BAC ∠=︒ 分别以AB AC 为腰向形外作等腰直角三角形ABD △与ACE △ 连接BE CD 交于点P 则OP 的最2三解答题17．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A B C在小正方形的顶点上．(1)在图中画出与ABC关于直线l成轴对称的AB C''．+的长最短．(2)在直线l上找一点P使PB PC18．如图，在△ABC中，AB＝AC AD是△ABC底边BC上的中线点P为线段AB 上一点．（1）在AD上找一点E使得PE+EB的值最小；（2）若点P为AB的中点当△BPE满足什么条件时△ABC是等边三角形并说明理由．19．如图，等边ABC的边长为6 AD是BC边上的中线M是AD上的动点E 是AB边上一点若=2AE求EM BM+的最小值．20．如图，等边三角形ABC内接于半径长为2的△O点P在圆弧AB上以2倍速度从B向A运动点Q在圆弧BC上以1倍速度从C向B运动当点P O Q三点处于同一条直线时停止运动．(1)求点Q的运动总长度；(2)若M为弦PB的中点求运动过程中CM的最大值．参考答案： 1．D【分析】连接AD 由于ABC 是等腰三角形 点D 是BC 边的中点 可得AD BC ⊥ 再根据EF 是线段AC 的垂直平分线可知 点C 关于直线EF 的对称点为点A 故AD 的长为CM MD +的最小值 再根据三角形的面积公式即可得出结论．【详解】解：如图：连接AD 交EF 于点MABC 是等腰三角形 点D 是BC 边的中点AD BC ∴⊥ 132CD BC == EF 是线段AC 的垂直平分线∴点C 关于直线EF 的对称点为点A AM CM =∴此时△CDM 的周长最小13CM DM CD AM DM CD AD CD ∴++=++=+=1313310AD CD ∴=-=-=116103022ABC S BC AD ∴=⋅=⨯⨯=△ 故选：D ．【点睛】本题考查的是轴对称−最短路线问题 等腰三角形的性质 三角形的面积 熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．2．A【分析】先分析出D 的轨迹为以A 为圆心AD 的长为半径的圆 当BD 与该圆相切时 △DBA 最大 过C 作CF △AE 于F 由勾股定理及三角函数计算出BD CF 的长 代入面积公式求解即可．【详解】解：由题意知 D 点轨迹为以A 为圆心AD 的长为半径的圆当BD 与D 点的轨迹圆相切时 △DBA 取最大值 此时△BDA =90° 如图所示B B M B M N N B ''''''''''<++B M BM '''= B N BN ''''=BM M N BN B B '''''''∴++>又B B B M MN NB ''''''=++MB MB '= NB NB ''=NB NM BM BM M N BN ''''∴++<++BMN l NB NM BM ∆∴=++时周长最小；连接DB 过点B '作B H DB '''⊥于B D ''的延长线于点H如图示2所示：在Rt ABD 中，3AD = 3AB =∴22223(3)23DB AD AB =+=+=230∴∠=︒530∴∠=︒ DB DB ''=又1260ADC ∠=∠+∠=︒又B DB '''∠660∴∠=︒3HD = Rt △B HB 'B HB '''=5．D【分析】根据“两点之间线段最短” 当G点位于BD与CE的交点处时AG+BG+CG的值最小即等于EC的长．【详解】解：如图△将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF△BE=AB=BC BF=BG EF=AG△△BFG是等边三角形．△BF=BG=FG ．△AG+BG+CG=FE+GF+CG．根据“两点之间线段最短”△当G点位于BD与CE的交点处时AG+BG+CG的值最小即等于EC的长过E点作EF△BC交CB的延长线于F△△EBF=180°-120°=60°△BC=4△BF=2 EF=23在Rt△EFC中△EF2+FC2=EC2△EC=43．△△CBE=120°△△BEF=30°△△EBF=△ABG=30°△EF=BF=FGOP ACO是AB的三等分点210=⨯=5338=3与AC相切于点故选B．【点睛】此题主要考查圆与三角形的性质解题的关键是熟知圆的性质及直角三角形的性质.7．B【详解】作CH△AB于H如图．△菱形ABCD的边AB=8 △B=60°△△ABC为等边三角形AB=43AH=BH=4．△CH=32△PB=3 △HP=1．在Rt△CHP中，CP=22=7．(43)1△梯形APQD沿直线PQ折叠A的对应点A′△点A′在以P点为圆心P A为半径的弧上△当点A′在PC上时CA′的值最小△△APQ=△CPQ而CD△AB△△APQ=△CQP△△CQP=△CPQ△CQ=CP=7．故选B．【点睛】本题考查了菱形的性质．解答本题的关键是确定A′在PC上时CA′的长度最小．8．BPMN的周长最小．CD分别交△点P 关于OA 的对称点为C 关于OB 的对称点为D△PM CM OP OC COA POA ==∠=∠，，；△点P 关于OB 的对称点为D△PN DN OP OD DOB POB ==∠=∠，，△3cm OC OD OP ===22260COD COA POA POB DOB POA POB AOB ∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠=∠=︒△COD △是等边三角形△()3cm CD OC OD ===．△PMN 的周长的最小值3cm PM MN PN CM MN DN CD =++=++≥=．故答案为：3cm ．【点睛】本题主要考查最短路径问题和等边三角形的判定． 作点P 关于OA OB 的对称点C D 是解题的关键所在．10．9552BE << 【分析】首先根据运动特点分析出点B '的运动轨迹在以D 为圆心 BD 为半径的圆弧上 然后分点B '恰好落在AB 边上和点B '恰好落在AC 边上两种情况讨论 分别利用勾股定理以及等腰三角形的性质和判定进行求解和证明即可得出两种临界情况下BE 的长度 从而得出结论．【详解】解：△点B 与B '关于DE 对称△BD B D '= 则点B '的运动轨迹在以D 为圆心 BD 为半径的圆弧上△如图所示 当点B '恰好落在AB 边上时 此时 连接AD 和DE由题意及“三线合一”知 AD BD ⊥ 132BD BC == △在Rt ABD 中，2222534AD AB BD =-=-=此时 根据对称的性质 DE AB ⊥12AB DE AD BD =Rt BDE 中，2295BD DE -=；如图所示 22综上BE长的范围为95 52BE<<故答案为：95 52BE<<．【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定以及勾股定理解直角三角形等能够根据题意准确分析出动点的运动轨迹并构建适当的三角形进行求解是解题关键．11．6【分析】连接BE交AD于M则BE就是EM+CM的最小值通过等腰三角形的“三线合一” 可得BE=AD即可得出结论．【详解】解：连接BE与AD交于点M．△AB=AC AD是BC边上的中线△B C关于AD对称则EM+CM=EM+BM则BE就是EM+CM的最小值．△E是等边△ABC的边AC的中点AD是中线△BE=AD=6△EM+CM的最小值为6故答案为：6．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质—“三线合一” 等边三角形的性质和轴对称等知识的综合应用解题关键是找到M点的位置．12．4【分析】根据等边三角形的性质及轴对称的性质得到△ABC=△A'B C'=60° A'B=AB=BC=2 证明△CBD△△A'BD得到CD=A'D推出当A D A'三点共线时AD+CD最小此时AD+CD=A'B+AB=4．【详解】解：如图，连接A'D．由ABC的外心为的值最小解直角三角形即可得到结论．【详解】解：ABD与BAD CAE=∠=︒90=∠DAC BAEDAC与BAE中BAEBAE SASDAC∴△()ADC ABE∴∠=∠90PDB PBD∴∠+∠=︒90DPB∴∠=︒P∴在以BC为直径的圆上ABC的外心为O60BAC∠=︒120BOC∴∠=︒如图，当PO BC⊥时OP的值最小18BC=9 BH CH∴==12 OH OB=223BH OB OH OH∴=-=33OH∴=9PH=933OP∴=-．则OP的最小值是933-故答案为：933-．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心全等三角形的判定和性质等腰直角三角形的性质正确的作出辅助线是解题的关键．14．25【分析】2P A＋PB＝2（P A＋22PB）利用相似三角形构造22PB即可解答．【详解】解：设△O半径为r15．152【分析】如图，连接BP 在BC 上取一点M 使得BM =32 进而证明BPM BCP △∽△,则在点P 运动的任意时刻 均有PM =12PC 从而将问题转化为求PD -PM 的最大值．连接PD 在△PDM 中，PD -PM ＜DM 故当D M P 共线时 PD -PM =DM 为最大值 勾股定理即可求得DM ．【详解】如图，连接BP 在BC 上取一点M 使得BM =3231232BM BP == 3162BP BC == BM BP BP BC∴= PBM CBP ∠=∠∴BPM BCP △∽△12MP BM PC BP ∴== 12MP PC ∴=12PD PC PD MD ∴-=- 在△PDM 中，PD -PM ＜DM当D M P 共线时 PD -PM =DM 为最大值四边形Rt CDM中，故答案为：15 2【点睛】本题考查了圆的性质的关键．6015-90Rt BDA中，AB由勾股定理得：222BD AB AD =-即：216925144BD =-=△0BD >△=12BD△E 为AD 的中点△1522DE AD == 在Rt BDE 中，=12BD 52DE =由勾股定理得：222BE DE BD =+即：225601+144=44BE = △0BE >△6012BE = 又△DH △AC 且点E 为AD 的中点△52EH = △60156015222BH BE EH -=-=-= 故答案为：60152- 【点睛】本题考查勾股定理解三角形 直径所对的圆周角为直角 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 隐圆问题的处理等相关知识点 能够判断出从动点的运动轨迹是解题的关键．17．(1)见解析(2)见解析【详解】（1）解：如图，△AB C ''即为所求．（2）如图，点P即为所求．【点睛】本题考查作图-轴对称变换轴对称-最短路线问题熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．18．（1）见解析；（2）△BPE=90° 理由见解析【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可知AD垂直平分BC再根据两点间线段最短的性质连接CP交AD于点E并连接BE即可得解；（2）因为P为AB的中点要使△ABC是等边三角形则需BC=AB根据等腰三角形三线合一的性质所以CP△AB即△BPE=90°．【详解】解：（1）如图，连接CP交AB于点E 则点E为所求；（2）△BPE=90° 理由如下：△△BPE=90°△CP△AB△点P为AB的中点△CP垂直平分AB△CA=CB△AB=AC△AB =AC =BC △△ABC 是等边三角形【点睛】本题主要考查等腰三角形三线合一的性质以及对称 两点间线段最短 线段中垂线定理 熟练掌握这些性质定理是解决本题的关键．19．27【分析】连接CE 与AD 交于点M ．则CE 就是BM ME +的最小值 在直角CEF △中，求得CE 的长 即可．【详解】解：连接CE 与AD 交于点M '．△等边ABC 中，AD 是BC 边上的中线△AD 是BC 的中垂线△CE =CM M E ''+=BM ME +的最小值．过点C 作CF AB ⊥△等边ABC 的边长为6 =2AE△==62=4BE AB AE -- 3AF BF == 321EF =-= 226333CF =-= △()2233127CE =+= △BM ME +的最小值为27．【点睛】本题考查了等边三角形的性质 勾股定理 两点间线段最短 连接CE 从而把两线段和的最小值转化为两点间线段最短是本题的关键．20．(1)23π(2)7 1.+【分析】（1）如图，设,COQ 结合题意可得：2BOP 结合正三角形的性质求解60, 再利用弧长公式进行计算即可；（2）解：如图，取作OE BC ⊥于E 三点共线时【详解】（）解：如图，设,COQ 结合题意可得：2BOPABC 为等边三角形360120,3BOC120,BOQ而,,P O Q 三点共线1802,BOQ1201802,解得：=60,Q ∴运动的总长度为：6022=.1803）解：如图，取OB 的中点N 连接NM BC ⊥于EM 为PB11,NM OP2△M在以N为圆心半径为1的圆N上运动△当C N M三点共线时CM最大BOC OB OC120,,OBC30,113NK BN BK,,222同理可得：3,BE=则23,BC=333CK23,2222133NC7,22CM CN NM71,△CM的最大值为：7 1.+【点睛】本题考查的是弧长的计算弧与圆心角的关系圆的基本性质正多边形的性质勾股定理的应用熟练的构造辅助圆再求解线段的最大值是解本题的关键．。

中考数学复习考点知识讲解与练习专题05最值问题几何中的最值问题是学生几何学习中的一个难点，而最值问题又是中考的一个常考点，几何中最值问题，它的理论依据是两点之间线段最短和点线之间重线段最短，解决问题的办法直观的讲就是把折的问题转化为直的问题，而在一些比较综合的几何求最值问题中，建立平面直角坐标系来解决问题往往能达到意想不到的效果，通过设系求最值，也为高中学习打下良好的基础，经过本中考数学复习考点知识讲解与练习 专题的巩固与训练，本中考数学复习考点知识讲解与练习 专题内容较丰富，通过巩固训练，对后期一次函数及反比例函数和二次函数来的最值问题的一个预演，对整个中考复习有较好的引领作用。

一、单选题1．（2022·天津初二期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l 是一三象限的角平分线，点P 的坐标为(3,1)，点M 是直线l 上的动点，点N 是x 轴上的动点，则PM MN +的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．52．（2022·广西浦北）已知点()()()23,5,3,2,5,2A B P m ----，若PA PB +最短，则m值是（）A B ．4 C ．4± D ．3．（2022·安徽初三期中）在平面直角坐标系中，点P 的坐标()0,2，点Q 的坐标为391,44()(t t t ---为实数)，当PQ 长取得最小值时，t 的值为（） A ．75- B ．125- C ．3 D ．44．（2022·江阴市云亭中学初二月考）在平面直角坐标系中，已知定点A ，）和动点P （a ，a ），则PA 的最小值为（ ）A ．B ．4C ．D ．5.（2022·河北初三期中）如图，点(2,A ，()1,0N ，60AON ∠=，点M 为平面直角坐标系内一点，且MO MA =，则MN 的最小值为()A ．1B ．32C ．3D ．26．（2022·江苏初二期末）在平面直角坐标系中，点()A -，点()B a ，则当AB 取得最小值时，a 的值为（）A ．B ．3-C ．0D 7.（2022·唐山市第十一中学初一期中）如图，在平面直角坐标系中A （3，0），B （0，4），AB ＝5，P 是线段AB 上的一个动点，则OP 的最小值是（ ）A ．245B ．125C ．4D ．38.（2022·福建初一期末）平面直角坐标系中，点A (-2，-1) ，B (1，3) ，C (x，y) ，若AC∥ x轴，则线段BC 的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．59.（2022·江苏初二期末）在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y=x上的动点，A（1，0），B（3，0）是x轴上的两点，则PA+PB的最小值为（）A．3 B C D．410.（2022·江苏西安交大苏州附中初三）如图，菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，点B的坐标为，点D是AB的中点，点P在OB上，则△ADP的周长最小值为（）A．+B．3C．D．3二、填空题11．（2022·湖北房县·初一期末）平面直角坐标系中，点A（－3，2），B（3，4），C（x，y），若AC//x轴，则线段BC的长度最小时点C的坐标为______________________．12．（2022·陕西陇县·初一期末）在平面直角坐标系中，A （－3，6），M 是x 轴上一动点，当AM 的值最小时，点M 的坐标为_____．13．（2022·福建初一期中）平面直角坐标系中，点A （a ），B （﹣3则线段AB 的最小值为____．14．（2022·辽宁初一期末）平面直角坐标系中，点()()()3,2,3,4,,A B C x y -，若//AC x 轴，则线段BC 的最小值为________________.15的最小值，小明运用了“数形结合”的思想：如图所示，在平面直角坐标系中，取点()01A ，，点()4B ，-2，设点()P x ，0．那么AP =BP =．借助上述信息，可求出最小值为__________．16．（2022·福建泉州七中初二期中）在平面直角坐标系 xOy 中，点O 是坐标原点，点 B 的坐标是(3m, 4m - 4)，则OB 的最小值是____________.17．（2022·湖南湘一芙蓉第二中学初二月考）在如图所示的平面直角坐标系中，点P 是直线y x =上的动点，1,0A ，()3,0B 是x 轴上的两点，则PA PB +的最小值为_________.18．（2022·北京初一期末）A （a ，0），B （3，4）是平面直角坐标系中的两点，线段AB 长度的最小值为_____．19．（2022·全国初三单元测试）菱形ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点()B 2,0，点P 是对角线OC 上一个动点，()E 0,1-，则EP BP +的最小值是________．20．（2022·河北初一月考）如图，在平面直角坐标系中A (3，0)，B (0，4)，AB =5，P 是线段AB 上的一个动点，则OP 的最小值是______．21．（2022·广东初二月考）如图，在平面直角坐标系中，Rt OAB ∆的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为(3，点C 的坐标为()10，，点P 为斜边OB 上的一个动点，则PA PC +的最小值为__________．22．（2022·福建初三）已知等边三角形ABC 是边长为4，两顶点A 、B 分别在平面直角坐标系的x 轴负半轴、y 轴的正半轴上滑动，点C 在第四象限，连接OC ，则线段OC 的长的最小值是_____．23．（2022·四川树德中学初二期末）如图，在平面直角坐标系中，A 1），B （20），点P 为线段OB 上一动点，将△AOP 沿AO 翻折得到△AOC ，将△ABP 沿AB 翻折得到△ABD ，则△ACD 面积的最小值为_____．24．（2022·天津南开翔宇学校初三开学考试）菱形OBCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点()2,0B ，120D ∠=︒，点P 是对角线OC 上一个动点，E(0，，则EP BP +的最小值为_______．25．（2022·江苏南通田家炳中学初一期中）在平面直角坐标系中，点()3,2A -，()3,4B ，(),C x y ，直线l 过点A 且平行于x 轴，点C 是直线l 上的动点，当线段BC 的长度取最小值时，点C 的坐标为__________．26．（2022·江苏初三）在平面直角坐标系中，已知，A （，0），C （0，﹣1），若P 为线段OA 上一动点，则CP +13AP 的最小值为_____． 27．（2022·四川初二月考）在如图所示的平面直角坐标系中，点P 是直线y=x 上的动点，A （2，0），B （6，0）是x 轴上的两点，则PA+PB 的最小值为_____．28．（2022·全国初三单元测试）如图，点A(2，，0), ∠AON=60°,点M 为平面直角坐标系内一点,且MO=MA,则MN 的最小值为_______.三、解答题29．（2022·全国初三中考数学复习考点知识讲解与练习 专题练习）如图，在平面直角坐标系中，()0,2A 、()2,0B -、()2,2C ，点E 、F 分别是直线AB 和x 轴上的动点，求CEF △周长的最小值．30．（2022·全国初三中考数学复习考点知识讲解与练习 专题练习）如图，在平面直角坐标系中，()0,1A 、()2,0B 、()0,2C -，连接BC ，点P 是x 轴上任意一点，连接AP ，求PA PB +的最小值．31．（2015·北京市第六十六中学初二期中）在平面直角坐标系中，P 点坐标为（2，6），Q 点坐标为（2,2），点M 为y 轴上的动点.（1）在平面直角坐标系内画出当△PMQ 的周长取最小值时点M 的位置（保留作图痕迹）；（2）写出点M 的坐标__________________.32．（2022·全国初三中考数学复习考点知识讲解与练习 专题练习）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为()1,3A 、()2,0B -、()2,0C ，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，点E 、F 分别是线段BD 、BC 上的动点，求CE EF +的最小值．33．（2022·全国初三中考数学复习考点知识讲解与练习 专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点B 的坐标为()3,0-，OB OC =，点A 是y 轴正半轴上的点，且60ABC ∠=︒，点M 、N 分别为线段OA 、AB 上的动点，求BM MN +的最小值．。

重难点几何最值问题中考数学中《几何最值问题》部分主要考向分为五类：一、将军饮马类最值二、动点辅助圆类最值三、四点共圆类最值四、瓜豆原理类最值五、胡不归类最值几何最值问题虽然在中考数学中经常考察的是将军饮马类和辅助圆类，剩余几种虽然不经常考察，但是考到的时候难度都比较大，所以也需要理解并掌握不同类型的几何最值问题的处理办法，这样到考到的时候才能有捷径应对。

考向一：将军饮马类最值一动”“两定异侧普通一动”“两定同侧普通动”两定“一动”两定“两两动”“两定同侧两动”“两定异侧满分技巧将军饮马：。

1．（2023•绥化）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点E为高BD上的动点．连接CE，将CE绕点C 顺时针旋转60°得到CF．连接AF，EF，DF，则△CDF周长的最小值是3+3．【分析】分析已知，可证明△BCE≌△ACF，得∠CAF＝∠CBE＝30°，可知点F在△ABC外，使∠CAF ＝30°的射线AF上，根据将军饮马型，求得DF+CF的最小值便可求得本题结果．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝6，∠ABC＝∠BCA＝60°，∵∠ECF＝60°，∴∠BCE＝60°﹣∠ECA＝∠ACF，∵CE＝CF，∴△BCE≌△ACF（SAS），∴∠CAF＝∠CBE，∵△ABC是等边三角形，BD是高，∴∠CBE＝∠ABC＝30°，CD＝AC＝3，过C点作CG⊥AF，交AF的延长线于点G，延长CG到H，使得GH＝CG，连接AH，DH，DH与AG 交于点I，连接CI，FH，则∠ACG＝60°，CG＝GH＝AC＝3，∴CH＝AC＝6，∴△ACH为等边三角形，∴DH＝CD•tan60°＝，AG垂直平分CH，∴CI＝HI，CF＝FH，∴CI+DI＝HI+DI＝DH＝3，CF+DF＝HF+DF≥DH，∴当F与I重合时，即D、F、H三点共线时，CF+DF的值最小为：CF+DF＝DH＝3，∴△CDF的周长的最小值为3+3．故答案为：3+3．2．（2023•德州）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，AB＝3，BC＝4，点E在AB上，且AE＝1．F，G为边AD上的两个动点，且FG＝1．当四边形CGFE的周长最小时，CG的长为．【分析】先确定FG和EC的长为确定的值，得到四边形CGFE的周长最小时，即为CG+EF最小时，平移CG到C'F，作点E关于AD对称点E'，连接E'C'交AD于点G'，得到CG+EF最小时，点G与G'重合，再利用平行线分线段成比例求出C'G'长即可．【解答】解：∵∠A＝90°，AD∥BC，∴∠B＝90°，∵AB＝3，BC＝4，AE＝1，∴BE＝AB﹣AE＝3﹣1＝2，在Rt△EBC中，由勾股定理，得EC＝＝＝，∵FG＝1，∴四边形CGFE的周长＝CG+FG+EF+EC＝CG+EF+1+，∴四边形CGFE的周长最小时，只要CG+EF最小即可．过点F作FC'∥GC交BC于点C'，延长BA到E'，使AE'＝AE＝1，连接E'F，E'C'，E'C'交AD于点G'，可得AD垂直平分E'E，∴E'F＝EF，∵AD∥BC，∴C'F＝CG，CC'＝FG＝1，∴CG+EF＝C'F+E'F≥E'C'，即CG+EF最小时，CG＝C'G'，∵E'B＝AB+AE'＝3+1＝4，BC'＝BC﹣CC'＝4﹣1＝3，由勾股定理，得E'C'＝＝＝5，∵AG'∥BC'，∴＝，即＝，解得C'G'＝，即四边形CGFE的周长最小时，CG的长为．故答案为：．考向二：动点辅助圆类最值满分技巧动点运动轨迹为辅助圆的三种类型：一．定义法——若一动点到定点的距离恒等于固定长，则该点的运动轨迹为以定点为圆心，定长为半径的圆（或圆弧）二.定边对直角模型原理：直径所对的圆周角是直角思路构造：若一条定边所对的“动角”始终为直角，则直角顶点运动轨迹是以该定边为直径的圆（或圆弧）三．定边对定角模型原理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等思路构造：若一条定边所对的“动角”始终为定角，则该定角顶点运动轨迹是以该定角为圆周角，该定边为弦的圆（或圆弧）1．（2023•徐州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝3，点D在边BC上．将△ACD沿AD折叠，使点C落在点C′处，连接BC′，则BC′的最小值为．【分析】由折叠性质可知AC＝AC'＝3，然后根据三角形的三边不等关系可进行求解．【解答】解：∵∠C＝90°，CA＝CB＝3，∴，由折叠的性质可知AC＝AC'＝3，∵BC'≥AB﹣AC'，∴当A、C′、B三点在同一条直线时，BC'取最小值，最小值即为，故答案为．2．（2023•黑龙江）如图，在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，CB＝2，点E是斜边AB的中点，把Rt△ABC绕点A顺时针旋转，得Rt△AFD，点C，点B旋转后的对应点分别是点D，点F，连接CF，EF，CE，在旋转的过程中，△CEF面积的最大值是4+．【分析】线段CE为定值，点F到CE距离最大时，△CEF的面积最大，画出图形，即可求出答案．【解答】解：∵线段CE为定值，∴点F到CE的距离最大时，△CEF的面积有最大值．在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，E是AB的中点，∴AB＝2BC＝4，CE＝AE＝AB＝2，AC＝AB•cos30°＝2，∴∠ECA＝∠BAC＝30°，过点A作AG⊥CE交CE的延长线于点G，∴AG＝AC＝，∵点F在以A为圆心，AB长为半径的圆上，∴AF＝AB＝4，∴点F到CE的距离最大值为4+，∴，故答案为：．3．（2023•大庆模拟）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，C为的三等分点（更靠近A点），点P是⊙O上个动点，取弦AP的中点D，则线段CD的最大值为（）A．2B．C．D．【分析】如图，连接OD，OC，首先证明点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点D在CK的延长线上时，CD的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题．【解答】解：如图，连接OD，OC，∵AD＝DP，∴OD⊥P A，∴∠ADO＝90°，∴点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，AC，当点D在CK的延长线上时，CD的值最大，∵C为的三等分点，∴∠AOC＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴CK⊥OA，在Rt△OCK中，∵∠COA＝60°，OC＝2，OK＝1，∴CK＝＝，∵DK＝OA＝1，∴CD＝+1，∴CD的最大值为+1，故选：D．考向三：四点共圆类最值满分技巧对角互补的四边形必有四点共圆，即辅助圆产生模型原理：圆内接四边形对角互补∴FD＝，在四边形ACBF中，∠ACB＝∠AFB＝90°，∴A、C、B、F四点共圆，∴∠ACF＝∠ABF＝45°，∠CAB＝∠CFB，∵∠PCD＝45°∴∠ACP＝∠FCD，又∵△ABE∽△FBD，∴∠BAE＝∠BFD，∴∠CAP＝∠CFD，∴△CAP∽△CFD，∴，在四边形ACBF中，由对角互补模型得AC+CB＝，∴CF＝∴，∴AP＝1，∴PE＝2，故答案为：2考向四：瓜豆原理类最值满分技巧瓜豆原理的特征和结论：∴AB＝CD＝6，∠B＝∠BCD＝90°，∵∠BET＝∠FEG＝45°，∴∠BEF＝∠TEG，∵EB＝ET，EF＝EG，∴△EBF≌△ETG（SAS），∴∠B＝∠ETG＝90°，∴点G在射线TG上运动，∴当CG⊥TG时，CG的值最小，∵BC＝，BE＝，CD＝6，∴CE＝CD＝6，∴∠CED＝∠BET＝45°，∴∠TEJ＝90°＝∠ETG＝∠JGT＝90°，∴四边形ETGJ是矩形，∴DE∥GT，GJ＝TE＝BE＝，∴CJ⊥DE，∴JE＝JD，∴CJ＝DE＝3，∴CG＝CJ+GJ＝+3，∴CG的最小值为+3，故答案为：+3．2．（2023•宿城区二模）如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，点E为对角线AC上一动点，BE⊥BF，，BG⊥EF于点G，连接CG，当CG最小时，CE的长为．【分析】过点B作BP⊥AC于点P，连接PG，则可得△ABE∽△PBG，进而可知∠BPG为定值，因此CG⊥PG时，CG最小，通过设元利用三角函数和相似比可表示出PG、CP，即可求出结果．【解答】解：如图，过点B作BP⊥AC于点P，连接PG，∵，∠ABC＝∠EBF，∴△ABC∽△EBF，∴∠CAB＝∠FEB，∵∠APB＝∠EGB＝90°，∴△ABP∽△EBG，∴＝，∠ABP＝∠EBG，∴∠ABE＝∠PBG，∴△ABE∽△PBG，∴∠BPG＝∠BAE，即在点E的运动过程中，∠BPG的大小不变且等于∠BAC，∴当CG⊥PG时，CG最小，设此时AE＝x，∵，∴PG＝，∵CG⊥PG，∴∠PCG＝∠BPG＝∠BAC，∴，代入PG＝，解得CP＝x，∵CP＝BC•sin∠CBP＝BC•sin∠BAC＝，∴x＝，∴AE＝∴CE＝，故答案为：．考向五：胡不归类最值满分技巧胡不归模型解决步骤：模型具体化：如图，已知两定点A、B，在定直线BC上找一点P，使从B走道P，再从P走到A的总时间最小解决步骤：由系数k·PB确定分割线为PBPA在分割线一侧，在分割线PB另一侧依定点B构α角，使sinα=k，α角另一边为BD过点P作PQ⊥BD，转化kPB=PQ过定点A作AH⊥BD，转化（PA+k·PB）min=AH，再依“勾股法”求AH的长即可。

回归教材重难点07 几何最值问题几何最值问题是初中几何章节的重点内容，考查的范围比较广，把几何图形性质与平移、翻折等图形变换结合起来。

在中考数学中，主要是以压轴题形式出现。

通过熟练的几何模型的应用，提升数学学科素养，提高逻辑思维推断能力。

本考点是中考五星高频考点，在全国各地的中考试卷中均有出现，题目难度较大，甚至有些地方将其作为选填题的压轴题。

1.将军饮马模型；2.瓜豆模型；3.隐圆模型1．（2021·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝23AD＝2点P为边AB上一点．以DP为折痕将△DAP翻折，点A的对应点为点A'．连结AA'，AA' 交PD于点M，点Q为线段BC上一点，连结AQ，MQ，则AQ＋MQ的最小值是________【答案】42【分析】如图，作点A关于BC的对称点T，取AD的中点R，连接BT，QT，RT，RM．想办法求出RM，RT，求出MT的最小值，再根据QA＋QM＝QM＋QT≥MT，可得结论．【详解】解：如图，作点A关于BC的对称点T，取AD的中点R，连接BT，QT，RT，RM．△四边形ABCD 是矩形，△△RAT ＝90°，△AR ＝DR 2AT ＝2AB ＝3△RT 2222(2)(43)52AR AT ++△A ，A′关于DP 对称，△AA′△DP ，△△AMD ＝90°， △AR ＝RD ，△RM ＝12AD 2△MT ≥RT −RM ，△MT 2， △MT 的最小值为2△QA ＋QM ＝QT ＋QM ≥MT ，△QA ＋Q M 2，△QA ＋QM 的最小值为2．故答案为：2【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是求出MT 的最小值，属于中考常考题型．2．（2021·四川成都·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，4,8AB AD ==，点E ，F 分别在边,AD BC 上，且3AE =，按以下步骤操作：第一步，沿直线EF 翻折，点A 的对应点'A 恰好落在对角线AC 上，点B 的对应点为'B ，则线段BF 的长为_______；第二步，分别在,'EF A B 上取点M ，N ，沿直线MN 继续翻折，使点F 与点E 重合，则线段MN 的长为_______．【答案】 1 5【分析】第一步：设EF 与AA’交于点O ，连接AF ，易证明△AOE △ADC ，利用对应边成比例可得到OA =2OE ，由勾股定理可求出OE 35从而求得OA 及OC ；由AD △BC ，易得△AOE △△COF ，由对应边成比例可得AE 、FC 的关系式，设BF =x ，则FC =8-x ，由关系式可求得x 的值；第二步：连接NE ，NF ，根据折叠的性质，得到NF =NE ，设B’N =m ，分别在Rt △NB F '和Rt △ EA N '中，利用勾股定理及NF =NE 建立方程，可求得m ，最后得出结果．【详解】如图所示，连接AF ，设EF 与AA’交于点O ，由折叠的性质得到AA’△EF ， 3A E AE '==△四边形ABCD 是矩形△△ADC =90°，CD =AB =4 ，AD △BC△△AOE =△ADC ，△OAE =△DAC △△AOE △ADC ，△12OE CD OA AD == ，△OA =2OE ， 在直角△AOE 中，由勾股定理得：2249OE OE += ，△OE 35，△OA 65， 在Rt △ADC 中，由勾股定理得到：AC 224845+=，△OC =6514545 令BF =x ，则FC =8-x ，△AD △BC ，△△AOE △△COF ，△37OA AE OC FC == ，即7AE =3FC △3(8-x )=7×3解得：1x =,△BF 的长为1． 连接NE ，NF ，如图，根据折叠性质得：BF =B’F =1，MN △EF ，NF =NE ，设B’N =m ，则22222213(4)NF m NE m =+==+- ，解得：m =3，则NF 10，△EF 222425+=△MF 5△MN 5故答案为：15【点睛】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、三角形相似的判定与性质，矩形的性质等知识，熟练运用这些知识是解决本题的关键，本题还涉及到方程的运用．3．（2021·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，已知正方形ABCD 的边长为6，点F 是正方形内一点，连接,CF DF ，且ADF =DCF ∠∠，点E 是AD 边上一动点，连接,EB EF ，则EB EF +长度的最小值为___________．【答案】3133【分析】根据正方形的性质得到△ADC ＝90°，推出△DFC ＝90°，点F 在以DC 为直径的半圆上移动，，如图，设CD 的中点为O ，作正方形ABCD 关于直线AD 对称的正方形APGD ，则点B 的对应点是P ，连接PO 交AD 于E ，交半圆O 于F ，则线段FP 的长即为BE ＋FE 的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：△四边形ABCD 是正方形，△△ADC ＝90°，△△ADF ＋△CDF ＝90°，△ADF =DCF ∠∠，△△DCF ＋△CDF ＝90°，△△DFC ＝90°，△点F 在以DC 为直径的半圆上移动，如图，设CD 的中点为O ，作正方形ABCD 关于直线AD 对称的正方形APGD ，则点B 的对应点是P ， 连接PO 交AD 于E ，交半圆O 于F ，则线段FP 的长即为BE ＋FE 的长度最小值，OF ＝3，△△G ＝90°，PG ＝DG ＝AB ＝6，△OG ＝9，△OP 222269313PG OG +=＋△FP ＝3133， △BE ＋FE 的长度最小值为3133，故答案为：3133．【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，正方形的性质，勾股定理以及圆的基本性质．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．4．（2021·山东聊城·中考真题）如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A ，C 分别在x 轴，y 轴上，B ，D 两点坐标分别为B （﹣4，6），D （0，4），线段EF 在边OA 上移动，保持EF ＝3，当四边形BDEF 的周长最小时，点E 的坐标为__________．【答案】()0.4,0-【分析】先得出D 点关于x 轴的对称点坐标为H （0，-4），再通过转化，将求四边形BDEF 的周长的最小值转化为求FG +BF 的最小值，再利用两点之间线段最短得到当F 、G 、B 三点共线时FG +BF 的值最小，用待定系数法求出直线BG 的解析式后，令y =0，即可求出点F 的坐标，最后得到点E 的坐标．【详解】解：如图所示，△D （0，4），△D 点关于x 轴的对称点坐标为H （0，-4），△ED =EH ，将点H 向左平移3个单位，得到点G （-3，-4），△EF =HG ，EF △HG ，△四边形EFGH 是平行四边形，△EH =FG ，△FG =ED ，△B （-4，6），△BD ()()224064=25--+-又△EF ＝3，△四边形BDEF 的周长=BD +DE +EF +BF =25FG +3+BF ,要使四边形BDEF 的周长最小，则应使FG +BF 的值最小，而当F 、G 、B 三点共线时FG +BF 的值最小， 设直线BG 的解析式为：()0y kx b k =+≠△B （-4，6），G （-3，-4），△4634k b k b -+=⎧⎨-+=-⎩，△1034k b =-⎧⎨=-⎩，△1034y x =--， 当y =0时， 3.4x =-，△()3.4,0F -，△()0.4,0E -，故答案为：()0.4,0-．【点睛】本题综合考查了轴对称的性质、最短路径问题、平移的性质、用待定系数法求一次函数的解析式等知识，解决问题的关键是“转化”，即将不同的线段之间通过转化建立相等关系，将求四边形的周长的最小值问题转化为三点共线和最短的问题等，本题蕴含了数形结合与转化的思想方法等．5．（2021·广东·中考真题）在ABC 中，90,2,3ABC AB BC ∠=︒==．点D 为平面上一个动点，45ADB ∠=︒，则线段CD 长度的最小值为_____． 52-【分析】由已知45ADB ∠=︒，2AB =，根据定角定弦，可作出辅助圆，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知，点D 在以O 为圆心OB 为半径的圆上，线段CD 长度的最小值为CO OD -．【详解】如图： 以12AB 为半径作圆，过圆心O 作,ON AB OM BC ⊥⊥， 以O 为圆心OB 为半径作圆，则点D 在圆O 上，45ADB ∠=︒90AOB ∠=︒∴2AB =，1AN BN ==，22112AO ∴=+112ON OM AB ===,3BC =，221(31)5OC ∴=+-=52CO OD ∴-=CD 长度的最小值为52-52-【点睛】本题考查了圆周角与圆心角的关系，圆外一点到圆上的线段最短距离，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．6．（2021·河南周口·三模）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，动点E ，F 分别在BC ，AB 上移动，AF ＝BE ，AE 和DF 交于点P ，点M 为边AB 上一动点，点N 为平面上一动点，CN ＝1，则NM +MP 的最小值是 ___．【答案】133【分析】首先证明△APD =90°，推出点P 在以AD 为直径的圆上运动，设圆心为T ，作点T 关于AB 的对称点R ，以R 为圆心，AR 为半径作△R ，则点P 关于AB 的对称点L ，在△R 上，连接CR ，R L ，ML ．根据RL +ML +MN +NC ≥CR ，MP =ML ，求出CR ，可得结论．【详解】解：如图，△四边形ABCD 是正方形，△△B =△DAF =90°，AD =AB ，在△AB E 和△DAF 中，AB DA B DAF BE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABE △△DAF （SAS ），△△BAE =△ADF ，△△BAE +△DAP =90°，△△ADP +△DAE =90°，△△APD =90°，△点P 在以AD 为直径的圆上运动，设圆心为T ，作点T 关于AB 的对称点R ，以R 为圆心，AR 为半径作△R ，则点P 关于AB 的对称点L ，在△R 上，连接CR ，RL ，ML ．△CN =1，△点N 在以C 为圆心，半径为1的△C 上运动，在Rt △CD R 中，CR 22DR CD +2264+13△RL +ML +MN +NC ≥CR ，MP =ML ，△PM +MN 132-1，△PM +MN 133，△PM +MN 的最小值为133．【点睛】本题考查轴对称最短问题，正方形的性质，勾股定理，轨迹等知识，解题的关键是学会把问题转化为两点之间线段最短，属于中考填空题中的压轴题．7．（2021·河南郑州·一模）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，P 是AB 边上一动点（不与点A ，B 重合），连接PD ，过点B 作BM △PD 交DP 的延长线于点M ，连接AM ，过点A 作AN △AM 交PD 于点N ，连接BN ，CN ，则△BNC 面积的最小值为________．【答案】1242-【分析】点N 在正方形内部，所以S △AND +S △BNC ＝12S 正方形ABCD ＝14482⨯⨯=，由BM △PD 可得点M 在以BD 中点为圆心，12BD 长为半径的圆上，先证明△AMB 与△ADN 全等，然后求△ABM 最大面积即可求出△BNC 的最小面积．【详解】解：△四边形ABCD 为正方形， △AD ＝AB ，△BAD ＝△BAN +△NAD ＝90°，△△MAB +△BAN ＝△MAN ＝90°，△△MAB ＝△NAD ，△△BMP +△BPM +△MBP ＝△P AD +△PDA +△APD ＝180°，△MPB ＝△APD ，△BMP ＝△DAP ＝90°，△△MBP ＝△ADP ， 在△AMB 和△AND 中，MAB NAD MBA NDA AB AD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝＝，△△AMB △△AND （ASA ）．△S △AMB ＝S △AND ， △S △AND +S △BNC ＝12S 正方形ABCD ＝14482⨯⨯=，△当S △AMB 面积最大时，S △BNC 面积最小， △△BMD ＝90°，△点M 在以BD 中点为圆心，12BD 长为半径的圆上，当△ABM面积最大时，OM △AB ，如图，△点O 为BD 中点，OM △AD ，△OK ＝12AD ＝2，△BD 2＝42△OM ＝12BD ＝22△MK ＝OM ﹣OK ＝222，△S △AMB ＝12AB •MK ＝424， △S △BNC ＝8﹣S △AMB ＝8﹣（424）＝1242-故答案为：1242-【点睛】本题考查正方形的性质、三角形面积计算、全等三角形的判定、圆周角定理等知识点，将求△BNC 的最小面积转化为求△ABM 最大面积并找出M 点运动轨迹是解题关键．8．（2021·河南·三模）如图，在正方形ABCD 中，AB ＝8，点E ，F 分别为边AB ，AD 上的动点，且EF ＝6，点G ，M 分别为边BC ，CD 的中点，连接BM ，DG 交于点O ．将△EF A 沿EF 折叠得到△EF A '，点H 是边EF 上一动点，连接A 'H ，HO ，OA '．当A 'H +HO 的值最小时，OA '的长为 __________________．16216- 【分析】连接AH 、AO ，由折叠的性质，点A 与点A '关于直线EF 对称，则可得当A 、H 、O 三点共线时，A 'H +HO 的值最小，连接OC 、AH ，过点O 作NO △BC 于点N ，可知四边形AF A 'E 是正方形，△ACB ＝45°，设CN ＝x ，则ON ＝CN ＝x ，BN ＝8﹣x ，可证明△BON △△BMC ，可求出CN ＝83，CO ＝823，在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC ＝2A 'O ＝AC ﹣AA '﹣OC 162． 【详解】解：连接AH 、AO ，如图，由折叠的性质，点A 与点A '关于直线EF 对称，AH A H '∴= A H HO AH HO AO '∴+=+≥A H O ∴、、三点共线时，A H HO '+的值最小，连接OC 、AH ，过点O 作NO △BC 于点N ，如图2，∴四边形AFA E '是正方形，6AA EF '∴==，A O C 、、三点共线，45ACB ∴∠=︒M 是DC 中点，4MC ∴=设CN ＝x ，则ON ＝CN ＝x ，BN ＝8﹣x ，BNO BCM ∠=∠，BON BMC ∴~，ON MC BN BC ∴=即488x x =-，83x ∴=，83CN ∴= 822CO CN ∴==在Rt ABC 中，由勾股定理得，2282AC AB BC =+=8216282616A O AC AA OC ''∴=--== 16216-． 【点睛】本题考查相似的判定与性质、折叠的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．9．（2021·四川绵阳·一模）等边△ABC 的边长为6，P 是AB 上一点，AP ＝2，把AP 绕点A 旋转一周，P 点的对应点为P ′，连接BP ′，BP ′的中点为Q ，连接CQ ．则CQ 长度的最小值是_____．【答案】331【分析】取AB中点D，连接DQ，CD，AP'，利用等边三角形求出CD＝33根据三角形中位线定理得到DQ＝1，利用三角形三边关系得出结果．【详解】解：如图，取AB中点D，连接DQ，CD，AP'，△AP＝2，把AP绕点A旋转一周，△AP'＝2，△等边△ABC的边长为6，点D是AB中点，△BD＝AD＝3，CD△AB，△CD22226333BC BD--△点Q是BP'是中点，△BQ＝QP'，又△AD＝BD，△DQ＝12AP'＝1，在△CDQ中，CQ≥DC﹣DQ，△CQ的最小值为31，故答案为331．【点睛】本题考查最短路径、中位线、等边三角形等知识，解决问题的关键是已知中点的常见思路：等腰三角形中构造三线合一，一般三角形中构造中位线．10．（2021·福建·厦门五缘实验学校二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数ykx=（k＞0）的图象与半径为5的△O交于M、N两点，△MON的面积为3.5，若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是______．【答案】2【详解】设点M（a，b），N（c，d），先求出a2+b2＝c2+d2＝25，再求出ac()227k c a-=，同理：bd()227k b d-=，即可得出ac﹣bc＝0，最后用两点间的距离公式即可得出结论．【解答】解：如图，设点M（a，b），N（c，d），△ab＝k，cd＝k，△点M，N在△O上，△a2+b2＝c2+d2＝25，作出点N关于x轴的对称点N'（c，﹣d），△MN'即为PM+PN的最小值△S△OMN12=k12+（b+d）（a﹣c）12-k＝3.5，△ad﹣bc＝7，△kc kaa c-=7，△ac()227k c a-=，同理：bd()227k b d-=，△ac﹣bc()()2222777k c a k b d k--=-=[（c2+d2）﹣（a2+b2）]＝0，△M（a，b），N'（c，﹣d），△MN'2＝（a﹣c）2+（b+d）2＝a2+b2+c2+d2﹣2ac+2bd＝a2+b2+c2+d2﹣2（ac﹣bd）＝50，△MN'＝2故答案为：2【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质、圆的性质、两点间的距离公式，判断出ac-bd=0是解本题的关键．11．（2021·广东·雷州市第八中学一模）如图，把矩形ABCD沿EF对折，使B与D重合，折痕EF交BD于G，连AG，若tan△AGE7BF＝8，P为DG上一个动点，则PF+PC的最小值为_____．【答案】10【分析】如图，连接BE，CE，PE，取BE的中点O，连接OA，OG．首先证明△EGD△△FGB（ASA），推出BF=DE=8，EG=FG，再证明PF=PE，推出PF+PC=PE+PC≥EC，想办法求出EC即可解决问题．【详解】解：如图，连接BE，CE，PE，取BE的中点O，连接OA，OG．由题意，EF 垂直平分线段BD ，△EB =ED ，BG =GD ，△四边形ABCD 是矩形，△AD △BC ，△△EDG =△FBG ，△△EGD =△FGB ，△△EGD △△FGB （ASA ），△BF =DE =8，EG =FG ，△DB △EF ，△PE =PF ，△PF +PC =PE +PC ≥EC ，△△BAE =△BGE =90°，OB =OE ，△OA =OB =OE =OG ，△A ，B ，G ，E 四点共圆，△△ABE =△AGE ，△tan△ABE =tan△AGE 7AE AB ， 设AE 7，AB =3k ，△AB 2+AE 2=BE 2，BE =DE =8，△7k ）2+（3k ）2=82，△k =2，△AB =CD =6，△△EDC =90°，△EC 222268CD DE ++，△PF +PC ≥10，△PF +PC 的最小值为10．故答案为：10．【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定和性质，解直角三角形，四点共圆等知识，本题综合性比较强． 12．（2022·上海·一模）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC 22BC =ABC 绕点C 按逆时针方向旋转得到DEC ，连接AD ，BE ，直线AD ，BE 相交于点F ，连接CF ，在旋转过程中，线段CF 的最大值为__________．10【分析】取AB 的中点H ，连接CH 、FH ，设EC ，DF 交于点G ，在△ABC 中，由勾股定理得到AB 10由旋转可知：△DCE △△ACB ，从而△DCA =△BCE ，△ADC =△BEC ，由△DGC =△EGF ，可得△AFB =90º，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得FH=CH=12AB10△FCH中，当F、C、H在一条直线上时，CF10【详解】取AB的中点H，连接CH、FH，设EC，DF交于点G，在△ABC中，△ACB=90º，△AC2，BC2△AB2210AC BC+由旋转可知：△DCE△△ACB，△△DCE=△ACB，DC=AC，CE=CB，△△DCA=△BCE，△△ADC=12(180º-△ACD) ，△BEC=12(180º-△BCE)，△△ADC=△BEC，△△DGC=△EGF，△△DCG=△EFG=90º，△△AFB=90º，△H是AB的中点，△FH=12AB，△△ACB=90º，△CH=12AB，△FH=CH=12AB10在△FCH中，FH+CH>CF，当F、C、H在一条直线上时，CF 101010=△线段CF10.10【点睛】本题考查了旋转的性质、勾股定理，解决本题的关键是掌握全等的性质.13．（2022·重庆·一模）如图，已知ABC ，外心为O ，18BC =，60BAC ∠=︒，分别以AB ，AC 为腰向形外作等腰直角三角形ABD △与ACE ，连接BE ，CD 交于点P ，则OP 的最小值是______．【答案】933-【分析】由ABD △与ACE 是等腰直角三角形，得到90BAD CAE ∠=∠=︒，DAC BAE ∠=∠，根据全等三角形的性质得到ADC ABE ∠=∠，求得在以BC 为直径的圆上，由ABC 的外心为O ，60BAC ∠=︒，得到120BOC ∠=︒，如图，当PO BC ⊥时，OP 的值最小，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：ABD 与ACE 是等腰直角三角形，90BAD CAE ∴∠=∠=︒，DAC BAE ∴∠=∠，在DAC △与BAE 中，AD AB DAC BAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，DAC ∴△()BAE SAS ，ADC ABE ∴∠=∠，90PDB PBD ∴∠+∠=︒， 90DPB ∴∠=︒，P ∴在以BC 为直径的圆上，ABC 的外心为O ，60BAC ∠=︒，120BOC ∴∠=︒，如图，当PO BC ⊥时，OP 的值最小，18BC =，9BH CH ∴==，12OH OB =，223BH OB OH OH ∴- 33OH ∴=9PH =，933OP ∴=-OP 的最小值是933-，故答案为：933-【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．。