2013年全国高考理科数学试题分类汇编8：直线与圆

各地解析分类汇编（二）系列: 直线与圆1.【天津市新华中学2013届高三第三次月考理】倾斜角为135︒，在y 轴上的截距为1-的直线方程是（ ）A. 01=+-y xB. 01=--y xC. 01=-+y xD. 01=++y x【答案】D【解析】直线的斜率为tan1351k ==-，所以满足条件的直线方程为1y x =--，即10x y ++=，选D.2.【山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理】在直角坐标系中，直线30y +-=的倾斜角是A ．6πB ．3πC ．65π D ．32π 【答案】D【解析】直线的斜截式方程为3y =+，即直线的斜率tan k α==所以23πα=，选D.3.【天津市新华中学2013届高三第三次月考理】若直线1l ：280ax y +-=与直线2l ：(1)40x a y +++=平行 ，则a 的值为（ ）A. 1B. 1或2C. -2D. 1或-2【答案】A【解析】直线1l 的方程为42ay x =-+，若1a =-，则两直线不平行，所以1a ≠-，要使两直线平行，则有282114a a -=≠=-+，由211a a =+，解得1a =或2a =-。

当2a =-时，21a=-，所以不满足条件，所以1a =，选A.4.【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】“1k =”是“直线0x y k -+=与圆221x y += 相交”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】要使直线0x y k -+=与圆221x y += 相交，则有圆心到直线的距离1d 。

即k ≤所以k ≤≤，所以“1k =”是“直线0x y k -+=与圆221x y += 相交”的充分不必要条件，选A.5.【云南省玉溪一中20131by +=与圆221x y +=相交于A,B 两点(其中a,b 是实数),且△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点),则点P(a,b)与点(0,1)之间距离的最大值为 ( )A.1+B.21-【答案】A【解析】因为△AOB=2222a b +=。

一．基础题组1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）文科】抛物线28y x =的焦点到直线0x -=的距离是（ ）（A ）（B ）2（C （D ）12.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）文科】垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是（ ）A ．0x y +-=B ．10x y ++=C ．10x y +-=D ．0x y ++=3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷) 文科】 已知点(,)M a b 在圆221:O x y +=外, 则直线1ax by +=与圆O 的位置关系是（ ）(A) 相切(B) 相交 (C) 相离 (D) 不确定4.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科】若圆C 经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C 的方程是 .5.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科】过点(3，1)作圆22(2)(2)4x y -+-=的弦，其中最短的弦长为__________.6.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）文科】直线23y x =+被圆22680x y x y +--=所截得的弦长等于__________.二．能力题组7.【2013年全国高考统一考试天津数学（文）卷】 已知过点P (2,2) 的直线与圆225(1)x y +=-相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a =（ ）(A) 12- (B) 1 (C) 2 (D) 128.【2013年高考新课标Ⅱ数学（文）卷】 设抛物线C:y 2=4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A, B 两点.若|AF|=3|BF|，则l 的方程为（ ）（A ） y=x-1或y=-x+1 （B ）X-1）或y=（x-1）（C ）y=x-1）或y=x-1） （D ）x-1）或y=（x-1） 【答案】C（A ）1 （B ）2三．拔高题组10.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）文科】在平面直角坐标系内，到点(1,2)A ，(1,5)B ，(3,6)C ，(7,1)D -的距离之和最小的点的坐标是_______.11.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）文科】已知圆O ：225x y +=，直线l ： cos sin 1x y θθ+=（π02θ<<）.设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k = .12.【2013年普通高等学校统一考试江苏卷】在平面直角坐标系xoy 中，设定点(,)A a a ，P 是函数1(0)y x x=>图象上一动点. 若点P ，A 之间的最短距离为，则满足条件的实数a 的所有值为 .质、二次函数的最值. 较难题.13.【2013年普通高等学校统一考试江苏卷】如图，在平面直角坐标系xoy 中，点(0,3)A ，直线:24l y x =-，设圆C 的半径为1， 圆心在l 上.（1）若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线方程；（2）若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）文科】已知圆C 的方程为22(4)4x y +-=，点O 是坐标原点.直线:l y kx =与圆C 交于M 、N 两点.（Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）设(,)Q m n 是线段MN 上的点，且222211||||||OQ OM ON =+.请将n 表示为m 的函数.。

命题角度4 圆的方程1(典型例题)从原点向圆x 2+y 2-12y+27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为( )ππππ6.4.2..D C B A[考场错解]由半径为3，圆心与原点距离为6，可知两切线间的夹角为60。

，故所相应的圆心角为120，故所求劣弧为圆弧长的C 故选为.4323232ππ=⨯⨯.[专家把脉]没有理解清楚优弧，劣弧的概念，劣弧应为相对较短的一段弧。

[对症下药]所求劣弧是整个圆弧的ππ2313231=⨯⨯故所求弧长为.2.(典型例题) △ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H.),(OC OB OA m OH ++=则实数m=______.[考场错解]选取特殊三角形，取△ABC 为等边三角形，则,0||,0||=++=OC OB OA OH 故m 可取任意实数。

[专家把脉]情况太特殊，若所取三角形为等腰三角形(非等边三角形)此时0||,0||≠++≠OC OB OA OH 此时与m 为任意实数相矛盾。

[对症下药].1,.,.90,,.1.=∴++=-===<=m OC OB OA OH OC OB OA OH A ABC m 故或利用直角三角形意义又可求由向量的加减法的几何3．(典型例题)圆心在直线2x-y-7=0上的圆C 与y 轴交于两点A(0,-4),B(0,-2),则圆C 的方程为_____.[考场错解]设圆的方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---+=-∙-=----=-++∙-==-+-.072)2()4(224,24,02,0.)()(00220200220200222020y x r y x x r y x x x x y r y y x x 故分别为方程的两根令解得x 0=-3,y 0=-13,r=168.故所求圆的方程为(x+3)2+(y+13)2=168.[专家把脉]应是令x=0,而不是令y=0，故后面的结果均错。

[对症下药] 法一:∵AB 的中垂线,3-=y 必过圆心故解⎩⎨⎧=---=0723y x y 得圆心坐标为=-'|'|),3,2(0A O ∴.5所求圆的方程为.5)3()2(22=++-y x法二:设圆C 的方程:22020)()(r y y x x =-+-圆心在直线072=--y x 上07200=--∴y x ①又 圆过A (0, -4) B (0, -2)22020)4(r y x =--+∴ ②22020)2(r y x =--+ ③ 由①②③解得⎪⎩⎪⎨⎧=∴-==53200r y x 圆的方程++-y x ()2(2 2)3专家会诊1.求圆的方程应注意根据所给的条件,恰当选择方方程的形式,用待定系数法求解.2讨论点、直线、圆与圆的位置关系时，一般可从代数特征（方程组解的个数）或几何特征去考虑，其中几何特征数更为简捷实用。

考点39 圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1.（2013·重庆高考文科·Ｔ4）设P是圆22-++=上的动点，(3)(1)4x yx=-上的动点，则PQ的最小值为( )Q是直线3A. 6 B。

4 C. 3 D. 2【解题指南】PQ的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径。

【解析】选B。

PQ的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径.圆心)1,3(-到直线3-=x的距离为6,半径为2，所以PQ的最小值为6=-。

242.(2013·天津高考文科·T5)已知过点P(2，2)的直线与圆（x—1)2+y2=5相切，且与直线ax-y+1=0垂直,则a= ( ）A. 1- B. 1 C。

2 D。

122【解题指南】根据圆的切线的性质确定切线的斜率，再由两直线垂直求a的值.【解析】选C.因为点P(2,2）为圆（x-1）2+y2=5上的点，由圆的切线性质可知,圆心（1,0)与点P（2,2)的连线与过点P（2，2)的切线垂直.因为圆心（1,0)与点P（2,2）的连线的斜率k=2，故过点P,所以直线ax-y+1=0的斜率为2，因此（2，2)的切线斜率为—12a=2。

A.1 B 。

2 C 。

4 D 。

【解题指南】 由圆的半径、圆心距、半弦长组成直角三角形，利用勾股定理即可求得半弦长。

【解析】选C.由22(1)(2)5x y 得圆心（1，2），半径5r,圆心到直线x+2y-5+的距离|1455|15d，在半径、圆心距、半弦长组成的直角三角形中，弦长222244lr d 。

4。

（2013·重庆高考理科·Ｔ7）已知圆1C :22(2)(3)1x y -+-=,圆2C ：22(3)(4)9x y -+-=，M、N 分别是圆1C 、2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值为 ( ) A 。

425- B.117-C.226-D.17【解题指南】根据圆的定义可知421-+=+PC PCPN PM ,然后利用对称性求解.【解析】选A.由题意知，圆1C ：22(2)(3)1x y -+-=，圆2C :22(3)(4)9x y -+-=的圆心分别为)4,3(),3,2(21C C ，且421-+=+PC PCPN PM ，点)3,2(1C 关于x 轴的对称点为)3,2(-C ,所以252221=≥+=+CC PC PC PC PC ，即425421-≥-+=+PC PCPN PM .5.(2013·广东高考文科·Ｔ7)垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是( )A ．0x y +=B ．10x y ++=C ．10x y +-= D ．0x y +=【解析】选A. 由题意知直线方程可设为0x y c +-=（0c >），则圆心到直线的距离等于半径1，即1=，c =所求方程为0x y +=。

2013届名校解析试题精选分类汇编8：直线与圆一、选择题 1 ．（山东省青岛一中2013届高三1月调研考试文科数学）已知A ．B 两点分别在两条互相垂直的直线20x y -=和0x ay +=上,且AB 线段的中点为P 10(0,)a,则线段AB 的长为 （ ）A ．11B ．10C ．9D ．8【答案】B 直线20x y -=的斜率为2,0x ay +=的斜率为1a -.因为两直线垂直,所以112a-=-,所以2a =.所以直线方程20x y +=,中点(0,5)P .则5OP =,在直角三角形中斜边的长度22510AB OP ==⨯=,所以线段AB 的长为10,选B ．2 ．（山东省济南市2013届高三3月高考模拟文科数学）已知两条直线012)1(:1=++-y x a l ,03:2=++ay x l 平行,则=a（ ） A ．-1B ．2C ．0或-2D ．-1或2【答案】D 若0a =,两直线方程为210x y -++=和3x =-,此时两直线相交,不平行.所以0a ≠.当0a ≠时,两直线若平行,则有12113a a -=≠,解得1a =-或2a =,选 D ．3 ．（山东省青岛即墨市2013届高三上学期期末考试 数学（文）试题）已知0≠a 直线04)2(=+++y b ax 与直线03)2(=--+y b ax 互相垂直,则ab 的最大值等于 （ ）A ．0B ．2C ．4D ．2【答案】B 解:若2b =,两直线方程为14a y x =--和3x a=,此时两直线相交.若2b =-,两直线方程为4x a =-和344a y x =-,此时两直线相交.所以当2b ≠±时,两直线方程为422a y x b b =--++和322a y x b b =-+--,此时两直线的斜率分别为,22a a b b --+-,由()122a ab b -⋅-=-+-得224a b +=.因为2242a b ab +=≥,所以2ab ≤,即ab 的最大值等2,当且仅当a b ==时取等号.所以选 B ．4 ．（山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试数学（文）试题）已知倾斜角为α的直线l 与直线x -2y十2=0平行,则tan 2α的值 （ ）A ．45B ．43C ．34D ．23【答案】B 直线的斜率为12,即直线l 的斜率为1tan 2k α==,所以22122tan 142tan 2131tan 31()24ααα⨯====--,选 B ．5 ．（山东省威海市2013届高三上学期期末考试文科数学）若直线y kx =与圆22(2)1x y -+=的两个交点关于直线20x y b ++=对称,则,k b 的值分别为（ ）A ．1,42k b ==- B ．1,42k b =-= C ．1,42k b == D ．1,42k b =-=-【答案】【答案】A 因为直线y kx =与圆22(2)1x y -+=的两个交点关于直线20x y b ++=对称,则y kx =与直线20x y b ++=垂直,且20x y b ++=过圆心,所以解得1,42k b ==-,选A ．6 ．（山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试文科数学）在平面直角坐标系xOy 中,直线0543=-+y x 与圆422=+y x 相交于（ ） A ．B 两点,则弦AB 的长等于 （ ）A ．33B ．32C ．3D．1【答案】B圆心到直线的距离1d ==,所以222()2AB R d -=,即2224()4(41)12AB R d =-=-=,所以AB ==,选 B ．7 ．（山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（文）试题）在平面直角坐标系xoy 中,圆C 的方程为228150x y x +-+=,若直线2y kx =+上至少存在一点,使得以该点为圆心,半径为1的圆与圆C 有公共点,则k 的最小值是 （ ）A ．43-B ．54-C ．35-D ．53-【答案】A 因为圆C 的方程可化为:()2241x y -+=,所以圆C 的圆心为(4,0),半径为1.因为由题意,直线2y kx =+上至少存在一点00(,2)A x kx +,以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点;所以存在0x R ∈,使得11AC ≤+成立,即min 2AC≤.因为min AC 即为点C 到直线2y kx =+2,解得403k -≤≤.所以k 的最小值是43-,选A ．8 ．（山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试文科数学）已知两条直线2-=ax y 和01)2(3=++-y a x 互相平行,则a 等于（ ）A ．1或-3B ．-1或3C ．1或3D ．-1或3【答案】A 因为直线2-=ax y 的斜率存在且为a ,所以(2)0a -+≠,所以01)2(3=++-y a x 的斜截式方程为3122y x a a =+++,因为两直线平行,所以32a a =+且122a ≠-+,解得1a =-或3a =,选（ ）A ．9 ．（山东省德州市2013届高三3月模拟检测文科数学）直线y x m =+与圆221x y +=在第一象限内有两个不同的交点,则m 取值范围是 （ ）A2m <<B3m <<Cm <<D．1m << 【答案】D 当直线经过点(0,1)时,直线与圆有两个不同的交点,此时1m =.当直线与圆相切时有圆心到直线的距离1d ==,解得m =,所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点,则1m <<选 D ． 10．（山东省滨州市2013届高三第一次（3月）模拟考试数学（文）试题）已知圆C 经过(5,2),(1,4)A B -两点,圆心在x 轴上,则圆C 的方程是 （ ）A ．22(2)13x y -+= B ．22(2)17x y ++= C ．22(1)40x y ++=D ．22(1)20x y -+=【答案】D 设圆心坐标为(,0)C a ,则AC BC =,=解得1a =,所以半径r ===所以圆C 的方程是22(1)20x y -+=,选D ．11．（山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学（文）试题）直线()2110x a y +++=的倾斜角的取值范围是 （ ）A ．0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．3[,)4ππ C ．0,,42πππ⎡⎤⎛⎫⋃ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭D ．3,,424ππππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【答案】B 直线的斜截式方程为221111y x a a =--++,所以斜率为211k a =-+,即21tan 1a α=-+,所以1tan 0α-≤<,解得34παπ≤<,即倾斜角的取值范围是3[,)4ππ,选 B ．12．（山东省德州市2013届高三上学期期末校际联考数学（文））已知P 是直线:34110l x y -+=上的动点,P（ ）A ．PB 是圆222210x y x y +--+=的两条切线,C 是圆心,那么四边形PACB 面积的最小值是 （ ）AB ．C D ．【答案】C 解:圆的标准方程为22(1)(1)1x y -+-=,圆心为(1,1)C ,半径为1r =.根据对称性可知四边形PACB 面积等于22APC S ∆=要使四边形PACB 面积的最小值,则只需PC 最小,此时最小值为圆心到直线:34110l x y -+=的距离1025d =,所以四边形PACB 面积的最小值为2APC S ∆==,选C,13．（山东省烟台市2013届高三上学期期末考试数学（文）试题）已知直线22(0,0)ax by a b -=＞＞过圆224210x y x y +-++=的圆心,ab 的最大值为_______________【答案】14圆的标准方程为22(2)(1)4x y -++=,所以圆心为(2,1)-,因为直线过圆心,所以222a b +=,即1a b +=.又1a b +≥=,所以14ab ≤,当且仅当12a b ==时取等号,所以ab 的最大值为14.14．（山东省青岛一中2013届高三1月调研考试文科数学）如图所示, C 是半圆弧x 2+y 2=1(y≥0)上一点, 连接AC 并延长至D, 使|CD|=|CB|, 则当C 点在半圆弧上从B 点移动至A 点时,D 点的轨迹是_______的一部分,D 点所经过的路程为______.【答案】圆解:设点(,)D x y (其中D 点不与A 、B 两点重合),连接BD,设直线BD 的倾斜角为α,直线AD 的倾斜角为β.由题意得,tan ,tan 11AD BD y yk k x x αβ====+-.因为|CD|=|CB|,所以45ADB ∠=,则有45αβ=+ ,即45αβ-=,即tan tan tan()tan 4511tan tan αβαβαβ--===+由此化简得22(1)2x y +-=(其中D 点不与A 、B 两点重合). 又因为D 点在A 、B 点时也符合题意,因此点D 的轨迹是以点(0,1)为圆心为半径的半圆, 点D.15．（【解析】山东省临沂市2013届高三5月高考模拟文科数学）已知圆C :2218x y +=,直线l :4325,x y +=则圆C 上任一点到直线l 的距离小于2的概率为_____________.【答案】14圆的半径为OC =圆心到直线的距离2555d ===,要使圆C 上任一点到直线l 的距离小于2,则此时圆心到直线BC 的距离为 3.此时圆上的点位于弧BC 上.因为3OE =,OC =所以4OCE π∠=,所以2BOC π∠=.所以弧BC的长度为2π⨯=,所以由几何概型得所求概率为14P ==.16．（山东省济南市2013届高三上学期期末考试文科数学）圆心在原点,并与直线34100x y --=相切的圆的方程为_______________.【答案】224x y +=解:圆心到直线的距离1025d ===,即圆的半径为2,所以圆的标准方程为224x y +=.。

全国高考理科数学试题分类汇编8：直线与圆一、选择题1 ．（ 上海市春季高考数学试卷(含答案)）直线2310x y -+=的一个方向向量是（ ）A ．(2 3)-，B ．(2 3)，C ．(3 2)-，D ． (3 2)，【答案】D 2 ．（ 普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））已知点(1,0),(1,0),(0,1)A B C -,直线(0)y ax b a =+>将△ABC 分割为面积相等的两部分,则b 的取值范围是（ ）A ．(0,1) B．1(1)2( C) 1(1]3 D ． 11[,)32【答案】B3 ．（ 普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））过点(3,1)作圆22(1)1x y -+=的两条切线,切点分别为A ,B ,则直线AB 的方程为（ ）A ．230x y +-=B ．230x y --=C ．430x y --=D ．430x y +-=【答案】A4 ．（ 普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知点()()()30,0,0,,,.ABC ,O A b B a a ∆若为直角三角形则必有（ ）A ．3b a =B ．31b a a=+C ．()3310b a b a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭D ．3310b a b a a-+--= 【答案】C5 ．（ 高考江西卷（理））如图,半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线,12,l l 之间l //1l ,l 与半圆相交于F,G 两点,与三角形ABC 两边相交于E,D 两点,设弧»FG的长为(0)x x π<<,y EB BC CD =++,若l 从1l 平行移动到2l ,则函数()y f x =的图像大致是【答案】D6 ．（ 高考湖南卷（理））在等腰三角形ABC 中,=4AB AC =，点P 是边AB 上异于,A B 的一点,光线从点P 出发,经,BC CA 发射后又回到原点P (如图1).若光线QR 经过ABC ∆的中心,则AP 等（ ）A ．2B ．1C ．83D ．43【答案】D 二、解答题 7 ．（ 普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分14分.如图,在平面直角坐标系xOy 中,点)3,0(A ,直线42:-=x y l ,设圆C 的半径为1,圆心在l 上.(1)若圆心C 也在直线1-=x y 上,过点A 作圆C 的切线,求切线的方程; (2)若圆C 上存在点M ,使MO MA 2=,求圆心C 的横坐标a 的取值范围.【答案】解:(1)由⎩⎨⎧-=-=142x y x y 得圆心C 为(3,2),∵圆C 的半径为1∴圆C 的方程为:1)2()3(22=-+-y x显然切线的斜率一定存在,设所求圆C 的切线方程为3+=kx y ,即03=+-y kx∴113232=++-k k ∴1132+=+k k ∴0)34(2=+k k ∴0=k 或者43-=k∴所求圆C 的切线方程为:3=y 或者343+-=x y 即3=y 或者01243=-+y x (2)解:∵圆C 的圆心在在直线42:-=x y l 上,所以,设圆心C 为(a,2a-4) 则圆C 的方程为:[]1)42()(22=--+-a y a x又∵MO MA 2=∴设M 为(x,y)则22222)3(y x y x +=-+整理得:4)1(22=++y x 设为圆D∴点M 应该既在圆C 上又在圆D 上 即:圆C 和圆D 有交点∴[]12)1()42(1222+≤---+≤-a a由08852≥+-a a 得R x ∈ 由01252≤-aa 得5120≤≤x 终上所述,a 的取值范围为:⎥⎦⎤⎢⎣⎡512,0。

第九章 直线与圆的方程第1节 直线的方程与两条直线的位置关系1．（2017浙江11）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积6S ，6S = . 1.解析 正六边形的面积为6个正三角形的面积和，所以61=611sin 602S 创创=o . 题型102 倾斜角与斜率的计算——暂无1.（2013江西理9）过点引直线l与曲线y =A ，B 两点，O 为坐标原点，当AOB △的面积取最大值时，直线l 的斜率等于（ ）. AB． C． D．2．（2015山东理9）一条光线从点()23--，射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-= 相切，则反射光线所在直线的斜率为( ).A ．53-或35-B ．32-或23-C ．54-或45-D ．43-或34- 2.解析 由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点()2,3-．设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为()32y k x +=-， 即230kx y k ---=．由题意，圆心()3,2-到此直线的距离等于圆的半径1，1=，所以21225120k k ++=，解得43k =-或34k =-．故选D ．题型103 直线的方程——暂无1.（2013山东理9）过点()3,1作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（ ）.A. 230x y +-=B. 230x y --=C. 430x y --=D. 430x y +-=2.（2013江苏17）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l .设圆C 的半径为1，圆心在l 上.（1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （2）若圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.3．（2015广东理5）平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是（ ）. A ．250x y ++=或250x y +-=B ．20x y +=或20x y += C ．250x y -+=或250x y --=D ．20x y -=或20x y -= 3.解析 设所求切线方程为20x y c ++==5c =±，所以所求切线的方程为20x y +=或20x y +=．故选A ．题型104 两直线位置关系的判定——暂无1．（2015广东理5）平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是（ ）. A ．250x y ++=或250x y +-=B ．20x y +=或20x y += C ．250x y -+=或250x y --=D ．20x y -=或20x y -= 1.解析 设所求切线方程为20x y c ++==5c =±，所以所求切线的方程为20x y +=或20x y +=．故选A ．题型105 有关距离的计算1.（2014 重庆理 13）已知直线20ax y +-=与圆心为C 的圆()()2214x y a -+-=相交于,A B 两点，且ABC △为等边三角形，则实数a =_________.2.（2014 新课标2理16）设点()0,1M x ，若在圆O ：221x y +=上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是 .3.（2014 新课标1理 6）如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数()f x ， 则()y f x =在[]0,π上的图像大致为（ ）.4.（2014 福建理 6）直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“OAB △的面积为12”的（ ）. A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件5．（2015广东理5）平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是（ ）. A ．250x y ++=或250x y +-= B．20x y +=或20x y += C ．250x y -+=或250x y --= D．20x y -=或20x y -= 5.解析 设所求切线方程为20x y c ++==5c =±，所以所求切线的方程为20x y +=或20x y +=．故选A ．6．（2015江苏理10）在平面直角坐标系xOy 中，以点()1,0为圆心且与直线210mx y m ---=()m ∈R 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ．6.解析 解法一（几何意义）：动直线210mx y m ---=整理得()()210m x y --+=，则l 经过定点()2,1M -，故满足题意的圆与l 切于M 时，半径最大，A.B.C.D.从而r ==()2212x y -+=．解法二（代数法——基本不等式）：由题意r d======…1m =时，取“=”．故标准方程为()2212x y -+=．解法三（代数法——∆判别式）：由题意r d===设22211m m t m ++=+，则()21210t m m t --+-=， 因为m ∈R ，所以()()222410t ∆=---…，解得02t 剟，即d7．（2015湖北理14）如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上方），且2AB =． (1)圆C 的标准．．方程为 ； (2)过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论： ①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=；③NB MA NAMB+=其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）7.解析（1）由条件可设圆C 的标准．．方程为2(1)()22x-+y -r r =(r 为半径)，因为2AB =，所以r =C 的标准．．方程为(1)(222x +y -=. （2）在(1)(222x +y -=中令0x =得1),1)A B ,因为N 在圆22:1O x y +=上，所以由三角函数的定义可设(cos ,sin ),N θθ从而NA NB=1==.同理1MA MB=，故NA MA NBMB=，1)2NB MA NAMB-=-=，1)NB MA NAMB+=+=8．（2015全国II 理7）过三点()1,3A ，()4,2B ，()1,7C -的圆交于y 轴于,M N 两点， 则MN =（ ）．A.26B. 8C. 46D. 10 8. 解析 由题意得321143AB k -==--，27341CB k +==--，所以1AB CB k k =-， 所以AB CB ⊥，即ABC △为直角三角形，则外接圆的圆心为AC 的中点(1,2)-， 半径为5，所以外接圆方程为22(1)(2)25x y -++=，令0x =，则有2y =±，所以MN =C ．9．（2015广东理20）已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A ，B .(1) 求圆1C 的圆心坐标；(2) 求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3) 是否存在实数k ,使得直线:(4)l y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取 值范围；若不存在，说明理由.9. 解析 （1）由22650x y x +-+=得()2234x y -+=，所以圆1C 的圆心坐标为()3,0；（2）设(),M x y ．因为点M 为弦AB 中点，即1C M AB ⊥，所以11C M AB k k =-，即13y y x x =--，所以线段AB 的中点M 的轨迹的方程为223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…；（3）由（2）知点M 的轨迹是以3,02C ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，32r =为半径的部分圆弧EF （不包括两端点），且53E ⎛ ⎝⎭，5,3F ⎛⎝⎭．又直线():4l y k x =-过定点()4,0D ， 当直线l 与圆C32=得34k =±．又05743DEDFkk ⎛- ⎝⎭=-=-=-3325,,44k ⎡⎧⎫∈--⎨⎬⎢⎩⎭⎣⎦时， 直线():4l y k x =-与曲线C 只有一个交点．10．（2015四川理10）设直线l 与抛物线24y x =相交于,A B 两点，与圆C ：()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ）.A. ()1,3B. ()1,4C. ()2,3D. ()2,410. 解析 设直线l 的方程为x ty m =+，代入抛物线方程得2440y ty m --=， 则216160t m ∆=+>.又中点()22,2Mtm t +，则1MC l k k ⋅=-，即232m t =-.代入21616t m∆=+，可得230t ->，即203t <<. 又由圆心到直线的距离等于半径，可得2d r ====由203t <<，可得()2,4r ∈.故选D.11.（2015重庆理8）已知直线()10l x ay a +-=∈R ：是圆22:4210C x y x y +--+=的 对称轴.过点()4,A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB =（）. A. 2 B.C.6D.11. 解析 易知圆的标准方程()()22:214C x y -+-=，圆心O 为()2,1.又因为直线01:=-+ay x l 是圆的对称轴，则该直线一定经过圆心， 得知1a =-，(4,1)A --．又因为AB 直线与圆相切，则OAB △为直角三角形,OA ==2=OB ,622=-=OB OA AB ．12.（2016全国甲理4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（ ）. A.43-B.34-D.2 12.A 解析 将圆2228130x y x y +--+=化为标准方程为：()()22144x y -+-=，故圆心为()14，，所以1d ==，解得43a =-.故选A ．13.（2016上海理3）1:210l x y +-=，2:210l x y ++=，则1l ，2l 的距离为．13.5 解析由题意d==．故填514.（2016全国丙理16）已知直线:30l mx y m ++=与圆2212x y +=交于A ，B 两点，过A ，B 分别做l 的垂线与x 轴交于C，D 两点，若AB =，则CD =__________________.14.4 解析解法一：根据直线与圆相交弦长公式有AB ==223r d -=，又212r=，得3d =.因此圆心()0,0O 到直线l ：30mx y m ++=的距离3d==，解得3m =-因此直线l的方程为3y x =+所以直线l 的倾斜角为30.如图所示，过点C 作CE BD ⊥于点E ，则4cos30cos303CE AB CD ====.解法二：直线l：30mx y m ++=，知直线l过定点(A ，又AB r =，所以OAB△为等边三角形,因为(A ，所以30AOC ∠=，又知60AOB ∠=,所以点B 在y 轴上（直线l 的斜率存在）.所以得直线l 的倾斜角为30，则4cos30cos303CE AB CD ====. 第2节 圆的方程题型106 求圆的方程——暂无1.（2014 陕西理 12）若圆C 的半径为1，其圆心与点()1,0关于直线x y =对称，则圆C 的标准方程为_______.2．（2015江苏理10）在平面直角坐标系xOy 中，以点()1,0为圆心且与直线210mx y m ---=()m ∈R 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ．2.解析 解法一（几何意义）：动直线210mx y m ---=整理得()()210m x y --+=，则l 经过定点()2,1M -，故满足题意的圆与l 切于M 时，半径最大，从而r ==()2212x y -+=．解法二（代数法——基本不等式）：由题意r d ======…1m =时，取“=”． 故标准方程为()2212x y -+=．解法三（代数法——∆判别式）：由题意r d ===设22211m m t m ++=+，则()21210t m m t --+-=，因为m ∈R ，所以()()222410t ∆=---…，解得02t 剟，即d3．（2015湖北理14）如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上方），且2AB =． (1)圆C 的标准．．方程为 ； (2)过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论： ①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=；③NB MA NAMB+=其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）3.解析（1）由条件可设圆C 的标准．．方程为2(1)()22x-+y -r r =(r 为半径)，因为2AB =，所以r =C 的标准．．方程为(1)(222x +y -=.（2）在(1)(222x +y -=中令0x =得1),1)A B ,因为N 在圆22:1O x y +=上，所以由三角函数的定义可设(cos ,sin ),N θθ从而NA NB=1==.同理1MA MB=，故NA MA NBMB=，1)2NB MA NAMB-=-=，1)NB MA NAMB+=+=4．（2015全国II 理7）过三点()1,3A ，()4,2B ，()1,7C -的圆交于y 轴于,M N 两点，则MN =（ ）．A.26B. 8C. 46D. 10 4. 解析 由题意得321143AB k -==--，27341CB k +==--，所以1AB CB k k =-， 所以AB CB ⊥，即ABC △为直角三角形，则外接圆的圆心为AC 的中点(1,2)-， 半径为5，所以外接圆方程为22(1)(2)25x y -++=，令0x =，则有2y =±，所以MN =C ．题型107 与圆有关的轨迹问题——暂无1．（2015广东理20）已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A ，B .（1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ,使得直线:(4)l y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.1. 解析 （1）由22650x y x +-+=得()2234x y -+=，所以圆1C 的圆心坐标为()3,0；（2）设(),M x y ．因为点M 为弦AB 中点，即1C M AB ⊥，所以11C M AB k k =-，即13y y x x =--，所以线段AB 的中点M 的轨迹的方程为223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…； （3）由（2）知点M 的轨迹是以3,02C ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，32r =为半径的部分圆弧EF（不包括两端点），且53E ⎛⎝⎭，5,3F ⎛⎝⎭．又直线():4l y k x =-过定点()4,0D ， 当直线l 与圆C32=得34k =±．又05743DEDFkk ⎛- ⎝⎭=-=-=-3325,,44k ⎡⎧⎫∈--⎨⎬⎢⎩⎭⎣⎦时， 直线():4l y k x =-与曲线C 只有一个交点．题型115 与圆有关的最值或取值范围问题1．（2015四川理10）设直线l 与抛物线24y x =相交于,A B 两点，与圆C ：()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ）.A. ()1,3B. ()1,4C. ()2,3D. ()2,41. 解析 设直线l 的方程为x ty m =+，代入抛物线方程得2440y ty m --=， 则216160t m ∆=+>.又中点()22,2Mtm t +，则1MC l k k ⋅=-，即232m t =-.代入21616t m∆=+，可得230t ->，即203t <<. 又由圆心到直线的距离等于半径，可得2d r ====由203t <<，可得()2,4r ∈.故选D.第3节 直线与圆、圆与圆的位置关系题型108 直线与圆的位置关系1.（2014 湖北理 12）直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b +=________.2.（2014 江西理 9）在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（ ）.A.45π B.34π C.(6-π D.54π3.（2014 福建理 6）直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“OAB △的面积为12”的（ ）. A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件4.（2014 大纲理 15）直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为()1,3，则1l 与2l 的夹角的正切值等于 .5．（2015山东理9）一条光线从点()23--，射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-= 相切，则反射光线所在直线的斜率为( ). A ．53-或35-B ．32-或23-C ．54-或45-D ．43-或34- 5.解析 由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点()2,3-．设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为()32y k x +=-， 即230kx y k ---=．由题意，圆心()3,2-到此直线的距离等于圆的半径1，1=，所以21225120k k ++=，解得43k =-或34k =-．故选D ．6．（2015广东理5）平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是（ ）. A ．250x y ++=或250x y +-= B．20x y +=或20x y += C ．250x y -+=或250x y --= D．20x y -=或20x y -= 6.解析 设所求切线方程为20x y c ++==5c =±，所以所求切线的方程为20x y +=或20x y +=．故选A ． 7．（2015江苏理10）在平面直角坐标系xOy 中，以点()1,0为圆心且与直线210mx y m ---=()m ∈R 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ．7.解析 解法一（几何意义）：动直线210mx y m ---=整理得()()210m x y --+=，则l 经过定点()2,1M -，故满足题意的圆与l 切于M 时，半径最大， 从而r ==()2212x y -+=．解法二（代数法——基本不等式）：由题意r d======…1m =时，取“=”． 故标准方程为()2212x y -+=．解法三（代数法——∆判别式）：由题意r d===设22211m m t m ++=+，则()21210t m m t --+-=，因为m ∈R ， 所以()()222410t ∆=---…，解得02t 剟，即d8．（2015湖北理14）如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上方），且2AB =． (1)圆C 的标准．．方程为 ； (2)过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论： ①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=；③NB MA NAMB+=其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）8.解析（1）由条件可设圆C 的标准．．方程为2(1)()22x-+y -r r =(r 为半径)，因为2AB =，所以r =C 的标准．．方程为(1)(222x +y -=. （2）在(1)(222x +y -=中令0x =得1),1)A B ,因为N 在圆22:1O x y +=上，所以由三角函数的定义可设(cos ,sin ),N θθ从而NA NB=1==.同理1MA MB=，故NA MA NBMB=，1)2NB MA NAMB-=-=，1)NB MA NAMB+=+=9．（2015全国II 理7）过三点()1,3A ，()4,2B ，()1,7C -的圆交于y 轴于,M N 两点， 则MN =（ ）．A.26B. 8C. 46D. 10 9. 解析 由题意得321143AB k -==--，27341CB k +==--，所以1AB CB k k =-， 所以AB CB ⊥，即ABC △为直角三角形，则外接圆的圆心为AC 的中点(1,2)-， 半径为5，所以外接圆方程为22(1)(2)25x y -++=，令0x =，则有2y =±，所以MN =C ．10．（2015广东理20）已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A ，B .（1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ,使得直线:(4)l y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.10. 解析 （1）由22650x y x +-+=得()2234x y -+=，所以圆1C 的圆心坐标为()3,0；（2）设(),M x y ．因为点M 为弦AB 中点，即1C M AB ⊥，所以11C M AB k k =-，即13y y x x =--，所以线段AB 的中点M 的轨迹的方程为223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…； （3）由（2）知点M 的轨迹是以3,02C ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，32r =为半径的部分圆弧EF （不包括两端点），且53E ⎛ ⎝⎭，5,3F ⎛⎝⎭．又直线():4l y k x =-过定点()4,0D ， 当直线l 与圆C32=得34k =±．又05743DEDFkk ⎛- ⎝⎭=-=-=-3325,,44k ⎡⎧⎫∈--⎨⎬⎢⎩⎭⎣⎦时， 直线():4l y k x =-与曲线C 只有一个交点．11．（2015四川理10）设直线l 与抛物线24y x =相交于,A B 两点，与圆C ：()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ）.A. ()1,3B. ()1,4C. ()2,3D. ()2,411. 解析 设直线l 的方程为x ty m =+，代入抛物线方程得2440y ty m --=， 则216160t m ∆=+>.又中点()22,2Mtm t +，则1MC l k k ⋅=-，即232m t =-.代入21616tm ∆=+，可得230t ->，即203t <<. 又由圆心到直线的距离等于半径，可得2d r ====由203t <<，可得()2,4r ∈.故选D.12.（2015重庆理8）已知直线()10l x ay a +-=∈R ：是圆22:4210C x y x y +--+=的 对称轴.过点()4,A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB =（）. A. 2 B.C.6D. 12. 解析 易知圆的标准方程()()22:214C x y -+-=，圆心O 为()2,1.又因为直线01:=-+ay x l 是圆的对称轴，则该直线一定经过圆心，得知1a =-，(4,1)A --．又因为AB 直线与圆相切，则OAB △为直角三角形,OA ==2=OB ,622=-=OB OA AB ．13.（2016全国甲理4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =( ). A.43-B.34-D.2 13.A 解析 将圆2228130x y x y +--+=化为标准方程为：()()22144x y -+-=，故圆心为()14，，所以1d ==，解得43a =-.故选A ．题型109 直线与圆的相交关系及其应用1.（2013江西理9）过点引直线l 与曲线y =A ，B 两点，O 为坐标原点，当AOB △的面积取最大值时，直线l 的斜率等于（ ）.AB ．C ．D ．2.（2014 重庆理 13）已知直线20ax y +-=与圆心为C 的圆()()2214x y a -+-=相交于,A B 两点，且ABC △为等边三角形，则实数a =_________.3.（2014 江苏理 9）在平面直角坐标系xOy 中，直线230x y +-=被圆()()22214x y -++=截得的弦长为 ．4.（2016北京理11）在极坐标系中，直线cos sin 10ρθθ-=与圆2cos ρθ=交于,A B 两点， 则 AB =_______.4.2解析 解法一：在平面直角坐标系中，题中的直线圆的方程分别是10x -=，222x y x +=.可得,A B 两点的坐标(,)x y ，即为方程组221(1)1x x y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩的解， 用代入法可求得,A B两点的坐标分别为111,12222⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以由两点的距离公式可求得2AB =.解法二：直线的直角坐标方程为10x -=，圆的直角坐标方程为22(1)1x y -+=.圆心()1,0在直线上，因此AB 为圆的直径，所以2AB =.5.（2016全国丙理14）在[1,1]-上随机地取一个数k ，则事件”直线y kx =与圆22(5)9x y -+=相交”发生的概率为 .5.34解析 首先k 的取值空间的长度为2，由直线kx y =与圆22(5)9x y -+=相交，所以3<，解得3344k -剟，所以得事件发生时k 的取值空间为33,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，其长度为23，利用几何概型可知，所求概率为43=223. 6.（2016全国丙理16）已知直线:30l mx y m ++=与圆2212x y +=交于A ，B 两点，过A ，B 分别做l 的垂线与x 轴交于C ，D两点，若AB =，则CD =__________.6.4 解析 解法一：根据直线与圆相交弦长公式有AB =得223r d -=，又212r =，得3d =.因此圆心()0,0O 到直线l：30mx y m ++=的距离3d ==，解得m = 因此直线l的方程为y x =+所以直线l 的倾斜角为30.如图所示，过点C 作CE BD ⊥于点E ，则4cos30cos303CE AB CD ====. 解法二：直线l ：30mxy m ++=，知直线l过定点(A ，又ABr =，所以OAB△为等边三角形,因为(A ，所以30AOC ∠=,又知60AOB ∠=,所以点B在y 轴上（直线l 的斜率存在）.所以得直线l 的倾斜角为30，则4cos30cos303CE AB CD ====. 题型110 直线与圆相切、相离关系及其应用——暂无1. （2013山东理9）过点()3,1作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（ ）.A. 230x y +-=B. 230x y --=C. 430x y --=D. 430x y +-=2.（2013江苏17）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l .设圆C 的半径为1，圆心在l 上.（1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；（2）若圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.3.（2014 江西理 9）在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（ ）. A.45πB.34πC.(6-πD.54π 4.（2014 大纲理 15）直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为()1,3，则1l 与2l 的夹角的正切值等于 .题型111 直线与圆的综合1.（2014 新课标2理16）设点()0,1M x ，若在圆O ：221x y +=上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是 .2.（2014 湖北理 12）直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相 等的四段弧，则22a b +=________.3．（2016江苏18）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆22:1214600M x y x y +--+=及其上一点()2,4A .（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x=上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =，求直线l 的方程；（3）设点(),0T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA TP TQ +=，求实数t 的取值范围．3.解析 （1）因为N 在直线6x =上，设()6,N n ，因为与x 轴相切，则圆N 为()()2226x y n n -+-=，0n >.又圆N 与圆M 外切，圆()()22:6725M x y -+-=，则75n n -=+，解得1n =，即圆N 的标准方程为()()22611x y -+-=.（2）由题意得OA =2OA k =，设:2l y x b =+，则圆心M 到直线l的距离d =，则BC ===5b =或15b =-，即:25l y x =+或215y x =-.（3）解法一：不妨设()11,P x y ，()22,Q x y ，又因为()2,4A ，(),0T t ，由TA TP TQ +=，所以212124x x ty y =+-⎧⎨=+⎩，因为点Q 在圆M 上，因此满足()()22226725x y -+-=，故有()()22114325x t y --+-=，又点P 在圆M 上，故点P 既在圆()()224325x t y --+-=上，也在圆()()226725x y -+-=上，所以只需两圆有公共点即可，所以5555-+，解得22t -+t 的取值范围为2⎡-+⎣．评注 对于第（3）问，尝试将向量进行组合运算可以得到．解法二：TA TP TQ +=，即TA TQ TP PQ =-=.则有必要条件TA PQ =.因为(TAt =，又10PQ …10，解得2t ⎡∈-+⎣.下论证充分性，即存在两点可使TA PQ =.对于任意2t ⎡∈-+⎣，欲使TA PQ =，此时10TA …，只需要作直线TA 2TA ，必然与圆交于,P Q 两点，此时TA PQ =，且有TA PQ =，因此对于任意2t ⎡∈-+⎣，均满足题意，综上实数t 的取值范围为2⎡-+⎣.4.（2017江苏13）在平面直角坐标系xOy 中，点()12,0A -，()0,6B ，点P 在圆22:50O x y +=上．若20PA PB ⋅…，则点P 的横坐标的取值范围是 ．4.解析 不妨设()00,P x y ，则220050x y +=，且易知0x ⎡∈-⎣．因为PA PB AP BP =⋅⋅()()000012,,6x y x y =+⋅-=220000126x x y y ++-005012620x y =+-…，故00250x y -+…．所以点()00,P x y 在圆22:50O x y +=上，且在直线250x y -+=的左上方（含直线）.联立2250250x y x y ⎧+=⎨-+=⎩，得15x =-，21x =，如图所示，结合图形知0x ⎡⎤∈-⎣⎦．故填⎡⎤-⎣⎦．2评注 也可以理解为点P 在圆22000012620x y x y +=+-的内部来解决，与解析中的方法一致． 5．（2107全国3卷理科20）已知抛物线22C y x =：，过点()20，的直线l 交C 与A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．（1）求证：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点()42P -，，求直线l 与圆M 的方程． 5．解析 （1）显然当直线斜率为0时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．设:2l x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立222y x x my ⎧=⎨=+⎩，得2240y my --=， 2416m ∆=+恒大于0，122y y m +=，124y y =-．1212OA OB x x y y ⋅=+u u r u u u r 1212(2)(2)my my y y =+++21212(1)2()4m y y m y y =++++=24(1)2240m m m -++⋅+=，所以OA OB ⊥uu r uu u r ，即点O 在圆M 上．（2）若圆M 过点P ，则0AP BP ⋅=uu u r uu r ，即1212(4)(4)(2)(2)0x x y y --+++=，即1212(2)(2)(2)(2)0my my y y --+++=，即21212(1)(22)()80m y y m y y +--++=，化简得2210m m --=，解得12m =-或1. ①当12m =-时，:240l x y +-=，设圆心为00(,)Q x y ， 则120122y y y +==-，0019224x y =-+=，半径||r OQ ==， 则圆229185:4216M x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ②当1m =时，:20l x y --=，设圆心为00(,)Q x y ，12012y y y +==，0023x y =+=，半径r OQ =22:(3)(1)10M x y -+-=.题型112 圆与圆的位置关系及其应用——暂无 1. (2013重庆理7）已知圆()()221:231C x y -+-=，圆()()222:349C x y -+-=， M N ，分别是圆12C C ，上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值为 （ ）.A. 4B. 1C. 6-D.。

第八章 直线与圆一、选择题1. 【2015高考广东，理5】平行于直线012=++y x 且与圆522=+y x 相切的直线的方程是（ ）A ．052=+-y x 或052=--y x B. 052=++y x 或052=-+y x C. 052=+-y x 或052=--y x D. 052=++y x 或052=-+y x 【答案】D ．【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，利用点到直线距离求直线的方程及转化与化归思想的应用和运算求解能力，根据题意可设所求直线方程为20x y c ++=，然后可用代数方法即联立直线与圆的方程有且只有一解求得，也可以利用几何法转化为圆心与直线的距离等于半径求得，属于容易题．2. 【 2013湖南8】在等腰三角形ABC 中，=4AB AC =，点P 是边AB 上异于,A B 的一点，光线从点P 出发，经,BC CA 发射后又回到原点P （如图1）.若光线QR 经过ABC ∆的中心，则AP 等于（ ） A ．2 B ．1 C ．83 D ．43【答案】 D【解析】 使用解析法。

).34,34(32).2,2(),0,(O O ABC D BC x P ∴∆处，在中线的的重心的中点设))1(3)12(4,)1(3)2(4()),1(34,0(34)34(,++++-⇒+-=k k k k Q k R x k y k RQ 则其方程为的斜率为设直线,0)1)(12(1,0,)1(3)2(4)12(4,3)1(4=--⇒=⋅=++-++=-=k k k k k k k x k k k k k QP RP QP RP 由题知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==⇒3421(01x k x k ，舍） 选D【考点定位】直线与方程【名师点睛】本题考查直线与点的对称问题，涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用，解决问题的关键是根据光的反射原理正确计算对称点坐标，利用对称性得到直线斜率之间的关系解决问题即可.3. 【2013山东，理9】过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )．A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0 【答案】：A【名师点睛】本题考查直线与圆的位置关系、直线方程.此类问题的基本解法有 “几何法”和 “代数法”，涉及切线问题，往往利用圆心到直线的距离等于圆的半径建方程求解. 本题是一道能力题，在考查查直线与圆的位置关系、直线方程等基础知识的同时，考查考生的计算能力、逻辑思维能力及数形结合思想.是一道常见题型，故考生易于正确解答. 4. 【2015高考山东，理9】一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）（A ）53-或35- （B ）32- 或23- （C ）54-或45- （D ）43-或34-【答案】D【解析】由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点()2,3- ，设反射光线所在直线的斜率为k ，则反身光线所在直线方程为：()32y k x +=- ，即：230kx y k ---=. 又因为光线与圆相切，()()22321x y ++-=1= ,整理：21225120k k ++= ，解得：43k =-，或34k =- ,故选D ． 【考点定位】1、圆的标准方程；2、直线的方程；3、直线与圆的位置关系.【名师点睛】本题考查了圆与直线的方程的基础知识，重点考查利用对称性解决直线方程的有关问题以及直线与圆的位置关系的判断，意在考查学生对直线与直线、直线与圆的位置关系的理解与把握以及学生的运算求解能力.5.【2015高考新课标2，理7】过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =( )A ．26B ．8C ．46D ．10 【答案】C【名师点睛】本题考查三角形的外接圆方程，要注意边之间斜率的关系，得出ABC ∆是直角三角形，可以简洁快速地求出外接圆方程，进而求弦MN 的长，属于中档题． 6. 【2013高考重庆理第7题】已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )． A．4 B1C．6-【答案】A【名师点睛】本题考查了圆的对称圆的方程的求法，两个圆的位置关系，两点距离公式的应用，考查转化思想与计算能力，属于中档题．7. 【2015高考重庆，理8】已知直线l ：x +ay -1=0（a ∈R ）是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴.过点A （-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |= （ ） A 、2 B、、6 D、 【答案】C【名师点晴】首先圆是一个对称图形，它关于圆心成中心对称，关于每一条直径所在直线都是它的对称轴，当然其对称轴一定过圆心，其次直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系，判断方法可用几何与代数两种方法研究，圆的切线长我们用勾股定理求解，设圆外一点P 到圆的距离为d ，圆的半径为r ，则由点P所作切线的长l =8. 【2013，安徽理8】函数=()y f x 的图像如图所示，在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥个不同的数12,...,,n x x x 使得1212()()()==,n nf x f x f x x x x 则n 的取值范围是 （ ）A ．{}3,4B ．{}2,3,4C ． {}3,4,5D ．{}2,3【答案】B ．【易错警示】不理解代数式的几何意义，不能对问题进行等价转化是常见错误．【名师点睛】数形结合思想在高考中经常用到，常分为“以形助数”和“以数助形”，本题主要用到“以形助数”的思想，通过数与形之间的对应关系（()f x x的几何意义是曲线上点()(),x f x 与原点连线的斜率），通过把数转化为形，通过对形的研究解决数的问题、或获得解决数的问题解决思路去解决数学问题的思想.9.【2013天津，理5】已知双曲线2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p＞0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 则p ＝( )． A ．1 B ．32C ．2D ．3 【答案】C【名师点睛】本题考查抛物线与双曲线的几何性质，重点考查双曲线的渐近线方程及抛物线的准线方程，本题属于基础题， 正确利用双曲线线的渐进线与抛物线的准线相交，求出交点的坐标，利用面积公式列方程求出P ，这样的题目在高考试题中很常见，要灵活应用圆锥曲线的几何性质解题.10. 【2014天津，理5】已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）（A ）221520x y -= （B ）221205x y -= （C ）2233125100x y -= （D ）2233110025x y -=【答案】A ． 【解析】【名师点睛】本题考查抛物线与双曲线的几何性质，重点考查待定系数法求双曲线的方程，本题属于基础题， 正确利用双曲线线的渐进线与直线l 平行，斜率相等，列出,a b 的一个关系式，直线l 与x 轴交点为双曲线的一个焦点，求出c ，借助222a b c +=，联立方程组，求出,a b ，即可.待定系数法求双曲线的标准方程时，注意利用题目的已知条件，布列关于,,a b c 的方程，还要借助22a b +2c =，正确解出,a b 的值.11. 【2015高考天津，理6】已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>> 的一条渐近线过点(，且双曲线的一个焦点在抛物线2y= 的准线上，则双曲线的方程为( )（A ）2212128x y -= （B ）2212821x y -=（C ）22134x y -=（D ）22143x y -= 【答案】D【名师点睛】本题主要考查双曲线的定义、标准方程及几何性质，同时也学生的考查运算能.把双曲线的几何性质与抛物线的几何性质相结合，找出双曲线中,,a b c 的关系，求出双曲线方程，体现圆锥曲线的统一性.是中档.12. 【2014福建,理6】直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“OAB ∆的面积为12”的（ ） .A 充分而不必要条件 .B 必要而不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分又不必要条件【答案】A【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、三角形的面积及充分条件与必要条件等基础知识，意在考查转化划归能力及运算能力，充分条件与必要条件多以客观题形式出现.相关结论是：若p q ⇒ ,则p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件.13. 【2014福建,理9】设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是（ ）A.25B.246+C.27+D.26 【答案】D【名师点睛】本题主要考查圆与椭圆的基础知识，及划归思想.本题解法的关键是把两点间的最大距离转化为圆心到椭圆上的点的最大距离再加上圆的半径，注意与圆锥曲线有关的试题，一般运算量比较大，要注意运算的准确性. 二、填空题1.【2014江苏，理9】在平面直角坐标系xoy 中，直线230x y +-=被22(2)(1)4x y -++=圆截得的弦长为 .【名师点晴】求圆的弦长的常用方法(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＝r 2－d 2.(2)代数方法：运用韦达定理及弦长公式：|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋k 2[ x 1＋x 2 2－4x 1x 2].注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题．2. 【2015江苏高考，10】在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为【答案】22(1) 2.x y -+=【名师点晴】利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题．当半径表示为关于m 的函数后，利用基本不等式求最值，需注意一正二定三相等的条件. 3. 【2015高考陕西，理15】设曲线xy e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为 ．【答案】()1,1【考点定位】1、导数的几何意义；2、两条直线的位置关系．【名师点晴】本题主要考查的是导数的几何意义和两条直线的位置关系，属于容易题．解题时一定要注意考虑直线的斜率是否存在，否则很容易出现错误．解导数的几何意义问题时一定要抓住切点的三重作用：①切点在曲线上；②切点在切线上；③切点处的导数值等于切线的斜率．4. 【2014高考陕西版文第12题】若圆C 的半径为1，其圆心与点)0,1(关于直线x y =对称，则圆C 的标准方程为_______. 【答案】22(1)1x y +-=【名师点晴】本题主要考查的是圆的标准方程，点关于直线的对称，，属于容易题．解题时利用对称性求出圆心坐标，就可以写出圆的标准方程．5. 【2014新课标，理16】设点M （0x ,1），若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得∠OMN=45°，则0x 的取值范围是________. 【答案】[1,1]-【解析】由题意知：直线MN 与圆O 有公共点即可，即圆心O 到直线MN 的距离小于等于1即可，如图，过OA ⊥MN ，垂足为A ，在R t O M ∆中，因为∠OMN=45，所以||||sin 45OA OM =o =||12OM ≤，解得||OM ≤因为点M （0x ,1），所以||OM =≤解得011x -≤≤，故0x 的取值范围是[1,1]-.【考点定位】直线与圆的位置关系【名师点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．6. 【2014四川，理14】设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB ⋅的最大值是 .【答案】【考点定位】1、直线与圆；2、重要不等式.【名师点睛】利用基本不等式求最值时，要注意“一正，二定，三相等”.7.【2014高考重庆理第13题】已知直线02=-+y ax 与圆心为C 的圆()()4122=-+-a y x 相交于B A ，两点，且ABC ∆为等边三角形，则实数=a _________.【答案】4【解析】试题分析：由题设圆心到直线20ax y --==解得：4a =所以答案应填：4.考点：1、直线与圆的位置关系；2、点到直线的距离公式.【名师点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，等边三角形的性质，本题属于基础题，注意仔细分析题目条件，将等边三角形这一条件等价转化为圆心到直线的距离是非常关键的.8.【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷12】直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b += .【答案】2【名师点睛】本题考查直线与圆的位置关系，夯实基础，注重基础知识的运用，充分体现了数形结合的数学思想在数学问题中的应用，能较好的考查学生动手作图能力、基本知识的识记能力和灵活运用能力，锻炼学生的严密地逻辑推理能力.9. 【2015高考湖北，理14】如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上方）， 且2AB =． （Ⅰ）圆C 的标准．．方程为 ； （Ⅱ）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论：①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=； ③NB MA NAMB+=其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）【答案】（Ⅰ）22(1)(2x y -+=；（Ⅱ）①②③【考点定位】圆的标准方程，直线与圆的位置关系.【名师点睛】用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略. 常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等． 三、解答题1. 【2015高考广东，理20】已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ．（1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ，使得直线:(4)L y k x =-与曲线C 只有一个交点：若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）()3,0；（2）223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）33,44k ⎡⎧⎫∈-⎨⎬⎢⎩⎭⎣⎦ ．（3）由（2）知点M 的轨迹是以3,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心32r =为半径的部分圆弧EF （如下图所示，不包括两端点），且5,33E ⎛ ⎝⎭，5,33F ⎛- ⎝⎭，又直线L ：()4y k x =-过定点()4,0D ，当直线L 与圆C 相切时，由32=得34k =±，又043DE DFk k ⎛- ⎝⎭=-=-=-，结合上图可知当33,44k ⎡⎧⎫∈-⎨⎬⎢⎩⎭⎣⎦ 时，直线L ：()4y k x =-与曲线C 只有一个交点．【考点定位】圆的标准方程、轨迹方程、直线斜率等知识与数形结合思想等应用．【名师点睛】本题主要考查圆的普通方程化为标准方程、轨迹方程、直线斜率等知识，转化与化归，数形结合思想和运算求解能力，属于中高档题，本题（1）（2）问相对简单，但第（2）问需注意取值范围（533x <≤），对于第（3）问如果能运用数形结合把曲线C 与直线L 的图形画出求解则可轻易突破难点．2. 【2013江苏，理17】如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上.(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围. 【答案】(1) y ＝3或3x ＋4y －12＝0.；(2) 120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以点C 的横坐标a 的取值范围为120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【考点定位】本小题主要考查直线与圆的方程，考查直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系，等基础知识，考查运用数形结合、待定系数法等数学思想方法分析解决问题的能力. 【名师点晴】1．圆的切线问题(1)过圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2；(2)过圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外一点M (x 0，y 0)引切线，有两条，求方程的方法是待定系数法，圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题． 2．两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．3. 【2013课标全国Ⅰ，理20】(本小题满分12分)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C . (1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.当k y x =22=143x y +，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝47-±.所以|AB |2118|7x x -=.当4k =时，由图形的对称性可知|AB |＝187.综上，|AB |＝|AB |＝187. 【名师点睛】本题考查椭圆的定义、弦长公式、直线的方程，考查考生的运算能力、化简能力以及数形结合的能力.4.【2013天津，理18】设椭圆2222=1x y a b +(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，离心率为3，过点F且与x (1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC ·DB ＋AD ·CB＝8，求k 的值．【答案】（Ⅰ）22=132x y +；（Ⅱ）(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1,0)得直线CD 的方程为y ＝k(x ＋1)，由方程组221,132y k x x y =(+)⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x ＋3k2－6＝0.求解可得x1＋x2＝22623k k -+，x1x2＝223623k k-+. 因为A(0)，0)， 所以AC ·DB ＋AD ·CB＝(x1x2，－y2)＋(x2x1，－y1) ＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1) ＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2＝22212623k k+++. 由已知得22212623k k +++＝8，解得k＝考点定位：本题考点为直线与圆锥曲线相关知识【名师点睛】本题考查待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆有关知识，属于中偏难题目，解决直线与圆锥曲线问题，首先要求学生要学会设而不求的解题思想，先设出直线方程，设出直线与椭圆的交点，把直线方程和椭圆方程联立方程组，消元后，借助一元二次方程的根与系数关系，通过12121212,,,x x x x y y y y ++的关系及题目的要求解题.直线与圆锥曲线问题为每年高考必考问题，也是备考重点.5. 【2014天津，理18】设椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点为12,F F ，右顶点为A ，上顶点为B．已知12AB F =． （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点1F ，经过原点O 的直线l 与该圆相切，求直线l 的斜率．【答案】（Ⅰ）e =；（Ⅱ）直线l的斜率为4+或4-．【解析】由①和②可得200340x cx +=．而点P 不是椭圆的顶点，故043c x =-，代入①得03cy =，即点P 的坐标为4,33c c 骣÷ç-÷ç÷ç桫．设圆的圆心为()11,T x y ，则142323c x c -+==-，12323c cy c +==，进而圆的半径r ==．设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y kx =．由l r ，即，整理得2810k k -+=，解得4k =?．∴直线l的斜率为4+或4-考点：1．椭圆的标准方程和几何性质；2．直线和圆的方程；3．直线和圆的位置关系． 【名师点睛】本题考查求离心率和待定系数法求椭圆方程，属于中偏难题目，解决直线与圆锥曲线问题，首先求离心率就是根据题目所给条件列出一个关于,,a b c 的等式，就能求出离心率;其次解决直线与圆锥曲线问题，要求学生要学会设而不求的解题思想，先设出直线方程，设出直线与椭圆的交点，把直线方程和椭圆方程联立方程组，消元后，简单方程直接求解，而大多借助一元二次方程的根与系数关系，通过12121212,,,x x x x y y y y ++的关系及题目的要求解题.直线与圆锥曲线问题为每年高考必考问题，也是备考重点.6. 【2015高考天津，理19】（本小题满分14分）已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b>>的左焦点为(,0)F c -,M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆422+4b x y =截得的线段的长为c，|FM|=3. (I)求直线FM 的斜率； (II)求椭圆的方程；(III)设动点P 在椭圆上，若直线FPOP （O 为原点）的斜率的取值范围.【答案】(I) 3； (II) 22132x y += ；(III) ,333⎛⎛-∞- ⎝⎭⎝⎭ .(III)设点P 的坐标为(,)x y ，直线FP 的斜率为t ，得1y t x =+，即(1)y t x =+(1)x ≠-,与椭圆方程联立22(1)132y t x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得22223(1)6x t x ++=，又由已知，得t => 312x -<<-或10x -<<， 设直线OP 的斜率为m ，得y m x =，即(0)y mx x =≠，与椭圆方程联立，整理可得22223m x =-. ①当3,12x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，有(1)0y t x =+<，因此0m >，于是m =m ∈⎝⎭ ②当()1,0x ∈-时，有(1)0y t x =+>，因此0m <，于是m =,m ⎛∈-∞ ⎝⎭综上，直线OP 的斜率的取值范围是,⎛-∞ ⎝⎭⎝⎭【考点定位】1.椭圆的标准方程和几何性质；2.直线和圆的位置关系；3.一元二次不等式.【名师点睛】本题主要考查椭圆的定义、标准方程及几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系.由勾股定理求圆的弦长，体现数学数形结合的重要数学思想；用数字来刻画几何图形的特征，是解析几何的精髓，联立方程组，求出椭圆中参数的关系，进一步得到椭圆方程；构造函数求斜率取值范围，体现函数在解决实际问题中的重要作用，是拨高题.。

北京市各地市2013年高考数学 最新联考试题分类汇编（9）直线与圆一、选择题:（5）(北京市朝阳区2013年4月高三第一次综合练习文)若直线y x m =+与圆22420x y x +++=有两个不同的公共点，则实数m 的取值范围是A ．(22,22B ．()4,0-C ．(22,22--- D . ()0,4【答案】D（2）(北京市东城区2013年4月高三综合练习一文）“1a =”是“直线20x y +=与直线(1)40x a y +++=平行”的（A ） 充分不必要条件 （B ） 必要不充分条件 （C ） 充要条件 （D ） 既不充分也不必要条件 【答案】C8．（北京市丰台区2013年高三第二学期统一练习一理）动圆C 经过点F(1,0)，并且与直线x=-1相切，若动圆C 与直线221y x =+总有公共点，则圆C 的面积(A) 有最大值8π (B) 有最小值2π (C) 有最小值3π (D) 有最小值4π 【答案】D（2）（北京市昌平区2013年1月高三期末考试理）“2a =”是“直线214ay ax y x =-+=-与垂直”的A. 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】若直线214a y ax y x =-+=-与垂直，则有=14aa -⨯-，即24a =，所以2a =±。

所以“2a =”是 “直线214ay ax y x =-+=-与垂直”的充分不必要条件，选A.二、填空题:（14）(北京市朝阳区2013年4月高三第一次综合练习文理)在平面直角坐标系xOy 中，点A 是半圆2240x x y -+=（2≤x ≤4）上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上．当20OA OC ⋅=u u u r u u u r时，则点C 的纵坐标的取值范围是 ．【答案】[]5,5-11.（北京市丰台区2013年高三第二学期统一练习一文）直线x-3y+2=0被圆224x y +=截得的弦长为_________。

考点28 直线与圆【考点分类】热点一 直线的方程与位置关系1.【2013年普通高等学校统一考试试题新课标Ⅱ数学（理）卷】已知点A （-1，0）；B （1，0），C （0，1），直线y=ax+b(a>0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( ) （A ）（0，1） (B)（1-，12） ( C)（1-，1]3(D)[13,12）2.【2013年全国高考统一考试天津数学（文）卷】 已知过点P (2,2) 的直线与圆225(1)x y +=-相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a =（ ）(A) 12- (B) 1 (C) 2 (D) 123.【2013年高考新课标Ⅱ数学（文）卷】 设抛物线C:y 2=4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A, B 两点.若|AF|=3|BF|，则l 的方程为（ ）（A ） y=x-1或y=-x+1 （B ）X-1）或y=x-1）（C ）x-1）或y=x-1） （D ）y=2（x-1）或y=2-（x-1）A ．2B ．1C ．83 D ．435.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理】过点()3,1作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 的方程为 A.032=-+y xB.032=--y xC.034=--y xD.034=-+y x6.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）文科】在平面直角坐标系内，到点(1,2)A ，(1,5)B ，(3,6)C ，(7,1)D -的距离之和最小的点的坐标是_______.7.【2013年普通高等学校统一考试江苏数学试题】在平面直角坐标系xoy 中，设定点(,)A a a ，P 是函数1(0)y x x=>图象上一动点. 若点P ，A 之间的最短距离为a 的所有值为 .8.（2012年高考辽宁卷文科7）将圆x 2+y 2 -2x-4y+1=0平分的直线是( ) （A ）x+y-1=0 （B ） x+y+3=0 （C ）x-y+1=0 （D ）x-y+3=09.(2012年高考浙江卷理科3)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10.(2012年高考湖北卷文科5)过点P （1,1）的直线，将圆形区域{（x ，y ）|x 2+y 2≤4}分两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为 ( )A.x+y-2=0B.y-1=0C.x-y=0D.x+3y-4=0【方法总结】(1)充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1和l 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．(2)①若直线l 1和l 2有斜截式方程l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则：直线l 1⊥l 2的充要条件是k 1·k 2＝－1.②设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.则：l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.热点二 圆的方程和性质11.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科】若圆C 经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C 的方程是 .12.(2012年高考山东卷文科9)圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为( )(A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)相离13.(2012年高考新课标全国卷理科20)（本小题满分12分）设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A C ∈，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点；（1）若090=∠BFD ，ABD ∆的面积为24；求p 的值及圆F 的方程；（2）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到,m n 距离的比值.【方法总结】1．利用圆的几何性质求方程：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． 2．利用待定系数法求圆的方程：(1)若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；(2)若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程 组，从而求出D ，E ，F 的值.热点三 直线与圆的位置关系14.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）文科】垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是（ ）A ．0x y +=B ．10x y ++=C ．10x y +-=D ．0x y ++=15.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷) 文科】 已知点(,)M a b 在圆221:O x y +=外, 则直线1ax by +=与圆O 的位置关系是（ ）(A) 相切(B) 相交(C) 相离(D) 不确定16.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理】过点（，0）引直线ι与曲线y =交于A,B两点 ，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线ι的斜率等于（ ）A. B.- C. D-17.(2012年高考广东卷文科8)在平面直角坐标系xOy 中，直线3x+4y-5=0与圆x ²+y ²=4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于( )A. B. D.118. (2012年高考天津卷理科8)设m ，n R ∈，若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，则+m n 的取值范围是( )（A ）[1- （Ｂ）(,1[1+3,+)-∞-∞（Ｃ）[2- （Ｄ）(,2[2+22,+)-∞-∞19.(2012年高考陕西卷理科4)已知圆22:40C x y x +-=，l 过点(3,0)P 的直线，则（ ）（A ）l 与C 相交 （B ） l 与C 相切 （C ）l 与C 相离 （D ） 以上三个选项均有可能20.(2012年高考重庆卷理科3)对任意的实数k ，直线y=kx+1与圆222=+y x 的位置关系一定是( ) A.相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心21.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）文科】已知圆O ：225x y +=，直线l ： cos sin 1x y θθ+=（π02θ<<）.设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k = . 22.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科】过点(3，1)作圆22(2)(2)4x y -+-=的弦， 其中最短的弦长为__________.23.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）文科】直线23y x =+被圆22680x y x y +--=所截得的弦长等于__________.24.(2012年高考江西卷文科14)过直线x+y-=0上点P 作圆x 2+y 2=1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是__________.25. (2012年高考天津卷文科12)设,m n R ∈,若直线:10l mx ny +-=与x 轴相交于点A,与y 轴相交于B ，且l 与圆224x y +=相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则AOB ∆面积的最小值为 .26. （2012年高考江苏卷12）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y k x =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ．27.(2012年高考浙江卷理科16)定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于C 2：x 2＋(y ＋4) 2 ＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝______________． 28.【2013年普通高等学校统一考试江苏数学试题】如图，在平面直角坐标系xoy 中，点(0,3)A ，直线:24l y x =-，设圆C 的半径为1， 圆心在l 上.（1）若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线方程；（2）若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.原点.直线:l y kx =与圆C 交于M 、N 两点. （Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）设(,)Q m n 是线段MN 上的点，且222211||||||OQ OM ON =+.请将n 表示为m 的函数. 【方法总结】1.判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法(1)代数法：――――――→判别式Δ＝b 2－4ac ⎩⎨⎧>0⇔相交，＝0⇔相切，<0⇔相离.(2)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系：d <r ⇔相交，d ＝r ⇔相切，d >r ⇔相离.2．圆的弦长的常用求法(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则(l2)2＝r 2－d 2 (2)代数方法：运用韦达定理及弦长公式： |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2].注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题．3．求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上．然后设出切线方程，用待定系数法求解．注意斜率不存在情形.【考点剖析】一．明确要求1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．2.会求两直线的交点坐标．3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.4.掌握圆的标准方程和一般方程．5.能判断直线与圆、圆与圆的位置关系．6.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．二．命题方向1.两条直线的平行与垂直，点到直线的距离，两点间距离是命题的热点．对于距离问题多融入解答题中，注重考查分类讨论与数形结合思想．题型多为客观题，难度中低档.2.求圆的方程或已知圆的方程求圆心坐标，半径是高考的热点，多与直线相结合命题，着重考查待定系数法求圆的方程，同时注意方程思想和数形结合思想的运用．多以选择题、填空题的形式出现，属中、低档题.3.直线与圆的位置关系，特别是直线与圆相切一直是高考考查的重点和热点．多以选择题和填空题的形式出现，有时也出现在综合性较强的解答题中.三．规律总结一条规律与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)平行、垂直的直线方程的设法：一般地，平行的直线方程设为Ax ＋By ＋m ＝0；垂直的直线方程设为Bx －Ay ＋n ＝0. 两个防范(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑． (2)在运用两平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2时，一定要注意将两方程中的x ，y 系数化为分别相等． 三种对称(1)点关于点的对称点P (x 0，y 0)关于A (a ，b )的对称点为P ′(2a －x 0,2b －y 0)． (2)点关于直线的对称设点P (x 0，y 0)关于直线y ＝kx ＋b 的对称点P ′(x ′，y ′)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧y ′－y 0x ′－x 0·k ＝－1，y ′＋y 02＝k ·x ′＋x 02＋b ，可求出x ′，y ′.(3)直线关于直线的对称①若已知直线l1与对称轴l相交，则交点必在与l1对称的直线l2上，然后再求出l1上任一个已知点P1关于对称轴l对称的点P2，那么经过交点及点P2的直线就是l2；②若已知直线l1与对称轴l平行，则与l1对称的直线和l1分别到直线l的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离即可求出l1的对称直线．一种方法确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．两个防范(1)求圆的方程需要三个独立条件，所以不论设哪一种圆的方程都要列出关于系数的三个独立方程．(2)过圆外一定点求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况．三个性质确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．一条规律过圆外一点M可以作两条直线与圆相切，其直线方程可用待定系数法，再利用圆心到切线的距离等于半径列出关系式求出切线的斜率即可．一个指导直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的，“代数法”侧重于“数”，更多倾向于“坐标”与“方程”；而“几何法”则侧重于“形”，利用了图形的性质．解题时应根据具体条件选取合适的方法．两种方法计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．(2)代数方法运用根与系数关系及弦长公式 |AB |＝1＋k 2|x A －x B | ＝(1＋k 2)[(x A ＋x B )2－4x A x B ].说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．【考点模拟】一．扎实基础1.【湖北省黄冈市黄冈中学2013届高三五月第二次模拟考试】 “错误！未找到引用源。

2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 直线与圆（精解精析）一、选择题1．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为( )A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=【答案】D【解析】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点M 到直线l的距离为2d ==>，所以直线l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以14442PAMPM AB SPA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=，而PA =当直线MP l ⊥时，min MP =，min 1PA =，此时PM AB ⋅最小．∴()1:112MP y x -=-即1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得，10x y =-⎧⎨=⎩． 所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即2210x y y +--=， 两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程． 故选：D ．【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．2．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为 ( )ABCD【答案】B解析：由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=．由题意可得()()22221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =， 所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心到直线的距离均为121132555d ⨯--==； 圆心到直线的距离均为225532555d ⨯--==圆心到直线230x y --=的距离均为5d ==；所以，圆心到直线230x y --=． 故选：B ．【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题． 3．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是 ( )A ．[]2,6B ．[]4,8C ．D ．⎡⎣【答案】A解法一：由直线20x y ++=易知()2,0A -，()0,2B -，故AB ==圆()2222x y -+=的圆心()2,0到直线20x y ++==r =所以点P 到直线20x y ++=的距离d 的取值范围为⎡⎣即所以[]112,622ABP S AB d =⨯⨯=⨯=∈△，故选A ．解法二：设(),P x y ，则点P 到直线AB 的距离d =令2t x y =++，则2y x t =-+代入圆的方程整理得：2222460x tx t t -+-+=利用方程有解条件，则有026t ∆≥⇒≤≤AB =[]12,62PAB PAB S AB d S ∆∆=⋅∴∈ 注：此处也可利用线性规划寻求t 的范围 解法三：利用三角换元设()2P θθ，则d ==[]142sin 2,624PABS πθ∆⎛⎫∴=⨯=++∈ ⎪⎝⎭ 解法四：利用面积公式的坐标形式设(),P x y 则()()2,,,2PA x y PB x y =---=---()()()()12222PAB S x y y x x y ∆=-------=++ 下同解法二注：①当然也可把P 点设为三角形式，并且更加简单！②利用面积的向量表达形式,在实际运算中还是要转化为坐标形式才利于操作。

2011年高考试题数学（理科）直线与圆一、选择题:1．(2011年高考江西卷理科9)若曲线1C ：2220x y x +-=与曲线2C ：()0y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是 A ．() B ．(0)∪(0c ．[3-3] D ．(-∞，3-)∪(3，+∞) 答案：B解析：曲线0222=-+x y x 表示以()0,1为圆心，以1为半径的圆，曲线()0=--m mx y y 表示0,0=--=m mx y y 或过定点()0,1-，0=y 与圆有两个交点，故0=--m mx y 也应该与圆有两个交点，由图可以知道，临界情况即是与圆相切的时候，经计算可得，两种相切分别对应3333=-=m m 和，由图可知，m 的取值范围应是⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-33,00,33 2.(2011年高考重庆卷理科8)（8）在圆22260x y x y +--=内，过点()0,1E 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为 （A）（B）（C）（D ）二、填空题:1.(2011年高考安徽卷理科15)在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）. ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点 ③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点④直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线【命题意图】本题考查直线方程、直线过定点、充分必要条件、存在性问题、命题真假的判定，考查学生分析、判断、转化、解决问题能力，此类问题正确的命题要给出证明，错误的要给出反例，此题综合性较强，难度较大.【答案】①③⑤【解析】①正确，设12y =+，当x 是整数时，y 是无理数，（x ，y ）必不是整点.②不正确，设kb =y1)x -过整点（1,0）.③正确，直线l 经过无穷多个整点，则直线l 必然经过两个不同整点，显然成立；反之成立，设直线l 经过两个整点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则l 的方程为211211()()()()x x y y y y x x --=--，令x =121()x k x x +-（k Z ∈），则x ∈Z ，且y =211()k y y y -+也是整数，故l 经过无穷多个整点.④不正确，由③知直线l 经过无穷多个整点的充要条件是直线经过两个不同的整点,设为111(,)P x y ，222(,)P x y ，则l 的方程为211211()()()()x x y y y y x x --=--，∵直线方程为y kx b =+的形式，∴12x x ≠，∴y =2112212121y y y x y x x x x x x --+--， ∴k ，b ∈Q ，反之不成立，如1134y x =+，则334x y =-，若y ∈Z ，则334x y =-∉Z ，即k ，b ∈Q ，得不到y kx b =+经过无穷个整点.⑤正确，直线y1)x -只过整点（1,0）.2.(2011年高考重庆卷理科15)设圆C 位于抛物线22y x =与直线3x =所组成的封闭区域（包含边界）内，则圆C 的半径能取到的最大值为1。

预测角度5有关圆的综台问题1．设P 是圆M ：(x-5)2+(y-5)2=1上的动点，它关于A(9，0)的对称点为Q ，把P 绕原点依逆时针方向旋转90°到点S ，求|SQ|的最值．[解题思路] 运用复数的几何意义求出SQ 的轨迹方程，再求|SQ|的最值．[解答] 设P(x ，y)，则Q(18-x ，-y),记P 点对应的复数为x+yi ，则S 点对应的复数为： (x+yi)·i=-y+xi ，即S(-y ，x)22222222222)9()9(281811818222363618)()18(||++-∙=+++-+∙=+++-+-++=--++-=∴x x y x y x xy y x xy y x y x x y y x SQ其中22)9()9(++-x x 可以看作是点P 到定点 B(9，-9)的距离，其最大值为|MB|+r=253+1最小值为|MB|-r=253-1，则|SQ|的最大值为22106+，|SQ|的最小值为22106-2．已知圆(x+4)2+y 2=25的圆心为M1，圆(x-4)2+y 2=1的圆心为M 2，一动圆与这两个圆都外切． (1)求动圆圆心P 的轨迹方程；(2)若过点M 2的直线与(1)中所求轨迹有两个交点A 、O ，求|AM l |·|BM 1|的取值范围． [解题思路] (1)利用定义法求轨迹；(2)设过M 2的直线斜率为k ，联立方程，求|AM 1|·|BM 1|的取值范围转化为求参数k 的范围．[解答] (1)∵|PM 1|-5=|PM 2|-1，∴|PM 1|- |PM 2|=4∴动圆圆心户的轨迹是以M 1、M 2为焦点的双曲线的右支．c=4，a=2，b 2=12，故所求轨迹方程为112422=-y x (x ≥2)． (2)当过M 2的直线倾斜角不等于2π时，设其斜率为k ，直线方程为了y=k(x-4)，与双曲线3x 2-y 2-12=0联立，消去y 化简得(3-k 2)x 2+8k 2x-16k 2-12=0，又设A (x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，x 1>0，x 2>0由⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧>+-+=∆>-+=>-=+0)34)(3(16640312160382222212221k k k k k x x k k x x 解得k 2>3． 由双曲线左准线方程 x=-1且e=2，有 |AM l |·|BM 1|=e|x 1+1|·e|x 2+1|=4[x 1x 2+(x 1+x 2)+1]=43336100)13831216(22222-+=+-+-+k k k k k∵k 2-3>0，∴|AM 1|×|BM 1|>100又当直线倾斜角等于2π时，A(4，y 1)、B(4，y 2)，|AM 1|= |BM 1|=e(4+1)=10，|AM 1|·|BM 1|=100故 |AM 1|·|BM 1|≥100．考点高分解题综合训练 说明：1～4解析：略1 方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x (λ∈R 且λ≠1)表示的曲线是 ( ) A ．以点M 1(x 1，y 1)、M 2(x 2，y 2)为端点的线段 B ．过点M 1(x 1，y 1)、M 2(x 2，y 2)的直线C ．过点M l (x 1，y 1)、M 2(x 2，y 2)两点的直线，去掉点M 1的部分D ．过点M 1(x 1，y 1)、M 2(x 2，y 2)两点的直线去掉M 2的部分 答案： D2 直线l 经过A(2，1)、B(1，m 2)(m ∈R)两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围是 ( ) A ．[0，π] B ．[0，4π]∪(2π，π)C ．[0，4π] D ．[0，4π]∪[43π，π]答案： B3 曲线y=1+24x -，x ∈[-2,2]与直线y=k(x-2)+4有两个交点时，实数k 的取值范围是 ( )答案： D4 若x 、y 满足x 2+y 2-2x+4y=0，则x-2y 的最大值是 ( )52.10.8.23.D C B A答案： C5 使可行域为⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≤43y x x y xy 的目标函数z=ax+by(ab ≠0)，在x=2，y=2取得最大值的充要条件是( )A ． |a|≤bB ． |a|≤|b| C. |a|≥b D ． |a|≥|b|答案： A 解析：画出可行区域，直线l ：ax+by=0的斜率为-ba，要使目标函数z=ax+by 在x=2，y=2时，取得最大值，必须且只需|-ba|≤1，且直线l 向上平移时，纵截距变大，所以必须且只需|-ba|≤1且 b>0． 6 已知向量a=(2cos α，2sina)，b=(3cos β，3sin β)，a 与b 的夹角为60°，则直线xcos α-ysinα+21=0与圆(x-cos β)2+(y+sin β)2=21的位置关系是 ( )A.相切 B ．相交C ．相离D ．随α,β的值而定 答案： C 解析：略7 当x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤≥020k y x xy x (k 为常数)时，能使z=x+3y 的最大值为12的k 的值为 ( )A ．-9B ．9C ．-12D ．12答案： A 解析：画出线性约束条件所表示的平面区域，，由图可知，目标函数y=-33z x+的图像过直线y=x 与2x+y+k=0的交点时，z 最大，解得交点为(-3k ，-3k)，得z=12，所以选A. 说明：8～11解析：略8 已知点M(-3，0)、N(3，0)、O(1，0)，⊙C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与⊙C 相切的两直线相交于点P ， 则P 点的轨迹方程为 ( ) A ．x 2-82y =1 B ．x 2-82y =1(x>1) C ．x 2+82y =1D ．x 2+102y =1答案： B9 有下列4个命题：①两直线垂直的充要条件是k 1k 2=-1；②点M(x 0，y 0)在直线Ax+By+C=0外时，过点M(x 0，y 0)与直线Ax+By+C=0(AB ≠0)平行的直线方程为A(x-x 0)+B(y-y 0)=0；③直线l 1:y=2x-1到l 2：y=31x+5的角是4π；④两平行直线Ax+By+C 1=0与Ax+By+C 2=0间的距离是d=2221||BA C C +-其中正确的命题有( )A ．①②B ．③④C ．②④D ．以上答案均对 答案： C10 圆x 2+y 2-4x+2y+c=0与y 轴交于A 、B 两点，圆心为P ，若∠APB=120°，则实数c 等于____________ 答案：-11 11 直线byax +=1与圆x 2+y 2=r 2(r>0)相切的充要条件是_________ 答案：|ab|=r 22b a +12 已知动圆户与定圆C ：(x+2)2+y 2=1相外切，又与定直线L:x=1相切，那么动圆圆心户的轨迹方程是________答案： y 2=-8x 解析：设圆心的坐标为(x ，y)， 由已知有1-x=1)2(22-++y x ，整理后可得．13 已知△ABC 的顶点A(3，-1)，AB 边上的中线所在直线的方程为6x+l0y-59=0，∠B 的平分线所在直线的方程为：x-4y+10=0，求边BC 所在直线的方程．答案：解：设B(a ，b)，B 在直线BT 上，∴a-4b+10=0① 又AB 中点 M(21,23-+b a )在直线CM 上，∴点M 的坐标满足方程6x+10y-59=0 ∴6·23a ++10·21-b -59=0② 解①、②组成的方程组可得a=10，b=5∴B(10，5)，又由角平分线的定义可知，直线BC 到BT 的角等于直线BT 到直线BA 的角，又k AB =76，k BT =41 ∴BTBA BT BABC BT BC BT k k k k k k k k ∙+-=+-11 ∴k BC =-,92∴BC 所在直线的方程为y-5=-92(x-10)即2x+9y-65=0 14 某人有楼房一幢，室内面积共180m 2，拟分隔成两类房间作为旅游客房．大房间每间面积为18m 2，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为15m 2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元．装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元．如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益?答案：解：设隔出大房间x 间，小房间y 间时收益为z 元，则x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧∈≤+≤+,,,80006001000,1801518N y x y x y x 且 z=200x+150y.⎪⎩⎪⎨⎧∈≤+≤+,,,4035,6056N y x y x y x 作出可行域及直线l ：200x+150y=0，即4x+3y =0．(如图4)把直线l 0向上平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点B ，且与原点距离最大．此时，z=200x+150y 取最大值．但解6x+5y=60与5x+3y=40联立的方程组得到B(760,720)．由于点B 的坐标不是整数，而 x 、y ∈N ，所以可行域内的点B 不是最优解． 为求出最优解，同样必须进行定量分析． 因为4×720+3×760=7260≈37．1，但该方程的非负整数解(1，11)、(4，7)、(7，3)均不在可行域内，所以应取4x+3y=36．同样可以验证，在可行域内满足上述方程的整点为(0，12)和(3，8)．此时z 取最大值 1800元．15 设有半径为3km 的圆形村落，A 、B 两人同时从村落中心出发，B 向北直行，A 先向东直行，出村后不久，改变前进方向，沿着与村落周界相切的直线前进，后来恰与。

全国高考理科数学试题分类汇编8：直线与圆一、选择题1 ．（ 上海市春季高考数学试卷(含答案)）直线2310x y -+=的一个方向向量是 （ ）A ．(2 3)-，B ．(2 3)，C ．(3 2)-，D ． (3 2)，【答案】D2 ．（ 普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））已知点(1,0),(1,0),(0,1)A B C -,直线(0)y ax b a =+>将△ABC 分割为面积相等的两部分,则b 的取值范围是 （） A ．(0,1) B．1(1)2( C) 1(1]3 D ． 11[,)32【答案】B3 ．（ 普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））过点(3,1)作圆22(1)1x y -+=的两条切线,切点分别为A ,B ,则直线AB 的方程为 （） A ．230x y +-= B ．230x y --= C ．430x y --= D ．430x y +-=【答案】A4 ．（ 普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知点()()()30,0,0,,,.ABC ,O A b B a a ∆若为直角三角形则必有 （） A ．3b a = B ．31b a a =+C ．()3310b a b a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a -+--=【答案】C5 ．（ 高考江西卷（理））如图,半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线,12,l l 之间l //1l ,l 与半圆相交于F,G 两点,与三角形ABC 两边相交于E,D 两点,设弧FG 的长为(0)x x π<<,y EB BC CD =++,若l 从1l 平行移动到2l ,则函数()y f x =的图像大致是【答案】D6 ．（ 高考湖南卷（理））在等腰三角形ABC 中,=4AB AC =，点P 是边AB 上异于,A B 的一点,光线从点P 出发,经,BC CA 发射后又回到原点P (如图1).若光线QR 经过ABC ∆的中心,则AP 等（）A ．2B ．1C ．83D ．43【答案】D二、解答题7 ．（ 普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分14分.如图,在平面直角坐标系xOy 中,点)3,0(A ,直线42:-=x y l ,设圆C 的半径为1,圆心在l 上.(1)若圆心C 也在直线1-=x y 上,过点A 作圆C 的切线,求切线的方程;(2)若圆C 上存在点M ,使MO MA 2=,求圆心C 的横坐标a 的取值范围.【答案】解:(1)由⎩⎨⎧-=-=142x y x y 得圆心C 为(3,2),∵圆C 的半径为1∴圆C 的方程为:1)2()3(22=-+-y x显然切线的斜率一定存在,设所求圆C 的切线方程为3+=kx y ,即03=+-y kx ∴113232=++-k k ∴1132+=+k k ∴0)34(2=+k k ∴0=k 或者43-=k ∴所求圆C 的切线方程为:3=y 或者343+-=x y 即3=y 或者01243=-+y x (2)解:∵圆C 的圆心在在直线42:-=x y l 上,所以,设圆心C 为(a,2a-4)则圆C 的方程为:[]1)42()(22=--+-a y a x 又∵MO MA 2=∴设M 为(x,y)则22222)3(y x y x +=-+整理得:4)1(22=++y x 设为圆D∴点M 应该既在圆C 上又在圆D 上 即:圆C 和圆D 有交点∴[]12)1()42(1222+≤---+≤-a a 由08852≥+-a a 得R x ∈由01252≤-a a得5120≤≤x 终上所述,a 的取值范围为:⎥⎦⎤⎢⎣⎡512,0 附：高考各科的答题技巧一、掌握好基础知识掌握基础知识没有捷径，俗话说“巧妇难为无米之炊”，没有基础知识，再多的答题技巧也没有用，有了基础知识，才能在上面“玩一些复杂的花样”，让自己分数提高一个层次，其实很简单，上课认真听讲，放学再温习一两遍足矣。